九年级数学认识一元二次方程
“今有户高多于广六尺八寸，
【知识梳理】
一元二次方程的概念
1．定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．2．一般形式
一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
【典型例题】
知识点一：一元二次方程的概念
【例1】下列方程中，是关于x的一元二次方程的是()．
A．3(x＋1)2＝2(x＋1) B．1
x2＋
1
x－2＝0 C．ax
2＋bx＋c＝0 D．x2＋2x＝x2－1
解析：一元二次方程必须是有一个未知数，并且是未知数的最高次数是2的整式方程，另外当x2的系数有字母时，要注意系数不能为零．
答案：A
总结：
判断一元二次方程的方法：
一元二次方程必须同时满足三个条件：(1)是整式方程；(2)化简后只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.这三个条件是判断一个方程是否是一元二次方程的主要依据，缺一不可．
【例2】已知关于x的方程（m2﹣9）x2＋（m＋3）x﹣5＝0．
①当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解．
②当m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次項系数、一次项系数及常数项．
分析：分别根据一元一次方程和一元二次方程的定义解答即可．
解答：解：①根据一元一次方程的定义可知：m2﹣9＝0，m＋3≠0，
解得：m＝3，
此时化简方程为：6x﹣5＝0，解得：x＝；
②根据一元二次方程的定义可知：m2﹣9≠0，解得：m≠±3．
该方程的二次项系数为：m2﹣9（m≠±3）；一次项系数为：m＋3；常数项为：﹣5．
点评：本题考查一元二次方程和一元一次方程的概念，属于基础题，关键是对这两个基础概念的熟练掌握．
【例3】求证：关于x的方程（m2－8m＋17）x2＋2mx＋1＝0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2－8m＋17?≠0即可．
证明：m2－8m＋17＝（m－4）2＋1
∵（m－4）2≥0
∴（m－4）2＋1＞0，即（m－4）2＋1≠0
∴不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
变式训练
同时由一元二次方程的定义，二次项系数不为0，把a＝﹣1舍去．
【例5】将方程（x＋1）2＋（x－2）（x＋2）＝?1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x＋1）2＋（x－2）（x＋2）＝1化成ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的形式．
解：去括号，得：
x2＋2x＋1＋x2－4＝1
移项，合并得：2x2＋2x－4＝0
其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一次项系数2；常数项－4．
变式训练
1．将方程（8－2x）（5－2x）＝18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
分析：一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．因此，方程（8－2x）?（?5－2x）＝18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．
解：去括号，得：40－16x－10x＋4x2＝18
移项，得：4x2－26x＋22＝0
其中二次项系数为4，一次项系数为－26，常数项为22．
2．将方程（3﹣2x）（x＋5）＝﹣6x＋14化为一般形式，其二次项系数、一次项系数、常数项分别用a（a＞0）、b、c表示，请求式子的值．
解答：解：（3﹣2x）（x＋5）＝﹣6x＋14，
3x＋15﹣2x2﹣10x＝﹣6x＋14，整理得：2x2＋x﹣1＝0，
a＝2，b＝1，c＝﹣1，
＝＝＝．
点评：此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c 是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3．观察下列方程：①x2﹣2x﹣2＝0；②2x2＋3x﹣1＝0；③2x2﹣4x＋1＝0；④x2＋6x＋3＝0．上面四个方程中有三个方程的一次项系数有共同特点，请用代数式表示这个特点．
分析：首先确定各个方程的一次项系数①的一次项系数是﹣2；
②的一次项系数是3；
③的一次项系数是﹣4；
④的一次项系数是6．根据各个系数与每个方程的序号之间的关系即可作出判断．
解答：解：观察上述四个方程，发现方程①③④一次项系数有共同点，可用2n（n是整数）表示．
点评：一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．正确
理解一次项系数与各题的序号之间的关系是解决本题的关键．
知识点三：一元二次方程的解
【例6】关于x的一元二次方程（a﹣1）x2＋x＋a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
【分析】根据方程的解的定义，把x＝0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．
【解答】解：根据题意得：a2﹣1＝0且a﹣1≠0，解得：a＝﹣1．故选B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．
【例7】已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣m的值等于（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】将x＝m代入方程即可求出所求式子的值．
【解答】解：将x＝m代入方程得：m2﹣m﹣1＝0，m2﹣m＝1．故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值。
变式训练
1.关于x的方程（3m2＋1）x2＋2mx﹣1＝0的一个根是1，则m的值是（）
A．0 B．﹣C．D．0或，
【分析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【解答】解：把1代入方程得3m2＋1＋2m﹣1＝0，解得m＝0或，故选：D．
【点评】本题的关键是把x的值代入原方程，得到一个关于待定系数的一元二次方程，然后求解。
2.若n（n≠0）是关于x的方程x2＋mx＋3n＝0的一个根，则m＋n的值是（）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到n2＋mn＋3n＝0，然后两边除以n即可得到m＋n的值．
【解答】解：把x＝n代入x2＋mx＋3n＝0得n2＋mn＋3n＝0，
∵n≠0，∴n＋m＋3＝0，即m＋n＝﹣3．故选A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
一．选择题（每题3分）
1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）
①3x2＋7＝0 ②ax2＋bx＋c＝0 ③（x－2）（x＋5）＝x2－1 ④3x2－5
x
＝0
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．方程2x2＝3（x－6）化为一般形式后二次项系数、?一次项系数和常数项分别为（）A．2，3，－6 B．2，－3，18 C．2，－3，6 D．2，3，6 3．px2－3x＋p2－q＝0是关于x的一元二次方程，则（）
A ．p ＝1
B ．p ＞0
C ．p ≠0
D ．p 为任意实数
4．已知x ＝2是关于x 的方程
32x 2－2a ＝0的一个解，则2a －1的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
二、填空题（每题3分）
1．方程3x 2－3＝2x ＋1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．
2．关于x 的方程（a －1）x 2＋3x ＝0是一元二次方程，则a 的取值范围是________．
3．设m 是方程x 2－2012x ＋1＝0的一个实数根，则m 2－2011m ＋
220121m ＋的值为________。
三、解答题（1题5分，2题5分，3题7分）
1．a 满足什么条件时，关于x 的方程a （x 2＋x ）＝3x －（x ＋1）是一元二次方程？
2．关于x 的方程（2m 2＋m ）x m ＋1＋3x ＝6可能是一元二次方程吗？为什么？
答案:
一、1．A 2．B 3．C
二、1．3，－2，－4 3．a ≠1
一．选择题
1．下列方程中，一元二次方程共有（ ）个 B
①x 2﹣2x ﹣1＝0；②ax 2＋bx ＋c ＝0；③＋3x ﹣5＝0；④﹣x 2＝0；⑤（x ﹣1）2＋y 2＝2；⑥（x ﹣1）（x ﹣3）＝x 2．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2.一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，若4a ﹣2b ＋c ＝0，则它的一个根是（ ） A
A ．﹣2
B ．
C ．﹣4
D ．2
3.关于x 的一元二次方程ax 2﹣bx ＋3＝0的一个根为x ＝2，则代数式4b ﹣8a ＋3的值为（ ）
A ．﹣3
B ．3
C ．6
D ．9
【解答】解：把x ＝2代入，得 4a ﹣2b ＋3＝0， 所以4a ﹣2b ＝﹣3，
所以4b ﹣8a ＋3＝2（4a ﹣2b ）＋3＝2×（﹣3）＋3＝﹣3． 故选：A ．
4.若（m ﹣2）x |m|＋2x ﹣1＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（ ）
A ．m ＝±2
B ．m ＝2
C ．m ＝﹣2
D ．无法确定
【解答】解：∵（m ﹣2）x |m|＋2x ﹣1＝0是关于x 的一元二次方程， ∴|m|＝2，即m ＝2或﹣2， 当m ＝2时，方程为2x ﹣1＝0，不合题意，舍去； 则m 的值为﹣2， 故选C
5.关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝3的解与（x ﹣1）（x ﹣4）＝0的解相同，则a ＋b ＋c 的值为（ ） B
A ．2
B ．3
C ．1
D ．4
6.已知关于x 的方程x 2﹣3mx ＋5m ﹣2＝0的一个根为x ＝2，且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为（ ） B
A ．8
B ．10
C ．8或10
D ．6或10
7.关于x 的一元二次方程（a 2﹣1）x 2＋x ﹣2＝0是一元二次方程，则a 满足（ ） C
A ．a ≠1
B ．a ≠﹣1
C ．a ≠±1
D ．为任意实数
8.下面关于x 的方程中：①ax 2＋bx ＋c ＝0；②3（x ﹣9）2﹣（x ＋1）2＝1；③x 2＋＋5＝0；④x 2﹣2＋5x 3﹣6＝0；⑤3x 2＝3（x ﹣2）2；⑥12x ﹣10＝0是一元二次方程的个数是（ ） A
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9.一元二次方程x 2﹣2（3x ﹣2）＋（x ＋1）＝0的一般形式是（ ） A
A ．x 2﹣5x ＋5＝0
B ．x 2＋5x ﹣5＝0
C ．x 2＋5x ＋5＝0
D ．x 2＋5＝0
10.把方程x （x ＋2）＝5（x ﹣2）化成一般式，则a 、b 、c 的值分别是（ ） A
A ．1，﹣3，10
B ．1，7，﹣10
C ．1，﹣5，12
D ．1，3，2
11.将一元二次方程2x 2＋7＝9x 化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ） C
A ．2，9
B ．2，7
C ．2，﹣9
D ．2x 2，﹣9x
12.下列一元二次方程中，常数项为0的是（ ） D
A ．x 2＋x ＝1
B ．2x 2﹣x ﹣12＝0
C ．2（x 2﹣1）＝3（x ﹣1）
D ．2（x 2＋1）＝x ＋2
13.将一元二次方程4x 2＋5x ＝81化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） B
A ．4，5，81
B ．4，5，﹣81
C ．4，5，0
D ．4x 2，5x ，﹣81
二．填空题
14.将一元二次方程（x ＋1）（x ＋2）＝0化成一般形式后的常数项是 2 ．
15.若关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2＋5x ＋m 2﹣3m ＋2＝0的一个根是0，则m 的值是 2 ．
16.已知（m ﹣1）1m x
＋﹣3x ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则m ＝ ﹣1 ．
17.关于x 的方程a （x ＋m ）2＋b ＝0的解是x 1＝2，x 2＝﹣1，（a ，b ，m 均为常数，a ≠0），则方程a （x ＋m ＋2）2＋b ＝0的解是 x 3＝0，x 4＝﹣3 ．
【解答】解：∵关于x 的方程a （x ＋m ）2＋b ＝0的解是x 1＝2，x 2＝﹣1，（a ，m ，b 均为常数，a ≠0）， ∴方程a （x ＋m ＋2）2＋b ＝0变形为a[（x ＋2）＋m]2＋b ＝0，即此方程中x ＋2＝2或x ＋2＝﹣1，
解得x＝0或x＝﹣3．
18.若x＝a是方程x2﹣x﹣2015＝0的根，则代数式2a2﹣2a﹣2015值为2015．
【解答】解：把x＝a代入x2﹣x﹣2015＝0，得a2﹣a﹣2015＝0，解得a2﹣a＝2015，
所以2a2﹣2a﹣2015＝2（a2﹣a）﹣2015＝2×2015﹣2015＝2015．
19.若a是方程x2﹣2x﹣2015＝0的根，则a3﹣3a2﹣2013a＋1＝﹣2014．
【解答】解：∵a是方程x2﹣2x﹣2015＝0的根，∴a2﹣2a﹣2015＝0，∴a2﹣2a＝2015，a2＝2015＋2a，
∴a3﹣3a2﹣2013a＋1＝a（a2﹣2013）﹣3a2＋1＝a（2a＋2015﹣2013）﹣3a2＋1＝2a2＋2a﹣3a2＋1
＝﹣（a2﹣2a）＋1＝﹣2015＋1＝﹣2014．
20.已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣m＋2015的值等于2016．
21.若方程（a﹣3）x2＋4x＋3﹣|a|＝0的一根为0，则a＝﹣3，另一根是．
【解答】解：∵方程（a﹣3）x2＋4x＋3﹣|a|＝0的一根为0，∴3﹣|a|＝0，解得：a＝±3，
∵a﹣3≠0，∴a＝﹣3，∴原方程为﹣6x2＋4x＝0，解得：x＝0或x＝，
三．解答题
24．若0是关于x的方程（m﹣2）x2＋3x＋m2＋2m﹣8＝0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况．【解答】解：∵0是关于x的方程（m﹣2）x2＋3x＋m2＋2m﹣8＝0的解，∴m2＋2m﹣8＝0，解得：m＝2或﹣4，
①当m﹣2≠0，∴m＝﹣4，∴原方程为：﹣6x2＋3x＝0，△＝b2﹣4ac＝9＞0，∴此方程有两个不相等的根．﹣6x2＋3x＝0，﹣3x（2x﹣1）＝0，解得：x＝0或0.5，
②当m＝2，∴3x＝0，∴x＝0．
25.若n（n≠0）是关于x的方程x2＋mx＋2n＝0的根，求m＋n的值；
解：由题意得n2＋mn＋2n＝0，∵n≠0，∴n＋m＋2＝0，得m＋n＝﹣2；
26.已知关于x的一元二次方程x2＋x＋m2﹣2m＝0有一个实数根为﹣1，求m的值及方程的另一实根．
【解答】解：设方程的另一根为x2，则﹣1＋x2＝﹣1，解得x2＝0．把x＝﹣1代入x2＋x＋m2﹣2m＝0，得（﹣1）2＋（﹣1）＋m2﹣2m＝0，即m（m﹣2）＝0，解得m1＝0，m2＝2．
综上所述，m的值是0或2，方程的另一实根是0．
27.已知一元二次方程（m﹣1）x2＋7mx＋m2＋3m﹣4＝0有一个根为零，求m的值．
【解答】解：∵一元二次方程（m﹣1）x2＋7mx＋m2＋3m﹣4＝0有一个根为零，∴把x＝0代入方程中得
m2＋3m﹣4＝0，∴m1＝﹣4，m2＝1．由于在一元二次方程中m﹣1≠0，故m≠1，∴m＝﹣4
28.已知x＝2是关于x的一元二次方程x2＋3x＋m﹣2＝0的一个根．
（1）求m的值及方程的另一个根；（2）若7﹣x≥1＋m（x﹣3），求x的取值范围．
【解答】解：（1）设方程另一个根为t，则2＋t＝﹣3，2t＝m﹣2，所以t＝﹣5，m＝﹣8，
即m的值为﹣8，方程的另一个根为﹣5；
（2）7﹣x≥1﹣8（x﹣3），7﹣x≥1﹣8x＋24，8x﹣x≥1＋24﹣7，7x≥18，所以x≥．
29.当m是何值时，关于x的方程（m2＋2）x2＋（m﹣1）x﹣4＝3x2
（1）是一元二次方程； （2）是一元一次方程； （3）若x ＝﹣2是它的一个根，求m 的值．
【解答】解：原方程可化为（m 2﹣1）x 2＋（m ﹣1）x ﹣4＝0，
（1）当m 2﹣1≠0，即m ≠±1时，是一元二次方程；
（2）当m 2﹣1＝0，且m ﹣1≠0，即m ＝﹣1时，是一元一次方程；
（3）x ＝﹣2时，原方程化为：2m 2﹣m ﹣3＝0， 解得，m 1＝，m 2＝﹣1（舍去）．
30.已知a 2﹣3a ＋1＝0，求a 2＋的值．
【解答】解：a 2﹣3a ＋1＝0，等式两边都除以a ，得到：a ＋＝3，将a ＋＝3两边平方得：a 2＋2＋
＝9， 即a 2＋＝7．
31.已知：m 是方程x 2﹣x ﹣1＝0的一个根，求代数式5m 2﹣5m ＋2008的值．
【解答】解：把x ＝m 代入方程x 2﹣x ﹣1＝0可得：m 2﹣m ﹣1＝0，即m 2﹣m ＝1，
所以5m 2﹣5m ＋2008＝5（m 2﹣m ）＋2008＝5＋2008＝2013．
【预习思考】一元二次方程的解法
1．配方法
如果x 2＋px ＋q ＝0且p 2－4q ≥0，则（x ＋2p ）2＝－q ＋（2
p ）2 解得x 1＝－2p ＋）＋（﹣2p q 2，x 2＝－2p －）＋（﹣2
p q 2 二次项系数不为1的，先在方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1.
2．公式法
方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)且b 2－4ac ≥0，则x ＝－b ±b 2－4ac 2a
3．因式分解法
一般步骤：(1)将方程的右边各项移到左边，使右边为0；
(2)将方程左边分解为两个一次因式乘积的形式；
(3)令每个因式为0，得到两个一元一次方程；
(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
练习
1、将方程2
410x ++=x 配方后，原方程变形为（ C ）
A. (23x +=2)
B. (43x +=2)
C. (25x +=-2)
D. (23x +=-2) 2、方程210x x --=的根是（ C ）
A. 1152x -+= 2152
x --= B. 1132x += 2132x -= C. 1152x += 2152x -= D. 无实根
人教版九年级上册数学一元二次方程知识点归纳及练习(供参考)
一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项 系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 二、降次----解一元二次方程 1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接 开平方法适用于解形如x 2=b 或b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 3、配方法：配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的步骤是：①移项、②配方(写成平方形式)、③用直接开方法降次、④解两个一元一次方程、⑤判断2个根是不是实数根。 4、公式法：公式法是用求根公式，解一元二次方程的解的方法。 一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 的求根公式： 当ac b 42->0时，方程有两个实数根。 当ac b 42-=0时，方程有两个相等实数根。 当ac b 42-＜0时，方程没有实数根。
5、因式分解法：先将一元二次方程因式分解，化成两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解叫因式分解法。这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 三、一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=? 四、一元二次方程根与系数的关系 如果方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，由求根公式 )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x 可算出 a b x x -=+21，a c x x =21。 练习 一、选择题。（每小题5分，共30分） 1、方程2x －9＝0的解是 （ ） A 、x =3 B 、 x = -2 C 、x =4.5 D 、 3x =± 2、方程24x x =的解是（ ） Ａ、4x = B 、2x = C 、4x =或0x = D 、0x = 3、下列方程中，有两个不等实数根的是（ ） A 、238x x =- B 、2510x x +=- C 、271470x x -+= D 、2753x x x -=-+ 4、用换元法解方程2221x x x x ????+-+= ? ?? ???，若设2y x x =+，则原方程可化为（ ） A 、210y y -+= B 、210y y ++= C 、210y y +-= D 、210y y --= 5、设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ） A 、2006 B 、2007 C 、2008 D 、2009 6、某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，
九年级数学一元二次方程(带答案)
第二章 一元二次方程 第 1 讲 一元二次方程概念及解法 知识要点 】 . 知识结构网络 、一元二次方程的四种解法 直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法 1. 直接开平方法是解一元二次方程的常用方法之一，适用于方程经过适当整理后，可化为 x 2 b b 0 或 2 x a 2 b 的形式的方程求解。当 b 0时，可两边开平方求得方程的解；当 b 0 时，方程无实数根。 2. 因式分解法解方程的步骤： （ 1）将方程一边化为 0；（2）将方程另一边分解为两个一次因式的乘积； （ 3）令每个 一次因式等于 0，得到两个一元一次方程后求解，它们的解就是原一元二次方程的解。 3. 配方法解一元二次方程的步骤为： （1）化二次项系数为 1（ 2）移项，使方程左边为二次项和一次 项，右边为常 数项。（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方（ 4）原方程变为 （x m ）2 n 的形式（ 5）如果右边是非 负数，就可用直接开平方法求出方程的解。 4. 公式法解一元二次方程的基本步骤： （1）将方程化为一般形式 ax 2 bx c 0 ，确定 a 、 b 、 c 的值； （2）计算 2 2 b b 2 4ac b 2 4ac 的值并判别其符号；（3）若b 2 4ac 0，则利用公式 x 求方程的解，若 2a 2 b 2 4ac 0，则方程无实数解。 典型例题】 2
解：(3x 1)( 2x 3) 0 ，x 2 解： x 2 11 4 经典练习】 、直接开方法 二、配方法注： （1） 2x 2 2x 30 0 二、公式法 1. 用求根公式法解下列方程 2 （1）x 2 2x 2 0； ∴ 3x 1 0或 2x 2)3x 2 4x 1（用公式 法） 解： 3x 4x 4) 2 3×( 1) 28 0 ( 4) 28 2 × 3 ±7 x 1 27 3 ，x 2 2 3 27 3 3） 2x 2 2x 30 用配方 法） x 2 (x 2 x 2 22 4) ( 42) 2 4 15 ( 42)2 121 8 ∴ x 1 3 2， x 2 5 2 2 1) (x 1)2 (1 2x)2 2)(x a)2 b x 1 15 ∴x 2 2)3x 2 4x 1
(完整word版)初中数学一元二次方程复习专题
一元二次方程专题复习 韦达定理:如一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，则 12b x x a +=-，12c x x a ?= 适用题型：(1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值； (3)已知两根求作方程； (4)已知两数的和与积，求这两个数； (5)确定根的符号:(12,x x 是方程两根)； （6）题目给出两根之间的关系，如两根互为相反数、互为倒数、两根 的平方和或平方差是多少、两根是Rt ?的两直角边求斜边等情况. 注意：（1）222 121212()2x x x x x x +=+-? （2）22121212()()4x x x x x x -=+-?； 12x x -= （3）①方程有两正根，则1212 00x x x x ?≥?? +>???>?； ②方程有两负根，则1212 000x x x x ?≥?? +? ； ③方程有一正一负两根，则12 0x x ?>?? ??? --
一元二次方程的定义教案
第二章一元二次方程 1 认识一元二次方程 第1课时一元二次方程的定义 【知识与技能】 探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识. 【过程与方法】 在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系. 【情感态度】 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 【教学重点】 一元二次方程的概念. 【教学难点】 如何把实际问题转化为数学方程. 一、情境导入,初步认识 问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？ 你能设出未知数，列出相应的方程吗？ 【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫. 二、思考探究，获取新知
你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？ （1）(100-2x)(50-2x)＝3600 （2）（x+6）2+72=102 【教学说明】 分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不是所学过的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是2. 【归纳结论】方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程； 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0） 这种形式叫作一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 活动中教师应重点关注： (1) 引导学生观察所列出的两个方程的特点； (2)让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义； (3)强调定义中体现的3个特征： ①整式；②一元；③2次. 【教学说明】 让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的. 三、运用新知，深化理解 1.下列方程是一元二次方程的有. （1）x2+1/x-5=0（2）x2-3xy+7=0 （3）=4（4）m3-2m+3=0 x2-5=0（6）ax2-bx=4 （5） 2 解答：（5） 2.已知方程（m+2）x2+（m+1）x-m=0，当m满足_______时，它是一元一次方程；当m满足_______时，它是一元二次方程. 解析：当m+2=0，即m=-2时，方程是一元一次方程；当m+2≠0，即m≠
《一元二次方程》教材分析
第二十二章《一元二次方程》教材分析 北京八中刘颖 一. 本章的主要内容: 1. 主要内容: 一元二次方程及其有关概念, 一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）, 运用一元二次方程分析和实际问题. 2. 本章重点：一元二次方程的解法, 难点：一元二次方程的应用. 二. 中考考试要求: （2012年） 三. 课程学习目标 1. 以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景, 认识一元二次方程及其有关概念. 2. 根据化归的思想, 抓住―降次‖这一基本策略, 掌握配方法、公式法和因式分
解法等一元二次方程的基本解法．有条件时可选学―一元二次方程的根与系数的关系‖, 拓展对一元二次方程的认识. 3. 经历分析和解决实际问题的过程, 体会一元二次方程的数学模型作用, 进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力. 四. 本章知识结构框图 五. 课时安排 本章教学时间约需13课时, 具体分配如下（仅供参考）: 22.1一元二次方程………………（2课时） 22.2降次——解一元二次方程…（7课时） 22.3实际问题与一元二次方程…（2课时） 数学活动与小结…………………（2课时）
六. 内容安排 22.1 节以实际问题为背景, 引出一元二次方程的概念, 归纳出一元二次方程的一般形式, 给出一元二次方程的根的概念, 并提出一元二次方程的根会出现不唯一的情况. 这些概念是全章后续内容的基础. 22.2节讨论一元二次方程的基本解法, 其中包括直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法等, 这一节是全章的重点内容之一. 在本章之前的方程都是一次方程或可化为一次方程的分式方程, 一元二次方程是首次出现的高于一次的方程.解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程, 这就是―降次‖. 本节首先通过解比较简单的一元二次方程, 引导学生认识直接开平方法解方程; 然后讨论比较复杂的一元二次方程, 通过对比一边为完全平方形式的方程, 使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法; 有了配方法作基础, 再讨论如何用配方法解一元二次方程的一般形式20 a≠), 就得到一元二次方程 ++=(0 ax bx c 的求根公式, 于是有了直接利用公式的公式法, 并引出用判别式确定一元二次方程的根的情况. 本节在公式法后讨论因式分解法解一元二次方程, 这种解法要使方程的一边为两个一次因式相乘, 另一边为0, 再分别令每个一次因式为0. 这几种解法都是依降次的思想, 将二次方程转化为一次方程, 只是具体的降次手段有所不同. 本节最后增加了选学内容―一元二次方程的根与系数的关系‖. 学习这一内容可以进一步加深对一元二次方程及其根的认识, 为以后的学习做准备. 22.3节安排了3个探究内容, 结合实际问题, 分别讨论传播问题、增长率问题和几何图形面积问题. 一元二次方程与许多实际问题都有联系, 本节不是按照实际问题的类型分类和选材的, 而是选取几个具有一定代表性的实际问题来进一步讨论如何建立和利用方程模型, 重点在分析实际问题中的数量关系并以方程形式进行表示, 这种数学建模思想的体现与前面有关方程的各章是一致的, 只是在问题中数量关系的复杂程度上又有新的发展, 数学模型由一次方程或可
初中数学一元二次方程知识点总结与练习
知识点总结：一元二次方程 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程； (4)将方程化为一般形式：ax 2 +bx+c=0时，应满足（a ≠0）； 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）。一个一元二次方程经过整理化成ax 2 +bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是 b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配 方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有 222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2 =q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式： )04(2422≥--±-=ac b a ac b b x （4）因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。5.一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的 判别式，通常用“?”来表示，即ac b 42-=? 6.一元二次方程根与系数的关系 如果方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x - =+21，a c x x =21。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 7.分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 8.分式方程的一般解法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程 （3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。 知识点1.只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。 例题： 1、判别下列方程是不是一元二次方程，是的打“√”，不是的打“×”，并说明理由. (1)2x 2-x-3=0. (2) 4 y -y 2 =0. (3) t 2=0. (4) x 3-x 2=1. (5) x 2-2y-1=0. (6) 21 x -3=0.
九年级上册数学一元二次方程专题知识点总结
一元二次方程知识点复习 知识点1．一元二次方程的判断标准： （1）方程是_____方程（2）只有___个未知数（一元）（3）未知数的最高次数是____（二次） 三个条件同时满足的方程就是一元二次方程 练习A ：1、下面关于x 的方程中：①ax 2+bx+c=0；②3x 2-2x=1；③x+3= 1x ；④x 2-y=0； ④（x+1）2=x 2-1．一元二次方程的个数是. 2、若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程，则k 的取值范围是_________． 3、若关于x 的方程05122=+-+-x k x k 是一元二次方程，则k 的取值范围是_________． 4、若方程（m-1）x |m|+1-2x=4是一元二次方程，则m=______． 知识点2．一元二次方程一般形式及有关概念 一元二次方程的一般形式______________________,其中_______是二次项，______为二次项系数，_______是一次项，_______为一次项系数，______为常数项。 注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号 练习B:1、将一元二次方程3x(x-1)=5(x+2)化成一般形式为_____________，其中二次项系数 a=________，一次项系数b=__________，常数项c=__________ 知识点3．完全平方式 练习C:1、说明代数式2241x x --总大于224x x -- 2、已知1a a +=求1a a -的值. 3、若x 2+mx+9是一个完全平方式，则m=， 若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是。 若942++kx x 是完全平方式，则k =。 知识点4．整体运算 练习D:1、已知x 2+3x+5的值为11，则代数式3x 2+9x+12的值为 2、已知实数x 满足210x x +-=则代数式2337x x ++的值为____________ 知识点5．方程的解 练习E ：1、已知关于x 的方程x 2+3x+k 2=0的一个根是x=-1，则k=_______________． 2、求以12x 1x 3=-=-，为两根的关于x 的一元二次方程。
初中数学一元二次方程的解法
解一元二次方程: 例1 x 2 -4-(2x+4)=0 （因式分解法）解：（x+2)(x-2)-2(x+2)=0 (x+2)[(x-2)-2]=0 (x+2)(x-4)=0 所以 x 1=-2 ， x 2=4. （配方法）解：x 2 -2x-8=0 X 2-2x=8 X 2 -2x+(-1)2 =8+(-1)2 即(x-1)2=9 X-1=±3 所以 x 1=4 , x 2=-2. （公式法）解：x 2 -2x-8=0 →Δ=(-2)2 -4×1×(-8) =36>0 所以 x 1,2=1 236)2--?±（ 即x 1=4 , x 2=-2. （“x 2 +(a+b)x+ab=0→(x+a)(x+b)=0”法） 解：x 2-2x+(-4)2?=0 (X-4)(x+2)=0 所以 x 1=4 , x 2=-2. 1
例2 用配方法解下列一元二次方程： (1) x 2 -6x+5=0; (2) 2x 2 +4x-3=0; (3) 9x 2 +6x-1=0; (4) 4x 2-12x+m=0 (m 为任意实数）. 解：(1) x 2-6x=-5 X 2 -6x+(-3)2 =-5+(-3)2 即(x-3)2 =4 X-3=±2 所以 x 1=5 , x 2=1. (2) x 2 +2x=2 3 X 2 +2x+12 =2 3+12 (X+1)2 =2 5 X+1=± 210 所以 x 1=-1+ 2 10 , x 2=-1- 2 10 (3) (3x)2 +2×3x=1 (3x)2 +2×3x ×1+12 =1+12 (3x+1)2=2 3x+1=2± 所以x 1=32 1-+ ,x 2=-3 2 1+ . 2
九年级上册数学一元二次方程单元测试卷
九年级上册一元二次方程单元测试卷1 一、填空题（★写批注）姓名：日期： 1．（3分）一元二次方程2x2﹣13=7x的二次项系数为：，一次项系数为：．2．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，则代数式m2﹣m的值等于． 3．（3分）已知方程（x+a）（x﹣3）=0和方程x2﹣2x﹣3=0的解相同，则a=． 4．（3分）一元二次方程x2﹣x+4=0的解是． 5．（3分）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为．6．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是．7．（3分）关于x的一元二次方程（m+3）x2+5x+m2+2m﹣3=0有一个根为0，则m=． 8．（3分）已知实数x满足=0，那么的值为． 9．（3分）我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价，由每盒60元调至52元，若设每次平均降价的百分率为x，则由题意可列方程为． 10．（3分）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为．11．（3分）已知x2+3x+5的值为11，则代数式3x2+9x+12的值为． 12．（3分）方程：y（y﹣5）=y﹣5的解为：． 13．（3分）在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为a﹡b=a2﹣b2，根据这个规则，求方程（x﹣2）﹡1=0的解为． 二、选择题（★写批注） 14．（3分）若x1、x2是一元二次方程2x2﹣3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是（）A．B．C．D．7 15．（3分）若的值为0，则x的值是（）
A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．2 D．﹣3 16．（3分）一元二次方程x2﹣1=0的根为（） A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=1，x2=﹣1 D．x1=0，x2=1 17．（3分）将方程2x2﹣4x﹣3=0配方后所得的方程正确的是（） A．（2x﹣1）2=0 B．（2x﹣1）2=4 C．2（x﹣1）2=1 D．2（x﹣1）2=5 18．（3分）关于x的方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（） A．k≤B．k≥﹣且k≠0 C．k≥﹣D．k＞﹣且k≠0第22题图 19．（3分）若2x2+1与4x2﹣2x﹣5的值互为相反数，则x的值是（） A．﹣1或B．1或C．1或D．1或 20．（3分）如果关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜1 B．k≠0C．k＜1且k≠0D．k＞1 21．（3分）如果方程x2+2x+m=0有两个同号的实数根，m的取值范围是（） A．m＜1 B．0＜m≤1C．0≤m＜1 D．m＞0 22．（3分）如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO、BO的长分别是关于x的方程x2+（2m ﹣1）x+m2+3=0的根，则m的值为（） A．﹣3 B．5 C．5或﹣3 D．﹣5或3 23．（3分）若方程（m﹣1）x2+x﹣1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）A．m=0 B．m≠1C．m≥0且m≠1D．m为任意实数 24．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将其折叠使AB落在对角线AC上，得到折痕AE，那么BE 的长度为（）
北师大版初三数学上册认识一元二次方程说课稿
《认识一元二次方程》说课稿张苒利我说课的题目北师大版九年级（上）第二章第一节《认识一元二次方程》下面我就从以下几个方面对一元二次方程进行说课⑴说教材⑵说目标⑶说教学方法、学法⑷说教学程序⑸说评价。 一、说教材教材分析：本节课介绍了一元二次方程的概念及一般形式。一元二 次方程的学习是一次方程、方程组及不等式知识的延续和深化，也是函数等重要数学思想方法的基础。本节课是研究一元二次方程的导入课，它为进一步学习一元二次方程的解法及简单应用起到铺垫作用。 二、说目标 ⑴教学目标 1. 知识目标：使学生充分了解一元二次方程的概念；正确掌握一元二次方程的一般形式。 2. 能力目标：经历抽象一元二次方程的过程使学生体会出方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型经历探索满足方程解的过程，发展估算的意识和能力。 3. 情感目标：培养学生主动探索、敢于实践、勇于发现、合作交流的精神。 ⑵教学重点建立一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式。 ⑶教学难点 由实际问题抽象出方程模型的能力 三、说教学方法和学生的学法
⑴教法分析 本节课主要采用以类比发现法为主，以讨论法、练习法为辅的教学方法⑵学法指导 本节课的教学中，教会学生善于观察、分析讨论、类比归纳，最后抽象出有价值。让时学生在现实的生活情景中，经历数学建模，经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力。 ⑶教学手段 采用电脑多媒体辅助教学，利用实物投影进行集体交流，及时反馈相关信息 四、说教学程序 ⑴知识回顾导入新课 1. 什么是一元一次方程?（请学生举例） 2. 列方程解实际问题的思路和方法是什么？设计意图：方程模型的建立为下一环节的教学做好铺垫。 （2）明确学习目标 1.理解掌握一元二次方程的定义及相关概念。 2.会判断一个方程是否为一元二次方程。 （3）情景引入 1. 幼儿园活动教室矩形地面的长为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同。
认识一元二次方程(二)
2.1认识一元二次方程（二） 【教学目标】经历估计一元二次方程的解的过程，增进对方程解的认识，进一步培养估算意识和能力。发 展数感。 【教学过程】一. 复习回顾： A. 3X - 1=0 B. y 2－2x 2－1=0 C. x 2－3 = 0 D. x 2+ x 1 -1=0 2. 方程（x-2）（x+3）=3化成一般形式是 ， 其中二次项系数是 ， 一次项系数是 ，常数项是 。 二．探索新知： 1.在上一节课的问题中，你能设法估计四周未铺地毯部分的宽度x （m ）吗？ x 满足方程 ()()182x 52x 8=--， 一般形式是 (1) x 可能小于0吗？可能大于4吗? 可能大于2.5吗？说说你的理由。 (2) 你能确定x 的大致范围吗？ （3）填写下表： （4）你知道所求宽度x(m)是多少吗? 还有其他求解方法吗?与同伴进行交流 2. 上节课的梯子问题中，梯子底端滑动的距离x(m)满足方程 ()22 21076x =++，把这个方程化为一般形式为 （1）小明认为底端也滑动了1 m ，他的说法正确吗?为什么? （2）底端滑动的距离可能是2 m 吗?可能是3 m 吗?为什么? （3）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗? （4）x 的整数部分是几?十分位是几? 填写下表： 所以 ＜x ＜ 进一步计算：
所以 ＜x ＜ 因此，x 的整数部分是1，小数部分也是1. 三．巩固新知： 1.根据下表中的对应值，判断一元二次方程x 2-4x+2=0的解的取值范围。 A 0＜x ＜0.25或3.5＜x ＜4 B 0.5＜x ＜1或2＜x ＜2.5 C 0.5＜x ＜1或3＜x ＜3.5 D 1＜x ＜1.5或3.5＜x ＜4 2.五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，你能求出这五个整数分别是多少吗？ 3.一个面积为120m 2的矩形苗圃，它的长比宽多2m ，苗圃的长和宽各是多少? 四．课堂小结：通过本节课的学习你有哪些收获？谈谈你的感想。 五．自我检测: 1.一元二次方程02 =++c bx ax ，若有一个根为—1，则=+-c b a ，若=+-c b a 0，则有一个根为 。 2 由此可判断方程x 2-2x-8=0的解是 。 3．有一条长为16m 的绳子，你能否用它围出一个面积为15 m 2的矩形？若能，则矩形的长、宽各是多少 4.一名跳水运动员进行10m 跳台跳水训练，在正常情况下，运动员必须在距水面5m 以前完成规定的翻腾动作，并且调整好入水姿势，否则就容易出现失误，假设运动员起跳后的运动时间t （s ）和运动员距离水面的高度h （m ）满足关系：h=10+2.5t-5t 2，那么他最多有多长时间完成规定动作？
中考数学一元二次方程知识点总结
中考数学一元二次方程知识点总结 知识框架 知识点、概念总结 1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行 整理。如果能整理为 ax 2 +bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。 （4）将方程化为一般形式：ax 2 +bx+c=0时，应满足（a≠0） 3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，?都能化成如下形式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）。 一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 4.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如 b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±?=，当b<0时，方程没有实数根。 （2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式2 2 2 )(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有2 2 2 )(2b x b bx x ±=+±。 配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方 程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2 =q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根． （3）公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的求根公式：
九年级数学上册小专题(一) 一元二次方程的解法
编号：954555300022221782598333158 学校：战神市白虎镇禳灾村小学* 教师：战虎禳* 班级：战神参班* 专题(一)一元二次方程的解法 1．用直接开平方法解下列方程： (1)x2－16＝0； (2)3x2－27＝0； (3)(x－2)2＝9； (4)(2y－3)2＝16. 2．用配方法解下列方程： (1)x2－4x－1＝0； (2)2x2－4x－8＝0；
(3)3x2－6x＋4＝0； (4)2x2＋7x＋3＝0. 3．用公式法解下列方程： (1)x2－23x＋3＝0； (2)－3x2＋5x＋2＝0； (3)4x2＋3x－2＝0； (4)3x＝2(x＋1)(x－1)．
4．用因式分解法解下列方程： (1)x2－3x＝0； (2)(x－3)2－9＝0； (3)(3x－2)2＋(2－3x)＝0； (4)2(t－1)2＋8t＝0； (5)3x＋15＝－2x2－10x； (6)x2－3x＝(2－x)(x－3)． 5．用合适的方法解下列方程： (1)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；
(2)5(x －3)2＝x 2－9； (3)t 2－ 22t ＋18 ＝0. 参考答案 1.(1)移项，得x 2＝16，根据平方根的定义，得x ＝±4，即x 1＝4，x 2＝－4. (2)移项，得3x 2＝27，两边同除以3，得x 2＝9，根据平方根的定义，得x ＝±3，即x 1＝3，x 2＝－3. (3)根据平方根的定义，得x －2＝±3，即x 1＝5，x 2＝－1. (4)根据平方根的定义，得2y －3＝±4，即y 1＝72，y 2＝－12 . 2.(1)移项，得x 2－4x ＝1.配方，得x 2－4x ＋22＝1＋4，即(x －2)2＝5.直接开平方，得x －2＝±5，∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5. (2)移项，得2x 2－4x ＝8.两边都除以2，得x 2－2x ＝4.配方，得x 2－2x ＋1＝4＋1.∴(x －1)2＝5.∴x －1＝±5.∴x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5. (3)移项，得3x 2－6x ＝－4.二次项系数化为1，得x 2－2x ＝－43.配方，得x 2－2x ＋12＝－43＋12，即(x －1)2＝－13 .∵实数的平方不可能是负数，∴原方程无实数根． (4)移项，得2x 2＋7x ＝－3.方程两边同除以2，得x 2＋72x ＝－32.配方，得x 2＋72x ＋(74)2＝－32＋(74)2，即(x ＋74)2＝2516 .直接开平方，得x ＋74＝±54.∴x 1＝－12 ，x 2＝－3. 3.(1)∵a ＝1，b ＝－23，c ＝3，b 2－4ac ＝(－23)2－4×1×3＝0，∴x ＝－（－23）±02×1＝ 3.∴x 1＝x 2＝ 3. (2)方程的两边同乘－1，得3x 2－5x －2＝0.∵a ＝3，b ＝－5，c ＝－2，b 2－4ac ＝(－5)2－4×3×(－2)＝49>0，∴x ＝－（－5）±492×3 ＝5±76，∴x 1＝2，x 2＝－13. (3)a ＝4，b ＝3，c ＝－2.b 2－4ac ＝32－4×4×(－2)＝41>0.x ＝－3±412×4 ＝－3±418.∴x 1＝－3＋418，x 2＝－3－418. (4)将原方程化为一般形式，得2x 2－3x －2＝0.∵a ＝2，b ＝－3，c ＝－2，b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×(－ 2)＝11>0，∴x ＝3±1122 ＝6±224.∴x 1＝6＋224，x 2＝6－224.
中考数学一元二次方程-经典压轴题及答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．解方程： 2212x x 6x 9-=-+（） 【答案】124x x 23 ==-， 【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可. 试题解析：因式分解，得 2212x x 3-=-（）（） 开平方，得 12x x 3-=-，或12x x 3-=--（） 解得124x x 23 ==-， 2．已知关于x 的一元二次方程()2204 m mx m x -++ =. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根； （2）当4m =时，求方程的解. 【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）134 x +=， 234 x = . 【解析】 【分析】 （1）方程有两个不相等的实数根，>0?，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0； （2）将4m =代入原方程，求解即可. 【详解】 （1）由题意得：24b ac ?=- =()2 2404m m m +->，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根. （2）把4m =带入得24610x x -+=，解得1x = ，2x =. 【点睛】 本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键. 3．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴
影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ? 【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【解析】 【分析】 根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答. 【详解】 解:设绿化区宽为y ，则由题意得 502302x y -=-. 即10y x =- 列方程: 50304(10)1344x x ?--= 解得13x =- (舍)，213x =. ∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【点睛】 本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心． 4．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x 元（40≤x ≤60），每星期的销售量为y 箱． （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？ （3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元? 【答案】(1)y =-10x +780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元 【解析】 【分析】 （1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x 元,则多销售的数量为60-x, （2）解一元二次方程即可求解, （3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解. 【详解】 解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱, 设该苹果每箱售价x 元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x ）=-10x+780,(40≤x≤60), (2)依题意得：
初中数学 九年级上一元二次方程教案
22．1 一元二次方程 第二课时 教学内容 1．一元二次方程根的概念； 2． 根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目． 教学目标 了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题． 提出问题，根据问题列出方程，化为一元二次方程的一般形式，列式求解；由解给出根的概念；再由根的概念判定一个数是否是根．同时应用以上的几个知识点解决一些具体问题． 重难点关键 1．重点：判定一个数是否是方程的根； 2． 难点关键：由实际问题列出的一元二次方程解出根后还要考虑这些根是否确定是实际问题的根． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学独立完成下列问题． 问题1．如图，一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ，那么梯子的底端距墙多少米？ 设梯子底端距墙为xm ，那么， 根据题意，可得方程为___________． 整理，得_________． 列表： 问题2．一个面积为的矩形苗圃，它的长比宽多2m ， 苗圃的长和宽各是多少？ 设苗圃的宽为xm ，则长为_______m ． 根据题意，得________． 整理，得________． 列表： 老师点评（略） 二、探索新知 提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2 中一元二次方程的解是多少？ （2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？ 老师点评：（1）问题1中x=6是x 2-36=0的解，问题2中，x=10是x 2+2x-120=0的解． （3）如果抛开实际问题，问题（1）中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解． 为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称： 108
2018届九年级数学上册第二章一元二次方程2.1认识一元二次方程教案新版北师大版
课题：2.1认识一元二次方程 ●教学目标： 一、知识与技能目标： 探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识 二、过程与方法目标： 在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系； 三、情感态度与价值观目标： 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。 ●重点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别。 ●难点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别。 ●教学流程： 一、导入新课 我们在前面学习过方程这个概念。回忆一下什么是方程？什么样的方程是一元一次方程？ 只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1的整式方程叫一元一次方程。 5x-15=0，这是一个什么样的方程？ 思考下列问题： 1、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面积为１８m2，则花边有多宽？ 解：如果设花边的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为 m，宽为 m，根据题意，可得方程：。 2、你能化简这个方程吗？ 观察下面等式： 10２＋11２＋12２＝13２＋14２ 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：，，，． 根据题意，可得方程：。 2、如图，一个长为10m的梯子斜靠
在墙上，梯子的顶端距地面的垂直 距离为8m ．如果梯子的顶端下滑1m ， 那么梯子的底端滑动多少米？ 解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙 m. 如果设梯子底端滑动x m ，那么滑动后梯子底端距墙 m ；根据题意，可得方程： 。 二、 新课讲解 1、一元二次方程的概念 由上面三个问题，我们可以得到三个方程： (8-2x)(５-２) 即2x 2 － 13x ＋ 11 = 0 . x 2+(x +1)2+(x+2)2=(x +3)2+(x +４)2即x 2 － 8x － 20＝0. （ x ＋６)2＋７2＝102即x 2 ＋12 x －15 ＝0.上述三个方程有什么共同特点？ 上面的方程都是只含有 的 ，并且都可以化为 的形式，这样的方程叫 做一元二次方程． 把ax ２＋bx ＋c ＝０(a ，b ，c 为常数，a ≠０)称为一元二次方程的一般形式，其中ax ２ ， bx ， c 分别称为二次项、一次项和常数项，a ， b 分别称为二次项系数和一次项系数． 三、探究理解 议一议 下列方程中是一元二次方程的是 ( ) 05.02.21. 12.2=+-=-=+=-x x D y x C x x B x A 把下列一元二次方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：(1)一般形式： 二次项系数、一次项系数及常数项分别为：5、﹣4、﹣1. (2)一般形式： 二次项系数、一次项系数及常数项分别为：4、0、﹣ 81. (3)一般形式：248250x x +-=； 二次项系数、一次项系数及常数项分别为：4、8、﹣25. (4)一般形式： 二次项系数、一次项系数及常数项分别为： 1/3、﹣7、4. 四、课堂练习 04.2 =-y F 2(1)5410x x --=；2 (3)3710x x -+=；25410x x --=； 24810x -=；x x 21(4)740.3-+=x x 2 1740.3-+=