2020年河南省郑州市高考数学三模试卷(理科)(含答案解析)
第1页，共18页 2020年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知全集，集合，，则 A. B. 或
C. D. 或
2. 已知复数z满足，则其共轭复数在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 函数在的图象大致为
A.
B. 第2页，共18页
C. D. 4. 两个非零向量，满足，则向量与夹角为 A. B. C. D. 5. 执行如图所示的程序框图，输入，，那么输出的p值为
A. 360
B. 60
C. 36
D. 12
6. 已知，则a，b，c的大小关系是 A. B. C. D. 7. 某个微信群某次进行的抢红包活动中，群主所发红包的总金额为10元，被随机分配为元、元、元、元、元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是
A. B. C. D. 8. 天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”第3页，共18页
起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，，以此类推，排列到“癸酉”后，天于回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立70年时为 A. 丙酉年 B. 戊申年 C. 己申年 D. 己亥年
9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为 A. B. C. D.
10. 若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于原点对称，则的最小值为 A. B. C. D.
11. 已知双曲线的右焦点为F，过F作直线的垂线，垂足为M，且交双曲线的左支于N点，若，则双曲线的离心率为 A. 3 B. C. 2 D.
12. 已知函数在R上可导且，其导函数满足，对于函数
，下列结论错误的是 A. 函数在上为单调递增函数
B. 是函数的极小值点
C. 函数至多有两个零点
D. 时，不等式恒成立
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 某车间将10名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个工人加工的合格零件数如茎叶图所示，已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为20，则______．
14. 已知x，y满足约束条件，则的最大值为______． 15. 点是圆内一点，则过点A的最短弦长为______． 第4页，共18页
16. 已知等比数列的首项为，公比为，前n项和为，且对任意的，都有恒成立，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． Ⅰ求A；
Ⅱ求的取值范围．
18. 依法纳税是公民应尽的义务，随着经济的发展，个人收入的提高，自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率进行了调整，调整前后的计算方法如下表，2018年12月22日国务院又印发了个人所得税专项附加扣除暂行办法以下简称办法，自2019年1月1日起施行，该办法指出，个人所得税专项附加扣除，是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等6项专项附加扣除．简单来说，2018年10月1日之前，“应纳税所得额”“税前收入”“险金”“基本减除费用统一为3500元”“依法扣除的其他扣除费用”；自2019年1月1日起，“应纳税所得额”“税前收人”“险金”“基本减除费用统一为5000元”“专项附加扣除费用”“依法扣除的其他扣除费用． 调整前后个人所得税税率表如表： 个人所得税税率表调整前 个人所得税税率表调整后
级数 全月应纳税所得额 税率 级数 全月应纳税所得额 税率
1 不超过1500元的部分 3 1 不超过3000元的部分 3 2 超过1500元至4500元的部分 10 2 超过3000元至12000元的部分 10 3 超过4500元至9000元的部分 20 3 超过12000至25000元的部分 20
某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，扣除险金后，制成下面的频数分布表： 收入元 人数 10 20 25 20 15 10 Ⅰ估算小李公司员工该月扣除险金后的平均收入为多少？ Ⅱ若小李在该月扣除险金后的收入为10000元，假设小李除住房租金一项专项扣除费用1500元外，无其他依法扣除费用，则2019年1月1日起小李的个人所得税，比2018年10月1日之前少交多少？ Ⅲ先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作第5页，共18页
为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率． 19. 如图，ABCD为矩形，点A、E、B、F共面，且和均为等腰直角三角形，且
． Ⅰ若平面平面AEBF，证明平面平面ADF； Ⅱ问在线段EC上是否存在一点G，使得平面CDF，若存在，求出此时三棱锥与三棱锥的体积之比．
20. 已知抛物线E：的焦点为F，直线l：，直线l与E的交点为A，
同时，直线直线m与E的交点为C、D，与y轴交于点P． 求抛物线E的方程； Ⅱ若，求的长．
21. 已知函数．
Ⅰ讨论的单调性； Ⅱ存在正实数k使得函数有三个零点，求实数a的取值范围． 第6页，共18页
22. 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为：为参数，以原点O为极
点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为，曲线：． Ⅰ求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程； Ⅱ若曲线与曲线交于A，B两点，求的取值范围．
23. 已知函数，．
Ⅰ当时，求不等式的解集；
Ⅱ若，且对任意，恒成立，求m的最小值． 第7页，共18页
-------- 答案与解析 -------- 1.答案：C
解析：解：，； ． 故选：C． 可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可． 考查描述法的定义，对数函数的定义域和单调性，以及交集的运算． 2.答案：A
解析：解：因为复数z满足， 所以：；
其共轭复数； 对应的点在第一象限； 故选：A． 直接由已知的复数整理求得z；进而求得得到其在复平面内对应点的坐标得答案． 本题考查了复数的代数表示法以及共轭复数及其几何意义，是基础题． 3.答案：C
解析：解：根据题意，， 当时，，则，又由，则此时， 当时，，则，又由，则此时， 当时，，则，又由，则此时， 当时，，则，又由，则此时，
故； 故选：C． 根据题意，将的解析式写成分段函数的形式，据此分析选项可得答案． 本题考查函数的图象分析，注意将函数的解析式写成分段函数的形式，属于基础题． 4.答案：A
解析：【分析】 由题意画出图象，数形结合，求得向量与夹角． 本题主要考查两个向量的夹角的求法，直角三角形中的边角关系，属于中第8页，共18页
档题． 【解答】 解：两个非零向量，满足，如图， 设，，则 ，， 则四边形OACB为矩形，． 设向量与夹角为，则，
，，， 故选：A． 5.答案：B
解析：解：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的p的值， 可得程序框图实质是计算排列数的值， 当，时，可得：． 故选：B． 模拟执行程序框图，可得程序框图实质是计算排列数的值，由，即可计算得解． 本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查． 6.答案：C
解析：解：，， ，a，． ， ． ． 故选：C．
由，，a，可得b，a大小关系，而即可得出结论． 本题考查了指数对数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7.答案：B
解析：解：群主所发红包的总金额为10元，被随机分配为元、元、元、元、元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次， 设甲抢到的金额为x、乙抢到的金额为y，则的基本事件共有种， 则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的基本事件为，，，，， ，，，，共10种，
即甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是， 故选：B． 由古典概型及其概率计算公式得：甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是，得解． 本题考查了古典概型及其概率计算公式，属中档题．
2020年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)(含答案解析)
2020年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合2，4，，，则A. B. 1，2， C. 2， D.2.已知复数z满足为虚数单位，则z的虚部为A. 1B.C. 0D. i3.函数的部分图象可能是A. B.C. D.4.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，若，则角B等于A. B. C. D.5.两个非零向量，满足，则向量与夹角为A. B. C. D.6.下列说法正确的是A. 命题p，q都是假命题，则命题“”为真命题B. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到C. ，函数都不是奇函数D. 函数的图象关于直线对称7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为A.B.C.D.8.已知直线与抛物线C：及其准线分别交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若，则m等于A. B. C. D.9.若函数在上是单调函数，则a的取值范围是A. B. C. D.10.若将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于原点对称，则的最小值为A. B. C. D.11.设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的x的取值范围是A. B.C. D.12.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线l与双曲线C左，右两支交于点B，A，若为正三角形，则双曲线C的渐近线方程为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x，y满足约束条件，则的最大值为______．14.某车间将10名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个工人加工的合格零件数如茎叶图所示，已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为20，则______．15.在中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c，，，则，则______．16.设数列的前n项和为，已知，对任意的正整数n满足，则______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列是首项，的等比数列，设Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ记，求数列的前n项和．18.2019年郑开国际马拉松比赛，于2019年3月31日在郑州、开封举行．某学校本着“我运动，我快乐，我锻炼，我提高”精神，积极组织学生参加比赛及相关活动，为了了解学生的参与情况，从全校学生中随机抽取了150名学生，对是否参与的情况进行了问卷调查，统计数据如表：会参与不会参与男生6040女生2030根据如表说明，能否有的把握认为参与马拉松赛事与性别有关？Ⅱ现从参与问卷调查且参与赛事的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人参加2019年马拉松比赛志愿者宣传活动求男、女学生各选取多少人；若从这8人中随机选取2人到校广播站开展2019年赛事宣传介绍，求恰好选到2名男生的概率．附：，其中．19.如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，底面，侧面底面ABCD，，．Ⅰ求证：面PAC；Ⅱ过AC的平面交PD于点M，若，求三棱锥的体积．20.已知椭圆C：，圆：，圆：，椭圆C与圆、圆均相切．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ直线l与圆相切同时与椭圆C交于A、B两点，求的最大值．21.设函数，．当时，求函数的极值；Ⅱ若关于x的方程在区间上有两个实数解，求实数m的取值范围．22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为：为参数，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为，曲线：．Ⅰ求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；Ⅱ若曲线与曲线交于A，B两点，求的取值范围．23.已知函数，．Ⅰ当时，求不等式的解集；Ⅱ若，且对任意，恒成立，求m的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法表示集合的定义，对数的运算性质，以及交集的运算．【解答】解：2，4，，1，2，；．故选：A．2.答案：A解析：解：由，得．则z的虚部为1．故选：A．把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解；显然原函数是偶函数，立即排除B，取，则排除A．故选：C．先判断函数为偶函数，再根据函数值的特点即可判断本题考查了函数图象的识别，考查了函数的奇偶性和函数值的特点，属于中档题4.答案：A解析：解：，由正弦定理可得：，，，，，，可得，，．故选：A．由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式，结合，可得，结合范围，可求B的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5.答案：A解析：【分析】由题意画出图象，数形结合，求得向量与夹角．本题主要考查两个向量的夹角的求法，直角三角形中的边角关系，属于中档题．【解答】解：两个非零向量，满足，如图，设，，则，，则四边形OACB为矩形，．设向量与夹角为，则，，，，故选：A．6.答案：D解析：解：选项A，因为p是假命题，所以是真命题，但q是假命题，所以命题“”为假命题，即A错误；选项B，将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到，即B错误；选项C，例如，当时，函数，是奇函数，即C错误；选项D，，所以其图象关于直线对称，即D正确．故选：D．A，因为p是假命题，所以是真命题，但q是假命题，根据复合命题中“”命题一假则假的原则，所以命题“”为假命题；B，将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到；C ，举特例，当时，函数，是奇函数；D ，把代入函数解析式中计算其结果是否为1或，由于，所以其图象关于直线对称．本题考查命题的真假判断，主要包含复合命题的真假判断、正弦函数的性质及图象变换，考查学生的推理论证能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图如图所示：该几何体为三棱锥体．所以几何体的外接球的半径设为r，则：，解得，所以，故选：B．首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的外接球的体积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的外接球的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.答案：B解析：解：因为，所以点A，B，F共线，所以直线经过抛物线的焦点，所以，因为抛物线的准线为，所以得，即因为，所以，所以，解得，将点A的坐标代入抛物线方程得：，解得，所以．故选：B．因为，所以点A，B，F共线，即直线经过抛物线的焦点，得，联立得，因为，所以，解得A坐标，将点A的坐标代入抛物线方程解得，进而得出结论．本题考查直线与抛物线方程，向量问题，属于中档题．9.答案：B解析：解：当时，，在上恒成立，即在上单调递增，又函数在上是单调函数，，解得．故选：B．先利用导数与函数单调性的关系可知，当时，单调递增，于是在R上单调递增，还需要满足，解之即可得a的取值范围．本题考查分段函数的单调性，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．10.答案：A解析：解：将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，的图象关于原点对称，，．令，可得的最小值为，故选：A．利用函数的图象变换规律得到的解析式，再利用三角函数的图象的对称性，求得的最小值．本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．11.答案：C解析：【分析】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，函数奇偶性的应用，属于难题．根据题意，设，对求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得在上为减函数，结合函数的单调性分析可得在区间和上，都有，结合函数的奇偶性可得在区间和上，都有，然后将不等式变形转化可得关于x的不等式组，求解得答案．【解答】解：根据题意，设，其导数，又由当时，，则有，即函数在上为减函数，又由，则在区间上，，又由，则，在区间上，，又由，则，则在和上，，又由为奇函数，则在区间和上，都有，由，得或，解可得：或，则x的取值范围是．故选：C．12.答案：D解析：解：设，根据双曲线的定义可知：，即，且，即，所以，则，在中，，整理得，所以，则，所以渐近线方程为，故选：D．设，利用双曲线定义，可得，，利用余弦定理可得，进而得到a，b关系，可得渐近线方程．本题考查双曲线的定义，考查双曲线渐近线求法，余弦定理，整体思想，属于中档题．13.答案：8解析：解：画出满足条件的平面区域，如图示：由得：，将直线向上平移，可知当直线经过点时，的截距取得最大值，z的最大值，，故答案为：8．画出满足条件的平面区域，由得：，将直线向上平移，结合图象求出z的最大值即可．本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．14.答案：11解析：解：甲组工人在单位时间内加工的合格零件数的平均数为20，即，解得；乙组工人在单位时间内加工的合格零件数的平均数为10，即，解得．故；故答案为：11．根据茎叶图中的数据，利用平均数的定义，即可求出m、n的值．本题考查了利用茎叶图求平均数的应用问题，是基础题目．15.答案：解析：解：，，，由正弦定理可得：，，，可得，或，若，由于，可得，可得舍去，，可得，可得：，，，，由，可得，由余弦定理可得．故答案为：．由正弦定理化简已知等式，结合，可得，可得，或，由于若，可得推出矛盾，可得，根据三角形内角和定理可得，可求范围，利用同角三角函数基本关系式可求cos B的值，进而根据余弦定理可求b的值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握相关公式定理及其变形应用是解题的关键，属于难题．16.答案：解析：解：，，，，；；；；；；；故答案为：．根据递推关系式得到；再利用累加法即可求得结论．本题主要考查数列递推关系式的应用以及累加法的应用，属于中档题目．17.答案：解：由，得，，所以．．由，得，．所以数列的前n项和．解析：利用已知条件推出数列的公比，然后求解数列的通项公式．利用裂项消项法求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式以及数列求和的方法的应用，是基本知识的考查．18.答案：解：因为，所以有的把握认为参与马拉松赛事与性别有关；根据分层抽样方法得，男生有人，女生有2人，所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人；设抽取的6名男生分别为A，B，C，D，E，F；2名女生为a，b；从中抽取两人，分别记为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共28种情形；其中2男的共15种情形，所以所求的概率值为．解析：根据列联表计算观测值，对照临界值得出结论；根据分层抽样法求得男生、女生抽取人数；利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了列联表与独立性检验的问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．19.答案：Ⅰ证明：由题意，，，则，又侧面底面ABCD，面面，面PAB，面ABCD．面ABCD，则，又，ABCD为平行四边形，则，又，则为等边三角形，可得ABCD为菱形，则．又，面PAC；Ⅱ解：由，得M为PB中点，由Ⅰ知，ABCD为菱形，又，，．又面ABCD，且，．解析：Ⅰ由题意，，得到，再由平面与平面垂直的性质可得面ABCD，从而得到，结合已知条件证明ABCD为菱形，则由直线与平面垂直的判定可得面PAC；Ⅱ由，得M为PB中点，然后利用求解．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20.答案：解：Ⅰ由题易知的半径，圆的半径，又椭圆与、同时相切，则，则C：．Ⅱ当l斜率为0时，l与椭圆C相切，不符合题意，斜率不为0时，设l：，原点到l的距离．则，由，可得：，设，由根与系数的关系得：，，，将代入得，令则，在上单调递增，则，即时，．解析：Ⅰ利用已知条件求出椭圆的长半轴与短半轴的长，即可得到椭圆方程．Ⅱ当l斜率为0时，l与椭圆C相切，不符合题意；斜率不为0时，设l：，通过原点到l的距离则，由，，设，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解即可．本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，是难题．21.答案：解：依题意知的定义域为，当时，，，令，解得则单调递增，，单调递减．所以当时函数取得极小值，且极小值为，当时函数取得极大值，且极大值为．由，可得，又，所以，．令，则，由，得；由，得，在区间上是增函数，在区间上是减函数．当时函数有最大值，且最大值为，又，当时，方程在区间上有两个实数解．实数m的取值范围为．解析：当把代入，然后对函数求导，结合导数与单调性及极值的关系即可求解；由，可得，构造函数，然后对函数求导，结合导数可分析函数的性质，进而可求．本题主要考查了利用导数求解函数的极值及利用分离法求解参数范围问题，构造函数并利用导数知识是求解问题的关键．22.答案：解：Ⅰ直线l的参数方程为：为参数，转换为曲线的普通方程为：，曲线：根据整理得普通方程为：；Ⅱ将为参数代入：化简整理得：，设A、B两点对应的参数分别为、，则恒成立，，，，所以：．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．23.答案：解：Ⅰ当时，，原不等式等价于或或，解得：或无解或，所以，的解集为分Ⅱ，．则所以函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增．所以当时，取得最小值，．因为对任意恒成立，所以．又因为，所以，解得不合题意．所以m的最小值为分解析：Ⅰ通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；Ⅱ求出函数的单调区间，求出的最小值，得到关于m的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数的单调性，最值问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道常规题．。
河南省郑州市2020届高考数学三模试卷(理科)word版含解析-(高三)(已纠错)
2019年河南省郑州市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设命题p：∀x＞0，log2x＜2x+3，则￢p为（）A．∀x＞0，log2x≥2x+3 B．∃x＞0，log2x≥2x+3C．∃x＞0，log2x＜2x+3 D．∀x＜0，log2x≥2x+32．已知复数m=4﹣xi，n=3+2i，若复数∈R，则实数x的值为（）A．﹣6 B．6 C．D．﹣3．已知双曲线+=1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于（）A．B．5 C．7 D．4．已知，则的值等于（）A．B．C．D．5．设集合A={x1，x2，x3，x4}，x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，那么集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为（）A．60 B．65 C．80 D．816．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．7．设实数x，y满足，则2xy的最大值为（）A．25 B．49 C．12 D．248．已知等比数列{a n}，且a6+a8=，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．π2B．4π2C．8π2D．16π29．若实数a、b、c∈R+，且ab+ac+bc+2，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50π B．100πC．200πD．300π12．设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f'（x）=e x，f（2）=，则x∈，求函数h（x）的最小值；（2）对任意x∈=﹣cos（+2θ）=﹣cos2（+θ）=﹣=﹣，解得：sin2（+θ）=，∴=±．故选：B．5．设集合A={x1，x2，x3，x4}，x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，那么集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为（）A．60 B．65 C．80 D．81【考点】1A：集合中元素个数的最值．【分析】将x的取值分为两组：M={0}，N={﹣1，1}，A中的四个元素中有1个取值为0，2个取值为0，个取值为0，4个取值为0，进行分类讨论，由此能求出集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数．【解答】解：集合A={x1，x2，x3，x4}，x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，集合A满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”，设M={0}，N={﹣1，1}，①A中的四个元素中有1个取值为0，另外3个从M中取，取法总数有： =32，②A中的四个元素中有2个取值为0，另外2个从M中取，取法总数有： =24，③A中的四个元素中有3个取值为0，另外1个从M中取，取法总数有： =8，④A中的四个元素中有4个取值为0，取法总数有： =1，∴集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为：32+24+8+1=65．故选：B．6．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．这个几何体体积V=+×（）2×2=2+．故选：A．7．设实数x，y满足，则2xy的最大值为（）A．25 B．49 C．12 D．24【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知y≤10﹣2x，则2xy≤2x（10﹣2x）=4x（5﹣x））≤4（）2=25，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故2xy的最大值为25，故选：A．8．已知等比数列{a n}，且a6+a8=，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．π2B．4π2C．8π2D．16π2【考点】67：定积分．【分析】先根据定积分的几何意义求出a6+a8==4π，再根据等比数列的性质即可求出．【解答】解：表示以原点为圆心以4为半径的圆的面积的四分之一，故a6+a8==4π，∴a8（a4+2a6+a8）=a8a4+2a8a6+a82=a62+2a8a6+a82=（a6+a8）2=16π2．故选：D9．若实数a、b、c∈R+，且ab+ac+bc+2，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．【考点】RB：一般形式的柯西不等式．【分析】因为（2a+b+c）2=4a2+b2+c2+4ab+2bc+4ca，与已知等式比较发现，只要利用均值不等式b2+c2≥2bc 即可求出结果．【解答】解：∵ab+ac+bc+2，∴a2+ab+ac+bc=6﹣2（6﹣2）×4=（a2+ab+ac+bc）×4=4a2+4ab+4ac+4bc≤4a2+4ab+b2+c2+4ca+2bc=（2a+b+c）2，所以2a+b+c≥2﹣2，故选D．10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y，即可得出此时△FMN的面积S．【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y=±．∴此时△FMN的面积S==．故选：C．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50π B．100πC．200πD．300π【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．故选C．12．设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f'（x）=e x，f（2）=，则x∈=e2﹣=（x﹣2），当x∈．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r，对=p+q两边平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值范围．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=，∴∠BOC=；设|=r，则O为△ABC外接圆圆心；∵=p+q，∴==r2，即p2r2+q2r2+2pqr2cos=r2，∴p2+q2﹣pq=1，∴（p+q）2=3pq+1；又M为劣弧AC上一动点，∴0≤p≤1，0≤q≤1，∴p+q≥2，∴pq≤=，∴1≤（p+q）2≤（p+q）2+1，解得1≤（p+q）2≤4，∴1≤p+q≤2；即p+q的取值范围是．故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a2﹣4bc=0．（1）当a=2，时，求b、c的值；（2）若角A为锐角，求m的取值范围．【考点】HR：余弦定理．【分析】（1）sinB+sinC=msinA（m∈R），利用正弦定理可得：b+c=ma，且a2﹣4bc=0．a=2，时，代入解出即可得出．（2）利用余弦定理、不等式的解法即可得出．【解答】解：（1）由题意得b+c=ma，a2﹣4bc=0．当时，，bc=1．解得．（2）．∴，又由b+c=ma可得m＞0，所以．18．为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标x）、推理（能力指标y）、建模（能力指标z）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x+y+z的值评定学生的数学核心素养；若w≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b，记随机变量X=a﹣b，求随机变量X的分布列及其数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题可知：建模能力一级的学生是A9；建模能力二级的学生是A2，A4，A5，A7，A10；建模能力三级的学生是A1，A3，A6，A8．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出，P（A）．（2）由题可知，数学核心素养一级：A1，A2，A3，A5，A6，A8，数学核心素养不是一级的：A4，A7，A9，A10；X 的可能取值为1，2，3，4，5．利用相互独立事件、互斥事件与古典概率计算公式即可得出P（X=k）及其分布列与数学期望．【解答】解：（1）由题可知：建模能力一级的学生是A9；建模能力二级的学生是A2，A4，A5，A7，A10；建模能力三级的学生是A1，A3，A6，A8．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，则．（2）由题可知，数学核心素养一级：A1，A2，A3，A5，A6，A8，数学核心素养不是一级的：A4，A7，A9，A10；X的可能取值为1，2，3，4， 5.；；；；．∴随机变量X的分布列为：∴=．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF．（1）求证：EF⊥平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）在梯形ABCD中，设AD=CD=BC=1，由题意求得AB=2，再由余弦定理求得AC2=3，满足AB2=AC2+BC2，得则BC⊥AC．再由CF⊥平面ABCD得AC⊥CF，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BCF．进一步得到EF⊥平面BCF；（2）分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（），得到C，A，B，M的坐标，求出平面MAB的一个法向量，由题意可得平面FCB的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ=0时，cosθ有最小值为，此时点M与点F重合．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，设AD=CD=BC=1，又∵，∴AB=2，∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3．∴AB2=AC2+BC2．则BC⊥AC．∵CF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥CF，而CF∩BC=C，∴AC⊥平面BCF．∵EF∥AC，∴EF⊥平面BCF；（2）解：分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（），则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），∴=（﹣，1，0），=（λ，﹣1，1），设=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，由得，取x=1，则=（1，，），∵=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量，∴cos＜＞==．∵，∴当λ=0时，cosθ有最小值为，∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为．20．已知圆C1：x2+y2=r2（r＞0）与直线l0：y=相切，点A为圆C1上一动点，AN⊥x轴于点N，且动点M满足，设动点M的轨迹为曲线C．（1）求动点M的轨迹曲线C的方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O，求线段PQ长度的取值范围．【考点】KP：圆锥曲线的范围问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．推出N（x0，0）．通过直线与圆相切，求出圆的方程，然后转化求解曲线C的方程．（2）①假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，通过，以及弦长公式，利用基本不等式求出范围．②若直线l的斜率不存在，设OP所在直线方程为y=x，类似①求解即可．【解答】解：（I）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．∴N（x0，0）．又圆与直线即相切，∴．∴圆．由题意，，得，∴．∴，即∴将代入x2+y2=9，得曲线C的方程为．（II）（1）假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．由求根公式得．（*）∵以PQ为直径的圆过坐标原点O，∴．即．∴x1x2+y1y2=0．即∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．化简可得，．将（*）代入可得，即3m2﹣8k2﹣8=0．即，又．将代入，可得=．∴当且仅当，即时等号成立．又由，∴，∴．（2）若直线l的斜率不存在，因以PQ为直径的圆过坐标原点O，故可设OP所在直线方程为y=x，联立解得，同理求得，故．综上，得．21．已知函数f（x）=（x+a）ln（x+a），g（x）=﹣+ax．（1）函数h（x）=f（e x﹣a）+g'（e x），x∈，求函数h（x）的最小值；（2）对任意x∈上h'（x）≥0，h（x）递增，h（x）的最小值为．②当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在在x∈上h'（x）≥0，h（x）为增函数．∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣e a﹣1+a．③当a﹣1≥1即a≥2时，在上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为，当0＜a＜2时h（x）的最小值为﹣e a﹣1+a，当a≥2时，h （x）最小值为（1﹣a）e+a．（II）设，F'（x）=ln（x﹣1）+1+a（x﹣1）（x≥2）．①当a≥0时，在x∈[2，+∞）上F'（x）＞0，F（x）在x∈[2，+∞）递增，F（x）的最小值为F（2）=0，不可能有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0．②当a≤﹣1时，令，解得：，此时∴．∴F'（x）在[2，+∞）上递减．∵F'（x）的最大值为F'（2）=a+1≤0，∴F（x）递减．∴F（x）的最大值为F（2）=0，即f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立．③当﹣1＜a＜0时，此时，当时，F''（x）＞0，F'（x）递增，当时，F''（x）＜0，F'（x）递减．∴=﹣ln（﹣a）＞0，又由于F'（2）=a+1＞0，∴在上F'（x）＞0，F（x）递增，又∵F（2）=0，所以在上F（x）＞0，显然不合题意．综上所述：a≤﹣1．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．【解答】解：（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，==．当时，|AB|的最小值为2．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的范围即可；（2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．【解答】解：（1），当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，所以﹣3≤f（x）≤3，∴m≥﹣3；（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣10x+22≤0，∴；当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；综上，原不等式的解集为．。
2020年河南省新乡市高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)
2020 年河南省新乡市高考数学三模试卷（理科）题号 得分一二三总分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. （1+i）（2+i）（3+i）=（ ）A. -10iB. 10iC. -10D. 102. 已知集合 A={x|x2-4x＜5}，则（ ）A. -1.2∈AB. 30.9∉AC. log230∈AD. A∩N={1，2，3，4}3. 设向量 ， 是平面内的一组基底，若向量 =-3 与 =共线，则 λ=（ ）A.B.C. -3D. 34. 若 f（x）=a-2+asin2x 为奇函数，则曲线 y=f（x）在 x=0 处的切线的斜率为（ ）A. -2B. -4C. 2D. 45. 已知函数 f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，且当 x∈[-2，1]时，f（x）=x2-2x-4，则关于 x 的不等式 f（x）＜-1 的解集为（ ）A. （-∞，-1） B. （-∞，3）C. （-1，3）D. （-1，+∞）6. 某图形由一个等腰直角三角形，一个矩形（矩形中的阴影部分为半圆），一个半圆组成，从该图内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为（）A.B.C.D.7. 如图，过双曲线 C： =1（a＞0，b＞0）的右焦点 F 作 x 轴的垂线交 C 于 A，B 两点（A 在 B 的上方），若 A，B 到 C 的一条渐 近线的距离分别为 d1，d2，且 d2=4d1，则 C 的离心率为（ ）A.B.C.第 1 页，共 15 页D.8. 若钝角 α 满足，则 tanα=（ ）A.B.C.D.9. 某几何体由一个棱柱与一个棱锥组合而成，其三视图如图所示，其中俯视图和侧视图中的正方形的边长为 2，正视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的体积为（ ）A.B. 或 6C.D. 或10. 设，，则（）A.B.C.D.11. 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c．已知 a∈（ ， ），b=1，且 abcosC+ccosA=abc，则 cosB 的取值范围为（ ）A. （ ， ）B. （ ， ）C. （0， ）D. （0， ）12. 在直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+1 与抛物线 C：x2=4y 交于 A，B 两点，若∠AOB=120°，则 k= （）A.B.C.D.二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 某校有高一学生 n 名，其中男生数与女生数之比为 6：5，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为 的样本，若样本中男生比女生多 12 人，则 n=______．14. 一个球的内接正方体的表面积为 32，则该球的体积为______．15. 已知 a＞0，则当的展开式的常数项（即不含 x 的项）取得最小值时，a=______．16. 某农户计划种植莴笋和西红柿，种植面积不超过 30 亩，投入资金不超过 25 万元，假设种植莴 笋和西红柿的产量、成本和售价如下表：年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价莴笋 5 吨1 万元0.5 万元西红柿4.5 吨 0.5 万元0.4 万元那么，该农户一年种植总利润（总利润＝总销售收入-总种植成本）的最大值为__________．第 2 页，共 15 页三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 在数列{an}中，a1=1，且 an，2n，an+1 成等比数列．（1）求 a2，a3，a4； （2）求数列{a2n}的前 n 项和 Sn．18. 以下是新兵训练时，某炮兵连 8 周中炮弹对同一目标的命中情况的柱状图：（1）计算该炮兵连这 8 周中总的命中频率 p0，并确定第几周的命中频率最高；（2）以（1）中的 p0 作为该炮兵连甲对同一目标的命中率，若每次发射相互独立，且炮兵甲发 射 5 次，记命中的次数为 X，求 X 的方差；（3）以（1）中的 p0 作为该炮兵连炮兵对同一目标的命中率，试问至少要用多少枚这样的炮弹 同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过 0.99．(lg 0.4＝-0.398)19. 如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平面 ABC，且 PA=AB=BC=2，．（1）证明：三棱锥 P-ABC 为鳖臑；（2）若 D 为棱 PB 的中点，求二面角 D-AC-P 的余弦值．注：在《九章算术》中鳖臑是指四面皆为直角三角形的棱锥．第 3 页，共 15 页20. 已知椭圆的短轴长为 2，且椭圆的一个焦点在圆(x-2)2+(y-3)2＝18 上．（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆的焦距小于 4，过椭圆的左焦点 F 的直线 l 与椭圆相交于 A，B 两点，若，求|AB|．21. 已知函数．（1）讨论函数在（1，+∞）上的单调性；（2）若 a≥0，不等式 x2f（x）+a≥2-e 对 x∈（0，+∞）恒成立，求 a 的取值范围．22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为，（α 为参数）．以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 A 的极坐标为．（1）求曲线 C 的极坐标方程；（2）过 A 作曲线 C 的切线，切点为 M，过 O 作曲线 C 的切线，切点为 N，求 ．第 4 页，共 15 页23. 已知函数 f（x）=| |+|x+2a|．（1）若 a=1，证明：f（|x|）≥5； （2）若 f（1）＜5a2，求 a 的取值范围．第 5 页，共 15 页1.答案：B-------- 答案与解析 --------解析：解：（1+i）（2+i）（3+i）=（1+3i）（3+i）=10i． 故选：B． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：C解析：解：A={x|x2-4x＜5}={x|-1＜x＜5}， ∵0＜log230＜log232=5， ∴log230∈A 故选：C． 根据元素与集合的关系进行判断 本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题．3.答案：B解析：【分析】 本题主要考查向量共线的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力，属基础题．由题得存在 μ∈R，使得，得到关于 μ，λ 的方程组，解之即得解．【解答】解：∵ 与 共线，∴存在实数 μ∈R，使得，即，故 μ=-3，-λμ=-1，∴．故选：B．4.答案：D解析：【分析】 本题考查函数的奇偶性的定义和导数的运用：求切线的斜率，属于基础题． 由奇函数的定义可得 f（0）=0，求得 a=2，求得 f（x）的导数，可得在 x=0 处的切线的斜率． 【解答】 解：f（x）=a-2+asin2x 为奇函数， 可得 f（0）=0，即 a-2=0，可得 a=2，第 6 页，共 15 页则 f（x）=2sin2x， ，为奇函数，符合题意， 其导数为 =4cos2x， 则曲线 y=f（x）在 x=0 处的切线的斜率为 k=4cos0=4． 故选：D．5.答案：D解析：【分析】 本题考查减函数的定义，已知函数求值的方法，根据函数单调性解不等式的方法．根据条件可得出 f（-1）=-1，根据 f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，即可由 f（x）＜-1 得出 f（x）＜f（-1），从而 得到 x＞-1，即得出原不等式的解集． 【解答】 解：∵x∈[-2，1]时，f（x）=x2-2x-4； ∴f（-1）=-1； ∵f（x）在（-∞，+∞）上单调递减； ∴由 f（x）＜-1 得，f（x）＜f（-1）； ∴x＞-1； ∴不等式 f（x）＜-1 的解集为（-1，+∞）． 故选：D．6.答案：C解析：解：设矩形的长为 2a，则宽为 a，∴该图形的面积为．阴影部分的面积为．故该点取自阴影部分的概率为 P=．故选：C． 设矩形的长为 2a，则宽为 a，分别求出图形面积及阴影部分面积，再由测度比是面积比得答案． 本题考查几何概型概率的求法，正确求出阴影部分的面积是关键，是基础题．7.答案：B解析：【分析】 本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理 解掌握水平和分析推理能力，属于简单题． 先求出 d1，d2，化简，即得离心率的值． 【解答】解：易知 A，B 的坐标分别为（c， ），（c，- ），图中对应的渐近线为 bx-ay=0，则 d1= ，d2= ， ∵d2=4d1，∴3c=5b，第 7 页，共 15 页∴9c2=25（c2-a2），5a=4c， ∴e= = ． 故选：B．8.答案：D解析：解：∵钝角 α 满足，∴tanα＜0，且=，求得 tanα=2- ， 故选：D． 由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得 tanα 的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基 础题．9.答案：D解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，左边为直三棱柱 ABC-EFG， 右边为四棱锥 P-BCGF（或三棱锥 P-CFG 或三棱锥 P-BCF），则或．故选：D． 由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，左边为直三棱柱 ABC-EFG，右边为四棱锥 P-BCGF（或 三棱锥 P-CFG 或三棱锥 P-BCF），再由棱柱与棱锥的体积公式求解． 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．10.答案：D解析：【分析】 本题考查对数值的求法，考查计算能力，属基础题． 把已知条件表示为，lg2，lg3 的方程，求解即可． 【解答】 解：∵a=lg6=lg2+lg3，b=lg20=1+lg2，∴，故选 D．第 8 页，共 15 页11.答案：A解析：解：∵b=1，且 abcosC+ccosA=abc，∴abcosC+bccosA=ac，即：ab•+bc•=ac，∴b2=ac=1，从而 c= ，∴cosB==，∵a∈（ ， ），∴当 a= 时，cosB= ；当 a= 时，cosB= ，又 f（x）=x+ 在（ ，2）上单调递增，故 cosb 的取值范围为（ ， ）． 故选：A． 利用余弦定理化简已知等式可得 c= ，可求 cosB==，结合范围 a∈（ ， ），根据 f（x）=x+ 在（ ，2）上单调递增，可求 cosb 的取值范围．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了函数的单调性，考查了转化思想和函数思想， 属于中档题．12.答案：A解析：解：y=kx+1 与抛物线 C：x2=4y 联立，可得 x2-4kx-4=0， 设 A（x1，y1），B（x2，y2）， 可得 x1x2=-4，x1+x2=4k，kOA= = ，kOB= = ，由题意可得 tan60°=|=4| |= ，即有（x1+x2）2-4x1x2=27，可得 16k2+16=27，解得 k=± ．故选：A． 联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及两直线的夹角公式，化简整理， 计算可得所求值． 本题考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及两直线的夹角公式，考查 化简运算能力，属于中档题．第 9 页，共 15 页13.答案：1320解析：解：∵样本中男生比女生多 12 人，∴（ - ）× =12，即=12，得 n=1320， 故答案为：1320． 根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论． 本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．14.答案：解析：解：设正方体棱长为 a，则 6a2=32，解得 a= ，故球的半径 R= =2，∴球的体积 V= = ．故答案为 ． 求出正方体的棱长，得出球的半径，再计算球的体积． 本题考查了棱柱与球的位置关系，几何体的面积与体积计算，属于中档题．15.答案：解析：解：已知 a＞0，则=（a3-x）[1+ + + • +…+ • ]的展开式的常数项为 a3-9a， 令 f（a）=a3-9a，则 f′（a）=3a2-9，则当 a= 时，f′（a）=0，f（a）=a3-9a 取得最小值， 故答案为： ． 利用二项展开式的通项公式，求得展开式的常数项为 f（a）=a3-9a，再利用导数求函数 f（a）的最 小值，可得结论． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，利用导数求函数的最值，属于中档题．16.答案：43 万元解析：【分析】 本题主要考查了线性规划，解题的关键是得到约束条件和目标函数，同时考查了作图的能力，属于 基础题． 设种植莴笋和西红柿的种植面积分别为 x，y 亩，种植总利润为 z 万元，然后根据题意建立关于 x 与 y 的约束条件，得到目标函数，利用线性规划的知识求出最值时的 x 和 y 的值即可． 【解答】 解：设种植莴笋和西红柿的种植面积分别为 x， y 亩，种植总利润为 z 万元，由题意可知，第 10 页，共 15 页一年的种植总利润为z=0.5×5x+0.4×4.5y-x-0.5y=1.5x+1.3y，作出约束条件如下图阴影部分，由,解得A（20，10），平移直线1.5x+1.3y=0，当过点A（20，10）时，一年的种植总利润为z取最大值43万元．故答案为43万元．17.答案：解：（1）在数列{a n}中，a1=1，且a n，2n，a n+1成等比数列，可得4n=a n a n+1，即有a2=4；a3==4，a4==16；（2）由4n=a n a n+1，4n+1=a n+1a n+2，可得=4，即有数列{a n}的偶数项以4为首项，公比为4的等比数列，可得数列{a2n}的前n项和S n==（4n-1）．解析：（1）由等比数列中项性质，可令n=1，2，3，计算可得所求值；（2）由数列的递推式可得数列{a n}的偶数项以4为首项，公比为4的等比数列，由求和公式，计算可得所求和．本题考查等比数列中项性质和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题．18.答案：解：（1）这8周总命中炮数为40+45+46+49+47+49+53+52=381．总未命中炮数为32+34+30+32+35+33+30+28=254，∴p0==0.6．∵＞，∴根据表中数据易知第8周的命中率最高．（2）由题意可知X～B（5，0.6），则DX=5×0.6×（1-0.6）=1.2．（3）由1-（1-p0）n＞0.99，即1-0.4n＞0.99，得0.4n＜0.01，∴n＞log0.4 0.01==-=≈5.025，故至少要用6枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过0.99．解析：（1）根据古典概型概率公式可得；（2）由题意可知X～B（5，0.6），根据二项分布的方程公式可得．（3）由1-（1-p0）n＞0.99，解得．本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．19.答案：（1）证明：∵AB=BC=2，，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，△ABC为直角三角形．∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，PA⊥AB，△PAB，△PAC均为直角三角形．∵AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB．又PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB，△PBC为直角三角形．故三棱锥P-ABC为鳖臑．（2）解：以B为坐标原点，建立空间直角坐标系B-xyz，如图所示，则A（2，0，0），C（0，2，0），D（1，0，1），则，．设平面ACD的法向量为，则令x=1，则．易知平面PAC的一个法向量为，则．由图可知二面角D-AC-P为锐角，则二面角D-AC-P的余弦值为．解析：（1）证明AB⊥BC，PA⊥BC，PA⊥AB，即可证明BC⊥平面PAB．说明△PBC为直角三角形．推出三棱锥P-ABC为鳖臑．（2）以B为坐标原点，建立空间直角坐标系B-xyz，求出平面ACD的法向量，平面PAC的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角D-AC-P的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.答案：解：（1）由题意可得2b=2，即b=1，∵椭圆的一个焦点在圆（x-2）2+（y-3）2=18上，当y=0时，解得x=-1或x=5，∴c=1或c=5，当c=1时，a2=b2+c2=2，此时椭圆方程为+y2=1，当c=5时，a2=b2+c2=26，+y2=1，（2）椭圆的焦距小于4，则2c＜4，则c＜2，故c=1，此时椭圆方程为+y2=1，此时椭圆的左焦点F（-1，0），设直线l的方程为x=my-1，由，消x可得（m2+2）y2-2my-1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=，①，y1y2=-，②∵，∴（-1-x1，-y1）=3（x2+1，y2），∴y1=-3y2，③，由①②③可得m2=1，∴|AB|=•=•=•=．解析：本题考查椭圆的定义、方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．（1）由题意可得b=1，再根据椭圆的一个焦点在圆（x-2）2+（y-3）2=18上可得c=1或c=5，分类讨论，即可求出椭圆方程，（2）由题意可得椭圆方程为+y2=1，此时椭圆的左焦点F（-1，0），设直线l的方程为x=my-1，根据韦达定理，以及向量的关系可得m2=1，再根据弦长公式即可求出．21.答案：解：（1）∵函数，∴x＞0，则g（x）=，．若a≤-，∵x＞1，∴ln x＞0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，若a＞-，令g′（x）=0，得x=，当1＜x＜时，g′（x）＞0，当x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）的单调递减区间是（，+∞），单调递增区间为（1，）．（2）a≥0，不等式x2f（x）+a≥2-e对x∈（0，+∞）恒成立，∴x lnx-ax+a+e-2≥0对x∈（0，+∞）恒成立，设h（x）=x lnx-ax+a+e-2，则h′（x）=ln x+1-a，令h′（x）=0，得x=e a-1，当x∈（0，e a-1）时，h′（x）＜0，当x∈（e a-1，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）的最小值为h（e a-1）=（a-1）e a-1+a+e-2-ae a-1=a+e-2-e a-1，令t（a）=a+e-2-e a-1，则t′（a）=1-e a-1，令t′（a）=0，得a=1，当a∈[0，1）时，t′（a）＞0，t（a）在[0，1）上单调递增，当a∈[1，+∞）时，t′（a）0，t（a）在[1，+∞）上单调递减，∴当a∈[0，1）时，h（x）的最小值为t（a）≥t（0）=e-2-，当a∈[1，+∞）时，h（x）的最小值为t（a）=a+e-2-e a-1≥0=t（2），∴a的取值范围是[0，2]．解析：本题考查导数的综合应用，考查推理能力和运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．（1）x＞0，．利用分类讨论思想结合导数性质能讨论函数在（1，+∞）上的单调性．（2）推导出x lnx-ax+a+e-2≥0对x∈（0，+∞）恒成立，设h（x）=x lnx-ax+a+e-2，则h′（x）=ln x+1-a，由此利用导数性质，结合分类讨论思想能求出a的取值范围．22.答案：解：（1）由消去α得曲线C的直角坐标方程为：（x-2）2+（y-3）2=1，即x2+y2-4x-6y+12=0，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2得曲线C的极坐标方程为：ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0（2）点A的极坐标为．所以点A的极坐标为A（0，3），|AC|=2，|OC|==，∴|AM==，|ON|===2，∴==2．解析：（1）由消去α得曲线C的直角坐标方程为：（x-2）2+（y-3）2=1，即x2+y2-4x-6y+12=0，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2得曲线C的极坐标方程为：ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0（2）利用勾股定理可得|AM|，|ON|，再求比值．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）证明：若a=1，则，f（|x|）=+1+|x|+2=+|x|+3≥2+3=5，当且仅当x=±1时，等号成立，从而f（|x|）≥5（2）由f（1）＜5a2，得|a+1|+|1+2a|＜5a2，当a≤1时，-3a-2＜5a2，即5a2+3a+2＞0恒成立，则a≤-1；当-1＜a＜-时，-a＜5a2，则-1＜a＜-；当a≥-时，3a+2＜5a2，则-≤a或a＞1，综上，a的取值范围为（-∞，-）∪（1，+∞）解析：（1）利用基本不等式证明f（|x|）≥5；（2）即解不等式|a+1|+|1+2a|＜5a2，再利用分类讨论法解不等式得解．本题主要考查基本不等式，考查利用零点分类讨论法解不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．属中档题．。
河南省郑州市2023届高三三模理科数学试题
河南省郑州市2023届高三三模理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三、解答题17．已知等差数列{}na 的公差不为零，其前n 项和为n S ，且2a 是1a 和5a 的等比中项，()*221N n n a a n =+Î．(1)求数列{}na 的通项公式；(2)若12n a n b +=，令n n n c a b =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．18．某校为了深入学习宣传贯彻党的二十大精神，引导广大师生深入学习党的二十大报告，认真领悟党的二十大提出的新思想、新论断，作出的新部署、新要求，把思想统一到党的二十大精神上来，把力量凝聚到落实党的二十大作出的各项重大部署上来．经研究，学校决定组织开展“学习二十大奋进新征程”的二十大知识竞答活动．本次党的二十大知识竞答活动，组织方设计了两套活动方案：方案一：参赛选手先选择一道多选题作答，之后都选择单选题作答；方案二：参赛选手全部选择单选题作答．其中每道单选题答对得2分，答错不得分；多选题全部选对得3分，选对但不全得1分，有错误选项不得分．为了提高广大师生的参与度，受时间和场地的限制，组织方要求参与竞答的师生最多答3道题．在答题过程中如果参赛选手得到4分或4分以上则立即停止答题，举办方给该参赛选手发放奖品．据统计参与竞答活动的师生有500人，统计如表所示：(1)证明：1BB AC ^；(2)若1BB BC ^，直线1AB 与平面BCC 1BB C --的大小为60°，求二面角20．已知椭圆(2210x y a b +=>>则1(1,0,0)B，1(1,0,0) -C，(1,3,0)B，(D-。
2020年河南省洛阳市高考数学三模试卷(理科)(含答案解析)
2020年河南省洛阳市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，集合，则集合A. B. C. R D.2.已知直线：，直线：，若，则A. B. C. D.3.已知复数z满足，则的最小值为A. 2B. 1C.D.4.已知m，n为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列结论正确的为A. ，，则B. ，，，，则C. ，，，则D. ，，，则5.已知是偶函数，且在上单调递增，则函数可以是A. B.C. D.6.已知圆C：与直线相切，则圆C与直线相交所得弦长为A. 1B.C. 2D.7.已知函数的导函数为，则下列结论中错误的是A. 函数与有相同的值域和周期B. 函数的零点都是函数的极值点C. 把函数的图象向左平移个单位，就可以得到函数的图象D. 函数和在区间上都是增函数8.若某单位员工每月网购消费金额单位：元近似地服从正态分布，现从该单位任选10名员工，记其中每月网购消费金额恰在500元至2000元之间的人数为，则的数学期望为参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．A. B. C. D.9.的展开式中系数为A. 180B. 90C. 20D. 1010.已知锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，且，则的取值范围为A. B. C. D.11.设双曲线E：的左，右焦点分别为，，离心率为e，P在双曲线E的右支上，且，Q为线段，与双曲线E左支的交点，若，则A. B. C. D.12.已知函数，若关于x的方程恰好有6个不相等的实根，则实数m的取值范围是A. B. 0 0，C. D. ，0 0，二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，满足：，，，则向量，的夹角为______．14.已知非负实数x，y满足，则的最大值是______．15.已知直线l经过抛物线C：的焦点F，l与C交于A，B两点，其中点A在第四象限，若，则直线l的斜率为______．16.如图，在三棱锥中，，，，E，F分别是AB，CD的中点．若用一个与直线EF垂直的平面去截该三棱锥．与棱AC，AD，BD，BC分别交于M，N，P，Q四点，则四边形MNPQ面积的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列的首项，其前n项和为，且满足．求证：数列是等比数列；令，求数列的前n项和．18.如图．长方体的底面ABCD为正方形，，，E为棱上一点，，F为棱上任意一点C．求证：；求二面角的余弦值．19.已知平面内动点P与点，连线的斜率之积为．求动点P的轨迹E的方程；过点的直线与曲线E交于P，Q两点，直线AP，AQ与直线分别交于M，N两点．求证：以MN为直径的圆恒过定点．20.某地为鼓励群众参与“全民读书活动”，增加参与读书的趣味性．主办方设计这样一个小游戏：参与者抛掷一枚质地均匀的骰子正方体，六个面上分别标注1，2，3，4，5，6六个数字若朝上的点数为偶数．则继续抛掷一次．若朝上的点数为奇数，则停止游戏，照这样的规则进行，最多允许抛掷3次．每位参与者只能参加一次游戏．求游戏结束时朝上点数之和为5的概率；参与者可以选择两种方案：方案一：游戏结束时，若朝上的点数之和为偶数，奖励3本不同的畅销书；若朝上的点数之和为奇数，奖励1本畅销书．方案二：游戏结束时，最后一次朝上的点数为偶数，奖励5本不同的畅销书，否则，无奖励．试分析哪一种方案能使游戏参与者获得更多畅销书奖励？并说明判断的理由．21.设函数，．若对任意，恒成立，求a的取值集合；设，点，点，直线的斜率为，求证：22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；已知点，点B为曲线C上的动点，求线段AB的中点M到直线l的距离的最大值．并求此时点B的坐标．23.已知a，b，c是正实数，且．求的最小值；求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查了描述法、区间的定义，分式不等式的解法，交集的运算，属于基础题．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：，或，，．故选：A．2.答案：B解析：解：直线：，直线：，若，则，即，所以，所以．故选：B．根据两直线垂直求出与的关系，计算的值，再求的值．本题考查了直线垂直关系应用问题，也考查了三角函数求值问题，是基础题．3.答案：B解析：解：满足的复数z，在以原点为圆心，以1为半径的圆上，表示复数z在复平面内对应的点Z到点的距离，如图所示：由，利用点圆的位置关系，的最小值为，故选：B．满足的复数z，在以原点为圆心，以1为半径的圆上，表示复数z在复平面内对应的点Z到点的距离，再利用数形结合法即可求出结果．本题主要考查了复数的几何意义，以及点与圆的位置关系，是中档题．4.答案：D解析：解：对于A，若，，则或，故A错误；对于B，若，，，，则或与相交，只有加上条件m与n相交时，才有结论，故B错误；对于C，若，，，则或与相交，故C错误；对于D，若，，则，又，则，故D正确．故选：D．由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，逐一核对四个选项得答案．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．5.答案：B解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，，其定义域为R，有，是偶函数，其导数，在区间上，，为减函数，不符合题意；对于B，，其定义域为R，有，是偶函数，其导数，在区间上，，为增函数，符合题意；对于C，，其定义域为R，有，是偶函数，有，但，在上不是增函数，不符合题意；对于D，，其定义域为R，有，是偶函数，有，，在上不是增函数，不符合题意；故选：B．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与在区间上的单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，注意函数奇偶性与单调性的判断方法，属于基础题．6.答案：D解析：解：根据题意，圆C：的半径，圆C：与直线相切，则圆心C到直线的距离为2，直线与平行，两条平行直线的距离，又由圆C与直线相交，则圆心C到直线的距离，则圆C与直线相交所得弦长为；故选：D．根据题意，分析圆C的半径，由直线与圆的位置关系可得圆心C到直线的距离，由平行线间的公式计算直线与之间的距离，分析可得圆心C到直线的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及平行线间的距离以及弦长的计算，属于基础题．7.答案：D解析：解：函数，，对于A，，，两函数的值域相同，都是，周期也相同；A正确；对于B，若是函数的零点，则，；解得，；，，也是函数的极值点，B正确；对于C，把函数的图象向左平移个单位，得，C正确；对于D，时，，是单调增函数，，是单调递减函数，D错误．故选：D．求出函数的导函数，再分别判断、的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了导数的应用问题，是中档题．8.答案：C解析：解：，，，，而随机变量，．故选：C．先根据已知数据，求出和，然后利用正态分布曲线的特点得，而随机变量，最后由二项分布的数学期望求解即可．本题考查正态分布曲线的特点与应用、二项分布的数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．9.答案：A解析：解：展开式的通项公式为；令，解得；令，解得r不存在；故的展开式中系数为：．故选：A．求出展开式的含与项的系数，再计算的展开式中的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．10.答案：C解析：解：因为，由正弦定理可得，，因为，故，因为A为锐角，故A，由题意可得，，解可得，，则．故选：C．由已知结合正弦定理进行化简可求sin A，进而可求A，结合锐角三角的条件可求B的范围，然后结合和差角公式及辅助角公式进行化简后结合正弦函数的性质即可求解．本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，还考查了和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题．11.答案：A解析：解：因为，，所以，，不妨设，则，，根据双曲线定义：，，由得，由，得，又因为，即有，所以，在中，，即，代入得，整理得，则，故选：A．设，根据条件得，，结合双曲线性质，，进行整理可得，再由勾股定理，得到即可．本题考查双曲线的简单性质，考查直线与双曲线的位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．12.答案：C解析：解：当时，，则，令得：，当时，，单调递减；当时，，单调递增，且，，当时，，则，显然，当时，，单调递增；当时，，单调递减，且，故函数的大致图象如图所示：，令，则关于x的方程化为关于t的方程，，方程有两个不相等的实根，设为，，由韦达定理得：，，不妨设，，关于x的方程恰好有6个不相等的实根，由函数的图象可知：，，设，则，解得：，故选：C．利用导数得到函数的单调性和极值，画出函数的大致图象，令，则，由可知方程有两个不相等的实根，设为，，由函数的图象可知：，，设，再利用二次函数的图象和性质列出不等式组即可求出实数m的取值范围．本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及利用导数研究函数的单调性和极值，考查了二次函数的图象和性质，是中档题．13.答案：解析：解：，所以，又，，所以，所以，设向量，的夹角为，则，又，所以．故答案为：．根据平面向量的数量积，求出向量、夹角的余弦值，再求夹角大小．本题考查了平面向量的数量积应用问题，也考查了夹角大小计算问题，是基础题．14.答案：解析：解：的几何意义是可行域内的点与连线的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：则由图象知PA的斜率最大，由，解得则PA的斜率，k的最大值为，故答案为：．作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的公式结合数形结合是解决本题的关键．15.答案：解析：解：的焦点，设直线l的方程为，联立，可得，设A，B的纵坐标分别为，，则，，又，可得，即，由可得，，，，解得，则直线l的斜率为，故答案为：．求得抛物线的焦点和准线方程，设直线l的方程为，联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，再由向量共线的坐标表示，可得，的关系，消去，，可得m的值，进而得到所求直线的斜率．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及向量共线的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16.答案：解析：解：把三棱锥放置在长方体中，如图，，F分别是AB，CD的中点，且平面，可知，，则四边形MNPQ为平行四边形，再由平行线截线段成比例，可得．由已知可求得作侧面两条对角线所成锐角为，则．．当且仅当时上式等号成立．四边形MNPQ面积的最大值为．故答案为：．把三棱锥放置在长方体中，由已知可得四边形MNPQ为平行四边形，再由平行线截线段成比例，可得求出PN与PQ所成角，代入三角形面积公式，再由基本不等式求最值．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的应用，考查“分割补形法”，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．17.答案：解：证明：，当时，，由一得，，，，，即，．又，，，则也适合，数列是以为首项，公比为2的等比数列；解：由知，．，，由得：，．解析：先由，两式相减得，进而证明结论；由可得，，再利用错位相减法求出即可．本题主要考查等比数列的定义、通项公式及错位相减法求和，属于基础题．18.答案：解：证明：，，在长方体中，，，，即，在长方体中，平面，平面，，又，平面，又无论点F位置如何，平面，；如图所示，分别以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，0，，，，0，，，设平面的法向量为y，，，即，令，则，，可得平面的一个法向量为，由可知，平面，所以平面的一个法向量，，即二面角的余弦值．解析：先根据勾股定理可得，结合长方体的性质可得，进而可证平面，再由线面垂直的性质得证；建立空间直角坐标系，求出平面及平面的一个法向量，再利用向量的夹角公式即可得解．本题主要考查线面垂直的判定定理及性质定理的运用，考查利用空间向量求解二面角问题，考查运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．19.答案：解：设点P的坐标为y，则由，得，整理得，即动点P的轨迹E的方程为；证明：当PQ的斜率存在时，设PQ的方程为，与曲线E的方程联立，消去y得．设，，则．直线AP的方程为，令，得，即，同理．，．．线段MN中点的纵坐标为．故以MN为直径的圆的方程为：．令得：，解得或．此时以MN为直径的圆过点和．当轴时，．则以MN为直径的圆的方程为，也过点D，E．以MN为直径的圆恒过点和．解析：设点P的坐标为y，则由可得关于x，y的关系式，得到动点P的轨迹E的方程；当PQ的斜率存在时，设PQ的方程为，与曲线E的方程联立，得到关于x的一元二次方程，写出根与系数的关系，再写出直线APD方程，求得M，N的坐标，结合根与系数的关系得到，求出线段MN中点的坐标，可得以MN为直径的圆的方程，求出以MN为直径的圆过点和验证当轴时成立，可得以MN为直径的圆恒过点和．本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：设事件A：只抛掷 1次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件B：抛掷2次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件C：掷3次结束游戏且朝上点数之和为5，事件A，B，C彼此互斥．则，，游戏结束时朝上点数之和为5，即事件，其概率为．方案一：设获得奖励畅销书的本数为X，，，则X的分布列为：X31P．方案二：设获得奖励畅销书的本数为Y，，则Y的分布列为：Y50P，，选择方案一能使游戏参与者获得更多畅销书奖励．解析：设事件A：只抛掷 1次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件B：抛掷2次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件C：掷3次结束游戏且朝上点数之和为5，事件A，B，C彼此互斥．然后求解概率即可．方案一：设获得奖励畅销书的本数为X，求出概率得到分布列，然后求解期望．通过比较，，推出选择方案一能使游戏参与者获得更多畅销书奖励．本题考查古典概型概率的求法，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力，是中档题．21.答案：解：令，，，分若时，当时，，不符合题意分若，得，得，在上递增，在上递减分分令，在上递减，在上递增，分，，故a的取值集合为分由题意知，点，点，分由知，当时，，分，分而，分解析：令，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到a的取值即可；求出，结合，得到，不等式放缩证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，可得两边平方相加得：，即曲线C的普通方程为：．由可得即直线l的直角坐标方程为．，设点，则点，点M到直线l的距离．当时，的最大值为．即点M到直线l的距离的最大值为，此时点的坐标为解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．23.答案：解：，b，c是正实数，且．所以，当且仅当，即，时等号成立，的最小值为．由柯西不等式可得，即，当且仅当，即，时等号成立，成立．解析：根据a，b，c是正实数，且，可得，然后利用基本不等式求出的最小值即可；由柯西不等式可得，再结合，即可证明成立．本题考查了利用综合法证明不等式，基本不等式和柯西不等式，考查了转化思想，属中档题．。
2020届河南省郑州市高考数学三模试卷(理科)有答案(加精)
2019年河南省郑州市高考第三次模拟考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设命题p：∀x＞0，log2x＜2x+3，则￢p为（）A．∀x＞0，log2x≥2x+3 B．∃x＞0，log2x≥2x+3C．∃x＞0，log2x＜2x+3 D．∀x＜0，log2x≥2x+32．已知复数m=4﹣xi，n=3+2i，若复数∈R，则实数x的值为（）A．﹣6 B．6 C．D．﹣3．已知双曲线+=1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于（）A．B．5 C．7 D．4．已知，则的值等于（）A．B．C．D．5．设集合A={x1，x2，x3，x4}，x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，那么集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为（）A．60 B．65 C．80 D．816．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．7．设实数x，y满足，则2xy的最大值为（）A．25 B．49 C．12 D．248．已知等比数列{a n}，且a6+a8=，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．π2B．4π2C．8π2D．16π29．若实数a、b、c∈R+，且ab+ac+bc+2，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50π B．100πC．200πD．300π12．设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f'（x）=e x，f（2）=，则x∈，求函数h（x）的最小值；（2）对任意x∈=﹣cos（+2θ）=﹣cos2（+θ）=﹣=﹣，解得：sin2（+θ）=，∴=±．故选：B．5．设集合A={x1，x2，x3，x4}，x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，那么集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为（）A．60 B．65 C．80 D．81【考点】1A：集合中元素个数的最值．【分析】将x的取值分为两组：M={0}，N={﹣1，1}，A中的四个元素中有1个取值为0，2个取值为0，个取值为0，4个取值为0，进行分类讨论，由此能求出集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数．【解答】解：集合A={x1，x2，x3，x4}，x i∈{﹣1，0，1}，i={1，2，3，4}，集合A满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”，设M={0}，N={﹣1，1}，①A中的四个元素中有1个取值为0，另外3个从M中取，取法总数有： =32，②A中的四个元素中有2个取值为0，另外2个从M中取，取法总数有： =24，③A中的四个元素中有3个取值为0，另外1个从M中取，取法总数有： =8，④A中的四个元素中有4个取值为0，取法总数有： =1，∴集合A中满足条件“x12+x22+x32+x42≤3”的元素个数为：32+24+8+1=65．故选：B．6．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．这个几何体体积V=+×（）2×2=2+．故选：A．7．设实数x，y满足，则2xy的最大值为（）A．25 B．49 C．12 D．24【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知y≤10﹣2x，则2xy≤2x（10﹣2x）=4x（5﹣x））≤4（）2=25，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故2xy的最大值为25，故选：A．8．已知等比数列{a n}，且a6+a8=，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．π2B．4π2C．8π2D．16π2【考点】67：定积分．【分析】先根据定积分的几何意义求出a6+a8==4π，再根据等比数列的性质即可求出．【解答】解：表示以原点为圆心以4为半径的圆的面积的四分之一，故a6+a8==4π，∴a8（a4+2a6+a8）=a8a4+2a8a6+a82=a62+2a8a6+a82=（a6+a8）2=16π2．故选：D9．若实数a、b、c∈R+，且ab+ac+bc+2，则2a+b+c的最小值为（）A．B．C．D．【考点】RB：一般形式的柯西不等式．【分析】因为（2a+b+c）2=4a2+b2+c2+4ab+2bc+4ca，与已知等式比较发现，只要利用均值不等式b2+c2≥2bc 即可求出结果．【解答】解：∵ab+ac+bc+2，∴a2+ab+ac+bc=6﹣2（6﹣2）×4=（a2+ab+ac+bc）×4=4a2+4ab+4ac+4bc≤4a2+4ab+b2+c2+4ca+2bc=（2a+b+c）2，所以2a+b+c≥2﹣2，故选D．10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y，即可得出此时△FMN的面积S．【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y=±．∴此时△FMN的面积S==．故选：C．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50π B．100πC．200πD．300π【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．故选C．12．设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f'（x）=e x，f（2）=，则x∈=e2﹣=（x﹣2），当x∈．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r，对=p+q两边平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值范围．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=，∴∠BOC=；设|=r，则O为△ABC外接圆圆心；∵=p+q，∴==r2，即p2r2+q2r2+2pqr2cos=r2，∴p2+q2﹣pq=1，∴（p+q）2=3pq+1；又M为劣弧AC上一动点，∴0≤p≤1，0≤q≤1，∴p+q≥2，∴pq≤=，∴1≤（p+q）2≤（p+q）2+1，解得1≤（p+q）2≤4，∴1≤p+q≤2；即p+q的取值范围是．故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a2﹣4bc=0．（1）当a=2，时，求b、c的值；（2）若角A为锐角，求m的取值范围．【考点】HR：余弦定理．【分析】（1）sinB+sinC=msinA（m∈R），利用正弦定理可得：b+c=ma，且a2﹣4bc=0．a=2，时，代入解出即可得出．（2）利用余弦定理、不等式的解法即可得出．【解答】解：（1）由题意得b+c=ma，a2﹣4bc=0．当时，，bc=1．解得．（2）．∴，又由b+c=ma可得m＞0，所以．18．为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标x）、推理（能力指标y）、建模（能力指标z）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x+y+z的值评定学生的数学核心素养；若w≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b，记随机变量X=a﹣b，求随机变量X的分布列及其数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题可知：建模能力一级的学生是A9；建模能力二级的学生是A2，A4，A5，A7，A10；建模能力三级的学生是A1，A3，A6，A8．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出，P（A）．（2）由题可知，数学核心素养一级：A1，A2，A3，A5，A6，A8，数学核心素养不是一级的：A4，A7，A9，A10；X 的可能取值为1，2，3，4，5．利用相互独立事件、互斥事件与古典概率计算公式即可得出P（X=k）及其分布列与数学期望．【解答】解：（1）由题可知：建模能力一级的学生是A9；建模能力二级的学生是A2，A4，A5，A7，A10；建模能力三级的学生是A1，A3，A6，A8．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，则．（2）由题可知，数学核心素养一级：A1，A2，A3，A5，A6，A8，数学核心素养不是一级的：A4，A7，A9，A10；X的可能取值为1，2，3，4， 5.；；；；．∴随机变量X的分布列为：∴=．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF．（1）求证：EF⊥平面BCF；（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）在梯形ABCD中，设AD=CD=BC=1，由题意求得AB=2，再由余弦定理求得AC2=3，满足AB2=AC2+BC2，得则BC⊥AC．再由CF⊥平面ABCD得AC⊥CF，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BCF．进一步得到EF⊥平面BCF；（2）分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（），得到C，A，B，M的坐标，求出平面MAB的一个法向量，由题意可得平面FCB的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ=0时，cosθ有最小值为，此时点M与点F重合．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，设AD=CD=BC=1，又∵，∴AB=2，∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3．∴AB2=AC2+BC2．则BC⊥AC．∵CF⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥CF，而CF∩BC=C，∴AC⊥平面BCF．∵EF∥AC，∴EF⊥平面BCF；（2）解：分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（），则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），∴=（﹣，1，0），=（λ，﹣1，1），设=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，由得，取x=1，则=（1，，），∵=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量，∴cos＜＞==．∵，∴当λ=0时，cosθ有最小值为，∴点M与点F重合时，平面MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为．20．已知圆C1：x2+y2=r2（r＞0）与直线l0：y=相切，点A为圆C1上一动点，AN⊥x轴于点N，且动点M满足，设动点M的轨迹为曲线C．（1）求动点M的轨迹曲线C的方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O，求线段PQ长度的取值范围．【考点】KP：圆锥曲线的范围问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．推出N（x0，0）．通过直线与圆相切，求出圆的方程，然后转化求解曲线C的方程．（2）①假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，通过，以及弦长公式，利用基本不等式求出范围．②若直线l的斜率不存在，设OP所在直线方程为y=x，类似①求解即可．【解答】解：（I）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．∴N（x0，0）．又圆与直线即相切，∴．∴圆．由题意，，得，∴．∴，即∴将代入x2+y2=9，得曲线C的方程为．（II）（1）假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．由求根公式得．（*）∵以PQ为直径的圆过坐标原点O，∴．即．∴x1x2+y1y2=0．即∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．化简可得，．将（*）代入可得，即3m2﹣8k2﹣8=0．即，又．将代入，可得=．∴当且仅当，即时等号成立．又由，∴，∴．（2）若直线l的斜率不存在，因以PQ为直径的圆过坐标原点O，故可设OP所在直线方程为y=x，联立解得，同理求得，故．综上，得．21．已知函数f（x）=（x+a）ln（x+a），g（x）=﹣+ax．（1）函数h（x）=f（e x﹣a）+g'（e x），x∈，求函数h（x）的最小值；（2）对任意x∈上h'（x）≥0，h（x）递增，h（x）的最小值为．②当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在在x∈上h'（x）≥0，h（x）为增函数．∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣e a﹣1+a．③当a﹣1≥1即a≥2时，在上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为，当0＜a＜2时h（x）的最小值为﹣e a﹣1+a，当a≥2时，h （x）最小值为（1﹣a）e+a．（II）设，F'（x）=ln（x﹣1）+1+a（x﹣1）（x≥2）．①当a≥0时，在x∈[2，+∞）上F'（x）＞0，F（x）在x∈[2，+∞）递增，F（x）的最小值为F（2）=0，不可能有f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0．②当a≤﹣1时，令，解得：，此时∴．∴F'（x）在[2，+∞）上递减．∵F'（x）的最大值为F'（2）=a+1≤0，∴F（x）递减．∴F（x）的最大值为F（2）=0，即f（x﹣a﹣1）﹣g（x）≤0成立．③当﹣1＜a＜0时，此时，当时，F''（x）＞0，F'（x）递增，当时，F''（x）＜0，F'（x）递减．∴=﹣ln（﹣a）＞0，又由于F'（2）=a+1＞0，∴在上F'（x）＞0，F（x）递增，又∵F（2）=0，所以在上F（x）＞0，显然不合题意．综上所述：a≤﹣1．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．【解答】解：（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，==．当时，|AB|的最小值为2．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的范围即可；（2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．【解答】解：（1），当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，所以﹣3≤f（x）≤3，∴m≥﹣3；（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣10x+22≤0，∴；当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；综上，原不等式的解集为．。
2020届河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)(有答案)(精品)
河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x﹣x2＞0}，B={x|（x+1）（m﹣x）＞0}，则“m＞1”是“A∩B≠∅”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40 D．503．已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（）A．B．C．D．5．已知，则的值等于（）A．B．C．D．6．已知f'（x）=2x+m，且f（0）=0，函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列的前n项和为S n，则S2017的值为（）A．B．C．D．7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．8．已知等比数列{a n}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．169．若实数a、b、c＞0，且（a+c）•（a+b）=6﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1 B． +1 C．2+2 D．2﹣210．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50π B．100πC．200πD．300π12．已知函数f（x）=，且f=（）A．﹣2014 B．﹣2015 C．﹣2016 D．﹣2017二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m= ．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=a，A=2B，则cosA= ．16．在△ABC中，∠A=，O为平面内一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值范围为．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}是等差数列，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2013年1月1日到 2013年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：组别PM2.5浓度（微克/立方米）频数（天）第一组（0，35] 32第二组（35，75] 64第三组（75，115] 16第四组115以上8（Ⅰ）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=，侧棱AA1=2，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1（λ为实数）．（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E；（2）当λ=时，求多面体C1B﹣ECD的体积．20．已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数h（x）=（x﹣a）e x+a．（1）若x∈，求函数h（x）的最小值；（2）当a=3时，若对∀x1∈，∃x2∈，使得h（x1）≥x22﹣2bx2﹣ae+e+成立，求b的范围．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x﹣x2＞0}，B={x|（x+1）（m﹣x）＞0}，则“m＞1”是“A∩B≠∅”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1）．对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m）＜0，对m与﹣1的大小关系分类讨论，再利用集合的运算性质即可判断出结论．【解答】解：集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1），对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m）＜0，m=﹣1时，x∈∅．m＞﹣1，解得﹣1＜x＜m，即B=（﹣1，m）．m＜﹣1时，解得m＜x＜﹣1，即B=（m，﹣1）．∴“m＞1”⇒“A∩B≠∅”，反之不成立，例如取m=．∴“m＞1”是“A∩B≠∅”的充分而不必要条件．故选：A．2．为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40 D．50【考点】B4：系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的特征，求出分段间隔即可．【解答】解：根据系统抽样的特征，得；从600名学生中抽取20个学生，分段间隔为=30．故选：B．3．已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．【解答】解：z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，∴m﹣1＜0，m+2＞0，解得﹣2＜m＜1．则实数m的取值范围是（﹣2，1）．故选：B4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（）A．B．C．D．【考点】F1：归纳推理．【分析】根据新定义直接判断即可．【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则5288 用算筹可表示为11，故选：C5．已知，则的值等于（）A．B．C．D．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GP：两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用诱导公式即可计算得解．【解答】解：∵，可得：cos（﹣α）=﹣，∴sin[﹣（﹣α）]=sin（+α）=﹣．故选：D．6．已知f'（x）=2x+m，且f（0）=0，函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列的前n项和为S n，则S2017的值为（）A．B．C．D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意可设f（x）=x2+mx+c，运用导数的几何意义，由条件可得m，c的值，求出==﹣，再由数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和．【解答】解：f'（x）=2x+m，可设f（x）=x2+mx+c，由f（0）=0，可得c=0．可得函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为2+m=3，解得m=1，即f（x）=x2+x，则==﹣，数列的前n项和为S n，则S2017=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．故选：A．7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．这个几何体体积V=+×（）2×2=2+．故选：A．8．已知等比数列{a n}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】8G：等比数列的性质．【分析】将式子“a8（a4+2a6+a8）”展开，由等比数列的性质：若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a m a n=a p a q 可得，a8（a4+2a6+a8）=（a6+a8）2，将条件代入得到答案．【解答】解：由题意知：a8（a4+2a6+a8）=a8a4+2a8a6+a82，∵a6+a8=4，∴a8a4+2a8a6+a82=（a6+a8）2=16．故选D．9．若实数a、b、c＞0，且（a+c）•（a+b）=6﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1 B． +1 C．2+2 D．2﹣2【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，将2a+b+c变形可得2a+b+c=（a+c）+（a+b），由基本不等式分析可得2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2，计算可得答案．【解答】解：根据题意，2a+b+c=（a+c）+（a+b），又由a、b、c＞0，则（a+c）＞0，（a+b）＞0，则2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2=2（﹣1）=2﹣2，即2a+b+c的最小值为2﹣2，故选：D．10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y，即可得出此时△FMN的面积S．【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y=±．∴此时△FMN的面积S==．故选：C．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50π B．100πC．200πD．300π【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．故选C．12．已知函数f（x）=，且f=（）A．﹣2014 B．﹣2015 C．﹣2016 D．﹣2017【考点】3T：函数的值．【分析】推导出函数f（x）=1++，令h（x）=，则h（x）是奇函数，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，=1++=1++，令h（x）=，则h（﹣x）=﹣+=﹣h（x），即h（x）是奇函数，∵f=2016，∴h=1+h（﹣2017）=1﹣h13．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为 4 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），化目标函数z=x+2y为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为4．故答案为：4．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m= ．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求得m的值．【解答】解：∵，，向量，的夹角为30°，∴=m+3=•2•cos30°，求得，故答案为：．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=a，A=2B，则cosA= ．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简可得cosB=，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵A=2B，∴sinA=sin2B=2sinBcosB，∵b=a，∴由正弦定理可得： ===2cosB，∴cosB=，∴cosA=cos2B=2cos2B﹣1=．故答案为：．16．在△ABC中，∠A=，O为平面内一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值范围为．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r，对=p+q两边平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值范围．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=，∴∠BOC=；设|=r，则O为△ABC外接圆圆心；∵=p+q，∴==r2，即p2r2+q2r2+2pqr2cos=r2，∴p2+q2﹣pq=1，∴（p+q）2=3pq+1；又M为劣弧AC上一动点，∴0≤p≤1，0≤q≤1，∴p+q≥2，∴pq≤=，∴1≤（p+q）2≤（p+q）2+1，解得1≤（p+q）2≤4，∴1≤p+q≤2；即p+q的取值范围是．故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}是等差数列，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）设等差数列的公差为d，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项即可求出公差d，再写出通项公式即可，（2）化简b n根据式子的特点进行裂项，再代入数列{b n}的前n项和S n，利用裂项相消法求出S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．∴（2+2d）2=（3+3d）（2+d），解得d=2，∴a n=a1+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n，（2）b n====（﹣），∴S n=（﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）=（+﹣﹣）=﹣18．2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2013年1月1日到 2013年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：组别PM2.5浓度（微克/立方米）频数（天）第一组（0，35] 32第二组（35，75] 64第三组（75，115] 16第四组115以上8（Ⅰ）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；B3：分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）由这120天中的数据中，各个数据之间存在差异，故应采取分层抽样，计算出抽样比k后，可得每一组应抽取多少天；（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2，列举出从6天任取2天的所有情况和满足恰有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）这120天中抽取30天，应采取分层抽样，抽样比k==，第一组抽取32×=8天；第二组抽取64×=16天；第三组抽取16×=4天；第四组抽取8×=2天（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2．所以6天任取2天的情况有：AB，AC，AD，A1，A2，BC，BD，B1，B2，CD，C1，C2，D1，D2，12，共15种记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A，其中符合条件的有：A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，共8种所以，所求事件A的概率P=19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=，侧棱AA1=2，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1（λ为实数）．（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E；（2）当λ=时，求多面体C1B﹣ECD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LX：直线与平面垂直的性质．（1）由已知可得CD⊥AB．再由AA1⊥平面ABC，得AA1⊥CD．利用线面垂直的判定可得CD⊥平面ABB1A1．进【分析】一步得到CD⊥B1E；（2）当λ=时，．再由△ABC是等腰直角三角形，且斜边，得AC=BC=1．然后利用结合等积法得答案．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，点D为AB的中点，∴CD⊥AB．∵AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD．又∵AA1⊂平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，AA1∩AB=A，∴CD⊥平面ABB1A1．∵点E在线段AA1上，∴B1E⊂平面ABB1A1，∴CD⊥B1E；（2）解：当λ=时，．∵△ABC是等腰直角三角形，且斜边，∴AC=BC=1．∴，，∴．20．已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】KS：圆锥曲线的存在性问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）判断轨迹方程是椭圆，然后求解即可．（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，利用，求得m=﹣1．推出结果即可．【解答】解：（1）由题意得，∴点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆∵，∴点M的轨迹C的方程为．（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立可得9（1+2k2）x2+12kx﹣16=0．由求根公式化简整理得，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，则即．∵，===．∴求得m=﹣1．因此，在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．21．已知函数h（x）=（x﹣a）e x+a．（1）若x∈，求函数h（x）的最小值；（2）当a=3时，若对∀x1∈，∃x2∈，使得h（x1）≥x22﹣2bx2﹣ae+e+成立，求b的范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出极值点x=a﹣1．通过当a≤0时，当0＜a＜2时，当a≥2时，利用函数的单调性求解函数的最小值．（2）令，“对∀x1∈，∃x2∈，使得成立”等价于“f（x）在上的最小值不大于h（x）在上的最小值”．推出h（x）min≥f（x）min．通过①当b≤1时，②当1＜b＜2时，③当b≥2时，分别利用极值与最值求解b的取值范围．【解答】解：（1）h'（x）=（x﹣a+1）e x，令h'（x）=0得x=a﹣1．当a﹣1≤﹣1即a≤0时，在上h'（x）≥0，函数h（x）=（x﹣a）e x+a递增，h（x）的最小值为．当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在x∈上h'（x）≥0，h（x）为增函数．∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣e a﹣1+a．当a﹣1≥1即a≥2时，在上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为，当a≥2时h（x）的最小值为（1﹣a）e+a，当0＜a＜2时，h（x）最小值为﹣e a﹣1+a．（2）令，由题可知“对∀x1∈，∃x2∈，使得成立”等价于“f（x）在上的最小值不大于h（x）在上的最小值”．即h（x）min≥f（x）min．由（1）可知，当a=3时，h（x）min=h（1）=（1﹣a）e+a=﹣2e+3．当a=3时，，x∈，①当b≤1时，，由得，与b≤1矛盾，舍去．②当1＜b＜2时，，由得，与1＜b＜2矛盾，舍去．③当b≥2时，，由得．综上，b的取值范围是．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．【解答】解：（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，==．当时，|AB|的最小值为2．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的范围即可；（2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．【解答】解：（1），当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，所以﹣3≤f（x）≤3，∴m≥﹣3；（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣10x+22≤0，∴；当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；综上，原不等式的解集为．。
2020年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科) (含答案解析)
2020年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|y=ln(x−1)}，B={0,1，2，3}，则A∩B=()A. {0}B. {2,3}C. {1,2，3}D. {0,1，2，3}2.若z=−2+3ii(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部是()A. 2iB. −2iC. −2D. 23.函数e|x|3x的部分图象可能是()A. B.C. D.4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos A=bsin A，且B>π2，则sin A+sin C 的最大值是()A. √2B. 98C. 1 D. 785.已知|a⃗|=1,|b|=6,a⃗⋅(b⃗ −a⃗ )=2则向量a⃗与b⃗ 的夹角为()A. π2B. π3C. π4D. π66.下列说法正确的是()A. “f(0)=0”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件B. 若p：∃x0∈R，x02−x0−1>0，则¬p：∀x∈R，x2−x−1<0C. “若α=π6，则sinα=12”的否命题是“若α≠π6，则sinα≠12”D. 若p∧q为假命题，则p,q均为假命题7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为()A. 2√5+4√2+10B. 43 C. 83D. 1638. 已知直线y =kx +m(k >0)与抛物线C ：y 2=4x 及其准线分别交于M ，N 两点，F 为抛物线的焦点，若3FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则m 等于( ) A. −√2 B. −2√2 C. −2√3 D. −2√69. 函数f(x)={ax 2+1,x ≥0(a +2)e ax ,x <0为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A. (0,+∞)B. [−1,0)C. (−2,0)D. (−∞,−2)10. 将函数的图象向右平移π6个单位长度可得函数g(x)的图象，若函数g(x)的图象关于原点对称，则|φ|的最小值为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π611. 函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意的x ∈R ，都有2f′(x)>f(x)成立，则( )A. 3f(2ln2)>2f(2ln3)B. 3f(2ln2)<2f(2ln3)C. 3f(2ln2)=2f(2ln3)D. 3f(2ln2)与2f(2ln3)的大小不确定12. 如图，F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线分别交于点A ，B ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的渐近线的斜率为( )A. ±√3B. ±2C. ±√6D. ±√2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若x ，y 满足约束条件{1≤x +y ≤2x ≥0y ≥0，则z =2x +y 的最大值为______ ．14. 如图是甲、乙两人在10天中每天加工零件个数的茎叶图，若这10天甲加工零件个数的中位数为a ，乙加工零件个数的平均数为b ，则a +b =______．15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cosA =13，a =√2，b =√32，则sinB =______ 16. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2+n ，则a 3+a 4=______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的首项为a 1=1，且a n+1=2(a n +1)(n ∈N ∗)．(Ⅰ)证明数列{a n +2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)若b n =log 2(a n+1+23)，求数列{1bn b n+1}的前n 项和T n ．18. 进入12月以来，某地区为了防止出现重污染天气，坚持保民生、保蓝天，严格落实机动车限行等一系列“管控令”，该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的2×2列联表：赞同限行不赞同限行合计没有私家车9020110有私家车7040110合计16060220 (Ⅰ)根据上面的列联表判断，能否有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车”有关；(Ⅱ)为了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出2名进行电话回访，求抽到的2人中至少有1名“没有私家车”人员的概率．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k)0.100.050.0100.0050.001 k 2.706 3..841 6.6357.87910.82819.如图，四棱锥A−BCDE中，侧面ABC⊥底面BCDE，△ABC是等边三角形，BE//CD，BC⊥CD，BC=CD=2BE=2，F是棱AD的中点．(1)证明：EF⊥平面ACD；(2)求三棱锥D−ACE的体积．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且椭圆经过点M(−√2,1)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l与圆O：x2+y2=1相切，与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值．21.已知函数f(x)=ln(x+a)−x2−x在x=0处取得极值．(1)求实数a的值;(2)若关于x的方程f(x)=−52x+b在区间[0,2]上有两个不同的实根，求实数b的取值范围．22.已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+t21−t2y=t1−t2(t为参数).以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ+π3)=√54．(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；(2)若直线l交曲线C于A，B两点，交x轴于点P，求1|PA|+1|PB|的值．23.已知函数f(x)=|2x−4|+a|x+1|，a>0．(1)若a=1，求关于x的不等式f(x)≤7的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≥3恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A={x|x>1}；∴A∩B={2,3}．故选：B．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：D解析：解：∵z=−2+3ii =(−2+3i)(−i)−i2=3+2i，∴复数z的虚部是2．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的解析式，利用函数图象的特点进行排除是解决本题的关键．属于中档题.根据函数解析式，分别从对称性，单调性以及函数取值进行排除即可．解：函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=e3<1，排除A，当x→+∞时，e|x|3x→+∞，排除D，故选：C．4.答案：B解析：本题主要考查三角函数的化简和求值，利用正弦定理求出C的大小是解决本题的关键．根据正弦定理求出角B和A的关系，利用辅助角公式即可得到结论．解：∵acosA=bsinA，∴由正弦定理可得sinAcosA=sinBsinA,∴cosA=sinB,∴A=B−π2,C=3π2−2B，∴sinA+sinC=sin(B−π2)+sin(3π2−2B)=−2cos2B−cosB+1,当cosB=−14,(sinA+sinC)max=98，故选B．5.答案：B解析：本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量数量积的运算，属于基础题．由条件求得a⃗⋅b⃗ =3，再由cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=31×6=12，求得向量a⃗与b⃗ 的夹角．解：由于a⃗⋅(b⃗ −a⃗ )=a⃗⋅b⃗ −a⃗2=2，所以a⃗⋅b⃗ =3，所以cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=31×6=12，所以<a⃗,b⃗ >=π3，故选B．6.答案：C解析：本题考查了命题真假的判断问题，是基础题．根据充分必要条件、复合命题、含量词命题的真假判断对选项中的命题分析、判断正误即可．解：A.f(0)=0时，函数f(x)不一定是奇函数，如f(x)=x2，x∈R；函数f(x)是奇函数时，f(0)不一定等于0，如f(x)=1x，x≠0；是既不充分也不必要条件，故A错误；B.命题p：∃x0∈R，x02−x0−1>0，则￢p：∀x∈R，x2−x−1≤0，故B错误；C.若α=π6，则sinα=12的否命题是“若α≠π6，则sinα≠12”，故C正确．。
2020年许昌、新乡、平顶山高考数学理科三模试卷含答案解析
2020年河南省许昌、新乡、平顶山三市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z1=﹣1+3i，z2=1+i，则=（）A．﹣1﹣i B．1+i C．1﹣i D．﹣1+i2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.453．如图所示的程序框图，当输入n=50时，输出的结果是i=（）A．3 B．4 C．5 D．64．函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．f（x）的递增区间是（2kπ﹣，2kπ+），k∈ZB．函数f（x﹣）是奇函数C．函数f（x﹣）是偶函数D．f（x）=cos（2x﹣）5．某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）A．54 B．60 C．66 D．726．经过原点并且与直线x+y﹣2=0相切于点（2，0）的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y+1）2=2 B．（x+1）2+（y﹣1）2=2 C．（x﹣1）2+（y+1）2=4 D．（x+1）2+（y﹣1）2=47．已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣78．设函数f（x）对x≠0的实数满足f（x）﹣2f（）=3x+2，那么f（x）dx=（）A．﹣（+2ln2）B． +2ln2 C．﹣（+ln2）D．﹣（4+2ln2）9．下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，使e＜x0+1成立B．a，b，c∈R，a3+b3+c3=3abc的充要条件是a=b=cC．对∀x∈R，使2x＜x2成立D．a，b∈R，a＞b是a|a|＞b|b|的充要条件10．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=011．在由数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有（）A．372 B．180 C．192 D．30012．设x∈（1，+∞），在函数f（x）=的图象上，过点P（x，f（x））的切线在y轴上的截距为b，则b的最小值为（）A．e B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分.共20分．13．若x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是_______．14．如图，△ABC中，=2，=m，=n，m＞0，n＞0，那么m+2n的最小值是_______．15．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+（﹣1）n a n=2n，其前n项和为S n，则_______．16．设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a的范围是_______．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（1）若a=2，b=，求c；（2）若sin（2A﹣）﹣2sin2（C﹣）=0，求A．18．某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：信息生物化学物理数学技术周一周三周五根据上表：（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=AD，E是线段AB的中点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）试问线段PB上是否存在点F，使二面角C﹣DE﹣F的余弦值为？若存在，确定点F的位置；若不存在，说明理由．20．设A1（﹣2，0），A2（2，0），P是动点，且直线A1P与A2P的斜率之积等于﹣．（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）设轨迹E的左右焦点分别为F1，F2，作两条互相垂直的直线MF1和MF2与轨迹E的交点分别为A，B和C，D，求证： +恒为定值．21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣2x，．（1）设h（x）=f（x+1）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求h（x）的单调区间；（2）设k∈Z，当x＞1时，不等式k（x﹣1）＜xf（x）+3g′（x）+4恒成立，求k的最大值．[选修4-1；几何证明选讲]22．如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（1）证明：△ABE∽△ADC；（2）若△ABC的面积S=AD•AE，求∠BAC的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线C1：（t为参数），圆C2：（θ为参数）（1）当α=时，求C1被C2截得的线段的长；（2）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，当α变化时，求A点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．[选修4-5；不等式选讲]24．选修4﹣5：不等式选讲（Ⅰ）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；（Ⅱ）设f（x）=x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a|+1）．2020年河南省许昌、新乡、平顶山三市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z1=﹣1+3i，z2=1+i，则=（）A．﹣1﹣i B．1+i C．1﹣i D．﹣1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把复数z1=﹣1+3i，z2=1+i代入，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z1=﹣1+3i，z2=1+i，∴==．故选：C．2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p 的值．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则有题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．3．如图所示的程序框图，当输入n=50时，输出的结果是i=（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=57时满足条件S＞50，退出循环，输出i的值为6．【解答】解：模拟执行程序，可得n=50，S=0，i=1第一次执行循环体，S=1，i=2不满足条件S＞50，执行循环体，S=4，i=3不满足条件S＞50，执行循环体，S=11，i=4不满足条件S＞50，执行循环体，S=26，i=5不满足条件S＞50，执行循环体，S=57，i=6满足条件S＞50，退出循环，输出i的值为6．故选：D．4．函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．f（x）的递增区间是（2kπ﹣，2kπ+），k∈ZB．函数f（x﹣）是奇函数C．函数f（x﹣）是偶函数D．f（x）=cos（2x﹣）【考点】余弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，结合所给的选项，得出结论．【解答】解：根据函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象，可得•=+，求得ω=2．再根据五点法作图可得，2•+φ=0，求得φ=﹣，故f（x）=cos（2x﹣）．令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得f（x）的递增区间是（kπ﹣，kπ+），k∈Z，故A错误．∵f（x﹣）=cos[2（x﹣）﹣]=cos（2x﹣），是非奇非偶函数，故B错误．f（x﹣）=cos[2（x﹣）﹣]=cos（2x﹣）=sin2x，是奇函数，故C错误．故选：D．5．某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为（）A．54 B．60 C．66 D．72【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断各面的形状及相关几何量的数据，把数据代入面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，∵AB⊥平面BEFC，∴AB⊥BC，BC=5，FC=2，AD=BE=5，DF=5∴几何体的表面积S=×3×4+×3×5+×4+×5+3×5=60．故选：B．6．经过原点并且与直线x+y﹣2=0相切于点（2，0）的圆的标准方程是（）A．（x﹣1）2+（y+1）2=2 B．（x+1）2+（y﹣1）2=2 C．（x﹣1）2+（y+1）2=4 D．（x+1）2+（y﹣1）2=4【考点】圆的标准方程．【分析】设出圆心坐标与半径，根据题意列出方程组，解方程组求出圆心与半径即可．【解答】解：设圆心的坐标为（a，b），则a2+b2=r2①，（a﹣2）2+b2=r2②，=1③；由①②③组成方程组，解得a=1，b=﹣1，r2=2；故所求圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+1）2=2．故选：A．7．已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7【考点】等比数列的性质；等比数列的通项公式．【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选D8．设函数f（x）对x≠0的实数满足f（x）﹣2f（）=3x+2，那么f（x）dx=（）A．﹣（+2ln2）B． +2ln2 C．﹣（+ln2）D．﹣（4+2ln2）【考点】定积分；函数解析式的求解及常用方法．【分析】先将x代换成，求出f（x），再求定积分的值．【解答】解：设函数f（x）对x≠0的实数满足f（x）﹣2f（）=3x+2，让x和互换得，联立求得f（x）=﹣x﹣﹣2f（x）dx==（）=﹣（）故答案为：A9．下列命题中，真命题是（）A．∃x0∈R，使e＜x0+1成立B．a，b，c∈R，a3+b3+c3=3abc的充要条件是a=b=cC．对∀x∈R，使2x＜x2成立D．a，b∈R，a＞b是a|a|＞b|b|的充要条件【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据特称命题的定义进行判断，B．根据充分条件和必要条件的定义进行判断，C．根据全称命题的定义进行判断，D．根据充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：A．设f（x）=e x﹣x﹣1，则f′（x）=e x﹣1，当f′（x）＞0时，x＞0，当f′（x）＜0时，x＜0，即当x=0时，函数f（x）取得极小值同时也是最小值f（0）=1﹣0﹣1=0，即f（x）≥f（0）=0，即e x﹣x﹣1≥0，则e x≥x+1恒成立，故A错误，B．a3+b3+c3﹣3abc=（a+b）3﹣3ab（a+b）+c3﹣3abc=[（a+b）3+c3]﹣3ab（a+b+c）=（a+b+c）[（a+b）2﹣c（a+b）+c2]﹣3ab（a+b+c）=（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca）=0，则a+b+c=0，或a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc=0，则2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc=0，∴（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，∵（a﹣b）2≥0，（a﹣c）2≥0，（b﹣c）2≥0，∴只有（a﹣b）2=0，（a﹣c）2=0，（b﹣c）2=0，∴a=b=c．故a3+b3+c3=3abc的充要条件是a=b=c或a+b+c=0，故B错误，C．当x=0时，2x＜x2不成立，故C错误，D．设f（x）=x|x|=，则函数f（x）为增函数，则，a＞b是a|a|＞b|b|的充要条件，故D正确，故选：D10．设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C，【解答】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=∴双曲线渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0故选C11．在由数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有（）A．372 B．180 C．192 D．300【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，用排除法，首先计算所有符合条件的4位数的数目，再计算其中可以被5整除的，即末位数字是0或5的四位数的数目，进而相减可得答案．【解答】解：根据题意，用排除法，不能被5整除实质上是末位数字不是0或5，则可以在全部符合条件的四位数中排除末位数字是0或5的即可；所有4位数有A51•A53=300个，末位为0时有A53=60个，末位为5时有A41•A42=4×12=48个，则不能被5整除的数共有有300﹣60﹣48=192个；故选：C．12．设x∈（1，+∞），在函数f（x）=的图象上，过点P（x，f（x））的切线在y轴上的截距为b，则b的最小值为（）A．e B．C．D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，可得切线斜率，由直线的斜率公式可得b=，x＞1．再由导数，求得单调区间和极小值，即为最小值．【解答】解：函数f（x）=的导数为f′（x）=，当1＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）递增，当x＞e时，f′（x）＜0，f（x）递减．则x=e时，f（x）取得最大值．过点P（x，f（x））的切线斜率为f′（x）=，即有=，化简可得b=，x＞1．b′==，当x＞e2时，b′＞0，函数b递增；1＜x＜e2时，b′＜0，函数b递减．则当x=e2时，函数b取得极小值，也为最小值，且为．故选D．二、填空题：本大题共4小题，每题5分.共20分．13．若x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是[﹣3，0]．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，推出三角形的三个点的坐标，直接求出z=x﹣y的范围．【解答】解：约束条件，表示的可行域如图，由解得A（0，3）、由解得B（0，）、由解得C（1，1）；结合函数的图形可知，当直线y=x﹣z平移到A时，截距最大，z最小；当直线y=x﹣z平移到B时，截距最小，z最大所以z=x﹣y在A点取得最小值，在C点取得最大值，最大值是1﹣1=0，最小值是0﹣3=﹣3；所以z=x﹣y的范围是[﹣3，0]．故答案为：[﹣3，0]14．如图，△ABC中，=2，=m，=n，m＞0，n＞0，那么m+2n的最小值是3．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】用表示出，根据三点共线得出m，n的关系，利用基本不等式得出m+2n的最小值．【解答】解：（）==+．∵D，E，F三点共线，∴．∴m=．∴m+2n====（[3n﹣2）+]+．∵（3n﹣2）+≥2，∴m+2n≥=3．故答案为：3．15．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+（﹣1）n a n=2n，其前n项和为S n，则1009．【考点】数列的求和．=4n﹣2．于是a2n+1+a2n 【分析】由a1=1，a n+1+（﹣1）n a n=2n，可得：a2n+1+a2n=4n，a2n﹣a2n﹣1=2，a2n+2+a2n=8n+2．利用“分组求和”即可得出．﹣1【解答】解：∵a1=1，a n+1+（﹣1）n a n=2n，∴a2﹣a1=2，可得a2=3．=4n﹣2．a2n+1+a2n=4n，a2n﹣a2n﹣1=2，a2n+2+a2n=8n+2．∴a2n+1+a2n﹣1∴S2020=（a1+a3）+（a5+a7）+…+（a2020+a2020）+（a2+a4）+…+（a2020+a2020）=1008+（8×1+2）+（8×3+2）+…+（8×1007+2）=1008+8×+2×504=1008×2020，∴==1009．故答案为：1009．16．设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a的范围是．【考点】函数零点的判定定理．【分析】分别设h（x）=2x+a，g（x）=（x+a）（x+2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．【解答】解：设h（x）=2x+a，g（x）=（x+a）（x+2a），若在x＜1时，h（x）=2x+a与x轴有一个交点，则a＜0，并且当x=1时，h（1）=2+a＞0，﹣2＜a＜0，而函数g（x）=（x+a）（x+2a）有一个交点，所以﹣2a≥1，且﹣a＜1，∴﹣1；当a≤﹣2时，在（﹣∞，﹣1）上，h（x）=2x+a与x轴无交点，函数g（x）=（x+a）（x+2a）在x∈[1，+∞）上有两个交点（﹣2a，0），（﹣a，0）．当a≥0时，函数h（x）=2x+a在x＜1时，与x轴没有交点，函数g（x）=（x+a）（x+2a）在x∈[1，+∞）上与x轴无交点．综上所述a的取值范围是．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（1）若a=2，b=，求c；（2）若sin（2A﹣）﹣2sin2（C﹣）=0，求A．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知等式，利用正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简可得tanB=，从而可求cosB，利用余弦定理即可解得c的值．（2）由降幂公式，三角形内角和定理，诱导公式，两角差的正弦函数公式化简等式可得2sin（2A﹣）﹣1=0，及，可得A的值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵a=bcosC+csinB，∴sinA=sinBcosC+sinCsinB=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，∴cosBsinC=sinCsinB，∴tanB=，∴∠B=．∵b2=a2+c2﹣2accosB，∴c2﹣2c﹣3=0，∴c=3．（2）∵B=．∴sin（2A﹣）﹣2sin2（C﹣）=sin（2A﹣）﹣1+cos（2C﹣）=sin（2A﹣）+cos（﹣2A﹣）﹣1=sin（2A﹣）﹣cos（2A﹣）﹣1=2sin（2A﹣）﹣1，∴由2sin（2A﹣）﹣1=0，及，可得A=．18．某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表：信息生物化学物理数学技术周一周三周五根据上表：（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由题意设数学辅导讲座在周一，周三，周五都不满座位事件A，则有独立事件同时发生的概率公式即可求得；（2）由于题意可以知道随机变量ξ的可能值为0，1，2，3，4，5，利用随见变量的定义及相应的事件的概率公式即可求得随机变量每一个值下的概率，并列出其分布列，再有期望定义求解．【解答】解：（1）设数学辅导讲座在周一，周三，周五都不满座位事件A，则P（A）=（1﹣，（2）由题意随机变量ξ的可能值为0，1，2，3，4，5，P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=，P（ξ=4）=，P （ξ=5）=，所以随机变量的分布列为：故Eξ=．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°，AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=AD，E是线段AB的中点．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）试问线段PB上是否存在点F，使二面角C﹣DE﹣F的余弦值为？若存在，确定点F 的位置；若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）利用线面垂直的性质可得AD⊥PE，利用等边三角形的性质可得：PE⊥AB．利用线面垂直的判定定理可得PE⊥平面ABCD．则PE是四棱锥P﹣ABCD的高．再利用三棱锥的体积计算公式即可得出；（2）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角公式即可得出．【解答】（1）证明：因为AD⊥侧面PAB，PE⊂平面PAB，所以AD⊥PE．又因为△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，所以PE⊥AB．因为AD∩AB=A，所以PE⊥平面ABCD．所以PE是四棱锥P﹣ABCD的高．由DA=AB=2，，可得BC=1．因为△PAB是等边三角形，可求得．所以．（2）解：以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz．则A（0，1，0），E（0，0，0），B（0，﹣1，0），C（1，﹣1，0），D（2，1，0），P（0，0，）．设，则．设=（x，y，z）为平面DEF的法向量，，所以．设平面CDE的法向量为=（0，0，1）．．化简得3λ2+2λ﹣1=0．解得．所以存在点F，且．20．设A1（﹣2，0），A2（2，0），P是动点，且直线A1P与A2P的斜率之积等于﹣．（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）设轨迹E的左右焦点分别为F1，F2，作两条互相垂直的直线MF1和MF2与轨迹E的交点分别为A，B和C，D，求证： +恒为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设P（x，y），由题意得，由此能求出动点P的轨迹E的方程．（2）设直线AB的方程为y=k（x+2），则直线CD的方程为y=﹣（x﹣2），与椭圆联立，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣8=0，由韦达定理、弦长公式得到|AB|，同理可得|CD|，由此能证明+恒为定值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）设P（x，y），∵A1（﹣2，0），A2（2，0），P是动点，且直线A1P与A2P 的斜率之积等于﹣，∴由题意得，化简得，且x．故动点P的轨迹E的方程为，且x．证明：（2）设直线AB的方程为y=k（x+2），则直线CD的方程为y=﹣（x﹣2）．由，消去y得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣8=0．由韦达定理得：，，∴|AB|==．同理可得|CD|=．∴=+=．∴+恒为定值．21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣2x，．（1）设h（x）=f（x+1）﹣g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求h（x）的单调区间；（2）设k∈Z，当x＞1时，不等式k（x﹣1）＜xf（x）+3g′（x）+4恒成立，求k的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）分离参数得到k＜+2，对任意x＞1恒成立，令g（x）=+2，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出k的最大值即可．【解答】解：（1）h（x）=f（x+1）﹣g′（x）=ln（x+1）﹣x+2，x＞﹣1，所以h′（x）=﹣1=，当﹣1＜x＜0时，h′（x）＞0；当x＞0时，h′（x）＜0，因此，h（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减．（2）不等式k（x﹣1）＜xf（x）+3g′（x）+4，化为k＜+2，所以k＜+2，对任意x＞1恒成立．令g（x）=+2，则g′（x）=，令h（x）=x﹣lnx﹣2，（x＞1），则h′（x）=1﹣=＞0，所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．因为h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4），当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，所以函数g（x）=+2在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，所以[g（x）]min=g（x0）=+2=+2=x0+2∈（5，6），所以k＜[g（x）]min=x0+2∈（5，6），故整数k的最大值是5．[选修4-1；几何证明选讲]22．如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（1）证明：△ABE∽△ADC；（2）若△ABC的面积S=AD•AE，求∠BAC的大小．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）要判断两个三角形相似，可以根据三角形相似判定定理进行证明，但注意观察已知条件中给出的是角的关系，故采用判定定理1更合适，故需要再找到一组对应角相等，由圆周角定理，易得满足条件的角．（2）根据（1）的结论，我们可得三角形对应对成比例，由此我们可以将△ABC的面积转化为S=AB•AC，再结合三角形面积公式，不难得到∠BAC的大小．【解答】证明：（1）由已知△ABC的角平分线为AD，可得∠BAE=∠CAD因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB=∠ACD故△ABE∽△ADC．解：（2）因为△ABE∽△ADC，所以，即AB•AC=AD•AE．又S=AB•ACsin∠BAC，且S=AD•AE，故AB•ACsin∠BAC=AD•AE．则sin∠BAC=1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC=90°．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线C1：（t为参数），圆C2：（θ为参数）（1）当α=时，求C1被C2截得的线段的长；（2）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，当α变化时，求A点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）联立两个解析式，得到交点，利用两点距离公式得到截得线段的长．（2）由A对应的参数，得到的参数方程，由此得到普通方程．【解答】解：（1）当a=时，C1的普通方程为y=（x﹣1），C2的普通方程为x2+y2=1．联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0）与（，﹣）．所以，C1被C2截得的线段的长为1．（2）将C1的参数方程代C2的普通方程得t2+2tcosα=0，∴A点对应的参数t==﹣cosα，∴A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα）．故当α变化时，A点轨迹的参数方程为：（α为参数）．因此，A点轨迹的普通方程为（x﹣）2+y2=．故A点轨迹是以（，0）为圆心，半径为的圆．[选修4-5；不等式选讲]24．选修4﹣5：不等式选讲（Ⅰ）解不等式：|2x﹣1|﹣|x|＜1；（Ⅱ）设f（x）=x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，求证：|f（x）﹣f（a）|＜2（|a|+1）．【考点】绝对值不等式；二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）分x＜0、、三种情况，分别去掉绝对值，求出不等式的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）根据|f（x）﹣f（a）|=|x2﹣x﹣a2+a|=|x﹣a|•|x+a﹣1|＜|x+a﹣1|=|x﹣a+2a﹣1|≤|x﹣a|+|2a﹣1|＜1+|2a|+1，证得结果．【解答】解：（Ⅰ）当x＜0时，原不等式可化为﹣2x+x＜0，解得x＞0，又∵x＜0，∴x不存在．当时，原不等式可化为﹣2x﹣x＜0，解得x＞0，又∵，∴．当时，原不等式可化为2x﹣1﹣x＜1，解得x＜2，又∵，∴．综上，原不等式的解集为{x|0＜x＜2}．（Ⅱ）∵f（x）=x2﹣x+1，实数a满足|x﹣a|＜1，故|f（x）﹣f（a）|=|x2﹣x﹣a2+a|=|x﹣a|•|x+a﹣1|＜|x+a﹣1|=|x﹣a+2a﹣1|≤|x﹣a|+|2a ﹣1|＜1+|2a|+1=2（|a|+1）．∴|f（x）﹣f（a）|＜2（|a|+1）．2020年9月8日。
2020年高考理科数学(全国卷Ⅲ真题)——(含答案和解析)
8.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）
A. 6+4 B. 4+4 C. 6+2 D. 4+2
9.已知2tanθ–tan(θ+ )=7，则tanห้องสมุดไป่ตู้=（）
A. –2B. –1C. 1D. 2
10.若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（）
A.y=2x+1B.y=2x+ C.y= x+1D.y= x+
【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形
根据立体图形可得：
根据勾股定理可得：
是边长为 的等边三角形
根据三角形面积公式可得：
该几何体的表面积是： .
故选：C.
【点睛】本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积问题，解题关键是掌握根据三视图画出立体图形，考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 中元素的个数为（）
A.2B.3C.4D.6
2.复数 的虚部是（）
A. B. C. D.
3.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为 ，且 ，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）
，
因此， .
故选：D.
【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.
7.在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则cosB=（）
A. B. C. D.