数学分析选讲刘三阳-部分习题解答

第一讲习题解答习题1-1 1 计算下列极限

① 1lim11,0pnnpn

解：原式=1111110limlim110pppnnnnnn0110lim0ppnxx01pxxp ② sinsinlimsinxaxaxa 解：原式=sinsinsinsinlimlimsinxaxaxaxaxaxaxaxa=sincosxaxa ③ 11lim1mnxxx，,mn为自然数解：原式=111111lim11mmnxnxxxxnxxmxx

④ lim21,0nnnaa 解：原式10ln21limln211limln21limnxnnxaeananxneee =0ln21ln210ln21lim2ln20xaaxxaaxxeeea ⑤ lim,0xaxaaxaxa 解：原式=limxaaaxaaaaxxalimlimxaaaxaxaaaxaxaxaxaxaxaaxln1aaa ⑥ lim,0xaaxxaxaaaaax 解：原式limlimxaxaaxaxxaxaxaxaaaaaxaaxxaaxlimxaaaaaxaxaxaaaaaxaxaax ⑦ 1010011sinlimsinxtgxxx 解：原式=1010011sinlimsinxtgxxxxx ⑧ 11limmkmniniknn，m为自然数解：原式111limlim1mmkkmnniiniinnnnn 2 设fx在0x处二阶可导，计算000202limhfxhfxfxhh。解：000002002limlim2hhfxhfxfxhfxhfxhhh 3 设0fx存在，计算0000limxxxfxxfxxx 解：原式00000000limxxxfxxfxxfxxfxxx 4 设0,afa存在，计算1lnlnlimxaxafxfa 解：原式lnlnlnlnlimlimlnlnlnlnxaxaafafxfafxfaxafaxaxaxaeee 习题1-2

1求下列极限 ① limsin1sin1xxx

解：原式sin1sin1lim211xxxxxlimsin20xx 介于1x，与1x之间。 ② 40cossincoslimsinxxxx？？？？解：原式40sinsinlim0sinxxxx ③ 3320limsinxxxeetgxx 解：原式3333333000limlim2lim22xxxxxxxxeeeeexxx ④ 2222lim,0xaxaaxaxa 解：原式2222221limxaaaxaaaxaxaxaxa ⑤ 2lim1naanarctgarctgnn 解：原式21lim11naaarctgarctgannnaannnn0limxarctgxaa ⑥ 311111lim1nnxxxxx 解：原式31111lim111nxxxxxxx ⑦ 666565limxxxxx 解：原式6611lim11xxxx

⑧ 211limln1nnnnnnn

解：原式11ln1ln21limln1nnnnneenn2ln1ln1limln1nnnnnnn 1ln1lim1ln1nnnnn=1

2 设fx在a处可导，0fa，计算1lim1nnfanfan 解：原式1ln1limfannfanne11lnln.211limfafannaannne=2fafae 习题1-3 1 求下列极限

① 011lim,011xxnx

解：原式011lim11xxx（也可利用对数等价关系求解） ② 201coscos2coslim11xxxnxx 解：利用等价代换可得原式20coscos2cos1lim11xxxnxx1022lncoscos2coslimln1xxxnxx

③ 011lim1xxxe 解：原式200111limlim21xxxxxexexxxe ④ 112lim1xxxxxx 解：原式11ln12ln211limlimln1lnxxxxxxxeexxxxx ⑤ 3012coslim13xxxx 解：原式3200ln2cosln312cos1limlnlim36xxxxxxx ⑥ 230coslimcoscosxxxexx 解：原式230cos11limcoscosxxxexx，而211cos2xx，21xe，cos1x，0x且220112lim12xxx

。故原式222126112xxx 3计算下列极限 ① 22201coslncoslimsinxxxxxeex

解：211cos2xx，22222222,sinxxeexxxxx，且2202lim21xxx，故原式1。 ② 330coscossinlimln1ln1sinsinxxtgxxxxxx

解：原式=01sin23limsin3xtgxxxxx ③ 0ln2sinlimsin2sinxxxextgxtgxtgx 解：原式可如下考虑：若0x时，sin22sin222tgxtgxtgxx，又02,lim21xxtgxxx，ln12sin2xxxexexx

且01lim112xxxex，故原式012lim42xxxexxx。 ④ 011lim,2sinaxbxxaxbxabtgxxxx 解：原式0ln1ln1lim2axbxxeaxebxxxxx 习题1—4 1求21lim1xxxex

解：原式21n1limxlxxxe22211102limxxxxxxe22111022limxxxee 2 求3301limsin6xexxx

解：原式63636010112lim2xxxxxx 3 设fx在0x处可导，且20sinlim2xfxxxx，求0,0ff及01limxfxx 解：因20sinlimxxxfxx3420003!limxxxoxxffxoxx 故01,02ff

4求0112limln1xxxxxxe

解：原式0112limln1xxxxxxe2220211112211222lim12xxxxoxxxoxxxox 5 求1limlnnnnnn 解：原式1lim1lnnnnnn011lim1lnxxxxx，而01lnlim11ln0001limlim1xxxxxxxxeeex 故11ln10xxxxx，故原式=1。 6 设fx在0x处可导，00,00,20ffafhbfhf若在0h时是比h高阶的无穷小，试确定,ab的值。

解：020lim0hafhbfhfh 即 00000220lim0haffhohbffhohfh 即 010022lim0habffhabaohbohh 故102201abaabb 7 求21lim1sinnnnn

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数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章

第六章微分中值定理与其应用一、填空题1．若0,0>>b a 均为常数,则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x b a 302lim ________. 2．若21sin cos 1lim 0=-+→x x b x a x ,则=a ______,=b ______. 3．曲线x e y=在0=x 点处的曲率半径=R _________. 4．设2442-+=xx y ,则曲线在拐点处的切线方程为___________. 5．=-+→x ex xx 10)1(lim ___________. 6．设)4)(1()(2--=x x x x f ,则0)(='x f 有_________个根,它们分别位于________区间；7．函数x x x f ln )(=在[]2,1上满足拉格朗日定理条件的__________=ξ；8．函数3)(x x f =与21)(x x g +=在区间[]2,0上满足柯西定理条件的_____=ξ； 9．函数x y sin =在[]2,0上满足拉格朗日中值定理条件的____=ξ；10．函数2)(xe xf x=的单调减区间是__________； 11．函数x x y 33-=的极大值点是______,极大值是_______.12．设x xe x f =)(,则函数)()(x f n 在=x _______处取得极小值_________.13．已知bx ax x x f ++=23)(,在1=x 处取得极小值2-,则=a _______,=b _____.14．曲线22)3(-=x k y 在拐点处的法线通过原点,则=k ________.15．设)2,1()1()( =-⨯=n x n x f n ,n M 是)(x f 在[]1,0上的最大值,则=∞→n n M lim ___________.16．设)(x f 在0x 可导,则0)(0='x f 是)(x f 在点0x 处取得极值的______条件；17．函数x bx x a x f ++=2ln )(在1=x 与2=x 取得极值,则______,==b a ；18. 函数3223)(x x x f -=的极小值是_________; 19．函数xx x f ln )(=的单调增区间为__________； 20. 函数x x x f cos 2)(+=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值为______,最小值为_____； 21. 设点)2,1(是曲线b a x y +-=3)(的拐点,则___________,==b a ;22. 曲线x e y =的下凹区间为_______,曲线的拐点为________;23. 曲线323x x y -=的上凹区间为________;24. 曲线)1ln(2x y +=的拐点为__________;25．曲线x y ln =在点______处曲率半径最小.26．曲线)1ln(x e x y +=的渐近线为__________.二.选择填空1．曲线2)5(35+-=x y 的特点是< >.A.有极值点5=x ,但无拐点B.有拐点)2,5(,但无极值点C.5=x 是极值点,)2,5(是拐点D.既无极值点,又无拐点2．奇函数)(x f 在闭区间[]1,1-上可导,且M x f ≤)(',则< >. A.M x f ≥)( B.M x f >)( C.M x f ≤)( D.M x f <)(3．已知方程)0(122>=+y y y x 确定y 为x 的函数,则< >.A.)(x y 有极小值,但无极大值B.)(x y 有极大值,但无极小值C.)(x y 即有极大值又有极小值D.无极值4．若)(x f 在区间),[+∞a 上二阶可导,且0)(>=A x f ,,0)('<a f 0)(<''x f )(a x >,则方程0)(=x f 在()+∞,a 内< >A.没有实根B.有两个实根C.有无穷多个实根D.有且仅有一个实根 5．已知)(x f 在0=x 处某邻域内连续,2cos 1)(lim0=-→xx f x ,则在0=x 处)(x f < >.A.不可导B.可导且2)0('=fC.取得极大值D.取得极小值6．设函数)(x f 在区间[)+∞,1内二阶可导,且满足条件0)1()1(='=f f ,1>x 时0)(<''x f ,则xx f x g )()(=在[)+∞,1内< > A ．必存在一点ε,使0)(=εfB ．必存在一点ε,使0)(='εfC ．单调减少 D. 单调增加7．设)(x f 有二阶连续导数,且0)0(='f ,1)(lim 0=''→xx f x ,则< > A ．)0(f 是)(x f 的极大值 B.)0(f 是)(x f 的极小值C ．())0(,0f 是曲线)(x f y=的拐点 D ．)0(f 不是)(x f 的极值,())0(,0f 也不是曲线)(x f y =的拐点8．若)(x f 和)(x g 在0x x =处都取得极小值,则函数)()()(x g x f x F +=在0x x =处< >A ．必取得极小值 B.必取得极大值C.不可能取得极值D.是否取得极值不确定9．设)(x y y =由方程03223=+-by y ax x 确定,且1)1(=y ,1=x 是驻点,则< >A.3==b aB.25,23==b aC.21,23==b a D.3,2-=-=b a 10．曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为< >A.0B.1C.2D.311．)(),(x g x f 是大于0的可导函数,且0)(')()()('<-x g x f x g x f ,则当b x a <<时有< >A ．)()()()(x g b f b g x f > B.)()()()(x g a f a g x f >C.)()()()(b g b f x g x f >D.)()()()(a g a f x g x f >12．曲线()()211arctan 212+-++=x x x x e y x 的渐近线有< > A ．1条 B.2条 C.3条 D.4条13．q x x x f ++=2)(3的O 点的个数为< >A ．1 B.2 C.3 D.个数与q 有关14．曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==111t b t x 则曲线< > A ．只有垂直渐近线 B.只有水平渐近线C ．无渐近线 D.有一条水平渐近线和一条垂直渐近线15．设)(x f y =为0sin =-'+''x ey y 的解,且0)(0='x f ,则)(x f 有< > A ．0x 的某个邻域内单调增加B ．0x 的某个邻域内单调减少C ．0x 处取得极小值D ．0x 处取得极大值16. 罗尔定理中的三个条件;)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,且)()(b f a f =是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ,使得0)(='ξf 成立的< >.)(A 必要条件 )(B 充分条件 )(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要17. 下列函数在],1[e 上满足拉格朗日中值定理条件的是< >.)(A );ln(ln x )(B x ln ; )(C xln 1; )(D )2ln(x -; 18. 若)(x f 在开区间),(b a 内可导,且21,x x 是),(b a 内任意两点,则至少存在一点ξ使得下式成立< >.)(A )()()()(2112ξf x x x f x f '-=-),(b a ∈ξ;19. 设)(x f y =是),(b a 内的可导函数,x x x ∆+,是),(b a 内的任意两点,则< > .)(B 在x x x ∆+,之间恰有一个ξ,使得x f y ∆'=∆)(ξ)(C 在x x x ∆+,之间至少存在一点ξ,使得x f y ∆'=∆)(ξ)(D 对于x 与x x ∆+之间的任一点ξ,均有x f y ∆'=∆)(ξ20.若)(x f 在开区间),(b a 内可导,且对),(b a 内任意两点21,x x 恒有21212)()()(x x x f x f -≤-,则必有< >.)(C x x f =)()(D c x f =)( <常数>21. 已知函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ,则方程)(x f '0=有< >.)(A 分别位于区间)4,3(),3,2(),2,1(内的三个根;)(B 四个根,它们分别为4,3,2,14321====x x x x ;)(C 四个根,分别位于);4,3(),3,2(),2,1(),1,0()(D 分别位于区间)4,1(),3,1(),2,1(内的三个根;22. 若)(x f 为可导函数,ξ为开区间),(b a 内一定点,而且有0)()(,0)(≥'->x f x f ξξ,则在闭区间],[b a 上必总有< >.23. 若032<-b a ,则方程0)(23=+++=c bx ax x x f < >. )(A 无实根 )(B 有唯一实根 )(C 有三个实根 )(D 有重实根24. 若)(x f 在区间],[+∞a 上二次可微,且,0)(,0)(<'>=a f A a f 0)(≤''a f <a x >>,则方程0)(=x f 在],[+∞a 上< >.)(A 没有实根 )(B 有重实根 )(C 有无穷多实根 )(D 有且仅有一个实根25. 设)()(lim 0x g x f x x →为未定型,则)()(lim 0x g x f x x ''→存在是)()(lim 0x g x f x x →也存在的< >. )(A 必要条件 )(B 充分条件 )(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要条件26. 指出曲线23x x y -=的渐近线< >. )(A 没有水平渐近线,也没有斜渐近线;)(B 3=x 为垂直渐近线,无水平渐近线;)(C 既有垂直渐近线,又有水平渐近线;)(D 只有水平渐近线.27 曲线)2)(1(1arctan 212+-++=x x x x e y x 的渐近线有< >. )(A 1条 ; )(B 2条 ; )(C 3条 ; )(D 4条 ;28．函数x x a x f 2cos 21cos )(-=在3π=x 取得极值,则=a 〔〕. )(A 0 ； )(B 21 ； )(C 1 ； )(D2 . 29．下列曲线集邮水平渐近线,又有垂直渐近线的是〔〕.)(A xx x x f +=32sin )( ； )(B 13)(2-+=x x x f ； )(C )3ln()(xe xf -= ； )(D 2)(x xe x f -=. 30． x x x -→111lim =〔〕.)(A 1 ； )(B 1-e ； )(C e ； )(D ∞ .三、计算题1. 试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点ξ使得f ′<ξ>=0：〔1〕f<x>=⎪⎩⎪⎨⎧=≤<0;x 0,,π1x ,0x 1xsin〔2〕f<x>=|x|, —|≤x ≤|.2. 求下列不定式极根: <1>x sin 1e lim x 0-→x ; <2> x cos 2sinx -1lim 6x x →; <3> 1-cosx x -x)1n(1lim 0+→x ; <4> sinx-x x -tgx lim 0→x ; <5> 5sec 6-tgx lim 2+→x x x ; <6> )11x 1(lim 0--→x x e ; <7> sinx 0)tgx (lim +→x ; <8> x -111lim x x →; <9> x 12)1(lim x x ++∞→; <10> x x x ln sin lim 0+→; <11> )sin 1x 1(lim 220xx -→; <12> 210)x tgx (lim x x →.3.求下列不定式极限: <1>2sin 1)1cos(ln lim 1x x x π--→; <2>x 2arctgx)ln (πlim x -+∞→; <3> x x x sin 0lim +→ <4> x tg x x tgx 24)(lim → <5> xx x x x 1)1ln(lim 2)1(0-++→ <6> )1(lim 0xctgx x -→; <7> x e x xx -+→10)1(lim ; <8> x x ln 1)arctgx 2(lim -+∞→π.4. 求下列函数在提定点处带拉格朗日型余项的泰勒公式:<1> f<x>=x 3+4x 2+5,在x=1处; <2> f<x>=,11x+在x=0处; <3> f<x>=cosx 的马克林公式.5. 求下列函数带皮亚诺型余项的马克劳林公式：〔1〕f<x>=arctgx 到含x 5的项；〔2〕f<x>=tgx 到含x 5的项.6.求下列极限: <1>⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-∞→→)11ln(lim )2(;)1(sin lim 230x x x x x x x e x x x ; <3>ctgx)x1(x 1lim 0x -→. 7. 估计下列近似公式的绝对误差: <1>21||,6sin 3≤-≈x x x x 当; <2>,82112x x x -+≈+当x ∈[0,1]. 8. 计算: <1>数e 准确到10-9;<2>lg11准确到10-5.1. 确定下列函数的单调区间:<1> f<x>=3x-x 3; <2> f<x>=2x 2-lnx; <3> f<x>=22x x -; <4> f<x>=x x 12-. 9. 求下列函数的极值.<1> f<x>=2x 3-x 4; <2> f<x>=212x x +; <3>f<x>=x nx)(|2; <4> f<x>=arctgx-21ln<1+x 2>. 10. 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值:<1> y=x 5-5x 4+5x 3+1,[-1,2];<2> y=2tgx-tg 2x, [0,2π]; <3> y=x lnx, <0,+∞>.11. 把长为1的线段截为两段, 问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积为最大?12. 一个无盖的圆柱形容器, 当给定体积为V 时, 要使容器的表面积为最小, 问底的半径与容器的高的比例应该怎样?13. 设用某仪器进行测量时,读得n 次实验数据为a 1,a 2,…, a n .问以怎样的数值x 表达所要测量的真值,才能使它与这n 个数之差的平方和为最小？14. 求下列函数的极值:<1> f<x>=|x<x 2-1>|; <2> f<x>=1)1(242+-+x x x x ;<3> f<x>=<x-1>2<x+1>3. 15. 设f<x>=alnx+bx 2+x 在x 1=1,x 2=2处都取得极值;试定出a 与b 的值;并问这时f 在x 1与x 2是取得极大值还是极小值?16. 求正数a,使它与其倒数之和为最小.17. 要把货物从运河边上A 城运往与运河相距为BC=a 千米的B 城<见图7-1>.轮船运费的单价是α元/千米.火车运费的单价是β元/千米<β>α>,试求运河边上的一点M,修建铁路MB,使总运费最省.18. 确定下列函数的凸性区间与拐点:<1> y=2x 3-3x 2-36x+25; <2> y=x+x 1; <3> y=x 2+x1; <4> y=ln<x 2+1>; 19. 问a 和b 为何值时,点<1,3>为曲线y=ax 3+bx 3的拐点?四、证明题1. 证明：〔1〕方程x 3—3x+c=0〔这里C 为常数〕在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根；〔2〕方程x n +px+q=0<n 为自然数,p,q 为实数>当n 为偶数时至多有两个实根；当n 为奇数时至多有三个实根.2. 证明：〔1〕若函数f 在[a,b]上可导,且f '<x>≥m,则f≥f<a>+m<b-a>;<2>若函数f 在[a,b]上可导,且|f '<x>|≤M,则|f-f<a>|≤M<b-a>；〔3〕对任意实数x 1,x 2,都有|sinx 1-sinx 2|≤|x 1-x 2|.3. 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：〔1〕aa b a b n b a b -<<-1,其中0<a<b; 〔2〕21h h +<arctgh<h,其中h>0. 4. 设函数f 在[a,b]上可导.证明：存在ξ∈〔a,b 〕,使得2ξ[f-f<a>]=f '<ξ>.5. 设函数在点a 具有连续的二阶导数.证明：)('')(2)()(20lim a f ha f h a f h a f h --++→. 6. 试讨论函数f<x>=x 2,g<x>=x 3在闭区间[-1,1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论,为什么？7. 设0<α<β<2π,试证明存在θ∈<a,b>,使得 ctg aa =--cos cos sin sin ββθ. 8. 设h>0,函数f 在[a-h,a+h]上可导.证明：〔1〕)(f')(f'hh)f(a h)f(a h a h a θθ--+=--+,θ∈〔0,1〕；〔2〕)('f )('f h h)f(a f(a)h)f(a h a h a θθ--+=-+-+,θ∈〔0,1〕. 9. 以S<x>记由〔a,f<a>〕,<b,f>,<x,f<x>>三点组成的三角形面积,试对S<x>应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理.10. 若函数f, g 和h 在[a,b]上连续,在〔a,b 〕内可导,证明存在实数ξ∈<a,b>,使得)(h' )(g' )(f'h(b) g(b) f(b)h(a)g(a) f(a)ξξ ξ=0.再从这个结果导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理.11. 设f 为[a,b]上二阶可导函数,且f<a>=f=0,并存在一点c ∈〔a,b 〕使得f<c>>0.证明至少存在一点ξ∈<a,b>,使得f ''<ξ><0.12. 证明达布定理：若f 在[a,b]上可导,且f '<a>≠f ',k 为介于f '<a>与f '之间的任一实数,则至少存在一点ξ∈<a,b>,使得f '<ξ>=k.13. 设函数f 在〔a,b 〕内可导,且f ＇单调.证明f ＇在〔a,b 〕内连续.14. 证明：设f 为n 阶可导函数,若方程f 〔x 〕=0有n+1个相异实根,则方程f <n><x>=0至少有一个实根.15. 设p<x>为多项式,α为p<x>=0的r 重实根.证明：α必定是p ＇<x>=0的r-1重实根.16. 证明：〔1〕设f 在〔a,+∞〕上可导,若f(x)lim +∞→x 和(x)f'lim +∞→x 都存在,则(x)f'lim +∞→x =0;<2>设f 在<a,+∞>上n 阶可导.若f(x)lim +∞→x 和(x)f lim k+∞→x 都存在,则 (x)f lim k +∞→x =0,<k=1,2,…,n>.17. 设函数f 在点a 的某个邻域内具有连续的二阶导数,试应用罗比塔法则证明:18. 对函数f 在区间[0,x]上应用拉格朗日中值定理有f<x>-f<0>=f ＇<θx>x,θ∈<0,1>. 试证对下列函数都有21lim 0=→θx ; <1> f<x>=ln<1+x>; <2> f<x>=e x .19. 设f<0>=0,f ＇在原点的某邻域内连续,且f ＇<0>=0.证明:1lim f(x)0=+→x x .20. 证明定理6.5中0g(x)lim 0,f(x)lim x x ==+∞→+∞→情形时的罗比塔法则:若 0)(lim ,0fx lim ==+∞→+∞→x x x <ii> 存在M 0>0,使得f 与g 在<M0,+∞>内可导,且g ＇<x>≠0; <iii> A (x )g'(x )f'lim (x )g'(x )f'lim x x ==+∞→+∞→<A 为实数,也可为±∞或∞>,则 21. 证明:2x 3e x f(x)-=为有界函数.22. 应用函数的单调性证明下列不等式. <1> tgx>x-)3π(0,x ,3x 3∈; <2> )2π(0,x x,sinx π2x ∈<<; <3> 0x ,x )2(1x x x )n(1|2πx 22>+-<+<- 23. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0x 0,0, x ,x 1sin x f(x )24. <1> 证明:x=0是函数f 的极小值点;<2>说明在f 的极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.24. 证明:设f<x>在<a,b>内可导,f<x>在x=b 连续,则当f '<x>≥0<a<x时,对一切x ∈<a,b>有f<x>≤f,当f '<x>≤0<a<x时,对一切x ∈<a,b>有f<x>≥f.25. 证明:若函数f 在点x 0处有f '+<x 0><0<>0>,f '_<x 0>>0<<0>,则x 0为f 的极大<小>值点.26. 证明：若函数f,g 在区间[a,b]上可导,且f '<x>>g '<x>, f<a>=g<a>,则在(]b a ,内有f<x>>g<x>.27. 证明:,sinx x x tgx >⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π0,x . 28. 证明:<1> 若f 为凸函数,λ为非负实数,则λf 为凸函数;<2> 若f 、g 均为凸函数,则f+g 为凸函数；<3>若f 为区间I 上凸函数,g 为J ⊃f上凸的递增函数,则gof 为I 上凸函数.29. 设f 为区间I 上严格凸函数.证明:若X 0∈I 为f 的极小值点,同x 0为f 在I 上唯一的极小值点.30. 应用凸函数概念证明如下不等式:<1>对任意实数a,b,有)e (e 21e b a 2ba +≤+; <2>对任何非负实数a,b, 有 2arctg ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a ≥arctga+arctgb. 31. 证明:若f.g 均为区间I 上凸函数,则F<x>=max{f<x>,g<x>}也是I 上凸函数.32. 证明:<1>f 为区间I 上凸函数的充要条件是对I 上任意三点x 1<x 2<x 3,恒有)f(xx 1)f(xx 1)f(xx 1Δ332211=≥0. <2>f 为严格凸函数的充要条件是对任意x 1<x 2<x 3,△>0.33. 应用詹禁不等式证明:<1> 设a i >0<i=1,2,…n>,有n a a a a a a a 1a 1a 1nn 21n n 21n21+++≤≤+++ . <2>设a i ,b i >0<I=1,2,…,n>,有81)b (p 1)a (b a m 1i q i n1i p n 1i i i ∑∑∑===≤, 其中P>0,q>0,q1p 1+=1. 五、考研复习题1. 证明:若f<x>在有限开区间<a,b>内可导,且f(x)lim a x +→f(x)lim b x -→=,则至少存在一点ξ∈a,b>,使f '<ξ>=0.2. 证明:若x>0,则<1>)(211x x x x θ+=-+,其中21)(41≤≤x θ; <2>21)(lim ,41)(lim 0==+∞→→x x x x θθ. 3. 设函数f 在[a,b]上连续,在<a,b>内可导,且ab>0.证明存在ξ∈<a,b>,使得)(f )(f f(b)f(a)b a b a 1ξξξ'-=-. 4. 设f 在[a,b]上三阶可导,证明存在ξ∈<a,b>,使得)(f a)(b 121(b)]f (a)f a)[(b 21f(a)f(b)3ξ'''--'+'-+=. 5. 对f<x>=ln<1+x>应用拉格朗日中值定理,证明:对x>0有11)1ln(10<-+<xx . 6. 证明:若函数f 在区间[a,b]上恒有f ''<x>>0,则对<a,b>内任意两点x 1,x 2,都有⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+2x x f 2)f(x )f(x 2121, 其中等号仅在x 1=x 2时才成立.7. 证明:第6题中对<a,b>内任意n 个点x 1,x 2…,x n 也成立⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡≥∑∑--n x f )f(x n 1n 1k k n1k k , 其中等号也仅在x 1=x 2=…=x n 时才成立.8. 应用第7题的结果证明：对任意n 个正数x 1,x 2,…,x n 恒成立n n 21x x x nxn x2x1⋯≥+⋯++, 即算术平均值不小于几何平均值.9. 设a 1,a 2,…,a n 为n 个正实数,且证明：〔i 〕n n 21x a a a (x)limf =∞→〔ii 〕{}x n 21x a a ,a max f(x)lim =∞→ 10. 求下列极限：〔1〕x)ln(1121x )x (1lim -→--；〔2〕2x 0x x x )ln(1x e lim +-→；〔3〕sinx 1sinx lim 20x x →.11. 证明:若函数f 在点a 二阶可导,且f ''<a>≠0,则对拉格朗日公式f<a+h>-f<a>=f '<a+θh>h,0<θ<1 中的θ有21θlim 0h =→ 12. 设h>0,函数f 在U<a,h>内具有n+2阶连续导数,且f <n+2><a>≠0,f 在U<a,h>内的泰勒公式为f<a+h>=f<a>+f '<a>h+…++n (n)h n!(a)f 1)1()!1()(++++n n h n h a f θ,0<θ<1. 证明:2n 1θlim 0h +=→. 13. 设函数f 在[a,b]上二阶可导,0(b)f (a)f ='='.证明存在一点ξ∈<a,b>,使得14. 设a,b>0,证明方程x 3+ax+b=0不存在正根.15.设k>0,试问k 为何值时,方程arctgx-kx=0存在正根.16. 证明:对任一多项式p<x>来说,一定存在点x 1与x 2,使p<x>在<x 1,+∞>与<-∞,x 2>上分别为严格单调.17. 证明:当x ∈[0,1]时有不等式121-p ≤X p +<1+x>p ≤1<其中实数p>1>.18. 讨论函数 f<x>=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+0,x 0,0,x ,x 1sin x 2x 2 <1>在x=0点是否可导?<2>在x=0的任何邻域内函数是否单调?19. 设函数f 在[0,a]上具有二阶导数,且|f ''<x>|≤M,f 在<0,a>内取得最大值.证明:|f '<0>|+|f '<a>|≤Ma.20. 设f 在[)+∞,0上可微,且0≤f '<x>≤f<x>,f<0>=0.证明:在[)+∞,0上f<x>≡0.21. 设f<x>满足f ''<x>+f '<x>g<x>-f<x>=0,其中g<x>为任一函数.证明:若f<x 0>=f<x 1>=0<x 0<x 1>,则f 在[x 0,x 1]上恒等于0.22. 证明:f 为I 上凸函数的充要条件是对任何x 1,x 2∈I,函数ϕ<λ>=f<λx 1+<1-λ>x 2>为[0,1]上的凸函数.。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案10

习题十1. 求下列曲线所围图形的面积． (1) y x x x y ====114，，，0=； (2) 轴；y x y y ==38，， (3) ；y e y e x xx==−，，1 (4) y x y x x ===lg .，，，001=10； (5) x y y x ==2380，，=1；(6) y x y y x y =+===14，，，；3(7) ； y x x y 224=−=， (8) ．x y y x =−=210()， 2. 求抛物线以及在点y x x =−+−24(,)03−和处的切线所围图形的面积．(,)30 3. 设曲线与直线y x x =−2y ax =，求参数，使该曲线与直线围图形面积为a 92． 4. 曲线与相交于原点和点f x x ()=2g x cx c ()=>30（）(,)112c c，求的值，使位于区间c [,01c上，两曲线所围图形的面积等于23． 5. 求星形线所围图形的面积（a ）． x a ty a tt ==⎧⎨⎪⎩⎪≤≤cos sin 3302　（）π>0 6. 求下列极坐标方程所表曲线所围成的图形的面积．(1) 三叶玫瑰线r =83sin θ； (2) 心形线r =−31(sin )θ；(3) r =+1sin θ与r =1； (4) r =2与r =4cos θ．7. 证明：球的半径为R 、高为的球冠的体积公式为：h V h R =−1332π()h8. 计算圆柱面与所围立体（部分）的体积．x y a 22+=22x z z ==，0z ≥0 9. 计算两个柱面与所围立体的体积．x y a 22+=222a z x =+ 10. 计算四棱台的体积．四棱台的上底面是边长为与b 的矩形，下底面是边长为与a A B 的矩形，高为．h 11. 求下列曲线围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积．(1) ； y x x =≤sin ()　0π≤；(2) y x x y ===220，，(3) y x y x ==2，；(4) ； y x x e =≤ln ()　1≤3(5) ． y x y x ==22，12. 求y x =，x 轴和x =4所围图形分别绕x 、y 轴旋转所得旋转体的体积．13. 求曲线与曲线所围图形的面积．并将此图形绕y x x =−32y x =2y 轴旋转，求所得旋转体的体积． 14. 求下列曲线的弧长．(1) ；y x x 2301=≤，()≤ (2) y x x =≤≤ln ()，38；(3) x y y y =−≤≤141212ln ()，e ； (4) r a a =>≤≤θθ　，()003；(5) r a =≤sin ()3303≤θθπ，； (6) ．x a t t t y a t t t t =+=−≤≤(cos sin )(sin cos )()，，02π 15. 计算曲线：的质量中心（线密度x y a y 2220+=≥　()ρ为常数）． 16. 计算星形线：在第一象限的质量中心（线密度x a y a ==cos sin3θ，3θρ为常数）． 17. 计算下列曲线所围图形的质量中心． (1) ax ；y ay x a ==>220，　() (2) x a y bx a y b 2222100+=≤≤≤≤，，()；(3) 轴，()y a x x =sin ，01≤≤x ；18. 若1公斤的力能使弹簧伸长1厘米，问把弹簧伸长10厘米要作多少功？ 19. 物体按规律x ct =3（c ）做直线运动，设介质阻力与速度的平方成正比，求物体从.>0x =0到x a =时，阻力所作的功．20. 一圆台形的水池，深15厘米，上下口半径分别为20厘米和10厘米，如果将盛满的水全部抽尽，需要作多少功？21. 有一横截面积为s =20平方米，深为5米的圆柱形水池，现把池中盛满的水全部抽到高为10米的水塔顶上去，需要作多少功？22. 把半径为R 的空心球，由与水面相切的位置压入水中，至球刚好完全淹没在水中，求克服浮力所作的功．23. 水坝中有一直立的矩形闸门，宽20米，高16米，闸门的上边平行水面，试求下述各情况闸门所作的功．(1) 闸门的上边与水面平齐时； (2) 水面在闸门的顶上8米时．24. 一块高为，底为的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中挡住水，顶在下，底与水面相齐．试求薄板所受压力．如果把它的顶与水面相齐，而底与水面平行，则压力又如何？a b 25. 闸门的形状为等腰梯形铅垂地挡住水，闸门的二水平边的长分别为200米和50米，高为10米，且较长的上底与水面相齐，试计算水对闸门的压力． 26. 一正方形薄板垂直地沉没在水中，正方形的一顶点位于水面，而一对角线平行于水面，设正方形的边长为a ，试求薄板每侧所受的压力．27. 求由x a y b+=1（a ）与坐标轴所围图形的面积． b >>0，0) 28. 求由曲线所围图形的面积．y x x 221=−( 29. 求曲线r =6sin θ与r =12sin θ所围图形的面积．30. 直径为6米的球浸入水中，其球心在水平面下10米，求球面上所受的压力．。

数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第十章

第十章定积分的应用一、填空题1．求曲线8,2222=+=y x x y 所围成图形面积A （上半平面部分），则A = 2．曲线x x e y e y -==,及1=x 所围面积A = 3．曲线θθcos 1,cos 3+==r r 所围面积A = 4．曲线)0(>=λλθae r 从0=θ到αθ=一段弧长S = 5．曲线 ⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x 从0=t 到π=t 一段弧长S =6．均匀摆线)0(cos 1sin π≤≤⎩⎨⎧-=-=t ty tt x ，弧长4=S ，则其重心坐标是7．曲线0,0),0(==≤=y x x e y x 所围图形绕Ox 轴旋转所得旋转体的体积为；而绕Oy 轴旋转所得旋转体的体积为 8．抛物线)(a x x y -=与直线x y =所围图形的面积为9．在抛物线24x y =上有一点P ，已知该点的法线与抛物线所围成的弓形面积为最小，则P 点的坐标是10．设有一内壁形状为抛物面22y x z +=的容器，原来盛有)(83cm π的水，后来又入注)(643cm π的水，设此时水面比原来提高了hcm ，则h = 11．由曲线,2,1=+=x xx y 及2=y 所围图形的面积S = 曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A = 二、选择填空题1．曲线)0(ln ,ln b a a y x y <<==与y 轴所围成图形的面积为A ，则A =（）（A ）⎰ba xdx ln ln ln （B ）⎰ba e ex dx e（C ）⎰baydy e ln ln （D ）⎰ba e exdx ln2．曲线x y xy ==,1，2=x 所围成的图形面积为A ，则A =（）（A ）dx x x )1(21-⎰（B ）dx xx )1(21-⎰（C ）⎰⎰-+-2121)2()12(dy y dy y（D ）⎰⎰-+-2121)2()12(dx x dx x3．曲线x e y =下方与该曲线过原点的切线左方及y 轴右方所围成的图形面积A =（）（A ）dx ex e x )(10-⎰ （B ）dy y y y e)ln (ln 1-⎰（C ）dx xe e exx )(1⎰- （D ）dy y y y )ln (ln 1-⎰4．曲线)0(cos 2>=a a r θ所围图形面积A =（）（A ）()θθπd a 220cos 221⎰ （B ）θθππd a ⎰-2cos 221 （C ）()θθπd a 220cos 221⎰（D ）()θθπd a 220cos 2212⎰ 5．曲线πθπθθ=-==,,ae r 所围图形面积A =（）（A ）⎰πθθ02221d e a （B ）⎰πθθ20222d e a （C ）⎰-ππθθd ea 22 （D ）⎰-ππθθd e a 2226．曲线θθ2cos ,sin 22==r r 所围图形面积A =（）（A ）()()⎰⎰+-222121212cos 2sin 2θθθθd d（B ）()()⎰⎰+462602cos sin 2πππθθθθd d（C ）()()⎰⎰+46262cos 21sin 221πππθθθθd d（D ）()()⎰⎰+462602cos sin 22πππθθθθd d7．曲线()21ln xy -=上210≤≤x 一段弧长S =（）（A ）dx x ⎰⎪⎭⎫⎝⎛-+212111 （B ）⎰-+2102211dx x x （C ）dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--+2102121 （D ）dx x ⎰-+21022])1[ln(1 8．摆线)0()cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 一拱与x 轴所围图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积=V （）（A ）()⎰-ππ2022cos 1dt t a （B ）())]sin ([cos 12202t t a d t a a--⎰ππ（C ）()⎰--ππ2022)]sin ([cos 1t t a d t a （D ）()⎰-adt t a ππ2022cos 19．星形线⎪⎩⎪⎨⎧==ta y ta x 33sin cos 的全长S =（）（A ）⎰-⋅202)sin (cos 3sec 4πdt t t a t（B ）⎰-⋅022)sin (cos 3sec 4πdt t t a t（C ）⎰-⋅π02)sin (cos 3sec 2dt t t a t（D ）⎰-⋅02)sin (cos 3sec 2πdt t t a t10．心形线)cos 1(4θ+=r 与直线2,0πθθ==围成图形绕极轴旋转的旋转体体积=V （）（A ）⎰+202)cos 1(16πθθπd（B ）⎰+2022sin )cos 1(16πθθθπd（C ）⎰++2022]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd（D ）⎰++0222]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd11．两个半径为a 的直交圆柱体所围的体积为V =（）（A ）⎰-adx x a 022)(4（B ）⎰-adx x a 022)(8（C ）⎰-adx x a 022)(16 （D ）⎰-adx x a 022)(212．矩形闸门宽a 米，高h 米，垂直放在水中，上沿与水面齐，则闸门压力p =（）（A ）⎰hahdh 0 （B ）⎰aahdh 0（C ）⎰hahdh 021（D ）⎰h ahdh 0213．横截面为S ，深为h 的水池装满水，把水全部抽到高为H 的水塔上，所作功=W （）（A ）⎰-+hdy y h H S 0)( （B ）⎰-+Hdy y h H S 0)(（C ）⎰-hdy y H S 0)( （D ）⎰+-+Hh dy y h H S 0)(14．半径为a 的半球形容器，每秒灌水b ，水深)0(a h h <<，则水面上升速度是（）（A ）⎰h dy y dh d 02π （B ）⎰--h dy a y a dh d 022])([π （C ）⎰hdy y dh db2π （D ）⎰-hdy y ay dh d b2)2(15．设)(),(x g x f 在区间[]b a ,上连续，且m x g x f <<)()(（m 为常数），则曲线b x a x x f y x g y ====,),(),(所围平面图形绕直线m y =旋转而成的旋转体体积为（）（A ）⎰-+-badx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（B ）⎰---badx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（C ）⎰-+-badx x g x f x g x f m )]()()][()([π（D ）⎰---badx x g x f x g x f m )]()()][()([π三、计算题1．求抛物线2x y =与2x 2y -=所围图形的面积。

数学分析习题解答

§17.1 多元函数微分学1．求下列函数的偏导数： (1)22,;x y z xy z x == (2)cos z y x =sin ,cos ;x y z y x z x =-=(3)33222222,;()()x y x y z z x y x y --==++(4)22ln()z x y =+222222,;x y x yz z x y x y==++ (5),;xy xy x y z ye z xe == (6)arctanxz y= 2222221.,;1()x y y y xz z y x x y x y x--===+++ (7)sin()2sin()sin()sin()cos()[1cos()],[1cos()];xy xy xy x xy y z ye xy e xy ye xu xy z xy xy xe=+=+=+(8) y x x u x y z=+- 222111,,;x y zy z x u u u x z x y y z =--=-=+(9)11(),(),()ln();z z z x y z u zy xy u zx xy u xy xy --=== (10) zyu x =11,ln ,ln ln ;zzzz yz y y z x y z u y x u zy x x u x y x y --===2.设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x 解法1：(,1)1f x =+则(,1)1f x =解法2：(,1)0,(,1)1x f x x x f x =+?=3．设2222221sin ,0,(,)0,0y x y x y f x y x y ìïï+ ï+=íïïï+=ïî，考察函数f 在原点（0，0）的偏导数。

解：因为 00(0,0)(0,0)00limlim 0,x x x x xf f D 瓺 +D --==D D 20(0,0)(0,0)1limlim()y y y yyf f D 瓺 +D -=D D 不存在. 所以，(,)f x y 在原点关于x 的偏导数为0，关于y 的偏导数不存在。

数学分析课后习题答案1.2

2、设 S 为非空数集,试给出下列概念的定义: ⑴数集 S 没有上界; ⑵数集 S 无界. 解: ⑴设 S 为一非空数集,若对任意的 M > 0 ,总存在 x 0 ∈ S ,使 x 0 > M ,则称数集 S 没有上界 ⑵设 S 为一非空数集,若对任意的 M > 0 ,总存在 x 0 ∈ S ,使 x 0 > M ,则称数集 S 无界
3、证明:由(3)式确定的数集有上界,无下界. 证: S = y y = 2 − x x ∈ R} .
2ห้องสมุดไป่ตู้
{
对任意的 x ∈ R , y = 2 − x ≤ 2 所以数集 S 有上界 2
2
而对任意的 M > 0 ,取 x1 =
3 + m ,则 y1 = 2 = x1 = 2 − 3 − M = −1 − M ∈ S ,
sup a r r为有理数 } ，当a > 1 , x 8.设 a > 0 , a ≠ 1 , x 为有理数,证明: a = r < x inf a r r为有理数 } ，当a < 1 , r<x
证: 只证 a > 1 的情况, a < 1 的情况可以类似地予以证明. 设 E = {a r为有理数， r < x} . 因为 a > 1 , a 严格递增 , 故对任意的有理数 r < x , 有
或
x < 0
2 6 x ≤ x + 1 ≤ −6 x
前一不等式组的解为 x ∈ [3 − 2 2 , 3 + 2 2 ] ，后一不等式组解为
x ∈ [−3 − 2 2 ,− 3 + 2 2 ] .

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