高考圆锥曲线经典考点
解圆锥曲线问题常用方法+经典结论+对偶性质总结
解圆锥曲线问题常用以下方法:
1、定义法
(1)椭圆有两种定义。第一定义中,r 1+r 2=2a 。第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2。
(2)双曲线有两种定义。第一定义中,a r r 221=-,当r 1>r 2时,注意r 2的最小值为c-a :第二定义中,r 1=ed 1,r 2=ed 2,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
(3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法
因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0),将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有:
(1))0(122
22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有02020=+k b y a x 。 (2))0,0(122
22>>=-b a b
y a x 与直线l 相交于A 、B ,设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k b y a x (3)y 2=2px (p>0)与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.
【典型例题】
例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42) (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,分析:(1)A 在抛物线外,如图,连PF ,则PF PH =P 、F 三点共线时,距离和最小。
(2)B 在抛物线内,如图,作QR ⊥l 交于R ,则当B 、Q 、R 最小。
解:(1)(2,2)
连PF ,当A 、P 、F 三点共线时,PF AP PH AP +=+最小,此时
y=22(x-1),代入y 2=4x 得P(2,22),(注:另一交点为(
2,2
1
-),它为直线AF 与抛物线的另一交点,舍去) (2)(
1,4
1
) 过Q 作QR ⊥l 交于R ,当B 、Q 、R 三点共线时,QR BQ QF BQ +=+最小,此时Q 点的纵坐标为1,代入y 2=4x 得x=
41,∴Q(1,4
1) 点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔细体会。
例2、F 是椭圆13
42
2=+y x 的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,(1)PF PA +的最小值为 (2)PF PA 2+的最小值为
分析:PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径F P '题。
解:(1)4-5
设另一焦点为F ',则F '(-1,0)连A F ',P F '
542)(22-='-≥-'-='-+=+F A a PA F P a F P a PA PF PA
当P 是F 'A 的延长线与椭圆的交点时, PF PA +取得最小值为4-5。 (2)3
作出右准线l ,作PH ⊥l 交于H ,因a 2=4,b 2=3,c 2=1, a=2,c=1,e=2
1, ∴PH PF PH PF ==
2,2
1
即 ∴PH PA PF PA +=+2
当A 、P 、H 三点共线时,其和最小,最小值为3142
=-=-A x c
a
例3、动圆M 与圆C 1:(x+1)2+y 2=36内切,与圆C 2:(x-1)2+y 2=4分析:作图时,要注意相切时的“图形特征”(如图中的A 、M 、C 共线,B 、D 、M 共线)等于半径”(如图中的MD MC =)。
解:如图,MD MC =,
∴26-=--=-MB MA DB MB MA AC 即
∴8=+MB MA (*)
∴点M 的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b 2
=15轨迹方程为
115
162
2=+y x 点评:得到方程(*)后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公式列式求解,即列出
4)1()1(2222=+-+++y x y x ,再移项,平方,…相当于将椭圆标准方程推导了一遍,较繁琐!
例4、△ABC 中,B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=
5
3
sinA,求点A 的轨迹方程。 分析:由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以2R (R 为外接圆半径),可转化为边长的关系。 解:sinC-sinB=
53sinA 2RsinC-2RsinB=53
·2RsinA ∴BC AC AB 5
3
=
- 即6=-AC AB (*)
∴点A 的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点) ∵2a=6,2c=10 ∴a=3, c=5, b=4
所求轨迹方程为
116
92
2=-y x (x>3) 点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支)
例5、定长为3的线段AB 的两个端点在y=x 2上移动,AB 中点为M ,求点M 到x 轴的最短距离。 分析:(1)可直接利用抛物线设点,如设A(x 1,x 12),B(x 2,X 22),又设AB 中点为M(x 0y 0)用弦长公式及中点公式得出y 0关于x 0的函数表达式,再用函数思想求出最短距离。
(2)M 到x 轴的距离是一种“点线距离”,可先考虑M 到准线的距离,想到用定义法。 解法一:设A(x 1,x 12),B(x 2,x 22),AB 中点M(x 0,y 0)
则?????=+=+=-+-02
221
212
2221221229)()(y x x x x x x x x x 由①得(x 1-x 2)2[1+(x 1+x 2)2]=9
即[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]·[1+(x 1+x 2)2]=9 ④ 由②、③得2x 1x 2=(2x 0)2-2y 0=4x 02-2y 0
① ② ③
代入④得 [(2x 0)2-(8x 02-4y 0)]·[1+(2x 0)2]=9
∴2
2
00419
44x x y +=
-, 11
49)14(49442
02
0202
00-+++=+
=x x x x y ≥,5192=- 4
5
0≥
y 当4x 02+1=3 即 220±
=x 时,45)(min 0=y 此时)4
5
,22(±M
法二:如图,32222=≥+=+=AB BF AF BB AA MM
∴232≥
MM , 即∴45
1≥MM , 当∴M 到x 点评:用梯形的中位线,转化为F ,而且点M 例6、已知椭圆
)52(11
2
2≤≤=-+m m y m x 过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A 、B 、C 、D 、设f(m)=CD AB -,(1)求f(m),(2)求f(m)的最值。
分析:此题初看很复杂,对f(m)的结构不知如何运算,因A 、B 圆上,同样C 在椭圆上,D ()(22)(2)()(D A B C D A B x x x x x x x m f ---=---=
)()(2D A C B x x x x +-+=
)(2C B X x +=
此时问题已明朗化,只需用韦达定理即可。
解:(1)椭圆
11
2
2=-+m y m x 中,a 2=m ,b 2=m-1,c 2=1,左焦点F 1(-1,0) 则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x 2+my 2-m(m-1)=0 得(m-1)x 2+m(x+1)2-m 2+m=0 ∴(2m-1)x 2+2mx+2m-m 2=0
设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),则x 1+x 2=-
)52(1
22≤≤-m m m
1
2222)()(2)()(2)(2121-?
=+=+-+=---=-=m m x x x x x x x x x x CD AB m f C A C D A B
(2))1
21
1(2121122
)(-+=-+-=
m m m m f
∴当m=5时,92
10)(min =
m f 当m=2时,3
2
4)(max =
m f 点评:此题因最终需求C B x x +,而BC 斜率已知为1,故可也用“点差法”设BC 中点为M(x 0,y 0),通过将B 、C 坐标代入作差,得
0100=?-+k m y m x ,将y 0=x 0+1,k=1代入得01100=-++m x m x ,∴1
20--=m m x ,可见1
22--
=+m m x x C B
当然,解本题的关键在于对CD AB m f -=)(的认识,通过线段在x 轴的“投影”发现C B x x m f +=)(是解此题的要点。
【同步练习】
1、已知:F 1,F 2是双曲线122
22=-b
y a x 的左、右焦点,过F 1作直线交双曲线左支于点A 、B ,若m AB =,
△ABF 2的周长为( )
A 、4a
B 、4a+m
C 、4a+2m
D 、4a-m
2、若点P 到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则P 点的轨迹方程是 ( )
A 、y 2=-16x
B 、y 2=-32x
C 、y 2=16x
D 、y 2=32x
3、已知△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的长依次成等差数列,且AC AB >,点B 、C 的坐标分别为(-1,0),(1,0),则顶点A 的轨迹方程是( )
A 、
13422=+y x B 、)0(1342
2>=+x y x C 、)0(13422<=+x y x D 、)00(13
42
2≠>=+y x y x 且 4、过原点的椭圆的一个焦点为F(1,0),其长轴长为4,则椭圆中心的轨迹方程是 ( ) A 、)1(49)2
1
(2
2-≠=+-x y x B 、)1(49
)21(22-≠=++x y x C 、)1(49)2
1(2
2
-≠=
-+x y x D 、)1(4
9
)21(22-≠=++x y x 5、已知双曲线
116
92
2=-y x 上一点M 的横坐标为4,则点M 到左焦点的距离是 6、抛物线y=2x 2截一组斜率为2的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是 7、已知抛物线y 2=2x 的弦AB 所在直线过定点p(-2,0),则弦AB 中点的轨迹方程是
8、过双曲线x 2-y 2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为
9、直线y=kx+1与双曲线x 2-y 2=1的交点个数只有一个,则k=
10、设点P 是椭圆
19
252
2=+y x 上的动点,F 1,F 2是椭圆的两个焦点,求sin ∠F 1PF 2的最大值。
11、已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列,
12、已知直线l 和双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 及其渐近线的交点从左到右依次为A 、B 、C 、D 。求证:
CD AB =。
【参考答案】
1、C
a BF BF a AF AF 2,21212=-=-,
∴,24,42222m a AB BF AF a AB BF AF +=++=-+选C 2、C
点P 到F 与到x+4=0等距离,P 点轨迹为抛物线 p=8开口向右,则方程为y 2=16x ,选C 3、D
∵22?=+AC AB ,且AC AB >
∵点A 的轨迹为椭圆在y 轴右方的部分、又A 、B 、C 三点不共线,即y ≠0,故选D 。 4、A
设中心为(x ,y),则另一焦点为(2x-1,2y),则原点到两焦点距离和为4得4)2()12(12
2=+-+y x ,∴
4
9)21(22=+-y x
①又c 2<+-y x ∴(x-1)2+y 2<4 ②,由①,②得x ≠-1,选A 5、 3 29 左准线为x=- 59,M 到左准线距离为529)59(4=--=d 则M 到左焦点的距离为3 29 52935=?=ed 6、)2 1(21>= y x 设弦为AB ,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)AB 中点为(x ,y),则y 1=2x 12,y 2=2x 22,y 1-y 2=2(x 12-x 22) ∴ )(2212 121x x x x y y +=-- ∴2=2·2x ,21=x 将21= x 代入y=2x 2得21=y ,轨迹方程是21=x (y>2 1 ) 7、y 2=x+2(x>2) 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 中点M(x ,y),则 2)(), (2,2,2212 12 1212 221222121=+?---=-==y y x x y y x x y y x y x y ∵20+-= =x y k k MP AB ,∴ 222 =?+y x y ,即y 2=x+2 又弦中点在已知抛物线内P ,即y 2<2x ,即x+2<2x ,∴x>2 8、4 22,8,4222====c c b a ,令22=x 代入方程得8-y 2=4 ∴y 2=4,y=±2,弦长为4 9、12±± 或 y=kx+1代入x 2-y 2=1得x 2-(kx+1)2-1=0 ∴(1-k 2)x 2①???=?-0 12k ②1-k 2=010、解:a 2设F 1、F 2设=1PF 则???+=+222121r r r r ①2-②得2r ∴1+cos θ∴1+cos θ的最小值为22 2a b ,即1+cos θ2518≥ cos θ257- ≥, 257arccos 0-≤≤πθ则当2 π θ=时,sin θ取值得最大值1, ④ ⑤ 即sin ∠F 1PF 2的最大值为1。 11、设椭圆方程为)0(122 22>>=+b a b y a x 由题意:C 、2C 、c c a +2 成等差数列, ∴222 24c a c c a c c =++=即, ∴a 2=2(a 2- b 2),∴a 2=2b 2 椭圆方程为1222 22=+b y b x ,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) 则12221221=+b y b x ① 1222 2 222=+b y b x ② ①-②得 022 2 2 2122221=-+-b y y b x x ∴ 022 2=?+k b y b x m m 即 02 2 =+-k ∴k=1 直线AB 方程为y-1=x+2即y=x+3, 代入椭圆方程即x 2+2y 2-2b 2=0得x 2+2(x+3)2-2b 2=0 ∴3x 2+12x+18-2b 2=0, 342)218(12123 1 112221=--= +-=b x x AB 解得b 2 =12, ∴椭圆方程为 112 242 2=+y x ,直线l 方程为x-y+3=0 12、证明:设A(x 1,y 1),D(x 2,y 2),AD 中点为M(x 0,y 0)直线l 的斜率为k ,则 ???????=-=-112 2 22222 2 1221b y a x b y a x ①-②得02220 20=?- k b y a x ③ 设),(),,(),,(002211 y x M BC y x C y x B '''''''中点为, 则???????=-=-0022 122 212 22112211 b y a x b y a x ④-⑤得02221021 =?-'k b y a x ⑥ 由③、⑥知M 、M '均在直线022: 2 2=?-'k b y a x l 上,而M 、M '又在直线l 上 , 若l 过原点,则B 、C 重合于原点,命题成立 ① ② 若l 与x 轴垂直,则由对称性知命题成立 若l 不过原点且与x 轴不垂直,则M 与M '重合 ∴CD AB = 椭圆与双曲线的对偶性质总结 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的 两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上,则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程 是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点 角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦 点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则2 2OM AB b k k a ?=-, 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是2200222 2x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支) 5. 若000(,)P x y 在双曲线22 22 1x y a b -=(a >0,b >0)上,则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)外 ,则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2,则 切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >o )的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=, 则双曲线的焦点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >o )的焦半径公式:(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时,10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时,10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别 交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于 点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 0202y a x b K K AB OM =?,即020 2y a x b K AB =。 12. 若000(,)P x y 在双曲线22 2 21x y a b -=(a >0,b >0)内,则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b -=-. 13. 若000(,)P x y 在双曲线22 2 21x y a b -=(a >0,b >0)内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002 222x x y y x y a b a b -=-. 椭圆与双曲线的经典结论 椭 圆 1. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >o )的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时 A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b -=. 2. 过椭圆22 221x y a b += (a >0, b >0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点, 则直线BC 有定向且20 20BC b x k a y =(常数). 3. 若P 为椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则 tan t 22 a c co a c αβ -=+. 4. 设椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF 1F 2 中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有 sin sin sin c e a αβγ==+. 5. 若椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为L ,则当0<e 1时,可 在椭圆上求一点P ,使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项. 6. P 为椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)上任一点,F 1,F 2为二焦点,A 为椭圆内一定点,则 2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时,等号成立. 7. 椭圆22 0022 ()()1x x y y a b --+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++. 8. 已知椭圆22 221x y a b +=(a >b >0),O 为坐标原点,P 、Q 为椭圆上两动点,且OP OQ ⊥.(1) 22221111||||OP OQ a b +=+;(2)|OP|2+|OQ|2 的最大值为22224a b a b +;(3)OPQ S ?的最小值是2222a b a b +. 9. 过椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦MN 的垂直平分线交 x 轴于P ,则 ||||2PF e MN =. 10. 已知椭圆22 221x y a b +=( a >b >0) ,A 、B 、是椭圆上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点 0(,0)P x , 则2222 0a b a b x a a ---<<. 11. 设P 点是椭圆22 221x y a b +=( a >b >0)上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=,则 (1)2122||||1cos b PF PF θ =+.(2) 122 tan 2PF F S b γ?=. 12. 设A 、B 是椭圆22 221x y a b +=( a >b >0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点,PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1)222 22|cos | ||s ab PA a c co αγ =-.(2) 2 tan tan 1e αβ=-.(3) 222 2 2cot PAB a b S b a γ?=-. 13. 已知椭圆22 221x y a b +=( a >b >0)的右准线l 与x 轴相交于点E ,过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交 于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线 垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 双曲线 1. 双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线交双曲线 于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22 221x y a b +=. 2. 过双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >o )上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点,则直线BC 有定向且20 20BC b x k a y =-(常数). 3. 若P 为双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则 tan t 22c a co c a αβ-=+(或tan t 22 c a co c a βα -=+). 4. 设双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点, 在△PF 1F 2中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有 sin (sin sin )c e a αγβ==±-. 5. 若双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为L ,则当1<e 1 时,可在双曲线上求一点P ,使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项. 6. P 为双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)上任一点,F 1,F 2为二焦点,A 为双曲线内一定点,则 21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时,等号成立. 7. 双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是 22222A a B b C -≤. 8. 已知双曲线22 221x y a b -=(b >a >0),O 为坐标原点,P 、Q 为双曲线上两动点,且OP OQ ⊥. (1)22 221111||||OP OQ a b +=-;(2)|OP|2+|OQ|2 的最小值为22224a b b a -;(3)OPQ S ?的最小值是2222a b b a -. 9. 过双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点,弦MN 的 垂直平分线交x 轴于P ,则 ||||2PF e MN =. 10. 已知双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0),A 、B 是双曲线上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相 交于点0(,0)P x , 则220a b x a +≥或22 0a b x a +≤-. 11. 设P 点是双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=, 则(1)2122||||1cos b PF PF θ =-.(2) 122 cot 2PF F S b γ?=. 12. 设A 、B 是双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点,PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1)2222 2|cos | |||s | ab PA a c co αγ=-. (2) 2 tan tan 1e αβ=-.(3) 222 2 2cot PAB a b S b a γ?=+. 13. 已知双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)的右准线l 与x 轴相交于点E ,过双曲线右焦点F 的直线与 双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线 必与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂 直. 16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 圆锥 曲线的方程与性质 1.椭圆 (1)椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a (大于21||F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点,则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为: 22 221x y a b +=(0a b >>)(焦点在x 轴上)或 122 22=+b x a y (0a b >>)(焦点在y 轴上)。 注:①以上方程中,a b 的大小0a b >>,其中222b a c =-; ②在22221x y a b +=和22 221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件,要分清焦点的位 置,只要看2 x 和2 y 的分母的大小。例如椭圆22 1x y m n +=(0m >,0n >,m n ≠)当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆;当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 (2)椭圆的性质 ①范围:由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤,||y b ≤,说明椭圆位于直线x a =±,y b =±所围成的矩形里; ②对称性:在曲线方程里,若以y -代替y 方程不变,所以若点(,)x y 在曲线上时,点(,)x y -也在曲线上,所以曲线关于x 轴对称,同理,以x -代替x 方程不变,则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ,y -代替y 方程也不变,则曲线关于原点对称。 所以,椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原 点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心; ③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令0x =,得y b =±,则1(0,)B b -,2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±,即1(,0)A a -,2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时,线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a 和2b , a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ;在22Rt OB F ?中, 2||OB b =,2||OF c =,22||B F a =,且2222222||||||OF B F OB =-,即222c a b =-; ④离心率:椭圆的焦距与长轴的比c e a =叫椭圆的离心率。∵0a c >>,∴ 01e <<,且e 越接近1,c 就越接近a ,从而b 就越小,对应的椭圆越扁;反之,e 越接近于0,c 就越接近于0,从而b 越接近于a ,这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b =时,0c =,两焦点重合,图形变为圆,方程为222x y a +=。 2.双曲线 (1)双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线(12||||||2PF PF a -=)。 注意:①式中是差的绝对值,在1202||a F F <<条件下;12||||2PF PF a -=时为双曲线的一支; 21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支(含1F 的一支);②当122||a F F =时,12||||||2PF PF a -=表示两条射线; ③当122||a F F >时,12||||||2PF PF a -=不表示任何图形;④两定点12,F F 叫做双曲线的焦点,12||F F 叫做焦距。 (2)双曲线的性质 高考圆锥曲线经典真题 知识整合: 直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法,要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高,起到了拉开考生“档次”,有利于选拔的功能. 1.(江西卷15)过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30o 的直线,与抛物线 分别交于A 、B 两点(A 在y 轴左侧),则 AF FB = .1 3 2 (2008年安徽卷)若过点A(4,0)的直线l 与曲线 22 (2)1x y -+=有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为 ( ) A. [3,3] B. (3,3) C. 33[33- D. 33 (,33- 3(2008年海南---宁夏卷)设双曲线22 1916x y -=的右顶点为A,右焦点为F,过点F 平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则三角形AFB 的面积为-___________. 热点考点探究: 考点一:直线与曲线交点问题 例1.已知双曲线C :2x2-y2=2与点P(1,2) (1)求过P(1,2)点的直线l 的斜率取值范围,使l 与C 分别有一个交点,两个交点,没有交点. 解:(1)当直线l 的斜率不存在时,l 的方程为x=1,与曲线C 有一个交点.当l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y -2=k(x -1),代入C 的方程,并整理得 (2-k2)x2+2(k2-2k)x -k2+4k -6=0 (*) (ⅰ)当2-k2=0,即k=± 2 时,方程(*)有一个根,l 与C 有一个交点 (ⅱ)当2-k2≠0,即k ≠±2 时 Δ=[2(k2-2k)]2-4(2-k2)(-k2+4k -6)=16(3-2k) ①当Δ=0,即 3-2k=0,k=23 时,方程(*)有一个实根,l 与C 有一个交点. ②当Δ>0,即k <23 ,又 k ≠± 2 ,故当k <- 2 或-2 <k < 2 或 2<k <2 3 时,方程(*)有两不等实根,l 与C 有两个交点. ③当Δ<0,即 k >23 时,方程(*)无解,l 与C 无交点. 综上知:当k=±2,或k=23 ,或 k 不存在时,l 与C 只有一个交点; 当2<k <23 ,或-2<k <2,或k <- 2 时,l 与C 有两个交点; 当 k >23 时,l 与C 没有交点. (2)假设以Q 为中点的弦存在,设为AB ,且A(x1,y1),B(x2,y2),则2x12-y12=2,2x22-y22=2两式相减得:2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2) 又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1-x2)=y1-y1 即kAB= 2 121x x y y --=2 但渐近线斜率为±2,结合图形知直线 AB 与C 无交点,所以假设不正确,即以 Q 为中点的弦不存在. 椭 圆 典例精析 题型一 求椭圆的标准方程 【例1】已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为45 3 和 25 3 ,过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆的方程. 【解析】故所求方程为x 25+3y 2 10=1或3x 210+y 2 5 =1. 【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时,常用待定系数法,但是当焦点所在坐标轴不确定时,需要考虑两种情形,有时也可设椭圆的统一方程形式:mx 2+ny 2=1(m >0,n >0且m ≠n );(2)在求椭圆中的a 、b 、c 时,经常用到椭圆的定义及解三角形的知识. 【变式训练1】已知椭圆C 1的中心在原点、焦点在x 轴上,抛物线C 2的顶点在原点、焦点在x 轴上.小明从曲线C 1,C 2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点),并记录其坐标(x ,y ).由于记录失误,使得其中恰有一个点既不在椭圆C 1上,也不在抛物线C 2上.小明的记录如下: 据此,可推断椭圆C 1的方程为 . x 212+y 2 6 =1. 题型二 椭圆的几何性质的运用 【例2】已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,∠F 1PF 2=60°. (1)求椭圆离心率的范围; (2)求证:△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关. 【解析】(1)e 的取值范围是[12,1).(2)2 1 F PF S =12mn sin 60°=3 3 b 2, 【点拨】椭圆中△F 1PF 2往往称为焦点三角形,求解有关问题时,要注意正、余弦定理,面积公式的使用;求范围时,要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用,如|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|+|PF 2|2)2 ,|PF 1|≥a -c . 【变式训练2】 已知P 是椭圆x 225+y 2 9=1上的一点,Q ,R 分别是圆(x +4)2 +y 2 =1 4 和圆 (x -4)2+y 2=1 4上的点,则|PQ |+|PR |的最小值是 .【解析】最小值 为9. 题型三 有关椭圆的综合问题 【例3】(2010全国新课标)设F 1,F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的 左、右焦点,过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ,B 两点,且|AF 2|,|AB |,|BF 2|成等差数列. (1)求E 的离心率; 椭圆 椭圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的外角. 2. PT 平分APFiF?在点P 处的外如,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除公 长轴的两个端点. 3. 以議点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 】为肓.径的圆必与以长轴为宜径的圆内切. 5. 若&(%,儿)在椭圆匚+ — = 1上,则过&的椭圆的切线方程是卑+冷=1. n b a b 6. 若P D (A -0,V 0)在椭圆^+2T =1外,则过Po 作桶圆的两条切线切点为円、P2,贝9切点弦吋2的直线 a b 方程是年+臂=1. a h 2 Q 7. 椭岡3 + S = l (a>b>0)的左右焦点分别为F 】,F2,点P 为椭圆上任恿一点乙FfF 厂y ,则椭恻 a b 的焦点角形的面积为S“ =h 2tan^? 1 z 2 2 2 8. 椭圆冷+冷=1 b>0)的焦半径公式: 异b 2 I MF X 1= a +? J MF 2 1= a - (F,(-c,0) , F 2(c,0) M(x 0> j a )). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 为点,A 为椭圆长轴匕一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相 应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF 丄NF. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭恻交于两点氏Q,A f . A?为橢圆k 轴上的顶点,A|P 和A?Q 交丁点皿 A?P 和AQ 交于点N,则MF 丄NF. F y 2 h 2 AB 足椭圆—+ —= 1的不平行于对称轴的弦,儿)为AB 的中点,则k aM ^k Ali =- — a ■方- a" 即K 舶学。 a 几 则被Po 所平分的中点弦的方程足写+卑二斗+牛. a b a b 椭圆一(会推导的经典结论) 10. 11. 12. 若P 0(A 0,儿)在椭圆鼻+士 = 1内, a 13. 若尸畑儿)在椭圆 则过Po 的弦中点的轨迹方程是 浙江省高考数学圆锥曲线真题 22 04. 若椭圆 x 2 y 2 ab 1(a > b > 0)的左、右焦点分别为 F 1、F 2, 线段 F 1F 2被抛物线 y 2=2 bx 的焦点 分成 5∶ 3的两 段 , 则此椭圆的离心率为 16 (A) 1167 05.过双曲线 2 x 2 a 4 17 (B) 17 2 b y 2 1(a b 4 (C)45 (D) 255 5 0,b 0) 的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M 、 N 两点 , 以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点 则双曲线的离心率等于 07. 已知双曲线 2 x 2 a 2 y 2 1(a 0,b b 2 0) 的左、右焦点分别为 F 1,F 2, P 是准线上一点 , PF 1 PF 2,|PF 1| |PF 2| 4ab , 则双曲线的离心率是 B ) 3 (C ) 2 (D ) 3 △ ABP 的面积为定 则动点 P 的轨迹是A . 圆 B . 椭圆 C . 一条直线 D . 两条平行直线 09. 2 x 过双曲线 2 a 2 y b 2 1(a 0,b 0) 的右顶 点 条渐近线的交点分别为 B,C uuur .若 AB 1 uuur BC , 2 A . 2 B .3 C 08.如图 , AB 是平面 的斜.线.段. ) B A P 第 10 题) A 作斜率为 1的直线 , 该直线与双曲线的两 则双曲线的离心率 是 ( ) .5 D . 10 A 为斜足 , 若点 P 在平面 内运动 , 使得 点 A (0,2) 。若线段 FA 的中点 B 在抛物线上 2 10. (13)设抛物线 y 2 2px (p 0) 的焦点为 F, 则 B 到该抛物线准线的距离为 近线与以 C 1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点 ( ) 13 2 B . a 2= 13 1 D . A .a 2= C .b 2= b 2=2 2 2 2 11. 设 F 1, F 2分别为椭圆 x 2 3 y 2 1的 左、 右焦点 22 x y 2 11. 已知椭圆 C 1: 2 2 =1 (a > b > 0)与双曲线 C 2: x 2 ab 则点 A 的坐标是 _______ 2 y 1有公共的焦点 , C 2 的一条渐 4 若 C 1 恰好将线段 AB 三等分 , 则 uuur uuuur 点 A, B 在椭圆上. 若 F 1A 5F 2B , 高考二轮复习专项:圆锥曲线 1. 如图,直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线,交点是A ,点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧),且|AB|=4,|AD|=1,M 是该平面上的一个动点,M 在l1上的射影点是N ,且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系,求动点M 的轨迹C 的方程. (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点;另外平面上的点G 、H 满足: ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围. 2. 设椭圆的中心是坐标原点,焦点在x 轴上,离心率 23=e ,已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4,求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ;双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x -5y=0. (Ⅰ)求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率; (Ⅱ)在第一象限内取双曲线C2上一点P ,连结AP 交椭圆C1于点M ,连结PB 并延长交椭圆C1于点N ,若=. 求证:.0=? B A D M B N l2 l1 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45°的直线交椭圆于A ,B 两点.设AB 中点为M ,直线AB 与OM 的夹角为αa. (1)用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; (2)若2 数学圆锥曲线测试高考题 一、选择题: 1. (2006全国II )已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的一条渐近线方程为y =4 3x ,则双曲线的离心率为( ) (A )53 (B )43 (C )54 (D )3 2 2. (2006全国II )已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23+y 2 =1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是( ) (A )2 3 (B )6 (C )4 3 (D )12 3.(2006全国卷I )抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是( ) A . 43 B .7 5 C .85 D .3 4.(2006广东高考卷)已知双曲线2239x y -=,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于( ) B. C. 2 D. 4 5.(2006辽宁卷)方程22520x x -+=的两个根可分别作为( ) A.一椭圆和一双曲线的离心率 B.两抛物线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率 6.(2006辽宁卷)曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的( ) (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7.(2006安徽高考卷)若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合,则p 的值为( ) A .2- B .2 C .4- D .4 8.(2006辽宁卷)直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题: 9. (2006全国卷I )双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍,则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D , 圆锥曲线知识点总结 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】 圆锥曲线的方程与性质 1.椭圆 (1)椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a (大于21||F F )的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点,则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为:22221x y a b +=(0a b >>)(焦点在x 轴上)或1 22 22=+b x a y (0a b >>)(焦点在y 轴上)。 注:①以上方程中,a b 的大小0a b >>,其中222b a c =-; ②在22221x y a b +=和22 221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件,要分清焦点的位置, 只要看2 x 和2 y 的分母的大小。例如椭圆22 1x y m n + =(0m >,0n >,m n ≠)当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆;当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 (2)椭圆的性质 ①范围:由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤,||y b ≤,说明椭圆位于直线x a =±, y b =±所围成的矩形里; ②对称性:在曲线方程里,若以y -代替y 方程不变,所以若点(,)x y 在曲线上时,点 (,)x y -也在曲线上,所以曲线关于x 轴对称,同理,以x -代替x 方程不变,则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ,y -代替y 方程也不变,则曲线关于原点对称。 所以,椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心; ③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中,令0x =,得y b =±,则1(0,)B b -,2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±,即1(,0)A a -,2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时,线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a 和2b ,a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ;在22Rt OB F ?中,2||OB b =, 2||OF c =,22||B F a =,且2222222||||||OF B F OB =-,即222c a b =-; ④离心率:椭圆的焦距与长轴的比c e a = 叫椭圆的离心率。∵0a c >>,∴01e <<,且e 越接近1,c 就越接近a ,从而b 就越小,对应的椭圆越扁;反之,e 越接近于0,c 就越接近于0,从而b 越接近于a ,这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b =时,0c =,两焦点重合,图形变为圆,方程为222x y a +=。 2.双曲线 (1)双曲线的概念 圆锥曲线、导数2018年全国高考数学分类真题(含答案) 一.选择题(共7小题) 1.双曲线﹣y2=1的焦点坐标是() A.(﹣,0),(,0)B.(﹣2,0),(2,0)C.(0,﹣),(0,)D.(0,﹣2),(0,2) 2.已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴 的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为() A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1 3.设F1,F2是双曲线C:﹣=1(a>0.b>0)的左,右焦点,O是坐标原 点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PF1|=|OP|,则C的离心率为() A.B.2 C.D. 4.已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C 的离心率为() A.B.C.D. 5.双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为()A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 6.已知双曲线C:﹣y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=() A.B.3 C.2 D.4 7.设函数f(x)=x3+(a﹣1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为() A.y=﹣2x B.y=﹣x C.y=2x D.y=x 二.填空题(共6小题) 8.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为. 9.已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:﹣=1.若双曲线N的 两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为;双曲线N的离心率为. 10.已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m=时,点B横坐标的绝对值最大. 11.已知点M(﹣1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C 交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k= . 12.曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为﹣2,则a=. 13.曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为. 三.解答题(共13小题) 14.设函数f(x)=[ax2﹣(4a+1)x+4a+3]e x. (Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a; (Ⅱ)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围. 15.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点(),焦点F1(﹣,0),F2(,0),圆O的直径为F1F2. (1)求椭圆C及圆O的方程; 全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考二轮复习专项:圆锥曲线大题集 1. 如图,直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线,交点是A ,点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧),且|AB|=4,|AD|=1,M 是该平面上的一个动点,M 在l 1上的射影点是N ,且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系,求动点M 的轨迹C 的方程. (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点;另外平面上的点G 、H 满足: (R); AG AD λλ=∈2; GE GF GH +=0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围. 2. 设椭圆的中心是坐标原点,焦点在x 轴上,离心率 23 = e ,已知点)3,0(P 到 这个椭圆上的点的最远距离是4,求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B;双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x-5y=0. (Ⅰ)求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率; (Ⅱ)在第一象限内取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C1于点M,连结PB并延长交椭圆C1于点N,若AM=. 求证:.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F(c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45°的直线交椭圆于A,B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为αa. (1)用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; (2)若2 2018年高考圆锥曲线大题 一.解答题(共13小题) 1.已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<﹣; (2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=.证明:||,||,||成等差数列,并求该数列的公差. 2.已知斜率为k的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<﹣; (2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=,证明:2||=||+||. 3.双曲线﹣=1,F1、F2为其左右焦点,C是以F2为圆心且过原点的圆. (1)求C的轨迹方程; (2)动点P在C上运动,M满足=2,求M的轨迹方程. 4.设椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程; (2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB. 5.已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有 两个不同的交点A,B. (Ⅰ)求椭圆M的方程; (Ⅱ)若k=1,求|AB|的最大值; (Ⅲ)设P(﹣2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点Q(﹣,)共线,求k. 6.设常数t>2.在平面直角坐标系xOy中,已知点F(2,0),直线l:x=t,曲线Γ:y2=8x(0≤x≤t,y≥0).l与x轴交于点A、与Γ交于点B.P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点. (1)用t表示点B到点F的距离; (2)设t=3,|FQ|=2,线段OQ的中点在直线FP上,求△AQP的面积; (3)设t=8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在Γ上?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由. 圆锥曲线知识点回顾1.椭圆的性质 2.双曲线的性质 3.抛物线中的常用结论 ①过抛物线y2=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p ②设A(x1,y),1B(x2,y2)是抛物线y2=2px上的两点,则AB过F的充要条件是y1y2=-p2 ③设A,B是抛物线y2=2px上的两点,O为原点,则OA⊥OB的充要条件是 直线AB恒过定点(2p,0) (4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义 与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线,定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用e表示,当0<e<1时, 是椭圆,当e>1时,是双曲线,当e=1时,是抛物线. 4.直线与圆锥曲线的位置关系:(在这里我们把圆包括进来) (1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的 a.直线与圆:一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法),也可以利用方程实根的个数来判断(解析法). b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程,判断相交、相切、相离 c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性 (2).a.求弦所在的直线方程 b.根据其它条件求圆锥曲线方程 (3).已知一点A坐标,一直线与圆锥曲线交于两点P、Q,且中点为A,求P、Q所 在的直线方程 (4).已知一直线方程,某圆锥曲线上存在两点关于直线对称,求某个值的取值范围(或 者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称) 5.二次曲线在高考中的应用 二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位,是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体,与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合,结合数学思想方法,并与高等数学基础知识融为一体,考查学生的数学思维能力及创新能力,其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题,给予较深入的剖析,这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。 (1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。 (2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。 (3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。 (4).重视解析几何与立体几何的有机结合。 高考二轮复习专项:圆锥曲线大题集 1. 如图,直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线,交点是A ,点B 、D 在直线l 1上 (B 、D 位于点A 右侧),且|AB|=4,|AD|=1,M 是该平面上的一个动点,M 在l 1上的射影点是N ,且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系,求动点M 的轨迹C 的方程. (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点;另外平面上的点G 、H 满足: ①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围. 2. 设椭圆的中心是坐标原点,焦点在x 轴上,离心率23 = e ,已知点)3,0(P 到这个椭圆 上的点的最远距离是4,求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B;双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x-5y=0. (Ⅰ)求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率; (Ⅱ)在第一象限内取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C1于点M,连结PB并延长交椭圆C1于点N,若MP AM=. 求证:.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F(c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45°的直线交椭圆于A,B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为αa. (1)用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; (2)若2 数学高考圆锥曲线压轴 题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 数学高考圆锥曲线压轴题经典预测一、圆锥曲线中的定值问题 ★★椭圆C:x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)的离心率e= 3 2,a+b=3. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2m-k为定值. ★★如图,椭圆C:x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)经过点P(1, 3 2),离心率e= 1 2,直 线l的方程为x=4. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3若存在,求λ的值;若不存在,说明理由. ★★椭圆C:x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1,F2,离心率为 3 2,过 F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围; (Ⅲ)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只 有一个公共点,设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明 1 kk1+ 1 kk2 为定值,并求出这个定值. - 2 - 二、圆锥曲线中的最值问题 +y2 b2=1( a>b>0)的离心率为 (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点).点D在椭圆C上,且A D⊥AB,直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点.(i)设直线BD,AM的斜率分别为k1,k2,证明存在常数λ使得k1=λk2,并求出λ的值; (ii)求△OMN面积的最大值. - 3 - 4.已知双曲线)0(13 2 22>=-a y a x 的离心率为2,则=a A. 2 B. 2 6 C. 25 D. 1 10.已知抛物线C :x y =2的焦点为F ,()y x A 00,是C 上一点,x F A 045=,则=x 0( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 20.已知点)2,2(P ,圆C :082 2=-+y y x ,过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程; (2)当OM OP =时,求l 的方程及POM ?的面积 (10)设F 为抛物线2:y =3x C 的焦点,过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点,则AB = (A )3 (B )6 (C )12 (D )(12)设点0(x ,1)M ,若在圆22:x y =1O +上存在点N ,使得°45OMN ∠=,则0x 的取值范围是 (A )[]1,1- (B )1122??-????, (C )?? (D ) ???? 20.设F 1 ,F 2分别是椭圆C :122 22=+b y a x (a>b>0)的左,右焦点,M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直,直线MF 1与C 的另一个交点为N 。 (I )若直线MN 的斜率为4 3,求C 的离心率; (II )若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN|=5|F 1N|,求a ,b 。 4.已知双曲线C: 22 22 =1 x y a b -(a>0,b>0) 的离心率为 2 ,则C的渐近线方程为( ). A.y= 1 4 x ± B.y= 1 3 x ± C.y= 1 2 x ± D.y=±x 8.O为坐标原点,F为抛物线C:y2 =的焦点,P为C上一点,若|PF| =,则△POF 的面积为( ). A.2 B . ..4 21.已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|. 圆锥曲线经典大题 1.已知过点A (-4,0)的动直线l 与抛物线G :x 2=2py (p >0)相交于B 、C 两点.当 直线l 的斜率是12 时,AC →=4AB →. (1)求抛物线G 的方程; (2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ,求b 的取值范围. 2.如图,已知(10)F ,,直线:1l x =-,点P 为平面上的动点,过点P 作l 的垂线,垂足为点Q ,且QP QF FP FQ ?=?. (Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程。 (Ⅱ)过点F 的直线交轨迹C 于A B ,两点,交直线l 于点M . (1)已知1MA AF λ=,2MB BF λ=,求12λλ+的值; (2)求MA MB ?的最小值. 3.设点F 是抛物线G :x 2=4y 的焦点. (1)过点P (0,-4)作抛物线G 的切线,求切线的方程; (2)设A ,B 为抛物线G 上异于原点的两点,且满足 0·=FB FA ,分别延长 AF ,BF 交抛物线G 于C ,D 两点,求四边 形ABCD 面积的最小值. 4.设抛物线方程为22(0)x py p =>,M 为直线2y p =-上任意一点,过M 引抛物线的切线,切点分别为A B ,. (Ⅰ)求证:A M B ,,三点的横坐标成等差数列; (Ⅱ)已知当M 点的坐标为(22)p -, 时,AB = 5.设椭圆22 2:12 x y M a +=(a >的右焦点为1F ,直线2 :2 2-= a a x l 与x 轴交于点 A ,若112OF AF +=0(其中O 为坐标原点) . (1)求椭圆M 的方程;(2)设P 是椭圆M 上的任意一点,EF 为圆 ()12:2 2=-+y x N 的任意一条直径(E 、F 为直径的两个端点),求?的 最大值. 6.已知双曲线C 的方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>,离心率e =顶点到渐近线 (I ) (II ) 求双曲线C 的方程; (II)如图,P 是双曲线C 上一点,A ,B 两点在双曲线C 的两条渐近线上,且分 别位于第一、二象限,若1 ,[,2]3 AP PB λλ=∈,求AOB ?面积的取值范围。 7.一条双曲线2 212 x y -=的左、右顶点分别为A 1,A 2,点11(,)P x y ,11(,)Q x y -是双 曲线上不同的两个动点。(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程式;(2)若过点H(0, h)(h>1)的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点,且12l l ⊥ ,求h 的值。 8.已知:椭圆122 22=+b y a x (0>>b a ),过点)0,(a A -,),0(b B 的直线倾斜角 为 6 π ,原点到该直线的距离为23.(1)求椭圆的方程;(2)斜率大于零的直线 过)0,1(-D 与椭圆交于E ,F 两点,若2=,求直线EF 的方程;(3)是否存在实数k ,直线2+=kx y 交椭圆于P ,Q 两点,以PQ 为直径的圆过点 )0,1(-D ?若存在,求出k 的值;若不存在,请说明理由. 第八章 《圆锥曲线》专题复习 一、椭圆方程. 1. 椭圆的第一定义: 为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+πφ 2.椭圆的方程形式: ①椭圆的标准方程: i. 中心在原点,焦点在x 轴上: ) 0(12 22 2φφb a b y a x =+ . ii. 中心在原点,焦点在y 轴上: )0(12 22 2φφb a b x a y =+ . ②一般方程:)0,0(12 2 φφB A By Ax =+.③椭圆的参数方程: 2 22 2+ b y a x ?? ?==θ θsin cos b y a x (一象限θ应是属于20π θππ). 注意:椭圆参数方程的推导:得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. 3.椭圆的性质: ①顶点:),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.②轴:对称轴:x 轴,y 轴;长轴长a 2,短轴长b 2.③焦点:)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -.④焦距:2 2 21,2b a c c F F -==.⑤准线:c a x 2 ±=或 c a y 2±=.⑥离心率:)10(ππe a c e =.⑦焦半径: i. 设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2φφb a b y a x =+ 上的一点,21,F F 为左、右焦点,则: 证明:由椭圆第二定义可知:)0()(),0()(0002 200201φπx a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起 来为“左加右减”. ii.设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2φφb a a y b x =+ 上的一点,21,F F 为上、下焦点,则: ⑧通径:垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通径: 2 22b d a =;坐标:22(,),(,)b b c c a a - 4.共离心率的椭圆系的方程:椭圆)0(12 22 2φφb a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -== ,方程 t t b y a x (2 22 2=+是大于0的参数,)0φφb a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. 5.若P 是椭圆: 12 22 2=+ b y a x 上的点.21,F F 为焦点,若θ=∠21PF F ,则21F PF ?的面积为 2 tan 2θ b (用余弦定理与a PF PF 221=+可得). 若是双曲线,则面积为2 cot 2θ ?b . 1020 ,PF a ex PF a ex =+=-1020 ,PF a ey PF a ey =+=-asin α,)α)圆锥曲线知识点总结版
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