2021年高考数学全真模拟预测试题附答案
数 学 试 题 本试卷分第I卷（选择题共60分）和第II卷（非选择题90分）。考试时间120分钟，满分150分。考试结束后，只需上交答题卡。 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚。请认真核对准考证号、姓名和科目。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A、B相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B) 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率knkknnPPCkP)1()(
球的表面积公式 24RS
其中R表示球的半径
球的体积公式 334RV球 其中R表示球的半径
第Ⅰ卷 选择题（共60分） 一、选择题（每题后只有一个答案是正确的，将正确答案的代号填上答题卡中。每题5分，共60分） 1．已知集合NMxxNxxM则},0|{},1|{2
= （ ） A． B．}0|{xx C．}1|{xx D．}10|{xx 2．在等比数列}{
na，23,2133Sa，则首项1a= （ ）
A．41 B．-1 C．21或2 D．2
2
3．下列函数是偶函数且在区间（0，1）上是增函数的是 （ ） A．xycos B．|1|xy C．xxy22log2 D．xxeey
4．在ABC中，a、b、c分别是CBA,,所对的边，设向量),(),,(acbnaccbm 若Anm则,的大小为 （ ） A．32 B．3 C．2 D．4 5．从8名女生，4名男生中选出6名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽样方法种数为 （ ） A．2448CC B．3438CC C．268C D．244
8AA
6．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为（ ）
A．22 B．515 C．46 D．36 7．已知2ba，有下列不等式：①;32abb
②);11(241baab③;baab
④3log3log
ba；其中正确的是 （ ）
A．②④ B．①② C．③④ D．①③ 8．已知xxq
xp:,21:，则p是q的 （ ）
A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知曲线axxy24在区间]3,21[上的切线的倾斜角的取值范围是43,3，则 实数a的最小值是 （ ） A．8 B．12 C．14 D．16
10．已知1,02222byaxba椭圆、双曲线12222byax和抛物线02byax
的离心率
分别为321,eee和，则下列关系不正确的是 （ ）
A．2322212eee B．322eee C．321eee D．23212
22eee
11．实数x，y满足条件yxz
xyyx3,|1|
032
则的最小值是 （ ）
A．-19 B．-5 C．-35 D．0 12．已知函数}),({],,[),(
1||2)(MxxfyyNbaMRxxxf集合区间，则使
M=N成立的实数对（a，b）有 （ ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每题5分，共20分） 13．二项式6
2)13(xx
的展开式中常数项是.
14．函数)12(log
31xy的定义域为。
15．经过抛物线xy42
的焦点F，作倾斜角45°的射
线与抛物线交于A点，则|FA|=。 16．已知正三棱锥S—ABC内接于一个半径为6的球， 过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得 的截面图如右图所示，则此三棱锥的一个侧面 SBC的面积为。 三、解答题（要求写出必要的步骤和运算过程，第17题10分，其余每题12分，共70分） 17．已知ABC的周长为).sin(2sinsin,422BABA且 （1）求边AB的长； （2）若ABC的面积CSsin
3
4
，求角C的大小。
18．已知将一枚残缺不均匀的硬币连抛三次落在平地上，三次都正面朝上的概率为271。 （1）求将这枚硬币连抛三次，恰有两次正面朝上的概率； （2）若甲将这枚硬币连抛三次之后，乙另抛一枚质地均匀的硬币两次。若正面朝上的总次数多者为胜者，求甲获胜的概率？ 19．如图已知四棱锥S—ABCD的底面是直角梯形，AB//DC，90DAB，SA
底面 ABCD，且SA=AD=DC=MAB,1
2
1
是SB的中点。
（1）证明：平面SAD平面SCD； （2）求AC与SB所成的角； （3）求二面角M—AC—B的大小。 20．已知正数列}{
na的前n项和.)1(42nnnaSS满足
（I）求}{,
21naaa及的通项公式；
（II）令nnab2010，问数列}{nb的前多少项的和最大？
21．已知双曲线中心在原点，焦点在x轴上，实轴长为2。一条斜率为1的直 线经过双曲线的右焦点与双曲线相交于A、B两点，以AB为直径的圆与双曲线的右准线相交于M、N。 （1）若双曲线的离心率2，求圆的半径； （2）设AB中点为H，若3
16
HNHM，求双曲线方程。
22．已知函数)(,42)1(3)(223xfkxkkxxf若
的单调减区间为（0，4）。
（1）若k的值； （2）若对任意的]1,1[t关于x的方程)(522tfmxx
总有实数解，求实数 m的取值范围。 参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1—5 DCDBA 6—12 CDACCAB 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．1215 14．1,0 15．224 16．159 三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分） 17．解：（1）设∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c 由CBABAsin2)sin(2sinsin 得：cba2…………2分 2cba22c即AB边长是22…………4分 （2）CCabSsin
34sin213
8
ab…………6分
又42cba
2122)(2cos22222abcabbaabcbaC…………9分
3C…………10分
18．解：（1）由题意知：将枚硬币每抛一次正面朝上的概率31,27
1
3PP
…………2分 设“这枚硬币连抛三次 ，恰有两次正面朝上”的事件为A， 则92)32()3
1
()1()(222312123CPPCAP…………5分
（2）甲获胜的情况有三种：3：X，2：1和1：0，它们的概率分别为P1，P2和P3
2711P…………6分
912121)32()31(1222232CCP…………8分
9141)32(3121
33CP
…………10分 故甲获胜的概率为：277919127
1
321PPPP…………12分
19．解：（1）由已知可得：ADCDCDSA, CD平面SAD， …………2分 而,SCDCD平面SAD平面SCD …………3分 （2）设AC中点O，SC中点E，AB中点F， BC中点G，连结OE、OF、EF、EG、FG EG//SB FG//AC EGF是AC、SB所成的角（或补角） …………5分
23)22()21(,2221,212122EFCEOFSAOE
又2521,222
1
SBEGACFG
5102cos222FGEGEFFGEGEGF…………7分
AC与SB所成的角为510cosar…………8分 （3）连结MO，根据三垂线定理可得：ACOFABCDMFACMO,,面 MOF就是二面角M—AC—B的平面角 …………10分
22tanOFMFMOF
F二面角M—AC—B的大小为22tanar…………12分 （本题也可用空间向量的方法或其它解法） 20．解：令1,)1(44,1
12111aaaSn…………1分
令3,)1()(44,2
222212aaaaSn…………2分
2021年高考数学全真模拟预测试题附答案 (3)
考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 参考公式：样本数据n x x x ,,,21 的标准差[]22221)()()(1x x x x x x ns n -++-+-= ，其中x 为样本的平均数柱体体积公式Sh V =，其中S 为底面面积，h 为高； 锥体体积公式Sh V 31=，其中S 为底面面积，h 为高球的表面积和体积公式24R S π=，334R V π=，其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知复数i a z +=)(R a ∈在复平面内对应的点在二象限，且2|)1(|>+⋅i z ，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）1>a 或1-<a （B ）1-<a （C ）12+>a 或21-<a （D ）1>a2．已知n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若8,653==a S ，则912S S -的值是（ ）（A ）24 （B ）42 （C ）60 （D ）783．用二分法求函数()lg 3f x x x =+-的一个零点，根据参考数据，可得函数()f x 的一个零点的近似解（精确到1.0）为（）（参考数据：409.05625.2lg ,419.0625.2lg ,439.075.2lg ,398.05.2lg ≈≈≈≈）（A ） 4.2 （B ）5.2（C ）2.6 （D ）56.24．已知点),(y x P 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x xy ，则y x z 2-=的最大值是（ ）（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）25．如下程序框图的功能是：给出以下十个数：5，9，80，43，95，73，28，17，60，36，把大于60的数找出来，则框图中的①②应分别填入的是（ ） （A ）1?,60+=>i i x （B ）1?,60+=<i i x （C ）1?,60-=>i i x （D ）1?,60-=<i i x6．已知双曲线12222=-by a x 的焦点到渐近线的距离为32，且双曲线右支上一点P 到右焦点的距离的最小值为2，则双曲线的离心率为（ ） （A ）3（B ）3 （C ）2 （D ）217．设}3,21,1,1{-∈a ，则使函数a x y =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值为（ ）（A ）3,1 （B ）1,1-（C ）3,1- （D ）3,1,1-8．已知函数)cos()(ϕ+=x x f （πϕ<<0）的导函数)('x f 的图象如图所示，则=ϕ（ ）（A ）6π（B ）32π （C ）3π（D ）65π9．设n m l ,,表示三条不同的直线，γβα,,表示三个不同的平面，给出下列四个命题：①若βα⊥⊥⊥m l m l ,,，则βα⊥；②若β⊂m ，n 是l 在β内的射影，n m ⊥，则l m ⊥；③若m 是平面α的一条斜线，α∉A ，l 为过A 的一条动直线，则可能有α⊥⊥l m l ,；④若γαβα⊥⊥,，则βα//①②其中真命题的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）410．在直角梯形ABCD 中，CD AB //，︒=∠90BAD ，且121===CD AD AB ，M是AB 的中点，且ND BN 2=，则AN CM ⋅的值为（ ） （A ）45 （B ）45-（C ）67（D ）67-11．利用计算机在区间)1,0(上产生两个随机数a 和b ，则方程x a xb -=2有实根的概率为（ ）（A ）31（B ）21 （C ）32 （D ）112．设函数⎩⎨⎧>-≤-=0),1(0],[)(x x f x x x x f ，其中][x 表示不超过x 的最大整数，如1]1[,1]2.1[,2]2.1[==-=-，若k kx x f +=)(有三个不同的根，则实数k 的取值范围是（ ）（A ）]31,41( （B ）]41,0( （C ）]31,41[ （D ）)31,41[第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点M ，若N 为l 上一点，当MNF ∆为等腰三角形，22=NF 时，则=p_____14．如图一个几何体的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图为边长为32的正三角形，且圆与三角形内切，则侧视图的面积为_____15．已知数列}{n a 满足)2,(*112≥∈=+-n N n a a a n n n，若4,111164654==++a a a a a ，则=++654a a a _____16．已知圆1)sin 2()cos 2(:221=-+-θθy x C 与圆1:222=+y x C ，在下列说法中：①对于任意的θ，圆1C 与圆2C 始终相切； ②对于任意的θ，圆1C 与圆2C 始终有四条公切线； ③当6πθ=时，圆1C 被直线013:=--y x l 截得的弦长为3；④Q P ,分别为圆1C 与圆2C 上的动点，则||PQ 的最大值为4． 其中正确命题的序号为______三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）“神州”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为D C B ,,）．当返回舱距地面1万米的P 点时（假定以后垂直下落，并在A 点着陆），C 救援中心测得飞船位于其南偏东 60方向，仰角为 60，B 救援中心测得飞船位于其南偏西 30方向，仰角为 30．D 救援中心测得着陆点A 位于其正东方向．（1）求C B ,两救援中心间的距离； （2）D 救援中心与着陆点A 间的距离． 18．（本小题满分12分）班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（1）如果按性别比例分层抽样，则样本中男、女生各有多少人； （2）随机抽取8位同学，数学分数依次为：60，65，70，75，80，85，90，95；物理成绩依次为：72，77，80，84，88，90，93，95，BADCP东北PADBC①若规定80分（含80分）以上为良好，90分（含90分）以上为优秀，在良好的条件下，求两科均为优秀的概率； ②若这8位同学的数学、物理分数事实上对应下表：根据上表数据可知，变量y 与x 之间具有较强的线性相关关系，求出y 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01）．（参考公式：a bx y +=^，其中∑∑==---=ni i ni i i x x y y x x b 121)())((，xb y a -=；参考数据：5.77=x ，875.84=y ，1050)(812≈-∑=i i x x ，688))((81≈--∑=i i i y y x x ，4.321050≈，4.21457≈，5.23550≈）19．（本小题满分12分）在四棱锥ABCD P -90=BAD ，a AD AB BC AD ==,//，=BC （1）求三棱锥PAC B -的体积；（2）在PD 上是否存在一点F ，使得//PB 平面ACF ，若存在，求出FDPF 的值；若不存在，试说明理由；20．（本小题满分12分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的离心率为22，且短轴长为2．（1）求椭圆的方程；（2）若与两坐标轴都不垂直的直线l 与椭圆交于B A ,两点，O 为坐标原点，且32=⋅，32=∆AOB S ，求直线l 的方程．21．（本小题满分12分） 已知x x f ln )(=，xa x x g +=)()(R a ∈．（1）求)()(x g x f -的单调区间；（2）若1≥x 时，)()(x g x f ≤恒成立，求实数a 的取值范围；请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题记分．22．（本小题满分10分） 选修4-1：几何证明选讲如图，已知C 点在⊙O 直径的延长线上，CA 切⊙O 于A 点，DC 是ACB ∠的平分线，交AE 于F 点，交AB 于D 点．（1）求ADF ∠的度数； （2）若AC AB =，求BC AC :．23．（本小题满分10分） 选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθcos sin 2y x （θ为参数），曲线2C 的参数方程为⎩⎨⎧+==12t y tx （t 为参数）. （1）若将曲线1C 与2C 上各点的横坐标都缩短为原来的一半，分别得到曲线'1C 和'2C ，求出曲线'1C 和'2C 的普通方程； （2）以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与'2C 垂直的极坐标方程．24．（本小题满分10分） 选修4-5：不等式选讲设函数|32||12|)(-+-=x x x f ，R x ∈． （1）解不等式5)(≤x f ； （2）若mx f x g +=)(1)(的定义域为R ，求实数m 的取值范围．数学答案1-5 BCCDA6-10 CABBD 11-12 AD 13．2， 14．π+6，15.4， 16.①③④17：解：（1）由题意知AB PA AC PA ⊥⊥,，则PAB PAC ∆∆,均为直角三角形…………………1分在PAC Rt ∆中，︒=∠=60,1PCA PA ，解得33=AC …………………………2分在PAB Rt ∆中，︒=∠=30,1PBA PA ，解得3=AB (3)分又︒=∠90CAB ，33022=+=BC AC BC 万米.…………………………5分（2）103sin sin =∠=∠ACB ACD ，101cos -=∠ACD ，…………………………7分又︒=∠30CAD ，所以102133)30sin(sin -=∠+︒=∠ACD ADC .…………………………9分在ADC ∆中，由正弦定理，ACDADADC AC ∠=∠sin sin …………………………10分1339sin sin +=∠∠⋅=ADC ACD AC AD 万米…………………………12分18．（1）抽取男生数584025=⨯人，384015=⨯…………2分 （2）41=P ………………8分（3）655.0≈b ，11.34≈a （09.34≈a 或10.34≈a 也算正确） 则线性回归方程为：11.34655.0+=x y …………………………12分 19．（1）1=v …………………………4分（2）存在点F 使//PB 平面ACF ，2=DFPF …………………………5分连接BD 交AC 于E ，连接EF ，a BC a AD BC AD 2,,//==，所以21===PFDF EBDE BCAD ，所以EF PB //……………………………9分又⊆EF 平面ACF，PB 不在平面ACF内，所以//PB 平面ACF (12)分20．（1）短轴长1,22==b b ，22==ac e …………………………1分 又222c b a +=，所以1,2==c a ，所以椭圆的方程为1222=+y x …………………………4分（2）设直线l 的方程为)0(≠+=k m kx y ，),(),,(2211y x B y x A⎩⎨⎧=++=2222y x mkx y ，消去y 得，0224)21(222=-+++m mkx x k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+-=+22212212122214k m x x k mk x x ，…………………………6分322121=+=⋅y y x x 即3221223222=+--kk m 即810922+=k m …………………………8分32)21()21(821]4)[(21||||212222221221221=+-+=-+=-=∆k m k m x x x x m x x m S AOB即22222)21()21(9k m k m +=-+…………………………10分⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-+8109)21()21(92222222k m k m k m ，解得2,122==m k ，所以2±±=x y (12)分21．（1）)0(ln )()()(>--=-=x xa x x x g x f x F222'11)(x ax x x a x x F ++-=+-=…………………………1分当041≤+=∆a ，即41-≤a 时，0)('≤x F ，所以)(x F 在),0(+∞上单调递减………………3分当041>+=∆a ，即41->a 时，,2141,2141,0)(21'++=++-==a x a xx F①041≤<-a 时，,021>≤x x ，单调增区间为),0(2x ，单调减区间为),(2+∞x (5)分②>a 时，,021>>x x ，单调增区间为),,(21x x ，单调减区间为),(),,0(21+∞x x (6)分综上：①41-≤a 时，)(x F 在),0(+∞上单调递减（只要写出以上三种情况即得6分）②041≤<-a 时，0,021>≤x x ，单调增区间为),0(2x ，单调减区间为),(2+∞x③0>a 时，0,021>>x x ，单调增区间为),,(21x x ，单调减区间为),(),,0(21+∞x x （2）xa x x +≤ln 恒成立，等价于max 2]ln [x x x a -≥…………………………8分2ln )(x x x x k -=，x x x k 2ln 1)('-+=，021)]([''<-=xx k)('x k 在),1[+∞上单调递减，01)1()(''<-=≤k x k ，)(x k 在),1[+∞上单调递减………………10分，所以)(x k 的最大值为1)1(-=k ，所以1-≥a …………………………12分 22．（1）因为AC 为⊙O 的切线，所以EAC B ∠=∠…………1分 因为DC 是ACB ∠的平分线，所以DCB ACD ∠=∠…………2分 所以ACD EAC DCB B ∠+∠=∠+∠，即AFD ADF ∠=∠，…………3分 又因为BE 为⊙O 的直径，所以︒=∠90DAE …………4分. 所以︒=∠-︒=∠45)180(21DAE ADF .…………5分（2）因为EAC B ∠=∠，所以ACB ACB ∠=∠，所以ACE ∆∽BCA ∆，所以ABAE BCAC =，…7分在ABC ∆中，又因为AC AB =，所以︒=∠∠=∠30ACB B ，………8分ABE Rt ∆中，3330tan tan =︒===B AB AE BC AC ………10分23．解：（1）⎩⎨⎧==θθcos sin :'1y x C （θ为参数），………2分⎩⎨⎧+==1:'2t y t x C （t 为参数）………4分'1C 的普通方程：122=+y x ，'2C 的普通方程：1+=x y (6)分（2）在直角坐标系中过极点即为过原点与曲线'2C 垂直的直线方程：即为x y -=……………8分在极坐标系中，直线化为1tan =θ，方程为4πθ=或43πθ= (10)分（少写一个扣一分）24．（1）⎪⎩⎪⎨⎧≤-<54421x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤522321x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤->54423x x …………3分不等式的解集为]49,41[-∈x ………5分（2）若mx f x g +=)(1)(的定义域为R ，则0)(≠+m x f 恒成立，即0)(=+m x f 在R 上无解7分又2|3212||32||12|)(=+--≥-+-=x x x x x f ，)(x f 的最小值为2，…………9分 所以2-<m ………………………………………………10分。
2021年高考数学全真模拟预测试卷附答案
17.已知函数 .
（1）求 的周期；
（2）若 ，求 的最大值和最小值.
18.如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的菱形， , , , 为 的中点， 为 的中点.
（Ⅰ）证明：直线 ；
（Ⅱ）求二面角 的大小.
19.某项考试按科目 、科目 依次进行，只有当科目 成绩合格时，才可继续参加科目 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这项考试，科目 每次考试成绩合格的概率均为 ，科目 每次考试成绩合格的概率均为 .假设各次考试成绩合格与否均互不影响.
如果不存在，请说明理由．
22.已知 在 处取得极值，且在点 处的切线斜率为 .
（1）求 的单调增区间；
（2）若关于 的方程 在区间 上恰有两个不相等的实数根，
求实数 的取值范围。
广西桂林十八中2010届高三上学期第一次月考
文科数学答案
一、选择题
CDDAB BAADB DD
二、填空题
13. 14. 15. 16.
A. B. C. D.
9. 的内角 的对边分别为 ，若 ，则 等于
A． B．2C． D．
10.已知抛物线 的准线与双曲线 的左准线重合，则此双曲线的渐近线方程是
A． B． C． D．
11.若 ，则下列结论不正确的是
A. B.
C. D.
12.设 ， 为其导数，右图是 图像的一部分，则 的极大值与极小值分别为
三、解答题
17.解：（1）
（2） ，
18.解：（1）取 的中点 ,
则 ,又 , ,
四边形 是平行四边形，
（2）作 交 于 ,
2021年高考数学全真模拟预测考试卷附答案
一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．设集合B A x x B A 则},31|{},4,3,2,1{<<-=== A ．{1，2} B ．{－1，3} C ．{1}或{2} D ．φ2. 抛物线24y x =的焦点坐标是A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(1,0)D ．(0,1) 3．随机变量~(0,1)N ξ，记()()x P x ϕξ=<，则下列式子中错误的是．．．． A ．(0)0.5ϕ= B ． ()()1a a ϕϕ+-= C ．(||)2()1P a a ξϕ<=- D ．(||)1()P a a ξϕ>=- 4．对于直线m.n 和平面α,下面命题中的真命题是（ ）m ,n ,m.n ,n//A ααα⊂⊄如果是异面直线那么 m ,n ,m.n ,n B ααα⊂⊄如果是异面直线那么与相交 m ,n //,m.n ,n//C m αα⊂如果共面那么 m //,n //,m.n ,n//D m αα如果共面那么5．若不等式22x x a >+对于一切[]2,3x ∈-恒成立，则实数a 的取值范围A ．(),8-∞-B ． (),3-∞-C ．(),1-∞D ．()8,-∞6．已知复数z z i z +-=2,1则= A ．1－i B ．1－3iC ．1+iD ．3－3i7．直线cos140sin 400x y ︒+︒=的倾斜角是A ．40 B ．050 C ．0130D ．01408．按ABO 血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，子女的血型一定不是O 型，若某人的血型是O 型，则其父母血型的所有可能情况有A ．12B ．10C ．9D ．69．若(15)n x +的展开式中各项系数和为n a ,(75)n x +的展开式各项系数之和为n b ，则nn n n n b a b a 432lim+-∞→等于A.1B.-1C.21 D.21-10．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为π332，那么这个正三棱柱的体积是A ．963B ．163C ．243D ．48311．数列{}2*:()n n a a n n n N λ=+∈是一个单调递增数列，则实数λ的取值范围是A ．()3,-+∞B ．5,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()2,-+∞D ．()0,+∞12．已知()f x 为sin x 与cos x 中较小者，其中x R ∈，若()f x 的值域为[,]a b ，则a b +的值是A．0 B．12+C．12-D．12-二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在试题的横线上）13．函数1xy e+=的反函数是14．椭圆122=+byax与直线xy-=1交于A、B两点，过原点与线段ABab则的值为_____________15．等差数列{a n}中，a1+a4+a10+a16+a19=150,则18142a a-的值是16．若函数()f x是定义在实数集上的奇函数，且(2)()f x f x-=-，给出下列结论：①()20f=；②()f x以4为周期；③()f x的图象关于y轴对称；④(2)()f x f x+=-．这些结论中正确的有____________（必须填写序号）．三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知向量()()sin ,23cos ,2sin ,sin a x x b x x ==，设()1f x a b =⋅-(1)若[0,]2x π∈，求()f x 的值域.(2)若()f x 的图象可以按向量m 平移后得到2cos2y x =的图象，指出向量m 的一个值.18．在一次语文测试中，有一道把我国四大文学名著《水浒传》 《三国演义》 《西游记》 《红楼梦》与它们的作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分，一位同学该题得ξ分. (1)求该同学得分不少于6分的概率； (2)求ξ的分布列及数学期望.19．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，123,22a a ==，且113210n n n S S S +--++=，其中*2,n n N ≥∈.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)计算limn x nS na →∞-的值. 20．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD 是正三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD. （1）求证：AB ⊥平面PAD（2）求直线PC 与底面ABCD 所成角的大小；（3）设AB=1，求点D 到平面PBC 的距离.21．已知直线l 过椭圆E:2222x y +=的右焦点F ，且与E 相交于,P Q 两点. (1)设1()2OR OP OQ =+（O 为原点），求点R 的轨迹方程；(2)若直线l 的倾斜角为060，求11||||PF QF +的值. 22．已知关于x 的方程2220x tx --=的两个根为,(),t R αβαβ<∈，设函数()241x tf x x -=+.(1)判断()f x 在[],αβ上的单调性；(2)若,m n αβαβ<<<<，证明()()||2||f m f n αβ-<-.参考答案一、选择题：二、填空题13．f －1(x )＝ln x －1 (x >0).; 14．23; 15．30- 16．①②④; 三、解答题17. 解：①()212sin cos 1f x a b x x x =⋅-=+- (2)分2cos2x x - 2sin(2)6x π=- (5)分[0,]2x π∈52[,]666x πππ⇒-∈-1sin(2)[,1][1,2]62x y π⇒-∈-⇒∈-..................8分②2()2sin(2)2cos(2)2cos(2)6623f x x x x ππππ=-=--=- (10)分可见()f x 的图象向左平移3π个单位可得2cos2y x =的图象，即m 的一个值是(,0)3π-．．．12分 18.解：(1)ξ的可能取值为0,3,6,12．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分P (ξ＝12)＝1A 44＝124，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分P (ξ＝6)＝C 24A 44＝624＝14．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分该同学得分不少于6分的概率为P＝P (ξ＝6)＋P (ξ＝12)＝724．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 (2)P (ξ＝3)＝C 14×2A 44＝824，P (ξ＝0)＝1－124－624－824＝924．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∴ξ得分布列为数学期望为Eξ＝0×924＋3×824＋6×624＋12×124＝3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19. 解：①113210n n n S S S +--++=⇒112()1n n n n S S S S +--=--⇒121(2)n n a a n +=-≥ (2)分又123,22a a ==也满足上式，∴*121()n n a a n N +=-∈⇒112(1)n n a a +-=-（*n N ∈）∴数列{}1n a -是公比为2，首项为1112a -=的等比数列 (4)分1211222n n n a ---=⨯=221n n a -⇒=+ (6)分②12...n n S a a a =+++ ()()()()1012212121...21n --=++++++++()112222 (2)n n --=++++212n n -=+...........................9分 于是111212limlim lim 2122222nn n n x x x n nS n a -→∞→∞→∞---===++........................12分20. 解法一：（1）证明：PAD AB ABCD AB AD AB AD ABCD PAD ABCDPAD 平面底面底面平面底面平面⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥,…………………2分又AB⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD …………………………………………3分（2）解：取AD 的中点F ，连结AF ，CF ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且PF ⊥AD ， ∴PF ⊥平面BCD ………………………5分 ∴CF 是PC 在平面ABCD 上的射影，∴所以∠PCF 是直线PC 与底面ABCD 所成的角……………7分 在515tan ,==∆CF PF PCF PCF 中 即直线PC 与底面ABCD 所成的角的大小是515arctan ………………8分（3）解：设点D 到平面PBC 的距离为h ，D PBC P BCD PBC BCD V V S h S PF --∆∆=∴⋅=⋅………………10分在△PBC 中，易知PB=PC=2 47=∴∆PBC S 又,23,21==∆PF S BCD721472321=⨯=∴h ………………11分即点D 到平面PBC 的距离为721……………………………………12分 解法二：（1）证明：建立空间直角坐标系D —xyz ，如图 不妨设A （1，0，0）则B （1，1，0），P （)23,0,21)23,0,21(),0,1,0(-==………………………2分由PA AB PA AB ⊥=⋅得0由AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面PAD ………………………3分（2）解：取AD 的中点F ，连结AF ，CF ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且PF ⊥AD ，∴PF ⊥平面BCD ………………………5分 ∴CF 是PC 在平面ABCD 上的射影，∴所以∠PCF 是直线PC 与底面ABCD 所成的角…………………………7分易知C （0，1，0），F （)0,0,21 131(,1,),(,1,0)222CP CF ∴=-=- 10cos , 4||||CP CF CP CF CP CF ⋅∴<>==⋅ ∴直线PC 与底面ABCD 所成角的大小为410arccos ……………………8分（3）解：设点D 到平面PBC 的距离为h ，' D PBC PBC BCD P BCD V V S h S PF -∆∆-=∴⋅=⋅………………10分在△PBC 中，易知PB=PC=2 47=∴∆PBC S 又,23,21==∆PF S BCD721472321=⨯=∴h ………………11分即点D 到平面PBC 的距离为721……………………………………12分 21. 解：① 设1122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y112211()(,)[(,)(,)]22OR OP OQ x y x y x y =+⇒=+121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⇒⎨+⎪=⎪⎩........1分 由22222212x x y y +=⇒+=，易得右焦点(1,0)F ....................2分当直线l x ⊥轴时，直线l 的方程是：1x =，根据对称性可知(1,0)R (3)分当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为(1)y k x =- 代入E 有2222(21)4220k x k x k +-+-=2880k ∆=+>; 2122421k x x k +=+........................5分 于是(,):R x y x =21222221x x k k +=+; (1)y k x =- 消去参数k 得2220x y x +-=而(1,0)R 也适上式，故R 的轨迹方程是2220x y x +-=...............8分 ②设椭圆另一个焦点为'F ，在'PF F ∆中0'120,|'|2,PFF F F ∠==设||PF m =，则|'|PF m =由余弦定理得2220)222cos120m m m =+-⋅⋅⋅m ⇒=............9分同理，在'QF F ∆，设||QF n =，则|'|QF m =也由余弦定理得2220)222cos60n n n =+-⋅⋅⋅n ⇒分于是1111||||PF QF m n +=+==.........................12分注：其它方法相应给分. 22.解：①()2222224(1)(4)22(22)'(1)(1)x x t x x tx f x x x +--⋅---==++ (3)分由于当[,]x αβ∈时2222()()0x tx x x αβ--=--≤，所以'()0f x ≥，故()f x 在[],αβ上是增函数.......................6分 ②当,m n αβαβ<<<<时，并由①得()()()()()(),f f m f f f n f αβαβ<<<<.................................7分()()()()()()[]f f f m f n f f βαβα⇒--<-<-()()()()||f m f n f f βα⇒-<- .........................................9 分,12t αβαβ+=-()22442()221t f αααβαβαααβα--+⇒====-+-...........11分同理()2f βα=-.........................................12分 于是()()()()||2||f f f f βαβααβ-=-=-从而有()()||2||f m f n αβ-<-.........................................14分。
2021年高考数学全真模拟预测试卷附答案
本试题卷分选择题和非选择题两部分。
考试时间为120分钟。
参考公式：柱体的体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh = 其中S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高台体的体积公式121()3V h SS =其中S 1，S 2分别表示台体的上，下底面积球的表面积公式24S R π= 其中R 表示球的半径，h 表示台体的高球的体积公式343V R π= 其中R 表示球的半径选择题部分〔共40分〕【一】选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分，在每题的四个选项中，只有一项为哪一项符合要求的．1.集合{}2=430A x x x -+<，{}24B x x =<<，那么A B =A 、〔1，3〕B 、〔2，3〕C 、〔1，4〕D 、〔2，4〕 2.直线1:(3)453l m x y m ++=-与2:2(5)8l x m y ++=，那么〝12//l l 〞是〝7-=m 〞的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 3.空间两条不同的直线m ，n 和平面α，那么以下命题中正确的选项是A 、假设m α⊥，//n α，那么m n ⊥B 、假设m α⊥，n α⊥，那么m n ⊥C 、假设//m α，//n α，那么//m nD 、假设m α⊂，//n α，那么//m n 4.n S 为数列{}n a 的前n 项和，且211=a ，nn a a 111-=+，那么=10S A 、4 B 、29 C 、5 D 、65.将函数πsin(4)3y x =+的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移π6个 单位，得到的函数的图像的一个对称中心为 A 、〔π16，0〕 B 、〔π9，0〕 C 、〔π4，0〕 D 、〔π2，0〕6.定义在R 上的函数()f x 满足()()x f x f 21=+，且当10≤≤x 时，()f x =x x -2，那么=⎪⎭⎫⎝⎛-23fA 、21-B 、 41-C 、81-D 、 161-7.O 为坐标原点，双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于两点A ，B 〔异于原点〕，假设()0AO AF OF +⋅=，那么双曲线的离 心率e 为A 、3B 、2C D8.设m 为不小于2的正整数，对任意n ∈Z ，假设n qm r =+〔其中q ，r ∈Z ，且0r m <≤〕， 那么记()m f n r =，如2(3)1f =，3(8)2f =.以下关于该映射:m f →Z Z 的命题中，不．正． 确．的是 A 、假设a ，b ∈Z ，那么()()()m m m f a b f a f b +=+B 、假设a ，b ，k ∈Z ，且()()m m f a f b =，那么()()m m f ka f kb =C 、假设a ，b ，c ，d ∈Z ，且()()m m f a f b =，()()m m f c f d =，那么()()m m f a c f b d +=+D 、假设a ，b ，c ，d ∈Z ，且()()m m f a f b =，()()m m f c f d =，那么()()m m f ac f bd =非选择题部分〔共110分〕【二】填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题436分.9.设α是第二象限角, (,4)P x 为其终边上一点,且x 51cos =,那么=x ▲ ,=αtan ▲ .10.某几何体的三视图如右图, 那么该几何体的体积为 ▲ ，表面积为 ▲ .11.设函数⎩⎨⎧∈--∈=]4,2(,28]2,1[,2)(x x x x f x ，那么)3log (2-f = ▲ ，假设()∈t f [0，1]，那么实数t 的取值范围是 ▲ .12.动直线l ：(31)(1)660x y λλλ++-+-=过定点P ，那么点P 的坐标为 ▲ ，假设直线l 与不等式组 0022x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩表示的平面区域有公共点，那么实数λ的取值范围是 ▲ .13.设0,0a b >>,且不等式011≥+++b a kba 恒成立,那么实数k 的最小值为 ▲ . 14.在ABC ∆中，点D 满足23BD BC =，点E 是线段AD 上的一个动点〔不含端点〕，假设BE AB AC λμ=+，那么μλ1+= ▲ . 15.如右图，在边长为2的正方形ABCD 中，E 为正方形边上的1121111正视图 侧视图俯视图动点，现将△ADE 所在平面沿AE 折起，使点D 在平面ABC 上的射影H 落在直线AE 上.当E 从点D 运动到点C ，再从点C 运动到点B ，那么点H 所形成轨迹的长度为 ▲ .【三】解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.如右图，在四边形ABCD 中，D ∠=2B ∠，且1AD ，3CD =，3cos B =． (Ⅰ)求ACD ∆的面积；(Ⅱ)假设23BC =，求AB 的长．17.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且36,1664==S S ． (Ⅰ) 求n a ；(Ⅱ) 设{}n b 满足()0>=q q b na n ，12231111n n n T b b b b b b +=+++，求n T ． 18.如右图所示的几何体是由以正ABC ∆为底面的直棱柱〔侧棱垂直于底面的棱柱〕被平面DEF 所截而得，2=AB ，1=BD ， 2=AF ，3=CE ，O 为BC 的中点． 〔Ⅰ〕求证：直线OA //平面DEF ； 〔Ⅱ〕求直线FC 与平面DEF 所成的角的正弦值． 19.如右图，点)2,0(F 是抛物线py x 22=的焦点.〔Ⅰ〕求抛物线方程；〔Ⅱ〕假设点P 为圆O ：122=+y x 上一动点，直线l 是圆O 在点P 处的切线，直线l 与抛物线相交于B A ,两点〔B A ,在y 轴的两侧〕，求四边形OAFB 的面积的最小值．CBFEDOAOF ABxyP20.函数2()(0,1)axf x a b x b=>>+，满足：(1)1f =，且)(x f 在R 上有最大值423． 〔Ⅰ〕求)(x f 的解析式；〔Ⅱ〕当x ∈[1，2]时，不等式mx x mx f -+≤)2(3)(2恒成立，求实数m 的取值范围．答案【一】选择题1.B2.C3.A4.C5.D6.D7.D8.A【二】填空题〔第9，10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分〕9.-3，34- 10.3π， 1522π++ 11. 3 ， []⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,270,1 12. (0,6)-, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡37,1 13.-4 14．2115．π 三、解答题16. 解：〔Ⅰ〕311cos 22cos cos 2-=-==B B D ……………………… 2分因为()0,D π∠∈，所以2sin 3D =， ………………………… 4分 所以△ACD 的面积1sin 22S AD CD D =⋅⋅⋅= ……………… 7分 〔Ⅱ〕解法一：在△ACD 中，12cos 2222=⋅⋅-+=D DC AD DC AD AC ，所以23AC =． …………………………… 9分 在△ABC 中，12cos 2222=⋅⋅-+=B BC AB BC AB AC …………… 12分 把条件代入并化简得：042=-AB AB 因为0AB ≠，所以4AB = ……14分 解法二：在△ACD 中，12cos 2222=⋅⋅-+=D DC AD DC AD AC ，所以23AC =． ………………………………………………………… 9分因为23BC =，sin sin AC ABB ACB =∠，所以 ()23sin sin 2AB B B π=-，……… 12分得4AB =． …………………………………………………………14分 17. 解：解：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，由36,1664==S S ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯+=⨯+36256616234411d a d a ， …………2分解得⎩⎨⎧==211d a , …………………4分 21n a n ∴=- …………………7分(Ⅱ)21na n nb q q -== , 11{}n n b b +是首项为41q ,公比为41q的等比数列， ………9分1q ∴≠时，12231111n n n T b b b b b b +=+++=4444411(1)11(1)111nn q q q q q-=--- …12分 1q ∴=时，n T n ∴= ……………14分4411(1) (1)1 (1)n n q T q q n q ⎧⎧-≠⎪⎨∴=-⎨⎩⎪=⎩ (15)分18. 〔1〕证：取DE 的中点G ，连结GF.由三棱柱得，AF//BD//CE ， ∵OG 为梯形CBDE 的中位线 ∴OG//CE ，且OG=2 而CE//AF ，且AF=2 ∴OG //AF∴四边形OAFG 为平行四边形 ∴GF//OA 又OA ⊄平面DEF ，GF ⊂平面DEF ∴ OA//平面DEF ……………………7分 〔2〕∵BCED AO 面⊥,OA FG //,∴BCED FG 面⊥ 又DEF FG 面⊂,∴BCDE DEF 面面⊥在面BCED 中，过C 作DE CH ⊥,连CH ，那么DEF CH 面⊥ ∴CFH∠为直线FC 和面DEF 所成角。
2021年高考数学全真模拟预测试卷含答案
一、选择题（每小题5分，共60分） 1．双曲线221102x y -=的焦距为（ ）A ．32B ．42C ．23D ．432．条件p ：,2>x 3>y ，条件q ：5>+y x ，6>xy ，则条件p 是条件q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件3．如图是导函数)(x f y '=的图像，在标记的点中，函数有极小值的是（ ）A ．2x x =B ．3x x =C ．5x x =D ．1x x =或4x x =4．下列命题错误的是（ ）A ．命题“若0>m ，则方程02=-+m x x 有实数根”的逆否命题为：“若方程02=-+m x x 无实数根，则0≤m ”；B ．若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；C ．“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件；D ．若q p ∨为真命题，则q p ,至少有一个为真命题。
5．曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程为（ ） A ．43-=x y B ．23+-=x y C ．34+-=x y D ．54-=x y6．设椭圆的标准方程为22135x y k k +=--，其焦点在x 轴上，则k 的取值范围是（ ）A ．54<<kB ．53<<kC ．3>kD ．43<<k7．过点（0，2）与抛物线28y x =只有一个公共点的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．无数多条8．已知双曲线1222=-y x 的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则21MF F ∆的面积为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．一元二次方程)0(0122≠=++a x ax 有一个正根和一个负根的必要不充分条件是（ ）A ．0<aB ．1<aC ．0>aD ．1>a10．若曲线C :ax ax x y 2223+-=上任意点处的切线的倾斜角都是锐角,则整数a =（ ） A ．-2 B ．0 C ．1D ．-111．方程0109623=-+-x x x 与8-=y 的交点个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．012．斜率为2的直线l 过双曲线12222=-b y a x (0,0>>b a )的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．e <2B ．1<e <3C ．1<e <5D ．e >5 二、选择题（每小题4分，共16分）13、对于命题R x p ∈∃:，使得012<++x x ，则p ⌝：__________________14、如果椭圆221369x y +=的弦被点（4，－2）平分，则这条弦所在的直线方程是___________15、函数[]10)1()(2，在x x x f -=上的最小值为 16、设a R ∈，函数31()33f x x ax =-+在区间)1,2(--内是减函数，则实数a 的取值范围是______________三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17、（本题满分12分）命题p ：4x 2＋1)2(4+-x m =0无实根，命题q ：x my -=2在区间（0，+∞）上是减函数，若“p 或q ”为真命题，求实数m 的取值范围。
2021年高考数学全真模拟预测试卷附答案
数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
试卷总分150分,考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卷一并交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学号、姓名、考场号及考场座位号填写在答题卷上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第II 卷用黑色墨水签字笔在答题卷上书写作答．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)k kn k n n P k C P P -=-一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．集合|2x A x x ⎧⎫=⎨⎬-⎩⎭＜0，{}|2,0x B y y x -==>，则A B 是 （A ）(0, 2) (B) (1, 2) (C) (0, 1) (D) (, 0)-∞2．已知a 是实数，iia +-1是纯虚数，则a 等于 （A ）1 （B ）1-（C ）2 （D ）3．设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，已知38S =，67S =，则789a a a ++等于（A ）578（B ）18-（C ）558（D ）184．四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且 2 , CD AB ==A 、B两点的球面距离是（A ）6π （B ）3π（C ）23π（D ）56π 5．若函数1()()1xf x a x e =--是偶函数，则常数a 等于 （A ）1 （B ）1-（C ）12 （D ）12-6．函数231+=-x y )1(>x 的反函数为（A ）1)2(log 3--=x y )32(<<x （B ）)2(log 13--=x y )32(<<x （C ）1)2(log 3--=x y )3(>x （D ）)2(log 13--=x y )3(>x 7．设13log 2a =，12log 3b =，0.31()2c =，则（A ）a b c << （B ）a c b <<（C ）b c a <<（D ）b a c <<8．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 (A) 8种 (B) 12种(C) 20种 (D) 15种 9．设1a >，函数|log |a y x =的定义域为[, ]m n ，值域为[0, 1]．定义区间12[, ] x x 的长度等于21x x -．若区间[, ]m n 的长度的最小值为56，则实数a 的值为 （A ）6 （B ）5（C ）116 （D ）116或6 10．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ==12BB =， 90=∠ABC ，E 、F 分别为1AA 、11C B 的中点，沿棱柱的表面从E 到F 两点的最短路径的长度为 （A（B ）223（C（D）2 11．已知函数()()()()2 1 01 0xx f x f x x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ ，若方程()a x x f +=有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是(A) (], 0-∞(B) ()0, 1(C)(), 1-∞(D)[)0, +∞12．设()f x 是定义在R 上的函数．对于给定的正数k ，定义函数(), ()(), ()k f x f x k f x k f x k<⎧=⎨≥⎩取函数()f x =1x e x -++．若对任意的(, )x ∈-∞+∞恒有()k f x =k ，则 （A ）k 的最大值为2 （B ）k 的最小值为2（C ）k 的最大值为1 （D ）k 的最小值为1第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卷上相应题目的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
2021年高考数学全真模拟预测试卷附答案
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）.本试卷满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．考生作答时，将答案答在试题卡上.请按照题号在答题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效.3．选择题答案用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：样本数据n x x x ,,,21 的标准差锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-=Sh V 31=其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积、体积公式Sh V =3234,4R V R S ππ==其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知)3)((i i a --为纯虚数，i R a ,∈为虚数单位，则a 的值为 （ ）A ．-3B ．3C ．31-D ．31 2．已知向量b a b a x b a ⋅-==则若,//),4,()2,1(等于 （ ）A ．-10B ．-6C ．0D ．63．等差数列}{n a 的前n 项和为13104,8,S a a S n 则=+的值为（ ） A ．26 B ．48C ．52D ．1044．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）A ．8B ．38C ．4D ．345．有编号为1，2，…，700的产品，现需从中抽取所有编号能被7整除的产品为样品进行检验.下面是四位同学设计的程序框图，其中正确的是 （ ）6．若函数[)+∞+-=,22)(2在m x x x f 上的最小值为-2，则实数m 的值为 （ ）A ．-3B ．-2C ．-1D ．17．若集合"""1"},0))(2(|{},32|{φ==<-+=<<=B A a a x x x B x x A 是则的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知平面区域⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥=≤+=Ω1,0,0|),(},1|),{(22y x y x y x M y x y x .若在区域Ω上随机找一个点P ，则点P 落在区域M 的概率为 （ ）A ．π41B ．π4141-C ．π2141-D ．π21 9．已知椭圆)20(14222<<=+b by x 与y 轴交于A 、B 两点，点F 为该椭圆的一个焦点，则ABF ∆面积的最大值为 （ ）A ．1B ．2C ．4D ．810．若函数x x f y sin )(+=在区间)43,4(ππ-内单调递增，则)(x f 可以是 （ ）A ．)sin(x -πB ．)cos(x -πC ．)2sin(x -π D ．)2cos(x +π11．函数x x x f 3log cos )(-=π的零点个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．如图，已知线段2=AB ，当点A 沿着以原点O 为圆心 的单位圆上运动时，点B 在x 轴上滑动.设θ=∠AOB ， 记x （θ）为点B 的横坐标关于θ的函数，则)(θx 在]2,0[π上的图象大致是 （ ）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，共16分.把答案填在答题卡相应位置.13．为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，如图.现按月收入分层，用分层抽样方法在这20000人中抽出200人作进一步调查，则月收入在[)2000,1500（单位：元）的应抽取 人.14．设函数⎩⎨⎧<+≥=,0),1(,0,2)(x x f x x f x 则=-)21(f .15．过点P （1，1）的直线l 交⊙O 822=+y x 于A 、B 两点，且︒=∠120AOB ，则直线l 的方程为 .16．从甲、乙、丙、丁、戊、己6人中选出3人组成一个辩论赛队，要求满足如下三个条件：①甲、丙两人中至少要选上一人； ②乙、戊两人中至少要选上一人；③乙、丙两人中的每个人都不能与戊同时入选如果乙未被选上，则一定入选的两人是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）某城市有连接8个小区A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 和市中心O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图.某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区 A 前往H.（Ⅰ）列出此人从小区A 到H 的所有最短路径（自A 至H 依次用所经过的小区的字母表示）；（Ⅱ）求他经过市中心O 的概率18．（本小题满分12分）在ABC ∆中 ，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，.462sin =C （I ）求;sin C（II ）若c=2，ABC A B 求,sin 2sin =的面积.19．（本小题满分12分）如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为AB、BC的中点.（Ⅰ）求证：平面B1MN⊥平面BB1D1D；（II）当点P在DD1上运动时，是否都有MN//平面A1C1P？证明你的结论；（ⅡI）按图中示例，在给出的方格纸中，用事先再画出此正方体的3个形状不同的表面展开图，且每个展开提均满足条件“有四个正方形连成一个长方形”.（如果多画，则按前3个记分）20．（本小题满分12分）已知}{n a 为递增的等比数列，且}.16,4,3,1,0,2,6,10{},,{531---⊂a a a （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）是否存在等数列}{n b ，使得221123121--=+++++--n b a b a b a b a n n n n n 对一切*N n ∈都成立？若存在，求出;n b 若存在，说明理由.21．（本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F 在x 轴上，且过点（1，2）. （I ）求抛物线C 的方程；（II ）命题：“过椭圆1162522=+y x 的一个焦点F 1作与x 轴不垂直的任意直线l 交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，则||||1M F AB 为定值，且定值是.310”命是涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线T ，过该圆锥曲线焦点F 1的弦AB ，AB 的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点M ，AB 的长度与F 1、M 两点间距离的比值.试类比上述命题，写出一个关于抛物线C的类似的正确命题，并加以证明；（III）试推广（II）中的命题，写出关于抛物线的一般性命题（不必证明）.22．（本小题满分14分）已知函数x e c)(2++(=在1=f)axbxxx处取得极小值，其图象过点A（0，1），且在点A处切线的斜率为-1.（I）求)(x f的解析式；（II）设函数)(x g的定义域为D，若存在区间[m，n]D⊆，使得],[)(nxg在上m 的值域也是[m，n]，则称区间[m，n]为函数)(x g的“保值区间”.（i）证明：当1>x时，函数)(x f不存在“保值区间”？（ii）函数)(x f是否存在“保值区间”？若存在，写出一个“保值区间”（不必证明）；若不存在，说明理由.参考答案说明：1．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分. 1—6DACCBB 7—12ADBBCB二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分，满分16分. 13．401415．20+-=x y16．甲、戊三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．本小题主要考查古典概型等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，以及运用数学知识分析和解决实际问的能力，满分…………12分.解：（1）此人从小区A 前往H 的所有最短路径为： A →B →C →E →H ，A →B →O →E →H ， A →B →O →C →H ，A →D →O →E →H ，A →D →O →G →H ，A →D →F →G →H 共6条 ……6分（2）记“此人经过市中心O ”为事件M ， 则M 包含的基本事件为：A →B →O →E →H ，A →B →O →G →H ，A →D →O →E →H ，A →D →O →G →H 共4个 ……10分42()63P M ∴==即他经过市中心O 的概率为23…………12分（注：若考生写出路径为ABCEH ，ABOEH ，6等其他形式，照样给分） 18．本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，满分12分. 解法一：（1）6sin,0222C C π=<< …………1分 22610cos 1sin 12244C C ⎛⎫∴=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭…………3分61015sin 2sincos 222444C C C ∴==⨯⨯= …………5分（2）sin 2sin ,B A =∴由正弦定理得2b a = …………7分 21cos 12sin ,224C C c =-== 由2222cos c a b ab C =+-，得22214444a a a =+-⨯，解得1a = …………9分 从而2b =…………10分 111515sin sin 12.22ABC ab C ∆∴==⨯⨯⨯= …………12分解法二：（1）6sin24C =， 2261cos 12sin 1224C C ⎛⎫∴=-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭…………2分又0C π<<22115sin 1cos 144C C ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭…………5分（2）同解法一19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，推理论证能力，满分 …………12分解：（1）正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，1BB ⊥平面ABCD ，MN ⊂平面ABCD ，1BB MN ∴⊥连结AC ，M 、N 分别为AB 、BC 的中点，∴MN//AC …………2分又四边形ABCD 是正方形，,AC BD MN BD ∴⊥∴⊥1,BD BB B MN ⋂=∴⊥平面BB 1D 1D又MN ⊂平面B 1MN ，∴平面B 1MN ⊥平面BB 1D 1D …………5分（2）当点P 在DD 1上移动时，都有MN//平面A 1C 1P …………6分 证明如下：在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=CC 1，AA 1//CC 1∴四边形AA 1C 1C 是平行四边形，11//AC A C ∴…………7分由（1）知MN//AC ，11//MN A C ∴又MN ⊄面A 1C 1P ，11A C ⊂平面A 1C 1P ，∴MN//平面A 1C 1P ， …………9分（3）符合条件的表面展开图还有5个，如下图，正确画出一个得1分， 满分3分.………… 12分20．本小题主要考查等差数列，等比数列等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查特殊与一般思想，化归与转化思想，满分 …………12分 解法一：（1）因为{}n a 是递增的等比数列， 所以数列{}n a 的公比q 是正数， 又135{,,}{10,6,2,0,1,3,4,16}a a a ⊂--- 所以1351,4,16.a a a === 3分 从而2113114,2,2n n n a q q a a q a +-=====所以数列{}n a 的通项公式为12n n a +=…………6分（2）假设存在满足条件的等差数列{}n b ， 其公差为d ，则当1n =时，111a b = 又111,1a b =∴=当2n =时，12212124,24,2a b a b b b b +=+== 则211d b b =-=1(1)1(1)1n b b n d n n ∴=+-=+-⨯=…………8分以下证明当n b n =时，112112122n n n n n a b a b a b a b n +--++++=--对一切*n N ∈都成立设121121n n n n n S a b a b a b a b --=++++即232112(1)2(2)2(3)2221n n n S n n n n ++=⨯=⨯-+⨯-+⨯-++⨯+⨯ （1）231222(1)2(3)2221n n n S n n n -=⨯+⨯-+⨯-++⨯+⨯ （2） （2）-（1）得23122222n n n S n -=-++++++12(12)2212n n n n +-=+=---所以存在等差数列{},n n b b n = 使得112112122n n n n n a b a b a b a b n +--++++=--对一切*n N ∈都成立 12分解法二：（1）同解法一（2）假设存在满足条件的等差数列{}n b ， 其公差为d ，1*12132122()n n n n n a b a b a b a b n n N +--++++=--∈1122331121(2)n n n n n a b a b a b a b n n ----∴++++=--≥ …………8分由上面两式相减得，1231121(2)n n n da da da da a b n -+++++=-≥又1111212121,221n n n n n a a a a -----++==-=- 111(21)221n n n d b --∴-+=- 112(2)1n d b d -∴+-=-（*）…………10分等式（*）对2n ≥恒成立，120,10d b d ∴+-=-=解得11,1d b ==1(1)n b b n d n ∴=+-=经检验，存在等差数列{},n n b b n = 使得112112122n n n n n a b a b a b a b n +--++++=--对一切*n N ∈都成立 12分解法三：（1）同解法一.（2）假设存在满足条件的等差数列{}n b ，其公差为d ， 使得112112122n n n n n a b a b a b a b n +--++++=--对一切*n N ∈都成立则有2111[(1)]2[(2)]2[(3)]b n d b n d b n d +-++-++-+211112()222n n n b d b n --++++=--即2121(1222)[(1)2(2)2(3)n b n n n -+++++-+-+-+212]22n n d n -++=-- …………8分2211(21)[(1)2(2)2(3)2]2 2.n n n b n n n d n -+-+-+-+-++=--令232(1)2(2)2(3)222n n n T n n n --=-+-+-++⋅+ （1） 232122(1)2(2)2(3)222n n n T n n n --=-+-+-++⋅+ （2） （2）-（1）得221(1)2222n n n T n --=--+++++12(12)(1)2 1.12n n n n --=--+=---所以11(21)(21)22n n n b n d n +-+--=-- 即111()22 2.n n b d dn b d n ++⋅---=-- …………10分因为上式对一切*n N ∈都成立，所以112,1,2b d d b d +=⎧⎪-=-⎨⎪--=-⎩解得11,1b d ==所以1(1).n b b n d n =+-=经检验，存在等差数列{},n n b b n =使得112112122n n n n n a b a b a b a b n +--++++=--对一切*n N ∈都成立……12分21．本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查数形结合思想，化归与转化思想，特殊与一般思想，满分12分. 解法一：（1）依题意，可设抛物线C 的方程为：22(0)y px p =>…………1分抛物线C 过点（1，2）222p ∴=，解得2p =…………3分∴抛物C 的方程为：24.y x =…………4分（2）关于抛物线C 的类似命题为：过抛物线24y x =的焦点F （1，0）作与x轴不垂直的任意直线l 交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ， 则||||AB FM 为定值，且定值是2. …………6分证明如下：设直线AB 的方程为1(0)x ty t =+≠ 代入24y x =， 消去2440x y ty --=得因为216160t ∆=+> 可设1122(,),(,)A x y B x y 则12124,4y y t y y +==-…………7分21212()242x x t y y t +=++=+所以线段AB 中点P 的坐标为2(21,2)t t + …………8分AB 的垂直平分线MP 的方程为22(21)y t t x t -=---令0y =，解得223x t =+ 即2(23,0)M t + 所以2||22FM t =+…………9分由抛物线定义可知212||244AB x x t =++=+所以||2.||AB FM = …………10分（3）过抛物线的焦点F 代作与对称轴不垂直的任意直线l 交抛物线于A 、B 两点， 线段AB 的垂直平分线交对称轴于点M ，则||||AB FM 为定值，且定值是2 …………12分（注：如果考生给出“过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作与x 轴不垂直的任意直线l 交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ，则||||AB FM 为定值，且定值是2”等，照样给分）解法 二：（1）同解法一（2）关于抛物线C 的类似命题为：过抛物线24y x =的焦点F （1，0）作与x轴不垂直的任意直线l 交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ， 则||||AB FM 为定值，且定值是2. …………6分证明过程下：设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =-≠ 代入24y x =， 消去2440x y y k --=得k 因为216160k ∆=+> 可设1122(,),(,)A x y B x y 则12124,4y y y y k+==-…………7分2221212121222111164()[()2]82444x x y y y y y y k k⎛⎫+=+=+-=+=+ ⎪⎝⎭ 所以线段AB 中点P 的坐标为2221,k k⎛⎫+⎪⎝⎭ …………8分AB 的垂直平分线MP 的方程为2212(1)y x k k k-=--- 令0y =，解得223x k =+ 即22(3,0)M k+所以22||2FM k=+…………9分由抛物线定义可知1224||24AB x x k =++=+ 所以||2.||AB FM = …………10分① ②（3）同解法：一解法三：（1）同解法一：（2）关于抛物线C 的类似命题为：过抛物线24y x =的焦点F （1，0）作与x轴不垂直的任意直线l 交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ， 则||||AB FM 为定值，且定值是2. …………6分证明如下：依题意，直线l 与抛物线24y x =必有两个交点A 、B 设1122(,),(,)A x y B x y 线段AB 的中点为00(,.)P x y 又直线l x 与轴不垂直，12x x ∴≠由2112224,4y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ①-②并整理得121212042y y x x y y y -==-+ 即02AB k y =…………8分所以AB 的垂直平分线MP 的方程为00()2y y y x x -=-- 令0y = 得02x x =+即0(2,0)M x +所以00|||(2)1| 1.FM x x =+-=+…………9分由抛物线定义可知120||222AB x x x =++=+所以||2||AB FM = …………10分（3）同解法一22．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分14分. 解法一：（I ）,)()(2x e c bx ax x f ++=.)]()2([)('2x e c b x b a ax x f ++++=∴…………2分 由⎪⎩⎪⎨⎧=-==⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+=⎪⎩⎪⎨⎧=-==.1,2,1.023,1,1,0)1(',1)0(',1)0(c b a c b a c b c f f f 解得即 …………4分经检验，x e x x x f )12()(2+-=满足题意. …………5分（II ）由（I ）得.)1()('2x e x x f -=（i ）假设当)(1x f x 时>存在“保值区间”).1](,[>>m n n m因为当,0)1()(',12>-=>x e x x f x 时 所以)(x f 在区间),1(+∞是增函数.依题意，⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⎩⎨⎧==.)1(,)1(,)(,)(22n e n m e m n n f m m f nn即 于是问题转化为0)1(2=--x e x x 有两个大于1的不等实根…………7分 现在考察函数)1()1()(2≥--=x x e x x h x…………8分,1)1()('2--=x e x x h令,1)1()(2--=x e x x ϕ 则,)12()('2x e x x x -+=ϕ.0)(',1>>∴x x ϕ时当),1()(+∞∴在x ϕ是增函数，即)('x h 在),1(+∞是增函数. ,013)2(,01)('2>-=<-=e h x h∴存在唯一.0)('),2,1(00=∈-x h x 使得…………10分当x 变化时，)(),('x h x h 的变化情况如下表：所以，),1()(0x x h 在上单调递减， 在),(0+∞x 上单调递增. 于是，,01)1()(0<-=<h x h 又因为,02)2(2>-=e h所以，当1>x 时，)(x h 的图象与x 轴只有一个交点， 即方程0)1(2=--x e x x 有且只有一个大于1的根，与假设矛盾. 故当1>x 时，)(x f 不存在“保值区间”.…………12分（ii ）)(x f 存在“保值区间”，[0，1]为 它的一个“保值区间”.…………14分 解法二： （I ）同解法一（II ）由（I ）得,)1()('2x e x x f -=（i ）假设当1>x 时)(x f 存在“保值区间”).1](,[>>m n n m 因为当,0)1()(',12>-=>x e x x f x 时 所以)(x f 在区间),1(+∞是增函数，依题意，⎪⎩⎪⎨⎧=-=-⎩⎨⎧==,)1(,)1(,)(,)(22n e n m e m n n f m m f nm即 于是问题转化为方程,)1(x e x x =-2 即x exx )1(21=-+有两个大于1的不等实根.…………7分考察函数)1(21)(≥-+=x xx x g 与函数).1()1()(≥=x ex h x…………8分当1>x 时，0111)('222>-=-=xx x x g ，所以),1()(+∞在区间x g 是增函数； 而函数x ex h )1()(=在区间),1(+∞是减函数. 又因为,1)2(,21)2(,1)1(,0)1(2eh g e h g ==== 所以),2()2(),1()1(g h g h <>…………10分因此函数)1(21)(≥-+=x xx x g 的图象与函数)1()()(≥1=x ex h x 的图象有且只有一个交点.即方程x ex x )1(21=-+有且只有一个大于1的根，与假设矛盾. 故当)(,1x f x 时>不存在“保值区间”. …………12分（ii ）同解法一.。
2021年高考数学全真模拟预测试卷含答案
第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10题，每小题5分，共50分．在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}|1,|21x M x x N x =<=>，则M N = （ ▲ ）A ．∅B ．{}|0x x <C ．{}|1x x <D ．{}|01x x <<2．复数1i i+=（ ▲ ）A ．i --1B ．i -1C ．i +-1D ．i -3．若双曲线1222=-y ax 的一个焦点为（2，0），则它的离心率为（ ▲ ）A ．552 B ．23C ．332 D ．2 4．在ABC ∆中，角A ，B 所对的边长为,a b ，则“a b =”是“cos cos a A b B =”的（ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 5．右图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为720S =，则在判断框中应填入关于k 的判断条件是（ ▲ ） A ．6?k ≥B ．7?k ≥C ．8?k ≥D ．9?k ≥6．已知三个平面,,αβγ，若βγ⊥，且αγ与相交但不垂直，,a b 分别为,αβ内的直线，则 （ ▲ ） A ．,b b βγ∀⊂⊥B ．,//b b βγ∀⊂ C ．,a a αγ∃⊂⊥D ．,//a a αγ∃⊂7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535S =，点A （3，3a ）与B （5，5a ）都在斜率为－2的直线l 上，则n S 的最大值为 （ ▲ ）A ．16B ．35C ．36D ．328．已知函数①2()f x x =；②()ln f x x =；③cos ()x f x e =；④()x f x e =.其中对于()f x 定义域内的任意一个自变量1x 都存在唯一的一个自变量2x ，使12()()f x f x ⋅=1成立的函数是1111俯视图正视图正视图 俯视图 ▲ ） A ．③④ B ．②④ C ．①② D ．④9．在北京奥运会中，外语学院的3名男生与2名女生志愿者被随机安排到3个不同运动场馆担任翻译，每个场馆至少一位志愿者，则恰好仅有1男1女两位志愿者被安排到同一场馆的概率是 （ ▲ ）A ．427B ．625C ．320D ．31010．已知集合{}{}1,2,3,1,2,3,4M N ==，定义函数:f M N →．若点(1,(1))A f 、(2,(2))B f 、(3,(3))C f ，ABC ∆的外接圆圆心为D ，且()DA DC DB R λλ+=∈，则满足条件的函 数()f x 有 （ ▲ ）A ．6个B ．10个C ．12个D ．16个第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．32)1(xx +的展开式中的常数项为▲12．某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如右图所示，现规定 不低于70分为合格，则合格人数是▲13．已知等差数列{}n a 11122012301030=，则在等比数列{}n b 中，会有类似的结论▲14．把边长为1的正方形折起，形成的三棱锥 C －ABD 的正视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为▲15．若平面区域||||22(1)x y y k x +≤⎧⎨+≤+⎩是一个三角形，则k 的取值范围 是▲16．已知(2,2),(2,1)A B ，O 为坐标原点，若25OA tOB -≤，则实数t的值为▲17．定义在R 上的奇函数()f x ，当x ≥0时12log (1),[0,1)()13,[1,)x x f x x x +∈⎧⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的方程()(11)f x a a =-<<的所有解之和为▲（用a 表示）三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（本小题满分14分）已知向量2(1,sin ),(sin ,cos )a x b x x ==，函数()f x a b =⋅，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（Ⅰ）求()f x 的最小值； （Ⅱ）若3()4f α=，求sin2α的值．19．（本小题满分14分）袋中共有10个大小相同的编号为1、2、3的球，其中1号球有1个，2号球有m 个，3号球有n 个．从袋中依次摸出2个球，已知在第一次摸出3号球的前提下，再摸出一个2号球的概率是13．（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）从袋中任意摸出2个球，记得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．20．（本小题满分14分）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面AA 1B 1B 是边长为2的正方形，点C 在平面AA 1B 1B 上的射影H 恰好为A 1B 的中点，且CH =3，设D 为1CC 中点，（Ⅰ）求证：1CC ⊥平面11A B D ；（Ⅱ）求DH 与平面11AA C C 所成角的正弦值．21．（本小题满分15分）如图，曲线1C 是以原点O 为中心、12,F F 为焦点的椭圆的一部分，曲线2C 是以O 为顶点、2F 为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线1C 和2C 的交点且21AF F ∠为钝角，若172AF =，252AF =， （Ⅰ）求曲线1C 和2C 所在的椭圆和抛物线方程；（Ⅱ）过2F 作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线12C C 、依次交于B 、C 、D 、E 四点，若G 为CD 中点、H 为BE 中点，问22BE GF CD HF ⋅⋅是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．22．（本小题满分15分）过曲线C ：3()f x x ax b =-+外的点A （1，0）作曲线C 的切线恰有两条，（Ⅰ）求,a b 满足的等量关系； （Ⅱ）若存在0x R +∈，使()000x f x x e a >⋅+成立，求a 的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共10题，每小题5分，共50分。
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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．）A．1-B．1 C．i D．i-2．若1log-=nm ，则mn+3的最小值是（）A．22B．2 C．32D3．右边的程序运行后，输出的结果为（A. 9，7B. 9，5C. 13，7D. 7，44．如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是（）A．296cm B．284cmC．(296cm+D．(280cm+5．曲线1yx=与直线14x x==、及x轴所围成的区域的面积是（）A．34B．2ln2C．ln2D．ln21-6．双曲线)0,0(12222>>=-babyax的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作倾斜角为45º的直线交双曲线的右支于M，若MF2⊥x轴，则双曲线的离心率为（）A. 12+ B.3 C.2 D.212+正视图俯视图左视图F7．使奇函数)2cos(3)2sin()(θθ+++=x x x f 在]0 4[，π-上为减函数的=θ（ ）A ．3π- B ．6π-C ．65πD ．32π8.如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ij a i j ==，，；，，，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 .A 37.B 47 .C 114.D 1314二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.9．61x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项为______________． 10.设向量a ,b 满足|a －b |=1，|a |=2，且a －b 与a 的夹角为3π，则| b |=.11. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，)1(log )(2+=x x f . 若2)(-<m f ，则实数m 的取值范围是. 12.已知曲线C 1,C 2的极坐标方程分别为)20,0(cos 4,3cos πθρθρθρ<<≥==，则曲线C 1,C 2标为 ;13．如图，P 是圆O 外的一点，PD 为切线，D 线PEF 经过圆心O ，6,PF PD ==则DFP ∠=__________.111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭14．当实数,x y 满足条件||||1x y +<时，变量2244x x y μ=+++的取值范围是．15．如下图，对一个边长分别为3、4、5的直角三角形进行如下操作：第一次操作，分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间一个阴影部分三角形（如图甲）；第二次操作，分别连接剩余的三个三角形三边的中点，再挖去各自中间的阴影部分三角形（如图乙）；第三次操作，分别连接剩余的各个三角形的中点，再挖去各自中间阴影部分的三角形，……，如此操作下去，记第n 次操作后阴影部分图形的面积总和为n a ,则数列{n a }的通项公式n a =三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分） 已知0ω>，向量()m 1,2cos x =ω，()n 3sin 2x ,cos x=ω-ω．设函数()f x m n =⋅，且()f x 图像上相邻的两条对称轴的距离是2π．（Ⅰ）求数ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．17.(本题满分12分)在高三年级某班学生在数学校本课程选课过程中，已知第一小组与第二小组各有6位同学.每位同学都只选了一个科目，第一小组选《近世代数》的有1人，选《矩阵代数》的有5人，第二小组选《近世代数》的有2人，选《矩阵代数》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况.（Ⅰ）求选出的4 人均选《矩阵代数》的概率；（Ⅱ）设ξ为选出的4个人中选《近世代数》的人数，求ξ的分布列和数学期望．18.（本题满分12分）如图，在体积为1的三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，AB AC ⊥，11==AA AC ，P 为线段AB 上的动点. （Ⅰ）求证：P C CA 11⊥； （Ⅱ）当AP 为何值时，二面角111A PB C --的大小为4π？C 1 C19.（本题满分13分）已知x=0是函数)()()(2R x e b ax x x f x ∈++=的一个极值点，且函数()f x 的图象在2x =处的切线的斜率为22e ，（Ⅰ）求函数()f x 的解析式并求单调区间. （Ⅱ）设'()()xf xg x e=，其中(2,)x m ∈-，问：对于任意的2m >-,方程()g x =22(1)3m -在区间(2,)m -上是否存在实数根？若存在，请确定实数根的个数.若不存在，请说明理由.20．（本题满分13分）已知A 、B 、C 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x m 上的三点，其中点A的坐标为)0,32(，BC 过椭圆m 的中心，且||2||,0AC BC BC AC ==•．（Ⅰ）求椭圆m 的方程；（Ⅱ）过点),0(t M 的直线l （斜率存在时）与椭圆m 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||=.求实数t 的取值范围．21．（本题满分13分）已知函数211()24f x x x =-+，()f x '为函数()f x 的导函数． （Ⅰ）若数列{}n a 满足：11a =，1()()n n a f a f n +''=+（n N *∈），求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：1b b =，12()n n b f b +=（n N *∈）．（ⅰ）当12b =时，数列{}n b 是否为等差数列？若是，请求出数列{}n b 的通项n b ；若不是，请说明理由；（ⅱ）当112b <<时，求证：11221ni ib b =<-∑参考答案一、选择题：(每小题5分，共40分)二、填空题（每小题5分，共35分）：9.15； 11.3m <-；12.)6π；13．6π；14.（1，3）.15.361()4n ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦16、解：（Ⅰ）()2f x m n 3sin 2x 2cos x =⋅=ω-ω2x cos2x 1=ω-ω-2sin 2x 16π⎛⎫=ω-- ⎪⎝⎭……………………… 3分∵()f x 的图像上相邻的两条对称轴的距离是2π∴()f x 的周期为π，∴1ω=……6分（Ⅱ）∵1ω=∴()f x 2sin 2x 16π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∵x ,42ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52x ,636πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦…9分当52x 66ππ-=，即x 2π=时，()f x 取最小值0；当2x 62ππ-=，即x 3π=时，()f x 取得最大值1 …12分17.解：（Ⅰ）设“从第一小组选出的2人选《矩阵代数》”为事件 A ，“从第二小组选出的2人选《矩阵代数》”为事件B .由于事 件A 、B 相互独立， 且25262()3C p A C ==, 24262()5C P B C ==.……4分所以选出的4人均考《矩阵代数》的概率为224()()()3515P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=…………………………… 6分（Ⅱ）设ξ可能的取值为0,1,2,3.得4(0)15P ξ==,21112552442222666622(1)45C C C C C P C C C C ξ===+=, 15226611(3).45c p c c ξ===2(2)1(0)(1)(3)9p p p p ξξξξ==-=-=-==…………… 9分 ξ的分布列为∴ξ的数学期望 42221012311545945E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=…………12分 18. 解：（Ⅰ）证明：连结1AC ，侧棱1AA ⊥底面ABC ，1AA AB ∴⊥，又AB AC ⊥.AB ∴⊥平面11A ACC .又1CA ⊂平面11A ACC ，1AB CA ∴⊥ .………（3分）11AC AA ==，∴四边形11A ACC 为正方形，11AC CA ∴⊥.1AC AB A =， 1CA ∴⊥平面1AC B . 又1C P ⊂平面1AC B，11CA C P ∴⊥. …………（6分）（Ⅱ）1111111,,C A AA C A A B ⊥⊥1111AA A B A =.∴11C A ⊥平面11ABB A .又11111112ABC A B C V AB -=⨯⨯⨯=， 2AB ∴=.如图，以1A 为原点，建立空间直角坐标系1A -xyz ，设AP=x ，则1(0,0,0)A 、1(0,2,0)B 、1(0,0,1)C 、(1,,0)P x .知面11A PB 的一个法向量为11(0,0,1)A C =，……（9分）设面11C PB 的一个法向量为(,,)n a b c =，1(1,2,0)B P x =- ，11C B (0,2,1)=-.由1110n B P n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得(2)020a x b b c +-=⎧⎨-=⎩令1,2,2b c a x ===-则， (2,1,2)n x ∴=-………（11分）依题意：1111cos 4||(2n AC n AC π⋅==⋅=2解得12x =（不合题意，舍去），22x =2AP ∴=时，二面角111C PB A --的大小为4π. …………（13分） 19.解：（I ）x e b a x a x x f ])2([)(2++++='…………1分由a b f -=='得,0)0(2'()[(2)]x f x x a x e ∴=++…………2分22[42(2)]2a e e ∴++=，故3a =-………3分令2'()()0,x f x x x e =-≥得0x ≤或1x ≥；令2'()()0,x f x x x e =-<得01x <<yCBA 1Az C 1B 1P故：2()(33)x f x x x e =-+，单调增区间是(,0],[1,)-∞+∞，单调减区间是(0,1)………5分.（Ⅱ）解:假设方程()g x =22(1)3m -在区间(2,)m -上存在实数根设0x 是方程()g x =22(1)3m -的实根，22002(1)3x x m -=-,令222()(1)3h x x x m =---,从而问题转化为证明方程222()(1)3h x x x m =---=0在(2,)m -上有实根,并讨论解的个数……………………7分 因为222(2)6(1)(2)(4)33h m m m -=--=-+-,221()(1)(1)(2)(1)33h m m m m m m =---=+-,①当421m m >-<<或时,(2)()0h h m -⋅<,所以()0h x =在(2,)m -上有解,且只有一解②当14m <<时,(2)0()0h m ->>且h ,但由于22(0)(1)03h m =--<, 所以()0h x =在(2,)m -上有解,且有两解……………………………………9分③当1m =时,2()001h x x x x x =-=⇒==或,所以()0h x =在(2,)m -上有且只有一解；当4m =时,2()6023h x x x x x =--=⇒=-=或,所以()0h x =在(2,4)-上也有且只有一解…………………………………12分综上所述, 对于任意的2m >-,方程()g x =22(1)3m =-在区间(2,)m -上均有实数根且当421m m ≥-<≤或时,有唯一的实数解；当14m <<时,有两个实数解……13分20．解（1）∵BC AC BC 且||2||=过（0，0）则0||||=⋅=BC AC AC OC 又 ∴∠OCA=90°，即)3,3(C …………2分又∵11212:,32222=-+=cy x m a 设 将C 点坐标代入得11231232=-+C 解得 c 2=8，b 2=4∴椭圆m ：141222=+y x …………5分 （2）由条件D （0，－2）∵M （0，t ）1°当k=0时，显然－2<t<2 …………6分2°当k ≠0时，设t kx y l +=:⎪⎩⎪⎨⎧+==+t kx y y x 141222消y 得 01236)31(222=-+++t ktx x k …………7分由△>0 可得22124k t +<①………………8分设),(),,(),,(002211y x H PQ y x Q y x P 中点则22103132k kt x x x +=+=20031k t t kx y +=+= ∴)31,313(22k t k kt H ++- …………11分 由kk PQ OH DQ DP DH 1||||-=⊥∴=即 ∴2223110313231k t k k kt kt +=-=-+-++化简得②∴t>1 将①代入②得 1<t<4∴t 的范围是（1，4）………………12分综上t ∈（－2，4） ………………13分21.（Ⅰ）1()22f x x '=-， …………………………1分 111(2)(2)22122n n n a a n a n +∴=-+-=+-， 即12(1)12(21)n n a n a n ++++=++． …………………………3分11a =， ∴数列{21}n a n ++是首项为4，公比为2的等比数列．12142n n a n -∴++=⋅，即1221n n a n +=--． …………………………5分（Ⅱ）（ⅰ） 12()n n b f b +=2122n n b b =-+，2112()2n n n b b b +∴-=-．∴当112b =时，212b =． 假设12k b =，则k k b b =+1． 由数学归纳法，得出数列{}n b 为常数数列，是等差数列，其通项为12n b =． …………9分 （ⅱ）21122n n n b b b +=-+， 2112()2n n n b b b +∴-=-． ∴当1112b <<时，2112b b >>． 假设12k b >，则112k k b b +>>．由数学归纳法，得出数列12n b >(1,2,3,)n =． ………10分 又1112()22n n n b b b +-=-，11122111n n n b b b +∴=---， 即11122111n n n b b b +=---． ∴11n i i b =∑11112211()n i i i b b =+=---∑11112211n b b +=---．……11分112n b +>，111211221n i i b b b =∴<=--∑…………………………13分 ．。
2021年高考数学全真模拟预测试卷含答案
第I卷(选择题，共60分）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.2. 考试结束，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .设集合A ={x丨x−1x+2>0,集合B = {x丨−5 ≤2x+1≤3},则集合A∩B=≤A. [- 3, - 2)B. (- 2,1)C.RD. ∅2．已知直线l1:x sinα+2y−1=0 ，直线l2::x−y cosα+3=0,若 l1 ⊥l2:，则tan2α=A.−23B.− 43C.25D.453. 已知复数z满足|z| =1，则|z-1+√3i|的最小值为A.2B. 1C.√3D.√24. 已知m,n为两条不同直线，α β为两个不同平面，则下列结论正确的为A. α//β，m// α，则m//βB.m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α// βC. m丄n，m丄α，n//β则α丄βD. m丄α，m// n，α// β，则n丄β5．已知f(x)是偶函数,且在(0, + ∞)上单调递增，则函数f(x)可以是A.f(x)= x 4−2x2B. f(x)= e x+e−x2C.f(x)= xsinxD. f(x) =13x2 +cos x6.已知圆C:(x−a)2+y2= 4(a≥2)与直线x —y+ 2√2—2 = 0相切，则圆C与直线x−y − 4 = 0相交所得弦长为A. 1B.√2C. 2D. 2√27.已知函数f(x)= sinx+ cos x的导函数为g(x),则下列结论中错误的是A.函数f(x)与g(x)有相同的值域和周期B. 函数g(x)的零点都是函数f(x)的极值点C. 把函数f(x)的图象向左平移π2个单位，就可以得到函数g(x)的图象D. 函数f(x)和g(x)在区间(-π4，π4)上都是增函数8. 若某单位员工每月网购消费金额（单位：元）近似地服从正态分布N(1000,5002)，现从该单位任选10名员工，记其中每月网购消费金额恰在500元至2000元之间的人数为ξ，则ξ的数学期望为参考数据:若随机变量X服从正态分布则N（μ，ℴ2），则P（μ−ℴ< X≤μ+ℴ）= 0.6827,P(μ-2ℴ< X< μ+ 2ℴ) = 0. 9545, P（μ-3ℴ< X ≤μ+3ℴ) = 0. 9973.A. 2.718B. 6. 827C. 8. 186D. 9. 5459. (2x + 1)(1 +√x)5的展开式中x3系数为A. 180B. 90C. 20D. 1010. 已知锐角三角形△ABC的内角A，B, C的对边分别为a，b，c.且b = 2asinB，则cosB + sinC的取值范围为A. (0, √3]B. (1，√3]C. ( √32，32)D.( 12，√32)11.设双曲线E:x 2a 2-y 2b 2= 1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1, ,F2，离心率为e,P 在双曲线E 的右支上.且PF1丄PF2，Q 为线段PF1,与双曲线E 左支的交点，若∠PQF2 = 300，则e 2= A. 7 - 2√3 B. 1+√3 C.2√3−1 D. 72√312.已知函数f (x )={3x −x 3,x ≤0xe x+lnx+1x,x >0,若关于X 的方程发f 2(x )-mf(x)-1=0恰好有6个不相等的实根，则实数m 的取值范围是 A. ( -2,1e+1 ) B. ( -2,0 )∪ ( 0, 1e+1 )C. (−32,2e+1e 2+e) D. ( −32,0 )∪( 0,2e+1e 2+e)第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a→ b→ ，满足：a→=(1, √3），|b→|=√2，（a→− b→）丄b→，则向量a→ b→的夹角为____________。