2018届高三数学二轮复习专题六解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线课件理
福建省福清市高考数学二轮复习专题六解析几何第二讲椭圆、双曲线、抛物线课件
(3)由题意可
知,双曲线
������2 5
−
���4���2=1
的一个焦点和一个顶点的坐标分别为
(3,0),( 5,0),
设椭圆 C 的方程是������������22 + ������������22=1(a>b>0),则 a=3,c= 5,b=2.所以椭圆 C 的
方程为������2
9
+
���4���2=1.
第二讲 椭圆、双曲线、抛物线
圆锥曲线与方程 (1)了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中 的作用. (2)掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. (3)了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程.知道它们的简单的几何 性质.
1.椭圆的标准方程和几何性质
标准方 程
答案:(1)x2-���4���2=1 (2z)D (3)���9���2 + ���4���2=1
考点1 考点2 考点3
考点1 考点2 考点3
(3)若涉及直线过圆锥曲线的焦点弦问题,一般利用圆锥曲线的定义去 解决.
考点1 考点2 考点3
考点 1
圆锥曲线的定义及标准方程
例 1 下列各题:
(1)(2015 江苏宿迁高三第一次摸底,7)在平面直角坐标系 xOy 中,若双
曲线的渐近线方程是 y=±2x,且经过点( 2,2),则该双曲线的方程
是
.
7.直线与圆锥曲线的相交弦长问题 (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线有两个公共点 M(x1,y1),N(x2,y2),可结合 韦达定理,代入弦长公式
|MN|= (������2-������1)2 + (������2-������1 )2 = 1 + ������2|x1-x2|
2018届高三数学二轮复习 第一篇 专题突破 专题六 解析几何刺 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线第2课时 圆锥曲线
16
故|AP|·|PQ|的最大值为 2 7 .
16
方法归纳
求解范围、最值问题的常见方法 解决有关范围、最值问题时,先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、 斜率等),建立目标函数,然后利用函数的有关知识和方法求解. (1)利用判别式构造不等式,从而确定参数的取值范围; (2)利用已知参数的取值范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在 两个参数之间建立相等关系; (3)利用隐含的不等关系,从而求出参数的取值范围; (4)利用已知不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围; (5)利用函数值域的求法,确定参数的取值范围.
第2课时 圆锥曲线中的综合问题
总纲目录
考点一 定点问题 考点二 定值问题 考点三 最值、范围问题 考点四 探索性问题
考点一 定点问题
证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程,根据方
程的成立与参数值无关得出x,y的方程组,以方程组的解为坐标的点就
是直线所过的定点.典型例题
(2017课标全国Ⅰ理,20,12分)已知椭圆C: ax 22 + by 22 =1(a>b>0),四点P1(1,1),
(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.
由题设可知Δ=16(4k2-m2+1)>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=- 4 8k k2,xm1x1 2=
.4 m 2 4
4k2 1
而k1+k2= y 1 +1 y 2 1
x1
x2
= kx1 + m 1 kx2 m 1
因此m=4.
∴直线AB的方程为x=ty+4,∴直线AB过定点(4,0).
2018年高考数学(理)二轮复习 讲学案：考前专题六 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线(含答案解析)
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率)． 2．以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)． (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．例1 (1)(2016·天津)已知双曲线x 24－y 2b2＝1 (b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案 D解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b 4＋b2，即第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b2，2b 4＋b 2.由双曲线和圆的对称性，得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b2，4b4＋b 2，故8×4b 4＋b 2＝2b ，得b 2＝12. 故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x 答案 C解析 如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设||BF ＝a ，则由已知得||BC ＝2a ，由抛物线定义，得||BD ＝a ，故∠BCD ＝30°，在Rt△ACE 中， ∵||AE ＝|AF |＝3，||AC ＝3＋3a ，∴2||AE ＝||AC ，即3＋3a ＝6，从而得a ＝1，||FC ＝3a ＝3.∴p ＝||FG ＝12||FC ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．跟踪演练1 (1)已知双曲线过点()2，3，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，则双曲线的标准方程是( ) A.7x 216－y212＝1 B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x223＝1 答案 C解析 根据题意，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，则可设其方程为y 23－x 2＝λ()λ≠0.又由其过点()2，3，则有323－22＝λ，解得λ＝－1，则双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C. (2)△ABC 的两个顶点为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则C 点轨迹方程为( ) A.x 216＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.y 216＋x 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) 答案 D解析 ∵△ABC 的两顶点A (－4,0)，B (4,0)，周长为18，∴|AB |＝8，|BC |＋|AC |＝10.∵10>8，∴点C 到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆．∴2a ＝10,2c ＝8，即a ＝5，c ＝4，∴b ＝3.∴C 点的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．故选D.热点二 圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．例2 (1)(2017届河北省衡水中学押题卷)已知双曲线C 1: x 22－y 2＝1与双曲线C 2: x 22－y 2＝－1，给出下列说法，其中错误的是( ) A ．它们的焦距相等 B ．它们的焦点在同一个圆上 C ．它们的渐近线方程相同 D ．它们的离心率相等 答案 D解析 由题意知C 2：y 2－x 22＝1，则两双曲线的焦距相等且2c ＝23，焦点都在圆x 2＋y 2＝3上，其实为圆与坐标轴的交点．渐近线方程都为y ＝±22x .由于实轴长度不同，故离心率e ＝ca不同．故选D.(2)已知双曲线M ：x 2a2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，||F 1F 2＝2c .若双曲线M 的右支上存在点P ，使asin∠PF 1F 2＝3csin∠PF 2F 1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，2＋73B.⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋73C.()1，2D.(]1，2答案 A解析 根据正弦定理可知，sin∠PF 1F 2sin∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|，所以|PF 2||PF 1|＝a 3c ，即|PF 2|＝a 3c|PF 1|,||PF 1||－PF 2＝2a ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 3c ||PF 1＝2a ，解得||PF 1＝6ac 3c －a ，而||PF 1>a ＋c ，即6ac3c －a>a ＋c ，整理得3e 2－4e －1<0 ，解得2－73<e <2＋73 .又因为离心率e >1，所以1<e <2＋73，故选A.思维升华 (1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．跟踪演练2 (1)(2017届株洲一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1为左焦点，A 为右顶点， B 1，B 2分别为上、下顶点，若F 1，A ，B 1，B 2四点在同一个圆上，则此椭圆的离心率为( ) A.3－12 B.5－12 C.22D.32答案 B解析 由题设圆的半径r ＝a ＋c2，则b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a －a ＋c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22，即a 2－c 2＝ac ⇒e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52，故选B.(2)已知双曲线C: x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0, b >0)的焦距为2c ，直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0且与双曲线C 的一条渐近线垂直，以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l 交于M, N 两点，若||MN ＝423c ，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±4x答案 B解析 由题意可设渐近线方程为y ＝b ax ，则直线l 的斜率k l ＝－a b，直线方程为y ＝－a b ⎝⎛⎭⎪⎫x －23a ，整理可得ax ＋by －23a 2＝0.焦点()c ，0到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2a 2＋b 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2c，则弦长为2c 2－d 2＝2c 2－⎝⎛⎭⎪⎫ac －23a 22c 2＝423c ，整理可得c 4－9a 2c 2＋12a 3c －4a 4＝0， 即e 4－9e 2＋12e －4＝0，分解因式得()e －1()e －2()e 2＋3e －2＝0.又双曲线的离心率e >1，则e ＝c a＝2，所以b a ＝c 2－a 2a 2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－1＝3， 所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x . 故选B.热点三 直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．(2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．例3 如图，已知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，1为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的点，且a 2＋b 2＝5.过点P 的动直线与圆F ：x 2＋y 2＝a 2＋1相交于A ，B 两点，过点P 作直线AB 的垂线与椭圆E 相交于点Q . (1)求椭圆E 的离心率； (2)若|AB |＝23，求|PQ |.解 (1)由题意知，64a 2＋1b 2＝1，a 2＋b 2＝5，a >b >0，解得a 2＝3，b 2＝2， 所以椭圆E 的离心率e ＝a 2－b 2a 2＝ 3－23＝33. (2)依题知圆F 的圆心为原点，半径r ＝2，||AB ＝23， 所以原点到直线AB 的距离为d ＝r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＝22－⎝⎛⎭⎪⎫2322＝1， 因为点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫62，1，所以直线AB 的斜率存在，设为k . 所以直线AB 的方程为y －1＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －62， 即kx －y －62k ＋1＝0， 所以d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－62k 1＋k2＝1，解得k ＝0或k ＝2 6.①当k ＝0时，此时直线PQ 的方程为x ＝62， 所以||PQ 的值为点P 的纵坐标的两倍， 即||PQ ＝2×1＝2；②当k ＝26时，直线PQ 的方程为y －1＝－126⎝⎛⎭⎪⎫x －62，将它代入椭圆E 的方程x 23＋y 22＝1，消去y 并整理，得34x 2－106x －21＝0， 设Q 点坐标为()x 1，y 1，所以62＋x 1＝10634， 解得x 1＝－7634，所以||PQ ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1262⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－62＝3017.思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．跟踪演练3 (2017届百校大联考全国名校联盟联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，233在椭圆C 上， ||PF 2＝433，过点F 1的直线l 与椭圆C 分别交于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)若△OMN 的面积为1211，O 为坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，1a 2＋43b 2＝1，()－1－c 2＋43＝4 33，解得a ＝3，b ＝2，c ＝1，故所求椭圆的方程为x 23＋y 22＝1，离心率为e ＝c a ＝33.(2)当直线MN 与x 轴垂直时， ||MN ＝433，此时S △MON ＝233不符合题意，舍去；当直线MN 与x 轴不垂直时，设直线MN 的方程为y ＝k ()x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，y ＝k ()x ＋1，消去y 得()2＋3k 2x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.设M ()x 1，y 1，N ()x 2，y 2， 则x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2，所以||MN ＝()1＋k 2[]()x 1＋x 22－4x 1x 2＝()1＋k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 22＋3k 22－4×3k 2－62＋3k 2 ＝48()k 2＋12()2＋3k 22＝43()k 2＋12＋3k 2， 原点O 到直线MN 的距离为d ＝||k 1＋k2，所以三角形的面积S △OMN ＝12||MN d＝12×||k 1＋k2×43()k 2＋12＋3k 2，由S △OMN ＝1211，得k 2＝3，故k ＝±3，所以直线l 的方程为y ＝3()x ＋1或y ＝－3()x ＋1.真题体验1．(2017·全国Ⅱ改编)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为________． 答案 2解析 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ， 圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2，得圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.由点到直线的距离公式，得|2b |a 2＋b2＝3，解得b 2＝3a 2.所以双曲线C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2. 2．(2017·全国Ⅱ改编)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为________． 答案 2 3解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)． 联立方程组⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝－233或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2 3.∵点M 在x 轴的上方，∴M (3,23)． ∵MN ⊥l ，∴N (－1,23)． ∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4， |MF |＝|MN |＝3－(－1)＝4. ∴△MNF 是边长为4的等边三角形． ∴点M 到直线NF 的距离为2 3.3．(2017·北京)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________.答案 2解析 由双曲线的标准方程知，a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ，故双曲线的离心率e ＝c a＝1＋m ＝3， ∴1＋m ＝3，解得m ＝2.4．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________． 答案 y ＝±22x 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，∴y 1＋y 2＝2pb 2a2.又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ，∴2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，∴b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 押题预测1．(2017届江西师范大学附属中学模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且AF 2→＝13F 2B →，则该双曲线的离心率为( )A.62B.52C. 3 D ．2押题依据 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点． 答案 A解析 由F 2()c ，0到渐近线y ＝b ax 的距离为d ＝bc a 2＋b2＝b ，即||AF 2→＝b ，则||BF 2→＝3b . 在△AF 2O 中， ||OA →||＝a ，OF 2→＝c ，tan∠F 2OA ＝b a ， tan∠AOB ＝4b a ＝2×ba 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，化简可得a 2＝2b 2，即c 2＝a 2＋b 2＝32a 2，即e ＝c a ＝62，故选A.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在该椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为627，求圆心在原点O 且与直线l相切的圆的方程．押题依据 椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注．解 (1)由题意可得e ＝c a ＝12，又a 2＝b 2＋c 2， 所以b 2＝34a 2.因为椭圆C 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， 所以1a 2＋9434a 2＝1，解得a ＝2，所以b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x 24＋y23＝1消去x ，得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t2， 所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝36t 2(4＋3t 2)2＋364＋3t 2＝12t 2＋14＋3t2， 所以S △AOB ＝12·|F 1O |·|y 1－y 2|＝6t 2＋14＋3t 2＝627， 化简得18t 4－t 2－17＝0， 即(18t 2＋17)(t 2－1)＝0， 解得t 21＝1，t 22＝－1718(舍去)．又圆O 的半径r ＝|0－t ×0＋1|1＋t 2＝11＋t 2， 所以r ＝22，故圆O 的方程为x 2＋y 2＝12.A 组 专题通关1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析 由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.2．(2017届汕头模拟)若椭圆x 236＋y 216＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( )A ．36B ．16C ．20D ．24答案 B解析 设||PF 1||＝m ，PF 2＝n ，则m 2＋n 2＝4()36－16＝80，即()m ＋n 2－2mn ＝80.又m ＋n ＝2×6＝12，∴mn ＝32，S △PF 1F 2＝12mn ＝16，故选B.3. (2017届常德一模)已知抛物线C: y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，弦AB 的中点M 到抛物线C 的准线的距离为5，则直线l 的斜率为( ) A ．±22 B ．±1 C ．±63D ．±62答案 C解析 由题意知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为y ＝k ()x －1，点A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2， 线段AB 的中点为M ()x 0，y 0. 由⎩⎨⎧y ＝k ()x －1，y 2＝4x ，得k 2x 2－()2k 2＋4x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.又因为弦AB 的中点M 到抛物线C 的准线的距离为5，所以x 1＋x 22＋p 2＝x 1＋x 22＋1＝5，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝8，解得k 2＝23，所以k ＝±63，故选C.4.(2017·河南省豫北重点中学联考)如图， F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若||AB ∶|BF 1|∶|AF 1|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( ) A.13 B ．3 C. 5 D ．2答案 A解析 设||AB ＝3x ，||BF 1||＝4x ，AF 1＝5x ，所以△ABF 1是直角三角形．因为||BF 2||－BF 1＝2a ，所以||BF 2||＝BF 1＋2a ＝4x ＋2a, ||AF 2＝x ＋2a .又||AF 1||－AF 2＝2a ，即5x －x －2a ＝2a ，解得x ＝a ，又||BF 22＋||BF 12＝4c 2，即()4x ＋2a 2＋()4x 2＝4c 2，即()4a ＋2a 2＋()4a 2＝4c 2，解得c 2a2＝13，即e ＝13，故选A.5．(2017·全国Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________. 答案 6解析 如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ， ∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)， |FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2，∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3， 故|FN |＝2|MF |＝6.6．(2017·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．答案233解析 如图，由题意知点A (a,0)，双曲线的一条渐近线l 的方程为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0， ∴点A 到直线l 的距离d ＝aba 2＋b2. 又∠MAN ＝60°，|MA |＝|NA |＝b ， ∴△MAN 为等边三角形， ∴d ＝32|MA |＝32b ，即ab a 2＋b2＝32b ，∴a 2＝3b 2， ∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝233. 7．(2017·泉州质检)椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的离心率为32， F 1，F 2是C 的两个焦点，过F 1的直线l 与C 交于A ，B两点，则||AF 2||＋BF 2的最大值为______． 答案 7解析 因为离心率为32，所以a 2－1a ＝32⇒a ＝2，由椭圆定义得||AF 2＋||BF 2＋||AB ＝4a ＝8， 即||AF 2＋||BF 2＝8－||AB .而由焦点弦性质知，当AB ⊥x 轴时，||AB 取最小值2×b 2a＝1，因此||AF 2||＋BF 2的最大值为8－1＝7.8．一动圆与圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，则动圆圆心的轨迹方程为________________． 答案x 225＋y 216＝1解析 两定圆的圆心和半径分别是O 1(－3,0)，r 1＝1；O 2(3,0)，r 2＝9.设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，则由题设条件， 可得|MO 1|＝R ＋1，|O 2M |＝9－R . ∴|MO 1|＋|MO 2|＝10>|O 1O 2|＝6.由椭圆的定义知，点M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上， 且2a ＝10,2c ＝6，∴b 2＝16. ∴动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.9．(2017届唐山模拟)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，且离心率为32. (1)求椭圆Γ的方程；(2)设点M 在x 轴上的射影为点N ，过点N 的直线l 与椭圆Γ相交于A, B 两点，且NB →＋3NA →＝0，求直线l 的方程． 解 (1)由已知可得3a 2＋14b 2＝1, a 2－b 2a ＝32，解得a ＝2, b ＝1，所以椭圆Γ的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由已知N 的坐标为()3，0，当直线l 斜率为0时，直线l 为x 轴，易知NB →＋3NA →＝0不成立． 当直线l 斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋3， 代入x 24＋y 2＝1，整理得()4＋m 2y 2＋23my －1＝0，设A ()x 1，y 1， B ()x 2，y 2，则y 1＋y 2＝－23m4＋m2， ① y 1y 2＝－14＋m2， ② 由NB →＋3NA →＝0，得y 2＝－3y 1，③由①②③解得m ＝±22. 所以直线l 的方程为x ＝±22y ＋3， 即y ＝±2()x －3.10.如图所示，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，动点T (－1，m )，过F 作TF 的垂线交抛物线于P ，Q 两点，弦PQ 的中点为N .(1)证明：线段NT 平行于x 轴(或在x 轴上)； (2)若m ＞0且|NF |＝|TF |，求m 的值及点N 的坐标．(1)证明 易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，动点T (－1，m )在准线上，则k TF ＝－m 2.当m ＝0时，T 为抛物线准线与x 轴的交点，这时PQ 为抛物线的通径，点N 与焦点F 重合，显然线段NT 在x 轴上． 当m ≠0时，由条件知k PQ ＝2m，所以直线PQ 的方程为y ＝2m(x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2m(x －1)，得x 2－(2＋m 2)x ＋1＝0，Δ＝[－(2＋m 2)]2－4＝m 2(4＋m 2)＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，可知x 1＋x 2＝2＋m 2，y 1＋y 2＝2m(x 1＋x 2－2)＝2m .所以弦PQ 的中点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋m 22，m ，又T (－1，m )，所以k NT ＝0，则NT 平行于x 轴．综上可知，线段NT 平行于x 轴(或在x 轴上)． (2)解 已知|NF |＝|TF |，在△TFN 中，tan∠NTF ＝|NF ||TF |＝1⇒∠NTF ＝45°，设A 是准线与x 轴的交点，则△TFA 是等腰直角三角形，所以|TA |＝|AF |＝2， 又动点T (－1，m )，其中m ＞0，则m ＝2. 因为∠NTF ＝45°，所以k PQ ＝tan 45°＝1， 又焦点F (1,0)，可得直线PQ 的方程为y ＝x －1. 由m ＝2，得T (－1,2)， 由(1)知线段NT 平行于x 轴，设N (x 0，y 0)，则y 0＝2，代入y ＝x －1，得x 0＝3， 所以N (3,2)．B 组 能力提高11.(2017·长沙市长郡中学模拟)2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线．已知圆锥的高为PH, AB 为地面直径，顶角为2θ，那么不过顶点P 的平面与PH 夹角π2>a >θ时，截口曲线为椭圆；与PH 夹角a ＝θ时，截口曲线为抛物线；与PH 夹角θ>a >0时，截口曲线为双曲线．如图，底面内的直线AM ⊥AB ，过AM的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB 的交点为C ，可知AC 为长轴．那么当C 在线段PB 上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为( ) A ．圆的部分B ．椭圆的部分C ．双曲线的部分D ．抛物线的部分答案 D解析 如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点Q 到焦点F 的距离等于半长轴a ，但短短轴的端点Q 到直线AM 的距离也是a ，即说明短轴的端点Q 到定点F 的距离等于到定直线AM 的距离，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选D. 12．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F ()1，0，离心率为22，过点F 的动直线交M 于A, B 两点，若x 轴上的点P ()t ，0使得∠APO ＝∠BPO 总成立(O 为坐标原点)，则t 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－ 2 D. 2答案 B解析 在椭圆中c ＝1, e ＝c a ＝22，得a ＝2，b ＝1，故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.设A ()x 1，y 1， B ()x 2，y 2，由题意可知，当直线斜率不存在时， t 可以为任意实数；当直线斜率存在时，可设直线方程为y ＝k ()x －1，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k()x －1，x 22＋y 2＝1，得()1＋2k 2x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2， x 1x 2＝2k 2－21＋2k2，使得∠APO ＝∠BPO 总成立，即使得PF 为∠APB 的角平分线， 即直线PA 和PB 的斜率之和为0， 即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0， ①由y 1＝k (x 1－1), y 2＝k ()x 2－1，代入①整理得2x 1x 2－()t ＋1()x 1＋x 2＋2t ＝0，由根与系数的关系，可得4k 2－41＋2k 2－()t ＋14k21＋2k 2＋2t ＝0，化简可得t ＝2，故选B.13．(2017·武汉调研)已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点，直线PQ 过原点O 与MN 平行，且与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2||MN ＝________.答案 2 2解析 方法一 特殊化，设MN ⊥x 轴， 则||MN ＝2b 2a ＝22＝2，||PQ 2＝4,||PQ 2||MN ＝42＝2 2.方法二 由题意知F (－1,0)，当直线MN 的斜率不存在时，|MN |＝2b 2a ＝2，|PQ |＝2b ＝2，则|PQ |2|MN |＝22；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的斜率为k ，则MN 方程为y ＝k (x ＋1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0. 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，则|MN |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝22(k 2＋1)2k 2＋1. 直线PQ 的方程为y ＝kx ，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 22＋y 2＝1，解得x 2＝21＋2k 2，y 2＝2k 21＋2k2，则|OP |2＝x 2＋y 2＝2(1＋k 2)1＋2k2，又|PQ |＝2|OP |，所以|PQ |2＝4|OP |2＝8(1＋k 2)1＋2k 2，∴|PQ |2|MN |＝2 2. 14．(2017·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，△EFA 的面积为b 22.(1)求椭圆的离心率；(2)设点Q 在线段AE 上，|FQ |＝3c2，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c . ①求直线FP 的斜率； ②求椭圆的方程．解 (1)设椭圆的离心率为e . 由已知可得12(c ＋a )c ＝b22.又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0，即2e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1或e ＝12.又因为0<e <1，所以e ＝12.所以椭圆的离心率为12.(2)①依题意，设直线FP 的方程为x ＝my －c (m >0)，则直线FP 的斜率为1m.由(1)知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为x 2c ＋yc ＝1，即x ＋2y －2c ＝0，与直线FP 的方程联立， 可得x ＝(2m －2)c m ＋2，y ＝3cm ＋2，即点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫(2m －2)c m ＋2，3c m ＋2.由已知|FQ |＝3c2，有⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2m －2)c m ＋2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c m ＋22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22，整理得3m 2－4m ＝0，所以m ＝43(m ＝0舍去)，即直线FP 的斜率为34.②由a ＝2c ，可得b ＝3c ，故椭圆方程可以表示为x 24c 2＋y 23c2＝1.由①得直线FP 的方程为3x －4y ＋3c ＝0，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋3c ＝0，x 24c 2＋y 23c 2＝1，消去y ，整理得7x 2＋6cx －13c 2＝0，解得x ＝－13c 7(舍去)或x ＝c .因此可得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，3c 2，进而可得|FP |＝(c ＋c )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22＝5c 2，所以|PQ |＝|FP |－|FQ |＝5c 2－3c2＝c .由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP . 因为QN ⊥FP ，所以|QN |＝|FQ |·tan∠QFN ＝3c 2×34＝9c8，所以△FQN 的面积为12|FQ ||QN |＝27c232.同理△FPM 的面积等于75c232.由四边形PQNM 的面积为3c ，得75c 232－27c232＝3c ，整理得c 2＝2c .又由c >0，得c ＝2. 所以椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.。
高三数学二轮复习 专题六第二讲 椭圆、双曲线、抛物线课件 新人教A版 新人教A版共74页文档
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
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高三数学二轮复习 专题六第二讲 椭圆、 双曲线、抛物线课件 新人教A版 新人
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21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
(广东专用)高考数学二轮复习 专题六 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线配套课件 理
B.y2＝6x
C.y2＝3x
D.y2＝ x
3
A
18
解析 如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1， BB1⊥l于B1，
由抛物线的定义知， |AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|， ∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|， ∴∠BCB1＝30°，∴∠A1AF＝60°. 连接A1F，则△A1AF为等边三角形，
考 情
常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有
解 时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，
读 考查分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力
等，属于中、高档题，一般难度较大．
A
3
主干知识梳理 圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称 椭圆 双曲线 抛物线
|PF1|＋ ||PF1|－ |PF|＝|PM|， 定义 |PF2|＝2a |PF2||＝2a 点F不在直
∠F1PF2＝π3，则 e 等于(
5
5
A. 2
B.2
6
C. 2
D.3
) 思维启迪
在△F1F2P中利用余弦 定理列方程，然后利用 定义和已知条件消元；
A
21
解析 设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2， 焦距为2c，|PF1|＝m，|PF2|＝n，且不妨设m>n， 由m＋n＝2a1，m－n＝2a2得m＝a1＋a2，n＝a1－a2.
15
解析
∵椭圆的离心率为 23，∴ac＝
a2－b2＝ 3， a2
∴a＝2b.∴椭圆方程为x2＋4y2＝4b2. ∵双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，
∴渐近线 x±y＝0 与椭圆 x2＋4y2＝4b2 在第一象限的
交点为2
【精选】高考数学二轮复习专题六解析几何6.2椭圆双曲线抛物线课件理
5．(2017·广东省综合测试)设 A，B 分别为双曲线ax22－by22＝1(a>0， b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为 4 3，焦点到渐近线的距离 为 3.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线 y＝ 33x－2 与双曲线的右支交于 M，N 两点，且在 双曲线的右支上存在点 D，使O→M＋O→N＝tO→D，求 t 的值及点 D 的 坐标．
这样可以避免讨论和烦琐的计算． 对于ax22＋by22＝1 和ax22－by22＝1 来说，抓住 a、b、c 间的关系是关 键．
1．已知椭圆中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，P(2， 3)是
椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为( ) A.x82＋y62＝1 B.1x62 ＋y62＝1 C.x82＋y42＝1 D.1x62 ＋y42＝1
解析：(1)由题意知 a＝2 3，
又∵一条渐近线为 y＝bax，即 bx－ay＝0. ∴由焦点到渐近线的距离为 3，得 b|b2＋c| a2＝ 3. 又∵c2＝a2＋b2， ∴b2＝3，∴双曲线的方程为1x22 －y32＝1.
(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)， 则 x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0. 将直线方程 y＝ 33x－2 代入双曲线方程1x22 －y32＝1 得 x2－16 3x ＋84＝0，
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
2018年高考数学理二轮复习 讲学案：考前专题六 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 含答案 精品
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率)． 2．以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)． (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．例1 (1)(2016·天津)已知双曲线x 24－y 2b2＝1 (b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案 D解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b 4＋b2，即第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b2，2b 4＋b 2.由双曲线和圆的对称性，得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b2，4b4＋b2，故8×4b4＋b 2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x 答案 C解析 如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设||BF ＝a ，则由已知得||BC ＝2a ，由抛物线定义，得||BD ＝a ，故∠BCD ＝30°，在Rt △ACE 中，∵||AE ＝|AF |＝3，||AC ＝3＋3a ，∴2||AE ＝||AC ，即3＋3a ＝6，从而得a ＝1，||FC ＝3a ＝3.∴p ＝||FG ＝12||FC ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式． (2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．跟踪演练1 (1)已知双曲线过点()2，3，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，则双曲线的标准方程是( )A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D.3y 223－x223＝1答案 C解析 根据题意，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，则可设其方程为y 23－x 2＝λ()λ≠0.又由其过点()2，3，则有323－22＝λ，解得λ＝－1，则双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C.(2)△ABC 的两个顶点为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则C 点轨迹方程为( ) A.x 216＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0)C.y 216＋x 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) 答案 D解析 ∵△ABC 的两顶点A (－4,0)，B (4,0)，周长为18，∴|AB |＝8，|BC |＋|AC |＝10.∵10>8，∴点C 到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆．∴2a ＝10,2c ＝8，即a ＝5，c ＝4，∴b ＝3.∴C 点的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y≠0)．故选D.热点二 圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2.2．双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．例2 (1)(2017届河北省衡水中学押题卷)已知双曲线C 1: x 22－y 2＝1与双曲线C 2: x 22－y 2＝－1，给出下列说法，其中错误的是( ) A ．它们的焦距相等 B ．它们的焦点在同一个圆上 C ．它们的渐近线方程相同 D ．它们的离心率相等 答案 D解析 由题意知C 2：y 2－x 22＝1，则两双曲线的焦距相等且2c ＝23，焦点都在圆x 2＋y 2＝3上，其实为圆与坐标轴的交点．渐近线方程都为y ＝±22x .由于实轴长度不同，故离心率e ＝c a不同．故选D.(2)已知双曲线M ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，||F 1F 2＝2c .若双曲线M 的右支上存在点P ，使a sin ∠PF 1F 2＝3csin ∠PF 2F 1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，2＋73B.⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋73C.()1，2D.(]1，2答案 A解析 根据正弦定理可知，sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|，所以|PF 2||PF 1|＝a 3c ，即|PF 2|＝a 3c|PF 1|,||PF 1||－PF 2＝2a ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 3c ||PF 1＝2a ，解得||PF 1＝6ac 3c －a ，而||PF 1>a ＋c ，即6ac3c －a >a ＋c ，整理得3e 2－4e －1<0 ，解得2－73<e <2＋73. 又因为离心率e >1，所以1<e <2＋73，故选A.思维升华 (1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．跟踪演练2 (1)(2017届株洲一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1为左焦点，A 为右顶点，B 1，B 2分别为上、下顶点，若F 1，A ，B 1，B 2四点在同一个圆上，则此椭圆的离心率为( )A.3－12 B.5－12 C.22D.32答案 B解析 由题设圆的半径r ＝a ＋c2，则b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a －a ＋c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22，即a 2－c 2＝ac ⇒e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52，故选B.(2)已知双曲线C: x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0, b >0)的焦距为2c ，直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0且与双曲线C 的一条渐近线垂直，以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l 交于M, N 两点，若||MN ＝423c ，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±4x 答案 B解析 由题意可设渐近线方程为y ＝ba x ，则直线l 的斜率k l ＝－ab ，直线方程为y ＝－a b⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23a ， 整理可得ax ＋by －23a 2＝0.焦点()c ，0到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2a 2＋b 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac －23a 2c，则弦长为2c 2－d 2＝2c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ac －23a 22c 2＝423c ，整理可得c 4－9a 2c 2＋12a 3c －4a 4＝0， 即e 4－9e 2＋12e －4＝0，分解因式得()e －1()e －2()e 2＋3e －2＝0.又双曲线的离心率e >1，则e ＝c a＝2，所以b a ＝c 2－a 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－1＝3， 所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x . 故选B.热点三 直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标． (2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．例3 如图，已知P ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，1为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的点，且a 2＋b 2＝5.过点P 的动直线与圆F ：x 2＋y 2＝a 2＋1相交于A ，B 两点，过点P 作直线AB 的垂线与椭圆E 相交于点Q . (1)求椭圆E 的离心率； (2)若|AB |＝23，求|PQ |.解 (1)由题意知，64a 2＋1b 2＝1，a 2＋b 2＝5，a >b >0，解得a 2＝3，b 2＝2， 所以椭圆E 的离心率e ＝a 2－b 2a 2＝3－23＝33. (2)依题知圆F 的圆心为原点，半径r ＝2，||AB ＝23， 所以原点到直线AB 的距离为d ＝r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＝22－⎝⎛⎭⎪⎫2322＝1， 因为点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫62，1，所以直线AB 的斜率存在，设为k . 所以直线AB 的方程为y －1＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －62， 即kx －y －62k ＋1＝0， 所以d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－62k 1＋k2＝1，解得k ＝0或k ＝2 6.①当k ＝0时，此时直线PQ 的方程为x ＝62， 所以||PQ 的值为点P 的纵坐标的两倍， 即||PQ ＝2×1＝2；②当k ＝26时，直线PQ 的方程为y －1＝－126⎝⎛⎭⎪⎫x －62，将它代入椭圆E 的方程x 23＋y 22＝1，消去y 并整理，得34x 2－106x －21＝0， 设Q 点坐标为()x 1，y 1，所以62＋x 1＝10634，解得x 1＝－7634，所以||PQ ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1262⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－62＝3017.思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．跟踪演练3 (2017届百校大联考全国名校联盟联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，233在椭圆C 上，||PF 2＝433，过点F 1的直线l 与椭圆C分别交于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)若△OMN 的面积为1211，O 为坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，1a 2＋43b 2＝1，()－1－c 2＋43＝4 33，解得a ＝3，b ＝2，c ＝1，故所求椭圆的方程为x 23＋y 22＝1，离心率为e ＝c a ＝33.(2)当直线MN 与x 轴垂直时，||MN ＝433， 此时S △MON ＝233不符合题意，舍去；当直线MN 与x 轴不垂直时，设直线MN 的方程为y ＝k ()x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，y ＝k ()x ＋1，消去y 得()2＋3k 2x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.设M ()x 1，y 1，N ()x 2，y 2， 则x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2，所以||MN ＝()1＋k 2[]()x 1＋x 22－4x 1x 2＝()1＋k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 22＋3k 22－4×3k 2－62＋3k 2 ＝48()k 2＋12()2＋3k 22＝43()k 2＋12＋3k 2， 原点O 到直线MN 的距离为d ＝||k 1＋k2，所以三角形的面积S △OMN ＝12||MN d＝12×||k 1＋k2×43()k 2＋12＋3k 2， 由S △OMN ＝1211，得k 2＝3，故k ＝±3，所以直线l 的方程为y ＝3()x ＋1或y ＝－3()x ＋1.真题体验1．(2017·全国Ⅱ改编)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为________． 答案 2解析 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ， 圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2，得圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.由点到直线的距离公式，得|2b |a 2＋b2＝3，解得b 2＝3a 2.所以双曲线C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2.2．(2017·全国Ⅱ改编)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为________．答案 2 3解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)． 联立方程组⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝－233或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2 3.∵点M 在x 轴的上方，∴M (3,23)． ∵MN ⊥l ，∴N (－1,23)． ∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4， |MF |＝|MN |＝3－(－1)＝4. ∴△MNF 是边长为4的等边三角形． ∴点M 到直线NF 的距离为2 3.3．(2017·北京)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________.答案 2解析 由双曲线的标准方程知，a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ，故双曲线的离心率e ＝c a＝1＋m ＝3， ∴1＋m ＝3，解得m ＝2.4．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________． 答案 y ＝±22x 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，∴y 1＋y 2＝2pb 2a2.又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ，∴2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，∴b a ＝22，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 押题预测1．(2017届江西师范大学附属中学模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且AF 2→＝13F 2B →，则该双曲线的离心率为( ) A.62B.52C. 3 D ．2押题依据 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点． 答案 A解析 由F 2()c ，0到渐近线y ＝bax 的距离为d ＝bc a 2＋b2＝b ，即||AF 2→＝b ，则||BF 2→＝3b . 在△AF 2O 中，||OA →||＝a ，OF 2→＝c ，tan ∠F 2OA ＝b a ， tan ∠AOB ＝4ba ＝2×ba 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2，化简可得a 2＝2b 2，即c 2＝a 2＋b 2＝32a 2，即e ＝c a ＝62，故选A.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在该椭圆上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为627，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程．押题依据 椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注．解 (1)由题意可得e ＝c a ＝12，又a 2＝b 2＋c 2， 所以b 2＝34a 2.因为椭圆C 经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，所以1a 2＋9434a 2＝1，解得a ＝2，所以b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x 24＋y23＝1消去x ，得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t2， 所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝36t 2(4＋3t 2)2＋364＋3t 2＝12t 2＋14＋3t2， 所以S △AOB ＝12·|F 1O |·|y 1－y 2|＝6t 2＋14＋3t 2＝627， 化简得18t 4－t 2－17＝0， 即(18t 2＋17)(t 2－1)＝0， 解得t 21＝1，t 22＝－1718(舍去)．又圆O 的半径r ＝|0－t ×0＋1|1＋t 2＝11＋t 2，所以r ＝22，故圆O 的方程为x 2＋y 2＝12.A 组 专题通关1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析 由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.2．(2017届汕头模拟)若椭圆x 236＋y 216＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( ) A ．36 B ．16 C ．20 D ．24 答案 B解析 设||PF 1||＝m ，PF 2＝n ，则m 2＋n 2＝4()36－16＝80，即()m ＋n 2－2mn ＝80.又m ＋n＝2×6＝12，∴mn ＝32，S △PF 1F 2＝12mn ＝16，故选B.3. (2017届常德一模)已知抛物线C: y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，弦AB 的中点M 到抛物线C 的准线的距离为5，则直线l 的斜率为( ) A ．±22B ．±1C ．±63 D ．±62答案 C解析 由题意知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为y ＝k ()x －1，点A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，线段AB 的中点为M ()x 0，y 0. 由⎩⎨⎧y ＝k ()x －1，y 2＝4x ，得k 2x 2－()2k 2＋4x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.又因为弦AB 的中点M 到抛物线C 的准线的距离为5，所以x 1＋x 22＋p 2＝x 1＋x 22＋1＝5，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝8，解得k 2＝23，所以k ＝±63，故选C.4.(2017·河南省豫北重点中学联考)如图，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若||AB ∶|BF 1|∶|AF 1|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( ) A.13 B ．3 C. 5 D ．2答案 A解析 设||AB ＝3x ，||BF 1||＝4x ，AF 1＝5x ，所以△ABF 1是直角三角形．因为||BF 2||－BF 1＝2a ，所以||BF 2||＝BF 1＋2a ＝4x ＋2a, ||AF 2＝x ＋2a .又||AF 1||－AF 2＝2a ，即5x －x －2a ＝2a ，解得x ＝a ，又||BF 22＋||BF 12＝4c 2，即()4x ＋2a 2＋()4x 2＝4c 2，即()4a ＋2a 2＋()4a 2＝4c 2，解得c 2a2＝13，即e ＝13，故选A.5．(2017·全国Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________. 答案 6解析 如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ， ∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)， |FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3， 故|FN |＝2|MF |＝6.6．(2017·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a －y 2b＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________． 答案233解析 如图，由题意知点A (a,0)，双曲线的一条渐近线l 的方程为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0， ∴点A 到直线l 的距离d ＝aba 2＋b 2. 又∠MAN ＝60°，|MA |＝|NA |＝b ， ∴△MAN 为等边三角形， ∴d ＝32|MA |＝32b ，即ab a 2＋b2＝32b ，∴a 2＝3b 2， ∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝233. 7．(2017·泉州质检)椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的离心率为32，F 1，F 2是C 的两个焦点，过F 1的直线l 与C 交于A ，B 两点，则||AF 2||＋BF 2的最大值为______． 答案 7解析 因为离心率为32，所以a 2－1a ＝32⇒a ＝2，由椭圆定义得||AF 2＋||BF 2＋||AB ＝4a ＝8， 即||AF 2＋||BF 2＝8－||AB .而由焦点弦性质知，当AB ⊥x 轴时，||AB 取最小值2×b 2a＝1，因此||AF 2||＋BF 2的最大值为8－1＝7.8．一动圆与圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，则动圆圆心的轨迹方程为________________． 答案x 225＋y 216＝1 解析 两定圆的圆心和半径分别是O 1(－3,0)，r 1＝1；O 2(3,0)，r 2＝9.设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，则由题设条件， 可得|MO 1|＝R ＋1，|O 2M |＝9－R . ∴|MO 1|＋|MO 2|＝10>|O 1O 2|＝6.由椭圆的定义知，点M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上， 且2a ＝10,2c ＝6，∴b 2＝16. ∴动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.9．(2017届唐山模拟)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，且离心率为32. (1)求椭圆Γ的方程；(2)设点M 在x 轴上的射影为点N ，过点N 的直线l 与椭圆Γ相交于A, B 两点，且NB →＋3NA →＝0，求直线l 的方程．解 (1)由已知可得3a 2＋14b 2＝1, a 2－b 2a ＝32，解得a ＝2, b ＝1，所以椭圆Γ的方程为x 24＋y 2＝1. (2)由已知N 的坐标为()3，0，当直线l 斜率为0时，直线l 为x 轴，易知NB →＋3NA →＝0不成立． 当直线l 斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋3， 代入x 24＋y 2＝1，整理得()4＋m 2y 2＋23my －1＝0，设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，则y 1＋y 2＝－23m4＋m2，①y 1y 2＝－14＋m2，②由NB →＋3NA →＝0，得y 2＝－3y 1， ③由①②③解得m ＝±22. 所以直线l 的方程为x ＝±22y ＋3， 即y ＝±2()x －3.10.如图所示，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，动点T (－1，m )，过F 作TF 的垂线交抛物线于P ，Q 两点，弦PQ 的中点为N .(1)证明：线段NT 平行于x 轴(或在x 轴上)； (2)若m ＞0且|NF |＝|TF |，求m 的值及点N 的坐标．(1)证明 易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，动点T (－1，m )在准线上，则k TF ＝－m 2.当m ＝0时，T 为抛物线准线与x 轴的交点，这时PQ 为抛物线的通径，点N 与焦点F 重合，显然线段NT 在x 轴上． 当m ≠0时，由条件知k PQ ＝2m，所以直线PQ 的方程为y ＝2m(x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2m(x －1)，得x 2－(2＋m 2)x ＋1＝0，Δ＝[－(2＋m 2)]2－4＝m 2(4＋m 2)＞0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，可知x 1＋x 2＝2＋m 2，y 1＋y 2＝2m(x 1＋x 2－2)＝2m .所以弦PQ 的中点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋m 22，m ，又T (－1，m )，所以k NT ＝0，则NT 平行于x 轴．综上可知，线段NT 平行于x 轴(或在x 轴上)． (2)解 已知|NF |＝|TF |，在△TFN 中，tan ∠NTF ＝|NF ||TF |＝1⇒∠NTF ＝45°，设A 是准线与x 轴的交点，则△TFA 是等腰直角三角形，所以|TA |＝|AF |＝2， 又动点T (－1，m )，其中m ＞0，则m ＝2. 因为∠NTF ＝45°，所以k PQ ＝tan 45°＝1， 又焦点F (1,0)，可得直线PQ 的方程为y ＝x －1. 由m ＝2，得T (－1,2)， 由(1)知线段NT 平行于x 轴，设N (x 0，y 0)，则y 0＝2，代入y ＝x －1，得x 0＝3， 所以N (3,2)．B 组 能力提高11.(2017·长沙市长郡中学模拟)2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线．已知圆锥的高为PH, AB 为地面直径，顶角为2θ，那么不过顶点P 的平面与PH 夹角π2>a >θ时，截口曲线为椭圆；与PH 夹角a ＝θ时，截口曲线为抛物线；与PH 夹角θ>a >0时，截口曲线为双曲线．如图，底面内的直线AM ⊥AB ，过AM 的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB 的交点为C ，可知AC 为长轴．那么当C 在线段PB 上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为( )A ．圆的部分B ．椭圆的部分C ．双曲线的部分D ．抛物线的部分 答案 D解析 如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点Q 到焦点F 的距离等于半长轴a ，但短轴的端点Q 到直线AM 的距离也是a ，即说明短轴的端点Q 到定点F 的距离等于到定直线AM 的距离，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选D.12．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F ()1，0，离心率为22，过点F 的动直线交M 于A, B 两点，若x 轴上的点P ()t ，0使得∠APO ＝∠BPO 总成立(O 为坐标原点)，则t 等于( ) A ．－2B ．2C ．－ 2 D. 2 答案 B解析 在椭圆中c ＝1, e ＝c a ＝22，得a ＝2，b ＝1，故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，由题意可知，当直线斜率不存在时，t 可以为任意实数；当直线斜率存在时，可设直线方程为y ＝k ()x －1，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k()x －1，x 22＋y 2＝1，得()1＋2k 2x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k2，使得∠APO ＝∠BPO 总成立，即使得PF 为∠APB 的角平分线， 即直线PA 和PB 的斜率之和为0， 即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0， ①由y 1＝k (x 1－1), y 2＝k ()x 2－1，代入①整理得2x 1x 2－()t ＋1()x 1＋x 2＋2t ＝0，由根与系数的关系，可得4k 2－41＋2k 2－()t ＋14k21＋2k 2＋2t ＝0，化简可得t ＝2，故选B.13．(2017·武汉调研)已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点，直线PQ 过原点O 与MN 平行，且与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2||MN ＝________.答案 2 2解析 方法一 特殊化，设MN ⊥x 轴， 则||MN ＝2b 2a ＝22＝2，||PQ 2＝4,||PQ 2||MN ＝42＝2 2.方法二 由题意知F (－1,0)，当直线MN 的斜率不存在时，|MN |＝2b2a＝2，|PQ |＝2b ＝2，则|PQ |2|MN |＝22；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的斜率为k ， 则MN 方程为y ＝k (x ＋1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0. 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，则|MN |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝22(k 2＋1)2k 2＋1. 直线PQ 的方程为y ＝kx ，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 22＋y 2＝1，解得x 2＝21＋2k 2，y 2＝2k 21＋2k2，则|OP |2＝x 2＋y 2＝2(1＋k 2)1＋2k2，又|PQ |＝2|OP |，所以|PQ |2＝4|OP |2＝8(1＋k 2)1＋2k 2，∴|PQ |2|MN |＝2 2.14．(2017·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，△EFA 的面积为b 22.(1)求椭圆的离心率；(2)设点Q 在线段AE 上，|FQ |＝3c2，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c .①求直线FP 的斜率； ②求椭圆的方程．解 (1)设椭圆的离心率为e . 由已知可得12(c ＋a )c ＝b22.又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0， 即2e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1或e ＝12.又因为0<e <1，所以e ＝12.所以椭圆的离心率为12.(2)①依题意，设直线FP 的方程为x ＝my －c (m >0)，则直线FP 的斜率为1m.由(1)知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为x 2c ＋yc ＝1，即x ＋2y －2c ＝0，与直线FP 的方程联立， 可得x ＝(2m －2)c m ＋2，y ＝3cm ＋2，即点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫(2m －2)c m ＋2，3c m ＋2.由已知|FQ |＝3c2，有⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2m －2)c m ＋2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c m ＋22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22，整理得3m 2－4m ＝0，所以m ＝43(m ＝0舍去)，即直线FP 的斜率为34.②由a ＝2c ，可得b ＝3c ，故椭圆方程可以表示为x 24c 2＋y 23c2＝1.由①得直线FP 的方程为3x －4y ＋3c ＝0，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＋3c ＝0，x 24c 2＋y 23c 2＝1， 消去y ，整理得7x 2＋6cx －13c 2＝0，解得x ＝－13c 7(舍去)或x ＝c .因此可得点P ⎝⎛⎭⎪⎫c ，3c 2， 进而可得|FP |＝(c ＋c )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 22＝5c 2， 所以|PQ |＝|FP |－|FQ |＝5c 2－3c 2＝c . 由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP .因为QN ⊥FP ， 所以|QN |＝|FQ |·tan∠QFN ＝3c 2×34＝9c 8， 所以△FQN 的面积为12|FQ ||QN |＝27c 232. 同理△FPM 的面积等于75c 232. 由四边形PQNM 的面积为3c ，得75c 232－27c 232＝3c ， 整理得c 2＝2c .又由c >0，得c ＝2.所以椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.。
2018年高考数学(理)二轮复习 讲学案：考前专题六 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率)． 2．以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)． (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．例1 (1)(2016·天津)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1 (b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案 D解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b4＋b 2，即第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b 2，2b 4＋b 2.由双曲线和圆的对称性，得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b 2，4b 4＋b2，故8×4b 4＋b 2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x 答案 C解析 如图分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设||BF ＝a ，则由已知得||BC ＝2a ，由抛物线定义，得||BD ＝a ，故∠BCD ＝30°，在Rt △ACE 中， ∵||AE ＝|AF |＝3，||AC ＝3＋3a ，∴2||AE ＝||AC ，即3＋3a ＝6，从而得a ＝1，||FC ＝3a ＝3.∴p ＝||FG ＝12||FC ＝32，因此抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．跟踪演练1 (1)已知双曲线过点()2，3，其中一条渐近线方程为y ＝3x ，则双曲线的标准方程是( ) A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1D.3y 223－x 223＝1 答案 C解析 根据题意，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，则可设其方程为y 23－x 2＝λ()λ≠0.又由其过点()2，3，则有323－22＝λ，解得λ＝－1，则双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1，故选C. (2)△ABC 的两个顶点为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，则C 点轨迹方程为( ) A.x 216＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.y 216＋x 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) 答案 D解析 ∵△ABC 的两顶点A (－4,0)，B (4,0)，周长为18，∴|AB |＝8，|BC |＋|AC |＝10.∵10>8，∴点C 到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆．∴2a ＝10,2c ＝8，即a ＝5，c ＝4，∴b ＝3.∴C 点的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．故选D.热点二 圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2. (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．例2 (1)(2017届河北省衡水中学押题卷)已知双曲线C 1: x 22－y 2＝1与双曲线C 2: x 22－y 2＝－1，给出下列说法，其中错误的是( ) A ．它们的焦距相等 B ．它们的焦点在同一个圆上 C ．它们的渐近线方程相同 D ．它们的离心率相等 答案 D解析 由题意知C 2：y 2－x 22＝1，则两双曲线的焦距相等且2c ＝23，焦点都在圆x 2＋y 2＝3上，其实为圆与坐标轴的交点．渐近线方程都为y ＝±22x .由于实轴长度不同，故离心率e ＝ca不同．故选D.(2)已知双曲线M ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，||F 1F 2＝2c .若双曲线M 的右支上存在点P ，使a sin ∠PF 1F 2＝3csin ∠PF 2F 1，则双曲线M 的离心率的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1，2＋73 B.⎝⎛⎦⎥⎤1，2＋73C.()1，2D.(]1，2答案 A解析 根据正弦定理可知，sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|，所以|PF 2||PF 1|＝a 3c ，即|PF 2|＝a 3c|PF 1|,||PF 1||－PF 2＝2a ，所以⎝⎛⎭⎫1－a 3c ||PF 1＝2a ，解得||PF 1＝6ac 3c －a ， 而||PF 1>a ＋c ，即6ac 3c －a >a ＋c ，整理得3e 2－4e －1<0 ，解得2－73<e <2＋73. 又因为离心率e >1，所以1<e <2＋73，故选A.思维升华 (1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．跟踪演练2 (1)(2017届株洲一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1为左焦点，A 为右顶点， B 1，B 2分别为上、下顶点，若F 1，A ，B 1，B 2四点在同一个圆上，则此椭圆的离心率为( ) A.3－12 B.5－12 C.22D.32答案 B解析 由题设圆的半径r ＝a ＋c 2，则b 2＋⎝⎛⎭⎫a －a ＋c 22＝⎝⎛⎭⎫a ＋c 22，即a 2－c 2＝ac ⇒e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52，故选B.(2)已知双曲线C:x 2a 2－y 2b2＝1(a >0, b >0)的焦距为2c ，直线l 过点⎝⎛⎭⎫23a ，0且与双曲线C 的一条渐近线垂直，以双曲线C 的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l 交于M, N 两点，若||MN ＝423c ，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±3x C ．y ＝±2x D ．y ＝±4x答案 B解析 由题意可设渐近线方程为y ＝b a x ，则直线l 的斜率k l ＝－a b ，直线方程为y ＝－ab ⎝⎛⎭⎫x －23a ， 整理可得ax ＋by －23a 2＝0.焦点()c ，0到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪ac －23a 2a 2＋b 2＝⎪⎪⎪⎪ac －23a 2c，则弦长为2c 2－d 2＝2c 2－⎝⎛⎭⎫ac －23a 22c 2＝423c ，整理可得c 4－9a 2c 2＋12a 3c －4a 4＝0， 即e 4－9e 2＋12e －4＝0，分解因式得()e －1()e －2()e 2＋3e －2＝0.又双曲线的离心率e >1，则e ＝ca ＝2，所以b a＝c 2－a 2a 2＝ ⎝⎛⎭⎫c a 2－1＝3， 所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x . 故选B.热点三 直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．(2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．例3 如图，已知P ⎝⎛⎭⎫62，1为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的点，且a 2＋b 2＝5.过点P的动直线与圆F ：x 2＋y 2＝a 2＋1相交于A ，B 两点，过点P 作直线AB 的垂线与椭圆E 相交于点Q .(1)求椭圆E 的离心率； (2)若|AB |＝23，求|PQ |.解 (1)由题意知，64a 2＋1b 2＝1，a 2＋b 2＝5，a >b >0，解得a 2＝3，b 2＝2， 所以椭圆E 的离心率e ＝a 2－b 2a 2＝ 3－23＝33. (2)依题知圆F 的圆心为原点，半径r ＝2，||AB ＝23， 所以原点到直线AB 的距离为 d ＝r 2－⎝⎛⎭⎫|AB |22＝22－⎝⎛⎭⎫2322＝1， 因为点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫62，1，所以直线AB 的斜率存在，设为k .所以直线AB 的方程为y －1＝k ⎝⎛⎭⎫x －62， 即kx －y －62k ＋1＝0， 所以d ＝⎪⎪⎪⎪1－62k 1＋k 2＝1，解得k ＝0或k ＝2 6.①当k ＝0时，此时直线PQ 的方程为x ＝62， 所以||PQ 的值为点P 的纵坐标的两倍， 即||PQ ＝2×1＝2；②当k ＝26时，直线PQ 的方程为 y －1＝－126⎝⎛⎭⎫x －62， 将它代入椭圆E 的方程x 23＋y 22＝1，消去y 并整理，得34x 2－106x －21＝0， 设Q 点坐标为()x 1，y 1，所以62＋x 1＝10634， 解得x 1＝－7634，所以||PQ ＝1＋⎝⎛⎭⎫－1262⎪⎪⎪⎪x 1－62＝3017. 思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．跟踪演练3 (2017届百校大联考全国名校联盟联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P ⎝⎛⎫－1，233在椭圆C 上， ||PF 2＝433，过点F 1的直线l 与椭圆C 分别交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程及离心率；(2)若△OMN 的面积为1211，O 为坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)由题意得⎩⎨⎧a 2＝b 2＋c 2，1a 2＋43b2＝1，()－1－c 2＋43＝4 33，解得a ＝3，b ＝2，c ＝1，故所求椭圆的方程为x 23＋y 22＝1，离心率为e ＝c a ＝33.(2)当直线MN 与x 轴垂直时， ||MN ＝433，此时S △MON ＝233不符合题意，舍去； 当直线MN 与x 轴不垂直时，设直线MN 的方程为y ＝k ()x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，y ＝k ()x ＋1，消去y 得()2＋3k 2x 2＋6k 2x ＋3k 2－6＝0.设M ()x 1，y 1，N ()x 2，y 2， 则x 1＋x 2＝－6k 22＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－62＋3k 2，所以||MN ＝()1＋k 2[]()x 1＋x 22－4x 1x 2＝()1＋k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 22＋3k 22－4×3k 2－62＋3k 2＝48()k 2＋12()2＋3k 22＝43()k 2＋12＋3k 2，原点O 到直线MN 的距离为d ＝||k 1＋k 2，所以三角形的面积S △OMN ＝12||MN d＝12×||k 1＋k 2×43()k 2＋12＋3k 2， 由S △OMN＝1211，得k 2＝3，故k ＝±3，所以直线l 的方程为y ＝3()x ＋1或y ＝－3()x ＋1.真题体验1．(2017·全国Ⅱ改编)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为________． 答案 2解析 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，圆的圆心为(2,0)，半径为2，由弦长为2，得圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3.由点到直线的距离公式，得|2b |a 2＋b2＝3，解得b 2＝3a 2.所以双曲线C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝1＋b 2a2＝2. 2．(2017·全国Ⅱ改编)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为________． 答案 2 3解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)．联立方程组⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎨⎧x ＝13，y ＝－233或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2 3.∵点M 在x 轴的上方，∴M (3,23)． ∵MN ⊥l ，∴N (－1,23)． ∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4， |MF |＝|MN |＝3－(－1)＝4.∴△MNF 是边长为4的等边三角形． ∴点M 到直线NF 的距离为2 3.3．(2017·北京)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝________.答案 2解析 由双曲线的标准方程知， a ＝1，b 2＝m ，c ＝1＋m ，故双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋m ＝3，∴1＋m ＝3，解得m ＝2.4．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________． 答案 y ＝±22x解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0， ∴y 1＋y 2＝2pb 2a 2.又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ，∴2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，∴b a ＝22，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .押题预测1．(2017届江西师范大学附属中学模拟)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且AF 2→＝13F 2B →，则该双曲线的离心率为( )A.62B.52C. 3 D ．2押题依据 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点． 答案 A解析 由F 2()c ，0到渐近线y ＝b a x 的距离为d ＝bc a 2＋b2＝b ，即||AF 2→＝b ，则||BF 2→＝3b . 在△AF 2O 中， ||OA →||＝a ，OF 2→＝c ，tan ∠F 2OA ＝b a ， tan ∠AOB ＝4b a ＝2×ba 1－⎝⎛⎭⎫b a 2，化简可得a 2＝2b 2，即c 2＝a 2＋b 2＝32a 2，即e ＝c a ＝62，故选A.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且点⎝⎛⎭⎫1，32在该椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为627，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程．押题依据 椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注．解 (1)由题意可得e ＝c a ＝12，又a 2＝b 2＋c 2， 所以b 2＝34a 2.因为椭圆C 经过点⎝⎛⎭⎫1，32， 所以1a 2＋9434a 2＝1，解得a ＝2，所以b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x 24＋y 23＝1消去x ，得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0， 显然Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2， 所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝36t 2(4＋3t 2)2＋364＋3t 2＝12t 2＋14＋3t 2，所以S △AOB ＝12·|F 1O |·|y 1－y 2|＝6t 2＋14＋3t 2＝627，化简得18t 4－t 2－17＝0， 即(18t 2＋17)(t 2－1)＝0， 解得t 21＝1，t 22＝－1718(舍去)． 又圆O 的半径r ＝|0－t ×0＋1|1＋t 2＝11＋t 2，所以r ＝22，故圆O 的方程为x 2＋y 2＝12.A 组 专题通关1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y210＝1 B.x 24－y25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 B 解析 由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B.2．(2017届汕头模拟)若椭圆x 236＋y 216＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( ) A ．36 B ．16 C ．20 D ．24答案 B解析 设||PF 1||＝m ，PF 2＝n ，则m 2＋n 2＝4()36－16＝80，即()m ＋n 2－2mn ＝80.又m ＋n ＝2×6＝12，∴mn ＝32，S △PF 1F 2＝12mn ＝16，故选B.3. (2017届常德一模)已知抛物线C: y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，弦AB 的中点M 到抛物线C 的准线的距离为5，则直线l 的斜率为( ) A ．±22B ．±1C ．±63D ．±62答案 C解析 由题意知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为y ＝k ()x －1，点A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2， 线段AB 的中点为M ()x 0，y 0.由⎩⎨⎧y ＝k ()x －1，y 2＝4x ，得k 2x 2－()2k 2＋4x ＋k 2＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.又因为弦AB 的中点M 到抛物线C 的准线的距离为5，所以x 1＋x 22＋p 2＝x 1＋x 22＋1＝5，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝8，解得k 2＝23，所以k ＝±63，故选C.4.(2017·河南省豫北重点中学联考)如图， F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若||AB ∶|BF 1|∶|AF 1|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( ) A.13 B ．3 C. 5 D ．2答案 A解析 设||AB ＝3x ，||BF 1||＝4x ，AF 1＝5x ，所以△ABF 1是直角三角形．因为||BF 2||－BF 1＝2a ，所以||BF 2||＝BF 1＋2a ＝4x ＋2a, ||AF 2＝x ＋2a .又||AF 1||－AF 2＝2a ，即5x －x －2a ＝2a ，解得x ＝a ，又||BF 22＋||BF 12＝4c 2，即()4x ＋2a 2＋()4x 2＝4c 2，即()4a ＋2a 2＋()4a 2＝4c 2，解得c 2a 2＝13，即e ＝13，故选A.5．(2017·全国Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________. 答案 6解析 如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ， ∴PM ∥OF . 由题意知，F (2,0)， |FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3， 故|FN |＝2|MF |＝6.6．(2017·全国Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________． 答案233解析 如图，由题意知点A (a,0)，双曲线的一条渐近线l 的方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，∴点A 到直线l 的距离 d ＝aba 2＋b 2.又∠MAN ＝60°，|MA |＝|NA |＝b ， ∴△MAN 为等边三角形， ∴d ＝32|MA |＝32b ，即ab a 2＋b2＝32b ，∴a 2＝3b 2， ∴e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝233. 7．(2017·泉州质检)椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的离心率为32， F 1，F 2是C 的两个焦点，过F 1的直线l 与C 交于A ，B 两点，则||AF 2||＋BF 2的最大值为______． 答案 7解析 因为离心率为32，所以a 2－1a ＝32⇒a ＝2，由椭圆定义得||AF 2＋||BF 2＋||AB ＝4a ＝8， 即||AF 2＋||BF 2＝8－||AB .而由焦点弦性质知，当AB ⊥x 轴时，||AB 取最小值2×b 2a ＝1，因此||AF 2||＋BF 2的最大值为8－1＝7.8．一动圆与圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，则动圆圆心的轨迹方程为________________． 答案 x 225＋y 216＝1解析 两定圆的圆心和半径分别是O 1(－3,0)，r 1＝1； O 2(3,0)，r 2＝9.设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，则由题设条件， 可得|MO 1|＝R ＋1，|O 2M |＝9－R . ∴|MO 1|＋|MO 2|＝10>|O 1O 2|＝6.由椭圆的定义知，点M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上， 且2a ＝10,2c ＝6，∴b 2＝16. ∴动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.9．(2017届唐山模拟)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点M ⎝⎛⎭⎫3，12，且离心率为32. (1)求椭圆Γ的方程；(2)设点M 在x 轴上的射影为点N ，过点N 的直线l 与椭圆Γ相交于A, B 两点，且NB →＋3NA →＝0，求直线l 的方程．解 (1)由已知可得3a 2＋14b 2＝1,a 2－b 2a ＝32， 解得a ＝2, b ＝1，所以椭圆Γ的方程为x24＋y 2＝1.(2)由已知N 的坐标为()3，0，当直线l 斜率为0时，直线l 为x 轴，易知NB →＋3NA →＝0不成立． 当直线l 斜率不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋3， 代入x 24＋y 2＝1，整理得()4＋m 2y 2＋23my －1＝0，设A ()x 1，y 1， B ()x 2，y 2，则 y 1＋y 2＝－23m4＋m 2，① y 1y 2＝－14＋m 2，② 由NB →＋3NA →＝0，得y 2＝－3y 1，③由①②③解得m ＝±22.所以直线l 的方程为x ＝±22y ＋3，即y ＝±2()x －3.10.如图所示，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，动点T (－1，m )，过F 作TF 的垂线交抛物线于P ，Q 两点，弦PQ 的中点为N . (1)证明：线段NT 平行于x 轴(或在x 轴上)； (2)若m ＞0且|NF |＝|TF |，求m 的值及点N 的坐标．(1)证明 易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，动点T (－1，m )在准线上，则k TF ＝－m 2.当m ＝0时，T 为抛物线准线与x 轴的交点，这时PQ 为抛物线的通径，点N 与焦点F 重合，显然线段NT 在x 轴上．当m ≠0时，由条件知k PQ ＝2m ，所以直线PQ 的方程为y ＝2m (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2m (x －1)， 得x 2－(2＋m 2)x ＋1＝0，Δ＝[－(2＋m 2)]2－4＝m 2(4＋m 2)＞0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，可知x 1＋x 2＝2＋m 2，y 1＋y 2＝2m(x 1＋x 2－2)＝2m .所以弦PQ 的中点N ⎝⎛⎭⎫2＋m22，m ，又T (－1，m )， 所以k NT ＝0，则NT 平行于x 轴．综上可知，线段NT 平行于x 轴(或在x 轴上)． (2)解 已知|NF |＝|TF |，在△TFN 中，tan ∠NTF ＝|NF ||TF |＝1⇒∠NTF ＝45°，设A 是准线与x 轴的交点，则△TF A 是等腰直角三角形，所以|TA |＝|AF |＝2， 又动点T (－1，m )，其中m ＞0，则m ＝2. 因为∠NTF ＝45°，所以k PQ ＝tan 45°＝1， 又焦点F (1,0)，可得直线PQ 的方程为y ＝x －1. 由m ＝2，得T (－1,2)， 由(1)知线段NT 平行于x 轴，设N (x 0，y 0)，则y 0＝2，代入y ＝x －1，得x 0＝3， 所以N (3,2)．B 组 能力提高11.(2017·长沙市长郡中学模拟)2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线．已知圆锥的高为PH, AB 为地面直径，顶角为2θ，那么不过顶点P 的平面与PH 夹角π2>a >θ时，截口曲线为椭圆；与PH 夹角a ＝θ时，截口曲线为抛物线；与PH 夹角θ>a >0时，截口曲线为双曲线．如图，底面内的直线AM ⊥AB ，过AM 的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB 的交点为C ，可知AC 为长轴．那么当C 在线段PB 上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为( ) A ．圆的部分 B ．椭圆的部分 C ．双曲线的部分 D ．抛物线的部分答案 D解析 如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点Q 到焦点F 的距离等于半长轴a ，但短轴的端点Q 到直线AM 的距离也是a ，即说明短轴的端点Q 到定点F 的距离等于到定直线AM 的距离，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选D.12．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F ()1，0，离心率为22，过点F 的动直线交M 于A, B 两点，若x 轴上的点P ()t ，0使得∠APO ＝∠BPO 总成立(O 为坐标原点)，则t 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－ 2 D. 2答案 B解析 在椭圆中c ＝1, e ＝c a ＝22，得a ＝2，b ＝1，故椭圆的方程为x22＋y 2＝1.设A ()x 1，y 1， B ()x 2，y 2，由题意可知，当直线斜率不存在时， t 可以为任意实数；当直线斜率存在时，可设直线方程为y ＝k ()x －1，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ()x －1，x 22＋y 2＝1，得()1＋2k 2x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2， x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，使得∠APO ＝∠BPO 总成立，即使得PF 为∠APB 的角平分线， 即直线P A 和PB 的斜率之和为0， 即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，①由y 1＝k (x 1－1), y 2＝k ()x 2－1，代入①整理得2x 1x 2－()t ＋1()x 1＋x 2＋2t ＝0，由根与系数的关系，可得4k 2－41＋2k 2－()t ＋14k 21＋2k 2＋2t ＝0，化简可得t ＝2，故选B.13．(2017·武汉调研)已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点，直线PQ 过原点O与MN 平行，且与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2||MN ＝________.答案 2 2解析 方法一 特殊化，设MN ⊥x 轴， 则||MN ＝2b 2a ＝22＝2，||PQ 2＝4,||PQ 2||MN ＝42＝2 2. 方法二 由题意知F (－1,0)，当直线MN 的斜率不存在时，|MN |＝2b 2a ＝2，|PQ |＝2b ＝2，则|PQ |2|MN |＝22；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的斜率为k ， 则MN 方程为y ＝k (x ＋1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0. 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，则|MN |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝22(k 2＋1)2k 2＋1.直线PQ 的方程为y ＝kx ，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)， 则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 22＋y 2＝1，解得x 2＝21＋2k 2，y 2＝2k 21＋2k 2， 则|OP |2＝x 2＋y 2＝2(1＋k 2)1＋2k 2，又|PQ |＝2|OP |，所以|PQ |2＝4|OP |2＝8(1＋k 2)1＋2k 2，∴|PQ |2|MN |＝2 2.14．(2017·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c,0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，△EF A的面积为b 22.(1)求椭圆的离心率；(2)设点Q 在线段AE 上，|FQ |＝3c2，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c . ①求直线FP 的斜率； ②求椭圆的方程．解 (1)设椭圆的离心率为e . 由已知可得12(c ＋a )c ＝b 22.又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0， 即2e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1或e ＝12.又因为0<e <1，所以e ＝12.所以椭圆的离心率为12.(2)①依题意，设直线FP 的方程为x ＝my －c (m >0)，则直线FP 的斜率为1m .由(1)知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为x 2c ＋yc ＝1，即x ＋2y －2c ＝0，与直线FP 的方程联立， 可得x ＝(2m －2)c m ＋2，y ＝3cm ＋2，即点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫(2m －2)c m ＋2，3c m ＋2.由已知|FQ |＝3c2，有⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2m －2)c m ＋2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫3c m ＋22＝⎝⎛⎭⎫3c 22，整理得3m 2－4m ＝0，所以m ＝43(m ＝0舍去)，即直线FP 的斜率为34.②由a ＝2c ，可得b ＝3c ， 故椭圆方程可以表示为x 24c 2＋y 23c2＝1.由①得直线FP 的方程为3x －4y ＋3c ＝0，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋3c ＝0，x 24c 2＋y 23c 2＝1， 消去y ，整理得7x 2＋6cx －13c 2＝0，解得x ＝－13c7(舍去)或x ＝c .因此可得点P ⎝⎛⎭⎫c ，3c 2， 进而可得|FP |＝(c ＋c )2＋⎝⎛⎭⎫3c 22＝5c2，所以|PQ |＝|FP |－|FQ |＝5c 2－3c2＝c .由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP . 因为QN ⊥FP ，所以|QN |＝|FQ |·tan ∠QFN ＝3c 2×34＝9c8，所以△FQN 的面积为12|FQ ||QN |＝27c 232.同理△FPM 的面积等于75c 232.由四边形PQNM 的面积为3c ，得75c 232－27c 232＝3c ，整理得c 2＝2c .又由c >0，得c ＝2. 所以椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.。
福建省福清市高考数学二轮复习专题六解析几何第二讲椭圆、双曲线、抛物线课件
考点(kǎo
diǎn)2
考点(kǎo
diǎn)3
解析:(1)如图,取椭圆的左焦点 F1,连接 AF1,BF1.
由椭圆的对称性知四边形 AF1BF 是平行四边形,
∴|AF|+|BF|=|AF1|+|AF|=2a=4.∴a=2.
不妨设 M(0,b),则
|3×0-4|
32+42
4
5
≥ ,
∴ b≥1.
∴e=
(1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线有两个公共点 M(x1,y1),N(x2,y2),可结合
韦达定理,代入弦长公式
|MN|= (2 -1 )2 + (2 -1 )2 = 1 + 2 |x1-x2|
= (1 + 2 )[(1 + 2 )2 -41 2 ],
或|MN|= 1 +
=
1+
是圆 M 与 x 轴的不同于 F 的一个交点.
(1)求抛物线 C 与圆 M 的方程;
4
3
(2)过 F 且斜率为 的直线 n 与 C 交于 A,B 两点,求△ABQ 的面积.
解:(1)由抛物线的定义知,圆 M 经过焦点 F
坐标为 3p,
又 M 在抛物线 C 上,则 M
3
,
2
,0
2
3 ,|MF|=2p.
1
2
1
2|y1-y2|
[(1 + 2 )2 -41 2 ]求距离.
(2)当直线的斜率 k 不存在时,可求出交点坐标,直接计算或利用
|MN|=|y1-y2|= (1 + 2 )2 -41 2 来求.
(3)若涉及直线过圆锥曲线的焦点弦问题,一般利用圆锥曲线的定义去