2019届江苏无锡市高三数学一模试卷及答案解析
江苏省苏锡常镇四市2019届高三第三次模拟考试数学Word版含答案
2019届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2019．5一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|x<1}，B ＝{x|0<x<3}，则A∩B＝________．2. 已知复数z ＝3＋4i5i ，其中i 是虚数单位，则|z|＝________．3. 已知双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1，则其离心率为________．4. 根据如图所示的伪代码，最后输出i 的值为________． T←1 i ←2While T<6 T←2T i←i＋2 End While Print i (第4题)5. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶4∶3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生人数为15，则抽取的样本容量为________．6. 口装中有形状、大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4.若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为________．7. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝2a 2，则S 12S 8＝________．8. 若函数f(x)＝cos (ωx－π3)(ω>0)的图象关于直线x ＝π2对称，则ω的最小值为________．9. 已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则2a 2＋1a －2b 2＋4b的最小值为________．10. 已知偶函数f(x)的定义域为R ，且在[0，＋∞)上为增函数，则不等式f(3x)>f(x 2＋2)的解集为____________．11. 过直线l ：y ＝x －2上任意一点P 作圆C ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线长最小时，△PAB 的面积为________．12. 已知点P 在曲线C ：y ＝12x 2上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点．若OP⊥OQ，则点P 的纵坐标为________．13. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上．若AB →·AQ →＝83，则AQ →·CP →的最小值为________．14. 已知e 为自然对数的底数，函数f(x)＝e x －ax 2的图象恒在直线y ＝32ax 上方，则实数a 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，过点P 作PD⊥AB，垂足为D ，点E ，F 分别是PD ，PC 的中点，且平面PAB⊥平面PCD.求证：(1) EF∥平面ABC ； (2) CE⊥AB.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a c ＝2－cos A sin C. (1) 求角A 的大小；(2) 若cos(B ＋π6)＝14，求cos C 的值．某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．(1) 若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；(2) 当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1(－2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4.过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D.直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若HG⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程；(3) 如果A 1H →＝λA 1P →，试求λ的取值范围．已知函数f(x)＝x 2＋(2－a)x －aln x ，其中a∈R .(1) 如果曲线y ＝f(x)在x ＝1处的切线斜率为1，求实数a 的值； (2) 若函数f(x)的极小值不超过a2，求实数a 的最小值；(3) 对任意x 1∈[1，2]，总存在x 2∈[4，8]，使得f(x 1)＝f(x 2)成立，求实数a 的取值范围．已知数列{a n}是各项都不为0的无穷数列，对任意的n≥3，n∈N，a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n ＝λ(n－1)a1a n恒成立．(1) 如果1a1，1a2，1a3成等差数列，求实数λ的值；(2) 已知λ＝1.①求证：数列{1a n}是等差数列；②已知数列{a n}中，a1≠a2.数列{b n}是公比为q的等比数列，满足b1＝1a1，b2＝1a2，b3＝1a i(i∈N)．求证：q是整数，且数列{b n}中的任意一项都是数列{1a n}中的项．2019届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210a ，其逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b c 01，求A 2.B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上两点M ，N 的极坐标分別为(2，0)，(23，π6)，求直线l 被曲线C 截得的弦长．C. (选修45：不等式选讲)已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝2，求证：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c2a ＋b ≥1.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点．(1) 求线段AF的中点M的轨迹方程；(2) 已知△A OB的面积是△BOF面积的3倍，求直线l的方程．23. 已知数列{a n}中，a1＝2，且a n＋1＝a2n－a n＋1对任意n∈N恒成立．求证：(1) a n＋1＝a n a n－1a n－2…a2a1＋1(n∈N)；(2) a n＋1>n n＋1(n∈N)．2019届高三模拟考试试卷(苏锡常镇)数学参考答案及评分标准1. (0，1)2. 13. 524. 85. 556. 137. 738. 239. 11 10. (－2，－1)∪(1，2) 11. 1212. 1 13. －25314. (－2e －1，0]15. 证明：在三棱锥PABC 中：(1) 因为点E ，F 分别是PD ，PC 的中点，所以EF 为△PCD 的中位线，(2分) 则有EF∥CD.(3分) 又EF平面ABC ，CD平面ABC ，所以EF∥平面ABC.(7分)(2) 因为平面PAB⊥平面PCD ，平面PAB∩平面PCD ＝PD ，AB ⊥PD ，AB 平面PAB ，所以AB⊥平面PCD.(11分) 又CE平面PCD ，所以AB⊥CE.(14分)16. 解：(1) 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，且3a c ＝2－cos Asin C，(1分) 得3sin A sin C ＝2－cos Asin C，(2分)则有3sin A ＝2－cos A ，即3sin A ＋cos A ＝2，2sin(A ＋π6)＝2， 故sin(A ＋π6)＝1.(4分)因为A∈(0，π)，则A ＋π6∈(π6，7π6)，所以A ＋π6＝π2，即A ＝π3.(6分)(2) 在△ABC 中，因为A ＝π3，则B∈(0，2π3)，B ＋π6∈(π6，5π6)，所以sin(B ＋π6)>0.因为cos(B ＋π6)＝14，所以sin(B ＋π6)＝1－cos 2（B ＋π6）＝154.(8分)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，(9分)所以cos C ＝cos(π－A －B)＝－cos(A ＋B)＝－cos(B ＋π3)(10分)＝－cos[(B ＋π6)＋π6]＝－cos(B ＋π6)cos π6＋sin(B ＋π6)sin π6＝－32×14＋12×154＝15－38.(14分) 17. 解：设圆锥形容器的底面半径为r 米，高为h 米，母线为l 米，侧面积为S 平方米，容积为V 立方米，则V ＝36π.(1) 由r ＝6，得V ＝13πr 2h ＝36π，得h ＝3，(1分)所以S ＝πrl ＝πr r 2＋h 2＝6π62＋32＝185π.(2分)又底面积为πr 2＝36π(平方米)，(3分)故该容器的表面积为(185π＋36π)＝18(2＋5)π(平方米)．(4分) 答：该容器的表面积为18(2＋5)π平方米．(5分)(2) 因为V ＝13πr 2h ＝36π，得r 2＝3×36ππh ＝108h ，其中h>0，所以S ＝πrl ＝πr r 2＋h 2＝πr 4＋r 2h 2＝π1082h 2＋108hh 2＝π1082h2＋108h ＝π108108h2＋h.(8分) 记f(h)＝108h 2＋h ，令f′(h)＝－216h 3＋1＝h 3－216h3＝0，得h ＝6.(10分) 当h∈(0，6)时，f ′(h)<0，f(h)在(0，6)上单调递减；当h∈(6，＋∞)时，f ′(h)>0，f(h)在(6，＋∞)上单调递增．(12分) 所以，当h ＝6时，f(h)最小，此时S 最小．(13分)答：当容器的高为6米时，制造容器的侧面用料最省．(14分)18. 解：(1) 由椭圆C 的左、右顶点分别为A 1(－2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4，得a ＝2，a 2c ＝4，故c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.(2分)所以椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1 ①.(3分)(2) 设直线A 1D ：y ＝k(x ＋2)(k>0) ②，则与右准线x ＝4的交点D(4，6k)． 又A 2(2，0)，所以设直线A 2D ：y ＝3k(x －2)，联立①，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝3k （x －2），解得G(24k 2－21＋12k 2，－12k1＋12k2)，(5分)则直线OG 的斜率为k OG ＝－6k12k 2－1 ③.因为OG⊥A 1D ，故－6k 12k 2－1·k ＝－1.又k>0，解得k ＝66，(7分)则直线A 1D 的方程为y ＝66(x ＋2)．(8分) (3) 由(2)中③可设直线OG ：y ＝－6k12k 2－1x ，联立②，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－6k 12k 2－1x ，y ＝k （x ＋2），解得H(－24k 2＋212k 2＋5，12k12k 2＋5)．(10分) 联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x ＋2），解得P(6－8k 23＋4k 2，12k3＋4k2)．(12分)因为AH →＝λAP →，所以(x H ＋2，y H )＝λ(x P ＋2，y P )，则y H ＝λy P ， λ＝y H y P ＝f(k)＝12k 12k 2＋512k 3＋4k 2＝3＋4k 212k 2＋5＝112k 2＋9－43＋4k 2＝13－43＋4k 2.(14分) 因为f(k)在(0，＋∞)上为减函数，(15分) 所以λ∈(13，35)．(16分)19. 解：因为f(x)＝x 2＋(2－a)x －aln x ，所以f′(x)＝（x ＋1）（2x －a ）x 2.(1分) (1) 因为曲线y ＝f(x)在x ＝1处的切线斜率为1， 所以f′(1)＝2(2－a)＝1，解得a ＝32.(2分)(2) ① 当a≤0时，f ′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 故函数f(x)不存在极值．(3分) ②当a>0时，令f′(x)＝0，得x ＝a2.x (0，a 2)a 2 (a2，＋∞) f′(x) －0 ＋f(x)极小值(5分)则f(x)min ＝f(a 2)＝a －a 24－aln a 2≤a 2.因为a>0，则12－a 4－ln a2≤0.令g(a)＝12－a 4－ln a 2＝12＋ln 2－a 4－ln a ，则g′(a)＝－14－1a<0，则g(a)在(0，＋∞)上单调递减．(7分)又g(2)＝0，所以g(a)≤g(2)＝0，则a≥2，则实数a 的最小值为2.(8分) (3) 记f(x)在[1，2]上的值域为A ，在[4，8]上的值域为B ，“任意x 1∈[1，2]，总存在x 2∈[4，8]，使得f(x 1)＝f(x 2)成立”等价于“A B ”． ①当a 2≤1或a2≥8，即a≤2或a≥16时，由(2)知f(x)在[1，8]上为单调函数，不合题意；(9分)②当1<a 2≤2，即2<a≤4时，由(2)知f(x)在(0，a 2)上单调递减，在(a2，＋∞)上单调递增，故f(a 2)∈A ，但f(a2)B ，不合题意；(10分)③当2<a2≤4，即4<a≤8时，A ＝[f(2)，f(1)]，B ＝[f(4)，f(8)]，由A B ，得⎩⎪⎨⎪⎧f （2）≥f（4），f （1）≤f（8），则⎩⎪⎨⎪⎧8－2a －aln 2≥24－4a －2aln 2，3－a≤80－8a －3aln 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥162＋ln 2，a ≤777＋3ln 2.(11分) 因为0<ln 2<1，则2<2＋ln 2<3，即4<163<162＋ln 2<8.因为e>2.7，计算得e 3>24，则e 72>e 3>24，即72>ln 24＝4ln 2，即7>8ln 2，也即21>24ln 2，则777＋3ln 2－8＝21－24ln 27＋3ln 2>0，即777＋3ln 2>8.所以162＋ln 2≤a ≤8.(13分)④当4<a2<8，即8<a<16，由A B ，得f(8)≥f(1)，得a ≤777＋3ln 2<777＝11<16，则8<a≤777＋3ln 2.(15分) 综上，162＋ln 2≤a ≤777＋3ln 2.(16分)20. (1) 解：因为n≥3且n∈N *时，a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝λ(n－1)a 1a n 恒成立，所以n ＝3时，a 1a 2＋a 2a 3＝2λa 1a 3 (*)． 因为数列{a n }各项都不为0，所以(*)式两边同除以a 1a 2a 3，得2λa 2＝1a 1＋1a 3.(1分)因为1a 1，1a 2，1a 3成等差数列，则2a 2＝1a 1＋1a 3.(2分)比较得2λa 2＝2a 2，所以λ＝1.(3分)(2) 证明：① 当λ＝1，n ＝3时，a 1a 2＋a 2a 3＝2a 1a 3 (i)，整理，得1a 1＋1a 3＝2a 2，则1a 2－1a 1＝1a 3－1a 2(ii)．(4分) 当n ＝4时，a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＝3a 1a 4 (iii)． (iii)－(i)，得a 3a 4＝3a 1a 4－2a 1a 3，得1a 1＝3a 3－2a 4.又1a 1＋1a 3＝2a 2，所以1a 4－1a 3＝1a 3－1a 2 (iv)．(5分) 当n≥3时，a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝(n －1)a 1a n ， a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a n ＋1＝na 1a n ＋1， 两式相减，得a n a n ＋1＝na 1a n ＋1－(n －1)a 1a n .因为a n ≠0，所以1a 1＝n a n －n －1a n ＋1，(6分)所以1a 1＝n ＋1a n ＋1－n a n ＋2，所以n a n －n －1a n ＋1＝n ＋1a n ＋1－n a n ＋2，整理，得1a n ＋1a n ＋2＝2a n ＋1，即1a n ＋2－1a n ＋1＝1a n ＋1－1a n(n≥3) (v)．(7分)由(ii)(iv)(v)，得1a n ＋2－1a n ＋1＝1a n ＋1－1a n 对任意的正整数n≥1恒成立，(8分)所以数列{1a n}成等差数列．(9分)②设数列{1a n }的公差为d ，令c n ＝1a n ，c 1＝1a 1＝c(c≠0)，则b 1＝c 1＝c ，b 2＝c 2＝c ＋d ，d ＝c 2－c 1＝b 2－b 1＝cq －c.当i ＝2时，b 3＝c 2＝b 2，从而q ＝1，b 2＝b 1，得a 1＝a 2，与已知不符．(10分)当i ＝3时，由b 3＝c 3，cq 2＝c ＋2d ＝c ＋2c(q －1)，得q 2＝1＋2(q －1)， 得q ＝1，与已知不符．(11分)当i ＝1时，由b 3＝c 1，cq 2＝c ，得q 2＝1，则q ＝－1(上面已证q≠1)为整数． 数列{b n }为c ，－c ，c ，…；在数列{c n }中，c 1＝c ，c 2＝－c ，公差d ＝－2c. 数列{b n }每一项都是{c n }中的项(c ＝c 1，－c ＝c 2)．(12分)当i≥4时，由b 3＝c i ，cq 2＝c ＋(i －1)d ＝c ＋(i －1)c(q －1)，得q 2－(i －1)q ＋(i －2)＝0，得q ＝1(舍去)，q ＝i －2(i≥4)为整数．(14分) 因为cq ＝c ＋d ，b 3＝c i ，对任意的正整数k≥4，欲证明b k 是数列{c n }中的项，只需b k ＝cq k －1＝c i ＋xd ＝b 3＋x(cq －c)＝cq 2＋x(cq －c)有正整数解x.等价于qk －1＝q 2＋x(q －1)，x ＝qk －1－q2q －1为正整数． 因为x ＝qk －1－q 2q －1＝q 2（q k －3－1）q －1表示首项为q 2，公比为q ＝i －2(i≥4)， 共k －3(k≥4)项的等比数列的和，所以x 为正整数． 因此，{b n }中的每一项都是数列{c n }也即{1a n }中的项．(16分)2019届高三模拟考试试卷(苏锡常镇) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解： 因为AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤210a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤b c 01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，(2分)即a ＝1，b ＝12，c ＝－12，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2101，(5分)则A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2101⎣⎢⎡⎦⎥⎤2101＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4301.(10分)B. 解：由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得M(2，0，)N(3，3)， 则直线l ：y ＝3(x －2)，(2分)曲线C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝4，圆心为(2，－3)，半径r ＝2， 则圆心到直线l 的距离d ＝|0－3|2＝32，(6分)则直线l 被曲线C 截得的弦长为2r 2－d 2＝13.(10分)C. 证明：因为a>0，b>0，c>0，a ＋b ＋c ＝2，由柯西不等式，得 [(b ＋c)＋(c ＋a)＋(a ＋b)](a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c2a ＋b )＝[(b ＋c)2＋(c ＋a)2＋(a ＋b)2][(a b ＋c )2＋(b c ＋a)2＋(c a ＋b)2]＝(b ＋cab ＋c ＋c ＋abc ＋a ＋a ＋bca ＋b)2(5分) ＝(a ＋b ＋c)2＝22，(8分)则a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥22（b ＋c ）＋（c ＋a ）＋（a ＋b ）＝44＝1. 所以a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b≥1.(10分)22. 解：因为抛物线方程为y 2＝4x ，所以F(1，0)．(1分) (1) 设M(x ，y)，A(x 0，y 0)．因为点M 为线段AF 的中点，则x ＝x 0＋12，y ＝y 02，(2分)则x 0＝2x －1，y 0＝2y ，代入抛物线方程，得y 2＝2x －1，即点M 的轨迹方程为y 2＝2x －1.(4分)(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，不妨设y 1>0，y 2<0， 设△AOB 和△BOF 的面积分别为S 1，S 2.因为△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，即S 1＋S 2＝3S 2，所以S 1＝2S 2. 因为S 1＝12OF ·y 1，S 2＝12OF ·|y 2|＝－12OF ·y 2，则y 1＝－2y 2 ①.(6分)设直线AB ：x ＝ty ＋1(t>0) ②，与y 2＝4x 联立，消去x ，得y 2－4ty －4＝0， y 1，2＝2t±2t 2＋1，y 1＋y 2＝4t ③，y 1y 2＝－4 ④.(8分)由①③④可得t ＝122，代入②，得直线l ：y ＝22(x －1)；同理当y 1<0，y 2>0时，得直线l ：y ＝－22(x －1)． 综上，直线l 的方程为y ＝±22(x －1)．(10分)23. 证明：(1) 当n ＝1时，a 2＝a 1(a 1－1)＋1＝3＝a 1＋1成立． 假设n ＝k 时，结论成立，即a k ＋1＝a k a k －1…a 2a 1＋1.当n ＝k ＋1时，a k ＋2＝a k ＋1(a k ＋1－1)＋1＝a k ＋1(a k a k －1…a 2a 1＋1－1)＋1 ＝a k ＋1a k a k －1…a 2a 1＋1.则当n ＝k ＋1时，命题成立．综上，a n ＋1＝a n a n －1a n －2…a 2a 1＋1.(4分)(2) 要证a n ＋1>n n＋1，由(1)a n ＋1＝a n a n －1a n －2…a 2a 1＋1，只需证a n a n －1a n －2…a 2a 1>n n.下用数学归纳法证明：当n ＝1，2，3时，a 1＝2，a 2＝3，a 3＝7，则2>1，2×3>22，2×3×7>33.假设n ＝k(k≥3)时，结论成立，即a k a k －1a k －2…a 2a 1>k k，(6分) 则n ＝k ＋1时，a k ＋1a k …a 2a 1＝(a k a k －1…a 2a 1＋1)a k a k －1…a 2a 1>(a k a k －1a k －2…a 2a 1)2>k 2k.(7分)设f(x)＝2xln x －(x ＋1)ln(x ＋1)(x≥3)，则f′(x)＝ln x 2x ＋1＋1>ln x 2－1x ＋1＋1＝ln(x －1)＋1≥ln 2＋1>0，所以f(x)为增函数，则f(x)≥f(3)＝2(3ln 3－2ln 4)＝2ln 2716>0，则2kln k>(k ＋1)ln(k ＋1)，ln k 2k>ln(k ＋1)(k ＋1)，即k 2k>(k ＋1)(k ＋1)．即a k ＋1a k …a 2a 1>(k ＋1)k ＋1，则n ＝k ＋1时，命题成立．(9分)综上，a n a n －1a n －2…a 2a 1>n n ，所以a n ＋1>n n＋1.(10分)。
江苏省无锡市木渎高级中学2018-2019学年高三数学文模拟试题含解析
江苏省无锡市木渎高级中学2018-2019学年高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知，，猜想f(x)的表达式为（）A． B． C． D．参考答案：C略2. 设i为虚数单位，复数z=，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z的共轭复数可求．【解答】解：z==，则=﹣1+3i．故选：C．3. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是( )A. B. C. D. 参考答案：C略4. 是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限参考答案：D，所以对应点位，在第四象限，选D.5. 设函数f（x）=则满足f（x）≤2的x的取值范围是（）（A）[-1，2] （B）[0，2] （C）[1，+）（D）[0，+）参考答案：D6. 已知a＞b＞0，a b=b a，有如下四个结论：①b＜e；②b＞e；③?a，b满足a?b＜e2；④a?b＞e2．则正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④参考答案：C【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】根据题意，得出=，f（x）=，x＞0，利用导数判断0＜x＜e时f （x）增，x＞e时f（x）减；x=e时f（x）取得最大值；根据f（a）=f（b）得出a＞e＞b，判断①正确②错误；由＞e＞b得出f（b）＜f（）且f（a）＜f（），即ab＞e2，判断④正确③错误．【解答】解：∵a＞b＞0，a b=b a，∴blna=alnb，∴=，设f（x）=，x＞0，∴f′（x）=，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x＞e时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x=e时，f（x）max=f（e）=；∵f（a）=f（b），∴a＞e＞b＞0，∴①正确，②错误；∴＞e＞b，∴f（b）＜f（），∴f（a）＜f（），∴a＞＞e，∴ab＞e2，④正确，③错误；综上，正确的命题是①④．故选：C．【点评】本题考查了利用构造函数的方法判断数值大小的应用问题，是综合性题目．7. 在平面直角坐标中，O为坐标原点，设向量=，=，其中=（3，1），=（1，3），若=λ+μ，且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（）．D．A略8. 等边三角形△ABC的边长为1，则（）A.0B.－3C.D.参考答案：D9. （理）设两个向量和，其中为实数，若，则的取值范围是A． B．[4，8] C． D．参考答案：A10. 下列选项中，说法正确的个数是（）（1）命题“?x0∈R，﹣x0≤0”的否定为“?x∈R，x2﹣x＞0”；（2）命题“在△ABC中，A＞30°，则sinA＞”的逆否命题为真命题；（3）若统计数据x1，x2，…，x n的方差为1，则2x1，2x2，…，2x n的方差为2；（4）若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数绝对值越接近1．A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出原命题的否定，可判断（1）；根据互为逆否的两个命题真假性相同，可判断（2）；根据数据扩大a倍，方差扩大a2倍，可判断（3）；根据相关系数的定义，可判断（4）【解答】解：（1）命题“?x0∈R，x﹣x0≤0”的否定为“?x∈R，x2﹣x＞0”，故错误；（2）命题“在△ABC中，A＞30°，则sinA＞”为假命题，故其逆否命题为假命题，故错误；（3）若统计数据x1，x2，…，x n的方差为1，则2x1，2x2，…，2x n的方差为4，故错误；（4）若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数绝对值越接近1，故正确．故选：A．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了命题的否定，四种命题，方差，相关系数等知识点，难度中档．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若正项等比数列满足，，则公比，．参考答案：（同样给分）12. 已知a=（cosx﹣sinx）dx，则二项式（x2﹣）6展开式中的常数项是．参考答案：240【考点】二项式系数的性质；定积分．【专题】二项式定理．【分析】求定积分可得a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：a=（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）=﹣1﹣1=﹣2，则二项式（x2﹣）6=（x2+）6展开始的通项公式为T r+1=?2r?x12﹣3r，令12﹣3r=0，求得r=4，可得二项式（x2﹣）6展开式中的常数项是?24=240，故答案为：240．【点评】本题主要考查求定积分，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．13. .已知函数是上的奇函数,且的图象关于直线对称,当时,，则.参考答案：14. 函数满足，，则不等式的解集为______.. 参考答案：利用换元法，将换元成，则原式化为，当时，，且，又由，可知当时，；当时，.故的解集为，即，因此.15. 设点（a，b）是区域内的任意一点，则的取值范围是．参考答案：（，6）【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，的几何意义是区域内的点到点D（﹣1，﹣2）的斜率，由图象得AD的斜率最大，BD的斜率最小，其中A（0，4），B（4，0），则AD的斜率k==6，BD的斜率k==，则的取值范围是（，6），故答案为：（，6）．16. 已知，，则，．参考答案：17.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
江苏省苏锡常镇四市2019届高三第三次模拟考试 数学 Word版含答案
姓名，年级：时间：2019届高三模拟考试试卷数学（满分160分，考试时间120分钟）2019．5一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1。
已知集合A＝{x｜x<1}，B＝{x|0〈x<3｝，则A∩B＝________．2. 已知复数z＝错误!，其中i是虚数单位，则|z｜＝________．3. 已知双曲线C的方程为错误!－y2＝1，则其离心率为________．4。
根据如图所示的伪代码，最后输出i的值为________．T←1i←2While T<6T←2Ti←i＋2End WhilePrint i（第4题)5。
某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶4∶3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生人数为15，则抽取的样本容量为________．6。
口装中有形状、大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2，3，4。
若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为________．7. 已知等比数列｛a n}的前n项和为S n.若a6＝2a2，则错误!＝________．8。
若函数f（x）＝cos（ωx－错误!)(ω〉0）的图象关于直线x＝错误!对称,则ω的最小值为________．9。
已知正实数a，b满足a＋b＝1，则错误!－错误!的最小值为________．10. 已知偶函数f(x）的定义域为R，且在[0，＋∞）上为增函数，则不等式f（3x)>f(x2＋2）的解集为____________．11。
过直线l：y＝x－2上任意一点P作圆C：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，当切线长最小时，△PAB的面积为________．12。
已知点P在曲线C:y＝错误!x2上，曲线C在点P处的切线为l,过点P 且与直线l垂直的直线与曲线C的另一交点为Q，O为坐标原点．若OP⊥OQ，则点P的纵坐标为________．13. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，以AB为直径在△ABC外作半圆O，P为半圆弧AB上的动点,点Q在斜边BC上．若错误!·错误!＝83，则错误!·错误!的最小值为________．14. 已知e为自然对数的底数,函数f（x)＝e x－ax2的图象恒在直线y＝错误!ax上方，则实数a的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15。
2019-2020学年苏教版江苏省无锡市高三第一学期期末数学试卷 解析版
2019-2020学年高三第一学期（上）期末数学试卷一、选择题1．集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B＝．2．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），且满足iz＝9+i（其中i为虚数单位），则a+b＝．3．某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为分钟．4．函数f（x）＝（a﹣1）x﹣3（a＞1，a≠2）过定点．5．等差数列{a n}（公差不为0），其中a1，a2，a6成等比数列，则这个等比数列的公比为．6．小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为．7．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝1，E为BC的中点，则点A到平面A1DE 的距离是．8．如图所示的流程图中，输出n的值为．9．圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4关于直线y＝2x﹣1的对称圆的方程为．10．正方形ABCD的边长为2，圆O内切与正方形ABCD，MN为圆O的一条动直径，点P为正方形ABCD边界上任一点，则的取值范围是．11．双曲线C：＝1的左右顶点为A，B，以AB为直径作圆O，P为双曲线右支上不同于顶点B的任一点，连接PA交圆O于点Q，设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若k1＝λk2，则λ＝．12．对于任意的正数a，b，不等式（2ab+a2）k≤4b2+4ab+3a2恒成立，则k的最大值为．13．在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠BAC＞45°，点D在线段BC上，且CD＝CB，若tan∠DAB＝，则∠BAC的正切值为．14．函数f（x）＝|x2﹣1|+x2+kx+9在区间（0，3）内有且仅有两个零点，则实数k的取值范围是．二、解答题15．在△ABC中，角A，B，C所对的分别为a，b，c，向量，向量，且．（1）求角C的大小；（2）求y＝sin A+的最大值．16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O为其中心，△PAD为锐角三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，E为PD的中点，CD⊥DP．（1）求证：OE∥平面PAB；（2）求证：CD⊥PA．17．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为4，且椭圆过点，过点F2且不平行与坐标轴的直线l交椭圆与P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为R，直线PR交x轴于点M．（1）求△PF1Q的周长；（2）求△PF1M面积的最大值．18．（16分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD（如图所示），其中AD≥AB．结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3，深2米．若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元（1）求发酵池AD边长的范围；（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b米的走道（b为常数）．问：发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小．19．（16分）已知{a n}，{b n}均为正项数列，其前n项和分别为S n，T n，且a1＝，b1＝1，b2＝2，当n≥2，n∈N*时，S n﹣1＝1﹣2a n，b n＝﹣2T n﹣1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝，求数列{c n}的前n项和P n．20．（16分）设函数f（x）＝lnx﹣ax，a∈R，a≠0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）＝0有两个零点x1，x2（x1＜x2）．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）求证：x1•x2随着的增大而增大．【选做题】本题包括A，B两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知a，b∈R，矩阵A＝，若矩阵A属于特征值5的一个特征向量为，点P （﹣2，1）在A对应的变换作用下得到点P′（﹣1，2），求矩阵A．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1：，（其中θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，设曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求AB的长．【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．23．如图，矩形ABCD所在的平面垂直于平面AEB，O为AB的中点，∠AEB＝90°，∠EAB＝30°，AB＝，AD＝3．（1）求异面直线OC与DE所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣DE﹣C的正弦值．24．对于任意的x＞1，n∈N*，用数学归纳法证明：e x﹣1＞．参考答案一、填空题1．集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B＝{1，3} ．【分析】利用交集定义直接求解．解：因为2k﹣1，k∈Z表示为奇数，集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，B＝{1，2，3，4}，故A∩B＝{1，3}．故答案为：{1，3}．2．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），且满足iz＝9+i（其中i为虚数单位），则a+b＝﹣8 ．【分析】把z＝a+bi两边同乘i，得到iz，结合iz＝9+i利用复数相等的条件求得a，b 的值，则答案可求．解：由z＝a+bi，得iz＝ai+bi2＝﹣b+ai＝9+i，∴a＝1，b＝﹣9，则a+b＝﹣8．故答案为：﹣8．3．某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为7.5 分钟．【分析】直接利用平均数的计算公式求解即可．解：因为：有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟；所以：平均用时：，故答案为：7.5．4．函数f（x）＝（a﹣1）x﹣3（a＞1，a≠2）过定点（0，﹣2）．【分析】利用指数函数的性质即可求解．解：令x＝0得：f（0）＝1﹣3＝﹣2，∴函数f（x）恒过定点（0，﹣2），故答案为：（0，﹣2）．5．等差数列{a n}（公差不为0），其中a1，a2，a6成等比数列，则这个等比数列的公比为 4 ．【分析】本题先设等差数列{a n}的公差为d，则有a2＝a1+d，a6＝a1+5d．然后根据等比中项的性质有，代入整理可得d＝3a1，再通过q＝即可算出等比数列的公比．解：设等差数列{a n}的公差为d，则a2＝a1+d，a6＝a1+5d．依题意，，即整理得d＝3a1，∴a2＝a1+d＝4a1，∴q＝．故答案为：4．6．小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，则抽到的2道题小李都会的概率为．【分析】基本事件总数n＝＝6，抽到的2道题小李都会包含的基本事件m＝＝3，由此能求出抽到的2道题小李都会的概率．解：小李参加有关“学习强国”的答题活动，要从4道题中随机抽取2道作答，小李会其中的三道题，基本事件总数n＝＝6，抽到的2道题小李都会包含的基本事件m＝＝3，则抽到的2道题小李都会的概率为P＝．故答案为：．7．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝1，E为BC的中点，则点A到平面A1DE的距离是．【分析】利用等体积法，转化求解点A到平面A1DE的距离即可．解：，，解得．故答案为：．8．如图所示的流程图中，输出n的值为 4 ．【分析】根据流程图的顺序一步一步走，注意对数的运算．解：模拟程序的运行，可得S＝1，n＝1；S＝1+log2＝0，n＝2；S＝0+log2，n＝3；S＝，n＝4；S≤﹣1．跳出循环，输出结果，n＝4，故答案为：49．圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4关于直线y＝2x﹣1的对称圆的方程为（x﹣3）2+y2＝4 ．【分析】求关于直线对称的圆，只需要圆心关于直线对称即可，半径相同，直线为两个圆的圆心的中垂线，求出圆心的对称点即可．解：圆C：（x+1）2+（y﹣2）2＝4的圆心为（﹣1，2），关于y＝2x﹣1对称点设为（x，y），则有：，解得，所以对称后的圆心为（3，0），故答案为：（x﹣3）2+y2＝4．10．正方形ABCD的边长为2，圆O内切与正方形ABCD，MN为圆O的一条动直径，点P为正方形ABCD边界上任一点，则的取值范围是[0，1] ．【分析】由＝，即可得解．解：作图如下，＝，又，故，故，即的取值范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．11．双曲线C：＝1的左右顶点为A，B，以AB为直径作圆O，P为双曲线右支上不同于顶点B的任一点，连接PA交圆O于点Q，设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若k1＝λk2，则λ＝﹣．【分析】利用已知条件推出直线的斜率的关系式，然后求解λ的值即可．解：双曲线C：＝1的左右顶点为A，B，以AB为直径作圆O，P为双曲线右支上不同于顶点B的任一点，连接PA交圆O于点Q，设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，若k1＝λk2，可得：，，故答案为：．12．对于任意的正数a，b，不等式（2ab+a2）k≤4b2+4ab+3a2恒成立，则k的最大值为．【分析】通过变形，换元可得，接下来只需求出在（1，+∞）上的最小值即可．解：依题意，，令，则，令μ＝2t+1＞1，则，而函数在（1，+∞）上的最小值为，故，即k的最大值为．故答案为：．13．在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠BAC＞45°，点D在线段BC上，且CD＝CB，若tan∠DAB＝，则∠BAC的正切值为 3 ．【分析】作出图象，根据题设条件得出各边的关系，利用正切的差角公式即可求解．解：设AC＝x，BC＝3t，由∠BAC＞45°可知，tan∠BAC＝，，令，即，解得m＝1或，则tan∠BAC＝3或tan∠BAC＝1（舍），故tan∠BAC＝3．故答案为：3．14．函数f（x）＝|x2﹣1|+x2+kx+9在区间（0，3）内有且仅有两个零点，则实数k的取值范围是（﹣，﹣8）．【分析】分段函数，由两个零点分别讨论k的取值不同零点的区间也不同．解：f（x）＝0（x∈（0，3）可得：﹣k＝＝如图所示：由两个零点的范围满足8＜﹣k，所以k∈（﹣，﹣8）故答案为：（﹣，﹣8）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．在△ABC中，角A，B，C所对的分别为a，b，c，向量，向量，且．（1）求角C的大小；（2）求y＝sin A+的最大值．【分析】（1）根据向量共线以及正弦定理得到sin A＝2sin A cos C；再结合三角形中教的范围即可求解；（2）利用（1）的结论整理得到y＝2sin（A+）；再结合角A范围即可求解．解：（1）由，得c cos B﹣（2a﹣b）cos C＝0；由正弦定理得：sin C cos B﹣（2sin A﹣sin B）cos C＝0；∴（sin C cos B+sin B cos C）＝2sin A cos C；∴sin（B+C）＝sin A＝2sin A cos C；∵sin A≠0；∴cos C＝；又C∈（0，π）；∴C＝；（2）由（1）知A+B＝π﹣C＝，所以B﹣＝﹣A，A；所以y＝sin A+＝y＝sin A+sin（﹣A）＝sin A+＝2sin （A+）；∵A；∴A+∈（，）；∴A+＝即A＝时，y取最大值2．16．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O为其中心，△PAD为锐角三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，E为PD的中点，CD⊥DP．（1）求证：OE∥平面PAB；（2）求证：CD⊥PA．【分析】（1）连结BD，则O是BD中点，从而OE∥PB，由此能证明OE∥平面PAB．（2）作PH⊥AD于H，则PH⊥平面ABCD，从而CD⊥平面PAD，由此能证明CD⊥PA．【解答】证明：（1）连结BD，∵ABCD是平行四边形，O为其中心，∴O是BD中点，∵E是PD中点，∴OE∥PB，∵PB⊂平面PAB，OE⊄平面PAB，∴OE∥平面PAB．（2）作PH⊥AD于H，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PH⊥AD，PH⊂平面PAD，∴PH⊥平面ABCD，又CD⊥PD，PD∩PH＝P，∴CD⊥平面PAD，∵PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA．17．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，焦距为4，且椭圆过点，过点F2且不平行与坐标轴的直线l交椭圆与P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为R，直线PR交x轴于点M．（1）求△PF1Q的周长；（2）求△PF1M面积的最大值．【分析】（1）根据椭圆定义求出a，代入即可；（2）设直线l：x＝my+2，P（x1，y1），Q（x2，y2），椭圆的方程为，求出M坐标，联立解方程求出x1y2+x2y1＝2my1y2+2（y1+y2）＝，利用面积公式求出即可．解：（1）设椭圆C的焦距为2c，则2c＝4，c＝2，F1（﹣2.0），F2（2，0），且椭圆过点A，由椭圆的定义2a＝AF1+AF2＝6，故a＝3，所以，△PF1Q的周长为4a＝12；（2）由（1）知，b2＝9﹣4＝5，故椭圆的方程为，设直线l：x＝my+2，P（x1，y1），Q（x2，y2），则R（x2，﹣y2），直线PR：，得M（，0），联立，消去x，得（5m2+9）y2+20my﹣25＝0，，，x1y2+x2y1＝2my1y2+2（y1+y2）＝，所以•|y1|＝，当且仅当P在短轴顶点处取得等号，故△PF1M面积的最大值为．18．（16分）一酒企为扩大生产规模，决定新建一个底面为长方形MNPQ的室内发酵馆，发酵馆内有一个无盖长方体发酵池，其底面为长方形ABCD（如图所示），其中AD≥AB．结合现有的生产规模，设定修建的发酵池容积为450米3，深2米．若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，发酵池造价总费用不超过65400元（1）求发酵池AD边长的范围；（2）在建发酵馆时，发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和b米的走道（b为常数）．问：发酵池的边长如何设计，可使得发酵馆占地面积最小．【分析】本题第（1）题先根据题意有长方形ABCD的面积S＝＝225米2，然后设AD ＝x米，则AB＝米，初步得到x的取值范围，设发酵池造价总费用为f（x），列出f（x）的表达式，然后根据题意得到发酵池AD边长的范围；第（2）题设发酵馆的占地面积为S（x），列出S（x）的表达式，再对S（x）求导，然后通过单调性分析找到S（x）的最小值，注意要对b进行分类讨论．解：（1）由题意，长方形ABCD的面积S＝＝225米2，设AD＝x米，则AB＝米．则x＞＞0，解得x≥15．设发酵池造价总费用为f（x），则f（x）＝225×200+150×2•（2x+）＝600（x+）+45000＜65400．解得9≤x≤25，又x≥15，故x∈[15，25]．（2）由题意，可设发酵馆的占地面积为S（x），则S（x）＝（x+8）（+2b）＝2bx++16b+225，x∈[15，25]．S′（x）＝，x∈[15，25]．①当b≥4时，S′（x）≥0．即S（x）在[15，25]上单调递增，此时当x＝15时，发酵馆的占地面积S（x）最小，即AB＝AD＝15米时，发酵馆的占地面积最小；②当0＜b≤时，S′（x）≤0．即S（x）在[15，25]上单调递减，此时当x＝25时，发酵馆的占地面积S（x）最小，即AD＝25米，AB＝9米时，发酵馆的占地面积最小；③当＜b＜4时，有当15≤x＜时，S′（x）＜0，S（x）单调递减；当＜x≤25时，S′（x）＞0，S（x）单调递增．当x＝＝时，S′（x）＝0，S（x）取得极小值．即AD＝，AB＝时，发酵馆的占地面积最小．19．（16分）已知{a n}，{b n}均为正项数列，其前n项和分别为S n，T n，且a1＝，b1＝1，b2＝2，当n≥2，n∈N*时，S n﹣1＝1﹣2a n，b n＝﹣2T n﹣1．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n＝，求数列{c n}的前n项和P n．【分析】本题第（1）题由S n﹣1＝1﹣2a n可得S n＝1﹣2a n+1，两式相减可发现数列{a n}成等比数列，则通过计算可得出通项公式，而b n＝﹣2T n﹣1＝T n﹣T n﹣1，通过整理化简，再根据等差中项的性质，可知数列{b n}成等差数列，通过计算也可得出通项公式．第（2）题先对数列{c n}的一般项化简整理后进行裂项，在求和时相消可得到前n 项和P n．解：（1）由题意，S n﹣1＝1﹣2a n，则有S n＝1﹣2a n+1，两式相减，整理得a n+1＝a n，（n≥2）．当n＝2时，S1＝a1＝＝1﹣2a2，解得a2＝＝a1．∴数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．∴a n＝，n∈N*．又∵b n＝﹣2T n﹣1＝T n﹣T n﹣1，n≥2．整理，得＝＝T n+T n﹣1，n≥2．∵b n＞0，∴T n＞0．∴＝1，n≥2．即2b n＝b n+1+b n﹣1，n≥2．根据等差中项的性质，可知数列{b n}成等差数列．∵b1＝1，b2＝2，∴d＝b2﹣b1＝2﹣1＝1．∴数列{b n}是以1为首项，1为公差的等差数列．∴b n＝n，n∈N*．（2）由（1），得c n＝＝•＝﹣，根据累加法，可得：P n＝c1+c2+…+c n＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝1﹣．20．（16分）设函数f（x）＝lnx﹣ax，a∈R，a≠0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）＝0有两个零点x1，x2（x1＜x2）．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）求证：x1•x2随着的增大而增大．【分析】（1）结合导数与单调性的关系，对a进行分类讨论，结合导数的符号可判断函数的单调性，（2）（Ⅰ）结合导数与单调性的关系及零点判定定理可求a的范围，（Ⅱ）由题意构造函数，然后转化为证明函数的单调性．解：（1）∵f（x）＝lnx﹣ax，∴f′（x）＝﹣a，当a＜0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，函数f（x）在（0，+∞）单调递增，当a＞0时，由f′（x）＞0可得，x，此时f（x）单调递增，由f′（x）＜0可得，x，此时函数单调递减，综上可得，a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），当a＞0时，函数的递增区间（0，），单调递减区间为（）；（2）（Ⅰ）由（1）可知，a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），最多一个零点，不符合题意，当a＞0时，若使得f（x）有两个零点，则f（x）max＝f（）＝﹣lna﹣1＞0，解可得0＜a＜，∵f（1）＝﹣a＜0，且1，∴存在x1使得f（x1）＝0，又因为f（）＝﹣2lna﹣，设g（a）＝﹣2lna﹣，a，则g′（a）＝＞0，故g（a）单调递增，所以g（a）＝2﹣e＜0，即f（）＜0，∵，所以存在使得f（x2）＝0，综上可得，a，（Ⅱ）由题意可得，lnx1﹣ax1＝lnx2﹣ax0＝0，∴，∵x1＜x2，∴＞1，令t＝＞1，则x2＝tx1，∴＝，解可得，lnx1＝，∴lnx2＝lnt+lnx1＝，所以ln（x1x2）＝，设h（t）＝，t＞1，则h′（t）＝，令H（t）＝t﹣﹣2lnt，t．＞1，则H′（t）＝1+＝＞0，∴H（t）单调递增，H（t）＞H（1）＝0，则h′（t）＞0，故h（t）单调递增，即ln（x1x2）随着＝t的增大而增大，所以x1•x2随着的增大而增大．【选做题】本题包括A，B两小题，每小题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知a，b∈R，矩阵A＝，若矩阵A属于特征值5的一个特征向量为，点P （﹣2，1）在A对应的变换作用下得到点P′（﹣1，2），求矩阵A．【分析】推导出＝5＝，且＝，由此能求出矩阵A．解：∵a，b∈R，矩阵A＝，矩阵A属于特征值5的一个特征向量为，点P（﹣2，1）在A对应的变换作用下得到点P′（﹣1，2），∴＝5＝，且＝，∴，解得，∴矩阵A＝．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C1：，（其中θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，设曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求AB的长．【分析】首先把方程进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：曲线C2的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为：．曲线C1：，（其中θ为参数），转换为直角坐标方程为x2+y2＝16．所以圆心（0，0）到直线的距离d＝．所以AB＝2＝＝4．【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．23．如图，矩形ABCD所在的平面垂直于平面AEB，O为AB的中点，∠AEB＝90°，∠EAB＝30°，AB＝，AD＝3．（1）求异面直线OC与DE所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣DE﹣C的正弦值．【分析】（1）以O为原点，在平面ABE中过O作AB的垂线为x轴，OB为y轴，过O作AD的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线OC与DE所成角的余弦值．（2）求出平面ADE的法向量和平面DEC的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣C 的正弦值．解：（1）以O为原点，在平面ABE中过O作AB的垂线为x轴，OB为y轴，过O作AD的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，∵∠AEB＝90°，∠EAB＝30°，AB＝，AD＝3．∴BE＝，C（0，，3），D（0，﹣，3），A（0，﹣，0），E（，，0），＝（0，），＝（，，﹣3），设异面直线OC与DE所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴异面直线OC与DE所成角的余弦值为．（2）∵＝（0，0，3），＝（），＝（0，2，0），设平面ADE的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（﹣，1，0），设平面DEC的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（2，0，1），设二面角A﹣DE﹣C的平面角为θ，则|cosθ|＝＝＝，∴sinθ＝＝，∴二面角A﹣DE﹣C的正弦值为．24．对于任意的x＞1，n∈N*，用数学归纳法证明：e x﹣1＞．【分析】根据数学归纳法的证明步骤，先证明当n＝1时，不等式是成立，然后假设n＝k成立，即得一个不等式成立，证明当n＝k+1时，也成立即可，从而证明不等式．【解答】证明：①当n＝1时，设f（x）＝e x﹣1﹣x，x∈（1，+∞），则f'（x）＝e x﹣1﹣1＞0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）＝0，即e x﹣1＞x，∴当n＝1时，原命题成立；②假设当n＝k时，对任意x∈（1，+∞），当n＝k+1时，设，则，∴g（x）在（1，+∞）上单调递增，∴，∴，由①②知，e x﹣1＞成立．。
江苏省无锡市天一中2018-2019学年高三11月月考数学试卷
㈠ 䦸 吠和
㈠䦸 吠 t 䦸 ㈮ t 存在相同的极值点，
而
在
㈠
䦸㈮处有极大值，
吠
所以
䦸㈮ 吠
㈠
，所以
ㄼ
㈠ ㄼ，故答案为 3.
【点睛】
本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于中档题.求函数 极值的步骤： (1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解方程 ㈠ h㤰求出函数定义域内的所有根；(4) 列 表检查 在 ㈠ h 的根 h左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么 在 h处取 极大值，如果左负右正（左减右增），那么 在 h处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在 该处即是极值也是最值.
10．
3
【解析】试题分析：由 tanxtany 2 可得 sinxsiny 2 .又因为 sinxsiny 1 所以 cosxcosy 1 .
cosxcosy
3
6
又因为 cos x y cosxcosy sinxsiny 1 .又因为 0 y x 所以 0 x y .所以
㈠ 吠 t 是偶函数，则实数 ㈠______．
吠
6．已知 t h，函数
㈠ 䦸 吠和
㈠䦸 吠 t 䦸 ㈮ t 存在相同的极值点，则
㈠________．
7．已知函数 ㈠ 吠sin t
t hh.若 ㄼ ㈠ h㤰 吠 ㈠ 吠，则实数 的最小值为______.
8．已知函数 ㈠ sin
h㤰 与函数
㈠ ㈮ tan 的图象交于 㤰〳㤰 三点，则 〳 的面
㤰
h 有零点，且所有零点的和不 th
14．设函数 h ㈠ 䦸 h 䦸 䦸 则 的取值范围是____．
t 吠 t ㈮（ h）．若存在 h 䦸 ㈮ ， ㈮ ，使 hh h，
2019届江苏省无锡市天一中学高三下学期4月第四次诊断性测试数学试题(解析版)
2019届江苏省无锡市天一中学高三下学期4月第四次诊断性测试数学试题一、填空题1．已知集合{}0A x x =≥，{}1B x x =<，则A B =U _______. 【答案】(,)-∞+∞【解析】利用集合并集的定义即可求出结果. 【详解】解: 集合{}0A x x =≥,{}1B x x =<，则A B =U (,)-∞+∞. 故答案为：(,)-∞+∞. 【点睛】本题考查集合并集的定义和运算，属于基础题. 2．复数21ii +-（i 为虚数单位）的模为_______.【解析】由复数代数形式的乘除运算化简，再利用模的公式计算即可． 【详解】∵()()()()2121313111222i i i i i i i i ++++===+-+-∴复数21i i +-= ．． 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，属于基础题． 3．下图是一个算法流程图，则输出S 的值是_______．【答案】25【解析】按照程序框图的流程，写出前几次循环的结果，并判断每个结果是否满足判断框中的条件，直到不满足条件，输出结论．【详解】S的初值为0，n的初值为1，满足进行循环的条件，经过第一次循环得到的结果为S＝1，n＝3，满足进行循环的条件，经过第二次循环得到的结果为S＝4，n＝5，满足进行循环的条件，经过第三次循环得到的结果为S＝9，n＝7，满足进行循环的条件，经过第四次循环得到的结果为S＝16，n＝9，满足进行循环的条件，经过第五次循环得到的结果为S＝25，n＝11，不满足进行循环的条件，退出循环，故输出的S值为25故答案为：25【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4．为了解学生在某次比赛中的整体发挥情况，随机抽测了其中100名同学的成绩，所60,100上，其频率分布直方图如图所示.则在抽测的100名同学中，得数据均在区间[]成绩不低于85分的学生数为_____.【答案】18【解析】根据频率分布直方图计算出成绩不低于85分的学生所占的频率，从而求出在抽测的100名同学中，成绩不低于85分的学生数.【详解】解：成绩不低于85分的学生所占的频率为：()0.024+0.008+0.0045=0.18⨯则在抽测的100名同学中，成绩不低于85分的学生数为1000.18=18⨯.故答案为：18.【点睛】本题考查频率分布直方图的基础知识，考查学生的运算求解能力，属于基础题5．某巡航队有137号，23号等五艘海监船可选派，现计划选派两艘去钓鱼岛巡航执法，其中137号，23号至少有一艘去执法的概率为_______.【答案】7 10【解析】首先计算出从五艘选两艘的选法，然后计算137号和23号都不去的选法，最后利用间接法计算所求.【详解】解：从五艘船中选两艘船去执法的选法为：25C=10.137和23号都不被选上的方法种数为23C=3种，所以137号，23号至少有一艘去执法的概率为37 1-= 1010.故答案为：7 10.【点睛】本题考查组合的简单应用，考查组合数的计算，属于基础题.6．已知双曲线22142x y -=一条渐近线上的一点P 到双曲线中心的距离为3，则点P 到y 轴的距离为_______. 【答案】6【解析】设P 点的坐标为(),P x y ，根据双曲线渐近线方程可知点P 坐标满足22y x=±，由P 到原点的距离可知,x y 满足222392x y x +==，进而可求出6x =，从而求出点P 到y 轴的距离.【详解】解：设P 点的坐标为(),P x y由题意可知，双曲线的渐近线方程为：22y x =±. 因为P 到双曲线中心的距离为3，则有229x y +=，即222392x y x +==解得：6x =，所以点P 到y 轴的距离为6.故答案为：6. 【点睛】本题考查已知双曲线方程求渐近线方程，考查两点距离公式，考查学生问题的转化能力，属于基础题. 7．已知等比数列的前项和为，若，则的值是 ．【答案】-2 【解析】试题分析：，【考点】等比数列性质及求和公式8．ABC ∆中，“角,,A B C 成等差数列”是“sin 3sin )cos C A A B =+”成立的的 条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一) 【答案】充分不必要【解析】【详解】试题分析：条件“ABC ∆中角,,A B C 成等差数列”⇔3B π=；结论“sin sin )cos C A A B =+”⇔sin()cos sin cos A B A B A B +=+⇔cos sin cos A B A B =⇔cos 0A =或sin B B =⇔2A π=或3B π=．所以条件是结论的充分不必要条件．9．若关于x 的不等式1log (2)log (6)log a a m x x a-+-≤（其中1a >）恒成立，则实数m 的取值范围是__________．【答案】[4，)+∞【解析】不等式化为不等式(2)(6)m x x --…恒成立，其中()2,6x ∈；设()(2)(6)f x x x =--，求出()f x 的最大值，即可得出m 的取值范围．【详解】关于x 的不等式1log (2)log (6)log a a m x x a-+-„（其中1)a >恒成立， 即不等式log (2)(6)log a a x x m --„在()2,6x ∈上恒成立； 即不等式(2)(6)m x x --…恒成立，其中()2,6x ∈； 设2()(2)(6)812f x x x x x =--=-+-，其中()2,6x ∈， 则函数()f x 的最大值为f （4）4=； 所以实数m 的取值范围是[4，)+∞． 故答案为：[4，)+∞． 【点睛】本题考查了对数函数的性质与应用问题，也考查了转化思想与应用问题，是基础题． 10．设,a b 是两条不同的直线, ,αβ是两个不同的平面,则下列四个命题①若,,a b a b αβ⊥⊥⊥则αβ⊥，②若,a b a α⊥⊥则//b α，③ 若,a βαβ⊥⊥，则//a α④若//,a a αβ⊥，则αβ⊥其中正确的命题序号是__________. 【答案】①④【解析】①a b ⊥r r，不妨设,a b 相交（如异面平移到相交位置），确定一个平面γ，设平面γ与平面β的交线为c ，则由b β⊥，得b c ⊥，从而//a c ，于是有c α⊥，所以βα⊥，①正确；②若,a b a α⊥⊥，b 可能在α内，②错；③若,a βαβ⊥⊥，a 可能在α内，③错；④若//a α，则由线面平行的性质定理，在α内有直线b 与a 平行，又a β⊥，则b β⊥，从而αβ⊥，④正确．故答案为①④． 11．设α，β∈(0，π)，且sin(α＋β)＝513，tan 2α＝12，则cosβ的值为________． 【答案】1665－【解析】【详解】试题分析：因为22tan42tan 031tan2ααα==>-，所以0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，43sin ,cos 55αα==，因为sin sin()0ααβ>+>而,(0,)αβπ∈，所以,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 又5sin()13αβ+=，所以12cos()13αβ+=-， 因此16cos cos[()]cos()cos sin()sin 65βαββαββαββ=+-=+++=-， 答案为1665-. 【考点】和（差）角公式12．已知4AB =，点,M N 是以AB 为直径的半圆上的任意两点，且2MN =，1AM BN ⋅=u u u u r u u u r ，则AB NM ⋅u u u r u u u u r= _________.【答案】6-【解析】由2MN =可得2ON OM ⋅=u u u r u u u u r，又由()()1AM BN OM OA ON OB ⋅=-⋅-=u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ，可知3OM OB OA ON ⋅+⋅=-u u u u r u u u r u u u r u u u r ，即3OB NM ⋅=-u u u r u u u u r，从而求出结果. 【详解】解：设点O 为半圆的圆心，因为2MN =，4AB =，所以圆的半径为2.Q MN ON OM =-u u u u r u u u r u u u u r，∴ 2222()24424MN ON OM ON OM ON OM ON OM =-=+-⋅=+-⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u ru u u u r ，则2ON OM ⋅=u u u r u u u u r()()AM BN OM OA ON OB OM ON OM OB OA ON OA OB ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+⋅u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r=241OM OB OA ON -⋅-⋅-=u u u u r u u u r u u u r u u u r， 3OM OB OA ON ∴⋅+⋅=-u u u u r u u u r u u u r u u u rOB OA =-u Q u u r u u u r ，()3OM OB OA ON OM OB OB ON OB OM ON OB NM ⋅+⋅=⋅-⋅=⋅-=⋅=-∴u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r，26AB NM OB NM ⋅=⋅=-u u u r u u u u r u u u r u u u u r故答案为：-6. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积运算，考查学生对问题的转化能力和计算能力，属于中档题.13．已知函数211,0()62ln ,0a x x f x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩，若关于x 的方程()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解，则实数a 的取值范围是_______. 【答案】1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由题意可()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解等价于21162a y x x =++关于原点对称的函数21162a y x x =-+-与函数()()ln 0f x x x x =->的图象有两个交点，运用参变分离和构造函数，进而借助导数分析单调性与极值，画出函数图象，即可得到所求范围. 【详解】已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数211,0()62ln ,0a x x f x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪->⎩ 若()()0f x f x +-=在定义域上有四个不同的解等价于21162a y x x =++关于原点对称的函数21162a y x x =-+-与函数f (x )=lnx -x (x >0)的图象有两个交点，联立可得211ln 062a x x x x -++=-有两个解，即2311ln 62a x x x x x =-++ 可设()2311ln 62g x x x x x x =-++，则()21ln 2232g x x x x '=-++，进而()120g x x x''=+-≥且不恒为零，可得()g x '在()0,∞+单调递增.由()10g '=可得01x <<时，()0,()g x g x '<单调递减；1x >时，()0,()'>g x g x 单调递增，即()g x 在1x =处取得极小值且为13- 作出()y g x =的图象，可得103-<<a 时，211ln 062a x x x x -++=-有两个解. 故答案为：1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用利用导数解决方程的根的问题，还考查了等价转化思想与函数对称性的应用，属于难题.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 满足：圆心在x 轴上，且与圆22(2)1x y +-=相外切.设圆C 与x 轴的交点为M ，N ，若圆心C 在x 轴上运动时，在y 轴正半轴上总存在定点P ，使得MPN ∠为定值，则点P 的纵坐标为_________.【解析】设C （c ，0），P （0，p ），（p ＞0），圆C 半径为r ，用c 、p 、r 表示∠OPM ，∠OPN 的正切值，再利用两角差的正切公式表示∠MPN 的正切值，分析该值为定值的条件可确定P 的坐标． 【详解】 解：如图，设C （c ，0），P （0，p ），（p ＞0）圆C 半径为r ， 则OM ＝c ﹣r ，ON ＝c +r ，OP ＝p ， ∴tan ∠OPM ＝rOM OP c p=-，tan ∠OPN ＝ON c rOP p+=， ∴tan ∠MPN ＝tan （∠OPN ﹣∠OPM ）＝1c r c r p pc r c r p p+--+-+⨯＝2222rpp c r +-，由两圆外切可知，r +1＝24c +， 得c 2＝r 2+2r ﹣3， ∴tan ∠MPN ＝22rpp 2r 3+-＝2232p p r-+，∵上式为与r 无关的定值， ∴p 2﹣3＝0， ∴p ＝3． 故答案为：3【点睛】此题考查了两圆相切，三角公式的综合运用等，难度较大．二、解答题15．三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，面积为S .（1）若23AB AC S ⋅≤u u u r u u u r，求A 的取值范围；（2）若tan :tan :tan 1:2:3A B C =，且1c =，求b .【答案】（1）,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭;（2）3.【解析】（1）用平面向量的数量积公式和三角形的面积公式将AB AC=⋅u u u r u u u r转化为cos sin bc A A ≤，从而转化为2sin()06A π-≥，结合三角形内角的范围，可求出A 的取值范围. （2）设tan A m =，根据两角和的正切可以计算tan 2B =和tan 3C =，从而求出sin ,B sin C ，然后利用正弦定理可以求出b . 【详解】（1）由题意知，1cos ,sin 2AB AC bc A S bc A ⋅==u u u r u u u r ，所以cos sin bc A A ≤，即cos A A ≤， (或也可根据cos A 的正负，转化为关于tan A 的不等式).cos 0,2sin()06A A π-≥-≥.因为A 为三角形内角，则5,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以5066A ππ≤-≤，从而,6A ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. （2）设tan ,tan 2,tan 3A m B m C m ===，由题意知，0m >. 因为tan tan tan tan(A )1tan tan A B C B A B +=-+=--⋅，则23312mm m =--，解得1m =，则tan 2,tan 3B C ==，从而sin B =sin C =，所以sin =sin b B c C ，则3b =. 【点睛】本题考查平面向量数量积公式和三角形面积公式，考查两角和的正切，考查正弦定理解三角形，考查学生的转化能力，是解三角形的综合题，属于中档题. 16．在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点.（1）求证：1A C //面1AB D ；（2）设M 是棱1CC 上的点，且满足1BM B D ⊥.求证：面1AB D ⊥面ABM . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）记1A B 与1B A 交于O ，先证明OD //1A C ，根据线面平行的判定定理即可证明A 1C ∥平面AB 1D ；（2）先证明BM ⊥面1AB D ，即可根据面面垂直的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）设11A B AB O ⋂=，连OD .因为四边形11AA B B 是矩形，∴O 是1A B 的中点. 又D 是BC 的中点，∴1A C //OD .又1AC ⊄面1AB D ，OD ⊂面1AB D ， ∴1A C //面1AB D .（2）因为ABC ∆是正三角形，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥.∵平面ABC ⊥面11BB C C ，又平面ABC ⊥面11BB C C BC =，AD ⊂面ABC .∴AD ⊥面11BB C C ，∵BM ⊂面11BB C C ，∴AD BM ⊥. 又∵1BM B D ⊥，1AD B D D ⋂=，AD ，1B D ⊂面1AB D ， ∴BM ⊥面1AB D ，又BM ⊂面ABM ， ∴面1AB D ⊥面ABM . 【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.17．某校在圆心角为直角，半径为1km 的扇形区域内进行野外生存训练.如图所示，在相距1km 的A ，B 两个位置分别为300,100名学生，在道路OB 上设置集合地点D ，要求所有学生沿最短路径到D 点集合，记所有学生进行的总路程为()S km .（1）设ADO θ∠=，写出S 关于θ的函数表达式； （2）当S 最小时，集合地点D 离点A 多远？ 【答案】（1）3cos 50350sin S θθ-=+，2,33ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）集合地点D 离出发点A 的距离为368时，总路程最短，其最短总路程为100650km . 【解析】（1）先通过正弦定理将AD ，BD 用θ的三角函数表示出来，则S 300AD 100BD =+，代入即可得到S 关于θ的函数表达式．（2）令3cos sin y θθ-=,对y 求导有23cos 1sin y θθ-+'=求得y 的最小值当且仅当1cos 3θ=时，y 有极小值也是最小值为22AD ． 【详解】（1）因为在OAD △中，ADO θ∠=，1OA =，所以由正弦定理可知1sin sinsin 33AD OD ππθθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 解得3AD =，sin 3sin OD πθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，且2,33ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故S 300AD 100BD =+ sin 33310012sin sin πθθθ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦3cos 50350sin θθ-=⋅+，2,33ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）令3cos sin y θθ-=，则有23cos 1sin y θθ-+'=，令0y '=得1cos 3θ= 记01cos 3θ=，02,33ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，列表得 θ0,3πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭0θ02,3πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭y '-0 +y ↘极小值↗可知，当且仅当1cos 3θ=时，y 有极小值也是最小值为22， 当36AD km 8=时，此时总路程有最小值650km . 答：当集合点D 离出发点A 的距离为36km 8时，总路程最短，其最短总路程为650km . 【点睛】此题考查实际问题中的解三角形，一般取值范围的题目都是将边长转化为三角函数，通过三角函数再求范围即可，属于一般性题目．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22 22:1(0)x yC a ba b+=>>过点(2,22)，A，B分别为椭圆C的右､下顶点，且2OA OB=.（1）求椭圆C的方程；（2）设点P在椭圆C内，满足直线PA，PB的斜率乘积为14-，且直线PA，PB分别交椭圆C于点M，N.①若M，N关于y轴对称，求直线PA的斜率；②若PMNV和PAB△的面积分别为12,S S，求12SS.【答案】（1）221369x y+=.（2）①122，②1.【解析】（1）由2OA OB=知，2a b=，又椭圆C过点(2,22)，所以将点代入椭圆方程求解即可. （2）①设直线PA的斜率为k，则直线PA的方程为(6)y k x=-，与椭圆联立可求出M点坐标；又直线PA，PB的斜率乘积为14-，可知直线PB的方程134y xk=--，从而可求出N点坐标，利用M，N关于y轴对称，列出等式M Nx x=，从而解出k的值. （2）②利用三角形面积公式，将12SS转化为12()()||()()P M N PA P P Bx x x xSS x x x x-⋅-=-⋅-，代入点坐标计算可求出结果.【详解】（1）由2OA OB=知，2a b=，又椭圆C过点(2,22)，所以22222(22)1a b+=，解得6,3.ab=⎧⎨=⎩所以椭圆C的方程为221369x y+=.（2）设直线PA 的斜率为k ，则直线PA 的方程为(6)y k x =-.联立22(6),436,y k x x y =-⎧⎨+=⎩ 消去y 并整理得，2222(14)48144360k x k x k +-+-=，解得16x =，22224614k x k-=+，所以22224612(,)1414k k M k k --++. 因为直线PA ，PB 的斜率乘积为14-，所以直线PB 的方程134y x k =--. 联立2213,4436,y x kx y ⎧=--⎪⎨⎪+=⎩ 消去y 并整理得，22(14)240k x kx ++=， 解得10x =，222414k x k =-+，所以22224312(,)1414k k N k k--++. ①因为M ，N 关于y 轴对称，所以2222462401414k kk k --=++，即24410k k --=，解得12k =当12k =3(1(3,)2P -在椭圆C 外，不满足题意.所以直线PA的斜率为12-. ②联立(6),13,4y k x y x k =-⎧⎪⎨=--⎪⎩解得22241214P k k x k -=+. 所以121sin ()()2||1()()sin 2P M N PA P PB PM PN MPN x x x x S S x x x x PA PB APB ⋅∠-⋅-==-⋅-⋅∠ 222222222222412246242412()()14141414||24122412(6)(0)1414k k k k k k k k k k k k k k k k------++++=----++ 22(126)(2412)||(126)(2412)k k k k k k -+--=+-22(21)(2)||(21)(2)k k k k k k -+--=+-(21)(21)||1(21)(21)k k k k -+--==+-.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查设而要求法求点的坐标，考查三角形面积公式，考查了学生的转化能力和计算能力，属于难题.19．已知函数()ln f x a x c =-(其中,,a b c 是常数，且,,a b c ∈R )，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1122b b y x ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）求,a c 的值；（2）若存在20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦(其中e 是自然对数的底)，使得()00f x x -＞成立，求b 的取值范围；（3）设()()g x f x mx =+，若对任意[)4,b ∈+∞，均存在t ∈R ，使得方程()g x t =有三个不同的实数解，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1,0a c ==.（2）2b e e+＜.（3）()0,1【解析】（1）求出()y f x =在1x =处的导数，利用斜率和函数值建立等式关系，则可求出,a c 的值. （2）由条件可知，0b +＞在2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦上有解，设()h x b =，即()max 0h x ＞，求导求函数的最值，从而求出b 的取值范围. （3）通过求导分析()g x 的单调性和最值，分类讨论求出m 的取值范围. 【详解】 （1）()'a f x x =-，由题知()1f b c b =-+=-，且()'1122b b f a =-=-， 解得1,0ac ==；（2）由（1）知()ln f x x =-20,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使得()00f x x -＞，0b ＞，设()h x b =，则需()max 0h x ＞， ()'h x =()2ln H x x x =+-，则()1'10H x x=-＞在2,e e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，即()H x 单调递增，又因为()10H e e =+＞，所以()0H x ＞在2,e e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，即()h x 单调递增，所以()()2max 2h x h e e b e==+-， 令()max 20h x e b e =+-＞，解得2b e e+＜； （3）()ln g x x mx =-，()22222'22mmx g x x x--+==，①当0m ≤时，对任意[)4,b ∈+∞，易知方程2220m-=均仅有唯一解0x x =，且当()00,x x ∈时，()'0g x ＞，()g x 单调递增， 当()0,x x ∈+∞时，()'0g x ＜，()g x 单调递减，故方程()g x t =最多有两个不同的实数解，所以0m ≤不符合题意；② 当0m ＞时，若2160b m ∆=-≤，则()'0g x ≥恒成立，()g x 单调递增， 方程()g x t =最多只有一个实数解，不符题意，所以对任意[)4,b ∈+∞，应有2160b m ∆=-＞，即()0,1m ∈，此时，易知方程2220m -=在()0,∞+上有两个不同的实数根12,x x ，因为()22'10m bg +-=＜，不妨取12x x ＜，则有11x ＜，列表如下：由表可知，()g x 的极大值为()111ln g x x mx =-，因为1220mx -=，所以()11111ln ln 20g x x mx x mx =-=--＜，又因为221b m ＞，且222222'02b mb m g m b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭＞，所以222b x m ＞，因为()22122ln 0b b g x m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭＞＞g ，所以必然存在()()121max ,g ,g 2x t g x x ⎛⎫⎧⎫⎛⎫∈⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎩⎭⎝⎭， 使得方程()g x t =在区间()2111222,,,,,2x b x x x x m ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上均有一个实数解，符合题意；综上所述，实数m 的取值范围为()0,1. 【点睛】本题考查利用导数求函数的切线，考查存在性问题的转化，考查分类讨论求函数的最值，考查学生问题的转化能力和计算能力，属于难题.20．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，且11a =，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S .若1222n n n S n +=--对任意的*n N ∈恒成立.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足,,,.n n n b n c a n ⎧=⎨⎩是奇数是偶数问：是否存在正整数m ，使得1187m m m c c c ++=，若存在求出m 的值，若不存在，说明理由；（3）若存在各项均为正整数､公差为d '的无穷等差数列{}n d ，满足152018d a =，且存在正整数k ，使得115,,k d d d 成等比数列，求d '的所有可能的值.【答案】（1）n a n =，2nn b =.（2）存在，m 的值为5和1862 .（3）0d '=或144d '=.【解析】（1）由题意可知222n n n S +=-，从而有11122n n n S --+=-，做差得到(2)2n n n a nn b =≥，代入基本量计算可求出数列{}n a ，{}n b 的通项公式. （2）讨论m 为奇数和偶数两种情况，分别代入求解计算. （3）设{}n d 的公差为d '，则0d '≥且d Z '∈，若1520182018d a ==，则0d '=肯定成立，只需讨论0d '>时的情况即可.【详解】 （1）当1n =时，1121a b =，由11a =，得12b =； 由1222n n n S n +=--得222n n n S +=-①，当2n ≥时有：11122n n n S --+=- ②， 由②-①得(2)2n nn a nn b =≥.分别令2,3n =可得：2212a b =，3338a b =.设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ， 则211,22123.28d q d q+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 解得1,2,d q =⎧⎨=⎩或1,32.3d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 经检验1,2,d q =⎧⎨=⎩符合条件，1,32.3d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩不合题意，舍去.故n a n =，2nn b =.（2）2,,,.n n n c n n ⎧=⎨⎩是奇数是偶数 当m 是奇数时，由1187m m m c c c ++=，可得2(1)187mm m +=+，即18721m m m +=+，所以186211mm =++，解得5m =， 考虑到1862,11mm ++在正整数集上分别单调递增和递减，故不存在其他解，即5m =是惟一解.当m 是偶数时，由1187m m m c c c ++=可得：118722m m m ++⋅=， 即1862m =，1862是偶数符合条件. 综上m 的值为5和1862.（3）由（1）1520182018d a ==，设{}n d 的公差为d '，则0d '≥且d Z '∈， 当0d '=时，显然成立；当0d '>时，151142018,d d d '=+=所以1201814d d '=-，15(15)2018(15)k d d k d k d ''=+-=+-，由2151k d d d =⋅，得22018(201814)[2018(15)]d k d ''=-+-，即222201820182018(15)14201814(15)k d d k d '''=+--⨯--，所以22018(15)14201814(15)k d d k d '''-=⨯+-， 因为0d '>，所以2018(15)14201814(15)k k d '-=⨯+-， 即2018201815142018141415k kd d ''-⨯=⨯+-⨯，所以(201814)1420182018151415d k d ''-=⨯+⨯-⨯ 故1420182018151415201814d k d '⨯+⨯-⨯='-15(201814)1420187210091520181410097d d d '-+⨯⨯⨯==+''--，由0d '>，得100971009d '-<，从而要使k *∈N ，只要100971,2,7,14d '-=， 又100971,144d d d *'''∈∴-==N ， 综上，0144d d ''==或. 【点睛】本题考查已知前n 项和求数列的通项，考查用基本量求数列的通项公式，考查分类讨论的思想，同时涉及数的整除问题，属于难题.21．已知矩阵2111,3124-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A B =，若点M 在矩阵AB 对应的变换下得到点()'6,1M -，求M 点坐标.【答案】()0,1【解析】首先根据矩阵的二阶行列式计算出矩阵AB ，然后再根据矩阵的线性运算可求出M 点坐标. 【详解】211106312451AB -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦，设(),M x y ，则06665151x y y x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以6651y x y =⎧⎨--=-⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，所以M 点坐标为()0,1.【点睛】本题考查矩阵的二阶行列式运算和矩阵的线性代数运算，属于基础题.22．如图，在菱形ABCD 中，2,AB =60,BAD ∠=︒沿对角线BD 将△ABD 折起，使,A C若,P Q 分别为线段,BD CA 上的动点（1）求线段PQ 长度的最小值；（2）当线段PQ 长度最小时，求直线PQ 与平面ACD 所成角的正弦值【答案】（1）62；（2）105． 【解析】试题分析：取BD 中点E ，连结AE ，CE ，则AE BD ⊥，CE BD ⊥，3AE CE ==因为6AC =，所以222AE CE AC +=，所以ACE V 为直角三角形所以AE CE ⊥，所以AE ⊥平面BCD ．以,,EB EC EA 分别为,,x y z 轴（1）设出点P 的坐标，由空间向量计算求出PQ ，由二次函数性质求最小值即可． （2）由空间向量求出平面ACD 的法向量与向量PQ uuu r，即可求之．试题解析：取BD 中点E ，连结AE ，CE ，则AE BD ⊥， CE BD ⊥，3AE CE ==，因为6AC =，所以222AE CE AC +=，所以ACE V 为直角三角形所以AE CE ⊥，所以AE ⊥平面BCD ． 2分以,,EB EC EA 分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()()(1,0,0,,B C A ， 3分 （1）设(),0,0,Pa ()=0,CQ CA λ=u u u r u u u r ，则()()0,PQ PC CQ a =+=-+u u u r u u u r u u u r()a =-PQ ==u u u r= 5分 当10,2a λ==时，PQ 6分 （2）由（1）知PQ ⎛= ⎝⎭u u u r ，设平面AE ⊥的一个法向量为(),,n x y z r =， 由n r BCD ，n r DA ⊥u u u r 得()(()(),,0{,,0x y z x y z ⋅=⋅=，化简得0{0x x +=+=，取n r )1,1=--，设PQ 与平面AE ⊥所成角为θ，则sin cos ,PQ n θ===u u u r r ． 故直线PQ 与平面ACD 所成角的正弦值为5． 10分 【考点】空间向量的应用．23．已知*0()()n k k n n k f x Cx n N ==∈∑.（1）若456()()2()3()g x f x f x f x =++，求()g x 中含4x 项的系数；（2）求：012112323n m m m m n C C C nC -++++++++L .【答案】（1）56.（2）21(2)1[]3m m n m n C m ++++++ 【解析】（1）根据题意将()n f x 展开，可得0011()(1)n n n n n n n f x C x C x C x x =+++=+L ，代入()g x ，求出()g x 中的4x 系数的表达式，利用组合数公式可计算结果. （2）利用组合数的性质，将所求转化为111112323m m m m m m m m n C C C nC ++++++++++++L ，根据二项式定理展开式可以转化为求12()(1)2(1)(1)m m m n h x x x n x +++=++++++L 中含1m x +项的系数，用错位相减法计算求得结果.【详解】（1）00110()(1)nk k n n nn n n n n k f x C x C x C x C x x ===+++=+∑L 456456()()2()3()(1)2(1)3(1)g x f x f x f x x x x =++=+++++()g x 中4x 项的系数为4444562356C C C ++=；（2） 012111111231232323n m m m m m m m m n m m m m n C C C nC C C C nC -++++++++++++++++=++++L L设12()(1)2(1)(1)m m m n h x x x n x +++=++++++L ①则函数()h x 中含1m x +项的系数为111112323m m m m m m m m n C C C nC ++++++++++++L由错位相减法得：1231()(1)(1)(1)(1)(1)m m m m n m n xh x x x x x n x ++++++-=++++++++-+L ②11(1)1(1)()(1)1(1)m n m n x x xh x n x x +++⎡⎤+-+⎣⎦-=-+-+2111()(1)(1)(1)m m n m n x h x x x n x +++++=+-+++，()h x 中含1m x +项的系数，即是等式左边含3m x +项的系数，等式右边含3m x +项的系数为3211m m m n m n C nC ++++++-+3211m m m n m n C nC ++++++-+21(1)!(3)!(2)!m m n m n nC m n +++++=-++-221113m m m n m n n C nC m ++++++-=-++ 21(3)(1)3m m n m n n C m ++++--=+21(2)13m m n m n C m +++++=+ 所以012121231(2)123[]3n m m m m m n m n m n C C C nC C m -+++++++++++++=+L 【点睛】 本题考查组合数的公式，考查二项式定理的应用，考查错位相减法求和，考查的方法比较新颖，比较综合，属于难题.24．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为21x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，直线l 与抛物线()220y px p =＞交于,A B两点，若AB ≤p 的取值范围.【答案】02p ≤＜【解析】【详解】将直线的参数方程21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入()220y px p =＞，得2122p ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()245200t t p ++-=，解得1,2x =，所以12AB xx =-=AB ≤，解得02p ≤＜.。
2019届江苏省等四校高三联考数学试卷【含答案及解析】
2019届江苏省等四校高三联考数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 设集合，，，则实数的值为________．2. 设复数满足（是虚数单位），则 ________．3. 下图是一个算法流程图，则输出的的值是________．4. 在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为～，试估计2000辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有____________________________ 辆．5. 将函数的图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，若函数的图象过原点，则 _________．6. 已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙胜的概率为，则甲胜的概率为________．7. 设偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是_______．8. 在等比数列中，已知，，且公比为整数，则________．9. 如图，正四棱锥的底面一边长为，侧面积为，则它的体积为________．10. 已知双曲线的渐近线与圆没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为_________．11. 若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是________．12. 已知外接圆的半径为2，且，，则________．13. 已知为正实数，则的最小值为________．14. 设对任意恒成立，其中是整数，则的取值的集合为________．二、解答题15. 在中，角所对的边分别为，且．（1）求的大小；（2）设的平分线交于，求的值．三、填空题16. 如图，在四棱锥中，，且，，点在棱上，且．（1）求证:平面平面；（2）求证: 平面．四、解答题17. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率，且点在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）若点都在椭圆上，且中点在线段（不包括端点）上．①求直线的斜率；②求面积的最大值．18. 如图，是海岸线OM，ON的两个码头，为海中一小岛，在水上旅游线上，测得到海岸线的距离分别为，．（1）求水上旅游线的长；（2）海中，且处的某试验产生的强水波圆，生成小时时的半径为．若与此同时，一游轮以的速度自码头开往码头，试研究强水波是否波及游轮的航行?19. 设，函数，其中是自然对数的底数，曲线在点处的切线方程为．（1）求实数的值；（2）求证:函数存在极小值；（3）若，使得不等式成立，求实数的取值范围．20. 正项数列: ，满足:是公差为的等差数列，是公比为2的等比数列．（1）若，求数列的所有项的和；（2）若，求的最大值；（3）是否存在正整数，满足若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21. 如图，已知圆上是弧 =弧，过点的圆的切线与的延长线交于点．（1）求证：；（2）求证：．22. 已知矩阵的一个特征值所对应的一个特征向量，求矩阵的逆矩阵．23. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线为．曲线上的任意一点的直角坐标为，求的取值范围．24. 已知关于的不等式的解集为．（1）求实数的值；（2）求的最大值．25. 某商场举行抽奖促销活动，在该商场消费的顾客按如下规则参加抽奖活动：抽奖中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽取一个，且不放回抽取），若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元．（1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，求该顾客获得奖金70元的概率；（2）若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，获奖金元。
江苏省苏锡常镇四市2019届高三第三次模拟考试数学Word版含答案
2019届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2019．5一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合A ＝{x|x<1}，B ＝{x|0<x<3}，则A∩B＝________．2. 已知复数z ＝3＋4i5i ，其中i 是虚数单位，则|z|＝________．3. 已知双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1，则其离心率为________．4. 根据如图所示的伪代码，最后输出i 的值为________． T←1 i ←2While T<6 T←2T i←i＋2 End While Print i (第4题)5. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4∶4∶3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生人数为15，则抽取的样本容量为________．6. 口装中有形状、大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4.若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之积大于6的概率为________．7. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝2a 2，则S 12S 8＝________．8. 若函数f(x)＝cos (ωx－π3)(ω>0)的图象关于直线x ＝π2对称，则ω的最小值为________．9. 已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则2a 2＋1a －2b 2＋4b的最小值为________．10. 已知偶函数f(x)的定义域为R ，且在[0，＋∞)上为增函数，则不等式f(3x)>f(x 2＋2)的解集为____________．11. 过直线l ：y ＝x －2上任意一点P 作圆C ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，当切线长最小时，△PAB 的面积为________．12. 已知点P 在曲线C ：y ＝12x 2上，曲线C 在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点．若OP⊥OQ，则点P 的纵坐标为________．13. 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，以AB 为直径在△ABC 外作半圆O ，P 为半圆弧AB 上的动点，点Q 在斜边BC 上．若AB →·AQ →＝83，则AQ →·CP →的最小值为________．14. 已知e 为自然对数的底数，函数f(x)＝e x －ax 2的图象恒在直线y ＝32ax 上方，则实数a 的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，过点P 作PD⊥AB，垂足为D ，点E ，F 分别是PD ，PC 的中点，且平面PAB⊥平面PCD.求证：(1) EF∥平面ABC ； (2) CE⊥AB.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a c ＝2－cos A sin C. (1) 求角A 的大小；(2) 若cos(B ＋π6)＝14，求cos C 的值．某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器．(1) 若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；(2) 当容器的高为多少米时，制造该容器的侧面用料最省？如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1(－2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4.过点A 1的直线交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交椭圆C 的右准线于点D.直线A 2D 与椭圆C 的另一交点为G ，直线OG 与直线A 1D 交于点H.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若HG⊥A 1D ，试求直线A 1D 的方程；(3) 如果A 1H →＝λA 1P →，试求λ的取值范围．已知函数f(x)＝x 2＋(2－a)x －aln x ，其中a∈R .(1) 如果曲线y ＝f(x)在x ＝1处的切线斜率为1，求实数a 的值； (2) 若函数f(x)的极小值不超过a2，求实数a 的最小值；(3) 对任意x 1∈[1，2]，总存在x 2∈[4，8]，使得f(x 1)＝f(x 2)成立，求实数a 的取值范围．已知数列{a n}是各项都不为0的无穷数列，对任意的n≥3，n∈N，a1a2＋a2a3＋…＋a n－1a n ＝λ(n－1)a1a n恒成立．(1) 如果1a1，1a2，1a3成等差数列，求实数λ的值；(2) 已知λ＝1.①求证：数列{1a n}是等差数列；②已知数列{a n}中，a1≠a2.数列{b n}是公比为q的等比数列，满足b1＝1a1，b2＝1a2，b3＝1a i(i∈N)．求证：q是整数，且数列{b n}中的任意一项都是数列{1a n}中的项．2019届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210a ，其逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b c 01，求A 2.B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 上两点M ，N 的极坐标分別为(2，0)，(23，π6)，求直线l 被曲线C 截得的弦长．C. (选修45：不等式选讲)已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝2，求证：a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c2a ＋b ≥1.【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点．(1) 求线段AF的中点M的轨迹方程；(2) 已知△A OB的面积是△BOF面积的3倍，求直线l的方程．23. 已知数列{a n}中，a1＝2，且a n＋1＝a2n－a n＋1对任意n∈N恒成立．求证：(1) a n＋1＝a n a n－1a n－2…a2a1＋1(n∈N)；(2) a n＋1>n n＋1(n∈N)．2019届高三模拟考试试卷(苏锡常镇)数学参考答案及评分标准1. (0，1)2. 13. 524. 85. 556. 137. 738. 239. 11 10. (－2，－1)∪(1，2) 11. 1212. 1 13. －25314. (－2e －1，0]15. 证明：在三棱锥PABC 中：(1) 因为点E ，F 分别是PD ，PC 的中点，所以EF 为△PCD 的中位线，(2分) 则有EF∥CD.(3分) 又EF平面ABC ，CD平面ABC ，所以EF∥平面ABC.(7分)(2) 因为平面PAB⊥平面PCD ，平面PAB∩平面PCD ＝PD ，AB ⊥PD ，AB 平面PAB ，所以AB⊥平面PCD.(11分) 又CE平面PCD ，所以AB⊥CE.(14分)16. 解：(1) 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，且3a c ＝2－cos Asin C，(1分) 得3sin A sin C ＝2－cos Asin C，(2分)则有3sin A ＝2－cos A ，即3sin A ＋cos A ＝2，2sin(A ＋π6)＝2， 故sin(A ＋π6)＝1.(4分)因为A∈(0，π)，则A ＋π6∈(π6，7π6)，所以A ＋π6＝π2，即A ＝π3.(6分)(2) 在△ABC 中，因为A ＝π3，则B∈(0，2π3)，B ＋π6∈(π6，5π6)，所以sin(B ＋π6)>0.因为cos(B ＋π6)＝14，所以sin(B ＋π6)＝1－cos 2（B ＋π6）＝154.(8分)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，(9分)所以cos C ＝cos(π－A －B)＝－cos(A ＋B)＝－cos(B ＋π3)(10分)＝－cos[(B ＋π6)＋π6]＝－cos(B ＋π6)cos π6＋sin(B ＋π6)sin π6＝－32×14＋12×154＝15－38.(14分) 17. 解：设圆锥形容器的底面半径为r 米，高为h 米，母线为l 米，侧面积为S 平方米，容积为V 立方米，则V ＝36π.(1) 由r ＝6，得V ＝13πr 2h ＝36π，得h ＝3，(1分)所以S ＝πrl ＝πr r 2＋h 2＝6π62＋32＝185π.(2分)又底面积为πr 2＝36π(平方米)，(3分)故该容器的表面积为(185π＋36π)＝18(2＋5)π(平方米)．(4分) 答：该容器的表面积为18(2＋5)π平方米．(5分)(2) 因为V ＝13πr 2h ＝36π，得r 2＝3×36ππh ＝108h ，其中h>0，所以S ＝πrl ＝πr r 2＋h 2＝πr 4＋r 2h 2＝π1082h 2＋108hh 2＝π1082h2＋108h ＝π108108h2＋h.(8分) 记f(h)＝108h 2＋h ，令f′(h)＝－216h 3＋1＝h 3－216h3＝0，得h ＝6.(10分) 当h∈(0，6)时，f ′(h)<0，f(h)在(0，6)上单调递减；当h∈(6，＋∞)时，f ′(h)>0，f(h)在(6，＋∞)上单调递增．(12分) 所以，当h ＝6时，f(h)最小，此时S 最小．(13分)答：当容器的高为6米时，制造容器的侧面用料最省．(14分)18. 解：(1) 由椭圆C 的左、右顶点分别为A 1(－2，0)，A 2(2，0)，右准线方程为x ＝4，得a ＝2，a 2c ＝4，故c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.(2分)所以椭圆C 的方程为x 24＋y23＝1 ①.(3分)(2) 设直线A 1D ：y ＝k(x ＋2)(k>0) ②，则与右准线x ＝4的交点D(4，6k)． 又A 2(2，0)，所以设直线A 2D ：y ＝3k(x －2)，联立①，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝3k （x －2），解得G(24k 2－21＋12k 2，－12k1＋12k2)，(5分)则直线OG 的斜率为k OG ＝－6k12k 2－1 ③.因为OG⊥A 1D ，故－6k 12k 2－1·k ＝－1.又k>0，解得k ＝66，(7分)则直线A 1D 的方程为y ＝66(x ＋2)．(8分) (3) 由(2)中③可设直线OG ：y ＝－6k12k 2－1x ，联立②，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－6k 12k 2－1x ，y ＝k （x ＋2），解得H(－24k 2＋212k 2＋5，12k12k 2＋5)．(10分) 联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x ＋2），解得P(6－8k 23＋4k 2，12k3＋4k2)．(12分)因为AH →＝λAP →，所以(x H ＋2，y H )＝λ(x P ＋2，y P )，则y H ＝λy P ， λ＝y H y P ＝f(k)＝12k 12k 2＋512k 3＋4k 2＝3＋4k 212k 2＋5＝112k 2＋9－43＋4k 2＝13－43＋4k 2.(14分) 因为f(k)在(0，＋∞)上为减函数，(15分) 所以λ∈(13，35)．(16分)19. 解：因为f(x)＝x 2＋(2－a)x －aln x ，所以f′(x)＝（x ＋1）（2x －a ）x 2.(1分) (1) 因为曲线y ＝f(x)在x ＝1处的切线斜率为1， 所以f′(1)＝2(2－a)＝1，解得a ＝32.(2分)(2) ① 当a≤0时，f ′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 故函数f(x)不存在极值．(3分) ②当a>0时，令f′(x)＝0，得x ＝a2.x (0，a 2)a 2 (a2，＋∞) f′(x) －0 ＋f(x)极小值(5分)则f(x)min ＝f(a 2)＝a －a 24－aln a 2≤a 2.因为a>0，则12－a 4－ln a2≤0.令g(a)＝12－a 4－ln a 2＝12＋ln 2－a 4－ln a ，则g′(a)＝－14－1a<0，则g(a)在(0，＋∞)上单调递减．(7分)又g(2)＝0，所以g(a)≤g(2)＝0，则a≥2，则实数a 的最小值为2.(8分) (3) 记f(x)在[1，2]上的值域为A ，在[4，8]上的值域为B ，“任意x 1∈[1，2]，总存在x 2∈[4，8]，使得f(x 1)＝f(x 2)成立”等价于“A B ”． ①当a 2≤1或a2≥8，即a≤2或a≥16时，由(2)知f(x)在[1，8]上为单调函数，不合题意；(9分)②当1<a 2≤2，即2<a≤4时，由(2)知f(x)在(0，a 2)上单调递减，在(a2，＋∞)上单调递增，故f(a 2)∈A ，但f(a2)B ，不合题意；(10分)③当2<a2≤4，即4<a≤8时，A ＝[f(2)，f(1)]，B ＝[f(4)，f(8)]，由A B ，得⎩⎪⎨⎪⎧f （2）≥f（4），f （1）≤f（8），则⎩⎪⎨⎪⎧8－2a －aln 2≥24－4a －2aln 2，3－a≤80－8a －3aln 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥162＋ln 2，a ≤777＋3ln 2.(11分) 因为0<ln 2<1，则2<2＋ln 2<3，即4<163<162＋ln 2<8.因为e>2.7，计算得e 3>24，则e 72>e 3>24，即72>ln 24＝4ln 2，即7>8ln 2，也即21>24ln 2，则777＋3ln 2－8＝21－24ln 27＋3ln 2>0，即777＋3ln 2>8.所以162＋ln 2≤a ≤8.(13分)④当4<a2<8，即8<a<16，由A B ，得f(8)≥f(1)，得a ≤777＋3ln 2<777＝11<16，则8<a≤777＋3ln 2.(15分) 综上，162＋ln 2≤a ≤777＋3ln 2.(16分)20. (1) 解：因为n≥3且n∈N *时，a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝λ(n－1)a 1a n 恒成立，所以n ＝3时，a 1a 2＋a 2a 3＝2λa 1a 3 (*)． 因为数列{a n }各项都不为0，所以(*)式两边同除以a 1a 2a 3，得2λa 2＝1a 1＋1a 3.(1分)因为1a 1，1a 2，1a 3成等差数列，则2a 2＝1a 1＋1a 3.(2分)比较得2λa 2＝2a 2，所以λ＝1.(3分)(2) 证明：① 当λ＝1，n ＝3时，a 1a 2＋a 2a 3＝2a 1a 3 (i)，整理，得1a 1＋1a 3＝2a 2，则1a 2－1a 1＝1a 3－1a 2(ii)．(4分) 当n ＝4时，a 1a 2＋a 2a 3＋a 3a 4＝3a 1a 4 (iii)． (iii)－(i)，得a 3a 4＝3a 1a 4－2a 1a 3，得1a 1＝3a 3－2a 4.又1a 1＋1a 3＝2a 2，所以1a 4－1a 3＝1a 3－1a 2 (iv)．(5分) 当n≥3时，a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＝(n －1)a 1a n ， a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n ＋a n a n ＋1＝na 1a n ＋1， 两式相减，得a n a n ＋1＝na 1a n ＋1－(n －1)a 1a n .因为a n ≠0，所以1a 1＝n a n －n －1a n ＋1，(6分)所以1a 1＝n ＋1a n ＋1－n a n ＋2，所以n a n －n －1a n ＋1＝n ＋1a n ＋1－n a n ＋2，整理，得1a n ＋1a n ＋2＝2a n ＋1，即1a n ＋2－1a n ＋1＝1a n ＋1－1a n(n≥3) (v)．(7分)由(ii)(iv)(v)，得1a n ＋2－1a n ＋1＝1a n ＋1－1a n 对任意的正整数n≥1恒成立，(8分)所以数列{1a n}成等差数列．(9分)②设数列{1a n }的公差为d ，令c n ＝1a n ，c 1＝1a 1＝c(c≠0)，则b 1＝c 1＝c ，b 2＝c 2＝c ＋d ，d ＝c 2－c 1＝b 2－b 1＝cq －c.当i ＝2时，b 3＝c 2＝b 2，从而q ＝1，b 2＝b 1，得a 1＝a 2，与已知不符．(10分)当i ＝3时，由b 3＝c 3，cq 2＝c ＋2d ＝c ＋2c(q －1)，得q 2＝1＋2(q －1)， 得q ＝1，与已知不符．(11分)当i ＝1时，由b 3＝c 1，cq 2＝c ，得q 2＝1，则q ＝－1(上面已证q≠1)为整数． 数列{b n }为c ，－c ，c ，…；在数列{c n }中，c 1＝c ，c 2＝－c ，公差d ＝－2c. 数列{b n }每一项都是{c n }中的项(c ＝c 1，－c ＝c 2)．(12分)当i≥4时，由b 3＝c i ，cq 2＝c ＋(i －1)d ＝c ＋(i －1)c(q －1)，得q 2－(i －1)q ＋(i －2)＝0，得q ＝1(舍去)，q ＝i －2(i≥4)为整数．(14分) 因为cq ＝c ＋d ，b 3＝c i ，对任意的正整数k≥4，欲证明b k 是数列{c n }中的项，只需b k ＝cq k －1＝c i ＋xd ＝b 3＋x(cq －c)＝cq 2＋x(cq －c)有正整数解x.等价于qk －1＝q 2＋x(q －1)，x ＝qk －1－q2q －1为正整数． 因为x ＝qk －1－q 2q －1＝q 2（q k －3－1）q －1表示首项为q 2，公比为q ＝i －2(i≥4)， 共k －3(k≥4)项的等比数列的和，所以x 为正整数． 因此，{b n }中的每一项都是数列{c n }也即{1a n }中的项．(16分)2019届高三模拟考试试卷(苏锡常镇) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解： 因为AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤210a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤b c 01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，(2分)即a ＝1，b ＝12，c ＝－12，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2101，(5分)则A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2101⎣⎢⎡⎦⎥⎤2101＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4301.(10分)B. 解：由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得M(2，0，)N(3，3)， 则直线l ：y ＝3(x －2)，(2分)曲线C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝4，圆心为(2，－3)，半径r ＝2， 则圆心到直线l 的距离d ＝|0－3|2＝32，(6分)则直线l 被曲线C 截得的弦长为2r 2－d 2＝13.(10分)C. 证明：因为a>0，b>0，c>0，a ＋b ＋c ＝2，由柯西不等式，得 [(b ＋c)＋(c ＋a)＋(a ＋b)](a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c2a ＋b )＝[(b ＋c)2＋(c ＋a)2＋(a ＋b)2][(a b ＋c )2＋(b c ＋a)2＋(c a ＋b)2]＝(b ＋cab ＋c ＋c ＋abc ＋a ＋a ＋bca ＋b)2(5分) ＝(a ＋b ＋c)2＝22，(8分)则a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b ≥22（b ＋c ）＋（c ＋a ）＋（a ＋b ）＝44＝1. 所以a 2b ＋c ＋b 2c ＋a ＋c 2a ＋b≥1.(10分)22. 解：因为抛物线方程为y 2＝4x ，所以F(1，0)．(1分) (1) 设M(x ，y)，A(x 0，y 0)．因为点M 为线段AF 的中点，则x ＝x 0＋12，y ＝y 02，(2分)则x 0＝2x －1，y 0＝2y ，代入抛物线方程，得y 2＝2x －1，即点M 的轨迹方程为y 2＝2x －1.(4分)(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，不妨设y 1>0，y 2<0， 设△AOB 和△BOF 的面积分别为S 1，S 2.因为△AOB 的面积是△BOF 面积的3倍，即S 1＋S 2＝3S 2，所以S 1＝2S 2. 因为S 1＝12OF ·y 1，S 2＝12OF ·|y 2|＝－12OF ·y 2，则y 1＝－2y 2 ①.(6分)设直线AB ：x ＝ty ＋1(t>0) ②，与y 2＝4x 联立，消去x ，得y 2－4ty －4＝0， y 1，2＝2t±2t 2＋1，y 1＋y 2＝4t ③，y 1y 2＝－4 ④.(8分)由①③④可得t ＝122，代入②，得直线l ：y ＝22(x －1)；同理当y 1<0，y 2>0时，得直线l ：y ＝－22(x －1)． 综上，直线l 的方程为y ＝±22(x －1)．(10分)23. 证明：(1) 当n ＝1时，a 2＝a 1(a 1－1)＋1＝3＝a 1＋1成立． 假设n ＝k 时，结论成立，即a k ＋1＝a k a k －1…a 2a 1＋1.当n ＝k ＋1时，a k ＋2＝a k ＋1(a k ＋1－1)＋1＝a k ＋1(a k a k －1…a 2a 1＋1－1)＋1 ＝a k ＋1a k a k －1…a 2a 1＋1.则当n ＝k ＋1时，命题成立．综上，a n ＋1＝a n a n －1a n －2…a 2a 1＋1.(4分)(2) 要证a n ＋1>n n＋1，由(1)a n ＋1＝a n a n －1a n －2…a 2a 1＋1，只需证a n a n －1a n －2…a 2a 1>n n.下用数学归纳法证明：当n ＝1，2，3时，a 1＝2，a 2＝3，a 3＝7，则2>1，2×3>22，2×3×7>33.假设n ＝k(k≥3)时，结论成立，即a k a k －1a k －2…a 2a 1>k k，(6分) 则n ＝k ＋1时，a k ＋1a k …a 2a 1＝(a k a k －1…a 2a 1＋1)a k a k －1…a 2a 1>(a k a k －1a k －2…a 2a 1)2>k 2k.(7分)设f(x)＝2xln x －(x ＋1)ln(x ＋1)(x≥3)，则f′(x)＝ln x 2x ＋1＋1>ln x 2－1x ＋1＋1＝ln(x －1)＋1≥ln 2＋1>0，所以f(x)为增函数，则f(x)≥f(3)＝2(3ln 3－2ln 4)＝2ln 2716>0，则2kln k>(k ＋1)ln(k ＋1)，ln k 2k>ln(k ＋1)(k ＋1)，即k 2k>(k ＋1)(k ＋1)．即a k ＋1a k …a 2a 1>(k ＋1)k ＋1，则n ＝k ＋1时，命题成立．(9分)综上，a n a n －1a n －2…a 2a 1>n n ，所以a n ＋1>n n＋1.(10分)。
江苏省无锡市2019届高三上学期期末复习数学试题+Word版含解析 - 副本
江苏省无锡市2018—2019学年第一学期期末复习试卷高三数学一、填空题（不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．）1.集合A＝{，，}，B＝{，，}，若A B＝{﹣3}，则a的值是_．【答案】﹣1【解析】【分析】由集合有一个元素为，根据两集合的交集中元素为，得出集合中必然有一个元素为，分别令集合中的元素等于列出关于的方程，求出方程的解，经过检验即可得到的值.【详解】∵，，若，∴或或，解得或，将代入得，，此时，不合题意；将代入得，，此时，满足题意，则，故答案为.【点睛】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，注意对所求结果进行检验，属于基础题.2.复数z满足，则复数z的共轭复数＝__．【答案】【解析】【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，结合共轭复数的概念即可得最后结果.【详解】由，得，∴，故答案为.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．3.如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则甲与乙的方差和为__．【答案】57.2【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，计算甲、乙二人的平均数与方差，求方差和即可.【详解】根据茎叶图知，甲的平均数是，方差是；乙的平均数是，方差是，∴甲与乙的方差和为，故答案为57.2．【点睛】本题考查了利用茎叶图求平均数与方差的应用问题，是基础题4.已知实数x，y(0，1)，三角形ABC三边长为x，y，1，则三角形ABC是钝角三角形的概是__．【答案】【解析】【分析】由题意知为钝角三角形时，且，构成三角形的区域为不等式且，，利用几何概型的概率公式求出对应区域的面积比即可．【详解】如图所示，由题意得构成三角形的、满足的条件为且，，其区域为，其面积为，若为钝角三角形，则，且；其区域为阴影部分，∴，∴所求的概率值为，故答案为.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，同时考查了不等式组表示平面区域问题，解题的关键在于构造几何概型模型，属于中档题．5.为了在运行下面的程序之后得到输出y＝25，键盘输入x应该是___．【答案】－6或6【解析】程序对应函数时,由得x＝－6或x＝6.故答案为：－6或6.6.在体积为9的斜三棱柱ABC—A1B1C1中，S是C1C上的一点，S—ABC的体积为2，则三棱锥S—A1B1C1的体积为___．【答案】【解析】【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求。
江苏省苏、锡、常、镇2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析
江苏省苏、锡、常、镇2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．2．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53π B ．2πC ．76π D ．π3．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且11a ，31a ，41a 构成新的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若存在n 使得0n S =，则n =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．134．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）A ．()85424πB ．()85824πC ．()854216πD ．()858216π5．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．22B ．32C 10D ．126．已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则AB =（ ）A ．{|0}x x <B ．1|2x xC ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{|1}x x >-7．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年 B ．公元前4000年到公元前2000年 C ．公元前6000年到公元前4000年D ．早于公元前6000年8．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若6PA =，2AB =，则球O 的表面积为（ ）A ．163πB ．94π C ．6πD ．9π10．点O 为ABC ∆的三条中线的交点，且OA OB ⊥，2AB =，则AC BC ⋅的值为( ) A ．4B ．8C ．6D ．1211．设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．222,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ 12．过圆224x y +=外一点(4,1)M -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（ ）． A ．440x y --=B ．440x y +-=C ．440x y ++=D ．440x y -+=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。