2020年北京市东城区高考数学二模试卷(二)(有答案解析)
7.答案：A
解析：解：依题意，以 C 为坐标原 点，CD 为 x 轴，CB 为 y 轴，CC1 为 z 轴建立坐标系，则 C1（0，0， 2），A（2，2，0）． 设 P 点坐标为（x，y，0）， 则由 PA≥PC1，得
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≥
，
在 xoy 平面内，z=0， 化简得：x+y≤1． 所以，点 P 构成的区域为如图的阴影区域．
3.答案：C
解析：【分析】 本题主要考查两个向量共线的性质，属于基础题．
由题意可得
即
，再根据两个向量共线的性质可得
结论． 【解答】
解：由题意可得
，
，由此可得
∴
，使得
，
又 = +m （m≠1）， =n + ，
故有
，
∴mn=1， 故选：C．
4.答案：C
解析：解：由三视图得鲁 班锁的其中一个零件是： 长为 100，宽为 20，高为 20 的长方体的上面的中
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间部分去掉一个长为 40，宽为 20，高为 10 的小长体的一个几何体， 如图， ∴该零件的体积： V=100×20×20-40×20×10=32000（mm3）． 故选：C． 由三视图得鲁班锁的其中一个零件是长为 100，宽为 20，高为 20 的长方体的上面的中 间部分去掉一个长为 40，宽为 20，高为 10 的小长体的一个几何体，由此能求出该零件 的体积． 本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查运算求解能力、 空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
19. 已知函数 f（x）=x+sinx． （Ⅰ）求曲线 y=f（x）在点
处的切线方程；
（Ⅱ）若不等式 f（x）≥axcosx 在区间
上恒成立，求实数 a 的取值范围．
20. 若 n 行 n 列的数表
（n≥2）满足：aij∈{0，1}（i，j=1，2，…，n），
（i=1，2，…，n，0＜m＜n），
，记这样的一个数表为 An（m）．对
12. 将函数
的图象向左平移 个单位长度，得到函数 y=g（x）的图象，
则 =______．
13. 设关于 x，y 的不等式组
表示的平面区域为钝角三角形及其内部，则
m 的取值范围是______． 14. 已知函数 f（x），对于任意实数 x∈[a，b]，当 a≤x0≤b 时，记|f（x）-f（x0）|的最大
所以，满足条件的点 P 构成的图形的面积等于 S= ×1×1= ．
故选：A． 以 C 为坐标原点，CD 为 x 轴，CB 为 y 轴，CC1 为 z 轴建立坐标系，设 P 点坐标为（x， y，0），根据 PA≥PC1，列不等式，化简后得到 x，y 的约束条件，即可求出 P 点构成图 形的面积． 本题考查了空间距离，考查了正方体的结构特征，空间坐标系的应用等，属于中档题．
值分别为（ ）
A. 7，-3 B. -3，-3 C. 5，-3 D. 5，2
3. 已知向量 与 不共线，且 = +m （m≠1）， =n + ．若 A，B，C 三点共线，则实
数 m，n 满足的条件为（ ）
A. m+n=1
B. m+n=-1
C. mn=1
D. mn=-1
4. 鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所
5.答案：C
解析：解：若 Sn＞nan 对 n≥2 恒成立，
则 na1+ d＞n（a1+（n-1）d]，
整理得（n-1）d＜0，① 当 n≥2 时，得 d＜0，即等差数列{an}是单调递减数列，则 a3＞a4 成立， 若 a3＞a4 成立，得 d＜0，此时由①得 n-1＞0，得 n＞1， 此时 n≥2 恒成立， 综上“Sn＞nan 对 n≥2 恒成立”是“a3＞a4”的充要条件， 故选：C． 根据等差数列的通项公式结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列通项公式以及前 n 项和公式进 行化简是解决本题的关键．
解析：解：B={x|-1≤x≤2}； ∴∁RB={x|x＜-1，或 x＞2}； ∴A∩∁RB={-2}． 故选：A． 可求出集合 B，然后进行补集、交集的运算即可． 考查列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、补集的运算．
2.答案：D
解析：解：模拟程序的运行，可得： a=2，b=5， 不满足 a＞b，a=2+5=7，
值为 D[a，b]（x0）． ①若 f（x）=（x-1）2，则 D[0，3]（2）=______；
②若
则 D[a，a+2]（-1）的取值范围是______．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 80.0 分）
15. 如图，在四边形 ABCD 中，
，
．
（Ⅰ）求∠CAD 的正弦值； （Ⅱ）若∠BAC=2∠CAD，且△ABC 的面积是△ACD 面积的 4 倍，求 AB 的长．
15 24
从这 20 天中随机选取一天，随机变量 X 表示在维修处该天元件 A 的维修个数． （Ⅰ）求 X 的分布列与数学期望； （Ⅱ）若 a，b∈N*，且 b-a=6，求 P（a≤X≤b）最大值； （Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件 A 的 个数的数学期望不超过 4 个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）
（其中 v0，k0 是正数），则以
下说法正确的是（ ）
A. 随着车流密度增大，车流速度增大 B. 随着车流密度增大，交通流量增大 C. 随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大 D. 随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小
二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分）
9. 已知复数
在复平面内对应的点为 Z，则 Z 关于虚轴对称的点位于第______象
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有 3 本相同的论语、6 本互不相同的近代
文学名著，现从这 9 本书中选出 3 本，则不同的选法种数为（ ）
A. 84
B. 42
C. 41
D. 35
7. 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，P 是底面 ABCD 上的动点，PA≥PC1，则 满足条件的点 P 构成的图形的面积等于（ ）
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18. 已知点 P（1，2）到抛物线 C：y2=2px（p＞0）准线的距离为 2． （Ⅰ）求 C 的方程及焦点 F 的坐标； （Ⅱ）设点 P 关于原点 O 的对称点为点 Q，过点 Q 作不经过点 O 的直线与 C 交于 两点 A，B，直线 PA，PB 分别交 x 轴于 M，N 两点．求|MF|•|NF|的值．
17. 如图，四边形 ABCD 和三角形 ADE 所在平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，∠DAB=60°， AB=AD=4，AE⊥DE，AE=DE，平面 ABE 与平面 CDE 交于 EF． （Ⅰ）求证：CD∥EF； （Ⅱ）若 EF=CD，求二面角 A-BC-F 余弦值； （Ⅲ）在线段 BC 上是否存在点 M 使得 AM⊥EM？若存在，求 BM 的长；若不存在， 说明理由．
故答案为：四． 利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 Z 的坐标，进一步求得 Z 关于虚轴对称的点的 坐标得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
10.答案：9.（7,8,9,10,11,12,13,14,15,16）任取一个为正确答案.
解析：【分析】 本题考查了对数值的运算，属基础题． 由对数的运算得：a=log26＞log24=2,b=log515＜log525=2，可得答案． 【解答】 解：由 a=log26＞log24=2， b=log515＜log525=2， 即取 m=9 即 log39=2 满足 a＞log3m＞b，m∈N*， 故满足条件的 m 可以为 9．（同理可得 m 可为 7,8,9,10,11,12,13,14,15,16） 故答案为：9.（7,8,9,10,11,12,13,14,15,16）任取一个为正确答案.
于 An（m），记集合
．|T
（n，m）|表示集合 T（n，m）中元素的个数．
（Ⅰ）已知
，写出
的值；
（Ⅱ）是否存在数表 A4（2）满足|T（4，2）|=1？若存在，求出 A4（2），若不存 在，说明理由；
（Ⅲ）对于数表
，求证：
．
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1.答案：A
-------- 答案与解析 --------
2020 年北京市东城区高考数学二模试卷（二）
一、选择题（本大题共 8 小题，共 40.0 分）
1. 已知集合 A={-2，-1，0，1，2}，B={x|x2-x-2≤0}，则 A∩∁RB=（ ）
A. {-2}
B. {0，1}
C. {-2，-1，2} D. {-1，0，1，2}
2. 执行如图所示的程序框图，输入 a=2，b=5，那么输出的 a，b 的
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16. 某工厂的机器上有一种易损元件 A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维 修处维修．工厂规定当日损坏的元件 A 在次日早上 8：30 之前送到维修处，并要求 维修人员当日必须完成所有损坏元件 A 的维修工作．每个工人独立维修 A 元件需要 时间相同．维修处记录了某月从 1 日到 20 日每天维修元件 A 的个数，具体数据如 表：
【精校】2020年北京市东城区高考二模试卷数学文
2020年北京市东城区高考二模试卷数学文一、选择题(共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1.已知全集U 是实数集R.如图的韦恩图表示集合M={x|x ＞2}与N={x|1＜x ＜3}关系，那么阴影部分所表示的集合可能为( )A.{x|x ＜2}B.{x|1＜x ＜2}C.{x|x ＞3}D.{x|x ≤1}解析：由韦恩图得所有元素是有属于U ，但不属于M ∪N 的元素构成，即x ∈C U (M ∪N)， 由M={x|x ＞2}与N={x|1＜x ＜3}则M ∪N={x|x ＞1}， 则C U (M ∪N)={x|x ≤1}. 答案：D2.已知向量a r =(1，2)，b r =(x ，4)，且a b ⊥r r，那么x 的值为( )A.-2B.-4C.-8D.-16解析：∵a r =(1，2)，b r =(x ，4)，且a b ⊥r r，∴x+8=0，解得：x=-8.答案：C3.下列函数既是奇函数，又在区间[-1，1]上单调递减的是( ) A.f(x)=sinx B.f(x)=|x+1| C.f(x)=-x D.f(x)=cosx解析：对于A ，是奇函数，在区间[-1，1]上单调递增，不正确； 对于B ，非奇非偶函数，不正确，对于C ，是奇函数，在区间[-1，1]上单调递减，正确； 对于D ，偶函数，不正确. 答案：C4.在平面直角坐标系中，不等式组02x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，，所表示的平面区域的面积为( )A.1B.2C.4D.8解析：画出不等式组02x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，，所表示的平面区域如图所示，联立20x y x y =⎧⎨+-=⎩，，得C(1，1)，又A(0，2)，B(0，0)；∴不等式组02x x y x y≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，，所表示的平面区域的面积为S=12×2×1=1.答案：A5.已知x ，y ∈R ，那么“x ＞y ”的充分必要条件是( ) A.2x ＞2y B.lgx ＞lgy C.11xy＞D.x 2＞y 2解析：由2x ＞2y ⇔ x ＞y ，故“x ＞y ”的充分必要条件是：2x ＞2y. 答案：A6.已知直线x+y=m(m ＞0)与圆x 2+y 2=1相交于P ，Q 两点，且∠POQ=120°(其中O 为原点)，那么m 的值是( )A.B.2解析：由题意，圆心到直线的距离d=OPsin30°=12，即圆心O(0，0)到直线x+y=m(m＞0)的距离12，∵m＞0，∴m=2.答案：B7.日晷，是中国古代利用日影测得时刻的一种计时工具，又称“日规”.其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻.利用日晷计时的方法是人类在天文计时领域的重大发明，这项发明被人类沿用达几千年之久.如图是故宫中的一个日晷，则根据图片判断此日晷的侧(左)视图可能为 ( )A.B.C.D.解析：由侧视图的定义及其圆的三视图可知：此日晷的侧(左)视图可能为D. 答案：D8.已知甲、乙两个容器，甲容器容量为x ，装满纯酒精，乙容器容量为z ，其中装有体积为y 的水(x ，y ＜z ，单位：L).现将甲容器中的液体倒入乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器中两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略不计.设经过n(n ∈N *)次操作之后，乙容器中含有纯酒精a n (单位：L)，下列关于数，列{a n }的说法正确的是( )A.当x=y=a 时，数列{a n }有最大值2a B.设b n =a n+1-a n (n ∈N *)，则数列{b n }为递减数列 C.对任意的n ∈N *，始终有a n ≤xy zD.对任意的n ∈N *，都有a n ≤xyx y+ 解析：对于A ，若x+y ＞z ，每次倾倒后甲容器都有剩余，故a n ＜2a，故A 错误； 对于B ，若x+y=z ，则每次操作后乙容器所含酒精都为2x，故B 错误； 对于C ，若x=1，y=1，z=3，则a 1=12，13xy z =，故a 1＞xyz ，故C 错误； 对于D ，当n →+∞时，甲乙两容器浓度趋于相等，当x+y ≤z 时，a n =xyx y+， 当x+y ＞z 时，a n ＜xyx y+，故D 正确. 答案：D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.已知△ABC 三内角A ，B ，C 对应的边长分别为a ，b ，c ，且B=23π，又边长b=3c ，那么sinC= .解析：∵B=23π，又边长b=3c，∴由正弦定理可得：32sin sin sin 3c b c C B π===，∴解得：10.已知1112ni i =-+其中n 是实数，i 是虚数单位，那么n= . 解析：∵1112ni i =-+，其中n 是实数， ∴()()111111222i i ni i i -=-=-+-，解得n=12.答案：1211.如图茎叶图记录了甲，乙两班各六名同学一周的课外阅读时间(单位：小时)，已知甲班数据的平均数为13，乙班数据的中位数为17，那么x 的位置应填 ；y 的位置应填 .解析：根据茎叶图中的数据，得： ∵甲班的平均数为13，∴()8913151020163x ++++++=，解得x=3；又乙班的中位数是17，∴()1016172y ++=，解得y=8；综上，x 、y 的值分别为3、8.答案：3 812.已知函数f(x)=1nx+2x-6的零点在区间(2k ，12k +)(k ∈Z)内，那么k= . 解析：函数f(x)=lnx+2x-6在其定义域上连续单调递增，f(2)=ln2+4-6=ln2-2＜0，f(3)=ln3+6-6=ln3＞0；故函数f(x)=lnx+2x-6的零点在区间(2，3)内，故k=4. 答案：413.已知双曲线G 以原点O 为中心，过 4)点，且以抛物线C ：y 2=4x 的焦点为右顶点，那么双曲线G 的方程为 .解析：根据题意，抛物线C ：y 2=4x 的焦点为(1，0)，即双曲线G 的右顶点坐标为(1，0)，则该双曲线的焦点在x 轴上，且其中a=1，设其方程为：222y x b-=1，又由双曲线过点， 4)，则有4-24b=1，解可得b 2=4，则双曲线G 的方程为224y x -=1.答案：224y x -=114.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为对角线B 1D 上的一点，M ，N 为对角线AC 上的两个动点，且线段MN 的长度为1.(1)当N 为对角线AC 的中点且时，则三棱锥E-DMN 的体积是 ； (2)当三棱锥E-DMN 的体积为13时，则DE= .解析：(1)∵底面ABCD 是边长为2的正方形，N 是AC 的中点，∴AC ⊥BD ，， ∵BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥BB 1，又BB 1∩BD=B ，∴AC ⊥平面BB 1D ， 故当N 为AC 的中点时，有MN ⊥平面DEN ，又DB 1，BB 1=2，∴sin ∠BDB 13=，∴V E-DMN =V M-DEN =111·221332DEN S MN =⨯⨯⨯=V .(2)设三棱锥E-DMN 的高为h ， 则V E-DMN=11111233263S DMN h h ⋅=⨯⨯⨯⨯==V ，∴， ∵11h DE BB DB =，即2=. 答案：三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.在等差数列{a n }中，a 1=-2，a 12=20. (Ⅰ)求通项a n ； (Ⅱ)若b n =12na a a n++⋯，求数列{3nb }的前n 项和.解析：(Ⅰ)根据等差数列的通项公式即可求出公差d ，写出通项公式即可，(Ⅱ)先根据等差数列的求和公式化简b n ，再判断数列{3b n }为等比数列，根据等比数列的求和公式计算即可.答案：(Ⅰ)因为 a n =-2+(n-1)d ，所以 a 12=-2+11d=20. 于是 d=2，所以 a n =2n-4.(Ⅱ)因为a n =2n-4，所以 a 1+a 2+…+a n =()262n n -=n(n-3).于是 b n =12na a a n++⋯n=n-3，令 c n =3n b ，则 c n =3n-3.显然数列{c n }是等比数列，且c 1=3-2，公比q=3， 所以数列{3nb }的前n 项和S n =()1131118n n c q q--=-.16.函数f(x)=Asin(ωx+6π)(A ＞0，ω＞0)的最大值为2，它的最小正周期为2π. (Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)若g(x)=cosx ·f(x)，求g(x)在区间[-6π，4π]上的最大值和最小值. 解析：(Ⅰ)根据f(x)最小正周期为2π，求出ω.f(x)的最大值2，所以A=2.可得解析式；(Ⅱ)根据g(x)=cosx ·f(x)，求出g(x)的解析式，x ∈[-6π，4π]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f(x)的最大值和最小值. 答案：(Ⅰ)函数f(x)=Asin(ωx+6π)(A ＞0，ω＞0)， ∵f(x)的最小正周期为2π， ∴2πω，解得ω=1.∵f(x)的最大值2，∴A=2. 故得f(x)的解析式为f(x)=2sin(x+6π).(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x)=2sin(x+6π)=2sinxcos 6π+2cosxsin 6π=sinx+cosx那么g(x)=cosx ·2x=21cos 12sin 2226)2(x x x π++=++， ∵x ∈[-6π，4π]上时， 可得：22663x πππ-≤+≤， 于是，当2x+62ππ=时，g(x)取得最大值为32； 当2x+66ππ=-时，g(x)取得最小值为0. ∴g(x)在区间[-6π，4π]上的最大值为32，最小值为0.17.某单位附近只有甲，乙两个临时停车场，它们各有50个车位，为了方便市民停车，某互联网停车公司对这两个停车场在工作日某些固定时刻的剩余停车位进行记录，如下表：如果表中某一时刻停车场剩余停车位数低于总车位数的10%，那么当车主驱车抵达单位附近时，该公司将会向车主发出停车场饱和警报.(Ⅰ)假设某车主在以上六个时刻抵达单位附近的可能性相同，求他收到甲停车场饱和警报的概率；(Ⅱ)从这六个时刻中任选一个时刻，求甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率；(Ⅲ)当停车场乙发出饱和警报时，求停车场甲也发出饱和警报的概率.解析：(Ⅰ)事件“该车主收到停车场甲饱和警报”只有10点这一种情况，该车主抵达单位共有六种情况，由此能求出该车主收到停车场甲饱和警报的概率.(Ⅱ)事件“甲停车场比乙停车场剩余车位数少”有8点、10点、18点三种情况，一共有六个时刻，由此能求出甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率.(Ⅲ)事件“停车场乙发出饱和警报”有10点、12点、14点三种情况，事件“停车场甲也发出饱和警报”只有10点一种情况，由此能求出当停车场乙发出饱和警报时，停车场甲也发出饱和警报的概率.答案：(Ⅰ)事件“该车主收到停车场甲饱和警报”只有10点这一种情况，该车主抵达单位共有六种情况，所以该车主收到停车场甲饱和警报的概率为P=16.(Ⅱ)事件“甲停车场比乙停车场剩余车位数少”有8点、10点、18点三种情况，一共有六个时刻，所以甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率为3162P==.(Ⅲ)事件“停车场乙发出饱和警报”有10点、12点、14点三种情况，事件“停车场甲也发出饱和警报”只有10点一种情况，所以当停车场乙发出饱和警报时，停车场甲也发出饱和警报的概率为P=13.18.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形，BC∥AD，△ABD 是边长为2的正三角形，E，F分别为AD，A1D1的中点.(Ⅰ)求证：DD 1⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求证：平面A 1BE ⊥平面ADD 1A 1； (Ⅲ)若CF ∥平面A 1BE ，求棱BC 的长度.解析：(Ⅰ)证明DD 1⊥AD ，且DD 1⊥CD ，即可证明：DD 1⊥平面ABCD ； (Ⅱ)证明BE ⊥平面ADD 1A 1.即可证明：平面A 1BE ⊥平面ADD 1A 1； (Ⅲ)证明四边形BCFA 1是平行四边形，求棱BC 的长度.答案：(Ⅰ)因为侧面ADD 1A 1和侧面CDD 1C 1都是矩形，所以DD 1⊥AD ，且DD 1⊥CD. 因为AD ∩CD=D ，所以DD 1⊥平面ABCD.(Ⅱ)因为△ABD 是正三角形，且E 为AD 中点，所以BE ⊥AD. 因为DD 1⊥平面ABCD ，而BE ⊂平面ABCD ，所以BE ⊥DD 1. 因为AD ∩DD 1=D ，所以BE ⊥平面ADD 1A 1.因为BE ⊂平面A 1BE ，所以平面A 1BE ⊥平面ADD 1A 1.(Ⅲ)因为BC ∥AD ，F 为A 1D 1的中点，所以BC ∥A 1F.所以B 、C 、F 、A 1四点共面. 因为CF ∥平面A 1BE ，而平面BCFA 1∩平面A 1BE=A 1B ，所以CF ∥A 1B. 所以四边形BCFA 1是平行四边形.所以BC=FA 1=12AD=1.19.设函数f(x)=(x-a)·e x，a ∈R.(Ⅰ)当a=1时，试求f(x)的单调增区间； (Ⅱ)试求f(x)在[1，2]上的最大值；(Ⅲ)当a=1时，求证：对于∀x ∈[-5，+∞)，f(x)+x+5≥56e -恒成立. 解析：(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出f(x)的最大值是f(1)或f(2)，通过作差求出满足f(1)或f(2)最大时a 的范围，从而求出f(x)的最大值；(Ⅲ)令h(x)=f(x)+x ，根据函数的单调性求出h(x)的最小值，从而证明结论即可.答案：(Ⅰ)由f(x)=(x-a)·e x 得f ′(x)=(x-a+1)·e x.当a=1时，f ′(x)=x ·e x，令f ′(x)＞0，得x ＞0， 所以f(x)的单调增区间为(0，+∞). (Ⅱ)令f ′(x)=0得x=a-1.所以当a-1≤1时，x ∈[1，2]时f ′(x)≥0恒成立，f(x)单调递增； 当a-1≥2时，x ∈[1，2]时f ′(x)≤0恒成立，f(x)单调递减； 当1＜a-1＜2时，x ∈[1，a-1)时f ′(x)≤0，f(x)单调递减； x ∈(a-1，2)时f ′(x)＞0，f(x)单调递增.综上，无论a 为何值，当x ∈[1，2]时，f(x)最大值都为f(1)或f(2).f(1)=(1-a)e ，f(2)=(2-a)e 2，f(1)-f(2)=(1-a)e-(2-a)e 2=(e 2-e)a-(2e 2-e).所以当a ≥222211e e e e e e --=--时，f(1)-f(2)≥0，f(x)max =f(1)=(1-a)e.当a ＜222211e e e e e e --=--时，f(1)-f(2)＜0，f(x)max =f(2)=(2-a)e 2.(Ⅲ)令h(x)=f(x)+x ，所以h ′(x)=xe x +1.所以h ″(x)=(x+1)e x .令h ″(x)=(x+1)e x =0，解得x=-1，所以当x ∈[-5，-1)，h ″(x)＜0，h ′(x)单调递减；当x ∈[-1，+∞)，h ″(x)＞0，h ′(x)单调递增.所以当x=-1时，h ′(x)min =h ′(-1)=1-1e＞0. 所以函数h(x)在[-5，+∞)单调递增.所以h(x)≥h(-5)= 56e --5. 所以∀x ∈[-5，+∞)，f(x)+x+5≥56e-恒成立.20.已知椭圆E ：mx 2+y 2=1(m ＞0). (Ⅰ)若椭圆E 的右焦点坐标为0)，求m 的值；(Ⅱ)由椭圆E 上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形.若以B(0，1)为直角顶点的椭圆E 的内接等腰直角三角形恰有三个，求m 的取值范围.解析：(Ⅰ)化椭圆E 的方程为标准形式，通过焦点，0)在x 轴上，求出a ，然后求解m 即可.(Ⅱ)设椭圆E 内接等腰直角三角形的两直角边分别为BA ，BC ，设A(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，BA 与BC 不与坐标轴平行，且k BA ·k BC =-1＜0，设直线BA 的方程为y=kx+1(k ＞0)，则直线BC 的方程为y=-1kx+1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式，通过数据线的形状，转化求解即可.答案：(Ⅰ)椭圆E 的方程可以写成221x y m+=1，焦点(3，0)在x 轴上，所以a 2=1m，b 2=1，c 2=a 2-b 2=11m -==3，求得m=14. (Ⅱ)设椭圆E 内接等腰直角三角形的两直角边分别为BA ，BC ，设A(x 1，y 1)，C(x 2，y 2) 显然BA 与BC 不与坐标轴平行，且k BA ·k BC =-1＜0∴可设直线BA 的方程为y=kx+1(k ＞0)，则直线BC 的方程为y=-1kx+1， 由2211mx y y kx +==+⎧⎨⎩，消去y 得到(m+k 2)x 2+2kx=0，所以x 1=22k m k -+，求得10 -== 同理可求20 ⎝-==⎭ 因为△ABC 为以B(0，1)为直角顶点的等腰直角三角形，所以|BA|=|BC|，=， 整理得mk 3-k 2+k-m=0⇒(mk 3-m)-(k 2-k)=0⇒m(k 3-1)-(k 2-k)=0，m(k-1)(k 2+k+1)-k(k-1)=0⇒(k-1)[mk 2+(m-1)k+m]=0，所以k=1或mk 2+(m-1)k+m=0，设f(k)=mk 2+(m-1)k+m ，因为以B(0，1)为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形恰有三个，所以关于k 的方程mk 2+(m-1)k+m=0有两个不同的正实根x 1，x 2，且都不为1，∴()()()12122211010310001010,1014013f m m m m m x x m m x x m m m ⎧≠⇒+-+≠⇒≠⎪⎪-⎪+⇒-⇒⎪⎨⎪⋅⇒⎪⎪⇒=--⇒-⎪⎩V V ，＞＞＜＜，＞＞＞＞＜＜， 所以实数m 的取值范围是(0，13). 考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。
2020年北京市东城区高考数学二模试卷(含答案解析)
2020年北京市东城区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知全集1，2，3，4，，集合1，，，那么A. 1，B. 4，C. 4，D. 1，2，2.已知三个函数，，，则A. 定义域都为RB. 值域都为RC. 在其定义域上都是增函数D. 都是奇函数3.平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为，，，且四边形ABCD为平行四边形，那么D点的坐标为A. B. C. D.4.双曲线C：的渐近线与直线交于A，B两点，且，那么双曲线C的离心率为A. B. C. 2 D.5.已知函数的图象如图所示，那么函数的图象可能为A. B.C. D.6.已知向量，，，那么下列结论正确的是A. 与为共线向量B. 与垂直C. 与的夹角为钝角D. 与的夹角为锐角7.九章算术成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”一步米意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为A. 135平方米B. 270平方米C. 540平方米D. 1080平方米8.已知函数，那么“”是“在上为增函数”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知一个几何体的三视图如图所示，正主视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧左视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是A. B. C. D.10.函数是定义域为R的奇函数，且它的最小正周期是T，已知给出下列四个判断：对于给定的正整数n，存在，使得成立；当时，对于给定的正整数n，存在，使得成立；当时，函数既有对称轴又有对称中心；当时，的值只有0或．其中正确判断的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.复数的共轭复数为______．12.已知，则的值为______．13.设，，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列三个结论：若，，则；若，，则；若，，则．其中，正确结论的序号为______．14.从下列四个条件；；；中选出三个条件，能使满足所选条件的存在且唯一，你选择的三个条件是____填写相应的序号，所选三个条件下的c的值为______．15.配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件．由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n天的需求，称n为生产周期假设这种配件每天产能可以足够大配件的存储费为每件每天2元当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n为______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.如图，四边形ABCD中，，，，，E为AD中点．将沿BE折起到的位置，如图．Ⅰ求证：平面平面；Ⅱ若，求与平面所成角的正弦值．17.已知为等比数列，其前n项和为，且满足，为等差数列，其前n项和为，如图_____，的图象经过A，B两个点．Ⅰ求；Ⅱ若存在正整数n，使得，求n的最小值．从图，图，图中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答．18.某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，如表记录了A，B，C，D四个项目最终的招募情况，其中有两个数据模糊，记为项目计划招募人数报名人数A50100B60aC80bD160200甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记为甲同学最终被招募的项目个数，已知，．Ⅰ求甲同学至多获得三个项目招募的概率；Ⅱ求a，b的值；Ⅲ假设有十名报了项目A的志愿者不包含甲调整到项目D，试判断如何变化结论不要求证明．19.已知椭圆C：的一个顶点坐标为，离心率为．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ若直线与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为M，点，求证：点M不在以AB为直径的圆上．20.已知．Ⅰ当时，求证：在上单调递减；Ⅱ若对任意，恒成立，求实数a的取值范围；Ⅲ若有最小值，请直接给出实数a的取值范围．21.设数列：A：，，，，B：，，，已知，，2，，n；，2，，，定义数表，其中．Ⅰ若A：1，1，1，0，B：0，1，0，0，写出；Ⅱ若A，B是不同的数列，求证：数表满足“2，，n；，2，，n；”的充分必要条件为“2，，”；Ⅲ若数列A与B中的1共有n个，求证：数表中1的个数不大于．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：1，2，3，4，，1，，，4，，4，．故选：B．进行补集和并集的运算即可．本题考查了列举法的定义，补集和并集的运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：解：函数的定义域为，即A错误；函数的值域是，即B错误；函数和是非奇非偶函数，即D错误，故选：C．根据指数、对数和幂函数的图象与性质进行分析即可．本题考查指数、对数和幂函数的图象与性质，熟练掌握基本初等函数的图象与性质是解题的关键，属于基础题．3.答案：A解析：解：设，点A，B，C的坐标分别为，，，且四边形ABCD为平行四边形，，，解得，，点的坐标为．故选：A．设，由四边形ABCD为平行四边形，得，由此能求出D点的坐标．本题考查点的坐标的求法，考查平面向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：D解析：解：由双曲线的方程可得，且渐近线的方程为：，与联立可得，所以，由题意可得，解得，，所以双曲线的离心率，故选：D．由双曲线的方程可得渐近线的方程，与直线联立求出的值，进而求出的值，求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的性质，属于基础题．5.答案：D解析：解：结合已知函数的图象可知，，，结合指数函数的性质及函数图象的平移可知，的图象单调递增，且由的图象向下平移超过1个单位，结合选项可知，D符合题意．故选：D．结合已知函数的图象可知，，，结合指数函数的性质及函数图象的平移可知，的图象单调递增，且由的图象向下平移超过1个单位，结合选项即可判断．本题主要考查了指数函数与对数函数的图象变换的简单应用，属于基础试题．6.答案：B解析：解：根据题意，向量，，，则，又由，有，则与不是共线向量，，则，则与垂直；故选：B．根据题意，求出向量的坐标，进而由向量平行、垂直的判断方法分析可得答案．本题考查向量平行、垂直的判断，涉及向量的坐标计算，属于基础题．7.答案：B解析：解：根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为平方米．故选：B．根据扇形的面积公式计算即可．本题考查了扇形的面积公式应用问题，是基础题．8.答案：A解析：解：的定义域是，，时，，在递增，故递增，是充分条件，由递增，得或，不是必要条件，故选：A．根据充分必要条件的定义以及函数的单调性判断即可．本题考查了充分必要条件，考查函数的单调性问题，是一道常规题．9.答案：C解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个棱长为1的正方体和一个底面半径为，高为1的半个圆柱．如图所示：所以：．故选：C．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.答案：C解析：解：对于，要使成立，即，当时，，都符合，故正确；对于，要使成立，即，取，此时，故正确；对于，当，时，为将左移个单位，此时周期变为，既有对称轴也有对称中心，值域为，当时，为将左移个单位，此时，当时，为将左移T个单位，此时，故正确，错误；故选：C．对于，易知当时，，都符合；对于，即成立，取即可证明结论成立；对于，分别取，2，3，4，结合函数图象的平移变换即可得出对错；综合即可得出正确选项．本题考查分段函数的综合运用，涉及了函数性质，函数图象的变换等知识点，考查了推理能力，创新意识等，属于难题．11.答案：解析：解：，．故答案为：．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．12.答案：解析：解：由，得，即；所以．故答案为：．由求得的值，再化简并计算所求三角函数值．本题考查了二倍角的三角函数计算问题，是基础题．13.答案：解析：解：，，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，对于，若，，由同垂直于同一平面的两直线平行，可得，故正确；对于，若，，由同垂直于同一直线的两平面平行，可得，故正确；对于，若，，考虑墙角处的三个平面两两垂直，可判断、相交，则不正确．故答案为：．由同垂直于同一平面的两直线平行，可判断；由同垂直于同一直线的两平面平行，可判断；考虑墙角处的三个平面两两垂直，可判断．本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直，考查空间想象能力与推理能力，属于基础题．14.答案：，，或者，解析：解：由结合正弦定理可得，，所以，此时A不唯一，故所选条件中不能同时有，故只能是或，若选，，，由余弦定理可得，，解可得，；若选，，，，，且B为钝角，由正弦定理可得，，解可得，．故答案为，，，．由结合正弦定理可得，，可求sin A，但是A不唯一，故所选条件中不能同时有，只能是或，若选，结合余弦定理可求c；若选，结合正弦定理即可求解．本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档试题．15.答案：5解析：解：每个周期内的总费用为，每个周期内每天的平均费用为：，当且仅当即时取等号．故答案为：5．求出每天的平均费用关于n的式子，利用基本不等式得出结论．本题考查了数列求和，不等式的应用，属于基础题．16.答案：Ⅰ证明：因为四边形ABCD中，，，，，E为AD中点，所以．故图中，，．又因为，，平面，所以平面．又因为平面，所以平面平面．Ⅱ解：由得，又，，因此，建立如图所示的空间直角坐标系．由，得0，，0，，1，，1，，，，设平面的法向量为y，，则即，令得，，所以1，是平面的一个法向量．又，设直线与平面所成角为，所以．解析：Ⅰ证明，然后证明平面即可证明平面平面．Ⅱ建立以E为原点，EB，ED，DA为x，y，z轴的空间直角坐标系求出平面的法向量，结合，利用空间向量的数量积求解直线与平面所成角的正弦函数值．本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．17.答案：解：Ⅰ设为公比为q的等比数列，由，，得，即，，所以，．所以；Ⅱ由图知：，，可判断，数列是递减数列；而递增，由于，所以选择不满足“存在n，使得”；由图知：，，可判断，数列是递增数列；由图知：，，可判断，数列是递增数列．所以选择均可能满足“存在n，使得”第一种情况：如果选择条件即，，可得：，．当，2，3，4，5，6，7时，不成立，当时，，所以使得成立的n的最小值为8．第二种情况：如果选择条件即，，可得：，．当，2，3，4时，不成立，当时，成立，所以使得成立的n的最小值为5．解析：Ⅰ设为公比为q的等比数列，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得所求和；Ⅱ分别考虑图、、，判断数列的单调性，选择均可能满足“存在n，使得”讨论两种情况，等差数列的通项公式和恒成立思想，即可得到所求最小值．本题考查等比数列和等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查分类讨论思想和方程思想、化简运算能力和推理能力，属于中档题．18.答案：解：Ⅰ因为，所以，且．设事件A表示“甲同学被项目A招募”，由题意可知，；设事件B表示“甲同学被项目B招募”，由题意可知，；设事件C表示“甲同学被项目C招募”，由题意可知，；设事件D表示“甲同学被项目D招募”，由题意可知，，由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“”是对立的，所以甲同学至多获得三个项目招募的概率是，Ⅱ由题意可知，，，解得，．Ⅲ变大．解析：Ⅰ由，得，且设事件A表示“甲同学被项目A招募”，则；设事件B表示“甲同学被项目B招募”，则；设事件C表示“甲同学被项目C招募”，则；设事件D表示“甲同学被项目D招募”，则，由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“”是对立的，由此能求出甲同学至多获得三个项目招募的概率．Ⅱ由题意可知，，，由此能求出a，b．Ⅲ变大．本题考查概率的求法，考查古典概型、对立事件的概率、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：Ⅰ解：由题意可知解得所以椭圆C的方程为．Ⅱ证明：设，，由得，所以．所以当k为任何实数时，都有．所以，．因为线段PQ的中点为M，所以，，因为，所以，．所以．又因为，，所以，所以点M不在以AB为直径的圆上．解析：Ⅰ利用已知条件列出求出a，b然后得到椭圆方程．Ⅱ证明：设，，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及线段PQ 的中点为M，结合向量的数量积，判断点M不在以AB为直径的圆上．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．20.答案：Ⅰ解：，，当时，，，所以．所以在上单调递减．Ⅱ解：当时，，对于，命题成立，当时，设，则．因为，，所以，在上单调递增．又，所以．所以在上单调递增，且．当时，，所以在上单调递增．因为，所以恒成立．当时，，因为在上单调递增，又当时，，所以存在，对于，恒成立．所以在上单调递减，所以当时，，不合题意．综上，当时，对于，恒成立．Ⅲ解：．解析：把代入后对函数求导，然后结合单调性与导数关系即可证明；由已知不等式恒成立可转化为求解相应函数的取值范围或最值问题，结合导数对a进行分类讨论可求；结合最值与极值及导数关系可求．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及最值，还考查了不等式的恒成立求解参数范围问题，属于难题．21.答案：Ⅰ解：．Ⅱ证明：充分性若2，，，由于，，令A：，，，，由此数列B：，，，．由于．从而有2，，n；，2，，n；．必要性若2，，n；，2，，n；．由于A，B是不同的数列，设，，对任意的正整数，若，可得，，所以．若，可得，，所以．同理可证，时，有2，，成立．设，，对任意的正整数，若，可得，，所以有，则A，B是相同的数列，不符合要求．若，可得，，所以有，则A，B是相同的数列，不符合要求．同理可证，时，A，B是相同的数列，不符合要求．综上，有数表满足“”的充分必要条件为“2，，”．Ⅲ证明：由于数列A，B中的1共有n个，设A中1的个数为p，由此，A中0的个数为，B中1的个数为，B中0的个数为p．若，则数表的第i行为数列B：，，，，若，则数表的第i行为数列B：，，，，所以数表中1的个数为．所以数表中1的个数不大于．解析：根据得出的各行各列的数值；根据证明充分性，根据，的各种不同取值分类证明必要性；讨论的不同取值，计算的第i行中1的个数，从而得出中1的总数，利用基本不等式得出结论．本题考查了充要条件的判断，考查对新定义的理解和应用，属于中档题．。
2020北京东城高三二模数学含答案
2020北京东城高三二模数 学 2020.6本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1) 已知全集{}0,1,2,3,4,5=U ，集合{}0,1,2=A ，{}5=B ，那么()=U A B(A){}0,1,2 (B) {}3,4,5 (C) {}1,4,5 (D) {}0,1,2,5(2) 已知三个函数33,3,log xy x y y x ===，则(A) 定义域都为R (B) 值域都为R (C)在其定义域上都是增函数 (D) 都是奇函数 (3) 平面直角坐标系中，已知点,,A B C 的坐标分别为(0,1),(1,0),(4,2)，且四边形ABCD 为平行四边形，那么D 点的坐标为(A) (3,3) (B) (5,1)− (C) (3,1)− (D) (3,3)−(4) 双曲线222:1y C x b−=的渐近线与直线1x =交于,A B 两点，且4AB =，那么双曲线C 的离心率为2(5) 已知函数()log a f x x b =+的图象如图所示，那么函数()xg x a b =+的图象可能为(6) 已知向量(0,5)=a ，(4,3)=−b ，(2,1)=−−c ，那么下列结论正确的是(A) −a b 与c 为共线向量 (B) −a b 与c 垂直(C) −a b 与a 的夹角为钝角 (D) −a b 与b 的夹角为锐角(7) 《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为(A) 135平方米 (B) 270平方米(C) 540平方米 (D) 1080平方米(8) 已知函数2()ln f x x ax =+，那么“0a >”是“()f x 在(0,)+∞上为增函数”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (9) 已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是（A ）π12+ （B ）π14+（C ）π18+ （D ） 1π+(10) 函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的最小正周期是T ，已知,[0,],4()=,(,],242⎧∈⎪⎪⎨⎪−∈⎪⎩T x x f x T T T x x ()()()g x f x a a R =+∈. 给出下列四个判断：① 对于给定的正整数n ，存在∈a R ，使得1()()0ni i T i Tg f n n=⋅⋅=∑成立; ② 当=4Ta 时，对于给定的正整数n ，存在(1)∈≠k k R ，使得1()()0ni i T i T g k f n n =⋅⋅=∑成立; ③ 当=4Ta k(∈k Z )时，函数()()g x f x +既有对称轴又有对称中心; ④ 当=4T a k(∈k Z )时， ()()g x f x +的值只有0或4T . 其中正确判断的有俯视图侧（左）视图正（主）视图(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分。
2020年北京东城区高三二模数学试卷
21. 设数列：
，， ，，
， ， ， ．已知 ，
，定义
数表
，其中
（ 1 ） 若 ： ， ， ， ， ： ， ， ， ，写出
．
（ 2 ） 若 ， 是不同的数列，求证：
数表
满足“
”的充分必要条件为“
（ 3 ） 若数列 与 中的 共有 个，求证：
数表
中 的个数不大于 ．
”．
6
【答案】 1. B
解析: ∵由题意得 ∴ 故选 ．
平面
．
（2） 若
，求 与平面
所成角的正弦值．
17. 已知 为等比数列，其前 项和为 ，且满足
，
．
项和为 ，如图
， 的图象经过 ， 两个点．
（1） 求 ．
（ 2 ） 若存在正整数 ，使得
，求 的最小值．
从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答．
为等差数列，其前
图
图
图
18. 某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募
x
12
y
2
1 C.
–1 O –1
x
12
y
2
1 D.
–1 O
–1
x
12
6. 已知向量
，
，
A.
与 为共线向量
B.
与 垂直
C.
与 的夹角为钝角
D.
与 的夹角为锐角
，那么下列结论正确的是（ ）．
7. 《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样
一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”(一步
北京市东城区2019- 2020学年度第二学期高三综合练习(二)数学(解析版)
2020年北京市东城区高考数学二模试卷一、选择题（共10小题）.1．已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{0，1，2}，B＝{5}，那么（∁U A）∪B＝（）A．{0，1，2}B．{3，4，5}C．{1，4，5}D．{0，1，2，5} 2．已知三个函数y＝x3，y＝3x，y＝log3x，则（）A．定义域都为RB．值域都为RC．在其定义域上都是增函数D．都是奇函数3．平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），且四边形ABCD为平行四边形，那么D点的坐标为（）A．（3，3）B．（﹣5，1）C．（3，﹣1）D．（﹣3，3）4．双曲线C：x2−y2b2=1的渐近线与直线x＝1交于A，B两点，且|AB|＝4，那么双曲线C的离心率为（）A．√2B．√3C．2D．√55．已知函数f（x）＝log a x+b的图象如图所示，那么函数g（x）＝a x+b的图象可能为（）A．B．C．D．6．已知向量a→=（0，5），b→=（4，﹣3），c→=（﹣2，﹣1），那么下列结论正确的是（）A．a→−b→与c→为共线向量B．a→−b→与c→垂直C．a→−b→与a→的夹角为钝角D．a→−b→与b→的夹角为锐角7．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步＝1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（）A．135平方米B．270平方米C．540平方米D．1080平方米8．已知函数f（x）＝lnx+ax2，那么“a＞0”是“f（x）在（0，+∞）上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是（）A ．1+π2B ．1+π4C ．1+π8D ．1+π10．函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，且它的最小正周期是T ，已知f （x ）={x ，x ∈[0，T 4]T 2−x ，x ∈(T 4−T 2]，g （x ）＝f （x +a ）（a ∈R ）．给出下列四个判断： ①对于给定的正整数n ，存在a ∈R ，使得∑ n i=1g(i⋅T n )f(i⋅T n )=0成立； ②当a =T 4时，对于给定的正整数n ，存在k ∈R （k ≠1），使得∑ n i=1g(ki⋅T n )f(i⋅T n )=0成立；③当a ＝k T 4（k ∈Z ）时，函数g （x ）+f （x ）既有对称轴又有对称中心； ④当a ＝k T 4（k ∈Z ）时，g （x ）+f （x ）的值只有0或T 4． 其中正确判断的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题共5题，每题5分，共25分．11．复数z =1−i i的共轭复数z 为 ． 12．已知cos2α=13，则cos 2（π2+α）﹣2cos 2（π﹣α）的值为 ．13．设α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列三个结论：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中，正确结论的序号为．14．从下列四个条件①a=√2c；②C=π6；③cos B=−√24；④b=√7中选出三个条件，能使满足所选条件的△ABC存在且唯一，你选择的三个条件是____（填写相应的序号），所选三个条件下的c的值为．15．配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件．由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n天的需求，称n为生产周期（假设这种配件每天产能可以足够大）．配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）．在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n为．三、解答题共6题，共85分。
东城高三二模数学理数
北京东城区2020—2020学年度高三第二学期统一练习（二）数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份，共150分.考试时刻120分钟.考试终止，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上. 2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试卷上.一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合M N M ⊆-=则满足},1,1{的集合N 的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．11,221,)(122=⎪⎩⎪⎨⎧>-++≤==x x a x x x x f a 在是函数处持续的（ ） A ．充分没必要要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3． 在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本 ①采纳随机抽样法：抽签掏出20个样本； ②采纳系统抽样法：将零件编号为00，01……，99，然后平均分组抽取20个样本； ③采纳分层抽样法：从一级品，二级品，三级品中抽取20个样本。
以下说法中正确的选项是 （ ） A ．不管采纳哪一种方式，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等 B ．①②两种抽样方式，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等；③并非如此 C ．①②两种抽样方式，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等；②并非如此 D ．采纳不同的抽样方式，这100个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同的4．在23,)1(x x x n与展开式中+的系数别离为a ，b ，若是b ba那么,3=的值为 （ ）A ．70B ．60C ．55D ．405．设数列32}{21=+a a a n 满足，且对任意的)2,1(),(*,1=∈+n n n n P P a n P N n 都有点，那么{n a }的前n 项和为S n 为（ ）A ．)34(-n nB ．)43(-n nC ．)32(-n nD ．)21(-n n6．已知直线l 1α212//,l l l α⊂α到记点A l B l A ,,21∈∈c a b ≤≤a c b ≤≤c b a ≤≤bc a ≤≤,542sin ,532cos==θθθ0724=-y x 0724=+y x 0247=+y x 0247=-y x )0(22>=p py x 222py x =+2py -=4)2(222p p y x =-+0=y )1(),(0,10,12)(112--⎩⎨⎧≥-<-=f x f x x x x x f 则的反函数为10．已知过原点的直线与圆⎩⎨⎧=+-=θθsin ,cos 2y x （其中θ为参数）相切，假设切点在第二象限，那么该直线的方程为 . 11．将函数)32sin(2)(π+=x x f 图象上每一个点的横坐标扩大为原先的2倍，所得图象所对应的函数解析式为 ；假设将)(x f 的图象沿x 轴向左平移m 个单位（m>0），所得函数的图象关于y 轴对称，那么m 的 最小值为 .12．如图，PD ⊥平面在ABCD ，ABCD 为正方形，PD=AD ，那么直线PA 与直线BD 所成的角 为 .13．6个人分乘两辆不同的出租车，若是每辆车最多能乘4个人，那么不同的搭车方案有 种。
北京市东城区2020届高三数学下学期综合练习(二模)试题(二)[含答案]
O
1
1
2x
y y
2
2
1
1
1
O
1
2x
1
O
1
1 1
2x
(6) 已知向量 a (0,5) ， b (4, 3) ， c (2, 1) ，那么下列结论正确的是
(A) a b 与 c 为共线向量 (C) a b 与 a 的夹角为钝角
(B) a b 与 c 垂直 (D) a b 与 b 的夹角为锐角
（11） 1 i
（12） 1
（13）①②
（15） 5
（14）①③④，
7
，或者②③④，
2
2
三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 14 分）
（Ⅰ）证明：因为四边形 ABCD 中， AD / / BC ， CD BC ， BC 1， AD 2 ， E 为 AD 中点，
取的方法招募志愿者，下表记录了 A, B, C, D 四个项目最终的招募情况，其中有两个数据
模糊，记为 a,b .
项目 计划招募人数 报名人数
A
50
100
B
60
a
C
80
b
D
160
200
甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记 为甲同学最终被招募的项目个数，已知
P( 0) 1 , P( 4) 1 .
，离心率为
3
．
2
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）若直线 y k(x 1)(k 0) 与椭圆 C 交于不同的两点 P ， Q ，线段 PQ 的中点为 M ，
点 B(1,0) ，求证：点 M 不在以 AB 为直径的圆上．
2020年东城高三二模数学试题及答案 北京市 高考 评分标准 参考答案1
(A) 2
(B) 3
(C) 2
(D)
5 (5) 已知函数 f (x) loga x b 的图象如图所示，
那么函数 g(x) ax b 的图象可能为
y 2
1
2
1
1
O
1
2x
y 2 1
1
O
1
1
2x
y 2 1
1
O
112x来自y 2 11O
1
1
2x
(A)
（B）
（C）
（D）
(6) 已知向量 a (0,5) ， b (4, 3) ， c (2, 1) ，那么下列结论正确的是
下的 c 的值为 ____.
(15) 配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是 200 件. 由于生产这 种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费 5000 元的准备费，所以需要 周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续 n 天的需求，称 n 为生产周期(假设这种配件每天产能可以足够大). 配件的存储费为每件每天 2 元（当天生产
1
正（主）视图
1
俯视图
(10) 函 数 f (x) 是 定 义 域 为 R 的 奇 函 数 ， 且 它 的 最 小 正 周 期 是 T ， 已 知
f
(
x)=
T
2
x, x [0, T ], 4
x, x (T , T ], 42
g(x)
f (x a)(a R) .
给出下列四个判断：
① 对于给定的正整数 n ，存在 a R ，使得 n g(i T ) f (i T ) 0 成立;
出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）. 在长期的生产活动中，为使每个生 产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期 n 为_______.
北京市东城区达标名校2020年高考二月大联考数学试卷含解析
北京市东城区达标名校2020年高考二月大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数()()2019311i i z i --=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C ．z 的共轭复数42z i =-D ．z =2．已知偶函数()f x 在区间(],0-∞内单调递减，(a f =，sin 5b f π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2314c f ⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 满足（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<3．设α为锐角，若3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ） A ．1725B ． 725-C ． 1725-D ．7254．2021年部分省市将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A ．18 B ．14 C ．16D ．125．若复数12biz i-=+（b R,i ∈为虚数单位）的实部与虚部相等，则b 的值为( )A ．3B ．3±C ．3-D ．6．设复数z 满足(1)21z i i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知函数()()4,2x f x x g x a x =+=+，若[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a ≥ C ．0a ≤D ．0a ≥8．函数()xf x e ax =+（0a <）的图像可以是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，2AB =是圆O 的一条直径，,C D 为半圆弧的两个三等分点，则()AB AC AD ⋅+=（ ）A ．52B ．4C ．2D ．13+ 10．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．6311．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩则3x y +的最小值等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线()220y px p =>与双曲线C 有相同的焦点.设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且125cos 7PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2或3 B．2或3C ．2或3D ．2或3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年北京高考模拟试题(二卷)数学试卷答案
PX
0
C20
1 5
2
1 25
高考模拟试卷
第3页共8页
PX
1 C21
41 55
8 25
PX
2
C22
4 5
2
16 25
所以 X 的分布列为：
……………………8 分
X0
1
2
1
8 16
P 25
25
25
………………………………9 分
EX 0 1 1 8 2 16 1.6 ……………………………10 分
4 2 4
3
GB n 12 9 9
直线 GB 与平面 AFG 所成角的正弦值是
3.
9
18.（共 14 分）
解：（1）样本中共有 100 名幼儿，其中认识汉字 40 字以上的有 80 名幼儿，40 汉字以下的
有 20 名幼儿，从中取 2 人，设恰有一名幼儿认识汉字 40 字以上的事件为 A…………2 分
,而
,
.
-----9 分
且
.
,
.------11 分
,
. ------12 分 ,
;
;
------13 分
,且
,
高考模拟试卷
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有
当
时,
当
时,
即 的最小值为
.
注：其他证明方法酌情给分.
. ;
; ------14 分
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（Ⅱ） f (x) (x 1)ex a a (x 0) x
(x 1)(ex a ) x
高考模拟试卷
第4页共8页
①当 2 a 0 时，ex a 0 ，所以，当 x 变化时， f (x) 与 f (x) 的变化情况如下表所示： x