高一数学第一次月考试卷
高一数学第一次月考试卷
（时间90分钟，满分100分）
命题人顾云飞
1、 填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）
1．已知集合，则
2．已知集合，用列举法表示集合为
3．不等式的解集为
4．若，则的取值范围为
5．满足的所有的集合为
6．集合，若，则实数的范围为
7．写出命题“若，则”的否命题
8．若关于的不等式的解集为，则实数的范围为
9．若不等式的解集是，则不等式的解集为
10．已知集合，若，则实数
组成集合的真子集的个数为
11．已知非空集合，若，则实数的取值范围为
12．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜欢，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运
动的人数为
13．若集合，且，则实数的值是
14．集合,是的一个子集，当时，若有，则称为的一个“孤立元素”，那么的元素子集中有“孤立元素”的子集个数是
二、选择题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
15．设和是非零实数，若，则下列不等式成立的是( )（A）（B）（C）（D）
16．已知集合，，，则集合，和满足的关系是（)（A）（B）（C）（D）
17．若且（），则有( )
（A）（B）（C）（D）
18．若，则，，，中最小的一个是 ( )
（A）（B）（C）（D）三、解答题：（本大题共42分）19．（本题满分8分）
设全集，集合，，
求：（1）和；
（2）．
20．（本题满分8分）
设集合，，若，求实数的取值范围．21．（本题满分8分）
已知集合，若，求实数的取值范围．
22．（本题满分8分）
已知集合A=，，
若，求的取值范围.
23．（本题满分10分）
已知集合，，其中且．若且，中所有元素之和为124．（1） 求和的值；
（2） 求的值；
（3） 求集合．。
高一上学期第一次月考数学试卷(新题型：19题)(基础篇)(原卷版)
2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷（基础篇）【人教A版（2019）】（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效；3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效；4.测试范围：必修第一册第一章、第二章；5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（24-25高一上·河北廊坊·开学考试）下列各组对象能构成集合的是（）A．2023年参加“两会”的代表B．北京冬奥会上受欢迎的运动项目C．π的近似值D．我校跑步速度快的学生2．（5分）（23-24高一上·北京·期中）命题pp:∀xx>2，xx2−1>0，则¬pp是（）A．∀xx>2，xx2−1≤0B．∀xx≤2，xx2−1>0C．∃xx>2，xx2−1≤0D．∃xx≤2，xx2−1≤03．（5分）（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）下列不等式中，可以作为xx<2的一个必要不充分条件的是（）A．1<xx<3B．xx<3C．xx<1D．0<xx<14．（5分）（24-25高三上·山西晋中·阶段练习）下列关系中：①0∈{0}，②∅ {0}，③{0,1}⊆{(0,1)}，④{(aa,bb)}= {(bb,aa)}正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若变量x，y满足约束条件3≤2xx+yy≤9，6≤xx−yy≤9，则zz=xx+2yy的最小值为（）A．-7 B．-6 C．-5 D．-46．（5分）（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知全集UU={1,3,5,7,9}，MM=�xx|xx>4且xx∈UU},NN={3,7,9}，则MM∩(∁UU NN)=（）A．{1,5}B．{5}C．{1,3,5}D．{3,5}7．（5分）（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知不等式aaxx2+bbxx+2>0的解集为{xx∣xx<−2或xx>−1}，则不等式2xx2+bbxx+aa<0的解集为（）A．�xx�−1<xx<12�B．{xx∣xx<−1或xx>12}C．�xx�−1<xx<−12�D．{xx∣xx<−2或xx>1}8．（5分）（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知aa>bb≥0且6aa+bb+2aa−bb=1，则2aa+bb的最小值为（）A．12 B．8√3C．16 D．8√6二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
高一上学期第一次月考数学测试题及答案
高一上学期第一次月考数学测试题及答案学校:___________班级：___________姓名：___________学号：___________一、单选题（共6小题）1．下列各式正确的是（）A．a6÷a2＝a3B．C．D．2．＝（）A．4B．8C．D．3．若2m＝5，4n＝3，则43n﹣m的值是（）A．0.9B．1.08C．2D．44．已知，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b5．设a∈R．若函数f（x）＝（a﹣1）x为指数函数，且f（2）＞f（3），则a的取值范围是（）A．1＜a＜2B．2＜a＜3C．a＜2D．a＜2且a≠16．已知函数f（x）＝a x﹣1﹣3（a＞0，a≠1）恒过定点M（m，n），则函数g（x）＝m+x n+1的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二．多选题（共3小题）7．下列判断正确的有（）A．＝3﹣πB．（其中a＞0）C．D．（其中m＞0，n＞0）8．已知（a＞0），则下列选项中正确的有（）A．B．C ．D ．9．已知函数，则下列结论正确的是（ ）A ．函数f （x ）的定义域为RB ．函数f （x ）的值域为（﹣1，1）C ．函数f （x ）的图象关于y 轴对称D ．函数f （x ）在R 上为减函数 三．填空题（共3小题）10．计算＝．11．如图，曲线①②③④中有3条分别是函数的图象，其中曲线①与④关于y 轴对称，曲线②与③关于y 轴对称，则的图象是曲线 ．（填曲线序号）12．下列说法中正确的序号为 ． ①在同一坐标系中，函数y ＝2x 与函数的图象关于y 轴对称；②函数f （x ）＝a x +1（a ＞0且a ≠1）的图象经过定点（0，2）； ③函数的单减区间为（﹣∞，1]；④任意x ∈（2，+∞），都有2x ＞x 2．参考答案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 DBBBADBCDACAB②①②③一．选择题（共6小题）1．解：A 、原式＝a 4，所以A 选项错误；B 、原式＝，所以B 选项错误；C、原式＝，所以C选项错误；D、a＜0，原式＝，所以D选项正确．故选：D．2．解：原式＝×＝＝23＝8．故选：B．3．解：2m＝5，4n＝3，则43n﹣m＝（4n）3÷4m＝33÷52＝＝1.08．故选：B．4．解：根据题意，设f（x）＝2x，则f（x）在（0，+∞）单调递增，所以a＝f（0.4）＜b＝f（0.6）设g（x）＝x0.6，则g（x）在（0，+∞）单调递增，所以因为a＞20＝1，所以a＞c，综合可得：c＜a＜b．故选：B．5．解：函数f（x）＝（a﹣1）x为指数函数，f（2）＞f（3）则函数f（x）在R上单调递减，故0＜a﹣1＜1，解得1＜a＜2．故选：A．6．解：由指数函数的图象和性质，令x﹣1＝0，解得x＝1所以f（1）＝a0﹣3＝﹣2，所以f（x）＝a x﹣1﹣3恒过定点（1，﹣2），所以m＝1，n＝﹣2所以，因此不经过第四象限．故选：D．二．多选题（共3小题）解：对于选项A，＝|3﹣π|＝π﹣3，A错误；对于选项B，因为a＞0，所以，B正确；对于选项C C正确；对于选项D，因为m＞0，n＞0，所以，D正确．故选：BCD．8．解：由，得，整理得，故A正确；由于，则，故B错误；由，a＞0，得，则，故C正确；由，得，解得，故D错误．故选：AC．9．解：A：因为2x＞0，所以函数f（x）的定义域为R，故A正确；B：由所以函数f（x）的值域为（﹣1，1），故B正确；C：因为所以函数f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y轴对称，故C错误；D：因为函数y＝2x+1是增函数，因为y＝2x+1＞1，所以函数是减函数因此函数是增函数，故D错误．故选：AB．三．填空题（共3小题）10．解：＝+＝．故答案为：．11．解：由指数函数的图像和性质可知，y＝3x，y＝图像关于y轴对称，y＝3x在R上单调递增，y＝在R上单调递减又曲线①②③④中有3条分别是函数y＝2x，y＝3x，y＝的图象，曲线①与④关于y轴对称，曲线②与③关于y轴对称所以曲线③为y＝3x，曲线④为y＝2x，曲线②为y＝．故答案为：②．12．解：在同一坐标系中，函数y＝2x与函数＝2﹣x的图象关于y轴对称，故①正确；当x＝0时，y＝a0+1＝2故函数f（x）的图象经过定点（0，2），故②正确；设g（x）＝x2﹣2x则g（x）在（﹣∞，1]上单调递减由复合函数的单调性可知，函数的单减区间为（﹣∞，1]，故③正确；当x＝4时，2x＝x2，故④错误．故答案为：①②③．。
高一数学第一次月考试卷.及答案
大同四中联盟学校2020—2021学年第一学期10月月考试题高一年级数学学科命题人：本试卷共4 页 满分：150分 考试用时：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一 .选择题（本题包括12小题、每小题5分、共60分） 1．下列各选项中,不能组成集合的是( )。
A.所有的整数 B.所有大于0的数C.所有的偶数D.高一(1)班所有长得帅的同学2.已知集合M ={x |—3< x ≤ 5},N ={x |x <—5或x > 5},则M ∪N =( )。
A.{x |x <—5或x >—3} B.{x |—5<x < 5} C.{x |—3< x < 5} D.{x |x <—3或x > 5}3.已知3 ∈ {1,a , a -2 },则实数a 的值为( )。
A.3 B.5 C.3或5 D.无解4.“1<x <2”是“x <2”成立的( )。
A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.集合P ={x |x ≥ —1},集合Q ={x |x ≥0 },则P 与Q 的关系是( )。
A.P =QB.P QC.P QD.P ∩Q =⌀6.已知集合M ={x |—3< x ≤ 5 },N ={x | x > 3 },则M N =( )。
A.{x |x >—3}B.{x |—3< x ≤ 5}C.{x |3 < x ≤ 5 }D.{x |x ≤ 5}7.设全集U ={x ∈N |x ≥2},集合A ={x ∈N |x ≥},则∁U A =( )。
A.⌀B.{2}C.{1,4,6}D.{2,3,5}8.设全集U =A ∪B ,定义:A —B ={x |x ∈A 且x ∉B },集合A ,B 分别用圆表示,则图1-3-2-3中阴影部分表示A -B 的是( )。
图1-3-2-39.已知a ,b ,c ,d ∈R,则下列命题中必成立的是( )。
江西省九江市同文中学2024-2025学年高一(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年江西省九江市同文中学高一（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合A={x|−1≤x≤2}，B={x|x<1}，则A∩(∁R B)=( )A. {x|x>1}B. {x|x≥1}C. {x|1<x≤2}D. {x|1≤x≤2}2.满足{1}⊆X⫋{1,2,3,4}的集合X有( )A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个3.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知a>b>c>d，下列选项中正确的是( )A. 1a <1bB. ac2+1>bc2+1C. ad>bcD. ac>bd5.已知1≤a+b≤4，−1≤a−b≤2，则4a−2b的取值范围是( )A. {x|−4<x<10}B. {x|−3<x<6}C. {x|−2<x<14}D. {x|−2≤x≤10}6.已知条件p：|x+1|>2，条件q：x>a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则a的取值范围是( )A. (−∞,1]B. (−∞,−3]C. [−1,+∞)D. [1,+∞)7.若a，b>0，ab+2a+b=4，则a+b的最小值为( )A. 2B. 6−1C. 26−2D. 26−38.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4，则下面选项正确的为( )A. 2025∈[3]B. −2∈[2]C. Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]D. 整数a、b属于同一“类”的充分不必要要条件是“a−b∈[0]”二、多选题：本题共3小题，共9分。
2023-2024学年吉林省吉林市吉林高一上册第一次月考数学试题(含解析)
2023-2024学年吉林省吉林市吉林高一上册第一次月考数学试题一、单选题1．下列说法正确的是（）A ．0∈∅B ．πQ∈C ．∅⊆∅D ．A ⋃∅=∅【正确答案】C【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系，以及空集的定义，逐项分析判断即可．【详解】对于A ：0∉∅，选项A 错误；对于B ：π是无理数，πQ ∉，选项B 错误；对于C ：∅是它本身的子集，即∅⊆∅，选项C 正确；对于D ：仅当A 为空集时，A ⋃∅=∅成立，否则不成立，选项D 错误．故选：C ．2．设集合{|03}A x x =<<，1{|4}2B x x =≤≤，则A B = （）A ．1{|0}2x x <≤B ．1{|3}2x x ≤<C ．{|34}x x <≤D ．{|04}x x <≤【正确答案】B【分析】利用交集定义直接求解．【详解】因为集合{|03}A x x =<<，1{|4}2B x x =≤≤，则1{|3}2A B x x ⋂=≤<.故选：B ．3．已知{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆，则满足条件的集合A 的个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【正确答案】D【分析】由条件分析集合A 的元素的特征，确定满足条件的结合A 即可.【详解】因为{}{}1,21,2,3,4,5A ⊆⊆，所以{}1,2A =或{}1,2,3或{}1,2,4或{}1,2,5或{}1,2,3,4或{}1,2,3,5或{}1,2,4,5或{}1,2,3,4,5，即满足条件的集合A 的个数为8，故选：D ．4．设x ∈R ，则“01x <<”成立是“1x <”成立的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【正确答案】A【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可．【详解】由01x <<成立可推出1x <成立，所以“01x <<”成立是“1x <”成立充分条件当0x =时，1x <，但{}01x x x ∉<<，即由1x <成立不能推出01x <<成立，所以“01x <<”成立不是“1x <”成立必要条件所以01x <<成立是1x <成立的充分不必要条件，故选：A ．5．已知a b >，则下列不等关系中一定成立的是（）A ．2ab b <B ．22a b >C ．11a b<D ．33a b >【正确答案】D【分析】举反例可判断ABC ，利用函数3y x =在R 上单调递增，可判断D ．【详解】对于A 选项，取2a =，1b =，满足a b >，但是221ab b =>=，故A 错误，对于BC 选项，取1a =，2b =-，满足a b >，但是2214a b =<=，11112a b =>=-，故BC 错误，对于D 选项，因为函数3y x =在R 上单调递增，所以由a b >可得33a b >，故D 正确，故选：D ．6．若不等式组232x a x a ⎧>⎨<-⎩有解，则实数a 的取值范围为（）A ．12a <<B ．1a <或2a >C ．12a ≤≤D ．1a ≤或2a ≥【正确答案】A【分析】由题意可知232a a <-，从而求出a 的取值范围即可．【详解】 不等式组232x a x a ⎧>⎨<-⎩有解，232a a ∴<-，解得12a <<，即实数a 的取值范围为(1,2)．故选：A ．7．已知正数,x y 满足1x y +=，则14x y+的最小值为（）A ．5B ．143C ．92D ．9【正确答案】D【分析】由已知利用乘1法，结合基本不等式即可求解．【详解】因为正数,x y 满足1x y +=，则14144()()559y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当4y x x y =，即13x =，23y =时取等号,故选：D ．8．已知命题236:1,1x x p x a x ++∃>-<+，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围为（）A ．5a >B ．6a >C ．5a ≤D ．6a ≤【正确答案】C【分析】由题意可知236:1,1x x p x a x ++⌝∀>-≥+为真命题，问题转化为只需2min 36()1x x a x ++≤+，然后利用基本不等式求出最小值，进而可以求解．【详解】若命题p 是假命题，则236:1,1x x p x a x ++⌝∀>-≥+为真命题，即2361x x a x ++≤+在(1,)∈-+∞x 上恒成立，只需2min 36()1x x a x ++≤+，又2236(1)1441115111x x x x x x x x ++++++==+++≥=+++，当且仅当411x x +=+，即1x =时取得最小值为5，所以5a ≤，故选：C ．二、多选题9．已知集合{}{}1,4,,1,2,3A a B ==，若{}1,2,3,4A B = ，则a 的取值可以是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【正确答案】AB【分析】根据并集的结果可得{}1,4,a {}1,2,3,4，即可得到a 的取值；【详解】解：因为{}1,2,3,4A B = ，所以{}1,4,a {}1,2,3,4，所以2a =或3a =；故选：AB10．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（）A ．若0ab ≠且a b <，则11a b>B ．若01a <<，则2a a<C ．若0a b >>且0c >，则b c ba c a+>+D ．()221222a b a b ++≥--【正确答案】BCD【分析】由不等式的性质逐一判断即可.【详解】解：对于A ，当0a b <<时，结论不成立，故A 错误；对于B ，2a a <等价于()10a a -<，又01a <<，故成立，故B 正确；对于C ，因为0a b >>且0c >，所以b c ba c a+>+等价于ab ac ab bc +>+，即()0a b c ->，成立，故C 正确；对于D ，()221222a b a b ++≥--等价于()()22120a b -++≥，成立，故D 正确.故选：BCD.11．已知关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为{3x x ≤-或}4x ≥，则下列说法正确的是（）A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集为{}4x x <-C ．不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭D ．0a b c ++>【正确答案】AC【分析】由题知二次函数2y ax bx c =++的开口方向向上且3434bac a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，再依次分析各选项即可．【详解】解：关于x 的不等式20ax bx c ++≥的解集为][(),34,-∞-⋃+∞，所以二次函数2y ax bx c =++的开口方向向上，即0a >，故A 正确；方程20ax bx c ++=的两根为3-、4，由韦达定理得3434bac a⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩，解得12b a c a =-⎧⎨=-⎩．对于B ，0120bx c ax a +>⇔-->，由于0a >，所以12x <-，所以不等式0bx c +>的解集为{}12x x <-，故B 不正确；对于C ，由B 的分析过程可知12b ac a=-⎧⎨=-⎩所以220120cx bx a ax ax a -+<⇔-++<2112104x x x ⇔-->⇔<-或13x >，所以不等式20cx bx a -+<的解集为14x x ⎧<-⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭，故C 正确；对于D ，12120a b c a a a a ++=--=-<，故D 不正确．故选：AC ．12．[]x 表示不超过x 的最大整数，则满足不等式[][]25140x x --≤的x 的值可以为（）A ． 2.5-B ．3C ．7.5D ．8【正确答案】BC【分析】由一元二次不等式得[]27x -≤≤【详解】解：因为[][][]()[]()2514720x x x x --=-+≤，所以[]27x -≤≤，所以28x -≤<．所以x 的值可以为[)2,8-内的任何实数.故选：BC三、填空题13．不等式210-+≥x kx 的解集为R ，则实数k 的取值集合为__．【正确答案】[]22-,【分析】根据二次不等式的解法即得.【详解】因为不等式210-+≥x kx 的解集为R ，所以240k ∆=-≤，所以22k -≤≤，即实数k 的取值集合为[]22-,.故答案为.[]22-,14．已知102x <<，函数(12)y x x =-的最大值是__．【正确答案】18##0.125【分析】由基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得()221212(12)24x x x x +-⎡⎤-≤=⎢⎥⎣⎦，由此即可求出函数(12)y x x =-的最大值．【详解】 102x <<，∴()()()2212111122122228x x x x x x +-⎡⎤-=⋅-≤⋅=⎢⎥⎣⎦,当且仅当212x x =-时，即14x =时等号成立，因此，函数(12)y x x =-的最大值为18.故答案为:18.15．若实数x ，y 满足1201x y x y <+<⎧⎨<-<⎩，则3x y +的取值范围为__．【正确答案】(2,5)【分析】将3x y +表示成关于()x y +和()x y -的表达式进行求解即可.【详解】由不等式的性质求解即可．解：32()()+=++-x y x y x y ，因为实数x ，y 满足1201x y x y <+<⎧⎨<-<⎩，所以()()225x y x y <++-<，即3x y +的取值范围为(2,5)．故(2,5)．四、双空题16．《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设0a >，0b >，称2aba b+为a ，b 的调和平均数．如图，C 为线段AB 上的点，且AC a =，CB b =，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作AB 的垂线，交半圆于D ，连结OD ，AD ，BD ．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数2a b+，线段CD 的长度是a ，b__的长度是a ，b 的调和平均数2aba b+，该图形可以完美证明三者的大小关系为__．【正确答案】DE22ab a ba b +≤≤+【分析】根据圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系以及基本不等式的性质判断即可．【详解】由题意得：2a bOD +=，CD =，由于CD OC ⊥，CE OD ⊥，所以ΔΔOCD CED ∽，则OD CDCD ED=a bED +=，解得2abED a b=+，利用直角三角形的边的关系，所以OD CD DE >>．当O 和C 重合时，OD CD DE ==，所以22ab a ba b +≤≤+．故DE；22ab a ba b +≤≤+五、解答题17．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}0,1B =，{}1,2C =.(1)求B C ⋃；(2)求()A B C ð.【正确答案】(1){0,1,2}(2){2,1,0,2}--【分析】（1）利用并集的概念即可求解；（2）利用交集及补集的运算即可求解.【详解】（1）{}0,1B = ，{}1,2C =，{0,1,2}B C ∴= （2）∵{}0,1B =，{}1,2C =，∴{1}B C = ，又{}2,1,0,1,2A =--故(){2,1,0,2}A B C =-- ð．18．已知集合U 为全体实数集,{1M x x =≤-或6}x ≥,{}131N x a x a =+≤≤-．(1)若3a =,求()U M N ðI ;(2)若M N N ⋂=,求实数a 的取值范围．【正确答案】(1){}46x x ≤<(2)1a <或5a ≥【分析】(1)利用集合的交、补运算即可求解．(2)讨论N =∅或N ≠∅,根据集合的包含关系列不等式即可求解．【详解】（1）解:由题知{1M x x =≤-或6}x ≥,{}131N x a x a =+≤≤-,所以{}16U M x x =-<<ð,当3a =时,{}48N x x =≤≤,所以(){}46U M N x x ⋂=≤<ð;（2）由题知M N N ⋂=,即N M ⊂,①当N =∅时,即131a a +>-,解得:1a <;②当N ≠∅,即1a ≥时,因为N M ⊂,所以311a -≤-或16a +≥,解得:0a ≤(舍)或5a ≥,综上:1a <或5a ≥.19．全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国城市整体文明水平的最高荣誉称号.连云港市黄海路社区响应号召，在全面开展“创文”的基础上，对一块空闲地进行改造，计划建一面积为24000m 矩形市民休闲广场.全国文明城市是中国所有城市品牌中含金量最高､创建难度最大的一个，是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，是目前国内城市综合类评比中的最高荣誉，也是最具有价值的城市品牌.为此社区党委开会讨论确定方针：既要占地最少，又要美观实用.初步决定在休闲广场的东西边缘都留有宽为2m 的草坪，南北边缘都留有5m 的空地栽植花木.(1)设占用空地的面积为S （单位：2m ），矩形休闲广场东西距离为x （单位：m ，0x >），试用x 表示为S 的函数；(2)当x 为多少时，用占用空地的面积最少？并求最小值.【正确答案】(1)()()40004100S x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭(2)休闲广场东西距离为40m 时，用地最小值为24840m 【分析】(1)根据面积公示列关系式即可.(2)代入第一问求出的解析式结合基本不等式求最值即可即可.【详解】（1）因为广场面积须为24000m ，所以矩形广场的南北距离为4000m x，所以()()40004100S x x x ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭；（2）由（1）知16000404010404040408004840S x x =++≥+=+=，当且仅当x =40时，等号成立.答：当休闲广场东西距离为40m 时，用地最小值为24840m .20．集合A ={}|()(3)0,0x x a x a a --<>，B =2|01x x x -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭.（1）若1a =，求()R A C B I ；（2）已知命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若命题p 的充分不必要条件是命题q ，求实数a 的取值范围.【正确答案】（1）[)()2,3R A C B =I （2）213a ≤≤【分析】（1）a ＝1时，A ＝（1，3），B ＝（1，2），可得∁R B ＝（﹣∞，1]∪[2，+∞）．即可得出A ∩（∁R B ）．（2）由a ＞0，可得A ＝（a ，3a ），B ＝（1，2）．根据q 是p 的充分不必要条件，即可得出B ⊊A ．【详解】解：（1）a ＝1时，A ＝（1，3），B ＝（1，2），(][)=,12,R C B -∞+∞U ∴[)()2,3R A C B =I ；（2）∵a ＞0，∴A ＝（a ，3a ），B ＝（1，2）．∵q 是p 的充分不必要条件，∴B ⊊A ．由B ⊆A 得132a a ≤⎧⎨≥⎩，解得213a ≤≤，又a ＝1及23a =符合题意．∴213a ≤≤．本题考查了集合的交并补运算、不等式的解法、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .【正确答案】证明见解析.【分析】根据已知对不等式左边的式子进行变形，结合基本不等式进行证明即可.【详解】证明：(1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )，(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b8abc .当且仅当b ＝c ＝a ＝13时，等号成立.本题考查了基本不等式的应用，考查了推理论证能力.22．已知关于x 的不等式()2110ax a x a R ++<∈-，．（1）若不等式的解集为112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，求a ；（2）当a R ∈时，解此不等式．【正确答案】（1）2（2）0a =时，(1,)x ∈+∞，01a <<时，1(1,x a∈，1a =时，不等式的解集为空集，1a >时，1(,1)x a∈，a<0时，1(,(1,)x a ∈-∞+∞ .【分析】（1）根据不等式的解集和韦达定理，可列出关于a 的方程组，解得a ；（2）不等式化为(1)(1)0ax x --<，讨论a 的取值，从而求得不等式的解集。
福建省高一下学期第一次月考数学试题(解析版)
高一数学试卷一、单选题（共40分）1. 已知，则的虚部为（ ）()3i 2i z =⋅+z A. B.C.D.12-2i 2i -【答案】B 【解析】【分析】利用复数的乘方及乘法运算化简复数，即可确定其虚部.【详解】，虚部为.()()32i 2i i 2i 2i i 12i z =⋅+=-⋅+=--=-2-故选：B2. 已知向量且，则(1,2),(,4),a b x =-= //,a ba b -=A. B.C. D.【答案】B 【解析】【详解】分析：首先由向量平行确定向量的坐标，再求向量的模长.b a b -详解：因为，所以，即；//,a b24x -=2x =-所以； ()36，-=-a b所以-=a b 点睛：1、本题考查向量共线、向量的坐标运算等知识，意在考查学生的分析、计算能力. 解决本题的关键在于熟练掌握向量平行的坐标表示； 熟记向量坐标的加减运算与向量模长的坐标运算.3. 在中，角的对边分别为，若，则一定是( ) ABC A ,,A B C ,,a b c 2cos a b C =ABC A A. 正三角形 B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰三角形【答案】D 【解析】【分析】根据正弦定理化边为角，结合边的关系进行判断.【详解】因为，所以由正弦定理可得，2cos a b C =sin 2sin cos A B C =因为，所以， ()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+sin cos cos sin 0B C B C -=即，所以. ()sin 0B C -=B C =故选：D.4. 函数的图象为()sin cos 2f x x x =+A. B.C. D.【答案】B 【解析】【详解】试题分析：因为，根据奇函数和偶函数的定义可知，函数()sin cos 2f x x x -=-+是非奇非偶函数，排除选项A 和选项 D.当时，()sin cos 2f x x x =+x π=，所以选B.()sin cos 2010f πππ=+=+>考点：三角函数的图像与性质5. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 m n αβA. 若，，，则 αβ⊥m α⊂n β⊂m n ⊥B. 若，，，则 //αβm α⊂n β⊂//m n C. 若，，，则 m n ⊥m α⊂n β⊂αβ⊥D. 若，，，则 m α⊥//m n //n βαβ⊥【答案】D 【解析】【详解】试题分析：，,故选D.m α⊥ ,n βαβ∴⊥A 考点：点线面的位置关系.6. 如图，是用斜二测画法画出的直观图，则是（ ）A OB '''∠AOB ∠AOB ∠A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 无法判断【答案】C 【解析】【分析】根据斜二测画法，将直观图还原为平面图即可判断.【详解】解：根据斜二测画法的规则，将直观图还原为平面图如图所示，A OB '''∠所以，是钝角. AOB ∠故选：C7. 已知为的外接圆圆心，若在方向上的投影O ABC A 2,CA OA AB AB =+= BABC 向量为（ ）A.B.C.D. 34BC u uu r BC34BC -【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件判断出三角形的形状，从而计算出在上的投影向量.ABC BA BC【详解】依题意三角形的外接圆圆心为，，即， ABC A O 2CA OA AB =+ 2AO AB AC =+所以是的中点，即是圆的直径，且， O BC BC O π2BAC ∠=又AB = 所以， AC OA =所以， π6ABC ∠=∴，π3cos 6324BA BC OA ⋅== 所以在上的投影向量为.BA BC 34BC u uu r 故选：A.8. 已知，将的图象向右平移个单位，再向下平移1()2ππsin cos cos 44f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y f x =π6个单位，得到的图象．若对，都有成立，则()y g x =R x ∀∈022a a g x g x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π3g a ⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）．A.B. C.D. 1212-【答案】A 【解析】【分析】根据三角恒等变换化简，再求出变换后的函数的解析式，根据条件结合正弦函数性()f x ()g x 质列方程求出，从而可计算出答案. a 【详解】 ()2ππsin cos cos 44f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 22x x x x x ⎫+=++⎪⎪⎭()11112sin cos cos 2222x x x =+++ 11sin 2cos 2122x x =++， π214x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭将的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位， ()y f x =π6， ()πππ21126412g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以对，都有成立， R x ∀∈022a a g x g x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数关于点对称，()π212g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，则， ππ,Z 12a k k -=∈ππ,Z 12a k k =+∈所以 πππ23312g a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦5ππ2π1212k ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3π2π4k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3π4=. 12=故选：A.二、多选题（共20分）9. 已知复数满足，则（ ） z ()2i 13i z +=+A.B. 在复平面内对应的点位于第二象限 z =zC.D. 满足方程44z =z 2220z z -+=【答案】AD 【解析】【分析】根据复数的运算及其几何意义，逐个选项判断即可．【详解】对于A ：，，故A 正确； 13i1i 2iz +==++z =对于B ：在复平面内对应的点位于第四象限，故B 错误；1i z =-对于C ：，故C 错误；24422(1i)(1i)(2i)4z =⎡⎤=++==-⎣⎦对于D ：，故D 正确；． 2222(1i)2(1i)22i 22i 20z z -+=+-++=-++=故选：AD ．10. 如图，AC 为圆锥SO 底面圆O 的直径，点B 是圆O 上异于A ，C 的动点，，则下列结1SO OC ==论正确的是（ ）A. 圆锥SOB. 三棱锥S -ABC 体积的最大值为13C. ∠SAB 的取值范围是 ππ,43⎛⎫⎪⎝⎭D. 若，F 为线段AB 上的动点，则 AB BC =SF CF +1【答案】ABD 【解析】【分析】A 求出母线长、底面周长，应用扇形面积公式求侧面积；B 棱锥体积最大只需到距离最B AC大，并确定最大值，应用棱锥体积公式求体积；C 注意确定大小即可判断；D 将两个三AB BC =SAB ∠角形展开为一个平面，由三点共线求最小值即可.【详解】A ：由题设，圆锥母线，底面周长为，故侧面积为，对； l =2π2πr =12π2⨯=B ：要使三棱锥S -ABC 体积最大，只需最大即可，即到距离最大，为， ABC S A B AC 1r =所以体积的最大值为，对； 111112323⨯⨯⨯⨯=C ：当时，△为等腰直角三角形，此时，AB BC =ABC AB BC ==所以，即△为等边三角形，此时，错； SA SB AB ==SAB π3∠=SAB D ：由C 分析知：时△为等腰直角三角形、△为等边三角形， AB BC =ABC SAB 将它们展开成一个平面，如下图，要使，即共线，最小值为的长度， SF CF +,,S F C SC而，，对. 3π4SBC ∠=SB BC ==1SC ==故选：ABD11. 如图，平面四边形中，是等边三角形，且，是的中ABCD BCD △AB BD ⊥2AB BD ==M AD 点.沿将翻折，折成三棱锥，在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）BD BCD △C ABD -A. 存在某个位置，使得与所成角为锐角 CM BDB. 棱上总会有一点，使得平面 CD N //MN ABCC. 当三棱锥的体积最大时，C ABD -AB BC ⊥D. 当平面平面时，三棱锥的外接球的表面积是 ABD ⊥BDC C ABD -8π【答案】BC 【解析】【分析】取中点，连接，，可证明即可判断A ；取中点，连接，BD G CG MG BD MC ^CD H HM 可证明平面判断B ；三棱锥的体积最大， 的投影在棱上时，此时//HM ABC C ABD -C BD CG ⊥平面，进而可证明平面得判断C ；过作，过点作ABD AB ⊥BCD AB BC ⊥M MF ⊥ABD F 交于，设为三棱锥的外接球的球心，外接球的半径为，进而根据几何关//FE MG CG E F C ABD -R系求解得可判断D. 273R =【详解】解：对于A 选项，取中点，连接，，因为是等边三角形，所以BD G CG MG BCD △，又因为是的中点，所以，因为，所以，因为CG BD ⊥M AD //MG AB AB BD ⊥MG BD ⊥，平面，所以平面，因为平面，所以MG CG G ⋂=,MG CG ⊂MCG BD ⊥MCG MC ⊂MCG ，故错误；BD MC ^对于B 选项，取中点，连接，因为是的中点，所以，因为平面CD H HM M AD //HM AC HM ⊄，平面，所以平面，故正确；ABC AC ⊂ABC //HM ABC对于C 选项，设到平面的距离为，因为且， C ABD h AB BD ⊥2AB BD ==所以，所以，故要使三棱锥的体积最大，则12222ABD S =⨯⨯=△1233C ABD ABD V S h h -=⋅=A C ABD -h 最大，所以当的投影在棱上时，最大，且，此时平面，平面C BD h max h CG =CG ⊥ABD AB ⊂ABD ，所以，因为，，平面，所以平面，CG AB ⊥AB BD ⊥CG BD G = ,CG BD ⊂BCD AB ⊥BCD 平面，所以，故正确；BC ⊂BCD AB BC ⊥对于D 选项，因为为直角三角形，所以过作，设为三棱锥的外接球ABD △M MF ⊥ABD F C ABD -的球心，外接球的半径为，因为平面平面，平面平面，平面R ABD ⊥BDC ABD ⋂BDC BD =CG ⊂，，所以平面，所以，过点作交于，如图所BDC CG ⊥BD CG ⊥ABD //CG MF F //FE MG CG E 示，所以四边形为矩形，所以，所以在中，MFEG ,MF EG FD FC R ===Rt MFD A，即，222R MD MF =+222R MF =+在中，，即，进而解得，所以三棱锥Rt EFC △222R EF CE =+221)R EG =+273R =C ABD -的外接球的表面积为，故错误. 22843Rππ=故选：BC12. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH 的边长为，P是正八边形ABCDEFGH 边上任意一点，则下列结论正确的是（ ）A.2BG AH =B. 在向量上的投影向量为AD AB1AB ⎫+⎪⎪⎭C. 若，则为的中点(1OA FC PA ED ⋅=+⋅ P ED D. 若在线段上，且，则的取值范围为P BC AP x AB y AH =+x y+1,2⎡+⎣【答案】BD 【解析】【分析】以为轴，为轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算，A 错误，投影AE y GC x 2BG AH ≠向量为，B 正确，直线与正八边形有两个交点，C 错误，，D正确，得到1AB ⎫⎪⎪⎭x y +=答案.【详解】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，AE y GCx设， OA OB OC OD OE OF OG OH a ========则，整理得到222π22cos4a a a =+-⨯22a =+，()()()0,,,,,0,,0,,A a B C a D E a F ⎫⎫⎛⎫-⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎝⎭，，设，(),0G a -,H ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭()00,P x y 对选项A ：，，，错误；a B a G ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,a A H ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭ 2BG AH ≠ 对选项B ：，，AD D a⎫=+⎪⎪⎭ ,AB a ⎫=-⎪⎪⎭，即投影向量为，正确；21AD AB AB ⋅===+ 1AB⎫+⎪⎪⎭ 对选项C：， ()20,,OA FC a a ⎛⎫⋅=-⋅+= ⎪⎪⎝⎭，()()0000,P x a A E a x D y a y a ⎫⎫=-=-⎪⋅+-⎪⎪⎪⎭---⋅⎭ ，整理得到，即，(1OA FC PA ED ⋅=+⋅()00ay a ⎫-+-=⎪⎪⎭)001y x =+与正八边形有两个交点，错误；对选项D ：，，， ()00,x y a AP =+,AB a ⎫=⎪⎪⎭,a A H ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，，AP x AB y AH =+ ()00,,,x y a x a a y a ⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭整理得到，，故，正确. x y +=0,0y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1,2x y ⎡+∈+⎣故选：CD【点睛】关键点睛：本题考查了向量的运算，投影向量，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中建立直角坐标系，将向量运算转化为坐标运算，可以减少计算量，是解题的关键.三、填空题（共20分）13. 已知复数满足，则的最小值是______． z 2z =34z i +-【答案】 3【解析】【分析】根据绝对值不等式，求出的最小值即可． a b a b a b -≤+≤+34z i +-【详解】∵复数满足， z 2z =∴， 3434523z i i z +-≥--=-=∴的最小值是． 34z i +-3故答案为．3【点睛】本题主要考查了不等式的应用问题，也考查了复数的运算问题，是基础题目． 14. 设θ为第二象限角，若tan （θ+）=，则sinθ+cosθ=_________. 12【答案】 【解析】【详解】因为θ为第二象限角，若tan （θ+）=>0，所以角θ的终边落在直线的左侧,12y x =-sinθ+cosθ<0,由tan （θ+）=得=，即=，所以设sinθ+cosθ=x ，则12tan 11tan θθ+-12sin cos cos sin θθθθ+-12cosθ- sinθ=2x ，将这两个式子平方相加得：，即sinθ+cosθ=. 225x =【考点定位】本小题主要考查两角和的正切公式、同角三角函数的基本关系式、三角函数在各个象限的符号口诀等公式的灵活运用，属中档题.15. 已知函数的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移t （）个单位长()sin y A x ωϕ=+0t >度，得到函数的图象．若函数的图象关于原点对称，则t 的最小值为________．()y f x =()y f x =【答案】6π【解析】【分析】由图象可得时，函数的函数值为0，可以解出的表达式，再利用平移π6x =sin()y A x ωϕ=+ϕ的知识可以得出的最小值． t 【详解】解：由图象可得时，函数的函数值为0，即， π6x =sin()y A x ωϕ=+ππ(Z)6k k ωϕ+=∈，ππ(Z)6k k ωϕ∴=-+∈，将此函数向左平移个单位得，，πsin(π)6y A x k ωω∴=-+t π()sin[()π]6f x A x t k ωω=+-+又为奇函数， ()f x ，11πππ(Z)6t k k k ωω∴-+=∈， 11ππ(Z,Z)6k kt k k ω-∴=+∈∈的最小值是．t ∴π6故答案为：.6π16. 已知A ，B ，C ，D 的球体表面上四点，若，，，且三4AB =2AC =BC =棱维的体积为长度的最大值为________． A BCD -CD【答案】【解析】【分析】计算出棱锥的高和球的半径，再考虑所在的截面圆的半径后可求线段长度的最大值. D CD，故球的半径， R 343R π=故，R =而，，，故，故，4AB =2AC =BC =222AB AC BC =+2ACB π∠=故， 122ACB S =⨯=A设到平面的距离为，则，故， D ABC h 13h ⨯⨯=3h =故在球面的截面圆上，设截面圆所在的平面为， D α当与平面在球心的异侧时，有最大值， αABC DC设球心到平面的距离为，而外接圆的半径为，则， ABC d ACB △142AB =1d ==故球心到平面的距离为，α21=设在平面上的投影为，则的轨迹为圆，圆心为的外心即的中点， D ABC E E ABC A AB 当最长时最长，此时， CE CD 213=+=CE故长度的最大值为 CD故答案为：.【点睛】思路点睛：本题涉及到空间中动点的轨迹，注意根据高为定值确定出动点所在的曲线，再将空间问题平面化，从而解决最值问题.四、解答题（共70分17. 已知，，与的夹角为．4a = 8b = a b2π3（1）求；a b +（2）当为何值时，？k ()()2a b ka b +⊥-【答案】（1）（2） 7k =-【解析】【分析】（1）根据向量数量积定义和运算律可求得，进而得到；2a b + a b + （2）由向量垂直可得，根据向量数量积定义和运算律可构造方程求得结果.()()20a b ka b +⋅-=【小问1详解】，2πcos ,32cos 163a b a b a b ⋅=⋅<>==-，.222216326448a b a a b b ∴+=+⋅+=-+=a b ∴+= 【小问2详解】由得：()()2a b ka b +⊥-，()()()()2222121616211280a b ka b k a k a b b k k +⋅-=+-⋅-=---=解得：.7k =-18. 已知向量.)1cos ,12a x x b ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭（1）当时，求的值；//a b r rtan x （2）设函数，且，求的最大值以及对应的x 的值.()()f x a b b =+⋅ π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】（1）；1tan 3x =-（2）时，. 0x =()f x 4+【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标表示列方程，结合同角关系可求；tan x （2）根据数量积的坐标表示和两角和余弦公式化简，再根据正弦函数性质求其最大值和对应的()f x x 值即可. 【小问1详解】因为，，)1cos ,12a x x b ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭//ab r r所以，()1cos 102x x ⎫⎛⎫⨯--=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以， 3sin cos 0x x +=所以； 1tan 3x =-【小问2详解】因为，)1cos ,12a x x b ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭所以，())1cos 1cos sin 2a b x x x x ⎫⎛⎫⋅=+⨯-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，314b b ⋅=+=所以， ()())cos sin 4f x a b b a b b b x x =+⋅=⋅+⋅=-+所以，，()π44f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为，所以， π02x ≤≤ππ3π444x ≤+≤所以πcos 4x ⎛⎫≤+≤⎪⎝⎭所以，π4444x ⎛⎫≤++≤+ ⎪⎝⎭当，即时，. ππ44x +=0x =()f x 419. 在中，角的对边分别为. ABC A ,,A B C ,,a b c ()sin b C C =（1）求角的大小； B （2）若，为外一点，如图，，求四边形面积的最大值. π3A =D ABC A 4DB=2CD =ABDC【答案】（1）π3（2） 8【解析】【分析】（1，即可得解；sin B B =（2）根据题意，利用余弦定理可得，再表示出，表示出四边形2B D C =-4sin BDC S D =A ，进而可得最值.ABCD S 【小问1详解】，()sin b C C =+()sin sin A B C C =+，()sin sin cos B C B C B C +=sin sin sin B C B C =因为，即，sin 0C≠sin B B =tan B =因为，所以. ()0,πB ∈π3B =【小问2详解】在中，，，BCD △4BD =2CD =所以， 22242242cos 2016cos BC D D =+-⨯⨯⨯=-又，则为等边三角形，， π3A =ABC A 21πsin 23ABC S BC D =⨯=-A 又， 1sin 4sin 2BDC S BD DC D D =⨯⨯⨯=A所以， π4sin 8sin 3ABDC S D D D ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭所以当时，四边形的面积取最大值，最大值为. 5π6D =ABDC 8+20. 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段P ABCD -ABCD PAD M 上一点，为的中点.PD N BC（1）当为的中点时，求证：平面. M PD //MN PAB （2）当平面，求出点的位置，说明理由. //PB AMN M 【答案】（1）证明见解析；（2）存在点M ，点M 为PD 上靠近P 点的三等分点，理由见解析. 【解析】【分析】（1）取中点为，连接，利用中位线、平行四边形性质及平行公理有AP E ,EM EB ，即为平行四边形，则，最后根据线面平行的判定证结论；//,BN ME BN ME =BNME //MN BE （2）连接，相交于，连接，由线面平行的性质得，利用相似比可得,AN BD O OM //PB OM ，即可判断的位置. 12PM MD =M【小问1详解】取中点为，连接，AP E ,EM EB在中，为的中点，为中点，PAD A M PD E AP ， 1//,2EM AD EM AD ∴=在平行四边形中，为的中点，ABCD N BC ， 1//,2BN AD BN AD ∴=，//,BN ME BN ME ∴=四边形为平行四边形，∴BNME 面面，//,MN BE MN ∴⊄,PAB BE ⊂PAB 平面；//MN ∴PAB 【小问2详解】连接，相交于，连接，,AN BD O OM 面，面面面， //PB AMN PBD ,AMN OM PB =⊂PBD ，， //PB OM ∴12PM OB BN MD OD AD ===即存在点M ，M 为PD 上靠近P 点的三等分点.21. 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为111ABC A B C -1A BC △（1）求到平面的距离；A 1A BC （2）设D 为的中点，，平面平面，求线段BC 的长度． 1AC 1AA AB =1A BC ⊥11ABB A【答案】（1）到平面A 1A BC （2）线段BC 的长为2【解析】【分析】（1）利用体积法可求点到平面的距离；A 1A BC（2）利用面面垂直，线面垂直得线线垂直，最后利用的面积为即可求得线段BC 的长． 1A BC △【小问1详解】解：由直三棱柱的体积为4，可得，111ABC A B C -11111433A ABC ABC ABC V V --==设到平面的距离为，由，A 1A BC d 11A ABC A A BC V V --=，，解得．∴11433A BC S d ⋅=A ∴1433d ⨯=即到平面； A 1A BC 【小问2详解】解：连接交于点1AB 1A B O由直三棱柱， 111ABC A B C -1AA AB =故四边形为正方形，，11AA B B 11AB A B ∴⊥又平面平面，平面平面，1A BC ⊥11ABB A 1A BC 111A B ABB A =平面，，1AB ∴⊥1A BC 1AB BC ∴⊥由直三棱柱知平面，111ABC A B C -1BB ⊥ABC ，又，1BB BC ∴⊥111AB BB B = 平面，，BC ∴⊥11ABB A BC AB ∴⊥，，又， 1AA AB = 12BC ∴⨯=1142AB BC AA ⨯⨯=解得， 12BC AB AA ===则线段BC 的长为2.22. 平行四边形ABCD 中，，，如图甲所示，作于点E ，将22AB AD ==DB =DE AB ⊥ADEV 沿着DE 翻折，使点A 与点P 重合，如图乙所示．（1）设平面PEB 与平面PDC 的交线为l ，判断l 与CD 的位置关系，并证明； （2）当四棱锥的体积最大时，求二面角的正切值；-P BCDE P BC D --（3）在（2）的条件下，G 、H 分别为棱DE ，CD 上的点，求空间四边形PGHB 周长的最小值． 【答案】（1），证明见解析l CD ∥（2（3【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面PBE,然后利用线面平行的性质定理即可得到证//CD 明；（2）当平面BCDE 时体积最大，作交BC 于点O ，连接PO ，即为二面角PE ⊥EO BC ⊥POE ∠的平面角，在中，直接求解即可.P BC D --Rt POE A （3）由展开图可知，B 关于CD 的对称点为，当A 、G 、H 、共线时，周长最短，可得结果. B 'B '【小问1详解】因为，平面PBE ，平面PBE ，所以平面PBE EB CD ∥CD ⊂/EB ⊂//CD 因为平面PCD ，平面平面，所以．CD ⊂PBE ⋂PCD l =l CD ∥【小问2详解】当平面平面BCDE 时，四棱锥的体积最大． PDE ⊥-P BCDE 平面平面BCDE=DE ，平面PDE ，, PDE PE ⊂PE DE ⊥可得平面BCDE ，平面BCDE ，可得BC ， PE ⊥BC ⊂PE ⊥作交BC 于点O ，连接PO ，, EO BC ⊥EO PE E ⋂=可得平面POE ，而PO 在平面PEO 中，故PO ，BC⊥BC ⊥即为二面角的平面角，POE ∠P BC D --在中，，，，Rt POE A 12PE=3sin 602EO =⨯︒=tan POE ∠==所以二面角． P BC D --【小问3详解】由展开图可知，B 关于CD 的对称点为，，，由勾股定理可得B 'DE =BB '=AB '=A 、G、H 、共线时，周长最短，PB =B '此时 ()minPG GH HB PB AB PB '+++=+=+。
辽宁省名校联盟2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷
辽宁省名校联盟2024-2025学年高一第一次月考—数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．给出下列关系式，其中正确的是（ ）。
A 、∅∈0B 、}|{}0{2x x x =⊆C 、+⊆N }0{D 、}1352|){(}21{ =−=+⊆y x y x y x ，，【答案】B【解析】A 选项，∅是没有任何元素的集合，错，B 选项，∵}10{}|{2，==x x x ，∴}|{}0{2x x x =⊆，对，C 选项，+N 是正整数集合，错，D 选项，)}21{(}1352|){(，，= =−=+y x y x y x ，元素是点坐标，错，故选B 。
2．已知命题p ：)0[∞+∈∀，x ，112≥+x ，则命题p 的否定为（ ）。
A 、)0[∞+∉∃，x ，112<+xB 、)0[∞+∈∃，x ，112<+xC 、)0[∞+∉∀，x ，112<+xD 、)0[∞+∈∀，x ，112≤+x【答案】B【解析】命题p ：)0[∞+∈∀，x ，112≥+x 否定为)0[∞+∈∃，x ，112<+x ，故选B 。
3．已知R c b a ∈、、，则下列命题正确的是（ ）。
A 、若0≠ab 且b a <，则b a 11> B 、若10<<a ，则a a <3C 、若0<<b a ，则a ba b <++11D 、若a b c <<且0<ac ，则22ab cb <【答案】B【解析】A 选项，当b a <<0时，满足0≠ab 且b a <，但是不满足b a 11>，错，B 选项，10<<a ，∴12<a ，∴0)1(2<−⋅a a ，即03<−a a ，即a a <3，对，C 选项，当01<<−a 时，0)1(<+a a ，若a ba b <++11成立，则需)]1([11)]1([+⋅⋅>++⋅+⋅a a a ba b a a ，∴b ab a ab +>+，∴b a >与0<<b a 矛盾，错，D 选项，当0=b 时，若a b c <<且0<ac ，则22ab cb =不能得出22ab cb <，错，故选B 。
富平县高一第二学期数学第一次月考试卷
富平县高一第二学期数学第一次月考试卷 考试时间：[具体时长]分钟 满分：150分。 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知向量→a=(1,2)，→b=(3,-1)，则→a·→b等于（ ） A. 1 B. 5 C. -1 D. -5 2. 在△ ABC中，已知a = 3，b = 4，C = 60^∘，则c的值为（ ）（根据余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcos C）
A. √(13) B. √(37) C. √(21) D. 5 3. 若直线l的斜率为2，且在y轴上的截距为-3，则直线l的方程为（ ） A. y = 2x 3 B. y = 2x + 3 C. y = -2x 3 D. y = -2x + 3 4. 已知sinα=(3)/(5)，且α是第二象限角，则cosα的值为（ ） A. (4)/(5) B. -(4)/(5) C. (3)/(4) D. -(3)/(4) 5. 已知向量→m=(2,1)，→n=(x,-2)，若→m∥→n，则x的值为（ ） A. -4 B. 4 C. -1 D. 1 6. 在等差数列{a_n}中，已知a_1=2，d = 3，则a_5的值为（ ） A. 14 B. 17 C. 20 D. 23 7. 若点A(1,2)，B(3,-1)，则线段AB的中点坐标为（ ） A. (2,(1)/(2)) B. (2,-(1)/(2)) C. (4,1) D. (4,-1) 8. 函数y = sin(2x + (π)/(3))的最小正周期是（ ） A. π B. 2π C. (π)/(2) D. (2π)/(3) 9. 已知等比数列{a_n}中，a_1=1，公比q = 2，则a_4的值为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 10. 已知直线l_1:2x + y 1 = 0与直线l_2:x 2y + 3 = 0，则两直线的夹角为（ ）（设两直线夹角为θ，tanθ=<=ft|frac{k_1-k_2}{1 + k_1k_2}right|，其中k_1,k_2分别为两直线斜率）
高一数学第一次月考试题
高一数学学科第一次月考试题考试用时：90分钟 满分：100分一、选择题（本题共12道小题，每小题4分，共48分）1.下列关于集合的关系式正确的是（ ）A ．0∈{0}B ．∅={0}C ．0=∅D ．{2,3}≠{3,2}2. 命题“对任意的x ∈R,2x+1＞0”的否定为（ ）A.对任意的x ∈R,2x+1≤0B.存在x ∈R,2x+1＞0C.对任意的x ∉R,2x+1≤0D.存在x ∈R,2x+1≤03.已知实数集为R ，集合{}3M x x =<，{}1N x x =<，R MC N =( ) A. ∅ B. {}13x x << C. {}13x x ≤< D. {}13x x ≤≤4.设x ∈R ，“x ＞1“的一个充分条件是（ ）A ．x ＞﹣1B ．x ≥0C ．x ≥1D ．x ＞25.若正数a ，b 满足31a b +=，则13a b +的最小值为（ ）A. 12B. 14C. 16D. 186.已知不等式022>-+bx ax 的解集是}412|{-<<-x x ，则的值为b a - ( )A.2B.3C.4D.57.下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（ ）A.所有的正方形都是矩形B.有些梯形是平行四边形C.对任意的x ∈R ，3x+2＜0D.至少有一个整数m ，使得m 2＜18.已知a ＞0，﹣1＜b ＜0，那么下列不等式成立的是（ ）A. a ＜ab ＜ab 2B. ab ＜a ＜ab 2C. ab ＜ab 2＜aD. ab 2＜a ＜ab9.生活中有这样一个实际问题：如果一杯糖水不够甜，可以选择加糖的方式，使得糖水变得更甜．若*0b a n R ∈＞＞，，则下列数学模型中最能刻画“糖水变得更甜”的是（ ）A. a b b n +>+B.a n ab n b+>+ C. a n b n +<+ D. a n a b n b +<+ 10.“1x >”是“20x x ->”的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件11.已知集合P={4，5，6}，Q={1，2，3}，定义P ⊕Q={x|x=p ﹣q ，p ∈P ，q ∈Q}，则集合P ⊕Q 的所有真子集的个数为（ ）A ．32B ．31C ．30D ．以上都不对 12.若0＜x ＜1，则当x(4-3x)取得最大值时，x 的值为（ ）31214332A. B. C. D.二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）13.已知集合A }{3,2,1⊆，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合A 的个数为 ．14.已知集合{}{},,0,1,2a b c =，且下列三个关系式：（1）2a ≠；（2）2b =；（3）0c ≠；有且只有一个正确，则a b c +-=____________．15.设α：x ＞m ，β：1≤x ＜3，若α是β的必要条件，则实数m 的取值范围是 ．16.已知集合{}11A x x =-<<，{}B x x a =<，若A B =∅，则实数a 的取值范围__________．三、解答题（本题共4道小题,第17题8分,第18题8分,第19题8分,第20题12分,共36分）17.（8分）设全集{}|4U x x =≤，{}|23A x x =-<<，{}|33B x x =-<≤，求U C A ，A B ，()U C A B ，()U C A B ⋂.18. (8分）已知集合A={x|x 2﹣3x+2＜0}，B={x|a ﹣1＜x ＜3a+1}．（1）当a=时，求A ∩B ；（2）命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．19．（8分）已知关于x 的不等式x 2-5ax+b ﹥0的解集为{x|x ﹥4，或x ＜1}.(1)求实数a,b 的值；(2)若正实数x,y 满足x+y=2,t=x a +y b ,求t 的最小值。
高一上学期第一次月考数学试卷(附带答案)
高一上学期第一次月考数学试卷(附带答案)（满分：150分；考试时间：120分钟）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一.单选题。
（本题共8小题，共40分，每小题只有一个正确选项。
)1.直线√3x －y +2=0的倾斜角是（ ）A.150°B.120°C.60°D.30°2.过点P （﹣2，m ）和Q （m ，4）的直线斜率等于1，那么m 的值等于（ ）A.1或3B.1C.4D.1或43.直线l 经过直线x －2y+4=0和直线x + y －2=0的交点，且与直线x+3y+5=0垂直，则直线l 的方程为（ ）A.3x －y+2=0B.3x+y+2=0C.x －3y+2=0D.x+3y+2=04.已知直线l 1：mx+y －1=0，l 2：(4m －3)x+my －1=0，若l 1⊥l 2，则实数m 的值为（ ）A.0B.12C.2D.0或125.对于圆C ：x 2+y 2－4x+1=0，下列说法正确的是（ ）A.点4(1，﹣1）在圆C 的内部B.圆C 的圆心为（﹣2,0)C.圆C 的半径为3D.圆C 与直线y=3相切6.在平面直角坐标系xOy 中，以点（0，1）为圆心且与直线x －y －1=0相切的圆的标准方程为（ ）A.(x －1)2+y 2=4B.(x －1)2+y 2=1C.x 2+(y －1)2=√2D.x 2+(y －1)2=27.已知直线l 1：x+2y+t 2=0，l 2：2x+4y+2t －3=0，则当l 1与l 2间的距离最短时，求实数t 的值为（ ）A.1B.12C.13D.28.已知点A(2，﹣3)，B(﹣3，﹣2)，若直线l:mx+y －m －1=0与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是（ ）A.[﹣34，4]B.[15，+∞)C.（﹣∞，﹣34]∪[4，+∞）D.[﹣4，34]二．多选题.（每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，错选的得0分。