幂级数习题课
无穷级数习题课含解答
无穷级数习题课1.判别级数的敛散性:（1）（2）（3）（4）（5）()211ln1nn n¥=+å()41tan1nn p¥=+å363663666-+-++×××+-++×××++×××21sinlnnnnp¥=æö+ç÷èøå()211lnnnn n¥=--å解：（1）为正项级数，当时， ，根据比较审敛准则，与有相同敛散性，根据积分审敛准则，与反常积分有相同敛散性， 而发散，故发散.()211ln 1n n n ¥=+ån ®¥()2111~2ln ln 1n u n n n n =+()211ln 1n n n ¥=+å21ln n n n ¥=å21ln n n n¥=å21ln dx x x +¥ò21ln dx x x +¥ò()211ln 1n n n ¥=+å（2）为正项级数，当时，，而收敛，根据比较审敛准则，收敛.()41tan 1n n p¥=+ån ®¥()422421tan1tan~21n u n n n n npp p =+-=++211n n ¥=å()41tan1n n p¥=+å（3）为正项级数， 令，其中，易证单调递增且，故收敛;令，由，两边取极限得，，（舍去）;，，根据达朗贝尔比值审敛法，该级数收敛.363663666-+-++×××+-++×××++×××3n n u a =-666n a =++×××+{}n a 3n a <{}n a lim n n a a ®¥=16n n a a -=+6a a =+Þ260a a --=3a =2a =-111113311333n n n n n n n a a u u a a a +++++-+=×=-++1111lim lim 136n n n nn u u a +®¥®¥+==<+（4）看成交错级数，单调递减趋于0，根据Leibniz 定理，该级数收敛； 其绝对值级数发散（这是因为当时，，而且），故级数条件收敛. ()2211sin 1sin ln ln n n n n n n p ¥¥==æö+=-ç÷èøåå1sin ln n ìüíýîþ21sin ln n n ¥=ån ®¥11sin ~ln ln n n 1lim ln n n n®¥×=+¥(5)为交错级数，其绝对值级数为，当时，， 所以，该级数绝对收敛.()211ln nn n n¥=--å211ln n n n ¥=-ån ®¥2211~ln n n n-2. 设，且，证明级数条件收敛. ()01,2,n u n ¹= lim 1n nn u ®¥=()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå证明：设级数的部分和为，则 ，因为，所以，于是 ，即级数收敛；其绝对值级数为，因为， 所以级数发散，故原级数条件收敛.()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøån s ()()211223111111111111n n n n n n n s u u u u u u u u ---+æöæöæöæö=+-+++-++-+ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø()111111n n u u -+=+-lim1n nn u ®¥=()()1111111lim 1lim 101n n n n n n n u u n --®¥®¥+++-=-×=+()1111111lim lim 1n n n n n s u u u -®¥®¥+éù=+-=êúëû()111111n n n n u u ¥-=+æö-+ç÷èøå1111n n n u u ¥=++å11111lim lim 21n n n n n n n n nn u u u u n ®¥®¥+++×+=+×=+1111n n n u u ¥=++å3. 填空(1) _____(2) 设幂级数在处收敛, 则级数__收敛__.(收敛还是发散)(3) 设幂级数在处条件收敛，则幂级数在处（ 绝对收敛 ），在处（ 发散 ）； (4)设,, ,则________;________.11(1)2n n n -¥=-=å130(1)nn n a x ¥=-å12x =-0(1)n n n a ¥=-å1()nn x a n ¥=-å2x =-1()2nn n x a ¥=+åln 2x =-x p =11,02()1,12x f x x x ì£<ïï=íï ££ïî1()sin nn s x bn xp ¥==å102()sin n b f x n xdx p =ò3()2s =34-5()2s =344. 求幂级数的收敛域2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 解：令，原级数变为变量t的幂级数.因为，所以收敛半径.又时级数发散，时级数收敛， 故收敛域为;再由，解得, 原函数项级数的收敛域为.122xt x +=-21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå ()11sin21limlim 11sin2n n n nn a a n+®¥®¥+==1R =1t=21sin 2n n ¥=å1t=-()211sin 2nn n ¥=-å21sin 2n n t n ¥=æöç÷èøå [)1,1-12112x x +-££-133x -£<2112sin 22nn x n x ¥=+æöæöç÷ç÷-èøèøå 13,3éö-÷êëø5.求下列级数的和函数（1） （2）221212n n n n x ¥-=-å()()()201123!nn n n x n ¥=-++å解：（1）.令，，所以收敛半径. 当时，级数发散，所以幂级数的收敛域为.设级数的和函数为，对幂级数逐项积分得，， 对上式两边求导得， .221212n n n n x ¥-=-å212n n n a -=11lim 2n n n a a +®¥=1212R ==2x =±()2,2D =-()s x ()212200112122n xx n n n n n n x s x dx x dx -¥¥-==-==ååòò222212xx x x ==--()2,2x Î-()()2222222x x s x x x ¢+æö==ç÷-èø-()2,2x Î-（2）. 易求该幂级数的收敛域为；设级数的和函数为，，， 两边取积分，逐项求积分得， ()()()201123!nnn n x n ¥=-++å(),-¥+¥()s x ()()()()201123!nn n n s x xn ¥=-+=+å()()()()2101123!nn n n xs x x n ¥+=-+=+å()()()()()()21220000111123!223!nnxx n n n n n xs x dx x dx x n n ¥¥++==-+-==++ååòò当时，，求导得 ， 当时，由所给级数知.因此. 0x ¹()()()()230111sin 223!2nxn n xs x dx x x x x n x¥+=-==-+åò()2sin 1sin cos 22x x x x xxs x x x ¢--æö==ç÷èø()3sin cos 2x x x s x x -=0x =()106s =()3sin cos ,021,06x x xx xs x x -ì¹ïï=íï=ïî6.求级数的和.()22112n n n ¥=-å解：考虑幂级数，收敛区间，设和函数为， 则当且时,，. ()2211nn x n ¥=-å()1,1-()s x 11x -<<0x ¹()()222211121211nnnn n n x x s x x n n n ¥¥¥=====--+-ååå112212121n n n n x x x n x n -+¥¥===--+åå11220121212n n n n x x x x x n x n -+¥¥==æö=---ç÷-+èøåå()11ln 12224x x x x æö=--++ç÷èø()2211311153ln ln 2242288412nn s n ¥=æö==++=-ç÷-èøå()()211ln 1ln 1222x x x x x x éù=-------êúëû7.设，试将展开成的幂级数.()111ln arctan 412x f x x x x +=+--()f x x 解：，取0到x 的定积分，幂级数逐项求积分， .()241111111114141211f x x x x x¢=++-=-+-+-44011n n n n x x ¥¥===-=åå()11x -<<()()()4410111041xx nn n n f x f f x dx x dx x n ¥¥+==¢=+==+ååòò1x <8.设在上收敛，试证：当时，级数必定收敛. ()0nn n f x a x ¥==å[]0,1010a a ==11n f n ¥=æöç÷èøå证明: 由已知在上收敛，所以，从而有界. 即存在，使得 ，所以，；级数收敛，根据比较审敛准则，级数绝对收敛.()0n n n f x a x ¥==å[]0,1lim 0n n a ®¥={}n a 0M>n a M£()1,2,n = 0123232323111111f a a a a a a n n n n n n æö=++++=++ç÷èø()2231111111n M M M n n n n næö£++==ç÷-èø- ()2n ³()211n n n ¥=-å11n f n ¥=æöç÷èøå9.已知为周期是的周期函数，（1）展开为傅立叶级数； （2）证明；（3）求积分的值.[)2(),0,2f x x x p =Î2p ()f x ()1221112n n np -¥=-=å()10ln 1x dx x +ò解：（1）在处间断，其它点处都连续.所以由Dirichlet 收敛定理，时，级数收敛于，所以当时，有，亦即：.()f x ()20,1,2,x k k p ==±± ()()22220011183a f x dx f x dx x dx pppp pp pp-====òòò222022014cos ,14sin ,1,2,n n a x nxdx n b x nxdx n npp p p p ====-=òò ()()221414cos sin 20,1,2,3n f x nx nx x k k nn p p p ¥=æö=+-¹=±±ç÷èøå ()22214114cos sin ,0,23n x nx nx x nn p p p ¥=æö=+-Îç÷èøå()20,1,2,x k k p ==±± ()()2002022f f p p ++-=()20,1,2,x k k p ==±± 222141423n np p ¥=+=å22116n n p ¥==å（2）是连续点，所以即：;x p =()f x 2221414cos ,3n n np p p ¥==+å()221112nn n p¥=-=-å()1221112n n n p-¥=-Þ=å（3）积分是正常积分，不是瑕点， 对，令，.()10ln 1x dx x +ò0x=()1,1t "Î-()()()()111112000111ln 1111n n n tt tn n nn n n x dx x dx x dx tx n nn---¥¥¥--===+---===åååòòò1t -®()10ln 1x dx x +ò()01ln 1lim t t x dx x -®+=ò()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()12111lim n n t n t n --¥®=-=å()1221112n n np -¥=-==å10.证明下列展开式在上成立：（1）；（2）.并证明. []0,p ()221cos 26n nxx x n pp ¥=-=-å()()()31sin 21821n n xx x n p p¥=--=-å()()133113221n n n p -¥=-=-å证明：将函数展开为余弦级数和正弦级数.（1） 对作偶延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的余弦级数处处收敛于.,()()f x x x p =-[]0,x p Î()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022a f x dx x x dx ppp p p==-òò23202233x x pp p p æö=-=ç÷èø, ,所以在上，.()()022cos cos n a f x nxdx x x nxdx ppp p p==-òò()()()()200022sin 2sin 2cos x x nx x nxdx x d nx n n pppp p p ppéù=---=-êúëûòò()2211nn éù=--+ëû()()202112cos 11cos 26n n n n a f x a nx nx n p ¥¥==éù=+=--+ëûåå221cos 26n nxnp ¥==-å[]0,x p Î[]0,p ()221cos 26n nxx x n p p ¥=-=-å(2)对作奇延拓，再作周期延拓，得到的周期函数处处连续，根据Dirichlet 定理，时，的正弦级数处处收敛于. , ()f x []0,x p Î()f x ()f x ()()0022sin sin n b f x nxdx x x nxdx p pp p p ==-òò()()()()200022cos 2cos 2sin x x nx x nxdx x d nx n n p p p p p p p p éù=----=-êúëûòò()3411n n p éù=--ëû, 所以在上，. 令，有. ()()3114sin 11sin n n n n f x b nx nx n p ¥¥==éù==--ëûåå()()31sin 21821n n x n p ¥=-=-å[]0,x p Î[]0,p ()()()31sin 21821n n xx x n p p ¥=--=-å2x p =()()23181sin 214221n n n p p p ¥==--åÞ()()133113221n n n p -¥=-=-å。
高数 第六章
1 2 1 3 n 1 x ln(1 + x ) = x x + x L + ( 1) +L 2 3 n x ∈ (1,1]
(1 + x)α = 1 +αx +
n
α(α 1)
2!
x +L+
2
α(α 1)L(α n + 1)
n!
xn +L
x ∈(1,1)
二、典型例题
例1
判断级数敛散性: (1)
∑
n=1
∞
n
1 n+ n
1n (n + ) n
1 n
;
1 n
解
n nn n , un = = 1 n 1 n (1 + 2 ) (n + ) n n
1 1 n 1 n2 n Q lim(1 + 2 ) = lim[(1 + 2 ) ] = e 0 = 1; n→ ∞ n→ ∞ n n 1 1 1 n x lim n = lim x = exp{lim ln x } n→ ∞ x →∞ x →∞ x
6、幂级数
(1) 定义
的级数称为幂级数 幂级数. a n ( x x 0 ) n 的级数称为幂级数 ∑
n= 0 ∞
形如
当x0 = 0时,
an xn ∑
n=0
∞
为幂级数系数. 其中a n 为幂级数系数
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 称为幂级数的收敛半径 定义: 正数 称为幂级数的收敛半径 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. 收敛区间
n→∞
收 , 其 数 敛 且 和s ≤ u1 ,其 项n 的 对 rn ≤ un+1. 余 r 绝 值
级数的概念与性质
第十一章 无穷级数教学内容目录 ：本章主要内容 ：常数项级数 ：无穷级数及其收敛与发散的定义，无穷级数的基本性质，级数收敛 的必要条件，几何级数，调和级数， P 级数，正项级数的比较审敛法和比值审敛法， 交错级数，莱布尼兹定理，绝对收敛和条件收敛。
幂级数 ：幂级数概念，阿贝尔( Abel )定理，幂级数的收敛半径与收敛区间，幂 级数的四则运算，和的连续性、逐项积分与逐项微分。
泰勒级数，函数展开为幂级数 的唯一性，函数( e x 、sin x 、cos x 、ln(1+x) 、(1+x) m 等)的幂级数展开式，幂级数在近 似计算中的应用举例， “欧拉( Euler )公式。
函数项级数 ：函数项级数的一般概念，收效域及和函数。
教学目的与要求 ：10、 掌握应用 e x ,sinx,cox,en(1+x) 和(1+x) u 的马克劳林(Maclaurin )展开式 将一些简单的的函数间接展开成幂级数的方法。
11、 了解函数展开为傅里叶( Fourier )级数的狄利克雷( Dirchet )条件，会将 定义在(-n , n)上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在(-n , n)上的函数展 开为正弦或余弦级数。
1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必 要条件。
掌握几何级数和P —级数的收敛性。
掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。
理解交错级数的审敛法(莱布尼兹定理) 。
了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。
了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性可不作要求) 。
了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。
了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
2、3、4、5、6、7、8、9、本章重点与难点 ：重点:正项级数的审敛法；将一些简单的的函数间接展开成幂级数 难点：应用逐项积分、逐项微分的性质求和函数、本章计划学时 ：16 学时（ 2节习题课）作业：通过精讲多练 ,启发式教学 , 讨论式教学 ,重点讲授重点、难点，自学部分内容 , 课堂讨论 ,结合习题课及多媒体教学培养学生的比较熟练的运算能力、逻辑推理的能 力及抽象思维能力 , 推荐学生阅读相关文献培养学生自学能力 .教学手段 ：课堂讲授、习题课、讨论，同时结合多媒体教学推荐阅读文献 ：1. 高等数学同步辅导 （下）（ 第十一章） 主编 同济大学应用数学系 彭舟 航空工业出版社（ 第十一章） 主编 大学数学名师导学丛书编写组中国水利水电出版社（ 第十一 章） 主编 北京大学数学科学学院 机械工业出版社习题 11－1： 2(2、 4) 、3(2) 、4(1 、3、5)习题 11－2： 1(1、 3、 5）、2（2、4）、3（1、3、4）、4（1、3、5）、5（1、3、5） 习题 11－3： 1(1、 3、 5、6、8）、 2(1、3) 习题 11－4： 1、 2(2 、 3、5） 、 4、 习题 能力培养及措施 :11－7： 1(1 、3) 、 2(1) 、4、2. 高等数学名师导学 （下）3. 高等数学双博士课堂§ 11-1 常数项级数的概念和性质问题的提出一一计算半径为 R 圆的面积 用内接正3X 2n 边形的面积逐步逼近圆面积: 正六边形面积A e a ：,正十二边形面积A e a i + a 2 ,正 3x2n 形面积 A ~ a i + a 2 + ......... + a n若内接正多边形的边数n 无限增大，则和a i + a 2 +……+a n 的极限就是所要求的圆 面积A 。
二元函数的全微分
讲授
2
2
16
10-2数项级数的审敛法（二）
10-3幂级数
讲练
讲授
2
2
17
10-3幂级数的性质
10-4函数的幂级数展开（一）
讲练
讲授
2
2
18
10-4函数的幂级数展开（二）
第10章 习 题 课
讲练
讲练
2
2
19
总复习
辅导答疑
4
20
期末考试
教师签字教研室主任签字
系部主任签字
烟台职业学院
课程教学进度计划表
11
9-3二元函数的全微分
9-4二元复合函数求导法则
讲练
讲练
２
2
12
9-4二元隐函数求导法则
9-5二元函数的极值(9.5.1)
讲授
讲练
2
2
13
9-6二重积分的概念与性质
9-7二重积分的计算(利用直角坐标)
讲练
讲练
２
2
14
第9章 习 题 课
10-1数项级数的概念
讲练
讲练
2
2
15
10-1数项级数的性质
10-2数项级数的审敛法（一）
讲练
4
9
运动会“五一”节
10
9-2偏导数
9-2偏导数(续)
讲练
讲授
2
2
说明
1．本表由任课教师根据课程教学大纲的要求，在开课前填写，一式三份，经教研室主任签字、系部主任审批后，系部、教研室和任课教师各一份。
2．认真填写下列内容
周数17周课时4课时
课堂讲授课堂讨论４课时
实习课实训课
数学分析讲义(第五版)课件
设z
zn x2, 幂级数 n1 n 32n
的收敛半径为
R
1
lim
n
n
|
n
32n
|
9 lim n
n
1
n 32n
9,
从而 x2 z 9时原级数收敛, x2 z 9 原级数发
散,
所以
n1
n
x2n 32n
的收敛半径为
R
3.
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方法2 应用柯西-阿达玛定理 (n 奇数时, an 0), 由于
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一、幂级数的收敛区间
幂级数的一般形式为
an( x x0 )n a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2
n0
an( x x0 )n ,
(1)
为方便起见, 下面将重点讨论 x0 0 , 即
an xn a0 a1 x a2 x2 an xn
an
xn1 .
0
n0 n 1
证 由定理14.7, 级数(2), (7), (8)具有相同的收敛半
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径R. 因此,对任意一个 x (R, R) , 总存在正数 r, 使得|x| < r < R, 根据定理14.4, 级数(2), (7)在[-r, r]上 一致收敛.再由第十三章§2的逐项求导与逐项求积 定理, 就得到所要证明的结论(i)与(ii). 注 由本定理立即可以得到幂级数在其收敛区间上 可以逐项求导和逐项求积. (并没有要求在其收敛区 间上一致收敛!)
上一致收敛.
对于一般幂级数(1)的收敛性问题, 可仿照上述的办
法来确定它的收敛区间和收敛半径. 请看例子.
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例5 级数
微积分练习题
一、单项选择题（1）函数()f x 在0x x =处连续是()f x 在0x x =处可微的（ ）条件.A.充分B.必要C.充分必要D.无关的 （2）当0x →时，()21x e -是关于x 的（ ）A.同阶无穷小B.低阶无穷小C.高阶无穷小D.等价无穷小（3）2x =是函数()222x xf x x -=-的（ ）.A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点 （4）函数()2f x x=及其图形在区间()1,+∞上（ ）. A.单调减少上凹 B.单调增加上凹 C.单调减少上凸 D.单调增加上凸（5）设函数()2; 1;1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =处可导，则（ ）A. 0,1a b ==B. 2,1a b ==-C. 3,2a b ==-D.1,2a b =-=（6）设()f x 为可微函数，则在点x 处，当0x ∆→时，y dy ∆-是关于x ∆的（ ）A. 同阶无穷小B. 低阶无穷小C. 高阶无穷小D. 等价无穷小 （7）设()1;012;12x x f x x x -<≤⎧=⎨-<≤⎩在1x =处为（ ）A. 连续点B. 可去型间断点C. 跳跃型间断点D. 无穷型间断点 二、填空题（1）()12lim 1sin x x →+=（2）已知xy xe =，n 为自然数，则()n y=（3）曲线ln y x =上经过点（1，0）的切线方程是：y =（4）2x f dx ⎛⎫'= ⎪⎝⎭⎰（5）已知()2xt G x e dt -=⎰，则()0G '=（6）曲线22sin y x x =+上点（0，0）处的法线方程为 （7）已知()32f '=，则()()33lim2x f x f x→--=（8）()=+∞→1!sin lim 32n n n n （9）已知()f x 的一个原函数为cos x ，则()f x '=（10）() 122 1sin 5x x x dx -+=⎰三、计算题1. 011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭2. 231lim 2x x x x +→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭3. 设ln tan 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy 4. 设()()sin ln xy y x x +-=确定y 是x 的函数，求0x y ='5. ()sin y f x =，其中f 具有二阶导数，求22d ydx6. 23225x dx x x --+⎰7. 18.22ππ-⎰9.1 ln eex x dx ⎰10. ()011lim ln 1x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦11. arctan x xdx ⎰12.13.4⎰14.求0,8y x y ===所围成的图形分别绕y 轴及直线4x =旋转所得的旋转体体积.15. 222x y a +=绕直线x a =旋转的旋转体的体积.四、应用题（1）已知销售量Q 与价格P 的函数关系Q = 10000－P ，求销售量Q 关于价格P 的弹性函数. （2）设某工厂生产某产品的产量为Q 件时的总成本()21500081000C Q Q Q =+-元，产品销售后的收益()2120500R Q Q Q =-元，国家对每件产品征税2元，问该工厂生产该产品的产量为多少件时才能获得最大利润？最大利润是多少？ 五、证明题1.设()f x 在区间[0，1]上可微，且满足条件()()1212f xf x dx =⎰，试证：存在()0,1ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=§8.1向量及其线性运算（1）、（2）、（3）、（4）一、设2,2u a b c v a b c =-+=++，试用,,a b c 表示24u v -．二、,,a b c 为三个模为1的单位向量，且有0a b c ++=成立，证明：,,a b c 可构成一个等边三角形．三、把△ABC 的BC 边四等分，设分点依次为123D D D 、、，再把各分点与点A 连接，试以AB c BC a ==、表示向量12D A D A 、和3D A ．四、已知两点()11,2,3M 和()21,2,1M --，试用坐标表示式表示向量12M M 及123M M -．五、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？并画出前两个：()1,1,1A ，()2,1,1B -，()2,3,4C ---，()3,4,5D --．六、指出下列各点的位置，观察其所具有的特征，并总结出一般规律：)0,4,3(A ，)3,0,4(B ，)0,0,1(-C ，)0,8,0(D ．七、求点(),,x y z 关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标．§8.1向量及其线性运算（5） §8.2数量积 向量积一、 试证明以三点()()()10,1,64,1,92,4,3A B C -、、为顶点的三角形是等腰直角三角形．二、设已知两点()()124,0,3M M 和，计算向量12M M 的模、方向余弦和方向角，并求与12M M 方向一致的单位向量．三、 设234,4223m i j k n i j k p i j k =++=-+=-++及，求232a m n p =+-在x 轴上的投影及在z 轴上的分向量． 四、 已知,,a b c 为三个模为1的单位向量，且0a b c ++=，求a b b c c a ++之值．五、已知23,a i j k b i j k c i j =++=--=+和，计算：()()()1a b c a c b -； ()()()2a b b c +⨯+； ()()3a b c ⨯．六、 设()()2,1,3,1,2,1a b =-=--，问λμ和满足何关系时，可使a b λμ+与z 轴垂直？七、 已知()1,2,3OA =，()2,1,1OB =-，求△AOB 的面积．§8.3曲面及其方程一、 一动点与两定点()()1,2,33,0,7和等距离，求这动点的轨迹方程．二、 方程2222460x y z x y z ++-+-=表示什么曲面？三、 将xoz 平面上的双曲线224936x z -=分别绕x 轴及z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．四、 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形？ 1.24y x =+； 222.326x y -=．五、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？2221.226x y z ++=； ()2222.z a x y +=+．六、指出下列方程所表示的曲面：2221.22x y z+-=；2222.33x y z--=；223.345x y z+=．§8.4空间曲线及其方程 §8.5平面及其方程(1)一、填空题：1．曲面22x y +-209z =与平面3z =的交线圆的方程是 ，其圆心坐标是 ，圆的半径为 ．2．曲线222221(1)(1)1x y x y z ⎧+=⎪⎨+-+-=⎪⎩在yoz 面上的投影曲线为 ． 3．螺旋线cos x a θ=,sin y a θ=,z b θ=在yoz 面上的投影曲线为 ．4．上半锥面z =（01z ≤≤）在xoy 面上的投影为 ，在xoz 面上的投影为 ，在面上的投影为 ．二、选择题：1．方程22149x y y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在空间解析几何中表示 ． （Ａ）、椭圆柱面 （Ｂ）、椭圆曲线 （Ｃ）、两个平行平面 （Ｄ）、两条平行直线2．参数方程cos sin x a y a z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩的一般方程是 ．（Ａ）、222x y a += (B)、cos z x a b = (C)、sin z y a b = (D)、cos sin z x a b zy a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3．平面20x z -=的位置是 ． （Ａ）、平行xoz 坐标面。
高等数学 幂级数
即∫ s( x)dx = ∫ (∑an xn )dx
0 0 n=0
∞
x
x
an n+1 x . = ∑∫ an x dx = ∑ 0 n=0 n + 1 n=0
x n
∞
(收敛半径不变 收敛半径不变) 收敛半径不变 四川职业技术学院数学教研室
第八章 无穷级数 无穷级数
∞
课题二十四 幂级数
（2）幂级数 ）
函数项级数的部分和 s n ( x ), lim sn ( x ) = s( x ) 余项
n→ ∞
rn ( x ) = s( x ) − sn ( x )
n→ ∞
lim rn ( x ) = 0
(x在收敛域上 在收敛域上) 在收敛域上
函数项级数在某点x的收敛问题 的收敛问题,实质上是数 注意 函数项级数在某点 的收敛问题 实质上是数 项级数的收敛问题. 项级数的收敛问题 四川职业技术学院数学教研室
n n
n
∞
∞
x ∈ (− R, R )
n= 0
n= 0
(其中 cn = an ± bn ) 其中
四川职业技术学院数学教研室
第八章 无穷级数 无穷级数
课题二十四 幂级数
∞
∞
(2) 乘法
( ∑ a n x ) ⋅ ( ∑ bn x ) =
n n n=0 n= 0 ∞
cn x n . ∑
n= 0
x ∈ (− R , R )
∑a ( x − x ) 的级数称为幂级数.
n n=0 n 0
n
当x0 = 0时,
∑an x n= n=0
∞ n= 0
∞
, 其中 an为幂级数系数 幂级数系数.
洛朗级数
解
(3) 将函数在每个解析环内分别展开
①当 时， 0 |z| 1
Hale Waihona Puke 1 1 f (z) 1 z 2 z
1 2
1 1 1 z 2
1 z 1 2
z n 1 1 n z n (1 n1 ) z n . 2 n 0 2 2 n 0 n 0
内是处处解析的, 试把 f (z) 在区域内展开成洛朗级数. 解
1 1 f (z) , (1 z ) ( 2 z )
1 2
盐城工学院基础部应用数学课程组
1) 在 0 z 1内,
y
z 由于 z 1 , 从而 1 o 1 x 2 1 则 1 z z2 zn 1 z 1 1 1 1 z z2 zn 1 2 n 2 z 2 1 z 2 2 2 2 2 2 1 z z 2 所以 f ( z ) (1 z z ) 1 2 2 4 1 3 7 2 z z 2 4 8
盐城工学院基础部应用数学课程组
问题分析
1 1 , 从而可得 由 |z| 1 有 |z| 1 1 1 1 1 1 2 3 . 1 1 z z z z z 1 z
这样一来，在整个复平面上就有
1 1 z z 2 , ( | z | 1) ; 1 z 引入负幂次 1 1 1 1 2 3 , ( | z | 1) . 1 z z z z
盐城工学院基础部应用数学课程组
sin z 在 z0 0 的去心邻域内展开成 例2 将函数 z 洛朗级数.
解
sin z f (z) z
课件：函数展开成幂级数
n1
n n1 n
(1)n1 3n xn( 1 x 1 )
n1
n
3
3
22
思考：
如何将下列函数 展开成 x 的幂级数.
（1）f
(
x)
ln
1 1
x x
（2）f (x) ln(1 x x2 )
23
例10. 将f (x) arcsinx 展开x的幂级数。
解: 因为 f ( x) (arcsin x) 1
12
对应
m
1 2
,
1 2
,1
的二项展开式分别为
1 x 1 1 x 1 x2 13 x3 135 x4 2 24 246 2468
( 1 x 1)
1 1
x
1
1 2
x
13 24
x2
135 246
x3
1 3 5 7 2468
x4
( 1 x 1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn
1
x
1 x2 2!
1 x3 3!
1 xn n!
其收敛半径为
R lim
n
1 n!
1 (n 1)!
对任何有限数 x , 其余项满足
e xn1 e x (n 1)!
n
( 在0与x 之间)
故 ex 1 x 1 x2 1 x3 1 xn ,
2! 3!
n!
7
例2. 将
展开成 x 的幂级数.
解: f (n) (x)
•
ln(1
x)
xln221xn211n13[x13(14 x234)n] xn
(1)n (n321
xxn132)
x (1, 1]
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(下册)复习笔记及课后习题和考研真题详解(无穷级数)【圣才出品】
设 un 和 vn 都是正项级数，且 un≤vn（n＝1，2，…）。若级数 vn 收敛，则级
n1
n 1
n 1
数 un 收敛；反之，若级数 un 发散，则级数 vn 发散。
n1
n1
n 1
推论：设 un 和 vn 都是正项级数，如果级数 vn 收敛，且存在正整数 N，使当
n1
n 1
n 1
x
s
0
t dt
x 0
n0
ant n
dt
n0
x 0
ant ndt
n0
an n 1
xn1
xI
逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
（3）幂级数 an xn 的和函数 s（x）在其收敛区间（－R，R）内可导，且有逐项求导 n0
公式
s x
n0
an xn
n≥N 时有 un≤kvn（k＞0）
成立，则级数 un 收敛；如果级数 vn 发散，且当 n≥N 时有 un≥kvn（k＞0）成立，则
n1
n 1
级数 un 发散。 n1
②比较审敛法的极限形式
设 un 和 vn 都是正项级数，则：
n1
n 1
a．如果
lim
n
un vn
l
0 l
，且级数 vn 收敛，则级数 un 收敛；
n 1
n1
b．如果
lim
n
un vn
l
0
或
lim
n
un vn
，且级数 vn
n 1
发散，则级数 un
n1
发散。
③比值审敛法（达朗贝尔判别法）
设
un
n1
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幻灯片 1 幂级数习题课
一. 求收敛区间或收敛域例1:求幂级数13(2)nnnxn的收敛半径与收敛域． 解：133lim1nnnnn3,1
,3R收敛半径为
12,3x收敛区间57
33x即
将53x代入原幂级数得1(1)nnn收敛， 将73x代入原幂级数得11nn发散
幻灯片 2 所以，收敛域为57,33．
例2:求幂级数111nnnixi的收敛域. 解:11,nniai设limnna注意到,有
1nnaa111nna1 , ( )n
1,x时11nnixi
0,
( 1 , 1 ).收敛域为
幻灯片 3 二. 函数展开
例3:把函数2xxeeshx展开成x的幂级数. 解:xe
231,2!3!!nxxx
xnx
xe23(1 )1,2!3!!nnxxxxn
||x
xxee
35212 3!5!(21)!nxxxxn
2xxeeshx
210,(21)!nnxn
(,)x 幻灯片 4 (与sinx的展开式210sin(1)(21)!nnnxxn比较)
例4:展开函数2()cosfxx 解:2cosx
1
(1cos2)2x
cos2x20(2)( 1 )(2)!nnnxn204( 1 )(2)!nnn
nxn
(,)x因此,
2cosx
2014 1(1)2(2)!nnn
nxn
20114(1)22(2)!nnn
nxn
2114(1)2(2)!nnn
nxn
(,)x
幻灯片 5 例5:展开函数26()1xfxx.
解:11x231(1)nnxxxx
||1x因此,
261xx
28142062(1 ),nnxxxxx
|| 1.x
幻灯片 6 例6:把函数()ln(5)fxx展开成(2)x的
幂级数.
解:ln(1)x
231( 1 )23nnxxxxn
11( 1 ),nnnxn
(1,1]x
而ln(5)xln(72)x
2ln1ln77x
11(2)(1 )ln7,7nnnnxn
(5 , 9 ]x 幻灯片 7 函数展开式应用举例
1. 近似计算 例7:计算积分210xIedx, 精确到0.0001.
解:2xe
20(1 ),!n
n
nxn
(,).x
因此, 2100(1 )!nn
nxdxn
01(1 )(21)!nnnn
上式最后是Leibniz型级数，其余和的绝对值不超过余和首项的绝对值。为使
11(21)!1000nn
幻灯片 8 可取7n. 故从第０项到第６项这前7项
之和达到要求的精度.于是210xIedx
1111111352769241112013720
10.333330.100000.023810.004630.000760.000110.7468
幻灯片 9 2. 利用展开式求高阶导数.
例8：设sin, 0,()1 , 0.xxfxxx 证明对() , (0)nnf存在并求其值. 解：sinx
210(1),(21)!nnnxn
(,)x
0,x时()fx
sinx
x20(1)(21)!n
n
nxn
211(1)(21)!nn
nxn
幻灯片 10
直接验证，可知上式当0x时也成立。
因此在( , )内，有
()fx211(1),(21)!nn
nxn
(,)x
函数()fx作为x的幂级数的和函数， 对() , (0)nnf存在，且
()(0)nf
(1)(2)! , 2,(21)! 0 , 21 .mmnmmnm
0 , 1 , 2 ,m
即()(1 ) , 2,(0)21 0 , 21mnnmfmnm
0 , 1 , 2 ,m
幻灯片 11 三.幂级数求和
原理:对某些幂级数，有可能利用初等运算或微积运算以及变量代换化为已知的函数展开式
(特别是化为函数11x和xe的展开式)借以求和
例9：求幂级数1nnxn的和函数并求级数1123nnnn和Leibniz级数11(1 )nnn
的和.
解：幂级数1nnxn的收敛域为[1 , 1 ),
幻灯片 12 设和函数为()Sx,则在( 1 , 1 )内有
()Sx11nnx
1,1x
(0)0,S注意到 ( 1 , 1 ),:x则对有
()Sx()(0)SxS
0()xStdt
01xdtt
ln(1)x
又()Sx在点1x连续， 于是在区间[1 , 1 )内上式成立。即有 幻灯片 13 1nnxn
ln(1),x[1,1)x
取23x，有 1123nnnn
11223nnn
223S
2ln3
取1x，有 11(1 )nnn
1(1 )nnn
(1)Sln2.
幻灯片 14 例10：求幂级数1nnnx的和函数.并利用该幂
级数的和函数求幂级数2113nnnnx的和函数以及数项级数1112nnn的和. 解：该幂级数的收敛域为(1 , 1 )， (1,1),在内
1 ()nnfxnx设11nnxnx
().xSx
(),Sx现求 (1,1),x对有
0()xStdt
101xnnntdt1n
nx
1xx
幻灯片 15 (),:Sx由连续有
()Sx0()xStdt
1xx
2
1(1)x因此, 1nnnx()fx()xSx
2,(1)xx
||1x
2,3xt作代换有
2113nnnnx
2
13nnxxn
1nnxnt
2(1)txt
3223,(3)x
x||3x