第十一章第三节正态平稳过程第四节遍历过程

第三节 正态平稳过程

一. 正态过程

正态随机变量复习

一维正态随机变量),(~2

σμN X ,概率密度

2

22)(21

)(σμπ

σ--

=

x e

x f ，+∞<<∞-x ;

二维正态随机变量

);,;,(~),(2

22211ρσμσμN Y X ,

概率密度

]})())((2)([)1(21

exp{121),(222221212121222

1σμσσμμρσμρρ

σπσ-+-------=

y y x x y x f

n 维正态分布),,,(21n X X X ⋅⋅⋅, 概率密度

)}

()(2

1

exp{)

(det )2(1),,,(1'2

1221μμπ---=

⋅⋅⋅-x C x C x x x f n

n ，

其中

⎪

⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅=n x x x x 21,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⋅⋅⋅=n μμμμ21, 协方差矩阵n n ij C C ⨯=)(,),(j i ij X X Cov C =.

这里C 为对称正定矩阵。

正态分布的随机变量，也有C 为对称半正定矩阵时的情形。

定义5 如果随机过程)(t X ,对任意正整数n ,任意T t t t n ∈⋅⋅⋅,,,21,

))(,),(),((21n t X t X t X ⋅⋅⋅都服从正态分布, 则称)(t X 为正态过程,又称高斯(Gauss)过程.

设))(,),(),((21n t X t X t X ⋅⋅⋅的协方差矩阵 n

n ij

C C ⨯=)(,))(),((j i ij t X t X Cov C =， 如果C 为对称正定矩阵。

则))(,),(),((21n t X t X t X ⋅⋅⋅的概率密度为

)}

()(2

1

exp{)

(det )2(1),,,;,,,(1'2

122121μμπ---=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅-x C x C t t t x x x f n

n n n 其中

⎪

⎪

⎪

⎪⎪⎪

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛⋅⋅⋅=n x x x x 21,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛⋅⋅⋅=)()()(21n X X X t t t μμμμ。

特别,设}),({T t t X ∈为正态过程,

则,1T t ∈∀ ))(),((~)(12

11t t N t X X X σμ

,

,21T t t ∈∀

));(),();(),((~))(),((22212121ρσμσμt t t t N t X t X X X X X ,

)

()()

,(22

1221t t t t C X X X σσρ⋅=

.

独立正态过程:如果}),({T t t X ∈是

正态过程,同时又是独立过程, 则称}),({T t t X ∈为独立正态过程.

对正态过程}),({T t t X ∈,如果T 是可列集,},,,,{21⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n t t t T ,记t X t X =)(, 那么,},,,,,{21⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n t t t t t X 是正态序列.

二. 正态平稳过程

设}),({T t t X ∈是正态过程, 于是)(t X 服从正态分布, 则 )]([)(22

t X E t X

=ψ必存在,即二阶矩存在.

定义 如果正态过程)(t X 又是(广义)平稳过程,则称)(t X 为正态平稳过程.

正态平稳过程的性质:

设}),({T t t X ∈是正态平稳过程, 则有

)()(εμμμ+==t t X X X ,

),()(),(εε++=-=j i X i j X j i X t t C t t C t t C ,

从而成立

)}

()(2

1

exp{)

(det )2(1),,,;,,,(1'2

122121μμπ---=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅-x C x C t t t x x x f n

n n n ),,,;,,,(2121εεε+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=n n n t t t x x x f ,

即)(t X 又是严平稳过程.于是有

定理二.设)(t X 是正态过程.

则)(t X 为严平稳过程⇔)(t X 为广义平稳过程.

严(狭义,强)平稳过程,如果二阶矩存在

⇒ 是宽(广义,弱)平稳过程.

例1 设正态过程}),({+∞<<-∞t t X 的均值函数0)(=t X

μ,自相关函数)(),(1221t t R t t R X X -=,试写出过程的一维、二维概率密度函数. 解 根据题设条件,知 )(t X 服从正态分布,

))(),((21

t X t X 服从二维正态分布; 0)()]([==t t X E X

μ,

)0(),()]([)()(2

2

X

X

R t t R t EX t EX t DX ==-=, 即得))0(,0(~)(X R N t X ;

0)()]([==i X i t t X E μ,)0()(X i R t DX =, 2,1=i ,

)()()]()([))(),((2

1

2

1

2

1

t EX t EX t X t X E t X t X Cov ⋅-=

)(),(1221t t R t t R X X -==,

)

0()()

()())(),((122121X X R t t R t DX t DX t X t X Cov -=

⋅=

ρ,

于是

)

)

0()

();0(,0);0(,0(~))(),((1221X X X X R t t R R R N t X t X - .

例2 设)(t X 是正态平稳过程, 且0)()]([==t t X E X μ,令

⎩

⎨⎧≥<=0)(,00)(,1)(t X t X t Y 当当, 证明)(t Y 是平稳过程.

解 因为)(t X 是平稳过程, 所以)(),(1221t t R t t R X X -=, 又)(t X 是正态过程, 且0)()]([==t t X E X μ,

由上例,知道))0(,0(~)(X R N t X ,

)

)

0()

();

0(,0);0(,0(~))(),((1221X X X X R t t R R R N t X t X -,

其概率密度

),;,(2121t t x x f );,(1221t t x x f -=,

2

1

}0)({}1)({=<==t X P t Y P ,

2

1}0)({}0)({=

≥==t X P t Y P ,

2

1}0)({0}1)({1)]([=

=⋅+=⋅=t Y P t Y P t Y E ,

(是常数)

2

1

)]([2

=t Y E 存在且有限, }1)(,1)({11)]()([=+=⨯⋅=+ττt Y t Y P t Y t Y E

}0)(,1)({01=+=⨯⋅+τt Y t Y P }1)(,0)({10=+=⨯⋅+τt Y t Y P }0)(,0)({00=+=⨯⋅+τt Y t Y P }1)(,1)({=+==τt Y t Y P }0)(,0)({<+<=τt X t X P

2

1

2

01

);,(21dx dx x x f x x τ⎰⎰<<=

);0,0(τX F =仅依赖于τ,

故)(t Y 是平稳过程.

例 3 设随机过程()cos sin ,0X t U t V t t ωω=+≥，其中ω为常数，

()()0E U E V ==，222()()E U E V σ==，且U 和V 是相互独立的正态变量，

试证{(),0}X t t ≥为正态过程，并求其一维概率密度和二维概率密度。

解 U V ⎛⎫

⎪⎝⎭

服从二维正态分布， 任取1

2,,,0n t t t ⋅⋅⋅≥，

121122

()()cos sin cos sin cos sin ()n

n n X t X t t t t t U V t t X t ωωωωωω⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⋅⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪ ⎪⋅⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⋅⎝⎭

⎪ ⎪⎝

⎭，

从而可知，))(,),(),((21n t X t X t X ⋅⋅⋅都服从正态分布,（可能有退化正态分布的情形）。所以{(),0}X t t ≥为正态过程。 ))(,),(),((21n t X t X t X ⋅⋅⋅的协方差矩阵为

11112

22

2

22cos sin cos sin cos sin cos sin 00cos sin cos sin T

n

n n

n t t t t t t t t C t t t t ωωωωωωωωσσωωωω⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪⎛⎫ ⎪ ⎪

= ⎪ ⎪

⎪⎝⎭

⎪

⎪⎝⎭

⎝⎭

1212122121

cos ()cos ()cos ()1cos ()cos ()

cos ()1n n n n t t t t t t t t t t t t ωωωωσωω--⎛⎫

⎪

-- ⎪

= ⎪

⎪

--⎝

⎭

。

例4 已知随机变量R Θ、相互独立，R 服从Rayleigh 分布，即其概率密度

函数为2

22

exp{},0()20,0R r r r p r r σσ⎧-

≥⎪=⎨⎪≥⎩

，Θ服从区间(0,2)π上的均匀分布，对t -∞<<+∞，令()cos()X t R t ω=+Θ，其中ω是常数。

求证{(),}X t t -∞<<+∞是一正态过程。

解 ()cos()cos cos sin sin X t R t R t R t ωωω=+Θ=Θ-Θ， 令cos ,sin X R Y R =Θ=Θ，

(,)R Θ的概率密度为

2

22

1exp{},0,02(,)220,r r r p r θπθπσσ

⎧-≥<<⎪=⎨⎪⎩

其它

求出(,)X Y 的概率密度。

cos ,sin x r y r θθ==，

r =

(,)1

(,)r x y r

θ∂=∂ ，

(,)X Y 的概率密为

22

22

(,)11(,)(,)exp{}(,)22r x y p x y p r x y θθπσσ

∂+==-∂， (,)X Y 服从二维正态分布，

所以

()cos()cos cos sin sin cos sin X t R t R t R t X t Y t

ωωωωω=+Θ=Θ-Θ=-是一正态过程。

第四节 遍历过程

一. 时间均值和时间相关函数

设随机过程)},(),({+∞-∞=∈T t t X , 任固定S e ∈,

样本函数)(),(t x t e X =,

样本函数)(t x 在区间)0](,[>-l l l 上的函数平均值定义为

⎰-=l

l dt t x l t x )(21)(,

)(t x 在),(+∞-∞上的函数平

均值定义为

⎰-+∞→=l

l

l dt t x l

t x )(21)(lim . 当e 变化时,

⎰-+∞→==l

l

l dt t e X l

t e X t X ),(21),()(lim . 定义 6 设)},(),({+∞-∞=∈T t t X 是平稳过程，

如果1(,)2lim l

l

l X e t dt l

-→+∞⎰存在， 则称之为随机过程)(t X 在(,)-∞+∞上的时间平均值,通常称为随机过程)(t X 的时间均值.记为()(,)X t X e t = 。

显然

⎰-+∞→==l

l

l dt

t e X l

t e X t X ),(21),()(lim 是一

个随机变量.

在任意t 处,给任意实数τ,过程在t 和τ+t 的两个状态的乘积

),(),(τ+t e X t e X 在),(+∞-∞上的平均值, 记为

⎰-+∞→+=+=+l

l

l dt

t e X t e X l

t e X t e X t X t X ),(),(21),(),()()(lim τττ.

定义7设)},(),({+∞-∞=∈T t t X 是平稳过程，

如果1(,)(,)2lim l

l

l X e t X e t dt l

τ-→+∞+⎰存在， 则称之为随机过程)(t X 在(,)-∞+∞上

的时间相关函数，记为

(

)(

)

(,

)

(

,

)

X t X t

X e t X e t

ττ+=+。

显然

⎰-+∞→+=+=+l

l

l dt

t e X t e X l

t e X t e X t X t X ),(),(21),(),()()(lim τττ是一个随机过程.

对随机过程)},0[),({+∞=∈T t t X ,此时,

时间均值为 ⎰

+∞→=l

l dt t e X l t X 0),(1lim )(, 时间相关函数为

⎰+=+=++∞→l

l dt t e X t e X l

t e X t e X t X t X 0

),(),(1),(),()()(lim τττ.

例1 求随机相位正弦波 )cos()(Θ+=t a t X ω的时间均值和时间相关函数.

解

时间均值⎰-+∞→==l

l

l dt t e X l

t e X t X ),(21),()(lim ⎰-+∞→Θ+=l

l

l dt t a l )cos(21lim ω l

l l t l a -+∞

→Θ+⋅=|)sin(12lim ωω

l

l l a l )

sin()sin(2lim

Θ+--Θ+=+∞

→ωωω0=，

时间相关函数

⎰-+∞→+=+=+l

l

l dt

t e X t e X l

t e X t e X t X t X ),(),(21),(),()()(lim τττ ⎰-+∞→Θ++⋅Θ+=l

l

l dt t a t a l

])(cos[)cos(21lim τωω 2

cos cos[(2)2]

22

lim l

l

l a t dt l ωτωτ-→+∞+++Θ=⎰ ωτcos 2

2a =.

(记住这个例题的结论,以后要用) 平稳过程的数字特征可以由一个样本函数来确定这一性质，称为各态历经性，或称为遍历性。

二. 各态遍历性

定义8 设)},(),({+∞-∞=∈T t t X 是一个平稳过程，

(即X t X E μ=)]([,2

2)]([X t X E ψ=为常数,

)()]()([ττX R t X t X E =+。) (1) 如果成立

1})]([)({===X t X E t X P μ,

则称过程)(t X 的均值具有各态历经性;

(2) 如果对任意的实数τ，成立 1)}()]()([)()({==+=+τττX R t X t X E t X t X P ,

则称过程)(t X 的自相关函数具有各态历经性；

(3) 均值和自相关函数都具有各

态历经性的平稳过程)(t X 称为各态历经过程,或者说,该平稳过程具有历经性.

各态历经性又称为遍历性。

三. 遍历过程的例子

例 设)cos()(Θ+=t a t X ω,),(+∞-∞∈t , 其中)0(,≠ωa 是实常数,Θ服从区间)2,0(π上的均匀分布, 讨论)(t X 的各态遍历性. 解 由前面例题的结果, 知)(t X 是平稳过程, 且 ,0)]([==t X E X μ

ωτ

ττcos 2)]()([)(2

a t X t X E R X =+=;

由上面的例1, 知 0)(=t X ,

)(cos 2)()(2

τωττX R a t X t X ==+

于是有

1}{})]([)({====S P t X E t X P X μ,

1}{)}()]()([)()({===+=+S P R t X t X E t X t X P X τττ

故)(t X 是均值和自相关函数都具有各态遍历性的平稳过程,即)(t X 是遍历过程.

不具各态遍历性的例子：

设Y t X =)(,Y 是一个随机变量, 且0≠DY .

则 (1) )(t X 是平稳过程;

(2) )(t X 的均值不具有各态

遍历性.

解 (1) EY t X E =)]([是常数,

2

2)]([EY t X E =是常数,

2

)]()([EY t X t X E =+τ (与t 无关),

由定义, )(t X 是平稳过程.

(2)⎰-+∞→==l

l

l dt t e X l

t e X t X ),(21),()(lim Y Ydt l

l

l

l ==⎰-+∞→21lim , 利用定理1}{0==⇔=EX X P DX , 由条件0≠DY ，得

1})]([)({≠====X t X E EY Y t X P μ, 所以)(t X 的均值不具有各态遍历性.

四. 平稳过程具有各态遍历性

的判别定理

设随机过程{(),}X t t T ∈,如果

满足:对于任意T t ∈，

)]([2t X E 存在且有限，则称{(),}X t t T ∈为二阶矩过程。

设{(),}X t t T ∈为二阶矩过程， （1）对0t T ∈，

如果成立0

2

lim |()()|0t t E X t X t →-=， 则称()X t 在0

t T ∈处均方连续；

（2）若()X t 在每一0

t T ∈处都均方连续，则称{(),}X t t T ∈是均方连续的。

引理 设}),({+∞<<-∞t t X 是一均方连续的平稳过程,则它的时间均值)(t X 的数学期望和方差分别为

)]([])([t X E t X E X ==μ,

τμττd R l l

t X D X X l l ])()[21(1])([2

20lim --=⎰+∞→.

证明 由于}),({+∞<<-∞t t X 是一均方连续的平稳过程，所以有 1

()2l l

X t dt l -⎰

存在，[()]X

E X t μ=， 11[()][()]22l l

l l

E X t dt E X t dt l l --=⎰⎰

12l

X X l

dt l μμ-==⎰；

2

()()X X X C R ττμ=-，且是偶函数；

由1()()2lim l

l

l X t X t dt l

-→+∞=⎰， 得1[()][()]2lim l

l

l E X t E X t dt l

-→+∞=⎰ 1[()]2lim l

l l E X t dt l -→+∞

=⎰

lim X X l μμ→+∞

== ；

1[()][()]2lim l

l

l D X t D X t dt l

-→+∞=⎰ 1[()]2lim l

l l D X t dt l -→+∞

=⎰，

而 1[()]2l

l

D X t dt l -⎰

21[()]2l

X l

E X t dt l μ-=-⎰ 221

[(())]4l X l E X t dt l

μ-=-⎰

21

[(())(())]4l l X X l l E X t dt X s ds l

μμ--=-⋅-⎰⎰

21

[(())(())]4l l X X l l E X s X t dsdt l

μμ--=--⎰⎰

2

1

[(())(())]4l l

X X l l

E X s X t dsdt l μμ--=--⎰⎰ 21()4l

l

X l l

C t s dsdt l

--=-⎰⎰

,2

1()4u t s v t s

l

l

X l l

C t s dsdt l =-=+--=-⎰⎰

2222211

()42X l v u l

l v u l

C u dudv l

-≤-≤-≤+≤=⎰⎰ 0

2222220211[()()42

l u l l u X X l l u l u du C u dv du C u dv

l +-----+=+⎰⎰⎰⎰

222011[(42)()(42)()]

42l X X l

l u C u du l u C u du l -=++-⎰⎰02201[(1)()(1)()]222l X X l u u

C u du C u du l l l

-=++-⎰⎰

221||

(1)()22l X l u C u du l l -=-⎰

22

21||(1)[()]22l X X l u R u du l l

μ-=--⎰

2201(1)[()]2l X X u R u du l l

μ=--⎰，

于是成立

τ

μττd R l l

t X D X X l l ])()[21(1])([2

20lim --=⎰+∞→

定理三(均值各态遍历定理) 设}),({+∞<<-∞t t X 是一均方连续的平稳过程，则时间均值具有各态遍历性的充要条件是

0])()[21(12

20lim =--⎰+∞→τμττd R l l

X X l l . 证 根据方差的性质以及引理

X t X E t X E t X μ===)]([])([)(

以概率1成立的充要条件是0])([=t X D , 再由引理,即得证.

类似地，

对均方连续的平稳过程 )},0[),({+∞=∈T t t X , 此时,

时间均值为 ⎰+∞→=l

l dt t e X l

t X 0),(1lim )(，

成立)]([])([t X E t X E X ==μ,

2

01[()](1)[()]lim l X X l D X t R d l

l ττμτ→+∞=--⎰. 定理 设)},0[),({+∞=∈T t t X 是一均方连

续的平稳过程，则时间均值具有各态遍历性的充要条件是

2

01(1)[()]0lim l X X l R d l

l ττμτ→+∞--=⎰.

五． 引入遍历过程的目的,

应用意义

近似计算X μ提供依据.

例 设)()(Θ+=t S t X 是以T 为周期的随机相位周期过程,即满足(S 是周期函数)

)()(Θ++=+T t S T t X )()(t X t S =Θ+=, 其中Θ是在),0(T 上服从均匀分布