高一上期中数学试卷(有答案)
第1页 共13页 高一（上）期中数学试卷 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．已知集合M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，下列结论成立的是（ ） A．N⊆M B．M∪N=M C．M∩N=N D．M∩N={2}
2．已知集合U=R，P={x|x2﹣4x﹣5≤0}，Q={x|x≥1}，则P∩（∁UQ）（ ） A．{x|﹣1≤x＜5} B．{x|1＜x＜5} C．{x|1≤x＜5} D．{x|﹣1≤x＜1}
3．下列函数中表示同一函数的是（ ） A．y=与y=（）4 B．y=与y=
C．y= 与y=• D．y=与y=
4．已知f（x）=，则f（3）为（ ） A．3 B．4 C．1 D．2 5．函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在的一个区间是（ ） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）
6．函数g（x）=2015x+m图象不过第二象限，则m的取值范围是（ ） A．m≤﹣1 B．m＜﹣1 C．m≤﹣2015 D．m＜﹣2015
7．设a=log0.50.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系为（ ） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b
8．（ ） A．（﹣∞，2] B．（0，+∞） C．[2，+∞） D．[0，2]
9．一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，缸中水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v=f（h）的大致图象可能是图中四个选项中的（ ）
A． B． C． D． 10．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有，且f（2）=0，则不等式＜0的解集是（ ） A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2） C．（﹣2，1）∪（2，+∞） D．（﹣2，1）∪（1，2）
11．已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为（ ） 第2页 共13页
A． B． C． D． 12．设奇函数f（x）在[﹣1，1]上是增函数，且f（﹣1）=﹣1，若对所有的x∈[﹣1，1]及任意的a∈[﹣1，1]都满足f（x）≤t2﹣2at+1，则t的取值范围是（ ）
A．[﹣2，2] B．{t|t≤﹣或t或=0}
C．[﹣，] D．{t|t≤﹣2或t≥2或t=0}
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．函数y=|x﹣a|的图象关于直线x=2对称，则a= ．
14．设函数f（x）满足，则f（2）= ．
15．已知函数f（x）=在区间（﹣2，+∞）上为增函数，则实数a的取值范围是 ． 16．若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题（共6小题，满分70分） 17．（1）若xlog32=1，试求4x+4﹣x的值；
（2）计算：（2）﹣（﹣9.6）0﹣（3）+（1.5）﹣2+（×）4．
18．已知集合M={x|x2﹣3x≤10}，N={x|a+1≤x≤2a+1}． （1）若a=2，求M∩（∁RN）； （2）若M∪N=M，求实数a的取值范围．
19．已知函数f（x）是定义域在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣2x． （1）求出函数f（x）在R上的解析式； （2）写出函数的单调区间．
20．电信局为了配合客户不同需要，设有A，B两种优惠方案．这两种方案应付话费（元）与通话时间x（min）之间的关系如图所示，其中D的坐标为（，230）． （1）若通话时间为2小时，按方案A，B各付话费多少元？ （2）方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？ （3）通话时间在什么范围内，方案B比方案A优惠？ 第3页 共13页
21．已知函数f（x）=（a，b，c∈Z）是奇函数，且f（1）=2，f（2）＜3． （1）求a，b，c的值． （2）判断函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论． （3）解关于t的不等式：f（﹣t2﹣1）+f（|t|+3）＞0．
22．定义在D上的函数f（x），如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，已知函数f（x）=1+x+ax2 （1）当a=﹣1时，求函数f（x）在（﹣∞，0）上的值域，判断函数f（x）在（﹣∞，0）上是否为有界函数，并说明理由； （2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
高一（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．已知集合M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，下列结论成立的是（ ） A．N⊆M B．M∪N=M C．M∩N=N D．M∩N={2} 【考点】集合的包含关系判断及应用． 【专题】集合． 【分析】由M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，则可知，﹣2∈N，但是﹣2∉M，则N⊄M，M∪N={1，2，3，4，﹣2}≠M，M∩N={2}≠N，从而可判断． 【解答】解：A、由M={1，2，3，4}，N={﹣2，2}，可知﹣2∈N，但是﹣2∉M，则N⊄M，故A错误； B、M∪N={1，2，3，4，﹣2}≠M，故B错误； C、M∩N={2}≠N，故C错误； D、M∩N={2}，故D正确． 故选D． 【点评】本题主要考查了集合的包含关系的判断，解题的关键是熟练掌握集合的基本运算．
2．已知集合U=R，P={x|x2﹣4x﹣5≤0}，Q={x|x≥1}，则P∩（∁UQ）（ ） A．{x|﹣1≤x＜5} B．{x|1＜x＜5} C．{x|1≤x＜5} D．{x|﹣1≤x＜1} 【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】计算题；对应思想；定义法；集合． 【分析】先化简集合P，求出∁UQ，再计算P∩（∁UQ）的值． 【解答】解：∵集合U=R，P={x|x2﹣4x﹣5≤0}={x|﹣1≤x≤5}， Q={x|x≥1}，∴∁UQ={x|x＜1} ∴P∩（∁UQ）={x|﹣1≤x＜1}．
故选：D． 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．
3．下列函数中表示同一函数的是（ ） A．y=与y=（）4 B．y=与y=
C．y= 与y=• D．y=与y= 【考点】判断两个函数是否为同一函数． 【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用． 【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数． 第4页 共13页
【解答】解：对于A，函数y==x2（x∈R），与函数y==x2（x≥0）的定义域不同，所以不是同一函数；
对于B，函数y==x（x∈R），与函数y==x（x≠0）的定义域不同，所以不是同一函数； 对于C，函数y==（x≤﹣1或x≥0），与函数y=•=（x≥0）的定义域不同， 所以不是同一函数； 对于D，函数y=（x≠0），与函数y==（x≠0）的定义域相同，对应关系也相同，
所以是同一函数． 故选：D． 【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．
4．已知f（x）=，则f（3）为（ ） A．3 B．4 C．1 D．2 【考点】分段函数的应用． 【专题】计算题；函数的性质及应用． 【分析】由分段函数的解析式，先运用第二段，再由第一段，即可得到所求值．
【解答】解：f（x）=， 可得f（3）=f（4）=f（5）=f（6）=6﹣5=1． 故选：C． 【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．
5．函数f（x）=2x+x﹣2的零点所在的一个区间是（ ） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2） 【考点】函数零点的判定定理． 【专题】计算题． 【分析】利用函数的零点判定定理，先判断函数的单调性，然后判断端点值的符合关系． 【解答】解：∵f（x）=2x+x﹣2在R上单调递增 又∵f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0 由函数的零点判定定理可知，函数的零点所在的一个区间是（0，1） 故选C 【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．
6．函数g（x）=2015x+m图象不过第二象限，则m的取值范围是（ ） A．m≤﹣1 B．m＜﹣1 C．m≤﹣2015 D．m＜﹣2015 【考点】指数函数的图像变换． 【专题】数形结合；转化法；函数的性质及应用． 【分析】根据指数函数的图象和性质进行求解即可． 【解答】解：函数g（x）=2015x+m为增函数， 若g（x）=2015x+m图象不过第二象限， 则满足g（0）≤0， 即g（0）=1+m≤0， 则m≤﹣1， 故选：A． 第5页 共13页
【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质，根据条件建立不等式关系是解决本题的关键．比较基础． 7．设a=log0.50.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系为（ ） A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b 【考点】对数值大小的比较． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 【解答】解：∵0=log0.51＜a=log0.50.9＜log0.50.5=1， b=log1.10.9＜log1.11=0， c=1.10.9＞1.10=1， ∴b＜a＜c，
故选：B． 【点评】本题考查对数值大小的比较，是基础题，解题时要注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
8．（ ） A．（﹣∞，2] B．（0，+∞） C．[2，+∞） D．[0，2] 【考点】函数的值域． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据函数≥0，而且﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4≤4，从而求得函数的值域．
【解答】解：∵函数≥0， 而且﹣x2﹣2x+3=﹣（ x2+2x﹣3）=﹣（x+1）2+4≤4，∴≤2， ∴0≤f（x）≤2， 故选D． 【点评】本题主要考查求函数的值域，属于基础题．
9．一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，缸中水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v=f（h）的大致图象可能是图中四个选项中的（ ）
A． B． C． D． 【考点】函数的图象． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】水深h越大，水的体积v就越大，故函数v=f（h）是个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的． 【解答】解：由图得水深h越大，水的体积v就越大，故函数v=f（h）是个增函数． 据四个选项提供的信息， 当h∈[O，H]，我们可将水“流出”设想成“流入”，
2023-2024学年高一(上)期中数学试卷(带解析)
2023-2024学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3} 2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥04．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．37．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．368．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为．14．（5分）已知函数f（x）满足，则函数f（x）的解析式为．15．（5分）已知函数，则f（﹣26）+f（﹣25）+⋯+f（﹣1）+f （1）+⋯+f（26）+f（27）的值为．16．（5分）已知x，y＞0且满足x+y＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n，则m+n的最小值为．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．21．（12分）已知a，b，c是实数，且满足a+b+c＝0，证明下列命题：（1）“a＝b＝c＝0”是“ab+bc+ac＝0”的充要条件；（2）“abc＝1，a≥b≥c”是“”的充分条件．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．2023-2024学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}，则A∩B＝（）A．∅B．{1}C．{1，2}D．{1，2，3}【分析】结合交集的定义，即可求解．【解答】解：集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}，故A∩B＝{1}．故选：B．【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2．（5分）已知x∈R，p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，解绝对值不等式得1＜x＜3，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，|x﹣2|＜1⇒﹣1＜x﹣2＜1⇒1＜x＜3，由|x﹣2|＜1可以推出1＜x＜5，且由1＜x＜5不能推出|x﹣2|＜1．因此，若p：|x﹣2|＜1，q：1＜x＜5，则p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．3．（5分）命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是（）A．∃x∈（﹣∞，1]，x2+2＜0B．∃x∈（1，+∞），x2+2≥0C．∀x∈（1，+∞），x2+2＞0D．∀x∈（1，+∞），x2+2≥0【分析】根据命题的否定的定义，即可求解．【解答】解：命题“∃x∈（1，+∞），x2+2＜0”的否定是：∀x∈（1，+∞），x2+2≥0．故选：D．【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．4．（5分）下列函数中，f（x）和g（x）表示同一个函数的是（）A．B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．D．f（x）＝|x+2|，【分析】观察函数三要素，逐项判断是否同一函数．【解答】解：由题意得：选项A定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项B定义域不同，f（x）的定义域为R，g（x）中，x≠0；选项C对应法则不同，g（x）＝|x|；D项，三要素相同，为同一函数．故选：D．【点评】本题考查同一函数的判断，属于基础题．5．（5分）已知不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}且x1＞0，则不等式cx2+bx+a＞0的解集为（）A．{x|x1＜x＜x2}B．{x|x＞x2或x＜x1}C．D．或【分析】由题意可知，a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，再结合韦达定理求解即可．【解答】解：根据题意：a＜0，方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1，x2，所以，，，，解得，即不等式的解集为{x|}．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．6．（5分）已知函数，若函数f（x）＝max{﹣x+1，x2﹣3x+2，x﹣1}，则函数f（x）的最小值为（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据函数f（x）的定义可知，在一个坐标系中画出y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y ＝x﹣1的图象，取最上面的部分作为函数f（x）的图象，由图象即可求出函数的最小值．【解答】解：根据题意，在同一个直角坐标系中，由﹣x+1＝x2﹣3x+2，得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1；由x2﹣3x+2＝x﹣1，得x2﹣4x+3＝0，解得x＝3或x＝1，所以f（x）＝，同时画出函数y＝﹣x+1，y＝x2﹣3x+2，y＝x﹣1，如图分析：所以函数f（x）的最小值为0．故选：A．【点评】本题考查利用函数的图象求函数的最值，属中档题．7．（5分）已知正实数x，y满足2x+y+6＝xy，记xy的最小值为a；若m，n＞0且满足m+n＝1，记的最小值为b．则a+b的值为（）A．30B．32C．34D．36【分析】由已知结合基本不等式先求出xy的范围，即可求a，然后利用乘1法，结合基本不等式可求b，进而可求a+b．【解答】解：∵xy＝2x+y+6+6，当且仅当2x＝y，即x＝3，y＝6时取等号，∴a＝18．∵m+n＝1，m＞0，n＞0．则＝6，当且仅当n＝3m且m+n＝1，即m＝，n＝时取等号，∴，∴b＝16；∴a+b＝34．故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，且f（1）＝a，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）的值为（）A．96B．98+a C．102D．104﹣a【分析】由已知结合函数的对称性先求出函数的周期，然后结合对称性及周期性即可求解．【解答】解：根据题意：函数f（x）满足f（x）+f（4﹣x）＝4，可得函数f（x）关于点（2，2）成中心对称，函数f（x）满足f（x+2）﹣f（﹣x）＝0，所以函数f（x）关于x＝1对称，所以函数f（x）既关于x＝1成轴对称，同时关于点（2，2）成中心对称，所以f（2）＝2，T＝4，又因为f（1）＝a，所以f（3）＝4﹣a，f（4）＝f（﹣2）＝f（﹣2+4）＝f（2）＝2，所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝a+2+4﹣a+2＝8，所以f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（51）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3）＝12×8+a+2+4﹣a＝102．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，对称性及周期性在函数求值中的应用，属于中档题．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）（多选）9．（5分）下列不等关系一定成立的是（）A．若a＞b，则B．若，则ab＞0C．若，则a＞0＞bD．若a＞b，a2＞b2，则a＞b＞0【分析】由已知举出反例检验选项A，D；结合不等式的性质检验B，C即可判断．【解答】解：当a＝1，b＝﹣1时，A显然错误；若，则＝＜0，所以ab＞0，B正确；若，即b﹣a＜0，则＝＞0，所以ab＜0，所以b＜0＜a，C正确；当a＝2，b＝﹣1时，D显然错误．故选：BC．【点评】本题主要考查了不等式的性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．（多选）10．（5分）已知x∈（1，+∞），下列最小值为4的函数是（）A．y＝x2﹣4x+8B．C．D．【分析】根据二次函数的性质检验选项A，结合基本不等式检验选项BCD即可判断．【解答】解：根据题意：选项A，y＝x2﹣4x+8，根据二次函数的性质可知，x＝2时取最小值4，故选A；，当且仅当时取最小值，不在x∈（1，+∞）范围内，故选项B错误；选项C，＝，当且仅当，即x＝3时成立，故选项C正确；选项D，，令，原式为，当且仅当t＝，即t＝2时等式成立，不在范围内，故选项D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了基本不等式及二次函数性质在最值求解中的应用，属于中档题．（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件B．“0＜a＜4”是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件C．“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的必要不充分条件D．已知a，b∈R，则“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义，对各个选项中的两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．【解答】解：对于选项A，a＞1，b＞1⇒a﹣1＞0，b﹣1＞0⇒（a﹣1）（b﹣1）＞0，反之，若（a﹣1）（b﹣1）＞0，则可能a＝b＝0，不能得出a＞1，b＞1．故“a＞1，b＞1”是“（a﹣1）（b﹣1）＞0”的充分不必要条件，A正确；对于选项B，ax2+ax+1＞0在R上恒成立，当a＝0时，可得1＞0恒成立，而区间（0，4）上没有0，故“0＜a＜4”不是“ax2+ax+1＞0在R上恒成立”的充要条件，B不正确；对于选项C，f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增，可以推出是a⩽2的子集，故“a＜1”是“f（x）＝x2﹣ax在（1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，C不正确；对于选项D，a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＝a2（a+b）﹣a（a+b）+（a+b）＝（a+b）（a2﹣a+1），，ab＞0⇎（a+b）＞0，因此，“ab＞0”是“a3+a2b﹣a2﹣ab+a+b＞0”的既不充分也不必要条件，D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查了充分条件与必要条件的判断、不等式的性质、二次函数的单调性等知识，属于基础题．（多选）12．（5分）已知x，y＞0且满足x2+y2+1＝（xy﹣1）2，则下列结论正确的是（）A．xy≥2B．x+y≥4C．x2+y2≥8D．x+4y≥9【分析】将所给等式化简整理，得到（x+y）2＝x2y2，结合x，y＞0可得x+y＝xy，．由此出发对各个选项逐一加以验证，即可得到本题的答案．【解答】解：根据题意，x2+y2+1＝（xy﹣1）2，即x2+y2＝x2y2﹣2xy，整理得x2+y2+2xy ＝x2y2，所以x2+y2+2xy＝x2y2，即（x+y）2＝x2y2，而x、y均为正数，故x+y＝xy，可得．对于A，，两边平方得x2y2≥4xy，可得xy≥4，故A错误；对于B，由A的计算可知x+y＝xy≥4，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故B正确；对于C，x2+y2＝x2y2﹣2xy＝（xy﹣1）2+1≥32﹣1＝8，当且仅当x＝y＝2时取到等号，故C正确；对于D，，当且仅当x＝2y，即时取到等号，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查了不等式的性质、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则函数f（x）的定义域为[﹣2，1]．【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数∴﹣x2﹣x+2⩾0，解得﹣2⩽x⩽1．∴函数的定义域为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．14．（5分）已知函数f （x ）满足，则函数f （x ）的解析式为．【分析】利用解方程组的方法求函数解析式即可．【解答】解：根据题意：①，令代替x ，可得②，①﹣②×2得：，∴函数f （x ）的解析式为．故答案为：．【点评】本题考查求函数解析式，属于基础题．15．（5分）已知函数，则f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f（1）+⋯+f （26）+f （27）的值为．【分析】根据已知条件，结合偶函数的性质，即可求解．【解答】解：令函数，可得函数f （x ）＝g （x ）+2，∵函数为奇函数，∴g （﹣x ）＝﹣g （x ）⇒g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （﹣26）+f （﹣25）+⋯+f （﹣1）+f （1）+⋯+f （26）+f （27）＝g （﹣26）+g （﹣25）+⋯+g （﹣1）+g （1）+⋯+g （26）+g （27）+2×53＝g （27）+2×53＝．故答案为：．【点评】本题主要考查函数值的求解，属于基础题．16．（5分）已知x ，y ＞0且满足x +y ＝1，若不等式恒成立，记的最小值为n ，则m +n 的最小值为．【分析】由恒成立，可知左边的最小值大于等于9，因此求的最小值，结合基本不等式求出m+n的最小值．【解答】解：∵实数x，y＞0满足x+y＝1，∴x+y+1＝2，而＝，当时，等号成立，所以，解得m⩾8．而＝，令，则原式，当时，等号成立，∴实数n的值为，可得实数m+n的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查基本不等式及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．四、解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}．（1）当m＝3时，求A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【分析】（1）把m＝3代入求得B，再由并集运算求解；（2）“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得B⫋A，然后分B＝∅和B≠∅分别求解m 的范围，取并集得答案．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3⩽0}，由x2﹣2x﹣3⩽0，即（x+1）（x﹣3）⩽0，解得﹣1⩽x⩽3，∵集合B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1}，当m＝3时，即B＝{x|2＜x＜7}，∴A∪B＝{x|﹣1⩽x＜7}．（2）“x∈A”足“x∈B”的必要不充分条件，可得集合B是集合A的真子集，当m﹣1⩾2m+1⇒m⩽﹣2时，集合B为空集，满足题意；当m﹣1＜2m+1⇒m＞﹣2时，集合B是集合A的真子集，可得，∴实数m的取值范围为{m|m⩽﹣2或0⩽m⩽1}．【点评】本题考查并集的运算，考查分类讨论思想，是中档题．18．（12分）已知函数f（x）＝（2m2﹣m）x2m+3是幂函数，且函数f（x）的图象关于y轴对称．（1）求实数m的值；（2）若不等式（a﹣1）m＜（2a﹣3）m成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）结合幂函数的性质，以及偶函数的性质，即可求解；（2）结合函数的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题意可知，2m2﹣m＝1，解得m＝或1，又∵函数f（x）关于y轴对称，当，满足题意；当m＝1⇒f（x）＝x5，此时函数f（x）为奇函数，不满足题意，∴实数m的值为；（2）函数，分析可得该函数在（0，+∞）单调递减，∴由（a﹣1）m＜（2a﹣3）m可得：．∴实数a的取值范围为．【点评】本题主要考查函数的性质，是基础题．19．（12分）已知函数为定义在R上的奇函数．（1）求实数a，b的值；（2）求不等式|f（x）|≥3的解集．【分析】（1）当x＜0时，﹣x＞0，代入已知函数解析式，对比函数解析式即可求解a，b；（2）结合奇函数的对称性及二次不等式的求法即可求解．【解答】解：（1）根据题意：当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣[（﹣x）2+2（﹣x）]＝﹣x2+2x，故a＝﹣1，b＝2；（2）当x⩾0时，|f（x）|⩾3可得f（x）⩾3，即x2+2x⩾3⇒x2+2x﹣3⩾0，解得x⩾1，根据奇函数可得：|f（x）|⩾3的解集为{x|x⩾1或x⩽﹣1}．【点评】本题主要考查了奇函数的定义在函数解析式求解中的应用，还考查了奇函数的对称性在不等式求解中的应用，属于中档题．20．（12分）某高科技产品投入市场，已知该产品的成本为每件1000元，现通过灵活售价的方式了解市场，通过多日的市场销售数据统计可得，某店单日的销售额与日产量x（件）有关．当1≤x≤3时，单日销售额为（千元）；当3≤x≤6时，单日销售额为（千元）；当x＞6时，单日销售额为21（千元）．（1）求m的值，并求该产品日销售利润P（千元）关于日产量x（件）的函数解析式；（销售利润＝销售额﹣成本）（2）当日产量x为何值时，日销售利润最大？并求出这个最大值．【分析】（1）根据单日销售额函数，列方程求出m的值，再利用利润＝销售额﹣成本，即可得出日销售利润函数的解析式．（2）利用分段函数求出每个区间上的最大值，比较即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意知，单日销售额为f（x）＝，因为f（3）＝+6+3＝+9，解得m＝，因为利润＝销售额﹣成本，所以日销售利润为P（x）＝，化简为P （x ）＝．（2）根据题意分析：①日销售利润P （x ）＝+x +3＝+（x +1）+2，令t ＝x +1＝2，3，4，所以函数为，分析可得当t ＝2时，取最大值，其最大值为；②日销售利润P （x ）＝+2x ＝+2x ＝﹣+2x ，该函数单调递增，所以当x ＝6时，P （x ）取最大值，此最大值为15；③日销售利润P （x ）＝21﹣x ，该函数单调递减，所以当x ＝7时，P （x ）取最大值，此最大值为14；综上知，当x ＝6时，日销售利润最大，最大值为15千元．【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知a ，b ，c 是实数，且满足a +b +c ＝0，证明下列命题：（1）“a ＝b ＝c ＝0”是“ab +bc +ac ＝0”的充要条件；（2）“abc ＝1，a ≥b ≥c ”是“”的充分条件．【分析】（1）根据完全平方公式，等价变形，可证出结论；（2）利用基本不等式，结合不等式的性质加以证明，即可得到本题的答案．【解答】证明：（1）∵（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，充分性：若a ＝b ＝c ＝0，则ab +bc +ac ＝0，充分性成立；必要性：若ab +bc +ac ＝0，由a +b +c ＝0，得（a +b +c ）2＝a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac ，所以a 2+b 2+c 2＝0，可得a ＝b ＝c ＝0，必要性成立．综上所述，a ＝b ＝c ＝0是ab +bc +ac ＝0的充要条件；（2）由a ⩾b ⩾c ，且abc ＝1＞0，可知a ＞0，b ＜0，c ＜0，由a +b +c ＝0，得，当且仅当b ＝c 时等号成立，由，得，a 3⩾4，可知≤a ＝﹣b ﹣c ≤﹣2c ，解得，因此，abc＝1且a⩾b⩾c是的充分条件．【点评】本题主要考查等式的恒等变形、不等式的性质与基本不等式等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．22．（12分）已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），满足f（0）＝1，f（1）＝3．（1）若函数f（x）有最小值，且此最小值为，求函数f（x）的解析式；（2）记g（a）为函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，求g（a）的表达式．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝1，f（1）＝3分析可得f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，由二次函数的最小值求出a的值，进而计算可得答案；（2）根据题意，由二次函数的性质分a＞0与a＜0两种情况讨论，分析g（a）的解析式，综合可得答案．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1，f（1）＝3，则有f（0）＝c＝1，f（1）＝a+b+c＝3，变形可得b＝2﹣a，函数f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，∵函数f（x）有最小值，∴a＞0，函数f（x）的最小值为＝，解可得：a＝4或1，∴当a＝4时，b＝﹣2，函数f（x）的解析式为f（x）＝4x2﹣2x+1；当a＝1时，b＝1，函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+1．（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）＝ax2+（2﹣a）x+1，是二次函数，分2种情况讨论：①当a＞0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5，ii．当对称轴时，与a＞0矛盾，故当a＞0时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝2a+5；②当a＜0时，i．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（1）＝3，ii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值，iii．当对称轴时，函数f（x）在区间[1，2]上的最大值g（a）＝f（2）＝2a+5．综上所述，【点评】本题考查函数的最值，涉及二次函数的性质，属于中档题．。
2024-2025学年江西省景德镇市高一(上)期中数学试卷(含答案)
2024-2025学年江西省景德镇市高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={1,2,3,6,7}，B ={2,3,4}，则A ∩B =( ) A. {1,2}B. {2,4}C. {1,5}D. {2,3}2.“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.若a >b ，c >d ，下列不等式成立的是( ) A. a −b <d −cB. a +d >b +cC. a −c >b −dD. a −c <a −d4.已知0<x <1，则x(3−3x)的最大值为( ) A. 13B. 12C. 34D. 235.若函数y =f(x)的定义域为M ={x|−2≤x ≤2}，值域为N ={y|0≤y ≤2}，则函数y =f(x)的图象可能是( )A. B.C. D.6.函数f(x)=2√ 3−x+(2x −1)0的定义域为( ) A. (−∞,12)B. (12,+∞)C. (−∞,12)∪(12,3)D. (−∞,12)∪(12,3]7.若函数f(x)=(m 2−m −5)x 1−m 为幂函数，且在区间(0,+∞)上单调递增，则m =( ) A. −2B. 3C. −2或3D. 2或−38.当0<x <14时，不等式1x +11−4x −m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A. (0,8]B. (−∞,9]C. [6,8]D. [8,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )A. 某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合B. 集合A ={x|y =x 2+1}与集合B ={(x,y)|y =x 2+1}是相同的集合C. 由1，32，54，|−12|，0.5这些数组成的集合有4个元素D. 在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点(x,y)组成的点集，可以表示成集合{(x,y)|xy <0，x ，y ∈R} 10.关于函数f(x)=x √ 4−x 2|x−2|−2的性质描述，正确的有( )A. f(x)为奇函数B. f(x)为偶函数C. f(x)在(0,2)上是增函数D. f(x)的值域是[0,2]11.柯西不等式(Caucℎy −ScℎwarzInequality)是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁⋅路易⋅柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式：①对于所有实数x 和y ，有(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd)2． ②等式条件：当且仅当ad −bc =0时，等号成立．例：已知x +2y =2，由柯西不等式(x 2+y 2)(12+22)≥(x +2y)2，可得(x 2+y 2)min =45.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有( )A. 若a 2+b 2=1，则(2a +3b)max =√ 13B. 若0<a <2，则(1a +22−a )min =3+2√ 2 C. 若a +b =4，则(√ a +1+2√ b +2)max =2√ 5 D. 若1<a <3，则(√ a −1+√ 6−2a)max =√ 6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
湖南省长沙市2024-2025学年高一上学期期中考试 数学含答案
2024年下学期期中考试试卷高一数学（答案在最后）时量：120分钟分值：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{1,2}A =，{,}B xy x A y A =∈∈，则集合B 中元素的个数为（）A.4B.3C.2D.12.设,a b ∈R ，则“a b =”是“22a b =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.命题“a ∃∈R ，210ax +=有实数解”的否定是（）A.a ∀∈R ，210ax +≠有实数解 B.a ∃∈R ，210ax +=无实数解C.a ∀∈R ，210ax +=无实数解D.a ∃∈R ，210ax +≠有实数解4.已知集合{1,2}M =，{1,2,4}N =，给出下列四个对应关系：①1y x=，②1y x =+，③y x =，④2y x =，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（）A.①②B.①③C.②④D.③④5.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）A. B.C. D.6.若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A.02a << B.111a b+≤2≤ D.228a b +≤7.已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，则满足()0xf x <的x 的取值范围是（）A.(,2)(2,)-∞-+∞B.(0,2)(2,)+∞ C.(2,0)(2,)-+∞ D.(,2)(0,2)-∞-8.若函数2(21)2(0)()(2)1(0)b x b x f x x b x x -+->⎧=⎨-+--≤⎩，为在R 上的单调增函数，则实数b 的取值范围为（）A.1,22⎛⎤⎥⎝⎦ B.1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.[]1,2 D.[2,)+∞二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.对于函数()bf x x x=+，下列说法正确的是（）A.若1b =，则函数()f x 的最小值为2B.若1b =，则函数()f x 在(1,)+∞上单调递增C.若1b =-，则函数()f x 的值域为RD.若1b =-，则函数()f x 是奇函数10.已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）的部分图象如图所示，则（）A.0abc >B.0a b +>C.0a b c ++< D.不等式20cx bx a -+>的解集为112x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-<<11.定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x f y f x y +=+，当0x <时，()0f x >.则下列说法正确的是（）A.(0)0f = B.()f x 为奇函数C.()f x 在区间[],m n 上有最大值()f n D.()2(21)20f x f x -+->的解集为{31}x x -<<三、填空题，本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若36a ≤≤，12b ≤≤，则a b -的范围为________.13.定义在R 上的函数()f x 满足：①()f x 为偶函数；②()f x 在(0,)+∞上单调递减；③(0)1f =，请写出一个满足条件的函数()f x =________.14.对于一个由整数组成的集合A ，A 中所有元素之和称为A 的“小和数”，A 的所有非空子集的“小和数”之和称为A 的“大和数”.已知集合{1,0,1,2,3}B =-，则B 的“小和数”为________，B 的“大和数”为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知集合{3}A x a x a =≤≤+，集合{1B x x =<-或5}x >，全集R U =.（1）若A B =∅ ，求实数a 的取值范围；（2）若命题“x A ∀∈，x B ∈”是真命题，求实数a 的取值范围.16.（15分）已知幂函数()2()253mf x m m x =-+是定义在R 上的偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）在区间[]1,4上，()2f x kx >-恒成立，求实数k 的取值范围.17.（15分）已知关于x 的不等式(2)[(31)]0mx x m ---≥.（1）当2m =时，求关于x 的不等式的解集；（2）当m ∈R 时，求关于x 的不等式的解集.18.（17分）为促进消费，某电商平台推出阶梯式促销活动：第一档：若一次性购买商品金额不超过300元，则不打折；第二档：若一次性购买商品金额超过300元，不超过500元，则超过300元部分打8折；第三档：若一次性购买商品金额超过500元，则超过300元，不超过500元的部分打8折，超过500元的部分打7折.若某顾客一次性购买商品金额为x 元，实际支付金额为y 元.（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）若顾客甲、乙购买商品金额分别为a 、b 元，且a 、b 满足关系式45085b a a =++-320(90)a ≥，为享受最大的折扣力度，甲、乙决定拼单一起支付，并约定折扣省下的钱平均分配.当甲、乙购买商品金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付多少钱？并分析折扣省下来的钱平均分配，对两人是否公平，并说明理由．（提示：折扣省下的钱=甲购买商品的金额+乙购买商品的金额-甲乙拼单后实际支付的总额）19.（17分）经过函数性质的学习，我们知道：“函数()y f x =的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“()y f x =是奇函数”.（1）若()f x 为定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()1f x x =+，求()f x 的解析式；（2）某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数()y f x =的图象关于点(,0)a 成中心对称图形”的充要条件是“()y f x a =+为奇函数”.若定义域为R 的函数()g x 的图象关于点(1,0)成中心对称图形，且当1x >时，1()1g x x=-.（i ）求()g x 的解析式；（ii ）若函数()f x 满足：当定义域为[],a b 时值域也是[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“保值”区间，若函数()tg()(0)h x x t =>在(0,)+∞上存在保值区间，求t 的取值范围.2024年下学期期中考试参考答案高一数学1.B2.A3.C4.D【详解】对于①，1y x =，当2x =时，1N 2y =∉，故①不满足题意；对于②，1y x =+，当1x =-时，110N y =-+=∉，故②不满足题意；对于③，y x =，当1x =时，1y N =∈，当2x =时，2N y =∈，故③满足题意；对于④，2y x =，当1x =时，1y N =∈，当2x =时，4N y =∈，故④满足题意. D.5.A6.C 【详解】因为0a >，0b >，当3a =，1b =时，3ab =，1114133a b +=+=，2210a b +=，所以ABC 选项错误.由基本不等式a b +≥22a b+≤=，选C.7.A 【详解】定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，故函数在(0,)+∞上单调递减，且(2)0f =，故(2)(2)0f f -=-=，函数在(2,0)-和(2,)+∞上满足()0f x <，在(,2)-∞-和(0,2)上满足()0f x >.()0xf x <，当0x <时，()0f x >，即(,2)x ∈-∞-；当0x >时，()0f x <，即(2,)x ∈+∞.综上所述：(,2)(2,)x ∈-∞-+∞ .故选A.8.C 【详解】21020221b b b ->⎧⎪-⎪≥⎨⎪-≥-⎪⎩，解得12b ≤≤.∴实数b 的取值范围是[]1,2，故选C.9.BCD 10.ACD11.ABD解：因为函数()f x 满足()()()f x f y f x y +=+，所以(0)(0)(0)f f f +=，即2(0)(0)f f =，则(0)0f =；令y x =-，则()()(0)0f x f x f +-==，故()f x 为奇函数；设12,x x ∈R ，且12x x <，则1122122()()()()f x f x x x f x x f x =-+=-+，即1212())()(0f x f x f x x -=->，所以()f x 在R 上是减函数，所以()f x 在区间[],m n 上有最大值()f m ；由2(21)(2)0f x f x -+->，得2(23)(0)f x x f +->，由()f x 在R 上减函数，得2230x x +-<，即(3)(1)0x x +-<，解得31x -<<，所以2(21)(2)0f x f x -+->的解集为{31}x x -<<，故选ABD.12.[1,5]13.21x -+（答案不唯一）14.5，80【详解】由题意可知，B 的“小和数”为(1)01235-++++=，集合B 中一共有5个元素，则一共有52个子集，对于任意一个子集M ，总能找到一个子集M ，使得M M B = ，且无重复，则M 与M 的“小和数”之和为B 的“小和数”，这样的子集对共有54222=个，其中M B =时，M =∅，考虑非空子集，则子集对有421-对，则B 的“大和数”为4(21)5580-⨯+=.故答案为：5；80.15.【详解】（1）因为3a a <+对任意a ∈R 恒成立，所以A ≠∅，又A B =∅ ，则135a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得12a -≤≤；（2）若x A ∀∈，x B ∈是真命题，则有A B ⊆，则31a +<-或5a >，所以4a <-或5a >.16.【详解】（1）因为2()(253)mf x m m x =-+是幂函数，所以22531m m -+=，解得2m =或12，又函数为偶函数，故2m =，2()f x x =；（2）原题可等价转化为220x kx -+>对[1,4]x ∈恒成立，分离参数得2k x x <+，因为对[1,4]x ∈恒成立，则min 2(k x x<+，当0x >时，2x x +≥=当且仅当2x x=即x =时取得最小值.故k <17.【详解】（1）解：当2m =时，不等式可化为(1)(5)0x x --≥解得1x ≤或5x ≥，所以当2m =时，不等式的解集是{1x x ≤或5}x ≥.（2）①当0m =时，原式可化为2(1)0x -+≥，解得1x ≤-；②当0m <时，原式可化为2((31)]0x x m m ---≤，令231m m =-，解得23m =-或1；1）当23m <-时，231m m -<.故原不等式的解为231m x m -≤≤；2）当23m =-时，解得3x =-；3）当203m -<<时，231m m <-，原不等式的解为231x m m≤≤-；③当0m >时，原式可化为2((31)]0x x m m---≥，1）当01m <<时，231m m >-，2x m∴≥或31x m ≤-；2）当1m =时，不等式为2(2)0x -≥，x ∈R ；3）当1m >时，231m m <-，31x m ∴≥-或2x m≤.综上，当23m <-时，原不等式的解集为231x m x m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭-≤≤；当23m =-时，不等式的解集为{}3x x =-；当203m -<<时，解集为231x x m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤≤-；当0m =时，解集为{}1x x ≤-；当01m <<时，不等式的解集是{2x x m ≥或31}x m ≤-；当1m =时，不等式的解集为R ；当1m >时，解集是{31x x m ≥-或2}x m≤.18.【详解】（1）由题意，当0300x <≤时，y x =；当300500x <≤时，3000.8(300)0.860y x x =+-=+；当500x <时，3000.8(500300)0.7(500)0.7110y x x =+-+-=+.综上，,03000.860,300500 0.7110,500x x y x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪+<⎩.（2）甲乙购买商品的金额之和为4502320(90)85a b a a a +=++≥-.45045023202(85)3201708585a b a a a a +=++=-+++--490230490550≥=⋅+=（元）当且仅当4502(85)85a a -=-即8515a -=±时，原式取得最小值.此时100a =（或70a =，舍去），550450b a =-=（元）因为550500>，则拼单后实付总金额0.7550110495M =⨯+=（元）故折扣省下来的钱为55049555-=（元）.则甲乙拼单后，甲实际支付5510072.52-=（元），乙实际支付55450422.52-=（元）而若甲乙不拼单，因为100300<，故甲实际应付100a '=（元）；300450500<<，乙应付0.845060420b '=⨯+=（元）.因为420元<422.5元，若按照“折扣省下来的钱平均分配”的方式，则乙实付金额b 比不拼单时的实付金额b '还要高，因此该分配方式不公平.（能够答出“乙购买的商品的金额是甲购买商品的金额的4.5倍，则乙应减的价钱应是甲的4.5倍，故不公平”之类的答案的可酌情给分）答：当甲、乙的购物金额之和最小时，甲、乙实际共需要支付495元.若按“折扣省下来的钱平均分配”的方式拼单，则拼单后乙实付422.5元，比不拼单时的实付420元还要高，因此这种方式对乙不公平.19.【详解】（1）()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，0x -<，所以()()f x f x =--()2211x x ⎡⎤=--+=--⎣⎦，又()00f =，所以()221,00,01,0x x f x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-->⎩；（2）（i ）因为定义域为R 的函数()g x 的图象关于点()1,0成中心对称图形，所以()1y g x =+为奇函数，所以()()11g x g x +=--，即()()2g x g x =--，1x <时，21x ->，所以()()1121122g x g x x x ⎛⎫=--=--=-+ ⎪--⎝⎭.所以()11,111,12x xg x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-+<⎪-⎩；（ii ）()()()11,1tg 011,12t x x h x x t t x x ⎧⎛⎫⋅-≥ ⎪⎪⎪⎝⎭==>⎨⎛⎫⎪⋅-+< ⎪⎪-⎝⎭⎩，a ）当()0,1x ∈时，()11()11022h x t t t x x ⎛⎫⎛⎫=⋅-+=⋅--> ⎪ --⎝⎭⎝⎭在()0,1单调递增，当()[,]0,1a b ⊆时，则112112t a a t bb ⎧⎛⎫⋅--= ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅--= ⎪⎪-⎝⎭⎩，即方程112t x x ⎛⎫⋅--= ⎪-⎝⎭在()0,1有两个不相等的根，即()220x t x t +--=在()0,1有两个不相等的根，令()()()22,0m x x t x t t =+-->，因为()()0011210m t m t t ⎧=-<⎪⎨=+--=-<⎪⎩，所以()220x t x t +--=不可能在()0,1有两个不相等的根；b ）当()1,x ∈+∞时，()()110h x t t x ⎛⎫=⋅-=> ⎪⎝⎭在()1,+∞单调递增，当()[,]1,a b ⊆+∞时，则1111t a a t bb ⎧⎛⎫⋅-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即方程11t x x ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭在()1,+∞有两个不相等的根，即20x tx t -+=在()1,+∞有两个不相等的根，令()()2,0n x x tx t t =-+>，则有()2110022212n t t t t t n t t t⎧=-+>⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+<⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，解得4t >.c ）当01a b <<<时，易知()g x 在R 上单调递增，所以()()()tg 0h x x t =>在()0,+∞单调递增，此时11211t a a t bb ⎧⎛⎫⋅--= ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()()()()2222211221111111211112111a a a a a t a a a a a b b b t b b b b ⎧---+-====-+⎪⎪----⎨-+-+⎪===-++⎪---⎩令()()()11,011r a a a a =--+<<-，则易知()r a 在()0,1递减，所以()()00r a r <=即0t <，又1b >时，()112241t b b =-++≥=-，当且仅当()111b b -=-，即2b =时取等，以()()110111241t a a t b b ⎧=-+<⎪⎪-⎨⎪=-++≥⎪-⎩，此时无解；t 的范围是()4,+∞.。
2023-2024学年河南省天一大联考高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省天一大联考高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{1，m }，B ＝{2m ﹣2，1}，若A ＝B ，则实数m ＝（ ） A ．0B ．1C ．1或2D ．22．函数f(x)=√x −2+1x 2−1的定义域是（ ） A ．{x |x ≥2} B ．{x |0＜x ＜1或x ≥2} C ．{x |x ＞1}D ．{x |x ≠±1}3．已知命题“∀x ∈R ，x 2+2a ﹣1＞0”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0，12]B ．(−∞，12]C ．(−12，1)D ．(12，+∞)4．“a ＞1”是“函数f （x ）＝a x ﹣a （a ＞0且a ≠1）的图象经过第三象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数f(x)=1|x|−x 的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．6．已知函数f （x ）在区间（0，5）上单调递减，且f （x +5）＝f （﹣x +5），则（ ） A ．f （8）＞f （3）＞f （4） B ．f （3）＞f （8）＞f （4） C ．f （3）＞f （4）＞f （8） D ．f （4）＞f （3）＞f （8）7．已知函数f(x)=x 2+ax−3x是奇函数，且在区间[m ﹣1，m ]上的最大值为2，则m ＝（ ） A ．2或﹣1B ．﹣1C ．3D ．3或﹣18．已知函数f （x ）是三次函数且幂函数，g(x)=f(x)+2|x|+12|x|，则g （﹣2023）+g （﹣2022）+g （﹣2021）+…+g （0）+…+g （2021）+g （2022）+g （2023）＝（ ）A ．4047B ．8092C ．8094D ．9086二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知a ＞c ，a +b ﹣c ＝0，则（ ） A ．a +2b ＞c +bB ．ab ＜bcC ．a +b ＞a ﹣bD ．a ﹣2b ＞c ﹣b10．已知函数f （x ）＝（a ﹣1）a x 是指数函数，函数g(x)={f(x)，x ≤0，4x −4，x ＞0，则（ ）A ．f （x ）是增函数B ．g （x ）是增函数C ．g （g （﹣2））＝﹣3D ．满足不等式f （x ）＞g （x ）的最小整数是111．已知函数f （x ）的定义域为R ，且f(xy)=y 3f(x)+x 3f(y)，f(12)=18，则（ ） A ．f （x ）＝x 3 B ．f （﹣2）＝8 C ．f （x ）为奇函数D ．f （x ）为增函数12．已知函数f(x)={|x +1|，x ≤0|2x −2|，x ＞0且f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4）（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），则下列说法正确的有（ ）A ．f （x ）在区间（﹣∞，﹣1）和（0，1）上单调递减B ．直线y ＝a （a ≥1）与f （x ）的图象总有3个不同的公共点C ．x 1+x 2＝﹣2D ．x 3+x 4＜2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f （x ）＝b x ﹣1+3（b ＞0且b ≠1）的图象过的定点坐标为 ．14．已知幂函数f （x ）满足f(4)f(2)=3，则f(18)= ．15．科学研究发现，大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数m 与其游动速度v （单位：m /s ）的关系式为m ＝k •9v （k ＞0且k 为常数）．当这种鲑鱼的游动速度为2m /s 时，其耗氧量为8100个单位，若这种鲑鱼的游动速度不小于1.5m /s ，则其耗氧量至少为 个单位．16．已知关于x 的一元二次不等式kx 2﹣2x +2＜0的解集为（a ，b ）（b ＞a ），则4a +b 的最小值为 ． 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）（1）已知5m ＝2，5n ＝3，求53m−2n2的值；（2）化简：4a 23b−13÷(−23a−13b−23)×16a−13b−13．18．（12分）已知函数f(x)=x−2x(x∈R+)．（1）用函数单调性的定义证明f（x）是增函数；（2）求不等式f(2x−22x)≥−1的解集．19．（12分）已知关于x的不等式2x2+（m﹣2）x﹣m＜0．（1）当m＞﹣2时，求该不等式的解集A；（2）在（1）的条件下，若集合B＝（m2+2m，m+2），且A∩B＝B，求m的取值范围．20．（12分）2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州举行，完美展现了“绿色”与“科技”的融合．已知某种绿色科技产品在亚运会开幕式后的30天内（包括第30天），第x（x∈N*）天每件的销售价格M（单位：元）满足M(x)={x+80，1≤x≤20，−x+120，20＜x≤30，第x天的日销售量N（单位：千件）满足N(x)=a+bx，且第2天的日销售量为13000件，第3天的日销售量为12000件．（1）求N（x）的解析式；（2）若每件该产品的总成本为20元，求该产品在开幕式后的30天内第x天的日销售利润f（x）（单位：千元）的解析式，并求开幕式后的第几日销售利润最小．21．（12分）已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）＝x2﹣x﹣1．（1）求f（x），g（x）的解析式；（2）设函数h（x）＝f（x）+2ag（x）+3a﹣1（a＞0），若对任意的x1∈[1，√2]，总存在x2∈[﹣1，1]，使得f（x1）＝h（x2）成立，求实数a的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）的图象可由函数y＝a x﹣1+2（a＞0且a≠1）的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且f（2）＝16．（1）求a的值；（2）若函数g(x)=f(x)f(x)+2，证明：g（x）+g（1﹣x）＝1；（3）若函数y1＝|f（x）+m|与y2＝|f（﹣x）+m|在区间[1，2]上都是单调的，且单调性相同，求实数m的取值范围．2023-2024学年河南省天一大联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．已知集合A＝{1，m}，B＝{2m﹣2，1}，若A＝B，则实数m＝（）A．0B．1C．1或2D．2解：由题意可知m＝2m﹣2，解得m＝2．故选：D．2．函数f(x)=√x−2+1x2−1的定义域是（）A．{x|x≥2}B．{x|0＜x＜1或x≥2}C．{x|x＞1}D．{x|x≠±1}解：对于函数f(x)=√x−2+1x2−1，则有{x−2≥0x2−1≠0，解得x≥2，所以，函数f(x)=√x−2+1x2−1的定义域为{x|x≥2}．故选：A．3．已知命题“∀x∈R，x2+2a﹣1＞0”为假命题，则实数a的取值范围是（）A．(0，12]B．(−∞，12]C．(−12，1)D．(12，+∞)解：由题可知命题“∃x∈R，x2+2a﹣1≤0”为真命题，则得：∃x∈R，使得x2≤1﹣2a，因为：x2≥0，故1﹣2a≥0，得：a≤12．故B项正确．故选：B．4．“a＞1”是“函数f（x）＝a x﹣a（a＞0且a≠1）的图象经过第三象限”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：对于函数f（x）＝a x﹣a（a＞0且a≠1），当a＞1时，f（0）＝1﹣a＜0，结合指数函数y＝a x（a＞1）的图象特征，可知f（x）的图象经过第一、三、四象限，所以充分性成立；对于函数f（x）＝a x﹣a（a＞0且a≠1），当0＜a＜1时，f（0）＝1﹣a＞0且f（x）单调递减，此时它不经过第三象限，当a＞1时，f（x）为增函数且f（0）＝1﹣a＜0，经过第三象限，故a＞1符合题意，必要性成立．综上所述，“a ＞1”是“函数f （x ）＝a x ﹣a （a ＞0且a ≠1）的图象经过第三象限”的充要条件． 故选：C ． 5．函数f(x)=1|x|−x 的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．解：当x ＞0时，f （x ）=1x−x ， 因为y =1x 和y ＝﹣x 在（0，+∞）上单调递减， 所以f （x ）=1x−x 在（0，+∞）上单调递减，排除选项A ，B ，D ，只有选项C 符合题意． 故选：C ．6．已知函数f （x ）在区间（0，5）上单调递减，且f （x +5）＝f （﹣x +5），则（ ） A ．f （8）＞f （3）＞f （4） B ．f （3）＞f （8）＞f （4） C ．f （3）＞f （4）＞f （8）D ．f （4）＞f （3）＞f （8）解：因为f （x +5）＝f （﹣x +5），所以f （8）＝f （3+5）＝f （﹣3+5）＝f （2）．因为f （x ）在区间（0，5）上单调递减，所以f （2）＞f （3）＞f （4），即f （8）＞f （3）＞f （4）． 故选：A ． 7．已知函数f(x)=x 2+ax−3x是奇函数，且在区间[m ﹣1，m ]上的最大值为2，则m ＝（ ） A ．2或﹣1B ．﹣1C ．3D ．3或﹣1解：由题可知f （﹣x ）＝﹣f （x ），即x 2−ax−3−x=−x 2+ax−3x，则2ax ＝0，a ＝0，所以f(x)=x −3x ．因为f （x ）在区间[m ﹣1，m ]上单调递增，所以f(m)=m −3m =2，解得m ＝3或﹣1． 故选：D ．8．已知函数f （x ）是三次函数且幂函数，g(x)=f(x)+2|x|+12|x|，则g （﹣2023）+g （﹣2022）+g （﹣2021）+…+g（0）+…+g（2021）+g（2022）+g（2023）＝（）A．4047B．8092C．8094D．9086解：因为f（x）是三次函数且是幂函数，所以f（x）＝x3，所以g(x)=x3+2|x|+12|x|=x32|x|+2．令ℎ(x)=g(x)−2=x32|x|，ℎ(−x)=g(−x)−2=(−x)32|−x|=−x32|x|=−ℎ(x)，则h（x）是奇函数，所以g（﹣2023）+g（﹣2022）+g（﹣2021）+⋯+g（0）+⋯+g（2021）+g（2022）+g（2023）＝h（﹣2023）+h（﹣2022）+h（﹣2021）+⋯+h（0）+⋯+h（2021）+h（2022）+h（2023）+4047×2＝[h（﹣2023）+h（2023）]+[h（﹣2022）+h（2022）]+[h（﹣2021）+h（2021）]+⋯+[h（﹣1）+h（1）]+h （0）+8094＝8094．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知a＞c，a+b﹣c＝0，则（）A．a+2b＞c+b B．ab＜bc C．a+b＞a﹣b D．a﹣2b＞c﹣b解：由a+2b＞c+b可知a+b﹣c＞0，与已知矛盾，所以A错误；由题可知b＝c﹣a＜0，则ab＜bc，所以B正确；a+b＞a﹣b等价于b＞0，与b＜0矛盾，所以C错误；a﹣2b＞c﹣b等价于a﹣c﹣b＞0，因为a＞c，所以a﹣c＞0，且﹣b＞0，所以a﹣c﹣b＞0，所以D正确．故选：BD．10．已知函数f（x）＝（a﹣1）a x是指数函数，函数g(x)={f(x)，x≤0，4x−4，x＞0，则（）A．f（x）是增函数B．g（x）是增函数C．g（g（﹣2））＝﹣3D．满足不等式f（x）＞g（x）的最小整数是1解：由题可知a﹣1＝1，解得a＝2，则f（x）是增函数，所以A正确；g(x)={2x，x≤0，4x−4，x＞0，当x＝0时，2x＝20＝1，4x﹣4＝﹣4，1＞﹣4，所以g（x）不是增函数，所以B错误；g(−2)=2−2=14，g(14)=4×14−4=−3，所以C 正确；由题易知只需考虑x ＞0的情况，将x ＝1代入可得不等式f （x ）＞g （x ）成立，所以最小整数是1，所以D 正确． 故选：ACD ．11．已知函数f （x ）的定义域为R ，且f(xy)=y 3f(x)+x 3f(y)，f(12)=18，则（ ） A ．f （x ）＝x 3 B ．f （﹣2）＝8 C ．f （x ）为奇函数D ．f （x ）为增函数解：根据题意，依次分析选项：对于A ，对于f （xy ）＝y 3f （x ）+x 3f （y ），令x ＝y ＝1可得：f （1）＝f （1）+f （1），即f （1）＝0， 函数f （x ）＝x 3不满足f （1）＝0，A 错误；对于B ，对于f （xy ）＝y 3f （x ）+x 3f （y ），令x ＝y ＝﹣1可得：f （1）＝f （﹣1）+f （﹣1）＝2f （﹣1）， 又由f （1）＝0，则f （﹣1）＝0，再令x ＝﹣2，y =12，有f （﹣1）=18f （﹣2）﹣8f （12），又由f （12）=18，变形可得f （﹣2）＝8，B 正确；对于C ，令y ＝﹣1，有f （﹣x ）＝﹣f （x ）+x 3f （﹣1），则有f （﹣x ）＝﹣f （x ），f （x ）为奇函数，C 正确；对于D ，由于f （﹣1）＝f （1）＝0，则f （x ）不是增函数，D 错误． 故选：BC ．12．已知函数f(x)={|x +1|，x ≤0|2x−2|，x ＞0且f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4）（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），则下列说法正确的有（ ）A ．f （x ）在区间（﹣∞，﹣1）和（0，1）上单调递减B ．直线y ＝a （a ≥1）与f （x ）的图象总有3个不同的公共点C ．x 1+x 2＝﹣2D ．x 3+x 4＜2解：画出函数f(x)={|x +1|，x ≤0|2x−2|，x ＞0的大致图象，如图所示，A 选项，由图可知f （x ）在区间（﹣∞，﹣1）和（0，1）上单调递减，所以A 正确；B 选项，由图可知，当a ＝1时，直线y ＝a 与f （x ）的图象有3个不同的公共点， 当a ＞1时，直线y ＝a 与f （x ）的图象有2个不同的公共点，所以B 错误； CD 选项，令f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝f （x 4）＝b （0＜b ＜1），可得直线y ＝b 与f （x ）的图象有4个不同的交点，且交点横坐标分别为x 1，x 2，x 3，x 4， 由图可知x 1+x 2＝﹣2，2−2x 3=2x 4−2，由基本不等式得，2x 3+2x 4=4≥2√2x 3⋅2x 4=2√2x 3+x 4， 所以x 3+x 4≤2，因为x 3＜x 4，所以x 3+x 4＜2，所以C ，D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f （x ）＝b x ﹣1+3（b ＞0且b ≠1）的图象过的定点坐标为 （1，4） ．解：当x ﹣1＝0时，即x ＝1，f （1）＝b 0+3＝4，故f （x ）的图像恒过点（1，4）． 故答案为：（1，4）． 14．已知幂函数f （x ）满足f(4)f(2)=3，则f(18)=127．解：设幂函数f （x ）＝x α，α∈R ， 则f(4)f(2)=4α2α=2α=3，所以f(18)=(18)α=1(2α)3=127． 故答案为：127．15．科学研究发现，大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数m 与其游动速度v （单位：m /s ）的关系式为m ＝k •9v （k ＞0且k 为常数）．当这种鲑鱼的游动速度为2m /s 时，其耗氧量为8100个单位，若这种鲑鱼的游动速度不小于1.5m /s ，则其耗氧量至少为 2700 个单位．解：由题可知8100＝k •92，解得k ＝100，当v ≥1.5时，m ≥100•91.5＝2700． 故答案为：2700．16．已知关于x 的一元二次不等式kx 2﹣2x +2＜0的解集为（a ，b ）（b ＞a ），则4a +b 的最小值为 9 ． 解：由题可知a ，b 是关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x +2＝0的实数根，且k ＞0， 则{a +b =2k ab =2k ，所以a +b ＝ab ，且a ＞0，b ＞0，所以1a +1b =1， 所以4a +b =(4a +b)(1a+1b)=1+4+b a+4a b ≥5+2√b a ⋅4a b=9， 当且仅当b ＝2a ，即a =32，b ＝3时取等号． 故答案为：9．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）（1）已知5m＝2，5n＝3，求53m−2n2的值；（2）化简：4a 23b −13÷(−23a −13b −23)×16a −13b −13． 解：（1）因为5m ＝2，5n ＝3，所以53m−2n2=53m 2−n=(5m )325n=2323=√83=2√23；（2）4a 23b −13÷(−23a −13b −23)×16a −13b −13=4a 23b −13×(−32a 13b 23)×16a −13b −13=4×(−32)×16a 23+13−13b 23−13−13 =−a 23．18．（12分）已知函数f(x)=x −2x(x ∈R +)． （1）用函数单调性的定义证明f （x ）是增函数； （2）求不等式f(2x −22x )≥−1的解集． 证明：（1）设∀x 1，x 2∈R +且x 1＞x 2，则f(x 1)−f(x 2)=(x 1−2x 1)−(x 2−2x 2)=x 1−x 2+2x 2−2x 1=(x 1−x 2)+2(x 1−x 2)x 1x 2=(x 1−x 2)(1+2x 1x 2)， 因为x 1＞x 2＞0，所以x 1﹣x 2＞0，1+2x 1x 2＞0， 所以f （x 1）﹣f （x 2）＞0，所以函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增； （2）由（1）知f （x ）是增函数，f （1）＝﹣1， 所以不等式f(2x −22x )≥−1=f(1)转化为2x−22x ≥1， 化简得（2x ）2﹣2x ﹣2≥0，即（2x ﹣2）（2x +1）≥0，解得x ≥1， 所以不等式的解集为[1，+∞）．19．（12分）已知关于x 的不等式2x 2+（m ﹣2）x ﹣m ＜0． （1）当m ＞﹣2时，求该不等式的解集A ；（2）在（1）的条件下，若集合B ＝（m 2+2m ，m +2），且A ∩B ＝B ，求m 的取值范围． 解：（1）将不等式2x 2+（m ﹣2）x ﹣m ＜0变形， 可得（x ﹣1）（2x +m ）＜0， 因为m ＞﹣2， 所以−m2＜1， 所以不等式2x 2+（m ﹣2）x ﹣m ＜0的解集A =(−m2，1)； （2）由题可知B ⊆A ，所以{m 2+2m ＜m +2m 2+2m ≥−m 2m +2≤1，结合m ＞﹣2，解得m ∈∅，故m 的取值范围为∅（满足条件的m 不存在）．20．（12分）2023年9月23日，第19届亚运会开幕式在杭州举行，完美展现了“绿色”与“科技”的融合．已知某种绿色科技产品在亚运会开幕式后的30天内（包括第30天），第x （x ∈N *）天每件的销售价格M （单位：元）满足M(x)={x +80，1≤x ≤20，−x +120，20＜x ≤30，第x 天的日销售量N （单位：千件）满足N(x)=a +bx，且第2天的日销售量为13000件，第3天的日销售量为12000件． （1）求N （x ）的解析式；（2）若每件该产品的总成本为20元，求该产品在开幕式后的30天内第x 天的日销售利润f （x ）（单位：千元）的解析式，并求开幕式后的第几日销售利润最小． 解：（1）由题可知{a +b2=13a +b 3=12，解得{a =10b =6．所以N(x)=10+6x (1≤x ≤30，x ∈N ∗)．（2）由题可得每件该产品的销售利润为P(x)={x +60，1≤x ≤20−x +100，20＜x ≤30， 所以第x 天的日销售利润f(x)=N(x)⋅P(x)={(10+6x )(x +60)，1≤x ≤20(10+6x )(−x +100)，20＜x ≤30， 即f(x)={10x +360x +606，1≤x ≤20−10x +600x +994，20＜x ≤30， 当1≤x ≤20时，f(x)=10x +360x +606≥2√10x ⋅360x +606=726，当且仅当10x =360x，即x ＝6时等号成立， 当20＜x ≤30时，f(x)=−10x +600x +994为减函数，所以f （x ）min ＝f （30）＝714＜726．故当x ＝30时，f （x ）取得最小值714，即开幕式后的第30天的日销售利润最小．21．（12分）已知函数f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）+g （x ）＝x 2﹣x ﹣1．（1）求f （x ），g （x ）的解析式；（2）设函数h （x ）＝f （x ）+2ag （x ）+3a ﹣1（a ＞0），若对任意的x 1∈[1，√2]，总存在x 2∈[﹣1，1]，使得f （x 1）＝h （x 2）成立，求实数a 的取值范围．解：（1）因为f （x ），g （x ）分别是偶函数和奇函数，f （x ）+g （x ）＝x 2﹣x ﹣1①，所以f （﹣x ）+g （﹣x ）＝x 2+x ﹣1，即f （x ）﹣g （x ）＝x 2+x ﹣1②，①﹣②可得2g （x ）＝﹣2x ，即g （x ）＝﹣x ，①+②可得2f （x ）＝2x 2﹣2，即f （x ）＝x 2﹣1．所以f （x ）＝x 2﹣1，g （x ）＝﹣x ；（2）由（1）可知h （x ）＝x 2﹣2ax +3a ﹣2，图象开口向上，对称轴为x ＝a ，又容易得f （x ）＝x 2﹣1在区间[1，√2]上的值域为[0，1]，由题可知，f （x ）的值域[0，1]是h （x ）在区间[﹣1，1]上值域的子集．当0＜a ＜1时，h （x ）在区间[﹣1，a ]上单调递减，在区间[a ，1]上单调递增，所以ℎ(x)min =ℎ(a)=−a 2+3a −2，h （x ）max ＝h （﹣1）＝5a ﹣1．所以{−a 2+3a −2≤05a −1≥1，得25≤a ＜1．当a ≥1时，h （x ）在区间[﹣1，1]上单调递减，所以h （x ）min ＝h （1）＝a ﹣1，h （x ）max ＝h （﹣1）＝5a ﹣1．所以{a −1≤05a −1≥1，得a ＝1， 所以实数a 的取值范围是[25，1]．22．（12分）已知函数f （x ）的图象可由函数y ＝a x ﹣1+2（a ＞0且a ≠1）的图象先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到，且f （2）＝16．（1）求a 的值；（2）若函数g(x)=f(x)f(x)+2，证明：g （x ）+g （1﹣x ）＝1； （3）若函数y 1＝|f （x ）+m |与y 2＝|f （﹣x ）+m |在区间[1，2]上都是单调的，且单调性相同，求实数m 的取值范围．（1）解：函数y ＝a x ﹣1+2的图象向下平移2个单位长度后得到y ＝a x ﹣1的图象，再向左平移1个单位长度得到y ＝a x 的图象，所以f （x ）＝a x ，因为f （2）＝a 2＝16，所以a ＝4（负值舍去）．（2）证明：由（1）可知f （x ）＝4x ，所以g(x)=4x4x +2， 所以g(x)+g(1−x)=4x 4x +2+41−x 41−x +2=4x 4x +2+44x 44x +2=4x 4x +2+44+2×4x =4x +24x +2=1． （3）解：由（1）可知y 1=|4x +m|，y 2=|4−x +m|，若两函数在区间[1，2]上都是增函数，则{4x +m ≥0(14)x +m ≤0在区间[1，2]上恒成立， 所以{4+m ≥014+m ≤0，解得−4≤m ≤−14； 若两函数在区间[1，2]上都是减函数，则{4x +m ≤0(14)x +m ≥0在区间[1，2]上恒成立， 所以{16+m ≤0116+m ≥0，该不等式组无解， 综上，实数m 的取值范围是[−4，−14]．。
辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题含答案
滨城高中联盟2024-2025学年度上学期高一期中考试数学试卷（答案在最后）命题人：考试时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.命题1x ∃>，21x m ->的否定是（）A.1x ∃>，21x m -≤B.1x ∃≤，21x m -≤C.1x ∀>，21x m -≤D.1x ∀≤，21x m -≤【答案】C 【解析】【分析】根据特称量词命题的否定形式，直接求解.【详解】特称量词命题的否定是全称量词命题，并且否定结论，所以命题1x ∃>，21x m ->的否定是1x ∀>，21x m -≤.故选：C.2.“3x >”是“31x<”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义直接判断即可.【详解】当3x >时，31x <；而当31x<时，0x <或3x >，所以“3x >”是“31x<”成立的充分不必要条件.故选：A3.已知0.60.80.41.05,0.6,0.6a b c ===，则a b c 、、的大小关系是（）A.a b c >>B.a c b>> C.b c a>> D.c b a>>【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的单调性比较大小.【详解】依题意，0.6011.05 1.05a >==，0.80.40.60.6b c =<=，又0.4010.60.6c <==，所以a b c 、、的大小关系是a c b >>.故选：B4.已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，则函数()25f x y x -=-的定义域为（）A.()()2,55,-+∞B.[)()2,55,-+∞C.()()2,55,⋃+∞ D.[)()2,55,+∞ 【答案】D 【解析】【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法即可.【详解】函数()f x 的定义域为[)0,+∞，则2050x x -≥⎧⎨-≠⎩，则2x ≥且5x ≠，则函数()25f x y x -=-的定义域为[)()2,55,+∞ .故选：D.5.若正实数a ，b 满足21a b +=，则11a b+有（）A.最小值，且最小值为1B.最小值，且最小值为3+C.最大值，且最大值为1D.最大值，且最大值为3+【答案】B 【解析】【分析】将代数式2+a b 与11a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得11a b+的最值，进而可得出合适的选项.【详解】已知0a >，0b >，且满足21a b +=，()111122333b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭当且仅当21,2a b -==时，等号成立，因此，11a b+的最小值为3+.故选：B.6.根据表格中的数据，可以判断方程e 20x x --=的一个根所在的区间是（）x-10123e x0.371 2.727.3920.092x +12345A.(1,0)-B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【答案】C 【解析】【分析】根据零点概念及零点存在定理判断即可.【详解】设()e 2xf x x =--，由表格中的数据得，()10.630f -=-<，()010f =-<，()10.280f =-<，()2 3.390f =>，()315.090f =>，所以()()120f f <，又()f x 的图象是连续不断的，所以()f x 在(1,2)内有零点．故选：C .7.已知定义在上函数()f x 的图象是连续不断地，且满足以下条件：①x ∀∈R ，−=；②()12,0,x x ∞∀∈+，当12x x ≠时，都有()()21210f x f x x x ->-；③()10f -=.则下列选项不成立的是（）A.()()34f f <-B.若()()12f m f -<，则m 的取值范围是(),3∞-C.若()0f x x>，则()()1,01,x ∞∈-⋃+ D.函数()f x 有最小值【答案】B 【解析】【分析】A 选项，由条件得到()f x 是偶函数，在0,+∞上单调递增，故()()34f f <-；B 选项，由单调性和奇偶性得到不等式，求出13m -<<；C 选项，由()10f -=，单调性和奇偶性得到当()(),11,x ∞∞∈--⋃+时，()0f x >，当∈−1,1时，()0f x <，得到不等式解集；D 选项，由单调性和奇偶性得到()()min 0f x f =.【详解】A 选项，由条件①得()f x 是偶函数，条件②得()f x 在0,+∞上单调递增，所以()()()344f f f <=-，故A 正确；B 选项，若()()12f m f -<，则12m -<，得13m -<<，故B 错误；C 选项，()f x 是偶函数，且()10f -=，故1=0，()f x 在0,+∞上单调递增，故()f x 在(),0∞-上单调递减，故当()(),11,x ∞∞∈--⋃+时，()0f x >，当∈−1,1时，()0f x <，若()0f x x>，则()00x f x >⎧⎨>⎩或()0x f x <⎧⎨<⎩，所以1x >或10x -<<，故C 正确；D 选项，因为定义在上函数()f x 的图象是连续不断地，()f x 在0,+∞上单调递增，故()f x 在(),0∞-上单调递减，所以()()min 0f x f =，故D 正确.故选：B8.已知函数()22f x x x =-，()()20g x ax a =+>，若[]11,2x ∀∈-，[]21,2x ∃∈-，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围是（）A.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B.[3,)+∞ C.(]0,3 D.1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】求出每个函数的值域，将原问题转化为子集问题，列出不等式组求解即可.【详解】易知()f x 对称轴为1x =，故()11f =-，易知()13f -=，()20f =，可得()[]11,3f x ∈-，而()()20g x ax a =+>，故()g x 在R 上单调递增，且()12g a -=-+，()222g a =+，故()[]22,22g x a a ∈-++，故[]1,3-是[]2,22a a -++的子集，可得212230a a a -+≤-⎧⎪+≥⎨⎪>⎩，解得[3,)a ∈+∞，故B 正确.故选：B二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知R a b c ∈,,，则下列结论中正确的有（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b>B.若22ac bc >，则a b >C.若0a b >>，则11a b a b->-D.()221222a b a b ++≥--【答案】BCD 【解析】【分析】举反例即可说明A ；由不等式的性质，即可说明B ；利用作差法即可判断C ；根据配方法即可判断D ．【详解】对A ：当0a b <<时，结论不成立，故A 错误；对于B ：因为22ac b >，所以20c >，所以,a b >故B 正确；对于C ：()1111a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为0a b >>，所以1111,0b a b a >->，所以()110a b b a ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，即11a b a b ->-，故C 正确；对于D ：()221222a b a b ++≥--等价于22(1)(2)0a b -++≥，成立，故D 正确；故选：BCD ．10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=.已知函数()[]f x x x =-，则关于函数()f x 的结论中正确的是（）A.()2.30.7f -= B.()f x 是奇函数C.()f x 在[)1,0-上是单调递增函数 D.()f x 的值域是[)0,1【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，由定义计算；B 选项，取特殊值可判断，C 选项，利用解析式判断单调性；D 选项，结合函数新定义判断.【详解】[]x 表示不超过x 的最大整数，则有[]1x x x -<≤，其中Z x ∈时[]=x x ，()[]()2.3 2.3 2.3 2.330.7f -=---=---=，A 选项正确；()[]1.1 1.1 1.1 1.110.1f =-=-=，()[]()1.1 1.1 1.1 1.120.9f -=---=---=，()()1.1 1.1f f -≠-，()f x 不是奇函数，B 选项错误；[)1,0x ∈-时，[]1x =-，()[]1f x x x x =-=+，则()f x 在[)1,0-上是单调递增函数，C 选项正确；[]1x x x -<≤，[]1x x x -≤-<-，[]01x x ≤-<，即()f x 的值域是[)0,1，D 选项正确.故选：ACD.11.下列命题中正确的是（）A.已知函数()24312ax x f x -+⎛⎫=⎪⎝⎭，若函数()f x 在区间(),2-∞上是增函数，则a 的取值范围是(]0,1B.函数()1114242x xf x -⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[]0,3上的值域为[]1,2C.若关于x 的方程21xm -=的两根分别为a ，b ，且a b <，则有222a b +=D.函数()2221xf x x =-++，则不等式()()2232f t f t +->的解集为()(),31,-∞-+∞ 【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，利用复合函数的单调性求a 的取值范围；B 选项，利用函数定义域结合解析式求值域；C 选项，解含绝对值的方程；D 选项，构造函数()()1g x f x =-，利用()g x 为奇函数，且在R 上单调递增，解不等式.【详解】对于A ，函数()24312ax x f x -+⎛⎫=⎪⎝⎭在区间(),2-∞上是增函数，由函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是R 上的减函数，有函数243y ax x =-+在(),2-∞上单调递减，0a =时符合题意，A 选项错误；对于B ，()2211111114244241422222x xxx x f x -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+=-⋅+=+- ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，[]0,3x ∈时，11,182x⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，有1311,2822x⎡⎤⎛⎫-∈- ⎪⎢⎝⎭⎣⎦，得21110,422x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫∈-⎢ ⎪⎢⎣⎦⎝⎭⎣⎦，所以函数()1114242x xf x -⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在[]0,3上的值域为[]1,2，B 选项正确；对于C ，若关于x 的方程21xm -=的两根分别为a ，b ，且a b <，则有21a m =-，21b m =+，所以222a b +=，C 选项正确；对于D ，设()()21121xg x f x x =-=-++，x ∈R ，()()2221112121xx x g x f x x x -⋅-=--=--+=--+++，()()2221102121xx x g x g x x x ⎛⎫⋅+-=-++--= ⎪++⎝⎭，即()()g x g x -=-，设12x x >，()()12121222112121x x g x g x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+--+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()()()12212112122222221212121x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+-=-+ ⎪++++⎝⎭，由于12x x >，故120x x ->，12220x x ->，故()()()()12211222202121x x x x x x --+>++，则()()12g x g x >，故()g x 为奇函数，且在R 上单调递增，则()()()()()()22223212310230f t f t f t f t g t g t +->⇒-+-->⇒+->，即()()()22332g tg t g t >--=-，故232t t >-，解得()(),31,t ∈-∞-⋃+∞，D 选项正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.若()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()21-=+xf x ，则()1f =___________.【答案】3-【解析】【分析】函数()f x 为奇函数，有()()11f f =--，代入解析式计算即可.【详解】()f x 是定义在上的奇函数，当0x <时，()21x f x -=+，则()()()11213f f =--=-+=-.故答案为：3-13.若函数37x y a -=+（0a >且1a ≠）经过的定点是P ，则P 点的坐标是________．【答案】()3,8【解析】【分析】根据x y a =的图象过0,1点可得答案.【详解】x y a =的图象过0,1点，370x y a -=+=图象由x y a =的图象右移3个单位、上移7个单位得到，故过定点()3,8．故答案为：()3,8．14.定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩若函数(){}2min 33,33f x x x x =-+--+，则()f x 的最大值为______；若()f x 在区间[],m n 上的值域为3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则n m -的最大值为______．【答案】①.3②.34+【解析】【分析】先表示出()f x 的解析式，然后作出()f x 的图象，根据图象求解出最大值；结合图象分析值域为3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦时定义域的情况，由此确定出,m n 的取值情况，即可求n m -的最大值.【详解】当23333x x x -+=--+时，解得1x =或3x =，所以()(][)()233,,13,33,1,3x x f x x x x ∞∞⎧--+∈-⋃+⎪=⎨-+∈⎪⎩，作出()f x 的图象如下图所示：由图象可知：当3x =时，()f x 有最大值，所以()()max 33f x f ==；当()34f x =时，解得34x =或32或214；当()2f x =时，352x +=或4x =，由图象可知：当33,42m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，32n +=时，()f x 的值域为3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，此时n m -的最大值为333244++-=；当214,4m n ==时，()f x 的值域为3,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，此时532544n m +-=<，由上可知，n m -的最大值为34+，故答案为：3；34+.【点睛】思路点睛：本题考查取最小值函数的应用，处理这一类函数时，图象法是首选方法，通过数形结合的思想能高效的将问题简化.常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的数目；（2）求参数范围；（3）解不等式；（4）研究函数性质.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知全集U =R 集合2(430}A x x x =-+≤∣，{||31}B x x =-<∣，{22,}C x a x a a ≤=≤+∈R ∣．（1）求()U A B ð；（2）若B C B ⋃=，求a 的取值范围．【答案】（1）()U {34}A B xx x =≤≥ ∣或ð（2）(1,2)(2,)⋃+∞【解析】【分析】（1）化简集合,A B ，由集合的并、补运算求解即可；（2）通过讨论C =∅和C ≠∅即可求解.【小问1详解】集合2{430}{13}A x x x x x =-+≤=≤≤∣∣，{||31}{24}B x x x x =-<=<<∣∣，()U {34}A B x x x ∴=≤≥ ∣或ð；【小问2详解】B C B ⋃= ，C B ∴⊆，①当C =∅时，22a a >+，2a ∴>，②当C ≠∅时，则222224a a a a ≤+⎧⎪>⎨⎪+<⎩，解得12a <<，综上所述，a 的取值范围为(1,2)(2,)⋃+∞；16.计算下列各式的值.（11132081(πe)274-⎛⎫⎛⎫--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）已知11223x x-+=，求22122x x x x --+-+-的值.【答案】（1）2（2）9【解析】【分析】（1）利用指数幂数的运算法则即可得解；（2）由已知分别求得1x x -+和22x x -+的值，代入即可得解.【小问1详解】1132081(πe)274-⎛⎫⎛⎫--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1313225214122333⨯⎛⎫=-+=--+= ⎪⎝⎭.【小问2详解】因为11223x x-+=，所以21112222327x x x x --⎛⎫+=+-=-= ⎪⎝⎭，()2221227247x x x x --+=+-=-=，所以22124729272x x x x --+--==+--.17.若函数()f x 的定义域是R ，且对任意的,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+成立，且当0x <时，()0f x <.（1）求()0f ，判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()f x 的单调性；（3）解不等式()()2220f x f x x -+->.【答案】（1）()00f =，奇函数，证明见解析（2）单调递增，证明见解析（3）()(),12,-∞-+∞【解析】【分析】（1）令0x y ==，得()00f =，即可由()()()f x x f x f x -=+-求解，（2）根据单调性的定义即可求解，（3）根据奇偶性以及单调即可求解.【小问1详解】函数()f x 对任意的,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，得()()()000f f f =+，()00f =，()f x 是奇函数，证明如下：用x -代替y ，得()()()f x x f x f x -=+-，则−=−，所以()f x 是奇函数.【小问2详解】在R 上单调递增，证明：任取12x x >，则()()()()()2121121f x f x x x f x f x x =+-=+-，由于210x x -<，所以()210f x x -<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以()f x 在(),∞∞-+上单调递增.【小问3详解】由()()2220f x f x x -+->可得()()222f x x f x ->-，由于()f x 在(),∞∞-+上单调递增，所以222x x x ->-，解得2x >或1x <-，所以不等式的解集是()(),12,∞∞--⋃+.18.已知()22x xa f x b+=+是定义在R 上的奇函数.（1）求实数a ，b 的值.（2）试判断并证明函数()f x 的单调性；（3）已知()()()11f x g x f x +=-，若对任意R x ∈且0x ≠，不等式()()()()112182g x m g x g x g x ⎛⎫+≥+- ⎪ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）11a b =-⎧⎨=⎩（2）增函数，证明见解析（3）8m ≤【解析】【分析】（1）由()f x 是奇函数，可得()()0f x f x +-=对任意的x 成立，可得实数a ，b 的值，代入验证后即可求解；（2）根据题意设任意的12,R x x ∈，()12x x <，由单调函数定义即可判断；（3）利用换元法令22xxt -=+，若不等式()()()()112182g x m g x g x g x ⎛⎫+≥+- ⎪ ⎪⎝⎭恒成立，再根据基本不等式性质即可求解.【小问1详解】因为()f x 是奇函数，则()()22022x x x x a af x f x b b--+++-=+=++，整理得：()()22220xxa b ab -++++=，要使上式对任意的x 成立，则0220a b ab +=⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩或11a b =-⎧⎨=⎩，当11a b =⎧⎨=-⎩时，()2121x x f x +=-的定义域为{}|0x x ≠，不合题意，当11a b =-⎧⎨=⎩时，()2121x x f x -=+的定义域为R ，符合题意，所以11a b =-⎧⎨=⎩【小问2详解】任意的12,R x x ∈，()12x x <有()()()()()12121212122222121021212121x x x x xx x x f x f x ----=-=<++++，所以()()12f x f x <，故函数()f x 是R 上的增函数；【小问3详解】()()()121x f x g x f x +==-，因为()()()()112182g x m g x g x g x ⎛⎫+≥+- ⎪ ⎪⎝⎭恒成立，等价于()()22222218x xx x m --+-≥+-恒成立，令22x x t -=+，0x ≠，则222x x t -=+>=，则2218t mt -≥-，可得16m t t≤+在2t >时恒成立，由基本不等式168t t+≥，当且仅当4t =时，等号成立，故8m ≤.19.已知二次函数()f x 满足()()2f x f x -=，且该函数的图象经过点()2,3-，在x 轴上截得的线段长为4，设=−B .（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()g x 在区间0,2上的最小值；（3）设函数()1932xx h x +=--，若对于任意[]10,2x ∈，总存在[]20,2x ∈，使得()()12h x g x ≥成立，求a 的取值范围.【答案】（1）()223f x x x =--（2）答案见解析（3）)2,∞-+【解析】【分析】（1）根据二次函数的对称性及过的点列式求解即可；（2）根据2a <-，22a -≤≤，2a >分类讨论求解即可；（3）由题意()()min min h x g x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，利用换元法求解函数()h x 的最小值，结合（2）中()g x 的最小值列不等式求解即可.【小问1详解】因为()()2=f x f x -，则()f x 的图象关于直线1x =对称且在x 轴上截得的线段长为4，()f x 的图象与x 轴的交点分别为()1,0-，()3,0，所以设()()()()130f x a x x a =+-≠.该函数的图象经过点()2,3-，解得1a =，所以()223f x x x =--.【小问2详解】因为()()223g x x a x =-+-，其对称轴方程为22a x +=，当202a +<，即2a <-时，()min 03y g ==-.当2022a +≤≤，即22a -≤≤时，()2min 22324a a y g ++⎛⎫==- ⎪⎝⎭当222a +>，即2a >时，()min 223y g a ==--综上所述，当2a <-时，min 3y =-，当22a -≤≤时，()2min234a y +=--，当2a >时，min 23y a =--.【小问3详解】若对于任意[]10,2x ∈，总存在[]20,2x ∈，使得()()12h x g x ≥成立，等价于()()min min h x g x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦函数()()2213179323332324x x xx x h x +⎛⎫=--=-⋅-=-- ⎪⎝⎭，因为[]0,2x ∈，所以139x ≤≤，所以当332x=时，()h x 取得最小值174-当2a <-时，()()minminh x g x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以1734-≥-，不成立当22a -≤≤时，()()min minh x g x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()2217344a +-≥--，解得2a ≤--2a ≥-22a ≤≤当2a >时，()()min min h x g x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以17234a -≥--，解得58a ≥，所以2a >综上所述，a 的取值范围是)2,∞-+.【点睛】方法点睛：双变量的任意、存在性问题应转化成函数最值的大小比较问题.。
2023-2024学年山东省枣庄市薛城区高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省枣庄市薛城区高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数f(x)=√4−x +(x −2)0的定义域为（ ） A ．[2，4] B ．（2，4]C ．（﹣∞，4]D ．（﹣∞，2）∪（2，4]2．已知命题p ：“∀x ≤0，都有x 2≥0”，则￢p 是（ ）A ．∃x 0≤0，使得x 02＜0B ．∃x 0≤0，使得x 02⩾0C ．∀x ＞0，都有x 2＞0D ．∀x ＜0，都有x 2≤03．若a ，b 为正实数，且ab ＝1，则a +2b 的最小值为（ ） A ．√2B ．32C ．3D ．2√24．设集合A ＝{x |x 2﹣3x ﹣4≤0}，B ＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z }，则A ∩B 的真子集共有（ ） A ．15个B ．16个C ．31个D ．32个5．函数f （x ）＝x +2x ，x ∈[1，3]的值域为（ ） A ．[2√2，3]B ．[3，113] C ．[2√2，113] D ．[3，+∞）6．若关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为|x |﹣1＜x ＜2}，则cx 2+bx +a ≤0解集为（ ） A ．{x |﹣1≤x ≤2}B ．{x |﹣1≤x ≤12}C ．{x |﹣1≤x ≤12，且x ≠0}D ．{x |x ≤﹣1或x ≥12}7．设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）＝0，则不等式f(x)−f(−x)x＜0的解集为（ ）A ．（﹣1，0）∪（1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣1，0）∪（0，1）8．某位同学经常会和爸爸妈妈一起去加油，经过观察他发现了一个有趣的现象：爸爸和妈妈的加油习惯是不同的．爸爸每次加油都说：“师傅，给我加250元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”．这位同学若有所思，如果爸爸、妈妈都加油两次，两次的加油价格不同，妈妈每次加满油箱；爸爸每次加250元的油，我们规定谁的平均单价低谁就合算，那么请问爸爸、妈妈谁更合算呢？（ ） A ．妈妈B ．爸爸C ．一样D ．不确定二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A．A∩（B∪C）B．A∪（B∩C）C．A∩∁U（B∩C）D．（A∩B）∪（A∩C）10．设a，b，c∈R，a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c＜b+c B．e﹣a＞e﹣b C．ac2＜bc2D．1a ＞1b11．已知命题p：∀x∈R，x2+ax+4＞0．则命题p成立的一个充分条件可以是（）A．a∈[﹣1，1]B．a∈（﹣4，4）C．a∈[﹣4，4]D．a∈{0}12．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，其中f（x）是奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）＝2x，则下列说法正确的是（）A．f（g（x））为偶函数B．g（0）＝0C．f2（x）﹣g2（x）为定值D．|f(x)|+g(x)={2x，x≥0 2−x，x＜0三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．4−12−(278)13=．14．当a＞0且a≠1时，函数f（x）＝a x﹣1+1的图象经过的定点的坐标为．15．设函数f（x）={−x+a，x≤1−a(x−2)2+1，x＞1，若a＝2，则f（x）的单调递增区间是；若f（x）的值域为（﹣∞，+∞），则a的取值范围是．16．若0＜a＜2，则a2−a +12a的最小值是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|1＜2x＜16}．（1）求A∪B；（2）设非空集合D＝{x|a＜x＜3﹣2a，a∈R}，若D⊆（A∪B），求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f （x ）=1x 2−1． （1）判断f （x ）在区间（1，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明； （2）求f （x ）在区间[﹣4，﹣2]上的最大值和最小值．19．（12分）学校决定投资1.2万元在操场建一长方体状体育器材仓库，如图（俯视图），利用围墙靠墙直角而建节省成本（长方体一条长和一条宽靠墙角而建）．由于要求器材仓库高度恒定，不靠墙的长和宽所在的面的建造材料造价每米100元（不计高度，按长度计算），顶部材料每平方米造价300元．在预算允许的范围内，如何设计使得仓库占地面积最大？20．（12分）已知点(√2，2)在幂函数f （x ）的图像上，g （x ）＝f （x ）+ax +b （a ，b ∈R ）． （1）求f （x ）的解析式；（2）若b ＝1，且方程g （x ）＝0有解，求实数a 的取值范围； （3）当g （﹣1）＝0时，解关于x 的不等式g （x ）≤0． 21．（12分）已知函数f(x)=2a xa x +1+k(a ＞1)是奇函数． （1）求实数k 的值；（2）若x ＞0时，关于x 的不等式f （2x ）≤mf （x ）恒成立，求实数m 的取值范围． 22．（12分）已知函数f （x ）＝x （m |x |+1），m ∈R ．（1）若m ＝﹣1，求函数f （x ）在[﹣1，t ]上的最小值H （t ）的解析式； （2）若对任意x ∈[﹣1，0]，都有f （x ﹣m ）﹣f （x ）≤0，求实数m 的取值范围．2023-2024学年山东省枣庄市薛城区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数f(x)=√4−x +(x −2)0的定义域为（ ） A ．[2，4] B ．（2，4]C ．（﹣∞，4]D ．（﹣∞，2）∪（2，4]解：要使原函数有意义，则{4−x ≥0x −2≠0，解得x ≤4且x ≠2，∴函数f(x)=√4−x +(x −2)0的定义域为（﹣∞，2）∪（2，4]． 故选：D ．2．已知命题p ：“∀x ≤0，都有x 2≥0”，则￢p 是（ ）A ．∃x 0≤0，使得x 02＜0B ．∃x 0≤0，使得x 02⩾0C ．∀x ＞0，都有x 2＞0D ．∀x ＜0，都有x 2≤0解：因为命题p ：“∀x ≤0，都有x 2≥0”，则￢p ：∃x 0≤0，使得x 02＜0．故选：A ．3．若a ，b 为正实数，且ab ＝1，则a +2b 的最小值为（ ） A ．√2B ．32C ．3D ．2√2解：因为a ＞0，b ＞0，且ab ＝1， 则a +2b ≥2√a ⋅2b =2√2⋅√ab =2√2， 当且仅当a ＝2b ，即a =√2，b =√22时取等号，此时a +2b 的最小值为2√2， 故选：D ．4．设集合A ＝{x |x 2﹣3x ﹣4≤0}，B ＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z }，则A ∩B 的真子集共有（ ） A ．15个B ．16个C ．31个D ．32个解：集合A ＝{x |x 2﹣3x ﹣4≤0}＝{x |﹣1≤x ≤4}，B ＝{1，2，3，4，5}， 则A ∩B ＝{1，2，3，4}，集合元素个数为4个， 故A ∩B 的真子集共有24﹣1＝15个．故选：A ．5．函数f （x ）＝x +2x ，x ∈[1，3]的值域为（ ） A ．[2√2，3]B ．[3，113] C ．[2√2，113] D ．[3，+∞）解：由双勾函数的性质可知，函数f （x ）在[1，√2]上单调递减，在(√2，3]上单调递增， 则f(x)min =f(√2)=2√2， 又f(1)=3，f(3)=113， 则函数的值域为[2√2，113]． 故选：C ．6．若关于x 的不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为|x |﹣1＜x ＜2}，则cx 2+bx +a ≤0解集为（ ） A ．{x |﹣1≤x ≤2}B ．{x |﹣1≤x ≤12}C ．{x |﹣1≤x ≤12，且x ≠0}D ．{x |x ≤﹣1或x ≥12}解：∵不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |﹣1＜x ＜2}， ∴a ＜0，且﹣1+2=−b a ，﹣1×2=c a， ∴b ＝﹣a ，c ＝﹣2a ，∴不等式cx 2+bx +a ≤0转化为2x 2+x ﹣1≤0， ∴﹣1≤x ≤12，∴不等式cx 2+bx +a ≤0的解集为[﹣1，12]，故选：B ．7．设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （1）＝0，则不等式f(x)−f(−x)x＜0的解集为（ ）A ．（﹣1，0）∪（1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．（﹣1，0）∪（0，1）解：∵f （x ）为奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，f （1）＝0， ∴f （1）＝﹣f （﹣1）＝0，在（﹣∞，0）内也是增函数 ∴f(x)−f(−x)x=2f(x)x＜0，即{x ＞0f(x)＜0或 {x ＜0f(x)＞0根据在（﹣∞，0）和（0，+∞）内是都是增函数解得：x ∈（﹣1，0）∪（0，1） 故选：D ．8．某位同学经常会和爸爸妈妈一起去加油，经过观察他发现了一个有趣的现象：爸爸和妈妈的加油习惯是不同的．爸爸每次加油都说：“师傅，给我加250元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”．这位同学若有所思，如果爸爸、妈妈都加油两次，两次的加油价格不同，妈妈每次加满油箱；爸爸每次加250元的油，我们规定谁的平均单价低谁就合算，那么请问爸爸、妈妈谁更合算呢？（ ） A ．妈妈B ．爸爸C ．一样D ．不确定解：如果爸爸、妈妈都加油两次，设第一次加油汽油单价为x 元/升，第二次加油汽油单价是y 元/升（x ≠y ），妈妈每次加满油箱，需加油a 升，根据题意得：妈妈两次加油共需付款a （x +y ）元，爸爸两次能加250x+250y=250(x+y)xy升油，若爸爸两次加油的平均单价为M 元/升，妈妈两次加油的平均单价为N 元/升， 则M =2xy x+y ，N =x+y2，∵N −M =x+y 2−2xy x+y =(x−y)22(x+y)＞0，∴爸爸的加油方式更合算． 故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）A ．A ∩（B ∪C ） B ．A ∪（B ∩C ）C ．A ∩∁U （B ∩C ）D ．（A ∩B ）∪（A ∩C ）解：图中阴影部分用集合符号可以表示为：A ∩（B ∪C ）或（A ∩B ）∪（A ∩C ）．故选：AD．10．设a，b，c∈R，a＜b，则下列不等式一定成立的是（）A．a+c＜b+c B．e﹣a＞e﹣b C．ac2＜bc2D．1a ＞1b解：∵a＜b，∴a+c＜b+c，e﹣a＞e﹣b，ac2≤bc2（c＝0时取等号），1a 与1b的大小关系不确定．故选：AB．11．已知命题p：∀x∈R，x2+ax+4＞0．则命题p成立的一个充分条件可以是（）A．a∈[﹣1，1]B．a∈（﹣4，4）C．a∈[﹣4，4]D．a∈{0}解：∵命题p：∀x∈R，x2+ax+4＞0，∴Δ＝a2﹣16＜0，∴﹣4＜a＜4，∵[﹣1，1]⊆（﹣4，4），（﹣4，4）⊆（﹣4，4），{0}⊆（﹣4，4），故选：ABD．12．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，其中f（x）是奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）＝2x，则下列说法正确的是（）A．f（g（x））为偶函数B．g（0）＝0C．f2（x）﹣g2（x）为定值D．|f(x)|+g(x)={2x，x≥0 2−x，x＜0解：根据题意，f（x）+g（x）＝2x①，则f（﹣x）+g（﹣x）＝2﹣x，又由f（x）是奇函数，g（x）为偶函数，则﹣f（x）+g（x）＝2﹣x②，联立①②可得：f（x）=12（2x﹣2﹣x），g（x）=12（2x+2﹣x），依次分析选项：对于A，对于f（g（x）），其定义域为R，有f（g（﹣x））＝f（g（x）），故f（g（x））是偶函数，A正确；对于B，g（0）=12（1+1）＝1，B错误；对于C，f（x）=12（2x﹣2﹣x），g（x）=12（2x+2﹣x），f2（x）﹣g2（x）＝﹣1，C正确；对于D，当x≥0时，f（x）=12（2x﹣2﹣x）≥0，此时|f（x）|+g（x）=12（2x﹣2﹣x）+12（2x+2﹣x）＝2x，当x＜0时，f（x）=12（2x﹣2﹣x）＜0，此时|f（x）|+g（x）=−12（2x﹣2﹣x）+12（2x+2﹣x）＝2﹣x，故|f(x)|+g(x)={2x，x≥02−x，x＜0，D正确；故选：ACD．三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．4−12−(278)13=﹣1．解：4−12−(278)13=(22)−12−[(32)3]13=2−1−32=−1．故答案为：﹣1．14．当a＞0且a≠1时，函数f（x）＝a x﹣1+1的图象经过的定点的坐标为（1，2）．解：当x＝1时，f（1）＝a1﹣1+1＝a0+1＝2，∴函数f（x）＝a x﹣1+1的图象一定经过定点（1，2）．故答案为：（1，2）．15．设函数f（x）={−x+a，x≤1−a(x−2)2+1，x＞1，若a＝2，则f（x）的单调递增区间是（1，2]；若f（x）的值域为（﹣∞，+∞），则a的取值范围是（0，2]．解：①：函数f（x）={−x+a，x≤1−a(x−2)2+1，x＞1，当a＝2时，f(x)={−x+2，x≤1−2(x−2)2+1，x＞1，如图所示：根据函数的图象，函数的单调递增区间为（1，2]．②：由于函数f（x）的值域为（﹣∞，+∞），故首先二次函数的图象满足开口方向向下，即a＞0，且满足x＝1时，﹣1+a≤1，整理得a≤2．故实数a的取值范围为（0，2]．故答案为：①（1，2]；②（0，2]．16．若0＜a ＜2，则a2−a+12a的最小值是54．解：因为0＜a ＜2，所以2﹣a ＞0，则4﹣2a ＞0， 所以a 2−a+12a=−1+22−a +12a=−1+44−2a+12a=−1+(44−2a+12a)×(4−2a)+2a4＝﹣1+14（4+1+4−2a 2a +8a4−2a ）≥−1+14(5+2√4−2a2a ⋅8a4−2a ）＝﹣1+14(5+4)=−1+94=54， 当且仅当4−2a 2a =8a 4−2a，即a =23时取最小值为54，故答案为：54．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}，B ＝{x |1＜2x ＜16}． （1）求A ∪B ；（2）设非空集合D ＝{x |a ＜x ＜3﹣2a ，a ∈R }，若D ⊆（A ∪B ），求实数a 的取值范围． 解：（1）∵全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2﹣2x ﹣3＜0}＝{x |﹣1＜x ＜3}， B ＝{x |1＜2x ＜16}＝{x |0＜x ＜4}， ∴A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜4}．（2）非空集合D ＝{x |a ＜x ＜3﹣2a ，a ∈R }，D ⊆（A ∪B ）， ∴{a ＜3−2a a ≥−13−2a ≤4，解得−12≤a ＜1，∴实数a 的取值范围是[−12，1）． 18．（12分）已知函数f （x ）=1x 2−1．（1）判断f （x ）在区间（1，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明； （2）求f （x ）在区间[﹣4，﹣2]上的最大值和最小值． 解：（1）当x ＞1时，y ＝x 2﹣1为增函数，故f(x)=1x 2−1是减函数； 证明：对于∀x 1，x 2∈（1，+∞）且x 1＜x 2；f(x 1)−f(x 2)=x 22−x 12(x 12−1)(x 22−1)，∵1＜x 1＜x 2，∴(x 12−1)(x 22−1)＞0，x 22＞x 12，∴f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2）， 故函数在该区间内单调递减；（2）∵f（x）在区间（1，+∞）上的单调递减，∴f（x）在[2，4]上单调递减，∵f（x）的定义域为{x|x≠±1}，关于原点对称，又f（x）＝f（﹣x），∴f（x）为偶函数，则f（x）在[﹣4，﹣2]上单调递增，∴f（x）max＝f（﹣2）=13，f（x）min＝f（﹣4）=115．19．（12分）学校决定投资1.2万元在操场建一长方体状体育器材仓库，如图（俯视图），利用围墙靠墙直角而建节省成本（长方体一条长和一条宽靠墙角而建）．由于要求器材仓库高度恒定，不靠墙的长和宽所在的面的建造材料造价每米100元（不计高度，按长度计算），顶部材料每平方米造价300元．在预算允许的范围内，如何设计使得仓库占地面积最大？解：设仓库不靠墙的长为x米，宽为y米，x＞0，y＞0，则100（x+y）+300xy⩽12000，整理得（x+y）+3xy⩽120．由x＞0，y＞0，得x+y⩾2√xy，当且仅当x＝y时等号成立，因此，将不等式（x+y）+3xy⩽120化简，可得3xy+2√xy⩽120，当且仅当x＝y时，取等号．以√xy为单位，整理得(√xy−6)(3√xy+20)≤0，解得0＜√xy⩽6，当x＝y＝6时等号成立，因此，设计仓库的长、宽均为6米时，仓库占地面积最大，最大面积为xy＝36平方米．20．（12分）已知点(√2，2)在幂函数f（x）的图像上，g（x）＝f（x）+ax+b（a，b∈R）．（1）求f（x）的解析式；（2）若b＝1，且方程g（x）＝0有解，求实数a的取值范围；（3）当g（﹣1）＝0时，解关于x的不等式g（x）≤0．解：（1）设幂函数y＝f（x）＝xα，由点(√2，2)在幂函数f（x）的图象上，所以(√2)α=2，解得α＝2，所以f（x）＝x2；（2）b ＝1时，g （x ）＝x 2+ax +1，由方程g （x ）＝0有解，可得Δ＝a 2﹣4≥0，解得a ≤﹣2或a ≥2；故实数a 的取值范围为{a |a ≤﹣2或a ≥2}；（3）由g （﹣1）＝0得 1﹣a +b ＝0，即 b ＝a ﹣1，所以g （x ）＝x 2+ax +a ﹣1＝（x +1）（x +a ﹣1），当﹣1＜1﹣a 即a ＜2时，g （x ）≤0的解集为[﹣1，1﹣a ]，当﹣1＝1﹣a 即a ＝2时，g （x ）≤0的解集为{﹣1}，当﹣1＞1﹣a 即a ＞2时，g （x ）≤0的解集为[1﹣a ，﹣1]．21．（12分）已知函数f(x)=2a x a x +1+k(a ＞1)是奇函数． （1）求实数k 的值；（2）若x ＞0时，关于x 的不等式f （2x ）≤mf （x ）恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）f （x ）是奇函数，且定义域为R ，所以f （0）＝0，即2a 0a 0+1+k =0，解得k ＝﹣1． f(x)=2a x a x +1−1=a x −1a x +1，f(−x)=a −x −1a −x +1=1−a x a x +1=−f(x)，f （x ）是奇函数， 所以k ＝﹣1．（2）f(x)=2a x a x +1−1=a x −1a x +1，x ＞0，f （2x ）≤mf （x ）恒成立，得a 2x −1a 2x +1≤m ⋅a x −1a x +1， 因为a ＞1，所以a x ＞1，则a x ﹣1＞0，所以m ≥(a x +1)2a 2x +1， 设ℎ(x)=(a x +1)2a 2x +1=a 2x +2a x +1a 2x +1=1+2a x a 2x +1=1+2a x +1a x ， 因为a x +1a x ≥2，当且仅当a x =1a x ，即x ＝0时，等号成立，又x ＞0，所以a x +1a x ＞2，故ℎ(x)=1+2a x +1a x ＜1+22=2， 所以m ≥2，即m ∈[2，+∞）．22．（12分）已知函数f （x ）＝x （m |x |+1），m ∈R ．（1）若m ＝﹣1，求函数f （x ）在[﹣1，t ]上的最小值H （t ）的解析式；（2）若对任意x ∈[﹣1，0]，都有f （x ﹣m ）﹣f （x ）≤0，求实数m 的取值范围．解：（1）若m ＝﹣1，则f(x)=x(1−|x|)={x(1−x)，x ⩾0x(1+x)，x ＜0． ①当−1＜t ⩽−12时，f （x ）在[﹣1，t ]单调递减，f （x ）的最小值为f （t ）＝t （t +1）； ②当−12＜t ⩽12时，f （x ）在[−1，−12]单调递减，在[−12，12]单调递增，f （x ）的最小值为f(−12)=−14； ③当12＜t 时，f （x ）在[−1，−12]单调递减，在[−12，12]单调递增，在[12，t]单调递减， f （x ）的最小值为f （x ）的最小值为min {f （−12），f （t ）}，由f(−12)＜f(t)得，−14＜t(1−t)，解得1−√22＜t ＜1+√22； 所以，当12＜t ＜1+√22时，f （x ）的最小值为f(−12)=−14， 当t ⩾1+√22时，f （x ）的最小值为f （t ）＝t （1﹣t ）； 综上所述，f （x ）的最小值为：H （t ）={ t(t +1)，−1＜t ≤−12−14，−12＜t ＜1+√22t(1−t)，1+√22≤t ． （2）当x ∈[﹣1，0]时，f （x ）＝x （﹣mx +1）＝﹣mx 2+x ，①当m ≥0时，f （x ）在[﹣1，0]上单调递增，恒有f （x ﹣m ）≤f （x ），符合题意， ②当m ＜0时，令x ＝0得：f （﹣m ）≤f （0），所以﹣m （﹣m 2+1）≤0，解得：m ≤﹣1，或者m ≥1（舍去）．f （x ﹣m ）﹣f （x ）＝m （x ﹣m ）2+（x ﹣m ）﹣x （﹣mx +1）＝2mx 2﹣2m 2x +m 3﹣m ≤0， 又m ≤﹣1，所以x +y ⩾2√xy ．令g （x ）＝2x 2﹣2mx +m 2﹣1，则g （﹣1）＝m 2+2m +1＝（m +1）2＞0，所以x +y ⩾2√xy ，所以当m 2＜−1，即m ＜﹣2，g （x ）＞0恒成立，当﹣2⩽m ＜﹣1时，只要g(m 2)=m 22−1＞0，得−2⩽m ＜−√2，所以m ＜−√2．综上所述，m 的取值范围为：（﹣∞，−√2）∪[0，+∞）．。
四川省绵阳中学2024-2025学年高一上学期期中测试数学试卷(含答案)
绵阳中学高2024级高一上期期中测试数学试题第I 卷（选择题）一､单选题（每小题5分，共计40分）1.已知命题，命题的否定是（）A.B.C.. D.2.已知集合，若，则实数的值不可以为（）A.2 B.1 C.0 D.3.下列函数既是奇函数又在单调递增的是（）A. B.C. D.4.已知，若的解集为，则函数的大致图象是（ ）A. B.C. D.5.已知函数在区间上的值域是，则区间可能是（）A. B. C. D.6.“函数的定义域为”是“”的（ ）2:,210p x x ∀∈+>R p 2,210x x ∀∈+R …2,210x x ∃∈+>R 2,210x x ∃∈+<R 2,210x x ∃∈+R …{}()(){}2320,220A x x x B x x ax =-+==--=∣∣A B A ⋃=a 1-()0,∞+1y x =31y x=1y x x =-1y x x=+()2f x ax x c =--()0f x >()2,1-()y f x =-222y x x =-+[],a b []1,2[],a b []1,0-30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,3[]1,1-()211f x ax ax =-+R 04a <<A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（ ）A.B.C. D.8.已知函数是定义在的单调函数，且对于任意的，都有，若关于的方程恰有两个实数根，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.二､多选题（每小题6分，共计18分）9.对于任意实数，下列四个命题中为假命题的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.已知为正实数，且，则（ ）A.的最大值为4B.的最小值为18C.的最小值为4D.11.定义在上的偶函数满足：，且对于任意，，若函数，则下列说法正确的是（）A.在上单调递增B.0,0a b >>1ab =11422m a b a b++≥+m 2m ≥4m ≥6m ≥8m ≥()f x [)0,∞+[)0,x ∞∈+()2f f x ⎡=⎣x ()2f x x k +=+k 92,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭51,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭133,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭13,4∞⎛⎫- ⎪⎝⎭,,,a b c d ,0a b c >≠ac bc>22ac bc >a b>0a b <<22a ab b >>0,a bcd >>>ac bd>,a b 8ab a b ++=ab 22(1)(1)a b +++a b +1111a b +++R ()f x ()22f =120x x >>()()21122122x f x x f x x x ->-()()2f xg x x -=()g x ()0,∞+()()34g g -<C.在上单调递减D.若正数满足，则第II 卷（非选择题）三､填空题（每小题5分，共计15分）12.函数__________.13.函数，若，则14.已知函数的定义域为的图象关于直线对称，且，若，则__________.四､解答题（共计77分）15.（13分）已知定义在上的函数满足：.（1）求函数的表达式；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.16.（15分）设集合.（1）若，求实数的值；（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.17.（15分）如图，正方形的边长为分别是和边上的点沿折叠使与线段上的点重合（不在端点处），折叠后与交于点.若（1）证明：的周长为定值.（2）求的面积S 的最大值.()f x ()2,∞+m ()()24202m f m f m -+->()2,m ∞∈+()12f x x =+()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩()()2f a f a =+()2__________.f a =()(),f x g x (),y f x =R 1x =()()()()110,45f x g x f x g x -+=--=()21f =()()12g g +=R ()()2223f x f x x x +-=-+()f x ()21f x ax ≥-[]1,3a {}(){}222320,2150A x x x B x x a x a =-+==+++-=∣∣{}2A B ⋂=a x A ∈x B ∈a ABCD 1,,E F AD BC EF C AB M M ,A B CD AD G ,BM x BF y==AMG AMG18.（17分）已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明；（3）解不等式.19.（17分）若函数的定义域为，集合，若存在正实数，使得任意，都有，且，则称在集合上具有性质.（1）已知函数，判断在区间上是否具有性质，并说明理由；（2）已知函数，且在区间上具有性质，求正整数的最小值；（3）如果是定义域为的奇函数，当时，，且在上具有性质，求实数的取值范围.()21ax b f x x-=+[]1,1-()11f =-()f x ()f x []1,1-()()()210f t f t f -+>()f x D M D ⊆t x M ∈x t D +∈()()f x t f x +>()f x M ()P t 2()f x x =()f x [1,0]-(1)P 3()f x x x =-()f x [0,1]()P n n ()f x R 0x ≥()()f x x a a a =--∈R ()f x R (6)P a数学参考答案题号12345678910答案D D C C B B D C AD ABC题号11答案ABD 填空题12.13.414.【详解】因为的图象关于直线对称，则①，又，即，结合①得②，因为，则，结合②得，则，令，得，令，得，由，得，由，得，则，所以.15.【详解】（1）将的替换为得联立()(],22,1∞--⋃-()y f x =1x =()()11f x f x -=+()()110f x g x -+=()()110f x g x -=-()()110g x f x ++=()()45f x g x --=()()135f x g x +--=()()35g x g x +-=1x =()()125g g +-=2x =()()125g g -+=()()110f x g x -+=()()2110f g +-=()()45f x g x --=()()225f g --=()()125g g -+-=()()125g g +=()()2223f x f x x x +-=-+x x -()()2223f x f x x x -+=++()()()()22223223f x f x x x f x f x x x ⎧+-=-+⎪⎨-+=++⎪⎩解得（2）不等式为，化简得，要使其在上恒成立，则，，当且仅当取等，所以.16.【详解】（1）由，所以或，故集合.因为，所以，将代入中的方程，得，解得或，当时，，满足条件；当时，，满足条件，综上，实数的值为或（2）因为“”是“”的必要条件，所以对于集合.当，即时，，此时；当，即时，，此时；当，即时，要想有，须有，此时：，该方程组无解.综上，实数的取值范围是.17.【详解】（1）设，则，由勾股定理可得，即，由题意，，()21213f x x x =++()21f x ax ≥-2121213x x ax ++≥-116x a x ≤++[]1,3min116x a x ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭11116x x ++≥=x =1a ≤+()()2320120x x x x -+=⇒--=1x =2x ={}1,2A ={}2A B ⋂=2B ∈2x =B 2430a a ++=1a =-3a =-1a =-{}{}2402,2B x x =-==-∣3a =-{}{}24402B x x x =-+==∣a 1-3-x A ∈x B ∈B A⊆()()22,Δ4(1)4583B a a a =+--=+Δ0<3a <-B =∅B A ⊆Δ0=3a =-{}2B =B A ⊆Δ0>3a >-B A ⊆{}1,2B A ==()221352a a ⎧+=-⎨-=⎩a (],3∞--,,01BM x BF y x ==<<1CF MF y ==-222(1)x y y +=-212x y -=90GMF DCF ∠∠==即，可知，设的周长分别为，则又因为，所以，的周长为定值，且定值为2.（2）设的面积为，则，因为，所以，.因为，则，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，满足故的面积的最大值为.18.【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，，解得，，而，解得，.（2）函数在上为减函数；90AMG BMF ∠∠+= Rt Rt AMG BFM ∽,AMG BFM 1,p p 11p AM x p BF y -==111p x y y x =++-=+()2111112x x x p p x y y y---==⋅+==AMG BFM 1S 22122(1)S AM x S BF y-==112S xy =()2221221(1)(1)(1)211x x x x x x x S S y y x x ----====-+()()()211121311x x x x x⎡⎤⎡⎤-++-⎣⎦⎣⎦==-+-+++10x +>201x>+211x x ++≥=+3S ≤-211x x+=+1x =-()0,1x ∈AMG 3-()21ax b f x x-=+[]1,1-()()22;11ax b ax b f x f x x x ----=-=-++0b =()21ax f x x ∴=+()11f =-2a =-()[]22,1,11x f x x x -∴=∈-+()221x f x x -=+[]1,1-证明如下：任意且，则因为，所以，又因为，所以，所以，即，所以函数在上为减函数.（3）由题意，，又，所以，即解不等式，所以，所以，解得，所以该不等式的解集为.19.【详解】（1），当时，，故在区间[―1，0]上不具有性质；（2）函数的定义域为，对任意，则，在区间上具有性质，则，即，因为是正整数，化简可得：对任意恒成立，设，其对称轴为，则在区间上是严格增函数，所以，，解得，故正整数的最小值为2；[]12,1,1x x ∈-12x x <()()()()()()121212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ------=-=++++12x x <120x x -<[]12,1,1x x ∈-1210x x ->()()120f x f x ->()()12f x f x >()()12f x f x >[]1,1-()()()210f t f tf -+>()00f =()()210f t f t -+>()()21f t f t >--()()21f t f t >-22111111t t t t ⎧-≤≤⎪-≤-≤⎨⎪<-⎩0t≤<()()221(1)21f x f x x x x +-=+-=+0.8x =-()()10.60f x f x +-=-<()f x ()1P ()3f x x x =-R []0,1x ∈x n +∈R ()f x [0,1]()P n ()()f x n f x +>33()()x n x n x x +-+>-n 223310x nx n ++->[]0,1x ∈22()331g x x nx n =++-02n x =-<()g x [0,1]2min ()(0)10g x g n ==->1n >n（3）法一：由是定义域为上的奇函数，则，解得，若，，有恒成立，所以符合题意，若，当时，，所以有，若在上具有性质，则对任意恒成立，在上单调递减，则，x 不能同在区间内，，又当时，，当时，，若时，今，则，故，不合题意；，解得，下证：当时，恒成立，若，则，当时，则，，所以成立；当时，则，可得，，即成立；当时，则，即成立；综上所述：当时，对任意x ∈R 均有成立，()f x R (0)0f a a =-=0a ≥0a =()f x x =6x x +>0a >0x <()()()f x f x x a a x a a =--=----=-++()2,,2,x a x a f x x a x a x a x a +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩()f x R (6)P (6)()f x f x +>x ∈R ()f x [,]a a -6x +[,]a a -6()2a a a ∴>--= [2,0]x a ∈-()0f x ≥[0,2]x a ∈()0f x ≤264a a <≤2x a =-6[0,2]x a +∈(6)()f x f x +≤46a ∴<302a <<302a <<()()6f x f x +>302a <<46a <6x a +≤-()662f x x a +=++()2f x x a =+()()6f x f x +>6a x a -<+<63x a a <-<-()()66f x x a +=-+>-()2f x x a a =+<-()()6f x f x +>6x a +>()()()6622f x x a x a f x +=+->+≥()()6f x f x +>302a ≤<()()6f x f x +>故实数的取值范围为.法二：由是定义域为上的奇函数，则，解得.作出函数图像：由题意得：，解得，若，，有恒成立，所以符合题意，若，则，当时，则，，所以成立；当时，则，可得，，即成立；当时，则，即成立；综上所述：当时，对任意x ∈R 均有成立，故实数的取值范围为.a 30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭()f x R (0)0f a a =-=0a ≥2(2)46a a a --=<302a ≤<0a =()f x x =6x x +>302a <<46a <6x a +≤-()662f x x a +=++()2f x x a =+()()6f x f x +>6a x a -<+<63x a a <-<-()()66f x x a +=-+>-()2f x x a a =+<-()()6f x f x +>6x a +>()()()6622f x x a x a f x +=+->+≥()()6f x f x +>302a ≤<()()6f x f x +>a 30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭。
广西壮族自治区南宁市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)
南宁市2024-2025学年秋季学期期中考试高一数学试卷考试时长: 120分钟满分: 150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 全称量词命题“∀x∈R,x²≥0”的否定是,( )^ ∀x∈R,x²≤0 B. ∃x∈R, x²<0C. ∃x∈R,x²≥0 D ∀x∈R, x²<02. 已知集合A={0,1,2}, B={x|-2<x≤3},则A∩B= ( )A. {1}B. {1,2}C. {0,1}D. {0,1,2}3. 集合{1,2}的子集个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. “我住在广西”是“我住在中国”的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件5. 如果m>0, 那么m+4的最小值为( )mA. 2B. 22C. 4D. 86. 函数f(x)=x+3的定义域是( )A. {x|x≥-3}B. {x|x>0}C. {x|x≥3}D. {x|x≥4}7. 已知f(x―3)=2x²―3x+1,则f(1)= ( )A. 15B. 21C. 3D. 08. 若不等式kx²―6kx+k+8≥0的解集为R，则实数k的取值范围是 ( )A. 0≤k≤1B. 0<k≤1C. k<0或k>1D. k≤0或k≥1第1页，共4页二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 若a<b<0, 则下列不等式正确的是 ( )A1 a <1bB.ab<a⁷ c |a| D.1a>1b10. 下列各组函数表示同一函数的是( )A.f(x)=x,g(x)=x2B.f(x)=x²,g(x)=|x|²C.f(x)=x+1,g(x)=x2―1x―1D.f(x)=x0x,g(x)=xx211. 若函数y=x²+bx+c的图象与x轴的两个交点是A(-2，0)，B(1，0)，则下列结论正确的是( )A. b+c=-1B. 方程x²+bx+c=0的两根是-2, 1C. 不等式.x²+bx+c>0的解集是{x|-2<x<1}D. 不等式x²+bx+c≤0的解集是{x|-2≤x≤1}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 设集合A={2,1-a,5}, 若4∈A,则a= .13. 已知函数那么f(f(3))= .14. 不等式x+3x―5<0的解集为 .四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题13分) 已知全集U=R, 集合.A=x|x≥4,B=x|―6≤x≤6.(1)求A∩B和A∪B;(2)求((C U A)∩(C U B)第2页，共4页16.(本题15分) 设集合U=R,A=x|0≤x≤3,B=x|m―1≤x≤2m.(1)m=3,求A∪(C U B);(2) 若B⊆A求m的取值范围.17.(本题15分) 已知二次函数f(x)=x²―ax+b,f(1)=2,f(3)=―6.(1) 求f(x)的解析式;(2) 写出f(x)的单调区间; 并求.x∈[―1,5]时，f(x)的最大值与最小值.第3页，共4页18.(本题17分) 求下列函数的最值. (1) 已知x>2, 求y=x+1x―2的最小值；(2) 已知:x>0,y>0,且2x+y=1.求1x +9y的最小值.(3) 已知(0<x<4,求x(4―3x)的最大值.19.(本题17分)已知函数f(x)=,且f(1)=10.(1) 求a的值;(2) 判断函数f(x)在[3,+∞)上的单调性，并用定义法证明；(3) 求函数f(x)在区间[3，6]上的最大值和最小值.第4页，共4页高一数学11月期中考试参考答案题号1234567891011答案BDDBCABABDBDABD1. B 【详解】全称量词命题“∀x∈R, x²≥0”的否定是 ∃x ∈R,x²<0,故选: B.2. D 【详解】由题意. A =0.1,2,B =x|―2<x ≤3,所以A∩B={0,1,2}.故选: D.3. D 【详解】因为A={0.1}, 所以集合A 有∅,{0},{1},{0,1}共4个子集.故选: D4. B 【详解】“我住在广西”则一定有“我住在中国”，反之不成立，所以“我住在广西”则一定有“我住在中国”的充分不必要条件.故选：B5. C 【详解】 m >0,m +4m ≥2m ⋅4m =4,当且仅当 m =4m ,即m=2时取等号，所以 m +4m 的最小值为4.故选：C6. A 【详解】要使函数 f (x )=x +3有意义, 需x+3≥0, 解得x≥-3, 即得函数的定义域为:{x|x≥-3}.故选: A.7. B 【详解】∵f(x-3)=2x²-3x+1, ∴f(1)=(4-3)=2×4²-3×4+1=21,故选B.8. A 【详解】若k=0, 则不等式为8>0, 满足条件,若k≠0，要使不等式恒成立，则满足 {k >0=36k 2―4k (k +8)≤0, 即 {k >0k 2―k ≤0 则 {k >00≤k ≤1,所以0<k≤1, 综上, 实数k 的取值范围为0≤k≤1. 故选: A9. BD 【详解】对于A 、D,因为a<b<0,所以 ab>0,则 1ab >0,所以 a ⋅1ab <b ⋅1ab ,即 1b <1a ,故A 错误, D 正确; 对于B, 因为a<b<0, 所以a·a>b·a, 即 ab <a²,故 B 正确;对于C, 若a<-1<b<0, 则|a|>1, 0<|b|<1, 所以有|a|>|b|, 故C 错误.故选: BD.10. BD 【分析】同一个函数的定义：如果两个函数的定义域相同，对应关系完全一致，那么这两个函数为同一个函数.根据定义判断选项.【详解】A. f(x)=x,g(x)=|x|,对应关系不一致，不是同一函数.B.f (x )=x²,g (x )=|x|²=x²,定义域相同，对应关系一致，是同一函数.C. f(x)定义域为R, g(x)定义域为{x|x≠1}, 定义域不同, 不是同一函数.D. f(x)定义域为{x|x≠0},可化为 f (x )=1x ,g(x)定义域为 x|x ≠0,可化为 g (x )=1x ,是同一函数.故选: BD.11. ABD 【详解】依题意, 方程 x²+bx +c =0的两根是-2, 1, B 正确;显然-b=-1,c=-2,即b=1,c=-2,b+c=-1, A 正确;不等式 x²+bx +c >0, 即 x²+x ―2>0的解集为{x|x<-2或x>1}, C 错误;不等式 x²+bx +c ≤0,即 x²+x ―2≤0的解集是 x|―2≤x ≤1,D 正确.故选: ABD 12. - 3【详解】集合A={2,1-a,5},若4∈A, 则1-a=4⇒a=-3.故答案为: - 313. - 1【详解】因为 f (x )={2―x (x ≥1)x 2+x ―1(x <1),所以f(3)=2-3=-1,所以 f (f (3))=f (―1)=(―1)²―1―1=―1, 故答案为: -1.14. {x|-3<x<5}【详解】 x +3x ―5<0(x +3)(x ―5)<0,解得 ―3<x <5..故答案为： x|―3<x <5答案第1页，共3页15.【详解】(1) A={x|x≥4},B={x|-6≤x≤6},A∩B={x|4≤x≤6}3分A∪B=x|x≥―6 .6分(2)C U A={x|x<4} .8分或x>6}- .10分(C U A)∩(C U B)={x|x<―6} .13分16. 【详解】A={x|0≤x≤3}（1）1分故可得或x>6}- .3分所以或x>6}-(2) 由题B⊆A:当B=∅时,m-1>2m,解得m<-1,符合题意;分 (9)分 (13)综上可得，m的取值范围为m<-1或 (15)17.【详解】(1) 因为f(x)=x²―ax+b,且f(1)=2,f(3)=-6,.............................................................................................2分解得(a=8, b=9, .........................................................5分(只有一个正确得2分)....................................................................................所以6分（2）由（1）知.对称轴为x=4，图象开口朝上分 (8)所以f（x）的减区间是（-∞,4],增区间是....................................[4,+∞）10又4∈[-1,5],所以f（x）在区间[-1,4]上单调递减,在区间[4,5]上单调递增, (12)所以f(x)ₘᵢₙ=f(4)=―7, ………………………………13分f(x)最大值在f(-1)或f(5)取到, f(-1)=18, f(5)=-6,∴f(-1)>f(5)·f(x)ₘₐₓ=f(―1)=18 ………………………………………15分18.【详解】(1)∵x>2,x―2>0,1x―2>0.6分…14分而y=x+1x―2=x―2+1x―2+2≥2(x―2)⋅1x―2+2=4, .3分当且仅当即x=3时取等号，所以……………………………………………………………5分(2)1x+9y=(1x+9y)(2x+y)=11+y x+18x y211+2yx ⋅18xy=11+62, ..8分当且仅当时,取等号,又2x+y=1,即时分101 x +9y取得最小值11+62 11分（3）15分当且仅当3x=4-3x时取等号，即（满足0<x<4）时x（4-3x）最大值为 (17)法二：函数y=x(4―3x)=―3x²+4x的开口向下，对称轴为x=―4―6=23, ..15分所以当时,x（4-3x）取得最大值为1719.【详解】(1) 函数f(x)=x2+ax,因为f(1)=10,…………………………………………………………………………………………………3分(2)函数f(x)在[3,+∞)上单调递增,知由下面证明单调区间，设3≤x₁<x₂,则f(x1)―f(x2)=x1―x2+9x1―9x2=(x1―x2)(x1x2―9x1x2), .8分由3≤x₁<x₂,则x₁x₂―9>0,x₁―x₂<0,x₁x₂>0, 11分所以(x1―x2)x1x2―9x1x2<0⇒f(x1)―f(x2)<0,即f(x₁)<f(x₂), ..12分……………………………………………………………………………………………13分（3）由（2）可知f（x）在区间[3,+∞）上单调递增,则在区间[3,6]上单调递增…………14分所以f(x)mn=f(3)=3+93=6,f(x)max=f(6)=6+96=152, 16分 (6)答案第3页，共3页。
安徽省淮南市第二中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷(含答案)
安徽省淮南市第二中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={0,1,2,3}，B ={−1,0,1,2}，则A ∩B =( )A. {−1,0,1,2,3}B. {1,2}C. {0,1,2}D. {−1,3} 2.已知幂函数f(x)的图象过点(4,12)，则f(x)=( )A. x −12B. x −2C. x 12D. x √ 23.已知f(x)为R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=x 3+1x ，则f(−1)+f(0)=( )A. −2B. 0C. 2D. 4 4.已知a =313，b =915，c =lg8，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. b >a >cB. a >b >cC. c >a >bD. c >b >a 5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？( )(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg7≈0.845)A. 3B. 4C. 5D. 6 6.二次函数y =ax 2+bx 与指数函数y =(b a )x 的图象只可能是( )A. B.C. D.7.函数f(x)={(−a −5)x −2,x ≥2x 2+2(a −1)x −3a,x <2，若对任意x 1，x 2∈R(x 1≠x 2)，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A. [−4,−1]B. [−4,−2]C. (−5,−1]D. [−5,−4]8.已知函数f(x)={2x ,x <0f(x −2),x ≥0当12≤m <34时，方程f(x)=−18x +m 的根的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、多选题：本题共3小题，共18分。
2024-2025学年福建省福州市八县(市)协作校高一(上)期中数学试卷(含答案)
第1页，共7页2024-2025学年福建省福州市八县（市）协作校高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合𝑀={1,2,3}，𝑁={(𝑥,𝑦)|𝑥∈𝑀，𝑦∈𝑀，𝑥+𝑦∈𝑀}，则集合𝑁中的元素个数为( )A. 2B. 3C. 8D. 92.“𝑎+𝑐>𝑏+𝑑”是“𝑎>𝑏且𝑐>𝑑”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.集合𝑀={𝑥|𝑥<−2或𝑥≥3}，𝑁={𝑥|𝑥−𝑎≤0}，若𝑁∩∁𝑅𝑀=⌀(𝑅为实数集)，则𝑎的取值范围是( )
A. {𝑎|𝑎≤3}B. {𝑎|𝑎≤−2}C. {𝑎|𝑎<−2}D. {𝑎|−2≤𝑎≤2}4.若命题“∀𝑥∈𝑅，𝑥2−2≥𝑚”是真命题，则实数𝑚的取值范围是( )
A. (−∞,−2]B. (−∞,−2)C. [2,+∞)D. (2,+∞)
5.已知𝑚<10，则𝑚+9𝑚−10的最大值为( )
A. 4B. 6C. 8D. 106.已知函数𝑓(𝑥)是定义域为𝑅的奇函数，当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)=𝑥(𝑥+1).若𝑓(3+2𝑚)+𝑓(2𝑚−11)>0，则𝑚的取值范围为( )
A. (−∞,0)B. (0,+∞)C. (−∞,2)D. (2,+∞)7.某文具店购进一批新型台灯，若按每盈台灯15元的价格销售，每天能卖出30点；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得不少于400元的销售收入.则这批台灯的销售单价𝑥(单位：元)的取值范围是( )A. {𝑥|10≤𝑥<16}B. {𝑥|12≤𝑥<18}C. {𝑥|15≤𝑥≤20}D. {𝑥|10≤𝑥≤20}8.已知函数𝑓(𝑥)的定义域为𝑅，𝑓(𝑥+4)为偶函数，𝑓(−𝑥+2)为奇函数，且𝑓(𝑥)在[0,2]上单调递增，则下列错误的是( )A. 𝑓(2)=0B. 𝑥=4为函数𝑓(𝑥)图象的一条对称轴C. 函数𝑓(𝑥)在[4,8]上单调递减D. 𝑓(1)<𝑓(7)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列四个结论中正确的是( )第2页，共7页