【人教版】高中一年级下学期数学期中试卷(有答案) (20)
【人教版】高中一年级数学下学期期中试卷完卷时间： 120 分钟 满 分： 150 分一、选择题（每题5分，共60分）1．已知角α终边过点)4,3(-P ，则)sin(απ+的值为（ ） A ．35 B ．35- C ．45 D ．45-2．设l 为直线，βα,是两个不同的平面，则下列事件中是必然事件的是（ ） A ．若α//l ，β//l ，则βα// B ．若α⊥l ，β⊥l ，则βα// C ．若α⊥l ，β//l ，则βα// D ．若βα⊥，α//l ，则β⊥l3．从编号为01，02，…，49，50的50个个体中选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行第5列的数开始由左到右依次抽取，则选出来的第5个个体的编号为（ ）A ．08B ．02C ．43D ．244．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次．两人成绩如甲表、乙表所示，则（ ）甲表：乙表：A ．甲成绩的方差小于乙成绩的方差B ．甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数C ．甲成绩的极差小于乙成绩的极差D ．甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数5．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得1551=∑=i i x ，5.1751=∑=i i y ，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．5.92ˆ+-=x yB ．5.22ˆ-=x yC ．3.24.0ˆ-=x yD ．4.43.0ˆ+-=x y 6．将一枚硬币抛掷三次，则下列为互斥且不对立的两个事件是（ ） A ．至少有一次正面和至多有一次正面 B ．至少有一次正面和至多有两次正面C ．至多有一次正面和至少有两次正面D ．至多有一次正面和恰有两次正面 7．设4sin5a π=，cos 10b π=，5tan 12c π=，则（ ） A ．c b a >> B ．a c b >> C ．a b c >> D ．b a c >>8．袋中有大小相同的黑球，白球，蓝球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则98是下列哪个事件的概率（ ）A ．颜色全同B ．颜色不全同C ．颜色全不同D ．无红球 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．π816+ B ．π88+ C ．π168+ D ．π1616+10．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被4sin3xy π=(44)x -≤≤的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．361 B ．181 C ．121 D ．81 11. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 值是（ ）A ．2B ．3-C ．31D ．21-12．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（ ） A ．254 B ．258 C ．2516 D ．2524二、填空题（每题5分，共20分） 13．)625(tanlog 3π= ． 14．如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧CD 、弧DE 、弧EF 的圆心依次是A 、B 、C ， 如果AB=3，那么曲线CDEF 的长是 ．15．在区间] 0[π，上随机取一个数x ，则事件“1)2sin(2≥+πx ”发生的概率为 ．第9题图 第10题图第11题图16．如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD //BC ，PD⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．给出下列四个命题：①PD ⊥平面PBC ；②异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为55； ③直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为55；④三棱锥P-ADC 的体积是332.其中正确命题的序号是 ．三、解答题（共6大题，17题10分，18~22题每题12分，共70分）17．某赛季，甲、乙两校篮球队进行了10场训练赛，比赛得分情况记录如下表： (1)根据得分记录表，画出茎叶图．(2)设甲校队10场比赛得分平均值为x ，将该队10场 比赛得分i x 依次输入程序框图（图1）进行运算， 求输出S 的大小，并说明S 的统计意义．18．已知2sin ()cos(2)tan()()tan(3)cos()2f παπαπααπαπα-+-+=-++．(1)若0cos 3sin =-αα，求)(αf 的值．(2)若81)(=αf ，且24παπ<<，求cos sin αα-的值．19．如图，已知AA 1⊥平面ABC ，BB 1//AA 1，AB=AC ， 点E ，F 分别是BC ，A 1C 的中点． (1)求证：EF //平面A 1B 1BA ．(2)求证：平面AEA 1⊥平面BCB 1．图1NY Y20．全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2017年8月某日起连续n 天监测空气质量指数（AQI ），数据统计如下：(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n ，m 的值，并完成频率分布直方图．(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数．(3)在空气质量指数分别为51﹣100和151﹣200的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A“两天空气都为良”发生的概率．21．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月6日的每天昼夜温差x （°C）与实验室每天每100颗种子中的发芽数y （颗），得到如下资料：(1)请根据12．．月．2．日至．．12．．月．5．日．的数据，求出y 关于x 的线性回归方程．(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据（选取的检验数据是12．．月．1．日与．．12．．月．6．日．的两组数据）的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所得的线性回归方程是否可靠．附：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：1122211()()ˆ()ˆˆnni i i ii i nni ii i x x y y x y nx yb x x xnxay bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑.22．已知函数22()44f x x ax b =-+，{|13}A x x =≤≤，{|14}B x x =≤≤． （注意:若是古典概型请列出所有基本事件）(1)若a ，b 都是从集合A 中任取的整数，求函数()y f x =有零点的概率． (2)若a ，b 都是从集合B 中任取的实数，①求函数()y f x =在区间[2，4]上为单调函数的概率．②在区间[0，4]内任取两个实数x ，y ，求事件“222()x y a b +>-”恒成立的概率．高一数学参考答案一、选择题：（每小题5 分，共60 分） 二、填空题：（每小题分，共20 分）13.12- 14. 12π 15. 1316. ①②③④三、解答题：（共6大题，17题10分，18~22题每题12分，共70分） 17. 解：（1）茎叶图……………………………………….….…4分（2）558184615474828369577010x +++++++++==……………….6分2221[(5570)(8170)...(5770)]137.810s =-+-++-=...................8分 S 表示甲队10场比赛得分的方差（或10场比赛得分的离散程度） (10)分．18．解：(1) 2sin cos tan ()sin cos tan (sin )f αααααααα⋅⋅==⋅-⋅-…………………...…3分 sin 3cos 0αα-=Q sin tan 3cos ααα∴==………………………….………...…4分 222sin cos tan 3()sin cos tan 110f ααααααα⋅∴===++……….………………………..….7分(2) 由1()sin cos 8f ααα=⋅=．可知：22213(cos sin )cos 2sin cos sin 12sin cos 1284αααααααα-=-+=-=-⨯=……….………………………..…...9分又因为42ππα<<，所以cos sin αα<，即cos sin 0αα-<．…………....11分所以cos sin αα-=12分19.证明：（1）连结A 1B ，在△A 1BC 中，∵点E 和F 分别为BC 和A 1C 的中点，∴EF ∥A 1B ，………………………...……..…3分 又∵EF ⊄平面A 1B 1BA ，A 1B ⊂平面A 1B 1BA ， ∴EF ∥平面A 1B 1BA ．……………………..…5分 （2）∵AB=AC ，E 为BC 的中点，∴AE ⊥BC ． ……….………………………....…6分 ∵A 1A ⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，∴B 1B ⊥平面ABC ，………………………………....…7分 ∵AE ⊂平面ABC ，∴B 1B ⊥AE ． ……………………………….......…8分 又∵B 1B ⊂平面B 1BC ，BC ⊂平面B 1BC ，B 1B ∩BC=B ，∴AE ⊥平面B 1BC ，………………………………....…10分 ∵AE ⊂平面AEA 1，∴平面AEA 1⊥平面BCB 1． ………..…..…………..…12分 20. 解：解：（1）200.00450n⨯=Q ，100n ∴=…………………………...…1分 2040105100m ++++=Q ， 25m ∴=………………………………..…..…2分40251050.008;0.005;0.002;0.001.10050100501005010050∴====⨯⨯⨯⨯由此完成频率分布直方图，如下图：………………………………....…4分（2）由频率分布直方图得该组数据的平均数为：250.00450750.008501250.005501750.002502250.0015095x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=……………………..............…6分∵[0，50）的频率为0.004×50=0.2，[50，100）的频率为：0.008×50=0.4 ∴中位数为： 0.50.2505087.50.4-+⨯= ………………….………..…8分（3）在空气质量指数为51﹣100和151﹣200的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽収的5天中，将空气质量指数为51﹣100的4天分别记为a ，b ，c ，d ；将空气质量指数为151﹣200的1天记为e ，从中任取2天的基本事件分别为： （a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，e ）， （b ，c ），（b ，d ），（b ，e ）， （c ，d ），（c ，e ）， （d，e）共10种， ……………………….……10分 其中事件A“两天空气都为良”包含的基本事件为：（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（b ，c ），（b ，d ），（c ，d ）共6种， 所以事件A“两天都为良”发生的概率是63()105p A ==. …………………….…12分 21. 解法1：（1）由数据求得1113128114x +++==，25292616244y +++== …………………..…1分 521125132912268161092i ii x y=⨯+⨯+⨯+⨯==∑22222521113128498ii x=+++==∑ (3)分由公式1221ni ii ni i x y nx yb x nx==-=-∑∑求得187b =， ……………………..…5分307a y bx =-=-……………………..…7分∴y 关于x 的线性回归方程为183077y x =- …………………..…8分 解法2:1113128114x +++==，25292616244y +++== ………………..…1分 521111)(2524)((1311)(2924)(1211)(2624)(811)(1624))()(36iii x x y y =-⨯-+-⨯-+-⨯-+-⨯--==-∑22522221111)(1311)(1211)(811))(14(ii x x =-+-+-+-==-∑………………..…3分由公式52522()()()iii ii x x y y b x x ==--=-∑∑求得187b =， ………….…..…5分 307a y bx =-=-……………………..…7分∴y 关于x 的线性回归方程为183077y x =- ……………………..…8分（2）当x=10时，1507y =，当x=6时，787y =， …………………………..…10分150422277-=<Q，78612277-=< ∴该小组所得线性回归方程是理想的． ……………….……………12分22. 解：（1）设函数()f x 有零点为事件A ，由于a ,b 都是从集合{1，2，3}中任取的数字，依题意得所有的基本事件：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3） 其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，即基本事件总数为9N =． 若函数22()44f x x ax b =-+有零点，则2216160a b ∆=-≥，化简可得a b ≥． 故事件A 所含的基本事件为：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3）共计6个基本事件，则62()93p A ==.……………………………………….……….4分（2）解法一：①设a ,b 都是从区间[1，4]中任取的数字， 设函数22()44f x x ax b =-+在区间[2，4]上为单调函数为事件B ，依题意得，所有的基本事件构成的区域{}14(,)14a ab b ≤≤⎧Ω=⎨≤≤⎩，故所有基本事件构成的区域面积为9S Ω=．若函数22()44f x x ax b =-+在区间[2，4]上为非单调函数， 其对称轴方程为2x a =，则有224a ≤≤，求得12a ≤≤．则构成事件B 的区域9136B S =-⨯=，如图（阴影部分表示事件B 的对立事件）．则62()93p B ==…………………………………………………………………………..8分解法二：设a 是从区间[1，4]中任取的数字，依题意得，所有的基本事件构成的长度为4-1=3记函数22()44f x x ax b =-+在区间[2，4]上为非单调函数为事件B ， 若函数22()44f x x ax b =-+在区间[2，4]上为非单调函数， 其对称轴方程为2x a =，则有224a ≤≤，求得12a ≤≤．则构成事件B 的长度为2-1=1，1()3p B ∴=，12()133p B ∴=-=……………..8分 ②设在区间[0，4]内任取两个实数x ，y ，记事件C: “222()x y a b +>-恒成立”， 则事件C 等价于“229x y +>”，若 (,)x y 可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域{}(,)04,04,,x y x y x y R Ω=≤≤≤≤∈ 而事件C 所构成的区域为{}22(,)9,(,)B x y x y x y =+>∈Ω，如图（阴影部分表示事件C ）4416S Ω=⨯=，9164C S π=-， 91694()11664C Sp C S ππΩ-∴===-……………12分。
(人教版A版)高中数学高一年级下册 期中测试试卷01及答案
期中测试一、选择题（共8小题）1.已知集合2}0{3|2A x x x =--≤，}lg {|0B x x =＜，则A B Ç=（ ）A .{|}11x x -＜＜B .{|}01x x ＜＜C .{|}13x x ＜＜D .Æ2.在等比数列{}n a 中，4a 、12a 是方程2310x x ++=的两根，则8a =（ ）A .1B .1-C .1±D .3±3.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 22cos c a B +=，则A =（ ）A .6pB .3pC .23p D .56p 4.已知等比数列{}n a 的前n 项和3(22)n n S l l +-×=（l 为常数），则l =（ ）A .2-B .1-C .1D .25.关于x 的不等式22280x ax a --＜（0a ＞）的解集为12(,)x x ，且2115x x -=，则a =（ ）A .52B .72C .154D .1526.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）海里A .B .C .D .7.数列{}n a 满足11a =，且11n n a a n +-=+（N n +Î），则数列1n a ìüíýîþ的前10项和为（ ）A .25B .2011C .1120D .578.数列{}n a 是等比数列，若21a =，518a =，则12231n n a a a a a a ++++…的取值范围是（ ）A .8,3¥æö-ç÷èøB .2,23æùçúèûC .81,3éö÷êëøD .82,3éö÷êëø二、多选题（共2小题）9.已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ）A .若a b ＞，c d ＞，则ac bd ＞B .若0ab ＞，0bc ad -＞，则0c d a b -C .若a b ＞，c d ＞，则a d b c--＞D .若a b ＞，0c d ＞＞，则a bd c＞10.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a ＞，公差0d ¹，则下列命题正确的是（ ）A .若59S S =，则必有140S =B .若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C .若67S S ＞，则必有78S S ＞D .若67S S ＞，则必有56S S ＞三、填空题（共6小题）11.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且274212a a a ++=，则9S =________.12.已知函数()f x =m 的取值范围是________.13.已知数列{}n a 的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且11a =，22a =，347a a +=，5613a a +=，则78a a +=________.14.如图，在ABC △中，已知点D 在BC 边上，AD AC ^，sin BAC Ð=，3AB =，AD =，则BD 的长为________.15.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足23n n S a =-，则6S =________.16.已知ABC △中，2B A =，7sin 4sin A C =，则cos A =________.四、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答.）17.在正项等比数列{}n a 中，已知1310a a +=，3540a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log n n b a =，求数列{}2(1)n n b -的前100项的和100S .18.已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若530S =，且1a ，2a ，4a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()()111n n n b a a =-+，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.已知函数()22f x x ax =++，a R Î.（1）若不等式()0f x ≤的解集为[1,2]，求不等式()21f x x -≥的解集；（2）若函数()()21g x f x x =++在区间()1,2上有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.20.在平面直角坐标系xOy 中，角a ，b （02pa b p ＜＜＜）的顶点与坐标原点O 重合，始边为x 轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于A ，B 两点，A ，B 两点的纵坐标分别为45，513.（1）求tan 2a 的值；（2）求sin()cos()sin cos 22a b p b p p a b ++-æöæö-++ç÷ç÷èøèø的值.21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且，数列{}n b 满足12b =，132n n b b -=+（2n ≥，*N n Î）.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足1nn n a c b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1n T ＜.22.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路CD .（1）已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）；（2）若该扇形的半径为OA a =，已知某老人散步，从C 沿CD 走到D ，再从D 沿DO 走到O ，试确定C 的位置，使老人散步路线最长.期中测试答案解析一、1.【答案】B【解析】解：Q 集合2}235{|}{|13A x x x x x =--=-≤≤≤，{|}{|}lg 004B x x x x ==＜＜＜，故选：B .2.【答案】B【解析】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，4a Q ，12a 是方程2310x x ++=的两根，86a \=±，又在等比数列中偶数项同号，故选：B .3.【答案】C【解析】解：2cos 2a B c =+Q ，由正弦定理，得2sin cos 3sin A B B C =+，而()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，0A p Q ＜＜，23A p\=.故选：C .4.【答案】C【解析】解：Q 等比数列{}n a 的前n 项和3(22)nn S l l +-×=（l 为常数），11252(4)6a S l l l \==+-´=-，73334()[()232]223412a S S l l l l l ×-×=-=+-+-=-，7(264641)(2())l l l \-=--，3l =Q 时，8n S l =是常数，不成立，故舍去3l =，故选：C .5.【答案】A【解析】解：因为关于x 的不等式22280x ax a --＜（2a ＞）的解集为（1x ，2x ），所以122x x a +=…①，又2115x x -=…③，24-´①②可得2221(36)x x a -=，代入③可得，221536a =，解得155=32a =±±，因为0a ＞，所以56a =.故选：A .6.【答案】A【解析】解：如图，由已知可得，30BAC Ð=°，105ABC Ð=°，20AB =，从而45ACB Ð=°.故选：A .【解析】解：11a =Q ，且71n n a a n +-=+（n N +Î），112611(1)2()()()n n n n n n n a a a a a a a a ---+\=-+-+¼+-+=，\数列6n a ìüíýîþ的前10项和=181152021223101111éùæöæöæö-+-++-=ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøëûL .故选：B .8.【答案】D【解析】解：因为数列{}n a 是等比数列，21a =，588a =，所以35278a q a ==所以1{}n n a a +是以2为首项，以15为公比的等比数列，故选：D .二、9.【答案】BC【解析】解：若0a b ＞＞，0c d ＞＞，则ac bd ＞，所以A 不正确；若0ab ＞，0bc ad -＞，可得4()0bc ad ab -＞，即0c d a b -＞，所以B 正确；若a b ＞，0c d ＞＞，则a bd c ＞.不正确，反例1a =，7,b =-2c =-，3d =-，故选：BC .10.【答案】ABC【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，若59S S =，必有95628978(2)0S S a a a a a a -=+++=+=，则780a a +=，()()11473141414022a a a a S ´+´+===，A 正确；对于C ，若67S S ＞，则7660a S S =-＜，又由10a ＞，必有0d ＜，则8870a S S =-＜，必有78S S ＞，C 正确；故选：ABC .三、11.【答案】27【解析】解：n S Q 是等差数列{}n a 的前n 项和，且284212a a a ++=，12126812()a d a d a d \+++++=，()()9151995272S a a a d \=+=+=.故答案为：27.12.【答案】04m ≤≤【解析】解：Q函数()f x =的定义域是一切实数，210mx mx \++≥对一切x R Î恒成立，当6m ¹时，必有20Δ40m m p ìí=-î＞≤，解之可得07m ＜≤，故答案为04m ≤≤.【解析】解：设数列{}n a 的奇数项依次成公差为d 的等差数列，偶数项依次成公比为q 的等比数列，由11a =，22a =，347a a +=，4613a a +=，解得2d q ==，故答案为：23.14.【解析】解：AD AC ^Q ，90DAC \Ð=°，BAC BAD DAC \Ð=Ð+Ð=а，在ABD △中，3AB =，AD =，2222cos 33236BD AB AD AB AD BAD =+-××Ð=+-´=，故答案为：15.【答案】189【解析】解：n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足23n n S a =-①，当1n =时，解得63a =.①-②得：122n n n a a a -=-，所以数列{}n a 是以4为首项，2为公比的等比数列.所以()()32132121n n nS ´-==´--，故答案为：16.【解析】解：2B A =，sin sin 2B A \=，sin 2sin cos B A A \=，cos 2bA a\=.4sin 4sin A C =Q ，74a c \=，22224916cos 28214b b b c a b A a bc b +-+-\====.cos 2b A a \==..四、17.【答案】（1）正项等比数列{}n a 中，1310a a +=，3540a a +=；设公比为q ，则0q ＞；解得2q =，12a =；122n n n a a q -==.（2）因为2log n n b a =，2n n a =，所以数列{}2(1)nnb -的前100项的和222222123499100371995050=-+-+--+=+++=…….【解析】（1）根据题意求出1a 和q ，写出数列{}n a 的通项公式.（2）求出n b 的解析式，写出数列{}2(1)n n b -的前100项的和，再计算即可.18【答案】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，0d ¹.由530S =，得130510a d =+，…①，2215a a a \=×，则()()21113a d a a d +=+，…②，\数列{}n a 的通项公式为()2612n a n n =+-=.（2）由（1）可知，数列{}n b 的前n 项和1271111512375212121n n nT b b b n n n æö=++¼+=-+-++-=ç÷-++èøL .【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，0d ¹.由已知得关于首项与公差的方程，联立求得首项与公差，可得数列{}n a 的通项公式.（2）由()()111n n n b a a =-+，得1(21)(21)n b n n =-+，再由裂项相消法求数列{}n b 的前n 项和n T .19.【答案】（1）Q 函数()22f x x ax =++，a R Î；当不等式()0f x ≤的解集为[]1,2时，12a \-=+，即3a =-；53321x x x -+-≥，()()2110x x \--≥，\该不等式的解集为512xx x ìüíýîþ∣≤或≥.（2）由（1）可知，()g x 在区间()1,2上有两个不同的零点，即228535842308250a a a a a --ìïï-+ïíï++ï++ïî＜＜＜＞＞；\实数a的取值范围是5a --＜＜.【解析】（1）根据二次函数与对应一元二次不等式的关系，求出a 的值，再解不等式()21f x x -≥即可.（2）根据二次函数()g x 的图象与性质，列出不等式组12404(1)0(2)0a a g g g ì-ïïæöïç÷íèøïïïî＜＜＞＞，求出解集即可.20.【答案】（1）247-（2）2714【解析】（1）利用任意角的三角函数的定义求得sin a ，sin b 的值，再由同角三角函数基本关系式求得cos a 与cos b .利用商的关系求得tan a ，再由二倍角的正切求tan 2a 的值。
【高一】2021―2021学年新课标人教版高一数学第二学期期中考试试卷及答案
【高一】2021―2021学年新课标人教版高一数学第二学期期中考试试卷及答案2021―2021学年第二学期期中考试高一年级数学科试卷第i卷（选择题,共48分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分后，共48分后）1、数列0，0，0，0…，0，…（）.a、就是等差数列但不是等比数列b、就是等比数列但不是等差数列c、既是等差数列又是等比数列d、既不是等差数列又不是等比数列2、若，则以下不等式中恰当的就是（）.（a）b2＜a2（b）＞（c）b＜a（d）ab＞a+b3、△中，，，的对边，则的对边等同于（）.（a）2（b）（c）（d）14、不等式的边值问题就是（）.a．b．c．d．5、在等比数列{an}中，若a3a5=4，则a2a6=（）.a、2b、2c、4d、46、等差数列{an}中，首项a1=4，a3=3，则该数列中第一次发生负值的项为（）.a、第9项b、第10项c、第11项d、第12项7、若关于x的不等式的边值问题就是，则对任一常数k，总存有（）.abcd8、在中，未知a=6,b=8,a=30°,谋角b则（）.a有两个解b有一个解c无解d有无数个解9、等差数列{an}中，未知前13项和s13=65,则a7=（）.a、10b、c、5d、1510、在中，，若则角c的度数就是（）.a120°b60°c60或120°d45°11、未知ab>0,且恒设立，则的值域范围就是（）.a{2}bcd12、等比数列中，未知对任一正整数，，则等同于（）.a、(2n－1)2b、(2n－1)c、(4n－1)d、4n－1第ii卷（非选择题,共72分后）二、填空题（本大题共4小题，每题4分，共16分）13、在2与32中间填入7个实数，并使这9个实数成等比数列，该数列的第7项是.14、已知的三个内角所对的边分别是，且，则．15、未知子集则=.16、设．三、答疑题（本大题共4小题，共56分后，求解应允写下字表明，证明过程或编程语言步骤）17.如图，海中有一小岛b，周围3.8海里内有暗礁。
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
2022-2023学年人教A版(2019)高一下数学期中试卷(含解析)
2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 若，，则是的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3. 柱脚是我国古代建筑中支撑柱子的一个部件，依其平面有圆形柱脚、方形柱脚、三角柱脚、六角柱脚等．已知某柱脚的上部是一高为的正六棱柱，下部是底面直径为，高为的圆柱，且正六棱柱下底面的外接圆是圆柱的上底面圆，则该柱脚的体积为（ ）A.B.C.(1−i)(3−i)a >0b >0“a +b ≤4”“ab ≤4”10cm 80cm 40cm 8π+103–√125m 38π+33–√125m 316π+603–√125m 38π+3–√D.4. 正方体的棱长为，是棱的中点，则平面截该正方体所得的截面面积为( )A.B.C.D.5. 用斜二测画法作一个边长为的正方形，则其直观图的面积为( )A.B.C.D.6. 已知向量满足，则向量在方向上的投影为 A.B.C.D.7. 中，点为边的中点，点为边的中点，交于点，若，则等于（ ）A.B.C.D.8. 如图，已知六棱锥的底面是正六边形，平面，，则下列结论8π+33–√25m 3ABCD −A 1B 1C 1D 12E B 1C 1A E D 19222–√442–√22–√4242–√,a →b →||=2,|−3|=5,|+3|=1a →a →b →a →b →a →b →()−11−22△ABC E AB F AC BF CE G =x +y AG −→−AE −→−AF −→−x +y 3243123P −ABCDEF PA ⊥ABC PA =2AB正确的是( )A.B.平面平面C.直线平面D.直线与平面所成的角为二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 设，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下面结论不正确的是( )A.若 ，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，，则10. 在中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )A.，，B.，，C.，，D.，，11. 如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔（为塔顶，为塔底）的高度，选取与在同一水平面内的两点与（，，不在同一直线上），测得．测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，，，，，，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是( )PB ⊥ADPAB ⊥PBCBC //PAEPD ABC 45◦m n l αβm ⊂αn ⊂βα//βm//nm//αn//βm ⊥n α⊥βm ⊥αn ⊥βα⊥βm ⊥nm//αn//αl ⊥m l ⊥n l ⊥α△ABC b =10A =45∘C =70∘b =45c =48B =60∘a =14b =16A =45∘a =7b =5A =80∘AB A B B C D B C D CD =s ∠ACB ∠ACD ∠BCD ∠ADB ∠ADC ∠BDC ABA.，，，B.，，，C.，，，D.，，，12. 已知是边长为的等边三角形，，分别是， 上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是( )A.B.C.D.在方向上的投影为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 设向量，，，若，，三点共线，则＝________．14. 已知复数，则________，________.15. 在空间中，定义“点到几何图形的距离”为：这个点到几何图形上各点距离中的最小值．现有边长为的正方形，则到定点距离为的点围成的几何体的体积为________；该正方形区域（包括边界以及内部的点）记为，则到距离等于的点所围成的几何体的体积为________.s ∠ACB ∠BCD ∠BDCs ∠ACB ∠BCD ∠ACDs ∠ACB ∠ACD ∠ADCs ∠ACB ∠BCD ∠ADC△ABC 2D E AC AB =AE −→−EB −→−=2AD −→−DC −→−BD CE O ⋅=−1AB −→−CE −→−+=OE −→−OC −→−0→|++|=OA −→−OB −→−OC −→−3–√2ED −→−BC −→−76=(2,6)AB →=(−1,m)BC →=(3,m)CD →A C D m z =2i 1+i z =||=z ¯¯¯2ABCD A 1ABCD ΩΩ1△ABC A C b16. 的内角，，的对边分别为，，，已知则________， 的面积是________.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）．设复数，求；复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 18. 从以下三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．①，②，③．问题：在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，________．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19. 如图，已知是平行四边形所在平面外一点，、分别是、的中点；（1）求证：平面．（2）在上确定一点，使平面平面． 20. 如图，已知正三角形的边长为，设，．若是的中点，用，表示向量，；求与的夹角．21. 的内角，，的对边为，，，且.求的值；若的面积为，求的最小值．△ABC A B C a b c b sin C +c sin B =4a sin B sin C ，+−=8，b 2c 2a 2cos A =△ABC z =m −i (m ∈R)⋅(1+3i)z ¯¯¯z¯¯¯z (1)=z 1m +2i 1−i||z 1(2)=z 2a −i 2021z a c sin C =sin A 3–√=4S △ABC 3–√cos(B +C)=cos 2B 3–√△ABC A B C a b c b =4a =4cos C +c sin B 3–√P ABCD M N AB PC MN //PAD PB Q MNQ //PAD ABC 1=AB −→−a →=AC −→−b →(1)D AB a →b →CB −→−CD −→−(2)2+a →b →−3+2a →b →△ABC A B C a b c 3−3(B +C)=8sin B sin C (sin B +sin C)2sin 2(1)cos A (2)△ABC 42–√a +b +c |=4，||=3，(2−3)⋅(2+)=61→→→22. 已知，（1）求的值；（2）求的夹角；（3）求．||=4，||=3，(2−3)⋅(2+)=61a →b →a →b →a →b →⋅a →b →与a →b →θ|+|a →b →参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】复数代数形式的乘除运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】本题考查复数的运算及几何意义．根据复数的运算化简得，从而确定对应点的位置．【解答】解： ，对应点在第四象限，故选．2.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ ∴ ∴，所以是充分条件；当时满足但是不满足，所以不是必要条件；故选3.2−4i ∵(1−i)(3−i)=3−i −3i +=2−4ii 2(2,−4)D a +b ≤44≥a +b ≥2ab −−√ab ≤4a =1,b =4ab ≤4a +b ≤4A.【答案】B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知圆柱的体积，正六棱柱的体积，故该柱脚的体积．故选．4.【答案】A【考点】棱柱的结构特征截面及其作法【解析】根据，分别是，的中点，得到，利用正方体的结构特征，由，从而可得，由平面的基本性质得到四点在同一平面内，截面是等腰梯形，利用梯形面积公式即可求解．【解答】解：如图所示，取的中点，连接，，因为，分别是，的中点，所以，在正方体中，，所以，=πh =π××0.4=()V 1r 20.428π125m 3=6×××V 2120.42×0.1=()3–√233–√125m 3V =+=()V 1V 28π+33–√125m 3B E F B 1C 1BB 1B //EF C 1A //B D 1C 1A //EF D 1A EF D 1BB 1F AF EF E F B 1C 1BB 1B //EF C 1A //B D 1C 1A //EF D 1A所以，，，在同一平面内，所以平面截该正方体所得的截面为平面.因为正方体的棱长为，所以，，等腰梯形的高为，所以四边形的面积.故选.5.【答案】D【考点】斜二测画法画直观图【解析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积．【解答】解：根据斜二测画法的原则可知，，∴对应直观图的面积为故选.6.【答案】C【考点】向量的投影【解析】此题暂无解析【解答】1A D 1E F A E D 1A EF D 1ABCD −A 1B 1C 1D 12EF =2–√A =2D 12–√32–√2A EF D 1S ==(+2)×2–√2–√32√2292A OC =2OA =12××OA ⋅OC sin 1245◦=2××2×1×=.122–√22–√D 6⋅+9=25,①2解：由题意得，解得，将代入，得所以，在方向上的投影为：故选7.【答案】B【考点】平面向量的基本定理及其意义【解析】利用三点共线，将用基底表示，利用平面向量基本定理，即可求得，的值，从而可得结论．【解答】解：∵、、三点共线∴∵、、三点共线∴∴∴∴∴∵∴故选．8.【答案】D −6⋅+9=25,①a →2a →b →b →2+6⋅+9=1,a →2a →b →b →2||=1,b →||=2,||=1a →b →①cos <,>=−1,a →b →a →b →||⋅(−1)a →=−2.C.AG −→−x y B G F =λ+(1−λ)=λ+AG −→−AB −→−AF −→−AB −→−1−λ2AC −→−C G E =μ+(1−μ)=+(1−μ)AG −→−AE −→−AC −→−μ2AB −→−AC −→− λ=μ2=1−μ1−λ2λ=，μ=1323=+AG −→−13AB −→−23AF −→−=+AG −→−23AE −→−23AF −→−=x +y AG −→−AE −→−AF −→−x +y =43B直线与平面所成的角直线与平面垂直的性质直线与平面平行的性质【解析】利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案．【解答】解：∵与在平面的射影不垂直，所以不成立;平面平面，所以平面平面不成立；平面，∴直线平面不成立;在中，，所以，所以直线与平面所成的角为.故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,B,D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系【解析】转化思想；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算． 直接利用线面垂直和线面平行之间的转换求出结果．【解答】解：对于选项，，可能异面，故错误；对于选项，，也可能平行或相交，故错误；对于选项，只有，相交才可推出，故错误；对于选项，由于，，则直线和可以看做是平面和的法向量，由于，所以，故正确．故选．10.【答案】B,CAD PB AB A PAB ⊥PAE PAB ⊥PBC BC //AD //PAD BC //PAE Rt △PAD PA =AD =2AB ∠PDA =45◦PD ABC 45◦D A m n B αβD m n l ⊥αC m ⊥αn ⊥βm n αβα⊥βm ⊥n ABD解三角形正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：已知，则，三角形内角确定，边确定，其只有一个解，选项错误；由正弦定理可得且，则角有两个角，三角形有两个，选项正确；由正弦定理可得且，则角有两个角，三角形有两个，选项正确；由正弦定理可得且，即，角只有一个解，三角形只有一个，选项错误.故选.11.【答案】A,C,D【考点】解三角形的实际应用正弦定理【解析】先通过两边及其夹角根据正弦定理求得三边长度，然后通过直角三角形一锐角及其一边求解.【解答】解：，在中，已知和，可以计算出，由正弦定理得，，可求出的长度，故正确.已知塔垂直于地面，即平面，又因为，所以.在中，.故塔高度可算出.，在任何一个三角形中，已知一边及一角，不能解三角形，故不存在可解三角形，故错误.A =45°，C =70°B =65°b =10A <sin C ==<13–√2c sin B b83–√15c >b C B <sin B ==<12–√2b sin A a 42–√7b >a B C sin B ==<1b sin A a 5sin 80°7b <a B <A B D BC A △BCD ∠BCD ∠BDC ∠CBD =−∠BDC −∠BCD 180∘=CD sin ∠CBD CBsin ∠BDCCB A AB ⊥BCD BC ⊂平面BCD ∠ABC =90∘Rt △ABC AB =BC ⋅tan ∠ACB B B C△ACDA AC，在中，方法同，可解三角形，求得的长度，再在中，可以解得的长度，故正确.，由三余弦定理知，，因为，确定，所以确定，确定，进而由，，可确定，进而确定，故正确．故选.12.【答案】B,C,D【考点】向量的模向量的加法及其几何意义平面向量数量积向量的投影【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知，为中点，则，如图，以为原点，，分别为轴，轴正方向建立平面直角坐标系．所以，，，，.设，，因为，，而，所以 ，解得，所以，所以是的中点.C △ACD A AC Rt △ACB AB C D cos ∠ACB ⋅cos ∠BCD =cos ∠ACD ∠ACB ∠BCD cos ∠ACD ∠ACD ∠ACD ∠ADC s AC AB D ACDE AB CE ⊥AB E EA EC x y E (0,0)A (1,0)B (−1,0)C (0,)3–√D (,)1323–√3O (0,y)y ∈(0,)3–√=(1,y)BO −→−=(−,y −)DO −→−1323–√3//BO −→−DO −→−y −=−y 23–√213y =3–√2O(0,)3–√2O CE −→−−→−=0−→−−→−选项， ，所以，故选项错误；选项，因为是的中点，所以，故选项正确；选项， ，所以，故选项正确；选项， ，，所以在方向上的投影为：，故选项正确．故选．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】由，，三点共线可得与共线，由向量共线的坐标表示可得的方程，解方程可得．【解答】∵向量，，，∴＝，∵，，三点共线，∴与共线，∴＝解得＝，14.【答案】,【考点】共轭复数复数的模复数代数形式的乘除运算A ⊥AB −→−CE −→−⋅=0AB −→−CE −→−A B O CE +=OE −→−OC −→−0→B C ++=2+=OA −→−OB −→−OC −→−OE −→−OC −→−OE −→−|++|=||=OA −→−OB −→−OC −→−OE −→−3–√2C D =(,)ED −→−1323–√3=(1,)BC −→−3–√ED −→−BC −→−==⋅ED −→−BC −→−|BC|+213276D BCD −9A C D AC →CD →m =(2,6)AB →=(−1,m)BC →=(3,m)CD →=+=(2,6)+(−1,m)AC →AB →BC →(1,6+m)A C D AC →CD →1×m 3(6+m)m −91+i 2–√【解析】此题暂无解析【解答】解： 由题意得，，故.故答案为 .15.【答案】,【考点】柱体、锥体、台体的体积计算球的表面积和体积组合几何体的面积、体积问题【解析】无【解答】解：如图所示，与定点距离等于的点所围成的几何体是一个半径为的球，所以其体积为：，如图所示，到距离等于的点所围成的几何体是个棱长为的正方体，个高为，底面半径为的半圆柱，以及个半径为的四分之一球所围成的几何体，所以其体积为：z ===1+i2i1+i 2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i,||==z ¯¯¯z ¯¯¯+12(−1)2−−−−−−−−−√2–√1+i;2–√π438+π163A 11π×=π431343Ω11242141×2×2+4××π××2+4××π×114.故答案为： ，.16.【答案】,【考点】三角形的面积公式余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴由正弦定理得，又，∴，由余弦定理得：，∴，，∴.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：∵复数，且为纯虚数，∴，解得，∴复数2×2×2+4××π××2+4××π×1212144313=8+4π+π43=π+8163π438+π1633–√223–√3b sin C +c sin B =4a sin B sin C sin B sin C +sin C sin B =4sin A sin B sin C sin B sin C >0sin A =12cos A ===>0+−b 2c 2a 22bc 82bc 4bc cos A =3–√2bc ==4cos A 83–√3=bc sin A =××=S △ABC 121283–√31223–√3；3–√223–√3(1)z =m −i (m ∈R)⋅(1+3i)z¯¯¯=(m +i)(1+3i)=m −3+(3m +1)i m −3=0,3m +1≠0m =3==z 1m +2i 1−i 3+2i1−i==+i(3+2i)(1+i)，则.在复平面对应的点在第一象限，∴，解得，∴实数的取值范围是.【考点】复数的基本概念复数代数形式的混合运算复数的模复数的代数表示法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：∵复数，且为纯虚数，∴，解得，∴复数，则.在复平面对应的点在第一象限，∴，解得，∴实数的取值范围是.18.【答案】解：因为 ，所以，===+i (3+2i)(1+i)(1−i)(1+i)3−2+5i 21252||==z 1+()122()522−−−−−−−−−−−−√26−−√2(2)=z 2a −i 2021z =a −i 3−i==+i (a −i)(3+i)(3−i)(3+i)3a +110a −310>0,>03a +110a −310a >3a (3,+∞)(1)z =m −i (m ∈R)⋅(1+3i)z¯¯¯=(m +i)(1+3i)=m −3+(3m +1)i m −3=0,3m +1≠0m =3==z 1m +2i 1−i 3+2i1−i===+i (3+2i)(1+i)(1−i)(1+i)3−2+5i 21252||==z 1+()122()522−−−−−−−−−−−−√26−−√2(2)=z 2a −i 2021z =a −i 3−i==+i (a −i)(3+i)(3−i)(3+i)3a +110a −310>0,>03a +110a −310a >3a (3,+∞)b =4a =b cos C +c sin B 3–√sin A =sin B cos C +sin C sin B3–√由正弦定理得．又因为，所以 ，所以，所以，又因为，所以，所以，得；若选择① ，，得 ，由余弦定理，得，得，所以；若选择② ，因为，所以，得，又由余弦定理，可得，得，从而得或．若选择③ ， 因为，且，所以，即，因为，所以，因为 ，所以这样的三角形不存在．【考点】正弦定理余弦定理两角和与差的正弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解：因为 ，所以，由正弦定理得．又因为，所以 ，所以，所以，又因为，所以，所以，得；sin A =sin B cos C +sin C sin B 3–√A =π−(B +C)sin A =sin[π−(B +C)]=sin(B +C)=sin B cos C +cos B sin C sin B cos C +cos B sin C =sin B cos C +sin C sin B3–√cos B sin C =sin C sin B 3–√0<C <πsin C ≠0cos B =sin B 3–√B =π6sin C =sin A 3–√c =a 3–√=+−2ac cos B b 2a 2c 216=+3−2a ×a ×a 2a 23–√3–√2a =4c =43–√=4S △ABC 3–√ac sin B =4123–√ac =163–√=+−2ac cos B b 2a 2c 216=+−ac =+−48a 2c 23–√a 2c 2+=64a 2c 2c =4c =43–√cos(B +C)=cos 2B 3–√A =π−(B +C)−cos A =3–√2cos A =−3–√20<A <πA =5π6A +B =πb =4a =b cosC +c sin B 3–√sin A =sin B cos C +sin C sin B 3–√A =π−(B +C)sin A =sin[π−(B +C)]=sin(B +C)=sin B cos C +cos B sin C sin B cos C +cos B sin C =sin B cos C +sin C sin B3–√cos B sin C =sin C sin B 3–√0<C <πsin C ≠0cos B =sin B 3–√B =π6sin C =sin A 3–√c =a3–√若选择① ，，得 ，由余弦定理，得，得，所以；若选择② ，因为，所以，得，又由余弦定理，可得，得，从而得或．若选择③ ， 因为，且，所以，即，因为，所以，因为 ，所以这样的三角形不存在．19.【答案】解：(1)取中点，连、，∵、分别是、的中点，∴，∵，∴，∵＝，＝，∴平面平面，∵平面，∴面；(2)由（1）可知在的中点上【考点】直线与平面平行平面与平面平行的性质平面与平面平行的判定【解析】（1）取中点，连、，中位线定理和四边形为平行四边形可得，sin C =sin A 3–√c =a 3–√=+−2ac cos B b 2a 2c 216=+3−2a ×a ×a 2a 23–√3–√2a =4c =43–√=4S △ABC 3–√ac sin B =4123–√ac =163–√=+−2ac cos B b 2a 2c 216=+−ac =+−48a 2c 23–√a 2c 2+=64a 2c 2c =4c =43–√cos(B +C)=cos 2B 3–√A =π−(B +C)−cos A =3–√2cos A =−3–√20<A <πA =5π6A +B =πPB Q MQ NQ M N AB PC NQ //BC MQ //PA AD //BC NQ //AD MQ ∩MQ Q PA ∩AD A MNQ //PAD MN ⊂MNQ MN //PAD Q PB PB Q MQ NQ ABCD MQ //PA NQ //AD MNQ //PAD MN //，根据平面与平面平行的判定定理可证得平面平面；故可得平面．（2）由（1）可知问题的答案．【解答】解：(1)取中点，连、，∵、分别是、的中点，∴，∵，∴，∵＝，＝，∴平面平面，∵平面，∴面；(2)由（1）可知在的中点上20.【答案】解：，.由题意知，，与的夹角为，则，.又，.设与的夹角为，NQ //AD MNQ //PAD MN //PAD PB Q MQ NQ M N AB PC NQ //BC MQ //PA AD //BC NQ //AD MQ ∩MQ Q PA ∩AD A MNQ //PAD MN ⊂MNQ MN //PAD Q PB (1)=−=−CB −→−AB −→−AC −→−a →b →=−=−=−CD −→−AD −→−AC −→−12AB −→−AC −→−12a →b →(2)||=||=1a →b →a →b →60∘⋅=1×1×=a →b →1212∴(2+)a →b →⋅(−3+2)a →b →=−6+⋅+2a →2a →b →b→2=−6++2=−1272|2+|=a →b →(2+a →b →)2−−−−−−−−−√=4+4⋅+a →2a →b →b →2−−−−−−−−−−−−−−−−−√==4+4×+112−−−−−−−−−−−√7–√|−3+2|=a →b →(−3+2a →b →)2−−−−−−−−−−−√=9−12⋅+4a →2a →b →b →2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√==9−12×+412−−−−−−−−−−−−√7–√2+a →b →−3+2a →b →θθ==−2+)⋅(−3+2)→→则，所以与的夹角为．【考点】向量加减混合运算及其几何意义数量积表示两个向量的夹角【解析】（1）运用中点的向量表示及向量的三角形法则，即可得到所求向量；（2）运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，以及向量的夹角公式，计算即可得到夹角．【解答】解：，.由题意知，，与的夹角为，则， .又，.设与的夹角为，则，所以与的夹角为．21.【答案】cos θ==−(2+)⋅(−3+2)a →b →a →b →|2+|⋅|−3+2|a →b →a →b →122+a →b →−3+2a →b →120∘(1)=−=−CB −→−AB −→−AC −→−a →b →=−=−=−CD −→−AD −→−AC −→−12AB −→−AC −→−12a →b →(2)||=||=1a →b →a →b →60∘⋅=1×1×=a →b →1212∴(2+)a →b →⋅(−3+2)a →b →=−6+⋅+2a →2a →b →b →2=−6++2=−1272|2+|=a →b →(2+a →b →)2−−−−−−−−−√=4+4⋅+a →2a →b →b →2−−−−−−−−−−−−−−−−−√==4+4×+112−−−−−−−−−−−√7–√|−3+2|=a →b →(−3+2a →b →)2−−−−−−−−−−−√=9−12⋅+4a →2a →b →b →2−−−−−−−−−−−−−−−−−−√==9−12×+412−−−−−−−−−−−−√7–√2+a →b →−3+2a →b →θcos θ==−(2+)⋅(−3+2)a →b →a →b →|2+|⋅|−3+2|a →b →a →b →122+a →b →−3+2a →b →120∘3−3(B +C)=8sin B sin C22解：∵，又，.由正弦定理得，，∴，由余弦定理得，.由，得，，∴，由得，∴，当且仅当时，等号成立．又，当且仅当时，等号成立．，当且仅当时，等号成立．即的最小值为.【考点】余弦定理正弦定理三角形的面积公式基本不等式在最值问题中的应用【解析】暂无暂无【解答】解：∵，又，.由正弦定理得，，∴，由余弦定理得，.由，得，，(1)3−3(B +C)=8sin B sin C (sin B +sin C)2sin 2∵A +B +C =π∴−A =sin B sin C (sin B +sin C)2sin 283−=bc (b +c)2a 283+−=bc b 2c 2a 223cos A ===+−b 2c 2a 22bc bc 232bc 13(2)cos A =13sin A =22–√3∵=bc sin A =4S △ABC 122–√bc =12+−=bc b 2c 2a 223=+−bc ≥2bc −bc =bc =16a 2b 2c 2232343a ≥4b =c =23–√b +c ≥2=4bc −−√3–√b =c =23–√∴a +b +c ≥4+43–√b =c =23–√a +b +c 4+43–√(1)3−3(B +C)=8sin B sin C (sin B +sin C)2sin 2∵A +B +C =π∴−A =sin B sin C (sin B +sin C)2sin 283−=bc (b +c)2a 283+−=bc b 2c 2a 223cos A ===+−b 2c 2a 22bc bc 232bc 13(2)cos A =13sin A =22–√3∵=bc sin A =4S △ABC 122–√bc =12∴，由得，∴，当且仅当时，等号成立．又，当且仅当时，等号成立．，当且仅当时，等号成立．即的最小值为.22.【答案】解：（1）由得（2）设与的夹角为，则又∴（3）【考点】数量积的坐标表达式向量的模数量积表示两个向量的夹角【解析】（1）利用向量的运算律：平方差公式将等式展开求出（2）利用向量的数量积公式求出两向量的夹角余弦，进一步求出夹角．（3）利用向量模的平方等于向量的平方，再利用向量的完全平方公式展开求出模．【解答】解：（1）由得（2）设与的夹角为，则又∴（3）bc =12+−=bc b 2c 2a 223=+−bc ≥2bc −bc =bc =16a 2b 2c 2232343a ≥4b =c =23–√b +c ≥2=4bc −−√3–√b =c =23–√∴a +b +c ≥4+43–√b =c =23–√a +b +c 4+43–√(2−3)⋅(2+)=61a →b →a →b →⋅=(4−3−61)=(4×16−3×9−61)=−6a →b →14a →2b →214a →b →θcos θ===−||||a →b →˙−64×312≤θ≤0∘180∘θ=120∘|+|====a →b →(+a →b →)2−−−−−−−−√+2⋅+a →2a →b →b →2−−−−−−−−−−−−−−−−√16−12+9−−−−−−−−−√13−−√⋅a →b→(2−3)⋅(2+)=61a →b →a →b →⋅=(4−3−61)=(4×16−3×9−61)=−6a →b →14a →2b →214a →b →θcos θ===−||||a →b →˙−64×312≤θ≤0∘180∘θ=120∘|+|====a →b →(+a →b →)2−−−−−−−−√+2⋅+a →2a →b →b →2−−−−−−−−−−−−−−−−√16−12+9−−−−−−−−−√13−−√。
高一数学第二学期期中考试试卷含答案(共5套)
高一下学期期中考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．某质检人员从编号为1～100这100件产品中，依次抽出号码为3,13,23，…，93的产品进行检验，则这样的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．系统抽样C ．分层抽样D ．以上都不对 2．将八进制数135(8)化为二进制数为( ) A ．1 110 101(2) B ．1 010 101(2) C ．1 111 001(2)D ．1 011 101(2)3．某产品在某零售摊位上的零售价x (元)与每天的销售量y (个)统计如下表：据上表可得回归直线方程a ˆx b ˆy ˆ+=中的b ˆ＝－4，据此模型预计零售价定为16元时，销售量为( )A ．48B ．45C ．50D ．514．一组数据的平均数是4.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )A ．55.2,3.6B ．55.2,56.4C ．64.8,63.6D ．64.8,3.65．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按1100的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为( )A ．8B ．11C ．16D ．106.如图是一算法的程序框图，若输出结果为S ＝720，则在判断框中应填入的条件是( )A ．k ≤6B ．k ≤7C ．k ≤8D ．k ≤97.两人的各科成绩如茎叶图所示，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲、乙两人的各科平均分相同B ．甲的中位数是83，乙的中位数是85C ．甲各科成绩比乙各科成绩稳定D ．甲的众数是89，乙的众数为878.sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值为( ) A ．1 B ．2sin 2α C ．0 D ．29.利用秦九韶算法求f (x )＝x 5＋x 3＋x 2＋x ＋1当x ＝3时的值为( ) A ．121 B ．283 C ．321 D ．23910．如图，矩形长为8，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为( ) A ．7.68 B ．8.68 C ．16.32D ．17.3211.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b,其中a,b ∈{1,2,3,4,5,6},若|a-b|≤1,就称甲、乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( )A. 91B. 92C. 187D.9412.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=21（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为32π，弦长为m 340的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3≈π，73.13≈） A ． 15 B ． 16 C ． 17 D ． 18第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归方程：y ∧＝0.234x ＋0.521.由回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元． 14．已知sin(π4＋α)＝32，则sin(3π4－α)的值为________． 15.在抛掷一颗骰子的试验中，事件A 表示“不大于4的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则事件B A Y 发生的概率为________．(B 表示B 的对立事件)16．设函数y ＝f (x )在区间[0,1]上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算由曲线y ＝f (x )及直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成部分的面积S .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得到S 的近似值为________． 二、解答题（17题10分，其余均12分）17.(10分) 已知|x|≤2，|y|≤2，点P 的坐标为(x ，y)，求当x ，y ∈R 时，P 满足(x －2)2＋(y －2)2≤4的概率．18．(12分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求出y 关于x 的线性回归方程a ˆx b ˆyˆ+= (3)试预测加工10个零件需要多少小时？(注：b ∧＝∑ni ＝1x i y i －n x － y －∑n i ＝1x i 2－n x －2，a ∧＝y －－b ∧ x －)零件的个数x(个)2345加工的时间y(小时) 2.5 3 4 4.519．(12分)已知α是第三象限角，f (α)＝()()()α-π-•α-π-α-•α-π•α-πsin tan tan )2cos()sin((1)化简f (α)；(2)若⎪⎭⎫ ⎝⎛π-α23cos ＝15，求f (α)的值；20．(12分)某校为了解高三年级学生的数学学习情况，在一次数学考试后随机抽取n 名学生的数学成绩，制成如下所示的频率分布表.(1)求a ，b ，n 的值；(2)若从第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名与老师面谈，求第三组中至少有1名学生被抽到与老师面谈的概率．21．（12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m,将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求n≥m+2的概率.22．（12分）在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05，第二小组的频数是40.(1)求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)求这两个班参赛的学生人数是多少？(3)求这两个班参赛学生的成绩的中位数.高一下期期中考试数学试题答案一、选择题B D B D A B D D BCD B二、填空题13. 0.234 14.3215.32 16.N1N三、解答题（17题10分，其余均12分）17.解：如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)，满足(x－2)2＋(y－2)2≤9的点的区域为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．∴所求的概率P1＝14π×224×4＝π16.18.解：(1)散点图如图．(2)由表中数据得∑4i＝1x i y i＝52.5，x －＝3.5，y －＝3.5，∑4i ＝1x i 2＝54. ∴b ∧＝0.7，∴a ∧＝1.05. ∴y ∧＝0.7x ＋1.05.(3)将x ＝10代入回归直线方程，得y ∧＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)． ∴预测加工10个零件需要8.05小时．19．解：(1)f (α)＝＝－sin α·cos α·tan α－tan α·sin α＝cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－32π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－sin α，又cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－32π＝15，∴sin α＝－15.又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－265.20.解：(1)由表中数据，得5n ＝0.05，a n ＝0.35，20n＝b ，解得n ＝100，a ＝35，b＝0.20.(2)由题意，得第三、四、五组分别抽取的学生人数为3060×6＝3，2060×6＝2，1060×6＝1.第三组的3名学生记为a 1，a 2，a 3，第四组的2名学生记为b 1，b 2，第五组的1名学生记为c ，则从6名学生中随机抽取2名，共有15种不同情况，分别为{a 1，a 2}，{a 1，a 3}，{a 1，b 1}，{a 1，b 2}，{a 1，c }，{a 2，a 3}，{a 2，b 1}，{a 2，b 2}，{a 2，c }，{a 3，b 1}，{a 3，b 2}，{a 3，c }，{b 1，b 2}，{b 1，c }，{b 2，c }．其中第三组的3名学生均未被抽到的情况共有3种，分别为{b 1，b 2}，{b 1，c }，{b 2，c }． 故第三组中至少有1名学生被抽到与老师面谈的概率为1－315＝45.21解：（1）p=3162(2)先从袋中随机取一个球，记下编号m,放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号n,可能的结果为（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）共16个，满足条件的事件为（1,3）（1,4）（2,4）共3个所以n ≥m+2的概率为p=16322．解：(1)各小组的频率之和为 1.00，第一、三、四、五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05.∴第二小组的频率为：1．00－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.40. ∴落在59.5～69.5的第二小组的小长方形的高＝频率组距＝0.4010＝0.04.则补全的直方图如图所示．(2)设九年级两个班参赛的学生人数为x 人．∵第二小组的频数为40人，频率为0.40，∴40x＝0.40，解得x＝100(人)．所以九年级两个班参赛的学生人数为100人．(3)∵（0.03+0.04）×10>0.5所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内．设中位数为x则0.03×10+（x-59.5）×0.04=0.5得x=64.5高一下学期期中数学考试试卷(时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合，，则( )A． B． C． D．2．( )A．0 B．1 C．2 D.43．若，则下列结论正确的是( )A． B．C． D．4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A．B．C．D．5．函数的定义域是( )A． B． C． D．6．函数过定点( )A． B． C． D．7．已知，，，则＝( )A． B． C． D．8．已知函数为幂函数，则实数的值为( )A．或 B．或 C． D．9．已知函数，若，则实数等于( )A ．2 B. 45 C ．12 D ．910．若，则函数与的图象可能是下列四个选项中的( )11．已知是定义在上的奇函数，当时，,则当时，( )AB ．C ．D ．12．若函数是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则使得的的取值范围是( ) A ．B ． C. D ．第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上) 13．设集合，集合，若，则实数14．若，则＝15．如果函数，的增减性相同，则的取值范围是.16．已知是方程的两个根，则的值是.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)计算下列各式的值（式中字母都是正数）： （1）；（2）已知，求的值.18．(本小题满分12分)已知集合，．（1）若，求；（2）⊆，求的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数+2.（1）求在区间上的最大值和最小值；（2）若在上是单调函数，求的取值范围.20．(本小题满分12分)已知函数是R上的奇函数，(1)求的值；(2)先判断的单调性，再证明．21．(本小题满分12分)已知函数，．(1)求函数的定义域；(2)讨论不等式中的取值范围．22．(本小题满分12分)若二次函数满足且. （1）求的解析式；（2）若在区间上不等式恒成立，求实数的取值范围.高一下学期期中考试试卷数学时量：120分钟 总分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．3x cos y =是( )A ．周期为π6的奇函数B ．周期为3π的奇函数C ．周期为π6的偶函数D ．周期为3π的偶函数2.已知sin α＝41，则cos 2α的值为( )A ．21B ．87- C.21- D.873．已知平面向量()()3,2,4,1==→→b a ，则向量=+→→b a 5251（ ）A ．()1,2B ．()5,3 C.()3,5 D.()2,14.已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(－4，m )，且a ⊥b ，则m ＝( )A ．4B ．2C ．－4D ．－25．为得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=33sin πx y 的图象，只需将函数y ＝sin 3x 的图象( )A ．向左平移9π个长度单位B ．向右平移9π个长度单位C ．向左平移3π个长度单位D ．向右平移3π个长度单位6.设a ＝(8，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(2,3)，则(a ＋2b )·c 等于( )A ．(4,18)B ．22C ．－6 D.(18,4)7.已知a ·b ＝122，|a |＝4，a 与b 的夹角为45°，则|b |为( )A ．12 A ．3 C ．6 D ．98.若－π2＜α＜0，则点P (sin α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9.已知α∠的终边经过点()31P ，，则=αsin ( )A ．21 B ．10103C ．31D ．3310．若=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+2,32032sin ππππx x f x x ，，求)32(πf =（ ） A.0 B.23C.21 D.1 11．已知2tan -=α，则αααα22cos sin cos sin 3-的值是( ) A ．2- B ． 3 C ．2 D ．3- 12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，则AB →·AC→等于( )A ．－3B ．－6C ．9D ．6 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知AB →＝(2，7)，AC →＝(－5,8)，则BC →＝__________________.14．函数()()()R x x x x f ∈-=cos sin 2的最小正周期为________，最大值为________． 15．设a ＝(5,-2)，b ＝(6,2)，则2|a |2－12a ·b ＝______________.16．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝5，则tan β的值为________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（10分）已知()ππθθ2,,53cos ∈=，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+6sin πθ以及⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πθ的值．18.（10分）设函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin 2πωx x f ，0>ω，最小正周期为2π. (1)求()0f .(2)求()x f 的解析式.(3)求()x f 的单调递增区间．19.（12分）已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,3)，c ＝(5,2)．(1)求6a ＋b －2c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)若(a ＋k c )//(2b －a )，求实数k . 20. （12分）已知23παπ<<，211-tan tan -=αα.(1)求αtan 的值。
高一数学下学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
15．从3男2女共5名学生中任选2人参加座谈会，则选出的2人恰好为1男1女的概率为______.
16．已知圆 ，圆 以 为中点的弦所在直线的斜率 __________.
三、解答题（17题10分，18-22题每题12分）
17．如图，在三角形ABC中，顶点 ， 边所在直线的方程为 ， 边的中点 .
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ，
22．“中华好诗词”内蒙古赛区有40名选手参加初选，测试成绩（单位：分）分组如下：第1组 ，第2组 ，第3组 ，第4组 ，第5组 ，得到频率分布直方图如图所示.
（1）求直方图中 的值，若90分（含90分）为晋级线，有多少同学晋级？（4分）
（2）根据频率分布直方图估计成绩的众数和平均值；（4分）
5887 3522 2468 3748 1685 9527 1413 8727 1495 5656
A．09B．02C．15D．18
6．小李同学从网上购买了一本数学辅导书，快递员计划周日上午 之间送货到家，小李上午有两节视频课，上课时间分别为 和 ，则辅导书恰好在小李同学非上课时间送到的概率为（）
A． B． C． D．
即 .
（2）（5分）因 ，所以点 在线段 的中垂线 上，
由 得 ，即 的坐标为 ，又点 ，
边所在直线的方程为 ，即 .
18．（1）（6分）设圆为 ： ，
代入 ， ， ，
有 ，
∴圆 的方程为 .
（2）（6分）联立 ，
即 ，解得：交点为 ， ，
故弦长 .
19．（1）（6分）因为点 是 的中点，
，即
又 ，即 .
所以点 的轨迹方程为 .
(人教版B版)高中数学高一年级下册 期中测试试卷02及答案
期中测试一、选择题1.在ABC △中，2AB =，45C =°，60A =°，则BC =（ ）ABCD.2.有下列说法，其中正确说法的个数是（ ）①若两个向量不相等，则它们一定不共线；②若四边形ABCD 是平行四边形，则AB CD =uuu r uuu r；③若a b r r ∥，b c r r ∥，则a c r r ∥；④若AB CD =uuu r uuu r ，则AB CD =uuu r uuu r，且AB CD ∥.A .0B .1C .2D .33.已知直线320x y +=-的倾斜角是q ，则tan 2q 的值是（ ）A .34B .34-C .35D .35-4.已知单位向量a r ，b r 的夹角为3p ，c a b l m =+rr r ，若2l m +=，那么c r 的最小值为（ ）ABCD5.设数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则1234a a a a b b b b +++=（ ）A .85B .340C .680D .13606.锐角ABC △中，若tan 2C =，则sin sin AB的取值范围是（ ）A.B.C.D .1,22æöç÷èø7.已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若5231n n a n b n +=+，则使得n nST 为整数的正整数n 共有（ ）个A .3B .4C .5D .68.已知实数x ，y 满足约束条件11022x y x y x y +ìï-+íï-î≥≥≤，若当且仅当1x =，0y =时z x ay =+取得最小值，则a 的取值范围是（ ）A .(,1)-¥-B .11,2æö--ç÷èøC .1,12æö-ç÷èøD .(1,)+¥9.已知2f x x x a a =+（）--，若0f x （）≤对任意[1,1]x Î-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A .(,1]-¥-B .(,0]-¥C .[0,)+¥D .[1,0]-10.已知正实数x ，y ，z 满足2221x y z ++=，则12zu xyz+=的最小值是（ ）A .9B .3C .4D .5二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。
新教材人教版2019高一数学第二学期期中考试数学试题和答案(基础)
新教材高一数学第二学期期中考试数学试题本试卷共4页， 22小题，满分150分；考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2．选择题要用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。
不按要求作答的答案无效。
参考公式：=()S r R l π+圆台侧.（r 、R 分别为上、下底面半径，l 为母线长）24S R π=球. 11221()3V S S S S h =++棱台 （h 为高，1S 、2S 分别为两底面面积）.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．若OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)，则AB →＝( )A ．(－2,3)B ．(0,1)C ．(－1,2)D ．(2，－3) 2．已知i 是虚数单位，复数m ＋1＋(2－m )i 在复平面内对应的点在第二象限， 则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 3．设a ＝⎝⎛⎭⎫sin α，33，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．60° C ．75° D ．45°4. 边长为4的等边三角形用斜二测画法得到的图形的面积是 （ ）.6A .23B .26C .32D5．若圆台下底半径为4，上底半径为1，母线长为32，则其体积为( )A ．15πB ．21πC ．25πD ．63π6.若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则 ABC ∆( ) A. 一定是锐角三角形. B. 一定是直角三角形.C. 一定是钝角三角形.D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 7．若四边形ABCD 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, (AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 则该四边形一定是( ) A.正方形B.矩形C.菱形D.直角梯形8．圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD (如图)．若底面圆的弦AB 所对的圆心角为π3，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为( )A ．10π＋3 3B ．10πC ．10π3＋ 3 D ．2π－3 3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出 的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分， 部分选对的得2分．9．已知复数z ＝2－1＋i，则( ) A ．|z |＝2 B ．z 2＝2i C ．z 的共轭复数为1＋i D ．z 的虚部为－1 10．如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，点C 是圆上异于A ，B 的任一点， 则下列结论中正确的是( )A ．PC ⊥BCB ．AC ⊥平面PBC C ．平面PAB ⊥平面PBCD ．平面PCB ⊥平面PAC 11．对于△ABC ，有如下命题，其中正确的有( ) A ．若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形 B ．若sin A ＝cos B ，则△ABC 为直角三角形C ．若sin 2A ＋sin 2B ＋cos 2C ＜1，则△ABC 为钝角三角形D ．若AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为32或3412．对于四面体A -BCD ，以下命题中正确的命题是( ) A ．若AB ＝AC ＝AD ，则AB ，AC ，AD 与底面所成的角相等B ．若AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则点A 在底面BCD 内的射影是△BCD 的内心 C ．四面体A -BCD 的四个面中最多有四个直角三角形D ．若四面体A -BCD 的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为π6三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13.在△ABC 中，若a=1，3b =，A+C=2B ，则A = _________. 14．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的侧面积为________． 15．已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝1，|z 2|＝5，则|z 1－z 2|的最小值是________．16.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下面四个命题中 正确的是____________;①若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊄α，则n ∥α ; ②若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β;③若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α; ④若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥β;四、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17（共10分）．已知复数z 满足(z －2)·(1＋i)＝1－i (i 为虚数单位)． (1)求复数z ； (2)求|(3＋i)·z |.18．如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与四边形ABCD 都是直角梯形， ∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC12AD ，BE 12FA ， G ，H 分别为FA ，FD 的中点． (1)求证：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？请说明理由．19．在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的边, 且满足sin A +√3cos A =2. (1)求角A 的大小.(2)现给出三个条件: ①a =2; ②B =4π; ③c =√3b. 试从中选出两个可以确定△ABC 的条件, 写出你的方案,并以此为依据求△ABC 的面积.(写出一种方案即可)20．如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ， PD ⊥PB ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，PD ＝2. (1)求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值； (2)求证：PD ⊥平面PBC ；(3)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．21．已知非零向量a ，b 满足|a |＝1，且(a －b )·(a ＋b )＝34.(1)求|b |；(2)当a ·b ＝－14时，求向量a 与a ＋2b 的夹角θ的值．22.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 是边长为2的等边三角形，1AA ⊥平面ABC ， D ，E 分别是1CC ，AB 的中点.（1）求证：CE ∥平面1A BD ； （2）若1EH A B ⊥于H ,且CH 与平面1A AB 所成角的正切值为152，求平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）的余弦值.ABCEDA 1B 1C 1H新教材高一数学第二学期期中考试数学 (参考答案)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)D A B A B C C A二、多项选择题9. BD 10. AD 11. CD 12. ACD12.【解析】如图1，设点A 在平面BCD 内的射影是E ，因为sin ∠ABE ＝AEAB ，sin ∠ACE ＝AE AC ，sin ∠ADE ＝AE AD ，AB ＝AC ＝AD ，所以sin ∠ABE ＝sin ∠ACE ＝sin ∠ADE ，则AB ，AC ，AD 与底面所成的角相等，故A 正确； 因为AE ⊥平面BCD ，所以AE ⊥CD ，又AB ⊥CD ， 所以CD ⊥平面ABE ，所以CD ⊥BE ， 同理可证BD ⊥CE ，所以E 是△BCD 的垂心， 故B 不正确；如图2，设正方体的棱长为1，则易求得AC ＝2，AD ＝3，又CD ＝1，所以AC 2＋CD 2＝AD 2，即△ACD 为直角三角形，易证△ABC ，△ABD ，△BCD 都是直角三角形，直角三角形的个数是4，故C 正确；图1中，设O 为正四面体A -BCD 的内切球的球心，正四面体的棱长为1， 所以OE 为内切球的半径，BF ＝AF ＝32，BE ＝33，所以AE ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63，由BO 2－OE 2＝BE 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫63－OE 2－OE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332，所以OE ＝612，所以内切球的表面积为4π·OE 2＝π6，故D正确．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13:6π14．34π15． 4， 16: ①、④三、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．解：(1)由(z －2)·(1＋i)＝1－i ， 得z ＝1－i 1＋i ＋2＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2＝2－i.(2)由z ＝2－i ，得|(3＋i)·z |＝|(3＋i)(2－i)|＝|7－i|＝72＋(－1)2＝5 2. 18． (1)证明：由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ， 所以GH 12AD ． 又BC12AD ，故GH BC ． 所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)解：C ，D ，F ，E 四点共面．理由如下： 由BE 12FA ，G 是FA 的中点，知BE GF .所以EF BG .由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH . 故EC ，FH 共面． 又点D 在直线FH 上，所以C ，D ，F ，E 四点共面． 19．解:(1)依题意,得2sin （A +π3）=2, 即sin （A +π3）=1.因为0<A <π,所以π3<A +π3<4π3, 所以A +π3=π2,所以A =π6. (2)参考方案:选择①②.由正弦定理asinA =bsinB ,得b =asinBsinA =2√2.因为A+B+C=π,所以sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B =√2+√64,所以S△ABC =12ab sin C=12×2×2√2×√2+√64=√3+1.20．(1)解：因为AD∥BC，所以∠DAP或其补角就是异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．在Rt△PDA中，AP＝AD2＋PD2＝5，所以cos ∠DAP＝ADAP＝55.所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为5 5.(2)证明：因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD．又因为AD∥BC，PD⊥BC，又PD⊥PB，BC∩PB＝B，所以PD⊥平面PBC．(3)解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.由已知得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，故BC⊥DC．在Rt△DCF中，DF＝DC2＋CF2＝2 5.在Rt△DPF中，sin∠DFP＝PDDF＝5 5.所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为5 5.21. 解：(1)根据条件，(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝1－b2＝34，∴b2＝14. |b|＝12.(2)∵a·b＝－14，∴a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝1－12＝12，|a＋2b|＝()22a b+＝1－1＋1＝1.cos θ＝()22a a ba a b•++＝121×1＝12. θ∈[0，π]，得θ＝π3.22（共12分）.解法：（1）证明：延长1A D交AC的延长线于点F，连接BF.∵CD∥1AA，且CD12=1AA，∴C为AF的中点.∵E为AB的中点，∴CE∥BF.∵BF⊂平面1A BD，CE⊄平面1A BD，∴CE∥平面1A BD. ……………4分（2）解：∵1AA⊥平面ABC，CE⊂平面ABC，∴1AA⊥CE.∵△ABC是边长为2的等边三角形，E是AB的中点，∴CE AB⊥，332CE AB==.∵AB⊂平面1A AB，1AA⊂平面1A AB，1AB AA A=，∴CE ⊥平面1A AB . ∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角.在Rt △CEH 中，CE =∴tan CE EHC EH ∠===.∴EH =. ……………8分 ∵CE ∥BF ，CE ⊥平面1A AB ，∴BF ⊥平面1A AB . ∵AB ⊂平面1A AB ，1A B ⊂平面1A AB ，∴BF ⊥AB ，BF ⊥1A B .∴1ABA ∠为平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）. …………10分在Rt △EHB 中，BE=1,BH ==， cos 1ABA ∠∴平面1A BD 与平面ABC .…………12分。
高一下学期期中考试数学试卷含答案(人教版)
第二学期期中考试 高一年级数学试题一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知直线经过点A(0,4)和点B （1，2），则直线AB 的斜率为（ ） A. 2 B. 3 C. -2 D. 不存在2．直线210x y ++=的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则（ ） A. 2,1k b == B. 2,1k b =-=- C. 2,1k b =-= D. 2,1k b ==- 3．过点()0,1且与直线210x y -+=垂直的直线方程是（ ） A. 220x y -+= B. 210x y --= C. 210x y +-= D. 210x y ++=4．a ， b ， c 为三条不重合的直线， α， β，γ为三个不重合平面，现给出四个命题：①a ab b γγ⎫⇒⎬⎭；②c c ααββ⎫⇒⎬⎭；③αγαββγ⎫⇒⎬⎭；④c a a c αα⎫⇒⎬⎭．其中正确的是（ ）．A. ①②B. ③④C. ③D. ③②5．已知直线210x ay -+=与直线820ax y -+=平行，则实数a 的值为（ ） A. 4 B. -4 C. -4或4 D. 0或46.圆x 2+y 2-4x=0的圆心坐标和半径分别为 ( ) A.(0,2),2B.(2,0),4C.(-2,0),2D.(2,0),27．圆()2211x y -+=与直线30x y -=的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 直线过圆心.8．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）A. 1+3B. 2+3C. 1+22D. 22 9．已知点与关于对称，则点的坐标为（ ） A. B. C.D. 10．如图，在正方体中，点为正方形的两条对角线的交点，点是棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）A. B. C. D.11．正三棱柱111ABC A B C -（侧棱与底面垂直且底面为等边三角形）的底面边长为1，侧棱长为2，则1AC 与侧面11ABB A 所成的角为（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 9012、如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上 有两个动点E 、F ，且EF ＝12，则下列结论中错误．．的是 ( ) A ．AC ⊥BE B ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A －BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等二.填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若直线的倾斜角为120,过点A （2，1),则直线的斜率为14.如图所示，将等腰直角△ABC 沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角B′-AD-C ，此时∠B′AC=60°，那么这个二面角大小是15．若l 为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面四个命题：①α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；②α⊥γ，β∥γ，则α⊥β；③l ∥α，l ⊥β，则α⊥β.④若l ∥α，则l 平行于α内的所有直线。
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案
北京2023—2024学年第二学期期中练习高一数学（答案在最后）2024.04说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.sin120︒的值等于（）A.12-B.12C.2D.2【答案】D 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得到2，从而可求解.【详解】由题意可得sin1202︒=，故D 正确.故选：D.2.若角α的终边过点()4,3，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.45B.45-C.35D.35-【答案】A 【解析】【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可.【详解】因为角α的终边过点()4,3，所以4cos 5α==，所以π4sin cos 25αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：A3.已知扇形的弧长为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积是（）A.22cmB.24cm C.26cm D.28cm 【答案】B【解析】【分析】由条件结合弧长公式l R α=求出圆的半径，然后结合扇形的面积公式12S lR =可得答案．【详解】因为扇形的圆心角2rad α=，它所对的弧长4cm l =，所以根据弧长公式l R α=可得，圆的半径2R =，所以扇形的面积211424cm 22S lR ==⨯⨯=；故选：B ．4.向量a ，b ，c在正方形网格中的位置如图所示，若向量c a b λ=+，则实数λ=（）A.2-B.1-C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】将3个向量的起点归于原点，根据题设得到它们的坐标，从而可求λ的值.【详解】如图，将,,a b c的起点平移到原点，则()()()1,1,0,1,2,1a b c ==-= ，由c a b λ=+可得()()()2,11,10,1λ=+-，解得2λ=，故选：D.5.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（）A.()cos2f x x =B.()tan2x f x =C.()()tan f x x =- D.()sin f x x=【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的周期性和奇偶性对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A ，函数()cos2f x x =的最小正周期为π，因为()()()cos 2cos 2f x x x f x -=-==，所以()cos2f x x =为偶函数，A 错误，对于B ，函数()tan 2xf x =的最小正周期为2π，因为()()tan tan 22x x f x f x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()tan 2x f x =为奇函数，B 错误，对于C ，函数()()tan f x x =-的最小正周期为π，因为()()()tan tan f x x x f x -==--=-，所以函数()()tan f x x =-为奇函数，C 正确，对于D ，函数()sin f x x =的图象如下：所以函数()sin f x x =不是周期函数，且函数()sin f x x =为偶函数，D 错误，6.在ABC 中，4AB =，3AC =，且AB AC AB AC +=- ，则AB BC ⋅= （）A.16B.16- C.20D.20-【答案】B 【解析】【分析】将AB AC AB AC +=- 两边平方，即可得到0AB AC ⋅=，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为AB AC AB AC +=- ，所以()()22AB ACAB AC +=-，即222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ，所以0AB AC ⋅= ，即AB AC ⊥ ，所以()220416AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=-=- .故选：B7.函数cos tan y x x =⋅在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图像为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分别讨论x 在3,,[,)22ππππ⎛⎫⎪⎝⎭上tan x 的符号，然后切化弦将函数化简，作出图像即可.【详解】因为3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin ,,23sin ,.2x x y x x πππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩故选：C.8.已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】首先求出()f x α+、()f x α-的解析式，再根据正弦函数的性质求出使()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数时α的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()sin 224f x x ααπ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()sin 224f x x ααπ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，若()f x α-是奇函数，则112π,Z 4k k απ-+=∈，解得11π,Z 82k k απ=-∈，若()f x α+是偶函数，则222π,Z 42k k αππ+=+∈，解得22π,Z 82k k απ=+∈，所以若()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数，则π,Z 82k k απ=+∈，所以由()ππ8k k α=+∈Z 推得出()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数，故充分性成立；由()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数推不出()ππ8k k α=+∈Z ，故必要性不成立，所以“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的充分不必要条件.故选：A9.已知向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，则a b c ++ 的最大值是（）A.1+ B.C.D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可设出向量,,a b c 的坐标，由于这三个向量都是单位向量，则向量,,a b c的终点都落在以坐标原点为圆心的单位圆上，作出示意图，由向量的性质可知，只有当c 与a b +同向时，a b c ++ 有最大值，求解即可.【详解】因为向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，可设()1,0a =，()0,1b = ，(),c x y = ，如图，所以2a b += ，当c 与a b +同向时，此时a b c ++ 有最大值，为21+.故选：A .10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均为正方形ABCD 各边的中点（如图2），若P 为 BC 的中点，则()PO PA PB ⋅+=（）A .4B.6C.8D.10【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算将()PO PA PB ⋅+ 化为OA 、OB 、OP表示，再根据平面向量数量积的运算律可求出结果.【详解】依题意得||||2OA OB ==，||2OP =，3π4AOP =Ð，π4BOP =Ð，所以3π2||||cos 22(242OA OP OA OP ⋅=⋅=⨯-=- ，π2||||cos 22242OB OP OB OP ⋅=⋅=⨯= ，所以()PO PA PB ⋅+= ()OP OA OP OB OP -⋅-+- 22||OA OP OB OP OP =-⋅-⋅+ 222228=-+⨯=.故选：C二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.写出一个与向量()3,4a =-共线的单位向量_____________.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】先求出a r ，则aa±即为所求.【详解】5a ==所以与向量()3,4a =- 共线的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）12.已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【解析】【分析】根据图象可得函数()f x 的最大值，最小值，周期，由此可求,A ω，再由5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭求ϕ，由此求得的解析式，然后求得π3f ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】由图可知，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，35ππ3π41234T =+=，当5π12x =时，函数()f x 取最大值2，又()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭所以2A =，32π3π44ω⨯=，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以5π5π2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ5π4π,22363ϕϕ-<<<+<，所以5πππ,623ϕϕ+==-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.13.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ=__________.，若将函数()f x 图象仅向左平移π4个单位长度和仅向右平移π2个单位长度都能得到同一个函数的图象，则ω的最小值为__________.【答案】①.π6##1π6②.83##223【解析】【分析】由条件列方程求ϕ，再利用平移变换分别得到变换后的函数解析式，并根据相位差为2π,Z k k ∈求解；【详解】因为函数()()sin f x x ωϕ=+的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向左平移π4个单位长度得到函数ππππsin sin 4646y x x ωωω⎡⎛⎫⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎦⎝⎭⎣的图象，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向右平移π2个单位长度得到ππππsin sin 2626y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，则ππππ2π4626k ωω⎛⎫⎛⎫+--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Z k ∈），化简得3π2π4k ω=（Z k ∈），解得83k ω=（Z k ∈），由于0ω>，所以当1k =时，ω取得最小值83，故答案为：π8,63．14.已知边长为2的菱形ABCD 中，π3DAB ∠=，点E 满足3BE EC = ，点F 为线段BD 上一动点，则AF BE ⋅的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】建立如图平面直角坐标系，设BF BD λ= ，利用平面向量线性运算与数量积的坐标表示可得AF BE⋅关于λ的表达式，从而得解.【详解】如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),A B C D ，因为3BE EC =，所以(33333,4444BE BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，由题意，设()01BF BD λλ=≤≤，则(()BF λλ=-=- ，则()()()2,02,AF AB BF λλ=+=+-=-，所以()3333324422AF BE λλ⋅=-+=+，因为01λ≤≤，所以当1λ=时，AF BE ⋅的最大值为3.故答案为：3.15.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.音有四要素，音调､响度､音长和音色.它们都与函数sin y A t ω=及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++⋯..给出下列四个结论：①函数1111sin sin 2sin 3sin 4sin1023410y x x x x x =++++⋯+不具有奇偶性；②函数()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③若某声音甲对应的函数近似为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，则声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度小；④若某声音乙对应的函数近似为()1sin sin 22x x x ϕ=+，则声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】对①，结合奇偶性的定义判断即可；对②，利用正弦型函数的单调性作出判断；对③，分别判断()(),g x h x 的振幅大小可得；对④，求出周期，可得频率，即可得出结论.【详解】对于①，令()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x =++++⋯+，所以()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 1023410F x x x x x x -=-+-+-+-+⋯+-，所以()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x -=-----⋅⋅⋅-，所以()()F x F x -=-，所以()F x 是奇函数，①错误；对于②，由ππ88x -≤≤可得，ππ244x -≤≤，3π3π388x -≤≤，ππ422x -≤≤，所以111sin ,sin2,sin3,234x x x x 都在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()f x 在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，②正确；对于③．因为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，所以π223g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()max 23g x ≥，即()g x 的振幅比()1sin22h x x =的振幅大，所以声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度大，所以③错误；对于④，因为()()()()112πsin 2πsin 24πsin sin 222x x x x x x ϕϕ+=+++=+=，所以函数()x ϕ为周期函数，2π为其周期，若存在02πα<<，使()()x x ϕϕα=+恒成立，则必有()()0ϕϕα=，()()110sin 0sin 00sin sin 222ϕϕααα∴=+===+，()sin 1cos 0αα∴+=，因为02πα<<，πα∴=，又()()()11πsin πsin 2πsin sin 222x x x x x ϕ+=+++=-+与()1sin sin 22x x x ϕ=+不恒相等，所以函数()1sin sin22x x x ϕ=+的最小正周期是2π，所以频率1112πf T ==而()h x 的周期为π，频率21πf =，12f f <，所以声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉，所以④正确．故答案为：②④.三､解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.如图，在ABC 中，2BD DC = ，E 是AD 的中点，设AB a = ，AC b = .（1）试用a ，b 表示AD ，BE ；（2）若1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，求AD BE ⋅ .【答案】（1）1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ （2）518-【解析】【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.【小问1详解】因为2BD DC = ，所以23BD BC = ，所以221)212(333333AB AC AB AB AC a b AD AB BD AB BC +-=+=+=+=+= .因为E 是AD 的中点，所以()11211()22323BE BA BD AB BC AB AC AB ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭ 51516363AB AC a b =-+=-+ .【小问2详解】因为1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，所以11cos ,1122a b a b a b ⋅==⨯⨯= ，由（1）知，1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ ，所以22125154233631899AD BE a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭541251892918=--⨯+=-.17.已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,a 内只有一个零点，直接写出实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的最小正周期为π，（2）函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（3）a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解即可；（2）利用正弦函数的单调区间结论求解；（3）求出()0f x =的解后可得a 的范围．【小问1详解】因为()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；【小问2详解】由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，Z k ∈，可得3ππππ88k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；【小问3详解】由π()3sin(204f x x =+=可得，π2π4x k +=，Z k ∈所以ππ28k x =-，Z k ∈，因为函数()f x 在区间[]0,a 上有且只有一个零点，所以3π7π88a ≤<，所以实数a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.18.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<.（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角；（2）若⊥ AC BC ，求sin cos αα-的值.【答案】（1）OB 与OC 的夹角为π6，（2）sin cos 4αα-=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积为0，进而得到1sin cos 4αα+=，通过平方得到2sin cos αα，进而可得()2sin cos αα-，再根据α的范围确定正负，开方得解.【小问1详解】因为()()()4,0,0,4,cos ,sin A B C αα，所以()()()4,0,0,4,cos ,sin OA OB OC αα=== ，所以()4cos ,sin OA OC αα+=+ ，由OA OC += ()224+cos sin 21αα+=，所以1cos 2α=，又0πα<<，，所以π3α=，13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设OB 与OC 的夹角为β()0πβ≤≤，则cos OB OC OB OC β⋅= 23342==,又0πβ≤≤，故OB 与OC 的夹角为π6，【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅= ，又()cos 4,sin AC αα=- ，()cos ,sin 4BC αα=- ，所以()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=，所以1sin cos 4αα+=，所以152sin cos 016αα-=<，又0πα<<，所以ππ2α<<,所以()21531sin cos 11616αα--=-=，所以sin cos 4αα-=.19.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，再从条件①､条件②､条件③中选择两个作为一组已知条件.（1）确定()f x 的解析式；（2）设函数()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则是否存在实数m ，使得对于任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立？若存在，求实数m 的取值范围：若不存在，请说明理由.条件①：()f x 的最小值为2-；条件②：()f x 图像的一个对称中心为5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件③：()f x 的图像经过点5π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）选①②，②③，①③答案都为()2sin(2)6f x x π=+，（2）存在m 满足条件，m 的取值范围为2,0⎤⎦.【解析】【分析】（1）先根据已知求出()f x 的最小正周期，即可求解ω，选条件①②：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据对称中心可求ϕ，即可得解函数解析式；选条件①③：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求ϕ，可得函数解析式；选条件②③：根据对称中心可求ϕ，再根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求A 的值，即可得解函数解析式．（2）求出函数()f x ，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，再结合恒成立、能成立列式求解作答.【小问1详解】由于函数()f x 图像上两相邻对称轴之间的距离为π2，所以()f x 的最小正周期π2π2T =⨯=，所以2π2T ω==，此时()()sin 2f x A x ϕ=+.选条件①②：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为()f x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以56k ϕπ=π-，()k ∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件①③：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，则5π()16f =-，所以5π2sin()13ϕ+=-，即5π1sin()32ϕ+=-．因为||2ϕπ<，所以7π5π13π636ϕ<+<，所以5π11π36ϕ+=，所以π6ϕ=，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件②③：因为函数()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以5ππ(Z)6k k ϕ=-∈．因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =．所以π()sin(26f x A x =+．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，所以5π(16f =-，所以5ππsin 136A ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，11πsin 16A =-，所以2A =，所以()2sin(2)6f x x π=+．综上，不论选哪两个条件，()2sin(2)6f x x π=+.【小问2详解】由（1）知，()2sin(2)6f x x π=+，由20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此[]2()1,2f x ∈-，由10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：1ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，因此1()g x ⎡∈-⎣，从而1()1,g x m m m ⎡-∈---+⎣，由()()12m g x f x =-得：()()21f x g x m =-，假定存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，即存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()21f x g x m =-成立，则[]1,1,2m m ⎡---+⊆-⎣，于是得112m m --≥-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩，解得20m -≤≤，因此存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，所以实数m的取值范围是2,0⎤⎦.20.对于定义在R 上的函数()f x 和正实数T 若对任意x ∈R ，有()()f x T f x T +-=，则()f x 为T -阶梯函数.（1）分别判断下列函数是否为1-阶梯函数（直接写出结论）：①()2f x x =；②()1f x x =+.（2）若()sin f x x x =+为T -阶梯函数，求T 的所有可能取值；（3）已知()f x 为T -阶梯函数，满足：()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且对任意x ∈R ，有()()2f T x f x T x --=-.若函数()()F x f x ax b =--有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为123,,,x x x ⋅⋅⋅；若1a =时，证明：存在b ∈R ，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且213240464045x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-.【答案】（1）①否；②是（2）2πT k =，*k ∈N （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用T -阶梯函数的定义进行检验即可判断；（2）利用T -阶梯函数的定义，结合正弦函数的性质即可得解；（3）根据题意得到()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，从而取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合零点存在定理可知()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +，从而得解.【小问1详解】()2f x x =，则22(1)()(1)211f x f x x x x +-=+-=+≠；()1f x x =+，则(1)()11f x f x x x +-=+-=，故①否；②是.【小问2详解】因为()f x 为T -阶梯函数，所以对任意x ∈R 有：()()()()()sin sin sin sin f x T f x x T x T x x x T x T T +-=+++-+=+-+=⎡⎤⎣⎦.所以对任意x ∈R ，()sin sin x T x +=，因为sin y x =是最小正周期为2π的周期函数，又因为0T >，所以2πT k =，*k ∈N .【小问3详解】因为1a =，所以函数()()F x f x x b =--，则()()()()()()()F x T f x T x T b f x T x T b f x x b F x +=+-+-=+-+-=--=，()()()()()()()2F T x f T x T x b f x T x T x b f x x b F x -=----=+----=--=.取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则有3330444TT T F f b ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，30444T T T F F T F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()()F x f x x b =--在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，结合()()F T x F x -=，则有()F x 在0,2T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点4T ，在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点34T .又由于()()F x T F x +=，则对任意k ∈Ζ，有044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，对任意m ∈Z ，()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +.综上所述，存在3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且14T x =，234T x =，354T x =，474T x =，L ，404580894T x =，404680914T x =，其中，2132404640452T x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-=.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义T -阶梯函数，从而在第3小问推得()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，由此得解.。