非线性分数阶泛函微分方程解的存在性
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数学物理学报
ｈｔｔｐ：／／ａｃｔａｍｓ．ｗｉｐｍ．ａｃ．ｃｎ
非线性分数阶泛函微分方程解的存在性
， 张海 郑祖庥 蒋威 （ 安庆师范学院数学与计算科学学院 安徽安庆２４６１３３； 安徽大学数学科学学院 合肥２３００３９）
摘要：该文研究了非线性分数阶泛函微分方程的初值问题．分别基于Ｂａｎａｃｈ不动点定理、 Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理和逐步逼近法获得解的存在性结果，该结果推广了整数阶常微分方程和 泛函微分方程的相应结果，并给出实例说明了所得结果的有效性和适用性．
关键词：分数阶泛函微分方程；初值问题；不动点定理；分数导数；分数积分．
ＭＲ（２０００）主题分类：３４Ａ１２；３４Ｋ０５ 中图分类号：０１７５．７ 文献标识码：Ａ
文章编号：１００３—３９９８（２０１１）０２—２８９—０９
１ 引言
分数导数和分数积分由于在物理学、机械、化学和工程中的广泛应用已引起诸多学者的
关注，并有相关论文［１－８］发表和专著［９－１ｏ】出版．在文献［３～４，７＿８］中作者利用不同的方法
讨论了如下分数阶常微分方程解的存在性问题
Ｄ。ｘ（ｔ）＝ｆ（ｔ， （ ））
其中０＜Ｏｚ＜１，Ｄ ｘ（ｔ）表示 的ＯＬ阶导数．
在本文中，我们致力于讨论非线性分数阶泛函微分方程解的存在性问题，分数阶泛函微
分方程的应用背景来源于现实问题中状态变量的分数阶变化率依赖于状态的滞后效应．最
简单的这类方程为分数阶微分差分方程形式
Ｄ ｘ（ｔ）＝ｆ（ｔ， （ ），ｘ（ｔ一７＿））
这里７－＞０为常数．显然，当 ＝１时，方程（２）归结为文献［１１—１２】中整数阶泛函微分方
程；当７－＝０时，方程（２）归结为文献［２—４，７ １０］中整数阶常微分方程．
考虑更一般类型的非线性分数阶泛函微分方程
Ｄ ｘ（ｔ）＝ｆ（ｔ，Ｘｔ） （３ａ）
收稿日期：２００８—１０—２３；修订日期：２０１０—１０—０３ Ｅ—ｍａｉｌ：ｚｈａｎｇｈａｉ＠ａｑｔｃ．ｅｄｕ．ｏｎ；ｚｈｅｎｇｚｕｘｉｕ＠ｇｍａｉｌ．ｔｏｍ；ｊｉａｎｇｗｅｉ＠ａｈｕ．ｅｄｕ．ｃｎ ｝基金项目：国家自然科学基金（１０７７１００１）、教育部科学技术研究重点基金（２０５０６８）、高等学校博士学科点专 项科研基金（２００９３４０１１ｉ０００１）、安徽省高校省级自然科学研究基金（ＫＪ２００８Ｂ１５２，ＫＪ２００９Ｂ０９８）、 安徽省高校自然科学研究重点项目（ＫＪ２０１１
Ａ１９７）和安徽大学创新团队基金资助 ２９０ 数学物理学报 、，ｏ１．３１Ａ
和初始条件
ｘ（ｔ）＝ ０），ｔ∈［～丁，０】， （３ｂ）
其中０＜ ＜１，ｆ（ｔ， ）∈ｃ（［０，Ｔ］×Ｃ，Ｒ），Ｃ＝ （［＿ ０］，Ｒ）表示映区间［一７－，０］到Ｒ上的连
续函数空间．对于任何 Ｅ Ｃ，定义范数
ｌｌ＝ｓｕｐ ｌ （ ）ｌ， 口∈［－ｒ，０］
则 （【＿７－，０ｌ，Ｒ）为Ｂａｎａｃｈ空间，并且Ｘｔ（ ）＝ｘ（ｔ＋ ），０∈ｆ一下，０１．
本文的目的在于建立初值问题（３）解的存在性条件，应该指出初值问题（３）在方程的非
线性部分包含了状态时滞项，该时滞项在分析系统的性能方面具有重要的作用，有时即使很
小的时滞也能对系统造成很大的影响．因此，我们充分利用泛函分析技巧来克服时滞项在分
析解的存在性时带来的困难．我们分别利用Ｂａｎａｃｈ不动点定理、Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理和
逐步逼近法获得解的存在性结果．
本文内容安排如下：第二节，简要介绍分数导数、分数积分概念以及几个引理；第三节，
利用不动点定理获得解的存在性若干结果；第四节，给出实例说明所得结果的有效性和实用
性；最后，我们提出了进一步要解决的问题．
２定义与引理
本节我们介绍后文需要用到的几个基本定义和引理
设 ＞０为给定的常数，定义
＝｛ ∈ｃ （［一丁，ｏｌ，Ｒ）：＿ｌ 『ｌ ）．
定义２．１（Ｍｉｌｌｅｒ［。］）设ｆ（ｔ）Ｅ （［０，＋。。），Ｒ），ｔ ０，对 ∈Ｒ＋，称
）＝丽１／ｏ （ 一 ）一 ）
为ｌ厂（ ）的 阶分数积分． 定义２．２（Ｄｅｌｂｏｓｃｏ［。］）设Ｉ（ｔ）∈ （［０，＋。。），Ｒ），ｔ ０，对Ｖａ∈（０，１），称
）＝币 （ ～ ）ｄ ｄ出ｌｌ－￣ ）
为，（ ）的 阶分数导数． 引理２．１（Ｅ１一ｓａｙｅｄ［。］）设０＜ＯＬ＜１，ｘ（ｔ）∈ （［０， ］）且ｆ（ｔ， （￡））∈ （【０， × （［０， ］））
则 是分数积分方程
（ ） 丽１／ｏ（ｔ－ ｆ（ｅ， （
的解当且仅当 为分数微分方程初值问题
Ｄ （ ）＝‘厂＠， ），
ｘ（Ｏ）＝０
的解．
Ｎｏ．２ 张海等：非线性分数阶泛函微分方程解的存在性 ２９１
显然，由于ｆ（ｔ， ）Ｅ （［０，Ｔ］×Ｃ，Ｒ），根据引理２．１，我们知道初值问题（３）的解等价于
下列分数积分方程的解
１ ｆｔ （ ） （０）＋高／０（ 一 ）一 ｆ（ｏ，ｚｏ）ｄ ， ∈ ］， （４ａ）
（ ）＝ （ ），ｔ∈卜－７－，Ｏ］． （４ｂ）
引理２．２（Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理［１１］）若 是Ｂａｎａｃｈ空间 中的有界闭凸子集，且
Ｔ：Ｕ— 全连续，则 在 中至少有一个不动点．
３存在性结果
本节我们首先利用Ｂａｎａｃｈ不动点定理建立初值问题（３）解的存在唯一性定理．
定理３．１假设ｆ（ｔ，砂）Ｅ （［０，Ｔ］×Ｃ，Ｒ），Ｔ＞０，且存在一正连续函数ａ（ｔ）＞０，使得
ｆ（ｔ，ｕ）一ｆ（ｔ， ）ｆ ａ（ｔ）ｌｆ“一ｖｌ｛，ｔ∈［０，Ｔ］，Ｚｔ，ｕ Ｅ ｃ（［一丁，０］，Ｒ）． （５）
证定义算子Ｇ： （［＿７－， ］ｊＲ）一 （［一７一， ，Ｒ）如下
Ｊ （ ），ｔ∈［一７＿，ｏｌ， ＠
＋ ｔ ）￣－ｌＳ（ｏ，ｚｏ ｝ｔ∈［０１Ｔ］．
令 （・）：［一丁， ］一Ｒ定义为
＝ ，
则Ｙｏ＝ ．对于每个 ∈ （［Ｏ， ］，冗）且 （０）＝０，定义 为
，＝
，
如果 （・）满足方程
）＝ ）＋ （ 一ｌ，（％ ， ∈【０， ］
和初始条件
（ ）＝ （ ），ｔ∈［一丁，０】，
可以分解 （・）为 （ ）＝ （ ）＋ （ ），ｔ∈［０， 】，可知对于每个ｔ∈［０， ］，有 ＝Ｙｔ＋ｇｔ，且ｚ（．）
满足方程
）＝丽１／ｏ （ 一 ，（Ｏ，ｙｏ＋ｇｏ）ｄ
和 ２９２ 数学物理学报 Ｖ＿０１．３１Ａ
令
Ｃｏ＝｛ｚ∈ｃ（［０， ］，Ｒ）：Ｚ０＝０｝，
定义 中的范数为
ｌＩｚｌｌｏ＝ｓｕＰ｛ｌｚ（ｔ）ｌ：ｔ∈［０， ］， ∈Ｃｏ）．
则Ｃｏ为Ｂａｎａｃｈ空间．再定义算子Ｆ：Ｃｏ— 为
（Ｆｚ）（ ）＝丽１／ｏ （ 一旷 ，（Ｏ，Ｙｏ＋ｚｏ）ｄ ，ｔ∈ ］． （７）
由于Ｆ在 中存在不动点与方程（７）在 中有解相一致，算子Ｆ在 中存在不动点等
价于Ｇ在ｃ（［一下， ］，Ｒ）存在不动点．我们可以运用Ｂａｎａｃｈ不动点定理来证明Ｆ在 中
不动点的存在性．事实上，我们只需证明Ｆ： 一 是压缩的．
考虑ｚ，名 ∈Ｃｏ，对于Ｖｔ∈［０，Ｔ］，有
（ ｚ）（ ）一（ ）（ ）ｆ 而１／ｏ （ 一 ）一Ｉｆ（ｏ，ｙｏ＋ ）～ ， ＋
丽１ Ｊｏ （ 一 ）一 （ ）１￣ｏ－ｚ－
（ 一 ） ｓｕ。ｐ ） （
＝丽１ （ 一 ）１１ ｌ１０
＝ （ ）ｌｌ — ｌＩｏ
＜ 一Ｚ ｌ１ｎ． ｆ８１
由已知 （ｔ） ＜１，因此Ｆ：Ｃｏ一 为压缩映射，从而 ＝Ｆｚ在 中有唯一的不动
点，这样初值问题（３）在区间［一丁， ］存在唯一解．定理３．１证毕． Ｉ
注３．１当ａ（ｔ）＝Ｌ＞０为常数时，条件（５）归结为Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件．
另外，当ＯＺ＝ｌ时，所得结果即为文献［１１—１２】中整数阶泛函微分方程解的存在性结果．
当丁＝０时，所得结果即为文献【７］中分数阶常微分方程解的存在性结果．
当丁＝０， （ ）＝Ｌ＞０时，我们有 （ｔ） ＜１，其中Ｔ＜［（ ＋１）／Ｌ］ ．所得
结果等价于文献ｆ３１中结果．
当丁＝０， （ ）＝Ｌｔ一时，则 （ｔ）＝ＬＦ（１一 ）＜１，其中Ｌ＜ｉ／ｒ（１一 ）．所得结果
等价于文献ｆ３］中结果．
下面，我们基于Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理给出初值问题（３）解的存在性结果．
定理３．２若ｌ厂（ ， ）∈ｃ（［０，Ｔ］Ｘ ＣＺ，Ｒ），则存在非负实数Ｈ∈［０，Ｔ］使得初值问题（３）
在区间ｆ一丁， １上存在解．
证定义ｌＩｆｌｌ＝Ｉｎ＆ｘＩｆ（ｔ， ）１． ∈［０， 】， ∈ ．于是Ｓ（ｔ， ￡）为［０，Ｔ］上关于ｔ的连续
函数，因此
｝ｆ（ｔ，Ｘｔ）Ｊ Ｍ，Ｍ＞０．
令Ｈ＝ｍｉｎ｛Ｔ，【 ］ ），定义集合
Ｕ＝｛名∈ （［０，Ｈ］，Ｒ）：ＺＯ＝Ｏ， Ｊ ），
Ｎｏ．２ 张海等：非线性分数阶泛函微分方程解的存在性 ２９３
并且 中的范数定义为
ｌｌ１ ｓｕｐ｛Ｉｚ㈣ｌ：ｔ∈【０，ＨＪ， ∈ＵＪ．
于是Ｕ为Ｂａｎａｃｈ空间，并且Ｕ为有界闭凸集．
∈Ｕ，定义Ｐ 为
（Ｐ ）（ ） 高Ｊｏ（ｔ－ｏ） ， ＋２ｏ）ｄ０，ｔ∈［０ｊ ＨＩ・ （９）
我们可以运用Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理来证明Ｐ在Ｕ中不动点的存在性．下证算子Ｐ：Ｕ Ｕ
有定义，Ｐ连续并且是全连续的．
（ｉ）Ｐ：Ｕ— 有定义．
事实上， ∈ 由于／（ｏ，Ｙｏ＋ ）连续且有界，可知（Ｐ ）（ ）在［０，日］上连续且
㈤Ｊ 丽１ 丑（ （Ｏ，Ｙｏ＋
因此，Ｐ：Ｕ— 有定义．
（ｉｉ）Ｐ：Ｕ— 连续． 令 （”）为Ｕ中序列且 （ｎ）一 ，则
）（ （ ）（圳 丽１ （ｔ－ 一Ｉｆ（Ｏ， ’）～ｆ（Ｏ， ．
由于Ｚ和ｆ均连续，有
ｌＩＰ（ｚ‘ ’）一Ｐ（ｚ）ｌｌ１ ＩＩｆ（。， （｜）＋ ）一，（・， （．）＋ （１］）ｌｌ一０（ｎ一＋∞）．
（ｉｉｉ）Ｐ：Ｕ— 全连续．
Ｖｚ∈Ｕ，０ ｔ１ ｔ２ 日，有
Ｉ（Ｐｚ）（ｔ１）一（Ｐｚ）（ｔ２）｝
＝ｊ高 “ 一，（Ｏ，Ｙｏ＋－２０ 一志／ｏ幻 一，（Ｏ，Ｙｏ＋－Ｚｏ ｛
＝ｊ志／ 一，（Ｏ，Ｙｏ＋训 一志√（ 一，（Ｏ，ｙｏ＋训
＋丽１ Ｉｏ“ 一 ，（Ｏ，Ｙｏ＋－２０）ｄ ！２＿）／ｏ幻 （Ｏ，Ｙｏ＋５ｏ）ｄ
Ｆ 一 ＋２（ 一 ）。］
（ｔ２－－ｔｌ
可得ＰＵ等度连续．显然，ＰＵ一致有界．
由（ｉ）（ｉｉ）（ｉｉｉ）和Ａｒｚｅｌａ－Ａｓｃｏｌｉ引理，可得ＪＦ） 是相对紧的和Ｐ全连续．根据Ｓｃｈａｕｄｅｒ
定理证得Ｐ在Ｕ中存在不动点．定理３．２证毕． Ｉ
注３．２定理３．２给出了初值问题（３）解的局部存在性条件，该条件弱于定理３．１中解
的存在唯一性条件．
非线性分数阶微分方程组奇异对偶系统正解的存在性
２０１３年１１月 第３６卷第６期 四川师范大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｉｃｈｕａｎ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） Ｎｏｖ．，２０１３ Ｖｏ１．３６．Ｎｏ．６
非线性分数阶微分方程组奇异对偶系统正解的存在性
张稳根， 胡卫敏 ， 刘 刚
（伊犁师范学院数学与统计学院，新疆伊宁８３５０００）
摘要：分别应用锥上Ｌｅｒａｙ—Ｓｃｈａｕｄｅｒ非线性抉择定理和Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ’Ｓ不动点定理证明了非线性分数 阶微分方程奇异对偶系统正解的存在性． 关键词：奇异；非线性分数阶微分方程；正解；锥不动点定理 中圈分类号：Ｏ１７５．１４ 文献标志码：Ａ 文章编号：１００１—８３９５（２０１３）０６—０８８７—０６ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１—８３９５．２０１３．０６．０１６
近些年，出现了很多关于分数阶微分方程及其
应用的论文和专著 ，其中大部分指出了一些特
殊线性分数阶方程的可解性 ．然而，Ｄ．Ｄｅｌｂ０ｓｃｏ 等 考虑非线性分数阶微分方程Ｄ ： ｔ， ）的一
个鳃的存在性（其中，０＜ｓ＜１且Ｉ厂：［０，ａ］×Ｒ—Ｒ， ０＜ａ＜＋。。为已知函数，且在（０，ａ）×Ｒ上连续）．
他们应用Ｓｃｈａｕｄｅｒ不动点定理和Ｂａｎａｃｈ压缩映射 原理得到了解的存在性．文献［５］用上下解方法考
虑方程Ｄ ／／，＝厂（ｔ，Ｕ）正解的存在性（其中，０＜Ｓ＜１，
且厂：［０，１］×［０，＋∞）一［０，＋∞）是已知的连续 函数）．文献［６］分别用Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ’Ｓ不动点定理
和锥上Ｌｅｒａｙ—Ｓｃｈａｕｄｅｒ非线性抉择定理考虑奇异 对偶系统
ｆＤ Ｍ＝ ｔ， ），０＜ｔ＜１， ｉＤ ：ｇ（ ， ），０＜ｆ＜１ 的正解存在性（其中，０＜ｓ＜１，０＜Ｐ＜１，Ｄ 、 为２ 个标准的Ｒｉｅｍａｎｎ—Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ分数阶微分，ｆ，ｇ：（０，
１］×［０，＋∞）一［０，＋∞）是２个已知连续函数， 且ｌｉｍｆ（ｔ，・）＝ｌｉｍｇ（ｔ，・）＝＋∞（即厂和ｇ在ｔ＝
一类非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性
一类非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性
张海丽
【期刊名称】《宜宾学院学报》
【年(卷),期】2017(017)012
【摘 要】利用锥拉伸和压缩不动点定理研究了非线性分数阶微分方程边值问题:{cDα0+u(t)=λf(t,u(t),u'(t)),0 【总页数】5页(P78-81,91) 【作 者】张海丽 【作者单位】山西交通职业技术学院基础部,山西太原030031 【正文语种】中 文 【中图分类】O175.8 【相关文献】 1.一类非线性分数阶微分方程耦合系统边值问题解的存在性 [J], 张潇峰;封汉颍 2.一类非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性 [J], 吕卫东 3.一类非线性分数阶微分方程耦合系统边值问题解的存在性 [J], 薛益民;刘洁;戴振祥;徐媛媛 4.Banach空间一类非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性 [J], 陈艳丽;宋卫信;黎虹;张锋 5.一类非线性项具有导数的分数阶微分方程边值问题解的存在性 [J], 苏有慧;孙文超;孙爱 因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买
微分方程模型中的稳定性与解的存在性证明
微分方程模型中的稳定性与解的存在性证明
微分方程是数学中的重要分支之一，它描述了自然界中众多现象的变化规律。在微分方程的研究中，稳定性与解的存在性证明是两个基本问题。本文将从这两个方面展开讨论微分方程模型的特性。
稳定性是指系统在一定条件下的长期行为是否趋于稳定。在微分方程模型中，稳定性分为局部稳定性和全局稳定性。局部稳定性指的是系统在某一点附近的行为是否稳定，而全局稳定性则是指系统在整个定义域内的行为是否稳定。
稳定性的判断可以通过线性化的方法来进行。线性化是将非线性微分方程在某一点附近进行线性逼近，从而获得系统的线性化方程。通过对线性化方程的特征值进行分析，可以判断原方程在该点附近的稳定性。
解的存在性证明是指是否存在满足微分方程的解。在微分方程模型中，解的存在性通常需要借助一些数学工具和定理来证明。其中最常用的方法是皮卡-林德洛夫定理和柯西-利普希茨定理。
皮卡-林德洛夫定理是解的存在性证明中的重要定理之一。它指出，如果微分方程的右端函数在某个矩形区域内满足利普希茨条件，那么在该区域内存在唯一的解。利普希茨条件是指右端函数的偏导数存在且有界。
柯西-利普希茨定理则是解的存在性证明中的另一个重要定理。它指出，如果微分方程的右端函数在某个区域内满足利普希茨条件，那么在该区域内存在唯一的解，并且解的存在范围可以延伸到整个定义域。
除了皮卡-林德洛夫定理和柯西-利普希茨定理，还有一些其他的定理和方法可以用于解的存在性证明。比如，格朗沃尔不等式、逐步逼近法和拟凸函数法等。
总之，微分方程模型中的稳定性与解的存在性证明是微分方程研究中的重要问题。通过线性化和定理的运用，可以对微分方程的稳定性进行判断和证明。而解的存在性证明则需要借助一些数学工具和定理来进行推导。这些方法和定理为我们研究微分方程提供了有力的工具和理论支持。
几类分数阶微分发展方程非局部问题解的存在性
几类分数阶微分发展方程非局部问题解的存在性
几类分数阶微分发展方程非局部问题解的存在性
引言：
近年来，随着对分数阶微分方程的深入研究，分数阶微分发展方程非局部问题的存在性成为了研究的热点之一。本文将围绕几类分数阶微分发展方程的非局部问题解的存在性展开讨论。
一、分数阶微分方程的基本概念
分数阶微分方程是指微分方程中出现了分数阶导数的形式，以便更准确地描述实际问题。它不同于常见的整数阶微分方程，具有更广泛的应用领域。常见的分数阶微分方程包括分数阶常微分方程、分数阶偏微分方程等。
二、非局部问题的引入
在研究分数阶微分方程时，我们经常会遇到非局部问题。传统的微分方程通常是基于局部作用的，而非局部问题涉及到了引入非局部算子，该算子考虑一个点与所有其他点之间的关系，进而对微分方程产生影响。
三、分数阶微分发展方程非局部问题解的存在性
对于几类分数阶微分发展方程的非局部问题解的存在性，我们将分别进行讨论。
3.1 函数型分数阶微分发展方程
考虑函数型分数阶微分发展方程：
\[\frac{d^{\alpha}u(x)}{dx^{\alpha}} = f(x, u(x),
u'(x)), \quad x\in(0,1)\]
其中，\(0 < \alpha < 1\)是分数阶。对于这种类型的微分方程，我们可以利用Banach不动点定理来研究非局部问题解的存在性。通过合适的空间和适当的范数，我们可以将该微分方程转化为一个等价的积分方程。进而，通过证明相应的算子是压缩的，我们可以得到非局部问题解的存在性。
3.2 积分型分数阶微分发展方程
考虑积分型分数阶微分发展方程：
\[D^{\alpha}u(x) = f\left(x, u(x),
\int_{a}^{b}K(x,\xi)u(\xi)d\xi\right), \quad
x\in(a,b)\]
其中，\(0 < \alpha < 1\)是分数阶。对于这种类型的微分方程，我们可以利用Krasnoselskii不动点定理来研究非局部问题解的存在性。通过将积分项引入，我们可以将该微分方程转化为一个等价的算子方程。通过证明相应的算子是压缩的，我们可以得到非局部问题解的存在性。
一类非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性 2
一类非线性分数阶微分方程边值问题解的存在性
张海丽
【摘 要】利用锥拉伸和压缩不动点定理研究了非线性分数阶微分方程边值问题:{cDα0+u(t)=λf(t,u(t),u'(t)),0
【期刊名称】《宜宾学院学报》
【年(卷),期】2017(017)012
【总页数】5页(P78-81,91)
【关键词】分数阶微分方程;边值问题;不动点定理
【作 者】张海丽
【作者单位】山西交通职业技术学院基础部,山西太原030031
【正文语种】中 文
【中图分类】O175.8
近年来，越来越多的学者开始研究分数阶微分方程，他们发现用分数阶微分方程能更准确地描述事物的变化规律，在众多领域都有着广泛的应用.许多学者研究了分数阶微分方程边值问题解的存在性与唯一性，获得了很多成果[1-6].
文献[1]运用Banach压缩映象原理证明了分数阶微分方程边值问题
解的存在唯一性.文献[2]运用上下解方法研究了分数阶微分方程边值问题得到正解的存在性.文献[3]运用Schauder不动点定理及Krasnoselskii’s不动点定理研究了非线性分数阶微分方程边值问题
得到正解的存在性，其中是Caputo型分数阶微分.
本文讨论非线性分数阶微分方程边值问题：用锥拉伸和压缩不动点定理得到解的存在性.其中是Caputo型分数阶微分，f∶[0,1]×[0,+∞)×R→[0,+∞)连续.
定义1若函数u∈ACn([0,1],R)，且α＞0，则u的α阶Caputo型分数阶导数定义为：
其中：当α为非正整数时，n=[α]+1（其中[α]为α的整数部分），当α为正整数时，n=α.
引理1[7]假设E是Banach空间，P为E中的锥，Ω1,Ω2为E中两个开集，且满足θ∈Ω1，，算子全连续，且下列条之一成立，则算子A在中至少有一个不动点.
引理2[3]令2＜α≤3,y∈C[0,1]，则分数阶微分方程
存在唯一解：
其中
引理3由式(4)'定义的函数满足：
非线性分数阶微分方程边值问题解的唯一性
第３４卷第１期 ２０１３年 ２月 河南科技大学学报：自然科学版 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｈｅｎａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ：Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｖｏ１．３４ Ｎｏ．１ Ｆｅｂ． ２０１３
文章编号：１６７２—６８７１（２０１３）０１—００８５—０４
非线性分数阶微分方程边值问题解的唯一性
王翠菁 ，刘文斌 ，张金陵
（１．中国矿业大学理学院，江苏徐州２２１００８；２．徐州工业职业技术学院信息管理技术学院，江苏徐州２２１１４０；３．徐州高 等师范学校数理系，江苏徐州２２１１１６）
摘要：运用Ｂａｎａｃｈ压缩映射原理和广义Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件，应用Ｇｒｅｅｎ函数，研究了一类Ｃａｐｕｔｏ型分数阶微分方 程边值问题解的存在性，得到其解存在唯一性的充分条件。 关键词：Ｂａｎａｃｈ压缩映射原理；Ｃａｐｕｔｏ微分；分数阶边值问题 中图分类号：Ｏ１７５．１４：Ｏ１７５．８ 文献标志码：Ａ
Ｏ 引言
微分方程理论在自然科学领域中有着非常广泛的应用，很多自然和社会现象的发展变化规律都可
以用微分方程来刻画，例如生物种群的繁衍、行星运行规律、镭的裂变、物体的冷却、血液的变化等。有 许多学者致力于整数阶微分方程的理论及应用的研究，其相关理论也１３趋成熟起来，他们在此方面也取 得到了很多的研究成果¨ 。
分数阶微积分，不仅是将传统意义下的整数阶微积分运算拓展到运算阶次为分数的情况，还包括阶
数为无理小数和复数的情形。因此，从整体情况来看，分数阶微积分运算将一般意义下的整数阶微分和
积分推广到任意阶，它是整数阶微积分运算的推广和扩充。目前，分数阶微积分运算在许多的领域中发 挥着至关重要的作用。有众多的科学领域应用分数阶微积分理论，例如连续力学、统计学、各种材料的
记忆、机械力学、机器人研究、地震分析、图像与信息处理、生物学、控制理论等。目前还出现了更为新颖
的应用，例如模式识别、系统辨识等 。 文献［１０］利用锥不动点理论、Ｌｅｇｇｅｔｔ—Ｗｉｌｌｉａｍｓ定理讨论了Ｃａｐｕｔｏ型分数阶微分方程边值问题
一类非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在唯一性
一类非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在唯一性
古传运
【期刊名称】《绵阳师范学院学报》
【年(卷),期】2014(033)002
【摘 要】利用混合单调算子不动点定理,研究了一类非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在唯一性.主要结论不仅保证了正解的存在唯一性,而且能够构造一迭代序列去逼近此解.最后,举例说明所得结论的有效性.
【总页数】6页(P18-22,26)
【作 者】古传运
【作者单位】四川文理学院数学与财经学院,四川达州635000
【正文语种】中 文
【中图分类】O175.8
【相关文献】
1.非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在唯一性 [J], 古传运;胡攀
2.一类非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在唯一性 [J], 古传运;郑凤霞;钟守铭
3.一类非线性Riemann-Liouville型分数阶微分方程边值问题的两个正解 [J], 薛益民
4.一类非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性 [J], CAI Hui-Ze;HAN Xiao-Ling
5.一类非线性分数阶微分方程耦合系统边值问题的两个正解 [J], 彭钟琪;李媛;薛益民 因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买
分数阶微分方程边值问题解的存在性的开题报告
分数阶微分方程边值问题解的存在性的开题报告
一、研究背景
分数阶微积分继承和扩展了经典的整数阶微积分，为描述实际问题提供了更好的工具。分数阶微分方程是其中的一种，它与整数阶微分方程不同，具有非局部性和非对称的性质，在物理、化学、生物、经济等领域的应用十分广泛。
边值问题是分数阶微分方程中常见的问题之一，由于分数阶微分方程通常涉及到初值和边界值条件，边值问题的研究成为了分数阶微分方程研究的重要方向。因此，研究分数阶微分方程边值问题的解的存在性对于深入探究分数阶微分方程的特性和应用具有重要意义。
二、研究目的
本文的研究目的是探究分数阶微分方程边值问题解的存在性，具体研究以下问题：
1. 给出分数阶微分方程边值问题的定义和基本概念；
2. 探究分数阶微分方程边值问题解的存在性的充分条件和必要条件；
3. 研究若干不同类型的边值问题，探究其解的存在性。
三、研究方法
本文将采用数学分析法和数值计算法相结合的方法进行研究。
在理论分析方面，将基于分数阶微分方程的特性和边界值问题的相关理论，通过构造适当的函数空间及其基本性质、利用最小极值原理和上、下解方法等，探究分数阶微分方程边值问题解的存在性的充分条件和必要条件。
在数值计算方面，将采用万元川等人的分数阶微分方程迭代法等常用数值方法，通过计算分数阶微分方程边值问题的数值解，验证理论分析的正确性，并进一步探究若干不同类型的边值问题的解的性质。
四、研究意义
本文的研究结果将有助于深入理解分数阶微分方程的特性和应用，探究分数阶微分方程解的存在性的充分条件和必要条件，并进一步研究若干不同类型的边值问题的解的性质，为分数阶微分方程的理论研究和实际应用提供参考和借鉴。
一类非线性微分方程解的存在性
- 1 - 一类非线性微分方程解的存在性
微分方程是数学分析中一个重要的分支，它是描述物理现象的重要工具。在许多实际问题的研究中，微分方程及其解的存在性至关重要。本文将重点讨论一类非线性微分方程解的存在性问题，通过分析理论，相关定理，证明结果等，深入探讨这一问题。
首先，本文定义一类非线性微分方程：fy + f(y) = 0，其中f：R->R为可微定义函数，y：I->R为连续函数，记作：y(x)。这一类微分方程具有非常重要的实际意义，它反映了物理问题中特定物理量的变化情况，并可用于描述单极子现象以及其它类似问题，如电路问题，流体流动等。
其次，可以利用不动点定理推导出一类非线性微分方程解的存在性的关键。不动点定理的原理是：若在闭合区域内定义了一个可微的函数f(x)，那么在该区域内至少有一个不动点x0，满足f(x0)=0。这可以证明在该区域内至少存在一个根。
再次，基于不动点定理，可以使用单变量分析的方法来证明一类非线性微分方程解的存在性。例如，假设f(x)在x=x0处增加，那么可以证明f(x0)必定大于零，而f(x0+1)则小于零，从而证明在x0和x0+1处非线性微分方程的解一定存在。同时，从该等式的另一端向另一端推进，依次推出一类非线性微分方程的解存在性定理，用以证明一类非线性微分方程解的存在性。
再者，可以借助微分方程组及其解的稳定性来证明一类非线性微分方程解的存在性。即通过考察一类非线性微分方程的稳定性，可以 - 2 - 确定一类非线性微分方程的解的存在性。如，假设f(x)在某一点x0处为极小值，那么就可以说明在(x0-δ,x0+δ)范围内，一类非线性微分方程的解必定存在。
最后，可以通过寻找一类非线性微分方程的积分分布等，从而证明一类非线性微分方程解的存在性。如，可以利用有限差分或者比较原理等，来研究一类非线性微分方程的积分分布。经过极限运算，可以获得一类非线性微分方程的解，从而证明其存在性。
一些非线性微分方程的存在性与多重性
一些非线性微分方程的存在性与多重性
本文主要考虑一些非线性微分方程(包括波动方程和椭圆方程)解的存在性与多重性问题.所使用的研究方法主要是非线性分析中的拓扑度理论.首先,我们考虑一类非线性变系数波动方程的Dirichlet-Neumann边值问题,通过分析变系数波算子的谱特征,在系数满足一定条件下,证明了变系数波算子的可逆性以及逆算子的紧性,然后利用Leray-Schauder度理论得到了时间周期解的存在性.进一步,在外力具有某种对称性条件下,我们还得到至少存在两个时间周期解.然后,我们考虑了非线性常系数波动方程的Neumann边值问题,通过引入适当的子空间,证明了波算子在子空间上的可逆性以及逆算子的紧性,进而利用拓扑度理论得到了时间周期解的存在性和多重性.最后,我们考虑变系数椭圆方程的Dirichlet-Neumann边值问题,在系数满足适当的条件下证明了变系数椭圆算子的可逆性以及逆算子的紧性,利用拓扑度理论得到了解的存在性和多重性.