倒立摆模型推导
倒立摆系统模型研究
控制系统的数学模型是描述系统内部物理量或变量之间关系的数学表达式。在静态条件下(即变量各阶导数为零)，描述变量之间关系的代数方程称为静态数学模型；而描述变量各阶导数之间关系的微分方程称为动态数学模型。如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程求解，则可以得到系统输出量的表达式，并由此对系统进行性能分析。因此，建立控制系统的数学模型是进行控制系统分析和设计的首要工作。
系统建模可以分为两种方式：实验建模和机理建模。实验建模是通过在研究对象上加入各种由研究者事先确定的输入信号，激励研究对象，并通过传感器检测其可观测的输出，应用系统辩识的手法分析输入-输出关系，建立适当的数学模型逼近实际系统。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统的运动方程。
对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难，故而选用机理建模的方法。为了在数学上推导和分析的方便，可作出如下假设：
1) 摆杆在运动中是不变形的刚体；
2) 齿型带与轮之间无相对滑动，齿型带无拉长现象； 3) 各种摩擦系数固定不变； 4) 忽略空气阻力；
在忽略掉这些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。本文采用分析力学Lagrange 方程建立一、二级倒立摆的数学模型。Lagrange 方程有如下特点：
1) 它是以广义坐标表达任意完整系统的运动方程式，方程的数目和系统的自由度
数是一致的。
2) 理想的约束反力不出现在方程组中，因此在建立系统的运动方程时，只需分析
已知的主动力，而不必分析未知的约束反力。
3) Lagrange 方程是以能量的观点建立起来的运动方程式，为了列出系统的运动方
程式，只需从两个方面进行分析，一个是表征系统运动的动力学能量——系统的动能，另一个是表征主动力作用的动力学量——广义力。因此，用Lagrange 建模可以大大简化系统的建模过程。
采用拉格朗日的方法建立系统的数学模型。Lagrange 算子可以描述如下：
(,)(,)()L q q T q q V q =- (1.1)
其中：
T ：系统的动能 V ：系统的势能 q ：系统的广义坐标
则系统的动力学方程可用Lagrange 算子描述如下：
d L L D
U dt q q q
?????-+
= ?????? (1.2)
Lagrange 方程可以简单的理解为系统的能量的变化随着系统外加作用力的变化而变化。
1.1 一级倒立摆系统
1.1.1 拉格朗日方法建立一级倒立摆系统的数学模型
可以将一级倒立摆系统抽象成小车和质量均匀的摆杆组成，小车以向左方向运动为正，摆杆角度以自然下垂位置为零点，逆时针为正，如图2.1所示。
图2.1 一级倒立摆示意图
各参数的物理意义及取值如表2.1：
表 2.1 倒立摆物理参数符号意义及取值
符号 物理意义
取值及单位 M 小车质量 1.096 kg m 摆杆质量 0.109 kg c 0 小车摩擦系数 0.1 Nm -1sec -1 c 1 摆杆摩擦系数
0.0022 Nm -1sec -1 l 摆杆转动轴心到质心的长度 0.25 m J 摆杆惯量 0.0034 kgm 2 u 控制力 N x
小车位移 m
小车速度 m sec -1
摆杆角度 rad
摆杆角速度
rad sec -1
首先计算小车的动能(
M T )、摆杆的动能(m T )和系统的总动能(T )：
x θθ
2
2221211(sin )(cos )22M m M m T Mx d x l d l T J m dt dt T T T
θθθ?=????
?+-????=++ ?? ? ? ??
???????=+??
(1.3) 不妨假定导轨所在的水平面势能为零，在一级倒立摆的运动过程中，小车的势能始终为零，系统的总势能为：
(cos )V mg l θ=- (1.4)
小车与导轨之间的摩擦力和摆杆与小车之间的摩擦力，使得系统能量的损失分别为：
210
2
211212
D c x D c θ?=???
?=?? (1.5) 则系统总共损失的能量为：
(1.6)
取系统的广义坐标系为： x θ、
，则拉格朗日算子为： L T V =- (1.7)
则系统的拉格朗日方程可以表示为：
d L L D u dt x x x d L L D dt θθθ
??????-+= ????????
?
??????-+= ???????? (1.8) 借助Mathemetica 软件，由以上方程组可以得到一级倒立摆系统的动力学方程，具体的
推导过程可以参看附录一。
21cos sin cos sin 0M m ml x x u c ml ml ml J mgl c θθθθ
θθθ??+-????????+=
?
??? ? ?+-???????
??? (1.9) 1.1.2 一级倒立摆系统在倒立点附近线性化处理
现行的许多一级倒立摆稳摆控制[39]需要将倒立摆在倒立点附近做近似线性化处理。首
先由式(2.9)可得：
221022222012222cos (sin )()(sin )()()cos cos ()(cos ()sin cos sin )()()cos ml mgl c J ml u c x ml x M m J ml m l ml c x M m c ml u M m g ml M m J ml m l θθθθθθθθθθθθθθθ?--+-+=-
?++-?
?-++-++-?=?++-?
(1.10)
12D D D =+
在倒立点附近，摆杆角度接近为零，角速度也较小，可以认为：
2sin 0 , sin , cos 1θθθθθ→→→ (1.11)
将式(2.11)代入式(2.10)，可得
2222012012()()()()()()J ml c x m l g J ml u c ml x M m J Mml mlc x uml M m mgl M m c M m J Mml θθθθθ?++-+-=-
?++?
?
-++-+?=?++?
(1.12) 令 ：
(
)
T
X x
x θθ
= (1.13)
将2.12写成矩阵形式，可以得到一级倒立摆在倒立点附近线性化模型的状态空间方程，如
下：
X AX Bu Y CX Du
=+=+ (1.14) 其中：
222012
2
20
12
2
201
()0()()()0001()()0()()()J ml c c ml m l g
M m J Mml M m J Mml M m J Mml A mlc M m c M m mgl M m J Mml M m J Mml M m J Mml ????
-+-??
??++++++=?
?
????
-++??
++++++?
?
2
220()0()J ml M m J Mml B ml M m J Mml ??
??+????++=??
??
????++??
10000010C ??=???? 00D ??=????
1.2 二级倒立摆系统
1.2.1 拉格朗日方法建立二级倒立摆系统的数学模型
将二级倒立摆系统抽象成小车和质量均匀的内、外摆杆组成，小车以向左方向运动为正，
摆杆角度以自然下垂位置为零点，逆时针为正，如图2.2所示。各参数的物理意义及取值如表2.2所示。
图2.2 二级倒立摆示意图
表 2.2 倒立摆物理参数符号意义及取值
符号 物理意义
取值及单位 M 小车质量 1.32 kg m 1 内杆质量 0.04 kg m 2 外杆质量 0.132 kg m 3 质量块质量 0.208 kg c 0 小车摩擦系数 0.1 N/m/sec c 1 内杆-小车摩擦系数 0 N/m/sec c 2 内-外杆摩擦系数
0 N/m/sec l 1 内杆转动轴心到质心的长度 0.09 m L 1 内杆长度
0.18 m l 2 外杆转动轴心到质心的长度 0.27 m J 1 内杆惯量 0.000108 kg*m2 J 2 外杆惯量 0.0034 kg*m2 u 控制力 N x
小车位移 m
小车速度 m/sec α
内杆角度 rad α
内杆角速度 rad/sec β
外杆角度 rad β
外杆角速度
rad/sec
首先计算小车的动能(M T )和内、外摆杆的动能(1m T 、2m T )以及质量块的动能3m T
x
2
22
211
11122212122222
1123312(sin )(cos )1122(sin sin )(cos )1122(sin )(cos cos )12M m m m T Mx d x l d l T J m dt dt d x L l d L T J m dt dt d x L d L l T m dt dt ααααβαβααβ=??+-????=++ ? ? ? ?????????++-????=++ ? ? ? ???????
?+--????=+ ? ????????????
????
?? ?? ?????
(1.15)
则总动能为：
123M m m m T T T T T =+++ (1.16)
不妨假定导轨所在的水平面势能为零，在二级倒立摆的运动过程中，小车的势能始终为
零，可以计算内外杆、质量块势能分别为：
1112223
33m m m V m gY V m gY V m gY
=??
=??=? (1.17) 则总势能为：
(1.18)
小车-导轨、内杆-小车、外杆-内杆之间的摩擦力，使得系统能量的损失分别为：
2
0021
12
2212121()2D c x D c D c αβα?=??
?=??
?=-??
(1.19) 故系统总共损失的能量为：
123D D D D =++ (1.20)
取系统的广义坐标系为： x αβ、、，则则拉格朗日算子为：
L T V =-
系统的拉格朗日方程可以表示为：
123m m m V V V V =++
00d L L D
u dt x x x d L L D
dt d L L D
dt αααβββ
??????-
+=? ??????????????-
+=? ?????????????-
+=? ???????? (1.21) 借助mathemetica 软件，由以上方程组可以得到二级倒立摆系统的动力学方程，具体的
推导过程可以参看附录二。
()(,)()M q C q q F q θθ+= (1.22)
其中：
()T
q x αβ=
1.2.2 二级倒立摆系统在倒立点附近线性化处理
实现二级倒立摆稳摆控制的LQR [40]方法，需要对系统模型做线性化处理，在倒立点附近
近似为线性时不变系统。在本文所规定的符号与方向的情况下，线性化结果如下： 在倒立点附近存在：
0,sin ,cos 1,0,sin ,cos 1,cos()1ααααββββαβ→→→→→→-→
(1.23)
将式(2.23)代入式(2.22)，二级倒立摆系统动力学方程可以近似为：
???()(,)()M
q C q q F q θθ+= (1.24) 其中：
123
1123222221123111232222222222()?()M m m m m l m L m L m l M m l m L m L J m l m L m L m l L m l m l L J m l +++-++-??
?
=-+++++
? ?-+?
?
123112322222
1123111232222222222()cos cos ()()cos cos()cos cos()
M m m m m l m L m L m l M q m l m L m L J m l m L m L m l L m l m l L J m l αβ
α
αββαβ+++++??
?
=+++++- ?
?-+??011232212
222222
2
()sin sin (,)0
sin()0sin()c m l m L m L m l C q q c c m l L c m l L c c ααββ
αββαβα??
-++-
?
=+-- ?
?---?
?112322()()sin sin u F q m l m L m L g m gl αβ??
?=-++ ?
?-??
01222
200?00c C c c c c c ?? ?=+- ? ?-?
? 112322000
?0()000G m l m L m L g m gl ??
?=-++
? ?-??
()
1???q M
Fu Cq Gq -=++ 可以发现式(2.24)是二级倒立摆在倒立点附近线性化处理后的系统方程，若令：
()1212T
X x x θθθθ= (1.25) (
)
12
12
T
X x x θθθθ= (1.26)
则可以得到二级倒立摆在倒立点附近线性化模型的状态空间方程：
3311
10
0?????I X X u M F M G
M C ?---????
=+ ? ???
?? (1.27) 1.3 倒立摆微分方程数值解法
对倒立摆系统的仿真分析，实质上是对系统数学模型求数值解的过程。对于这样的常微
分方程数值解法按照求解步数可以分为单步法和多步法，单步法的代表是Runge-Kutta 法，多步法的代表是Adms 法；按照求解步长可以分为固定步和变步长的求解方式；按照求解精度可以将求解方法归为2阶、3阶、4阶等。下面不加推导的给出4阶经典Runge-Kutta 法的计算格式和Adms 可变步长的4阶预测校正法的计算流程。
已知微分方程初值条件，若x 在区间 [ a ，b ] 取(N +1)个等距节点，求对应的y 的近似值。
(,) , , ()y f x y a x b y a η=≤≤= (1.28)
对于这样一个常微分方程的数值解问题，取步长h =(b -a )/N ，4阶经典Runge-Kutta 法求解格式如下[41]：
()()11234121223
3(22)6,,22,22,i i
i i i
i i i i i h y y K K K K K f x y h h K f x y K h h K f x y K K f x h y hK +?=++++??
?=?
??
?=++? ????
??
?=++? ?
???
?=++? (1.29) Adams 变步长的4阶预测校正算法的思路是：先用给定的初始步长，采用4阶Runge-Kutta
法求出最初的三个节点，接着依据采用Adams-Bashforth 4步显式方法(式3.10)预测下一个节点的值，用Adams-Bashforth 3步隐式方法(式3.11)校正下一个节点的值。采用两种不同的方式计算的同一个节点的值，两个计算结果之差若在合理的范围内，则认为计算精度满足要求，无需改变步长；若过大则认为计算精度不够，需减小步长以提高计算的准确性；若过小则认
为计算精度超标，需增大步长以提高计算效率。若步长合适则保存结果，并采取当前步长继续预测、校正下一个节点。否则，改变步长重新采用Runge-Kutta 法计算前面三个节点，然后对新步长做评价，不断的重复这一过程直到找到合适的步长为止。在计算快要结束时应当注意选取合适的步长以包含最后一个节点。 Adams-Bashforth 4步显式方法：
()()()()()111223355,59,37,9,24
i i i i i i i i i i h
y y f x y f x y f x y f x y +------=+
-+- (1.30)
Adams-Bashforth 3步隐式方法：
()()()()()11111229,19,5,,24
i i i i i i i i i i h
y y f x y f x y f x y f x y +++----=+
+-+
(1.31)
通常高阶方法可能拥有更好的计算精度[41]，比如二、三、四阶方法对应的局部截断误
差是分别是O (h 2)、O (h 3)、O (h 4)。但并不是说高阶的方法拥有更好的效果。这是由于插值多项式并不是次数越高逼近精度越好。另外，高阶的方法将花费更多的求解次数[42]，如表2.3。因此，常微分方程的数值解通常采用小于5阶的求解方法。
表2.3 求解次数与截断误差
在MATLAB 当中能方便的实现微分方程的数值解，常用的求解器及说明如表2.4：
表2.4 解常微分方程初值问题MATLAB 的求解器 求解器 含义
ode23 2、3阶Runge-Kutta 法 ode45 4、5阶Runge-Kutta 法
ode113 多步Adams 法 ode23t 适度刚性问题梯形法 ode15s 刚性微分方程组多步法 ode23s 刚性微分方程组2阶Rosenbrock 法
ode23tb 刚性微分方程组低精度算法
odeset
ode 命令选项设置
对常微分方程初值问题，MATLAB 的求解指令具有相同的格式，以最常用的ODE45为例说明如下：
常用格式 [t ，y ] = ode45(odefun ，tspan ，y 0)
完整格式 [t ，y ] = ode45(odefun ，tspan ，y 0，options ，p 1，p 2，…) 详细的参数说明如表2.5：
表2.5 ODE 求解指令参数说明
参数
含义
odefu
f(t，y)的函数句柄或内嵌函数
n
tspan 自变量的初值和终值
y0 初值向量
t 标量，返回节点列向量
y 标量或向量，返回数值解矩阵
option
设置的计算参数，默认可用空矩阵表示
s
p1，
为附加传递参数，这时odefun必须表示为f(t，y，p1，p2，…) p2，…
可以在MATLAB当中可以编写m文件求解一、二级倒立摆系统的微分方程组。求解器选取ODE45的详细程序清单见附录三。
1.4 本章小结
本章介绍了建立一、二级倒立摆系统的数学模型的拉格朗日方法，借助mathemetica软件得到相应的微分方程组，并在倒立点附近做了近似线性化处理。在倒立摆的仿真过程当中，摆起过程采用微分方程组构建建立倒立摆的准确模型，稳摆过程可允许采用线性化处理后的模型。
并简单介绍了几种微分方程数值解法的思想和在MATLAB中的数值求解命令。采用MATLAB(求解器为ODE45)分别编写了一、二级倒立摆微分方程的求解程序。
一级倒立摆的建模与控制分析
控制工程与仿真课程设计报告 报告题目直线一级倒立摆建模、分析及控制器的设计 组员1专业、班级14自动化1 班姓名朱永远学号1405031009 组员1专业、班级14自动化1 班姓名王宪孺学号1405031011组员1专业、班级14自动化1 班姓名孙金红学号1405031013 报告评分标准 评分项目权重评价内容评价结果项目得分 内容70设计方案较合 理、正确，内容 较完整 70-50分 设计方案基本合 理、正确，内容 基本完整 50-30分 设计方案基本不 合理、正确，内 容不完整 0-30分 语言组织15语言较流顺，标 点符号较正确 10-15分语言基本通顺， 标点符号基本正 确 5-10分 语言不通顺，有 错别字，标点符 号混乱 5分以下 格式15 报告格式较正 确，排版较规范 美观 10-15分 报告格式基本正 确，排版不规范 5-10分 报告格式不正 确，排版混乱 5分以下总分
直线一级倒立摆建模、分析及控制器的设计 一状态空间模型的建立 1.1直线一级倒立摆的数学模型 图1.1 直线一级倒立摆系统 本文中倒立摆系统描述中涉及的符号、物理意义及相关数值如表1.1所示。
图1.2是系统中小车的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。 图1.2 系统中小车的受力分析图 图1.3是系统中摆杆的受力分析图。F s 是摆杆受到的水平方向的干扰力, F h 是摆杆受到的垂直方向的干扰力，合力是垂直方向夹角为α的干扰力F g 。
图1.3 摆杆受力分析图 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： ()11- 设摆杆受到与垂直方向夹角为α 的干扰力Fg ，可分解为水平方向、垂直方向的干扰力，所产生的力矩可以等效为在摆杆顶端的水平干扰力FS 、垂直干扰力Fh 产生的力矩。 ()21- 对摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： ()θsin 22 l x dt d m F N S +=- ()31- 即： αθθθθsin sin cos 2f F ml ml x m N +-+= ()41- 对图1.3摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： ()θcos 22 l l dt d m F mg P h -=++- ()51- 即 θθθθ αcos sin cos 2 ml ml F mg P g +=++- ()61- 力矩平衡方程如下： 0cos sin sin cos cos sin =++++θθθθαθα I Nl Pl l F l F g g ()71- 代入P 和N ，得到方程： () 0cos 2sin sin 2cos sin cos 2cos sin 2222=+-++++θθθθθθθαθαx ml ml mgl ml I l F l F g g ()81- 设φπθ+=，（φ是摆杆杆与垂直向上方向之间的夹角，单位是弧度），代入上式。假设φ<<1，则可进行近似处理： φφφφφφφ===?? ? ??==2sin ,12cos ,0,sin ,1cos 2 dt d N x f F x M --= α sin g S F F =α cos g h F F =
单级倒立摆系统的极点配置与状态观测器设计
单级倒立摆系统的极点配置与状态观测器设计 14122156 杨郁佳 （1）倒立摆的运动方程并将其线性化 选取小车的位移z ，及其速度z g 、摆的角位置θ及其角速度θg 作为状态变量，即T x z z θθ??=??? ?g g 则系统的状态空间模型为 01000100000010()1000mg M M x u M m g Ml Ml x ????????????-????=+????????+-????????????g []1000y x = 设M=2kg ，m=0.2kg ，g=9.81m/2 s ，则单级倒立摆系统的状态方程为 (1010) 01010 01020.500013030 011040.54x x x x u x x x x ??????????????????-????????=+????????????????-???????????? []12100034x x y x x ???? ??=?????? （2）状态反馈系统的极点配置。 首先，使用MATLAB ，判断系统的能控性矩阵是否为满秩。 MATLAB 程序如下：
A=[0 1 0 0; 0 0 -1 0; 0 0 0 1; 0 0 11 0]; B=[0; 0.5; 0; -0.5]; C=[1 0 0 0]; D=0; rct=rank(ctrb(A,B)) [z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D) MATLAB程序执行结果如下： 系统能控，系统的极点为 1=0 λ 2=0 λ 3=3.3166 λ 4=-3.3166 λ 可以通过状态反馈来任意配置极点，将极点配置在 1=-3 λ* 2=-4 λ* 3=-5 λ* 4=-6 λ*
倒立摆姿态控制模型
倒立摆 倒立摆百度文库解释： 倒立摆系统的输入为小车的位移（即位置）和摆杆的倾斜角度期望值，计算机在每一个采样周期中采集来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。 倒立摆系统简介 倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。最初研究开始于二十世纪50 年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。 倒立摆分类
直线二级倒立摆的建模和控制综述
西南科技大学 自动化专业方向设计报告 设计名称：直线二级倒立摆的建模和镇定控制 姓名： 学号: 班级： 指导教师： 起止日期：
方向设计任务书 学生班级：学生姓名：学号： 设计名称： 起止日期：指导教师： 方向设计学生日志
直线二级倒立摆的建模与镇定控制 摘要（150-250字） 倒立摆是一个典型的多变量、非线性、强耦合、欠驱动的自然不稳定系统，对倒立摆系统的控制研究，能反映控制过程中的镇定、非线性和随动等问题，因此常用于各种控制算法的研究。而且对倒立摆系统的研究还有重要的工程背景，对机器人行走、火箭的姿态调整等都有重要的现实意义。 本文以直线二级倒立摆系统为模型，阐释了直线二级倒立摆的建模方法和镇定控制算法。其次介绍了直线二级倒立摆系统的结构和参数，应用拉格朗日方程建模方法详细推导了二级倒立摆的数学模型，并对系统的性能进行分析。接下来，本文重点研究了最优控制算法在直线二级倒立摆镇定控制中的应用；在介绍倒立摆系统的最优控制算法的基础上，设计了系统的最优控制器，分析得出控制参数的选择规律；并且在Simulink上完成仿真实验,观察控制系统性能。 关键词：倒立摆；建模；LQR；镇定控制
Modeling and Balance Control of the Linear Double Inverted Pendulum Abstract：Inverted pendulum is a typical multivariable, nonliner, closed coupled and quick movement natural instable system.The process of control research can reflect many key problems in control theory, such as the problem of tranquilization, non linearity, following and so on. So the inverted pendulum is commonly used for the study of many kinds of control theory. The research of inverted pendulum also has important background of engineering, and has practical significance for the Robot walk and Rocket-profile adjustment. In this paper, taking the linear double inverted pendulum system as the control model, reaching of the control system based on lagrange equation and optimal control algorithm. First of all, giving out the research significance and situation of the inverted pendulum system,and introducing the linear double inverted pendulum modeling methods and stabilization control theory. Secondly, introducing the structure and parameters of the inverted pendulum system. Researching of the inverted pendulum mathematical model based on lagrange equation, and giving a detailed derivation, then having stability analysis of the system. Next, this paper studied the inverted pendulum system’s optimal control algorithm,and designed the LQR controller based on it,then coming to the law of selection of control parameters. Finishing the simulation in the Simulink software,observing the performance of the control system. Key words: inverted pendulum, modeling, LQR, balance control
倒立摆建模
系统建模 系统建模可以分为两种:机理建模和实验建模.实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者先确定的输入信号,激励研究对象并通过传感器的检测其可观测的输出,应用数学手段建立起系统输入---输出关系.这里包括输入信号的设计选取,输出信号的精确检测,数学算法的研究等等内容.机理建模就是在了解研究对象在运动规律基础上,通过物理,化学的知识和数学手段建立起的系统内部的输入输出状态关系.系统的建模原则： 1) 建模之前，要全面了解系统的自然特征和运动机理，明确研究目的和准确性要求，选择合适的分析方法。 2) 按照所选分析法，确定相应的数学模型的形式； 3) 根据允许的误差范围，进行准确性考虑，然后建立尽量简化的合理的数学模型。 小车—倒立摆系统是各种控制理论的研究对象。只要一提小车—倒立摆系统，一般均认为其数学模型也已经定型。事实上，小车—倒立摆的数学模型与驱动系统有关，常见到的模型只是对应于直流电机的情况，如果执行机构是交流伺服电机，就不是这个模型了。本文主要分析由直流电机驱动的小车—倒立摆系统。小车倒立摆系统是检验控制方式好坏的一个典型对象，其特点是高阶次、不稳定、非线性、强耦合，只有采取有效的控制方式才能稳定控制. 在忽略空气阻力,各种摩擦之后,可将直线一级倒立摆系统抽象成小车忽然均匀质杆组成的系统,如下图所示: 图中F 是施加于小车的水平方向的作用力，x 是小车的位移，φ是摆的倾斜角。若不给小车施加控制力，倒摆会向左或向右倾斜，控制的目的是当倒摆出现偏角时，在水平方向上给小车以作用力，通过小车的水平运动，使倒摆保持在垂直的位置。即控制系统的状态参数，以保持摆的倒立稳定。 M 小车的质量 0.5Kg m 摆杆的质量 0.2Kg X φ F M 图1 直线一级倒立摆系统 θ
(完整版)一级倒立摆系统分析
一级倒立摆的系统分析 一、倒立摆系统的模型建立 如图1-1所示为一级倒立摆的物理模型 图1-1 一级倒立摆物理模型 对于上图的物理模型我们做以下假设： M：小车质量 m：摆杆质量 b：小车摩擦系数 l：摆杆转动轴心到杆质心的长度 I：摆杆惯量 F：加在小车上的力 x：小车位置 ?：摆杆与垂直向上方向的夹角 θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图1-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆
杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：实际倒立摆系统中的检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。 图1-2 小车及摆杆受力分析 分析小车水平方向受力，可以得到以下方程： M x?＝Ｆ-ｂx?-Ｎ (1-1) 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到以下方程： N =m d 2dt (x +l sin θ) (1-2) 即： N =mx?+mlθcos θ?mlθ2sin θ (1-3) 将这个等式代入式（1-1）中，可以得到系统的第一个运动方程： (M +m )x?+bx?+mlθcos θ?mlθ2sin θ=F (1-4) 为推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得出以下方程： P ?mg =m d 2dt 2 (l cos θ) (1-5) P ?mg =? mlθsin θ?mlθ2cos θ (1-6) 利用力矩平衡方程可以有：
?Pl sinθ?Nl cosθ=Iθ (1-7) 注意：此方程中的力矩方向，由于θ=π+?，cos?=?cosθ，sin?=?sinθ，所以等式前面含有负号。 合并两个方程，约去P和N可以得到第二个运动方程： (I+ml2)θ+mgl sinθ=?mlx?cosθ (1-8) 设θ=π+?，假设?与1（单位是弧度）相比很小，即?＜＜1，则 可以进行近似处理：cosθ=?1，sinθ=??，（dθ dt ） 2 =0。用u来 代表被控对象的输入力F，线性化后的两个运动方程如下： {(I+ml2)??mgl?=mlx? (M+m)x?+bx??ml?=u (1-9) 假设初始条件为0，则对式（1-9）进行拉普拉斯变换，可以得到： {(I+ml2)Φ(s)s2?mglΦ(s)=mlX(s)s2 (M+m)X(s)s2+bX(s)s?mlΦ(s)s2=U(s) (1-10) 由于输出为角度?，求解方程组的第一个方程，可以得到： X(s)=[(I+ml2) ml ?g s ]Φ(s) (1-11) 或改写为：Φ(s) X(s)=mls2 (I+ml2)s2?mgl (1-12) 如果令v=x?,则有：Φ(s) V（s）=ml (I+ml2)s2?mgl (1-13) 如果将上式代入方程组的第二个方程，可以得到： (M+m)[(I+ml2) ml ?g s ]Φ(s)s2+b[(I+ml2) ml +g s ]Φ(s)s?mlΦ(s)s2= U(s) (1-14) 整理后可得传递函数： Φ(s) U(s)= ml q s2 s4+b(I+ml 2) q s3?(M+m)mgl q s2?bmgl q s (1-15)
20112515直线一级倒立摆机理建模
上海电力学院课程设计报告 课名：自动控制原理应用实践 题目：倒立摆控制装置 院系：自动化工程学院 专业：测控技术与仪器 班级：2011151班 姓名：马玉林 学号：20112515 时间：2014年1月14日
倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自有连接（即无电动机或其他驱动设备）。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。 倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。 1.1 倒立摆的控制方法 倒立摆系统的输入来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。 本次设计中我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型，然后通过开环响应分析对该模型进行分析，并利用学习的古典控制理论和Matlab /Simulink仿真软件对系统进行控制器的设计，主要采用根轨迹法，频域法以及PID（比例-积分-微分）控制器进行模拟控制矫正。 2 直线倒立摆数学模型的建立 直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之一，直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在小车上装载不同的摆体组件。 系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。这里面包括输入
倒立摆系统的建模及Matlab仿真资料
第1 页共11 页 倒立摆系统的建模及Matlab仿真 1.系统的物理模型 考虑如图(1)所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。 图(1)倒立摆系统 假定倒立摆系统的参数如下。 摆杆的质量：m=0.1g l=1m小车的质量：摆杆的长度：2重力加速度：g=9.8m/M=1kg s摆杆的质量在摆杆的中心。 设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量?≤10%，调节时间ts ≤4s ，通过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直位置。 2.系统的数学模型 2.1建立倒置摆的运动方程并将其线性化。 为简化问题，在数学模型中首先假设：1)摆杆为刚体；2）忽略摆杆与支点之间的摩擦；3）忽略小车与接触面间的摩擦。 ?）,在u设小车瞬时位置为z,摆心瞬时位置为（作用下，小车及摆均产生加速远 动，sin?lz根据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与u平衡，于是有 22dzd?)?sinu?M?m(zl22dtdt???2????z(M?mml?)cos?mlusin? 即：??①
绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有． 第2 页共11 页 2??d??? sin??lcosm(z?lsinmgl)??2dt?????22???????即： nis?l?ocgcosincoszs?ls??② 以上两个方程都是非线性方程，为求得解析解，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒立摆直?2?????且可忽略则，立，在试驾合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零时合理的，1sincos??,项。于是有 ???M?zm?u?ml??)(③ ????g?z?l??④联立求解可得1mg?u?z????MM 1)?m(M????u??MlMl 列写系统的状态空间表达式。2.2??T xx,x,x,，选取系统变量则 xx,x,xx?,42134123xx??211mgux???x?32MM x?x?431)(M?mu?x?x? 34MlMl 即00100????z??1mg??????000?z?????d MM??Bu?Ax?xux????????00001???dt????1gm?(M)????000??????? MlMl??????Cx?0?y?xx1001代入数据计算得到：0100????000?1??????T0D,?0??1BA?,?001,C100??1000??00011?? 11 页3 页共第 3.设计控制器3.1判断系统的能控性和稳定性 1100????0011????23BBAABAB?Q?故被控对象完全可控， rank()=4,Q kk??11?0?10??011?10???22???11?。出现大于零的特征值，故被，，0 解得特征值为 0由特征方程0??11I?A?)(控对象不稳定3.2确定希望的极点， 另一对为远极点，认为系统性能主要由主导，选其中一对为主导极点和希望的极点n=4ss21极点决定，远极点只有微小影响。根据二阶系统的关系式，先确定主导极点???42??1????10.?e??t1.67?有，闭环可得；取误差带，于是取，则6.?059?0.02.?0? pns??n2????1?js??=-10.8j,远极点选择使它和原点的距离大于主导极点与原点 距离主导极点为?n,21s??15倍，取的54,33.3采用状态反馈方法使系统稳定并配置极点 ??kkkk?k；状态反馈系统的状态方程，馈状态反的控制规律为为kxu??3102?，其
单级倒立摆系统的分析与设计
单级倒立摆系统的分析与设计 小组成员：武锦张东瀛杨姣 李邦志胡友辉 一．倒立摆系统简介 倒立摆系统是一个典型的高阶次、多变量、不稳定和强耦合的非线性系统。由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有很大的相似性，因而对其研究具有重大的理论和实践意义。由于倒立摆系统本身所具有的上述特点，使它成为人们深入学习、研究和证实各种控制理论有效性的实验系统。 单级倒立摆系统（Simple Inverted Pendulum System）是一种广泛应用的物理模型，其结构和飞机着陆、火箭飞行及机器人的关节运动等有很多相似之处，因而对倒立摆系统平衡的控制方法在航空及机器人等领域有着广泛的用途，倒立摆控制理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器入技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。 倒立摆仿真或实物控制实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案。最初研究开始于二十世纪50年代，单级倒立摆可以看作是一个火箭模型，相比之下二阶倒立摆就复杂得多。1972年，Sturgen等采用线性模拟电路实现了对二级倒立摆的控制。目前，一级倒立摆控制的仿真或实物系统已广泛用于教学。 二．系统建模 1．单级倒立摆系统的物理模型 图1：单级倒立摆系统的物理模型
单级倒立摆系统是如下的物理模型：在惯性参考系下的光滑水平平面上，放置一个可以在平行于纸面方向左右自由移动的小车（cart ），一根刚性的摆杆（pendulum leg ）通过其末端的一个不计摩擦的固定连接点（flex Joint ）与小车相连构成一个倒立摆。倒立摆和小车共同构成了单级倒立摆系统。倒立摆可以在平行于纸面180°的范围内自由摆动。倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的摄动下摆杆仍然保持竖直向上状态。在小车静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆受到微小的摄动时就会发生不可逆转的破坏而使倒立摆无法复位，这时必须使小车在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。依照惯性参考系下的牛顿力学原理，作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，单级倒立摆系统是一个非线性系统。 各个参数的物理意义为： M — 小车的质量 m — 倒立摆的质量 F — 作用到小车上的水平驱动力 L — 倒立摆的长度 x — 小车的位置 θ— 某一时刻摆角 整个倒立摆系统就受到重力、驱动力和摩擦阻力的三个外力的共同作用。这里，驱动力F 是由连接小车的传动装置提供，控制倒立摆的稳定实际上就是依靠控制驱动力F 使小车在水平面上做与倒立摆运动相关的特定运动。为了简化模型以利于仿真，假设小车与导轨以及摆杆与小车铰链之间的摩擦均为0。 2．单级倒立摆系统的数学模型 令小车的水平位移为x ，运动速度为v ，加速度a 。 小车的动能为212kc E Mx =，选择特定的参考平面使得小车的势能为0。 摆杆的长度为L ，某时刻摆角为θ，在摆杆上与固定连接点距离为q （0 一级倒立摆物理建模和传递函数的推导 设定： M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 车位置 φ 摆杆与垂直向上方向的夹角 图1、2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用。 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： N x b F x M --=? ?? (1) 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： )sin (22 θl x dt d m N += (2) 即： θθθθsin cos 2 ?? ???-+=ml ml x m N (3) 把这个等式代入式(3)中，就得到系统的第一个运动方程： F ml ml x b x m M =-+++?? ????θθθθsin cos )(2 (4) 对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程: )cos (2 2 θl dt d m mg P =- (5) θθθθcos sin 2 ?? ?--=-ml ml mg P (6) 力矩平衡方程： ? ?=--θθθI Nl Pl cos sin (7) 此方程中力矩的方向，由于φπθ+=,θφcos cos -=,θφsin sin -=,故等式前面有负号。 合并这两个方程，约去 P 和N ，得到第二个运动方程： θ θθcos sin )(2 ? ???-=++x ml mgl ml I (8) 设θ =π +φ, 假设φ 与1（单位是弧度）相比很小，即c <<1，则可以进行近似处理：1cos -=θ,φθ-=sin ,0)(2 =dt d θ。用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下： { u ml x b x m M x ml mgl ml I =-++=-+? ?? ? ?? ???φφφ)()(2 (9) 假设初始条件为0，对式(9)进行拉普拉斯变换： { ) ()()()()()()()()(22222s U s s ml s s bX s s X l M s s mlX s mgl s s ml I =Φ-++=Φ-Φ+ (10) 由于输出为角度φ ，求解方程组的第一个方程，可以得到： )(])([)(22s s g ml ml I s X Φ-+= (11) 或 mgl s ml I mls s X s -+=Φ2 22)()()( (12) 令? ?=x v ，则有： mgl s ml I ml s V s -+=Φ22)()()( (13) 把上式代入方程组的第二个方程，得到： 线控大作业 如图所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。 图倒立摆系统 假定倒立摆系统的参数如下。 摆杆的质量：m=0.1g 摆杆的长度：2l=1m 小车的质量：M=1kg 重力加速度：g=10/s2 摆杆惯量：I=0.003kgm2 摆杆的质量在摆杆的中心。 设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量 %≤10%， 调节时间ts ≤4s ，使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置(x=0)。 要求：1、建立倒立摆系统的状态方程 2、定量分析,定性分析系统的性能指标——能控性、能观性、稳定性 3、极点配置 设计分析报告 1 系统建模 在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统。如下如所示。 图 一级倒立摆模型 其中： φ 摆杆与垂直向上方向的夹角 θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下） 图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。 注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： N x b F x M --= 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： )sin (22 θl x dt d m N += 即： θθθθsin cos 2 ml ml x m N -+= 把这个等式代入式(3-1)中，就得到系统的第一个运动方程： F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos )(2 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： )cos (22 θl dt d m mg P =- θθθθ cos sin 2 ml ml mg P --=- 力矩平衡方程如下： θ θθ I Nl Pl =--cos sin 注意：此方程中力矩的方向，由于θφθφφπθsin sin ,cos cos ,-=-=+=，故等式前面有负号。 合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程： θθθcos sin )(2x ml mgl ml I -=++ 设φπθ+=（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即1<<φ，则可以进行近似处理：0)(,sin ,1cos 2=-=-=dt d θφθθ。用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下： 2(+)()I ml mgl mlx M m x bx ml u ????-=?++-=? 对式(3-9)进行拉普拉斯变换，得到 ?????=Φ-++=Φ-Φ+) ()()()()()()()()(22222s U s s m l s s bX s s X m M s s m lX s m gl s s m l I 注意：推导传递函数时假设初始条件为0。 由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到： )(])([)(22s s g ml ml I s X Φ-+= 或 m g l s ml I mls s X s -+=Φ222 )()()( 如果令x v =，则有： 《现代控制理论》课程综合设计 单级旋转倒立摆系统 1 引言 单级旋转倒立摆系统一种广泛应用的物理模型，其物理模型如下：图示为单级旋转倒立摆系统原理图。其中摆的长度1l =1m ，质量1m =0.1kg ，横杆的长度2l =1 m ，质量2m =0.1kg ，重力加速度20.98/g m s =。以在水平方向对横杆施加的力矩M 为输入，横杆相对参考系产生的角位移1θ为输出。控制的目的是当横杆在水平方向上旋转时，将倒立摆保持在垂直位置上。 图1 单级旋转倒立摆系统模型 单级旋转倒立摆可以在平行于纸面3600的范围内自由摆动。倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的推动下，摆杆仍然保持竖直向上状态。在横杆静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆微小的扰动下，就会使倒立摆的平衡无法复位，这时必须使横杆在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，故单级倒立摆系统是一个非线性系统。 本文综合设计以以在水平方向对横杆施加的力矩M 为输入，横杆相对参考系产生的角位移1θ为输出，建立状态空间模型，在原有系统上中综合带状态观测器状态反馈系统，从而实现当横杆在旋转运动时，将倒立摆保持在垂直位置上。 2 模型建立 本文将横杆和摆杆分别进行受力分析，定义以下物理量：本文将横杆和摆杆 分别进行受力分析，定义以下物理量：M 为加在横杆上的力矩；1m 为摆杆质量； 1l 为摆杆长度；1I 为摆杆的转动惯量；2m 为横杆的质量；2l 为横杆的长度；2I 为横杆的转动惯量；1θ为横杆在力矩作用下转动的角度；2θ为摆杆与垂直方向的夹角；N 和H 分别为摆杆与横杆之间相互作用力的水平和垂直方向的分量。倒立摆模型受力分析如图2所示。 图2 倒立摆模型受力分析 摆杆水平方向受力平衡方程： 2 111222(0sin )2 l d N m l dt θθ=++ （1θ2l —横杆的转动弧长即位移） 摆杆垂直方向受力平衡方程： 211 1122(cos )22 l l d H m g m dt θ-=- 摆杆转矩平衡方程： 22111222sin cos 22 d l l J H N dt θθθ=- 横杆转矩平衡方程： 21 222 d M Nl J dt θ-= N 2011级自动化1班 杨辉云 P111813841 一级倒立摆的模糊控制 一．倒立摆的模型搭建 1. 单级倒立摆系统的数学模型 对于单级倒立摆，如果忽略了空气阻力和各种摩擦阻力之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成沿着光滑导轨运动的小车和通过轴承链接的均质摆杆组成，如图所示，其中小车的质量M=1.40kg ，摆杆质量m=0.08kg ，摆杆质心到转动轴心距离L=0,.2m ，摆杆与垂直向下方向的夹角为，小车华东摩擦系数 f c =0.1。 摆杆 θ 传送带 导轨 直线单级倒立摆 2. 倒立摆控制系统数学模型的建立方法利用PID 控制和拉格朗日方程两种建模。 一级倒立摆系统的拉格朗日方程应为 L （q ，。 .q ）=V （q ，。 q ）—G （q ，。 q ） （1） 式中：L 是拉格朗日算子，V 是系统功能；G 系统势能。 dt d x ??L — x ??L + x ??D = fi （2） 式中：D 是系统耗散能， f c 为系统的第i 个广义坐标上的外力。 一级倒立摆系统的总动能为： V=θθcos x ml ml 3 2)(212 22。。。+++x m M （3） 一级倒立摆系统的势能为： G=θcos mgl θ （4） 一级倒立摆系统的耗散能为： D= 2 2 1 。x f c （5） 一级倒立摆系统的拉格朗日方程为： 0=??+??-??θ θθD L L dt d (6) F X D X L X L dt d =??+??-?? (7) 将（1）到（5）式带入（6）式得到如下： 0sin sin sin cos m 3 422=-+。。。。。。 ——θθθθθθθθmgl x ml x ml x l ml （8） （M+m ）F x ml ml x f c =+ +θθθθsin cos 2。 。 — （9） 一级倒立摆系统有四个变量：。 。，，， θθx x 根据（7）式中的方程写出系统的状态方程，并在平衡点进行线性化处理，得 到系统的状态空间模型如下： =。X ? ?????0 000 0189.000748 .01-- 579.20 386.00 ??????0100+x ? ???? ? ??? ???-8173.007467 .00 题目一： 考虑如图所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。倒立摆系统的参数包括：摆杆的质量（摆杆的质量在摆杆中心）、摆杆的长度、小车的质量、摆杆惯量等。 图倒立摆系统 设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量 %≤10%，调节时间ts ≤4s ，使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置(x=0)。 要求：1、建立倒立摆系统的数学模型 2、分析系统的性能指标——能控性、能观性、稳定性 3、设计状态反馈阵，使闭环极点能够达到期望的极点，这里所说的期望的极点确定 是把系统设计成具有两个主导极点，两个非主导极点，这样就可以用二阶系统的 分析方法进行参数的确定 4、用MATLAB 进行程序设计，得到设计后系统的脉冲响应、阶跃响应，绘出相应状 态变量的时间响应图。 解： 1 建立一级倒立摆系统的数学模型 1.1 系统的物理模型 如图1所示，在惯性参考系下，设小车的质量为M ，摆杆的质量为m ，摆杆长度为l，在某一瞬间时刻摆角(即摆杆与竖直线的夹角)为θ，作用在小车上的水平控制力为u。这样，整个倒立摆系统就受到重力,水平控制力和摩擦力的3外力的共同作用。 图1 一级倒立摆物理模型 1.2 建立系统状态空间表达式 为简单起见，本文首先假设:(1)摆杆为刚体 ；(2)忽略摆杆与支点之间的摩擦；( 3) 忽略小车与导轨之间的摩擦。 在如图一所示的坐标下，小车的水平位置是y,摆杆的偏离位置的角度是θ，摆球的水平位置为y+lsin θ。这样，作为整个倒立摆系统来说，在说平方方向上，根据牛顿第二定律，得到 u l y dt d m dt d M =++)sin (y 22 22θ （1） 对于摆球来说，在垂直于摆杆方向，由牛顿第二运动定律，得到 θθsin )sin y (m 22 mg l dt d =+ （2） 方程(1)，(2)是非线性方程，由于控制的目的是保持倒立摆直立，在施加合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零是合理的。则sin θ≈θ，cos θ≈1。在以上假设条件下，对方程线性化处理后，得倒 u ml M =++.. ..y m θ）（ （3） 单级倒立摆经典控制系统 摘要：倒立摆控制系统虽然作为热门研究课题之一，但见于资料上的大多采用现代控制方法，本课题的目的就是要用经典的方法对单级倒立摆设计控制器进行探索。本文以经典控制理论为基础，建立小车倒立摆系统的数学模型，使用PID控制法设计出确定参数(摆长和摆杆质量)下的控制器使系统稳定，并利用MATLAB软件进行仿真。 关键词：单级倒立摆；经典控制；数学模型；PID控制器；MATLAB 1绪论 自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。它的发展初期，是以反馈理论为基础的自动调节原理，并主要用于工业控制。 控制理论在几十年中，迅速经历了从经典理论到现代理论再到智能控制理论的阶段，并有众多的分支和研究发展方向。 1.1经典控制理论 控制理论的发展，起于“经典控制理论”。早期最有代表性的自动控制系统是18世纪的蒸汽机调速器。20世纪前，主要集中在温度、压力、液位、转速等控制。20世纪起，应用范围扩大到电压、电流的反馈控制，频率调节，锅炉控制，电机转速控制等。二战期间，为设计和制造飞机及船用自动驾驶仪、火炮定位系统、雷达跟踪系统及其他基于反馈原理的军用装备，促进了自动控制理论的发展。 至二战结束时，经典控制理论形成以传递函数为基础的理论体系，主要研究单输入-单输出、线性定常系统的分析问题。经典控制理论的研究对象是线性单输入单输出系统，用常系数微分方程来描述。它包含利用各种曲线图的频率响应法和利用拉普拉斯变换求解微分方程的时域分析法。这些方法现在仍是人们学习控制理论的入门之道。 1.2倒立摆 1.2.1倒立摆的概念 图1 一级倒立摆装置 倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。如杂技演员顶杆的物理机制可简化为一级倒立摆系统，是一个复杂、多变量、存在严重非线性、非自治不稳定系统。 1.一阶倒立摆建模 在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示，其中： M ：小车质量 m ：为摆杆质量 J ：为摆杆惯量 F ：加在小车上的力 x ：小车位置 θ：摆杆与垂直向上方向的夹角 l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度 根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知： （1） 摆杆绕其重心的转动方程为 （2） 摆杆重心的运动方程为 得 （3）小车水平方向上的运动为 22..........(4)x d x F F M d t -= 联列上述4个方程，可以得出 一阶倒立精确气模型： ()()()()()()()2222222222222222 sin .sin cos cos cos .sin cos .lg sin cos J ml F ml J ml m l g x J ml M m m l ml F m l M m m m l M m J ml θθθθθθθθθθθθ?+++-?= ++-??+-+?=?-++? &&&&&& sin cos ..........(1)y x J F l F l θθθ=-& &2 22 2(sin ) (2) (cos ).........(3)x y d F m x l d t d F mg m l d t θθ=+=- 式中J 为摆杆的转动惯量：3 2 ml J = 若只考虑θ在其工作点附近θ0=0附近（??≤≤-1010θ）的细微变化，则可以近似认为： ?? ? ??≈≈≈1cos sin 02θθθθ& ??? ? ???++-+=++-+= 2.. 2222..)(lg )()()(Mml m M J mlF m m M Mml m M J g l m F ml J x θθθ 2.2 模型建立及封装 1、建立以下模型： 目录 摘要 (2) 1单级移动倒立摆的Newton方法建模 (3) 1.1非线性数学模型 (3) 1.1.1 被控对象系统建模分析 (3) 2倒立摆系统的串联超前校正装置校正分析 (5) 2.1未校正系统输出动态性能 (5) 2.2系统的串联超前装置校正 (8) 2.2.1参数修正 (8) 2.2.2串联超前校正装置 (11) 2.3校正后系统的稳定性分析 (11) 3校正前系统与校正后系统的比较 (14) 4设计心得体会 (14) 参考文献 (15) 摘要 倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。 本次课程设计主要考察对课堂理论知识把握的牢固程度和将理论知识、数学建模及软件应用相综合应用的技巧。通过对给定的物理模型进行分析和求解，进而使用自动控制中所要求的知识，串联超前校正装置，使系统响应符合题目给定的要求。这次课程设计要求的绘图软件为MATLAB，使用的校正方式为串联超前校正。 关键字：倒立摆串联超前校正MATLAB 单级移动倒立摆建模及串联超前校正设 计 1单级移动倒立摆的Newton方法建模 1.1非线性数学模型 系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。 对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。在此次的课程设计中我采用其中的Newton方法建立单级移动一级倒立摆系统的数学模型。 1.1.1 被控对象系统建模分析 在忽略了空气阻力和各种摩擦力后，可将倒立摆系统抽象成小车和均质杆组成的系统如下图1小车系统总体分析图。. 设输入作用力为u，输出为摆角θ。 图1 小车总系统分析 小车质量M=1； 摆杆质量m=0.1； 小车摩擦系数b=0； 摆杆转动轴心到杆质心的长度l=1；一级倒立摆物理建模、传递函数和状态方程的推导
倒立摆MATLAB建模
单级旋转倒立摆系统
单级倒立摆
一级倒立摆MATLAB仿真、能控能观性分析、数学模型、极点配置
单级倒立摆经典控制系统
(完整版)倒立摆建模
单级移动倒立摆建模及串联超前校正设计(打印版)汇编