2015年全国新课标2卷高考文科数学试题及答案
- 1 - 2015普通高等学校招生全国统一考试Ⅱ卷文科数学 第一卷 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合A=BAxxBxx则,30,21 A.(-1，3) B.(-1，0 ) C.(0，2) D.(2，3)
(2)若a实数，且aiiai则,312 A.-4 B. -3 C. 3 D. 4 (3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下 结论中不正确的是
2700260025002400230022002100200019002013(年)201220112010200920082007200620052004
A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著； B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效； C.2006年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势； D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。
（4）已知向量•ababa）则（2),2,1(),1,0( A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
(5)设项和，的前是等差数列naSnn若5531,3Saaa则 A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 (6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
A. 81 B.71 C. 61 D. 51 (7)已知三点)32()30(),01(，，，，CBA,则ABC外接圆的圆心到原点的距离为 - 2 -
A. 35 B. 321 C. 352 D. 34 (8)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b分别为14,18，则输出的a为
是 否 是 否
A. 0 B. 2 C. 4 D.14 (9)已知等比数列24531),1(4,41aaaaaan则满足C A. 2 B. 1 C. 21 D. 81 （10）已知A,B是球O的球面上两点，为该球面上动点，CAOB,90若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为 A. 36π B. 64π C. 144π D.256π (11)如图，长方形的边AB=2，BC=1,O是AB的中点，点P沿着边BC,CD,与DA运动，记
的图像大致为则数两点距离之和表示为函到将动点)(),(,,xfxfBAPxBOP
xPODC
BA
开始 输入a,b
a>b b=b-a a=a-b 输出a 结束 ab - 3 - D
CB
A
ππ3π4π2π43π4π4π23π
4
2222
ππ2π4π3π4π2π
4XOYX
YOXOYY
XO
（12）设函数的范围是成立的则使得xxfxfxxxf)12()(,11)1ln()(2 A. )1,31( B. ),1()31,( C. )31,31( D. ),31()31,( 第二卷 填空题：本大题共4个小题，每小题5分
（13）已知函数axaxxf），则的图像过点（4,1-2)(3 。
（14）若x,y满足约束条件的最大值为则yxzyxyxyx2,012,012,05 。 （15）已知双曲线过点），（3,4，且渐近线方程为xy21，则该双曲线的标准方程为 。
（16）已知曲线xxyln在点（1,1）处的切线与曲线axaaxy相切，则1)2(2 。
解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分12分） .2,DCBDBACADBCDABC平分上的点，是中，
（Ⅰ）求;sinsinCB （Ⅱ）若.,60BBAC求 18. （本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A, B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表. - 4 -
400.0050.0100.035A地区用户满意度评分的频率分布直方图0.0400.0300.0250.0200.0151009080706050O满意度评分
频率组距
B地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频 数 2 8 14 10 6
（I）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度,（不要求计算出具体值,给出结论即可）
0.0050.0100.035B地区用户满意度评分的频率分布直方图
0.0400.0300.0250.0200.015
1009080706050O满意度评分
频率组距
（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意
估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由. 19. （本小题满分12分）如图,长方体1111ABCDABCD中AB=16,BC=10,18AA,点E,F分别在1111,ABDC 上,114.AEDF过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. - 5 -
FED
1C
1
B1
A1
DC
BA （I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）； （II）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆2222:10xyCabab 的离心率为22,点2,2在C上. （I）求C的方程； （II）直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.
21. （本小题满分12分）已知ln1fxxax. （I）讨论fx的单调性； （II）当fx有最大值,且最大值大于22a时,求a的取值范围. 请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图O是等腰三角形ABC内一点, ⊙O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.
（I）证明EF∥BC.
（II）若AG等于⊙O的半径,且23AEMN ,求四边形EDCF的面积. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线1cos,:sin,xtCyt （t为参数,且0t ）,其中0,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin,:23cos.CC
NMGOFEDCB
A - 6 -
（I）求2C与3C交点的直角坐标； （II）若1C与 2C相交于点A,1C与3C相交于点B,求AB最大值. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲
设,,,abcd 均为正数,且abcd.证明：
（I）若abcd ,则abcd； （II）abcd是abcd的充要条件.
2015普通高等学校招生全国统一考试Ⅱ卷文科数学答案 一、选择题 1、选A
2、解：因为.4,42)1)(3(2aiiiai所以故选D 3、选D 4、选B 5、解：在等差数列中，因为
.,5525)(,1,335153531AaaaSaaaa故选所以 6、解：如图所示，选D. 7、解：根据题意，三角形ABC是等边三角形，设
外接圆的圆心为D，则D（1，332）所以， .32137341OD故选B.
8、解：18-14=4,14=4=10,10-4=6,6-4=2, 4-2=2,所以a=b=2，故选B.
9、解：因为),1(4,414531aaaaan满足所以， - 7 -
.21241,2,2),1(4123144424qaaqqaaaaa所以，所以又解得故选C.
10、解：因为A,B都在球面上，又为该球面上动点，CAOB,90所以
三棱锥的体积的最大值为3661213132RRR，所以R=6，所以球的表面积为 S=14442Rππ，故选C. 11、解：如图，当点P在BC上时，
,tan4tan,tan4,tan,22xxPBPAxPAxPBxBOP
当4x时取得最大值51， 以A,B为焦点C,D为椭圆上两定点作椭圆，显然，当点P在C,D之间移动时PA+PB<51. 又函数)(xf不是一次函数，故选B.
12、解：因为函数时函数是增函数是偶函数，),0[,11)1ln()(2xxxxf .131,)12(,12)12()(22xxxxxxfxf解得故选A.
二、填空题 13、答：a=-2 14、解：当x=3,y=2时，z=2x+y取得最大值8.
15、解：设双曲线的方程为.43,4),0(422kkkyx）代入方程，解得，点（
1422yx双曲线的标准方程为
16、解：.122,11'xyxy，切线方程为切线的斜率为 .8120.08,08,021)2(12222axyaaaaaaxaxxaaxyxy所以与切线平行，不符。时曲线为或解得由联立得与将
解答题
xPODC
BA
2015年高考文科数学全国卷2
数学试卷 第1页（共9页）数学试卷 第2页（共9页） 数学试卷 第3页（共9页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)数学（文科）使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、广西、西藏本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24题，共150分，共6页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}|12A x x =-<<，{}|03B x x =<<，则A B =U （ ）A ．(1,3)-B ．(1,0)-C ．(0,2)D ．(2,3) 2．若a为实数，且2i3i 1ia +=++，则a =（ ）A ．4-B ．3-C ．3D ．43．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是 （ ）A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4．向量a =(1,－1)，b =(－1,2)，则（2a +b ）• a =（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．25．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S =（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11 6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）A ．18B ．17C ．16D ．157．已知三点(1,0)A ，(0,3)B ，(2,3)C 则ABC △外接圆的圆心到原点的距离为 （ ）A ．53B ．21 C ．25D ．438．如图所示程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a =（ ）A ．0B ．2C ．4D ．149．已知等比数列{}n a 满足114a =，35a a =44(1)a -，则2a = （ ）A ．2B ．1C ．12D ．1810．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90°，C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π11．如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点.点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=.将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为 （ ）--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共9页）数学试卷 第5页（共9页）数学试卷 第6页（共9页）ABCD12．设函数21()ln(1||)1f x x x =+-+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ）A ．1,13（）B ．1,1,3-∞+∞U （）（）C ．11,33-（）D ．11,,33-∞-+∞U （）（）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13．已知函数32f x ax x =-（）的图象过点（－1，4），则a =________.14．若x ，y 满足约束条件50210210x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩≤，≥，≤，则z 2x y =+的最大值为________.15．已知双曲线过点（，且渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的标准方程为________.16．已知曲线ln y x x =+在点1,1（）处的切线与曲线221y ax a x =+++（）相切，则a =________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，BD =2DC .（Ⅰ）求sin sin BC∠∠；（Ⅱ）若C BA ∠=60°，求B ∠.18．（本小题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表.A 地区用户满意度评分的频率分布直方图意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；B 地区用户满意度评分的频率分布直方图数学试卷 第7页（共9页）数学试卷 第8页（共9页）数学试卷 第9页（共9页）19．（本小题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ，=10BC ，18AA =，点E ，F 分别在11A B ，11D C 上，114A E D F ==.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 20．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为22，点()2,2在C 上.（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.21．（本小题满分12分）已知函数ln 1f x x a x =+-（）（）. （Ⅰ）讨论f x （）的单调性； （Ⅱ）当f x （）有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与ABC △的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点. （Ⅰ）证明：EF BC ∥；（Ⅱ）若AG 等于⊙O 的半径，且23AE MN ==，求四边形EBCF 的面积.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0πα≤＜，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，3:23cos C ρθ=.（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 最大值. 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设a ，b ，c ，d 均为正数，且a b c d +=+.证明： （Ⅰ）若ab cd >，则a b c d +>+；（Ⅱ）a b c d +>+是||||a b c d -<-的充要条件.。
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2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷Ⅱ)数学(文科)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷Ⅱ）数学（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={x|-1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A.（-1，3）B.（-1，0）C.（0，2）D.（2，3）【答案】A【解析】解：∵A={x|-1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，∴A∪B={x|-1＜x＜3}，故选：A．根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.若为a实数，且=3+i，则a=（）A.-4B.-3C.3D.4【答案】D【解析】解：由，得2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，则a=4，故选：D．根据复数相等的条件进行求解即可．本题主要考查复数相等的应用，比较基础．3.根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【答案】D【解析】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004-2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B 正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：DA从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4.=（1，-1），=（-1，2）则（2+）=（）A.-1B.0C.1D.2【答案】C【解析】解：因为=（1，-1），=（-1，2）则（2+）=（1，0）•（1，-1）=1；故选：C利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题．本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．5.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A. B.5 C.7 D.9【答案】B【解析】解：由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3=1．则S5==5a3=5．故选：B．由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1-=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7.过三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=1上，可设圆心P（1，p），由PA=PB得|p|=，得p=圆心坐标为P（1，），所以圆心到原点的距离|OP|==，故选：B利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．本题主要考查圆性质及△ABC外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键．8.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A.0B.2C.4D.14【答案】B【解析】解：模拟执行程序框图，可得a=14，b=18满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2不满足条件a≠b，输出a的值为2．故选：B．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=b=2时不满足条件a≠b，输出a的值为2．本题主要考查了循环结构程序框图，属于基础题．9.已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4-1），则a2=（）A.2B.1C.D.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4-1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．10.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A.36πB.64πC.144πD.256π【答案】C【解析】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O-ABC=V C-AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选C．当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大，利用三棱锥O-ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O-ABC的体积最大是关键．11.如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π-∠POQ）=tanx=-tan∠POQ=-=-，∴OQ=-，∴PD=AO-OQ=1+，PC=BO+OQ=1-，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=-tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．12.设函数f（x）=ln（1+|x|）-，则使得f（x）＞f（2x-1）成立的取值范围是（）A.（-∞，）∪（1，+∞）B.（，1）C.（，）D.（-∞，-，），∞【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=ln（1+|x|）-为偶函数，且在x≥0时，f（x）=ln（1+x）-，导数为f′（x）=+＞0，即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）＞f（2x-1）等价为f（|x|）＞f（|2x-1|），即|x|＞|2x-1|，平方得3x2-4x+1＜0，解得：＜x＜1，所求x的取值范围是（，1）．故选：B．根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．二、填空题(本大题共4小题，共12.0分)13.已知函数f（x）=ax3-2x的图象过点（-1，4）则a= ______ ．【答案】-2【解析】解：根据条件得：4=-a+2；∴a=-2．故答案为：-2．f（x）是图象过点（-1，4），从而该点坐标满足函数f（x）解析式，从而将点（-1，4）带入函数f（x）解析式即可求出a．考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，考查学生的计算能力，比较基础．14.若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为______ ．【答案】8【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，2）将A（3，2）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×3+2=8．即z=2x+y的最大值为8．故答案为：8．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15.已知双曲线过点，且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是______ ．【答案】x2-y2=1【解析】解：设双曲线方程为y2-x2=λ，代入点，，可得3-=λ，∴λ=-1，∴双曲线的标准方程是x2-y2=1．故答案为：x2-y2=1．设双曲线方程为y2-x2=λ，代入点，，求出λ，即可求出双曲线的标准方程．本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．16.已知曲线y =x +lnx 在点（1，1）处的切线与曲线y =ax 2+（a +2）x +1相切，则a = ______ ．【答案】 8【解析】解：y =x +lnx 的导数为y ′=1+，曲线y =x +lnx 在x =1处的切线斜率为k =2，则曲线y =x +lnx 在x =1处的切线方程为y -1=2x -2，即y =2x -1． 由于切线与曲线y =ax 2+（a +2）x +1相切， 故y =ax 2+（a +2）x +1可联立y =2x -1， 得ax 2+ax +2=0，又a ≠0，两线相切有一切点， 所以有△=a 2-8a =0， 解得a =8． 故答案为：8．求出y =x +lnx 的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y =ax 2+（a +2）x +1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a 的值． 本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键．三、解答题(本大题共8小题，共90.0分)17.△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD=2DC （Ⅰ） 求 ∠∠ ．（Ⅱ） 若∠BAC=60°，求∠B ．【答案】 解：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：∠∠ ，∠∠ ， ∵AD 平分∠BAC ，BD=2DC ， ∴ ∠∠；（Ⅱ）∵∠C=180°-（∠BAC+∠B ），∠BAC=60°， ∴ ∠ ∠ ∠∠∠ ，由（Ⅰ）知2sin ∠B=sin ∠C ，∴tan ∠B=，即∠B=30°．【解析】（Ⅰ）由题意画出图形，再由正弦定理结合内角平分线定理得答案；（Ⅱ）由∠C=180°-（∠BAC+∠B），两边取正弦后展开两角和的正弦，再结合（Ⅰ）中的结论得答案．本题考查了内角平分线的性质，考查了正弦定理的应用，是中档题．18.某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．【答案】解：（Ⅰ）通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B 地区的用户满意度评分的比较集中，而A地区的用户满意度评分的比较分散．（Ⅱ）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，由直方图得P（C A）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6得P（C B）=（0.005+0.02）×10=0.25∴A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大．【解析】（I）根据分布表的数据，画出频率直方图，求解即可．（II）计算得出C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，C B表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”，P（C A），P（C B），即可判断不满意的情况．本题考查了频率直方图，频率表达运用，考查了阅读能力，属于中档题．19.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．【答案】解：（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH如图所示；（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8．因为EFGH为正方形，所以EH=EF=BC=10，于是MH==6，AH=10，HB=6．因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为．【解析】（Ⅰ）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；（Ⅱ）求出MH==6，AH=10，HB=6，即可求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值．本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础．20.椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【答案】解：（1）椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上，可得，，解得a2=8，b2=4，所求椭圆C方程为：．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），把直线y=kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2-8=0，故x M==，y M=kx M+b=，于是在OM的斜率为：K OM==，即K OM•k=．∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【解析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解K OM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．21.设函数f（x）=lnx+a（1-x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1-x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=-a=，若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=-lna+a-1，∵f（）＞2a-2，∴lna+a-1＜0，令g（a）=lna+a-1，∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，当a＞1时，g（a）＞0，∴a的取值范围为（0，1）．【解析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）=lna+a-1，根据函数的单调性即可求出a 的范围．本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．22.如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．【答案】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×-××=．【解析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC-S△AEF 计算即可．本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．23.在直角坐标系xoy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，曲线C3：ρ=2cosθ．（Ⅰ）求C2与C3交点的直角坐标；（Ⅱ）若C2与C1相交于点A，C3与C1相交于点B，求|AB|的最大值．【答案】解：（Ⅰ）曲线C2：ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y，①C3：ρ=2cosθ，则ρ2=2ρcosθ，即x2+y2=2x，②由①②得或，即C2与C1交点的直角坐标为（0，0），（，）；（Ⅱ）曲线C1的直角坐标方程为y=tanαx，则极坐标方程为θ=α（ρ∈R，ρ≠0），其中0≤a＜π．因此A得到极坐标为（2sinα，α），B的极坐标为（2cosα，α）．所以|AB|=|2sinα-2cosα|=4|sin（α）|，当α=时，|AB|取得最大值，最大值为4．【解析】（Ⅰ）将C2与C3转化为直角坐标方程，解方程组即可求出交点坐标；（Ⅱ）求出A，B的极坐标，利用距离公式进行求解．本题主要考查极坐标方程和参数方程的应用，考查学生的运算和转化能力．24.设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a-b|＜|c-d|的充要条件．【答案】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a-b）2=（a+b）2-4ab，（c-d）2=（c+d）2-4cd，即有（a-b）2＜（c-d）2，即为|a-b|＜|c-d|；②若|a-b|＜|c-d|，则（a-b）2＜（c-d）2，即有（a+b）2-4ab＜（c+d）2-4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a-b|＜|c-d|的充要条件．【解析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a-b|＜|c-d|，②若|a-b|＜|c-d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2(答案)
2015年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)一、选择题1.A 因为B={x|(x-1)(x+2)<0}={x|-2<x<1},A={-2,-1,0,1,2},故A∩B={-1,0}.选A.2.B ∵(2+ai)(a -2i)=-4i ⇒4a+(a 2-4)i=-4i, ∴{4a =0,a 2-4=-4,解得a=0. 3.D 由柱形图可知:A 、B 、C 均正确,2006年以来我国二氧化硫年排放量在逐渐减少,所以排放量与年份负相关,∴D 不正确.4.B 设{a n }的公比为q,由a 1=3,a 1+a 3+a 5=21得1+q 2+q 4=7,解得q 2=2(负值舍去).∴a 3+a 5+a 7=a 1q 2+a 3q 2+a 5q 2=(a 1+a 3+a 5)q 2=21×2=42. 5.C ∵-2<1,∴f(-2)=1+log 2[2-(-2)]=3;∵log 212>1, ∴f(log 212)=2log 212-1=2log 26=6.∴f(-2)+f(log 212)=9.6.D 如图,由已知条件可知,截去部分是以△ABC 为底面且三条侧棱两两垂直的正三棱锥D-ABC.设正方体的棱长为a,则截去部分的体积为16a 3,剩余部分的体积为a 3-16a 3=56a 3.它们的体积之比为15.故选D.评析 本题主要考查几何体的三视图和体积的计算,考查空间想象能力. 7.C 设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b=3-72=-2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),|PA|=√(1-1)2+(3+2)2=5,于是圆P 的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±2√6,则|MN|=|(-2+2√6)-(-2-2√6)|=4√6. 8.B 开始:a=14,b=18, 第一次循环:a=14,b=4; 第二次循环:a=10,b=4; 第三次循环:a=6,b=4; 第四次循环:a=2,b=4;第五次循环:a=2,b=2. 此时,a=b,退出循环,输出a=2.评析 熟悉“更相减损术”对理解框图所确定的算法有帮助. 9.C ∵S △OAB 是定值,且V O-ABC =V C-OAB ,∴当OC⊥平面OAB 时,V C-OAB 最大,即V O-ABC 最大.设球O 的半径为R,则(V O-ABC )max =13×12R 2×R=16R 3=36,∴R=6,∴球O 的表面积S=4πR 2=4π×62=144π.评析 点C 是动点,如果以△ABC 为底面,则底面面积与高都是变量,因此转化成以△OAB 为底面(S △OAB 为定值),这样高越大,体积越大.10.B 当点P 与C 、D 重合时,易求得PA+PB=1+√5;当点P 为DC 的中点时,有OP⊥AB,则x=π2,易求得PA+PB=2PA=2√2.显然1+√5>2√2,故当x=π2时, f(x)没有取到最大值,则C 、D 选项错误.当x∈[0,π4)时, f(x)=tan x+√4+tan 2x ,不是一次函数,排除A,故选B.11.D 设双曲线E 的标准方程为x 2a2-y 2b 2=1(a>0,b>0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M 在第一象限内,则易得M(2a,√3a),又M 点在双曲线E 上,于是(2a )2a 2-(√3a )2b 2=1,解得b 2=a 2,∴e=√1+b 2a 2=√2. 12.A 令g(x)=f (x )x,则g'(x)=xf '(x )-f (x )x 2,由题意知,当x>0时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上是减函数.∵f(x)是奇函数, f(-1)=0,∴f(1)=-f(-1)=0, ∴g(1)=f (1)1=0,∴当x∈(0,1)时,g(x)>0,从而f(x)>0; 当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,从而f(x)<0. 又∵g(-x)=f (-x )-x=-f (x )-x=f (x )x=g(x),∴g(x)是偶函数,∴当x∈(-∞,-1)时,g(x)<0,从而f(x)>0; 当x∈(-1,0)时,g(x)>0,从而f(x)<0. 综上,所求x 的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).评析 出现xf '(x)+f(x)>0(<0)时,考虑构造函数F(x)=xf(x),出现xf '(x)-f(x)>0(<0)时,考虑构造函数g(x)=f (x )x.二、填空题 13.答案 12解析 由于a,b 不平行,所以可以以a,b 作为一组基底,于是λa+b 与a+2b 平行等价于λ1=12,即λ=12. 14.答案 32解析 作出可行域,如图:由z=x+y 得y=-x+z,当直线y=-x+z 过点A (1,12)时,z 取得最大值,z max =1+12=32. 15.答案 3解析 设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其所有项的系数和为f(1)=(a+1)·(1+1)4=(a+1)×16,又奇数次幂项的系数和为12[f(1)-f(-1)],∴12×(a+1)×16=32,∴a=3. 评析 二项展开式问题中,涉及系数和的问题,通常采用赋值法. 16.答案 -1n解析 ∵a n+1=S n+1-S n ,∴S n+1-S n =S n+1S n ,又由a 1=-1,知S n ≠0,∴1S n-1Sn+1=1,∴{1S n}是等差数列,且公差为-1,而1S 1=1a 1=-1,∴1S n=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴S n =-1n .三、解答题17.解析 (Ⅰ)S △ABD =12AB·ADsin∠BAD, S △ADC =12AC·ADsin∠CAD.因为S △ABD =2S △ADC ,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC. 由正弦定理可得sin∠B sin∠C =AC AB =12.(Ⅱ)因为S △ABD ∶S △ADC =BD∶DC,所以BD=√2. 在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理知AB 2=AD 2+BD 2-2AD·BDcos∠ADB, AC 2=AD 2+DC 2-2AD·DCcos∠ADC. 故AB 2+2AC 2=3AD 2+BD 2+2DC 2=6. 由(Ⅰ)知AB=2AC,所以AC=1.评析 本题考查正弦定理,余弦定理的应用,以及三角形的面积公式.属常规题,中等偏易. 18.解析 (Ⅰ)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:A 地区B 地区4 6 8 35 1 36 4 6 4 2 6 2 4 5 5 6 8 8 6 437 3 3 4 6 9 9 2 8 6 518 3 2 1 7 5 5 2 9 1 3通过茎叶图可以看出,A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值;A 地区用户满意度评分比较集中,B 地区用户满意度评分比较分散. (Ⅱ)记C A1表示事件:“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”; C A2表示事件:“A 地区用户的满意度等级为非常满意”; C B1表示事件:“B 地区用户的满意度等级为不满意”; C B2表示事件:“B 地区用户的满意度等级为满意”,则C A1与C B1独立,C A2与C B2独立,C B1与C B2互斥,C=C B1C A1∪C B2C A2. P(C)=P(C B1C A1∪C B2C A2) =P(C B1C A1)+P(C B2C A2) =P(C B1)P(C A1)+P(C B2)P(C A2).由所给数据得C A1,C A2,C B1,C B2发生的频率分别为1620,420,1020,820,故P(C A1)=1620,P(C A2)=420,P(C B1)=1020,P(C B2)=820, P(C)=1020×1620+820×420=0.48.19.解析 (Ⅰ)交线围成的正方形EHGF 如图:(Ⅱ)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A 1E=4,EM=AA 1=8. 因为EHGF 为正方形,所以EH=EF=BC=10. 于是MH=√EH 2-EM 2=6,所以AH=10.以D 为坐标原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(10,0,0),HE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-6,8). 设n=(x,y,z)是平面EHGF 的法向量, 则{n ·FE ⃗⃗⃗⃗ =0,n ·HE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{10x =0,-6y +8z =0,所以可取n=(0,4,3).又AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-10,4,8),故|cos<n,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗||n ||AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√515. 所以AF 与平面EHGF 所成角的正弦值为4√515. 评析 本题背景常规,设问新颖,鼓励动手试验、创新尝试、独立思考.对空间想象力有较高要求.20.解析 (Ⅰ)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M ). 将y=kx+b 代入9x 2+y 2=m 2得(k 2+9)x 2+2kbx+b 2-m 2=0,故 x M =x 1+x 22=-kb k 2+9,y M =kx M +b=9bk 2+9.于是直线OM 的斜率k OM =yM x M=-9k ,即k OM ·k=-9. 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值. (Ⅱ)四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点(m3,m),所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k>0,k≠3. 由(Ⅰ)得OM 的方程为y=-9k x. 设点P 的横坐标为x P .由{y =-9k x ,9x 2+y 2=m 2得x P 2=k 2m29k 2+81,即x P =3√k 2+9.将点(m 3,m)的坐标代入l 的方程得b=m (3-k )3,因此x M =k (k -3)m3(k 2+9).四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即x P =2x M . 于是3√k 2+9=2×k (k -3)m 3(k 2+9),解得k 1=4-√7,k 2=4+√7.因为k i >0,k i ≠3,i=1,2,所以当l 的斜率为4-√7或4+√7时,四边形OAPB 为平行四边形. 评析 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,设问常规,但对运算能力要求较高,考查学生的思维能力.21.解析 (Ⅰ)f '(x)=m(e mx-1)+2x.若m≥0,则当x∈(-∞,0)时,e mx -1≤0, f '(x)<0; 当x∈(0,+∞)时,e mx-1≥0, f '(x)>0. 若m<0,则当x∈(-∞,0)时,e mx-1>0, f '(x)<0; 当x∈(0,+∞)时,e mx-1<0, f '(x)>0.所以, f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,对任意的m, f(x)在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.所以对于任意x 1,x 2∈[-1,1],|f(x 1)-f(x 2)|≤e -1的充要条件是{f (1)-f (0)≤e -1,f (-1)-f (0)≤e -1, 即{e m -m ≤e -1,e -m +m ≤e -1.① 设函数g(t)=e t-t-e+1,则g'(t)=e t-1.当t<0时,g'(t)<0;当t>0时,g'(t)>0.故g(t)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. 又g(1)=0,g(-1)=e -1+2-e<0,故当t∈[-1,1]时,g(t)≤0. 当m∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立; 当m>1时,由g(t)的单调性,g(m)>0,即e m-m>e-1; 当m<-1时,g(-m)>0,即e -m+m>e-1. 综上,m 的取值范围是[-1,1].22.解析 (Ⅰ)由于△ABC 是等腰三角形,AD⊥BC,所以AD 是∠CAB 的平分线. 又因为☉O 分别与AB,AC 相切于点E,F,所以AE=AF, 故AD⊥EF. 从而EF∥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,AE=AF,AD⊥EF,故AD 是EF 的垂直平分线.又EF 为☉O 的弦,所以O 在AD 上.连结OE,OM,则OE⊥AE.由AG 等于☉O 的半径得AO=2OE,所以∠OAE=30°. 因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形. 因为AE=2√3,所以AO=4,OE=2. 因为OM=OE=2,DM=12MN=√3,所以OD=1. 于是AD=5,AB=10√33. 所以四边形EBCF的面积为12×(10√33)2×√32-12×(2√3)2×√32=16√33. 23.解析 (Ⅰ)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0,曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2-2√3x=0.联立{x 2+y 2-2y =0,x 2+y 2-2√3x =0,解得{x =0,y =0,或{x =√32,y =32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和(√32,32).(Ⅱ)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α,α),B 的极坐标为(2√3cos α,α). 所以|AB|=|2sin α-2√3cos α|=4|sin (α-π3)|.当α=5π6时,|AB|取得最大值,最大值为4.24.解析 (Ⅰ)因为(√a +√b )2=a+b+2√ab ,(√c +√d )2=c+d+2√cd , 由题设a+b=c+d,ab>cd 得(√a +√b )2>(√c +√d )2. 因此√a +√b >√c +√d .(Ⅱ)(i)若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2, 即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd. 因为a+b=c+d,所以ab>cd. 由(Ⅰ)得√a +√b >√c +√d .(ii)若√a +√b >√c +√d ,则(√a +√b )2>(√c +√d )2,即a+b+2√ab>c+d+2√cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,√a+√b>√c+√d是|a-b|<|c-d|的充要条件.。
2015年高考新课标全国卷Ⅱ文科数学试题
2015年全国高考试题独家解析(新课标全国卷Ⅱ)文科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}21|{<<-=x x A ，}30|{<<=x x B ，则AB =A ．)3,1(-B ．)0,1(-C ．)2,0(D ．)3,2( 2．若a 为实数，且i iai+=++312，则=a A ．4- B ．3- C ．3 D ．43．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4．向量(1,1)=-a ，(1,2)=-b ，则(2)+⋅=a b aA ．1-B ．0C ．1D ．25．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5SA ．5B ．7C ．9D ．16．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A ．81 B ．71C ．61D ．51 7．已知三点)0,1(A ，)3,0(B ，)3,2(C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为A ．35 B ．321 C ．352 D ．34 8．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入,a b 分别为14，18，则输出的a =A ．0B ．2C ．4D ．149．已知等比数列}{n a 满足411=a ，)1(4453-=a a a ，则=2a A ．2 B ．1 C ．21 D ．8110．已知A 、B 是球O 的球面上两点， 90=∠AOB ，C 为该球面上的动点．若三棱锥ABC O -体积的最大值为36，则球O 的表面积为A ．π36B ．π64C ．π144D ．π25611．如图，长方形ABCD 的边2=AB ，1=BC ，O 是AB 的中点，点P 沿着BC 、CD与DA 运动，记x BOP =∠．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数)(x f ，则)(x f y =的图象大致为A B C D12．设函数211|)|1ln()(x xx f +-+=，则使得)12()(->x f x f 成立的x 的取值范围是 A ．)1,31( B ．),1()31,(+∞-∞UC ．)31,31(-D ．),31()31,(+∞--∞U第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。
2015·全国卷2(文数)
2015·全国卷Ⅱ(文科数学)1．A1[2015·全国卷Ⅱ] 已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x <3}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1，3) B ．(－1，0) C ．(0，2) D ．(2，3)1．A [解析] 根据并集的概念可知A ∪B ＝{x |－1<x <2}∪{x |0<x <3}＝{x |－1<x <3}＝(－1，3)，选A.2．L4[2015·全国卷Ⅱ] 若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．42．D [解析] 由2＋a i1＋i ＝3＋i 得2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，根据复数相等的意义知a＝4.3．I4[2015·全国卷Ⅱ] 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )图11A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关3．D [解析] 从柱形图看，2008年减少二氧化硫的排放量比其他年份要多，所以A正确；2005年、2006年二氧化硫的排放量均比上一年要多，2007年的排放量比上一年要少，所以2007年治理二氧化硫排放显现成效，B正确；虽然2011年二氧化硫排放量略高于2010年，但从2006年以来排放量整体还是呈减少趋势，C正确；2006年以来二氧化硫年排放量与年份负相关，所以D错．4．F2、F3[2015·全国卷Ⅱ] 向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝( ) A．－1 B．0C．1 D．24．C [解析] 2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，所以(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.5．D2[2015·全国卷Ⅱ] 设S n是等差数列{a n}的前n项和．若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( )A．5 B．7C．9 D．115．A [解析] 因为{a n}为等差数列，所以a1＋a3＋a5＝3a3＝3，所以a3＝1，于是S5＝5（a1＋a5）2＝5a3＝5.6．G2[2015·全国卷Ⅱ] 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图12，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )图12A.18B.17C.16D.156．D [解析] 由剩余部分的三视图可知，正方体被截去一个三棱锥，剩余部分如图所示，设正方体的棱长为a ，则被截去的三棱锥的体积为13×12a 2×a ＝16a 3，而正方体的体积为a 3，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15.7．H3[2015·全国卷Ⅱ] 已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253 D.437．B [解析] 由已知可得|AB |＝|AC |＝|BC |＝2，所以△ABC 是等边三角形，所以其外接圆圆心即三角形的重心，坐标为1＋0＋23，0＋3＋33，即1，233，圆心到原点的距离为12＋2332＝213. 8．L1[2015·全国卷Ⅱ] 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a ＝( )图13A ．0B ．2C ．4D ．148．B [解析] 输入的a ，b 分别为14，18，程序依次运行：14≠18(是)，14>18(否)，b ＝4；14≠4(是)，14>4(是)，a ＝10；10≠4(是)，10>4(是)，a ＝6；6≠4(是)，6>4(是)，a＝2；2≠4(是)，2>4(否)，b ＝2；2≠2(否)，输出a ＝2.9．D3[2015·全国卷Ⅱ] 已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12 D.189．C [解析] 因为{a n }为等比数列，所以a 3a 5＝4(a 4－1)＝a 24，得a 4＝2，而a 1＝14，a 4a 1＝214＝8＝q 3，得公比q ＝2，所以a 2＝14×2＝12.10．G8[2015·全国卷Ⅱ] 已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π 10．C [解析] 因为V三棱锥O ABC ＝V 三棱锥C OAB ，所以三棱锥O ABC 体积的最大值即三棱锥C OAB 体积的最大值，所以当C 到平面OAB 的距离最大时，即CO ⊥平面OAB 时，体积最大，设球的半径为r ，则V三棱锥O ABC ＝V 三棱锥C OAB ＝16r 3＝36，所以r＝6，则球O 的表面积S ＝4πr 2＝144π.11．B14[2015·全国卷Ⅱ] 如图14，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图像大致为( )图14图1511．B [解析] 当P 在BC 边上时，PB ＝OB ·tan x ＝tan x ，PA ＝AB 2＋PB 2＝tan 2x ＋4，所以f (x )＝tan x ＋tan 2x ＋40≤x ≤π4，显然f (x )单调递增且是非线性的，当x ＝π4时，f π4＝1＋ 5.当P 位于CD 中点时，x ＝π2，f π2＝PA ＋PB ＝22，所以可知当P 从B运动到C 时，f (x )从2增到1＋5，当P 从C 运动到CD 中点时，f (x )从1＋5减到22，且增减都是非线性的，结合图像可知选B.12．B3、B4[2015·全国卷Ⅱ] 设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值围是( )A.13，1 B ．－∞，13∪(1，＋∞)C ．－13，13D ．－∞，－13∪13，＋∞12．A [解析] 由已知可知f (x )的定义域为R ，且有f (－x )＝f (x )，即函数f (x )为偶函数，所以要使得f (x )>f (2x －1)成立，即使得f (|x |)>f (|2x －1|)成立．又当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2为增函数，所以得|x |>|2x －1|，解得13<x <1，选A. 13．B9[2015·全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1，4)，则a ＝________． 13．－2 [解析] 由函数图像过点(－1，4)，得f (－1)＝a ×(－1)3－2×(－1)＝4，解得a ＝－2.14．E5[2015·全国卷Ⅱ] 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y －1≥0，x －2y ＋1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．14．8 [解析] 根据约束条件作出可行域如图所示，平移目标函数线，当它经过点A (3，2)时，目标函数取得最大值，z max ＝2×3＋2＝8.15．H6[2015·全国卷Ⅱ] 已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．15.x 24－y 2＝1 [解析] 根据双曲线的渐近线方程y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，将点(4，3)的坐标代入得λ＝1，所以双曲线方程为x 24－y 2＝1.16．B12[2015·全国卷Ⅱ] 已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________．16．8 [解析] 对函数y ＝x ＋ln x 求导得y ′＝1＋1x，函数在点(1，1)处的切线的斜率k＝y ′|x ＝1＝2，所以在点(1，1)处的切线方程为y ＝2x －1，又该切线也为函数y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1的切线，所以由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1得ax 2＋ax ＋2＝0，此方程应有唯一解，所以Δ＝a 2－8a ＝0，得a ＝8或a ＝0(舍)．17．C5、C8[2015·全国卷Ⅱ] △ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC . (1)求sin ∠Bsin ∠C；(2)若∠BAC ＝60°，求∠B . 17．解：(1)由正弦定理得AD sin ∠B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin ∠C ＝DCsin ∠CAD . 因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以 sin ∠Bsin ∠C ＝DC BD ＝12. (2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°，所以 sin ∠C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝ 32cos ∠B ＋12sin ∠B . 由(1)知2sin ∠B ＝sin ∠C ，所以tan ∠B ＝33，即∠B ＝30°.18．I2[2015·全国卷Ⅱ] 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表．图16B 地区用户满意度评分的频数分布表(1)在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；图17(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．18．解：(1)B地区用户满意度评分的频率分布直方图如图．通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散．(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P(C A)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(C B)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．19．G1[2015·全国卷Ⅱ] 如图18，长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．图1819．解：(1)交线围成的正方形EHGF 如图．(2)作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10. 于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为9779也正确．20．H5、H8[2015·全国卷Ⅱ] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上． (1)求C 的方程；(2)直线l 不经过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．20．解：(1)由题意有a 2－b 2a＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )． 将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1. 于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．21．B3、B12[2015·全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值围． 21．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈1a ，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在0，1a上单调递增，在1a，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a处取得最大值，最大值为f 1a ＝ln 1a ＋a 1－1a＝－ln a ＋a －1.因此f 1a>2a －2等价于ln a ＋a －1<0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝0.于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0.因此，a 的取值围是(0，1)．22．N1[2015·全国卷Ⅱ] 选修41：几何证明选讲如图19，O 是等腰三角形ABC 一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点．(1)证明：EF ∥BC ；(2)若AG 等于⊙O 的半径，且AE ＝MN ＝23，求四边形EBCF 的面积．图1922．解：(1)证明：由于△ABC 是等腰三角形，AD ⊥BC ，所以AD 是∠CAB 的平分线． 又因为⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE ＝AF ，故AD ⊥EF .从而EF ∥BC .(2)由(1)知，AE ＝AF ，AD ⊥EF ，故AD 是EF 的垂直平分线．又EF 为⊙O 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE ⊥AE .由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ，所以∠OAE ＝30°，因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形．因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3，所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033. 所以四边形EBCF 的面积为12×10332×32－12×(23)2×32＝1633.23．N3[2015·全国卷Ⅱ] 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |最大值．23．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32. 所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0，0)和32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4sin α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4. 24．N4[2015·全国卷Ⅱ] 选修45：不等式选讲 设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d .证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．24．证明：(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab>cd得(a＋b)2>(c＋d)2.因此a＋b>c＋d.(2)(i)若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)得a＋b>c＋d.(ii)若a＋b>c＋d，则(a＋b)2>(c＋d)2，即a＋b＋2ab>c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|<|c－d|.综上，a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．。
2015年全国高考文科(新课标全国卷Ⅱ)
2015年全国高考试题独家解析(新课标全国卷Ⅱ)文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}21|{<<-=x x A ，}30|{<<=x x B ，则A B =A ．)3,1(-B ．)0,1(-C ．)2,0(D ．)3,2(2．若a 为实数，且i iai +=++312，则=a A ．4- B ．3- C ．3 D ．43．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．向量(1,1)=-a ，(1,2)=-b ，则(2)+⋅=a b aA ．1-B ．0C ．1D ．25．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5SA ．5B ．7C ．9D ．16．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A ．81B ．71C ．61D ．51 7．已知三点)0,1(A ，)3,0(B ，)3,2(C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为A ．35B ．321C ．352 D ．34 8．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入,a b 分别为14，18，则输出的a =A ．0B ．2C ．4D ．149．已知等比数列}{n a 满足411=a ，)1(4453-=a a a ，则=2a A ．2 B ．1 C ．21 D ．81 10．已知A 、B 是球O 的球面上两点， 90=∠AOB ，C 为该球面上的动点．若三棱锥ABC O -体积的最大值为36，则球O 的表面积为A ．π36B ．π64C ．π144D ．π25611．如图，长方形ABCD 的边2=AB ，1=BC ，O 是AB 的中点，点P 沿着BC 、CD 与DA 运动，记x BOP =∠．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数)(x f ，则)(x f y =的图象大致为A B C D12．设函数211|)|1ln()(x x x f +-+=，则使得)12()(->x f x f 成立的x 的取值范围是 A ．)1,31( B ．),1()31,(+∞-∞U C ．)31,31(- D ．),31()31,(+∞--∞U 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。
2015全国II高考数学文科word版
普通高等学校招生全国统一考试文科数学一．选择题. 12题. 每题5分.1.已知集合{|12}A x x =-<<，{}03B x x =<<，则=B A （ ）.A.()13,-B.()10,-C.()02,D.()23,2.若a 为实数，且2i 3i 1ia +=++，则=a （ ）. A.4- B.3- C.3 D.43. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）.A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果显著B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C.2006年以来我国二氧化碳年排放量呈逐渐减少趋势D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关4.向量()11,=-a ,()12,=-b ，则()2+=a b a （ ）.A.1-B.0C.1D.25. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S （ ）.A.5B.7C.9D.116. 一个正方体被一个平面截取一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）.A.81 B.71 C.61 D.517.已知三点()10A ,，(0B ，(2C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为（ ）. A.35 B.321 C.352 D.34 8.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a 、b 分别为14、18，则输出的=a （ ）.A.0B.2C.4D.149.已知等比数列{}n a 满足411=a ，()35441a a a =-，则=2a （ ）. A. 2 B. 1 C. 21 D. 81 10.已知A 、B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=，C 为该球面上的动点.若三棱锥O ABC ﹣体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）.A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π11.如图所示，长方形ABCD 的边2=AB ，1=BC ，O 是AB 的中点，点P 沿着BC 、CD 与DA 运动，记BOP x ∠=.将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则()y f x =的图象大致为（ ）.12. 设函数()()2111f x ln |x |x =+-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ）. A. 113,⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. ()113,,⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ C. 1133,⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 1133,,⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二．填空题：共4小题，每小题5分.13. 已知函数()32f x ax x =-的图象过点()14,-，则=a .14.若x 、y 满足约束条件50210210x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，则y x z +=2的最大值为 .15.已知双曲线过点(4，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲线的标准方程为 . 16.已知曲线ln y x x =+在点处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切，则=a .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、△AD 平分BAC ∠， 2BD DC =.（I ）（II 60，求.18、（本小题满分12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得分A 地区用户满意评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表.19、（本小题满分12分）如图所示，长方体1111ABCDA B C D ﹣中，16AB =，10BC =，18AA =，点E ，F 分别在11A B ， 11D C 上，114AE D F ==.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(Ⅰ)在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）(Ⅱ)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.上. ，线段AB 的21、（本小题满分12分）已知函数()()=ln +1f x x a x -.(Ⅰ)讨论()f x 的单调性；(Ⅱ)当()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.α.0π24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲。
2015新课标II高考压轴卷 文科数学 Word版含答案
（第5题图）2015年考前押题试卷 （全国新课标II 卷）文 科 数 学第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1．若复数3()1x iz x R i+=∈-是实数，则x 的值为 A ．-3B ．3C ．0D2．设集合2{|3100}M x R x x =∈--<，{|||2}N x Z x =∈<，则MN =A ．(2,2)-B ．(1,2)C ．{1,0,1}-D ．{2,1,0,1,2}--3．24sin 225α=，02πα<<cos()4πα-的值为 A ．15B ．15-C ．75 D ．15±4．下列判断错误．．的是 A ．“22am bm <”是“a < b ”的充分不必要条件 B ．命题“x R ∀∈，3210x x --≤”的否定是“0x R ∃∈，3210x x -->”C ．若p ,q 均为假命题，则p q ∧为假命题D ．若~(4,0.25)B ξ，则1D ξ=5．在右图的算法中，如果输入A=138,B=22,则输出的结果是A ．2B ．4C ．128D ．06．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，则双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为 A ． B ． C ． D ．A ．x y 2±=B ．x y 21±=C ．x y 4±=D ．x y 41±= 7．已知等差数列{}n a 中，111a =，前7项的和735S =，则前n 项和S n 中A ．前6项和最大B ．前7项和最大C ．前6项和最小D ．前7项和最小8．已知二项式2(n x （n N +∈）展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为A ．45256B ．47256C ．49256D ．512569．已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是A ．8 + πB ．283π+C ．12 + πD ．2123π+10．某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，则仅有两名学生录取到同一所大学（其余三人在其他学校各选一所不同大学）的概率是 A ．15B ．24125 C ．96125D ．4812511．如图，设平面EF αβ=，AB ⊥α，CD ⊥α，垂足分别为B 、D ，若增加个一条件，就能推出BD ⊥EF 。
2015新课标全国卷Ⅱ
2015新课标全国卷U (文数)1. (2015高考新课标全国卷U ，文1)已知集合A={x|-1vx<2},B={x|0vx<3}, 则A U B等于(A )(A) (-1,3) (B)(-1,0) (C)(0,2) (D)(2,3)解析:集合A=(-1,2),B=(0,3),所以 A U B=(-1,3).2 +山2. (2015高考新课标全国卷H ，文2)若a为实数，且=3+i,则a等于(D )(A)-4 (B)-3 (C)3 (D)42 +血解析：因为• ’ ’ =3+i,所以2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,又a € R,所以a=4.3. (2015高考新课标全国卷H ，文3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图，以下结论中不正确的是(D )(A) 逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著(B) 2007年我国治理二氧化硫排放显现成效(C) 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势(D) 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关解析:结合图形可知,2007年与2008年二氧化硫的排放量差距明显，显然2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著;2006年二氧化硫的排放量最高，从2006年开始二氧化硫的排放量开始整体呈下降趋势.显然A,B,C正确，不正确的是D,不是正相关.4. (2015高考新课标全国卷H ，文4)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b) •等于(C )(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2解析:a=(1,-1),b=(-1,2), 所以(2a+b) a=(1,0) (1,-1)=1.5. (2015高考新课标全国卷H ，文5)设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a 3+a5=3,则S5等于(A )(A)5 (B)7 (C)9 (D)11解析:数列{a n}为等差数列，设公差为d,所以a1 +a 3+a 5=3a 1 +6d=3,所以a1+2d=1,5x4所以S5=5a 1 + - x d=5(a 1 +2d)=5.6. (2015高考新课标全国卷H ，文6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(D )解析：由三视图可知，该几何体是一个正方体截去了一个三棱，即截去了正方体的一个角•设正方体的棱长为 1,则正方体的体积为1,截去的三棱锥的体积为 B x i x i x 仁6,故剩余部分的体积为 V 2=^ ,所求比值为7.（2015高考新课标全国卷H ，文7）已知三点A （1,0）,B （0, •虑|）,C （2,..）,则△KBC 外接圆的圆心到原点的距离 (D)所以A ABC 外接圆的圆心为 2^31,，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为解析:设圆的一般方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,r 1 + + F = 0,J 3 + yf3E + F = Q, [7 4 2D + 趣 + F =山8. （2015高考新课标全国卷H ，文8）如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18,则输出的a 等于（B ）(A)0 (B)2 (C)4 (D)14解析：由题知，a=14,b=18;a=14,b=4;a=10,b=4;a=6,b=4;a=2,b=4;a=2,b=2. 所以输出 a=2.19. (2015高考新课标全国卷U ，文9)已知等比数列｛a n ｝满足a 1= ,a 3a 5=4(a 4-1),则a 2等于(C )(A)2 (B)1 (C)2 (D)(A)* (B)7 (C)B (D)(C)所以(A) 丄 . . L ,0 ”常勻忻* * 4 IT(B)(C)解析:法一 当点P 位于边 BC 上时，/BOP=x,0=tan x,所以 BP=tan x,所以 AP= 解析:设等比数列｛a n ｝的公比为q,a 1=〔,a 3a 5=4(a 4-1),由题可知q 工1,则a i q 2X a i q 4=4(a i q 3-1),所以丄1 1 x q 6=4 ；xq 3-1,所以 q 6-16q 3+64=0,所以(q 3-8)2=0,所以 q 3=8,所以 q=2,所以 a 2=，故选 C. 10. (2015高考新课标全国卷U ，文10)已知A,B 是球O 的球面上两点，SOB=90 °,C 为该球面上的动点.若三 棱锥OABC 体积的最大值为36,则球O 的表面积为(C )(A)36 n (B)64 n (C)144 n (D)256 n 解析:由题意知当三棱锥的三条侧棱两两垂直时 其体积最大.解得r=6,所以球O 的表面积S=4胪=144 n ,选C.11.(2015高考新课标全国卷H ，文11)如图,长方形ABCD 的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点.点P 沿着边BC,CD 与DA运动，记Z BOP=x.将动点P 到A,B 两点距离之和表示为 x 的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为(B )71所以 f(x)=tan x+ 的 + 伽 J 0 <x ,卫卫Mir =当点P位于边CD上时，/BOP=x, n4<x < 4则BP+AP= |「朋+ <；八；21 +(1 - 1}2J 1 1 + (1 + )2J tanx+、tanx3n当点P位于边AD上时，/BOP=x, : W x^nAB贝U ' =tan( n-x)=-tan x,所以AP=-tan x,所以BP=小+伽冬所以f(x)=-tan x+ \外+加‘丸A<x Wn,根据函数的解析式可排除D,故选B.法二当点P位于点C时,x=A,此时AP+BP=AC+BC=1+ %陌,当点P位于CD的中点时，x=2,此时AP+BP=2「它<1+「卜：1,故可排除C,D,当点P位于点D时x= ，此时AP+BP=AD+BD=1+ 胡,而在变化过程中不可能以直线的形式变化，故选B.C2-12. (2015高考新课标全国卷H ，文12)设函数f(x)=ln(1+ |x|)-丨，则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值围是(A )1(A)3l(B)- a,* U (1,+ a)解析:函数 f(x)=ln(1+|x|)-+ y - 5 < 0, 2x-y-l>Q t故可设双曲线为-y 2=认入>0),所以f(-x)=f(x),故f(x)为偶函数， 故 f(x)>f(2x-1) ? f(|x|)>f(|2x-1|).所以 |x|>|2x-1|,解得<x<1,故选 A.13. (2015高考新课标全国卷H ______________________________ ，文13)已知函数f(x)=ax 3-2x 的图象过点(-1,4),则a= _______________________________________________解析：由题意可知(-1,4)在函数图象上，即4=-a+2,所以a=-2.答案：-214. (2015高考新课标全国卷H ，文14)若x,y 满足约束条件1< 0,则z=2x+y 的最大值为 ________ .解析:作出可行域如图中阴影部分所示.在可行域，斜率为-2的直线经过点C 时,z=2x+y 取得最大值，此时由[x + y - 5 = 0, [x = 3,■ 解得所以C(3,2),所以 Z max =8.答案:815. (2015高考新课标全国卷H ,文15)已知双曲线过点(4,J5),且渐近线方程为y= ±x,则该双曲线的标准方 程为 _________ .1解析：因为双曲线的渐近线方程为 y= ±-x,又双曲线过点(4,),又当 x G (0,+ a )时,f(x)=ln(1+x)- ,f(x)是单调递增的相切,故-2=a x-^2+(a+2)X--+1,所以入=1,故双曲线方程为-y2=1.答案:'-y 2=116. (2015高考新课标全国卷U ，文16)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax 2+(a+2)x+1 则a= .1解析:法一因为y'=1+ ,所以y'|x=1 =2,所以y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),所以y=2x-1.又切线与曲线y=ax 2+(a+2)x+1 相切，当a=0时,y=2x+1 与y=2x-1 平行，故a丸，y = ax2 4- (a + 2)x + 1,y~2x^l t得ax 2+ax+2=0,因为A=a 2-8a=0,所以a=8.1法二因为y'=1+ x,所以y'|x=1 =2,所以y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),所以y=2x-1,又切线与曲线y=ax 2+(a+2)x+1 相切，当a=0时,y=2x+1 与y=2x-1 平行，故a丸.因为y'=2ax+(a+2),所以令2ax+a+2=2,得x=-,代入y=2x-1,得y=-2,1所以点-©-2在y=ax 2+(a+2)x+1 的图象上，所以a=8.答案：817. （本小题满分12分）（2015高考新课标全国卷U ，文17）△ABC中,D是BC上的点,AD平分/BAC,BD=2DC.(2)若/BAC=60 °求注.[解:(1)由正弦定理得，因为AD 平分/BAC,BD=2DC,]sin£B DC 1所以z二，.=.(2)因为/ C=180 ° ZBAC+ ZB),ZBAC=60 所以sin /C=sin( ZBAC+ ZB)= cos ZB+ sin ZB.由(1)知2sin ZB=sin ZC,所以tan /B= B ,即Z B=30 °18. (本小题满分12分)(2015高考新课标全国卷H ，文18)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A,B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.(1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算岀具体值，给岀结论即可);B地区用户满意度评分的频率分布直方图估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由解:⑴O 5 fl 5 O 5 o C—通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散.(2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.记C A表示事件：“ A地区用户的满意度等级为不满意”；C B表示事件：“ B地区用户的满意度等级为不满意”由直方图得P(C A)的估计值为(0.01+0.02+0.03) X10=0.6,P(C B)的估计值为(0.005+0.02) X10=0.25.所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大.19. (本小题满分12分)(2015高考新课标全国卷U ，文19)如图，长方体ABCDA 1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA 1=8，点E,F分别在A iB iQiC i上,A1E=D1F=4.过点E,F的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1) 在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2) 求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值.解:(1) 交线围成的正方形EHGF如图所示.(2) 作EM 丄AB,垂足为M,则AM=A 1E=4,EB 仁12,EM=AA 1=8. 因为EHGF为正方形，所以EH=EF=BC=10.(6 { 12) XB 10 x79也正确.(2015高考新课标全国卷Ux 2 +活的离心率为 ，点(2,)在C 上.(1)解:由X 1+X 2=-4-km1 + 2k 2y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m=2m1 + 2k 2则直线0M 与直线I 斜率乘积为于是 MH= . F'T -亠 W =6,AH=10,HB=6.因为长方体被平面a 分成两个高为 10的直棱柱,(6H 12) X8(4 + 10) X 8 9 (4 + 10) XH 所以其体积的比值为10 x2 10 x 2 =710 x c 220. (本小题满分12分)(1) 求C 的方程；(2) 直线I 不过原点O 且不平行于坐标轴,1与C 有两个交点A,B,线段AB 的中点为M.证明:直线OM 的斜率 与直线I 的斜率的乘积为定值.解得 a 2=8,b 2=4,故椭圆C 的方程为 ⑵证明：由题设直线 l:y=kx+m(k 工0,m K D),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),f kx^- m r联立(^ + 2y 2-B = oJ得(1+2k 2)x 2+4kmx+2m 2-8=0,2m 2-81 + 2k 22km m1 4-2 疋 1 + 2后得AB 中点M-=1(a>b>0) ，文 20)已知椭圆C21. (本小题满分12分)(2015高考新课标全国卷U ，文21)已知函数f(x)=ln x+a(1-x).⑴讨论f(x)的单调性；⑵当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值围.1解:(1)f(x)的定义域为(0,+ g),f'(x)= -a.若a <0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+ a)单调递增.11若a>0,则当x€ 0,「时,f'(x)>0;1当x € U，+ a时,f'(x)<0.1 1所以f(X)在0,上单调递增，在■，+ a上单调递减.11 1⑵由(1)知，当aO时,f(x)在(0,+ a)无最大值；当a>0时,f(x)在x=°处取得最大值，最大值为f【=ln1 1+a1- =-In a+a-1.1因此 f >2a-2 等价于In a+a-1<0.令g(a)=ln a+a-1,则g(a)在(0,+ a)上单调递增,g(1)=0.于是，当0<a<1 时,g(a)<0;当a>1 时,g(a)>0.因此,a的取值围是(0,1).22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲(2015高考新课标全国卷H ，文22)如图,0为等腰三角形ABC —点，。