第十五章15.3 第1课时 分式方程及其解法.ppt
八年级上册数学第十五章分式方程
第一节：认识分式方程
1.1 分式方程的定义
分式方程是指含有分式的方程，其中未知数出现在分式中。
1.2 分式方程的性质
分式方程的性质包括有理数的性质、分式的性质、方程的性质。
1.3 分式方程的解
分式方程的解是指能满足方程的未知数的数值，求解分式方程的过程就是求方程的解的过程。
第二节：分式方程的基本形式
2.1 一元一次分式方程
一元一次分式方程的形式是a/x+b=c，其中a、b、c是已知数，x是未知数，x≠0。
2.2 一元一次分式不等式
一元一次分式不等式是a/x+b
第三节：分式方程的解法
3.1 通分法
对于分式方程中的分式进行通分，使得方程变得更容易计算。
3.2 消去法
通过约去分式中的公因式，使得方程变得更简单，从而更容易求解。
第四节：用分式方程解实际问题
4.1 问题拆解
将实际问题转化为分式方程，对实际问题进行分析和拆解，得到问题的数学表示形式。
4.2 方程求解
将转化得到的分式方程进行求解，得到问题的解。
第五节：应用题
5.1 填空题
给定一元一次分式方程，要求填写方程的解。
5.2 计算题
给定一元一次分式方程，要求解出方程的解并进行计算。
结语：分式方程是数学中常见的一种方程形式，掌握分式方程的基本概念、基本形式、基本解法，能够帮助我们更好地理解数学知识，在实际问题中也能够更加灵活地运用数学知识解决问题。希望同学们能够认真学习分式方程的知识，掌握分式方程的解题方法，提高自己的数学水平。在进行进一步的学习中，我们将深入探讨分式方程的解法，包括更复杂的情况和实际问题的应用。同时也会针对一些常见的困惑和错误进行讲解和解答，以帮助同学们更好地掌握分式方程的知识。
第一节：分式方程的解法
1.1 假分式方程 假分式方程是指分式方程中含有未知数的分母含有未知数的方程形式。在解假分式方程时，我们需要通过通分的方法将方程转化为一般的分式方程，然后再按照常规的分式方程解法进行求解。
第1课时分式方程及其解法
15.3 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
【学习目标】
1.进一步了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.
2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的根.
3．理解“增根”和“无解”不是一回事.
【学习重点】：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的根.
【学习难点】：掌握“增根”和“无解”不是一回事
【知识准备】：
【自主探究文】
【探究一】解分式方程 .
⑴ 11122xx
⑵ 214111xxx
【探究二】X为何值时，代数式xxxx231392的值等于2？
【探究三】利用增根的性质解题。
若分式方程424xaxx有增根，求a的值
【探究四】理解“增根”和“无解”.
（一）已知分式方程有增根，确定字母系数的值。
例1.当a为何值时，关于x的方式方程349332xxaxx有增根？
归纳:解决此类问题的一般步骤是：（1）把分式方程化为 方程；
（2）求出使最简公分母为 的x的值；
（3）把x的值分别代入整式方程，求出字母系数的值。
（二）已知分式方程无解，确定字母系数的值。
例2 若关于X的分式方程132323xmxxx 无解，求出m的值。
【自测自结】
1、方程2332xx的解是 ，
2、若x=2是关于x的分式方程2372axx的解，则a的值为
3、解方程
①2373226xx ②2512552xxx ③ 3233xxx ④ 2211566xxxx
x的方程7766xmxx有增根，则增根为 ，
2933xxxxx出现增根，那么增根一定是( )
渭南市实验中学八年级数学上册 第十五章 分式 15.3 分式方程 课时2 分式方程与实际问题的综合教
第十五章 分式
15.3 分式方程
课时2 分式方程的应用
【知识与技能】
(1)进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程.
(2)熟练地列可化为一元一次方程的分式方程解应用题.
【过程与方法】
建立分式方程模型的过程，体会建模思想.
【情感态度与价值观】
在探索分式方程解决实际问题的过程中，体会数学在实际生活中的广泛应用.
在不同的实际问题中审清题意设未知数，列分式方程，解决实际问题.
在不同的实际问题中，设未知数列分式方程.
多媒体课件.
教师出示问题：
1.列方程解应用题的一般步骤是什么？
(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；（5）验；(6)答.(教师板书)
2.由学生讨论，我们现在所学过的应用题有哪些类型？
学生举手回答上面的两个问题，教师点评.
在学生讨论的基础上，教师归纳、总结，基本上有五种：
(出示投影)(1)行程问题：路程=速度×时间，而行程问题中又分相遇问题和追及问题.
(2)数字问题：在数字问题中，要掌握十进制数的表示法.
(3)工程问题：工作量=工作时间×工作效率.
(4)顺水、逆水问题：v顺水=v静水+v水，v逆水=v静水-v水. (5)利润问题：售价-进价=利润率×进价.
教师引入：有一些实际问题，我们可以通过列分式方程解决.(板书课题)
教师：同学们，我们一起来看几个例子(教师依次出示教材P152例3、P153例4)：
例3两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的13，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
分析：甲队1个月完成总工程的，设乙队单独施工1个月能完成总工程的，那么甲队半个月完成总工程的（ ），乙队半个月完成总工程的（ ），两队半个月完成总工程的（ ）.
教师引导学生在用式子表示上述的量之后，再根据“甲、乙两个工程队的工程总量=总工程量”这一相等关系建立方程.
人教版八年级数学上册15.3.1《分式方程》(第1课时)一等奖优秀教学设计
- 1 - 人教版义务教育教科书八年级数学上册
15.3.1《分式方程》（第1课时）教学设计
一、教材分析
1、地位作用：本课内容选自人教版八年级上册第十五章《分式》的第三节第1课时分式方程。本节内容是在学生掌握了一元一次方程的解法和分式四则运算的基础上进行的，为后面学习可化为一元一次方程的分式方程打下基础。通过经历实际问题→列分式方程→探究解分式方程的过程，体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型，进一步发展学生分析问题和解决问题的能力，培养应用意识，渗透类比转化思想。
2、教学目标：
（1）理解分式方程的意义；
（2）掌握解分式方程的基本思路和解法；
3、教学重、难点
重点: 解分式方程的基本思路和解法。
难点：分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想。
二、教学准备：多媒体课件、导学案
三、教学过程：
教学内容与教师活动 学生活动 设计意图
一、创设情景 引入课题
（一）、忆一忆
（1）什么叫方程？什么叫方程的解？
（2）我们学过的方程有哪一些？
（二）、情景问题创设 引入新课。
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它
沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等,江水的流速为多少?（设未知数，列出方程）
引出新课题------分式方程
二、自主探究 合作交流 建构新知
活动1：1．分式方程的定义 回忆思考回答。
学生读题，尝试思考解决问题.
根据教师的引导作总结。
故而知新，为本课的顺利进行做好铺垫。通过学生熟悉的例子出发，让学生初步感受到与我们学过的方程的不同，为下一环节归纳新知作铺垫。90603030vv
- 2 - 像这样，分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
以前学过的分母里不含有未知数的方程叫做整式方程。
2、练习：下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程.
活动2：再探新知：怎样解分式方程？
1、解整式方程
分式方程(第一课时)教案-初二数学第十五章15.3人教版
教育
1 / 8 第十五章 分式的方程
15.3分式的方程
第一课时 15.3.1分式的方程（认识、解法）
1教学目标
1.1 知识与技能：
[1]理解分式方程的意义。
[2]使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法。
[3]理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握分式方程的验根方法。
1.2过程与方法 ：
经历“实际问题---分式方程---整式方程”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识。
1.3 情感态度与价值观 ：
[1]在活动中培养学生乐于探究﹑合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值.
[2]结合已有的数学经验,解决新问题,获得成就感以及克服困难的方法和勇气。
2教学重点/难点/易考点
2.1 教学重点
[1]可化为一元一次方程的分式方程的解法。
[2]分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想。
2.2 教学难点
[1]理解解分式方程时可能无解的原因。
[2]解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根。
3 专家建议
本节课内容难度不大，但是难点在于灵活运用。在讲授分式方程解法时，老师应该尽量说清楚以下知识点：（1）类比整式方程与分式方程的区别。（2）在进行解分式方程时，注意出现曾根的情况。 从下一节起将开始分式方程的应用。因此，可以在课下带领同学进行分式的乘除、加减、幂运算以及混合运算进行专题练习，锻炼同学综合运用分式运算知识进行解题的技能。
教育
2 / 8 4 教学方法
[1]分组讨论。
[2]类比推理。
[2]启发引导探索的教学方法。
5 教学用具
多媒体，黑板
6教学过程
6.1复习提问
【师】同学们好。同学们看一下大屏幕上的这个题，我们一起回亿一下之前我们学过哪些方程？我们该如何求解它呢？
【生】答：
人教版八年级上册数学教案：15.3分式方程
分式方程（第1课时）教学设计
设计教师 工作单位
学科 数学 课型 新授课
所教内容 新人教版数学八年级上册第十五章第三节第一课时
课程标准 讨论分式方程的概念及解法，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程. 从章引言中的实际问题出发，分析分式方程的特点，给出分式方程的概念，接着从分式方程的特点入手，引出解分式方程的基本思路，即通过去分母将分式方程化为整式方程，再解出未知数.
教材分析
《分式方程》是人教版八年级数学《分式方程》第三节内容，从知识上讲，分式方程是在掌握方程、分式相关概念基础上的一次知识拓展，本节课为分式方程第一课时，让学生初步感知分式方程，认识分式方程，初步掌握分式方程的一般解法，为以后学习解打基础。从思想方法上讲，分式方程的求解是转化为已经学习的整式方程的解法，从而找到解分式方程的途径，让学生逐步理解并掌握应用转化的思想方法。
教学目标 1．理解分式方程的意义;
2．了解解分式方程的基本思路和解法
3．掌握分式方程的验根方法 教学
重点
难点
教学重点：解分式方程的基本思路和解法
教学难点：分式方程的验根方法
学情分析
学生已经学习了用方程解决简单的实际问题以及分式的基本运算，积累了必要的学习经验。但是学生第一次接触分式方程，在对整式方程的认识还不够深入的情况下，就遇到比解整式方程复杂的求解过程和可能产生增根的新情境，学生会对此内容的接受会有很大困难，特别是产生增根的原因，学生没有认知准备.学生在解整式方程时往往会有一种思维定式，即所有遇到的方程都是有解的，因此对有些分式方程“无解”会产生疑惑和不解，尤其会不明白昌盛增根时，为什么有些方程“无解”.在教学时，教师要从等式的性质2出发，让学生认识到解分式方程产生增根的原因.对实际问题进行建模有初步地了解，具备分析问题，处理问题的能力。分式方程的学习将进一步应用数学知识解决更复杂的数学问题，体现了数学来源于生活，应用于生活。
第15章分式单元备课
第15章《分式》单元备课
一、教材分析
1、课程标准
（1）了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；
（2）能进行简单的分式加、减、乘、除运算。
在修改稿的课程标准中，增加了对最简分式概念的理解。
2、课本内容
本章的主要内容包括：分式的概念与基本性质，分式的约分与乘法、除法，分式的通分与加法、减法，比和比例，分式方程的解法。
其中，3．1 节引进分式的概念，讨论分式的基本性质是全章的理论基础部分。3.2—3.5节讨论分式的通分、约分及分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序。3.6讨论比和比例，3.7节讨论分式方程的概念，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。解方程中要应用分式的基本性质，并且出现了必须检验（验根）的环节，这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程，是本章教学中的另一个难点，克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。
3、知识定位
分式是不同于整式的另一类有理式，是代数式中重要的基本概念；相应地，分式方程是一类有理方程，解分式方程的过程比解整式方程更复杂些。然而，分式或分式方程更适合作为某些类型的问题的数学模型，它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。
本章内容是数与代数领域的重要组成部分，是对整式和一元一次方程等知识的进一步拓宽和深化。
（1）分式是“整式”之后对代数式的进一步研究，所以研究方法与整式相同。如：让学生经历用字母表示现实情境中数量关系（分式、分式方程）的过程，经历通过观察、归纳、类比、猜想获得分式基本性质以及分式加、减、乘、除运算法则的过程，体会分式、分式方程的模型思想，进一步发展符号感。
（2）“分式”是“分数”的“代数化”，所以可通过类比获得有关的性质、运算法则，要注意培养学生的观察、归纳、类比、猜想等合情推理能力。
15.3分式方程(第1课时)-教学设计
15.3分式方程 教学设计
第1课时
前言：
本节内容从本章引言中的航行问题说起，列出分母中含有未知数的方程，然后分析这样的方程的特点，给出分式方程的概念，接着由分式方程的特点引出解分式方程的基本思路，即通过去分母使分式方程 化为整式方程，再解出未知数。在教学过程中要重视分式方程的特殊性，突出其解法的关键步骤：化分式方程为整式方程和检验。本节知识都是进一步学习数学时必须具备的基础知识，打好基础很重要，因此教学中应注意通过必要的练习使学生切实地掌握它们。
一、教学任务分析
二、教学流程安排
序号 活动流程图 活动内容和目的
1 创设情境，导入新课 以船在汉江上顺、逆水航行问题为背景创设问题情境，在揭示课题的同时帮助学生认识数学与生活的密切关系，激发其求知欲，通过所列方程为分式方程引出本节课。
2 诱导尝试，探究新知 出示4个问题，以此引领学生探究发现、归纳法则，理解解法的形成过程。
3 变式训练，巩固新知 通过有梯次训练题，巩固分式方程解法，达到举一反三，触类旁通。
4 全课小结，内化新知 将知识归类细化，纳入已有的知识体系。
5 推荐作业，延展新知 分类推荐、分层要求，将探究兴趣由课内延伸到课外；及时捕捉学生学习状况，适时进行有效诊断评价、反馈补救、长善救失。 教
学
目
标 知识
技能 掌握解可化为一元一次方程的分式方程的基本思路和解法。
过程
方法 通过发现法、练习法、合作学习的方法，经历解可化为一元一次方程的分式方程的过程，体会解方程中的化归思想。
情感
态度 通过引例问题情境的创设，诱发学生的求知欲，进一步认识数学与生活的密切联系；通过解可化为一元一次方程的分式方程的过程，使学生主动地、富有个性地学习,不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。
教学重点 解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）的基本思路和解法
教学难点 理解解分式方程时可能误解的原因。
15.3分式方程-增根(教案)-人教版八年级数学上册
15.3分式方程-增根（教案）-人教版八年级数学上册
一、教学内容
本节课选自人教版八年级数学上册第15章“分式方程”中的15.3节“增根”。教学内容主要包括以下两个方面：
1. 理解增根的概念：通过实例引导学生认识增根，即分式方程在化简过程中产生的使分母为零的根。
2. 学会求解含增根的分式方程：教授学生如何判断分式方程是否存在增根，掌握求解含增根分式方程的方法，并能够运用到实际问题的解决中。
具体内容包括：
（1）理解增根的定义及特点；
（2）掌握求解含增根分式方程的步骤；
（3）通过练习，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
二、核心素养目标
1. 培养学生的逻辑推理能力：通过分析分式方程的增根问题，让学生掌握逻辑推理方法，提高分析问题和解决问题的能力。
2. 提升学生的数学建模素养：使学生能够运用所学知识，建立含增根的分式方程模型，解决实际生活中的问题。
3. 强化学生的数学运算能力：培养学生熟练运用数学运算法则，求解含增根分式方程，提高运算速度和准确性。
4. 增强学生的数学抽象思维：让学生从具体实例中抽象出增根的概念，培养学生的数学抽象思维能力。
5. 激发学生的自主学习与合作交流：鼓励学生在课堂中主动探索、合作交流，培养团队协作意识，提高自主学习能力。
三、教学难点与重点
1. 教学重点
（1）理解增根的定义：增根是指使分式方程分母为零的根。这是本节课的核心概念，教师需通过实例讲解，使学生深刻理解增根的含义。
举例：分式方程 $\frac{1}{x-a}= \frac{2}{a}$，当$x=a$时，分母为零，此时$x=a$为增根。
（2）掌握求解含增根分式方程的方法：包括识别增根、去分母、求解整式方程、检验解等步骤。教师需详细讲解并举例说明每个步骤的操作方法。
举例：求解分式方程 $\frac{1}{x-2} + \frac{2}{x+1} = \frac{3}{x-2}$，先识别增根$x=2$，然后去分母，求解整式方程，最后检验解。
15.3(1)分式方程
15.3分式方程（1）
主备人：_刘老师__审核人_______
学习重难点：
1.理解分式方程的意义。
2.了解解分式方程的基本思路和方法。
☆ 预习自测 ☆
我的疑惑：
☆ 探究学习 ☆
探究：
1.解方程 163242xx
2.问题解决：
（1） 中含未知数的方程叫做分式方程.
（2）解分式方程的思想是：___________________________________________;
（3）解分式方程的解的两种情况：
①所得的根是原方程的根.
②所得的根不是原方程的根
在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的 。
产生增根的原因：在把分式方程转化为 时，分式的两边同时乘以了
验根：将整式方程的解代入 ，如果最简公分母的值不为零，则整式方程的解
原分式方程的解；否则，这个解
原分式方程的解.（所以，解分式方程一定要检验！）
(4)解方程vv206020100
☆ 训练检测 ☆
-------把简单的题做好， 就是不简单！
1．能使分式122xxx的值为零的所有x的值是（ ）
A．0x B．1x C．0x或1x D．0x或1x
2.把分式方程12121xxx去分母得( )
A1)1(1x B．1)1(1x C.2)1(1xx D．2)1(1xx