高中数学第二章数列2.2.2等差数列的前n项和练习(含解析)新人教B版必修5
高中数学第二章数列2.2.2等差数列的前n项和练习（含解析）新人
教B版必修5
课时过关·能力提升
1在等差数列{a n}中,已知a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项和等于()
A.160
B.180
C.200
D.220
解析(a1+a2+a3)+(a18+a19+a20)=(-24)+78=54,又a1+a20=a2+a19=a3+a18,则3(a1+a20)=54, ∴a1+a20=18.则S20==10×18=180.
答案B
2在等差数列{a n}中,若S12=8S4,则=()
A.B.C.2 D.
解析由S12=8S4,得12a1+=8,
即12a1+66d=32a1+48d.
∴.
答案A
3已知等差数列{a n}的公差d<0,且,则数列的前n项和S n取得最大值时的项数n是
()
A.5
B.6
C.5或6
D.6或7
解析由,得(a1+a11)(a1-a11)=0.
又d<0,∴a1+a11=0,
∴a6=0.∴S5=S6,且最大.
答案C
4设S n是等差数列{a n}的前n项和,若,则等于()
A. B. C. D.
解析设该数列的首项为a1,公差为d,由等差数列的前n项和公式可得, 可得a1=2d,且d≠0,
所以,故选A.
答案A
5已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S2=10,S5=55,则过点P(n,a n)和Q(n+2,a n+2)(n∈N+)的直线的斜率是()
A.4
B.3
C.2
D.1
解析设该数列的首项为a1,公差为d.
由题意得解得
则所求斜率为=d=4.
答案A
6设S n为等差数列{a n}的前n项和,S4=14,S10-S7=30,则S9=.
解析设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,
由题意,得4a1+d=14, ①
=30, ②
由①②联立,解得a1=2,d=1,
所以S9=9×2+×1=54.
答案54
7若两个等差数列的前n项和之比是(7n+1)∶(4n+27),则它们的第11项之比为.
解析设等差数列{a n}的前n项和为S n,等差数列{b n}的前n项和为T n,则a11=,b11=,
∴.
答案4∶3
8已知在等差数列{a n}中,数列{a n}的前n项和为S n,且S6<S7,S7>S8,有下列命题:
①此数列的公差d<0;
②a9<0;
③a7是各项中最大的项;
④S7一定是S n中的最大值.
其中正确命题的序号是.
解析∵S6<S7,即S6<S6+a7,∴a7>0,同理可得a8<0,∴d=a8-a7<0,∴a9<0.
答案①②④
9在等差数列{a n}中,a1=-2 015,其前n项和为S n,若=2,则S2 015的值为. 解析∵=2,
∴=2,
∴d=2.
∴S2015=2015a1+=-2015.
答案-2 015
10设数列{a n}为等差数列,其前n项和为S n,且S4=-62,S6=-75.
(1)求通项a n及前n项和S n;
(2)求|a1|+|a2|+…+|a14|的值.
解(1)设数列{a n}的公差为d,由S4=-62,S6=-75,得解得
所以a n=3n-23,S n=n2-n.
(2)由a n=3n-23≤0,得n≤,所以n=7.
所以数列{a n}的前7项为负数,所以|a1|+|a2|+…+|a14|=-(a1+a2+…+a7)+(a8+a9+…+a14)=-S7+S14-S7=S14-2S7=147.
★11设等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a3=12,且S12>0,S13<0.
(1)求公差d的取值范围.
(2)前几项的和最大?并说明理由.
分析(1)只需利用S12>0,S13<0得到不等式组即可解决;(2)由d<0,得a1>a2>…>a12>a13>…,可知数列前面的项为正,后面的项为负,加上正数,和变大;加上负数,和变小.因此在1≤n≤12中,若存在自然数n,使a n>0,a n+1<0,则可判定S n是最大值.
解(1)根据题意,得
整理得
解得d的取值范围是-<d<-3.
(2)因为d<0,
所以a1>a2>a3>a4>…>a12>a13>….
而S13==13a7<0,
所以a7<0.
又因为S12==6(a1+a12)=6(a6+a7)>0,
所以a6>0.
所以数列{a n}的前6项的和S6最大.
★12在数列{a n}中,a1=8,a4=2,且满足a n+2-2a n+1+a n=0(n∈N+).
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)设S n=|a1|+|a2|+…+|a n|,求S n;
(3)设b n=(n∈N+),T n=b1+b2+…+b n,是否存在最大整数m,使对任意n∈N+,均有T n>总成立?
若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
分析第(1)问由条件a n+2-2a n+1+a n=0可知数列{a n}是等差数列,可由已知条件求得公差,再代入通项公式得解.第(2)问先求得前几项是正数,从第几项开始是负数,再求绝对值的和即可.第(3)问先求得
T n的值,再判断T n的单调性,从此不等式中解得m的值.
解(1)由a n+2-2a n+1+a n=0,得a n+2-a n+1=a n+1-a n,则数列{a n}是等差数列.由a1=8,a4=2,得d=-2,则a n=10-2n.
(2)由a n≥0,且a n+1<0,解得n=5.当n≤5时,S n=-n2+9n;当n>5
时,S n=|a1|+|a2|+…+|a n|=(a1+a2+…+a5)-(a6+a7+…+a n)=2(a1+a2+…+a5)-(a1+a2+…+a n)=2×20-(-
n2+9n)=n2-9n+40.
故S n=
(3)因为b n=,
所以T n=
=.
所以T n+1-T n=>0,
所以{T n}单调递增.
所以T1=为T n的最小值,要使T n>总成立,只需<T1=恒成立,
所以m<8.
因为m∈Z,
所以适合条件的m的最大值为7.。
2021版新高考数学：等差数列及其前n项和含答案
(对应学生用书第103页)考点1等差数列基本量的运算解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，a n，S n五个量，可“知三求二”．(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ，则a 1＝( )A ．23B ．32C ．35D ．38C [由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为－3，则9a 1＋9×82×(－3)＝207，解得a 1＝35，故选C.]确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a 1和公差d .考点2 等差数列的判定与证明等差数列的4个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.2．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．[解](1)证明：由题设知a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1，两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1，由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.(2)由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2，因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列．考点3等差数列的性质及应用B [数列{a n }为等差数列，则a m －1＋a m ＋1＝2a m ，则a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0可化为2a m －a 2m －1＝0，解得a m ＝1.又S 2m －1＝(2m －1)a m ＝39，则m ＝20.故选B.]2．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，都有Sn Tn ＝2n －34n －3，则a2b3＋b13＋a14b5＋b11的值为( ) A ．2945 B ．1329 C ．919 D ．1930C [由题意可知b 3＋b 13＝b 5＋b 11＝b 1＋b 15＝2b 8，∴a2b3＋b13＋a14b5＋b11＝a2＋a142b8＝a8b8＝S15T15＝2×15－34×15－3＝2757＝919.故选C.] 考点4 等差数列前n 项和的最值问题求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎨⎧am≥0，am ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ； ②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎨⎧am≤0，am ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .。
高中数学 第二章 数列 2.2 习题课——等差数列习题课练习(含解析)新人教B版必修5-新人教B版高
习题课——等差数列习题课课时过关·能力提升1在等差数列{a n }中,已知a 1=13,a 1+a 6=4,a n =37,则n 等于() A.50B.49C.56D.51d ,因为a 1+a 6=2a 1+5d=4,a 1=13,所以d=23,所以a n =13+(n-1)×23=37,所以n=56.2在数列{a n }中,已知a 1=15,3a n+1=3a n -2,则该数列中相邻两项的乘积为负值的项是() A.a 21和a 22 B.a 22和a 23 C.a 23和a 24D.a 24和a 25a n+1=a n -23,所以数列{a n }是公差为-23的等差数列.所以a n =15+(n-1)×(-23).因为a 23=13,a 24=-13,所以a 23a 24<0.3已知在等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d<0,则使数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是()A .4或5B .5或6C .6或7D .不存在d<0,∴a 9<a 3,∵|a 3|=|a 9|,∴a 3=-a 9,∴a 3+a 9=0. 又a 3+a 9=2a 6=0,∴a 5>0.即前5项或前6项的和最大.4若数列{a n }是等差数列,首项a 1>0,a 2 003+a 2 004>0,a 2 003·a 2 004<0,则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是() A.4 005B.4 006C.4 007D.4 008a 1>0,a 2003+a 2004>0,a 2003·a 2004<0,且数列{a n }为等差数列,所以数列{a n }是首项为正数,公差为负数的递减的等差数列,且a 2003是绝对值最小的正数,a 2004是绝对值最小的负数(第一个负数),且|a 2003|>|a 2004|.因为在等差数列{a n }中,a 2003+a 2004=a 1+a 4006>0,所以S 4006=4006(a 1+a 4006)2>0.所以使S n >0成立的最大正整数n 是4006.5已知数列{a n }的通项a n =11-2n ,则|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a 10|=() A.25 B.50 C.52 D.1006已知f (n+1)=f (n )-14(n ∈N +),且f (2)=2,则f (101)=.a n =f (n ),则a n+1-a n =-14,∴数列{a n }为等差数列,且a 2=2.∴a n =a 2-14(n-2)=10-a 4.∴f (101)=a 101=-914. -9147设f (x )+f (1-x )=6,则f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6)=.S=f (-5)+f (-4)+…+f (0)+f (1)+…+f (6),①即S=f (6)+f (5)+…+f (1)+f (0)+…+f (-5).②则①+②得2S=[f (-5)+f (6)]+[f (-4)+f (5)]+…+[f (0)+f (1)]+[f (1)+f (0)]+…+[f (6)+f (-5)]=12×6=72.故S=36.8“等和数列”的定义:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列{a n }是等和数列,且a 1=2,公和为5,那么a 18的值为.,可得a n +a n+1=5,所以a n+1+a n+2=5.所以a n+2-a n =0.因为a 1=2,所以a 2=5-a 1=3.所以当n 为偶数时,a n =3;当n 为奇数时,a n =2.所以a 18=3.9在等差数列{a n }中,其前n 项和为100,其后的2n 项和为500,则紧随其后的3n 项和为.,知S n =100,S 3n -S n =500,又S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…成等差数列,且公差为100.故S 6n -S 3n =(S 6n -S 5n )+(S 5n -S 4n )+(S 4n -S 3n )=600+500+400=1500.10在等差数列{a n }中,a 16+a 17+a 18=a 9=-18,其前n 项和为S n , (1)求S n 的最小值,并求出S n 取最小值时n 的值; (2)求T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |.因为a 16+a 17+a 18=a 9=-18,所以a 17=-6.又a 9=-18, 所以d=a 17-a 917-9=32.首项a 1=a 9-8d=-30.所以a n =32n-632. 若前n 项和S n 最小,则{a a ≤0,a a +1≥0,即{3a2-632≤0,32(a +1)-632≥0,所以n=20或n=21.故当n=20或n=21时,S n 取最小值. 最小值为S 20=S 21=-315. (2)由a n =32n-632≤0,得n ≤21.所以当n ≤21时,T n =-S n =34(41n-n 2), 当n>21时,T n =-a 1-a 2-…-a 21+a 22+…+a n=S n -2S 21=34(n 2-41n )+630.★11设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n=a aa+2(n-1)(n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)是否存在正整数n,使得a11+a22+…+a aa-(n-1)2=2 015?若存在,求出n的值;若不存在,说明理由.S n=na n-2(n-1)n.n≥2时,a n=S n-S n-1=na n-2(n-1)n-(n-1)·a n-1+2(n-2)(n-1).∴a n-a n-1=4.∴数列{a n}为a1=1,d=4的等差数列.∴a n=1+(n-1)4=4n-3.(2)由(1),得S n=n(4n-3)-2(n-1)n=(2n-1)n.∴a aa=2n-1.故a11+a22+…+a aa=n2,∴n2-(n-1)2=2015,解得n=1008.故存在n=1008满足题意.★12设数列{a n}的前n项和为S n,点(a,a aa)(n∈N+)均在函数y=3x-2的图象上, (1)求证:数列{a n}为等差数列;(2)T n是数列{3a a a a+1}的前n项和,求证:37≤T n<12.由题意得,a aa=3n-2,即S n=3n2-2n,当n≥2时,a n=S n-S n-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5;当n=1时,a1=S1=1.所以a n=6n-5(n∈N+).又a n-a n-1=6n-5-[6(n-1)-5]=6,故{a n}是等差数列.(2)由(1)知,设b n=3a a a a+1,则b n=3a a a a+1=3(6a-5)[6(a+1)-5]=1 2(16a-5-16a+1),故T n =12[(1-17)+(17-113)+…+(16a -5-16a +1)]=12(1-16a +1),又n ∈N +,所以0<16a +1≤17,故37≤T n <12.。
(完整版)数列公式汇总.doc
人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2． 1数列的概念与简单表示法2． 2等差数列2． 3等差数列的前n 项和2． 4等比数列2． 5等比数列前n 项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。
2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。
3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。
4、等差数列 n 项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。
5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。
6、等比数列的前n 项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式【难点】1、根据数列的前n 项观察、归纳数列的一个通项公式。
2、理解递推公式与通项公式的关系。
3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。
4、灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题。
5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。
6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。
一、数列的概念与简单表示法⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列 .注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项 . 各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第2 项，，第 n 项， .⒊数列的一般形式：a1 , a2 , a3 , , a n , ，或简记为a n，其中 a n是数列的第n项⒋数列的通项公式：如果数列 a n 的第 n 项a n与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 .注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1， 0， 1， 0， 1 ， 0 ，它的通项公式可以是1 ( 1) n 1|.a n ，也可以是 a n | cos n 12 2⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系：*数列可以看成以正整数集N（或它的有限子集{1 ， 2， 3，， n} ）为定义域的函数a n f (n) ，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
最新人教版高中数学必修5第二章《等差数列的前n项和》
数学人教B 必修5第二章2.2.2 等差数列的前n 项和1．理解等差数列前n 项和公式的推导过程． 2．掌握等差数列前n 项和公式，并能利用前n 项和公式解决有关等差数列的实际问题． 3．熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中的三个量求另外的两个量．1．(1)倒序相加法是解决等差数列求和问题的基本方法，利用倒序相加法可以推出等差数列的前n 项和公式．(2)等差数列的前n 项和公式有两个，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方法就是解方程组．(3)当已知首项a 1和末项a n 及项数n 时，用公式S n ＝n (a 1＋a n )2来求和，用此公式时常结合等差数列的性质．(4)当已知首项a 1和公差d 及项数n 时，用公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 来求和．【做一做1－1】已知数列{a n }为等差数列，a 1＝35，d ＝－2，S n ＝0，则n 等于( )． A ．33 B ．34 C ．35 D ．36【做一做1－2】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17＝10，则S 19的值为( )． A ．55 B ．95C ．100D ．不能确定2．等差数列前n 项和公式与函数的关系 由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ，当d ≠0时，此公式可看做二次项系数为d 2，一次项系数为(a 1－d2)，常数项为0的________，其图象为抛物线y ＝d 2x 2＋(a 1－d2)x 上的点集，坐标为(n ，S n )(n ∈N ＋)．因此，由二次函数的性质立即可以得出结论：当d ＞0时，S n 有最____值；当d ＜0时，S n 有最____值．数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解，这也是利用函数解决数列问题的一个重要应用．【做一做2－1】已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则{a n }的前________项和最大．【做一做2－2】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－12n ，则当n 等于________时，S n 最小．一、关于等差数列中奇数项和、偶数项和的问题剖析：(1)当等差数列{a n }有偶数项时，设项数为2n ， 设S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ，① S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1，② ①－②，得S 偶－S 奇＝nd . ①＋②，得S 偶＋S 奇＝S 2n .①②，得S 偶S 奇＝n2(a 2＋a 2n )n2(a 1＋a 2n －1)＝2a n ＋12a n ＝a n ＋1a n .(2)当等差数列{a n }有奇数项时，设项数为2n ＋1， 设S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1，③ S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ，④③－④，得S 奇－S 偶＝a 1＋nd ＝a n ＋1.③＋④，得S 偶＋S 奇＝S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1. ③④，得S 奇S 偶＝n ＋12(a 1＋a 2n ＋1)n 2(a 2＋a 2n )＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n .综上，等差数列奇数项和、偶数项和有如下性质： (1)项数为2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 偶＋S 奇＝S 2n ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n.(2)项数为2n ＋1时，S 奇－S 偶＝a 1＋nd ＝a n ＋1，S 偶＋S 奇＝S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1，S 奇S 偶＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n .熟练运用这些性质，可以提高解题速度．除了上述性质外，与前n 项和有关的性质还有：①等差数列的依次连续每k 项之和S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…组成公差为k 2d 的等差数列． ②若S n 为数列{a n }的前n 项和，则{a n }为等差数列等价于{S nn }是等差数列．③若{a n }，{b n }都为等差数列，S n ，S n ′为它们的前n 项和，则a m b m ＝S 2m －1S 2m －1′.二、教材中的“？”如果仅利用通项公式，能求出使得S n 最小的序号n 的值吗？剖析：如果仅利用通项公式，也可求出最小序号n 的值．因为该数列的通项公式为a n＝4n －32，其各项为－28，－24，…，－4,0,4，…，可以看出，所有负数或非正数的项相加其和最小时，n 的值为7或8.三、教材中的“思考与讨论”1．如果已知数列{a n }的前n 项和S n 的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？剖析：确定了，由公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2来求解，求解时注意要分类讨论，然后对n ＝1的情况进行验证，能写成统一的形式就将a 1合进来，否则保留分段函数形式．2．如果一个数列的前n 项和的公式是S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？剖析：等差数列前n 项和公式可以变形为S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n .当d ≠0时，是关于n 的二次函数，如果一个数列的前n 项和公式是S n ＝an 2＋bn ＋c (a ，b ，c 为常数)，那么这个数列的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ，n ＝1，2an －a ＋b ，n ≥2.只有当c ＝0时，a 1＝a ＋b ＋c 才满足a n ＝2an －a ＋b .因此，当数列的前n 项和公式为S n ＝an 2＋bn 时，所确定的数列才是等差数列，这时，等差数列的公差d ＝2a .题型一 等差数列的前n 项和公式的直接应用 【例1】在等差数列{a n }中，(1)已知a 10＝30，a 20＝50，S n ＝242，求n ； (2)已知S 8＝24，S 12＝84，求a 1和d ； (3)已知a 6＝20，S 5＝10，求a 8和S 8； (4)已知a 16＝3，求S 31.分析：在等差数列的前n 项和公式中有五个基本量a 1，a n ，d ，n ，S n ，只要已知任意三个量，就可以求出其他两个量．反思：在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，均可化成有关a 1，d 的方程或方程组求解．解题过程中，要注意：(1)选择适当的公式；(2)合理利用等差数列的有关性质．题型二 S n 与a n 的关系问题【例2】已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n ＞1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N ＋，求{a n }的通项公式．分析：由a 1＝S 1，求a 1.由a n ＋1＝S n ＋1－S n 确定a n ＋1与a n 的关系，再求通项a n .反思：利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求a n 时，切记验证n ＝1时的情形是否符合n ≥2时a n 的表达式．题型三 等差数列前n 项和性质的应用【例3】项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．分析：已知等差数列的奇、偶数项的和，求特殊项与项数，可从整体上直接考虑奇、偶数项的和与特殊项及项数的关系．反思：在等差数列{a n }中，(1)若项数为2n ＋1(n ∈N ＋)，则S 奇S 偶＝n ＋1n ，其中S 奇＝(n ＋1)a n＋1，S 偶＝n ·a n ＋1；(2)若数列项数为2n (n ∈N ＋)，则S 偶－S 奇＝nd .题型四 等差数列前n 项和的最值问题【例4】在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求S n 的最大值．分析：本题可用二次函数求最值或由通项公式求n ，使a n ≥0，a n ＋1＜0或利用等差数列的性质求出大于或等于零的项．反思：本例四种解法从四个侧面求解前n 项和最值问题，方法迥异，殊途同归． 解等差数列的前n 项和最大(最小)问题的常用方法有：(1)二次函数法：由于S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是关于n 的二次式，因此可用二次函数的最值来确定S n 的最值，但要注意这里的n ∈N ＋.(2)图象法：可利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 达到最大(或最小)． (3)通项法：由于S n ＝S n －1＋a n ，所以当a n ≥0时，S n ≥S n －1；当a n ≤0时，S n ≤S n －1，因此当a 1＞0且d ＜0时，使a n ≥0的最大的n 的值，使S n 最大；当a 1＜0，d ＞0时，满足a n ≤0的最大的n 的值，使S n 最小．题型 五易错辨析【例5】若数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n 2－2n ＋1，求数列{a n }的通项公式，并判断它是否为等差数列．错解：∵a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n ＋1)－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5， ∴a n ＋1－a n ＝[6(n ＋1)－5]－(6n －5)＝6(常数)． ∴数列{a n }是等差数列．错因分析：本题忽略了a n ＝S n －S n －1成立的条件“n ≥2”．【例6】已知两个等差数列{a n }与{b n }，它们的前n 项和的比S n S n ＝n ＋3n ＋1，求a 10b 10.错解：设S n ＝k (n ＋3)，S n ′＝k (n ＋1)， 则a 10b 10＝S 10－S 9S 10′－S 9′＝k (10＋3)－k (9＋3)k (10＋1)－k (9＋1)＝1. 错因分析：本题由于错误地设出了S n ＝k (n ＋3)，S n ′＝k (n ＋1)，从而导致结论错误．1已知在等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项的和S 10等于( )． A ．100 B ．210 C ．380 D ．400 2已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n ＋1n ＋2，则a 3等于( )．A ．120B ．124C ．128D ．1323等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( )． A ．130 B ．170 C ．210 D ．2604设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )． A ．S 4＜S 5 B ．S 4＝S 5 C ．S 6＜S 5 D ．S 6＝S 5 5设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2－2·3n ，则通项公式a n ＝________. 6设公差不为零的等差数列{a n }，S n 是数列{a n }的前n 项和，且S 23＝9S 2，S 4＝4S 2，则数列{a n }的通项公式为____________．答案： 基础知识·梳理 1．n (a 1＋a n )2 na 1＋n (n －1)2d【做一做1－1】D 由公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得到35n ＋n (n －1)2(－2)＝0，即n 2－36n＝0，解得n ＝36或n ＝0(舍去)．【做一做1－2】B 2．二次函数 小 大 【做一做2－1】9 【做一做2－2】6 典型例题·领悟【例1】解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.∵S n ＝242，∴12n ＋n (n －1)2×2＝242.解得n ＝11或n ＝－22(舍去)． ∴n ＝11.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ S 8＝8a 1＋28d ＝24，S 12＝12a 1＋66d ＝84，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝2.∴a 1＝－4，d ＝2.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 6＝a 1＋5d ＝20，S 5＝5a 1＋10d ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝6.∴a 8＝a 6＋2d ＝32，S 8＝8(a 1＋a 8)2＝88.(4)S 31＝a 1＋a 312×31＝a 16×31＝93.【例2】解：由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2，由已知a 1＝S 1＞1，知a 1＝2. 又由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)(a n ＋2)， 得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n ，因a n ＞0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去．因此a n ＋1－a n ＝3，从而{a n }是公差为3，首项为2的等差数列，故{a n }的通项为a n ＝3n －1.【例3】解：设等差数列{a n }共有(2n ＋1)项，则奇数项有(n ＋1)项，偶数项有n 项，中间项是第(n ＋1)项，即a n ＋1.∴S 奇S 偶＝12(a 1＋a 2n ＋1)×(n ＋1)12(a 2＋a 2n )×n ＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n ＝4433＝43，得n ＝3.∴2n ＋1＝7.又∵S 奇＝(n ＋1)·a n ＋1＝44，∴a n ＋1＝11. 故这个数列的中间项为11，共有7项． 【例4】解：解法一：由S 17＝S 9，得25×17＋172(17－1)d ＝25×9＋92(9－1)d ，解得d ＝－2，∴S n ＝25n ＋n2(n －1)(－2)＝－(n －13)2＋169，由二次函数的性质得当n ＝13时，S n 有最大值169. 解法二：先求出d ＝－2(解法一)．∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ＜0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ＞1212.∴当n ＝13时，S n 有最大值169. 解法三：先求出d ＝－2(同解法一)． 由S 17＝S 9，得a 10＋a 11＋…＋a 17＝0，而a 10＋a 17＝a 11＋a 16＝a 12＋a 15＝a 13＋a 14， 故a 13＋a 14＝0.∵d ＝－2＜0，a 1＞0， ∴a 13＞0，a 14＜0.故n ＝13时，S n 有最大值169.解法四：先求出d ＝－2(同解法一)得S n 的图象如图所示，由S 17＝S 9知图象的对称轴n ＝9＋172＝13，∴当n ＝13时，S n 取得最大值169.【例5】正解：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n ＋1)－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.∴数列{a n }不是等差数列．【例6】正解1：利用等差数列的性质，得a 10b 10＝192(a 1＋a 19)192(b 1＋b 19)＝S 19S 19′＝19＋319＋1＝1110. 正解2：设S n ＝kn (n ＋3)，S n ′＝kn (n ＋1)，所以a 10b 10＝S 10－S 9S 10′－S 9′＝k ·10(10＋3)－k ·9(9＋3)k ·10(10＋1)－k ·9(9＋1)＝1110.随堂练习·巩固1．B d ＝a 4－a 24－2＝15－72＝4，a 1＝3，所以S 10＝210.2．A3．C 令m ＝1，则S m ＝S 1＝a 1＝30，S 2m ＝S 2＝a 1＋a 2＝100，则有a 1＝30，a 2＝70，d ＝40，则a 3＝110，故S 3m ＝S 3＝S 2＋a 3＝100＋110＝210.4．B 方法一：设该等差数列的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－6，a 1＋7d ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝2. 从而有S 4＝－20，S 5＝－20，S 6＝－18.从而有S 4＝S 5.方法二：由等差数列的性质知a 5＋a 5＝a 2＋a 8＝－6＋6＝0，所以a 5＝0，从而有S 4＝S 5.5．－4·3n －1 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－2·31＝－4.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2－2·3n )－(2－2·3n －1)＝－4·3n －1.此时对n ＝1，有a 1＝－4·31－1＝－4，也适合．综上，对n ∈N ＋，a n ＝－4·3n －1.6．a n ＝49(2n －1) 设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，首项为a 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧(3a 1＋3d )2＝9(2a 1＋d )，4a 1＋6d ＝4(2a 1＋d ).解得a 1＝49，d ＝89或a 1＝d ＝0(舍去)．∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝49＋(n －1)×89＝49(2n －1)．。
人教B版数学必修五：2.2《等差数列》学案(含答案解析)
§2.2 等差数列1．等差数列的判定(1)a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)⇔{a n }是公差为d 的等差数列； (2)2a n ＝a n －1＋a n ＋1 (n ≥2)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数)⇔{a n }是公差为k 的等差数列(n ≥1)；(4)S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是公差为2A 的等差数列(n ≥1)．例如：已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)2＋λ，则λ的值是________． 解析 S n ＝(n －1)2＋λ＝n 2－2n ＋(1＋λ)， ∵{a n }是等差数列，∴1＋λ＝0，λ＝－1. 答案 －12．等差数列的通项公式将a n ＝a 1＋(n －1)d 可整理为a n ＝dn ＋(a 1－d )，它是关于n 的一次函数(d ≠0)或常函数(d ＝0)，它的图象是一条射线上的一群横坐标为正整数的孤立的点，公差d 是该射线所在直线的斜率．例如：等差数列{a n }中，若a n ＝m ，a m ＝n (m ≠n )，则a m ＋n ＝______. 解析 由点(n ，a n )，(m ，a m )，(m ＋n ，a m ＋n )三点共线， ∴a m ＋n －a n (m ＋n )－n ＝a m －a n m －n .即a m ＋n －m m ＝n －m m －n＝－1，易得a m ＋n ＝0. 答案 03．等差数列的前n 项和公式(1)将公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 变形可得S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n .故当d ≠0时，等差数列前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上横坐标为正整数的一群孤立点．(2)S n n ＝d2n ＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2是关于n 的一次函数(d ≠0)或常函数(d ＝0)． 当涉及等差数列前n 项和S n 的计算问题时，有时设S n ＝An 2＋Bn 的形式更简便快捷． 例如：等差数列{a n }中，若S p ＝q ，S q ＝p (p ≠q )，则S p ＋q ＝__________. 解析 设S n ＝An 2＋Bn ，则⎩⎪⎨⎪⎧S p ＝Ap 2＋Bp ＝q (1)S q ＝Aq 2＋Bq ＝p (2) 由(1)－(2)得Ap 2＋Bp －Aq 2－Bq ＝q －p ， ∴A (p 2－q 2)＋B (p －q )＝q －p ， ∵p ≠q ，∴A (p ＋q )＋B ＝－1. ∵S p ＋q ＝A (p ＋q )2＋B (p ＋q ) ＝[A (p ＋q )＋B ]·(p ＋q ) ＝－(p ＋q )． 答案 －(p ＋q ) 4．等差数列的性质(1)若数列{a n }和{b n }均是等差数列，则{ma n ＋kb n }仍为等差数列，其中m 、k 均为常数． (2)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(3)等差数列中依次k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d (d 是原数列公差)．(4)若{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别为S n 与S ′n ，则a m b m ＝S 2m －1S ′2m －1.(5)等差数列{a n }中，奇数项的和记作S 奇，偶数项的和记作S 偶，则S n ＝S 奇＋S 偶．当n 为偶数时：S 偶－S 奇＝n2d ；当n 为奇数时：S 奇－S 偶＝a 中，S 奇＝n ＋12a 中，S 偶＝n －12a 中，S 奇S 偶＝n ＋1n －1.(其中a 中是等差数列的中间一项)例如：已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是________．解析 S 偶－S 奇＝n2d ＝5d ，∴5d ＝30－15＝15，∴d ＝3.答案 35．等差数列前n 项和的最值求等差数列前n 项和的最值的常用方法： (1)通项法当a 1>0，d <0时，数列{a n }只有前面有限项为非负数，从某项开始所有项均为负数，因此，S n 有最大值，当n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1<0时，S n 取到这个最大值；当a 1<0，d >0时，数列{a n }只有前面有限项为非正数，从某项开始所有项均为正数，因此，S n 有最小值，当n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1>0时，S n 取到这一最小值．(2)二次函数法由于S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，n ∈N *是关于n 的二次函数式，故可转化为求二次函数的最值问题，但要注意数列的特殊性n ∈N *.例如：{a n }是等差数列，a 1>0，a 2 009＋a 2 010>0，a 2 009·a 2 010<0，则使前n 项和S n 最大时，n 的值是________；使前n 项和S n >0成立时，n 的最大值是________．答案 2 009 4 018一、等差数列的判断方法方法链接：判定等差数列的常用方法： (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)；(2)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数) (n ∈N *)； (3)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)；(4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)，n ∈N *.例1 数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝n (a 1＋a n )2，判断{a n }是否为等差数列？并证明你的结论．解 {a n }是等差数列，证明如下：因为a n ＝S n －S n －1＝n (a 1＋a n )2－(n －1)(a 1＋a n －1)2(n ≥2)，所以a n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2－n (a 1＋a n )2，所以a n ＋1－a n ＝12[(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)－2n (a 1＋a n )＋(n －1)(a 1＋a n －1)]＝12[(n ＋1)a n ＋1－2na n ＋(n －1)a n －1] (n ≥2)， 即(n －1)(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝0，所以a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)， 所以数列{a n }为等差数列．二、等差数列中基本量的运算方法链接：在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个基本量，利用通项公式与前n 项和公式，求出a 1和d ，等差数列就确定了．例2 在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8；(2)已知前3项和为12，前3项积为48，且d >0，求a 1； (3)已知前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k . 解 (1)∵a 6＝10，S 5＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝105a 1＋10d ＝5. 解方程组得a 1＝－5，d ＝3， ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 8＝8×(a 1＋a 8)2＝44.(2)设数列的前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意有： ⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝12(a －d )·a ·(a ＋d )＝48， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4a (a 2－d 2)＝48， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4d ＝±2. ∵d >0，∴d ＝2，a －d ＝2.∴a 1＝2. (3)设公差为d ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3a ＝8，d ＝4－a ，ka ＋k (k －1)2d ＝2 550，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝2，k ＝50或k ＝－51(舍去).因此，a ＝2，k ＝50.三、等差数列的性质及运用方法链接：等差数列有一些重要的性质，例如： (1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； (2)若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ；(3)若{a n }是等差数列，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 也成等差数列．(其S k 为前k 项和)(4)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.熟练运用这些性质，可以提高解题速度，获得事半功倍的功效．例3 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，求a 2＋a 4＋a 9的值； (2)已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，求证：①a n b n ＝S 2n －1T 2n －1；②a n b m ＝2m －12n －1·S 2n －1T 2m －1.(1)解 由S 9＝9(a 1＋a 9)2＝72，∴a 1＋a 9＝16，∴a 1＋a 9＝2a 5＝16，∴a 5＝8，∴a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝24.(2)证明 ①a n b n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝(a 1＋a 2n －1)2n －12(b 1＋b 2n －1)2n －12＝S 2n －1T 2n －1.②a n b m ＝2a n 2b m ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2m －1＝(a 1＋a 2n －1)2n －12·2m －12(b 1＋b 2m －1)2m －12·2n －12＝2m －12n －1·S 2n －1T 2m －1.四、等差数列前n 项和的最值 方法链接：等差数列前n 项和最值问题除了用二次函数求解外，还可用下面的方法讨论：若d >0，a 1<0，S n 有最小值，需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0；若a 1>0，d <0，S n 有最大值，需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0.n 取正整数．例4 (1)首项为正数的等差数列，前n 项和为S n ，且S 3＝S 11，问n 为何值时，S n 最大？(2)等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求{|a n |}的前30项和及前n 项和．解 (1)设首项为a 1，公差为d ，则由题意知，d <0，点P (n ，S n )在抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上，其对称轴方程为x ＝7(由S 11＝S 3知)，故(7，S 7)是抛物线的顶点，∴n ＝7时，S n 最大．(2)设公差为d ，则由a 1＋16d ＝a 17，得d ＝3>0，因此a n ＝3n －63.点Q (n ，a n )在增函数y ＝3x －63的图象上．令y ＝0则得x ＝21，故当n ≥22时，a n >0；当1≤n ≤21且n ∈N *时，a n ≤0， 于是|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝a 1＋a 2＋…＋a 30－2(a 1＋a 2＋…＋a 21) ＝765.记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |， 则由上面的求解过程知： 当1≤n ≤21，n ∈N *时， T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝－a 1－a 2－…－a n ＝(123－3n )n 2＝－32n 2＋1232n .当n >21，n ∈N *时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 20|＋|a 21|＋…＋|a n | ＝－(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋a 22＋a 23＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－2(a 1＋a 2＋…＋a 21) ＝32n 2－1232n ＋1 260. ∴数列{|a n |}的前n 项和T n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1232n (1≤n ≤21，n ∈N *)，32n 2－1232n ＋1 260 (n >21，n ∈N *).五、关于等差数列的探索性问题方法链接：对于与等差数列有关的探索性问题，先由前三项成等差数列确定参数后，再利用定义验证或证明所得结论．例5 已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1 (n ≥2且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13， a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列．则a 1＋λ2，a 2＋λ22，a 3＋λ23成等差数列，∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23，∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8.解得λ＝－1.当λ＝－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－12n ＋1－⎝⎛⎭⎫a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－1)－2(a n －1)] ＝12n ＋1(a n ＋1－2a n ＋1) ＝12n ＋1[(2a n ＋2n ＋1－1)－2a n ＋1] ＝12n ＋1×2n ＋1＝1. 综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2为等差数列，且首项是2，公差是1.六、关于等差数列的创新型问题方法链接：关于等差数列的创新型试题，常以图表、数阵、新定义等形式出现．解决此类问题时通过对图表的观察、分析、提炼，挖掘出题目蕴含的有用信息，利用所学等差数列的有关知识加以解决．ij(1)写出a 45的值；(2)写出a ij 的计算公式．解 (1)通过观察“等差数阵”发现：第一行的首项为4，公差为3；第二行首项为7，公差为5.归纳总结出：第一列(每行的首项)是以4为首项，3为公差的等差数列，即3i ＋1，各行的公差是以3为首项，2为公差的等差数列，即2i ＋1.所以a 45在第4行，首项应为13，公差为9，进而得出a 45＝49.(2)该“等差数阵”的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a 1j ＝4＋3(j －1)； 第二行是首项为7，公差为5的等差数列： a 2j ＝7＋5(j －1)； ……第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列， 因此，a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1)＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .1．审题不细心，忽略细节而致错例1 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，求公差d 的取值范围．[错解] a 10＝a 1＋9d ＝－24＋9d >0，∴d >83.[点拨] 忽略了“开始”一词的含义，题目强调了第10项是该等差数列中的第一个正项，应有a 9≤0.[正解] 设a n ＝－24＋(n －1)d ， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋(9－1)d ≤0a 10＝－24＋(10－1)d >0， 解不等式得：83<d ≤3.温馨点评 审题时要细心，包括问题的细节，有时细节决定解题的成败.2．忽略公式的基本特征而致错例2 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且对一切正整数n 都有S n T n ＝5n ＋32n ＋7，试求a 9b 9的值． [错解] 设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，k ≠0， 则a 9＝S 9－S 8＝(5×9＋3)k －(5×8＋3)k ＝5k ， b 9＝T 9－T 8＝(2×9＋7)k －(2×8＋7)k ＝2k ，所以a 9b 9＝52.[点拨] 此解答错在根据条件S n T n ＝5n ＋32n ＋7，设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，这是把等差数列前n 项和误认为是关于n 的一次函数，没有准确把握前n 项和公式的特点．[正解] 因为{a n }和{b n }是公差不为0的等差数列， 故设S n ＝n (5n ＋3)k ，T n ＝n (2n ＋7)k ，k ≠0，则 a 9＝S 9－S 8＝9×(5×9＋3)k －8×(5×8＋3)k ＝88k ，b 9＝T 9－T 8＝9×(2×9＋7)k －8×(2×8＋7)k＝41k ，所以a 9b 9＝8841.温馨点评 等差数列的前n 项和S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，当d ≠0时，是关于n 的二次函数式，且常数项为零，当d ＝0时，S n ＝na 1，但是本题不属于这种情况(否则S n T n ＝na 1nb 1＝a 1b 1与S nT n＝5n ＋32n ＋7矛盾)． 3．对数列的特点考虑不周全而致错例3 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 有最大值，并求出它的最大值．[错解] 设公差为d ，∵S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，得120d ＝－200，即d ＝－53，∴a n ＝20－(n －1)·53，当a n >0时，20－(n －1)·53>0，∴n <13.∴n ＝12时，S n 最大，S 12＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.∴当n ＝12时，S n 有最大值S 12＝130.[点拨] 解中仅解不等式a n >0是不正确的，事实上应解a n ≥0，a n ＋1≤0.[正解] 由a 1＝20，S 10＝S 15，解得公差d ＝－53.∵S 10＝S 15，∴S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0， ∵a 11＋a 15＝a 12＋a 14＝2a 13＝0，∴a 13＝0. ∵公差d <0，a 1>0，∴a 1，a 2，…，a 11，a 12均为正数， 而a 14及以后各项均为负数．∴当n ＝12或13时，S n 有最大值为S 12＝S 13＝130.4．忽略题目中的隐含条件而致错例4 一个凸n 边形的各内角度数成等差数列，其最小角为120°，公差为5°，求凸n 边形的边数．[错解] 一方面凸n 边形的内角和为S n ，S n ＝120°n ＋n (n －1)2×5°.另一方面，凸n 边形内角和为(n －2)×180°.所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180.化简整理得：n 2－25n ＋144＝0. 所以n ＝9或n ＝16.即凸n 边形的边数为9或16.[点拨] 凸n 边形的每个内角都小于180°.当n ＝16时，最大内角为120°＋15°×5°＝195°>180°应该舍掉．[正解] 凸n 边形内角和为(n －2)×180°，所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180解得：n ＝9或n ＝16.当n ＝9时，最大内角为120°＋8°×5°＝160°<180°； 当n ＝16时，最大内角为120°＋15×5°＝195°>180°舍去． 所以凸n 边形的边数为9.例 一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和． 分析 本题可从基本方法入手，先求a 1，d ，再求前110项之和，为了简化计算，也可利用等差数列前n 项和的性质．解 方法一 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10. ②①×10－②整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100，∴S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎫1 099－109×11100＝－110. 故此数列的前110项之和为－110. 方法二 设S n ＝an 2＋bn . ∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n .∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.方法三 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎨⎧S p ＝pa 1＋p (p －1)2d ＝q ， ①(p ≠q )S q＝qa 1＋q (q －1)2d ＝p . ②①－②得(p －q )a 1＋(p －q )(p ＋q －1)2d＝－(p －q )． 又p ≠q ，∴a 1＋p ＋q －12d ＝－1，∴S p ＋q ＝(p ＋q )a 1＋(p ＋q )(p ＋q －1)2d＝(p ＋q )(－1)， ∴S 110＝－110.方法四 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100 成等差数列，设其公差为D .前10项的和10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10，解得D ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22)＝－120. ∴S 110＝－120＋S 100＝－110.方法五 ∵S 100－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 100 ＝90(a 11＋a 100)2＝90(a 1＋a 110)2.又S 100－S 10＝10－100＝－90，∴a 1＋a 110＝－2.∴S 110＝110(a 1＋a 110)2＝－110.1．已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n . 解 设{a n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16，a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋8da 1＋12d 2＝－16，a 1＝－4d ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2.因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)， 或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)．2．设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项．解 (1)由题意，设等差数列{a n }的通项公式为 a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ≠0.由a 22＋a 23＝a 24＋a 25得a 22－a 25＝a 24－a 23，由性质得－3d (a 4＋a 3)＝d (a 4＋a 3)，因为d ≠0 所以a 4＋a 3＝0，即2a 1＋5d ＝0.① 又因为S 7＝7，所以a 1＋3d ＝1.② 由①②可得a 1＝－5，d ＝2.所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －7，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2－6n .(2)因为a m a m ＋1a m ＋2＝(a m ＋2－4)(a m ＋2－2)a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，故8a m ＋2为整数． 又由(1)知a m ＋2为奇数，所以a m＋2＝2m－3＝±1，即m＝1,2.经检验，符合题意的正整数只有m＝2.赏析试题考查了等差数列的有关知识，起点较低，落点较高，难度控制得恰到好处．第(2)问要求考生有一定的分析问题解决问题的能力．。
人教版高中数学选择性必修第二册 等差数列的前n项和公式(第1课时)分层作业(含解析)
人教版高中数学选择性必修第二册等差数列的前n项和公式(第1课时)分层作业(原卷版)(60分钟100分)基础对点练基础考点分组训练知识点1等差数列的前n项和公式1．(5分)若等差数列{a n}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝()A．12B．13C．14D．152．(5分)在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝()A．58B．88C．143D．1763．(5分)设等差数列{a n}的前10项和为20，且a5＝1，则{a n}的公差为()A．1B．2C．3D．44．(5分)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＋a2＋a3＝a4＋a5，S5＝60，则a5＝() A．16B．20C．24D．265.(5分)在等差数列{a n}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n项和S n＝100，则n＝________.知识点2等差数列前n项和性质的应用6．(5分)含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为()A．2n＋1n B．n＋1nC．n－1n D．n＋12n7．(5分)已知一个有限项的等差数列{a n}，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为()A．12B．14C．16D．188.(5分)在等差数列{a n}中，S3＝30，S6＝100，则S9＝________.9.(5分)在等差数列{a n}中，S n是其前n项和，a1＝－11，S1010－S88＝2，则S11＝________.能力提升练能力考点拓展提升10.(5分)(多选)数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，已知a7＝5，S7＝21，则()A ．a 1＝1B ．d ＝－23C ．a 2＋a 12＝10D ．S 10＝4011．(5分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝12，则S 13等于()A ．52B ．54C ．56D ．5812．(5分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，则S8S 16＝()A ．310B ．37C ．13D ．1213.(5分)已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 3＝9，a 4＋a 5＋a 6＝7，则S 9－S 6＝________.14.(5分)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，则a 5与a 7的等差中项为________．15.(5分)在等差数列{a n }中，a 1>0，d ＝12a n ＝3，S n ＝152，则a 1＝________，n ＝________.16.(12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50，S n ＝242，求n .17.(13分)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且S 2＝2，S 3＝－6.(1)求数列{a n }的通项公式和前n 项和S n .(2)是否存在n ，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列？若存在，求出n ；若不存在，说明理由．人教版高中数学选择性必修第二册等差数列的前n 项和公式(第1课时)分层作业(解析版)(60分钟100分)基础对点练基础考点分组训练知识点1等差数列的前n 项和公式1．(5分)若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝()A ．12B ．13C ．14D ．15B 解析：设等差数列{a n }的公差为d .5＝5a 1＋10d ＝25，2＝a 1＋d ＝3，1＝1，＝2.∴a 7＝a 1＋6d ＝13.2．(5分)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝()A ．58B ．88C ．143D ．176B解析：S 11＝11×(a 1＋a 11)2＝11×(a 4＋a 8)2＝88.3．(5分)设等差数列{a n }的前10项和为20，且a 5＝1，则{a n }的公差为()A ．1B ．2C ．3D ．4B 解析：设等差数列{a n }的公差为d .10＝10a 1＋45d ＝20，5＝a 1＋4d ＝1，1＝－7，＝2.4．(5分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 2＋a 3＝a 4＋a 5，S 5＝60，则a 5＝()A ．16B ．20C ．24D ．26A解析：设等差数列{a n }的公差为d .∵a 1＋a 2＋a 3＝a 4＋a 5，∴3a 1＋3d ＝2a 1＋7d ，∴a 1＝4d .又∵S 5＝5a 1＋10d ＝30d ＝60，∴d ＝2，∴a 1＝8.∴a 5＝a 1＋4d ＝16.5.(5分)在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＋a 5＝14，其前n 项和S n ＝100，则n ＝________.10解析：设等差数列的公差为d ，则a 3＋a 5＝2a 1＋6d ＝2＋6d ＝14，∴d ＝2，∴S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，即n 2＝100，解得n ＝10或n ＝－10(舍)．知识点2等差数列前n 项和性质的应用6．(5分)含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为()A ．2n ＋1n B ．n ＋1nC ．n －1nD ．n ＋12n B解析：∵S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2，S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2，又∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶＝n ＋1n .故选B.7．(5分)已知一个有限项的等差数列{a n }，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为()A ．12B ．14C ．16D ．18B解析：由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，两式相加得a 1＋a n ＝30.又因为S n ＝n (a 1＋a n )2＝30n2＝210，所以n ＝14.8.(5分)在等差数列{a n }中，S 3＝30，S 6＝100，则S 9＝________.210解析：∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，即30,70，S 9－100成等差数列，∴140＝30＋S 9－100，∴S 9＝210.9.(5分)在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－11，S 1010－S 88＝2，则S 11＝________.－11解析：是等差数列，首项为a11＝－11，设公差为d ，则S 1010－S 88＝2d ＝2，∴d ＝1，∴S1111＝－11＋10×1＝－1.∴S 11＝－11.能力提升练能力考点拓展提升10.(5分)(多选)数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，已知a 7＝5，S 7＝21，则()A ．a 1＝1B ．d ＝－23C ．a 2＋a 12＝10D ．S 10＝40ACD解析：设数列{a n }的公差为d ，则由已知得S 7＝7(a 1＋a 7)2，即21＝7(a 1＋5)2，解得a 1＝1.又a 7＝a 1＋6d ，所以d ＝23.所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝10＋10×92×23＝40.由{a n }为等差数列，知a 2＋a 12＝2a 7＝10.11．(5分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝12，则S 13等于()A ．52B ．54C ．56D ．58A解析：∵a 3＋a 7＋a 11＝12，∴a 7＝4，∴S 13＝13·(a 1＋a 13)2＝13a 7＝52.12．(5分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，则S8S 16＝()A ．310B ．37C ．13D ．12A解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 4S 8＝4a 1＋6d 8a 1＋28d ＝13，∴a 1＝52d .∴S 8S 16＝8a 1＋28d 16a 1＋120d ＝48d 160d ＝310.13.(5分)已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 3＝9，a 4＋a 5＋a 6＝7，则S 9－S 6＝________.5解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，而S 3＝9，S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝7，∴S 9－S 6＝5.14.(5分)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，则a 5与a 7的等差中项为________．－6解析：设等差数列{a n }的公差为d ，9＝9a 1＋36d ＝－36，13＝13a 1＋78d ＝－104，1＝4，＝－2.∵a 5与a 7的等差中项为a 6，∴a 6＝4＋5×(－2)＝－6.15.(5分)在等差数列{a n }中，a 1>0，d ＝12a n ＝3，S n ＝152，则a 1＝________，n ＝________.23解析：n ＝a 1＋(n －1)×12＝3，n ＝na 1＋n (n －1)4＝152，得n 2－13n ＋30＝0，∴n ＝3或n ＝10.又当n ＝3时，a 1＝2>0；当n ＝10时，a 1＝－32<0，不合题意，舍去，故a 1＝2，n ＝3.16.(12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50，S n ＝242，求n .解：设等差数列{a n }的公差为d ，由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，1＋9d ＝30，1＋19d ＝50，1＝12，＝2.∴a n ＝2n ＋10.∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2＋11n .令n 2＋11n ＝242，解得n ＝11或n ＝－22(舍去).17.(13分)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且S 2＝2，S 3＝－6.(1)求数列{a n }的通项公式和前n 项和S n .(2)是否存在n ，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列？若存在，求出n ；若不存在，说明理由．解：(1)设{a n }的公差为d，则a 1＋d ＝2，a 1＋3×22d ＝－6，1＝4.＝－6，∴a n ＝4－6(n －1)＝10－6n ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝7n －3n 2.(2)存在．S n ＋S n ＋3＝7n －3n 2＋7(n ＋3)－3(n ＋3)2＝－6n 2－4n －6.S n ＋2＝7(n ＋2)－3(n ＋2)2＝－3n 2－5n ＋2，2(S n ＋2＋2n )＝2(－3n 2－5n ＋2＋2n )＝－6n 2－6n ＋4.若存在n ，使S n ，S n ＋2＋2n ，S n ＋3成等差数列，则－6n 2－4n －6＝－6n 2－6n ＋4，解得n ＝5，∴存在n＝5，使S n，S n＋2＋2n，S n＋3成等差数列．。
2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.2.2 等差数列的前n项和学案 新人教B版5
2．2.2 等差数列的前n项和1。
了解等差数列前n项和公式的推导过程．2。
理解等差数列前n项和的性质．3．体会等差数列的前n项和与二次函数之间的联系．4。
学会利用等差数列的前n项和公式解决一些实际问题．1．等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式S n＝错误!S n＝na1＋错误!d2．等差数列前n项和S n的性质（1）等差数列{a n}中，连续m项的和仍成等差数列，即S m，S2m－S m,S3m－S2m，…仍成等差数列．（2)若S n为数列{a n｝的前n项和，则｛a n}为等差数列等价于{错误!}是等差数列．（3）若{a n}，｛b n｝都为等差数列，S n，S错误!为它们前n项的和，则错误!＝错误!。
1．已知等差数列{a n｝中，a1＝－10，d＝－1，S n为其前n项和，则S11为( )A．165 B．－112C．－135 D．－165解析：选D。
S11＝11a1＋错误!×d＝－110－55＝－165.2．设等差数列{a n｝的前n项和为S n，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于________．解析：由等差数列前n项和的性质可知：S3,S6－S3，S9－S6仍成等差数列且首项为9，公差为18。
所以S9－S6＝9＋（3－1）×18＝45，所以a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.答案：453．在公式S n＝na1＋错误!d中，S n一定是关于n的二次函数吗?解：不一定．由S n＝na1＋n（n－1）2d＝错误!n2＋（a1－错误!）n，当d≠0时，S n是关于n的二次函数，且不含常数项,即S n＝An2＋Bn(A≠0);当d＝0，a1≠0时,S n＝na1,S n是关于n的一次函数．当d＝0，a1＝0时,S n＝0是常数函数．等差数列前n项和公式的基本运算已知等差数列｛a n}中，（1)a1＝错误!,d＝－错误!，S n＝－15，求n及a12；(2)a1＝1,a n＝－512，S n＝－1 022，求d；(3)S5＝24，求a2＋a4。
高中数学第二章数列2.2.1等差数列第2课时等差数列的性质课件新人教B版必修5
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【解】 由题意可知，，(n≥2，n∈N＋)，每年获利构成等差数列{an}，且首项 a1＝200，公差 d ＝－20.
所以 an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20) ＝－20n＋220. 若 an<0，则该公司经销这一产品将亏损， 由 an＝－20n＋220<0，解得 n>11， 即从第 12 年起，该公司经销这一产品将亏损.
解得
a1＝1， d＝3
或
a1＝16， d＝－3，
∴d＝3 或－3.
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法二：(1)根据已知条件 a2＋a3＋a23＋a24＝48，及 a2＋a24＝a3＋a23＝2a13. 得 4a13＝48，∴a13＝12. (2)由 a2＋a3＋a4＋a5＝34，及 a3＋a4＝a2＋a5 得 2(a2＋a5)＝34， 即 a2＋a5＝17. 解aa22＋·a5a＝5＝521，7， 得aa25＝ ＝41， 3 或aa52＝＝41.3， ∴d＝a55－－2a2＝13－ 3 4＝3 或 d＝a55－－2a2＝4－313＝－3.
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【自主解答】 由题图可知，从第 1 年到第 6 年平均每个养鸡场出产的鸡
数成等差数列，记为{an}，公差为 d1，且 a1＝1，a6＝2；从第 1 年到第 6 年的养 鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为 d2，且 b1＝30，b6＝10；从第 1 年到 第 6 年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则 cn＝anbn.
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4.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则 a12＝________. 【解析】 在等差数列{an}中，由于 a7＋a9＝a4＋a12，所以 a12＝(a7＋a9)－ a4＝16－1＝15. 【答案】 15
2020版数学人教B版必修5学案：第二章 2.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式 Word版含解析
§2.2 等差数列2.2.1 等差数列第1课时 等差数列的概念及通项公式学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念．知识点一 等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，可正可负可为零． 知识点二 等差中项的概念如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 与y 的等差中项，且A ＝x ＋y2.思考 下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a ，b .答案 插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4)a ＋b2.知识点三 等差数列的通项公式若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .此公式可用叠加法证明．1．数列4,4,4，……是等差数列．( √ ) 2．数列3,2,1是等差数列．( √ )3．数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n ＋1，n ≥2，则{a n }是等差数列．( × )4．等差数列{a n }中，a 1，n ，d ，a n 任给三个，可求其余．( √ )题型一 等差数列的概念例1 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n －13，…； (3)1,2,1,2，…； (4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a ，a ，a ，a ，a ，….解 由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列．反思感悟 判断一个数列是不是等差数列，就是判断从第二项起该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证a n ＋1－a n (n ≥1，n ∈N ＋)是不是一个与n 无关的常数． 跟踪训练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5(n ∈N ＋)，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列 D ．是公差为n 的等差数列 答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋5－(2n ＋5)＝2， ∴{a n }是公差为2的等差数列． 题型二 等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列． 解 ∵－1，a ，b ，c ，7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项， ∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.反思感悟 在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项． 跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项． 解 由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8. 又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10. 两式相加，得3m ＋3n ＝18，即m ＋n ＝6. 所以m 和n 的等差中项为m ＋n 2＝3.题型三 等差数列通项公式的求法及应用 例3 在等差数列{a n }中，(1)若a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项． (2)若a 2＝11，a 8＝5，求a 10.解 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝15.a 1＋16d ＝39，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝2，所以a n ＝7＋2(n －1)＝2n ＋5. 令2n ＋5＝91，得n ＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项．(2)设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝11，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝－1.∴a n ＝12＋(n －1)×(－1)＝13－n ， 所以a 10＝13－10＝3.反思感悟 根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．等差数列{a n }中的每一项均可用a 1和d 表示，这里的a 1和d 就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量．跟踪训练3 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？ 解 (1)由a 1＝8，a 2＝5，得d ＝a 2－a 1＝5－8＝－3， 由n ＝20，得a 20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1. 由题意，令－401＝－4n －1，得n ＝100， 即－401是这个数列的第100项．等差数列的判定与证明典例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋3n ，且a 1＝1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 由a n ＋1＝3a n ＋3n ，两边同时除以3n ＋1，得a n ＋13n ＋1＝a n 3n ＋13，即a n ＋13n ＋1－a n 3n ＝13. 由等差数列的定义知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是以a 13＝13为首项，13为公差的等差数列．(2)解 由(1)知a n 3n ＝13＋(n －1)×13＝n3，故a n ＝n ·3n -1，n ∈N ＋.典例2 已知数列{a n }：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)． (1)判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由； (2)求{a n }的通项公式．解 (1)当n ≥3时，a n ＝a n －1＋2，即a n －a n －1＝2， 而a 2－a 1＝0不满足a n －a n －1＝2(n ≥3)， ∴{a n }不是等差数列．(2)当n ≥2时，a n 是等差数列，公差为2. 当n ≥2时，a n ＝1＋2(n －2)＝2n －3， 又a 1＝1不适合上式，∴{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2.[素养评析] (1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)或a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可． (2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，使学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养.1．下列数列不是等差数列的是( ) A ．1,1,1,1,1 B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,2答案 D2．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n (n ∈N ＋)，则它的公差d 为( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3 答案 C解析 由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.3．已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 答案 B解析 因为A ，B ，C 成等差数列，所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ， 又因为A ＋B ＋C ＝180°，所以3B ＝180°，从而B ＝60°.4．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( ) A ．公差为1的等差数列 B ．公差为13的等差数列C ．公差为－13的等差数列D ．不是等差数列 答案 B解析 由3a n ＋1＝3a n ＋1，得3a n ＋1－3a n ＝1，即a n ＋1－a n ＝13.所以数列{a n }是公差为13的等差数列．5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( ) A ．92 B ．47 C ．46 D ．45 答案 C解析 d ＝－1－1＝－2，设－89为第n 项，则－89＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)·(－2)，∴n ＝46.1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法 (1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列； (3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.一、选择题1．设数列{a n }(n ∈N ＋)是公差为d 的等差数列，若a 2＝4，a 4＝6，则d 等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 D解析 ∵a 4－a 2＝2d ＝6－4＝2.∴d ＝1.2．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( ) A ．52 B ．62 C ．－62 D ．－52 答案 A解析 公差d ＝－2－(－5)＝3，a 20＝a 1＋(20－1)d ＝－5＋19×3＝52.3．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A ．52 B ．51 C ．50 D ．49 答案 A解析 因为2a n ＋1－2a n ＝1，a 1＝2，所以数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列，所以a 101＝a 1＋100d ＝2＋100×12＝52.4．若5，x ，y ，z ，21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．26 B ．29 C ．39 D ．52 答案 C解析 ∵5，x ，y ，z ，21成等差数列，∴y 既是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项． ∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26， ∴x ＋y ＋z ＝39.5．已知在等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( ) A ．15 B ．22 C ．7 D ．29 答案 A解析 设{a n }的首项为a 1，公差为d ，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝22，a 6＝a 1＋5d ＝7，解得a 1＝47，d ＝－8.所以a 5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.6．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( ) A ．第7项 B ．第8项 C ．第9项 D ．第10项答案 B解析 ∵a 1＝20，d ＝－3， ∴a n ＝20＋(n －1)×(－3)＝23－3n ， ∴a 7＝2＞0，a 8＝－1<0.故数列中第一个负数项是第8项．7．一个等差数列的前4项是a ，x ，b ，2x ，则ab 等于( )A.14B.12C.13D.23 答案 C解析 ∵b 是x,2x 的等差中项，∴b ＝x ＋2x 2＝3x2，又∵x 是a ，b 的等差中项，∴2x ＝a ＋b ， ∴a ＝x 2，∴a b ＝13.8．在数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，则a 4等于( )A.12B.13C.14D.16 答案 A解析 由题意可得2a 4＋1＝1a 2＋1＋1a 6＋1，解得a 4＝12，故选A.二、填空题9．若一个等差数列的前三项为a,2a －1,3－a ，则这个数列的通项公式为__________________． 答案 a n ＝n4＋1，n ∈N ＋解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝54.∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74，∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)×14＝n4＋1，n ∈N ＋.10．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案6766解析 设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.11．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤83，3解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0，解得83<d ≤3.三、解答题12．已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0，求{a n }的通项公式． 解 设数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12. 13．已知数列{a n }满足a n ＋1＝6a n －4a n ＋2，且a 1＝3(n ∈N ＋)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 由1a n ＋1－2＝16a n －4a n ＋2－2＝a n ＋2(6a n －4)－2(a n ＋2)＝a n ＋24a n －8＝(a n －2)＋44(a n －2)＝1a n －2＋14， 得1a n ＋1－2－1a n －2＝14，n ∈N ＋，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列．(2)解 由(1)知1a n －2＝1a 1－2＋(n －1)×14＝n ＋34，所以a n ＝2n ＋10n ＋3，n ∈N ＋.14．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，则a 10＝________. 答案110解析 易知a n ≠0，∵数列{a n }满足a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，∴1a n －1a n －1＝1(n ≥2，n ∈N ＋)，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且公差为1，首项为1，∴1a 10＝1＋9＝10，∴a 10＝110.15．已知数列{a n }满足：a 1＝10，a 2＝5，a n －a n ＋2＝2(n ∈N ＋)，求数列{a n }的通项公式． 解 由a n －a n ＋2＝2知，{a n }的奇数项，偶数项 分别构成公差为－2的等差数列．当n ＝2k －1时，2k ＝n ＋1，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·(－2)＝12－2k ，∴a n ＝12－(n ＋1)＝11－n (n 为奇数)．当n ＝2k 时，a 2k ＝a 2＋(k －1)·(－2)＝5－2k ＋2＝7－2k . ∴a n ＝7－n (n 为偶数)．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7－n ，n 为偶数，11－n ，n 为奇数.。
高中数学人教B版必修5 2.2 素材 《2.2.1等差数列》通项公式应用例题(人教B)
通项公式应用例题例1、等差数列｛｝中，⑴已知： 求⑵已知： 求⑶已知： 求⑷已知： 求（题目比较简单，照顾到全体学生，使学生深刻掌握等差数列的通项公式，从而打好基础。
）例2、1、求等差数列8、5、2… …的第20项解：由得： 2、是不是等差数列、、… …的项？如果是，是第几项？解：由得 由题意知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得： 成立解得：即是这个数列的第100项。
例3、某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4km （不含4km ）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？分析：可以抽象为等差数列的数学模型。
4km 处的车费记为： 公差n a 21=a 3=d n a 31=a 21=n a 2=d n 81=a 276=a d 31=d 87=a 1a 81=a 385-=-=d 20=n 49)3()120(820-=-⨯-+=a 401-5-9-13-51-=a 4)5(9-=---=d 14)1(45--=---=n n a n 14401-=-n 100=n 401-2.111=a 2.1=d当出租车行至目的地即14km 处时，n=11 求所以：例4：数列是等差数列吗？（引导学生根据等差数列的定义求解，就是看是不是一个与n 无关的常数。
） 所以：｛｝是等差数列 引申：已知数列｛｝的通项公式，其中、为常数，这个数列是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？（指定学生求解）解：取数列｛｝中任意两项和它是一个与n 无关的常数，所以｛｝是等差数列？并且：11a 2.232.1)111(2.1111=⨯-+=a 53-=n a n 1--n n a a )2(≥n []35)1(331=---=--n n a a n n n a n a q pn a n +=p q n a n a 1-n a )2(≥n []q n p q pn a a n n +--+=--)1()(1p q p pn q pn =+--+=)(n a q p a +=1p d =。