【K12学习】九年级数学上册全册导学案(人教版含答案)
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九年级数学上册全册导学案（人教版含答
案）
第二十一章 一元二次方程
1．1 一元二次方程
了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决
一些简单问题．
．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0及有关
概念．
．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概
念．
重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方
程解的探索．
难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二
次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．
一、自学指导．
问题1：
如图，有一块矩形铁皮，长100c，宽50c，在它的四角
各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能
制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为
3600c2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
分析：设切去的正方形的边长为xc，则盒底的长为
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__c__，宽为__c__．列方程__•＝3600__，化简整理，得__x2
－75x＋350＝0__．①
问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间
都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，
每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__．
设应邀请x个队参赛，每个队要与其他____个队各赛1
场，所以全部比赛共x2__场．列方程__x2＝28__，化简整理，
得__x2－x－56＝0__．②
探究：
方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__．
它们最高次数分别是几次？__2次__．
归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__
整式__，只含有__一个__未知数，并且未知数的最高次数是
__2__的方程．
．一元二次方程的定义
等号两边都是__整式__，只含有__一__个未知数，并且
未知数的最高次数是__2__的方程，叫做一元二次方程．
．一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，
都能化成如下形式：
ax2＋bx＋c＝0．
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这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax2__
是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是
一次项系数，__c__是常数项．
点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含
它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏
掉．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教
师巡视．
．判断下列方程，哪些是一元二次方程？
x3－2x2＋5＝0；
x2＝1；
x2－2x－14＝x2－2x＋35；
2＝3；
x2－2x＝x2＋1;ax2＋bx＋c＝0.
解：．
点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字
母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方
程．
．将方程3x＝5化成一元二次方程的一般形式，并写出
其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，
得3x2－8x－10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，
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常数项是－10.
点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将
首项化负为正，化分为整．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，
小组代表展示活动成果．
．求证：关于x的方程x2＋2x＋1＝0，无论取何值，该
方程都是一元二次方程．
证明：2－8＋17＝2＋1，
∵2≥0，
∴2＋1>0，即2＋1≠0.
∴无论取何值，该方程都是一元二次方程．
点拨精讲：要证明无论取何值，该方程都是一元二次方
程，只要证明2－8＋17≠0即可．
．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.
解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，
所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的
两根．
点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个
数代入等式，看等式两边是否相等即可．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，
上台展示并讲解思路．
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．判断下列方程是否为一元二次方程．
－x2＝0;2＝3y；
x2－3x－1＝0;1x2－2x＝0；
＝2;9x2＝5－4x.
解：是；不是；是；
不是；不是；是．
．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，求a的值．
解：∵x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，
∴4a＋8－5＝0，
解得a＝－34.
．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元
二次方程的一般形式：
个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长
x；
一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长
x.
解：4x2＝25，4x2－25＝0；x＝100，x2－2x－100＝0.
学生总结本堂课的收获与困惑．
．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次
方程．
．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0，特别强调
a≠0.
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．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．
1．2 解一元二次方程
1．2.1 配方法
使学生会用直接开平方法解一元二次方程．
渗透转化思想，掌握一些转化的技能．
重点：运用开平方法解形如2＝n的方程；领会降次—
—转化的数学思想．
难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程，知
识迁移到根据平方根的意义解形如2＝n的方程．
一、自学指导．
问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500d2，小李用这
桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表
面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为xd，则一个正方体的表面积为
__6x2__d2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：
__10×6x2＝1500__，
由此可得__x2＝25__，
根据平方根的意义，得x＝__±5__，
即x1＝__5__，x2＝__－5__．
可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负
值，所以正方体的棱长为__5__d.
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探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方
程2＝5及方程x2＋6x＋9＝4?
方程2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，
根据平方根的意义，可将方程变形为__2x－1＝±5__，即将
方程变为__2x－1＝5和__2x－1＝－5__两个一元一次方程，
从而得到方程2＝5的两个解为x1＝__1＋52，x2＝__1－
52__．
在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程
“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决
了．
方程x2＋6x＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可
以化成2＝4，进行降次，得到__x＋3＝±2__，方程的根为
x1＝__－1__，x2＝__－5__.
归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化
为两个一元一次方程．如果方程能化成x2＝p或2＝p的形
式，那么可得x＝±p或x＋n＝±p.
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教
师巡视．
解下列方程：
y2＝8；
2＝50；
＋4＝0;4x2－4x＋1＝0.
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解：2y2＝8，
2＝50，
y2＝4，
＝25，
y＝±2，
x－8＝±5，
∴y1＝2，y2＝－2；
x－8＝5或x－8＝－5，
∴x1＝13，x2＝3；
＋4＝0，
x2－4x＋1＝0，
＝－40时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低
点．a越大，抛物线的开口越小；当a0时，开口向上；a0，
即>－2，∴只能取＝2.
∵这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为，∴当x>0时，
y随x的增大而增大．
若函数有最大值，则抛物线开口向下，∴＋20时，y随
x的增大而减小．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，
上台展示并讲解思路．
．二次函数y＝ax2与y＝－ax2的图象之间有何关系？
．已知函数y＝ax2经过点．
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求a的值；
当xx2>0，则y1与y2的关系是__y1＜y2__．
．二次函数y＝ax2与一次函数y＝－ax在同一坐标系
中的图象大致是
点拨精讲：1.二次函数y＝ax2的图象的画法是列表、
描点、连线，列表时一般取5～7个点，描点时可描出一侧
的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点，连线将几个
点用平滑的曲线顺次连接起来，抛物线的两端要无限延伸，
要“出头”；
．抛物线y＝ax2的开口大小与|a|有关，|a|越大，开
口越小，|a|相等，则其形状相同．
学生总结本堂课的收获与困惑．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．
人教版九年级数学上册21.1一元二次方程 导学案含答案
人教版九年级数学上册21.1一元二次方程导学案（含答案）21.1一元二次方程（导学案）学习目标1.正确理解一元二次方程的意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程；2.知道一元二次方程的一般形式是是常数，），能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项；3.理解并会用一元二次方程一般形式中a≠0这一条件；4.通过问题情境，进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性，体会数学知识来源于生活，又能为生活服务，从而激发学习热情，提高学习兴趣.重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念.难点：由实际问题列出一元二次方程.准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项..学习过程一、创设问题情境阅读以下问题:问题1:要设计一座高2 m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,则雕像的下部应设计为多少米问题2:有一块矩形铁皮,长100 cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3 600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形问题3:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛思考:(1)全场共比赛__________场;(2)若设应邀请x个队参赛,则每个队要与其他__________个队各赛一场,全场共比赛__________场.由此,我们可以列方程__________.化简得__________.问题4一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？设苗圃的宽为xm，则长为_______m．根据题意，得________．整理，得.二、揭示问题规律观察并思考:x2+2x-4=0;x2-75x+350=0;x2-x=56.1.这三个方程都不是一元一次方程.整理后含有几个未知数它的最高次数是几它们有什么共同特点2.对照一元一次方程,写出一元二次方程的定义: .3.下面哪些数是上述问题4方程的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4．三、尝试应用【例1 】判断下列方程是否为一元二次方程.(1)3x+2=5y(2)x2=4(3)x2-4=(x+2)2(4)-1=x2【例2】将下列方程化为一般形式,并分别指出二次项、一次项和常数项及它们的系数:3x(x-1)=5(x+2).[例3]判断下列一元二次方程后面括号里的哪些数是方程的解：(1) (－7,－6,－5, 5, 6, 7)(2)五、自主总结1.本节重点学习的是什么方程一般形式是什么特别应该注意什么2.在把一元二次方程转化为一般形式的过程中需要注意什么问题3.本节课用了那些数学方法？六、达标测试1.若（p-2)x2-3x+p2-p=0是关于x的一元二次方程，则（）A.p=2B.p≠0C.p>2D.p≠22.把方程(x-2)(x+2)+(2x-1)2=0化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A.5、-4、6B.1、-5、0C.5、-2、1D.5、-4、33.下列各未知数的值是方程的解的是（）A. B. C. D.4.方程的一次项是（）A. B. C. D.5.把化成一般形式是______________,二次项是____一次项系数是_______，常数项是_______.6.已知m是方程的一个根，则代数式________.7.某药厂两年前生产某种药品每吨的成本是100万元，现在生产这种药品每吨的成本为81万元．设这种药品的成本的年平均下降百分率为x，则可列方程为__________.8.已知：关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是x=-a(a≠0)，则a-b的值为.根据题意列出方程（不必解答）两个连续整数的积是210，求这两个数；在一块长250米，宽150米的草地四周修一条路，路修好后草地的面积减少1191平方米，求这条道路的宽度。
[初中数学]九年级数学上册全一册导学案(45份) 人教版14
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22.1.4二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和性质(1)预习案一、预习目标及范围：1.会用配方法或公式法将一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 化成顶点式y =a (x -h )2+k . 2.会熟练求出二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴. 预习范围：P37-39 二、 预习要点1. 用配方法或公式法将一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 化成顶点式y =a (x -h )2+k .2. 写出二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴.三、预习检测根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：()21y 2x 12x 13;=-+()22y 5x 80x 319;=-+-()()()3y 3x 22x .=+-探究案 一、合作探究 活动内容1： 活动1：小组合作 问题1 怎样将216212y x x =-+化成y =a (x -h )2+k 的形式？问题2 你能说出21(6)32y x =-+的对称轴及顶点坐标吗？问题3 二次函数21(6)32y x =-+可以看作是由212y x = 怎样平移得到的？ 答：问题4 如何用描点法画二次函数216212y x x =-+的图象？ 解:问题5 结合二次函数 216212y x x =-+ 的图象，说出其性质活动2：探究归纳 y=ax ²+bx+c 化为顶点式活动内容2：典例精析 例1 填表：例2 已知二次函数y =－x 2＋2bx ＋c ，当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小，则实数b 的取值范围是（ ）A．b≥－1 B．b≤－1C．b≥1 D．b≤1解析：二、随堂检测1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：则该二次函数图象的对称轴为( )A.y轴B.直线x=C. 直线x=2D.直线x=2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：（1）a、b同号；（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；（3） 4a+b=0；（4）当y=–2时，x的值只能取0；其中正确的是 .3.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：()()()22(1) 21213;(2) 580319;1(3) 22;2(4)12.y x x y x x y x x y x x =-+=-+-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭=+-参考答案预习检测：1.对称轴是x=3，顶点坐标是（3，-5）2. 对称轴是x=8，顶点坐标是（8,1）3. 对称轴是x=0，顶点坐标是（0，12） 随堂检测 1.D 2.（2）3.（1）直线x =3，()3, 5- （2）直线x =8，()8, 1 （3）直线x =1.25，59, 48⎛⎫-⎪⎝⎭（4）直线x =0.5，19, 24⎛⎫ ⎪⎝⎭。
人教版九年级数学上精品导学案二次函数与一元二次方程教案教师用和学生用导学案教学设计含答案解析
二次函数与一元二次方程（学生用）一、教学目标1.总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根；2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.二、教学重点、难点重点：方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.难点：二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.三、教学过程复习引入1.二次函数的一般式：____________________，____是自变量，____是____的函数.二次函数与一元二次方程有什么联系？2.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由什么确定？问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：h=20t-5t2.考虑以下问题：(1)小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？(2)小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？(3)小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？(4)小球从飞出到落地要用多少时间？已知二次函数的值，求自变量x的值.解一元二次方程思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？(1) y=x2+x-2；(2) y=x2-6x+9；(3) y=x2-x+1归纳一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可得如下结论.(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根.(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.例1利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位).课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，体会知识间的相互转化和相互联系.二次函数与一元二次方程（教师用）一、教学目标(一)知识与技能：1.总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根；2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.(二)过程与方法：经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.(三)情感态度与价值观：通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程根的情况，进一步体会数形结合思想.二、教学重点、难点重点：方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.难点：二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.三、教学过程复习引入1.二次函数的一般式：____________________，____是自变量，____是____的函数.二次函数与一元二次方程有什么联系？当y=0时，ax2+bx+c=0.2.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由什么确定？b2-4ac>0方程有两个不等的实数根；b2-4ac=0方程有两个相等的实数根；b2-4ac<0方程无实数根.问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：h=20t-5t2.考虑以下问题：(1)小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？(2)小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？(3)小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？(4)小球从飞出到落地要用多少时间？分析：由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h=20t-5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值.解：(1)当h=15时，20t-5t2=15整理得，t2-4t+3=0解得，t1=1，t2=3因此，当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度为15m.(2)当h=20时，20t-5t2=20整理得，t2-4t+4=0解得，t1=t2=2因此，当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.(3)当h=20.5时，20t-5t2=20.5整理得，t2-4t+4.1=0因为(-4)2-4×4.1=-0.4＜0，所以方程无实数根.这就是说，小球的飞行高度达不到20.5m.(4)小球飞出时和落地时的高度h都为0m，因此有20t-5t2=0整理得，t2-4t=0解得，t1=0，t2=4因此，当小球飞行0s和4s时，它的高度为0m.这表明小球从飞出到落地要用4s.h=20t-5t2→20t-5t2=15，20t-5t2=20，20t-5t2=20.5，20t-5t2=0.从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切.例如，已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x 的值，可以看作解一元二次方程-x2+4x=3(即x2-4x+3=0).反过来，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值.已知二次函数的值，求自变量x的值.解一元二次方程思考下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？(1) y=x2+x-2；(2) y=x2-6x+9；(3) y=x2-x+1(1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2，1.当x取公共点的横坐标时，函数值是0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2，1.(2)抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x=3时，函数值是0.由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3.(3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点.由此可知，方程x2-x+1=0没有实数根.反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数图象与x轴的位置关系.归纳一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可得如下结论.(1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根.(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.例1利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位).解：画出函数y=x2-2x-2的图象，它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7.所以方程x2-2x-2=0的实数根为x1≈-0.7，x2≈2.7我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，体会知识间的相互转化和相互联系.。
[初中数学]九年级数学上册全一册导学案(45份) 人教版12
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22.1.3 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质（2）预习案一、预习目标及范围：1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.2.掌握二次函数y=a(x-h)2的性质.3.比较函数y=ax2与y=a(x-h)2的联系.二、预习要点1.抛物线y=(x-1)2的开口,对称轴是,顶点是,它可以看做是由抛物线y=x2向平移个单位长度得到的.2.与函数y=a(x-h)2形状相同的抛物线的解析式是 ( )A.y=1+B.y=(2x+1)2C.y=(x-2)2D.y=2x2三、预习检测1、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的顶点移到原点，则下列平移方法正确的是（）A、向上平移2个单位B、向下平移2个单位C、向左平移2个单位D、向右平移2个单位2、抛物线y=4（x-3）2的开口方向，对称轴是，顶点坐标是，抛物线是最点，当x= 时，y有最值，其值为。
抛物线与x轴交点坐标，与y轴交点坐标。
探究案一、合作探究活动内容1：活动1：小组合作情景问题：问题1 二次函数y=ax2+k（a≠0）与y=ax2（a≠ 0）的图象有何关系？问题2 函数21(2)2y x =-的图象，能否也可以由函数212y x =平移得到？ 活动2：探究归纳在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象:y=x 2,y=(x+2)2,y=(x-2)2,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.归纳：活动内容2：典例精析例：在直角坐标系中画出函数y=12(x+3)2的图象. ①指出函数图象的对称轴和顶点坐标；②根据图象回答：当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 取最大值或最小值？ ③怎样平移函数y=12x 2的图象得到函数y=12(x+3)2的图象？二、随堂检测1.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 .2.二次函数y=2(x- 32)2图象的对称轴是直线__ __，顶点是________.3 .若（-134，y1）（-54，y2）（14，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为_______________.4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.参考答案预习检测：1.C；2.向上，直线x=3，（3,0），低，3，小，0，（3，0），（,0，36），随堂检测1.y=-(x+3)2或y=-(x-3)22.32x ，3(,0)23.y1〉y2〉y34.向上，直线x=3 ，（3,0）；向上，直线x=2，（2,0）；向下，直线x=1，（1,0）；。
【人教版】九年级上册数学：全册导学案-24.1.2 垂直于弦的直径
24．1．2 垂直于弦的直径一、知识点回顾：1．圆上各点到圆心的距离都等于_________，到圆心的距离等于半径的点都在_________。
2．如右图，____________是直径，___________是弦，____________是劣弧，________是优弧，__________是半圆。
3．圆的半径是4，则弦长x的取值范围是_______________。
4．确定一个圆的两个条件是__________和_________。
5．利用身边常见的工具，你能在操场中画一个直径是5m的圆吗？说说你的方法。
二、新知学习：（一）．学习目标：1-知识目标：掌握垂径定理2-能力目标：利用垂径定理解答圆的一般问题（二）．自学要求：P80—P81垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧.符号语言：∵AB是⊙O的直径又∵AB CD∴CE DE推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并平分弦所对的两条弧符号语言：∵AB是⊙O的直径又∵CE DE∴AB CD三、典型拓展例题：1．你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm.求⊙O的半径。
3．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD AB于D，OE AC于E.求证：四边形ADOE为正方形。
4．如图所示，两个同心圆O，大圆的弦AB交小圆于C、D。
求证：AC BD5．如图所示，在⊙O中，C、D是弦AB上的两点，且AD BC.求证：OC OD四、检测与反馈：1．如图，在⊙O中，AB是弦，OC AB于C.⑴若OA5，OC4，求AB的长；⑵若OA6，AB8，求OC的长；⑶若AB12，OC8，求⊙O的半径；⑷若AOB120，OA10OA =10，求AB的长。
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21.2.3一元二次方程-因式分解预习案一、预习目标及范围：1.了解分解因式法解一元二次方程的概念2.会用分解因式法解某些一元二次方程范围：自学课本P12-P14，完成练习.二、预习要点分解因式的方法有那些？并用字母表示。
(1)(2)(3)三、预习检测解下列方程：（1）.（x+2）（x-4）=0()()()+=+2.421321.x x x探究案一、合作探究活动内容1：（小组合作展示）活动1：情景问题分析根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10m/s秒的速度竖直上抛，那么经过X秒物体离地高度（单位：米）为10X-4.9X 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01S）活动2：归纳总结活动2：例题精讲(1)x(x-2)+x-2=0; 2213(2)522,44x x x x --=-+ ()(2)20,x x x -+-=解：2:,,410,x -=解移项合并同类项得：()()210.x x -+= ()(21)210.x x +-=20,10.x x ∴-=+=或 210,210.x x ∴+=-=或122, 1.x x ∴==- 1211;.22x x ∴=-=二、随堂检测1.用因式分解法解下列方程：2(1)0,x -=2(2)363,x x -=-2(3)41210x -=(4)3(21)42x x x +=+ ()()22(5)452x x -=-2.把小圆形场地的半径增加5m 得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.参考答案预习检测：（1）.（x+2）（x-4）=0 解：x+2=0或x-4=0 ∴x 1=-2, x 2=4()()()2.421321.x x x +=+4x(2x+1)-3(2x+1)=0 则（4x-3）（2x+1）=0 ∴4x-3=0，2x+1=0∴x 1=34, x 2=-12随堂检测1.（1）00x x =-=所以有或，(0x x -=提公因式，120x x ==即，（2）23(1)0x -=所以，23(21)0x x -+=提公因式得：，23630x x -+=移项，得：， 12 1.x x ==所以（3）()()2112110x x +-=21102110x x +=-=或 121111,.22x x =-= （4）3(21)2(21)0x x x +-+=移项：，(21)(32)0x x +-=提取公因式：，210320x x +=-=所以有：或，1212.23x x =-=所以，（5）()()224520x x ---=()()()()4524520x x x x -+----=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦(1)(39)0x x --=3(1)(3)0x x --=1030x x -=-=或121 3.x x ==即，2..,r 设小圆半径为根据题意得22(5)π2πr r +=⨯ 22(5)2r r +=2210252r r r ++= 225251025r r +=-+250(5)r =-5r -=±5r =±12550()r r =+=-<舍所以小圆的半径是5+.。
【人教版】九年级数学上册全册导学案之欧阳法创编
第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．一、自学指导．(10分钟)问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)cm__，宽为__(50－2x)cm__．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x2－75x＋350＝0__．①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__．设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__(x－1)__个队各赛1x（x－1）2场．列方程x（x－1）2＝28__，化简整理，得__x2－x－56＝0__．②探究：(1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__．(2)它们最高次数分别是几次？__2次__．归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程．1．一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？(1)x3－2x2＋5＝0；(2)x2＝1；(3)5x2－2x－14＝x2－2x＋35；(4)2(x＋1)2＝3(x＋1)；(5)x2－2x＝x2＋1; (6)ax2＋bx＋c＝0.解：(2)(3)(4)．点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．2．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得3x2－8x－10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程．证明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1，∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0.∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程．点拨精讲：要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2－8m＋17≠0即可．2．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．判断下列方程是否为一元二次方程．(1)1－x2＝0; (2)2(x2－1)＝3y；(3)2x2－3x－1＝0; (4)1x2－2x＝0；(5)(x＋3)2＝(x－3)2; (6)9x2＝5－4x.解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．2．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，求a的值．解：∵x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，∴4a＋8－5＝0，解得a＝－3 4 .3．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.解：(1)4x2＝25，4x2－25＝0；(2)x(x－2)＝100，x2－2x－100＝0.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0.3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2解一元二次方程21．2.1配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程．2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能．重点：运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、自学指导．(10分钟)问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为__6x2__dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：__10×6x2＝1500__，由此可得__x 2＝25__，根据平方根的意义，得x ＝__±5__，即x 1＝__5__，x 2＝__－5__．可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm .探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x －1)2＝5及方程x 2＋6x ＋9＝4?方程(2x －1)2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为，即将方程变为两个一元一次方程，从而得到方程(2x －1)2＝5的两个解为x 1＝2x 2＝2__．在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．方程x 2＋6x ＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x ＋__3__)2＝4，进行降次，得到 __x ＋3＝±2__ ，方程的根为x 1＝ __－1__，x 2＝__－5__.归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x 2＝p(p≥0)或(mx ＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x ＝±p 或mx ＋n ＝±p.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)解下列方程：(1)2y 2＝8； (2)2(x －8)2＝50；(3)(2x －1)2＋4＝0; (4)4x 2－4x ＋1＝0.解：(1)2y 2＝8， (2)2(x －8)2＝50， y 2＝4， (x －8)2＝25，y ＝±2， x －8＝±5，∴y 1＝2，y 2＝－2； x －8＝5或x －8＝－5， ∴x 1＝13，x 2＝3；(3)(2x －1)2＋4＝0， (4)4x 2－4x ＋1＝0， (2x －1)2＝－4<0， (2x －1)2＝0，∴原方程无解； 2x －1＝0，∴x 1＝x 2＝12. 点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x 2＝p(p≥0)或(mx ＋n)2＝p(p≥0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用直接开平方法解下列方程：(1)(3x ＋1)2＝7; (2)y 2＋2y ＋1＝24；(3)9n 2－24n ＋16＝11.解：(1)－1±73；(2)－1±26；(3)4±113. 点拨精讲：运用开平方法解形如(mx ＋n)2＝p (p≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根．2．已知关于x 的方程x 2＋(a 2＋1)x －3＝0的一个根是1，求a 的值．解：±1.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)用直接开平方法解下列方程：(1)3(x －1)2－6＝0 ; (2)x 2－4x ＋4＝5；(3)9x 2＋6x ＋1＝4; (4)36x 2－1＝0；(5)4x 2＝81; (6)(x ＋5)2＝25；(7)x 2＋2x ＋1＝4. 解：(1)x 1＝1＋2，x 2＝1－2；(2)x 1＝2＋5，x 2＝2－5；(3)x 1＝－1，x 2＝13； (4)x 1＝16，x 2＝－16； (5)x 1＝92，x 2＝－92； (6)x 1＝0，x 2＝－10；(7)x 1＝1，x 2＝－3.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用直接开平方法解一元二次方程．2．理解“降次”思想．3．理解x 2＝p(p≥0)或(mx ＋n)2＝p(p≥0)中，为什么p ≥0?学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.1 配方法(2)1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．重点：掌握配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程转化为形如(x －a)2＝b 的过程．(2分钟)1．填空：(1)x 2－8x ＋__16__＝(x －__4__)2；(2)9x 2＋12x ＋__4__＝(3x ＋__2__)2；(3)x 2＋px ＋__(p 2)2__＝(x ＋__p 2__)2. 2．若4x 2－mx ＋9是一个完全平方式，那么m 的值是__±12__．一、自学指导．(10分钟)问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m ，并且面积为16 m 2，场地的长和宽分别是多少米？设场地的宽为x m ，则长为__(x ＋6)__m ，根据矩形面积为16 m 2，得到方程__x(x ＋6)＝16__，整理得到__x 2＋6x －16＝0__．探究：怎样解方程x 2＋6x －16＝0?对比这个方程与前面讨论过的方程x 2＋6x ＋9＝4，可以发现方程x 2＋6x ＋9＝4的左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x 2＋6x －16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？解：移项，得x 2＋6x ＝16，两边都加上__9__即__(62)2__，使左边配成x 2＋bx ＋(b 2)2的形式，得 __x 2__＋6__x__＋9＝16＋__9__，左边写成平方形式，得__(x ＋3)2＝25__，开平方，得__x ＋3＝±5__， (降次)即 __x ＋3＝5__或__x ＋3＝－5__，解一次方程，得x 1＝__2__，x 2＝__－8__．归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．问题2：解下列方程：(1)3x 2－1＝5； (2)4(x －1)2－9＝0；(3)4x 2＋16x ＋16＝9.解：(1)x ＝±2；(2)x 1＝－12，x 2＝52； (3)x 1＝－72，x 2＝－12. 归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：(1)把方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0；(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；(3)方程两边同时除以二次项系数a ；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)1．填空：(1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2；(2)x 2－x ＋__1__＝(x －__1__)2； (3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋__1__)2.2．解下列方程：(1)x 2＋6x ＋5＝0; (2)2x 2＋6x ＋2＝0；(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0.解：(1)移项，得x 2＋6x ＝－5，配方得x 2＋6x ＋32＝－5＋32，(x ＋3)2＝4，由此可得x ＋3＝±2，即x 1＝－1，x 2＝－5.(2)移项，得2x 2＋6x ＝－2，二次项系数化为1，得x 2＋3x ＝－1，配方得x 2＋3x ＋(32)2＝(x ＋32)2＝54， 由此可得x ＋32＝±52，即x 1＝52－32， x 2＝－52－32. (3)去括号，整理得x 2＋4x －1＝0，移项得x 2＋4x ＝1，配方得(x ＋2)2＝5，x ＋2＝±5，即x 1＝5－2，x 2＝－5－2.点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x 的完全平方式．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 m ，CB ＝6 m ，点P ，Q 同时由A ，B 两点出发分别沿AC ，BC 方向向点C 匀速移动，它们的速度都是1 m /s ，几秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半？解：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半．根据题意可列方程：12(8－x)(6－x)＝12×12×8×6，即x 2－14x ＋24＝0，(x －7)2＝25，x －7＝±5，∴x 1＝12，x 2＝2，x 1＝12，x 2＝2都是原方程的根，但x 1＝12不合题意，舍去．答：2秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半．点拨精讲：设x 秒后△PCQ 的面积为Rt △ABC 面积的一半，△PCQ 也是直角三角形．根据已知条件列出等式．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．用配方法解下列关于x 的方程：(1)2x 2－4x －8＝0； (2)x 2－4x ＋2＝0；(3)x 2－12x －1＝0 ; (4)2x 2＋2＝5. 解：(1)x 1＝1＋5，x 2＝1－5；(2)x 1＝2＋2，x 2＝2－2；(3)x 1＝14＋174，x 2＝14－174； (4)x 1＝62，x 2＝－62. 2．如果x 2－4x ＋y 2＋6y ＋z ＋2＋13＝0，求(xy)z 的值．解：由已知方程得x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9＋z ＋2＝0，即(x －2)2＋(y ＋3)2＋z ＋2＝0，∴x ＝2，y ＝－3，z ＝－2.∴(xy)z ＝[2×(－3)]－2＝136. 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 1．用配方法解一元二次方程的步骤．2．用配方法解一元二次方程的注意事项．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.2 公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式的推导．(2分钟)用配方法解方程：(1)x 2＋3x ＋2＝0； (2)2x 2－3x ＋5＝0. 解：(1)x 1＝－2，x 2＝－1； (2)无解．一、自学指导．(8分钟)问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b2－4ac 2a ，x 2＝－b －b2－4ac 2a. 分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a ，b ，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．探究：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2－4ac≥0时，将a ，b ，c 代入式子x ＝－b ±b2－4ac 2a就得到方程的根，当b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根．(2)x ＝－b ±b2－4ac 2a叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根．(5)一般地，式子b 2－4ac 叫做方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b 2－4ac.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？(1)2x 2－3x ＝0； (2)3x 2－23x ＋1＝0；(3)4x 2＋x ＋1＝0.解：(1)x 1＝0，x 2＝32；有两个不相等的实数根； (2)x 1＝x 2＝33；有两个相等的实数根； (3)无实数根．点拨精讲：Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0时，没有实数根．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是( B )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有一个实数根D ．没有实数根2．当m 为何值时，方程(m ＋1)x 2－(2m －3)x ＋m ＋1＝0，(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？解：(1)m ＜14； (2)m ＝14； (3)m ＞14. 3. 已知x 2＋2x ＝m －1没有实数根，求证：x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根.证明：∵x 2＋2x －m ＋1＝0没有实数根，∴4－4(1－m)＜0，∴m ＜0.对于方程x 2＋mx ＝1－2m ，即x 2＋mx ＋2m －1＝0，Δ＝m 2－8m ＋4，∵m ＜0，∴Δ＞0，∴x 2＋mx ＝1－2m 必有两个不相等的实数根．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．利用判别式判定下列方程的根的情况：(1)2x 2－3x －32＝0; (2)16x 2－24x ＋9＝0； (3)x 2－42x ＋9＝0 ; (4)3x 2＋10x ＝2x 2＋8x.解：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)无实数根；(4)有两个不相等的实数根．2．用公式法解下列方程：(1)x 2＋x －12＝0 ; (2)x 2－2x －14＝0； (3)x 2＋4x ＋8＝2x ＋11; (4)x(x －4)＝2－8x ；(5)x 2＋2x ＝0 ; (6)x 2＋25x ＋10＝0.解：(1)x 1＝3，x 2＝－4；(2)x 1＝2＋32，x 2＝2－32； (3)x 1＝1，x 2＝－3；(4)x 1＝－2＋6，x 2＝－2－6；(5)x 1＝0，x 2＝－2; (6)无实数根．点拨精讲：(1)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a ，b ，c 确定的；(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b 2－4ac≥0的前提下，把a ，b ，c 的值代入x ＝－b ±b2－4ac 2a(b 2－4ac≥0)中，可求得方程的两个根；(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1.求根公式的推导过程．2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定a ，b ，c 的值，再算出b 2－4ac 的值、最后代入求根公式求解．3.用判别式判定一元二次方程根的情况．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.3 因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．(2分钟)将下列各题因式分解：(1)am ＋bm ＋cm ＝(__a ＋b ＋c__)m ；(2)a 2－b 2＝__(a ＋b)(a －b)__；(3)a 2±2ab ＋b 2＝__(a±b)2__．一、自学指导．(8分钟)问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m /s 的速度竖直上抛，那么经过x s 物体离地的高度(单位：m )为10x －4.9x 2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？(精确到0.01s )设物体经过x s 落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x －4.9x 2＝0，①思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？分析：方程①的右边为0，左边可以因式分解得：x(10－4.9x)＝0，于是得x ＝0或10－4.9x ＝0，②∴x 1＝__0__，x 2≈2.04．上述解中，x 2≈2.04表示物体约在2.04 s 时落回地面，而x 1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0 s 时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m .点拨精讲： (1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．(2)如果a·b＝0，那么a ＝0或b ＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(x ＋1)(x －1)＝0，那么__x ＋1＝0或__x －1＝0__，即__x ＝－1__或__x ＝1．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．说出下列方程的根：(1)x(x －8)＝0； (2)(3x ＋1)(2x －5)＝0.解：(1)x 1＝0，x 2＝8； (2)x 1＝－13，x 2＝52. 2．用因式分解法解下列方程：(1)x 2－4x ＝0; (2)4x 2－49＝0；(3)5x 2－20x ＋20＝0.解：(1)x 1＝0，x 2＝4; (2)x 1＝72，x 2＝－72； (3)x 1＝x 2＝2.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用因式分解法解下列方程：(1)5x 2－4x ＝0； (2)3x(2x ＋1)＝4x ＋2；(3)(x ＋5)2＝3x ＋15.解：(1)x 1＝0，x 2＝45； (2)x 1＝23，x 2＝－12； (3)x 1＝－5，x 2＝－2.点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式．2．用因式分解法解下列方程：(1)4x 2－144＝0；(2)(2x －1)2＝(3－x)2；(3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34； (4)3x 2－12x ＝－12.解：(1)x 1＝6，x 2＝－6；(2)x 1＝43，x 2＝－2； (3)x 1＝12，x 2＝－12； (4)x 1＝x 2＝2.点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋x ＝0; (2)x 2－23x ＝0；(3)3x 2－6x ＝－3; (4)4x 2－121＝0；(5)(x －4)2＝(5－2x)2.解：(1)x 1＝0，x 2＝－1；(2)x 1＝0，x 2＝23；(3)x 1＝x 2＝1；(4)x 1＝112，x 2＝－112； (5)x 1＝3，x 2＝1.点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程右边化为__0__； (2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__；(3)令每个因式分别为__0__，得到两个一元一次方程；(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．2．把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为x m .则可列方程2πx 2＝π(x ＋5)2.解得x 1＝5＋52，x 2＝5－52(舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋52) m .学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用因式分解法解方程的根据由ab ＝0得 a ＝0或b ＝0，即“二次降为一次”．2．正确的因式分解是解题的关键．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.4 一元二次方程的根与系数的关系1. 理解并掌握根与系数的关系：x 1＋x 2＝－b a，x 1x 2＝c a.2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题．重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用． 难点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．一、自学指导．(10分钟)自学1：完成下表：①用语言叙述你发现的规律；答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项．②x 2＋px ＋q ＝0的两根x 1，x 2用式子表示你发现的规律.答：x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q.自学2：完成下表：请完善规律：①用语言叙述发现的规律；答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比．②ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1，x 2用式子表示你发现的规律．答：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a. 自学3：利用求根公式推导根与系数的关系．(韦达定理)ax 2＋bx ＋c ＝0的两根x 1＝2a ，x 2＝2a． x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a. 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积．(1)x 2－3x －1＝0 ； (2)2x 2＋3x －5＝0；(3)13x 2－2x ＝0. 解：(1)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－1；(2)x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－52； (3)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝0.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)1．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积．(1)x 2－6x －15＝0; (2)3x 2＋7x －9＝0；(3)5x －1＝4x 2.解：(1)x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝－15；(2)x 1＋x 2＝－73，x 1x 2＝－3； (3)x 1＋x 2＝54，x 1x 2＝14. 点拨精讲：先将方程化为一般形式，找对a ，b ，c.2．已知方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值． 解：另一根为32，k ＝3. 点拨精讲：本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x ＝－3代入方程先求k ，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答．3．已知α，β是方程x 2－3x －5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值．(1)1α＋1β； (2)α2＋β2； (3)α－β. 解：(1)－35；(2)19；(3)29或－29. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积：(1)x 2－3x ＝15; (2)5x 2－1＝4x 2；(3)x 2－3x ＋2＝10; (4)4x 2－144＝0.解：(1)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－15；(2)x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－1；(3)x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝－8；(4)x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－36.2．两根均为负数的一元二次方程是( C )A ．7x 2－12x ＋5＝0B ．6x 2－13x －5＝0C ．4x 2＋21x ＋5＝0D ．x 2＋15x －8＝0点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值．1．先化成一般形式，再确定a ，b ，c.2．当且仅当b 2－4ac≥0时，才能应用根与系数的关系．3．要注意比的符号：x 1＋x 2＝－b a(比前面有负号)，x 1x 2＝c a(比前面没有负号)． 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3 实际问题与一元二次方程(1)1．会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键． 重点：列一元二次方程解决实际问题． 难点：找出实际问题中的等量关系．一、自学指导．(12分钟) 问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：①设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人，第一轮后共有__(x ＋1)__人患了流感；②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了__x__人，第二轮后共有__(x＋1)(x＋1)__人患了流感．则列方程：__(x＋1)2＝121__，解得__x＝10或x＝－12(舍)__，即平均一个人传染了__10__个人．再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？问题2：一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数．分析：设原来的两位数的个位数字为__x__，则十位数字为__(6－x)__，则原两位数为__10(6－x)＋x，新两位数为__10x＋(6－x)__．依题意可列方程：[10(6－x)＋x][10x＋(6－x)]＝1008__，解得x1＝__2__，x2＝__4__，∴原来的两位数为24或42.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( )A．x(x＋1)＝2550B．x(x－1)＝2550C．2x(x＋1)＝2550D．x(x－1)＝2550×2分析：由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出(x－1)张相片，全班共送出x(x－1)张相片，可列方程为x(x－1)＝2550. 故选B.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支，则有1＋x＋x2＝91，即x2＋x－90＝0，解得x1＝9，x2＝－10(舍去)，故每个支干长出9个小分支．点拨精讲：本例与传染问题的区别．2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为x，则列方程为：__x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4__．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(7分钟)1．两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是( C )A．2和4 B．6和8 C．4和6 D．8和10第2题、第3题2．教材P21学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟) 1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量；(2)“设”：即设__未知数__，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(3)“列”：即根据题中__等量__关系列方程；(4)“解”：即求出所列方程的__根__；(5)“检验”：即验证根是否符合题意；(6)“答”：即回答题目中要解决的问题．2. 对于数字问题应注意数字的位置．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3实际问题与一元二次方程(2)1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解．2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：如何解决增长率与降低率问题．难点：理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n ＝b，其中a是原有量，x为增长(或降低)率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的量．一、自学指导．(10分钟)时间：2021.03.09 创作：欧阳法。
2018年最新人教版九年级数学上册全册导学案含答案)
2018年最新人教版九年级数学上册全册导学案(含答案)第二十一章一元二次方程21．1 一元二次方程1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．一、自学指导．(10分钟) 问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)cm__，宽为__(50－2x)cm__．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x2－75x＋350＝0__．①问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__．设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__(x－1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x（x－1）x（x－1）__场．列方程__＝28__，化简整理，得__x2－x－56＝0__．② 22探究：(1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__．(2)它们最高次数分别是几次？__2次__．归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程．1．一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟) 1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？(1)x3－2x2＋5＝0；(2)x2＝1；13(3)5x2－2x－＝x2－2x＋；45 (4)2(x＋1)2＝3(x＋1)；(5)x2－2x＝x2＋1; (6)ax2＋bx＋c＝0. 解：(2)(3)(4)．点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程．2．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得3x2－8x－10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程．证明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1，∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0.∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程．点拨精讲：要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2－8m＋17≠0即可．2．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟) 1．判断下列方程是否为一元二次方程．(1)1－x2＝0; (2)2(x2－1)＝3y；12(3)2x2－3x－1＝0; (4)2－＝0；xx(5)(x＋3)2＝(x－3)2; (6)9x2＝5－4x. 解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．2．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，求a的值．解：∵x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，∴4a＋8－5＝0，3解得a＝－.43．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x. 解：(1)4x2＝25，4x2－25＝0；(2)x(x－2)＝100，x2－2x－100＝0.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0. 3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2 解一元二次方程21．2.1 配方法(1)1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程．2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能．重点：运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、自学指导．(10分钟)问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为__6x2__dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：__10×6x2＝1500__，由此可得__x2＝25__，根据平方根的意义，得x＝__±5__，即x1＝__5__，x2＝__－5__．可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm. 探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x－1)2＝5及方程x2＋6x＋9＝4?方程(2x－1)2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为__2x－1＝±5__，即将方程变为__2x－1＝5和__2x－1＝－5__两个一1＋51－5次方程，从而得到方程(2x－1)2＝5的两个解为x1＝__，x2＝____．22在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．方程x2＋6x＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x＋__3__)2＝4，进行降次，得到__x＋3＝±2__ ，方程的根为x1＝__－1__，x2＝__－5__.归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p或mx＋n ＝±p.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟) 解下列方程：(1)2y2＝8；(2)2(x－8)2＝50；(3)(2x－1)2＋4＝0; (4)4x2－4x＋1＝0. 解：(1)2y2＝8，(2)2(x－8)2＝50，y2＝4，(x－8)2＝25，y ＝±2，x－8＝±5，∴y1＝2，y2＝－2；x－8＝5或x－8＝－5，∴x1＝13，x2＝3；(3)(2x－1)2＋4＝0，(4)4x2－4x＋1＝0，(2x－1)2＝－4 ∴x1＝x2＝.2点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(81．用直接开平方法解下列方程：(1)(3x＋1)2＝7; (2)y2＋2y＋1＝24；(3)9n2－24n＋16＝11.－1±74±11解：(1)；(2)－1±26；(3).33点拨精讲：运用开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根．2．已知关于x的方程x2＋(a2＋1)x－3＝0的一个根是1，求a的值．解：±1.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟) 用直接开平方法解下列方程：(1)3(x－1)2－6＝0 ; (2)x2－4x＋4＝5；(3)9x2＋6x＋1＝4; (4)36x2－1＝0；(5)4x2＝81; (6)(x＋5)2＝25；(7)x2＋2x＋1＝4.解：(1)x1＝1＋2，x2＝1－2；(2)x1＝2＋5，x2＝2－5；1(3)x1＝－1，x2＝；311(4)x1＝，x2＝－；6699(5)x1＝，x2＝－；22 (6)x1＝0，x2＝－10；(7)x1＝1，x2＝－3.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用直接开平方法解一元二次方程．2．理解“降次”思想．3．理解x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)中，为什么p≥0?学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.1 配方法(2)1．会用配方法解数字系数的一元二次方程．2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．重点：掌握配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程．(2分钟)1．填空：(1)x2－8x＋__16__＝(x－__4__)2；(2)9x2＋12x＋__4__＝(3x＋__2__)2；pp(3)x2＋px＋__()2__＝(x＋____)2.222．若4x2－mx＋9是一个完全平方式，那么m的值是__±12__．一、自学指导．(10分钟)问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽分别是多少米？设场地的宽为x m，则长为__(x＋6)__m，根据矩形面积为16 m2，得到方程__x(x ＋6)＝16__，整理得到__x2＋6x－16＝0__．探究：怎样解方程x2＋6x－16＝0?对比这个方程与前面讨论过的方程x2＋6x＋9＝4，可以发现方程x2＋6x＋9＝4的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2＋6x－16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？解：移项，得x2＋6x＝16，6b两边都加上__9__即__()2__，使左边配成x2＋bx＋()2的形式，得22__x2__＋6__x__＋9＝16＋__9__，左边写成平方形式，得__(x＋3)2＝25__，开平方，得__x＋3＝±5__，(降次)即__x＋3＝5__或__x＋3＝－5__，解一次方程，得x1＝__2__，x2＝__－8__．归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．问题2：解下列方程：(1)3x2－1＝5；(2)4(x－1)2－9＝0；(3)4x2＋16x＋16＝9.15解：(1)x＝±2；(2)x1＝－，x2＝；2271(3)x1＝－，x2＝－.22归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：(1)把方程化为一般形式ax2＋bx ＋c＝0；(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边；(3)方程两边同时除以二次项系数a；(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟) 1．填空：(1)x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2；11 (2)x2－x＋____＝(x－____)2；42(3)4x2＋4x＋__1__＝(2x＋__1__)2. 2．解下列方程：(1)x2＋6x＋5＝0; (2)2x2＋6x＋2＝0；(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0. 解：(1)移项，得x2＋6x＝－5，配方得x2＋6x＋32＝－5＋32，(x＋3)2＝4，由此可得x＋3＝±2，即x1＝－1，x2＝－5. (2)移项，得2x2＋6x＝－2，二次项系数化为1，得x2＋3x＝－1，335配方得x2＋3x＋()2＝(x＋)2＝，2243553由此可得x＋＝±，即x1＝－，2222x2＝－53－. 22(3)去括号，整理得x2＋4x－1＝0，移项得x2＋4x＝1，配方得(x＋2)2＝5，x＋2＝±5，即x1＝5－2，x2＝－5－2.点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 m，CB＝6 m，点P，Q同时由A，B 两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1 m/s，几秒后△PCQ 的面积为Rt△ABC面积的一半？解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．根据题意可列方程：111 (8－x)(6－x)＝××8×6，222即x2－14x＋24＝0，(x－7)2＝25，x－7＝±5，∴x1＝12，x2＝2，x1＝12，x2＝2都是原方程的根，但x1＝12不合题意，舍去．答：2秒后△PCQ 的面积为Rt△ABC面积的一半．点拨精讲：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知条件列出等式．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．用配方法解下列关于x的方程：(1)2x2－4x－8＝0；(2)x2－4x＋2＝0；1(3)x2－x－1＝0 ; (4)2x2＋2＝5.2解：(1)x1＝1＋5，x2＝1－5；(2)x1＝2＋2，x2＝2－2；117117(3)x1＝＋，x2＝－；4444(4)x1＝66，x2＝－. 222．如果x2－4x＋y2＋6y＋z＋2＋13＝0，求(xy)z的值．解：由已知方程得x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＋z＋2＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＋z ＋2＝0，∴x＝2，y＝－3，z＝－2.∴(xy)z＝[2×(－3)]2＝－1. 36学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．用配方法解一元二次方程的步骤．2．用配方法解一元二次方程的注意事项．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.2 公式法1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式的推导．(2分钟)用配方法解方程：(1)x2＋3x＋2＝0；(2)2x2－3x＋5＝0. 解：(1)x1＝－2，x2＝－1；(2)无解．一、自学指导．(8分钟)问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？－b＋b2－4ac问题：已知ax＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根x1＝，x2＝2a2－b－b2－4ac. 2a分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．探究：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，－b±b2－4ac将a，b，c代入式子x＝就得到方程的根，当b2－4ac＜0时，方程没有实数2a根．－b±b2－4ac(2)x＝叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．2a(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根．(5)一般地，式子b2－4ac叫做方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b2－4ac.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？(1)2x2－3x＝0；(2)3x2－23x ＋1＝0；(3)4x2＋x＋1＝0.3解：(1)x1＝0，x2＝；有两个不相等的实数根；2 (2)x1＝x2＝3；有两个相等的实数根；3(3)无实数根．点拨精讲：Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0时，没有实数根．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( B ) A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根2．当m为何值时，方程(m＋1)x2－(2m－3)x＋m＋1＝0，(1)有两个不相等的实数根？(2)有两个相等的实数根？(3)没有实数根？111解：(1)m＜；(2)m＝；(3)m ＞.4443. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根. 证明：∵x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0.对于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1＝0，Δ＝m2－8m＋4，∵m ＜0，∴Δ＞0，∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．利用判别式判定下列方程的根的情况：3(1)2x2－3x－＝0; (2)16x2－24x＋9＝0；2(3)x2－42x＋9＝0 ; (4)3x2＋10x＝2x2＋8x. 解：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)无实数根；(4)有两个不相等的实数根．2．用公式法解下列方程：1(1)x2＋x－12＝0 ; (2)x2－2x－＝0；4(3)x2＋4x＋8＝2x＋11; (4)x(x－4)＝2－8x；(5)x2＋2x＝0 ; (6)x2＋25x ＋10＝0.解：(1)x1＝3，x2＝－4；(2)x1＝2＋32－3，x2＝；22(3)x1＝1，x2＝－3；(4)x1＝－2＋6，x2＝－2－6；(5)x1＝0，x2＝－2; (6)无实数根．点拨精讲：(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a，b，c确定的；(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把－b±b2－4ac2a，b，c的值代入x＝(b－4ac≥0)中，可求得方程的两个根；2a(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1.求根公式的推导过程．2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定出b2－4ac的值、．a，b，c的值，再算．最后代入求根公式求解．．3.用判别式判定一元二次方程根的情况．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.3 因式分解法1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．(2分钟)将下列各题因式分解：(1)am＋bm＋cm＝(__a＋b＋c__)m；(2)a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；(3)a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．一、自学指导．(8分钟)问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地的高度(单位：m)为10x－4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？(精确到0.01s)设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x－4.9x2＝0，① 思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？分析：方程①的右边为0，左边可以因式分解得：x(10－4.9x)＝0，于是得x＝0或10－4.9x＝0，② ∴x1＝__0__，x2≈2.04．上述解中，x2≈2.04表示物体约在2.04 s时落回地面，而x1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m.点拨精讲：(1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．(2)如果a·b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(x＋1)(x －1)＝0，那么__x＋1＝0或__x－1＝0__，即__x＝－1__或__x＝1．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 1．说出下列方程的根：(1)x(x－8)＝0；(2)(3x＋1)(2x－5)＝0. 15解：(1)x1＝0，x2＝8；(2)x1＝－，x2＝. 322．用因式分解法解下列方程：(1)x2－4x＝0; (2)4x2－49＝0；(3)5x2－20x＋20＝0.77解：(1)x1＝0，x2＝4; (2)x1＝，x2＝－；22(3)x1＝x2＝2.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)1．用因式分解法解下列方程：(1)5x2－4x＝0；(2)3x(2x＋1)＝4x＋2；(3)(x＋5)2＝3x＋15. 4解：(1)x1＝0，x2＝；521(2)x1＝，x2＝－；32(3)x1＝－5，x2＝－2.点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式．2．用因式分解法解下列方程：(1)4x2－144＝0；(2)(2x－1)2＝(3－x)2；13(3)5x2－2x－＝x2－2x＋；44(4)3x2－12x＝－12. 解：(1)x1＝6，x2＝－6；4(2)x1＝，x2＝－2；311(3)x1＝，x2＝－；22(4)x1＝x2＝2.点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．用因式分解法解下列方程：(1)x2＋x＝0; (2)x2－23x＝0；(3)3x2－6x＝－3; (4)4x2－121＝0；(5)(x－4)2＝(5－2x)2. 解：(1)x1＝0，x2＝－1；(2)x1＝0，x2＝23；(3)x1＝x2＝1；。
人教版九年级数学上导学案轴对称第一课时教案配套课时作业课堂练习含答案
E D C A B M NF D C AB 轴对称【教学目标】1．什么是轴对称图形？什么是轴对称？它们之间有什么区别？如果一个图形 ，直线两旁的部分能够互相 ，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的 ．有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与 重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做 ． 轴对称是 图形之间的关系，轴对称图形是 图形具有的特征.2.图形的轴对称有哪些性质？ 图形的轴对称主要有下列两条性质： ⑴如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 ；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的 ． ⑵轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是 ；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．3．常见的轴对称图形有.(至少举出5个) 对称轴分别是 . 4．叫做线段的垂直平分线.【复习引入】1.选择题:⑴下列说法错误．．的是( C ) A.关于某直线对称的两个三角形一定全等B.轴对称图形至少有一条对称轴C.全等三角形一定能关于某条直线对称D.角是关于它的平分线对称的图形⑵（2011江苏淮安）下列交通标志是轴对称图形的是（ D ）A. B. C. D. ⑶下图所示的图案中，是轴对称图形且有两条对称轴的是( D【要点呈现】 1.填空题:⑴观察上图中的两个图案，是轴对称图形的为_2_______，它有___6__条对称轴．⑵如图，△ABC 与△AED 关于直线l 对称，若AB =2cm ，∠C =95°，则AE = 2cm ，∠D = 95 度． ⑶坐标平面内，点A 和B 关于x 轴对称，若点A 到x 轴的距离是3cm ，则点B 到x •轴的距离是____3cm ______． 2.下图中的图形都是轴对称图形，请你试着画出它们的对称轴．答案：3.如图，△ABC 与△ADE 关于直线MN 对称．BC 与DE 的交点F 在直线MN 上.⑴指出两个三角形中的对称点； ⑵指出图中相等的线段和角； ⑶图中还有对称的三角形吗？答案：⑴ B 和D ；C 和E ；A 和A ；F 和F⑵AC=AE ；AB=AD ；BC=DE ；BF=DF ；CF=EF ；∠B=∠D ；∠ACB=∠AED ；∠BAC=∠DAE ；∠EFB=∠CFD⑶有：△AFB 和△AFD ；△AEF 和△ACF 。
【人教版】九年级上册数学导学案：全册资料
x 【人教版】九年级上册数学导学案：全册资料九年级上册：第21章《一元二次方程》精品导学案21．1 一元二次方程（1）年级：初三 学科：数学 课型：新授 备课时间：执笔： 审核： 上课时间：学习目标：了解一元二次方程的概念；一般式ax 2+bx+c=0（a ≠0）及其派生的概念； 应用一元二次方程概念解决一些简单题目．1．通过设置问题，建立数学模型， 模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．3．解决一些概念性的题目．4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．难点（关键）：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型， 再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．【预习内容】（阅读教材，并完成预习内容。
）问题1 要设计一座2m 高的人体雕像，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕像的下部应设计为多高？分析：设雕像下部高x m ，则上部高________,得方程_____________________________整理得_____________________________ ①问题2 如图，有一块长方形铁皮，长100cm ，宽50cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。
如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c ㎡，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为________________,宽为_____________.得方程_____________________________整理得_____________________________ ②问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。