判定等差数列的几种方法

浙江省永康市古山中学（321307）吴汝龙

经常有一类题目，我们必须先判断是何种数列，然后利用此类数列的性质进行解题，其中等差数列是我们最主要的数列之一，因此，我们应该掌握如何判断一个数列是否是等差数列，判断一个数列是否是等差数列，一般有以下五种方法：

1．定义法：d a a n n =-+1（常数）（+∈N n ）}{n a ?是等差数列。

2．递推法：212+++=n n n a a a （+∈N n ）}{n a ?是等差数列。

3．性质法：利用性质来判断。

4．通项法：q pn a n +=（

q p ,为常数）}{n a ?是等差数列。 5．求和法：Bn An S n +=2（B A ,为常数，n S 为}{n a 的前n 项的和）}{n a ?是等差数列。

其中4、5两种方法主要应用于选择、填空题中，在解答题中判断一个数列是否是等差数列，一般用1、2、3这三种方法，而方法3还经常与1、2混合运用。下面举例说明如何判断一个数列是等差数列。

例1：已知a 1，b 1，c 1成等差数列，则a

c b +，b c a +，c b a +是否也成等差数列？并说明你的理由。解1：∵a 1，b 1，c 1成等差数列，∴b

c a 211=+，即)(2c a b ac += ∴b

c a c a b c a ac c a b c a ac b a a c b c c b a a c b )(2)()(2)()()(222+=++=+++=+++=+++ ∴a

c b +，b c a +，c b a +也是等差数列。解2：∵

a 1，

b 1，

c 1成等差数列，∴a c b a ++，b c b a ++，c c b a ++也成等差数列，即1++a c b ，1++b c a ，1++c b a 也是等差数列，故a

c b +，b c a +，c b a +也是等差数列。评析：上面的解法1是利用递推法，解法2是利用性质来判断。例2：设数列}{n a 中，11=a ，且1

222-=n n n S S a （2≥n ），证明数列}1{n S 是等差数列，并求n S 。解：由已知1222

1-=--n n n n S S S S ，去分母得212))(12(n n n n S S S S =---，112--=-n n n n S S S S ，两边同除以1-n n S S ，得2111=--n n S S ，∴}1{n

S 是以11111==a S 为首项，以2为公差的等差数列，故 122)1(111

-=?-+=n n S S n （2≥n ）。

经验证1=n 时也成立，所以1

21-=n S n （+∈N n ）。评析：上面的解法是利用定义法。例3：设数列}{n a 的前n 项和为n S ，若对于所有的自然数n ，都有2

)(1n n a a n S +=，证明}{n a 是等差数列。（1994年高考题）

解：当2≥n 时，2)

(1n n a a n S +=，2)

)(1(111--+-=n n a a n S 两式相减：2)

)(1(2)(1111--+

--+=-=n n n n n a a n a a n S S a （1） ∴2)

(2))(1(1111n n n a a n a a n a +

-++=++ （2）

（2）－（1）：2)

)(1()(2)

)(1(111111-+++-++-++=-n n n n n a a n a a n a a n a a

整理得11-++=-n n n n a a a a （2≥n ）

∴1211a a a a a a n n n n -=???=+=--+，∴数列}{n a 是等差数列。评析：此题的解法是利用递推法。

高三数学公开课教案,等差数列的证明与判定

等差数列及其前n 项和（二）什邡中学数学组廖美重点：等差数列的判定与证明. 难点：①如何选择恰当的方法来证明或者判定等差数列； ②证明或者判定过程中如何根据已知条件化简. 教学目标：教会学生掌握简单的等差数列的证明与判定方法. 相关知识点： 1.证明等差数列的方法 ①定义法：d n d a a n d a a n n n n )(2()1(11≥=-≥=--+或为常数） ②等差中项法： )2(2)1(21112≥=+≥=+-+++n a a a n a a a n n n n n n 或 2．判定等差数列的方法 ①定义法：d n d a a n d a a n n n n )(2()1(11≥=-≥=--+或为常数） ②等差中项法： )2(2)1(21112≥=+≥=+-+++n a a a n a a a n n n n n n 或 ③通项公式法：是常数）b a b an a n ,(+= ④前n 项和公式法：是常数）b a bn an S n ,(2+= 例1.在数列{}n a 中，),2.(12,53*11N n n a a a n n ∈≥-==-,数列{}n b 满足1 1-=n n a b )(*N n ∈ （1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 中的最大项和最小项，并说明理由.

训练1.（01天津，2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2 n S n =，则{}n a 是（） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列训练2.数列{}n a 中，),2(112.1,2*1 121N n n a a a a a n n n ∈≥+===-+，则其通项公式为=n a _________. 训练3.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31=a ，点),(1+n n S S 在直线11+++= n x n n y （)*N n ∈上. (1)求证：数列? ???? ?n S n 是等差数列； (2)求n S .

考点1 等差数列的判定与证明

考点2 等差数列的判定与证明 1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥． 2.等差数列的通项公式已知等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，求n a ．由等差数列的定义：21a a d -=，32a a d -=，43a a d -=，…… ∴21a a d =+，3212a a d a d =+=+，413a a d =+，…… 所以，该等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-． 3.等差中项若a ，b ，c 三个数按这个顺序排列成等差数列，那么b 叫a ，c 的等差中项 4.等差数列的前n 项和公式 2)(1n n a a n S += 2)1(1d n n na S n -+= 公式二又可化成式子： n )2d a (n 2d S 12n -+= ，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式 5. 性质：等差数列{an}中，公差为d ，若d ＞0，则{an}是递增数列；若d=0，则{an}是常数列；若d ＜0，则{an}是递减数列． {}（）是等差数列，若1a m n p q n +=+ ?+=+a a a a m n p q ?+=+==+--+a a a a a a n n r n r 1211… （）若，，成等差数列，，，也成等差数列。2p q r a a a p q r {}（）公差为的等差数列中，其子系列，，，…也32d a a a a m N n k k m k m ++∈() 成等差数列，且公差为md 。 {}（）公差为的等差数列中，连续相同个数的项的和也成等差数列，4d a n 即，，，…也成等差数列，其公差为。S S S S S m d m m m m m 2322-- 6. 充要条件的证明：

(完整版)等差数列专题

等差数列专题一、等差数列知识点回顾与技巧点拨 1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －m )d ＝p . 3．等差中项如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，如果A 是x 和 y 的等差中项，则A ＝x ＋y 2 . 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N * )． (2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N * )． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N * )是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n . (6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd 2 ；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 5．等差数列的前n 项和公式若已知首项a 1和末项a n ，则S n ＝n a 1＋a n 2，或等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其前n 项和公式为S n ＝na 1＋n n －1 2 d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2n 2＋? ????a 1－d 2n ，数列{a n }是等差数列的充要条件是S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．最值问题在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值，若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n 项和公式： S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，① S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，② ①＋②得：S n ＝n a 1＋a n 2 . 两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元． (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．四种方法等差数列的判断方法 (1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数；

证明或判断等差(等比)数列的常用方法

证明或判断等差（等比）数列的常用方法湖北省王卫华玉芳翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢且听笔者一一道来．一、利用等差（等比）数列的定义在数列 {} n a 中，若 1n n a a d --=（d 为常数）或 1 n n a q a -=（q 为常数），则数列{}n a 为等差（等比）数列．这是证明数列{}n a 为等差（等比）数更最主要的方法．如：例1．（2005北京卷）设数列{}n a 的首项114a a =≠，且11 214 n n n a n a a n +???=??+??为偶数为奇数，记211 1234 n n b a n -=-=，，，，…．（Ⅰ）求23a a ，；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论．解：（Ⅰ）213211111 44228a a a a a a =+=+==+，；（Ⅱ）43113428a a a =+=+，所以54113 2416 a a a ==+，所以1123351111111144424444b a a b a a b a a ????=- =-=-=-=-=- ? ????? ，，，猜想：{}n b 是公比为 1 2 的等比数列．证明如下：因为121221111111()424242 n n n n n b a a a b n *++-??=-=-=-=∈ ???N ，所以{}n b 是首项为14a - ，公比为1 2 的等比数列．评析：此题并不知道数列{}n b 的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法。

等差数列与等比数列的证明方法

等差数列与等比数列的证明方法证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。一、定义法 01.证明数列是等差数列的充要条件的方法： {}1()n n n a a d a +-=?常数是等差数列 {}2222()n n n a a d a +-=?常数是等差数列 {}3333()n n n a a d a +-=?常数是等差数列 02.证明数列是等差数列的充分条件的方法： {}1(2)n n n a a a d n --=≥?是等差数列 {}11(2)n n n n n a n a a a a +--=-≥?是等差数列 03.证明数列是等比数列的充要条件的方法： {}1 (00)n n n a q q a a +=≠≠?1且为常数，a 为等比数列 04.证明数列是等比数列的充要条件的方法： 1 n n a q a -=（n>2，q 为常数且≠0）{}n a ?为等比数列注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有 1 n n a q a -== （常数0≠）；②

n *∈N 时，有 1 n n a q a +== （常数0≠）．例1. 设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0。证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有 1223111 111n n n n a a a a a a a a +++++= 。证明：先证必要性设{}n a 为等差数列，公差为d ，则当d =0时，显然命题成立当d ≠0时， ∵ 111111n n n n a a d a a ++?? =- ??? 再证充分性： ∵ 122334 111 a a a a a a ++???1111n n n n a a a a ++++= ?? ………① ∴ 122334 111 a a a a a a ++???11212111n n n n n n a a a a a a ++++++++= ??? ………② ②﹣①得： 121211 11n n n n n n a a a a a a +++++=- ??? 两边同以11n n a a a +得：112(1)n n a n a na ++=+- ………③ 同理：11(1)n n a na n a +=-- ………④ ③—④得：122()n n n na n a a ++=+ 即：211n n n n a a a a +++-=- {}n a 为等差数列例2. 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，试证}{n a 为等差数列的充要条件是

证明或判断等差数列常用方法

证明或判断等差（等比）数列的常用方法湖北省王卫华玉芳翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？且听笔者一一道来．一、利用等差（等比）数列的定义 {b n } 的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法。例 2 ．（ 2005 山东卷）已知数列 { a n } 的首项 a 1 5 ，前 n 项和为 S n ，且 S n 1 2S n n 5（n N ）（Ⅰ）证明数列 {a n 1} 是等比数列；（Ⅱ）略．在数列 {a n } 中，若 a n a n 1 d 为常数）或 a n a n 1 为常数），则数列 {a n } 为等差（等比）数列．这是证明数列 {a n } 为等差（等比）数更最主要的方法．如：例 1．（2005北京卷）设数列 { a n }的首项 a1 a 1 ，且 a n 1 1 4 n 1 1 1 a n n 为偶数 2n 1 a n n 为奇数 n 4 记 b n a 2n 1 14 ， n 1，2，3， 4 Ⅰ）求 a 2，a 3 ；（Ⅱ）判断数列 { b n } 是否为等比数列，并证明你的结论．解：（Ⅰ） a 2 a 1 （Ⅱ） Q a 4 a 3 1 所以 b 1 a 1 1 a 1 1 4 1 1， 1 1 1 ； a a 3 a 2 a 4 4 3 2 2 2 8 1 1 3 ，所以 a 5 1 1 3 a a 4 a 4 2 8 2 4 4 16 1 猜想： { b n } 是公比为的等比数列． n 2 证明如下：因为 b n 1 1 1 a ， b 3 a 5 2 4 3 1 1 1 a 2n 1 4 2 2n 1 4 所以 {b n } 是首项为 a 1 ，公比为 1 的等比数列． 42 评析：此题并不知道数列 11 4 ， b 2 a 3 4 11 a 2n 1 a 2 n 42 1 1 1 a ， 4 4 4 12 b n ，（n N ）

等差数列的判定方法

判断一个数列为等差数列的方法一．定义法 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d （1）R d ∈ （2）公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；（3）对于数列{n a },若n a －1-n a =d (常数，n ≥2，n ∈N + ），或者1+n a －n a =d (常数，n ≥1，n ∈N + ）则此数列是等差数列，d ——此方法可以求d 或者证明该数列是等差数列，即n a －1-n a =d (常数，n ≥2，n ∈N + ）?{}n a 为等差数列（1）2,4,6,8，...，2（n-1）,2n ； (2)1,1,2,3，...，n 例1 在数列{}n a 中，n n n a a a 22,111+==+ 设,21 -= n n n a b 证明{}n b 是等差数列; [解析] 由已知n n n a a 221+=+得 11222221 11 +=+=+==-++n n n n n n n n n b a a a b ，又111==a b ∴{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列。例2 存不存在02 x π << ，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．【解析】不存在；否则有(cos sin )(cos sin ) cos sin cot tan sin cos x x x x x x x x x x -+-=-=，则cos sin 0x x -=或者cos sin 1sin cos x x x x +=．若cos sin 0x x -=，有4 x π =．而此时1,122不成等差数列；若cos sin 1sin cos x x x x +=，有2(sin cos )12sin cos x x x x =+．解得有sin cos 1x x = 而11 sin cos sin 2(0,]22 x x x =∈，矛盾！

高考数学题型全归纳：判定等差数列的方法(含答案)

判定等差数列的方法本文介绍判定等差数列的方法、目的在于深刻理解等差数列的定义、灵活运用有关知识、为解有关数列的综合题奠定基础、那么怎样判定等差数列呢？一、定义法如果一个数列{a n}满足a n+1－a n＝常数、则这个数列叫做等差数列、据此定义、要证数列是等差数列、只需证明a n+1－a n＝常数、这种方法叫做定义法、例1 已知数列{a n}是等差数列、而数列{b k}的通项公式为证明设数列{a n}的公差为d、则有二、通项公式法大家知道、等差数列{a n}的通项公式为a n＝a1＋(n－1)d、反之如果数列{a n}的通项公式为a n＝a1＋(n－1)d、则数列{a n}是等差数列、这样、数列{a n}为等差数列的充分必要条件是a n＝a1＋(n－1)d、因此通项公式也是判定等差数列的好方法、求证：数列{b n}是等差数列、

证明设等比数列{a n}的公比是q、由a n＞0知q＞0、于是三、等差中项法三数a、A、b成等差数列、即2A＝a＋b、A叫a、b等差中项、反之、若2A＝a＋b、则a、A、b成差数列、因此、我们常用后一结论来判定等差数列、例3 已知x、y、z成等差数列、求证x2(y＋z)、y2(x＋z)、z2(x＋y)也成等差数列、证明∵x2(y＋z)＋z2(x＋y) ＝x2y＋x2z＋z2x＋z2y ＝x2y＋z2y＋xz(x＋z) ＝x2y＋z2y＋2yxz(∵2y＝x＋z) ＝y(x2＋z2＋2xz)＝4y3、而2y2(x＋z)＝2y2·(2y)＝4y3、 ∴x2(y＋z)＋y2(x＋y)＝2y2(z＋x)、故x2(y＋x)、y2(z＋x)、z2(x＋y)也成等差数列、有些数列题需要根据上面的方法证明所给数列是等差数列后、再求解、至于证明时选用哪个方法、应因题而异、解因为数列的第k项

3.如何判断一个数列是等差数列

知识点归纳判断或证明数列是等差数列的方法有： ()1定义法：1n n a a +-=常数（*n N ∈）?{}n a 为等差数列；【注】①求出的常数即为公差d ; ②n 的范围,1,n n n N a a * +∈- 12,n n n a a -≥- ()2中项公式法：122n n n a a a ++=+（*n N ∈）?{}n a 为等差数列； ()3通项公式法：n a pn q =+（*n N ∈） n （关于的“一次函数”）?{}n a 为等差数列； ()4前n 项求和法：2n S An Bn =+（*n N ∈）（缺常数项的“二次函数”）?{}n a 为等差数列；例1 ()1在数列{}n a 中,111 1,22,2n n n n n n a a a a b +-==+= ,证明:数列{}n b 是等差数列. ()2已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1120n n n n S S S S ---+?=()2n ≥，证明:1n S ?? ? ??? 为等差数列. 例2 已知正项数列}{n a () ,0n n N a *∈>的前n 项和为n S ,满足1n a =+, 求证: {}n a 为等差数列. 例 3 已知数列}{n a 的通项公式是21n n a =-,若数列 {} n b 满足 ()121114441n n b b b b n a ---=+L (n N *∈),证明: {}n b 是等差数列. 练习: 1. 已知数列{}n a 是等差数列，则使{}n b 为等差数列的数列是( ) （A ）n n a b = （B ）n n a b 1= （C ）n n a b -= （D ）2 n n a b = 2. 已知为等差数列{}n a 的前项和，. 求证：数列是等差数列.

等差数列与等比数列的证明方法

等差数列与等比数列的证明方法高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。一、定义法 10.证明数列是等差数列的充要条件的方法： a n 1 a n d （常数）a n 是等差数列 a 2n 2 a 2n d （常数） a 2n 是等差数列 a sn 3 a 3n d （常数） a 3n 是等差数列 20 .证明数列是等差数列的充分条件的方法： a n a n [ d （n 2）為是等差数列 a n 1 a n a n a n 1（n 2）寺是等差数列 30.证明数列是等比数列的充要条件的方法： q （q 0且为常数，a 1 0） a n 为等比数列 a n 40 .证明数列是等比数列的充要条件的方法： a n a n 1 必须加上“ n > 2”否则n 1时a o 无意义，等比中一样有: （常数0 ）；②门N 时，有也 a n 1 n 。 a n a n 1 a 1a n 1 证明：先证必要性注意事项：用定义法时常米用的两个式子 a n a n 1 d 和a 1 a n d 有差别，前者例1.设数列a i ,a 2, |||,an,|||中的每一项都不为 0。证明：a n 为等差数列的充分必要条件是：对任何 n N ，都有 a n q （n>2, q 为常数且工0） a n 为等比数列 n > 2时，有旦 a n 1 a i a 2 a 2a 3

设｛a n｝为等差数列，公差为d,则

当d =0时，显然命题成立 1 1 ________ 1_ a i a n 1 d a n a n 1 再证充分性: ②-①得: 1 a n 1 S n 2 Si a n 2 a 1 a n 同理：a 1 na n (n 1)a n 1 例2.设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，试证｛a n ｝为等差数列的充要条件是证：）若｛a n ｝为等差数列，则 1 "fl 1 —■ 1 十 I -------- 21幻丿也aj 1 a 日引 fl + — I L 祗 ^IH-1 fl. a i a 2 a ? a 3 a 3 a 4 1 a n a n 1 n a l a n 1 a 1 a 2 a 2 a 3 1 a 3 a 4 1 a n a n 1 1 S n 1 S n 2 a 1 41 2 两边同以a n a n 131 得: (n 1)a n 1 na ③—④得：2n a n 1 n(a n a n 2) 艮卩.a n 2 a n1 a n1 a n a n 为等差数列 S n n(a1 2 ^, (n N *)。

如何判断一个数列是等差数列

一轮复习如何判断一个数列是等差数列知识点归纳判断或证明数列是等差数列的方法有： ()1定义法：1n n a a +-=常数（*n N ∈）?{}n a 为等差数列；【注】①求出的常数即为公差d ; ②n 的范围,1,n n n N a a * +∈- 12,n n n a a -≥- ()2中项公式法：122n n n a a a ++=+（*n N ∈）?{}n a 为等差数列； ()3通项公式法：n a pn q =+（*n N ∈） n （关于的“一次函数”）?{}n a 为等差数列； ()4前n 项求和法：2n S An Bn =+（*n N ∈）（缺常数项的“二次函数”）?{}n a 为等差数列；例1 ()1在数列{}n a 中,1111,22,2 n n n n n n a a a a b +-==+= ,证明:数列{}n b 是等差数列. ()2已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1120n n n n S S S S ---+?=()2n ≥，证明:1n S ?? ???? 为等差数列. 例2 已知正项数列}{n a () ,0n n N a *∈>的前n 项和为n S ,满足1n a =+, 求证: {}n a 为等差数列. 例 3 已知数列}{n a 的通项公式是21n n a =-,若数列 {} n b 满足 ()12111 4441n n b b b b n a ---=+(n N *∈),证明: {}n b 是等差数列. 练习: 1. 已知数列{}n a 是等差数列，则使{}n b 为等差数列的数列是( ) （A ）n n a b = （B ）n n a b 1= （C ）n n a b -= （D ）2 n n a b = 2. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=N n n S b n n . 求证：数列{}n b 是等差数列.

等差数列的判断方法

等差数列的判断方法徐福贵（吉林省东辽县职业高中）我们虽然知道什么是等差数列，但对于等差数列的判断还没有很好的方法。本人根据多年教学实践总结出了一系列等差数列的判断方法，对于等差数列又有了更深的认识。定理1 已知数列{ a}的通项n a，若n a－1n a-的差是一个与n 无关 n 的常数，则数列{ a}为等差数列（证明略） n 推论1 若数列{ a}的通项n a为常数，则{n a}为等差数列，且公差 n 为0。（证明略）。推论2数列{ a}的通项n a是关于项数n的一次函数，则数列{n a} n 是等差数列，且公差为一次项的系数（证明略）定理2 若{ a}的通项n a既不是常数，也不是关于项数n的一次函 n 数，则数列{ a}不是等差数列（证明略） n 定理3 已知数列{ a}的前n项和n S为0 ，则数列{n a}为等差数 n 列证明数列{ a}的前n项和n S为0， n ∴此数列为0,0, 0，---, 0,---， ∴数列{ a}为等差数列。 n 定理4 已知数列{ a}的前n项和n S，若n S是关于项数n的一次函 n 数，且常数项为0，则数列{ a}是等差数列，且公差为0。 n 证明： S是关于项数n的一次函数，且常数项为0，设n S＝An n （A为常数，且A≠0）

∴当n ≥2时，n a ＝n S －1n S -=An －A(n －1)=A, ∴n a －1n a -=0（n ≥2）又1a ＝1S =A, 2212a S S A A A =-=-=, ∴2110()n n a a a a n N -+-=-=∈ ∴数列{n a }是等差数列，且公差为0。定理5 已知数列{n a }的前n 项和n S ，若n S 是关于项数n 的二次函数，且常数项为0，则数列{n a }是等差数列，且公差为二次项系数的2倍。证明： n S 是关于项数n 的二次函数，且常数项为0，设 2(0n S An Bn A =+≠）。当n ≥2时，n a ＝n S －1n S - ＝Ａ2n +Bn －Ａ(n －１)2－Ｂ（n －１）＝２Ａn+B －Ａ( n ≥2) ∴2...n a a a ３，，...，，为等差数列，公差为２A 。又1a ＝1S ＝Ａ+Ｂ，221a S S =- =４Ａ+２Ｂ－Ａ－Ｂ =３Ａ+Ｂ 212a a A -=。∴数列{n a }是等差数列，且公差为二次项系数的2倍。定理６若数列{n a }的前n 项和n S ≠０，且n S 既不是关于项数n 的一次函数，也不是关于项数n 的二次函数，则数列{n a }不是等差数列（证明略）

等差数列求和的几种方法

数列求和的几种情形 11()(1)22 n n n a a n n S na d +-==+ ()-n m n d =-m a a 一、分组法例1 求11357(1)(21)n n S n -=-+-+ +--. 变式练习1：已知数列{}n a 的前n 项和250n S n n =-，试求：（1）n a 的通项公式; （2）记n n b a =，求{}n b 的前n 项和n T

二、倒序相加 ()1112()()n n n n n S a a a a a a =++++ ++个 1()n n a a =+ 1()2 n n n a a S += 例2 求2222o o o o sin 1+sin 2+sin 3+.......sin 89 三、错位相减 11n n a a q -= 11(1)(01)n n n a a q a q S q q --==≠≠且1-q 1-q 例3 21123(0)n n S x x nx x -=+++ +≠ 变式练习3（1）已知数列{}n a 的通项.2n n a n =，求其n 项和n S

（2）已知数列{}n a 的通项()121.3n n a n ??=- ??? ，求其n 项和n S 四、裂项相消例4 已知数列1{},n n a a =的通项公式为求前n 项和.n （n+1）变式练习4:（1） 1111132435(2) n n ++++????+.

（2）求数列 , (1) 1,...,321,321,211+++++n n 的前n 项和n S }{() ()()()}{1111,,21152. n n n n a a a a n n n a -==+≥-在数列中，写出数列的前项；求数列的通项公式已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

3.如何判断一个数列是等差数列

一轮复习 19---------如何判断一个数列是等差数列知识点归纳判断或证明数列是等差数列的方法有： ()1定义法：1n n a a +-=常数（*n N ∈）?{}n a 为等差数列；【注】①求出的常数即为公差d ; ②n 的范围,1,n n n N a a *+∈- 12,n n n a a -≥- ()2中项公式法：122n n n a a a ++=+（*n N ∈）?{}n a 为等差数列； ()3通项公式法：n a pn q =+（*n N ∈） n （关于的“一次函数”）?{}n a 为等差数列； ()4前n 项求和法：2n S An Bn =+（*n N ∈）（缺常数项的“二次函数”）?{}n a 为等差数列；例1 ()1在数列{}n a 中,1111,22,2n n n n n n a a a a b +-==+=,证明:数列{}n b 是等差数列. ()2已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1120n n n n S S S S ---+?=()2n ≥，证明:1n S ?????? 为等差数列. 例2 已知正项数列}{n a () ,0n n N a *∈>的前n 项和为n S ,满足1n a =+, 求证: {}n a 为等差数列. 例3已知数列}{n a 的通项公式是21n n a =-,若数列 {}n b 满足()121114441n n b b b b n a ---=+ (n N *∈),证明: {}n b 是等差数列. 练习: 1. 已知数列{}n a 是等差数列，则使{}n b 为等差数列的数列是( ) （A ）n n a b = （B ）n n a b 1= （C ）n n a b -= （D ）2n n a b = 2. 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，)(+∈= N n n S b n n . 求证：数列{}n b 是等差数列. 3. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，)(+∈=N n pna S n n ，.21a a = ⑴求常数p 的值； ⑵求证：数列{}n a 是等差数列.

浅谈等差数列的判定方法

浅谈等差数列的判定方法陕西省定边县安边中学数学组王广青鉴于学生对判定等差数列存在的盲点，本文主要介绍几种常见的判定等差数列的方法，分别是：定义法，中项公式法，通项公式法和前n 项和公式法。通过这些方法的介绍和例题的讲解，使学生深刻理解等差数列的定义，灵活运用各种方法，为解决有关数列的综合问题奠定基础．（一）定义法如果一个数列{}n a 满足1n n a a +-=p （p 为常数，1,n n N +≥∈），则这个数列叫做等差数列．据此定义，要证明数列是等差数列，只需证明1n n a a +-=常数，这种方法叫做定义法．例1 已知数列{}n a 是等差数列，而数列{}n b 的通项公式为 12...()n n a a a b n N n ++++=∈,求证数列{}n b 也是等差数列。证明设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n s ，则有 n 1n(n-1)s 2 na d =+， ∴1211...1()222 n n a a a n d d b a d n a n +++-==+=+- 因此数列{}n b 是首项为12d a -，公差为2d 的等差数列. 例 2 已知数列{}n a 是等差数列，n b 34n a =+，证明数列{}n b 是等差数列。证明：因为数列是{}n a 等差数列，设等差数列{}n a 的公差为d （d 为常数）即1n n a a d +-= ，所以111(34)(34)3()3n n n n n n b b a a a a d +++-=+-+=-=

所以数列 { bn }是等差数列（二）通项公式法如果数列{}n a 满足(,)n a kn b k b =+为常数（n N +∈），则数列{} n a 是等差数列。即(,)n a kn b k b =+为常数?{}n a 是等差数列，也就是说{}n a 是关于n 的一次函数，则{}n a 一定是等差数列，这里n 就是等差数列的公差。反之等差数列{}n a 都可以写成关于n 的一次函数，因此通项公式也是判定等差数列的好方法．例 2 已知数列{}n a 满足n a 6n k k =+（为常数），求证数列{}n a 是等差数列。分析：这道题就可以根据定义法进行证明，1n n a a +-是不是等于一个常数，如果是，则这个常数就是等差数列的公差。证明由题意知，等差数列{}n a 满足n a 6n k k =+（为常数），则根据定义法16(1)66n n a a n k n k +-=++--=（常数），所以{}n a 就是以6为公差的等差数列，反之证明也成立。（三）中项公式法三数a ，C ，b 成等差数列，即2C ＝a ＋b ，C 叫a ，b 等差中项．反之，若2C ＝a ＋b ，则a ，C ，b 成差数列．因此，我们常用这一结论来判定是否是等差数列．有些数列题需要根据上面的方法证明所给数列是等差数列后，再进行求解．至于证明时选用哪个方法，因题而异．例 3 已知a 、b 、c 成等差数列，求证：b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 也成等差数列．证因为a 、b 、c 成等差数列所以2b=a ＋c 即(b ＋c)＋(a ＋b)＝a ＋2b ＋c

判定等差数列的几种方法

判定等差数列的几种方法浙江省永康市古山中学（321307）吴汝龙经常有一类题目，我们必须先判断是何种数列，然后利用此类数列的性质进行解题，其中等差数列是我们最主要的数列之一，因此，我们应该掌握如何判断一个数列是否是等差数列，判断一个数列是否是等差数列，一般有以下五种方法： 1．定义法：d a a n n =-+1（常数）（+∈N n ）}{n a ?是等差数列。 2．递推法：212+++=n n n a a a （+∈N n ）}{n a ?是等差数列。 3．性质法：利用性质来判断。 4．通项法：q pn a n +=（ q p ,为常数）}{n a ?是等差数列。 5．求和法：Bn An S n +=2（B A ,为常数，n S 为}{n a 的前n 项的和）}{n a ?是等差数列。其中4、5两种方法主要应用于选择、填空题中，在解答题中判断一个数列是否是等差数列，一般用1、2、3这三种方法，而方法3还经常与1、2混合运用。下面举例说明如何判断一个数列是等差数列。例1：已知a 1，b 1，c 1成等差数列，则a c b +，b c a +，c b a +是否也成等差数列？并说明你的理由。解1：∵a 1，b 1，c 1成等差数列，∴b c a 211=+，即)(2c a b ac += ∴b c a c a b c a ac c a b c a ac b a a c b c c b a a c b )(2)()(2)()()(222+=++=+++=+++=+++ ∴a c b +，b c a +，c b a +也是等差数列。解2：∵ a 1， b 1， c 1成等差数列，∴a c b a ++，b c b a ++，c c b a ++也成等差数列，即1++a c b ，1++b c a ，1++c b a 也是等差数列，故a c b +，b c a +，c b a +也是等差数列。评析：上面的解法1是利用递推法，解法2是利用性质来判断。例2：设数列}{n a 中，11=a ，且1 222-=n n n S S a （2≥n ），证明数列}1{n S 是等差数列，并求n S 。解：由已知1222 1-=--n n n n S S S S ，去分母得212))(12(n n n n S S S S =---，112--=-n n n n S S S S ，两边同除以1-n n S S ，得2111=--n n S S ，∴}1{n S 是以11111==a S 为首项，以2为公差的等差数列，故 122)1(111 -=?-+=n n S S n （2≥n ）。

(完整版)等差、等比数列的判断和证明

等差、等比数列的判断和证明一、 1、等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即)2,*(1≥∈=--n N n d a a n n 且.(或)*(1N n d a a n n ∈=-+). 2、等差数列的判断方法： ①定义法：)(1常数d a a n n =-+?{}a n 为等差数列。 ②中项法：等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且 2 a b A += 。 a a a n n n 212+++=?{}a n 为等差数列。 ③通项公式法：等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。公式变形为:b an a n +=. 其中a=d, b= a 1－d. b an a n +=（a,b 为常数）?{}a n 为等差数列。 ④前n 项和公式法：等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1) 2 n n n S na d -=+。公式变形为Sn=An 2+Bn 其中A= 2 d ，B=2 1d a - . Bn n A s n +=2（A,B 为常数）?{}a n 为等差数列。 3.等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。（3）对称性：若{}a n 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a += (4) ①项数成等差,则相应的项也成等差数列.即),,...(,,*2N m k a a a m k m k k ∈++成等

证明数列是等差或等比数列的方法(完整资料).doc

此文档下载后即可编辑一、证明或判断数列为等差数列的方法 1.定义法在数列{}n a 中，若d a a n n =--1（d 为常数），则数列{}n a 为等差数列例：已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，3 21=a ，且满足 2 1 1322++=+n n n a S S （*N n ∈）证明：数列{}n a 是等差数列证明：由211322++=+n n n a S S 得21132)(2++=++n n n n a S a S 整理得121234++-=n n n a a S 则n n n a a S 23421-=- 两式相减得n n n n n a a a a a 223341221+--=++ n n n n a a a a 22331221+=-++ 因为{}n a 是正项数列，所以01>++n n a a 所以()231=-+n n a a ，即3 21= -+n n a a 所以{}n a 是首项为3 2，公差为3 2的等差数列 2.等差中项法 212{}n n n n a a a a +++=?是等差数列例：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11=a ，62=a ，113=a ，且 1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+=L ，，，，，其中A 、B 为常数（1）求A 与B 的值（2）证明数列{}n a 是等差数列

解：（1）因为11=a ，62=a ，113=a ，所以1231718S S S ===，，把1=n ，2=n 分别代入()()B An S n S n n n +=+--+25851 得B A +=?-?-1773 B A +=?-?2712182 解得：20-=A ，8-=B （2）由（1）知()()82025851--=+--+n S n S n n n 整理得()82028511--=---++n S S S S n n n n n 即82028511--=--?++n S S a n n n n ① 又()()81202815122-+-=--++++n S S a n n n n ② ②-①得()20285151212-=--?-+++++n n n n a a a n a n 即()()20253512-=+--++n n a n a n ③ 又()()20752523-=+-+++n n a n a n ④ ④-③得()()0225123=+-++++n n n a a a n 所以02123=+-+++n n n a a a 所以5231223=-==-=-++++a a a a a a n n n n Λ，又 512=-a a 所以数列{}n a 是首项为1，公差为5的等差数列 3.看通项与前n 项和法（注：这些结论适用于选择题填空题）（1）若数列通项n a 能表示成b an a n +=（a ，b 为常数）的形式，则数列{}n a 是等差数列；（2）若数列{}n a 的前n 项和n S 能表示成bn an S n +=2（a ，b 为常数）的形式，则数列{}n a 是等差数列例：若n S 是数列{}n a 的前n 项和，2n S n =，则{}n a 是（） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，也是等比数列 D.既不是等差数列，也不是等比数列解析：根据（2）知{}n a 等差数列，不是等比数列二、证明或判断数列为等比数列的方法 1.定义法