二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 公开课
2
(2) y 3x 4x 1
2
2. 顶点坐标
2
为( - 1,2) ,则b = ______，c = ______ .
3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的值是
A. 4
( B. -1 C. 3 D.4或-1
A
)
4二次函数y=ax²+bx+c的图像如图所示，则 （ ） D A.a＞0，b＞0，c＞0 B.a＞0，b＜0，c＜0 C. a＜0，b＜0，c＜0 D. a＞0，b＞0，c＜0
用配方法把下列二次函数化成顶点式 确定图象的对称轴和顶点坐标 2
y 2x 12x 13
y 2 x 8x 2
2
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标.
例.求二次函数y=ax² +bx+c的对称轴和顶点坐标．
二次函数y=ax² +bx+c的图象
二次函数
草图
2
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
(1) y x 3
(2) y x 2 3
(3) y 2x 3 5
2
y = 3x - 6x + 5
2
我们已经知道 y 2x 3 5的图像和性质
2
如何讨论二次函数
y = 3x 2 - 6x + 5的图像和性质呢？
5.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c 与一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （C ）
y
o x o
y
x o
y
x o
y
x
A
B
C
D
请你总结函数函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象和性质
结束寄语
探索是数学的生命线.
y a x . y=ax²+bx+c 2a 4a 例3二次函数y=ax²+bx+c的图像如图所示，判别a,b和c 的符号
由y=ax²+bx+c的图象判别 a,b和c的符号 b 4ac b
2
2
智勇比拼！
1. 说出下列函数的开口方向、 对称轴、顶点坐标：
(1) y 2 x x 3
(2) y 3x 4x 1
2
2. 顶点坐标
2
为( - 1,2) ,则b = ______，c = ______ .
3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的值是
A. 4
( B. -1 C. 3 D.4或-1
A
)
4二次函数y=ax²+bx+c的图像如图所示，则 （ ） D A.a＞0，b＞0，c＞0 B.a＞0，b＜0，c＜0 C. a＜0，b＜0，c＜0 D. a＞0，b＞0，c＜0
用配方法把下列二次函数化成顶点式 确定图象的对称轴和顶点坐标 2
y 2x 12x 13
y 2 x 8x 2
2
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标.
例.求二次函数y=ax² +bx+c的对称轴和顶点坐标．
二次函数y=ax² +bx+c的图象
二次函数
草图
2
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
(1) y x 3
(2) y x 2 3
(3) y 2x 3 5
2
y = 3x - 6x + 5
2
我们已经知道 y 2x 3 5的图像和性质
2
如何讨论二次函数
y = 3x 2 - 6x + 5的图像和性质呢？
5.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c 与一次函数y=ax+c的大致图象可能是 （C ）
y
o x o
y
x o
y
x o
y
x
A
B
C
D
请你总结函数函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象和性质
结束寄语
探索是数学的生命线.
y a x . y=ax²+bx+c 2a 4a 例3二次函数y=ax²+bx+c的图像如图所示，判别a,b和c 的符号
由y=ax²+bx+c的图象判别 a,b和c的符号 b 4ac b
2
2
智勇比拼！
1. 说出下列函数的开口方向、 对称轴、顶点坐标：
(1) y 2 x x 3
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人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》(第2课时)课件
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y ＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的解析式．
解：由题意，得aa＋－bb＋＋cc＝＝06，，解得ab＝＝2－，3，
c＝1，
c＝1，
∴二次函数的解析式为y＝2x2－3x＋1
知识点2：利用“顶点式”求二次函数的解析式 4．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式 为( D ) A．y＝2(x＋1)2＋8
B．y＝18(x＋1)2－8
C．y＝29(x－1)2＋8 D．y＝2(x－1)2－8
5．已知抛物线的顶点坐标为(4，－1)，与y轴交于点(0，3)，求 这条抛物线的解析式．
解：由题意，设二次函数的解析式为y＝a(x－4)2－1，把(0，3)代入 得3＝a(0－4)2－1，解得a＝14，∴y＝14(x－4)2－1 知识点3：利用“交点式”求二次函数的解析式 6．如图，抛物线的函数表达式是( D )
A．y＝12x2－x＋4 B．y＝－12x2－x＋4 C．y＝12x2＋x＋4 D．y＝－12x2＋x＋4
7．已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1， 0)和(2，0)，与y轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析 式．
解：由题意，设二次函数解析式为y＝a(x＋1)(x－2)，把(0，－2) 代入得－2＝－2a，∴a＝1，∴y＝(x＋1)(x－2)，即y＝x2－x－2
8．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能 是( D )
A．y＝x2－x－2 B．y＝－12x2－12x＋2 C．y＝－12x2－12x＋1 D．y＝－x2＋x＋2
9．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c
2 二次函数的图象与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第4课时PPT课件(华师大版)
质 随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x 的增大而增大;在对称轴的右侧,即当x
>-
>-
时,y随x的增大而增大.
(4)抛物线有最低点,当x=
-
最小值,y最小值=
-
时,y随x的增大而减小.
时,y有 (4)抛物线有最高点,当x=
-
大值,y最大值=
-
时,y有最
以选项 D 错误.
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
【归纳总结】求二次函数最大(小)值的方法:
(1)直接观察函数图象得最大(小)值;(2)配方法;(3)用顶点的坐标公
式求最大(小)值.
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
例 3 [高频考题]
2
如果二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图
2
2
y=ax +bx+c 的形式.反过来,二次函数 y=ax +bx+c 也可以通过配方法转
2
化为 y=a(x-h) +k 的形式.具体过程如下:
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
2
y=ax +bx+c
=a + +
=a + ·
=a +
+
-
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
反思
已知二次函数 y=x2+(m-1)x+1,当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大,试
>-
>-
时,y随x的增大而增大.
(4)抛物线有最低点,当x=
-
最小值,y最小值=
-
时,y随x的增大而减小.
时,y有 (4)抛物线有最高点,当x=
-
大值,y最大值=
-
时,y有最
以选项 D 错误.
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
【归纳总结】求二次函数最大(小)值的方法:
(1)直接观察函数图象得最大(小)值;(2)配方法;(3)用顶点的坐标公
式求最大(小)值.
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
例 3 [高频考题]
2
如果二次函数 y=ax +bx+c 的图象如图
2
2
y=ax +bx+c 的形式.反过来,二次函数 y=ax +bx+c 也可以通过配方法转
2
化为 y=a(x-h) +k 的形式.具体过程如下:
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
2
y=ax +bx+c
=a + +
=a + ·
=a +
+
-
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
反思
已知二次函数 y=x2+(m-1)x+1,当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大,试
二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质ppt省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c旳符号拟定
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c旳符号拟定
开口方向
y abc 0
（4）与直线x
1交点
y
a
b
c
0
y a b c 0
y X=1
y abc0
o
y abc0
x
y abc0
y abc 0
与直线x 1交点 y a b c 0
y a b c 0
y
y abc 0
y abc 0
o
x
y abc0
X=-1
1.试判断a,b, c的符号
② c=0 ＜＝＞图象过原点；
③ c＜0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴下方。
⑷顶点坐标是（ b ， 4ac b2 ）。
2a
4a
（5）二次函数有最大或最小值由a决定。
当x=－ —2ba 时,y有最大(最小
)值 y= 4ac－b2
______________________
4a
例2、已知函数y = ax2 +bx +c旳图象如 下图所示，x= 1 为该图象旳对称轴，根
象限，则二次函数 y=ax2+bx-3 旳大致图象是
(C ) y
y
y
y
ox
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课件
根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质吗？
y=ax2+bx+c a( x b )2 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c a( x b )2 4ac b2
2a
4a
b 4ac b2
显然，二次函数y a( x
b
)2
4ac
b2
的顶点坐标为
2a
,
4a
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c 与y=a(x-h)2+k的关系
思考 探索二次函数函数y 1 x2 - 6x 21的图象和性质。 2
解：y
1 2
x2
6x
21
配
12（x 6）2 3
方
有哪几种画
图方法？
y
1 2
x2
6x
21
12（x 6）2 3
方法一：平移法
y
8
6
y 1 x2
4
2
y=ax2+bx+c (a≠0)
a(x2 b x) c a
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c
a( x b )2 4ac b2
2a
4a
二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 通过配方可以转化
成y=a(x-h)2+k情势.
知识点2 二次函数y=ax2+bx+c 与的图象与性质
O
x
x
b 2a
（a>0）
O
x
x
b 2a
（a<0）
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质PPT课件(人教版)
抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x=-b ,顶点
是
2a
b 4ac b2
b
4ac b2
（- 2a， 4a ）。当x=- 2a 时，函数取最值 4a ；
b
如果a>0，当x<- 2a时，y随x的增大而减小；
b
当x>- 2a时，y随x的增大而增大。
b
如果a<0，当x<- 2a 时，y随x的增大而增大；
答案：（1）:（1，1） （3）:下、（-2，10）
（2）:上、x＝-2 （4）：略
-7-
五：反思小结，观点提炼
本节课你有什么收获？ 有什么疑问？
-8-
作业：
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（1）y=3x2+2x （3）y=-2x2+8x-8
（2）y=-x2-2x
（4）y=
1 2
x2-4x+3
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质
-2-
一：设计问题，创设情境
问题1:你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、 对称轴和顶点坐标吗？
问题2:函数y＝－4(x－2)2＋1的图象与函数y＝－4x2的图 象
有什么关系?
1
问题3:不画图象，你能直接说出二次函数y＝ 2x2-6x+21 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标、增减性 和最值吗?
如果直接画二次函数的图象，由图象的对称性列表时，自变量取 顶点横坐标-1及其左右的值，然后描点画图。由图象可以看出， 在对称轴的左侧，抛物线从左到右上升；在对称轴的右侧，抛物线从左到右降落。 由此得出：当x<-1时，y随x的增大而增大；当x>-1时，y随x的增大而减小。
22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》ppt课件
老师提示:
5 2 3 x 2 x 1 1 3
配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方
2 2 3x 1 配方后的表达 3
式通常称为配 方式或顶点式
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
3x 1 2.
2
化简:去掉中括号
例7 已知抛物线
和
y x
1
2
(m 4) x 2(m 1)
x 4x 6 2 (1)求证:不论m取何值,抛物线y1的顶点 总在y2抛物线上;
y
2
(2)当抛物线经过原点时,求y1的解析式, 在同一坐标系中作出两个图象;
指出下列抛物线的开口方向、求出 它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交 点坐标、与x轴的交点坐标。并画出 草图。
b 4ac b a x .化简:去掉中括号 2a 4a
配方:加上再 减去一次项系 数绝对值一半 的平方
顶点坐标公式
b 它的对称轴是直线 : x . 2a
b 4ac b2 y a x . 2a 4a
2
因此,二次函数y=ax² +bx+c的图象是一条抛物线.
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
增减性 最值
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性 质
函数y=ax²+bx+c的图象
5 2 3 x 2 x 1 1 3
配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方
2 2 3x 1 配方后的表达 3
式通常称为配 方式或顶点式
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
3x 1 2.
2
化简:去掉中括号
例7 已知抛物线
和
y x
1
2
(m 4) x 2(m 1)
x 4x 6 2 (1)求证:不论m取何值,抛物线y1的顶点 总在y2抛物线上;
y
2
(2)当抛物线经过原点时,求y1的解析式, 在同一坐标系中作出两个图象;
指出下列抛物线的开口方向、求出 它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交 点坐标、与x轴的交点坐标。并画出 草图。
b 4ac b a x .化简:去掉中括号 2a 4a
配方:加上再 减去一次项系 数绝对值一半 的平方
顶点坐标公式
b 它的对称轴是直线 : x . 2a
b 4ac b2 y a x . 2a 4a
2
因此,二次函数y=ax² +bx+c的图象是一条抛物线.
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
增减性 最值
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性 质
函数y=ax²+bx+c的图象
《第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质2》教案 (公开课)2022年北师大版数学
2.2 二次函数的图象与性质第2课时二次函数y=ax2+c的图象与性质教学目标：1、使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。
2、让学生经历二次函数y＝ax2＋bx＋c性质探究的过程，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。
重点难点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解函数y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系是教学重点。
正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系是教学的难点。
教学过程：一、提出问题1．二次函数y＝2x2的图象是____，它的开口向_____，顶点坐标是_____；对称轴是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，函数y＝ax2与x＝______时，取最______值，其最______值是______。
2．二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?二、分析问题，解决问题问题1：对于前面提出的第2个问题，你将采取什么方法加以研究?(画出函数y＝2x2和函数y＝2x2的图象，并加以比拟)问题2，你能在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2x2＋1的图象吗?(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y＝2x2和y＝2x2＋1的图象。
问题3：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?教师引导学生观察上表，当x依次取－3，－2，－1，0，1，2，3时，两个函数的函数值之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x取同一数值时，函数y＝2x2＋1的函数值都比函数y＝2x2的函数值大1。
教师引导学生观察函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象，先研究点(－1，2)和点(－1，3)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，2)和点(1，3)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y＝2x2＋1的图象上的点都是由函数y＝2x2的图象上的相应点向上移动了一个单位。
九年级数学上册教学课件《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第1课时)》
经过原点 与y轴交于__正___半轴 与y轴交于__负___半轴
探究新知
22.1 二次函数的图象和性质
素养考点 利用二次函数y=ax2+bx+c的图象确定字母的值
例 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②
2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 ( D )
探究新知 知识点 3Fra bibliotek22.1 二次函数的图象和性质
二次函数字母系数与图象的关系
一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数 图象的性质填空：
y
y
k1 _＜__ 0
k3 _＞__ 0
b1 _＞__ 0
b3 _＞__ 0
k2 _＞__ 0 b2 _＜__ 0
O
x
O
x
y=k1x+b1
y=k3x+b3
x2
-
6x
21
y 1 (x 6)2 2
2 4 6 8x
探究新知
22.1 二次函数的图象和性质
【思考5】 结合二次函数 y 1 x2 6x 21 的图象，说出其
2
性质.
y
x=6
当x<6时，y随x的增大而减小； 10
当x>6时，y随x的增大而增大.
开口方向： 向上. 对称轴： x=6. 顶点： (6,3).
例 二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（ A ） A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）方法点拨：把函数的一般 B．开口向下，顶点坐标为（1，4） 式化为顶点式，再由顶点 CD．．开开口口向向上下，，顶顶点点坐 坐标标为为（（1﹣，14，）﹣4）式 顶确 点定 及开其口他方性向质、. 对称轴、 解析 ∵二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0，
探究新知
22.1 二次函数的图象和性质
素养考点 利用二次函数y=ax2+bx+c的图象确定字母的值
例 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②
2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 ( D )
探究新知 知识点 3Fra bibliotek22.1 二次函数的图象和性质
二次函数字母系数与图象的关系
一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数 图象的性质填空：
y
y
k1 _＜__ 0
k3 _＞__ 0
b1 _＞__ 0
b3 _＞__ 0
k2 _＞__ 0 b2 _＜__ 0
O
x
O
x
y=k1x+b1
y=k3x+b3
x2
-
6x
21
y 1 (x 6)2 2
2 4 6 8x
探究新知
22.1 二次函数的图象和性质
【思考5】 结合二次函数 y 1 x2 6x 21 的图象，说出其
2
性质.
y
x=6
当x<6时，y随x的增大而减小； 10
当x>6时，y随x的增大而增大.
开口方向： 向上. 对称轴： x=6. 顶点： (6,3).
例 二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（ A ） A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4）方法点拨：把函数的一般 B．开口向下，顶点坐标为（1，4） 式化为顶点式，再由顶点 CD．．开开口口向向上下，，顶顶点点坐 坐标标为为（（1﹣，14，）﹣4）式 顶确 点定 及开其口他方性向质、. 对称轴、 解析 ∵二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0，
二次函数的图像和性质(原创公开课)
2
配方
解：
1 2 y x 6 x 21 2
1 2 y x 6 x 21 2 转化为上 提取二次项系数 1 x 2 12 x 42 2 一节课所 1 2 学知识 配方 x 12x 36 36 42 2 1 2 整理 x 6 6 顶点式 2 2 1 2 y a ( x h) k 化简:去掉中括号 x 6 3. 2
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
1.
3.
y 3x 2x 1 2 y x - 4x 3 2
2
2.
y x 2x 3
2
例1：指出抛物线:
y x 3x 2
2
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、 与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标。并画 出草图。
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口 方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交 点时），这样就可以画出它的大致图象。
1 2 y x 6 x 21 2
归纳：如何配方
配 方
方法1：看成方程进行配方； 方法2： （1）“提”：提出二次项系数 （2）“配”：括号内配成完全平方； （3）“化”：化成顶点式
2 1 y= — (x―6) +3 2
1 2 解：配方可得 y x 6 x 21 2 1 2 x 6 3 2
2、说出下列抛物线y=a(x －h)2＋k的开口方向、对 称轴及顶点： 2 2
（ 1 ）y （ 2 x 3） 5；（2）y （ 3 x 1 ） 2；
a=2>0,开口向上 a=-3<0,开口向下
配方
解：
1 2 y x 6 x 21 2
1 2 y x 6 x 21 2 转化为上 提取二次项系数 1 x 2 12 x 42 2 一节课所 1 2 学知识 配方 x 12x 36 36 42 2 1 2 整理 x 6 6 顶点式 2 2 1 2 y a ( x h) k 化简:去掉中括号 x 6 3. 2
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
1.
3.
y 3x 2x 1 2 y x - 4x 3 2
2
2.
y x 2x 3
2
例1：指出抛物线:
y x 3x 2
2
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、 与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标。并画 出草图。
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口 方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交 点时），这样就可以画出它的大致图象。
1 2 y x 6 x 21 2
归纳：如何配方
配 方
方法1：看成方程进行配方； 方法2： （1）“提”：提出二次项系数 （2）“配”：括号内配成完全平方； （3）“化”：化成顶点式
2 1 y= — (x―6) +3 2
1 2 解：配方可得 y x 6 x 21 2 1 2 x 6 3 2
2、说出下列抛物线y=a(x －h)2＋k的开口方向、对 称轴及顶点： 2 2
（ 1 ）y （ 2 x 3） 5；（2）y （ 3 x 1 ） 2；
a=2>0,开口向上 a=-3<0,开口向下
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课件 2024-2025学年人教版数学九上
【例 1】如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增
大而增大，则实数a的取值范围是( B )
A．a＞1
B．－1＜a≤1
C．a＞0
D．－1＜a＜2
知识讲解
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
【例 2】已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象
面积．
(2)∵该抛物线的对称轴为直线x＝
4
＝4，
1
A．(－3，－6)
B．(1，－4)
C．(1，－6)
D．(－3，－4)
再将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为
y＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，
此时二次函数图象的顶点为(1，－6).
知识讲解
知识点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
项目
a
b
字母的符号
图象的特征
确的结论的序号是________；
解析：由抛物线开口向上，得a＞0；
由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；
由抛物线的顶点在第四象限，得
b
2a
＞0，又a＞0，所以b＜0；
知识讲解
知识点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
【例 4】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过
2
2
b
c
b
b
b
c
2
2
2
y ax bx c a x x a x x
a
大而增大，则实数a的取值范围是( B )
A．a＞1
B．－1＜a≤1
C．a＞0
D．－1＜a＜2
知识讲解
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
【例 2】已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象
面积．
(2)∵该抛物线的对称轴为直线x＝
4
＝4，
1
A．(－3，－6)
B．(1，－4)
C．(1，－6)
D．(－3，－4)
再将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为
y＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，
此时二次函数图象的顶点为(1，－6).
知识讲解
知识点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
项目
a
b
字母的符号
图象的特征
确的结论的序号是________；
解析：由抛物线开口向上，得a＞0；
由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；
由抛物线的顶点在第四象限，得
b
2a
＞0，又a＞0，所以b＜0；
知识讲解
知识点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
【例 4】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过
2
2
b
c
b
b
b
c
2
2
2
y ax bx c a x x a x x
a