2022年高考数学(文)一轮复习文档：第五章 数列 第2讲等差数列及其前n项和 Word版含答案
第2讲 等差数列及其前n 项和,)1．等差数列的有关概念 (1)定义假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ．(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝（a 1＋a n ）n2．3．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．1．辨明两个易误点(1)要留意概念中的“从第2项起”．假如一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．(2)留意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区分． 2．妙设等差数列中的项若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ；若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 3．等差数列的四种推断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列．1.教材习题改编 等差数列11，8，5，…，中－49是它的第几项( ) A ．第19项 B ．第20项 C ．第21项D ．第22项C a 1＝11，d ＝8－11＝－3， 所以a n ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14. 由－3n ＋14＝－49，得n ＝21.故选C.2.教材习题改编 已知p ：数列{a n }是等差数列，q ：数列{a n }的通项公式a n ＝k 1n ＋k 2(k 1，k 2均为常数)，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C 若{a n }是等差数列，不妨设公差为d . 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ， 令k 1＝d ，k 2＝a 1－d ，则a n ＝k 1n ＋k 2，若数列{a n }的通项公式a n ＝k 1n ＋k 2(k 1，k 2为常数，n ∈N *)， 则当n ≥2且n ∈N *时，a n －1＝k 1(n －1)＋k 2， 所以a n －a n －1＝k 1(常数)(n ≥2且n ∈N *)， 所以{a n }为等差数列， 所以p 是q 的充要条件．3.教材习题改编 等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，若a 5＝6，则S 9为( ) A ．45 B ．54 C ．63D ．27B 法一：由于S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝9×6＝54.故选B.法二：由a 5＝6，得a 1＋4d ＝6，所以S 9＝9a 1＋9×82d ＝9(a 1＋4d )＝9×6＝54，故选B.4．(2021·金丽衢十二校联考)已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为________．设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 13－a 313－3＝33－1310＝2.25．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________． 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9d ×82＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1. 所以S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.－72等差数列的基本运算(高频考点)等差数列基本量的计算是高考的常考内容，多消灭在选择题、填空题或解答题的第(1)问中，属简洁题． 高考对等差数列基本量计算的考查主要有以下三个命题角度： (1)求公差d 、项数n 或首项a 1； (2)求通项或特定项； (3)求前n 项和．(1)(2021·高考全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A ．172B ．192C ．10D ．12(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( ) A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 (1)由于公差为1，所以S 8＝8a 1＋8×（8－1）2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.由于 S 8＝4S 4，所以8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，所以a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192，故选B.(2)法一：由题知S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n ＋n (n －1)＝n 2，S n ＋2＝(n ＋2)2，由S n ＋2－S n ＝36得，(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4＝36，所以n ＝8.法二：S n ＋2－S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋2(2n ＋1)＝36，解得n ＝8. 【答案】 (1)B (2)D等差数列基本运算的解题方法(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．角度一 求公差d 、项数n 或首项a 11．(2021·豫东、豫北十所名校联考)已知等差数列{a n }中，a 5＝13，S 5＝35，则公差d ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．3D 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝13，5a 1＋10d ＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3，故选D.角度二 求通项或特定项2．(2022·高考全国卷乙)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98D ．97C 设等差数列{a n }的公差为d ，由于{a n }为等差数列，且S 9＝9a 5＝27，所以a 5＝3.又a 10＝8，解得5d ＝a 10－a 5＝5，所以d ＝1，所以a 100＝a 5＋95d ＝98，选C.角度三 求前n 项和3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，故S 9＝9a 1＋9×（9－1）2×12＝9＋18＝27. 27等差数列的判定与证明已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数． (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．【解】 (1)证明：由题设知a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1， 由于a n ＋1≠0， 所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设知a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1， 可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4. 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1， 公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2， 因此存在λ＝4， 使得数列{a n }为等差数列．(1)推断证明一个数列是否是等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简洁推断．(2)用定义证明等差数列时，常接受两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必需加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)．设b n ＝1a n －1(n ∈N *)，求证：数列{b n }是等差数列．由于a n ＝2－1a n －1，所以a n ＋1＝2－1a n.所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1，＝12－1a n－1－1a n －1，＝a n －1a n －1＝1， 所以{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．等差数列的性质及最值(1)在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( ) A ．18 B ．99 C ．198D ．297(2)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________．(3)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．【解析】 (1)由于a 3＋a 9＝27－a 6，2a 6＝a 3＋a 9，所以3a 6＝27，所以a 6＝9，所以S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6＝99.(2)由于{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21.(3)当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，说明⎩⎪⎨⎪⎧a 8＞0，a 9＜0.所以⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d ＞0，7＋8d ＜0.所以－1＜d ＜－78.【答案】 (1)B (2)21 (3)⎝⎛⎭⎪⎫－1，－78应用等差数列的性质应留意的两点(1)在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m 、n 、p 、q 、k ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k 是常用的性质． (2)把握等差数列的性质，悉心争辩每共性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口．1．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，全部奇数项之和为15，全部偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40A 设这个数列有2n 项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd ，即25－15＝2n ，故2n ＝10，即数列的项数为10.2．在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17A 设{a n }的公差为d ， 由于a 1＝29，S 10＝S 20，所以10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，所以S n ＝29n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.所以当n ＝15时，S n 取得最大值．3．(2021·陕西省五校模拟)等差数列{a n }中，假如 a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．66C 由等差数列的性质可知，2(a 2＋a 5＋a 8)＝(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)＝39＋27＝66， 所以a 2＋a 5＋a 8＝33，所以数列{a n }前9项的和为66＋33＝99.,)——整体思想在等差数列中的应用在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________． 【解析】 法一：设数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，则⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110.法二：法一中两方程相减得 －90a 1－100×99－902d ＝90，所以a 1＋110－12d ＝－1，所以S 110＝110a 1＋110（110－1）2d ＝－110.法三：由于S 100－S 10＝（a 11＋a 100）×902＝－90，所以a 11＋a 100＝－2，所以S 110＝（a 1＋a 110）×1102＝（a 11＋a 100）×1102＝－110.【答案】 －110(1)法一是利用等差数列的前n 项和公式求解基本量，然后求和，是等差数列运算问题的常规思路．而法二、法三都突出了整体思想，分别把a 1＋110－12d 、a 11＋a 100看成了一个整体，解起来都很便利．(2)整体思想是一种重要的解题方法和技巧，这就要求同学要娴熟把握公式，理解其结构特征．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝________．法一：设数列{a n }的公差为d ，则a 7＋a 8＋a 9＝a 1＋6d ＋a 2＋6d ＋a 3＋6d ＝5＋18d ＝10，所以18d ＝5，故a 19＋a 20＋a 21＝a 7＋12d ＋a 8＋12d ＋a 9＋12d ＝10＋36d ＝20.法二：由等差数列的性质，可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差数列，设此数列公差为D . 所以5＋2D ＝10， 所以D ＝52.所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20. 20,)1．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15B 设{a n }的公差为d ，由S 5＝（a 2＋a 4）·52⇒25＝（3＋a 4）·52⇒a 4＝7，所以7＝3＋2d ⇒d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.2．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( )A ．－1B ．0C ．14D ．12B 由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2， 又由于a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，所以a 2＝12，a 4＝32.所以公差d ＝a 4－a 22＝12.所以a 1＝a 2－d ＝0. 3．在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4，且其前n 项和为S n ，则S 17为( ) A ．20 B ．17 C ．42D ．84B 由a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4⇒2(a 4＋a 14)＝4⇒a 1＋a 17＝2，故S 17＝17（a 1＋a 17）2＝17.4．(2021·东北三校联考(一))已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 2＝12，则a 8＝( )A ．0B ．－109C ．－181D ．121B 设等差数列{b n }的公差为d ，则d ＝－14，由于a n ＋1－a n ＝b n ，所以a 8－a 1＝b 1＋b 2＋…＋b 7＝7（b 1＋b 7）2＝72＝－112，则a 8＝－109. 5．(2021·黄冈质检)在等差数列{a n }中，假如a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．95 B ．100 C ．135D ．80B 由等差数列的性质可知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8构成新的等差数列，于是a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)＋(4－1)＝40＋3×20＝100.6．(2021·杭州重点中学联考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＜0，a 5＞|a 4|，则使S n ＞0成立的最小正整数n 为( )A ．6B ．7C ．8D ．9C 在等差数列{a n }中 ，由于a 4＜0，a 5＞|a 4|，所以a 5＞0，a 5＋a 4＞0，S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7×2a 42＝7a 4＜0，S 8＝8（a 1＋a 8）2＝8（a 4＋a 5）2＝4(a 4＋a 5)＞0.所以使S n ＞0成立的最小正整数n 为8，故选C.7．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为________． a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37. 所以m ＝37. 378．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝__________． 设{a n }的公差为d ，由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝6a 1＋6×52d ，a 1＋3d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2，所以a 5＝a 4＋d ＝1＋(－2)＝－1.－19．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5等于________．由于a 5＝a 1＋a 92，b 5＝b 1＋b 92，所以a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝9（a 1＋a 9）29（b 1＋b 9）2＝S 9T 9＝7×99＋3＝214.21410．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，当k ≥2时，若S k －1＝8，S k ＝0，S k ＋1＝－10，则S n 的最大值为________． 当k ≥2时，a k ＝S k －S k －1＝－8，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝－10，公差d ＝a k ＋1－a k ＝－2，S k ＝k （a 1＋a k ）2＝0，所以a 1＋a k ＝0，所以a 1＝8，所以a n ＝－2n ＋10，由a n ＝0得n ＝5，所以S 4＝S 5＝20最大．2011．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明：由于b n ＝1a n ，且a n ＝a n －12a n －1＋1，所以b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n2a n ＋1＝2a n ＋1a n，所以b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n －1a n＝2.又b 1＝1a 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n ，所以a n ＝1b n ＝12n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －1.12．已知等差数列{a n }中，S n 是前n 项的和，a 1＝－2 017，S 2 0172 017－S 2 0152 015＝2，则S 2 019的值为________．由S 2 0172 017－S 2 0152 015＝a 1 009－a 1 008＝2. 即{a n }的公差d ＝2，又a 1＝－2 017，所以S 2 019＝2 019×(－2 017)＋2 019×2 0182×2＝2 019.2 01913．各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和． (1)求a 1，a 2的值； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)当n ＝1时，a 21＝4S 1－2a 1－1， 即(a 1－1)2＝0，解得a 1＝1.当n ＝2时，a 22＝4S 2－2a 2－1＝4a 1＋2a 2－1＝3＋2a 2， 解得a 2＝3或a 2＝－1(舍去)． (2)a 2n ＝4S n －2a n －1，①a 2n ＋1＝4S n ＋1－2a n ＋1－1.②②－①得a 2n ＋1－a 2n ＝4a n ＋1－2a n ＋1＋2a n ＝2(a n ＋1＋a n )， 即(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＝2(a n ＋1＋a n )．由于数列{a n }各项均为正数，所以a n ＋1＋a n >0，a n ＋1－a n ＝2， 所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． 所以a n ＝2n －1.14．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．由于2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，所以a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1， 故数列{a n }为等差数列．设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4. 所以a n ＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31，令⎩⎪⎨⎪⎧b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，2（n ＋1）－31≥0， 解得292≤n ≤312，由于n ∈N *，所以n ＝15，即数列{b n }的前15项均为负值，所以T 15最小． 由于数列{b n }的首项是－29，公差为2， 所以T 15＝15（－29＋2×15－31）2＝－225.。
等差数列及其前n项和(高三一轮复习)
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常用结论►
(1)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是 等差数列，且公差为p.
(2)在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存 在最小值．
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①②⇒③. 已知{an}是等差数列，{ Sn}是等差数列． 设数列{an}的公差为d， 则Sn＝na1＋nn－2 1d＝12n2d＋a1－d2n. 因为数列{ Sn}是等差数列，所以数列{ Sn}的通项公式是关于n的一次函数，则 a1－d2＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.
a1＝43， 可得
d＝－16.
(2)因为2a4＝a3＋5，则2(a1＋3d)＝a1＋2d＋5，即a1＋4d＝5，即a5＝5， 所以S9＝9a12＋a9＝9a5＝9×5＝45. (3)因为2S3＝3S2＋6，所以2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化简得3d＝6，得d＝2.
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思维点睛►
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其 中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
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针对训练
1．(2022·四川遂宁三模)等差数列
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高考数学一轮复习 第五章 数列 第二节 等差数列学案 文(含解析)新人教A版-新人教A版高三全册数学
第二节 等差数列2019考纲考题考情1．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义表达式为a n －a n －1＝d (常数)(n ∈N *，n ≥2)或a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)。
(2)等差中项若三个数a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有A ＝a ＋b2。
2．等差数列的有关公式 (1)等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d 。
(2)等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d 或S n ＝n (a 1＋a n )2。
3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)。
(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n 。
(等和性) (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d 。
(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列。
(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列。
(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列。
(7)S 2n －1＝(2n －1)a n 。
(8)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)。
1．用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数”。
高考数学一轮复习 第5章 数列 第2节 等差数列及其前n项和课件 文
((12))通 前项n 公项式和：公a式n＝：Sa1n＋＝(nn－a1＋1)dnn－2. 1d
na1＋an ＝2 .
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋ (n－m)d (n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)， 则 ak＋al＝am＋an ．
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[规律方法] 等差数列的四个判定方法 (1)定义法：证明对任意正整数 n 都有 an＋1－an 等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数 n 都有 2an＋1＝an＋an＋2 后， 可递推得出 an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－ a1，根据定义得出数列{an}为等差数列． (3)通项公式法：得出 an＝pn＋q 后，得 an＋1－an＝p 对任意正整 数 n 恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列． (4)前 n 项和公式法：得出 Sn＝An2＋Bn 后，根据 Sn，an 的关系， 得出 an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．
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解析答案 栏目导航
5．(教材改编)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，S2＝S6，a4＝1， 则 a5＝________.
－1 [由 S2＝S6 得 a3＋a4＋a5＋a6＝0，即 a4＋a5＝0，又 a4＝1， 则 a5＝－1.]
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2．(教材改编)等差数列 11,8,5，…，中－49 是它的第几项( )
A．第 19 项
B．第 20 项
C．第 21 项
D．第 22 项
C [由题意知 an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14，令－3n＋14 ＝－49 得 n＝21，故选 C．]
数学一轮复习第五章数列第2讲等差数列及其前n项和学案含解析
第2讲等差数列及其前n项和［考纲解读]1。
理解等差数列的概念及等差数列与一次函数的关系．(重点)2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并熟练掌握其推导方法，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．（重点、难点）［考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点．预测2021年高考将会以等差数列的通项公式及其性质、等差数列的前n项和为考查重点，也可能将等差数列的通项、前n项和及性质综合考查，题型以客观题或解答题的形式呈现，试题难度一般不大,属中档题型.1．等差数列的有关概念（1）定义:一般地，如果一个数列从错误!第2项起，每一项与它前一项的错误!差都等于错误!同一个常数，那么这个数列就叫做等错误!公差，通常用字母d表示．数学语言表示为错误!a n＋1－a n＝d(n∈N＊），d为常数．(2）等差中项：若a，A,b成等差数列，则A叫做a和b的等差中项，且A＝错误!错误!.2．等差数列的通项公式与前n项和公式（1)若等差数列{a n}的首项是a1,公差是d，则其通项公式为a n＝错误!a1＋(n－1）d，可推广为a n＝a m＋错误!（n－m)d(n,m∈N＊）．（2)等差数列的前n项和公式S n＝n a1＋a n2＝错误!na1＋错误!d(其中n∈N＊）．3．等差数列的相关性质已知{a n}为等差数列，d为公差，S n为该数列的前n项和．(1)等差数列{a n}中，当m＋n＝p＋q时，错误!a m＋a n＝a p＋a q （m,n，p,q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则错误!2a p＝a m＋a n(m，n，p∈N*)．(2）相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k，a k＋m，a k＋2m，…仍是等差数列,公差为错误!md(k,m∈N＊)．（3)S n，S2n－S n，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为错误!n2d。
(4）错误!也成等差数列，其首项与{a n｝首项相同，公差为错误!错误! d。
2023年新教材高考数学一轮复习第五章数列第二节等差数列课件
[提速度]
1．(2022·枣庄质检)已知等差数列{an}的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，
所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为
()
A．28
B．29
C．30
D．31
解析：由结论(8)，设项数为奇数2n－1，S奇－S偶＝an＝319－290＝29， 故选B．
答案：B
2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 020，2S2002200 －2S2001144 ＝6，则S2 023＝
b1＋2 b5＝192＋ 2 64＝128．故选C．
答案：C
2．已知等差数列{an}满足a4＋a6＝22，a1·a9＝57，则该等差数列的公差为 ( )
A．1或－1
B．2
C．－2
D．2或－2
解析：由a1＋a9＝a4＋a6＝22，a1·a9＝57，所以a1，a9是方程x2－22x＋57＝0的两 实数根，解得aa19＝ ＝31，9 或aa19＝ ＝13，9， 所以公差d＝a9－8 a1＝2或－2．故选D． 答案：D
第二节 等差数列
(1)理解等差数列的概念和通项公式的意义；(2)探索并掌握等差数列的前n项 和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系；(3)体会等差数列与一 元一次函数的关系．
目录
CONTENTS
1
知识 逐点夯实
2
考点 分类突破
3
课时过关检测
01 知识 逐点夯实 课前自修
重点准 逐点清 结论要牢记
等差数列的判定与证明方法 方法
解读
适合题型
定义法 对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N *)为同一常
数⇔{an}是等差数列
解答题中的
2023年新高考数学一轮复习7-2 等差数列及其前n项和(知识点讲解)解析版
专题7.2 等差数列及其前n 项和（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.与归纳推理相结合，考查数列的概念与通项，凸显逻辑推理的核心素养．2．与函数、不等式相结合，考查数列的概念及其性质，凸显数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 3．与递推公式相结合，考查对求通项公式的方法的掌握，凸显数学运算、数学建模的核心素养．【知识点展示】（一）等差数列1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或.2.等差数列的通项公式：；说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . 2d 1(2)n n a a d n --=≥1(1)n n a a d n +-=≥1(1)n a a n d =+-A P d 0>0d =0d <a A b A a b 2a bA +=，，成等差数列. 4.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 5.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． （二）等差数列的前和的求和公式：. （三）等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系(1)当d ≠0时，等差数列{a n }的通项公式a n ＝dn ＋(a 1－d )是关于d 的一次函数． (2)当d ≠0时，等差数列{a n }的前n 项和S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数． （四）等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． （五）等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差数列中，对任意，，，；（4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.（6）两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． （7）若数列{}n a 是等差数列,则{}n ka 仍为等差数列．（8）设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①-S S nd =奇偶； ②；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①S S -偶奇(中间项)；②. （9）等差数列中，(),p q a q a p p q ==≠,则0p q a +=,m n m n S S S mnd +=++.a Ab ⇔2a bA +=n 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+{}n a {}n a 1a 3a 5a 7a 3a 8a 13a 18a {}n a m n N +∈()n m a a n m d =+-n ma a d n m-=-()m n ≠{}n a m n p q N +∈m n p q +=+m n p q a a a a +=+{}n a d 2n 1n n S a S a +=奇偶21n -n a a ==中1S nS n =-奇偶（10）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．（11）若与{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n S 与'n S ，则2121'm m m m a Sb S --=. （12）等差数列的增减性：0d >时为递增数列，且当10a <时前n 项和n S 有最小值．0d <时为递减数列，且当10a >时前n 项和n S 有最大值．【常考题型剖析】题型一：等差数列基本量的运算例1.（2019·全国·高考真题（理））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则（ ） A ．25n a n =- B ．310n a n =- C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A 【解析】 【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ． 【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．例2．（2022·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______． 【答案】2 【解析】【分析】转化条件为()112+226a d a d =++，即可得解. 【详解】由32236S S =+可得()()123122+36a a a a a +=++，化简得31226a a a =++， 即()112+226a d a d =++，解得2d =. 故答案为：2.{}n a【总结提升】1.解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a 1和公差d ，通常利用已知条件及通项公式或前n 项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a 1，d ，n ，a n ，S n 五个量，可“知三求二”．(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a 1，d 表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解．(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程． 2.等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题.3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为,,a d a a d -+；四个数成等差数列，一般设为3,,,3a d a d a d a d --++.这对已知和,求数列各项,运算很方便.题型二：等差数列的判定与证明例3. （2020·山东·高考真题）某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里.若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里.这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决. 【答案】140里. 【解析】 【分析】由条件确定，该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列，根据等差数列的通项公式，和前n 项和公式，列式求解.【详解】解：因为从第2天起，每天比前一天多走的路程相同， 所以该男子这9天中每天走的路程数构成等差数列， 设该数列为{}n a ，第1天走的路程数为首项1a ，公差为d ， 则91260S =，147390a a a ++=. 因为1(1)2n n n S na d -=+，1(1)n a a n d =+-， 1(1)n a a n d =+-11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+所以11119(91)91260236390a d a a d a d ⨯-⎧+=⎪⎨⎪++++=⎩，解得110010a d =⎧⎨=⎩，则514100410140a a d =+=+⨯=， 所以该男子第5天走140里.例4.（2021·全国·高考真题（文））记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知210,3n a a a >=，且数列是等差数列，证明：{}n a 是等差数列. 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】的公差d，进一步写出的通项，从而求出{}n a 的通项公式，最终得证. 【详解】∵数列是等差数列，设公差为d(n -()n *∈N∴12n S a n =，()n *∈N∴当2n ≥时，()221111112n n n a S S a n a n a n a -=-=--=- 当1n =时，11121=a a a ⨯-，满足112n a a n a =-， ∴{}n a 的通项公式为112n a a n a =-，()n *∈N ∴()()111111221=2n n a a a n a a n a a --=----⎡⎤⎣⎦∴{}n a 是等差数列.例5．（2021·全国·高考真题（理））已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①①①中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{}n a是等差数列：②数列是等差数列；③213a a =． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】证明过程见解析 【解析】 【分析】选①②作条件证明③时，结合,n n a S 的关系求出n a ，利用{}n a 是等差数列可证213a a =；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.选②③作条件证明①时，an b =+，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a 是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论. 【详解】选①②作条件证明③：[方法一]：待定系数法+n a 与n S 关系式(0)an b a +>，则()2n S an b =+， 当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n a a n =-，21a a =，故22133a a a ==.[方法二] ：待定系数法设等差数列{}n a 的公差为d，等差数列的公差为1d ，1(1)n d -，将1(1)2n n n S na d -=+1(1)n d -，化简得())2222211111222d d n a n d n d n d ⎛⎫+-=+-+⎪⎝⎭对于n +∀∈N恒成立．则有21211112,240,d d a d d d ⎧=⎪⎪-=-⎨=，解得112d d a =．所以213a a =． 选①③作条件证明②：因为213a a =，{}n a 是等差数列， 所以公差2112d a a a =-=， 所以()21112n n n S na d n a -=+=，)1n =+=所以是等差数列. 选②③作条件证明①： [方法一]：定义法(0)an b a +>，则()2n S an b =+， 当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43a b =-； 当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a 为等差数列；当43a b =-4=3an b an a +-03a=-<不合题意，舍去. 综上可知{}n a 为等差数列. [方法二]【最优解】：求解通项公式因为213a a =，因为也为等差数列，所以公差1d()11n d =-=故21n S n a =，当2n ≥时，()()221111121n n n a S S n a n a n a -=-=--=-，当1n =时，满足上式，故{}n a 的通项公式为()121n a n a =-，所以()1123n a n a -=-，112n n a a a --=，符合题意. 【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n(0)an b a =+>，平方后得到n S 的关系式，利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到{}n a 的通项公式，进而得到213a a =，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出{}n a 与{}n S的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系1d =12d a =，进而得到213a a =；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出n S进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，(0)an b a =+>，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a两项的差1d11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出{}n a 的通项公式，进而证明出结论. 【总结提升】等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1()n N ∈*(常数)，则数列{}n a 是等差数列； (2) 等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ()n N ∈*，则数列{}n a 是等差数列; (3)通项公式：n a pn q =+(,p q 为常数,n N ∈*)⇔是等差数列;(4)前n 项和公式：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)⇔是等差数列;(5)是等差数列⇔n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列. 提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件.题型三：等差数列的前n 项和例6．【多选题】（2022·湖南永州·三模）已知等差数列{}n a 是递减数列，n S 为其前n 项和，且78S S =，则（ ）A ．0d ＞B ．80a =C ．150S >D ．7S 、8S 均为n S 的最大值【答案】BD 【解析】【分析】根据等差数列的性质以及其前n 项和的性质，逐个选项进行判断即可求解 【详解】因为等差数列{}n a 是递减数列，所以，10n n a a +-<，所以，0d <，故A 错误； 因为78S S =，所以8870a S S =-=，故B 正确； 因为()115158151502a a S a +===，故C 错误； 因为由题意得，789000a a a >⎛ = <⎝，所以，*78()n S S S n N =≥∈，故D 正确；故选：BD例7.（2020·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S =__________． 【答案】25 【解析】 【分析】因为{}n a 是等差数列，根据已知条件262a a +=，求出公差，根据等差数列前n 项和，即可求得答案. 【详解】{}n a 是等差数列，且12a =-，262a a +=设{}n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式：()11n a a n d +-= 可得1152a d a d +++= 即：()2252d d -++-+= 整理可得：66d = 解得：1d =根据等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N -=+∈ 可得：()1010(101)1022045252S ⨯-=-+=-+=∴1025S =. 故答案为：25.例8.（2018·全国·高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．【答案】（1）n a =2n –9，（2）Sn =n 2–8n ，最小值为–16． 【解析】 【详解】分析：（1）根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n 项和公式得nS 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15．由a 1=–7得d =2．所以{n a }的通项公式为n a =2n –9． （2）由（1）得Sn =n 2–8n =（n –4）2–16． 所以当n =4时，Sn 取得最小值，最小值为–16．例9.（2021·全国·高考真题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求使n n S a >成立的n 的最小值． 【答案】(1)26n a n =-；(2)7. 【解析】 【分析】(1)由题意首先求得3a 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式； (2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值. 【详解】(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则：3335,0a a a =∴=，设等差数列的公差为d ，从而有：()()22433a a a d a d d =-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-++-=-， 从而：22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =， 数列的通项公式为：()3326n a a n d n =+-=-.(2)由数列的通项公式可得：1264a =-=-，则：()()214252n n n S n n n -=⨯-+⨯=-，则不等式n n S a >即：2526n n n ->-，整理可得：()()160n n -->， 解得：1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7.例10．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，11a =，0n a >，141n n n a a S +=-． (1)计算2a 的值，求{}n a 的通项公式；(2)设1(1)nn n n b a a +=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．【答案】(1)23a =，21n a n =- (2)24(21)n T n n =+ 【解析】 【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差得到24n n a a +-=，再根据等差数列通项公式计算可得；（2）由（1）可得(1)(21)(21)n n b n n =--+，利用并项求和法计算可得； (1)解：当1n =时，12141a a a =-，解得23a =， 由题知141n n n a a S +=-①，12141n n n a a S +++=-②，由②-①得121()4n n n n a a a a +++-=，因为0n a >，所以24n n a a +-=， 于是：数列{}n a 的奇数项是以11a =为首项，以4为公差的等差数列， 即()2114(1)432211n a n n n -=+-=-=--，偶数项是以23a =为首项，以4为公差的等差数列，即234(1)41n a n n =+-=- 所以{}n a 的通项公式21n a n =-； (2)解：由（1）可得(1)(21)(21)n n b n n =--+，212(43)(41)(41)(41)4(41)n n b b n n n n n -=---+-+=-+21234212(341)()()()4[37(41)]44(21)2n n n n n T b b b b b b n n n -+-=++++++=+++-=⨯=+. 【总结提升】1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足10n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值.2.利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >,递增；0d <，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有11n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设为最小项，则有11n n n n a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用. 题型四：等差数列性质及应用例11.（2020·浙江·高考真题）已知等差数列{an }的前n 项和Sn ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，bn+1=S2n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能．．．成立的是（ ） A ．2a 4=a 2+a 6 B ．2b 4=b 2+b 6 C ．2428a a a = D ．2428b b b =【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，而1212b S a a ==+，即可表示出题中2468,,,b b b b ，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立． 【详解】对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，4262a a a =+，A 正确；对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+， ∴234b a a =+，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+． ∴()47822b a a =+，26341112b b a a a a +=+++．根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；对于C ，()()()()2224281111137222a a a a d a d a d d a d d d a -=+-++=-=-， 当1a d =时，2428a a a =，C 正确； 对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，n a n a()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++，()22428112416832b b b d a d d d a -=-=-．当0d >时，1a d ≤，∴()113220d a d d a -=+->即24280b b b ->；当0d <时，1a d ≥，∴()113220d a d d a -=+-<即24280b b b ->，所以24280b b b ->，D 不正确．故选：D.例12．（2014·北京高考真题（理））若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =__________时，{}n a 的前n 项和最大． 【答案】8 【解析】由等差数列的性质，，，又因为，所以所以，所以，，故数列的前8项最大.例13．（2016·北京·高考真题（理））已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则6=S _______. 【答案】6 【解析】 【详解】试题分析：因为{}n a 是等差数列，所以35420a a a +==，即40a =，又4136a a d -==-，所以2d =-， 所以616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-=．故答案为6．例14.（2021·江西新余四中高二月考（理））等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则2517208101214a a a ab b b b +++=+++________．【答案】4365【分析】 证明得出2121n n n n a S b T --=，结合等差中项的基本性质可求得结果. 【详解】因为等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，则()()()()()()12121121212121221212n n n n n n n nn a a n a S a n b b T n b b -----+-===-+-，所以，25172011218101214112142211434321265a a a a a Sb b b b b T +++⨯+====+++⨯+.故答案为：4365. 【温馨提醒】等差数列的性质主要涉及“项的性质”和“和的性质”，因此，要注意结合等差数列的通项公式、前n 项和公式求解．。
2023年高考数学(文科)一轮复习——等差数列及其前n项和
第2节 等差数列及其前n 项和考试要求 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝n （a 1＋a n ）2. 3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(4)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.(5)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( )(4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0且关于n 的二次函数.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×解析 (3)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数.(4)若公差d ＝0，则前n 项和不是n 的二次函数.2.(2022·南宁一模)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝92，则数列{a n }的通项公式a n ＝( )A.nB.n ＋12C.2n －1D.3n －12答案 B解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3＋3d ＝92，解得d ＝12，∴a n ＝1＋(n －1)×12＝n ＋12.3.(2021·宝鸡二模)已知{a n }是等差数列，满足3(a 1＋a 5)＋2(a 3＋a 6＋a 9)＝18，则该数列的前8项和为( )A.36B.24C.16D.12答案 D解析 由等差数列性质可得a 1＋a 5＝2a 3，a 3＋a 6＋a 9＝3a 6，所以3×2a 3＋2×3a 6＝18，即a 3＋a 6＝3，所以S 8＝8（a 1＋a 8）2＝8（a 3＋a 6）2＝12. 4.在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝15，则a 5＋a 6＝( )A.10B.20C.25D.30答案 C解析 等差数列{a n }中，每相邻2项的和仍然构成等差数列，设其公差为d ，若a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝15，则d ＝15－5＝10，因此a 5＋a 6＝(a 3＋a 4)＋d ＝15＋10＝25.5.一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面.答案 20解析 设物体经过t 秒降落到地面.物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列.所以4.90t ＋12t (t －1)×9.80＝1 960，即4.90t 2＝1 960，解得t ＝20.6.(易错题)在等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d ＜0，则使数列{a n }的前n 项和S n 取最大值的正整数n 的值是________.答案 5或6解析 ∵|a 3|＝|a 9|，∴|a 1＋2d |＝|a 1＋8d |，可得a 1＝－5d ，∴a 6＝a 1＋5d ＝0，且a 1＞0，∴a 5＞0，故S n 取最大值时n 的值为5或6.考点一 等差数列的基本运算1.记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A.a n ＝2n －5B.a n ＝3n －10C.S n ＝2n 2－8nD.S n ＝12n 2－2n答案 A解析 设首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n （n －1）2×2＝n 2－4n . 2.(2022·太原调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8＝a 8＝8，则公差d ＝( )A.14B.12C.1D.2 答案 D解析 ∵S 8＝a 8＝8，∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝a 8，∴S 7＝7a 4＝0，则a 4＝0.∴d ＝a 8－a 48－4＝2. 3.(2020·全国Ⅱ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝________.答案 25解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＋a 6＝2a 1＋6d ＝2×(－2)＋6d ＝2.解得d ＝1.所以S 10＝10×(－2)＋10×92×1＝25.4.(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 9＝－a5.(1)若 a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围.解 (1)设{a n }的公差为d .由S 9＝－a 5可知9a 5＝－a 5，所以a 5＝0.因为a 3＝4，所以d ＝a 5－a 32＝0－42＝－2，所以a n ＝a 3＋(n －3)×(－2)＝10－2n ，因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n .(2)由(1)得a 5＝0，因为a 1>0，所以等差数列{a n }单调递减，即d <0，a 1＝a 5－4d ＝－4d ，S n ＝n （n －9）d 2， a n ＝－4d ＋d (n －1)＝dn －5d ，因为S n ≥a n ，所以nd （n －9）2≥dn －5d ， 又因为d <0，所以1≤n ≤10.感悟提升 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.考点二 等差数列的判定与证明例1 (2021·全国甲卷)已知数列{a n }的各项均为正数，记S n 为{a n }的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{a n }是等差数列；②数列{S n }是等差数列；③a 2＝3a 1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.解 ①③⇒②.已知{a n }是等差数列，a 2＝3a 1.设数列{a n }的公差为d ，则a 2＝3a 1＝a 1＋d ，得d ＝2a 1，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2a 1. 因为数列{a n }的各项均为正数， 所以S n ＝n a 1， 所以S n ＋1－S n ＝(n ＋1)a 1－n a 1＝a 1(常数)，所以数列{S n }是等差数列. ①②⇒③.已知{a n }是等差数列，{S n }是等差数列.设数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝12n 2d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n . 因为数列{S n }是等差数列，所以数列{S n }的通项公式是关于n 的一次函数，则a1－d2＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1.②③⇒①.已知数列{S n}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.设数列{S n}的公差为d，d＞0，则S2－S1＝4a1－a1＝d，得a1＝d2，所以S n＝S1＋(n －1)d＝nd，所以S n＝n2d2，所以n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2，对n＝1也适合，所以a n＝2d2n－d2，所以a n＋1－a n＝2d2(n＋1)－d2－(2d2n－d2)＝2d2(常数)，所以数列{a n}是等差数列.感悟提升 1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证a n－a n－1为同一常数.即作差法，将关于a n－1的a n代入a n－a n－1，再化简得到定值.(2)等差中项法：验证2a n－1＝a n＋a n－2(n≥3，n∈N*)都成立.2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：(1)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列.(2)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{a n}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.训练1 (2021·全国乙卷)设S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知2S n＋1b n＝2.(1)证明：数列{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式.(1)证明因为b n是数列{S n}的前n项积，所以n ≥2时，S n ＝b n b n －1， 代入2S n ＋1b n ＝2可得，2b n －1b n ＋1b n＝2， 整理可得2b n －1＋1＝2b n ，即b n －b n －1＝12(n ≥2).又2S 1＋1b 1＝3b 1＝2，所以b 1＝32， 故{b n }是以32为首项，12为公差的等差数列.(2)解 由(1)可知，b n ＝32＋12(n －1)＝n ＋22，则2S n ＋2n ＋2＝2，所以S n ＝n ＋2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n ＋2n ＋1－n ＋1n ＝－1n （n ＋1）. 故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32，n ＝1，－1n （n ＋1），n ≥2. 考点三 等差数列的性质及应用角度1 等差数列项的性质例2 (1)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且4＋a 5＝a 6＋a 4，则S 9等于( )A.72B.36C.18D.9 (2)在等差数列{a n }中，若a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A.10B.20C.40D.2＋log 25答案 (1)B (2)B解析 (1)∵a 6＋a 4＝2a 5，∴a 5＝4，∴S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝36. (2)由等差数列的性质知a 1＋a 10＝a 2＋a 9＝a 3＋a 8＝a 4＋a 7＝a 5＋a 6＝a 4，则2a 1···2a 10＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝25(a 5＋a 6)＝25×4，所以log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 225×4＝20. 角度2 等差数列前n 项和的性质例3 (1)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 5＝7，S 10＝21，则S 15等于( )A.35B.42C.49D.63(2)(2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块答案 (1)B (2)C解析 (1)在等差数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等差数列，即7，14，S 15－21成等差数列，所以7＋(S 15－21)＝2×14，解得S 15＝42.(2)设每一层有n 环，由题可知从内到外每环之间构成公差d ＝9，a 1＝9的等差数列.由等差数列的性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，且(S 3n －S 2n )－(S 2n －S n )＝n 2d ，则9n 2＝729，得n ＝9，则三层共有扇面形石板S 3n ＝S 27＝27×9＋27×262×9＝3 402(块).角度3 等差数列前n 项和的最值例4 等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1＞0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n 最大？解 法一 设公差为d .由S 3＝S 11，可得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，即d ＝－213a 1.从而S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1， 因为a 1＞0，所以－a 113＜0.故当n ＝7时，S n 最大.法二 易知S n ＝An 2＋Bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝An 2＋Bn 的图象关于直线n ＝3＋112＝7对称. 由解法一可知A ＝－a 113＜0，故当n ＝7时，S n 最大.法三 设公差为d .由解法一可知d ＝－213a 1.要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（n －1）⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－213a 1≤0， 解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大.法四 设公差为d .由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0， 即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0， 又由a 1＞0，S 3＝S 11可知d ＜0，所以a 7＞0，a 8＜0，所以当n ＝7时，S n 最大.感悟提升 1.项的性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .2.和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则(1)S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；(2)S 2n －1＝(2n －1)a n .(3)依次k 项和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列.3.求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，A ≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.训练2 (1)(2021·洛阳质检)记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17＝272，则a 3＋a 9＋a 15＝( )A.24B.36C.48D.64(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 020，S 2 0202 020－S 2 0142 014＝6，则S 2 023等于( )A.2 023B.－2 023C.4 046D.－4 046(3)设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n ＞0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是________. 答案 (1)C (2)C (3)121解析 (1)因为数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，所以S 17＝272＝a 1＋a 172×17＝2a 92×17＝17a 9，∴a 9＝16，所以a 3＋a 9＋a 15＝3a 9＝48.(2)∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，设公差为d ′， 则S 2 020 2 020－S 2 0142 014＝6d ′＝6，∴d ′＝1，首项为S 11＝－2 020，∴S 2 0232 023＝－2 020＋(2 023－1)×1＝2，∴S 2 023＝2 023×2＝4 046，故选C.(3)设数列{a n }的公差为d ，依题意得2S 2＝S 1＋S 3，∴22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ，把a 1＝1代入求得d ＝2，∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n ＋n （n －1）2×2＝n 2，∴S n ＋10a 2n ＝（n ＋10）2（2n －1）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n ＋102n －12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2n －1）＋2122n －12＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋212n －12≤121.∴S n ＋10a 2n 的最大值是121.1.在等差数列{a n }中，3a 5＝2a 7，则此数列中一定为0的是() A.a 1 B.a 3 C.a 8 D.a 10答案 A解析 设{a n }的公差为d (d ≠0)，∵3a 5＝2a 7，∴3(a 1＋4d )＝2(a 1＋6d )，得a 1＝0.2.(2021·重庆二模)已知公差不为0的等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝a 6，a 9＝a 26，则a 10＝( )A.52B.5C.10D.40答案 A解析 设公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋3d ＝a 1＋5d ，a 1＋8d ＝（a 1＋5d ）2，由于d ≠0，故a 1＝d ＝14，所以a 10＝14＋14×9＝52.3.已知数列{a n }满足5an ＋1＝25·5an ，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝() A.－3 B.3 C.－13 D.13答案 A解析 数列{a n }满足5an ＋1＝25·5an ，∴a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2，∴数列{a n }是等差数列，公差为2.∵a 2＋a 4＋a 6＝9，∴3a 4＝9，a 4＝3.∴a 1＋3×2＝3，解得a 1＝－3.∴a 5＋a 7＋a 9＝3a 7＝3×(－3＋6×2)＝27，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1333＝－3.故选A.4.(2022·太原一模)在数列{a n }中，a 1＝3，a m ＋n ＝a m ＋a n (m ，n ∈N *)，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝135，则k ＝( )A.10B.9C.8D.7 答案 B解析 令m ＝1，由a m ＋n ＝a m ＋a n 可得a n ＋1＝a 1＋a n ，所以a n ＋1－a n ＝3， 所以{a n }是首项为a 1＝3，公差为3的等差数列，a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k ＝k （a 1＋a k ）2＝k （3＋3k ）2＝135. 整理可得k 2＋k －90＝0，解得k ＝9或k ＝－10(舍).5.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为( )A.65B.176C.183D.184答案 D解析 根据题意可知每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{a n }，其中d ＝17，n ＝8，S 8＝996.由等差数列前n 项和公式可得8a 1＋8×72×17＝996，解得a 1＝65.由等差数列通项公式得a 8＝65＋(8－1)×17＝184.则第八个孩子分得斤数为184.6.(2021·全国大联考)在等差数列{a n }中，若a 10a 9<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0成立的正整数n 的最大值是( )A.15B.16C.17D.14答案 C解析 ∵等差数列{a n }的前n 项和有最大值，∴等差数列{a n }为递减数列， 又a 10a 9<－1，∴a 9>0，a 10<0， ∴a 9＋a 10<0，又S 18＝18（a 1＋a 18）2＝9(a 9＋a 10)<0， 且S 17＝17（a 1＋a 17）2＝17a 9>0. 故使得S n >0成立的正整数n 的最大值为17.7.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 6＝1，S 12＝4，则S 18＝________. 答案 9解析 在等差数列中，S 6，S 12－S 6，S 18－S 12成等差数列，∵S 6＝1，S 12＝4，∴1，3，S 18－4成公差为2的等差数列，即S 18－4＝5，S 18＝9.8.等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于________. 答案 3727解析 a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727. 9.(2021·西安一模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1＝32，a 2＝2，2(S n ＋2＋S n )＝4S n ＋1＋1，则数列{a n }的前16项和S 16＝________.答案 84解析 将2(S n ＋2＋S n )＝4S n ＋1＋1变形为(S n ＋2－S n ＋1)－(S n ＋1－S n )＝12，即a n ＋2－a n＋1＝12，又a 1＝32，a 2＝2，∴a 2－a 1＝12符合上式，∴{a n }是首项a 1＝32，公差d ＝12的等差数列，∴S 16＝16×32＋16×152×12＝84.10.已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2a 4＝65，a 1＋a 5＝18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在常数k ，使得数列{S n ＋kn }为等差数列？若存在，求出常数k ；若不存在，请说明理由.解 (1)设公差为d .∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18，又a 2a 4＝65，∴a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根，又公差d ＞0，∴a 2＜a 4，∴a 2＝5，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ＋n （n －1）2×4＝2n 2－n ， 假设存在常数k ，使数列{S n ＋kn }为等差数列. 由S 1＋k ＋S 3＋3k ＝2S 2＋2k ， 得1＋k ＋15＋3k ＝26＋2k ，解得k ＝1. ∴S n ＋kn ＝2n 2＝2n ，当n ≥2时，2n －2(n －1)＝2，为常数，∴数列{S n ＋kn }为等差数列.故存在常数k ＝1，使得数列{S n ＋kn }为等差数列. 11.设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，已知对任意n ∈N *，S n 是a 2n 和a n 的等差中项.(1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)若b n ＝－n ＋5，求{a n ·b n }的最大项的值并求出取最大值时n 的值.(1)证明 由已知可得2S n ＝a 2n ＋a n ，且a n >0，当n ＝1时，2a 1＝a 21＋a 1，解得a 1＝1.当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋a n －1，所以2a n ＝2S n －2S n －1＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1，所以a 2n －a 2n －1＝a n ＋a n －1，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1，因为a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1＝1(n ≥2).故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列.(2)解 由(1)可知a n ＝n ，设c n ＝a n ·b n ，则c n ＝n (－n ＋5)＝－n 2＋5n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋254， 因为n ∈N *，所以n ＝2或3，c 2＝c 3＝6，因此当n ＝2或n ＝3时，{a n ·b n }取最大项，且最大项的值为6.12.(2020·新高考山东卷)将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为__________.答案 3n 2－2n解析 法一(观察归纳法) 数列{}2n －1的各项为1，3，5，7，9，11，13，…；数列{3n －2}的各项为1，4，7，10，13，….现观察归纳可知，两个数列的公共项为1，7，13，…，是首项为1，公差为6的等差数列， 则a n ＝1＋6(n －1)＝6n －5.故其前n 项和为S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （1＋6n －5）2＝3n 2－2n . 法二(引入参变量法) 令b n ＝2n －1，c m ＝3m －2，b n ＝c m ，则2n －1＝3m －2，即3m ＝2n ＋1，m 必为奇数.令m ＝2t －1，则n ＝3t －2(t ＝1，2，3，…).a t ＝b 3t －2＝c 2t －1＝6t －5，即a n ＝6n －5.以下同法一.13.(2022·衡水模拟)已知在数列{a n }中，a 6＝11，且na n －(n －1)a n ＋1＝1，则a n ＝______；a 2n ＋143n 的最小值为________.答案 2n －1 44解析 na n －(n －1)a n ＋1＝1，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2＝1，两式相减得na n －2na n ＋1＋na n ＋2＝0，∴a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，∴数列{a n }为等差数列.当n ＝1时，由na n －(n －1)a n ＋1＝1得a 1＝1，由a 6＝11，得公差d ＝2，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a 2n ＋143n ＝（2n －1）2＋143n＝4n ＋144n －4≥24n ·144n －4＝44， 当且仅当4n ＝144n ，即n ＝6时等号成立.14.等差数列{a n }中，公差d ＜0，a 2＋a 6＝－8，a 3a 5＝7.(1)求{a n }的通项公式；(2)记T n 为数列{b n }前n 项的和，其中b n ＝|a n |，n ∈N *，若T n ≥1 464，求n 的最小值.解 (1)∵等差数列{a n }中，公差d ＜0，a 2＋a 6＝－8， ∴a 2＋a 6＝a 3＋a 5＝－8，又∵a 3a 5＝7，∴a 3，a 5是一元二次方程x 2＋8x ＋7＝0的两个根，且a 3＞a 5， 解方程x 2＋8x ＋7＝0，得a 3＝－1，a 5＝－7，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－1，a 1＋4d ＝－7，解得a 1＝5，d ＝－3. ∴a n ＝5＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋8.(2)由(1)知{a n }的前n 项和S n ＝5n ＋n （n －1）2×(－3)＝－32n 2＋132n . ∵b n ＝|a n |，∴b 1＝5，b 2＝2，b 3＝|－1|＝1，b 4＝|－4|＝4， 当n ≥3时，b n ＝|a n |＝3n －8.当n ＜3时，T 1＝5，T 2＝7；当n ≥3时，T n ＝－S n ＋2S 2＝3n 22－13n 2＋14.∵T n ≥1 464，∴T n ＝3n 22－13n 2＋14≥1 464，即(3n－100)(n＋29)≥0，解得n≥100，3∴n的最小值为34.。
高考数学一轮复习第5章数列5.2等差数列及其前n项和课件理
＝
1 1－an1－1
－
an－11－1＝ana－n1－－1 1－an－11－1＝aann－－11－－11＝1(常数)．
第二十九页，共55页。
又a1－1 1＝1. ∴数列an－1 1是以首项为 1，公差为 1 的等差数列． ∴an－1 1＝1＋(n－1)×1， ∴an＝n＋n 1.
第三十页，共55页。
A．若 a1＋a2>0，则 a2＋a3>0 B．若 a1＋a3<0，则 a1＋a2<0 C．若 0<a1<a2，则 a2> a1a3 D．若 a1<0，则(a2－a1)(a2－a3)>0
第二十五页，共55页。
解析 因为{an}为等差数列， 所以 2a2＝a1＋a3. 当 a2＞a1＞0 时，得公差 d＞0，∴a3＞0， ∴a1＋a3＞2 a1a3，∴2a2＞2 a1a3， 即 a2＞ a1a3.故选 C.
利用 S 偶－S 奇＝nd(项数为 2n)求解．
第三十六页，共55页。
解 设等差数列的前 12 项中奇数项的和为 S 奇，偶数
项的和为 S 偶，等差数列的公差为 d.由已知条件，得
S奇＋S偶＝354， S偶∶S奇＝32∶27，
解得SS偶奇＝＝119622，.
又 S 偶－S 奇＝6d，所以 d＝192－6 162＝5.
第三十三页，共55页。
解 (1)证明：由题设 anan＋1＝λSn－1， 知 an＋1an＋2＝λSn＋1－1. 两式相减得，an＋1(an＋2－an)＝λan＋1. 由于 an＋1≠0，所以 an＋2－an＝λ. (2)存在．由 a1＝1，a1a2＝λa1－1，可得 a2＝λ－1， 由(1)知，a3＝λ＋1. 令 2a2＝a1＋a3，解得 λ＝4. 故 an＋2－an＝4，由此可得，{a2n－1}是首项为 1，公差 为 4 的等差数列，a2n－1＝1＋(n－1)·4＝4n－3；
专题5.2 等差数列及其前n项和-2021届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)
2
A.－3 【答案】 D
B.－5 2
C.－2
D.－4
【解析】 设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，
a1＋d＝1，
因为
a2＝1， 所以
S5＝－15，
5a1＋5×4d＝－15， 2
解得 d＝－4.
6.(2019·苏北四市联考)在等差数列{an}中，已知 a3＋a8>0，且 S9<0，则 S1，S2，…，S9 中最小的是______. 【答案】 S5 【解析】 在等差数列{an}中， ∵a3＋a8>0，S9<0， ∴a5＋a6＝a3＋a8>0，S9＝9（a1＋a9）＝9a5<0，
S3＝9A＋3B＝6， 由 S3＝6，S4＝12 可得
S4＝16A＋4B＝12，
A＝1，
解得
即 Sn＝n2－n，则 S6＝36－6＝30.
B＝－1，
考点二 等差数列的判定与证明
【例 2】 (经典母题)若数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝12.
4
1 (1)求证： Sn 成等差数列； (2)求数列{an}的通项公式.
所以 an＋1＝
－1
，又 an＋1－an＝
－1
－
－1
＝－1
1－1 n＋1 n－1
＝
1
.
2n（n＋1）
2n（n＋1） 2n（n－1） 2n
பைடு நூலகம்
n（n－1）（n＋1）
5
所以当 n≥2 时，an＋1－an 的值不是一个与 n 无关的常数，故数列{an}不是一个等差数列. 【迁移探究 2】 本例中，若将条件变为 a1＝35，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，试求数列{an}的通项公式.
高考一轮通用人教A数学(文)(课件)第5章 第2节 等差数列及其前n项和
(2)(2017· 云南省二次统一检测)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，S11＝22，
第十二章
选考部分
(1)B (2)B [(1)∵公差为 1， 8×8－1 ∴S8＝8a1＋ 2 ×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6. 1 ∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得 a1＝2， 1 19 ∴a10＝a1＋9d＝2＋9＝ 2 . 11×11－1 S11＝11a1＋ d＝22， 2 (2)设等差数列{an}的公差为 d，依题意 解 a4＝a1＋3d＝－12，
9 ∴S9＝2(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.
a1＋4d＝3， 又∵a10＝8，∴ a1＋9d＝8， a1＝－1， ∴ d＝1.
∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故选 C.
栏目 导引
第十二章
选考部分
法二：∵{an}是等差数列， 9 ∴S9＝2(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 在等差数列{an}中，a5，a10，a15，…，a100 成等差数列，且公差 d′＝a10－ a5＝8－3＝5. 故 a100＝a5＋(20－1)×5＝98.故选 C.]
a1＝－33， 得 d＝7，
∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.]
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第十二章
选考部分
[ 规律方法] 1.等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1，an， d，n，Sn，知三求二，体现了方程思想的应用． 2．数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．
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