人教版8年级上册数学直角三角形最短路径问题解题技巧知识要点与同步练习题(含答案解析)
2019—2020学年度最新人教版八年级数学上册《最短路径问题》专项课时练习及解析.docx
新人教版数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题课时练习
一、选择题（共15小题）
1．如图，在直角坐标系中有线段AB，AB＝50cm，A、B到x轴的距离分别为10cm和40cm，B点到y轴的距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为（ ）
A．50 B．505 C．505－50 D．505＋50
答案：D
知识点：坐标与图形性质；勾股定理；轴对称-最短路线问题
解析：
解答：过B点作BM⊥y轴交y轴于E点，截取EM＝BE，过A点作AN⊥x轴交x轴于F点，截取NF＝AF，连接MN交x，y轴分别为P，Q点，
过M点作MK⊥x轴，过N点作NK⊥y轴，两线交于K点．
MK＝40＋10＝50，
作BL⊥x轴交KN于L点，过A点作AS⊥BP交BP于S点．
∵LN＝AS＝22)1040(50＝40．
∴KN＝60＋40＝100．
∴MN＝2210050＝505．
∵MN＝MQ＋QP＋PN＝BQ＋QP＋AP＝505．
∴四边形PABQ的周长＝505＋50．
故选D．
分析：过B点作BM⊥y轴交y轴于E点，截取EM＝BE，过A点作AN⊥x轴交x轴于F点，截取NF＝AF，连接MN交X，Y轴分别为P，Q点，此时四边形PABQ的周长最短，根据题目所给的条件可求出周长．
2．如图，在平面直角坐标系中，点A（－2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（ ）
A．（－2，0） B．（4，0） C．（2，0） D．（0，0）
答案： C
知识点：点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；轴对称-最短路线问题
解析：
解答：作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP，
则此时AP＋PB最小，
即此时点P到点A和点B的距离之和最小，
∵A（－2，4），
初中数学同步训练人教8年级上册：第10课时 13.4 课题学习 最短路径问题
CAB第十三章 轴对称
第10课时 13.4课题学习 最短路径问题
一、 课前小测——简约的导入
二、典例探究——核心的知识
例1 如果A,B两个村庄位于小河MN的同侧，如图3,为了解决两村村民的喝水问题，政府决定在小河边挖一口井，并使井到A,B两村距离和最短，请你找出适合挖井的位置.
NMBA
图3
例2 如图4，点P为马厩，AB为草地边缘（下方为草地），CD为一河流.牧人欲从马厩牵马先去草地吃草，然后到河边饮水，最后回到马厩.请帮他确定一条最佳行走路线.
三、平行练习——三基的巩固
3. 如图5，有A,B,C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间建一个购物超市，使超市到这三个小区的距离相等，画出表示超市的点P.
图5
4. 如图6，E，F分别是△ABC的边AB，AC上的两个定点，在BC上求一点M，使△MEF周长最短.
四、变式练习——拓展的思维 例4 如图7，牧童在A处放牛，他的家在B处，L为河流所在直线，晚上回家时要到河边让牛饮一饮水，在何处，牧童所走的路程最短？
图7
变式1 如图8，已知点A(-2，1)及点B(3，4)，在x轴上取一点C，通过作图可知，当点C的坐标为 时，使得AC+BC最小.
变式2 如图9，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大家，OA，OB•表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．
五、课时作业——必要的再现
5. 如图10，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A,B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A,B到它的距离之和最短？
图10
6. 如图11，EFGH为矩形台球桌面，现有一白球A和一彩球B.应怎样击打白球A,才能使白球A碰撞台边EF,反弹后能击中彩球B?
2020年人教版八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题课时训练 含答案
word版
初中数学
1 / 14 13.4 课题学习 最短路径问题课时训练
一．选择题
1．已知A（﹣1，1）、B（2，﹣3），若要在x轴上找一点P，使AP+BP最短，此时点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（，0） C．（﹣1，0） D．（﹣，0）
2．如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河处流边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示的平面直角坐标系中，点A坐标为（4，2），点B坐标为（1，﹣3），在y轴上有一点P使PA+PB的值最小，则点P坐标为（ ）
A．（2，0） B．（﹣2，0） C．（0，2） D．（0，﹣2）
4．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，word版
初中数学
2 / 14 且OP＝4，则△PMN的周长的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
6．如图．在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．84° B．88° C．90° D．96°
二．填空题
7．在平面直角坐标系中，有A（3，3），B（1，﹣1）两点，现在y轴上取一点P，当P点的坐标为 时，AP+BP的值最小．
8．如图，已知点A（0，3），B（3.0），C（1，2）．在y轴上找一点P，使PC+PB的值最小．请你估计点P的坐标是 ．
人教版八年级上册数学最短路径问题同步训练
试卷第1页，共6页 人教版八年级上册数学13.4最短路径问题同步训练
一、单选题
1．如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8km，P，Q两地到l的距离分别为2km，5km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）.
A． B． C． D．
2．如图，ABC是等边三角形，2AB，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，则PEPC的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．23
3．如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是36，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6 B．10 C．15 D．16
4．如图，在平面直角坐标系中，A(0，1)，B(3，2)，点C是x上任意一点，当CA+CB有最小值时，C点的坐标为( ) 试卷第2页，共6页 A．(0，0) B．(1，0)
C．(-1，0) D．(3，0)
5．如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB＝（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
6．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD=_____.
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．如图，△ABC中，AD垂直BC于点D，且AD=BC，BC上方有一动点P满足12PBCABCSS，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．如图，∠AOB＝20°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM＝α，∠OQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β的数量关系正确的是（ ）
人教版八年级上册数学课题学习最短路径问题训练
13.4课题学习最短路径问题训练
一．填空题
1．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，AD＝3.5cm．点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2cm，若在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为 cm．
2．如图，在锐角△ABC中，AB＝5，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是
．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是16，AC边的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 ．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是16，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 ．
5．如图，点P是∠AOB内部的一点，∠AOB＝30°，OP＝8cm，M，N是OA，OB上的两个动点，则△MPN周长的最小值 cm．
6．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（6，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB＝30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为 ．
7．如图，等边△ABC的周长为18cm，BD为AC边上的中线，动点P，Q分别在线段BC，BD上运动，连接CQ，PQ，当BP长为 cm时，线段CQ+PQ的和为最小．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是12，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F．若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为 ． 9．如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为 ．
10．如图所示：∠AOB的内部有一点P，到顶点O的距离为5cm，M、N分别是射线OA、OB上的动点．若∠AOB＝30°，则△PMN周长的最小值为 ．
人教版数学八年级上册13.4： 课题学习 最短路径问题随堂练习
1 13.4 课题学习 最短路径问题
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 如图，点 为 内一点，分别作点 关于 ， 的对称点 ，，连接 ，
交
于 ，交 于 ，若 ，则 周长为
A. B. C.
D.
2. 如图， 是等边三角形， 是
边上的高，点
是 边的中点，点
是
上的一个动点，当
最小时，
的度数是
A. B.
C.
D.
3. 如图，在 中，，， 是 的两条中线，
是
上一个动点，则下列线段的长度等于 最小值的是
A. B.
C.
D.
4. 如图，牧童在 处放牛，其家在 处，，
到河岸的距离分别为
和 ，且 ，若点 到河岸 的中点的距离为
米，则牧童从
处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
2 5. 如图，直线 是一条河，， 是两个村庄．欲在
上的某处修建一个水泵站，向
，
两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是
A.
B.
C.
D.
6.
如图，直线 表示一条河，点
，
表示两个村庄，想在直线
的某点
处修建一个向 ，
供水的水站．现有如图所示的四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道），则铺设的管道一定最短的是
A.
B.
C.
D.
7.
如图，在正方形
中，，
分别为 ，
的中点， 为对角线 上的一个动点，则下列线段的长等于
最小值的是
A.
B.
C.
D. 8. 如图，正 的边长为 ，过点 的直线 ，且 与 关于直线 对称， 为线段 上一动点，则 的最小值是
3
A. B. C. D.
9. 如图，在四边形 中，，，在 ，
上分别找一点 ，，当 的周长最小时， 的度数为
人教版八年级数学上册同步检测13.4 课题学习 最短路径问题(word版,含答案解析)
第7页（共14 页） 人教版八年级数学上册13.4 课题学习 最短路径问题
一、选择题（共16小题；共80分）
1. 如图，直线 𝑙 是一条河，𝑃，𝑄 是两个村庄．欲在 𝑙 上的某处修建一个水泵站，向 𝑃，𝑄 两地供水，现有如下四种修建方案，图中实线表示修建的管道，则所需管道最短的是 ( )
A. B.
C. D.
2. 如图，直线 𝑙 是一条河，𝐴，𝐵 是两个新农村定居点．欲在 𝑙 上的某点处修建一个水泵站，直接向 𝐴，𝐵 两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是 ( )
A. B.
C. D.
3. 如图，四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中，∠𝐶=50∘，∠𝐵=∠𝐷=90∘，𝐸，𝐹 分别是 𝐵𝐶，𝐷𝐶
上的点，当 △𝐴𝐸𝐹 的周长最小时，∠𝐸𝐴𝐹 的度数为 ( )
第7页（共14 页）
A. 50∘ B. 60∘ C. 70∘ D. 80∘
4. 如图，直线 𝐿 是一条河，𝑃，𝑄 是两个村庄．欲在 𝐿 上的某处修建一个水泵站，向 𝑃，𝑄 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是 ( )
A. B.
C. D.
5. 如图，直线 𝑙 是一条河，𝑃，𝑄 两地相距 8 千米，𝑃，𝑄 两地到 𝑙 的距离分别为
2 千米 、 5 千米，欲在 𝑙 上的某点 𝑀 处修建一个水泵站，向 𝑃，𝑄 两地供水．现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是
( )
A. B.
C. D.
八年级初二上册数学 人教版《课题学习 最短路径问题》 练习试题 测试卷(含答案)(1)
《13．4课题学习 最短路径问题》课时练
一、选择题
1．如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B=（ ）
A．60°B．70° C．80°D．90°
2．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
3．如下图是一个的正方形，现要在中轴线上找一点，使最小，则的位置应选在（ ）点处．
A．P B．Q C．R D．S
4．如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 ( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=60°，BC边上的高AD=8，E是AD上的一个动点，F是边AB的中点，则EB+EF的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于（ ）
A．44° B．60° C．67° D．77°
7．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( ）
A．2∠A=∠1﹣∠2 B．3∠A=2(∠1﹣∠2） C．3∠A=2∠1﹣∠2 D．∠A=∠1﹣∠2
8．附图（①）为一张三角形ABC纸片，P点在BC上．今将A折至P时，出现折线BD，其中D点在AC上，如图（②）所示．若△ABC的面积为80，△DBC的面积为50，则BP与PC的长度比为何？（ ）
2020年人教版八年级上册13.4 课题学习 最短路径问题课时训练 含答案 2
13.4 课题学习 最短路径问题课时训练
一．选择题
1．已知A（﹣1，1）、B（2，﹣3），若要在x轴上找一点P，使AP+BP最短，此时点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（，0） C．（﹣1，0） D．（﹣，0）
2．如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河处流边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示的平面直角坐标系中，点A坐标为（4，2），点B坐标为（1，﹣3），在y轴上有一点P使PA+PB的值最小，则点P坐标为（ ）
A．（2，0） B．（﹣2，0） C．（0，2） D．（0，﹣2）
4．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OB、OA上的动点，点P为∠AOB内一点，
且OP＝4，则△PMN的周长的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
6．如图．在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．84° B．88° C．90° D．96°
二．填空题
7．在平面直角坐标系中，有A（3，3），B（1，﹣1）两点，现在y轴上取一点P，当P点的坐标为
时，AP+BP的值最小．
8．如图，已知点A（0，3），B（3.0），C（1，2）．在y轴上找一点P，使PC+PB的值最小．请你估计点P的坐标是 ．
9．如图，P为∠MON内部的已知点，连接OP，A为OM上的点，B为ON上的点，当△
PAB周长的最小值与OP的长度相等，∠MON的度数为
初中数学最短路径问题专练习题附答案
试卷第1页，共13页 最短路径问题专练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，点A，B的坐标分别为(2,0),(0,2)AB，点C为坐标平面内一点，1BC，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A．21 B．122 C．221 D．1222
【答案】B
【解析】
【分析】
如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，根据三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，再根据等腰直角三角形的性质以及三角形的中位线即可解答．
【详解】
解：如图所示，取AB的中点N，连接ON，MN，三角形的三边关系可知OM＜ON+MN，则当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大，
∵(2,0),(0,2)AB，
则∵ABO为等腰直角三角形，
∵AB=2222OAOB，N为AB的中点，
∵ON=122AB，
又∵M为AC的中点，
∵MN为∵ABC的中位线，BC=1，
则MN=1212BC，
∵OM=ON+MN=122，
∵OM的最大值为122
故答案选：B． 试卷第2页，共13页
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，解题的关键是确定当ON与MN共线时，OM= ON+MN最大．
2．如图，在∵ABC中，AB＝2，∵ABC＝60°，∵ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE∵l，BF∵l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）
A．6 B．22 C．23 D．32
【答案】A
【解析】
【分析】
把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．
【详解】
解：如图，过点C作CK∵l于点K，过点A作AH∵BC于点H，
在Rt∵AHB中，
∵∵ABC＝60°，AB＝2， 试卷第3页，共13页 ∵BH＝1，AH＝3，