2020年广东省高考数学(文科)二模试卷及详细解析
2020年广东佛山高三二模文科数学试卷-学生用卷
2020年广东佛山高三二模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年广东佛山高三二模文科第1题5分2020~2021学年四川成都成华区四川省成都华西中学高三上学期期中文科第1题5分已知集合A={x|x2<3x}，B={−1,1,2,3}，则A∩B=（）．A. {−1,1,2}B. {1,2}C. {−1,2}D. {1,2,3}2、【来源】 2020年广东佛山高三二模文科第2题5分2020年广东佛山高三二模理科第2题5分2020~2021学年四川成都成华区四川省成都华西中学高三上学期期中文科第2题5分复数z满足(z+2)(1+i)=3+i，则|z|=（）．A. 1B. √2C. √3D. 23、【来源】 2020年广东佛山高三二模文科第3题5分下列命题中假命题的是（）．A. ∃x0∈R，lnx0<0B. ∀x∈(−∞,0)，e x>0C. ∃x0∈R，sinx0>x0D. ∀x∈(0,+∞)，2x>x24、【来源】 2020年广东佛山高三二模文科第4题5分2020~2021学年四川成都成华区四川省成都华西中学高三上学期期中文科第4题5分等差数列{a n}中，其前n项和为S n，满足a3+a4=6，2a5=9，则S7的值为（）．A. 352B. 21C. 492D. 285、【来源】 2020年广东佛山高三二模文科第5题5分2020~2021学年四川成都成华区四川省成都华西中学高三上学期期中文科第5题5分若非零向量a →，b →满足|b →|=4|a →|，(2a →−b →)⊥a →，则a →与b →的夹角为（ ）． A. π6B. π4C. π3D. 5π66、【来源】 2020年广东佛山高三二模文科第6题5分2018年浙江高三二模金丽衢十二校第4题4分函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的图象如图，则φ=（ ）．A. −π3B. −π6C. π6D. π37、【来源】 2020年广东佛山高三二模文科第7题5分2017~2018学年福建漳州长泰县福建省长泰县第一中学高二上学期期中理科第10题5分2016~2017学年浙江高二下学期期中名校协作体第6题5分2017~2018学年上海普陀区上海市曹杨第二中学高二下学期期末第15题5分2016~2017学年辽宁沈阳和平区东北育才中学高二上学期期中第11题5分变量x，y满足约束条件{x+y⩾0x−2y+2⩾0mx−y⩽0，若z=2x−y的最大值为2，则实数m等于( )．A. −2B. −1C. 1D. 28、【来源】 2020年广东佛山高三二模文科第8题5分已知点A(3,−2)在抛物线C:x2=2py(p>0)的准线上，过点A的直线与抛物线在第一象限相切于点B，记抛物线的焦点为F，则|BF|=（）．A. 4B. 6C. 8D. 109、【来源】 2020年广东佛山高三二模文科第9题5分2020年广东佛山高三二模理科第9题5分2019年，全国各地区坚持稳中求进工作总基调，经济运行总体平稳，发展水平迈上新台阶，发展质量稳步上升，人民生活福祉持续增进，全年最终消费支出对国内生产总值增长的贡献率为57.8%．下图为2019年居民消费价格月度涨跌幅度：（同比=本期数−去年同期数去年同期数×100%，环比=本期数−上期数上期数×100%）下列结论中不正确的是（）．A. 2019年第三季度的居民消费价格一直都在增长B. 2018年7月份的居民消费价格比同年8月份要低一些C. 2019年全年居民消费价格比2018年涨了2.5%以上D. 2019年3月份的居民消费价格全年最低10、【来源】 2020年广东佛山高三二模文科第10题5分2020~2021学年4月陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三下学期月考（五模）第6题5分已知α∈(0,π)，(1+tanα)⋅sin2α=2，则sinα=（）．A. 3√1010B. 3√1010或1C. √22D. √22或111、【来源】 2020年广东佛山高三二模文科第11题5分双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1(−a,0)，F2(a,0)距离之积等于a2(a>0)的点的轨迹称为双纽线C．已知点P(x0,y0)是双纽线C上一点，下列说法中正确的有（）．①双纽线经过原点O；②双纽线C关于原点O中心对称；③−a2⩽y0⩽a2；④双纽线C上满足|PF1|=|PF2|的点P有两个．A. ①②B. ①②③C. ②③D. ②③④12、【来源】 2020年广东佛山高三二模文科第12题5分已知正四棱锥P−ABCD的所有顶点都在球O的球面上，该四棱锥的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同，若正四棱锥P−ABCD的高为2，则球O的表面积为（）．A. 8πB. 9πC. 12πD. 16π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年广东佛山高三二模文科第13题5分六名男同学参加校运会的“百米飞人”决赛，其中有两名同学来自高三（1）班，则高三（1）班包揽冠亚军的概率为．14、【来源】 2020年广东佛山高三二模文科第14题5分2020~2021学年四川成都成华区四川省成都华西中学高三上学期期中文科第14题5分数列{a n}满足a n a n+1+1=0，若a9=2，则a1=．15、【来源】 2020年广东佛山高三二模文科第15题5分已知P为双曲线C：x 2a2−y2b2=1（a>0，b>0）上一点，O为坐标原点，F1，F2为曲线C左右焦点，若|OP|=|OF2|，且满足tan∠PF2F1=3，则双曲线的离心率为．16、【来源】 2020年广东佛山高三二模文科第16题5分已知函数f(x)={x2−2x,x⩾0−x2+ax,x<0的图象关于原点对称，则a=；若关于x的不等式f(bx−2)⩾f(12)在区间[1,2]上恒成立，则实数b的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年广东佛山高三二模文科第17题12分在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=5，c−b=1，cosC=17．(1) 求角B的大小．(2) 若角B的平分线交AC于点D，求△ABD的面积．2020年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年，也是佛山在经济总量超万亿元新起点上开启发展新征程的重要历史节点，作为制造业城市，佛山一直坚持把创新摆在制造业发展全局的前置位置和核心位置，聚集打造成为面向全球的国家制造业创造业创新中心，走“世界科技+佛山智造+全球市场”的创新发展之路．在推动制造业高质量发展的大环境下，佛山市某工厂统筹各类资源，进行了积极的改革探索．下表是该工厂每月生产的一种核心产品的产量x (3⩽x ⩽15)（件）与相应的生产总成本y （万元）的四组对照数据．工厂研究人员建立了y 与x 的两种回归模型，利用计算机算得近似结果如下：模型①：y ^=x 33+173； 模型②：y ^=68x −160．其中模型①的残差（实际值−预报值）图如图所示：(1) 根据残差分析，判断哪一个更适宜作为y 关于x 的回归方程？并说明理由．(2) 市场前景风云变幻，研究人员统计了20个月的产品销售单价，得到频数分布表如下：若以这20个月销售单价的平均值定为今后的销售单价（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），结合你对（1）的判断，当月产量为12件时，预测当月的利润．已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且过点(2,1)．(1) 求椭圆C的方程．(2) 过坐标原点O的直线与椭圆交于M，N两点，若椭圆上点P，满足|PM|=|PN|，试证明：原点O 到直线PM的距离为定值．20、【来源】 2020年广东佛山高三二模文科第20题12分2020~2021学年四川成都成华区四川省成都华西中学高三上学期期中文科第20题12分如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA=PC=√3，PB=PD=√6，∠APB=∠CPD=90∘，设平面PAB∩平面PCD=l．(1) 证明：l//AB．(2) 若平面PAB⊥平面PCD，求四棱锥P−ABCD的体积．21、【来源】 2020年广东佛山高三二模文科第21题12分已知函数f(x)=ax3+x，其中a∈R．(1) 当a≠0时，求证：过原点O且与曲线y=f(x)相切的直线有且只有一条．(2) 当x∈[0,π2)时，不等式f(x)⩽tanx恒成立，求实数a的取值范围．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系及参数方程22、【来源】 2020年广东佛山高三二模文科第22题10分2020~2021学年四川成都成华区四川省成都华西中学高三上学期期中文科第22题10分2020年广东佛山高三二模理科第22题10分在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2costy=2+2sint（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．(1) 说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程．(2) 设点M的极坐标为(4,0)，射线θ=α(0<α<π2)与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，若∠AMB=π4，求tanα的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年广东佛山高三二模文科第23题10分2020年广东佛山高三二模理科第23题10分已知函数f(x)=2cosx+|a−1|+|a−5|，a∈R．(1) 若f(0)>8，求实数a的取值范围．(2) 证明：∀x∈R，f(x)⩾|a−5|−|1a+1|恒成立．1 、【答案】 B;2 、【答案】 A;3 、【答案】 D;4 、【答案】 C;5 、【答案】 C;6 、【答案】 B;7 、【答案】 C;8 、【答案】 D;9 、【答案】 D;10 、【答案】 C;11 、【答案】 B;12 、【答案】 A;13 、【答案】115;14 、【答案】2;15 、【答案】√102;16 、【答案】−2;[2−√74,54]∪[72,+∞);17 、【答案】 (1) π3．;(2) 8013√3．;18 、【答案】 (1) 模型①更适宜作为y关于x的回归方程，证明见解析．;(2) 295万元．;19 、【答案】 (1) x26+y23=1．;(2) 证明见解析．;20 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 2．;21 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) (−∞,13]．;22 、【答案】 (1) 证明见解析；ρ=4sinθ．;(2) 1．2;23 、【答案】 (1) {x|a<0或x>6}．;(2) 证明见解析．;。
2020年肇庆市高考数学二模试卷(文科)(含答案解析)
2020年肇庆市高考数学二模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={2,5，9}，B={x|x=2m−1,m∈A}，则A∪B=()A. {2,3，5，9，17}B. {2,3，5，17}C. {9}D. {5}2.设复数z在复平面内对应的点为(x,y)，若x，y满足x2+(y+2)2=3，则有()A. |z+2|=3B. |z+2|=√3C. |z+2i|=3D. |z+2i|=√33.下列函数为奇函数的是()A. x2+2xB. 2cosx+1C. x3sinxD. 2x−12x4.学校组织学生参加英语测试，某班成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次是[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100)，则学生平均成绩是()A. 67B. 68C. 69D. 705.等差数列8，5，2，…的第6项为()A. −1B. −4C. −7D. −106.从某校高二年级随机抽取的5名女同学的身高x(厘米)和体重y(千克)数据如下表：x164160176155170y5752624460根据上表可得回归直线方程为ŷ=0.9x+â，则â=A. −93.5B. 93.5C. −96.8D. 96.87.已知l，m是空间两条不重合的直线，α是一个平面，则“m⊥α，l与m无交点”是“l//m，l⊥α”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.执行如图所示的程序框图，如果输入的x=11，则输出的y=()A. −1B. 0C. 2D. 3)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是() 9.函数f(x)=√2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2A. 函数f(x)在区间(−π,0)上单调递增2B. 函数f(x)的最小正周期为2πC. 函数f(x)的图象关于点(π,0)对称6D. 函数f(x)的图象可以由y=√2sinωx的图象向右平移5π个单位得到610.若直线y=x与曲线y=e x+m(m∈R)，e为自然对数的底数)相切，则m=()A. 1B. 2C. −1D. −211.已知抛物线C：y2=4x，A，B是抛物线C上的两点，且线段AB的中点坐标为(2,2)，则AB所在直线的方程为()A. x+y−4=0B. x−y=0C. 2x−y−2=0D. 2x+y−6=0x的零点个数为()12.函数f(x)=x−log12A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数多个二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(3,2)，b⃗ =(1,−1)，若(a⃗−λb⃗ )⊥b⃗ ，则λ=______．14.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,S3=34，则S4=___________．15.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=4x交于O，P，Q三点，且直线PQ经过抛物线的焦点，则该双曲线的离心率为______．16.三棱锥P−ABC中，PC⊥平面ABC，∠CAB=90°，PC=3，AC=4，AB=5，则此三棱锥外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，已知sin A：sin B：sin C=4：5：6，且a+b+c=30，求a．18.某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：(1)根据以上数据，能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；(3)从(2)中抽取的5位女性中，再随机抽取3人赠送礼品，试求抽取3人中恰有2人为“微信控”的概率.参考数据：参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．19.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，且PA=3.E为PD中点，F在棱PA上，且AF=1(Ⅰ)求证：CE//面BDF；(Ⅱ)求三棱锥P−BDF的体积．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F2(3,0)，离心率为e=√32．(1)求椭圆的方程．(2)设直线y =kx 与椭圆相交于A ，B 两点，M ，N 分别为线段AF 2，BF 2的中点，若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，求k 的值．21. 已知函数f(x)=x(e x lnx −e)，其中，e 是自然对数的底数．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)证明：当x >0时，f(x)>−2e x−1−(e −1)x ．22. 在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为ρ2+4ρcosθ−4ρsinθ=12，直线l 的参数方程为{x =−1+tcosαy =2+tsinα(t 为参数).点P 为曲线E 上的动点，点Q 为线段OP 的中点．(1)求点Q 的轨迹(曲线C)的直角坐标方程；(2)若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，点M(−1,2)恰好为线段AB 的三等分点，求直线l 的普通方程．23.已知函数f(x)=|ax−3|，不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}．(1)解不等式f(x)<2f(x+1)−1；(2)若m≥3，n≥3，f(m)+f(n)=3，求证：1m +4n≥1．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵集合A={2,5，9}，B={x|x=2m−1,m∈A}={3,9，17}，∴A∪B={2,3，5，9，17}．故选：A．分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：本题考查复数的模、复数的几何意义，属于基础题．由z在复平面内对应的点为(x,y)，可得z=x+yi，然后根据x，y满足x2+(y+2)2=3即可得解．解：设z在复平面内对应的点为(x,y)，若x，y满足x2+(y+2)2=3，则点(x,y)在以(0,−2)为圆心，半径为√3的圆上，即点(x,y)到(0,−2)的距离为√3，∴|z+2i|=√3．故选D．3.答案：D解析：解：A.f(−1)=1+12，f(1)=2，则f(−1)≠−f(1)，B.f(x)=2cosx+1为偶函数．C.f(x)=x3sinx为偶函数，D.f(−x)=(2−x−12−x )=12x−2x=−(2x−12x)=−f(x)，则函数为奇函数，故选：D根据函数奇偶性的定义进行判断．本题主要考查函数的奇偶性的判断，根据定义是解决本题的关键．4.答案：B解析：本题考查了频率分布直方图，重点是小矩形的高=频率．组距利用直方图计算平均数的方法是每个小长方形的面积乘以每个小长方形底边中点横坐标的和．解：平均分是每个小长方形的面积乘以每个小长方形底边中点横坐标的和．∴平均分为：30×0.005×20+50×0.01×20+70×0.02×20+90×0.015×20=68．故选B．5.答案：C解析：本题考查等差数列的通项公式，属于基础题．利用等差数列的通项公式求解即可．解：设等差数列为{a n}，由已知a1=8，公差d=5−8=−3，∴第6项a6=8+5×(−3)=−7．故选C．6.答案：A解析：本题考查线性回归方程，是基础题．根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，解：由表中数据可得x=165，y=55，∵(x,y)一定在回归直线方程ŷ=0.9x+â上，∴55=0.9×167+a，解得a=−93.5．故选A．7.答案：B解析：【试题解析】本题考查了空间中的线面的位置关系，以及充分条件，必要条件，属于基础题．借助于空间中的线面的位置关系，以及充分条件，必要条件的定义即可判断．解：l，m是空间两条不重合的直线，α是一个平面，则“m⊥α，l与m无交点”，不一定推出“l//m，l⊥α”，但l，m是空间两条不重合的直线，α是一个平面，由“l//m，l⊥α”一定推出m⊥α，l与m无交点，故“m⊥α，l与m无交点”是“l//m，l⊥α”的必要不充分条件，故选：B．8.答案：D解析：本题主要考查算法中的程序框图，属于基础题．按照程序框图给出的指示进行运算即可．解：由已知：x=11,x=9,是,y=18,x=7,是,y=14,x=5,是,y=10,x=3,是,y=6,x=1,是,y=2,x=−1,否,y=3，故选D．9.答案：D解析：本题考查三角函数图象问题，考查三角函数的最小正周期，对称中心，对称轴等，为中档题．由图像求出周期，从而可求出ω，再结合图像所过的点确定φ，结合函数的单调性、周期、对称中心和平移知识逐一判断即可．解：由图可得T4=7π12−π3=π4，∴T=π，2πω=π，ω=2，∵图象过点(7π12,−√2)∴√2sin(2×7π12+φ)=−√2，即2×7π12+φ=3π2+2kπ,k∈Z，解得φ=π3+2kπ,k∈Z，又|φ|<π2，∴φ=π3，∴函数f(x)=√2sin(2x+π3)，A：−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ(k∈Z)，解得kπ−5π12≤x≤kπ+π12，k∈Z，当k=0时，函数的递增区间为[−5π12,π12]，易得函数在(−π2,−5π12)上单调递减，在(−5π12,0)上单调递增，故A错误；B：最小正周期T=π，所以B错，C：令2x+π3=kπ，(k∈Z)，解得x=kπ2−π6(k∈Z)，令kπ2−π6=π6(k∈Z)，可得k=23∉Z，所以C错，D：将y=√2sinωx向右平移5π6个单位可得y=√2sin2(x−5π6 )=√2sin(2x−5π3)=√2sin(2x+π3)，所以函数图象可以由y=√2sinωx向右平移5π6个单位得到．故选：D．10.答案：C解析：解：设切点为(x,y)，则x=y，∵y=e x+m，∴y′=e x+m∴e x+m=1，即x+m=0，又e x+m=x，∴e0=x，∴x=1，∴m=−1，故选：C．先求导函数，利用直线y=x与曲线y=e x+m相切，可知切线的斜率为1，即切点处的函数值为1，再利用切点处的函数值相等，即可求出a的值本题以直线与曲线相切为载体，考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，解题的关键是正确理解导数的几何意义．11.答案：B解析：解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由中点坐标公式可得，x1+x2=4，y1+y2=4则y12=4x1，y22=4x2，两式相减可得(y1−y2)(y1+y2)=4(x1−x2)，∴k AB=1，∴直线AB的方程为y−2=(x−2)即x−y=0．故选：B设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y12=4x1，y22=4x2，两式相减，可求直线AB的斜率，进而可求直线AB 的方程本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查抛物线的性质，考查运算求解能力，解题时要认真审题，注意韦达定理的灵活运用．12.答案：B解析：解：函数f(x)=x−log 12x的零点个数，就是函数y=x与y=log 12x，两个函数的图象的交点个数，如图：可知函数的图象只有一个交点．x的零点个数为：1个．函数f(x)=x−log 12故选：B．画出两个函数的图象，判断交点个数，即可得到选项．本题考查函数的零点个数的判断，考查数形结合思想的应用，是基础题．13.答案：解析：解：a⃗−λb⃗ =(3−λ,2+λ)；∵(a⃗−λb⃗ )⊥b⃗ ；∴(a⃗−λb⃗ )⋅b⃗ =3−λ−(2+λ)=0；．解得λ=12故答案为：1．2可求出a⃗−λb⃗ =(3−λ,2+λ)，根据(a⃗−λb⃗ )⊥b⃗ 即可得出(a⃗−λb⃗ )⋅b⃗ =0，进行数量积的坐标运算即可求出λ．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法、数乘和数量积的运算．14.答案：58解析：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．利用等比数列的通项公式及求和公式表示已知，可求公比，然后再利用等比数列的求和公式即可求解．解：∵数列{a n}为等比数列，a1=1，S3=34，∴q≠1，1−q31−q =34，整理可得q2+q+14=0，解得q=−12，故S4=1−q41−q =1−1161+12=58，故答案为58．15.答案：√5解析：解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=4x交于O，P，Q三点，且直线PQ经过抛物线的焦点，可得P(1,2)，则P在双曲线的渐近线上，双曲线的一条渐近线方程：bx−ay=0，可得b=2a，可得c2−a2=4a2，所以双曲线的离心率为：e=√5．故答案为：√5．利用已知条件求出P的坐标，代入渐近线方程，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．16.答案：50π解析：本题考查三棱锥外接球的表面积，其中利用割补法，将三棱锥P−ABC的外接球，转化为一个长方体的外接球是解答的关键，属于中档题．根据已知中PC⊥平面ABC，∠CAB=90°，PC=3，AC=4，AB=5，可得三棱锥P−ABC的外接球，即为以PC，AC，AB为长宽高的长方体的外接球，根据已知PC、AC、AB的长，代入长方体外接球直径(长方体对角线)公式，易得球半径，即可求出三棱锥外接球的表面积．解：PC⊥平面ABC，∠CAB=90°，PC=3，AC=4，AB=5，则该三棱锥P−ABC的外接球，即为以PC，AC，AB为长宽高的长方体的外接球，故2R=√9+16+25=5√2，故R=5√22，所以三棱锥外接球的表面积为50π．故答案为50π．17.答案：解：∵sin A：sin B：sin C=4：5：6，由正弦定理可得：a：b：c=4：5：6，又∵a+b+c=30，∴a=30×44+5+6=8．解析：由sin A：sin B：sin C=4：5：6，利用正弦定理可得：a：b：c=4：5：6，即可得出．本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．18.答案：解：(1)由列联表可得K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(26×20−30×24)250×50×56×44=5077≈0.649<3.841，所以没有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关；(2)根据题意知，所抽取的5位女性中，“微信控”有3人，“非微信控”有2人；(3)抽取的5位女性中，“微信控”3人分别记为A，B，C；“非微信控”2人分别记为D，E；则再从中随机抽取3人构成的所有基本事件为：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共有10种；抽取3人中恰有2人为“微信控”所含基本事件为：ABD，ABE，ACD，ACE，BCD，BCE，共有6种，所求的概率为P=610=35．解析：(1)由列联表求得观测值，对照临界值得出结论；(2)根据分层抽样原理求出所抽取的对应人数；(3)利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，是基础题．19.答案：证明：(Ⅰ)如图所示，取PF 中点G ，连接EG ，CG ．连接AC 交BD 于O ，连接FO ．由题可得F 为AG 中点，O 为AC 中点，∴FO//GC ；又G 为PF 中点，E 为PD 中点，∴GE//FD ．又GE ∩GC =G ，GE 、GC ⊂面GEC ，FO ∩FD =F ，FO ，FD ⊂面FOD ．∴面GEC//面FOD ．∵CE ⊂面GEC ，∴CE//面BDF ；解：(Ⅱ)∵PA ⊥面ABCD ，∴PA 是三棱锥P −ABD 的高，又S △ABD =12×3×3×√32=9√34， ∴V P−ABD =13×S △ABD ×PA =9√34，同理V F−ABD =13×S △ABD ×FA =3√34． ∴V P−BDF =V P−ABD −V F−ABD =3√32．解析：(Ⅰ)取PF 中点G ，连接EG ，CG.连接AC 交BD 于O ，连接FO.由三角形中位线定理可得FO//GC ，GE//FD.然后利用平面与平面平行的判定得到面GEC//面FOD ，进一步得到CE//面BDF ； (Ⅱ)由PA 是三棱锥P −ABD 的高，求出底面三角形ABD 的面积，由三棱锥P −BDF 的体积等于三棱锥P −ABD 的体积与三棱锥F −ABD 的体积差求解．本题考查直线与平面平行的判定，考查了棱锥体积得求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．20.答案：解：(1)由题意得{c =3c a =√32，得a =2√3，结合a 2=b 2+c 2，解得a 2=12，b 2=3，所以，椭圆的方程为x 212+y 23=1．(2)由{x 212+y 23=1y =kx，得(+4k 2)x 2−12=0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=0，x 1x 2=−121+4k 2，依题意，OM ⊥ON ，易知，四边形OMF 2N 为平行四边形，所以AF 2⊥BF 2，因为F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−3,y 1)，F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−3,y 2)，所以F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−3)(x 2−3)+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+9=0， 即−12(1+k 2)1+4k 2+9=0，解得k =±√24．解析：本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，属于难题．(1)由题意得{c =3c a =√32，解得a ，再结合a 2=b 2+c 2，可求得b 2，从而可得椭圆的方程；(2)由椭圆的方程与直线的方程y =kx 联立，得(1+4k 2)x 2−12=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−3,y 1)，F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−3,y 2)，依题意，AF 2⊥BF 2，由F 2A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0即可求得k 的值．21.答案：(1)解：函数f(x)=x(e x lnx −e)的定义域为(0,+∞)，=e x lnx −e +xe x lnx +e x=e x (lnx +xlnx +1)−e ，当x >1时，e x >e ，lnx >0，xlnx >0，则lnx +xlnx >0，∴lnx +xlnx +1>1，∴e x (lnx +xlnx +1)>e ，∴e x (lnx +xlnx +1)−e >0，即f′(x)>0，当0<x <1时，1<e x <e ，lnx <0，xlnx <0，则lnx +xlnx <0，∴lnx +xlnx +1<1，∴e x (lnx +xlnx +1)<e ，∴e x (lnx +xlnx +1)−e <0，即f′(x)<0，∴函数f(x)=x(e x lnx −e)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,+∞)上单调递增；(2)证明：不等式f(x)>−2e x−1−(e −1)x ，x >0，即为x(e x lnx −e)>−2e x−1−(e −1)x ，即为xe x lnx >−2e x−1+x ，不等式两边同时除以e x ，得xlnx >x e x −2e ，即证当x >0时，xlnx >xe −x −2e 恒成立，令g(x)=xlnx ，则g′(x)=lnx +1，令g′(x)<0得0<x <1e ，令g′(x)>0得x >1e ，∴函数g(x)=xlnx 在区间(0,1e )上单调递减，在区间(1e ,+∞)上单调递增，∴g(x)=xlnx 在x =1e 处取得极小值，也是最小值，∴函数g(x)=xlnx 在(0,+∞)上的最小值为g(1e )=1e ln 1e =−1e ，令ℎ(x)=xe −x −2e ，则ℎ′(x)=e −x +xe −x (−1)=e −x (1−x)，令ℎ′(x)<0得x >1，令ℎ′(x)>0得0<x <1，∴函数ℎ(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,+∞)上单调递减，∴函数ℎ(x)在x =1处取得极大值，也是最大值，∴函数ℎ(x)在(0,+∞)上的最大值为ℎ(1)=e −1−2e =−1e ，∵g(x)min =g(1e )=ℎ(1)=ℎ(x)max ，且最值不同时取到． ∴当x >0时，g(x)>ℎ(x)，即f(x)>−2e x−1−(e −1)x ．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性及利用导数证明不等式成立，属于较难题目．(1)求出f′(x)，得出函数f(x)的单调区间即可；(2)将不等式转化为当x >0时，xe x lnx >−2e x−1+x ，转化为当x >0时，xlnx >xe −x −2e 恒成立，利用导数法求出最值得出证明即可． 22.答案：解：(Ⅰ)设点Q ，P 的极坐标分别为(ρ,θ)，(ρ0,θ0)，则ρ02+4ρ0cosθ0−4ρ0sinθ0=12且ρ0=2ρ，θ0=θ，所以(2ρ)2+4⋅(2ρ)cosθ−4⋅(2ρ)sinθ=12所以点Q 轨迹的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ−2ρsinθ=3．故点Q 轨迹的直角坐标方程为x 2+y 2+2x −2y =3．(Ⅱ)由(Ⅰ)得曲线的直角坐标方程为(x +1)2+(y −1)2=5，将直线参数方程代入曲线的方程得(tcosα)2+(1+tsinα)2=5，即t 2+2tsinα−4=0，由题意不妨设方程两根为−t ，2t ，所以{−t +2t =−2sinα−t ×2t =−4即{t =−2sinαt 2=2， 所以sin 2α=12⇒cos 2α=12，又sinα与cosα在一三象限同号，二四象限异号，所以直线的斜率k =tanα=±1，又直线过M(−1,2)故直线的普通方程为x −y +3=0或x +y −1=0．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：(1)解：因为不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x ≤5}，则x =1和x =5是方程f(x)=|ax −3|=2的解，即{|a −3|=2|5a −3|=2，所以实数a 的值为1． 不等式f(x)<2f(x +1)−1可化为|x −3|<2|x −2|−1，则{x ≥3x −3<2(x −2)−1或{2≤x <3−(x −3)<2(x −2)−1或x <2−(x −3)<−2(x −2)−1， 解得x ≥3或83<x <3或x <0，所以原不等式的解集为{x|x<0或x>83}．(2)证明：因为m≥3，n≥3，所以f(m)+f(n)=|m−3|+|n−3|=m−3+n−3=3，即m+n=9．所以1m +4n=19(m+n)(1m+4n)=19(1+4+nm+4mn)≥19(5+2√nm⋅4mn)=1，当且仅当nm =4mn，即m=3，n=6时取等号．解析：(1)利用不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}，说明x=1和x=5是方程f(x)=|ax−3|=2的解，求出a，然后转化不等式f(x)<2f(x+1)−1为|x−3|<2|x−2|−1，通过分类讨论转化求解即可．(2)化简f(m)+f(n)=3，得到m+n=9.利用基本不等式证明即可．本题考查解绝对值不等式和利用基本不等式证明不等式．是中档题．。
2020届广东省深圳市高三二模数学(文)试题(含解析)
2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）本试卷共6页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜5}，B ＝{1，3，5}，则A ∩B =（ ） A. {1，3} B. {1，3，5}C. {1，2，3，4}D. {0，1，2，3，4，5}2.设z 21(1)ii +=-,则|z |＝（ ） A.12B.2C. 1D.3.已知ln 22a =，22log b e=，22e c =，则（ ） A. a ＜b ＜c B. b ＜c ＜a C. c ＜b ＜a D. b ＜a ＜c4.设x ，y 满足约束条件130x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x ﹣y 最大值为（ ）A. ﹣3B. 1C. 2D. 35.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，有下列四个命题：①若//m α，//n α，则//m n ；②若n α⊥，m β⊥，//m n ，则//αβ；③若αβ⊥，//m α，n β⊥，则//m n ；④若//αβ，m α⊂，m n ⊥，则n β⊥. 其中，正确的命题个数是（ ） A. 3B. 2C. 1D. 06.已知双曲线()2222:10, 0a yx C a b b =>>-的焦点分别为()15,0F -，()25,0F ，P 为C 上一点，12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，则C 的方程为（ ） A. 22124y x -=B. 22124x y -=C. 221916x y -=D. 221169x y -=7.执行如图的程序框图，如果输入的k ＝0.4，则输出的n ＝（ ）A. 5B. 4C. 3D. 28.函数f （x ）＝x 2﹣2x +1的图象与函数g （x ）＝3cos πx 的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A. 2B. 4C. 6D. 89.已知正方体六个面的中心可构成一个正八面体,现从正方体内部任取一个点,则该点落在这个正八面体内部的概率为（ ） A.12B.13C.16D.11210.函数f （x ）()142xxsinx -=的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.11.下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图2所示,图2中圆的半径均为1,且相邻的圆都相切,A ,B ,C ,D 是其中四个圆的圆心,则AB u u u r •CD =u u ur （ ）A. 32B. 28C. 26D. 2412.在三棱锥P ﹣ABC 中，平面PBC ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BC ＝PC ＝2，若AC ＝PB ，则三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值为（ ） A .23B.39C.16327D.323二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2020年初,湖北成为全国新冠疫情最严重的省份,面临医务人员不足,医疗物资紧缺等诸多困难,全国人民心系湖北,志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援,则甲被选中的概率为_____.14.在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为2224b c a +-，sin sin 2A C b C c +=，则角C ＝_____.15.《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n 个月后共有老鼠n a 只，则n a =_____.16.已知A 、F 分别是椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的下顶点和左焦点，过A 且倾斜角为60︒的直线l 分别交x 轴和椭圆C 于M ，N 两点，且N 点的纵坐标为35b ，若FMN V 的周长为6，则FAN V 的面积为_____.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知各项都为正数的等比数列{}n a ，232a =，3458a a a =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2log n n b a =，123n n T b b b b =++++L ，求n T .18.为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图.（1）根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；（2）为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；（3）标准差s 除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在（x -3s ，x +3s ）之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合（2）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？参考公式：s (222121[()())n x x x x x x n⎤=⋅-+-++-⎦L ， 参考数据：2340≈48.19.如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，AA 12=AB ，M ，N 分别为AB ，AA 1的中点.（1）求证：平面B 1NC ⊥平面CMN ； （2）若AB ＝2，求点N 到平面B 1MC 的距离.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知定点()1,0F ，点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 在y 轴上运动，满足0AB BF ⋅=u u u r u u u r，A 关于点B 的对称点为M ，设点M 的轨迹为曲线C.（1）求C 的方程；（2）已知点()3,2G -，动直线()3x t t =>与C 相交于P ，Q 两点，求过G ，P ，Q 三点的圆在直线2y =-上截得的弦长的最小值.21.已知函数f （x ）xxe e=-3,g （x ）＝alnx ﹣2x （a ∈R ）.（1）讨论g （x ）单调性；（2）是否存在实数a ,使不等式f （x ）≥g （x ）恒成立？如果存在,求出a 的值；如果不存在,请说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 选修4－4：坐标系与参数方程22.椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A ，B ，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M 处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M 的轨迹C 是一个椭圆，其中|MA |＝2，|MB |＝1，如图，以两条导槽的交点为原点O ，横槽所在直线为x 轴，建立直角坐标系.（1）将以射线Bx 为始边，射线BM 为终边的角xBM 记为φ（0≤φ＜2π），用ϕ表示点M 的坐标，并求出C 的普通方程；（2）已知过C 的左焦点F ，且倾斜角为α（0≤α2π＜）的直线l 1与C 交于D ，E 两点，过点F 且垂直于l 1的直线l 2与C 交于G ，H 两点.当1FE ，|GH |，1FD依次成等差数列时，求直线l 2的普通方程.选修4－5：不等式选讲23.已知a ，b ，c 为正实数，且满足a +b +c ＝1.证明：（1）|a 12-|+|b +c ﹣1|12≥；（2）（a 3+b 3+c 3）（222111a b c++）≥3.2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学（文科）本试卷共6页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜5}，B ＝{1，3，5}，则A ∩B =（ ） A. {1，3} B. {1，3，5}C. {1，2，3，4}D. {0，1，2，3，4，5}【答案】A 【解析】 【分析】直接进行交集的运算即可.【详解】∵A ＝{x |﹣1＜x ＜5}，B ＝{1，3，5}，∴A ∩B ＝{1，3}. 故选：A.【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题. 2.设z 21(1)ii +=-,则|z |＝（ ）A.12B.2C. 1D.【答案】B 【解析】 【分析】把已知等式变形,再由商的模等于模的商求解即可. 【详解】解：∵z 211(1)2i ii i++==--,∴|z |＝|12ii+-|122i i +==-. 故选：B.【点睛】本题考查复数模的求法,考查数学转化思想方法,是基础题. 3.已知ln 22a =，22log b e=，22e c =，则（ ） A. a ＜b ＜c B. b ＜c ＜a C. c ＜b ＜a D. b ＜a ＜c【答案】D 【解析】 【分析】容易得出22ln 2201log 0212e e<><<，，，从而可得出a ，b ，c 的大小关系.【详解】∵ln 20ln 12e <=<=，222log log 10e<=，20221e =＞，∴b ＜a ＜c .故选：D.【点睛】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题.4.设x ，y 满足约束条件130x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x ﹣y 的最大值为（ ）A. ﹣3B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z ＝2x ﹣y 表示直线在y 轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可.【详解】不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z ＝2x ﹣y 过点A 时，目标函数z ＝2x ﹣y 的纵截距最小，此时z 取得最大值， 由13x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得A （2，1）时，在y 轴上截距最小，此时z 取得最大值3.故选：D.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，画出图像是解题的关键. 5.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，有下列四个命题： ①若//m α，//n α，则//m n ；②若n α⊥，m β⊥，//m n ，则//αβ；③若αβ⊥，//m α，n β⊥，则//m n ；④若//αβ，m α⊂，m n ⊥，则n β⊥. 其中，正确的命题个数是（ ） A. 3 B. 2C. 1D. 0【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中点、线、面的位置关系逐一判断即可.【详解】若//m α，//n α，则m 与n 可以平行、相交、异面，故①错误； 若n α⊥，m β⊥，//m n ，则//αβ，故②正确；若αβ⊥，//m α，n β⊥，则m 与n 可以平行、相交、异面，故③错误； 若//αβ，m α⊂，m n ⊥，则n 与β可以平行、相交或n β⊂，故④错误所以正确的命题个数是1 故选：C【点睛】本题考查的是空间中点、线、面的位置关系，属于基础题.6.已知双曲线()2222:10, 0a y x C a b b =>>-的焦点分别为()15,0F -，()25,0F ，P 为C 上一点，12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，则C 的方程为（ ） A. 22124y x -=B. 22124x y -=C. 221916x y -=D. 221169x y -=【答案】A 【解析】 【分析】由12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，1210F F =可得18PF =，26PF =，然后根据双曲线的定义求出a ，然后再根据222b c a =-求出b 即可．【详解】如图，因为12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，1210F F = 所以可得18PF =，26PF =根据双曲线的定义可得1222a PF PF -==，即1a = 所以22225124b c a =-=-=所以C 的方程为22124y x -=故选：A【点睛】本题主要考查的是双曲线定义的应用，较简单．7.执行如图的程序框图，如果输入的k ＝0.4，则输出的n ＝（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S的值并输出相应变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【详解】模拟程序的运行，可得k＝0.4，S＝0，n＝1S11 133 ==⨯，不满足条件S＞0.4，执行循环体，n＝2，S11113352=+=⨯⨯（1111335-+-）25=，不满足条件S＞0.4，执行循环体，n＝3，S11111335572=++=⨯⨯⨯（11111133557-+-+-）37=，此时，满足条件S＞0.4，退出循环，输出n的值为3.故选：C.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.8.函数f（x）＝x2﹣2x+1的图象与函数g（x）＝3cosπx的图象所有交点的横坐标之和等于（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】直接利用三角函数的图象和性质的应用和二次函数性质的应用在同一坐标系内画出函数的图象，进一步利用对称性的应用求出结果.【详解】函数f （x ）＝x 2﹣2x +1的图象与函数g （x ）＝3cos πx 的图象在同一坐标系内的位置和交点坐标为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），由于f （x ）＝（x ﹣1）2，的对称轴为x ＝1，函数的图象与x 轴相切， 函数g （x ）的图象的最小正周期为T 22ππ==，函数的图象关于y 轴对称，如图所示：所以1412x x +=，2312x x +=， 则：x 1+x 2+x 3+x 4＝4， 故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质的应用，二次函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.9.已知正方体的六个面的中心可构成一个正八面体,现从正方体内部任取一个点,则该点落在这个正八面体内部的概率为（ ） A.12B.13C.16D.112【答案】C 【解析】 【分析】设正方体的棱长是1,构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成,一个正四棱锥的高等于正方体棱长的一半12,正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是22,求出正四棱锥的体积,得到正八面体的体积,得到比值.【详解】解：设正方体的棱长是1,构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成, 以上面一个正四棱锥为例,它的高等于正方体棱长的一半12,正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是22,∴这个正四棱锥的体积是12211 3212⨯⨯⨯=；∴构成的八面体的体积是211 126⨯=；∴八面体的体积是V1,正方体体积是V2,V1：V2＝1：6故从正方体内部任取一个点,则该点落在这个正八面体内部的概率为：16；故选：C【点睛】本题考查组合几何体的体积,面积,考查棱锥,正方体的体积以及立体类的几何概型问题.属于基础题.10.函数f（x）()142xxsinx-=的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，结合选项中函数图象的对称性，先排除不符合题意的，然后结合特殊点函数值的正负即可判断.【详解】因为f（﹣x）()()()() 144114222------==-==x x xx x xsin x sinx sinxf（x），所以f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除选项A，C，又f（2）()2214215sin224-==-sin，因为22ππ<<，所以sin20>，所以f（2）＜0，排除选项D.故选：B.【点睛】本题主要考查函数图象与性质及其应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.11.下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图2所示,图2中圆的半径均为1,且相邻的圆都相切,A,B,C,D是其中四个圆的圆心,则ABu u u r•CD=u u u r（）A. 32B. 28C. 26D. 24【答案】C【解析】【分析】建立以,a br r为一组基底的基向量,其中1a b==rr且,a br r的夹角为60°,根据平面向量的基本定理可知,向量ABu u u r和CDuuu r均可以用a brr，表示,再结合平面向量数量积运算法则即可得解.【详解】解：如图所示,建立以,a br r为一组基底的基向量,其中1a b==rr且,a br r的夹角为60°,∴24AB a b=+u u u r rr,42CD a b=+u u u r rr,∴()()22124428820882011262AB CD a b a b a b a b =+⋅+=++⋅=++⨯⨯⨯⋅=u u u r u u u r r r r rr r r r .故选：C.【点睛】本题考查平面向量的混合运算,观察图形特征,建立基向量是解题的关键,考查学生的分析能力和运算能力,属于中档题.12.在三棱锥P ﹣ABC 中，平面PBC ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BC ＝PC ＝2，若AC ＝PB ，则三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值为（ ）A.3B.9C.27D.【答案】D 【解析】 【分析】取PB 中点M ，连结CM ，得到AC ⊥平面PBC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ＝AC ＝2x ，则CM ⊥PB ，求出V A ﹣PBC 23x =，设t =，（0＜t ＜2），从而V A ﹣PBC 3823t t -=，（0＜t ＜2），利用导数求出三棱锥P ﹣ABC 体积的最大值.【详解】解：如图，取PB 中点M ，连结CM ，∵平面PBC ⊥平面ABC ，平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，AC ⊂平面ABC ，AC ⊥BC ， ∴AC ⊥平面PBC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ＝AC ＝2x ，∵PC ＝BC ＝2，PB ＝2x ，（0＜x ＜2），M 为PB 的中点，∴CM ⊥PB ，CM解得122PBC S x =⨯=V所以V A ﹣PBC (123x =⨯⨯=，设t =，（0＜t ＜2），则x 2＝4﹣t 2， ∴V A ﹣PBC ()23248233t t t t--==，（0＜t ＜2），关于t 求导，得()2863t V t -'=，所以函数在2(0,3)3单调递增，在2(3,)3+∞单调递减.所以当t23=时，（V A﹣PBC）max323=.故选：D.【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查利用导数研究函数的最值，考查直线平面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.2020年初,湖北成为全国新冠疫情最严重的省份,面临医务人员不足,医疗物资紧缺等诸多困难,全国人民心系湖北,志愿者纷纷驰援.若某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援,则甲被选中的概率为_____.【答案】1 2【解析】【分析】根据基本事件总数,与甲被选中包含的基本事件求解概率即可.【详解】解：某医疗团队从甲,乙,丙,丁4名医生志愿者中,随机选取2名医生赴湖北支援, 基本事件有（甲,乙）,（甲,丙）,（甲,丁）,（乙,丙）,（乙,丁）,（丙,丁）共6个.甲被选中包含的基本事件有（甲,乙）,（甲,丙）,（甲,丁）共3个,∴甲被选中的概率为p31 62 ==.故答案为：1 2 .【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为2224b c a+-，sin sin2A Cb C c+=，则角C＝_____.【答案】512π 【解析】 【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简可求A ，然后结合二倍角公式化简可求B ，再结合三角形的内角和定理即可求解.【详解】解：由题意2224b c a S +-=，又222cos 2b c a A bc +-=， 所以11sin 2cos 24bc A bc A =⨯即tan 1A =， 因为A 为三角形内角，故A 4π=，又sin sinsin cos 2222A B C B b C c c c π+⎛⎫==-= ⎪⎝⎭由正弦定理可得，sin sin sin cos 2BB C C =， 因为sin 0C ≠，所以sin cos2sin cos 222B B B B ==， 因为cos02B≠， 所以1sin22B =，又022B π<<612B π∴=， 即3B π=，53412C ππππ∴=--=. 故答案为：512π. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式，二倍角公式在求解三角形中的应用，属于中档题.15.《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n 个月后共有老鼠n a 只，则n a =_____. 【答案】27n ⨯ 【解析】 【分析】根据1个月后的老鼠为原来雌雄两只老鼠和新出生的小鼠有(16)227+⨯=⨯只，类似的方法得到2个月后有22(16)727+⨯=⨯只，3个月后有327⨯只，根据以上分析进行归纳推理即可得n 个月后老鼠的只数n a . 【详解】由题意可得1个月后的老鼠的只数1(16)227a =+⨯=⨯,2个月后老鼠的只数222(16)727a =+⨯=⨯, 3个月后老鼠的只数2332(16)727a =+⨯=⨯…， n 个月后老鼠的只数27nn a =⨯.故答案为：27n ⨯.【点睛】本题考查利用不完全归纳法求数列的通项公式，考查运算求解能力.16.已知A 、F 分别是椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的下顶点和左焦点，过A 且倾斜角为60︒的直线l 分别交x 轴和椭圆C 于M ，N 两点，且N 点的纵坐标为35b ，若FMN V 的周长为6，则FAN V 的面积为_____.【解析】 【分析】画出图形，由条件可得出b a =b =，然后可得出M 为椭圆的右焦点，然后由椭圆的定义可得226ac +=，从而可算出,,a b c 的值，然后利用()1325FAN S FM b b ⎡⎤=⋅⋅--⎢⎥⎣⎦V 算出答案即可.【详解】如图所示，由题意得，()0,A b -，(),0F c -，直线MN 的方程为3y x b =-，把35y b =代入椭圆方程解得45x a =，∴4355N a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∵N 在直线MN 上，∴34355b a b =-，解得32b a =. 又222a b c =+，∴222)3b c =+，解得3b c =， 令3y x b =-=0，则3M ⎫⎪⎭，即(),0M c ，∴M 为椭圆的右焦点，∴2FM c =， 由椭圆的定义可知，2NF NM a +=， ∵FMN V 的周长为6，∴226a c +=， ∵3b a =2a c =，∴1,2,3c a b == ∴()13883255FAN S FM b b c b ⎡⎤=⋅⋅--=⋅=⎢⎥⎣⎦V 83【点睛】本题考查椭圆的定义与性质，熟练掌握椭圆中的基本关系式是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知各项都为正数的等比数列{}n a ，232a =，3458a a a =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2log n n b a =，123n n T b b b b =++++L ，求n T . 【答案】(1)922nn a -=；(2)22814832,4n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+>⎩，【解析】 【分析】(1)本题可设等比数列{}n a 的公比为q ，由题设条件列出q 与首项1a 的方程组，解出q 和1a ，即可求得通项公式；(2)先由(1)中求得的n a 求出n b ，再求n b ，最后通过等差数列前n 项和公式即可求得n T . 【详解】(1)设各项都为正数的等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >， 因为232a =，3458a a a =，所以213333454132()8a a q a a a a a q ==⎧⎨===⎩，解得712a =，14q =， 所以()922nn n a N -*=∈，(2)由(1)知，2922log log 292n n nb a n -===-，故9214294n n n b n n -≤≤⎧=⎨-⎩，，＞，当14n ≤≤时，279282n nT n n n +-=?-；当4n >时，()()2129753148322n n T n n n ++=++++?=-+， 故22814832,4n n n n T n n n ⎧-≤≤=⎨-+>⎩，. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式、等比中项的性质、等差数列的前n 项和公式、对数运算等知识点，等差数列的前n 项和公式为12n na n S a +=⨯，考查计算能力，体现了基础性与综合性，是中档题. 18.为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图.（1）根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；（2）为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；（3）标准差s 除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在（x -3s ，x +3s ）之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合（2）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？参考公式：s (222121[()())n x x x x x x n ⎤=⋅-+-++-⎦L 2340≈48.【答案】（1）甲药的治愈率更高；（2）甲药的疗效更好，理由见解析；（3）应该对该患者进行进一步检查【解析】【分析】（1）结合条形等高图即可直接判断；（2）从茎叶图的集中趋势，中位数，平均值方面分析即可判断；（3）分别求出x ，s ，然后代入公式即可求解，作出判断即可.【详解】（1）甲药的治愈率更高;（2）甲药的疗效更好，理由一：从茎叶图可以看出，有910的叶集中在茎0，1上，而服用乙药患者的治疗时间有35的叶集中在茎1，2上，还有110的叶集中在茎3上，所以甲药的疗效更好. 理由二：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的中位数为10天，而服用乙药患者的治疗时间的中位数为12.5天，所以甲药的疗效更好.理由三：从茎叶图可以看出，服用甲药患者的治疗的时间的平均值为10天，而服用乙药患者的治疗时间的平均值为15天，所以甲药的疗效更好.（3）由（2）中茎叶图可知，服用甲药患者的治疗时间的平均值和方差分别为456810101112122210x +++++++++==10， s 36251640014414423.410+++++++++==≈4.8， 则x -3s ≈﹣4.4，3x s +≈24.3，而26＞24.4，应该对该患者进行进一步检查.【点评】本题主要考查了利用等高条形图，茎叶图，平均值，方差等知识，体现了数据分析，数学核心素养.19.如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，AA 12=AB ，M ，N 分别为AB ，AA 1的中点.（1）求证：平面B 1NC ⊥平面CMN ； （2）若AB ＝2，求点N 到平面B 1MC 的距离.【答案】（1）见解析；（22【解析】【分析】（1）推导出AA 1⊥平面ABCD ，AA 1⊥CM ，CM ⊥AB ，从而CM ⊥平面ABB 1A 1，进而CM ⊥B 1N ，推导出△A 1B 1N ∽△ANM ，从而∠A 1B 1N ＝∠ANM ，∠A 1NB 1＝∠AMN ，进而B 1N ⊥MN ，B 1N ⊥平面CMN ，由此能证明平面B 1NC ⊥平面CMN .（2）求出点B 1到平面CMN 的距离为h 16=N 到平面B 1CM 的距离为h 2，由111213B CMN N B CM B CM V V S h --==⨯⨯V ，能求出点N 到平面B 1MC 的距离. 【详解】（1）证明：∵直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，∴AA 1⊥平面ABCD ，∵CM ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CM ，∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°，M 是AB 的中点，∴CM ⊥AB ，∵AA 1∩AB ＝A ，AA 1⊂平面ABB 1A 1，AB ⊂平面ABB 1A 1，∴CM ⊥平面ABB 1A 1，∵B 1N ⊂平面ABB 1A 1，∴CM ⊥B 1N ，∵M 是AB 中点，N 为AA 1中点，AA1=，∴11112A B AB AN AA ==111212AA A N AM AB ==， ∵∠B 1A 1N ＝∠NAM ＝90°，∴△A 1B 1N ∽△ANM ，∴∠A 1B 1N ＝∠ANM ，∠A 1NB 1＝∠AMN ，∴∠A 1NB 1+∠ANM ＝90°，∴B 1N ⊥MN ，∵MN ∩CM ＝M ，∴B 1N ⊥平面CMN ，∵B 1N ⊂平面B 1NC ，∴平面B 1NC ⊥平面CMN .（2）∵在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，AA1=，AB ＝2，M ，N 分别为AB ，AA 1的中点. ∴MN ==B 1M ==3，B 1C == B 1N == ∵底面ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°， ∴CM =CN = 由（1）知B 1N ⊥平面CMN ，设点B 1到平面CMN 的距离为h 1，h1=∵CN 2＝MN 2+CM 2，∴1322CMN S ==V ，∴1113B CMN CMN V S h -=⨯⨯=V ∵B 1M ＝3，1BC CN ==，∴1132B CM S ==V ， 设N 到平面B 1CM 的距离为h 2，∵111213B CMN N B CM B CM V V S h --==⨯⨯V ， ∴213363h ⨯⨯=， 解得h 22=.∴点N 到平面B 1MC 的距离为2.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知定点()1,0F ，点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 在y 轴上运动，满足0AB BF ⋅=u u u r u u u r ，A 关于点B 的对称点为M ，设点M 的轨迹为曲线C.（1）求C 的方程； （2）已知点()3,2G -，动直线()3x t t =>与C 相交于P ，Q 两点，求过G ，P ，Q 三点的圆在直线2y =-上截得的弦长的最小值.【答案】（1）24y x =；（2）442+.【解析】【分析】（1）根据点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 在y 轴上运动，设()()(),0,0,,,A a B b M x y ，再由 ()1,0F ，0AB BF ⋅=u u u r u u u r ，得到a ，b 的关系式，然后由A 关于点B 的对称点为M ，得到0,22x a y b +==，利用代入法化简求解.（2）由抛物线与直线()3x t t =>相交，设((,,,P t t Q t t -，根据,P Q 关于x 轴对称，得到过G ，P ，Q 三点的圆的圆心在x 轴上，设圆心为(),0E m ，由EG EP =，运用两点间的距离公式求得圆的方程，令2y =-，得到圆E 在直线2y =-上截得的弦长，再结合基本不等式求最小值.【详解】（1）因为点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 在y 轴上运动，所以设()()(),0,0,,,A a B b M x y ，因为 ()1,0F ，0AB BF ⋅=u u u r u u u r ，所以()()2,1,0-⋅-=--=*a b b a b ， 因为A 关于点B 的对称点为M ，所以0,22x a y b +==， 即 ,2y a x b =-=， 代入*式得24y x =，所以曲线C 的方程是24y x =.（2）由（1）知抛物线的方程为24y x =，直线()3x t t =>与抛物线方程联立解得，y =±设((,,,P t Q t -， 因为,P Q 关于x 轴对称，所以过G ，P ，Q 三点的圆的圆心在x 轴上，设圆心为(),0E m ，所以EG EP == 解得241326t t m t +-=-， 所以圆E 的方程为()()22234x m y m -+=-+，令2y =-，的1223,3x m x =-=，所以圆E 在直线2y =-上截得的弦长为221241325233633t t t t x x m t t +--+-=--=-=--， 因为()2230,25140t t t t ->-+=-+>，所以2122583433t t x x t t t -+-==-++--，44≥=+当且仅当833t t -=-，即3t =+时，取等号，所以当3t =+时，圆E 在直线2y =-上截得的弦长的最小值为4+. 【点睛】本题主要考查抛物线轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，弦长问题以及基本不等式的应用，还考查了逻辑推理、运算求解的能力，属于难题.21.已知函数f （x ）xxe e=-3,g （x ）＝alnx ﹣2x （a ∈R ）. （1）讨论g （x ）的单调性；（2）是否存在实数a ,使不等式f （x ）≥g （x ）恒成立？如果存在,求出a 的值；如果不存在,请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存在,4a =【解析】【分析】（1）先对函数求导,然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论即可求解；（2）要使不等式f （x ）≥g （x ）恒成立即xe x ﹣aelnx +2ex ﹣3e ≥0,构造函数u （x ）＝xe x ﹣aelnx +2ex ﹣3e ,结合函数的性质及导数即可求解.【详解】解：（1）()'2a x g x x-=,x ＞0, （i ）当a ≤0时,g ′（x ）＜0,函数在（0,+∞）上单调递减,（ii ）当a ＞0时,令()'0g x >得102x a <<，令()'0g x <，得12x a >， 所以函数g （x ）在（0,12a ）上单调递增,在（12a +∞，）上单调递减, （2）要使不等式f （x ）≥g （x ）恒成立即32xxe alnx x e-≥-恒成立, 即xe x ﹣aelnx +2ex ﹣3e ≥0,令u （x ）＝xe x ﹣aelnx +2ex ﹣3e ,则u （1）＝0,要使得原不等式成立,则u （x ）在x ＝1处取得极小值,因为()()'12x x xe ex ae u x x++-=, 所以u ′（1）＝0可得a ＝4,检验a ＝4时,u ′（x ）()124x x x e ex ex ++-=,设v （x ）＝x （x +1）e x +2ex ﹣4e ,且v （1）＝0,显然v （x ）在（0,+∞）上单调递增,当x ∈（0,1）时,v （x ）＜0,即u ′（x ）＜0,u （x ）单调递减,当x ∈（1,+∞）时,v （x ）＞0,即u ′（x ）＞0,u （x ）单调递增,故u （x ）的最小值u （1）＝0,满足题意,综上，a ＝4.【点睛】本题主要考查了导数在研究函数中的应用,用导数研究函数的单调性及不等式的恒成立为载体,综合考查分类讨论及转化思想的应用.属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 选修4－4：坐标系与参数方程22.椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A ，B ，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M 处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M 的轨迹C 是一个椭圆，其中|MA |＝2，|MB |＝1，如图，以两条导槽的交点为原点O ，横槽所在直线为x 轴，建立直角坐标系.（1）将以射线Bx 为始边，射线BM 为终边的角xBM 记为φ（0≤φ＜2π），用ϕ表示点M 的坐标，并求出C 的普通方程；（2）已知过C 的左焦点F ，且倾斜角为α（0≤α2π＜）的直线l 1与C 交于D ，E 两点，过点F 且垂直于l 1的直线l 2与C 交于G ，H 两点.当1FE ，|GH |，1FD依次成等差数列时，求直线l 2的普通方程. 【答案】（1）()2,M cos sin ϕϕ，2214x y +=；（2）230x ++= 【解析】。
广东省广州市2020届高三数学二模考试试题文含解析
【详解】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a2＝4，a1+a3＝10，
∴ 4q＝10，化为：2q2﹣5q+2＝0，
解得q＝2或 ．
∵等比数列{an}是单调递增数列， ，
∴q＝2．
直线 的方程为 ，即 ，
直线 与圆 相切，圆心为 ，半径为 ，
，解得 或 （舍去）.
故答案为： .
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查抛物线的焦点坐标，解题时由抛物线焦点坐标写出直线方程，由圆心到直线距离等于半径即可求解．
16.正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为2,侧棱长为2 ,过点A作一个与侧棱PC垂直的平面α,则平面α被此正四棱锥所截的截面面积为_____,平面α将此正四棱锥分成的两部分体积的比值为_____.
12.过双曲线C： 1（a＞0，b＞0）右焦点F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P，与双曲线交于点A，若 ，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A.y＝± xB.y＝±xC.y＝±2xD.y＝± x
【答案】A
【解析】
【分析】
先由题意画出图形，不妨设一条渐近线方程为 ，求得直线F2P：y ,与已知渐近线方程联立求得点P的坐标，再由向量等式求得A的坐标，代入双曲线方程整理即可求得双曲线C的渐近线方程．
在正四棱锥P﹣ABCD中,由底面边长为2,侧棱长为 ,
可得△PAC为正三角形,取PC的中点G,得AG⊥PC,且AG .
设过AG与PC垂直的平面交PB于E,交PD于F,连接EF,
则EG⊥PC,FG⊥PC,可得Rt△PGE≌Rt△PGF,得GE＝GF,PE＝PF,
2020年广东省潮州市高考数学二模试卷(文科
2020年广东省潮州市高考数学二模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合S ={x|x −1>0}，T ={x|0<x <5}，则S ∩T =( )A. (−1,5)B. (−∞,1)C. (−1,0)D. (1,5)2. 已知复数z 1对应复平面上的点(−1,1)，复数z 2满足z 1z 2=−2，则|z 2|=( )A. √2B. 2C. √10D. 103. 已知向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(3,1)，c ⃗ =(x,4)，若(a ⃗ −b ⃗ )⊥c ⃗ ，则x =( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为( )A. 18B. 14C. 38D. 125. 若直线2ax −by +2=0(a >0,b >0)过圆x 2+y 2+2x −4y +1=0的圆心，则9a +1b 的最小值是( )A. 16B. 10C. 12D. 14 6. 已知函数f(x)={log 2x(x >0)3x (x ≤0)，则f[f(14)]的值是( ) A. 9 B. 19 C. −19 D. −97. 在△ABC 中，若√3b =2asinB ，则A =( )A. π6或5π6B. π4或3π4C. π4或π3D. π3或2π3 8. 如图的折线图为某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据(利润=营业额−支出)，根据折线图，下列说法中错误的是( )A. 该超市这五个月中的营业额一直在增长B. 该超市这五个月的利润一直在增长C. 该超市这五个月中五月份的利润最高D. 该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关．9. 已知斐波那契数列的前八项为：1，1，2，3，5，8，13，21.大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数，现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花4朵，花瓣总数为80，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有( )层A. 5B. 6C. 7D. 8 10. 已知双曲线y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线经过点(2,√2)，则该双曲线的离心率为( ) A. √62 B. √2 C. √3 D. 311. 已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O −ABC 的体积的最大值为36，则球O 的体积为( )A. 36πB. 2563π C. 288π D. 20483π12. 已知函数f(x)={2x (x 2+m),0≤x ≤12x+1−x 2−m,−1≤x <0，则若在区间[−1,1]上方程f(x)=1只有一个解，实数m 的取值范围为( )A. {m|−1≤m <−12，或m =12}B. {m|−1≤m <−12，或m =1} C. {m|12≤m ≤1}D. {m|−1≤m <12，或m =1} 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 平行四边形ABCD 中，AB =2，AD =3，AC =4，则BD =______14.已知直线2x+y−4=0经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F2，且与椭圆在第一象限的交点为A，与y轴的交点为B，F1是椭圆的左焦点，且|AB|=|AF1|，则椭圆长轴长为______．15.如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的侧面都是正方形，且AA1⊥底面ABC，M是侧棱BB1的中点，则异面直线AC1和CM所成的角为______．16.在平面直角坐标系xOy中，已知任意角θ以坐标原点为顶点，x轴的非负半轴为始边，若终边经过点P(x0,y0)，且|OP|=r(r>0)，定义：sosθ=y0+x0r，称“sosθ”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数y=sosx”，有同学得到以下性质：①该函数的值域为[−√2,√2]；②该函数的图象关于原点对称；③该函数的图象关于直线x=34π对称；④该函数的递增区间为[2kπ−34π,2kπ−π4]，k∈Z．其中正确的是______.(填上所有正确性质的序号)三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.设{a n}是等差数列，a1=−10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列，(1)求{a n}的通项公式：(2)记{a n}的前n项和为S n，求使得S n≥a n成立的n的取值范围．18.如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，E为PD中点，AD=2．(1)求证：平面AEC⊥平面PCD；(2)若△AEC的面积为√3，求点P到平面AEC的距离．19. 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A 配方的频数分布表 指标值分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110]频数 8 20 42 22 8B 配方的频数分布表指标值分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110]频数 4 12 42 32 10(1)分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；(2)已知用B 配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t 的关系式为y ={−2,t <942,94≤t <1024,t ≥102估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润．20. 已知曲线C 上任意一点M 到点F(0,1)的距离比它到直线l ：y =−2的距离小1．(1)求曲线C 的方程：(2)过点P(2,2)的直线m 与曲线C 交于A ，B 两点，当△AOB(O 为坐标原点)的面积为4√2时，求直线m 的方程．21. 已知函数f(x)=lnx+1e (e =2.71828…是自然对数的底数)．(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：对∀x >0，(x 2+x)f′(x)<1+e −2．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2costy =2+2sint (t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ．(1)求曲线C 1的极坐标方程；(2)射线θ=π3(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点(异于原点O)，定点M(2,0)，求△MAB 的面积．23.设函数f(x)=|x−1|，g(x)=2|x+a|．(I)当a=1时，求不等式f(x)−g(x)>1的解集；(II)若关于x的不等式2f(x)+g(x)≤(a+1)2有解，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：S={x|x>1}，T={x|0<x<5}；∴S∩T=(1,5)．故选：D．先求出集合S={x|x>1}，T={x|0<x<5}，然后进行交集的运算即可．本题主要考查描述法表示集合，以及交集的概念及运算．2.【答案】A【解析】解：由题意，z1=−1+i，又z1z2=−2，∴z2=−2z1=−2−1+i=−2(−1−i)(−1+i)(−1−i)=1+i．∴|z2|=√2．故选：A．由已知求得z1，代入z1z2=−2，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】A【解析】解：a⃗−b⃗ =(−4,1),c⃗=(x,4)，且(a⃗−b⃗ )⊥c⃗；∴(a⃗−b⃗ )⋅c⃗=−4x+4=0；∴x=1．故选：A．可以求出a⃗−b⃗ =(−4,1)，根据(a⃗−b⃗ )⊥c⃗即可得出(a⃗−b⃗ )⋅c⃗=0，进行数量积的坐标运算即可求出x．考查向量垂直的充要条件，向量减法和数量积的坐标运算．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查概率的求法及古典概型，考查计算能力，是基础题．利用列举法求出抛掷三枚古钱币出现的基本事件共有8种，其中出现两正一反的共有3种，由此能求出出现两枚正面一枚反面的概率．【解答】解：抛掷三枚古钱币出现的基本事件共有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反8中，其中出现两正一反的共有3种，故出现两枚正面一枚反面的概率为：38．故选：C．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了圆的一般方程，利用基本不等式求最值，属于中档题．根据题意，可得a+b=1，利用基本不等式即可得解．【解答】解：由题意，可得圆x2+y2+2x−4y+1=0的圆心(−1,2)，故−2a−2b+2=0，即a+b=1，(a>0,b>0)，则9a +1b=(9a+1b)(a+b)=10+9ba +ab≥10+2√9ba⋅ab=16，当且仅当9ba =ab且a+b=1，即b=14，a=34时取等号，所以9a +1b的最小值是16，故选：A．6.【答案】B【解析】【分析】本题的考点是分段函数求值，对于多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解．属于基础题．因为14>0，所以f(14)=log214=log22−2=−2≤0，f(−2)=3−2=19，【解答】解：f(f(14))=f(log 214)=f(log 22−2)=f(−2)=3−2=19，故选B ． 7.【答案】D【解析】解：△ABC 中，由正弦定理以及√3b =2asinB ，可得√3sinB =2sinAsinB ，∵sinB ≠0，∴sinA =√32， ∵0<A <π，∴A =π3或2π3， 故选：D ．直接根据正弦定理即可求出．本题考查了正弦定理的应用，属于基础题． 8.【答案】B【解析】解：由图表数据可知：选项A ，C ，D 正确，对于选项B ，1∼5五个月的利润为0.5，0.7，0.8，0.5，1，即该超市这五个月的利润一直在增长是错误的，故选：B ．先阅读题意，再分析折线图信息逐一判断即可得解．本题考查了阅读能力及折线图，属简单题．9.【答案】D【解析】解：现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花4朵，花瓣总数为80，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵花瓣总数可能为80÷4=20，由已知斐波那契数列的前八项为：1，1，2，3，5，8，13，21．故一朵该种玫瑰花最可能有8层，故选：D ．通过观察斐波那契数列的情况发现某些相同性质，可归纳这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列的每一朵该种玫瑰花的可能层数，归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．10.【答案】C【解析】解：∵双曲线y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(2,√2)，∴ab =√22，∴b2=2a2，可得c2=3a2，所以e=√3．故选：C．根据双曲线的一条渐近线经过点(2,√2)，可得a，b的关系，然后转化求解离心率即可．本题考查双曲线的几何性质，渐近线与离心率的关系，考查学生的计算能力．11.【答案】C【解析】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O−ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O−ABC=V C−AOB=13×12×R2×R=16R3=36，故R=6，则球O的体积为43πR3=288π，故选：C．当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O−ABC的体积最大，利用三棱锥O−ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的体积．本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O−ABC 的体积最大是关键．12.【答案】B【解析】解：当0≤x≤1时，f(x)=1，有一解即2x(x2+m)=1，有一解，m=(12)x−x2有一解，)x−x2，在[0,1]上单调递减，令ℎ(x)=(12，所以ℎ(0)=1，ℎ(1)=−12≤m≤1}，所以A={m|−12当−1≤x<0时，f(x)=1有一解，即2x+1−x2−m=1，有一解，即m=2x+1−x2−1，有一解，令g(x)=2x+1−x2−1，在[−1,0)上单调递增，所以ℎ(−1)=−1，ℎ(0)=1，所以B={m|−1≤m<1}，所以若在区间[−1,1]上方程f(x)=1只有一个解，所以C A∪B(A∩B)={m|−1≤m<−1或m=1}，2故选：B．分别求出当0≤x≤1时，当−1≤x<0时，f(x)=1有一解时的集合A，B，若在区间[−1,1]上方程f(x)=1只有一个解，⇒实数m的取值范围为(A∩B)在(A∪B)中的补集．本题考查方程和函数之间的关系，以及集合的运算，注意转化思想的应用，属于中档题．13.【答案】√10【解析】解：平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，AC=4，连接AC和BD，在△ACD中，利用余弦定理：AC2=AB2+AD2−2⋅AB⋅AD⋅cos∠ABC，所以16=4+9−12cos∠ABC，．解得cos∠ABC=−14，所以cos∠DAB=14=10，同理在△ABD中，利用余弦定理：BD2=AB2+AD2−2⋅AB⋅AD⋅cos∠DAB=4+9−2×2×3×14所以BD=√10．故答案为：√10直接利用余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14.【答案】2√5【解析】解：由题意直线2x +y −4=0经过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F 2，令y =0可得x =2，所以右焦点F 2(2,0)，即c =2，左焦点F 1(−2,0)， 由题意令x =0，可得y =4，所以B(0,4)，所以线段BF 1的中点C(−1,2)， 直线BF 1的斜率为4−00−(−2)=2，所以线段BF 1的中垂线方程为：y −2=−12(x +1)，即x +2y −3=0， 因为|AB|=|AF 1|，所以线段BF 1的中垂线过A 点，所以A 为{x +2y −3=02x +y −4=0的交点，解得x =53，y =23，即A(53,23)，而A 在椭圆上，所以{259a 2+49b 2=1c 2=a 2−b 2c =2解得：a 2=5，b 2=1，则a =√5，则2a =2√5． 故答案为：2√5．由题意可得焦点F 1，F 2的坐标及B 的坐标，求出线段BF 1的中垂线的方程，由|AB|=|AF 1|可得A 为线段BF 1的中垂线与直线BF 2的交点，进而求出A 的坐标，由于A 在椭圆上，代入椭圆的方程，再由a ，b ，c 之间的关系求出a 的值．本题考查椭圆的方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握椭圆的简单性质．15.【答案】π2【解析】解：如图所示：由题意知三棱柱ABC −A 1B 1C 1的棱长都相等，设棱长为a ，补正三棱柱ABC −A 2B 2C 2(如图)，平移AC1至A2C，连接A2M，∠MCA2即为AC1与CM所成的角．在△A2CM中，A2C=√2a，CM=√a2+(a2)2=√52a，A2M=√a2+(32a)2=√132a，所以A1C2+CM2=A2M2，所以∠A2CM=π2．故答案为：π2直接利用补图的应用，构建异面直线的夹角之间的转换，进一步利用解三角形知识的应用求出结果．本题考查的知识要点：异面直线的夹角的应用，线的平移的应用，构造三角形的应用，主要考查学生的空间想象能力的应用，属于基础题型．16.【答案】①【解析】解：由定义可知sosx=rsinx+rcosxr =sinx+cosx=√2sin(x+π4)，故y=sosx的值域为[−√2,√2]，故①正确；令x+π4=kπ可得：x=−π4+kπ，故y=sosx的对称中心为(−π4+kπ,0)，k∈Z，故②错误；令x+π4=π2+kπ可得：x=π4+kπ，故y=sosx的对称轴为直线x=π4+kπ，k∈Z，故③错误；令−π2+2kπ≤x+π4≤π2+2kπ，可得：−3π4+2kπ≤x≤π4+2kπ，故y=sosx的单调递增区间为[−3π4+2kπ,π4+2kπ]，k∈Z，故④错误．故答案为：①．sosx=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，再根据正弦函数的性质求出y=sosx的值域、对称中心、对称轴和单调区间即可．本题考查了正弦函数的图象与性质，属于基础题．17.【答案】解：(1)∵{a n}是等差数列，a1=−10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．∴(a3+8)2=(a2+10)(a4+6)，∴(−2+2d)2=d(−4+3d)，解得d=2，∴a n=a1+(n−1)d=−10+2n−2=2n−12；(2)由a1=−10，d=2，得S n=−10n+n(n−1)2×2=n2−11n，由S n≥a n，得n2−11n≥2n−12，即n2−13n+12≥0，解得n≤1或n≥12．又n ∈N ∗，∴n 的取值范围为{n ∈N ∗|n =1或n ≥12}．【解析】(1)利用等差数列通项公式和等比数列的性质，列出方程求出d =2，由此能求出{a n }的通项公式； (2)求出等差数列的前n 项和，再由S n ≥a n 得到关于n 的一元二次不等式，求解得答案． 本题考查等比数列的性质，考查等差数列的通项公式与前n 项和，考查计算能力，是中档题．18.【答案】解：(1)证明：∵底面ABCD 为矩形，∴AD ⊥CD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ， ∴CD ⊥平面PAD ， ∵AE ⊂平面PAD ， ∴AE ⊥CD ，∵E 为PD 中点，侧面PAD 为正三角形， ∴PD ⊥AE ， ∵PD ∩CD =D ， ∴CE ⊥平面PAD ， ∵CE ⊂平面AEC ， ∴平面AEC ⊥平面PCD ． (2)解：∵AD =2，∴S △PAE =12×AE ×PE =12×√4−1×1=√32， ∵CD ⊥面PAD ，CD ⊥AE ，又AE ⊥PD ， ∴AE ⊥面PCD ，∴CE ⊥AE ， ∵△AEC 的面积为√3， ∴CE =S △AEC12AE =√312√22−12=2，且点C 到平面PAD 的距离为CE =2，CD =√3， 设点P 到平面AEC 的距离为h ， ∵V P−AEC =V C−PAE ，∴13×S △AEC ×ℎ=13×S △PAE ×CD ， ∴13×√3×ℎ=13×√32×√3，解得点P到平面AEC的距离ℎ=√3．2【解析】(1)推导出AD⊥CD，从而CD⊥平面PAD，进而AE⊥CD，推导出PD⊥AE，从而CE⊥平面PAD，由此能证明平面AEC⊥平面PCD．(2)求出点C到平面PAD的距离CE=2，设点P到平面AEC的距离为h，由V P−AEC=V C−PAE，能求出点P 到平面AEC的距离．本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．=0.3，19.【答案】解：(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为22+8100所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．=0.42，由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为32+10100所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42．(2)由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94．由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96．所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96．用B配方生产的产品平均一件的利润为1×[4×(−2)+54×2+42×4]=2.68(元)．100【解析】(1)由试验结果先求出用A配方生产的产品中优质品的频率和用B配方生产的产品中优质品的频率，由此能分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率．(2)由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94.由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96.由此能求出用B配方生产的产品平均一件的利润．本题考查产品的优质品率的求法，考查产品平均一件的利润的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频数分布表的合理运用．20.【答案】解：(1)∵点M到点F(0,1)的距离比它到直线l：y=−2的距离小1，∴点M在直线l的上方，点M到点F(0,1)的距离与它到直线l：y=−1的距离相等，∴点M的轨迹C是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，∴曲线C的方程为：x2=4y．(2)当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意；设直线m的方程为y−2=k(x−2))，即y=kx+(2−2k)，代入x2=4y，得x2−4kx+8(k−1)=0，△=16(k2−2k+2)>0对k∈R恒成立，即直线m与曲线C恒有两个不同的交点．设交点A，B的坐标分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=4k，x1x2=8(k−1)，∣AB∣=√(1+k2)[(x2+x1)2−4x1x2]=4√(1+k2)(k2−2k+2)=4√(k−1)4+(k−1)2，点O到直线m的距离d=√1+k2，∴S△ABO=12∣AB∣⋅d=4∣k−1∣√k2−2k+2∵S△ABO=4√2，∴4√(k−1)4+(k−1)2=4√2，解得(k−1)2=1或(k−1)2=−2(舍去)，∴k=0或k=2．即直线m的方程为y=2或y=2x−2．【解析】(1)根据题意，可得点M在直线l的上方，点M到点F(0,1)的距离与它到直线l：y=−1的距离相等，根据抛物线的定义，即可得点M的轨迹即曲线C的方程；(2)因为直线m的斜率不存在时不合题意，可设直线m的方程为y−2=k(x−2))，与曲线C的方程联立，可得∣AB∣=4√(k−1)4+(k−1)2，d=2−2k√1+k2，则S△ABO=12∣AB∣⋅d=4∣k−1∣√k2−2k+2=4√2，即可解得k=0或2，进而求得直线m的方程为y=2或y=2x−2．本题考查了抛物线的定义，考查了直线与圆锥曲线的相交问题，是中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=1x⋅e x−(lnx+1)⋅e x(e x)2=1−x−xlnxxe x，令ℎ(x)=1−x−xlnx，则易知，当x=1时，ℎ(x)=0，当0<x<1时，ℎ(x)>0；当x>1时，ℎ(x)<0，又e x>0，所以当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0，所以f(x)的单调增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞).(2)证明：因为x>0，所以x2+x>x，由(1)可知f′(x)≤0在(0,+∞)恒成立，所以(x2+x)f′(x)≤xf′(x)=1−x−xlnxe，令g(x)=1−x−xlnxe x，设ℎ(x)=1−x −xlnx ，ℎ′(x)=−lnx −2=−(lnx −lne −2)，所以当x ∈(0,e −2)时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增， 当x ∈(e −2,+∞)时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减， 所以当x ∈(0,+∞)时，ℎ(x)≤ℎ(e −2)=1+e −2， 又当x ∈(0,+∞)时，0<1e x <1，所以当x ∈(0,+∞)时，1e x ℎ(x)<1+e −2，即g(x)<1+e 2， 对任意x >0，(x 2+x)f′(x)≤xf′(x)<1+e −2． 综上，对任意x >0，(x 2+x)f′(x)<1+e −2．【解析】(1)求导得f′(x)=1−x−xlnxxe x，令ℎ(x)=1−x −xlnx ，然后得到当0<x <1时，f′(x)>0；当x >1时，f′(x)<0，再求出f(x)的单调区间． (2)利用放缩法可得(x 2+x)f′(x)≤xf′(x)=1−x−xlnxe x，令g(x)=1−x−xlnxe x，设ℎ(x)=1−x −xlnx ，求导分析单调性，推出当x ∈(0,+∞)时，ℎ(x)≤ℎ(e −2)=1+e −2，进而得即g(x)<1+e 2，从而得证． 本题考查函数的单调性，不等式的证明，导数的综合应用，放缩法，属于中档题．22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =2costy =2+2sint (t 为参数).转换为直角坐标方程为：x 2+(y −2)2=4，转换为极坐标方程为ρ=4sinθ．(2)射线θ=π3(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点 所以{θ=π3ρ=4sinθ，解得ρ1=2√3， 同理{θ=π3ρ=4cosθ，解得ρ2=2，所以|AB|=ρ1−ρ2=2√3−2．把极坐标方程θ=π3转换为直角坐标方程为y =√3x ． 利用点(2,0)到直线y =√3x 的距离d =√3√(√3)2+12=√3，所以S △ABC =12×(2√3−2)×√3=3−√3．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用极径的应用和点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(I)当a =1时，f(x)−g(x)>1，即|x −1|−2|x +1|>1，即{x ≤−1−x +1+2(x +1)>1或{−1<x ≤1−x +1−2(x +1)>1或{x >1x −1−2(x +1)>1， 所以−2<x ≤−1或−1<x <−23， 所以原不等式的解集为(−2,−23)；(II)2f(x)+g(x)=2|x −1|+2|x +a|=|2x −2|+|2x +2a|≥|2x −2−2x −2a|=|2a +2|， 因为不等式2f(x)+g(x)≤(a +1)2有解， 所以|2a +2|≤(a +1)2，即|a +1|≥2， 所以a 的取值范围是(−∞,−3]∪[1,+∞)∪{−1}．【解析】(Ⅰ)代入a 的值，通过讨论x 的范围，求出不等式组的解集即可； (Ⅱ)求出2f(x)+g(x)的表达式，得到关于a 的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
2020届广东省普通高等学校招生全国统一考试模拟(二)数学(文)试题解析
2020届广东省普通高等学校招生全国统一考试模拟（二）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}5217A x x =-<+<，{}24B x x =-<<，则A B =（ ）A ．{}34x x -<< B ．{}24x x -<< C ．{}33x x -<< D ．{}23x x -<<答案：D求出集合A ，B ，由此能求出A B ．解： 解：集合{|5217}{|33}A x x x x =-<+<=-<<，{|24}B x x =-<<， {|23}A B x x ∴⋂=-<<．故选：D ． 点评：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．2．已知复数()z i a i =-（i 为虚数单位，a ∈R ），若z =，则a =（ ） A ．4 B ．2C ．2±D ．2-答案：C先利用复数的乘法化简复数为()1z i a i ai =-=+，再由z ==. 解：因为复数()1z i a i ai =-=+，所以z == 解得2a =± 故选：C 点评：本题主要考查复数的运算和复数的模的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3．小青和她的父母到照相馆排成一排拍照，则小青不站在两边的概率为（ ）A ．13B ．23C ．16D ．12答案：A先求小青不站在两边的站法有多少种，再求三个人全排列的站法，两者之比即可求解. 解：解：小青只能站中间1种站法，其父母站两边有222A =，所以小青不站在两边的站法有212⨯=种站法，三个人全排列有336A =种站法，所以小青不站在两边的概率为2163P ==. 故选：A. 点评：考查用分步计数原理解古典概型问题；基础题.4．若x ，y 满足约束条件30,30,10,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩则2z y x =-的最大值是（ ）A ．9B ．7C ．3D ．6答案：D由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数的答案． 解：解：由x ，y 满足约束条件303010x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪+⎩，作出可行域如图，联立3010x y x +-=⎧⎨+=⎩，解得(1,4)A -，化目标函数2z y x =-为直线方程的斜截式：2y x z =+．由图可知，当直线2y x z =+过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为42(1)6-⨯-=；故选：D ．点评：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题．5．《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（ ） A ．1.5尺 B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺答案：D设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意列出方程组求解即可. 解：∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列{}n a ，设其首项为1a ，公差为d ，根据题意9131115= 1.510.49.593649.5365.5110S a a a a a d d a d +==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨++==⎩+=⎩⎩， ∴立秋的晷长为4 1.53 4.5a =+=. 故选：D 点评：本题考查等差数列的通项公式、求和公式，属于基础题.6．一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为3π，则该圆锥的体积为（ ）A ．23πB ．233π C ．433π D ．833π 答案：D由题意画出图形，由圆柱的体积求得圆柱的高，再由相似三角形对应边成比例求得圆锥的高，则圆锥体积可求. 解：作出该几何体的轴截面图如图，2BC =，1BD =，设内接圆柱的高为h ， 由213h ππ⨯⨯=，得3h =∵CAB CED △∽△， ∴ED CD AB CB =312=， 得23AB =∴该圆锥的体积为2183233π⨯⨯⨯=. 故选：D. 点评：本题主要考查圆锥的内接圆柱的体积，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递减，()30f -=，则不等式()10f x ->的解集为（ ） A ．()3,3- B ．()2,4-C ．()(),22,-∞-+∞ D ．()4,2-根据题意，由函数的奇偶性与单调性的性质以及(3)0f -=分析可得：(1)0f x ->等价于|1|3x -<，解可得x 的取值范围，即可得答案． 解：解：根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0，)+∞上单调递减， 又由(3)0f -=，则()(1)0(1)(3)(|1|)3|1|3f x f x f f x f x ->⇒->-⇒->⇒-<， 解可得：24x -<<，即不等式的解集为(2,4)-； 故选：B ． 点评：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及绝对值不等式的解法，属于基础题．8．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B .若0FA FB ⋅=，则该双曲线的离心率为（ ） A ．5 B ．2C ．3D ．2答案：D由题意画出图形，可得渐近线的倾斜角，得到1ba=，则离心率可求. 解： 如图，由0FA FB ⋅=，得90AOB ∠=︒， 即45AOF ∠=︒，∴tan 451ba=︒=，即a b =. 则212c b e a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 故选：D.本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线离心率的求法，是基础题.9．已知数列{}n a 满足11nn na a a +=+（n *∈N ），且11a =，设1n n n b a a +=，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则2019S =（ ） A ．20182019B ．20192020C ．2019D ．12019答案：B 根据11n n n a a a +=+，变形为11111n n n na a a a ++==+，利用等差数列的定义得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，从而得到1n a n=，然后由()11111n b n n n n ==-++，用裂项相消法求解. 解： 因为11nn na a a +=+， 所以11111n n n na a a a ++==+ 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以1为公差的等差数列，所以()1111nn n a =+-⨯=， 所以1n a n=， 所以()11111n b n n n n ==-++，所以201911111112019 (11223202020202020)S n =-+-++-=-=， 故选：B 点评：本题主要考查等差数列的定义以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．把函数()2sin f x x =的图象向右平移3π个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，关于()g x 的说法有：①函数()g x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称；②函数()g x 的图象的一条对称轴是12x π=-；③函数()g x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()[]0,g x π∈上单调递增，则以上说法正确的个数是（ ） A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个答案：C通过平移变换与伸缩变换求得函数()g x 的解析式.由03g π⎛⎫≠ ⎪⎝⎭判断①错误；由212g π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭求得最小值判断②正确；由x 的范围求得函数值域判断③正确；由x 的范围可知函数()g x 在[]0,π上不单调判断④错误. 解：把函数()2sin f x x =的图象向右平移3π个单位长度，得2sin 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则()2sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.①∵22sin 0333g πππ⎛⎫⎛⎫=-=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()g x 的图象不关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故①错误； ②∵2sin 21263g πππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()g x 的图象的一条对称轴是12x π=-，故②正确；③当,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，则2sin 223x π⎛⎫⎤-∈ ⎪⎦⎝⎭，即函数()g x在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故③正确；④当[]0,x π∈时，52,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，可知函数()g x 在[]0,π上不单调，故④错误. ∴正确命题的个数为2. 故选：C. 点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查()sin y A ωx φ=+型函数的图象与性质，是中档题.11．已知椭圆C 的焦点为()1,0F c -，()2,0F c ，P 是椭圆C 上一点，若椭圆C 的离心率为2，且112PF F F ⊥，12PF F △的面积为2，则椭圆C 的方程为（ ） A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22142x y +=D ．2214x y +=答案：A利用椭圆的离心率以及三角形的面积，求出a 、b ；即可得到椭圆方程． 解：解：椭圆C 的焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c ，P 是椭圆C 上一点．若椭圆C的离心率为2，且112PF F F ⊥，△12PF F的面积为2，可得：22222122c a b c a a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪⨯⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩a =1b =，所以椭圆方程为：2212x y +=．故选：A ． 点评：本题考查椭圆的简单性质的应用、椭圆方程的求法，是基本知识的考查，属于基础题． 12．已知函数()21cos 12f x ax x =+-（a R ∈），若函数()f x 有唯一零点，则a 的取值范围为（ ）A ．(),0-∞B ．()[),01,-∞+∞C ．(][),01,-∞⋃+∞D ．(][),11,-∞-+∞答案：B根据函数的奇偶性变换得到22sin 2x a x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，设2sin 2x k x =，利用其几何意义根据图象得到范围. 解：()21cos 12f x ax x =+-，易知函数为偶函数，且()00f =，故考虑0x >的情况即可，当0x >时，()21cos 102f x ax x =+-=，即()222sin 21cos 2x x a x x ⎛⎫ ⎪-== ⎪⎪⎝⎭， 设2sin 2xk x=，表示函数2sin 2xy =上的点到原点的斜率，根据图象知： cos 2xy '=，当0x =时，max1y '=，故1k <，故22sin 201x x ⎛⎫ ⎪≤< ⎪ ⎪⎝⎭， ()222sin 21cos 2x x a x x ⎛⎫ ⎪-== ⎪⎪⎝⎭无解，故()[),01,a ∞∞∈-+.故选：B.点评：本题考查了利用导数解决函数的零点问题，将题目转化为函数2sin 2xy =上的点到原点的斜率是解题的关键.二、填空题13．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若214a =，378S =，则公比q =______. 答案：12或2 由214a =，378S =，可得：11174448q q ++=，化简解出即可得出．解： 解：由214a =，378S =， ∴11174448q q ++=，化为：22520q q -+=． 解得12q =或2． 故答案为：12或2． 点评：本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．已知向量()1,3a =，1b =，且向量a 与b 的夹角为3π，则2a b -=______. 答案：2根据向量a 的坐标即可求出||2a =，进而求出a b 的值，进而得出()22a b -的值，从而得出2a b -． 解：解：因为()1,3a =，1b =，且向量a 与b 的夹角为3π (2||12a =+，∴·1a b =，∴()2222444444a b a a b b -=-+=-+=，∴22a b -=．故答案为：2． 点评：本题考查了根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量数量积的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．15．对于任意实数a ，b ，定义{},,min ,,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩函数()2f x ex e =-+，()xg x e =，()()(){}min ,h x f x g x =，若函数()()Q x h x k =-有两个零点，则k 的取值范围为______. 答案：()0,e根据题意得到()h x 解析式为,1()2,1x e x h x ex e x ⎧=⎨-+>⎩，作出其图象，数形结合即可；解：解：因为()2f x ex e =-+单调递减，()xg x e =单调递增，且f （1）e g ==（1），故(){()h x min f x =，,1()}2,1x e x g x ex e x ⎧=⎨-+>⎩，作出函数()h x 的图象如下：函数()()Q x h x k =-有两个零点等价于函数()h x 与直线y k =图象有2个交点， 由图可知，(0,)k e ∈； 故答案为：(0,)e ． 点评：本题主要考查函数与方程的应用，将方程转化为函数图象的交点问题是解决本题的关键．要注意使用数形结合的数学思想，属于中档题．16．如图，在矩形ABCD中，已知22AB AD a==，E是AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成1A DE△，连接1A C.若当三棱锥1A CDE-的体积取得最大值时，三棱锥1A CDE-外接球的体积为823π，则a=______.22，球心在平面DEBC的投影为DC中点G ，根据勾股定理解得R a=，代入体积公式计算得到答案.解：三棱锥1A CDE-的底面积为定值2S a=，故当高最大值，体积最大，易知1A DE△为等腰直角三角形，取DE中点为F，连接1A F，故1A F DE⊥，当平面1A DE⊥平面DEBC2，易知DEC为等腰直角三角形，球心在平面DEBC的投影为DC中点G，且DEC的外接圆半径为r a=，设OG h=，1222FG EC a==故2222222222R h aR a a h⎧=+⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎨=+-⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得R a=，0h=，348233V Rπ==，故2R=，即2a=2.点评：本题考查了三棱锥体积的最值问题，三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知2222cos cos 2A a b C c B ⎛-=⋅+⋅ ⎝.（1）求角A 的大小；（2）若62c =，且AB 边上的高等于13AB ，求sin C 的值. 答案：（1）4A π=；（2）310sin C =（1）先根据二倍角余弦公式化简，再根据正弦定理化边为角，即得结果； （2）根据AB 边上的高可得,AD BD 以及BC ，再根据正弦定理求sin C 的值. 解：（1）依题意得1cos 22cos cos 2A a b C c B +⎛=⋅+⋅ ⎝， 2cos cos cos a A b C c B ⋅=⋅+⋅2cos sin cos sin cos A A B C C B =⋅+⋅，()2cos sin A A B C =+2cos sin A A A =.()0,A π∈，sin 0A ∴≠.2cos1A∴=，即2 cos2A=.()0,Aπ∈，4Aπ=.（2）设AB边上的高为CD，在Rt CDA△易得22AD CD==，则42BD=.在Rt CDB△中，根据勾股定理，得22210BC CD BD=+=.在ABC 中，根据正弦定理sin sinAB BCC A=，得262sin3102sin10210AB ACBC⨯⋅===.点评：本题考查二倍角余弦公式、正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.18．如图，四棱锥P ABCD-中，四边形ABCD是边长为4的菱形，PA PC=，BD PA⊥，E是BC上一点，且1BE=，设AC BD O=.（1）证明：PO⊥平面ABCD；（2）若60BAD∠=︒，PA PE⊥，求三棱锥P AOE-的体积.答案：（1）证明见解析；（2）32.（1）由已知可先证BD⊥平面PAC，得到BD PO⊥，再由PO AC⊥，进一步得到PO⊥平面ABCD；（2）根据条件，解三角形求出三棱锥P AOE-的高PO，底面积AOES，再利用棱锥的体积公式求出三棱锥P AOE-的体积解：（1）证明：四边形ABCD是菱形，BD AC∴⊥，O是AC的中点.BD PA⊥，PA AC A=，BD∴⊥平面PAC.PO ⊂平面PAC ，BD PO ∴⊥.PA PC =，O 是AC 的中点，PO AC ∴⊥. AC ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，ACBD O =，PO ∴⊥平面ABCD .（2）解：由四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒， 得ABD △和BCD 都是等边三角形4BD AB ∴==.O 是BD 的中点，2BO ∴=.在Rt ABO △中，2223AO AB BO =-=.在Rt PAO △中，222212PA AO PO PO =+=+. 取BC 的中点F ，连接DF ，则DF BC ⊥.∴在Rt BDF △中，2223DF BD BF =-=1BE =，E ∴是BF 的中点.又O 是BD 的中点，132OE DF ∴==在Rt POE 中，22223PE OE PO PO =+=+.在ABE △中，由余弦定得2222cos12021AE AB BE AB BE =+-⋅︒=.PA PE ⊥，222PA PE AE ∴+=.2212321PO PO ∴+++=.3PO ∴=.AOEABC ABE COE SS S S =--△△△1113344sin12041sin12033222=⨯⨯⨯︒-⨯⨯⨯︒-⨯=， 1133333322P AOE AOE V S PO -∴=⋅=⨯=△.点评：本题考查直线与平面垂直的判定，棱锥的体积的计算，解三角形，余弦定理，三角形的面积公式，考查空间想象能力与思维能力，运算能力，属于中档题.19．为了提高生产效益，某企业引进了一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有15,45以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指产品质量指标值均在(]15,30的产品为合格品，旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所标值在(]示，新设备所生产的产品质量指标值如频数分布表所示.质量指标值频数(]15,202(]20,258(]25,3020(]30,3530(]35,4025(]40,4515合计100（1）请分别估计新、旧设备所生产的产品的优质品率.（2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高，根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有95%的把握认为“产品质量高于新设备有关”.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. （3）已知每件产品的纯利润y （单位：元）与产品质量指标值t 的关系式为2,3045,1,1530,t y t <≤⎧=⎨<≤⎩若每台新设备每天可以生产1000件产品，买一台新设备需要80万元，请估计至少需要生产多少天方可以收回设备成本.答案：（1）70%，55%；（2）列联表见解析，有95%的把握认为产品质量高与新设备有关；（3）471天方.（1）根据旧设备所生产的产品质量指标值的频率分布直方图中后3组的频率之和即为旧设备所生产的产品的优质品率，根据新设备所生产的产品质量指标值的频数分布表即可估计新设备所生产的产品的优质品率；（2）根据题目所给的数据填写22⨯列联表，计算K 的观测值2K ，对照题目中的表格，得出统计结论；（3）根据新设备所生产的产品的优质品率，分别计算1000件产品中优质品的件数和合格品的件数，得到每天的纯利润，从而计算出至少需要生产多少天方可以收回设备成本． 解： 解：（1）估计新设备所生产的产品的优质品率为：3025150.770%100++==，估计旧设备所生产的产品的优质品率为：()50.060.030.020.5555%⨯++==. （2）由列联表可得，()2220030554570 4.8 3.84175125100100K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯， ∴有95%的把握认为产品质量高与新设备有关.（3）新设备所生产的产品的优质品率为0.7∴每台新设备每天所生产的1000件产品中，估计有10000.7700⨯=件优质品，有1000700300-=件合格品.∴估计每台新设备一天所生产的产品的纯利润为700230011700⨯+⨯=（元）.8000001700471÷≈（天）， ∴估计至少需要生产471天方可以收回设备成本.点评：本题考查了独立性检验的应用问题，考查了频率分布直方图，也考查了计算能力的应用问题，属于中档题．20．已知曲线C 上每一点到直线l ：2y =-的距离比它到点()0,1F 的距离大1. （1）求曲线C 的方程；（2）曲线C 任意一点处的切线m （不含x 轴）与直线2y =相交于点M ，与直线l 相交于点N ，证明：22FM FN -为定值，并求此定值.答案：（1）24x y =；（2）证明见解析，22FM FN -为定值0.（1）利用抛物线的定义可得曲线C 是顶点在原点，y 轴为对称轴，(0,1)F 为焦点的抛物线，从而求出曲线C 的方程；（2）依题意，切线m 的斜率存在且不等于0，设切线m 的方程为：(0)y ax b a =+≠，与抛物线方程联立，利用△0=得到2b a =-，故切线m 的方程可写为2y ax a =-，进而求出点M ，N 的坐标，用坐标表达出FM 和FN ，即可证得22||||FM FN -为定值． 解：解：（1）由题意可知，曲线C 上每一点到直线1y =-的距离等于该点到点()0,1F 的距离，∴曲线C 是顶点在原点，y 轴为对称轴，()0,1F 为焦点的抛物线. ∴曲线C 的轨迹方程为：24x y =.（2）依题设，切线m 的斜率存在且不等于零，设切线m 的方程为y ax b =+（0a ≠），代入24x y =得()24x ax b =+，即2440x ax b --=.由0∆=得()24160a b +=，化简整理得2b a =-.故切线m 的方程可写为2y ax a =-.分别令2y =，2y =-得M ，N 的坐标为2,2M a a ⎛⎫+⎪⎝⎭，2,2N a a ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭， 2,1FM a a ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，2,3FN a a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.222222190FM FN a a a a ⎛⎫⎛⎫∴-=++--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即22FM FN -为定值0. 点评：本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．21．已知函数()xf x ae ex a =--（a e <），其中e 为自然对数的底数.（1）若2a =，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若函数()f x 的极小值为1-，求a 的值. 答案：（1）2y ex =-；（2）1a =.（1）求导计算()1f e '=，()12f e =-，得到切线方程.（2）考虑0a ≤和0a e <<两种情况，求导得到函数单调区间，得到ln 10e a a -+=，构造函数，根据单调性计算得到答案. 解： （1）2a =，()22x f x e ex ∴=--，()2xf x e e '∴=-，()12f e e e '∴=-=，()1222f e e e =--=-，∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为：()()21y e e x --=-，即2y ex =-.（2）函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，()xf x ae e '=-，当0a ≤时，()0f x '<对于(),x ∈-∞+∞恒成立，()f x ∴在(),-∞+∞单调递减，()f x ∴在(),-∞+∞上无极值.当0a e <<时，令()0f x '>，得lne x a>. ∴当ln ,e x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当,ln e x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<.()f x ∴在,ln e a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，在ln ,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，∴当lnex a=时，()f x 取得极小值1-. ln ln ln 1e a e e f ae e a a a ⎛⎫∴=--=- ⎪⎝⎭，即ln 10e a a -+=.令()ln 1m x e x x =-+（0x e <<），则()1e e xm x x x-'=-=. 0x e <<，()0m x '∴>，()m x ∴在()0,e 上单调递增.又()10m =，1a.点评：本题考查了求切线方程，根据函数极值求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为221124x y +=，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l ()cos 40a a πθ⎛⎫- ⎪⎝=>⎭. （1）求直线l 的直角坐标方程；（2）已知P 是曲线C 上的一动点，过点P 作直线1l 交直线于点A ，且直线1l 与直线l的夹角为45°，若PA 的最大值为6，求a 的值.答案：（1）0x y a +-=（2）2a =（1cos 4a πθ⎛⎫- ⎪⎭=⎝展开，结合cos x ρθ=，sin y ρθ=可得直线l 的直角坐标方程；（2）依题意可知曲线C的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），设(),2sin P αα，写出点P 到直线l 的距离，利用三角函数求其最大值，可得PA 的最大值，结合已知列式求解a 即可.解：（1cos 4a πθ⎛⎫- ⎪⎭=⎝cos cos sin sin 44a ππθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即cos sin a ρθρθ+=.∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴直线l 的直角坐标方程为x y a +=，即0x y a +-=.（2）依题意可知曲线C的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.设(),2sin P αα，则点P 到直线l 的距离为：d ==∵0a >， ∴当sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，max d =.又过点P 作直线1l 交直线于点A ，且直线1l 与直线l 的夹角为45， ∴cos 45d PA =，即PA =. ∴PAmax 6=6=.∵2a >，∴解得2a =.点评：本题第一问考查直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，第二问考查了利用椭圆的参数方程求最值，属于中档题.23．已知函数()|1||3|f x x x =-++.（1）解不等式：()6f x ≤；（2）若a ，b ，c 均为正数，且()min a b c f x ++=，证明：()()()222491113a b c +++++≥. 答案：（1）2{|}4x x -≤≤（2）见解析（1）由()()()()22,3134,3122,1x x f x x x x x x ⎧--<-⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩，再分3x <-，31x -≤≤，x >1求解.（2）由（1）得到 4a b c ++=，构造()()()1117a b c +++++=，两边平方展开，再利用基本不等式求解.解：（1）函数()()()()22,3134,3122,1x x f x x x x x x ⎧--<-⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩. 当3x <-时，226x --≤，解得4x ≥-，故43x -≤-＜.当31x -≤≤时，4≤6，恒成立.当1x >时，226x +≤，解得2x ≤，故12x ≤＜，所以不等式的解集为2{|}4x x -≤≤.（2）由（1）知：()min 4f x =，所以：4a b c ++=，所以()()()1117a b c +++++=，所以()()()211149a b c +++++=⎡⎤⎣⎦，所以()()()()()()()()()22211121121121149a b c a b a c b c ++++++++++++++=()()()2223111a b c ⎡⎤≤+++++⎣⎦. 当且仅当43a b c ===时，等号成立. 所以()()()222491113a b c +++++≥. 点评： 本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.。
2020届广东省东莞市高三二模数学(文)试题解析
2020届广东省东莞市高三二模数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2|3A x x x =<，{}1,1,2,3B =-，则AB =（ ）A ．{}1,1,2-B ．{}1,2C ．{}1,2-D ．{}1,2,3答案：B先求得集合{}|03A x x =<<，再结合集合交集的运算，即可求解. 解：由题意，集合{}{}{}2|3|(3)0|03A x x x x x x x x =<=-<=<<，又有{}1,1,2,3B =-，则A B ={}1,2.故选：B . 点评：本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合A ，再结合集合的交集的概念及运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．已知复数1234+=+iz i，i 为虚数单位，则||z ＝（ ） A ．15BC ．12D．2答案：B利用复数模的性质z z =，以及乘除法的模的性质计算． 解：12123434i i z z i i ++=====++．故选：B ． 点评：本题考查求复数的模，利用模的性质求解更加方便简捷． 复数模的性质：z z =，1212z z z z =，1122z z z z =． 3．在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为( )ABC ．3πD ．4π答案：A由已知得到圆锥的半径与母线长，再代入扇形面积公式求得圆锥侧展图面积． 解：2π的扇形，其面积11(222S l r π=⋅=⋅=.点评：本题考查求圆锥侧展图及扇形面积的基本运算．4．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，满足346a a +=，529a =，则7S =（ ） A ．352B ．21C ．492D ．28答案：C设等差数列{}n a 的公差为d ，可得出关于1a 和d 的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的求和公式可求得7S 的值. 解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得341512562289a a a d a a d +=+=⎧⎨=+=⎩，解得1121a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因此，71761497721222S a d ⨯=+=⨯+=. 故选：C. 点评：本题考查等差数列求和，同时也考查了等差数列基本量的求解，考查计算能力，属于基础题.5．某轮船公司的质检部要对一批轮胎的宽度（单位：mm ）进行质检，若从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在1953±内，则称这批轮胎基本合格．已知这批轮胎的宽度分别为195、196、190、194、200，则这批轮胎基本合格的概率为（ ） A ．25B ．35C ．45D ．710答案：D可知轮胎的宽度为195、196、194在1953±内，列举出所有的基本事件，并列举出“从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在1953±内”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 解：由题意可知，轮胎的宽度为195、196、194在1953±内，从这批轮胎中随机选取3个，所有的基本事件有：()195,196,190、()195,196,194、()195,196,200、()195,190,194、()195,190,200、()195,194,200、()196,190,194、()196,190,200、()196,194,200、()190,194,200，其中，事件“从这批轮胎中随机选取3个，至少有2个轮胎的宽度在1953±内”所包含的基本事件有：()195,196,190、()195,196,194、()195,196,200、()195,190,194、()195,194,200、()196,190,194、()196,194,200，共7个，因此，这批轮胎基本合格的概率为710P =. 故选：D. 点评：本题考查古典概型概率的计算，一般要列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题. 6．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为3，记过圆锥轴的平面ABCD 为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为,AC BD )，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于,AC BD ，则双曲线Γ的离心率为（ ）A ．324B ．233C 2D ．22答案：A求得圆锥的高，可得矩形ABCD 的对角线长，即有AC ，BD 的夹角，可得两条渐近线的夹角，由渐近线方程和离心率公式，计算可得所求值．解：解：设与平面α平行的平面为β，以,AC BD的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x轴，在平面β内与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据题意可设双曲线2222:1(0,0)x ya ba bΓ-=>>.由题意可得双曲线Γ的渐近线方程为24y x =±，由24=ba，得离心率222223214+===+=c a b bea a a.故选：A.点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．7．已知α为锐角，3cos5α=，则tan42πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A．13B．12C．2 D．3答案：A由3cos 5α=计算出tan 2α，再将tan 42πα⎛⎫- ⎪⎝⎭用两角差的正切公式拆开，代入求值即可. 解： 解：3cos 5α=，22cos 2cos112sin 22ααα=-=-，且α为锐角cos2α∴=sin 2α=sin12tan 22cos 2ααα∴=== 1tantan11422tan 14231tan tan 11422παπαπα--⎛⎫∴-=== ⎪⎝⎭++⨯ 故选：A 点评：本题考查二倍角公式与同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式，属于中档题. 8．已知函数()xx af x e e=+为偶函数，若曲线()y f x =的一条切线与直线230x y +=垂直，则切点的横坐标为（ ） AB ．2C ．2ln 2D ．ln 2答案：D先根据偶函数求参数1a =，再求导数，根据导数几何意义得斜率，最后根据直线垂直关系得结果. 解：()f x 为偶函数，则()()(1)0x xx x x x a a f x e e e e a e e----=+=+∴--=∴1a =，()x x f x e e -∴=+，'().x x f x e e -∴=-设切点得横坐标为0x ，则0003'().2x x f x e e -=-=解得02x e =，（负值舍去）所以0ln 2x =.故选：D 点评：本题考查偶函数性质、导数几何意义以及直线垂直关系，考查综合分析求解能力，属基础题.9．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足161230--=OA OB OC 则（ ） A ．123OA AB AC =+ B ．123OA AB AO =-+ C ．123OA AB AC =- D ．123OA AB AO =--答案：A由向量的线性运算化简． 解：∵161230--=OA OB OC ，∴1612()3()0OA OA AB OA AC -+-+=，整理得123OA AB AC =+．故选：A ． 点评：本题考查向量的线性运算，解题关键是把,OB OC 用,,OA AB AC 表示．10．△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b cos C +c cos B ＝6,c ＝3,B ＝2C ,则cos C 的值为（ ）A B ．4C ．3D ．2答案：D由已知利用二倍角的正弦函数公式,正弦定理可得6cos b C =，利用两角和的正弦函数公式,正弦定理化简已知等式可得26a c ==，进而根据余弦定理即可求解cos C 的值． 解： 解：3c =，2B C =，sin sin 22sin cos B C C C ∴==，由正弦定理sin sin bcBC ,可得2sin cos sin b c C C C=,可得6cos b C =，cos cos 6b C c B +=，设ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理可得6sin cos sin cos 2B C C B R+=， 又()sin cos sin cos sin sin B C C B B C A +=+=，可得6sin 2sin 62A R A R=⇒=， 可得26a c ==，22223636cos 926s cos 26co C Ca b c C ab ∴+-⨯+-==⨯，可得23cos 4C =，c a <，则C 为锐角，解得cos 2C =．故选：D ． 点评：本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用，需要根据题意确定合适的三角函数公式互化求解，属于中档题.11．在三棱锥A ﹣BCD 中，△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形，且二面角A BD C --的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．7πB ．8πC ．163πD ．283π答案：D如图，取BD 中点H ，连接AH ，CH ，则∠AHC 为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，即∠AHD ＝120°，分别过E ，F 作平面ABD ，平面BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点，记为O ，连接AO ，HO ，则由对称性可得∠OHE ＝60°，进而可求得R 的值． 解：解：如图，取BD 中点H ，连接AH ，CH 因为△ABD 与△CBD 均为边长为2的等边三角形所以AH ⊥BD ，CH ⊥BD ，则∠AHC 为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，即∠AHD ＝120° 设△ABD 与△CBD 外接圆圆心分别为E ，F 则由AH ＝233⨯=可得AE 23=AH 233=，EH 13=AH 3= 分别过E ，F 作平面ABD ，平面BCD 的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点 记为O ，连接AO ，HO ，则由对称性可得∠OHE ＝60° 所以OE ＝1，则R ＝OA 22213AE EO =+=则三棱锥外接球的表面积221284493R πππ=⨯= 故选：D点评：本题考查三棱锥的外接球，球的表面积公式，画出图形，数形结合是关键，属于中档题． 12．已知函数||2()x f x e ax =-，对于任意12,(,0)x x ∈-∞，都有()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,]2e -∞ B ．(,]2e -∞-C ．0,2e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,02e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦答案：A根据题意，结合函数的性质，得出()f x 在区间(0,)+∞为单调递增函数，转化为(0,)x ∈+∞时，()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，分离参数，得到2xea x≤在(0,)+∞上恒成立，再构造新函数()xe g x x=，利用导数求得函数()g x 的单调性与最小值，即可求解. 解：根据函数()f x 对于任意12,(,0)x x ∈-∞，都有()()()21210x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦， 可得函数()f x 在区间(,0)-∞为单调递减函数， 由||2||2()()()x x f x e a x e ax f x --=---=，可得函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，所以函数()f x 在区间(0,)+∞为单调递增函数，当(0,)x ∈+∞时，函数2()x f x e ax =-，可得()2x f x e ax '=-，根据函数()f x 在区间(0,)+∞为单调递增函数，可得()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，即20xe ax -≥在(0,)+∞上恒成立，可转化为2xe a x≤在(0,)+∞上恒成立，令()x e g x x =，则()2(1)x e x g x x -'=，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 所以当1x =时，函数()g x 取得最小值，最小值为(1)g e =， 所以2(1)a g e ≤=，解得2e a ≤，即实数a 的取值范围是(,]2e-∞. 故选：A . 点评：本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及利用函数的单调性求解参数问题，其中解答中把函数的单调性转化为函数的导数恒成立，利用函数的最值求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题13．已知实数x ，y 满足210020x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为________.答案：3根据约束条件得到可行域，将问题转化为求解2y x z =-+在y 轴截距的最大值，由图象平移可知当直线过()1,1B 点时，z 最大，代入求得结果. 解：由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：则求2z x y =+的最大值等价于求解直线2y x z =-+在y 轴截距的最大值 由2y x =-平移可知，当2y x z =-+过点B 时，在y 轴截距最大由020x y x y -=⎧⎨+-=⎩得：()1,1B max 213z ∴=+= 本题正确结果：3 点评：本题考查利用线性规划的知识求解最大值的问题，关键是能够将问题转化为求解直线在y 轴截距最大值的问题，属于常规题型.14．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若214a =，378S =，则公比q =______. 答案：12或2由214a =，378S =，可得：11174448q q ++=，化简解出即可得出．解： 解：由214a =，378S =， ∴11174448q q ++=，化为：22520q q -+=． 解得12q =或2． 故答案为：12或2． 点评：本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．若非零向量a 、b 满足4b a =，()2a b a -⊥，则a 与b 的夹角为_____． 答案：3π 设a 与b 的夹角为θ，由()2a b a -⊥得出()20a b a -⋅=，结合平面向量数量积的运算律可求得cos θ的值，再结合角θ的取值范围可求得角θ的值，即可得解. 解：设a 与b 的夹角为θ，4b a =，()2a b a -⊥，则()2220a b a a a b -⋅=-⋅=，即2222cos 24cos 0a a b a a θθ-⋅=-=，可得1cos 2θ=，0θπ≤≤，3πθ∴=.因此，a 与b 的夹角为3π. 故答案为：3π. 点评：本题考查利用平面向量垂直求夹角，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于基础题.16．在三棱锥A BCD -中，,2,AB AD AB AD BC CD ⊥====锥A BCD -的体积最大时，三棱锥A BCD -外接球的体积与三棱锥A BCD -的体积之比为__________.答案：8:3π根据题意，当面BCD ⊥面ABD 时，三棱锥A BCD -的体积最大.此时取BD 的中点O ，由,2,23AB AD AB AD ⊥==，得4BD =，OA=2，同理根据22BC CD ==，且222BC CD BD +=，由直角三角形中线定理可得2OC =，从而得到外接圆半径R =2，再分别利用体积公式求解. 解： 如图所示：当面BCD ⊥面ABD 时，三棱锥A BCD -的体积最大. 取BD 的中点O ，因为,2,23AB AD AB AD ⊥==， 所以4BD =，OA=2， 22BC CD ==，222BC CD BD +=，2OC =，外接圆半径R =2， V 球343233R ππ==，11432232323A BCD V -=⨯⨯⨯=， 三棱锥A BCD -外接球的体积与三棱锥A BCD -的体积之比为83π故答案为：8:3π点评：本题主要考查组合体的体积问题，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 满足1212b b ==，338b =，1121n n n n a b b ++=+．（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和．答案：（1）2n n a =；（2）222nn +-. （1）分别令1n =、2n =可分别求得2a 、3a ，进而可求得等比数列{}n a 的首项和公比，利用等比数列的通项公式可求得{}n a 的通项公式；（2）由已知条件得出数列{}2nn b 是等差数列，确定该数列的首项和公差，求得数列{}2n nb 的通项公式，进一步可求得数列{}nb 的通项公式，然后利用错位相减法可求得数列{}n b 的前n 项和． 解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由于数列{}n b 满足1212b b ==，338b =，1121nn n n a b b ++=+． 当1n =时，则221212a b b =+=，即2122a =，可得24a =；当2n =时，则332413a b b =+=，即3338a =，可得38a =.322a q a ∴==，212aa q==，111222n n n n a a q --∴==⨯=； （2）1121n n n n a b b ++=+，即11221n n n n b b ++=+，11221n n n n b b ++∴-=，且121b =，所以，数列{}2nn b 是以1为首项，以1为公差的等差数列，则()2111nn b n n =+-⨯=，2n n n b ∴=. 设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则231232222n nnS =++++，① 231112122222n n n n nS +-∴=++++，② ①-②得2311111111111222112222222212n n n n n n n n n S +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=++++-=-=--，222n nn S +∴=-. 点评：本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题.18．已知几何体ABCDEF 中，//AB CD ，//FC EA ，AD AB ⊥，AE ⊥面ABCD ，2AB AD EA ===，4CD CF ==．（1）求证：平面⊥BDF 平面BCF ；（2）求点B 到平面ECD 的距离． 答案：（1）证明见解析；（22.（1）由FC ⊥平面ABCD ，可得BD FC ⊥，并推导出BD BC ⊥，利用线面垂直的判定定理可得出BD ⊥平面BCF ，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）计算出三棱锥E BCD -的体积，并计算出ECD 的面积，利用等体积法可计算出点B 到平面ECD 的距离． 解： （1）//FC EA 且AE ⊥面ABCD ，FC ∴⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，BD FC ∴⊥，AB AD ⊥且2AB AD ==，由勾股定理得222BD AB AD =+=45ABD ∠=，//AB CD ，45BDC ∴∠=，由余弦定理得2222cos 458BC BD CD BD CD =+-⋅=，22BC ∴=222BC BD CD ∴+=，90CBD ∴∠=，BC BD ∴⊥，FCBC C =，BD ∴⊥平面BCF ，BD ⊂平面BDF ，平面BCF ⊥平面BDF ；（2）AE平面ABCD ，BC BD ⊥，且22BC BD ==142BCD S BC BD ∴=⋅=△， 11842333E BCDBCD V S AE -∴=⋅=⨯⨯=△， AE 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，CD AE ∴⊥，AD AB ⊥，//AB CD ，CD AD ∴⊥，AE AD A =，CD平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，CD DE ∴⊥，又2222DE AE AD =+=，114224222CDE S CD DE ∴=⋅=⨯⨯=△， 设点B 到平面ECD 的距离为h ，则B CDEE BCD V V --=，即1833CDE S h ⋅=，8242CDEh S∴===.因此，点B 到平面ECD 的距离为2. 点评：本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用等体积法计算点到平面的距离，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19．为了提高生产效益，某企业引进一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所生产的产品中，各随机抽取100件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在(]15,45以内，规定质量指标值大于30的产品为优质品，质量指标值在(]15,30以内的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标如频数分布表所示．质量指标值 频数(]15,202 (]20,258（1）请分别估计新、旧设备所生产的产品优质品率；（2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填写下面列联表（单位：件），并判断是否有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”；（3）已知每件产品的纯利润y （单位：元）与产品质量指标t 的关系式为2,30451,1530t y t <≤⎧=⎨<≤⎩．若每台新设备每天可以生产1000件产品，买一台新设备需要80万元，请估计至少需要生产多少天才可以收回设备成本．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．答案：（1）估计新、旧设备所生产的产品优质品率分别为70%、55%；（2）列联表见解析，有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”，理由见解析；（3）471. （1）根据旧设备所生产的产品质量指标值的频率分布直方图中后3组的频率之和即为旧设备所生产的产品的优质品率，根据新设备所生产的产品质量指标值的频数分布表即可估计新设备所生产的优质品率；（2）根据题中所给的数据完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，结合临界值表，可得出结论；（3）根据新设备所生产的优质品率，分别计算出1000件产品中优质品的件数和合格品的件数，得到每天的纯利润，从而计算出至少需要生产多少天方可收回成本. 解：（1）估计新设备所生产的产品优质品率为302515100%70%100++⨯=，估计旧设备所生产的产品优质品率为()50.060.030.02100%55%⨯++⨯=； （2）根据题中所给数据可得到如下22⨯列联表：()22220030557045 4.8 3.84110075125K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯， 因此，有95%的把握认为“产品质量高低与新设备有关”； （3）新设备所生产的产品的优质品率为0.7，∴每台新设备每天所生产的1000件产品中，估计有10000.7700⨯=件优质产品，有300件合格品，则每台新设备每天所生产的产品的纯利润为700230011700⨯+⨯=（元）， 8000001700471÷≈（天），因此，估计至少需要471天方可收回成本. 点评：本题考查理由频率分布直方图和频数分布表求频率，同时也考查了利用独立性检验解决实际问题，考查学生的数据处理能力与计算能力，属于基础题. 20．已知点()0,0O 、点()4,0P -及抛物线2:4C y x =．（1）若直线l 过点P 及抛物线C 上一点Q ，当OPQ ∠最大时求直线l 的方程； （2）问x 轴上是否存在点M ，使得过点M 的任一条直线与抛物线C 交于点A 、B ，且点M 到直线AP 、BP 的距离相等？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．答案：（1）240x y ++=或240x y -+=；（2）存在，且点M 的坐标为()4,0. （1）要使得OPQ ∠最大，则过P 的直线与抛物线相切，设过点P 的直线方程为4x my =-，与抛物线的方程联立，由0∆=求得m 的值，由此可得出直线l 的方程；（2）由题意可知，直线AP 、BP 的斜率互为相反数，设点(),0M m ，设直线AB 的方程为x ty m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合斜率公式求得实数m 的值，由此可得出结论. 解：（1）如下图所示，当过点P 的直线l 与抛物线相切时，即当点Q 为切点时，OPQ ∠最大.当直线l 与x 轴重合时，则点P 与点Q 重合，不合乎题意； 当直线l 与x 轴不重合时，可设直线l 的方程为4x my =-，联立244x my y x=-⎧⎨=⎩，消去x 得24160y my -+=，则216640m ∆=-=，解得2m =±. 因此，当OPQ ∠最大时，直线l 的方程为240x y ++=或240x y -+=； （2）假设存在这样的点M 满足条件，设点(),0M m ，因为点M 到直线AP 、BP 的距离相等，则MP 为APB ∠的角平分线，所以APM BPM ∠=∠，可得0AP BP k k +=，设直线AB 的方程为x ty m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立24x ty m y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理得2440y ty m --=，由韦达定理得124y y t +=，124y y m =-.()()()()1221121212444444AP BP y x y x y yk k x x x x ++++=+=++++()()()()()()()()122112121212442404545y ty m y ty m ty y m y y x x x x ++++++++===++++，()()1212240ty y m y y ∴+++=，即()()24440t m t m ⨯-++=，整理得()1640t m -=，由题意可知，等式()1640t m -=对任意的t R ∈恒成立，所以，4m =. 因此，在x 轴上存在点()4,0M ，使得点M 到直线AP 、BP 的距离相等. 点评：本题考查利用直线与抛物线相切求直线方程，同时也考查了抛物线中存在定点满足条件，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题.21．已知()ln xe f x a x ax x=+-.（1）若0a <，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，若不等式1()()0xf x bx b e x x+---≥在[1,)+∞上恒成立，求b 的取值范围．答案：（1）见解析；（2）1[,)e+∞. （1）()f x 的定义域为()0,+∞，且()()()21x x e ax f x x --'=，据此确定函数的单调性即可；（2）由题意可知()10xb x e lnx --≥在[)1,+∞上恒成立，分类讨论0b ≤和0b >两种情况确定实数b 的取值范围即可. 解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞∵()()()21x x e ax f x x --'=，0a <，∴当()0,1x ∈时，()0f x '<；()1,x ∈+∞时，()0f x '> ∴函数()f x 在()0,1上单调递减；在()1,+∞上单调递增. （2）当1a =-时，()1x f x bx b e x x ⎛⎫+--- ⎪⎝⎭()1xb x e lnx =-- 由题意，()10xb x e lnx --≥在[)1,+∞上恒成立①若0b ≤，当1x ≥时，显然有()10xb x e lnx --≤恒成立；不符题意.②若0b >，记()()1xh x b x e lnx =--，则()1xh x bxe x'=-, 显然()h x '在[)1,+∞单调递增， （i ）当1b e≥时，当1x ≥时，()()110h x h be ≥=-'≥' ∴[)1,x ∈+∞时，()()10h x h ≥= （ii ）当10b e <<，()110h be -'=<，1110b h e b e b ⎛⎫=-> ⎝'->⎪⎭∴存在01x >，使()0h x '=.当()01,x x ∈时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x '> ∴()h x 在()01,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增 ∴当()01,x x ∈时，()()10h x h <=，不符合题意 综上所述，所求b 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭点评：本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 2sin 1ρθρθ-=．若P 为曲线1C 上的动点，Q 是射线OP 上的一动点，且满足2OP OQ ⋅=，记动点Q 的轨迹为2C ． （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与曲线2C 交于M 、N 两点，求OMN 的面积．答案：（1）()()22125x y -++=（去掉原点）；（2）35. （1）设点Q 的极坐标为(),ρθ，点P 的极坐标为()1,ρθ，根据题意得出12ρρ=，将点P 的极坐标代入曲线1C 的极坐标方程，可得出一个等式，然后将12ρρ=代入等式，化简可得出曲线2C 的极坐标方程，进而利用极坐标与直角坐标之间的转换关系可得出曲线2C 的直角坐标方程；（2）将曲线1C 的方程化为直角坐标方程，计算出圆心到直线MN 的距离，利用勾股定理求出MN ，并计算出原点到直线MN 的距离，利用三角形的面积公式可求得OMN 的面积. 解：（1）设点Q 的极坐标为(),ρθ，点P 的极坐标为()1,ρθ，2OP OQ ⋅=，12ρρ∴=，可得12ρρ=.将点P 的极坐标代入曲线1C 的极坐标方程得11cos 2sin 1ρθρθ-=， 将12ρρ=代入等式11cos 2sin 1ρθρθ-=，得24cos sin 1θθρρ-=，即2cos 4sin ρθθ=-，等式两边同时乘以ρ得22cos 4sin 0ρρθρθ-+=， 化为直角坐标方程得22240x y x y +-+=，即()()22125x y -++=，因此，曲线2C 的直角坐标方程为()()22125x y -++=（去掉原点）； （2）曲线1C 的直角坐标方程为210x y --=，曲线1C 为直线，曲线2C 是以点()1,2P -，圆心P 到直线MN 的距离为d =，MN ∴===， 原点到直线MN 的距离为h =因此，OMN 的面积为1132255OMN S MN h =⋅=⨯=△.点评：本题考查曲线极坐标方程的求解，考查了曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，同时也考查了圆的内接三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.23．已知函数1()|||3|2()2f x x k x k R =-++-∈． （1）当1k =时，解不等式()1f x ≤；（2）若()f x x 对于任意的实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．答案：（1）5|13x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）{|1}k k ≤-. （1）当1k =时，去绝对值，把()f x 写成分段函数，不等式()1f x ≤等价于3个不等式组，解即得；（2）由(x)x f ≥对于任意的实数x 恒成立，得1|||3|22x k x x -++≥+对于任意的实数x 恒成立.分2x -≤和2x >-两种情况解不等式，求实数k 的取值范围． 解：（1）1k =，1()|1||3|22f x x x ∴=-++-． 35,3,221(),31,2233, 1.22x x x f x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪∴=-+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩由()1f x ≤得3,351,22x x <-⎧⎪⎨--≤⎪⎩或31,11,22x x -≤≤⎧⎪⎨-+≤⎪⎩或1,33 1.22x x >⎧⎪⎨-≤⎪⎩ 解得x ∈∅或11x -≤≤或513x <≤， ∴不等式()1f x 的解集为5|13x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由(x)x f ≥对于任意的实数x 恒成立，得1|||3|22x k x x -++≥+对于任意的实数x 恒成立当2x -≤时，1|||3|022x k x x -++≥≥+恒成立；当2x >-时，1|||3|22x k x x -++≥+恒成立3||22x x k x +⇔-+≥+恒成立, 即1||2x x k +-≥恒成立， 当21x -<≤-时，1||2x x k +-≥显然恒成立， 当1x >-时，1||2x x k +-≥恒成立12x x k +⇔-≥或12x x k +-≤-恒成立， 即21x k ≥+或2132x k ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭恒成立． 211k ∴+≤-，解得1k ≤-，∴实数k 的取值范围为{|1}k k ≤-． 点评：本题考查含有绝对值的不等式的解法，考查分类讨论，属于较难的题目.。
2020届 广东省珠海市 高三二模数学(文)试题(解析版)
2020届广东省珠海市高三二模数学（文）试题一、单选题 1．22ii +-＝（ ） A ．3455i + B ．3455i -- C ．413i --D ．413i +【答案】B【解析】根据复数的乘法运算法则计算即可. 【详解】 解：()()(2)2234342(2)2555i i i i i i i i +⋅+++===----⋅+-. 故答案选：B. 【点睛】本题考查复数的乘法运算，属于基础题.2．已知集合{}2|4A x x =≤，{|12}B x x =≤≤，则A C B =()A ．{|2}x x ≤-B ．{2,1,0}--C ．{|21}x x -≤<D ．{|02}x x <<【答案】C【解析】先求出集合A ，然后根据补集的定义求出A C B . 【详解】解：{}{}2|4|22A x x x x =≤=-≤≤，所以{}|21A C B x x =-≤<，故答案为：C. 【点睛】本题考查集合补集的运算，属于基础题.3．函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（ ）A ．()22xxf x -=-B ．2()x e ef x x-= C ．31()f x x x =- D ．1()ln ||f x x x=-【答案】B【解析】由函数的定义域、奇偶性、单调性及函数图像的特点一一进行判断可得答案. 【详解】解：A 选项，由函数图像可得在0x =处没有定义，故排除A ； C 选项，由函数图像可得函数不为奇函数，故排除C ；D 选项，由函数图像可得当x →+∞时，函数变化趋势不符，1()ln ||f x x x=-越来越平（增加越来越慢），而不会向上扬起（增加越来越快）, 故排除D ； 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数图像的识别及函数的定义域、单调性、奇偶性等基本性质，属于基础题型.4．如图，某组合体的主视图、侧视图均是正方形及其中位线，俯视图为正方形及其对角线，则此几何体的体积为()A．8 B．83C．4 D．6【答案】D【解析】由三视图还原几何体，该几何体为组合体，是两个直三棱柱，直三棱柱的底面为等腰直角三角形，直角边长为2，高分别为1和2，再由棱柱体积公式求解．【详解】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，是两个直三棱柱，直三棱柱的底面为等腰直角三角形，直角边长为2，高分别为1和2，则此几何体的体积为V＝122(12)6 2⨯⨯⨯+=．故选D．【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原几何体，是中档题．5．已知tan2α=-，其中α为三角形内角，则cosα=（）A．5B25C5D．25【解析】由tan 2α=-，可得sin 2cos αα=-，再结合22sin cos 1αα+=，联立方程可以求解cos α. 【详解】解：因为tan 2α=-，所以sin 2cos αα=-，又因为22sin cos 1αα+=，所以解得：sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为α为三角形内角，所以sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 故答案为:A. 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，同时考查了学生的计算能力，属于基础题. 6．函数sin(2)y x ϕ=+在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值为１，则下列ϕ的取值不可能为( ) A ．0 B ．12πC ．3π-D ．2π-【答案】D【解析】将各选项一一代入进行检验可得答案. 【详解】解：A 选项，当0ϕ=时，sin 2y x =，,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当4x π=时，函数有最大值为１，故A 不符合题意； B 选项，当12πϕ=时，sin(2)12y x π=+，,62x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，当524x π=时，函数有最大值为１，故B 不符合题意； C 选项，当3πϕ=-时，sin(2)3y x π=-，,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当512x π=时，函数有最大值为１，故C 不符合题意； D 选项，当2πϕ=-时，sin(2cos 2)2y x x π-=-=，当,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2,3x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1⎛⎫【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性与值域，考查学生的计算能力，属于基础题型. 7．若直线2y x =与直线()210a a x y a --++=平行，则a =（）A ．1a =-B ．2a =C ．1a =-或2D ．1a =或2-【答案】B【解析】因为两直线平行，所以斜率相等，从而求出a 的取值，再根据取值情况，检验是否重合. 【详解】解：因为直线2y x =与直线()210a a x y a --++=平行，所以22a a -=，解得：2a =或1a =-，检验：当1a =-时，两直线重合，不成立，所以2a =.故答案为：B. 【点睛】本题考查直线平行的条件，解题的关键是检验重合的情况，属于基础题. 8．已知中心在原点的双曲线渐近线方程为43y x =±，左焦点为（-10，0），则双曲线的方程为()A ．221916x y -=B ．2213664x y -=C ．221169x y -=D ．2216436x y -=【答案】B【解析】根据题意，分析双曲线的焦点在x 轴上，又可知c ＝10，渐近线方程为43y x =±，所以可得b a ＝43，进而可求得a 、b 的值，从而求出结果. 【详解】解：根据题意，要求双曲线的焦点为（﹣10，0），则其焦点在x 轴上，且c ＝10，设双曲线的方程为22x a﹣22y b ＝1，则有a 2+b 2＝c 2＝100，又由双曲线渐近线方程为y ＝±43x ，则有b a ＝43， 解可得：a ＝6，b ＝8，则要求双曲线的方程为：236x ﹣264y ＝1；本题考查由双曲线渐近线方程求双曲线方程，属于基础题． 9．若0a b <<，则以下选项中不正确的是（ ） A ．2211a b <B ．42a b <C ．2a b ab +≤-D ．a b b a< 【答案】D【解析】本题可采用赋特殊值法，令2a =-，1b =-，意义验算可得答案. 【详解】解：本题可采用赋特殊值法，由0a b <<，可令2a =-，1b =-，A 选项，22111,14a b ==，满足2211a b <，故A 项不错误； B 选项，214416a -==，11222b -==，满足42a b <，故B 项不错误；C 选项，3a b +=-,222ab -=-,满足2a b ab +≤-，故C 项不错误；D 选项，12,2a b b a == ,不满足a bb a <，故D 项错误；故选：D. 【点睛】本题主要考查不等式的性质，采用赋特殊值法能极大的降低难度.10．在半径为2的圆内随机取一点M ，则过点M 的所有弦的长度都大于2的概率为() A ．34B ．3⋅C ．14D ．43- 【答案】A【解析】由勾股定理及几何概型中的面积型可得：点M 在以O 为圆心，3为半径的圆的内部，所以过点M 的所有弦的长度都大于2的概率为：2(3)π＝34，得解．【详解】解：如图，要使过点M 的所有弦都大于2，|OM |3所以过点M的所有弦的长度都大于2的概率为：2(3)π＝34，故选：A．【点睛】本题考查了几何概型中的面积型，属中档题．11．半径为2的球的内接三棱锥,23,P ABC PA PB PC AB AC BC-=====，则三棱锥的高为()A．32B．33C．22D．3【答案】D【解析】在三棱锥P﹣ABC中，过点p作PM⊥平面ABC的垂足为M，则球心O在PM 所在直线上，在三角形PBO中利用余弦定理可得∠BPM，然后求出∠PBM＝60°，进一步算出PM．【详解】解：三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝23，AB＝AC＝BC，如图，过点p作PM⊥平面ABC的垂足为M，则球O的内接三棱锥P﹣ABC的球心O在PM所在直线上，∵球O的半径为2，∴OB＝OP＝2，∴由余弦定理得cos∠BPM＝222PB OP OB2PB OP+-⋅3∴∠BPM＝30°，故选：D ． 【点睛】本题考查了球的内接三棱锥问题，考查了空间想象能力与逻辑思维能力，属基础题． 12．若函数321()(3)3x f x e x kx kx =--+只有一个极值点，则k 的取值范围为() A ．(,)e -∞ B ．(0,]eC ．(,2)-∞D ．(0,2]【答案】B【解析】利用函数求导函数 f ′（x ）＝e x （x ﹣2）﹣kx 2+2kx ＝（x ﹣2）（e x ﹣kx ），只有一个极值点时f ′（x ）＝0只有一个实数解，有e x ﹣kx ≥0，设新函数设u （x ）＝e x ，v （x ）＝kx ，等价转化数形结合法即可得出结论， 【详解】解：函数f （x ）＝e x （x ﹣3）﹣13kx 3+kx 2只有一个极值点， f ′（x ）＝e x （x ﹣2）﹣kx 2+2kx ＝（x ﹣2）（e x ﹣kx ），若函数f （x ）＝e x （x ﹣3）﹣13kx 3+kx 2只有一个极值点，f ′（x ）＝0只有一个实数解， 则：e x ﹣kx ≥0， 从而得到：e x ≥kx ， 当k ＝0 时，成立．当k ≠0时，设u （x ）＝e x ，v （x ）＝kx如图：当两函数相切时，k ＝e ，此时得到k 的最大值，但k ＜0时不成立． 故k 的取值范围为：（0，e ] 综上：k 的取值范围为：[0，e ] 故选：B ．本题考查了利用导数研究函数的极值点、考查了不等式问题的等价转化方法，数形结合法，考查了推理能力，属于中档题．二、填空题13．曲线()ln f x x ax =-在点(,())e f e 处的切线与直线230ex y ++=垂直，则实数a 的值为________. 【答案】1e-【解析】先求出曲线()ln f x x ax =-在点(,())e f e 处的斜率，再利用两条直线互相垂直,斜率之间的关系，可得实数a 的值. 【详解】解：由曲线()ln f x x ax =-，可得'1()f x a x=-，'1()f e a e =-，由切线与直线230ex y ++=垂直，可得直线的斜率为e2-，可得：1()()12ea e -⨯-=-，1ae =-，1a e=-，故答案为：1e-.【点睛】本题主要考查导数的几何意义及两直线垂直的关系，属于基础题，利用导数进行求解是解题的关键.14．若x ，y 均为正数，且x y xy +=，则x y +的最小值为________. 【答案】4【解析】由基本不等式可得22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,则22x y x y +⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭,即可解得4x y +≥.【详解】方法一：242x y x y xy x y +⎛⎫+=≤⇒+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2x y ==时取等.方法二：因为x y xy +=，所以1111x y xy x y+=⇒+=，所以11()224x yx y x y x y y x⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当2x y ==时取等.【点睛】本题考查基本不等式在求最小值中的应用,考查学生对基本不等式的灵活使用,难度较易. 15．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)cos cos 0a c B b A ++=，则B =______ 【答案】23π 【解析】直接利用正弦定理进行边角的互换，然后利用三角函数辅助角公式化简，可求出B 的值． 【详解】解：（1）已知（a +2c ）cos B +b cos A ＝0． 则：（sin A +2sin C ）cos B +sin B cos A ＝0， 整理得：sin A cos B +cos A sin B +2sin C cos B ＝0， 即：sin C +2sin C cos B ＝0，因为C 为三角形的内角，所以sin C ≠0， 解得：cos B ＝﹣12， 由于：0＜B ＜π， 所以：B ＝23π． 【点睛】本题考查正弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，属于基础题.16．已知向量,a b rr 的夹角为,||24b π=r ，且对于任意的x ∈R ，都有||||b xa b a +≥-r r r r ，则a =v_____【解析】对|b +x a r |≥|b ﹣a r|两边同时平方，然后化简为关于|a |r的不等式，根据条件进一步得到|a |r．【详解】解：∵向量a r ，b r的夹角为4π，|b r |＝2，|b r +x a r |≥|b ﹣a r |，∴2||b xa +rr≥2||b a -rr，∴222||0a x a x a a ++-rrrr…， 由于其对任意的x ∈R 都成立，∴△＝()2228|a |4|a |a ||a |0--r r r r …，∴|a |=r【点睛】本题考查了平面向量的数量积及其运算，考查了计算能，属基础题．三、解答题17．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，21n n S a =-. （1）求n a ；（2）设n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项的和n T . 【答案】（1）12n n a a -=；（2）(1)212n n n nT +=-+. 【解析】（1）令1n =，求出1a ，当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，可得n a 的值； （2）由（1）得12n n b n -=+，分别利用等比数列与等差数列的求和公式可得n T 的值.【详解】解：（1）令1n =由21n n S a =-得11a =, 令2n ≥，可得112121n n n n S a S a --=-⎧⎨=-⎩，112n n n n a S S a --=-=.可知数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a -=； （2）由（1）得12n n b n -=+，01231212223242n n T n -=++++++++⋅⋅⋅++()0123122222(1234)n n -=++++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+12(1)122n n n-+=+-(1)212n n n +=-+. 【点睛】本题主要考查由递推式求数列的通项公式及等差数列、等比数列求和，属于基础题，牢记各公式并灵活运用是解题的关键.18．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿对角线AC 将ACD V 折起到ACE△的位置，使7BE =.（1）求证：AE ⊥面BCE ； （2）求点B 到面ACE 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）374. 【解析】（1）易得AE CE ⊥，由已知数据可得222AB AE BE =+，AE BE ⊥，由线面垂直的判定定理可得AE ⊥面BCE ；（2）设点B 到面ACE 的距离为h ，由三棱锥的体积A BCE B ACE V V --=，求出三棱锥的体积A BCE V -及ACE S ∆可得点B 到面ACE 的距离h . 【详解】证明：（1）在矩形ABCD 中，有AD CD ⊥，所以折叠后有AE CE ⊥ 在AEB △中，4AB =，7BE =3AE AD BC ===，222AB AE BE ∴=+，AE BE ∴⊥又CE BE E ⋂=Q 且,CE BE ⊂面BCE ，AE ∴⊥面BCE . （2）设点B 到面ACE 的距离为h ， 在BCE V 中4CE =，7BE =，3BC =，222CE BE BC ∴=+，BC BE ∴⊥，137||||22BCE S BE BC ==V ，137||3A BCE BCE V S AE -=⨯⨯=V ， 173B ACE ACE V S h -==V 13437322h ⨯⨯⨯=. 从而得72h =，即点B 到面ACE 的距离为374. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理及三棱锥体积的有关计算，属于中档题，注意灵活运用各定理解题并运算准确.19．某小学六年级学生的进行一分钟跳绳检测，现一班二班各有50人，根据检测结果绘出了一班的频数分布表和二班的频率分布直方图.一班检测结果频数分布表： 跳绳个数区间 [60,70)[70,80)[80,90)[100,110) [110,120)频数 713208 2（1）根据给出的图表估计一班和二班检测结果的中位数（结果保留两位小数）； （2）跳绳个数不小于100个为优秀，填写下面2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为检测结果是否优秀与班级有关. 一班 二班 合计 优秀 不优秀 合计参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()20P K k ≥ 0.1000.050 0.010【答案】（1）一班和二班检测结果的中位数分别为82.75，96.43；（2）列联表见解析，有95%的把握认为检测结果是否优秀与班级有关.【解析】（1）设一班中位数为m ，由中位数两侧频数为25列出方程可得答案； 设二班中位数为n ，由中位数两侧的频率相等且为0.5列方程可得n 的值； （2）补全2×2列联表，计算2K 的值，对照临界值表进行比较可得答案. 【详解】解：（1）设一班中位数为m ，则80713202510m -++⨯=,得82.75m = 设二班中位数为n ，则0.004100.012100.016100.028(90)0.5n ⨯+⨯+⨯+⨯-=，得96.43n ≈.（2）补全2×2列联表可得：故22100(10302040) 4.7619 3.84150503070K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为检测结果与优秀与班级有关. 【点睛】本题主要考查中位数的概念与性质、独立性判断的检测与应用，考查学生的计算能力，属于基础题型.20．椭圆C 的中心在原点，左焦点1(1,0)F -，长轴为. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过左焦点1F 的直线交曲线C 于A ，B 两点，过右焦点2F 的直线交曲线C 于C ，D 两点，凸四边形ABCD 为菱形，求直线AB 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）1)y x =+或1)y x =+.【解析】（1）由题意可得a c 、的值，计算出b 的值，可得椭圆C 的标准方程； （2）由题意与菱形性质可得OA OB ⊥，设()11,A x y ，()22,B x y ，则有12120x x y y +=，当直线AB x ⊥轴时，易知不成立，所以直线AB 的斜率存在.设直线AB 的斜率为k ，则:(1)AB y k x =+，代入2212x y +=，可得12x x +，12x x 的值，计算出12y y 的值，代入12120x x y y +=，可得k 的值，可得答案. 【详解】解：（1）由题意可知a =1c =，从而可得1b =，所以椭圆的标准为2212x y +=.（2）根据椭圆的对称中心为原点可知，菱形ABCD 的中心必为原点O ，从而必有OA OB ⊥，设()11,A x y ，()22,B x y ，则有12120x x y y +=，当直线AB x ⊥轴时，易知不成立，所以直线AB 的斜率存在.设直线AB 的斜率为k ，则:(1)AB y k x =+，代入2212x y +=，整理得()2222124220kxk x k +++-=，由韦达定理得2122412k x x k -+=+，21222212k x x k-=+， 从而()21212121y y k x x x x =+++2222242211212k k k k k ⎛⎫--=++ ⎪++⎝⎭2212k k-=+， 由12120x x y y +=得22222201234k kk k--+=++，解得k =直线AB 的方程为1)y x =+或1)y x =+.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题.21．已知函数()2ln f x x ax a x =+-，a R ∈（1）若1a =，求()f x 的单调区间和极值；（2）设()()()()2ln 22g x f x a x a b x =++-+-，且()g x 有两个极值点1x ，2x ()12x x <，若1b ≥()()12g x g x -的最小值.【答案】（1）()f x 增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，减区间为10,2⎛⎫⎪⎝⎭; 极小值3ln24+，无极大值；（2）82ln33- 【解析】（1）求出f （x ）的导数，解不等式，即可得到函数的单调区间，进而得到函数的极值；（2）由题意可得121x x b +=-，121x x =，求出()()12g x g x -的表达式，()()12ln 01h t t t t t ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭，求出h （t ）的最小值即可．【详解】（1）将1a =代入()f x 中，得到()2ln f x x x x =+-，求导，得到()()()212112121x x x x f x x x x x+-+-='=+-=，结合0x >， 当()0f x '>得到： ()f x 增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，当()0f x '<，得()f x 减区间为1 0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭且()f x 在12x =时有极小值13ln224f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，无极大值. （2）将()f x 解析式代入，得()()2222ln g x x b x x =--+，求导 得到()()()22222211g x x b x b x x x⎡⎤=--+=--+⎣'⎦， 令()0g x '=,得到()2110x b x --+=,121x x b ∴+=-，121x x =，()216414433b ∆=--≥-= ()()()()2212111222222ln 222ln g x g x x b x x x b x x ⎡⎤⎡⎤-=--+---+⎣⎦⎣⎦，()()()()22121212222ln ln x x b x x x x =----+-， ()()()221121212222lnx x x x x x x x =--+-+，()221211222ln x x xx x x --=+，1212122ln x x x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，因为120x x <<，所以设()1201x t t x =<<,令()()12ln 01h t t t t t ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭， 则()()22211210t h t t tt -⎛⎫=-++=-< ⎪⎝⎭'所以()h t 在()0,1单调递减,又因为13b ≥+所以()()()22212121212211161223x x x x b x x t x x x x t +-=+==++=++≥,所以 13t ≤或3t ≥又因为01t <<，所以103t <≤所以()111832ln 2ln33333h t h ⎛⎫⎛⎫≥=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()()12g x g x -的最小值为82ln33-. 【点睛】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数的极值的意义，考查转化思想与减元意识，是一道综合题．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 方程为224x y x +=，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线lcos sin θρθ+=l 与曲线C 分别交于A ，B 两点. （1）写出曲线C 的极坐标方程； （2）求OAB V 的面积.【答案】（1）4cos ρθ=；（2）【解析】（1）将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入224x y x +=，可得曲线C 的极坐标方程；（2）联立直线与曲线C 的极坐标方程，可得A B 、两点的极坐标，由三角形面积的计算公式可得OAB V 的面积. 【详解】解：（1）由将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入曲线C 方程为224x y x +=，可得曲线C 的极坐标方程为：4cos ρθ=.（2）联立直线与曲线C 的极坐标方程，可得： cos sin 4cos θρθρθ+==⎪⎩，得：cos 4cos sin θθθθ+=2cos 2sin 20θθθ+=. 解得：13πθ=或26πθ=-.分别代入4cos ρθ=，解得：12ρ=或2ρ=2,3A π⎛⎫⎪⎝⎭或6B π⎛⎫-⎪⎝⎭， ()12121sin 2ABC S ρρθθ=-=V . 【点睛】本题考查了椭圆的直角坐标方程与极坐标方程的互换，直线与椭圆的位置关系，考查了化归与转化的思想及运算求解能力，联立直线与椭圆的极坐标方程是解题的关键. 23．已知函数()|||21|()f x x a x a =++-∈R ． （1）1a =-时，求不等式()2f x ≥解集；（2）若()2f x x ≤的解集包含于1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a 的取值范围．【答案】（1）4(,0],3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U （2）32,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】(1) 代入1a =-可得|1||21|2x x -+-≥对x 分类讨论即可得不等式的解集; (2)根据不等式在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立去绝对值化简可得||1x a +≤再去绝对值即可得关于a 的不等式组解不等式组即可求得a 的取值范围【详解】（1）当1a =-时，不等式()2f x ≥可化为|1||21|2x x -+-≥， ①当12x ≤时，不等式为1122x x -+-≥，解得0x ≤；②当112x <<时，不等式为1212x x -+-≥，无解； ③当1x ≥时，不等式为1212x x -+-≥，解得43x ≥，综上，原不等式的解集为4(,0],3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U ．（2）因为()2f x x ≤的解集包含于1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则不等式可化为||212x a x x ++-≤， 即||1x a +≤．解得11a x a --≤≤-+，由题意知11213a a ⎧--≥⎪⎨⎪-+≤⎩，解得322a -≤≤-， 所以实数a 的取值范围是32,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法分类讨论解绝对值不等式的应用,含参数不等式的解法.难度一般.。
2020年广东深圳高三二模数学试卷(文科)
，
∴
，
∴
．
15. 解析: 在
中，
11
若
，
则
，
．
16. 解析: 设圆锥底面半径为 ，圆锥高为 ，
显然有： 又 ∴
∴
， ，
，
，
，
，
令
，
∴
，
∴
或
，
又
，
12
∴
，
，
故
时，
体积 取最小值为
．
故答案为：
．
17.（ 1 ）证明见解析． （2）
解析: （ 1 ）∵
∴
．
， ，
∴
，
又
，
∴
，
∴数列
是以 为首项， 为公比的等比数列．
的频率为
，
所以下一个销售季度内的利润 不少于 万元的概率的估计值为 ．
（ 3 ）估计一个销售季度内市场需求量 的平均数为
（吨）；
由频率分布直方图易知，由于
时，对应的频率为
，
而
时，对应的频率为
，
因此一个销售季度内市场需求量 的中位数应属于区间
，于是估计中位数应为
（吨）．
19.（ 1 ）证明见解析． （ 2 ）点 到平面 的距离为 ．
解析: （ 1 ）取 的中点 ，连接 和 ：
14
∵ 为 的中点，
∴
且
，
∵
，
，
，
∴
且
，
∴
且
，
∴四边形
为平行四边形，
∴
，
∵
平面 ，
平面 ，
∴
平面 ．
（ 2 ）∵
， 为 的中点，