【学练优】八年级数学下册 4.3 平方差公式(第1课时)导学案(无答案)(新版)北师大版
1
公式法
第1课时 平方差公式
学习目标：
1.了解运用公式法分解因式的意义；
2.会用平方差公式进行因式分解；
本节重难点：用平方差公式进行因式分解
中考考点：正向、逆向运用平方差公式。
预习作业：
请同学们预习作业教材P54~P55的内容：
1. 平方差公式字母表示: .
2. 结构特征：项数、次数、系数、符号
活动内容：填空：
（1）（x+3）（x–3） = ；（2）（4x+y）（4x–y）= ；
（3）（1+2x）（1–2x）= ；（4）（3m+2n）（3m–2n）= ．
根据上面式子填空：
（1）9m2–4n2= ；（2）16x2–y2= ；
（3）x2–9= ；（4）1–4x2= ．
结论：a2–b2=（a+b）（a–b）
平方差公式特点：系数能平方，指数要成双，减号在中央
例1： 把下列各式因式分解：
（1）25–16x2 （2）9a2–
2
4
1
b
变式训练：
（1）24420.1649abmn （2）2219ab
例2、将下列各式因式分解：
（1）9（x–y）2–（x+y）2 （2）2x3–8x
变式训练：
（1）22()()xmnynm （2）5aa
注意：1、平方差公式运用的条件：（1）二项式（2）两项的符号相反（3）每项都能化成平
方的形式
2、公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式
3、各项都有公因式，一般先提公因式。
例3：已知n是整数，证明：2(21)1n能被8整除。
1
拓展训练：
1、计算：
2、分解因式：22122xy
3、已知a,b,c为△ABC的三边，且满足222244acbcab，试判断△ABC的形状。
)1)......(1)(1)(1(22221001413121
4.3 公式法(第1课时)北师大版数学八年级下册教案
4.3公式法（第1课时运用平方差公式因式分解）教学目标1.理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；2.掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式，培养学生多步骤分解因式的能力.教学重点难点重点：掌握运用平方差公式分解因式的方法.难点：能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.教学过程复习巩固1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解.因式分解也可称为分解因式.2.平方差公式：(a+b)(a-b)＝a2-b2.导入新课活动1（学生交流，教师点评）【问题1】填空：（1）（x+5）（x-5）＝；（2）（3x+y）（3x-y）＝；（3）（3m+2n）（3m–2n）＝.它们的结果有什么共同特征？答案：（1）x2–25；（2）9x2–y2；（3）9m2–4n2学生：以上都是用平方差公式：(a+b)(a-b)＝a2-b2计算得出来的.【问题2】根据问题1中等式填空：（1）x2-25＝；（2）9x2−y2＝；（3）9m2-4n2＝.答案：（1）（x+5）（x-5）（2）（3x+y）（3x-y）；（3）（3m+2n）（3m–2n）.教师总结：公共特点：是两个数（式）的和与这两个数（式）的差的积，等于这两个数（式）的平方差，反过来，两个数（式）的平方差就可以化成这两个数（式）的和与这两个数（式）的差的积的形式，这种变形就是我们今天学习的内容，引出课题.探究新知探究点一用平方差公式因式分解(a+b)(a-b)＝a2-b2反过来，a2-b2＝(a+b)(a-b).两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.【注意】公式中的a,b既可以是单项式，也可以是多项式活动2（学生交流，教师点评）【问题3】（师生互动）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A.a2+(-b)2B.5m2-20mnC.-x2-y2D.-x2+9解析：A中a2+(-b)2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B中5m2-20mn两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C中-x2-y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D中-x2+9＝-x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确.故选D.【方法总结】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.【互动】(小组交流)下列各式中，能运用平方差公式分解的多项式是.(填序号)①x2+y2；②1-x2；③-x2-y2；④x2-xy.答案：②.活动3小组讨论(师生互学)【例1】因式分解：(1)a4-116b4；(2)x3y2-xy4.【探索思路】(引发学生思考)观察各式的特点，运用平方差公式进行因式分解.解：(1)a4-116b 4＝⎝⎛⎭⎫a2＋14b2⎝⎛⎭⎫a2－14b2＝⎝⎛⎭⎫a2＋14b2⎝⎛⎭⎫a－12b⎝⎛⎭⎫a＋12b.(2)x3y2-xy4＝xy2(x2-y2)＝xy2(x+y)(x-y).【总结】(学生总结，老师点评)因式分解前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式.分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.【例2】分解因式：9(m+n)2-(m-n)2.解：原式＝[3(m+n)]2-(m-n)2＝[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]＝(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)＝(4m+2n)(2m+4n)＝4(2m+n)(m+2n).【总结】1.如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差的形式，那么就可以用平方差公式分解因式，将多项式分解成两个整式的和与差的积.2.当多项式各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解.【注意】多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.【即学即练】 (学生独学)因式分解：(1)(a +b )2-4a 2； (2) x 4-y 4.解：(1) (a +b )2-4a 2＝(a +b -2a )(a +b +2a )＝(b -a )(3a +b )；(2)x 4-y 4＝(x 2)2-(y 2)2＝(x 2+y 2)(x 2-y 2)＝(x 2+y 2)(x +y )(x -y ).活动4（合作探究，解决问题）探究点二 用平方差公式因式分解解决综合问题.（师生互动）【例2】 248-1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数.【探索思路】被自然数整除的含义是什么？248-1这个数比较大，怎样求出符合要求的两个数？解：248-1＝(224+1)(224-1)＝(224+1)(212+1)(212-1)＝(224+1)(212+1)(26+1)(26-1).∵26＝64，∴26-1＝63,26+1＝65，∴这两个数是65和63.【题后总结】(学生总结，老师点评)解决整除的基本思路就是将数化为整数乘积的形式，然后分析被哪些数整除.活动5 拓展延伸(学生对学)【例3】利用因式分解计算：(1)1012-992；(2)5722×14-4282×14. 【探索思路】观察式子特点，用提公因式法和平方差公式进行因式分解.解：(1)1012-992＝(101+99)(101-99)＝400.(2)5722×14-4282×14＝(5722-4282)×14＝(572+428)(572-428)×14＝1000×144×14＝36 000. 【题后总结】(学生总结，老师点评)对于一些比较复杂的计算，如果通过变形转化为平方差公式的形式，使运算简便.【即学即练】 (学生独学)求证：当n 为整数时，多项式(2n +1)2-(2n -1)2一定能被8整除.证明：原式＝(2n +1+2n -1)(2n +1-2n +1)＝4n ·2＝8n ，∵n 为整数，∴8n 被8整除，即多项式(2n +1)2-(2n -1)2一定能被8整除.课堂练习1下列多项式中能用平方差公式因式分解的是()A.a 2+(−b )2B.5m 2−20mnC.x 2−y 2D.x 2+92.因式分解(2x +3)2-x 2的结果是（ ）A.3(x 2+4x +3)B.3(x 2+2x +3)C.(3x +3)(x +3)D.3(x +1)(x +3)3若a +b ＝3，a -b ＝7，则b 2-a 2的值为（ ）A.-21B.21C.-10D.104.用平方差公式进行简便计算:（1）38²-37²； （2）213²-87²；（3）229²-171²； （4）91×89.5.已知x 2-y 2＝-1，x +y ＝12，求x -y 的值. 6.已知4m +n ＝40，2m -3n ＝5.求(m +2n )2-(3m -n )2的值.参考答案：1.C 解析：A.a 2+(−b )2中两项符号相同，不能用平方差公式因式分解，故A 选项错误；B.5m 2−20mn 两项不都是平方项，不能用平方差公式因式分解，故B 选项错误；C.x 2−y 2中两项符号相反，能用平方差公式因式分解，故C 选项正确；D.x 2+9中，两项符号相同，不能用平方差公式因式分解，故D 选项错误.选C.2.D 解析：(2x +3)2-x 2＝(2x +3+x )（2x +3-x )＝(3x +3)（x +3)＝3(x +1)(x +3)3.A 解析：b 2-a 2＝(b +a )(b -a )＝ 3×(−7)＝ −21.4.解：（1）38²−37²＝（38+37）（38−37）＝75.（2）213²-87²＝(213+87)(213-87)＝300×126＝37800.（3）229²-171²＝（229+171）（229-171）＝400×58＝23200.（4）91×89＝（90+1）（90−1）＝90²-1＝8100-1＝8099.5.解：∵x 2-y 2＝(x +y )(x -y )＝-1，x +y ＝12，∴x -y ＝-2. 6.解：原式＝(m +2n +3m −n )(m +2n −3m +n )＝(4m +n )(3n −2m )＝− (4m +n )（2m −3n ).当4m +n ＝40，2m −3n ＝5时，原式＝−40×5＝−200.课堂小结(学生总结，老师点评，当堂达标)一、运用平方差公式因式分解：a2-b2＝(a+b)(a-b).二、平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.布置作业教材第100页习题4.4板书设计3公式法第1课时运用平方差公式因式分解用平方差公式因式分解：a2-b2＝(a+b)(a-b).【问题1】例1因式分解：(1)a4-116b4；(2)x3y2-xy4.【问题2】例2248-1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数.。
数学北师大版八年级下册4.3.1运用平方差公式分解因式.3.1运用平方差公式分解因式导学案_doc赵晶4
（1）a2b2－m2（2）（m－a）2－（n+b）2
（3）x2－（a+b－c）2（4）–16x4＋81y4
3．★★★如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形．用a与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．
导学案
榆林市高新一中赵晶
课题
第四章因式分解
4.3.1运用平方差公式分解因式
时间
2015．3.26
学习
目标
1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；
2.使学生掌握用平方差公式分解因式.
3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.
设
疑
导
学
一．看谁算的快
1、992—1= 2、10032—10022=
二．①计算下列各式:
(1) (a+2)(a-2)=
(2) (a+b)(a-b)=
(3) (3a+2b)(3a-2b)=
②根Байду номын сангаас左面的算式将各式分解因式：
(1)a2-4=
(2)a2-b2=
(3)9a2-4b2=
1.请同学们对比以上两题，你发现什么呢？
2.学生相互讨论下列问题：
（1）观察平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b），思考能用平方差公式分解因式的多项式有什么特点？分解后的结果是什么？
（2）用语言叙述公式：
（3）公式中的a，b可以表示什么？
（4）根据你对公式的理解，请举出几个用平方差公式分解因式的例子，并指出多项式中谁相当于公式中的a，谁相当于公式中的b？
自主检测
1．★看谁能最快得出下列各式分解因式的结果：
4.3 公式法第1课时 逆用平方差公式课件2023-2024学年北师大版八年级数学下册
1.下列多项式中，能运用平方差公式因式分解的是( )A. B. C. D.
C
2.某同学粗心大意，因式分解时，把等式 中的两个数字弄污了.式子中的 ， 对应的一组数可以是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
北师大版八年级数学下册课件
第四章 因式分解
4.3 公式法
第1课时 逆用平方差公式
1.两个数的平方差可以分解成这两个数的_____与这两个数的_____的积，即 _________________.
2.能运用平方差公式进行因式分解的多项式满足：仅有两个平方项，且它们的符号_______；公式中的 , 可以是单项式，也可以是_________；运用平方差公式进行因式分解时，若各项有公因式，应先提取_________，再运用平方差公式分解.
B
3.因式分解： ________________.
4.已知 ， ，则 _______.
5.已知 ，则 ____.
6.把下列各式因式分解：
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
7.已知 可以被60和70之间某两个数整除，求这两个数.
解： .则这两个数为63和65.
【点拨】题中的计算可以看成两个数的平方差运算，利用平方差公式可以简化计算.
【解】原式 .
变式.用简便方法计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
易错示例 把多项式 因式分解.
【错解】 .【错因分析】错解中因式分解不彻底.分解不彻底是因式分解时经常出现的问题，所以在你认为因式分解完成以后，一定要再仔细观察分解后的每一个因式能否继续分解.
8.计算： .
解：原式 .
八年级数学下册 第四章 因式分解 3 公式法第1课时 用平方差公式进行因式分解教案(新版)北师大版
学习资料八年级数学下册第四章因式分解 3 公式法第1课时用平方差公式进行因式分解教案（新版）北师大版班级：科目：3 公式法第1课时用平方差公式进行因式分解【知识与技能】会用平方差公式进行因式分解.【过程与方法】经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想,感受数学知识的完整性.【情感态度】在探究的过程中培养学生独立思考的习惯,在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法,在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”.【教学重点】掌握公式法中的平方差公式进行分解因式.【教学难点】灵活运用公式法或已学过的提公因式法进行分解因式，正确判断因式分解的彻底性.一。
情景导入，初步认知填空：（1)（x+5）（x—5）=________;（2）（3x+y）（3x—y)=________；(3）(3m+2n）(3m—2n）=________________它们的结果有什么共同特征？尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积:x2－25=________； 9x2－y2=_______； 9m2－4n2=______。
【教学说明】对平方差公式进行复习，利于本节课的教学。
二.思考探究，获取新知1。
观察下列过程，谈谈你的感受。
将多项式a2-b2进行因式分解：∵（a+b)(a-b)=a2-b2整式乘法∴a2—b2=（a+b）(a—b)因式分解【归纳结论】整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法.这种分解因式的方法称为运用公式法。
2。
找特征a2-b2=(a+b)(a—b）(1）公式左边:（是一个将要被分解因式的多项式）被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（）2－( ）2的形式.(2）公式右边：(是分解因式的结果)分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。
三。
运用新知,深化理解1。
见教材P99例1、例22。
下列多项式能转化成（ )2－（）2的形式吗?如果能，请将其转化成( ）2－（）2的形式.（1）m2－81=m2－92;(2）1－16b2=12－(4b)2；（3)4m2+9；（4)a2x2－25y2=（ax）2－（5y)2;（5）－x2－25y2.3。
4 3 1公式法导学案北师大版八年级数学下册
4.3.1公式法导读【课题与课时】课题：北师大版 初中数学 八年级下册（2012版）第四章 4.3.1公式法共2时 第1课时【课标要求】1. 会用平方差公式进行因式分解2. 探索利用平方差公式进行因式分解的过程，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想【学习目标】1.通过整式乘法的平方差公式逆用，理解因式分解的平方差公式，会用平方差公式进行因式分解；2. 经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性【评价任务】1.合作完成任务一：1 (检测目标1 )2.合作完成任务二：2-4(检测目标2)【学习提示】 阅读评价任务，明确本节内容有几个任务需要完成，每个任务要怎样完成，完成以后的检测评价内容是什么，同时明确针对目标的评价标准，有效引导自己学习.【资源与建议】学生在学习了用提取公因式法进行因式分解的基础上，本节课又安排了用公式法进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。
【学习过程】课堂预学----学前准备：填空：（1）（x+5）（x –5） = ；（2）（3x+y ）（3x –y ）= ；（3）（3m +2n ）（3m –2n ）=归纳：它们的结果有什么共同特征课堂互学----组内研学、学生展学、自我归纳任务一：探索平方差公式（指向目标1）问题1尝试将它们分解因式：.____________________49_;____________________9__;____________________2522222=-=-=-n m y x x学习提示：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．问题2归纳总结：(a+b)(a-b)=a²-b² a²-b² = (a+b)(a-b)（整式乘法）（因式分解）特点：(1)公式左边：（）★被分解的多项式，且这两项，并且能写成（）２－（）２的形式.(2) 公式右边：★分解的结果是的形式。
北师大版数学八年级下册4.3《平方差公式》(第1课时)教学设计
北师大版数学八年级下册4.3《平方差公式》（第1课时）教学设计一. 教材分析北师大版数学八年级下册4.3《平方差公式》（第1课时）是学生在学习了完全平方公式的基础上进行学习的，本节课的主要内容是平方差公式的探究和运用。
平方差公式是代数中的一个重要公式，它不仅在数学学习中有着广泛的应用，而且在日常生活和工作中也有着重要的作用。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了完全平方公式，对公式有一定的理解，同时学生的思维能力和探究能力也有了一定的发展。
但学生对平方差公式的理解和运用还需要进一步的提高。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过探究、实践，加深对平方差公式的理解，提高运用公式解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解平方差公式的含义，掌握公式的运用。
2.培养学生的思维能力和探究能力。
3.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式的理解和运用。
2.难点：平方差公式的推导和灵活运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等，引导学生通过自主学习、合作探究，提高对平方差公式的理解和运用。
六. 教学准备1.准备相关的学习材料和案例。
2.准备教学课件和板书设计。
3.准备相关的问题和练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提出问题，引导学生回顾完全平方公式，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过展示平方差公式的推导过程，让学生理解和掌握公式的推导方法。
3.操练（10分钟）教师通过出示一些例子，让学生运用平方差公式进行计算，巩固对公式的理解和运用。
4.巩固（10分钟）教师通过一些练习题，让学生进一步巩固对平方差公式的理解和运用。
5.拓展（5分钟）教师通过一些生活中的实际问题，让学生运用平方差公式进行解决，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
6.小结（5分钟）教师引导学生对所学内容进行小结，总结平方差公式的理解和运用。
7.家庭作业（5分钟）教师布置一些练习题，让学生回家进行练习，巩固所学知识。
八年级数学下册4.3平方差公式教学设计(新版)北师大版【精品教案】
公式法课标内容能灵活运用平方差公式进行因式分解 课标分解【知识与技能】通过（a+b)（a-b)=a 2-b 2的逆向变形得出公式法因式分解的方法的过程，发展我们的逆向思维和推理能力。
2、通过学习，学生能够灵活运用提公因式法和平方差公式因式分解（直接运用公式不超过两次）并且分解彻底.【过程与方法】经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性． 【情感态度与价值观】在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。
教材分析本节课是提公因式法后运用公式法的第一课时——用平方差公式法分解因式。
它是整式乘法中平方差公式的逆向应用，它是解高次方程的基础，在教材中具有重要的地位。
在教材的处理上以学生的自主探索为主，在原有用平方差公式进行整式乘法计算的知识的基础上充分认识分解因式。
明确因式分解是乘法公式的一种恒等变形，让学生学会合情推理的能力，同时也培养了学生爱思考，善于交流的良好学习惯。
教学重难点分析 【教学重点】会用平方差公式进行因式分解 【教学难点】准确理解和掌握公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行因式分解。
【突破方法】教师引导，学生自主探索与小组合作交流法 教学建议 1、 本节课的教学设计借助于学生已有的整式乘法运算的基础，给学生留有充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到分解因式的转换过程并能用符号合理的表示出分解因式的关系式，同时感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性。
2 、有意识的培养学生逆向思考问题的习惯，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维习性，提高学习效果、学习兴趣，及思维能力和整体素质．3、保证基本的运算技能的训练，避免复杂的题型训练。