2011考研数学三真题及答案解析
1
2011年考研数学三真题
一．选择题
1.已知当错误！未找到引用源。0x时，函数()3sinsin3fxxx错误！未找到引用源。与
k
cx
是等价无穷小，则
（A） 1,4kc （B）1,4kc
（C） 错误！未找到引用源。 （D）3,4kc
2．已知fx在0x处可导，且00f，则23302limxxfxfxx
（A）'20f （B）'0f
(C) '0f (D)0
3．设nu是数列，则下列命题正确的是
（A）若1nnu收敛，则2121nnnuu收敛
（B）若2121nnnuu收敛，则1nnu收敛
（C）若1nnu收敛，则2121nnnuu收敛
（D）若2121nnnuu收敛，则1nnu收敛
4．设444000lnsin,lncot,lncosIxdxJxdxKxdx，则,,IJK的大小关系是
（A）IJK
（B）IKJ
（C）JIK
（D）KJI
5．设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第一行得单位矩阵.
记1100110001P,2100001010P,则A
（A）12PP （B）112PP
2
（C）21PP （D）121PP
6．设A为43矩阵，123,,是非齐次线性方程组Ax的3个线性无关的解，12,kk为任意常
数，则Ax的通解为
（A）231212k （B）232212k
（C）231312212kk （D）232213312kk
7．设12,FxFx为两个分布函数，其相应的概率密度12,fxfx是连续函数，则必为概率密
度的是
（A）12fxfx （B）212fxFx
（C）12fxFx （D）1221fxFxfxFx
8．设总体X服从参数为0的泊松分布，12,,,2nXXXn为来自总体的简单随机样本，
则对应的统计量111niiTXn，121111niniTXXnn
（A）1212,ETETDTDT
（B）1212,ETETDTDT
（C）1212,ETETDTDT
（D）1212,ETETDTDT
二、填空题
9．设0()lim(13)xttfxxt，则()fx
10．设函数(1)xyxzy，则(1,0)dz
11．曲线tan()4yxye在点(0,0)处的切线方程为
12．曲线21yx，直线2x及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为
13．设二次型123(,,)TfxxxxAx的秩为1，A中行元素之和为3，则f在正交变换下xQy的标
准为
3
14．设二维随机变量(,)XY服从22(,;,;0)N，则2()EXY
三、解答题
15．求极限012sin1limln(1)xxxxx
16.已知函数(,)fuv具有连续的二阶偏导数，(1,1)2f是(,)fuv的极值，
(),(,)zfxyfxy
。求2(1,1)zxy
17．求
arcsinlnxxdxx
18．证明44arctan303xx恰有2实根.
19．''()(0)1()()ttDDfxffxydxdyfxydxdy在[0,1]有连续的导数，，且
(,)|0,0(01),()tDxyytxttfx求的表达式。
20．1231,0,1,0,1,1,1,3,5TTT不能由
123
1,,1,1,2,3,1,3,5TTTa
线性表出。①求a；②将123,,由123,线性表出。
21．A为三阶实矩阵，()2RA，且111100001111A
（1）求A的特征值与特征向量（2）求
A
22.
X 0 1
P 1/3 2/3
Y -1 0 1
P 1/3 1/3 1/3
22
1PXY
求：（1）,XY的分布；（2）ZXY的分布；（3）XY.
23. ,XY在G上服从均匀分布，G由0,2xyxy与0y围成。
①求边缘密度()Xfx；②求|(|)XYfxy
4
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7
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历年考研数学三真题及答案解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xyx+=-渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（2）设函数2()(1)(2)x x nxf x e e e n=--…（-），其中n为正整数，则(0)f'=（）（A）1(1)(1)!n n---（B）(1)(1)!n n--（C）1(1)!n n--（D）(1)!n n-（3）设函数()f t连续，则二次积分22202cos()d f r rdrπθθ⎰⎰=（）（A）222() dx x y dy+⎰（B）222() dx f x y dy+⎰（C）2221() dx x y dy+⎰⎰（D）2221() dx x y dy+⎰⎰（4）已知级数11(1)inα∞=-∑绝对收敛，21(1)ninα∞-=-∑条件收敛，则α范围为（）（A）0<α12≤（B）12< α≤1（C）1<α≤32（D）32<α<2（5）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（） （A ）123ααα，， （B ）124ααα，，（C ）134ααα，，（D ）234ααα，，（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 123=P ααα（，，），1223=Q αααα（+，，）则1=Q AQ -（）（A ）121⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）112⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+P X Y ≤22｛1｝（ ）（A ）14（B ）12（C ）8π（D ）4π（8）设1234X X X X ，，，为来自总体N σσ>2（1，）（0）的简单随机样本，则统计量1234|+-2|X X X X -的分布（）（A ）N （0，1）（B ）(1)t（C ）2(1)χ （D ）(1,1)F二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）1cos sin 4lim(tan )x xx x π-→（10）设函数ln 1(),(()),21,1x dy x f x y f f x dx x x =⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩求___________.（11）函数(,)z f x y =满足010,x y →→=则(0,1)dz =_______.（12）由曲线4y x =和直线y x =及4y x =在第一象限中所围图形的面积为_______.（13）设A 为3阶矩阵，|A|=3，A*为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则|BA*|=________.（14）设A,B,C 是随机事件，A,C 互不相容，11(),(),23P AB P C ==则C P AB （）=_________.解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）计算222cos 40lim x xx e e x -→-（16）（本题满分10分）计算二重积分xD e xydxdy⎰⎰，其中D为由曲线y y ==所围区域.（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，且固定两种产品的边际成本分别为20+2x（万元/件）与6+y （万元/件）.1）求生产甲乙两种产品的总成本函数(,)C x y （万元）2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本. 3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.（18）（本题满分10分）证明：21ln cos1,1 1.12x xx x xx++≥+-<< -（19）（本题满分10分）已知函数()f x满足方程()()2()0f x f x f x"'+-=及()()2x f x f x e '+=1）求表达式() f x2）求曲线的拐点22()()xy f x f t dt =-⎰（20）（本题满分10分）设1001010100100010aaA baa⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（I）求|A|（II）已知线性方程组Ax b=有无穷多解，求a，并求Ax b=的通解.(21)（本题满分10分）已知1010111001Aaa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，二次型123(,,)()f x x x x xT T=A A的秩为2，求实数a的值；求正交变换x=Qy将f化为标准型.（22）（本题满分10分）已知随机变量X,Y 以及XY 的分布律如下表所示：求（1）P(X=2Y); （2）cov(,)XY X Y Y -ρ与.（23）（本题满分10分） 设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，min(,),=max(,).V X Y U X Y =求（1）随机变量V 的概率密度； （2）()E U V +.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
历年考研数学三真题及答案解析
二、填空题： 9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 .
1
lim (tan x ) cos x sin x
x
（9） 4
ln x , x 1
f (x)
,y
（ 10 ）设函数
2 x 1, x 1
dy f ( f ( x)), 求
dx x0
___________.
（11）函数 z
n
绝对收敛，
n
( 1)
2
n
条件收敛，则
1
1
（A） 0<
2
（B） 2 <
1
范围为（ ）
3
（C） 1<
2
3 （D） 2 < <2
0
0
1
1
1
0,2
1,3
（5 ）设
c1
c2
任意常数，则下列向量组线性相关的是（
）
1, 4 c3
1 c 4 其中 c1， c2， c3， c4 为
（A） 1， 2， 3
（B） 1， 2， 4
设该企业生产甲、 乙两种产品的产量分别为 元/ 件）与 6+y（万元 / 件） .
x( 件 ) 和 y( 件) ，且固定两种产品的边际成本分别为
x 20+ 2 （万
1）求生产甲乙两种产品的总成本函数 C ( x , y ) （万元）
2）当总产量为 50 件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本
|BA*|=________.
P ( AB )
（ 14 ） 设 A,B,C 是 随 机 事 件 ， A,C 互 不 相 容 ，
1 , P(C )
考研数学三(函数、极限、连续)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学三（函数、极限、连续）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2004年]函数在区间( )内有界．A．(－1，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(2，3)正确答案：A解析：解一大家知道，若f(x)在有限闭区间[a，b]上连续，则f(x)一定在[a，b]上有界，但若f(x)在开区间(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内未必有界，而如果再附加条件和存在，则f(x)必在(a，b)内有界，这就是命题1．1．1．1(2)．由于下述极限存在，又f(x)在(－1，0)内连续，故由命题1．1．1．1(2)知f(x)在(－1，0)内有界．仅(A)入选．解二因可补充定义则补充定义后的函数f(x)成为有界闭区间[－1，0]上的连续函数．利用有界闭区间上连续函数的有界性可知f(x)在[－1，0)[－1，0]上有界．仅(A)入选．解三因由命题[1．1．1．1(1)：如果x∈(a,b)，或则f(x)在(a,b)内无界。
即知，f(x)在(0，1)及(1，2)，(2，3)内均无界．仅(A)入选．注：命题1．1．1．1 (1)如果x0(a，b)，或则f(x)在(a，b)内无界．(2)如果和存在，且f(x)在(a，b)内连续，则f(x)在(a，b)内有界．知识模块：函数、极限、连续2．[2014年]设且a≠0，则当n充分大时，有( )．A．B．C．D．正确答案：A解析：解一由可取从而有不等式即亦即当a＞0时有当a＜0时有由式①、式②可知仅(A)入选．解二因由极限的定义，对任意ε＞0，存在正整数N，使得n＞N时，有|an一a|＜ε，从而取时有即仅(A)入选．解三由得到取则存在N＞0，当n>N时有即亦即故仅(A)入选．知识模块：函数、极限、连续3．[2000年]设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且则( ).A．存在且等于零B．存在但不一定为零C．一定不存在D．不一定存在正确答案：D解析：下面举反例说明(A)，(B)，(C)都不正确．仅(D)入选．令φ(x)=1-1／x2，f(x)=1，g(x)=1+1／x2，显然有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且这时有这说明(A)、(C)都不正确．事实上，满足上述条件的f(x)，其极限不一定存在．因而(B)也不正确．例如，令φ(x)=x－1／x2，f(x)=x，g(x)=x+1／x2，显然它们均满足题设条件，但知识模块：函数、极限、连续4．[2015年]设{xn)是数列．下列命题中不正确的是( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：由命题1．1．3．8的充分条件知选项(B)正确．由命题1．1．3．8的必要条件知选项(A)、(C)正确，因而仅(D)入选．注：命题1．1．3．8 如果与均存在且相等，则存在，且知识模块：函数、极限、连续5．[2009年]当x→0时，f(x)=x—sinax与g(x)=x2ln(1—bx)是等价无穷小量，则( )．A．a=1，b=－1／6B．a=1，b=1／6C．a=－1，b=－1／6D．a=－1，b=1／6正确答案：A解析：解一因故必存在，所以必有因而a=1．再由－a3／(6b)=1得－1／(6b)=1，故b=－1／6．仅(A)入选．解二反复利用洛必达法则求之．即a3=－6b(排除(B)、(C))．又因存在，而故必有即1－a=0，故a=1，从而b=－1／6．仅(A)入选．注：命题1．1．3．1 当x→0时，有(2)x－sinx～x3/6；1－cosλ～λx2(λ为常数). 知识模块：函数、极限、连续6．[2010年]若则a等于( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：解一即a=2．仅(C)入选．解二由题设知，a－1=1，故a=2．仅(C)入选．知识模块：函数、极限、连续7．[2014年]设P(x)=a+bx+cx2+dx3，当x→0时，若P(x)=-tanx是比x3高阶的无穷小，则下列选项中错误的是( )．A．a=0B．b=1C．c=0D．正确答案：D解析：由题设得故a=0，b－1=0，c=0，即a=0，b=1，c=0，仅(D)入选．知识模块：函数、极限、连续填空题8．[2012年]设函数则正确答案：解析：当x=e时，y=lnx－1，故知识模块：函数、极限、连续9．[2012年]正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续10．[2009年]正确答案：3e/2解析：知识模块：函数、极限、连续11．[2015年]正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续12．[2002年]设常数则正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续13．[2005年]正确答案：2解析：解一当x→∞时，sin[2x／(x2+1)]～2x／(x2+1)，由命题1．1．4．1 [*]其中m,n为正整数.得到[*] 解二令[*]则[*]故[*] 知识模块：函数、极限、连续14．[2007年]正确答案：0解析：解一因|sinx+cosx|≤|cosx|+|sinx|≤2，故sinx+cosx为有界变量，又根据命题1．1．3．6即得所求极限为0．解二当x→∞时，2x是比xk(k 为正整数)高阶的无穷大量，因而显然|sinx+cosx|≤2，于是由命题1．1．3．6即得所求极限为0．注：命题1．1．3．6 有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量. 知识模块：函数、极限、连续解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三-213_真题(含答案与解析)-交互
考研数学三-213(总分150, 做题时间90分钟)一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B本题考查区间再现法计算定积分．令，则故答案选择(B)．2.设，那么(A*)*=( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A本题考查矩阵的基本运算，是一道有一定计算量的基础题．AA*=|A|E，(A*)*=|A*|(A*)-1=|A|n-1(A*)-1=|A|n-1(A-1)*，将A代入计算即可得正确选项(A)．3.已知y=y(x)是微分方程(x2+y2)dy=dx-dy的任意解，则( )．SSS_SINGLE_SELA 存在，不存在B 不存在，存在C 不存在，不存在D 存在，存在该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D本题以微分方程的概念为载体，考查一元微积分学的综合知识，是一道有一定难度的综合题．将微分方程(x2+y2)dy=dx-dy变形为，于是，则y=y(x)为严格单调增函数，根据单调有界准则，只要证明y(x)有界即可．对两边从x到x积分，得，于是设x≥x，则y(x)有上界，所以存在．同理可证，当x≤x时y(x)有下界，所以也存在．故存在，也存在，答案选择(D)．4.设a为常数，则f(x)在区间(-∞，+∞)内的零点个数情况为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D该题您未回答:х该问题分值: 4答案:D本题考查一元微分学的应用，讨论函数的零点问题，是常规考题．令，由于e-x＞0，g(x)与f(x)的零点完全一样，又g'(x)=，且仅在一点x=0等号成立，故g(x)严格单调增，所以g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．当a＞0时，f(-∞)＜0，f(+∞)＞0，由连续函数零点定理，f(x)至少有一个零点，至少、至多合在一起，所以f(x)正好有一个零点．当a≤0时，，f(x)无零点．5.设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…，βm若存在两组不全为零的数λ1，…，λm和k1，…，km，使(λ1+k1)α1+…+(λm+km)αm+(λ1-k1)β1+(λm-k m )βm=0，则( )．SSS_SINGLE_SEL Aα1，…，αm和β1，…，βm都线性相关Bα1，…，αm和β1，…，βm都线性无关Cα1+β1，…，αm+βm，α1-β1，…，αm-βm线性相关Dα1+β1，…，αm+βm，α1-β1，…，αm-βm线性无关该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C本题考查向量组的线性相关理论，是一道基础题．由于数组λ1，…，λm，k1，…，km不全为零，将题给的已知式整理为λ1(α1+β1)+…+λm(αm+βm)+k1(α1-β1)+…+km(αm-βm)=0，显然答案选择(C)．6.设每次试验成功的概率为p(0＜p＜1)，现进行独立重复试验，则直到第10次试验才取得第4次成功的概率为( )．SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 4答案:C本题考查伯努利概型，是一道基础题．根据题设条件，前9次取得了3次成功，第10次才取得第4次成功的概率为所以选择(C)．7.以下四个命题，不正确的是( )．SSS_SINGLE_SELA 设存在，则一定存在B 设存在，则一定存在C设|f(x)|在x=x0点处可导，则f(x)在x=x点处不一定可导D设|f(x)|在x=x0点处连续，则f(x)在x=x点处不一定连续该题您未回答:х该问题分值: 4答案:B本题是一元微积分的基本概念题．对于容易混淆的问题，考生在最后复习阶段，要好好总结和整理，一般说来，正确的要会证明，错误的要能举出反例．这种训练是有益的．对于选项(A)，事实上有如下结论：设，则．可以证明如下．=，当0＜|x-a|＜δ时，|f(x)-A|＜ε，又由于||f(x)|-|A||≤|f(x)-A|，故||f(x)|-|A||＜ε，．命题正确，排除．对于选项(B)，反例f(x)=sgn(x)，不存在．命题错误，入选．对于选项(C)，反例-在x=x0氧处不可导，|f(x)|在x=x点处可导．命题正确，排除．对于选项(D)，在x=x0点处不连续，|f(x)|在x=x点处连续．命题正确，排除．8.设随机变量X取非负整数值，P(X=n)=a n(n≥1)，且EX=1，则a的值为( )．SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 4答案:A本题考查数字特征的计算，涉及级数求和理论，是一道有一定计算量的基础题．故a=(1-a)2，a2-3a+1=0，，但a＜1，所以，于是选择(A)．二、填空题9.曲线在x=1处的切线方程为______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:．本题考查一元微分学的基本知识，求切线是常考题，是基础题．由题意，，故切线的斜率为，当x=1时，y=2，因此所求切线方程为，即．10.=______．该题您未回答:х该问题分值: 4答案:．本题考查一元函数的不定积分法．属于基础计算题．11.设某商品现售价5000元，分期付款购买，10年付清．若每年付款的数额相同，且以年利率3%贴现，按连续复利计算，每年应付款______元．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:578．本题考查微积分的经济应用，属于基本题．P=5000元，又r=0.03，n=10，由均匀流量的贴现公式，有，解得A=578元，故每年应付款578元．12.级数的收敛域为______．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 4答案:[-2，4)．本题考查幂级数的收敛域求法，是常规题，有一定的计算量．令，根据正项级数的比值判别法，有解得-2＜x＜4，此为收敛区问．当x=-2时，原级数化为，收敛；当x=4时，原级数化为，发散．故原级数的收敛域为[-2，4)．13.已知ξ1=(-9，1，2，1 1)T，ξ2=(1，-5，13，0)T，ξ3=(-7，-9，24，11)T是方程组的解，则方程组的通解是______．该题您未回答:х该问题分值: 4答案:本题考查非齐次方程组的计算，是一道综合性较强的题目．中有2阶子式不为零，故r(A)≥2，又因ξ1-ξ2=(-10，6，-11，11)T，ξ1-ξ3=(-2，10，-22，0)T是齐次方程组Ax=0的线性无关的解，从而n-r(A)≥2，即r(A)≤2．于是得r(A)=2．所以方程组的通解为对一台仪器进行重复测试，直到发生故障时为止，假定测试是独立进行的，每次测试发生故障的概率均为0.1，试验次数X的数学期望值为______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14.已知，求a，b的值．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:本题是极限计算的反问题，是基本计算题，事实上，本题是求曲线2x-在x→-∞时的斜渐近线．由已知得，于是，将a=3代入原极限，有故a=3，SSS_TEXT_QUSTI15.证明；该题您未回答:х该问题分值: 5答案:本题是一元积分学的综合题，涉及较为复杂的积分计算和夹逼准则，是今年考试的热门出题点，其中第(Ⅰ)问是第(Ⅱ)问的铺垫与提示．SSS_TEXT_QUSTI16.记，求．该题您未回答:х该问题分值: 5答案:当nπ≤x≤(n+1)π时，令n→∞，由夹逼准则，得17.设函数f(x)在[-2，2]上二阶可导，且|f(x)|≤1，又f2(0)+[f'(0)]2=4．试证：在(-2，2)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)+f"(ξ)=0．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:本题是中值定理考题，涉及多个重要的定理，需要考生具有较强的运算和逻辑推理能力，是一道难题．由拉格朗日中值定理，得又根据题没条件，|f(x)|≤1，得令φ(x)=f2(x)+[f'(x)]2，则φ(ξ1)≤2，φ(ξ2)≤2．因为φ(x)在[ξ1，ξ2]上连续，且φ(0)=4，设φ(x)在[ξ1，ξ2]上的最大值在ξ∈[ξ1，ξ2](-2，2)上取到，则φ(ξ)≥4，且φ在[ξ1，ξ2]上可导，由费马定理有φ'(ξ)=0，即2f(ξ)·f'(ξ)+2f'(ξ)·f"(ξ)=0．因为|f(x)|≤1，且φ(ξ)≥4，所以f'(ξ)≠0，于是有f(ξ)+f"(ξ)=0，ξ∈(-2，2)．18.求的和．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 10答案:本题考查数项级数的求和，需要通过转化成函数项级数求和后，再代值回去，是典型考研题．记．其收敛区间均为(-1，1)．所以SSS_TEXT_QUSTI19.设D={(x，y)|(a≤x≤b，c≤y≤d该题您未回答:х该问题分值: 5答案:本题考查二重积分的计算，但是比较新颖的非常规考题，涉及抽象的理论推导，在2011年考研中已经有所涉及，本题的设计同样比较独特，希望考生多加体会和总结．证明=f(b，d)-f(a，d)+f(a，c)-f(b，c)．同理，．结论成立．SSS_TEXT_QUSTI20.设D为Oxy平面上的区域，若f"xy 与f"yx都在D上连续，证明f"xy与f"yx在D上相等．该题您未回答:х该问题分值: 5答案:证明用反证法．设P0(x，y)∈D，有f"xy(x，y)≠f"yx(x，y)．不妨设．f"xy (x，y)-f"yx(x，y)＞0，由于由极限的保号性，，当P(x，y)∈U(P0，δ)时有f"xy(x，y)-f"yx(x，y)＞ε，取于是，由(1)，，出现矛盾．故f"xy (x，y)与f"yx(x，y)在D上都相等．21.已知5维向量组x1=(1，2，3，4，5)，x2=(1，3，2，1，2)，求一个齐次线性方程组，使x1，x2组成这个方程组的基础解系．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:本题是方程组问题的逆问题，已知基础解系反求方程组，需要一定的计算量和逻辑推理，是一道中等难度的综合题．设ai1x1+ai2x2+ai3x3+ai4x4+ai5x5=0是方程组Ax=0中的任意一个方程，将x1，x2的坐标代入，得将方程组当作ai1，ai2，ai3，ai4，ai5为未知数的线性方程组来解，此方程组的系数矩阵，就是以x1，x2为向量组成的矩阵，对B作初等行变换，得于是方程组化为因此(ai1，ai2，ai3，ai4，ai5)=(-5ai3-10ai4-11ai5，ai3+3ai4+3ai5，ai3，ai4，ai5)=ai3(-5，1，1，0，0)+ai4(-10，3，0，1，0)+ai5(-11，3，0，0，1)，方程组的一组基础解系是(-5，1，1，0，0)，(-10，3，0，1，0)，(-11，3，0，0，1)，以这组基础解系为行组成矩阵则r(A)=3，于是以A为系数矩阵的齐次线性方程组为经过验证，它最多有2个线性无关解，且x1，x2为上式的两个线性无关解，所以它们组成上式的基础解系，上式方程组即为所求．22.一个实二次型可分解为两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是该二次型的秩为2，且符号差为0，或秩数等于1．SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:本题考查二次型，是一道比较新颖的考题，在考研中尚未出现过，对考生要求较高，希望同学们见识一下这种提法和做法，并从中学到解题思路和技术．先证明必要性：设f(x1，x2，…，xn)=(a1x1+a2x2+…+anxn)(b1x1+b2x2+…+bnxn)=f1·f2．若f1与f2线性相关，则有f2=kf1，不妨设a1≠0，令即令，P为可逆矩阵，所以x=P-1y是可逆变换，从而，其秩等于1．若f1与f2线性无关，不妨设，令即令，故R为可逆矩阵，所以x=R-1y是可逆变换，则f=y1y2，再令即令，T为可逆矩阵，故y=Tz是可逆变换，从而得到，故秩为2，符号差为0．再证明充分性：f经可逆线性变换化为标准型，不妨设，其秩数为2，符号差为0，则f=(x1+x2)(x1-x2)，即f可分解为两个一次多项式的乘积．另外，设，其秩为1，则f=x1·x1，即f可分解为两个一次多项式的乘积，命题得证．23.设(X，Y)的联合概率密度为求SSS_TEXT_QUSTI该题您未回答:х该问题分值: 11答案:本题考查二维随机变量的边缘密度、条件密度等，是一道有一定计算量的基础题．当x≤0或x≥1时，当0＜x＜1时，故于是可得则某设备维修站共有两个维修点，若有三台设备A，B，C同时送到该维修站进行维修，设A，B先开始维修，当其中一台没备维修结束后即开始对第三台设备C 进行维修．假设各台设备维修所需时间是相互独立且都服从参数为λ的指数分布，则SSS_TEXT_QUSTI24.求第三台设备C在维修站等待维修时间T的概率密度；该题您未回答:х该问题分值: 5.5答案:本题是随机变量函数的概率密度和数字特征计‘算的综合题，是历来考生复习中的薄弱环节．设第i台设备维修时间为Xi (i=1，2，3)，则Xi独立同分布，且密度函数都为则第三台设备C等待维修的时间T=min(X1，X2)，度过时间=等待时间+维修时间，即S=T+X3=min(X1，X2)+X3．由于X1与X2独立，故T的分布函数F T (t)=P(min(X1，X2)≤t)=1-P(min(X1，X2)＞t)=1-P(X1＞t)P(X2＞t)则T的密度函数即T=min(X1，X2)服从参数为2λ的指数分布．SSS_TEXT_QUSTI25.求第三台设备C在维修站度过时间S的数学期望ES．该题您未回答:х该问题分值: 5.5答案:由于S=T+X3=min(X1，X2)+X3，则1。
2010——2017年考研数学三真题及参考答案解析(精心整理)
2010年考研数学三真题与解析一.选择题1.若1])1(1[lim =--→xox e a xx 则a = A0B1C2D32.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则A 21,21==μλB 21,21-=-=μλC 31,32==μλD 32,32==μλ 3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值，则f(g(x))在0x 取极大值的一个充分条件是A 0)(<'a fB 0)(>'a fC 0)(<''a fD 0)(>''a f4设1010)(,)(,ln )(xe x h x x g x xf ===则当x 充分大时有 Ag(x)<h(x)<f(x)Bh(x)<g(x)<f(x) Cf(x)<g(x)<h(x)Dg(x)<f(x)<h(x)5设向量组线性表示，，，：，可由向量组sI βββααα⋯⋯21r 21II ,,:，下列命题正确的是：A 若向量组I 线性无关，则s r ≤B 若向量组I 线性相关，则r>sC 若向量组II 线性无关，则s r ≤D 若向量组II 线性相关，则r>s6.设A 为4阶实对称矩阵，且02=+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0111B⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0111 C⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0111D⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---01117.设随机变量X 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤<=-1,110,21,0)(x e x x x F x，则P （X=1)=A0B 21C 121--e D 11--e 8.设)(1x f 为标准正态分布概率密度，)(2x f 为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若⎩⎨⎧<>≥≤=)0,0(0),(0),()(21b a x x bf x x af x f 为概率密度，则a,b 满足：A2a+3b=4B3a+2b=4Ca+b=1Da+b=2 二.填空题9.设可导函数y=y(x),由方程⎰⎰=+-xy x t dtt x dt e 020sin 2确定，则____________0==x dxdy10.设位于曲线)()ln 1(12+∞<≤+=x e x x y 下方，x 轴上方的无界区域为G ，则G 绕x 轴旋转一周所得空间区域的体积为____________11.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为31p +，其中p 为价格，且R(1)=1,则R(p)=________________ 12.若曲线123+++=bx ax x y 有拐点(-1,0),则b=_____________13.设A ，B 为3阶矩阵，且2,2,31=+==-B A B A ，则_________1=+-B A14.设___________ET ,1T )0)(,(N ,,122321==>⋯∑=则计量的简单随机样本。
考研数学三真题及答案
6、设二次型 f x , x , x 在正交变换 x Py 下的标准形为 2 y2 y2 y2 ，其中 P e , e , e ，
133
1
2
3
123
若 Q e1, e3, e2 ，则 f x1, x3 , x3 在正交变换 x Qy 下的标准形为（ ）
(n +1)! nn (n+1)
= limç
n
÷n = 1 <1 ，所以(D)是收敛的。
n (n +1) n! n ç1+ n÷ e
1 1 ç 1÷ 1
1 ç 1÷
对于(B)选项， n1
n
ln
1
n
，
ln
ç1+
n
÷
，所以
n
n ln ç1+ n÷
11 ，根据 p 级数的
nn
5
f 1 2
11. 若函数 z z(x, y) 由方程 ex2 y3z xyz 1确定，则 dz (0,0)
【答案】 1 dx 2dy
3
zz 【解析】这道题目主要考查的是隐函数求偏导数。对于这道题目求全微分，分别求出 ,
xy
ex2
y3z
1
3
z x
【答案】2
【解析】对于这道题目主要是考查变上限积分求导数。
(1)
1
f (t)dt 1
0
x2
x2
(x) 0 xf (t)dt x0 f (t)dt
(x) x2 f (t)dt xf x 2 2x 0
(1)
1
0f
考研数学三(微积分)历年真题试卷汇编21(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）历年真题试卷汇编21(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(1989年)设f(x)=2x+3x一2，则当x→0时( )A．f(x)是x等价无穷小．B．f(x)与x是同阶但非等价无穷小．C．f(x)是比x更高阶的无穷小．D．f(x)是比x较低阶的无穷小．正确答案：B解析：由于=ln2+ln3=1n6则应选B．2．(2010年)设f(x)=ln10x，g(x)=x，，则当x充分大时有( )A．g(x)＜h(x)＜f(x)．B．h(x)＜g(x)＜f(x)．C．f(x)＜g(x)＜h(x)．D．g(x)＜f(x)＜h(x)．正确答案：C解析：由于则当x充分大时h(x)＞g(x)．又则当x充分大时，g(x)＞f(x)，故应选C．3．(1998年)设周期函数f(x)在(一∞，+∞)内可导，周期为4，又，则曲线y=f(x)在点(5，f(5))处的切线斜率为( )A．B．0C．一1D．一2正确答案：D解析：由题设f(x)在(一∞，+∞)内可导，且f(x)=f(x+4)，两边对x求导，则f’(x)=f’(x+4)，故f’(5)=f’(1)．由于则f’(1)=一2，故y=f(x)在点(5，f(5))处的切线斜率为f’(5)=一24．(2007年)曲线渐近线的条数为( )A．0．B．1．C．2．D．3．正确答案：D解析：由于则x=0为原曲线的一条垂直渐近线．而则y=0为原曲线的一条水平渐近线．则y=x为原曲线的一条斜渐近线，由此可知原曲线共有三条渐近线．所以．本题应选D．5．(2011年)设则I，J，K的大小关系为( )A．I＜J＜K．B．I＜K＜J．C．J＜I＜K．D．K＜J＜I．正确答案：B解析：当，sinx＜cosx＜1＜cotx，而lnx为单调增的函数，则lnsinx＜lncosx ＜lncotx 故应选B．6．(2005年)设其中D={(x，y)}x2+y2≤1}，则( )A．I3＞I2＞I1B．I1＞I2＞I3C．I2＞I1＞I3D．I3＞I1＞I2正确答案：A解析：由于当cosx是减函数，而当0≤x2+y2≤1时，≥x2+y2≥(x2+y2)，即I1≤I2≤I37．(2015年)下列级数中发散的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：由交错级数的莱布尼兹准则知，级数发散，故级数发散．选C．填空题8．(2006年)=_______．正确答案：应填1．解析：9．(1989年)曲线y=x+sin2x在点处的切线方程是______．正确答案：应填y=x+1．解析：y’=1+2sinxcosx，该曲线在点处的切线方程是即y=x+110．(2003年)设其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是=______．正确答案：应填λ＞2．解析：当x≠0时当x=0时由上式可知，当λ＞1时，f(0)存在，且f’(0)=0又由上式可知，当λ＞2时，即导函数在x=0处连续．11．(2018年)曲线y=x2+2lnx在其拐点处的切线方程是______．正确答案：应填y=4x一3．解析：令y’’=0得x=±l，x=一1(舍去)，拐点为(1，1)，又f’(1)=2+2=4则拐点处的切方程是为y—1=4(x一1)即y=4x一312．(2008年)设=______．正确答案：应填解析：13．(1995年)设f(u)可导，则xzx’+yzy’=______．正确答案：应填2z．解析：14．(2013年)设函数z=z(x，y)由方程(z+y)z=xy确定，则=______．正确答案：应填2—21n2．解析：方程(x+y)x=xy两端取对数得xln(x+y)=lnx+lny 上式两端对x求偏导得将x=1，y=2代入上式，并注意z=0，得15．(2018年)差分方程△yx一yx=5的通解为______．正确答案：应填yx=C2x一5．解析：△2yx=△x+1一△yx (yx+2一yx+1)一(yx+1一yx) =yx+2—2yx+1+yx代入△2yx一yx=5得yx+2—2yx+1=5，即yx+1—2yx=5齐次差分方程yx+1一2yx=0的通解为yx=C.2x而yx+1—2yx=5的特解为yx*=一5故原方程的通解为yx=C2x一5解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
全国硕士研究生入学统一考试数学三真题2011年_真题无答案
全国硕士研究生入学统一考试数学三真题2011年(总分149, 做题时间90分钟)一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．1.已知当x→0时f(x)=3sinx-sin3x与cx k是等价无穷小，则( )．SSS_SINGLE_SELA k=1，c=4B k=1，c=-4C k=3，c=4D k=3，c=-42.设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则=( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D3.设un是数列，则下列命题正确的是( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D4.设，则I，J，K的大小关系是( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D5.设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第一列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵，记，则A=( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D6.设A为4×3矩阵，η1，η2，η3是非齐次线性方程组Ax=β的3个线性无关的解，k1，k2为任意常数，则Ax=β的通解为( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D7.设F1(x)与F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是( )．SSS_SINGLE_SELAf 1(x)f2(x)B2f2(x)F1(x)Cf 1(x)F2(x)Df 1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)8.设总体X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自该总体随机样本，则对于统计量( )．SSS_SIMPLE_SINA B C D二、填空题9.设，则f'(x)=______．SSS_FILL10.设函数，则dz|(1,1)=______．SSS_FILL11.曲线在点(0，0)处的切线方程为______．SSS_FILL12.曲线，直线x=2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为______．SSS_FILL13.设二次型f(x1，x2，x3，)=x T Ax的秩为1，A中行元素之和为3，则f在正交变换下X=Qy的标准形为______．SSS_FILL14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(XY2)=______．SSS_FILL三、解答题解答应写出证明过程或演算步骤．15.求极限．SSS_TEXT_QUSTI16.已知函数f(u，v)具有连续的二阶偏导数，f(1，1)=2是f(u，v)的极值，z=f[x+y，f(x，y)]．求．SSS_TEXT_QUSTI17.求不定积分．SSS_TEXT_QUSTI18.证明方程恰有两个实根．SSS_TEXT_QUSTI19.设函数f(x)在[0，1]上有连续的导数，f(0)=1，且，其中Dt=(x，y)|0≤y≤t-x，0≤x≤t(0＜t≤1)，求f(x)的表达式．SSS_TEXT_QUSTI20.设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T线性表出．①求a的值；②将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表出．SSS_TEXT_QUSTI21.设A为三阶实对称矩阵，r(A)=2，且(Ⅰ) 求A的所有特征值与特征向量；(Ⅱ) 求A．SSS_TEXT_QUSTI设随机变量X与Y的概率分布分别为X 0 1P 1/3 2/3Y -1 0 1P 1/3 1/3 1/3 且PX2=Y2=1求：(Ⅰ) 求二维随机变量(X，Y)的概率分布；(Ⅱ) Z=XY的分布；(Ⅲ) X与Y的相关系数ρXY．22.设二维随机变量(X，Y)服从区域G上的均匀分布，G是由x-y=0，x+y=2与y=0围成的三角形区域．①求X的概率密度fX (x)；②求条件概率密度fX|Y(x|y)．SSS_TEXT_QUSTI 1。
数学三考研真题和答案解析
数学三考研真题和答案解析数学三是很多考研学子心中的一块巨石，考查的内容广泛，难度也较大。
本文将以为题材，为大家探讨一些常见的考点和解题技巧。
首先，我们先来分析一道典型的数学三考研题目：已知函数$f(x)$在区间$(a,b)$上连续，$(a,b)$上的导数在区间$(a,b)$内存在有界，并且$f(a) \neq f(b)$。
证明：存在$c \in(a,b)$，使得$f'(c)=0$。
对于这道题目，考生需要运用中值定理进行解答。
根据题目条件，我们可以得知函数$f(x)$在区间$(a,b)$内连续且可导。
中值定理的应用需要满足连续函数在闭区间上可导的条件，而本题已经给出了这个条件，所以我们可以放心地使用中值定理。
根据中值定理，存在$c \in (a,b)$，满足：$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$由于$f(a) \neq f(b)$，所以$f(b)-f(a) \neq 0$，而$b-a>0$。
因此，我们可以得出结论：$f'(c) \neq 0$。
下面我们将分析这个条件：$(a,b)$上的导数在区间$(a,b)$内存在有界。
这个条件实际上是在说函数的导数在$(a,b)$这个区间内不会无限增长或无限减小。
这种情况下，我们可以使用导函数的介值性质，即函数的导数可以取到区间内的任意值。
假设函数$f'(x)$在$(a,b)$区间内的导数有界，存在$M$，使得$|f'(x)| \leq M$。
根据之前得出的结论，我们知道$f'(c) \neq 0$，所以$|f'(c)|>0$。
由于$|f'(c)| \leq M$，所以我们可以推出：$|f'(c)| \leq M < |f'(c)|$，这是一个矛盾！因此，我们可以得出结论：存在$c \in (a,b)$，使得$f'(c)=0$。
考研数学三真题及完整解析
研究生入学考试数学三试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0x +→时，与x 等价的无穷小量是（A ）1ex- （B ）1ln1xx+- （C ）11x +- （D ）1cos x - [ ]（2）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：（A ）若0()limx f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f = .（B ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '= （D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)0f '=.[ ]（3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d xF x f t t =⎰，则下列结论正确的是：（A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5(3)(2)4F F = （C ）3(3)(2)4F F = （D ）5(3)(2)4F F =-- [ ]（4）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰等于（A ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （B ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（C ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （D ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（5）设某商品的需求函数为1602Q P =-，其中,Q P 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是(A) 10. (B) 20 (C) 30. (D) 40. [ ] （6）曲线()1ln 1e x y x=++的渐近线的条数为 （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ]（7）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则 (A) 122331,,αααααα---(B) 122331,,αααααα+++(C) 1223312,2,2αααααα---.(D) 1223312,2,2αααααα+++. [ ]（8）设矩阵211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B(A) 合同且相似（B ）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] （9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为（A ）23(1)p p -. （B ）26(1)p p -.（C ）223(1)p p -. （D ）226(1)p p - [ ]（10）设随机变量(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()X Y f x f y 分别表示,X Y 的概率密度，则在Y y =的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Y f x y 为 (A) ()X f x . (B) ()Y f y . (C) ()()X Y f x f y . (D)()()X Y f x f y . [ ] 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（11） 3231lim(sin cos )2x x x x x x x →+∞+++=+ __________. （12）设函数123y x =+，则()(0)n y =________. （13） 设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫=⎪⎝⎭，则z zx y x y ∂∂-=∂∂ __________.（14）微分方程3d 1d 2y y y x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭满足11x y==的特解为y =________.（15）设矩阵0100001000010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则3A 的秩为 .（16）在区间()0,1中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为 . 三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分10分)设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点(1,1)附近的凹凸性. （18） (本题满分11分)设二元函数2,||||1(,)1||||2x x y f x y x y ⎧+≤⎪=<+≤，计算二重积分D(,)d f x y σ⎰⎰，其中(){},||||2D x y x y =+≤.（19） (本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.（20） (本题满分10分)将函数21()34f x x x =--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间. （21） (本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解.（22） (本题满分11分)设三阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2λλλ===-，T1(1,1,1)α=-是A 的属于1λ的一个特征向量，记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（I ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （II ）求矩阵B . （23） (本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他.（I ）求{}2P X Y >；(II) 求Z X Y =+的概率密度.2007答案1….【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.【详解】当0x +→时，1x --，112x，()211122x x -=， 故用排除法可得正确选项为（B ）.事实上，000lim lim lim 1x x +++→→→==，或lnln(1)ln(1()x x o x o o x =+--=++=.所以应选（B ）【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算. 类似例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.54】 【例1.55】.2…….【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()f x 去进行判断，然后选择正确选项.【详解】取()||f x x =，则0()()lim0x f x f x x→--=，但()f x 在0x =不可导，故选（D ）.事实上，在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得(0)0f =.在（C ）中，0()limx f x x →存在，则00()(0)()(0)0,(0)lim lim 00x x f x f f x f f x x→→-'====-，所以(C)项正确，故选(D)【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例2】，文登07考研模拟试题数学二第一套（2）.3…….【分析】本题实质上是求分段函数的定积分. 【详解】利用定积分的几何意义，可得221113(3)12228F πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，211(2)222F ππ==，22202011(2)()d ()d ()d 122F f x x f x x f x x ππ---==-===⎰⎰⎰. 所以 33(3)(2)(2)44F F F ==-，故选（C ）.【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第5讲【例17】和【例18】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例3.38】【例3.40】.4…….【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分. 【详解】由题设可知，,sin 12x x y ππ≤≤≤≤，则01,arcsin y y x ππ≤≤-≤≤，故应选（B ）.【评注】本题为基础题型. 画图更易看出.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例5】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.5】，【例7.6】.5…….【分析】本题考查需求弹性的概念. 【详解】选（D ）.商品需求弹性的绝对值等于d 2140d 1602Q P P P P Q P-⋅==⇒=-， 故选（D ）.【评注】需掌握微积分在经济中的应用中的边际，弹性等概念.相关公式及例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例11.2】.6…….【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断. 【详解】()()11lim lim ln 1e ,lim lim ln 1e 0xxx x x x y y x x →+∞→+∞→-∞→-∞⎡⎤⎡⎤=++=+∞=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以 0y =是曲线的水平渐近线；()001lim lim ln 1e xx x y x→→⎡⎤=++=∞⎢⎥⎣⎦，所以0x =是曲线的垂直渐近线； ()()1e ln 1e ln 1e 1e lim lim 0lim lim 11xxx x x x x x y x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞++++==+==，[]()1lim lim ln 1e0xx x b y x x x →+∞→+∞⎡⎤=-=++-=⎢⎥⎣⎦，所以y x =是曲线的斜渐近线. 故选（D ）.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在. 本题要注意e x当,x x →+∞→-∞时的极限不同.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例5.30】，【例5.31】.7……..【分析】本题考查由线性无关的向量组123,,ααα构造的另一向量组123,,βββ的线性相关性. 一般令()()123123,,,,A βββααα=，若0A =，则123,,βββ线性相关；若0A ≠，则123,,βββ线性无关. 但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.【详解】由()()()1223310αααααα-+-+-=可知应选（A ）.或者因为()()122331123101,,,,110011ααααααααα-⎛⎫ ⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭，而1011100011--=-， 所以122331,,αααααα---线性相关，故选（A ）.【评注】本题也可用赋值法求解，如取()()()TTT1231,0,0,0,1,0,0,0,1ααα===，以此求出（A ），（B ），（C ），（D ）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项.完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）《线性代数》【例3.3】.8……【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得A 的特征值，并考虑到实对称矩阵A 必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.【详解】 由2211121(3)112E A λλλλλλ--=-=--可得1233,0λλλ===，所以A 的特征值为3,3,0；而B 的特征值为1,1,0.所以A 与B 不相似，但是A 与B 的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以A 与B 合同，故选（B ）. 【评注】若矩阵A 与B 相似，则A 与B 具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通过计算A 与B 的特征值可立即排除（A ）（C ）. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）第二篇【例5.17】.9……..【分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率. 关键要搞清所求事件中的成功次数. 【详解】p ＝｛前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标｝12223(1)3(1)C p p p p p =-=-，故选（C ）.【评注】本题属基本题型.类似例题见《数学复习指南》（经济类）第三篇【例1.29】【例1.30】10…….【分析】本题求随机变量的条件概率密度，利用X 与Y 的独立性和公式|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =可求解. 【详解】因为(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，所以X 与Y 独立，所以(,)()()X Y f x y f x f y =.故|()()(,)(|)()()()X Y X Y X Y Y f x f y f x y f x y f x f y f y ===，应选（A ）.【评注】若(),X Y 服从二维正态分布，则X 与Y 不相关与X 与Y 独立是等价的.完全类似例题和求法见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）第三篇第二章知识点精讲中的一（4），二（3）和【例2.38】11….【分析】本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.【详解】因为323233110222lim lim0,|sin cos |22112x x x x x x xx x x x x x x x →+∞→+∞++++===+<++， 所以3231lim(sin cos )02x x x x x x x →+∞+++=+. 【评注】无穷小的相关性质：（1） 有限个无穷小的代数和为无穷小； （2） 有限个无穷小的乘积为无穷小； （3） 无穷小与有界变量的乘积为无穷小.完全类似例题和求法见文登强化班笔记《高等数学》第1讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.43】12,……..【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式.【详解】()212,2323y y x x '==-++，则()1(1)2!()(23)n n n n n y x x +-=+，故()1(1)2!(0)3n n n n n y +-=. 【评注】本题为基础题型.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例21】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【2.20】，【例2.21】.13…….【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可. 【详解】利用求导公式可得1221z y f f x x y ∂''=-+∂， 1221z x f f y x y∂''=-∂， 所以122z z y x xy f f x y xy ⎛⎫∂∂''-=-- ⎪∂∂⎝⎭. 【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第9讲【例8】, 【例9】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例6.16】,【例6.17】,【例6.18】.14…..【分析】本题为齐次方程的求解，可令y u x=. 【详解】令yu x=，则原方程变为 33d 1d d d 22u u x u x u u x u x+=-⇒=-.两边积分得 2111ln ln 222x C u -=--， 即222111e e y u x x x C C=⇒=，将11x y==代入左式得 e C =，故满足条件的方程的特解为 22e e x y x =，即y =，1e x ->.【评注】本题为基础题型.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第7讲【例2】, 【例3】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例9.3】.15……….【分析】先将3A 求出，然后利用定义判断其秩.【详解】30100000100100000()10001000000000000A A r A ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪=⇒=⇒= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【评注】本题为基础题型.矩阵相关运算公式见《数学复习指南》（经济类）第二篇第二章第1节中的知识点精讲.16……….【分析】根据题意可得两个随机变量服从区间()0,1上的均匀分布，利用几何概型计算较为简便. 【详解】利用几何概型计算. 图如下：所求概率2113214A D S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭===.【评注】本题也可先写出两个随机变量的概率密度，然后利用它们的独立性求得所求概率.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例11】，《数学复习指南》（经济类）第三篇【例2.29】，【例2.47】.17……..【分析】由凹凸性判别方法和隐函数的求导可得.【详解】 方程 ln 0y y x y -+=两边对x 求导得ln 10y y y yy y'''+-+=， 即(2ln )1y y '+=，则1(1)2y '=. 上式两边再对x 求导得()2(2ln )0y y y y'''++=则1(1)8y ''=-，所以曲线()y y x =在点(1,1)附近是凸的.【评注】本题为基础题型.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲【例10】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例5.29】.18…….【分析】由于积分区域关于,x y 轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分. 【详解】因为被积函数关于,x y 均为偶函数，且积分区域关于,x y 轴均对称，所以1DD (,)d (,)d f x y f x y σσ=⎰⎰⎰⎰，其中1D 为D 在第一象限内的部分.而12D 1,0,012,0,(,)d d x y x y x y x y f x y x σσσ+≤≥≥≤+≤≥≥=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰1122220110d d d d xx x x x x y x y x y ---⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰(1112=.所以(D1(,)d 13f x y σ=++⎰⎰.【评注】被积函数包含22y x +时, 可考虑用极坐标，解答如下：1210,00,0(,)d x y x y x y x y f x y σσ≤+≤≤+≤>>>>=⎰⎰⎰⎰22sin cos 10sin cos d d r πθθθθθ++=⎰⎰=.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.3－例7.4】.19…….【分析】由所证结论()()f g ξξ''''=可联想到构造辅助函数()()()F x f x g x =-，然后根据题设条件利用罗尔定理证明.【详解】令()()()F x f x g x =-，则()F x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且()()0F a F b ==.（1）若(),()f x g x 在(,)a b 内同一点c 取得最大值，则()()()0f c g c F c =⇒=， 于是由罗尔定理可得，存在12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得 存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=. （2）若(),()f x g x 在(,)a b 内不同点12,c c 取得最大值，则12()()f c g c M ==，于是 111222()()()0,()()()0F c f c g c F c f c g c =->=-<， 于是由零值定理可得，存在312(,)c c c ∈，使得3()0F c = 于是由罗尔定理可得，存在1323(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得 ，存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=. 【评注】对命题为()()0n fξ=的证明，一般利用以下两种方法：方法一：验证ξ为(1)()n fx -的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；方法二：验证(1)()n fx -在包含x ξ=于其内的区间上满足罗尔定理条件.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第4讲【例7】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例4.5】，【例4.6】.20….【分析】本题考查函数的幂级数展开，利用间接法. 【详解】211111()34(4)(1)541f x x x x x x x ⎛⎫===- ⎪---+-+⎝⎭，而 10011111(1),2414333313nnn n n x x x x x ∞∞+==--⎛⎫=-⋅=-=--<< ⎪--⎝⎭-∑∑， 10011111(1)(1),1311222212nn nn n n x x x x x ∞∞+==---⎛⎫=⋅=-=-<< ⎪-+⎝⎭+∑∑ ， 所以 1111000(1)(1)(1)1(1)()(1)3232n n n n n n n n n n n n x x f x x ∞∞∞++++===⎡⎤----=-+=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑， 收敛区间为 13x -<<.【评注】请记住常见函数的幂级数展开.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第11讲【例13】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例8.15】.21…..【分析】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得a . 【详解】将方程组和方程合并，后可得线性方程组12312321231230204021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩ 其系数矩阵22111011101200110140031012110101aa A a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭.21110111001100110003200011001100(1)(2)0a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-+-- ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭. 显然，当1,2a a ≠≠时无公共解. 当1a =时，可求得公共解为 ()T1,0,1k ξ=-,k 为任意常数； 当2a =时，可求得公共解为()T0,1,1ξ=-.【评注】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构.完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第4讲【例8】，《数学复习指南》（经济类）第二篇【例4.12】，【例4.15】.22……【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质.【详解】（I ）()()5353531111111111144412B A A E ααλαλααλλαα=-+=-+=-+=-，则1α是矩阵B 的属于－2的特征向量.同理可得()532222241B αλλαα=-+=，()533333341B αλλαα=-+=.所以B 的全部特征值为2，1，1设B 的属于1的特征向量为T 2123(,,)x x x α=，显然B 为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的特征向量正交，可得T 120αα=.即 1230x x x -+=，解方程组可得B 的属于1的特征向量T T 212(1,0,1)(0,1,0)k k α=-+，其中12,k k 为不全为零的任意常数.由前可知B 的属于－2的特征向量为 T 3(1,1,1)k -，其中3k 不为零.（II ）令101011101P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，由（Ⅰ）可得-1100010002P BP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则011101110B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为Ax x λ=的形式. 请记住以下结论：（1）设λ是方阵A 的特征值，则21*,,,(),,kA aA bE A f A A A -+分别有特征值 21,,,(),,(A k a b f A λλλλλλ+可逆），且对应的特征向量是相同的. （2）对实对称矩阵来讲，不同特征值所对应的特征向量一定是正交的完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第5讲【例12】，《数学复习指南》（经济类） 第二篇【例5.24】23…….【分析】（I ）可化为二重积分计算；(II) 利用卷积公式可得.【详解】（I ）{}()()12002722d d d 2d 24x x y P X Y x y x y x x y y >>=--=--=⎰⎰⎰⎰. (II) 利用卷积公式可得()(,)d Z f z f x z x x +∞-∞=-⎰20121(2)d ,01201(2)d ,12(2)120,0,z z x x z z z z x x z z z -⎧-<<⎪⎧-<<⎪⎪=-<<=-≤<⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎰⎰其他其他. 【评注】 (II)也可先求出分布函数，然后求导得概率密度.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例10】，【例11】，《数学复习指南》（经济类）第三篇【例2.38】，【例2.44】.（24） (本题满分11分)设总体X 的概率密度为1,021(),12(1)0,x f x x θθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他12(,,X X …,)n X 为来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.（I ）求参数θ的矩估计量θ；（II ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.【分析】利用EX X =求（I ）；判断()224E Xθ=. 【详解】（I ）()101()d d d 22124x x EX xf x x x x θθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰， 令112242X X θθ=+⇒=-. （II ）()()()()222214444E X E X DX EX DX EX n ⎡⎤⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 而()22212201()d d d 221336x x EX x f x x x x θθθθθθ+∞-∞==+=++-⎰⎰⎰， 所以 ()2225121248DX EX EX θθ=-=-+， 所以 ()()222211115441133412E X DX EX n n n n θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++-++≠ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故24X 不是2θ的无偏估计量.【评注】要熟练掌握总体未知参数点估计的矩估计法，最大似然估计法和区间估计法.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第5讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）第三篇【例6.3，例6.6，例6.9】，。