一元二次方程概念与解法

一元二次方程概念与解法

教学目标

1.了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程

2.能够利用一元二次方程解决简单的实际问题。 教学重点

一元二次方程的三种解法：配方法、公式法、分解因式法。 教学难点

列一元二次方程解决实际问题。 知识点梳理：

一元二次方程知识框图：

1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做一元二次方程。

2.一元二次方程的一般形式:a 2x+bx+c=0(a ≠0)

3.一元二次方程的解法 直接开平方法：

适用于（mx+n ）2=h (h ≥0)的一元二次方程。 配方法：

适用于化为一般形式的一元二次方程。

关键：方程两边都加上一次项系数一半的平方。 公式法：

(b 2-4ac ≥0)

关键：b 2-4ac ≥0时，方程才有解。 因式分解法：

适用于方程右边是0，左边是易于分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。

4．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，•它没有实数根．

5.根的判别式及应用(△=b 2-4ac) (1)判定一元二次方程根的情况.

△>0⇔有两个不相等的实数根; △=0⇔有两个相等的实数根; △<0⇔没有实数根; △≥0⇔有实数根.

6.根与系数的关系(韦达定理)的应用

韦达定理:如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=-b a ,x 1·x 2=c a

. (1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值; (3)已知两根求作方程;

(4)已知两数的和与积,求这两个数; (5)确定根的符号:(x 1,x 2是方程两根).

有两正根⇔12120,

0,0x x x x ∆≥⎧⎪

+>⎨⎪>⎩

有两负根⇔1212

0,0,0x x x x ∆≥⎧⎪

+<⎨⎪>⎩

有一正根一负根⇔120,

x x ∆>⎧⎨

<⎩

有一正根一零根⇔12120,00x x x x ∆>⎧⎪

+>⎨⎪=⎩

有一负根一零根⇔1212

0,00x x x x ∆>⎧⎪

+<⎨⎪=⎩

x 1=x 2=0⇔1212

0,

0x x x x ∆>⎧⎨+==⎩

一元二次方程的应用

解应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出方程.•最后还要注意求出的未知数的值,是否符合实际意义.

例题讲解1：一元二次方程基本概念

（1）mx 2

-3x+x 2

=0是关于x 的一元二次方程的条件是 （ ）

A m=1

B m ≠-1

C m ≠0

D m 为任意实数

（2）（k-1）x 2

-kx+1=0是关于x 的一元二次方程的条件是 k ≠1 .

（3）已知方程mx 2

+mx+3m-x 2

+x+2=0,当m 时，为一元二次方程；当m 时，为一

元一次方程. （4）填写下表. 一元二次方程 一般形式

二次项数

一次项系数

常数项

3 x 2

-5=2 x （x+1）2

=4 πx 2

=0 x （x + ）=0

答案：见下表： 一元二次方程 一般形式 二次项系数

一次系数 常数项 3 x 2

-5=2 x 3 x 2

-2 x-5=0 3 -2 -5 （x+1）2

=4 x 2+-3=0 1 2 -3 x 2

=0 x 2=0 π 0 0 x （x+ ）=0

x 2

+ x=0

1

练习：

1.关于x 的方程(k －3)x 2

＋2x －1＝0,当k 时，是一元二次方程。

2.关于x 的方程(k 2－1) x 2

＋2(k －1)x ＋2k ＋2＝0,当k 时，是一元二次方程,当k 时，是一元一次方程。

3.把下列方程化成关于x 的一元二次方程的一般形式,再写出它的二次系数、一次系数及常数项。

(1)（x+m ）(2x-5m)-12m 2

=0

(2)x 2-3a(3x-2a+b)=b

2

例题讲解2：配方法解一元二次方程 （1）填上适当的数，使下列等式成立．

1)x 2+12x+ ＝(x+6)2；2)x 2-4x+ =(x- )2； 3)x 2+8x+ ＝(x+ ) 2．

（2）利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？

（1）x 2－8x + 1 = 0；

（2）2213x x +=；（3）2

3640x x -+=．

分析：（1）中经过移项可以化为2

81x x -=-，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上42，得到2

2

2

8414x x -+=-+，从而将原方程化为（x －4）2=15；

（2）中二次项系数不是1，此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数2，然后再进行配方，即2

3122x x -

=-，方程两边都加上23

()4

，方程可以化为231()416x -=.