数学分析选讲刘三阳-部分习题解答
第一讲 习
题解答
习题1-1
1 计算下列极限
① ()1lim 11,0p n n p n →∞
⎡⎤
⎛⎫+->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
解：原式=()1111110lim lim 110
p
p
p n n n n n n
→∞→∞⎛⎫⎛⎫
+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-()()0110lim 0p p n x x →+-+=-()()
01p x x p ='=+= ② ()
sin sin lim
sin x a x a x a →--
解：原式=()()()()sin sin sin sin lim
lim
sin x a x a x a x a x a
x a x a x a →→---⋅=---=()sin cos x a
x a ='= ③
1x →，,m n 为自然数 解：原式
=
1
1
x x n m
→='
==
④
(
)
lim 21,0n
n a →∞
>
解：原式(
)
()
10
ln 21lim ln 21
1lim
ln 1
lim n x n x a e a n n
x
n e
e e →∞
→⎛⎫ ⎪⋅- ⎪
⎝⎭-→∞
===
=()(
)
()()0ln 21ln 21
ln 21lim
2ln 20
x a a x
x a a x
x e e
e a ---→'
-====
⑤ lim
,0x a
x a a x a x a
→->- 解：原式=lim
x a a a x a a a a x x a →-+--lim lim x a a a
x a x a a a x a x a x a →→--=---()()x a x a x a a x ==''=-()ln 1a a a =- ⑥ lim ,0x
a
a x
x
a
x a a a a a x →->- 解：原式lim lim x
a
x
a
a x a x x
a x a x a x a a a a a x a
a x x a a x →→---==⋅---(
)lim x a
a a
a a x a
x a
x a
a a a a x a
x a
a x →----=⋅
--
⑦ ()()
10
10
11sin lim
sin x tgx x x
→+--
解：原式=()()10
10
11sin lim
sin x tgx x x
x x
→+--⋅
⑧ ()11lim m k m n i n i kn n -→∞
=⎡⎤
+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
∑，m 为自然数 解：原式()111lim lim 1m m k k m n n i i n i i n n n n n -→∞→∞==⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎢⎥=-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦∑∑ 2 设()f x 在0x 处二阶可导，计算()()()
0002
2lim
h f x h f x f x h h
→+-+-。 解：()()()()()
000002002lim lim 2h h f x h f x f x h f x h f x h h h
→→''+-+-+--=
3 设()0f x '存在，计算()()
000
lim
x x xf x x f x x x →--
解：原式()()()()00000000lim
x x xf x x f x x f x x f x x x →---⎡⎤⎣⎦=-
4 设()0,a f a '>存在，计算()()1
ln ln lim x a
x a f x f a -→⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
解：原式()()()()
()
()
ln ln ln ln lim
lim
ln ln ln ln x a
x a
af a f x f a f x f a x a f a x a
x a
x a
e e e
→→'---⋅
---===
习题1-2
1求下列极限 ①
(
lim sin x →+∞
解：原式()()lim
211x x x →+∞=+-
-(lim 20x ξξ
→+∞='
=⋅=
ξ介于1x -，与1x +之间。
② ()40cos sin cos lim
sin x x x
x
→-？？？？
解：原式()
()40sin sin lim
0sin x x x x
ξξ→--=→
③ 33
2
0lim sin x x
x e e tgx x -→-⋅
解：原式()()33
33
3
3300
0lim
lim
2lim 22x x x x x x x x
e e e e e x x x ξξ--→→→=--'==⋅==-- ④ 2
2
2
2
lim ,0x a
x a a x a x a →->- 解：原式22
22
2
2
1
lim x a
a a x a a a x a x a x a
x a
→⎛⎫⎛⎫--=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪
⎪--+⎝
⎭⎝⎭
⑤ 2
lim 1n a a n arctg arctg n n →+∞
⎛⎫- ⎪+⎝⎭
解：原式()21lim
11
n a a
arctg
arctg an n n a a n n n n →+∞
-+=⋅+-
+()0lim x arctgx a a ξξ→='=⋅= ⑥
(
()()
1
1
111lim 1n
n
x x x -→--
解：原式1111lim
111n
x x
x x
x
→-=⋅--- ⑦
lim
x 解：原式
lim x x
→+∞
= ⑧ ()
2lim
ln 1n n n →∞
+
解：原式()()11
ln 1ln 21lim
ln 1n n n n n e e n n ++→∞⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=+()()
2ln 1ln 1lim ln 1n n n n
n n n →∞+⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+
()()
1ln 1lim 1ln 1n n n n n →∞++=⋅++=1 2 设()f x 在a 处可导，()0f a >，计算1lim 1n
n f a n f a n →∞
⎡
⎤⎛
⎫+ ⎪⎢
⎥
⎝⎭⎢
⎥=⎛
⎫⎢⎥
- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
解：原式1ln 1lim f a n n f a n n e
⎛⎫+ ⎪
⎝
⎭
⎛⎫- ⎪⎝⎭
→∞
=11ln ln .211lim f a f a n n a a n n n e
⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
→∞
==()()2f a f a e '
习题1-3
1 求下列极限
① ()()0
11lim ,011
x x n x λ
μ→+-≠+- 解：原式()()011lim 11x x x λλ
μμ
→+-==+-（也可利用对数等价关系求解）
②
x →
解：利用等价代换可得
原式0
lim x →=-
()
1
22
ln cos cos 2cos lim ln 1x x x nx
x
→⋅⋅⋅=-
+
③ 011lim 1x x x e →⎛⎫-
⎪-⎝
⎭ 解：原式()
200111
lim lim 21x x x x x e x e x x x e →→----===- ④ ()112
lim 1x x x x x x →∞
⎡⎤
+-⎢⎥⎣⎦
解：原式()
()11
ln 12
ln 211lim lim ln 1ln x x x x x x x e e x x x x
x +→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤=-=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⑤ 3
01
2cos lim 13x x x x
→⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
解：原式()3200ln 2cos ln 312cos 1
lim ln lim 36x
x x x x x x →→+-+⎛⎫===- ⎪⎝⎭
⑥
2
0x x -→
解：原式
2
0c o s 11
l i x x x e -→---=，而211cos 2
x
x -，2
1x e -→，cos 1x →，()0x →且2
2011
2lim 12x x
x →=-≠--。故原式22212
6112
x x x
-==-
3计算下列极限 ① 2
2
2
1cos ln cos lim
sin x x x x x e e
x
-→----
解：2
11cos 2
x
x -，()()222
2
2
2
2
2,sin x x e e x x x x
x ----=，且2
202lim 21x x x
→=-≠--，故原式1=。
②
0x →解：原式=()()01
sin 23lim
sin 3
x tgx x x x x →+=--- ③ ()()()0
ln 2sin lim
sin 2sin x x x e x tgx tgx tgx
→++--
解：原式可如下考虑：若0x →时，()()sin 22sin 222tg x tg x tg x x ，
又02,lim
21x x
tgx
x x
→--=-≠--，()ln 12sin 2x x x e x e x
x ++-
且01lim
112x x x e x →+-=≠-，故原式012lim 42x x x e x x x
→+-+==-。 ④ ()()()()
011lim
,2sin ax bx
x ax bx a b
tg x x x x →+-+≠-+
解：原式()()
()()
0ln 1ln 1lim 2ax bx x e ax e bx x x x x →+-+=-+
习题1—4
1求2
1lim 1x x
x e x -→+∞
⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
解：原式21n 1lim x l x
x x e
⎛⎫+- ⎪⎝⎭
→+∞
=22211102lim x x
x x x x e
⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭→+∞
=22111
022
lim x x x e
e ⎛⎫
-+-
⎪⎝⎭
→+∞
==
2 求33
01lim sin 6x ex x x
→--
解：原式()6
3
63
6010112lim 2
x x x x x x →+++--== 3 设()f x 在0x =处可导，且()20sin lim 2x f x x x x →⎛⎫+=
⎪⎝⎭
，求()()0,0f f '及()
01lim x f x x →+
解：因()20sin lim x x xf x x →+⎛⎫ ⎪⎝⎭
()()()()()3420003!lim x x x o x x f f x o x x →'-++++= 故()()01,02f f '=-=
4
求()012lim
ln 1x
x x
x xe -→-
+-
解：原式()012lim ln 1x x x x xe -→-=+-()()()()()2
220211112211222lim 12
x x x x o x x
x o x x x o x →⎛⎫
- ⎪⎝⎭+++--
=-+-+-+ 5
求)1
lim
ln n n
n
→∞
解：原式1lim 1ln n n n →∞011lim 1ln x
x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭
，而01
ln
lim 11ln 000
1lim lim 1x x x x x x x x e e e x →→→⎛⎫
==== ⎪⎝⎭
故()11ln 10x
x
x x x ⎛⎫
⎛⎫
-→ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，故原式=1。 6 设()f x 在0x =处可导，()()()()()00,00,20f f af h bf h f '≠≠+-若在0h →时是比h 高阶的无穷小，试确定,a b 的值。
解：()()()
020lim
0h af h bf h f h
→+-=
即 ()()()()()()()()()
0000220lim
0h a f f h o h b f f h o h f h
→''+++++-=
即 ()()()()()()0
10022lim
h a b f f h a b ao h bo h h
→'+-++++=
故102
201a b a a b b +-==⎧⎧⇒⎨⎨
+==-⎩⎩
7 求2
1lim 1sin
n n n n →∞
⎛⎫- ⎪⎝⎭
解：原式302
1
1sin
sin 1lim
lim 16
n x n x x n x n →∞
→--===，利用()34sin 3!x x x o x =-+ 8求221lim 1n n n e n →∞
⎡⎤
⎛⎫-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
解：原式22
11lim
1
n
n e n n
→∞⎛⎫-+ ⎪
⎝⎭=()22
01lim
x
x e x x
→-+=()2
ln 12
0lim x x
x e e
x +→-=
9求1lim 11n n n e n -→∞
⎡⎤
⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
解：原式()1
011
lim
x
x e x x
-
→+-=()1
ln 10
1
lim
x x
x e e
x
-+→⋅-=()1
1ln 10
1
lim
x x
x e
x
-+→-=
10设()0f x '''存在，求极限()()()()0000301
lim
33233n f x h f x h f x h f x n →+-+++-⎡⎤⎣
⎦ 解：()()()()()()()()()
233
00000113333326
f x h f x f x h f x h f x h o h ''''''+=++++
类似可得()()002,f x h f x h ++的表达式代入化简，可将原式()06f x '''=+。
习题1—5
1 列极限
①
n
解：令1n n x y =+
+⋅⋅⋅+=，利用stolz 公式可得原式2= ②
n
解：令n n x y =stolz 公式可得原式0=
③ 22
12lim
,1n
n n a a na a na +→∞+++⋅⋅⋅> 解：令22
12,n n n n x a a na y na +=+++⋅⋅⋅+=，利用stolz 公式可得原式2
1
a a
=
- 2设lim n n a a →∞
=，求
① 122
2lim
n
n a a na n →∞++⋅⋅⋅+
解：令2
12,2n n n y n x a a na ==++⋅⋅⋅+，则()()1
22
11lim
21n n n a a n n +→∞
+=
+-，故原式12
a = ②
n n k = 解：令n x
=
，n y
原式n
=n =
2n a ==
③ 11lim ln n k
n k a n k
→∞=∑ 解：令12
ln ,12n n n a a a y n x n
==
++⋅⋅⋅+ 原式12
1
2lim ln n
n a a a n n
→∞++⋅⋅⋅+=()()11
11lim lim 1ln 1ln 1ln 1n n n n a a a n n n n e n n ++→∞→∞++==+-⎛⎫++ ⎪⎝⎭
④ 12lim
,0,1,2,111
i n n
n a i n a a a →∞
≠=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+
解：原式1
2111
1
lim n n a a a n a
→∞++⋅⋅⋅+==，故原式a = 3 设()2lim 0,n n n x x -→∞-=求1lim
,lim n n n n n x x x
n n
-→∞→∞-
解：令lim ,n n x A n →∞=则1lim lim 1
n n n n x x
n n -→∞→∞+-2A=()()112lim lim n n n n n n x x x x ---→∞→∞-+-=
()12lim 0n n n x x --→∞
-==，故0A =
类似的可考虑对1lim
,n n x n -→∞利用stolz 公式可得1lim 0n n n x x
n
-→∞-=
4 设110x q <<
，其中01q <≤，并且()11n n n x x qx +=-，证明1lim n n x q
→∞=
证明：可以验证n x 为单调递减，且极限为0的数列故
1
n
x →+∞，由stolz 公式可得原式
()1
1lim
11n n n n n x x →∞----
=()()1
11111111lim lim 1n n n n n n n n n n n n x qx x x x x x x x qx ----→∞→∞-----=---=()111
lim 1n n qx q q -→∞-== 5 设()()110,ln 11,2,n n x x x n +>=+⋅⋅⋅，证明lim 2n n x →∞
==
可证明0n
x ，利用()0,ln 1x x x >+<
lim n n nx →∞
()
1
1lim
11n n n n n x x →∞---=-
()()()()11011ln 1ln 1lim lim 2ln 1ln 1n n n x n n x x x x x x x x --→∞→--++===-+-+（洛必达法则） 6 证明设{}n x ，{}n y 都是无穷小，且{}n y 严格减小，如果1
1
lim
n n n n n x x a y y -→∞
--=-，（a 为有限数，或,+∞-∞），
则lim
n
n n
x a y →∞
=。 证明：当a 为常数时，0,N ε∀>∃，当n N >时，有1
1
n n n n x x a a y y εε++--<<+-
即 ()()()()111n n n n n n a y y x x a y y εε+++-<-<-<+- 令p →∞，得()()n n n a y x a y εε-≤≤+ 故lim
n
n n
x a y →∞
=。 当a =+∞时，0,G N ∀>∃，当n N >时，有
()1
1
n n n n p n n p n n x x G x x G y y y y ++++->⇒->--
令p →+∞，便可得n n x Gy ≥，即
()n
n
x G n N y ≥⇒> 故lim
n
n n
x y →∞
=+∞。 当a =-∞，只要令n n x x '=-，便可转化为a =+∞的情况。
习题1—6
1设()f x 在(),a +∞内可微，且()
lim
n f x A x
→+∞
=，则当()lim n f x →+∞'存在时，证明()lim n f x A →+∞'=。
证明：直接利用广义洛必达法则可得。
2 设()f x 在(),a +∞内二阶可导，且()lim "x f x A →+∞
''=。
证明()()2lim
,lim 2
n n f x f x A
A x x →+∞→+∞'==。 证明：直接可用广义洛必达法则。
3 设()f x 在(),a +∞内可微，()()lim ,lim n n f x f x →+∞
→+∞
'存在，证明()lim 0n f x →+∞
'=。
证明：设()()
()()()lim lim
lim n n n xf x A f x f x xf x x
→+∞
→+∞→+∞'===+
故()()lim 0lim 0n n xf x f x →+∞
→+∞
''=⇒=
4 设()f x 在(),a +∞上连续，()()lim x
a n f x f x dt A →+∞⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦
⎰，
证明：()()lim
,lim 0x
a
n n f x dt A f x →+∞→+∞
==⎰
证明 令()()x
a
F x f x dt =
⎰，则()()F x f x
'=，故有()()l i m x F x F x A
→+∞
'+=⎡⎤⎣⎦，由例 1.6.2可得()()l i m ,l i m 0
n n F x A f x →+∞
→+∞
== 5设()f x 在(),a +∞上可导，且对任意的0α>，()()()lim
x f x xf x αβ→+∞
'+=。证明()lim n f x β
α
→+∞
=。 证明：()()()()l i m l i m x n x
f x xf x f x f x β
αβαα
→+∞→+∞⎡
⎤''+=⇒+=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣
⎦
，由例 1.6.4的结论可得()l i m n f x β
α
→+∞
=
。 6 设()f x 在(),a +∞上存在有界的导函数，证明()
lim
0ln x f x x x
→+∞=
证明：原式()
lim
ln 1
n f x x →+∞'=+，利用夹逼准则可证()M f x M '-<<
7 设()f x 在(),a +∞上可导，0a >，若有(
)()lim x f x x l α→+∞
⎡⎤'+=⎣⎦
证明()lim n l f x a
→+∞
=
证明：取()3
243
ax g x e =，利用前面的结论类似可证。
华东师大数学分析习题解答2
《数学分析选论》习题解答 第 二 章 连 续 性 １． 设n y x ?∈,，证明： )||||||||(2||||||||2222y x y x y x +=-++． 证 由向量模的定义， ∑∑==-++=-++n i i i n i i i y x y x y x y x 121 22 2)()(|||||||| ∑=+=+=n i i i y x y x 1 2222)||||||||(2)(2． □ 2*． 设n n x S ?∈??点,到集合S 的距离定义为 ),(inf ),(y x S x S y ρ=ρ∈． 证明：（１）若S 是闭集，S x ?，则0),(>S x ρ； （２）若d S S S ?=( 称为S 的闭包 )，则 {} 0),(|=ρ?∈=S x x S n ． 证 （１）倘若0),(=S x ρ，则由),(S x ρ的定义，S y n ∈?，使得 ,2,1,1),(=<ρn n y x n ． 因 S x ?，故x y n ≠，于是x 必为S 的聚点；又因S 是闭集，故S x ∈，这就导致矛盾．所以证得0),(>S x ρ． （２）S x ∈?．若S x ∈，则0),(=ρS x 显然成立．若S x ?，则d S x ∈（即x 为S 的聚点），由聚点定义，?≠?ε>ε?S x U );(,0 ，因此同样有 0),(),(inf =ρ=ρ∈S x y x S y ． 反之，凡是满足0),(=ρS x 的点x ，不可能是S 的外点（ 若为外点，则存在正
数0ε，使?=?εS x U );(0，这导致0),(inf 0>ε≥ρ∈y x S y ，与0),(=ρS x 相矛盾）．从而x 只能是S 的聚点或孤立点．若x 为聚点，则S S x ?∈d ；若x 为孤立点，则S S x ?∈．所以这样的点x 必定属于S ． 综上，证得 {}0),(|=ρ?∈=S x x S n 成立． □ ３．证明：对任何n S ??，d S 必为闭集． 证 如图所示，设0x 为d S 的任一聚点， 欲证∈0x d S ，即0x 亦为S 的聚点． 这是因为由聚点定义，y ?>ε?,0，使得 d S x U y ?ε∈);(0 ． 再由y 为S 的聚点，);();(0ε?δ?x U y U ，有 ?≠?δS y U );( ． 于是又有?≠?εS x U );(0 ，所以0x 为S 的聚点，即∈0x d S ，亦即d S 为闭集． □ ４．证明：对任何n S ??，S ?必为闭集． 证 如图所示，设0x 为S ?的任一聚点，欲证S x ?∈0，即0x 亦为S 的界点． 由聚点定义，y ?>ε?,0，使 S x U y ??ε∈);(0 ． 再由y 为界点的定义，);();(0ε?δ?x U y U ， 在);(δy U 内既有S 的内点，又有S 的外点．由此证得在);(0εx U 内既有S 的内点，又有S 的外点，所以0x 为S 的界点，即S ?必为闭集． □ *５．设n S ??，0x 为S 的任一内点，1x 为S 的任一外点．证明：联结0x 与1x 的直线段必与S ?至少有一交点． 0x );(δy U );(0εx U S S ? );(δy U );(0εx U S d S 0x
数学分析选讲刘三阳部分习题解答
第一讲 习题解答 习题1-1 1 计算下列极限 ① ()1lim 11,0p n n p n →∞ ?? ??+->?? ??????? 解：原式=()1111110lim lim 110 p p p n n n n n n →∞→∞???? +-+-+ ? ?????=-()()0110lim 0p p n x x →+-+=-()() 01p x x p ='=+= ② () sin sin lim sin x a x a x a →-- 解：原式=()()()()sin sin sin sin lim lim sin x a x a x a x a x a x a x a x a →→---?=---=()sin cos x a x a ='= ③ 1x →，,m n 为自然数 解：原式 = 1 1 x x n m →=' == ④ ( ) lim 21,0n n a →∞ > 解：原式( ) () 10 ln 21lim ln 21 1lim ln 1 lim n x n x a e a n n x n e e e →∞ →?? ??- ? ??-→∞ === =()( ) ()()0ln 21ln 21 ln 21lim 2ln 20 x a a x x a a x x e e e a ---→' -==== ⑤ lim ,0x a x a a x a x a →->- 解：原式=lim x a a a x a a a a x x a →-+--lim lim x a a a x a x a a a x a x a x a →→--=---()()x a x a x a a x ==''=-()ln 1a a a =- ⑥ lim ,0x a a x x a x a a a a a x →->-
数学分析 刘三阳 第十一讲习题解答!
习题11-1 1. 求下列函数项级数的收敛域. (1) 211n n n x x ∞ =+∑； (2) 121(3) n n n n x x ∞ =++∑1()3x ≠-. 解 (1) 设 ),2,1( 1)(2 =+= n x x x u n n n ， 当 1 判别法可知级数∑∞ =+-1 )1(n n n a n 收敛. 如果1>a ，从n n n n n n na a x a n x -∞ =∞ =+=+∑∑11 )(11可知， 当a x <时，级数绝对收敛（Cauchy 判别法）；当a x ±=时，由)( 1∞→→+n a n a n n 知级数发散. 习题11-2 1. 证明函数项级数1[1(1)](1) n x n x nx ∞ =+-+∑在[1,)+∞上一致收敛. 证 明 因为 )( 111 1]11)1(11[)( ),,1[1 ∞→→+-=+--+=+∞∈?∑=n nx kx x k x s x n k n 而且 )( 011 11)()(∞→→+<+=-n n nx x s x s n ， 故结论成立. 2. 设{}()n f x 在区间I 上一致收敛于()f x ,且对任意x I ∈有()f x A >.试问是否存在N ,使当n N >时,对任意x I ∈有()n f x A ≥? 解 否. 例如：arctyx n n x f n 1 )(+= 在),1(+∞内一致收敛于arctyx ，且4 ),,1(π >+∞∈?arctyx x .但是对任何正整数N ，存在N N n >+=10和 188)32(0>++=N N ty x π， 使4 88)32(211000π π<++?++=+N N N N arctyx n n 3. 设()n f x 在[,]a b 上收敛于()f x ,且()f x 在[,]a b 上连续. (1)若()n f x (1,2,)n = 在[,]a b 上单调递增. 证明()n f x 在[,]a b 上一致收敛于()f x ; (2) 证明()n f x 在[,]a b 上一致收敛于()f x 的充要条件是:对[,]a b 中任一 第3章部分习题解答 1. 列出下列集合的元素. （1） {x | x 是小于5的非负整数} （2） {x | x 是大于0的偶数} （3） {x |（x 是整数） ∧（2 §17.1 多元函数微分学 1．求下列函数的偏导数： (1) 22,;x y z xy z x == (2)cos z y x = sin ,cos ;x y z y x z x =-= (3) 3 322222 2 ,;() () x y x y z z x y x y --= = ++ (4)22ln()z x y =+ 2222 22,;x y x y z z x y x y = =++ (5) ,;xy xy x y z ye z xe == (6)arctan x z y = 22222 21 . ,;1()x y y y x z z y x x y x y x --= ==+++ (7) sin()2sin()sin()sin() cos()[1cos()],[1cos()]; xy xy xy x xy y z ye xy e xy ye xu xy z xy xy xe =+=+=+ (8) y x x u x y z = +- 222 111,,;x y z y z x u u u x z x y y z =- -=-=+ (9) 11(),(),()ln();z z z x y z u zy xy u zx xy u xy xy --=== (10) z y u x = 1 1,ln ,ln ln ;z z z z y z y y z x y z u y x u zy x x u x y x y --=== 2. 设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x 解法1 ：(,1)1f x =+ 则(,1)1f x = 解法2 ：(,1)0,(,1)1x f x x x f x =+?= 3．设2222 221sin ,0,(,)0,0 y x y x y f x y x y ì??+ ?+=í???+=??，考察函数f 在原点（0，0）的偏导数。 解： 因为 0 0(0,0)(0,0)00 lim lim 0,x x x x x f f D 瓺 +D --==D D 2 0(0,0)(0,0) 1 lim lim ()y y y y y f f D 瓺 +D -=D D 不存在. 所以，(,)f x y 在原点关于x 的偏导数为0，关于y 的偏导数不存在。 4．证明函数 在点（0，0）连续但偏导数不存在 . 证明： 记cos ,sin ,x y y r q q ==则(,)(0,0) 0.x y r 而(0,0)0.f = (,)0 lim lim 0.x y r r = 所以 (,)lim 0(0,0),x y f ?== 即z = 在点(0,0)连 续. 然而，00(,0)(0,0) lim x x x x x f f D D -=D 不存在，即(0,0)x f 不存在，同理(0,0)y f 不存在. 5．考察函数 在点（0，0）处的可微性 第一讲 习 题解答 习题1-1 1 计算下列极限 ① ()1lim 11,0p n n p n →∞ ⎡⎤ ⎛⎫+->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 解：原式=()1111110lim lim 110 p p p n n n n n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫ +-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-()()0110lim 0p p n x x →+-+=-()() 01p x x p ='=+= ② () sin sin lim sin x a x a x a →-- 解：原式=()()()()sin sin sin sin lim lim sin x a x a x a x a x a x a x a x a →→---⋅=---=()sin cos x a x a ='= ③ 1x →，,m n 为自然数 解：原式 = 1 1 x x n m →=' == ④ ( ) lim 21,0n n a →∞ > 解：原式( ) () 10 ln 21lim ln 21 1lim ln 1 lim n x n x a e a n n x n e e e →∞ →⎛⎫ ⎪⋅- ⎪ ⎝⎭-→∞ === =()( ) ()()0ln 21ln 21 ln 21lim 2ln 20 x a a x x a a x x e e e a ---→' -==== ⑤ lim ,0x a x a a x a x a →->- 解：原式=lim x a a a x a a a a x x a →-+--lim lim x a a a x a x a a a x a x a x a →→--=---()()x a x a x a a x ==''=-()ln 1a a a =- ⑥ lim ,0x a a x x a x a a a a a x →->- 解：原式lim lim x a x a a x a x x a x a x a x a a a a a x a a x x a a x →→---==⋅---( )lim x a a a a a x a x a x a a a a a x a x a a x →----=⋅ -- 数学分析第五版答案 【篇一：数学分析学习方法档】 >从数学分析开始讲起： 数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的 一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难 的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实 随着课程的深入会一点点容易起来。当大四考研复习再看时会感觉 轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单 的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数 部分 数学分析书： 初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐11，推 荐1，2，7，8。另外建议看一下当不了教材的16，20。 中国人自己写的： 1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒） 应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看 出来。网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。不 少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂， 而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使 用一定有它自己的一些优势。 2《数学分析》华东师范大学数学系著 师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多 的一本书。课本最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。 3《数学分析》陈纪修等著 以上三本是考研用的最多的三本书。 4《数学分析》李成章，黄玉民 是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常 被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系 各门课编写的教材。 5《数学分析讲义》刘玉链 我的数学分析老师推荐的一本书，不过我没有看，最近应该出了新版，貌似是第五？版，最初是一本函授教材，写的应该比较详细易懂。不要因为是函授教材就看不起，事实上最初的函授工作都是由 最好的教授做的。细说就远了，总之可以看看。 6《数学分析》曹之江等著 内蒙古大学数理基地的教材，偏重于物理的实现，会打一个很好的 基础，不会盲目的向n维扩展。适合初学者。国家精品课程的课本。 7《数学分析新讲》张筑生 公认是一本新观点的书，课后没有习题。材料的处理相当新颖。作 者已经去世。 8《数学分析教程》常庚哲，史济怀著 中国科学技术大学教材，课后习题极难。 9《数学分析》徐森林著 和上面一本同出一门，清华大学教材。程度好的同学可以试着看一看。书很厚，看起来很慢。 10《数学分析简明教程》邓东翱著 也是一本可以经常看到的书，作者已经去世。国家精品课程的课本。 《数学分析选论》习题解答 第 一 章 实 数 理 论 １．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明． 证 设数集S 有下确界，且S S ∉=ξinf ，试证： （１）存在数列ξ=⊂∞ →n n n a S a lim ,}{使； （２）存在严格递减数列ξ=⊂∞ →n n n a S a lim ,}{使． 证明如下： （１） 据假设，ξ>∈∀a S a 有,；且ε+ξ<'<ξ∈'∃>ε∀a S a 使得,,0．现依 次取,,2,1,1 == εn n n 相应地S a n ∈∃,使得 ,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n ． 因)(0∞→→εn n ，由迫敛性易知ξ=∞ →n n a lim . （２） 为使上面得到的}{n a 是严格递减的，只要从2=n 起，改取 ,3,2,,1min 1=⎭ ⎬⎫ ⎩⎨⎧+ξ=ε-n a n n n ， 就能保证 ,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n ． □ ２．证明§1.3例６的（ⅱ）． 证 设B A ,为非空有界数集，B A S ⋃=，试证： {}B A S inf ,inf min inf =． 现证明如下． 由假设，B A S ⋃=显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何B x A x S x ∈∈∈或有,，由此推知B x A x inf inf ≥≥或，从而又有 {}{}B A S B A x inf ,inf min inf inf ,inf min ≥⇒≥． 另一方面，对任何,A x ∈ 有S x ∈，于是有 S A S x inf inf inf ≥⇒≥； 同理又有S B inf inf ≥．由此推得 {}B A S inf ,inf min inf ≤． 综上，证得结论 {}B A S inf ,inf min inf =成立． □ ３．设B A ,为有界数集，且∅≠⋂B A ．证明： （１）{}B A B A sup ,sup min )sup(≤⋂； （２）{}B A B A inf ,inf max )(inf ≥⋂． 并举出等号不成立的例子． 证 这里只证（２），类似地可证（１）． 设B A inf ,inf =β=α．则应满足： β≥α≥∈∈∀y x B y A x ,,,有． 于是，B A z ⋂∈∀，必有 {}βα≥⇒⎭ ⎬⎫ β≥α≥,max z z z ， 这说明{}βα,max 是B A ⋂的一个下界．由于B A ⋂亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论{}{}B A B A inf ,inf max inf ≥⋂成立． 上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设 )4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(=⋂⋃==B A B A 则， 这时3)(inf ,0inf ,2inf =⋂==B A B A 而，故得 {}{}B A B A i n f ,i n f m a x i n f >⋂． □ ４．设B A ,为非空有界数集．定义数集 {}B b A a b a c B A ∈∈+==+,， 证明： （１）B A B A sup sup )sup(+=+； （２）B A B A inf inf )(inf +=+． 福师1203考试批次《数学分析选讲》复习题及参考答案 本课程复习题所提供的答案仅供学员在复习过程中参考之用，有问题请到课程论坛提问。 本复习题页码标注所用教材为： 教材名称 单价 作者 版本 出版社 数学分析 41 华东师范大学数学系 第三版 高等教育出版社 如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点 福师1203考试批次《数学分析选讲》复习题及参考答案一 一、（12分）选择题（将符合要求的结论题号，填在题末的括号内，每题至多选两个题号）： 1. 与lim n n x a →∞ =的定义等价的是：（ ） A 、0,ε∀> 总有n x a ε-<； B 、0,ε∀> 至多只有{}n x 的有限项落在(,)a a εε-+之外； C 、存在自然数N ，对0,ε∀>当n N >，有n x a ε-<； D 、0(01),εε∀><<存在自然数N ，对,n N ∀>有n x a ε-<； 答案：B,D 2．下列命题中正确的是：（ ） A 、若函数()f x 在[,]a b 内无界，则()f x 在[,]a b 上不可积； B 、若函数()f x 在[,]a b 上不连续，则()f x 在[,]a b 上不可积； C 、若函数()f x 在[,]a b 上可积，则[ ()]()x a f t dt f x '=⎰ ; D 、若函数()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上也可积，反之不然. 答案：AD 3.函数()f x 在[a,b]上可积的必要条件是( ) A 、有界 B 、连续 C 、单调 D 、存在原函数 答案：A 二、填空题：（共10分，每题2分） 浅析洛必达法则及其应用 摘要：洛必达法则是高等数学中求不定式极限的一种行之有效的简便方法， 大部分未定式极限用洛必达法则求解非常方便，但并非所有的未定式极限都能用 洛必达法则求解，同时有部分非未定式极限也可以考虑用洛必达法则的推广求之。本文主要阐述使用洛必达法则应注意的事项，以及点滴体会。为读者能够较正确 深入，清晰的理解和掌握洛必达法则及其应用，提供一些思路，方法和参考。如 有不当之处，望读者给予批评指正。 关键词:洛必达法则；求极限方法；不定式极限；洛必达法则推广 我们知道，如果在自变量的某一个变化过程中，函数都趋向于零 或无穷大， 这时可能存在，也可能不存在，通常，把这种形式的极限叫做未定式，并分别 记作 或型，洛必达法则就是为解决这类极限而提供的一种行之有效的简便方法。 洛必达法则：（1）当（或）时，都趋向于零 或无穷大；（2）在 的某去心邻域内（或当时），可导，且；（3）存在或为无穷大。则 。 注1：此定理的证明见教材[2] 注2：如果仍为或型，而存在或为无穷大，则 ，以此类推，但在整个求解过程的每一步求导前，都要检查一下是否为或型，切勿乱用。 例1：（不再是未定式，不能再使用洛必达法则，否则将导致错误） 注3：要及时化简极限号后面的分式，尽可能的利用等价代换和已知的几个重要极限。 例2：（利用已知的重要极限） 例3：（虽然极限仍是型未定式，但我们没有接着用洛必达法则，而是利用了等价无穷小量代换，简化了计算过程）（利用已知的重要极限） 注 4：洛必达法则只对或型极限适用，对于其它类型的不定式，应先化成这两种形式之一，再用。 例 4：（此极限是型未定式，应先化成或型，再用洛必达法则） 9373--《数学分析选讲》2022年福建师范大学期末复习题集 单选题： （1）设,则当时,有( ). A.与是等价无穷小 B.与同阶但非是等价无穷小 C.是比高阶的无穷小 D.是比低阶的无穷小 参考选项：B （2）设函数,则是的( ) A.可去间断点 B.第二类间断点 C.跳跃间断点 D.连续点 参考选项：C （3）等于( ). A. B. C. D. 参考选项：B （4）在点处偏导数连续是在该点连续的( )条件. A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 参考选项：A （5）如果级数和均发散,则以下说法正确的是( ). A.一定都收敛 B.一定都发散 C.可能收敛,但一定发散 D.都可能收敛 参考选项：D （6）设,则当时,有( ) A.与是等价无穷小 B.与是同阶但非等价无穷小 C.是比高阶的无穷小 D.是比低阶的无穷小 参考选项：B （7）设函数在处可导,且,则( ) A. B. D. 参考选项：A （8）等于( ) A. B. C. D.. 参考选项：A （9）设在上连续,则等于( ) A. B. C. D. 参考选项：A （10）下列结论正确的是( ). A.若和均发散,则一定发散; B.若发散,发散,则一定发散; C.若发散,发散,则一定发散; D.若收敛,发散,则一定发散. 参考选项：A （11）等于( ) A. B. C. D.. 参考选项：A （12）函数单调增加且图形为凹的区间是( ). A. B. C. D. 参考选项：C （13）设二元函数存在偏导数,则( A.0 B. C. D. 参考选项：A （14）若,则=( ) A. B. C. 《数学分析选讲》课程教学大纲 课程编号：07048 课程名称：数学分析选讲 英文名称：Selected Topics in Mathematical Analysis 课程类型：学科基础 课程要求：必修 学时/学分：32/2 （讲课学时：32 实验学时：0 上机学时：0） 开课学期：6 适用专业：数学与应用数学、信息与计算科学 授课语言：中文 课程网站：超星泛雅平台 一、课程性质与任务 数学分析是高等院校数学与应用数学，信息与计算科学专业的一门重要基础课。掌握数学分析课程的基本理论和方法，对于以后的学习，研究和应用都有决定性作用。同时数学分析也是数学各专业的硕士研究生入学考试的必考科目。由于数学分析的内容多，有一些理论问题和解题的方法与技巧在该门课中不能充分展开，因此在高年级开设这门课十分必要。一部分报考硕士研究生的学生通过这门课的学习受益颇多，并且能够从容的应付研究生的入学考试。对于不考研的学生，通过学习这门课程，加深了对数学分析基本理论与方法的理解，对他们从事今后的工作大有裨益。 二、课程与其他课程的联系 先修课程：无 后续课程：《实变函数》，《复变函数》，《偏微分方程》，《泛函分析》 数学分析是学习后续课程的核心基础课程。 三、课程教学目标 1．通过本课程的学习，使学生获得微积分学等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，同时能够从容的应付研究生的入学考试（支撑毕业要求指标点4.1）2．使学生具有综合运用微积分的理论知识和分析手段对实际问题进行建模、分析和求解的能力，培养学生解决实际问题的能力（支撑毕业要求指标点10.1） 3．培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，还要特别注意综合运用、分析解决实际问题能力的训练，使学生具有一定的国际视野（支撑毕业要求指标点12.2） 四、教学内容、基本要求与学时分配 关于调和级数∑∞ =1 1n n 的发散性的几种简单证明 摘 要：本文主要介绍几种新的方法来证明∑ ∞ =1 1n n 的发散 关键词：∑ ∞ =1 1n n 、发散、证明 中图分类号：O221.2 on Several Simply Methods Proof of The Divergency of ∑ ∞ =1 1n n Yue chunhong College of Mathematics and Computer science, Chongqing Normal university , Chongqing 400047 Abstract : Several new methods to prove to reconcile the divergent sense in this paper Key words : ∑ ∞ =1 1n n ; pivergency; proof 1 引言 调和级数∑ ∞ =1 1n n 在级数中扮演着重要的角色，它通常作为去判断另外一个级数的发散的标准，许多级数的 证明都与它有关。因此，对调和级数的敛散性的研究是非常重要的，尤其对它的证明更是极其重要的。它的发散性的证明在教材和一些参考书中都有所证明。许多的人都在力求寻找新的证明方法。本文在文献[5]中的相关结论下,给出了5种新的证明方法。在通过教材与文献的中相关的内容的启发，得出了另外几种证明方法。 ------------------------------------------------------------------------------------------------ 2 预备知识 下面先给出证明中要用到的相关定理: 定理2.1[] 1 正项级数的基本定理： 若正项级数的部分和数列无上界，则此级数发散到+∞。 数学建模方法与分析部分习题解答第三版 P38 题2 2(a) 第一步：提出问题 变量：x1=蓝鲸的数量 x2=长须鲸的数量 r1=蓝鲸种群的内禀增长率 r2=长须鲸种群的内禀增长率 K1=蓝鲸的最大可生存的种群数量 K2=长须鲸的最大可生存的种群数量 a1=竞争对蓝鲸的影响 a2=竞争对长须鲸的影响 t=时间（年） Q=鲸鱼总数 假设: dx1dt=r1*x1(1-x1/K1)-a1*x1*x2 dx2dt=r2*x2(1-x2/K2)-a2*x1*x2 x1>=0 x2>=0 dx1dt>=0 dx2dt>=0 Q=x1+x2 目标：求在满足约束条件下Q的最大值 第二步：建立模型 五步法和有约束的最优化模型 第三步：推导模型公式 设目标函数为 y=f(x1, x2)=x1+x2 约束条件为 dx1dt=r1*x1(1-x1/K1)-a1*x1*x2>=0 dx2dt=r2*x2(1-x2/K2)-a2*x1*x2>=0 x1>=0 x2>=0 即求解y满足以上条件的最大值 第四部：求解模型 由y=f(x1, x2)=x1+x2 得▽f=(1, 1) 由 g1=0.05*x1*(1-x1/150000)-10^(-8)*x1*x2 g2=0.08*x2*(1-x2/400000)-10^(-8)*x1*x2 得 ▽g1(x1, x2)=(1/20 - x2/100000000 - x1/1500000, -x1/100000000)▽g2(x1, x2)=(-x2/100000000, 2/25 - x2/2500000 - x1/100000000) 设λ1, λ2为拉格朗日乘子，则在极值点满足▽f＝λ1*▽g1+λ2*▽g2 带入解得 Matlab求解 clc; clear; syms x1x2w v g1=0.05*x1*(1-x1/150000)-10^(-8)*x1*x2 g11=diff(g1,x1) g12=diff(g1,x2) g2=0.08*x2*(1-x2/400000)-10^(-8)*x1*x2 g21=diff(g2,x1) g22=diff(g2,x2) s=solve(w*g11+v*g21-1,w*g12+v*g22-1,g1,g2) λ1= -20.6522 λ2= -12.3567 无穷级数部分练习题参考解答 1、 判断级数 ()() 3 1 ln ln ln p q n n n n ∞ =∑的敛散性. 解：考察反常积分 ()() 3 ln ln ln p q dx x x x +∞⎰ () ln3 ln t x e q p dt t t =+∞=⎰ 当1p >时，取充分小的0ε>，使1p ε->，则有()1lim 0ln p q p t t t t ε -→+∞ =，从而() ln3ln q p dt t t +∞⎰收敛. 当1p <时，取充分小的0δ>，使1p δ+<，则有() 1lim ln p q p t t t t δ +→+∞ =+∞，从而()ln3ln q p dt t t +∞⎰发散. 当1p =时， () ln3 ln ln3ln u t e q q dt dt u t t = +∞+∞ =⎰ ⎰，知1q >时，()ln3ln q dt t t +∞⎰ 收敛，1q ≤时()ln3ln q dt t t +∞⎰发散. 又显然函数()()() 1 ln ln ln p q f x x x x = 在()3,+∞上非负递减，于是由积分判别法知：当1p >或1p =且1q >时 级数收敛，其余情况级数发散. 2、讨论级数 11 1 (1)n p n n -∞ +=-∑ 的敛散性，如果收敛，讨论是绝对收敛还是条件收敛. 解：当0p ≤时，通项不趋于零，发散；当1p >时，111p p n n n +<，原级数绝对收敛；当01p <≤时，1 1(1) n p n n -∞=-∑收 敛，11n n 单调有界，由Abel 判别法知原级数收敛. 又 1 1 (1)lim 11n p n n p n n -+→∞ -=，知111 (1)n p n n n -∞ +=-∑ 发散. 故原级数条件收敛. 3、已知12 21 (1)12n n n π-∞ =-=∑，计算10ln(1)x dx +⎰. 解：函数ln(1)x +在0x =点的Taylor 级数为123(1)ln(1)23n n x x x x x n --+=-+-++ ，(1,1)x ∈- 112ln(1)(1)123n n x x x x x n --+-=-+-++ ，123222 0ln(1)(1)23n n x t x x x dt x t n -+-=-+-++⎰ 1 0ln(1)x dx x +⎰1232222011ln(1)(1)lim lim 1223n n x x x t x x x dt x t n π-→→+-⎛⎫==-+-++= ⎪⎝⎭⎰ . 4、证明（1）方程10n x nx +-=（n 为正整数）存在唯一正实根n x ；（2）级数 1 n n x α∞ =∑当1α>时收敛. 证：（1）令()1n n f x x nx =+-,[]0,1x ∈ 则()01n f =-，()10n f n =>，∴()0n f x =在()0,1内有根n x . 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords ............................................................................................. 1. 0刖言 (1) 1直接利用公式进行计算 (1) 2利用积分曲面的对称性进行计算 (3) 3利用两类曲面积分之间的联系进行计算 (6) 4利用高斯公式进行计算 (6) 参考文献 (9) 姓名：李亚平学号：20105031272 探讨第二型曲面积分的计算方法 数学与信息科学学院数学与应用数学专业 指导老师：张萍职称：讲师 摘要：本文总结了有关第二类曲面积分的几种算法，对每种计算方法均配以典型例题加以诠释. 关键词：曲面积分；二重积分；投影区域；高斯公式• The application of symmetry to the calculation of curvilinear integral and camber integral Abstract:Some theorems and methods for simplifying curvilinear integral and camber integral calculations by means of symmetry have been introduced in this essay. And the proves of theorems is also in cluded Key Words：symmetry；curvilinear integral；camber integral; gauss formula. 0刖言 众所周知，第二型曲面积分的计算比较繁琐，但是若能分类，利用曲面的对称性、两类曲面积分之间的联系、高斯公式、图形结合等方法系统的来解答第二型曲面积分，有时候就能使第二型曲面积分的计算相对简单、易懂，故此篇文章就第二型曲面积分的几种常见计算方法为中心进行展开讨论. 1利用公式直接进行计算 大家知道，若R x, y,z在光滑有向曲面匕：z二zx,y,x,y・D X y上连续，则 !! R x, y, z dxdy存在，且有计算公式： Z ..Rx,y,zd xdy- ..Rx,y,zx,y dxdy (1) —Dxy 其中D xy表示三在xOy面上的投影区域，当曲面取上侧时⑴的右端取“ +”号，取下侧时 1 本教材习题和参考答案及部分习题解答 第四章 4.1已知物体内一点的六个应力分量为： 50x a σ=，0y σ=，30z a σ=-，75yz a τ=-，80zx a τ=，50xy a τ= 试求法线方向余弦为112n =，122 n = ，3n 的微分面上的总应力T 、正应力n σ和 剪应力n τ。 解：应力矢量T 的三个分量为 11106.57i i T n a σ==，228.033T a =-，318.71T a =- 总应力111.8T a 。 正应力26.04n i i T n a σ==。 剪应力108.7n a τ。 4.2过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为n 和m ，在这两个面上的应力矢量分别为1T 和2T ，试证12⋅=⋅T m T n 。 证：利用应力张量的对称性，可得 12()()ij i j ji i j n m n m σσ⋅=⋅⋅===⋅⋅=⋅T m n σm m σn T n 。证毕。 4.3某点的应力张量为 01211210x xy xz yx y yz y zx zy z στττστσττσ=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求y σ及该平面的单位法向矢量。 解：设要求的单位法向矢量为i n ，则按题意有 0ij j n σ= 即 2320n n +=，1230y n n n σ++=，1220n n += (a) 上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得 2(22)0y n σ-= 上式有两个解：20n =或1y σ=。若20n =，则代入式(a)中的三个式子，可得 1n =30n =，这是不可能的。所以必有1y σ=。将1y σ=代入式(a)，利用1i i n n =， 第1章 误差理论 1-1 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，试指出它们是具有几 位有效数字的近似数，并确定***123x x x ++和***12 3x x x 的误差限。 * * * 1231.1021, 0.031, 385.6x x x === 解：*** 123,,x x x 分别具有的有效数字的位数为：5, 2, 4 由已知条件可得：* 151 ()0.5100.00005x η-=⨯= * 122* 34 3 ()0.5100.0005 ()0.510 0.05 x x ηη---=⨯==⨯= 则：******1 23123()()()()0.05055x x x x x x ηηηη++=++= ********* 123123231******** 12332231** *******123231 31 2 ()||()||() ||[||()||()]||() ||()||()||()0.2148 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ηηηηηηηηη=+=++=++= 1-2 已测得某场地长L 的值*110m L =，宽d 的值*80m d =，已知： *||0.2m L L -≤，*||0.1m d d -≤，试求面积S Ld =的绝对误差 限和相对误差限。 解：由已知可得：*()0.2m L η=，*()0.1m d η=，则： *******2******()()||()||()27m ()()|()||0.307% r S L d L d d L S S S S L d ηηηηηηη==+===≈ 另解：*** ********()()||0.00182 ()()||0.00125 ()()()()0.307% r r r r r r L L L d d d S L d L d ηηηηηηηη=≈=≈==+≈ 1-3 若**1.1062,0.947a b ==都是经四舍五入后得到的近似值，问： ****,a b a b +有几位有效数字？ 解：由已知得： *15()0.5100.00005a η-=⨯=，*03()0.5100.0005b η-=⨯= 并且有：*1.12a <<，*0.941b << 从而有：**2.043a b <+<，**1.0342a b << 因此****,a b a b +的规格化指数m 均为1。另一方面： ****2()()()0.000550.0050.510a b a b ηηη-+=+=<=⨯ ******2()||()||()0.00060.0050.510a b a b b a ηηη-=+≈<=⨯ 由于2,1m l m -=-=，从而3l = 所以****,a b a b +都具有3位有效数字。 1-4 4.3 4.27 4.270 4.2697 1-5 求x ，使3.141和3.142作为x 的近似值都具有4位有效数字。 解：由已知可得： 14 14 |3.141|0.5100.0005 |3.142|0.5100.0005 x x --⎧-≤⨯=⎪⎨-≤⨯=⎪⎩ 即准确值x 所在的区间为： 3.1405 3.1415x ≤≤且3.1415 3.1425x ≤≤ 因此准确值为： 3.1415x =第34章部分习题解答
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