第1章： 函数、极限与连续-王光庆广东专插本高等数学笔记
第一章函数、极限、连续(专升本专用PPT)-文档资料
六个常见函数的有界性: | sin x | 1; | cos x | 1; ( , ) | | arcsinx | | arctanx |
2
; | arccosx | ;[1,1] ; | arc cot x | ; ( , )
2
x 例2.判断函数f ( x) 的有界性 2 1 x x | x| | x| 1 解: 因为| f ( x) || | 2 2 1 x 1 x 2| x| 2 (1 x 2 2 | x |).所以函数f ( x)有界 .
y u是中间变量，y是因变量．
u , u 1 x 2
4 y就不是x的复合函数；复 合函数可分解为蕳单的函数
( 2)反函数 : 设函数y f ( x )的值域为Z f , 如果对Z f 中 任一y值从关系式y f ( x )中可确定惟一的一个 x值, 则称变量x为变量y的函数, 记为 : x ( y ), 其中 ( y )称为y f ( x )的反函数,习惯上y f ( x )的反 函数记为: y f 1 ( x )
f n ( x), y lim f (t , x) （1）极限形式的函数：y lim n tx
（2）积分形式的函数： y
5.非初等函数
x
0
f (t )dt ( f (t )连续 )
6.函数的简单性质 (1)奇偶性 设函数 f ( x )在区间x上有定义，如果对x X 恒有 f ( x ) f ( x ) (或f ( x ) f ( x )) 则称f(x)为偶函数（或f(x)为奇函数）.偶函数f(x)的 图形对称于y轴，奇函数f(x)的图形对称于原点.
13ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
高等数学a1_学习笔记
第一章：函数与极限1.1函数的定义与性质1.2极限的概念与计算1.3右极限与左极限1.4极限的性质第二章：连续性2.1连续函数的定义2.2连续性的判别2.3连续函数的性质2.4介值定理第三章：导数与微分3.1导数的定义与几何意义3.2导数的计算法则3.3微分的概念与应用3.4逻辑与高阶导数第四章：应用导数4.1函数的单调性与极值4.2曲线的凹凸性与拐点4.3应用导数解决实际问题4.4L'Hôpital法则第五章：定积分5.1定积分的定义与性质5.2定积分的计算方法5.3牛顿莱布尼茨公式5.4定积分的应用第六章：不定积分6.1不定积分的基本概念6.2常见的不定积分公式6.3不定积分的计算技巧6.4分部积分法与换元积分法第1章：函数与极限函数的定义与性质函数的定义：一个函数是一个将每个输入（自变量）与一个唯一的输出（因变量）相对应的关系。
通常用f(x)表示，其中x是自变量。
定义域：函数的定义域是所有可能的自变量x的集合。
值域：函数的值域是所有可能的因变量f(x)的集合。
例子：f(x)=x^2，定义域为所有实数，值域为所有非负实数。
单调性：如果对于任意的x1<x2，有f(x1)<f(x2)，则f(x)是单调递增的；反之则是单调递减的。
有界性：如果存在M，使得对所有x，|f(x)|≤M，则f(x)是有界的。
奇偶性：如果f(x)=f(x)，则f(x)是奇函数；如果f(x)=f(x)，则f(x)是偶函数。
周期性：如果存在T，使得f(x+T)=f(x)，则f(x)是周期函数。
例子：正弦函数sin(x)是周期函数，其周期为2π。
复合函数：如果g(x)是另一个函数，则复合函数f(g(x))是将g(x)的输出作为f(x)的输入。
例子：若f(x)=x^2，g(x)=x+1，则复合函数f(g(x))=(x+1)^2。
反函数：若f(x)是单调函数，则存在反函数f^(1)(x)，使得f(f^(1)(x))=x。
高等数学(函数与极限)完全归纳笔记
目录：函数与极限 (1)1、集合的概念 (1)2、常量与变量 (2)2、函数 (3)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (4)5、复合函数 (5)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对線统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互界性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较商的人”不能构成集合•因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母爪B. C、……表示集合.用小写拉丁字母也b. c……表示集合中的元素。
如果a 是集合A中的元素，就说a属于A,记作：aGA-否则就说a不属于A,记作：a 2（IX全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N（2）.所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N宇或N“（3人全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
（4八全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
<5）.全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R,集合的表示方法（1八列举法：把集合的元素一一列举出來，并用“”括起來表示集合（2入描述法：用集合所有元素的共同特征來表示集合。
集合间的基本关系（1八子集：一般地，对于两个集合A. B.如果集合A中的任总:一个元素都是集合B的元素，我们就说A. B有包含关系，称集合A为集合B的子集.记作A B （或B A） °。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集.此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A=B.（3人真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。
(4八空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
(5入由上述集合之间的基木关系，可以得到下面的结论①.任何一个集合是它木身的子集。
专升本教材广东高等数学
专升本教材广东高等数学广东高等数学专升本教材第一章函数与极限函数是高等数学中的重要概念，它在数学和实际问题中起着关键的作用。
在本章中，我们将介绍函数的定义、性质以及函数的极限。
1.1 函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。
在数学中，我们通常用符号表示函数，如f(x)。
函数的定义包括定义域、值域和对应关系。
1.2 函数的性质函数具有多种性质，如奇偶性、周期性、单调性等。
这些性质对于研究函数的特点和行为非常重要，我们将在本节中详细介绍这些性质并给出相应的例子。
1.3 函数的极限函数的极限是函数分析中的重要概念，它描述了函数在某一点的趋势和趋近程度。
我们将介绍函数极限的定义、性质以及计算方法，并通过一些实际问题来说明极限的应用。
第二章导数与微分导数与微分是高等数学中的另一重要内容，它们是函数研究和应用的基础。
在本章中，我们将介绍导数的定义、性质以及导数的计算方法。
2.1 导数的定义导数描述了函数在某一点的变化率，可以理解为函数的斜率。
我们将介绍导数的定义、图像和几何意义，并通过一些实例来帮助理解。
2.2 导数的性质导数具有多种性质，如可导性、连续性、反函数的导数等。
这些性质对于求解问题和证明定理时非常有用。
2.3 导数的计算方法求导是高等数学中的一项基本技巧，通过应用导数的定义和性质，可以计算各种类型的函数的导数。
我们将介绍常见函数的导数计算方法，并给出相应的例题进行讲解。
第三章积分与定积分积分与定积分是导数的逆运算，它们在微积分中有着重要的地位。
在本章中，我们将介绍积分的定义、性质以及定积分的计算方法。
3.1 积分的定义积分描述了函数在一定区间上的累积效应，可以理解为函数下方面积。
我们将介绍积分的定义、图像和几何意义，并通过一些实例来帮助理解。
3.2 积分的性质积分具有多种性质，如线性性、换元积分法等。
通过应用这些性质，我们可以简化积分的计算过程。
3.3 定积分的计算方法定积分是对函数在某一区间上的积分，求解定积分需要用到积分的性质和一些特定的计算方法。
专插本数学笔记1
6.对数求导法 7.分段函数求导 (1)按求导法则求连接点处的左右导数 设 f ( x) =
g ( x), x − δ < x ≤ xo ' ' h= A， ， 若 g= − ( x0 ) + ( x0 ) δ ( ), h x x x x < ≤ + o
1 1 − cos x x 2 (1 + x) a − 1 axa x − 1 x ln a 2 x 1 2 若 f ( x 0), f '(0) ≠ 0 ,则 ∫ f (t ) dt f '(0) x = o 2
(3)对于 f ( x) =
(2) 按定义求连接点处的左右导数
1.5连续函数 f ( x) − f ( xo ) 极限存在⇔左右极限存在且相等。 , （2） 否则， 先求出 f '( x) ， 义求 f '( xo ) = lim x → xo 连续⇔左右极限存在且相等，且等于该点函数值。 x − xo 简断点：1.第一类间断点，左右极限不相等，或相等但不 再求才 等于该点函数值；2.左右极限至少有一个不存在。 8.变限积分求导 闭区间上连续函数的性质：有界性，最值性，介值性，零 ϕ ( x) dy 点存在定理。 y f (t )dt , f (ϕ ( x)ϕ '( x) − f (ψ ( x)ψ '( x) 求 = =
(a ) ' = a ln a
x
x
间 [ a, b ] 上连续；②在开区间 (a, b) 内可导，则在 (a, b) 内
(tan x) ' = sec 2 x
1 − x2 1 (log a x) ' = (ctgx) ' = − csc 2 x x ln a 1 ( sex = ) ' sec x ⋅ tan x (arctgx) ' = 1 + x2
(完整版)高等数学(上)重要知识点归纳
高等数学（上)重要知识点归纳第一章 函数、极限与连续一、极限的定义与性质 1、定义（以数列为例）,,0lim N a x n n ∃>∀⇔=∞→ε当N n >时，ε<-||a x n2、性质(1） )()()(lim 0x A x f A x f xx α+=⇔=→,其中)(x α为某一个无穷小。
（2)（保号性）若0)(lim 0>=→A x f xx ,则,0>∃δ当),(0δx U x o∈时，0)(>x f 。
（3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。
二、求极限的主要方法与工具 1、＊两个重要极限公式 (1)1sin lim=∆∆→∆ （2)e =◊+◊∞→◊)11(lim 2、两个准则 （1） ＊夹逼准则 （2)单调有界准则 3、＊等价无穷小替换法常用替换：当0→∆时（1)∆∆~sin (2)∆∆~tan(3)∆∆~arcsin (4)∆∆~arctan（5）∆∆+~)1ln( （6）∆-∆~1e （7）221~cos 1∆∆- （8）nn ∆-∆+~114、分子或分母有理化法5、分解因式法 6用定积分定义 三、无穷小阶的比较＊ 高阶、同阶、等价1、连续的定义＊)(x f 在a 点连续)()()()()(lim 0lim 0a f a f a f a f x f y ax x ==⇔=⇔=∆⇔-+→→∆2、间断点的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧其他震荡型（来回波动））无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）第一类 3、曲线的渐近线*ax x f A y A x f ax x =∞===→∞→则存在渐近线：铅直渐近线：若则存在渐近线：水平渐近线：若,)(lim )2(,)(lim )1(五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理第二章 导数与微分一、导数的概念 1、导数的定义＊a f x f a f x a f y dy a f y ax x x a x a x -=-∆+=∆=='='→→∆→∆==)()(lim )()(lim lim |)(|002、左右导数 左导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='--→→∆-)()(limlim)(0 右导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='++→→∆+)()(limlim)(03、导数的几何意义＊k a f a x f y a x 处的切线斜率在点（曲线))(,)(|='=4、导数的物理意义加速度）速度）则若运动方程：()()()(,)(()()(t a t v t s t v t s t s s ='=''='= 5、可导与连续的关系： 连续，反之不然。
第一章 函数、极限、连续
第一章 数列、函数、极限与连续1.1 数列极限的求法一 基本概念定义1. 数列极限：lim n n x a →∞=，两种定义方法：（1）描述语言：当n 充分大时，数列一般项n x 无限趋于（无限接近，充分接近）确定的常数a ，则称a 就是数列{}n x 的极限．（2）“N ε-”语言：若0ε∀>，N ∃，当n N >时，有n x a ε-<，则称a 就是数列{}n x 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ．定义2. 数列收敛和发散：如果数列极限存在，则称数列收敛；否则称数列发散． “N ε-”语言是说：不论给定多么小的正数ε，都可以在数列中找到一项，从这项以后的所有项与常数a 差的绝对值小于ε，或者说：随着n 的增大，n x a -可以任意小．在数列极限的两种定义方法中，描述语言更有利于判断、理解一个数列极限是否存在．如数列{(1)}n-的极限显然是不存在的，这是因为当n 充分大时，数列一般项n x 并非趋于固定常数；但是我们不能用描述语言去证明，因此若证明lim n n x a →∞=，只能用“N ε-”语言，或证明lim 0n n x a →∞-=，当然后者更容易些。
二 基本结论定理1 （收敛数列性质）（1）唯一性 若lim n n x a →∞=，lim n n x b →∞=，则a b =．（2）有界性 若数列{}n x 收敛，则存在0M >，n N +∀∈，有n x M ≤． （3）保号性 若lim 0n n x a →∞=>，则存在N ，当n N >时，有0n x >．（4）子序列收敛性 若lim n n x a →∞=，则对{}n x 任意子序列{}k n x ，有lim k n k x a →∞=；反之，若数列{}n x 的偶子列2{}n x 和奇子列21{}n x -都收敛于常数a ，则lim k n k x a →∞=．定理2 （单调有界原理） 单调有界数列必有极限；或叙述为：单调增加有上界的数列必有极限；单调减少有下界的数列必有极限．定理3 （夹逼法则） 若n n n y x z ≤≤，n N >，且lim lim n n n n y z a →∞→∞==，则lim n n x a →∞=．定理4 （数列极限运算法则） 设lim n n x A →∞=，lim n n y B →∞=，那么（1）lim()lim lim n n n n n n n x y x y A B →∞→∞→∞±=±=±；（2）lim lim lim n n n n n n n x y x y AB →∞→∞→∞⋅=⋅=；（3）lim lim (0)lim n n n n nn n x x A B y y B →∞→∞→∞==≠； （4）lim lim()lim (0)nnn y y B n nn n x x A A →∞→∞→∞==>．定理5 （两个重要极限） 1lim(1)e xx x →+=；0sin lim1x xx→=．这两个极限公式可以推广为：若()0(()0)f x f x →≠，则1()lim(1())e f x f x +=；sin ()lim1()f x f x =．三 基本方法（计算数列极限的十大方法）数列极限的未定式（不确定型）有八种形式：00；∞∞；0⋅∞；∞±∞；1∞；0∞；00；000L +++（n 个无穷小的和）． 注1 未定式（不确定型）数列，指的是极限可能存在也可能不存在的数列．对极限是无穷大的数列，并非是未定式（不确定型），它的极限是确定的，无穷大，不存在． 注2 事实上，上述的∞，并没有明确是+∞，还是-∞，但当明确±∞时，我们有()+∞++∞=+∞；()-∞+-∞=-∞；()+∞--∞=+∞．1. 取大原则所谓的取大原则，就是对极限型是∞∞的数列，分子和分母同除以n 的最大次幂，再利用极限性质，求得数列极限．例1 求下列极限：（1）2221lim 21n n n n n →∞+--+； （2）lim n解（1）数列的极限型是∞∞，而分子、分母关于n 的最大次幂是2n ，于是分子和分母同除以2n ，有22221112211lim lim 112122n n n n n n n n n n→∞→∞+-+-==-+-+． （2）数列的极限型是∞∞，分子和分母关于n 的最大次幂是n ，于是分子和分母同除以n ，有2n n ==． 2. 有理化法若分子或分母含有根式，n 的最大次幂相抵消，一般要考虑分子有理化或分母有理化，或分子、分母同时有理化．通过有理化，明确抵消后剩余部分，从而可以确定极限的形式和求极限的方法．例2 求下列极限：（1）lim n n→∞； （2）)n n →∞.解（1）由于分子中的最大项相互抵消，于是分子有理化，从而有312n n →∞==． （2）由于分子中的最大项相互抵消，于是分子有理化，从而有111)2n n n n →∞+===．3. 夹逼法则若数列的一般项不是关于n 代数式，仅仅是和n 有关的式子，或表示为无限个无穷小的和，通常采用放大和缩小的方法，使一般项表示为n 的代数式，进而求得不等式两端的极限，在两端数列极限相等情况下，根据夹逼法则，得到所求数列的极限，应用夹逼法则要注意的是：对一般项放大不能放的太大；缩小也不能缩的太小，否则两端极限不等，对求此数列极限是徒劳的．例3 求120lim d 1nn x x x →∞+⎰． 解 解此题的关键是将积分表示为关于n 的代数式，显然这是没办法通过直接计算积分 来实现的，只能通过对被积函数的放缩，达到可求积分的目的．由于1111200110d d 111n n n x x x x x x n n +≤≤==+++⎰⎰， 而1lim 01n n →∞=+，所以 120lim d 01nn x x x →∞=+⎰． 例4 求22212lim 12n n n n n n L →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭解 对数列的一般项放缩22222121212121n n nn n n n n n n ++++++≤+++≤+++++L L L ， 由于2212121limlim 12n n n n n n n →∞→∞++++++==++L L ， 于是222121lim()122n n n n n n →∞+++=+++L 注3 当例4改为计算极限22212lim 12n m n n n m L →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭时，问题变得简单，则有22212lim 012n m n n n m L →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ 这是由于它是有限个无穷小的和，我们知道：有限无穷小的和仍是无穷小．无限个无穷小的和是数列极限未定式的一种常见形式，也是数列极限中比较难以解决的问题，解决此类问题常见方法有：夹逼法则、定积分、级数和。
第1章函数极限与连续167;1.1函数
由 y eu, u sinv, v x 复合而成.
微积分 第1章 函数极限与连续
例如，函数 y sin x 在 (. , ) 内有界，
函数
y. 1
x
在 (0,2) 内无界
微积分 第1章 函数极限与连续
1.1 函数
函数 y f (x) 在一个区间[a, b] 上有界的几何解释是：y f (x)
在该区间上的图形位于两条直线 y M 和 y M 之间.
y
M
M
图1—6
y f (x)
解
（1）由
y 2x 1 ，解得 x1
x y1 2 y
因此所求反函数为
y
x1 2 x
.
微积分 第1章 函数极限与连续
解 （2）由 y e x2 ，得 ln y x 2
从而 x l. n y 2
故所求反函数为 y ln x 2 .
1.1 函数
例6 求给出函数的反函数：（1）y 2xx11；（2）y e x2 .
s vt
s s(t)
t s v
t t(s)
s t 为自变量， 为因变量.
s为自变量，t 为因变量.
微积分 第1章 函数极限与连续
1.1 函数
设函数 y f ( x) 的定义域为 D，值域为 R f ，如果对于 y R f ，
都有唯一的 x D ，使得 f ( x) y ，则 x 是 y 的函数，记为 f 1，
（3）函数的定义域与对应法则称为函数的两个要素.
两个函数相同的充要条件是它们的定义域和对应法则均相同.
例如， y 2ln x 与 y ln x2 是不相同的函数.
微积分 第1章 函数极限与连续
1.1 函数
Ch01 第一章 函数、极限与连续
第一章 函数、极限与连续函数是现代数学的基本概念之一，是高等数学的主要研究对象. 极限概念是微积分的理论基础，极限方法是微积分的基本分析方法，因此，掌握、运用好极限方法是学好微积分的关键. 连续是函数的一个重要性态. 本章将介绍函数、极限与连续的基本知识和有关的基本方法，为今后的学习打下必要的基础.第一节 函数在现实世界中，一切事物都在一定的空间中运动着. 17世纪初，数学首先从对运动（如天文、航海问题等）的研究中引出了函数这个基本概念. 在那以后的二百多年里，这个概念在几乎所有的科学研究工作中占据了中心位置.本节将介绍函数的概念、函数关系的构建与函数的特性. 内容要点一、实数与区间实数的概念；实数的连续性；有限区间，无限区间。
二、邻域领域的定义；领域的中心；领域的半径。
三、函数的概念函数是描述变量间相互依赖关系的一种数学模型. 函数的定义、函数的图形、函数的表示法 四、函数特性函数的有界性；函数的单调性；函数的奇偶性；函数的周期性. 五、数学建模——函数关系的建立为解决实际应用问题, 首先要将该问题量化, 从而建立起该问题的数学模型, 即建立函数关系；依题意建立函数关系；依据经验数据建立近似函数关系。
例题选讲 函数举例例1 函数2=y . 定义域),(+∞-∞=D , 值域}.2{=f R例2 (E01) 绝对值函数 ⎩⎨<-==0,||x x x y定义域),,(+∞-∞=D值域).,0[+∞=fR注: 常用绝对值的运算性质:;y x xy = ;||yx y x= .y x y x y x +≤±≤- 设,0>a 则a x ≤;a x a ≤≤a x ≥a ≥或.a x -≤例3 判断下面函数是否相同, 并说明理由. (1)1=y 与;cos sin 22x x y +=(2)12+=x y 与12+=y x .解 (1) 虽然这两个函数的表现形式不同，但它们的定义域),(+∞-∞与对应法则均相同，所以这两个函数相同. (2) 虽然它们的自变量与因变量所用的字母不同,但其定义域),(+∞-∞和对应法则均相同(如图)，所以这两个函数相同. 分段函数举例在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的表达方式来表示的函数, 称为分段函数. (1)（E02）符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==.0,1,0,0,0,1sgn x x x x y .||.sgn x x x = (2)（E03）取整函数][x y =, 其中, ][x 表示不超过x 的最大整数.(3)（E04） 狄利克雷函数⎩⎨⎧==是无理数时当是有理数时当x x x D y ,0,1)( (4) 函数⎩⎨⎧>+≤≤=.1,1,10,2)(x x x x x f例4 求函数 2112++-=x x y 的定义域.解⇒⎩⎨⎧≥+≠-02012x x ,21⎩⎨⎧-≥±≠x x ∴ ).,1()1,1()1,2[+∞⋃-⋃--=D 例5 求函数245sin )3lg()(x x xx x f -++-=的定义域.解 要使)(x f 有意义，显然x 要满足:⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≠>-0450sin 032x x x x 即 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≠<513x k x x π(k 为整数) 所以)(x f 的定义域为).3,0(}0,1[}0,3,3|{⋃-=≠≠≤≤=x x x x D f例6 设,21,210,1)(⎩⎨⎧≤<-≤≤=x x x f求函数)3(+x f 的定义域.解 ,21,210,1)(⎩⎨⎧≤<-≤≤=x x x f∴⎩⎨⎧≤+<-≤+≤=+231,2130,1)3(x x x f ⎩⎨⎧-≤<---≤≤-=12,223,1x x故函数)3(+x f 的定义域:].1,3[--例7 证明(1) 函数12+=x xy 在),(+∞-∞上是有界的.（E05） (2) 函数21xy =在)1,0(上是无界的.证 (1) 因为,0)1(2≥-x 所以,212x x≥+ 故21122|1|)(22≤+=+=x x x x x f 对一切),(+∞-∞∈x 都成立. 由上可知题设函数在),(+∞-∞上是有界函数. (2) 对于无论怎样大的,0>M 总可在)1,0(内找到相应的.x 例如取),1,0(110∈+=M x使得M M M x x f >+=+==1)11(11)(2200 所以21)(xx f =在)1,0(上是无界函数. 例9（E06）证明函数xxy +=1在),1(∞+-内是单调增加的函数.证 在),1(∞-内任取两点,,21x x 且,21x x <则)1)(1(11)()(2121221121x x x x x x x x x f x f ++-=+-+=- 因为21,x x 是),1(∞-内任意两点, 所以,01,0121>+>+x x 又因为,021<-x x 故0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f < 所以xxx f +=1)(在),1(+∞-内是单调增加的. 例10(E07) 判断函数)1ln(2x x y ++=的奇偶性. 解 ))(1ln()(2x x x f -++-=- )1ln(2x x ++-=2221)1)(1(lnxx x x x x ++++++-=)1ln(11ln22x x x x ++-=++=).(x f -=由定义知)(x f 为奇函数.例11 判断函数)11(11ln 11)(<<-+-+-=x xx e e x f x x 的奇偶性.解 因为x x e e x f x x -++-=---11ln 11)( ]11ln [11x xe e xx +--+-=).(11ln 11x f xxe e xx =+-+-故由定义知)(x f 为偶函数.例12（E08） 设,,0,1)(⎩⎨⎧=是无理数时当是有理数时当x x x D 求，)21(,57-⎪⎭⎫⎝⎛-D D ))((x D D . 并讨论其性质. 解 ,0)21(,1)57(=-=-D D ,1))((≡x D D函数是单值、有界的，偶函数，但不是单调函数,是周期函数，但无最小正周期.例13（E09）若)(x f 对其定义域上的一切, 恒有),2()(x a f x f -=则称)(x f 对称于.a x =证明: 若)(x f 对称于a x =及),(b a b x <= 则)(x f 是以)(2a b T -=为周期的周期函数.证 由)(x f 对称于a x =及,b x =则有),2()(x a f x f -= (1) ),2()(x b f x f -= (2)在式(2)中，把x 换为,2x a -得).(2[)]2(2[)2(a b x f x a b f x a f -+=--=-由式(1)),(2[)2()(a b x f x a f x f -+=-=可见,)(x f 以)(2a b T -=为周期.例15（E10）某工厂生产某型号车床, 年产量为a 台, 分若干批进行生产, 每批生产准备费为b 元, 设产品均匀投入市场, 且上一批用完后立即生产下一批, 即平均库存量为批量的一半. 设每年每台库存费为c 元. 显然, 生产批量大则库存费高; 生产批量少则批数增多, 因而生产准备费高. 为了选择最优批量, 试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系.解 设批量为,x 库存量与生产准备费的和为).(x P 因年产量为,a 所以每年生产的批数为xa(设其为整数)，则生产准备费为.xa b ⋅ 因库存量为,2x 故库存费为.2xc ⋅因此可得 .22)(cxx ab x c x a b x P +=⋅+⋅=定义域为x a ],,0((台数)只取定义域中的正整数因子.例16（E11） 某运输公司规定货物的吨公里运价为: 在a 公里以内,每公里k 元, 超过 部分公里为k 54元. 求运价m 和里程s 之间的函数关系. 解 根据题意可列出函数关系如下:s a a x a s k ka ks m <≤<⎪⎩⎪⎨⎧-+=0),(54, 这里运价m 和里程s 的函数关系是用分段函数表示的，定义域为).,0(+∞例17（E12）为研究某国标准普通信件(重量不超过50克)的邮资与时间的关系，得到如下数据：试构建一个邮资作为时间函数的数学模型，在检验了这个模型是“合理”的之后，用这个模型来预测一下2012年的邮资. 解 （1）先将实际问题量化，确定自变量x 和因变量y.为方便计算，设起始年1978年为0，并用x 表示，用y （单位：分）表示相应年份的信件的邮资，得到下表（2）作散点图，确定变量之间近似函数关系.得到下图观察得到的散点图可知，邮资与时间大致呈线性关系.设y 与x 之间的函数关系为b ax y +=，其中b a ,为待定常数.（3）求待定常数项b a ,. 通过Excel 相关功能的计算分别得到b a ,的值（详见附录Ⅰ）为898.5,9618.0==b a .从而得到回归直线为x y 9618.0898.5+=.（4）在散点图中添加上述回归直线x y 9618.0898.5+=，见下图经观察发现直线模型x y 9618.0898.5+=与散点图拟合的非常好，说明线性模型是合理的.（5）预测2012年的邮资，即x=34时y 的取值.由拟合图可以得到x=34时39≈y .即预测2012年的邮资约为39分.实际上，将x=34代入直线方程x y 9618.0898.5+=可得39≈y . ■一般地，我们可按以下四个步骤进行回归分析： （1） 将实际问题量化，确定自变量和因变量；（2） 根据已知数据作散点图，大致确定拟合数据的函数类型； （3） 通过软件（如Excel 等）计算，得到函数关系模型；（4） 利用回归分析建立的近似函数关系来预测指定点x 处的y 值.在例题中，问题所给邮资与时间的数据对之间大致呈线性关系，并且经回归分析所得到的回归曲线为一条直线，此类回归问题又称为线性回归问题，它是最简单的回归分析问题，但却具有广泛的实际应用价值，此外，许多更加复杂的非线性的回归问题，如幂函数、指数函数与对数函数回归等都可以通过适当的变量替换化为线性回归问题来研究.下面我们就指数函数回归问题为以实例来说明.例18（E13）地高辛是用来治疗心脏病的.医生必须开出处方用药量使之能保持血液中地高辛的浓度高于有效水平而不超过安全用药水平. 下表中给出了某个特定病人使用初始剂量0.5（毫克）的地高辛后不同时间x （天）的血液中剩余地高辛的含量.（1）试构建血液中地高辛含量和用药后天数间的近似函数关系； （2）预测12天后血液中的地高辛含量. 解 （1）根据所给数据作散点图.由该图可见，y 与x 之间大致呈指数函数关系，故设函数关系式为bx ae y =，其中b a ,为待定常数.在上式两端取对数，得bx a y +=ln ln ,令a c y u ln ,ln ==，则指数函数bx ae y =转化为线性函数bx c u +=.利用题设数据表进一步计算得到下表.y u ln =采用与例17类似的步骤，计算得到.371.0,695.0-≈-≈b c再由关系式a c ln =,得5.0695.0≈=-ea ,从而得到血液中地高辛含量和用药后天数间的近似函数关系为 x e y 371.05.0-=.在散点图中添加上述回归曲线, 可见该指数函数与散点图拟合得相当好, 说明指数模型是合理的.（2）根据上述函数关系, 12天后血液中地高辛的含量约为006.05.012371.0≈=⨯-e y (毫克).在数学模型的建立及其求解过程中, 了解以下几点是重要的:(1) 为描述一种特定现象而建立的数学模型是实际现象的理想化模型, 从而远非完全精确的表示.(2) 反映实际问题的数学模型大多是很复杂的, 从实际应用的角度看, 人们通常不可能也不必要追求数学模型的精确解. (3) 掌握优秀的数学软件工具并学会将其应用于解决相关领域的实际问题成为当代大学生必须具备的一项重要能力. 课堂练习1. 用分段函数表示函数 .|1|3--=x y2. 判别函数⎩⎨⎧<+-≥+=0,0,)(22x x x x x x x f 的奇偶性. 第二节 初等函数内容要点一、反函数：反函数的概念；函数存在反函数的条件；在同一个坐标平面内, 直接函数)(x f y =和反函数)(x y ϕ=的图形关于直线x y =是对称的.二、基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数. 三、复合函数的概念四、初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数. 初等函数的基本特征: 在函数有定义的区间内初等函数的图形是不间断的. 五、双曲函数和反双曲函数的概念. 例题选讲 求反函数例1 (E01) 求函数xxy 411411+++-=的反函数.解 令,41x z +=则,11zzy +-=故,11y y z +-=即,1141y y x +-=+ 解得,)1(]1)11[(4122y yy y x +-=-+-= 改变变量的记号，即得到所求反函数: .)1(2x xy +-=例2已知⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1sgn x x x x (符号函数)求x x y sgn )1(2+=的反函数.解 由题设，易得⎪⎩⎪⎨⎧<+-=>+=+=0),1(0,00,1sgn )1(222x x x x x x x y⎪⎩⎪⎨⎧-<+--=>-=1,)1(0,01,1y y y y y故所求反函数为.1,)1(0,01,1⎪⎩⎪⎨⎧-<+--=>-=x x x x x y函数的复合例3 (E02) 设 u u f y arctan )(==，tt u 1)(==ϕ，)(x t ψ=12-=x ，求 )]}([{x f ψϕ.解 u x f arctan )]}([{=ψϕt1arctan=.11arctan2-=x例4 (E03) 将下列函数分解成基本初等函数的复合.(1) ;sin ln 2x y = (2) ;2arctan x e y = (3) ).12ln(cos 22x y ++=解 x y 2sin ln )1(=是由,u y =x w w v v u sin ,,ln 2===四个函数复合而成;(2) 2arctan x e y =是由2,arctan ,x v v u e y n===三个函数复合而成;)12ln(cos )3(22x y ++=是由,2u y = ,cos v u = ,ln w v = ,2t w += ,h t = 21x h +=六个函数复合在而成. 分段函数的复合运算例5 (E04) 设 ,0,10,2)(,1,1,)(2⎩⎨⎧≥-<+=⎩⎨⎧≥<=x x x x x x x x e x f x ϕ 求)].([x f ϕ解 1)(1)(),(,)]([)(≥<⎩⎨⎧=x x x e x f x ϕϕϕϕϕ(1)当1)(<x ϕ时, 或,112)(,0-<⇒<+=<x x x x ϕ或;2011)(,02≤≤⇒<-=≥x x x x ϕ(2)当1)(≥x ϕ时,或,0112)(,0<≤-⇒≥+=<x x x x ϕ或.21)(,02≥≥⇒-=≥x x x x ϕ所以.220011,1,,2,)]([2122≥<≤<≤--<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+x x x x x e x e x f x x ϕ 例6 设,1122x x x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+求).(x f解法1 令,1x x t +=则,012=+-tx x ,242-±=t t x取,242-+=t t x 代入得222224124)(1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+==⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t t t f t f x x f.24844)4(4)4(222222-=-=--+-+=t t t t t t取242--=t t x 同样可得.2)(2-=t t f 所以.2)(2-=x x f解法2 因为,2111222-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x x f 所以.2)(2-=x x f例7 (E05) 某人在2008年欲用1000元投资5年，设年利率为5%，试分别按单利、复利和连续复利计算到第5年末，该人应得的本利和S .解 按单利计算1250)505.01(1000=⨯+=S（元）；按复利计算 28.1276)05.01(10005≈+=S （元）； 按连续复利计算 03.1284100005.05≈=⨯e S（元）.下表我们比较了利息按单利、复利和连续复利计算从2008年到2012年的本利和，我们看到，当按连续复利计算时，投资者赚钱最多；按单利计算时，投资者赚钱最少. 银行为了吸引顾客，可以用额外多出来的钱来做广告——我们按连续复利计算.例8 (E06) 具有放射性的原子核在放射出粒子及能量后可变得较为稳定，这个过程称为衰变. 实验表明某些原子以辐射的方式发射其部分质量，该原子用其剩余物重新组成新元素的原子. 例如，放射性碳—14衰变成氮；镭最终衰变成铅. 若0y 是时刻0=x 时放射性物质的数量，在以后任何时刻x 的数量为0,0>=-r e y y rx数r 称为放射性物质的衰减率. 对碳—14而言，当x 用年份来度量时，其衰减率4102.1-⨯=r . 试预测886年后的碳—14所占的百分比.解 设碳—14原子核数量从0y 开始，则886年后的剩余量是0886)102.1(0899.0)886(4y e y y ≈=⨯⨯--即886年后的碳—14中约有89.9%的留存，约有10.1%的碳—14衰减掉了.例9 (E07) 放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间称为半衰期. 事实上，半衰期是一个常数，它只依赖于放射性物质本身，而不依赖于其初始所含放射性核的数量.证明 设0y 是放射性物质初始所含放射性核的数量，而表示任何以后时刻x 的放射性核的数量rx e y y -=0. 我们求出x 使得此时的放射性核的数量等于初始数量的一半，即0021y e y rx =- 从而 rx2ln =x 的值就是该元素的半衰期. 它只依赖于r 的值，而与0y 无关.钋—210的放射性半衰期是如此之短以致于不能用年而只能用天来度量. 钋—210的衰减率3105-⨯=r ，所以该元素的半衰期为半衰期1391052ln 2ln 3≈⨯=-r （天）. 例10 (E08) 地震的里氏震级是用常用对数来刻画. 以下是它的公式 里氏震级 B T a R+⎪⎭⎫⎝⎛=lg其中a 是监听站以微米计的地面运动的幅度，T 是地震波以秒计的周期，而B 是由于随离震中的距离增大时地震波减弱所允许的一个经验因子. 对监听站10000千米处的地震来说，8.6=B . 如果记录的垂直地面运动为m a μ10=而周期s T 1=，那么震级为8.78.6110lg lg =+⎪⎭⎫⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=B T a R这种强度的地震在其震中附近会造成极大的破坏. 课堂练习1．下列函数能否复合为函数)]([x g f y =, 若能, 写出其解析式、定义域、值域..1sin )(,ln )()2(;)(,)()1(2-====-====x x g u u u f y x x x g u u u f y2．分析函数 32cos arctan xey =的复合结构.第三节 数列的极限极限思想是由于求某些实际问题的精确解答而产生的. 例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法----割圆术（参看光盘演示）, 就是极限思想在几何学上的应用. 又如，春秋战国时期的哲学家庄子（公元4世纪）在《庄子.天下篇》一书中对“截丈问题”（参看光盘演示）有一段名言：“一尺之棰, 日截其半, 万世不竭”，其中也隐含了深刻的极限思想.极限是研究变量的变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念，例如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上. 极限方法又是研究函数的一种最基本的方法. 本节将首先给出数列极限的定义. 内容要点一、数列的定义二、数列的极限N -ε论证法，其论证步骤为：（1）对于任意给定的正数ε, 令 ε<-||a x n ；（2）由上式开始分析倒推, 推出 )(εϕ>n ；（3）取 )]([εϕ=N，再用N -ε语言顺述结论.三、收敛数列的有界性 四、极限的唯一性 五、收敛数列的保号性六、子数列的收敛性 例题选讲 数列的极限例1 (E01)下列各数列是否收敛, 若收敛, 试指出其收敛于何值. (1){}n2; (2)⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1; (3){}1)1(+-n ; (4)⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n 1. 解 (1)数列{}n2即为,2,,8,4,2n易见,当n 无限增大时,n2 也无限增大, 故该数列是发散的;(2)数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1即为,1,,31,21,1n易见,当n 无限增大时,n1无限接近于0, 故该数列是收敛于0; (3)数列{}1)1(+-n 即为,)1(,,1,1,1,11+---n易见,当n 无限增大时,1)1(+-n 无休止地反复取1、-1两个数,而不会接近于任何一个确定的常数,故该数列是发散的;(4)数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n 1即为 ,1,,43,32,21,0nn - 易见,当n 无限增大时,nn 1-无限接近于1, 故该数列是收敛于1. 例2 (E02) 证明.1)1(lim1=-+-∞→nn n n 证 由nn n x n n 11)1(|1|1=--+=--，故对任给,0>ε要使,|1|ε<-n x 只要,1ε<n 即.1ε>n 所以，若取,1⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN 则当Nn >时，就有.1)1(1ε<--+-nn n即 .1)1(lim1=-+-∞→nn n n 例3 设C x n≡(C 为常数)，证明.lim C x n n =∞→证 因对任给,0>ε对于一切自然数,n 恒有.0||||ε<=-=-C C C x n 所以，.lim C x n n =∞→ 即：常数列的极限等于同一常数.注：用定义证数列极限存在时，关键是：对任意给定的,0>ε寻找,N 但不必要求最小的.N例4 证明,0lim =∞→nn q其中.1||<q证 任给,0>ε若,0=q 则;00lim lim ==∞→∞→n n n q 若,1||0<<q 欲使,|||0|ε<=-n n q x 必须,ln ||ln ε<q n 即,||ln ln q n ε>故对任给,0>ε若取,||ln ln ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=q N ε则当N n >时，就有,|0|ε<-n q 从而证得.0lim =∞→n n q例5 设,0>n x 且,0lim >=∞→a x n n 求证.lim a x n n =∞→证 任给,0>ε由,||||||aa x ax a x a x n n n n -<+-=-要使,||ε<-a x n 即要,||εa a x n <-∴=∞→,lim a x n n 对,00>=εεa ,0>∃N 当Nn >时，,||εa a x n <-从而当N n >时，恒有,||ε<-a x n 故.lim a x n n =∞→例6 用数列极限定义证明 .323125lim-=-+∞→n n n证 由于),1(3917)31(317323125≥-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---+n n n n n 只要,3917ε<-n 解得 .31917+>εn 因此，对任给的,0>ε取,31917⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=εN 则N n >时，ε<⎪⎭⎫⎝⎛---+323125n n 成立，即 .323125lim-=-+∞→n n n例7 (E03) 用数列极限定义证明 .112lim 22=++-∞→n n n n 证 由于)3(2131122222>=+<+++=-++-n n n n n n n n n n n ，要使,11222ε<-++-n n n 只要,2ε<n 即,2ε>n 因此，对任给的,0>ε取,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN 当N n >时，有,11222ε<-++-n n n 即.112lim 22=++-∞→n n n n 例8 (E04) 证明：若,lim A x nn =∞→则存在正整数,N 当Nn >时，不等式2||||A x n >成立.证 因,lim A x n n =∞→由数列极限的N -ε定义知，对任给的,0>ε存在,0>N 当N n >时，恒有,||ε<-A x n 由于|,|||||||A x A x n n -≤-故Nn >时，恒有,||||||ε≤-A x n 从而有,||||||εε+<<-A x A n 由此可见，只要取,2||A =ε则当N n >时，恒有 2||||A x n >. 证毕. 例9 (E05) 证明数列1)1(+-=n nx 是发散的证 设,lim a x n n =∞→由定义，对于,21=ε,0>∃N 使得当N n >时，恒有,21||<-a x n 即当N n >时，,21,21⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∈a a x n 区间长度为1.而n x 无休止地反复取1，－1两个数，不可能同时位于长度为1地区间. 因此改数列是发散的. 证毕.注：此例同时也表明：有界数列不一定收敛. 课堂练习1．设,0>p 证明数列 pn n x 1=的极限是0.第四节 函数的极限数列可看作自变量为正整数n 的函数: )(n f x n =, 数列}{n x 的极限为a ，即：当自变量n 取正整数且无限增大)(∞→n 时，对应的函数值)(n f 无限接近数a . 若将数列极限概念中自变量n 和函数值)(n f 的特殊性撇开，可以由此引出函数极限的一般概念：在自变量x 的某个变化过程中，如果对应的函数值)(x f 无限接近于某个确定的数A ，则A 就称为x 在该变化过程中函数)(x f 的极限. 显然，极限A 是与自变量x 的变化过程紧密相关，自变量的变化过程不同，函数的极限就有不同的表现形式. 本节分下列两种情况来讨论：1、自变量趋于无穷大时函数的极限；2、自变量趋于有限值时函数的极限. 内容要点一、自变量趋于无穷大时函数的极限 二、自变量趋于有限值时函数的极限 三、左右极限的概念四、函数极限的性质：唯一性 有界性 保号性 五、子序列的收敛性 例题选讲自变量趋于无穷大时函数的极限例1 (E01) 证明 .0sin lim=∞→xxx证 因为0sin -x x x x sin =,1x ≤于是,0>∀ε可取,1ε=X 则当X x >时,恒有,0sin ε<-xx 故.0sin lim =∞→x xx 证毕.例2 (E02) 用极限定义证明 .021lim =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx证 对于任意给定的,0>ε要使021-⎪⎭⎫ ⎝⎛xx⎪⎭⎫⎝⎛=21ε< 只要,12ε>x 即2ln 1lnε>x )1(<ε不妨设就可以了.因此，对于任意给定的,0>ε取,2ln 1lnε=X 则当X x >时，ε<-⎪⎭⎫ ⎝⎛021x恒成立.所以.021lim =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx注: 同理可证：当10<<q 时，.0lim =+∞→xx q 而当1>q 时，.0lim =-∞→xx q例3 证明 .111lim-=+-∞→x xx证 由)1(11--+-x x 12+=x 12-<x )1(>x 限制，现在，,0>∀ε令 ε<-12x ⇒1,12>+>x x ε于是，若取,12+=εX 则当X x >时，就有ε<--+-)1(11x x 即.111lim -=+-∞→x xx 证毕.自变量趋于有限值时函数的极限例4 (E03) 设12-=x y ，问δ等于多少时，有：当δ<-4x 时，107.y <-?解 欲使107.y <-，即1042827127.x x )x (y <-=-=--=-从而0502104..x =<-,即当050.=δ时，有：当δ<-4x 时，107.y <-（如图）.例5(E04) (1) 证明 C C x x =→0lim (C 为常数）.证 任给,0>ε任取,0>δ当δ<-<00x x 时，A x f -)(C C -=0=恒成立，∴.lim 0C C x x =→例5 (2) 证明.lim 00x x x x =→证 ,)(0x x A x f -=-任给,0>ε取,εδ=当εδ=<-<00x x 时，ε<-=-0)(x x A x f 成立，∴.lim 00x x x x =→例6 (E05) 证明 211lim21=--→x x x . 证 函数在点1-x 处没有定义,A x f -)(2112---=x x ,1-=x 任给,0>ε要使,)(ε<-A x f 只要取,εδ=则当δ<-<10x 时,就有,2112δ<---x x∴.211lim21=---x x x例7 (E06) 证明: 当00>x 时, 00limx x x x =→. 证 A x f -)(0x x -=0x x x x +-=,0x x x -≤任给,0>ε要使,)(ε<-A x f 只要ε00x x x <-且,0≥x取{}εδ00,m in x x =则当δ<-<00x x 时,就有,0ε<-x x∴.lim 00x x x x =→子序列的收敛性例8 验证xx x 0lim→不存在.证 xx x 0lim-→)1(lim lim00-=-=-→-→x x x x ;1-= x x x 0lim +→1lim lim 00+→+→==x x x x.1=左右极限存在但不相等. ∴)(lim 0x f x →不存在. 左右极限的概念例9 (E07) 设,0,10,)(⎩⎨⎧<+≥=x x x x x f 求 )(lim 0x f x →.解 因为)(lim 0x f x -→)1(lim 0+-=-→x x ,1=)(lim 0x f x +→x x +→=0lim .0=即有)(lim 0x f x -→≠),(lim 0x f x +→所以)(lim 0x f x →不存在.例10 设⎩⎨⎧≥+≤-=,0,10,1)(2x x x x x f 求)(lim 0x f x →.解 0=x 是函数的分段点，如下图.例11 (E08) 设 ),0(11)(/1/1>+-=a aa x f x x求 ).(lim 0x f x → 解 )(x f 在0=x 处没有定义，而)(lim 00x f x +→11lim110+-=--+→xx x aa 1-=)(lim 00x f x -→xx x a a 110011lim+-=-→1=故)(lim 0x f x →不存在.课堂练习1. 判别下列极限是否存在, 如果存在求出其值..(1);2lim /10x x → (2)x x e /1lim ∞→; (3)2/10lim xx e-→.2. 若,0)(>x f 且.)(lim A x f =问: 能否保证有0>A 的结论? 试举例说明.第五节 无穷小与无穷大没有任何问题可以像无穷那样深深地触动人的感情，很少有别的观念能像无穷那样激励理智产生富有成果的思想，然而也没有任何其它的概念能像无穷那样需要加于阐明. -------大卫. 希尔伯特对无穷小的认识问题，可以远溯到古希腊，那时，阿基米德就曾用无限小量方法得到许多重要的数学结果，但他认为无限小量方法存在着不合理的地方. 直到1821年，柯西在他的《分析教程》中才对无限小（即这里所说的无穷小）这一概念给出了明确的回答. 而有关无穷小的理论就是在柯西的理论基础上发展起来的. 内容要点一、无穷小的概念 二、无穷小的运算性质有限个无穷小的代数和仍是无穷小 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.三、无穷大的概念四、无穷小与无穷大的关系 例题选讲无穷小的概念与无穷小的运算性质例1 根据定义证明：xx y 1sin2=当0→x 时为无穷小. 证 ,0>∀ε要使,1sin ||01sin222ε<≤=-x xx x x 只须,||ε<x 取,εδ=则当δ<-<|0|0x 时，恒有,01sin2ε<-xx .01sinlim 20=∴→xx x 证毕.例2 (E01) 求.sin limx xx ∞→ 解 因为 x x xx x x sin 1lim sin lim⋅=∞→∞→ 而当∞→x 时, x 1是无穷小量, x sin 是有界量),1|sin (|≤x所以.0sin lim=∞→x xx例3 (E02) 证明 .11lim1∞-→＝x x 证 ,0>∀M要使,11M x >-只要,11M x <-取,1M =δ当M x 1|1|0=<-<δ时，就有,11M x >-所以.11lim1∞-→＝x x 例4 证明).1()1(lim >+∞=-+∞→a a x x证 ,0>∀M取),1(log +=M X a 当Xx >时，有 1)1(log +==>+M a a aM X xa从而,)1(lim +∞=-+∞→x x a 即当+∞→x 时，)1(-x a 是正无穷大.例5 (E03) 当0→x 时，xx y 1sin 1=是一个无界变量，但不是无穷大. 证 取0→x的两个子列：).,2,1(21,22121==+=k k x k x k kπππ则 ),(0),(021∞→→∞→→k x k x k k 且,22)(1ππ+=k x y k 故,0>∀M ,0>∃K使,)(1M x y k>即y 是无界的；但 ),,1,0(02sin 2)(2===k k k x y k ππ所以 xx y 1sin 1=不是无穷大.例6 (E04) 求 .5lim 34+∞→x x x 解 因为 051lim 5lim 434=⎪⎭⎫⎝⎛+=+∞→∞→x x x x x x根据无穷小与无穷大的关系有.5lim 34∞=+∞→x x x 课堂练习1.求 .)1(22lim 221--→x x x x2．（1）设0x x →时，)(x g 是有界量，)(x f 是无穷大量，证明：)()(x g x f ±是无穷大量.（2）设0x x →时，M M x g (|)(|≥是一个正的常数），)(x f 是无穷大量，证明：)()(x g x f 是无穷大量.第六节 极限运算法则本节要建立极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则. 在下面的讨论中，记号“lim ”下面没有表明自变量的变化过程，是指对0x x →和∞→x 以及单则极限均成立. 但在论证时，只证明了0x x →的情形. 内容要点一、 极限的四则运算：定理1 推论1 推论2 二、 复合函数的极限运算法则：定理2 例题选讲 极限的四则运算例1(E01) 求 )53(lim 22+-→x x x .解 )53(lim 22+-→x x x 5lim 3lim lim 2222→→→+-=x x x x x 5lim lim 3)lim (2222→→→+-=x x x x x =2223⋅-5+3=注：设,)(110n n n a xa x a x f +++=- 则有)(lim 0x f x x →n n x x n x x a x a x a +++=-→→ 110)lim ()lim (0n n n a x a x a +++=- 10100).(0x f =例2 (E02) 求 27592lim 223---→x x x x .解 27592lim 223---→x x x x )275(lim )92(lim 2323---=→→x x x x x 2373593222-⋅-⋅-⋅=.229=注：设,)()()(x Q x P x f =且,0)(0≠x Q 则有 ).()()()(lim )(lim )(lim000000x f x Q x P x Q x P x f x x x x x x ===→→→当0)(0=x Q 时，则商的法则不能应用.例3 (E03) 求 3214lim21-+-→x x x x .解 ,0)32(lim 21=-+→x x x商的法则不能用.又,03)14(lim 1≠=-→x x.031432lim 21==--+∴→x x x x 由无穷大与无穷小的关系，得.3214lim 21∞=-+-→x x x x 例4 (E04) 求 321lim 221-+-→x x x x .解 1→x 时，分子和分母的极限都是零).00(型先约去不为零的无穷小因子1-x 后再求极限.321lim 221-+-→x x x x )1)(3()1)(1(lim 1-+-+=→x x x x x 31lim 1++=-x x x （消去零因子法）.21= 例5 (E05) 计算.147532lim2323-+++∞→x x x x x 解 ∞→x 时，分子和分母的极限都是无穷大(∞∞型).先用3x 去除分子分母，分出无穷小，再求极限. .72147532lim147532lim 332323=-+++=-+++∞→∞→xx x x x x x x x x (无穷小因子分出法)注：当,0,000≠≠b a m 和n 为非负整数时，有.,,0,lim110110⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞>==++++++--∞→mn m n m n ba b x b x b a x a x a n n n m m m x 当当当 无穷小因子分出法：以分母中自变量的最高次幂除分子和分母，以分出无穷小，然后再求极限的方法.例6 (E06) 计算.231568lim 323-+++∞→x x x x x解 ∞→x 时，分子分母均趋于,∞此类极限也不能直接用极限运算法则，可把分子分母同除以绝对值最大的项，再用极限运算法则..32231568lim 231568lim332323=-+++=-+++∞→∞→xxx x x x x x x x例7 (E07) 求.21lim 222⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→n n n n n 解 本题考虑无穷多个无穷小之和.先变形再求极限.211121lim )1(21lim 21lim 21lim 22222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n 例8 计算.)1()1)(1)(1(lim 3431x x x x x ----→ 解 因分母的极限为0，故不能应用极限运算法则，而要先对函数做必要的变形，因分子中含有根式，通常用根式有理化，然后约去分子分母中的公因子.3431)1()1)(1)(1(limx x x x x ----→ )1)(1)(1()1()1)(1)(1(lim4342432331x x x x x x x x x x x ++++++----=→.241)1)(1)(1(1lim434243231=++++++=→x x x x x x x 例9 (E08) 计算).sin 1(sin lim x x x -++∞→解 +∞→x 时，1sin +x 与x sin 的极限均不存在，但不能认为它们差的极限也不存在，要先用三角公式变形：21cos 21sin2lim )sin 1(sin lim xx x x x x x x ++-+=-++∞→+∞→.021cos)1(21sin2lim =++++=+∞→xx x x x最后这一步用了“有界量与无穷小的乘积为无穷小”的结论.例10 计算下列极限：;1!sin lim )1(32+∞→n n n n .2tan lim )2(10xx e x +→ 解 (1) 由于,011l i m 1l i m 323132=+=+∞→∞→n n n n n n 而!sin n 是有界量，由“有界量与无穷小之积为无穷小”知 .01!sin lim 32=+∞→n n n n (2) 因为,0tanlim 0=→x x 又,22,011>+>xx e e 从而,212101<+<xe即xe121+为有界量，所以 .02tan lim10=+→xx ex例11(E09) 已知,0,1130,1)(32⎪⎩⎪⎨⎧≥+-+<-=x x x x x x x f 求),(lim 0x f x →),(lim x f x +∞→),(lim x f x -∞→解 先求),(limx f x →因为1)1(lim )(lim 00-=-=--→→x x f x x 1113lim)(lim 3200-=+-+=++→→x x x x f x x 所以.1)(lim-=→x f x 此外，易求得,011131lim113lim )(lim 33232=+-+=+-+=+∞→+∞→+∞→xx x x x x x x f x x x.)1(lim )(lim -∞=-=-∞→-∞→x x f x x例12 (E10) 求.)1(21ln lim 21⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→x x x . 解一 令,)1(212--=x x u 则当1→x 时，,121)1(212→+=--=x x x u故原式.0ln lim 1==→u u解二 .01ln 21lim ln )1(21lim ln )1(21ln lim 12121==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→→→x x x x x x x x 例13 已知,2)5(lim 2=+--+∞→c bx ax x x 求b a ,之值.解 因cbx ax x c bx ax x c bx ax x c bx ax x x x +-++-++--=+--+∞→+∞→22225)5)(5(lim)5(lim,25)25(lim5)25(lim222=+-+-+-=+-+-+-=+∞→+∞→xcx b a x cb x a cbx ax x c bx x a x x 故,25025⎪⎩⎪⎨⎧=+=-ab a 解得.20,25==b a 课堂练习1. 求极限:;lim )1(1sinxx x e→(2).231lim3xx x +-++∞→2. 在某个过程中，若)(x f 有极限，)(x g 无极限，那么)()(x g x f +是否有极限？为什么？第七节 极限存在准则 两个重要极限内容要点一、夹逼准则：如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件:（1）),3,2,1( =≤≤n z x y n n n ; （2）,lim ,lim a z a y n n n n ==∞→∞→那末数列n x 的极限存在, 且.lim a x n n =∞→注：利用夹逼准则求极限，关键是构造出n y 与n z , 并且n y 与n z 的极限相同且容易求. 二、单调有界准则：单调有界数列必有极限.三、两个重要极限：1. 1sin lim 0=→x x x ； 2．e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim .四、柯西（Cauchy ）极限存在准则 例题选讲 夹逼准则的应用例1 (E01) 求 .12111lim 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 解nn n +2nn n ++++<22111 12+<n n又,1111limlim2=+=+∞→∞→nnn n n n ,1111lim1lim22=+=+∞→∞→nn n n n由夹逼定理得.112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n 例2 求 .)321(lim /1n n nn ++∞→解 由,313213)321(11nn nnn n ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++易见对任意自然数,n 有 ,3313211<⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+<nn故.3331321313111n nn nn⋅<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+<⋅ 而,313lim 1=⋅∞→nn ,333lim 1=⋅∞→n n 所以n n n n 1)321(lim ++∞→nn nn 1313213lim ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→.3= 例3 求 .)(1)1(11lim 222⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++∞→n n n n n 解 设.)(1)1(11222n n n n x n +++++=显然， 2222)2(1)2(1)2(141n n n n n +++=+ n x <22221111nn n n n +=+++<又,041lim2=+∞→n n n ,01lim 2=+∞→n n n 由夹逼准则知,0lim =∞→n n x即.0)(1)1(11lim 222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++∞→n n n n n 例4 求 ).1(lim>∞→a a nnn解 设,1h a +=,0>h 则n n h a )1(+=n h h n n nh ++-++= 2!2)1(1,!2)1(2h n n -> 于是2)1(!2h n n n a n n -<),1()1(22>-=n h n 从而2)1(20h n a n n -<<又因,0)1(2lim 2=-∞→h n n 故得.0lim =∞→n n a n例5 求 ).0(!lim >∞→a n a nn 解 n a a a a a a n a n )2])([1]([321!++⋅⋅⋅=n a a a a a a c )3])([2]([++⋅⋅=,nac ⋅<其中,)1]([321+⋅⋅⋅=a a a a c 因此,!0na c n a n ⋅<<而,0lim =⋅∞→n ac n 所以.0!lim=∞→n a n n 例6 (E02) 求 .!limnn n n ∞→解 由n n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅=321!n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅<21,22n =易见.2!02n n n n <<又.02lim 2=∞→n n 所以 .0!lim 2=∞→n n n例7 (E03) 求 .lim nn n ∞→解 令),0(1≥+=n n n r r n 则n n r n )1(+=n n n n r r n n nr ++-++= 2!2)1(1),1(!2)1(2>->n r n n n 因此 , .120-<≤n r n 由于,012lim=-∞→n n 所以.0lim =∞→n n r 故.1lim 1)1(lim lim =+=+=∞→∞→∞→n n n n n n r r n例8 求证).0(1lim >=∞→a a nn解 (1) 当1=a 时, ,11=n 故.11lim lim ==∞→∞→n nn a(2) 当1>a 时,设,n n a x =显然.1>n x 当a n >时,.n n n n a x <=由例3知,1lim =∞→n n n 所以).1(1lim >=∞→a a nn(3) 当10<<a 时，总存在一个正数),1(>b b 使得,/1b a =由(2)知,1lim =∞→nn b 所以,111lim 11lim lim ====∞→∞→∞→n n nn n n b b a综合上述证明可知 ).0(1lim >=∞→a a n n例9 求极限 .1lim 0⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x xx 解 当0≠x 时,x x x 1111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-，因此，当0>x 时, 111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-x x x 由夹逼定理可得,11lim0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→x x x 当0>x 时，有111≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡>-x x x 由夹逼定理可得,11lim0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-→x x x 从而.11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x 例10 (E04) 求极限x x cos lim 0→.解 因为2222sin 2cos 10222x x x x <⎪⎭⎫⎝⎛⋅<=-<,故由准则I ',得 0)cos 1(lim 0=-→x x , 即 1cos lim 0=→x x例11 (E05) 设有数列,3,,3,31121++=+==n n x x x x x求n n x ∞→lim .解 显然,1n n x x >+}{n x ∴是单调递增的.下面利用数学归纳法证明}{n x 有界. 因为,331<=x 假定,3<k x 则k k x x +=+3133+<.3<所以}{n x 是有界的.从而A x n n =∞→lim 存在.由递推关系,31n n x x +=+得,321n n x x +=+故),3(lim lim 21n n n n x x +=∞→+∞→即,32A A +=解得,2131+=A 2131-=A (舍去). 所以.2131lim +=∞→n n x 例12 设 0>a 为常数, 数列n x 由下列定义:),2,1(2111 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=--n x a x x n n n其中0x 为大于零的常数, 求.lim n n x ∞→解 先证明数列n x 的极限的存在性.由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--1121n n n x a x x ⇒,2121a x x x nn n +=--即a x x x n n n -=--221)(⇒.2a x n ≥ 由,0>a ,00>x 知,0>n x 因此,a x n ≥即n x 有下界.又,12121121221≤+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+nn n n x a x a x x 故数列n x 单调递减，由极限存在准则知n n x ∞→lim 存在. 不妨设,lim A x n n =∞→对式子⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--1121n n n x a x x 两边取极限得:.21⎪⎭⎫ ⎝⎛+=A a A A解之得,a A =即.lim a x n n =∞→例13 (E06) 求 xxx tan lim0→.解 x x x x x x x cos 1sin lim tan lim 00⋅=→→xx x x x cos 1limsin lim 00→→⋅=.1= 例14 求 .5sin 3tan lim0xxx →解 x x x x x x x 3cos 15sin 3sin lim 5sin 3tan lim 00⋅=→→x xx x xx 3cos 15355sin 33sin lim 0⋅=→15311⨯⨯=.53=例15 (E07) 求 .cos 1lim20x xx -→解 原式2202sin 2limx x x →=22022sin lim 21⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x 2022sin lim 21⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=→x x x 2121⋅=.21= 例16 (E08) 计算 .2sin 2sin lim 0xx xx x +-→解 .31212122sin 2122sin 21lim 2sin 12sin 1lim 2sin 2sin lim 000-=+-=+-=+-=+-→→→xx x x x x x x x x x x x x x 例17 下列运算过程是否正确： 1sin lim tan lim sin .tan lim sin tan lim===→→→→xxx x x x x x x x x x x x x x x x .解 这种运算是错误的.当0→x 时,,1tan →x x ,1sin →xx本题,π→x 所以不能应用上述方法进行计算.正确的作法如下：令,t x =-π则;t x +=π当π→x 时, ,0→t 于是)sin()tan(lim sin tan lim 0t t x x t x ++=→→πππt t t sin tan lim 0-=→.1sin tan lim 0-=-⋅=→tt t t t 例18 计算 .3cos cos lim 20x xx x -→解 203cos cos limx x x x -→20sin 2sin 2lim x x x x →=x xx x x sin 22sin 4lim 0⋅=→.4= 例19 计算 .cos sin 1lim 20xx x x x -+→解 x x x x x cos sin 1lim 20-+→xx x x x x x x cos sin 1)cos sin 1(lim 20-+++=→0sin cos 1)cos sin 1lim x x x x x x x x x +-++=→ 1211++=.34= 例20 求 3sin 2tan 2limx xx x +-+→.解 3sin 2tan 2limx xx x +-+→)sin 2tan 2(sin tan lim 30x x x x x x +++-=→。
第1章 函数极限与连续 §1.8 连续函数的性质
提示: 令 ( x ) f ( x a ) f ( x ) ,
则 ( x ) C [0 , a ] , 易证
(0) (a ) 0
作业
P49 / 2 ; 3 ; 5
解 本题是求初等函数的极限, 因 x 1是定义区间内的点, 故
e 2 x ln(3 2 x ) e 21 ln(3 2 1) lim arcsin x arcsin1 x 1
2e
2
.
高等数学 第1章 函数极限与连续 函数 极限与连续
1.8 连续函数的性质
ln( e n x n ) ( x 0) 的连续性. 例1.8.4 讨论函数 f ( x ) lim n n
1.8 连续函数的性质
内容小结
设 f ( x ) C [a , b] , 则
1. f ( x ) 在 [a , b]上有界; 2. f ( x ) 在 [a , b]上达到最大值与最小值; 3. f ( x ) 在 [a , b]上可取最大与最小值之间的任何值;
4. 当 f (a ) f (b) 0 时, 必存在 (a , b) ,使 f ( ) 0.
高等数学 第1章 函数 极限与连续
1.8 连续函数的性质
思考与练习
1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它
一刀剪为面积相等的两片.
提示: 建立坐标系如图.
y
S ( )
则面积函数 S ( ) C[ , ]
因 S ( ) 0 ,
S ( ) A
o
x
故由介值定理可知:
由此可知f ( x ) sin x 2在( ,)不是一致连续的.
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由Dubai君基于王光庆的专插本高等数学视频所写原则：常用定义域【注意这里的x是p】（2）n可以为0 ，也就是根号x也成立；x不小于0即可（3）lnx ：x要大于0；lnx^2：x不等于0即可，因为x取到负值时平方后还是大于0这里的x是p1.公母不等于0；2. 2n倍的根号内不能小于0，当不是2n时无限制；3.对数真数部分大于0；4.反函数as与ac的定义域区间注意一下，是闭区间；取交集（都有的地方）分母不能为0！！！！抽象函数求定义域重要求定义域指的是求x的范围，所以要得到x的范围重点，课外补充：复合函数定义域问题1.由单一函数定义域求复合函数定义域重要思想：括号内的范围，是不变的2.由复合函数定义域求单一函数定义域求得括号的范围是【2,3】3. 由复合函数定义域求复合函数定义域思路：先求单一再求复合注意事项补充：1.定义域指的是x2.前后定义域要一样，易错题已知f（x-1）的定义域为（0,1】，即是x的取值范围为（0,1】：0<x<=1分段函数：主要以选择题的形式出现y-值域-y的取值范围x-定义域-x的取值范围f-对应法则-functionf对x进行操作得到y判断两个函数是否相同：两个函数的值域，定义域相同即是函数相同A:分母不能为0B:两个x都是属于R，定义域相同；第一个y>=0,第二个y属于R，值域不相同C：第一个x能取到负无穷，x不等于0即可；第二个x只能大于0；D：两个x都属于R，两个y都大于等于0这种类型题目分为三种第一种类型：知道简单的（标准的）求复杂的：做法：直接代入观察f(x)=2x,可知f是将x操作成2x，那么x+1会被f操作成2（x+1）f(x)=2xf(p)=2pp=x+1f(x+1)=2(x+1)答案是：9x+1第二种类型：知道复杂的来求简单的，其实就是让你求f的操作是什么方法：凑或换元观察可知f是将p操作成p的倒数: P=x,f(x)=1/x 这就是凑‘’1.凑2换元，【很重要，必须掌握】第三种类型：知道一个复杂的，求一个复杂的。
属于前两种类型的综合。
做法：先通过复杂的求简单的，后通过简单的求复杂的求函数解析式，令-x=x，调换，得到方程2，设法方程1与方程2联立消掉顺下f(x)即可1.函数的单调性判定：判定这个函数在该定义域是单调递增还是单调递减判断方法：使用求导（详细在第二章）导后大于0是单调递增，小于0是单调递减2.函数的奇偶性奇函数：关于原点对称判断函数的奇偶性：使用定义判断。
做小题的时候没必要都用定义去做，记下常见函数的奇偶性【注意下边的是f(x)=某某某，如sinx，f(x)=sinx是奇函数】奇数次方，都是奇函数，偶数次方都是偶函数这里的f(x)是任意函数使用定义法证明：F(x)=f(x)-f(-x) 则F（x）函数为奇函数奇偶性的四则运算助记：同类加减乘除不变；异类加减变飞机，乘除变奇奇x奇=偶偶x偶=奇奇x偶=奇；y=A是偶函数；做奇偶性题目需要注意奇偶性的定义，常见函数的奇偶性，奇偶性的四则运算。
A：补充知识：系数不影响奇偶性，不影响求导，不影响积分。
因此这里的系数2不影响奇偶性，可以忽略不看，看分子即可，（如果是加减，会导致函数左移右移，会改变奇偶性）观察可知，属于y=f(x)+f(-x)类型，所以是偶函数。
D：x不等于1，能等于-1，在图像上既不会关于y轴对称，也不会关于x轴对称（定义域不对称），是非奇非偶函数。
B：奇*奇=偶C：是常见函数，是奇函数答案选C关于y轴对称--是偶函数；关于原点对称--是奇函数A：奇（-）*偶（+）=奇（-）；cosx是偶。
B：奇+奇+偶=非奇非偶函数：y=1是偶函数；奇+奇=奇，奇+偶=非奇非偶函数。
C：y=f(x)-f(-x) 是奇。
D：y=f(x)+f(-x) 是偶。
答案选D函数的第三个性质：有界性知识补充：去绝对值既有上界，又有下界的函数，是有界函数常见的有界函数如，e^x无界，但sin有界，因此y有界函数的第四个性质：周期性其中b会导致函数图像左右平移，但不影响函数的周期；a会影响图像的扩展收缩，会影响周期同上注意sinx的周期即可反函数原函数的值域，是反函数的定义域；需要提前求出原函数的定义域和值域；补充，帮助理解第二步：函数跟用什么字母没什么关系，如这两是同一个函数原方程：y=x-11.反解x：x=y+12.x，y互换：y=x+1 【这个就是他的反函数】3.注明定义域y=x+1 x属于R1-x父母不能等于0这俩互为反函数这里有重点最终答案：两边都变e的幂极限：无限趋近，可以看似等于目标，不能等于目标。
左极限：从左边向目标靠近lim：就是极限的意思，lim下面的是极限的变化过程注意这里的前常数后A，可不是代表同一个数注意，趋近无穷大的时候：符合左右极限值存在且相等一个常数才存在极限，左或右极限值是无穷就不存在，判断极限是否存在的依据0是属于存在的两种情况：左右极限不相等2. 左或右极限值无穷大求分段点处的极限（是否存在，值是多少），左极限右极限是否存在，值是否相等规律其中的1可以替换为任意常数左右极限都不存在常见规则特别是e里面要注意带有绝对值，要去绝对值：为什么去绝对值，左极限带个符号？常见规律：类似的形式，则极限不存在规则：，这里的e 可以换成任意常数补充知识，左右函数相等经常用的结论当两极限都存在的时候（条件），则有下面三个结论（运算法则）极限乘除都可分的，和+-*%一样1.有定义时直接带入，（代入后有定义就可以直接得到结果）X趋近于2的时候，分母不为0，有定义，因此可以直接带入2.抓大头，【特别注重】给出这样的极限，分三种情况。
观察该极限，有个特点：x趋近于无穷大（条件）。
不是必须要无穷/无穷形状【注意三种情况。
】：次数小的当1看，上下一样取系数1.分子次数大：即：无穷大/1，则为：无穷大2.分子分母次数相等：则为分子系数/分母系数3.分母次数大：即：1/无穷大，则为0也就是次数相同时看系数，次数不同时次数大的看出无穷小的看成1符合第三种情况符合第二种情况符合第二种情况次数不同，次数大的看出无穷，次数小的看成1第一个重要极限【重点是后面的推广形式】注意是=1【注意是p趋近于0时（条件）；这里的p，重点是sinp的p和分母p，lim下的p不重要[与lim下的p趋近于如何无关]，sinp的p趋近于0，且符合形式，就可以使用】不会考原型，考的都是变形注意这里有凑成分母为2x极限符号下无需修改，0.x趋近于无穷时，sinp趋近于0，因此可以使用第一个重要极限1.尝试转换成符合第一个重要极限2.转换与求值第二个重要极限【重点是推广后的形式；是=e】【重要的是（1+p）^1/p 的中的（1+p）的p，该p趋近于0且符合形式，lim下的p不重要】【（1+p）^1/p 中p内部的变化使p趋近于0，并且1/p趋近于无穷，且符合形式（条件）（即为），即可使用该重要极限】该形式被称为使用步骤：1.因为都有1存在，需要凑出1来使其符合形式2.同上3.同上其实就是使其符合形式。
可知符合形式+第一步是先判断极限类型，符合哪个形式：第一步判断出符合然后凑括号内可以凑成，负号移动到分母，这样就是1+p了这一步重点是lim上移新lim求值：1.先判断极限类型【注意一下判断极限类型的方法】2.已知形，转换成其对应形式等价无穷小代换，无穷小等价代换【重点内容，必须要重点记住】：~意思就是等价的意思【sinp, x在p中，当x->(任意)时，若p趋近于0（无穷小）（必要条件），则可以sinp=x】无论x是趋近于0还是趋近于无穷，只要p趋近于0即可。
换号依然成立特别注意事项：务必注意解极限题注意点/步骤：1.能化简先化简2.判断极限类型，根据类型使用对应方法3.每一步都判断极限类型，每一步都尝试化简ln（1+2x）中p=2x 重点，不要极限于p只要一个sinx中p=x极限除法法则乘除，可用不看极限趋向于什么做法其为：注意只有这两形才可用洛必达做极限题：1化简，2判断类型这时候不能抓大头，因为不是每部分都趋向于无穷大如何判断类型呢？代入代入x=10比0形，可以洛必达洛一次后【继续代入x=1判断类型可以继续洛必达此时代入x=1，分母是有定义的（非0），分母也不是无穷大，回到极限的第一点，有定义时，就可以使用直接代入取值了。
先化简：分子分母各看成一部分分子x-sinx，是减号不能使用无穷小等量代换；‘分母（sinx）^3，是能无穷小等量代换的0比0形，洛必达又可以化简了【每步都考虑一下是否可以化简】结果不能化简，无穷比无穷形可以洛必达e^x的求导还是e^x 【需要注意常见求导】（也可以尝试通分）该类型将两式子合并判断：代入x=0，可知是无穷-无穷形因此先通分下面是一道非常重要的题目通分后，分母分子各看成一部分分母的ln（1+x）可以做无穷小等量代换，分子的不能无穷小等量代换：再次判断形0/0，洛必达化简：将0代入有定义，那就将0直接带入取结果判断形，是无穷-无穷，通分判断化简，不能化简，判断形状无穷小等量代换：判断化简，不能化简，判断形状0/0,洛等价无穷小代换（仍是0/0可以继续洛），化简已得到结果根号有理化（去掉根号）-则*+，+则*-涉及根号有理化与抓大头有理化得多出来的根号部分使用直接带入：多出来的根号部分带入x=0最终结果第二种做法，直接使用无穷小等价代换这道题不能使用无穷小等价代换，必须去根号无穷小*无穷大，这种情况无法直接得到答案，需要转换，转后就可以使用洛必达【0*无穷=0这是错误的】转换原理补充lnx的图形无法化简判断：当x->0^+,则x->0，lnx->负无穷（负无穷正无穷，都是无穷）；因此是0*无穷形、转换后并洛化简后直接代入补充知识判断，转换，洛必达化简后抓大头注意结果是1，采用的抓大头(取系数)幂指函数求极限补充：幂函数x在下，指数函数x在上幂指函数函数则是上下都有x幂指函数求极限使用：单边取对数方法原理等式；2.对数的真数的次方可前提判断，是幂指函数，所以显使用单边取对数方法做恒等变形e是已知常数，lim上移判断是否可以化简，无穷小等价代换此时不能继续化简，判断形：是0*无穷，转换洛必达，化简，带入其实就是【0*有界函数=0】，无穷小就是极限为0的数tan不是有界函数补充：4个反三角函数：反正弦arcsin x，反余弦arccos x，反正切arctan x，反余切arccot x eg：不能化简，判断形是0*有界，则结果是0代入判断形，后部分可以无穷小等量代换，化简得值考点二反过来的考法，已知极限结果，求极限中的未知数尝试在未知数的情况下求极限，求出得包含未知数的极限值并与题目给的极限值做等式1+a=0，a=-1；b=-20=1/无穷（分子小分母大），则可知分子是常数，则分子x的系数全为0，因此a=-1，b=0判断类型，需要通分合并处理，合并同类项1.几个0相加，还是02.几个0相乘，还是03.0*常数（有界），还是0无穷小间的比较两个的极限值作比，就可以知道哪个小了。