2020届高考数学大二轮复习冲刺经典专题第二编讲专题专题五解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线课件文
∴∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得 4c2＝16a2＋4a2－2·4a·2a·cos60°， ∴c＝ 3a，∴b＝ c2－a2＝ 2a. ∴ba＝ 2，∴双曲线 C 的渐近线方程为 y＝± 2x.故选 A．
(2)已知 F1，F2 为双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，以 F1F2 为直
第二编 讲专题 专题五 解析几何
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线
「考情研析」1.考查圆锥曲线的定义、方程及几何性质，特别是椭圆、 双曲线的离心率和双曲线的渐近线． 2.以解答题的形式考查直线与圆锥曲 线的位置关系(弦长、中点等).
1
PART ONE
核心知识回顾
1.圆锥曲线的定义式 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)； (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)； (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点 F 不在直线 l 上，PM⊥l 于 M(l 为抛物线的准 线方程)．
A．y＝± 2x
B．y＝±
2 2x
C．y＝±2x D．y＝±2 2x
答案 A
解析 由题意得，|PF1|＝2|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝ 2a，
由于 P，M 关于原点对称，F1，F2 关于原点对称，∴线段 PM，F1F2 互 相平分，四边形 PF1MF2 为平行四边形，PF1∥MF2，∵∠MF2N＝60°，
D． 10
答案 B
解析 设双曲线的右焦点为 F′，取 MN 的中点 P，连接 F′P，F′M， F′N，如图所示，由F→N＝3F→M，可知|MF|＝|MP|＝|NP|.又 O 为 FF′的中点， 可知 OM∥PF′.∵OM⊥FN，∴PF′⊥FN.∴PF′为线段 MN 的垂直平分线．
∴|NF′|＝|MF′|.设|MF|＝t，由双曲线定义可知|NF′|＝3t－2a，|MF′| ＝2a＋t ，则 3t －2a＝2a ＋t ， 解得 t＝2a. 在 Rt△MF′P 中 ，|PF′|＝
1．(2019·江西省八所重点中学高三联考)已知曲线 C1 是以原点 O 为中心， F1，F2 为焦点的椭圆，曲线 C2 是以 O 为顶点、F2 为焦点的抛物线，A 是曲线 C1 与 C2 的交点，且∠AF2F1 为钝角，若|AF1|＝72，|AF2|＝52，则△AF1F2 的面
积是( )
A． 3
1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求解方法 解决此类问题的关键就是确立一个关于 a，b，c 的方程或不等式，再根 据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程或不 等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、图形的结构特征、点的坐标的 范围等．
2．双曲线的渐近线的求法及用法 (1)求法：把双曲线标准方程等号右边的 1 改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得ba或ab的值． ②利用渐近线方程设所求双曲线的方程． ③利用渐近线的斜率 k 求离心率 e，双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)渐近线的 斜率 k 与离心率 e 之间满足关系式 e2＝1＋k2.
圆锥曲线的定义、标准方程的关注点 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在 不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式． (2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定． (3)焦点三角形的作用：借助焦点三角形能很好地将定义式与三角形中的 边角关系式构建方程组，便于解决问题． (4)圆锥曲线基本问题的考查的另一个重点是定义的应用，根据圆锥曲线 的定义分析判断一些问题，在椭圆、双曲线中如果已知曲线上一点与一个焦 点的连线，则要把另一个焦点也考虑进去．
A． 6－ 3 B． 2－1 C． 3－ 2 D．2－ 2
答案 A
解析 PF2⊥PQ 且|PF2|＝|PQ|，可得△PQF2 为等腰直角三角形，设|PF2|
＝t，则|QF2|＝
2t，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－t,2t＋
2t＝4a，则
t＝2
2－
2
a，在直角三角形 PF1F2 中，可得 t2＋(2a－t)2＝4c2，4(6－4 2)a2＋(12－8 2)a2
＝3 舍去，故|F1F2|＝2.而 sin∠AF1F2＝ 1－572＝2 7 6，所以 S△AF1F2＝12×72 ×2×2 76＝ 6.故选 C．
2．(2019·宣城市高三第二次调研)已知 F1，F2 分别为椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0) 的左、右焦点，点 P 是椭圆上位于第二象限内的点，延长 PF1 交椭圆于点 Q， 若 PF2⊥PQ，且|PF2|＝|PQ|，则椭圆的离心率为( )
解法二：设 F1 是椭圆 E 的右焦点，连接 PF1，QF1.根据对称性，线段 FF1 与线段 PQ 在点 O 处互相平分，所以四边形 PFQF1 是平行四边形，|FQ|＝|PF1|， ∠FPF1＝180°－∠PFQ＝60°，又|FP|＝2|PF1|，所以△FPF1 是直角三角形， ∠FF1P＝90°，不妨设|PF1|＝1，则|FP|＝2，|FF1|＝2c＝ |PF|2－|PF1|2＝ 22－12 ＝ 3，根据椭圆的定义，2a＝|PF|＋|PF1|＝1＋2＝3，所以椭圆 E 的离心率 e ＝ac＝ 33.故选 C．
A．y2＝32x
答案 B
B．y2＝3x C．y2＝92x D．y2＝9x
解析 如图，分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准线于点 E，D，设 准线与 x 轴的交点为 G，|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由定义得|BD|＝a， 故∠BCD＝30°.在直角三角形 ACE 中，∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE| ＝|AC|，∴3＋3a＝6，从而得 a＝1.
2
PART TWO
热点考向探究
考向 1 圆锥曲线的定义和标准方程
例 1 (1)(2019·永州市高三第三次模拟)过双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)
左焦点 F 的直线 l 与 C 交于 M，N 两点，且F→N＝3F→M，若 OM⊥FN，则 C 的
离心率为( )
A．2
B． 7
C．3
答案
D．2 2＋1
解析 如图所示，设双曲线右焦点为 F2，则|PF1|＋|PQ|＝2a＋|PF2|＋|PQ|， 即当|PQ|＋|PF2|最小时，|PF1|＋|PQ|取最小值，由图知当 F2，P，Q 三点共线 时|PQ|＋|PF2|取得最小值，即 F2 到直线 l 的距离 d＝1，故所求最值为 2a＋1 ＝2 2＋1.故选 D．
在 Rt△QPF2 中，|QP|2＋|PF2|2＝|QF2|2，即(2x)2＋(3x－2a)2＝(2a＋x)2，可 得 x＝43a.在 Rt△PF1F2 中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即(3x)2＋(3x－2a)2＝(2c)2， 整理可得 c2＝5a2，所以 e＝ac＝ 5.故选 A．
∵BD∥FG，∴1p＝23，求得 p＝32，因此抛物线的方程为 y2＝3x.
(3)已知 F 是椭圆 E：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左焦点，经过原点 O 的直线 l
与椭圆 E 交于 P，Q 两点，若|PF|＝2|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆 E 的离
心率为( )
A．13
B．12
C．
□ ②抛物线
□ x2＝±2py(p>0)的焦点坐标为 11 0，±p2
12 ，准线方程为
y＝∓p2.
3．弦长问题
(1)弦长公式
设直线斜率为 k，直线与圆锥曲线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝ 1＋k2 |x1－x2|
＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2或
＝4c2，化为 c2＝(9－6 2)a2，可得 e＝ac＝ 6－ 3.故选 A．
3．P 是双曲线 C：x22－y2＝1 右支上一点，直线 l 是双曲线 C 的一条渐近
线，P 在 l 上的射影为 Q，F1 是双曲线 C 的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为
()
A．1
B．2＋
15 5
C．4＋
15 5
1．设 F1，F2 分别是椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点，过 F1 的直
线 l 交椭圆于 A，B 两点，l 在 y 轴上的截距为 1，若|AF1|＝2|F1B|，且 AF2⊥x 轴，则此椭圆的短轴的长为( )
|MF′|2－|MP|2＝ 16a2－4a2＝2 3a，∴|OM|＝12|PF′|＝ 3a.在 Rt△MFO 中，|MF|2＋|OM|2＝|OF|2，∴4a2＋3a2＝c2⇒e＝ 7.故选 B．
(2)如图，过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线于 点 A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为( )
3 3
D．
2 2
答案 C
解析 解法一：设 F1 是椭圆 E 的右焦点，如图， 连接 PF1，QF1.根据对称性，线段 FF1 与线段 PQ 在点 O 处互相平分，所以四边形 PFQF1 是平行四边形，|FQ| ＝|PF1|，∠FPF1＝180°－∠PFQ＝60°，根据椭圆的定 义，|PF|＋|PF1|＝2a，又|PF|＝2|QF|，所以|PF1|＝23a， |PF|＝43a，而|F1F|＝2c，在△F1PF 中，由余弦定理，得(2c)2＝23a2＋43a2－2×23 a×43a×cos60°，得ac22＝13，所以椭圆 E 的离心率 e＝ac＝ 33.故选 C．
2．圆锥曲线的重要性质 (1)椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系
□ ①在椭圆中： 01 a2＝b2＋c2 ；离心率为 e＝ac＝ 1－ba22； □ ②在双曲线中： 02 c2＝a2＋b2 ；离心率为 e＝ac＝ 1＋ba22.
2020版高考数学大二轮复习6.2椭圆、双曲线、抛物线课件理
(2)本题主要考查双曲线的几何性质，直线和双曲线的位置关 系，平面向量的相关知识，考查考生的化归与转化能力、数形结合 能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数 学运算．
通解 因为F→1B·F→2B＝0，所以 F1B⊥F2B，如图．
所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO， 所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为F→1A＝A→B，所以点 A 为 F1B 的中点， 又点 O 为 F1F2 的中点，所以 OA∥BF2，所以 F1B⊥OA，因为直线 OA，OB 为双曲线 C 的两条渐近线，所以 tan∠BF1O＝ab，tan∠BOF2
心率 e 与渐近线的斜率的关系．
[例 2] (1)[2019·全国卷Ⅱ]若抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点是椭
圆3xp2 ＋yp2＝1 的一个焦点，则 p＝(
)
A．2 B．3
C．4 D．8
(2)[2019·全国卷Ⅰ]已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、
右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，
A．y＝12x2 B．y＝12x2 或 y＝－6x2 C．y＝－36x2 D．y＝112x2 或 y＝－316x2
解析：当 a>0 时，可得 y＝112x2；当 a<0 时，可得 y＝－316x2. 答案：D
2．[2019·吉林长春模拟]双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左焦
＝ba.因为 tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以ba＝12－×abab2，所以 b2＝3a2，
算”，就是指利用待定系数法求出方程中的 a2，b2，p 的值．
[例 1] (1)[2019·全国卷Ⅰ]已知椭圆 C 的焦点为 F1(－1,0)，
(通用版)2020版高考数学大二轮复习专题七第2讲椭圆、双曲线与抛物线课件文
2
2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的
倾斜角为 130°,则 C 的离心率为( )
A.2sin 40°
B.2cos 40°
C.sin510 °
D.cos510 °
解析:由已知可得-������������=tan 130°=-tan 50°,
则 e=������������ =
1+
������
2
=
第2讲 椭圆、双曲线与抛物线
近五年高考试题统计与命题预测
年份 卷别 题号 考查角度
命题预测
Ⅰ 2019 Ⅱ
Ⅲ
10,12,21 9,12,20 10,15,21
双曲线的离心率;椭圆的几何性质; 圆的方程、直线与抛物线的位置 关系 抛物线与椭圆的基本性质;双曲线 的几何性质(离心率);椭圆的离心 率,与直线和椭圆相关的范围问题 双曲线的定义与几何性质;椭圆的 几何性质;直线与抛物线的关系、
4.(2018
全国Ⅱ,文
6)双曲线������������
2 2
−
������ ������
2
2=1(a>0,b>0)的离心率为
3,则其
渐近线方程为( )
A.y=± 2x
B.y=± 3x
C.y=± 22x
D.y=± 23x
解析:∵e=������������ =
3,∴������������22
=
的一个焦点,则 p=( )
A.2
B.3
C.4
D.8
解析:∵y2=2px 的焦点坐标为
������
2,0
,椭圆������ 2
+
������
2
2020版高考数学二轮复习第2部分专题5解析几何解密高考5圆锥曲线问题巧在“设”、难在“算”课件文 (1)
整理得 17k6＋9k4－24k2－2＝0，
即(k2－1)(17k4＋26k2＋2)＝0，解得 k＝±1.
故存在直线 l：y＝x－2 或 y＝－x＋2 满足题意．
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由对称性可知，点 S 必在 x 轴上，故可设 S(t,0)，M(x1，y1)，N(x2， y2)．
由抛物线的定义，得|MF|＋|NF|＝x1＋2＋x2＋2， 因为|MF|＋|NF|＝8，所以 x1＋x2＝4， 由|SM|＝|SN|，得 x1－t2＋y21＝ x2－t2＋y22，
所以(x1－t)2＋8x1＝(x2－t)2＋8x2，即[(x1＋x2)＋(8－2t)](x1－x2)＝ 0，
[解] (1)由ac＝ 22和 a2＝b2＋c2，可设 a＝2λ，则 c＝ 2λ，b＝ 2
λ，其中 λ＞0.
由题意不妨设 M(c，
c)，代入椭圆方程，得ac22＋bc2＝1，即12＋
2λ 2λ2
＝1，解得 λ＝ 2，从而 a＝2 2，b＝2，c＝2.
故所求椭圆方程为x82＋y42＝1.
(2)假设存在满足条件的直线 l，结合已知条件易知直线 l 的斜率 存在且不为零，
所以(6－t)(x1－x2)＝0 ①， 因为①对满足条件的任意 M，N 恒成立，所以 t＝6. 故存在定点 S(6,0)，使得|SM|＝|SN|.
法三：设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN 的中点为 C(x0，y0)． 由抛物线的定义，得|MF|＋|NF|＝x1＋2＋x2＋2， 因为|MF|＋|NF|＝8，所以 x1＋x2＝4，故 x0＝2. 当直线 MN 的斜率存在时，可设其方程为 y＝kx＋b(k≠0)， 由yy＝ 2＝k8xx＋b ，得 ky2－8y＋8b＝0. Δ＝64－32kb，令 Δ＞0，得 kb＜2.
2020届高考数学二轮复习椭圆、双曲线、抛物线学案Word版含解析
(1)椭圆 ＋ ＝1 的左焦点为 F ，直线 x ＝m 与椭圆相交于点 M ， ，当△NFMN 的年份卷别卷Ⅰ2018卷Ⅱ卷Ⅲ第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线考查内容及考题位置直线与抛物线的位置关系·T 8 双曲线的几 何性质·T 11双曲线的几何性质·T 5 椭圆的几何性 质·T 12双曲线的几何性质·T 11 直线与抛物线的 位置关系·T 16直线与抛物线的位置关系、弦长公式、基命题分析1.圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择、填空题的形式考查，常出现在第 4～11题或 15～16 题的位20172016卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ本不等式的应用·T 10 双曲线的几何性质·T 15 双曲线的几何性质·T 9双曲线的渐近线及标准方程·T 5 双曲线的几何性质与标准方程·T 5 抛物线与圆的综合问题·T 10 双曲线的定义、离心率问题·T 11直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率·T 11置，着重考查圆锥曲线的标准方程与几何性质，难度中等．2．圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第 20 题的位置，一般难度较大.圆锥曲线的定义与标准方程(综合型)圆锥曲线的定义、标准方程名称定义标准方程椭圆|PF 1|＋|PF 2| ＝2a(2a >|F 1F 2|)x 2 y 2a 2＋b 2＝1(a >b >0)双曲线||PF 1|－|PF 2|| ＝2a(2a <|F 1F 2|)x 2 y 2a 2－b 2＝1(a >0，b >0)抛物线|PF|＝|PM|点 F 不在直线 l上，PM ⊥l 于 My 2＝2p x(p >0)[典型例题]x 2 y 25 4周长最大时，△FMN 的面积是()1A.5555此时|MN|＝2b＝85，又c＝a5a2－b2＝5－4＝1，所以此时×2×又|PF|＋|PF|＝6a，解得|PF|＝4a，|PF|＝2a，又|F F|＝2c，则|PF|＝2a最小，所以△在PF F中，由余弦定理，可得cos30°＝＝＝3，2|PF1||F1F2|③过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于长轴的弦)最短，通径长为.585C.65B.45D.x2y2(2)设F1，F2分别是双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6△a，且PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是()A.2x±y＝0C．x±2y＝0B．x±2y＝0D．2x±y＝0【解析】(1)如图，设椭圆的右焦点为F′，连接MF′，NF′.因为|MF|＋|NF|＋|MF′|＋|NF′|≥|MF|＋|NF|＋|MN|，所以当直线x＝m过椭圆的右焦点时，△FMN的周长最大．2△FMN的面积S＝185＝85255.故选C.(2)不妨设P为双曲线C右支上一点，由双曲线的定义，可得|PF1|－|PF2|＝2a.1212122∠PF1F2＝30°.|PF1|2＋|F1F2|2－|PF2|216a2＋4c2－4a2 122×4a×2c2整理得c2＋3a2＝23ac，解得c＝3a，所以b＝c2－a2＝2a.所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.故选A.【答案】(1)C(2)A(1)椭圆的焦点三角形的几个性质x2y2①已知椭圆方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，左、右焦点分别为F1，F2，设焦点三角形PF1F2θ中∠F1PF2＝θ，则△S F1PF2＝b2tan2.x2y2②已知椭圆方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，左、右焦点分别为F1，F2，设焦点三角形PF1F2，若∠F1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点．2b2a2①设∠F 1PF 2＝θ，则 △S F 1PF 2＝ θ.特别地，当∠F 1PF 2＝90°时，有 △S F 1PF 2＝b .2 a 2－ A. － ＝1 B. －y 2＝1C. － ＝1D ．x 2－ ＝11＋b ＝ 5，即 b2＝4a 2，解得 a 2＝1，b 2＝4，所以双 曲线 C 的方程为 x 2－y ＝1，故选 D.由已知条件|BE|＝2|BF|得，|BE|＝2|BB|，所以∠BEB ＝30°.又|AA |＝|AF|＝3，(2)双曲线的焦点三角形的几个性质x 2 y 2若双曲线方程为a 2－b 2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2 分别为它的左、右焦点，P 为双曲线上任意一点(除实轴顶点外)，则双曲线的焦点三角形有如下性质：b 2 2tan②双曲线的焦点三角形的内切圆与 F 1F 2 相切于实轴顶点．当点 P 在双曲线左支上时，切点为左顶点，当点 P 在双曲线右支上时，切点为右顶点．[对点训练]x 2 y 21．(2018· 辽宁五校联合体模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C ： b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为 5，从双曲线 C 的右焦点 F 引渐近线的垂线，垂足为 A ，若△AFO 的面积为 1，则双曲线 C 的方程为()x 2 y 22 8x 2 y 2 4 16x 2 4y2 4解析：选 D.因为双曲线 C 的右焦点 F 到渐近线的距离|F A|＝b ，|OA|＝a ，所以 ab ＝2，又双曲线 C 的离心率为 5，所以2a 2242．(2018· 福州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C ：y 2＝2p x(p >0)的焦点为 F ，准线为 l.过 F 的直线交 C 于 A ，B 两点，交 l 于点 E ，直线 AO 交 l 于点 D .若|BE|＝2|BF|，且|AF|＝3，则|BD|＝()A ．1C ．3 或 9解析：选 D.分别过点 A ，B 作 AA 1，BB 1 垂直于 l ，且垂足分别为 A ，B ， 1 1依题意，易证 BD ∥x 轴，所以 D 与 B 重合．1 111B ．3D ．1 或 933|BD|＋3|BD|－3(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝⎛b⎫2.(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝1＋⎝a⎭.焦点F，与椭圆交于A、B两点，且AF＝2FB，则该椭圆的离心率为()2 B.2A.3的直线经过椭圆如图1，|BD|＝|BE|，|AA1||AE|所以|BD|＝2|BD|，3解得|BD|＝1，如图2，|BD|＝|BE|，|AA1||AE|所以|BD|＝2|BD|，3解得|BD|＝9.综上，|BD|为1或9，故选D.圆锥曲线的几何性质(综合型)椭圆、双曲线中，a，b，c及e之间的关系caca1－⎝a⎭⎛b⎫2x2y2b双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±a x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．[典型例题]πx2y2(1)(2018·石家庄质量检测(二))倾斜角为4a2＋b2＝1(a>b>0)的右→→342 D.3C.2(2)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，N2⎧⎪x2＋y2＝1【解析】(1)由题可知，直线的方程为y＝x－c，与椭圆方程联立得⎨，所以⎧⎪y＋y＝－2b cy)，B(x，y)，则⎨a＋b22，又AF＝2FB，所以(c－x，－y)＝2(x－c，y)，所以⎪⎩y y＝－＋bb1221122a22⎧⎪－y＝－2b c⎨a＋b22，所以1＝4c，所以e＝2，故选B.－y＝2y，可得2a＋b⎪⎩－2y＝＋b－b123a直线与直线y＝3x交于点M△，由OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO ⎧⎪y＝－3（x－2），⎧x＝，由⎨得⎨⎩y＝23，⎛3⎫2＋⎛3⎫2＝3，所以|MN|＝3|OM|＝3，故选B.3x23过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝()3A.C．23B．3D．4a2b2⎪⎩y＝x－c(b2＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ>0.设A(x1，212→→4122224222222(2)因为双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为y＝±3x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的333＝60°，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y＝－3(x－2)，323⎪⎩y＝3x，所以M⎛3，3⎫，所以|OM|＝⎝22⎭⎝2⎭⎝2⎭【答案】(1)B(2)B(1)椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关5系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．②用法：(i)可得或的值．2．(2018·广州综合测试(一))如图，在梯形ABCD中，已知|AB|＝2|CD|，AE＝AC，双解析：选A.取AB的中点O为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，建立直角坐标系(图略)，设双曲线的方程为x－y＝1(a>0，b>0)，|AB|＝2|CD|＝2c，E(x，y)，则A(－c，0)，⎛c，y⎫，D⎛－c，y⎫，由4－y2C＝1，得y＝b⎛cb2－3a2，故C⎝2，2a b2－3a2⎫⎭.ca(2)双曲线的渐近线的求法及用法①求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得．b aa b(ii)利用渐近线方程设所求双曲线的方程．[对点训练]x2y21．(2018·福州四校联考)过双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b，则该双曲线的渐近线方程为()A．y＝±xC．y＝±3xB．y＝±2xD．y＝±2x解析：选A.由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b，所以菱形的边长为2b，由勾股定理得4条直线与y轴的交点到x轴的距离为4b2－c2＝3b2－a2，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以b＝a3b2－a2a2＋b2，解得a＝b，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选A.→2→5曲线过C，D，E三点，且以A，B为焦点，则双曲线的离心率为()A.7C．3B．22D.10→22a2b2E Ec2B(c，0)，C⎝2C⎭⎝2C⎭a2b2C2ab6因为AE＝(x＋c，y)，2AC＝2⎛，b2－3a2⎫⎭＝⎛⎝，b2－3a2⎫⎭，AE＝AC，⎧x＝－2c，所以⎨⎩yE＝5a b2－3a.（b2－3a2）又E在双曲线上，故－＝1，化简整理得4c2－b2＋3a2＝25a2，即c23234＝2c，因为△PF F为等腰三角形，且∠F F P＝120°，所以|PF|＝2c＋a6→→3c bE E55⎝22a3c b55a→2→5E524c2b22525a2a2b2＝7a2，故c＝7.选A.ax2y23．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C 的左顶点，点P在过A且斜率为C的离心率为()2A.1C.6△3的直线上，PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则1B.1D.解析：选D.由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|F1F2|12122|F1F2|＝2c，所以|OF2|＝c，所以点P坐标为(c＋2ccos60°，2csin60°)，即点P(2c，3c)．因为点P在过点A，且斜率为3的直线上，所以3c＝3，解得c＝1，6a4所以e＝1，故选D.4直线与圆锥曲线的位置关系(综合型)求解直线与圆锥曲线位置关系问题的注意事项(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程组并消元转化为一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．[典型例题]命题角度一位置关系的判断及应用7两曲线有公共点⎝ ， 【解】 (1)将⎝ ，将⎛2，2 6⎫代入 x ＋y＝1，得＋ 8＝1，解得 b 2＝3(增根舍去)，则 a 24所以椭圆 C 的方程为x ＋y＝1. 为 y ＝kx ＋b ，显然 k ≠0，b ≠0，A(x ，y )，B(x ，y )． 所以 x ＋x＝－，x 1x 2＝ 2，k 2所以 y y ＝(kx ＋b )(kx ＋b )＝k 2x x ＋kb (x ＋x )＋b2＝4b ， 由 OA ⊥OB ，得OA OB ＝0，即 x x ＋y y ＝0，即b ＋4b ＝0，整理得 b ＋4k ＝0.① → → x ＋y 2＝1 ⎧⎪k ＝－1， ⎧⎪k ＝1， 则⎨ 或⎨⎩ ⎩x 2 y 2已知抛物线 C 1：y 2＝2px(p >0)的焦点为椭圆 C 2：a 2＋b 2＝1(a >b >0)的右焦点，且⎛2 26⎫33 ⎭.(1)求抛物线 C 1 与椭圆 C 2 的方程；(2)若椭圆 C 2 的一条切线 l 与抛物线 C 1 交于 A ，B 两点，O 为坐标原点，且 OA ⊥OB ， 求直线 l 的方程．⎛2 2 6⎫代入抛物线方程，得⎛2 6⎫2＝2 3 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭ 3×2p ，解得 2p ＝4，则抛物线 C 1的方程为 y 2＝4x ，则焦点为 F(1，0)，即 c ＝1，所以 a 2＝b 2＋1.22⎝33 ⎭ b 2＋1 b 29（b 2＋1） 3b 2＝4，222 4 3(2)当直线 l 的斜率不存在时，不符合题意，所以直线 l 的斜率存在．设直线 AB 的方程1 122⎧⎪y ＝kx ＋b ， 由⎨ 整理得 k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0，⎪⎩y 2＝4x2kb －4b 21 2 k1 2 1 2 1 2 1 2 k21 2 1 2k 2 k⎧⎪y ＝kx ＋b ，由⎨ 2 整理得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0，⎪⎩ 4 3Δ＝(8kb )2－4(3＋4k 2)(4b 2－12)＝0，即 b 2＝3＋4k 2.②由①②解得 k ＝±1， 222⎪b ＝2⎪b ＝－2，8x 轴、y 轴上滑动，CP ＝ 2PD.记点 P 的轨迹为曲线 E.(2)经过点(0，1)作直线与曲线 E 相交于 A ，B 两点，OM ＝OA ＋OB ，当点 M 在曲线 E由CP ＝ 2PD ，得(x －m ，y)＝ 2(－x ，n －y)．得⎨⎩ n ＝由|CD |＝ 2＋1，得 m 2＋n 2＝( 2＋1)2，所以( 2＋1)2x 2＋ y 2＝( 2＋1)2，整理，得曲线 E 的方程为 x 2＋y＝1.由OM ＝OA ＋OB ， 知点 M 坐标为(x ＋x ，y ＋y )．所以直线 l 的方程为 x ＋2y －4＝0 或 x －2y －4＝0.直线与圆锥曲线相切，如果直线不与抛物线的对称轴平行、不与双曲线的渐近线平行，那么当直线与圆锥曲线只有一个公共点时，只要把直线方程、圆锥曲线方程联立消元得到关于一个变量的一元二次方程，使其判别式等于零即可．命题角度二 弦长问题(2018· 唐山模拟)在直角坐标系 xOy 中，长为 2＋1 的线段的两端点 C ，D 分别在→ →(1)求曲线 E 的方程；→ → →上时，求四边形 AOBM 的面积．【解】 (1)设 C(m ，0)，D(0，n )，P(x ，y)．→ →⎧⎪x －m ＝－ 2x ， 所以⎨⎪⎩y ＝ 2（n －y ），⎧m ＝（ 2＋1）x ，2＋12y ，→（ 2＋1）2 22 2(2)设 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，→ → →1 2 1 2由题意知，直线 AB 的斜率存在．设直线 AB 的方程为 y ＝kx ＋1，代入曲线 E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，9k2＋2k2＋2y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝k2＋2由点M在曲线E上，知(x＋x)2＋＝1，＋＝1，解得k2＝2.这时|AB|＝1＋k2|x－x|＝32，1＋k2所以平行四边形OAMB的面积S＝|AB|·d＝ 6.2C.3E⎝3，3⎫2⎭②过点F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若AF1＝λF1B，且2≤λ【解】(1)选C.设直线x－y＋5＝0与椭圆2＋2＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，a 则x＋x＝－2k，x x＝－1.12124.（y＋y）212122即4k28（k2＋2）2（k2＋2）2122原点到直线AB的距离d＝1＝3，32有关圆锥曲线弦长问题的求解方法(1)涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2)弦长计算公式：直线AB与圆锥曲线有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2，其中k为弦AB所在直线的斜率．命题角度三定比、分点问题x2y2(1)(2018·南宁模拟)已知椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y ＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4，1)，则椭圆的离心率是()1A.2B.D.2255(2)(2018·长春质量检测(一))已知椭圆C的两个焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，且经过点⎛.①求椭圆C的方程；→→＜3，求直线l的斜率k的取值范围．x2y2bx2－x⎧x＋y＝1，a b（x＋x）（x－x）（y＋y）（y－y）y－y 由⎨22两式相减得，＝0，所以＝＋1－x ⎩ax＋by＝1，2x 2a2a2y＋y＝，于是椭圆的离心率e＝＝1－b＝3，故选C.(2)①由⎨a＝b＋c，⎪⎩⎪⎩所以椭圆C的方程为x＋y＝1.整理得⎛2＋4⎫y2－6y－9＝0，Δ＝144＋144＞0，联立方程，得⎨x2y2⎪⎩4＋3＝1，6k，y设A(x，y)，B(x，y)，则y＋y＝y＝，3＋4k23＋4k2又AF＝λF→B，所以y＝－λy，所以y y＝－λ(y＋y2)2，（1－λ）21则＝，λ＋1－2＝，（1－λ）2因为2≤λ＜3，所以1≤λ＋1－2＜4，23即1≤＜4，且k＞0，解得0＜k≤5.故直线l的斜率k的取值范围是⎛0，5⎤.(2)圆锥曲线以P(x，y)(y≠0)为中点的弦所在直线的斜率分别是：k＝－20(椭圆2＋2因为AB的中点M(－4，1)，所以x＋x＝－8，y＋y＝2.易知直线AB的斜率k＝y2－y1＝1.121212211221212121212a2b222 22－b2x1＋x2，所以b211c4a2a22⎧2a＝|EF1|＋|EF2|＝4，222⎪c＝1，⎧a＝2，解得⎨c＝1，⎪b＝3，2243②由题意得直线l的方程为y＝k(x＋1)(k＞0)，⎧⎪y＝k（x＋1），3⎝k⎭k k2－9k211221212→11121244λ3＋4k2λ3＋4k2λ423＋4k232⎝2⎦(1)对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在使用“根与系数的关系”时，要注意使用条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．b2x x2y2a ya by －y 1a y 0 a by 0 x －x B. 3C. 33|AF|＝|AA ′|＝3.设 A(x ，y )，B(x 2，y )，则 ＝x 1＝|AA ′|＝3，即|BF| |BB ′| |F ′B ′| x 2 |BB ′| |BF|＝|BB ′|，根据已知，得 得 x ＝3k ，x ＝k ，又 x x ＝4，所以 3k · k ＝4，即 k 2＝4，解得 k ＝2 3(负值舍去)． 在圆的半径 CP 上，且有点 A(1，0)和 AP 上的点 M ，满足MQ ·AP ＝0，AP ＝2AM .H ，O 是坐标原点，且 ≤OF ·OH ≤ 时，求 k 的取值范围．故点 Q 的轨迹方程是x ＋y 2＝1.k 2＋1＝1⇒t 2＝k 2＋1.b 2x x 2 y 2 p＝1)，k ＝ 2 0(双曲线 2－ 2＝1)，k ＝ (抛物线 y 2＝2p x)，其中 k ＝ 2 (x 1≠x 2)，(x 1，y 1)， 21(x 2，y 2)为弦端点的坐标．[对点训练]1．已知 F 是抛物线 x 2＝4y 的焦点，直线 y ＝kx －1 与该抛物线交于第一象限内的点 A ，B ，若|AF|＝3|FB|，则 k 的值是()A. 3322 3 D.解析：选 D.显然 k ＞0.抛物线的准线 l ：y ＝－1，设其与 y 轴交于点 F ′，则直线 y ＝kx －1 过点 F ′.分别过点 A ，B 作 l 的垂线，垂足分别为 A ′，B ′，根据抛物线定义，得|AF|＝|AA ′|，|F ′A ′| 1 1 2x 1＝3x 2①.联立抛物线方程与已知直线方程，消元得 x 2－4kx ＋4＝0，则 x 1＋x 2＝4k ②，由①②1 2 1 2 3 32．(2018· 惠州第二次调研)已知 C 为圆(x ＋1)2＋y 2＝8 的圆心，P 是圆上的动点，点 Q→ → → →(1)当点 P 在圆上运动时，求点 Q 的轨迹方程；(2)若斜率为 k 的直线 l 与圆 x 2＋y 2＝1 相切，与(1)中所求点 Q 的轨迹交于不同的两点 F ，3 → → 44 5解：(1)由题意知 MQ 是线段 AP 的垂直平分线，所以|CP|＝|QC|＋|QP|＝|QC|＋|QA|＝2 2＞|CA|＝2，所以点 Q 的轨迹是以点 C ，A 为焦点，焦距为 2，长轴长为 2 2的椭圆，所以 a ＝ 2，c ＝1，b ＝ a 2－c 2＝1，2 2(2)设直线 l ：y ＝kx ＋t ，F(x 1，y 1)，H(x 2，y 2)，直线 l 与圆 x 2＋y 2＝1 相切⇒|t|x1＋x＝，x x＝，1＋2k21＋2k2所以OF OH＝x x＋y y＝(1＋k2)x x＋kt(x＋x)＋t21＋2k1＋2k132，31＋k24141＋2k253232所以－2≤k≤－3或3≤k≤2.故k的取值范围是⎡－2，－3⎤∪⎡3，2⎤.1．已知方程2－m＋n3m2－n2－⎧⎪x2＋y2＝1，联立⎨2得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，⎪⎩y＝kx＋tΔ＝16k2t2－4(1＋2k2)(2t2－2)＝8(2k2－t2＋1)＝8k2＞0⇒k≠0，－4kt2t2－2212→→12121212（1＋k2）（2t2－2）－4kt＝＋kt＋t222（1＋k2）2k24k2（k2＋1）＝－＋k2＋11＋2k21＋2k2＝1＋k2，1＋2k2所以≤≤⇒≤k2≤⇒≤|k|≤2332⎣23⎦⎣32⎦一、选择题x2y2＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A．(－1，3)C．(0，3)B．(－1，3)D．(0，3)解析：选A.由题意得(m2＋n)(3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1＜n＜3.x2y22．(2018·潍坊模拟)已知双曲线a b2＝1(a＞0，b＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且选0)则 OA △是 F BF 的中位线，故 OA ∥BF ，故 F F ⊥BF ，又∠BF F ＝60°，|F F |＝2c ，所以|BF |＝4c ，|BF |＝2 3c ，所以 2a ＝4c －2 3c ，所以 e ＝c ＝2＋ 3，故选 B.4．(2018· 武汉模拟)抛物线 y 2＝2px(p ＞0)的焦点为 F ，过焦点 F 且倾斜角为 的直线与 解析：选 C.因为抛物线 y 2＝2p x(p ＞0)的焦点为 F ⎛ ，0⎫，所以过点 F 且倾斜角为 的直 线方程为 y ＝ 3(x －p )，联立直线与抛物线的方程，得⎨ ⇒3x 2－5px ＋ p 2＝ ⎪⎩y 2＝2px ⎪ ⎧x ＋x ＝5p ， 0，设 A(x ，y )，B(x ，y )，则⎨1 ， ⎩x x ＝4p5．(2018· 高考全国卷Ⅰ)设抛物线 C ：y 2＝4x 的焦点为 F ，过点(－2，0)且斜率为 的直线与 C 交于 M ，N 两点，则FM ·FN ＝()⎝3 ⎭2－4×4 3离心率为 2，则该双曲线的实轴的长为()A ．1 B. 3C ．2D ．2 3解析： C.由题意知双曲线的焦点(c ， 到渐近线 bx －ay ＝0 的距离为bc a 2＋b 2＝b ＝ 3，即 c 2－a 2＝3，又 e ＝c＝2，所以 a ＝1，该双曲线的实轴的长为 2a ＝2.ax 2 y 23．(2018· 石家庄质量检测(一))双曲线a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1 作倾斜角为 60°的直线与 y 轴和双曲线的右支分别交于 A ，B 两点，若点 A 平分线段 F 1B ，则该双曲线的离心率是( )A. 3C ．2B ．2＋ 3D. 2＋1解析：选 B.由题意可知 A 是 F 1B 的中点，O 是 F 1F 2 的中点(O 为坐标原点)，连接 BF 2，1 2 2 1 2 2 1 21 21 2aπ 3抛物线相交于 A ，B 两点，若|AB|＝8，则抛物线的方程为()A ．y 2＝3xC ．y 2＝6xB ．y 2＝4xD ．y 2＝8xp π⎝2⎭3⎧y ＝ 3（x －p ）， 23 2 4A AB BA B 3 2所以|AB|＝（x －x ）2＋（y －y ）2＝ 1＋k 2A B A B|x A －x B |＝ 1＋3 ⎛5p ⎫ 1p 2＝8p ＝8⇒p ＝3，所以抛物线的方程为 y 2＝6x ，故选 C.2 3→→142 2 ⎧y ＝2（x ＋2），解析：选 D.法一：过点(－2，0)且斜率为 的直线的方程为 y ＝ (x ＋2)，由⎨⎪⎩y 2＝4x ，⎩ ⎩ 知 F(1，0)，所以FM ＝(0，2)，FN ＝(3，4)，所以FM FN ＝8.故选 D.⎧⎪y ＝2（x ＋2），法二：过点(－2，0)且斜率为 的直线的方程为 y ＝ (x ＋2)，由⎨ 得 x 2－ ⎪⎩y 2＝4x ，x 1x 2＝4.易知 F(1，0)，所以FM ＝(x 1－1，y 1)，FN ＝(x 2－1，y 2)，所以FM FN ＝(x 1－1)(x 2－1) ＋y y ＝x x －(x ＋x )＋1＋4 x x ＝4－5＋1＋8＝8.故选 D.FM ，切点为 M ，交 y 轴于点 P ，若PM ＝λMF ，且双曲线的离心率 e ＝ ，则 λ＝()解析：选 B.如图，|OF|＝c ，|OM |＝a ，OM ⊥PF ，所以|MF|＝b ，根据射影定理得|PF|＝ ， → c 2－bc 2－b ，所以λ＝|PM|＝ b c 2－b 2 a 2 ＝ 2. 因为 e 2＝ ＝ b 2 ⎛ 6⎫2＝3，所以b 2 1 ＝1＋ 2＝⎝ 2 ⎭ 2 a 2 2 ＝ .所以 λ＝2.故选 B.A ．5C ．7B ．6D ．83 3 3⎧⎪x ＝1， ⎧⎪x ＝4，得 x 2－5x ＋4＝0，解得 x ＝1 或 x ＝4，所以⎨ 或⎨ 不妨设 M (1，2)，N (4，4)，易⎪y ＝2 ⎪y ＝4，→ → → →2 23 3 35x ＋4＝0，设 M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则 y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝5，→ → → →1 2 1 2 1 2 1 2x 2 y 26．(2018· 贵阳模拟)过双曲线a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点 F 作圆 x 2＋y 2＝a 2 的切线→ → 62A ．1C ．3 B ．2D ．4c 2 b所以|PM|＝ b → b b 2b|MF|＝c 2 a 2a 2＋b 2 a 2 a二、填空题垂直于 x 轴的直线交 C 于 P ，Q 两点，若 cos ∠P AQ ＝ ，则椭圆 C 的离心率 e 为________．b 2 ＝ a 2 －c a －c a ⎛c ，b 2⎫，Q ⎛c ，－b 2⎫，所以 tan ∠P AF ＝解析：根据题意可取 P ⎝ a ⎭ ＝ ＝a ＋c a 2＋ac a 2＋acy y ⎩ ⎩ ⎩ ＝ ＝ ，故 5－5(1－e )2＝3＋3(1－e )2⇒8(1－e )2＝2⇒(1－e )2＝1.又椭圆的离心率1＋（1－e ）2 5e 的取值范围为(0，1)，所以 1－e ＝ ，e ＝ .2P 是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则PF 1·PF 2的最小值的取值即 m 2＝a 2⎛1＋2⎫.又 F (－1，0)，F (1，0)，则PF＝(－1－m ，－n )， PF 2＝(1－m ，－n )，7．(2018· 合肥第一次质量检测)抛物线 E ：y 2＝4x 的焦点为 F ，准线 l 与 x 轴交于点 A ，过抛物线 E 上一点 P(在第一象限内)作 l 的垂线 PQ ，垂足为 Q .若四边形 AFPQ 的周长为 16，则点 P 的坐标为________．解析：设 P(x ， )，其中 x ＞0， ＞0，由抛物线的定义知|PF|＝|PQ|＝x ＋1.根据题意知|AF|＝2，|QA|＝y ，⎧⎪2（x ＋1）＋2＋y ＝16， ⎧⎪x ＝4， ⎧⎪x ＝9， 则⎨ ⇒⎨ 或⎨ (舍去)．所以点 P 的坐标为(4，4)．⎪y 2＝4x ⎪y ＝4 ⎪y ＝－6答案：(4，4)x 2 y 28．(2018· 贵阳模拟)椭圆 C ：a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为 A ，右焦点为 F ，过点 F 且35b 2 2 ⎝ a ⎭ a＝1－e ，cos ∠P AQ ＝cos 2∠P AF ＝cos 2∠P AF －sin 2∠P AF ＝ cos 2∠P AF －sin 2∠P AF 1－tan 2∠P AF＝cos 2∠P AF ＋sin 2∠P AF 1＋tan 2∠P AF1－（1－e ）2 3 41 12 21答案：x 2 y 29．已知双曲线 C ：a 2－b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为 F 1(－1，0)，F 2(1，0)，→ →范围是________．m 2 n 2解析：设 P(m ，n )，则 a 2 －b 2＝1，n 2 ⎝ b ⎭1 2→ 1→PF 1PF 2＝n 2＋m 2－1 ＝n 2＋a 2⎛1＋2⎫－1＝n 2⎛1＋2⎫＋a 2－1≥a 2－1，所以PF PF 的最小值为 a 2－1.由 2≤1≤4，得1≤a ≤1，故－15≤a 2－1≤－3，即PF PF 的最小值的取值范围是⎡－ ，－ ⎤.答案：⎣－16，－4⎦ 所以椭圆 C 的标准方程为x ＋y 2＝1.x 1 ＋x ＝－ 8km ，x x ＝ 2＋1 2＋1 4k 4k2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为 2 ＝ 4 x 1x 24→ →n 2 ⎝ b ⎭a 2 ⎝b ⎭当且仅当 n ＝0 时取等号，→ → 12a 4 2 16 4→ → 15 3 1 2 ⎣ 16 4⎦⎡ 15 3⎤三、解答题x 2 y 2 310．(2018· 南昌调研)已知椭圆 C ：a 2＋b ，短轴长为 2. (1)求椭圆 C 的标准方程；5(2)设直线 l ：y ＝kx ＋m 与椭圆 C 交于 M ，N 两点，O 为坐标原点，若 k OM ·k ON ＝4，求原点 O 到直线 l 的距离的取值范围．解：(1)由题知 e ＝c 3，2b ＝2，又 a 2＝b 2＋c 2，所以 b ＝1，a ＝2，a 22 4⎧⎪y ＝kx ＋m ，(2)设 M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎨x 2得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，⎪⎩ 4 ＋y 2＝1，依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＞0，化简得 m 2＜4k 2＋1，①4m 2－4 ，2 1 2y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，若 kOM k ＝5，则y 1y 2＝5，即 4y y ＝5x x ，ON 1 2 1 2所以 4k 2x x ＋4km (x ＋x )＋4m 2＝5x x ，所以(4k 2－5)· ＋4km ·(－ 8km )＋4k 2＋1 4k 2＋1即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得 m 2＋k 2＝5，②由①②得 0≤m 2＜6， 1 ＜k 2≤5， 所以 d 2＝ m ＝ ＝－1＋ ，又 1 ＜k 2≤5，所以0≤d 2＜8，所以原点 O到直线 l 的距离的取值范围是⎡0，2 14⎫.M 为短轴的上端点，MF 1·MF 2＝0，过 F 2 垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A ，B 两点，且|AB|解：(1)由MF 1 MF 2＝0，得 b ＝c.所以b ＝ 2，⎨b ＝ 2⎪⎩b故椭圆 C 的方程为x ＋y 2＝1.4（m 2－1） 1 2 1 2 1 24m 2＝0，45 20 4因为原点 O 到直线 l 的距离 d ＝|m |，1＋k 25－k 22 4 9 1＋k 2 1＋k 2 4（1＋k 2）20 47⎣ 7 ⎭x 2 y 211．(2018· 贵阳模拟)已知椭圆 C ：a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，点→ →＝ 2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设经过点(2，－1)且不经过点 M 的直线 l 与 C 相交于 G ，H 两点．若 k 1，k 2 分别为直 线 MH ，MG 的斜率，求 k 1＋k 2 的值．→ →因为过 F 垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A ，B 两点，且|AB|＝ 2， 22 a 2⎧⎪b ＝c2⎪⎩a 2＝b 2＋c 2⎧⎪a 2＝2⎨ . 2＝122(2)设直线 l 的方程为 y ＋1＝k(x －2)，即 y ＝kx －2k －1，将 y ＝kx －2k －1 代入x ＋y 2＝1 得(1＋2k 2)x 2－4k(2k ＋1)x ＋8k 2＋8k ＝0，由题设可知 Δ＝－16k(k ＋2)＞0，设 G(x ，y )，H(x ，y )，则 x ＋x ＝ ，x x ＝ ，1＋2k 2 1＋2k 2 y 1－1 y －1 kx －2k －2 kx －2k －2 x 1 x 2 x 1 x 2＝2k －k 1＋k 2＝ ＋ 2 12．(2018· 石家庄质量检测(二))已知圆 C ：(x －a)2＋(y －b )2＝ 的圆心 C 在抛物线 x 2＝ 解：(1)由已知可得圆心 C(a ，b )，半径 r ＝ ， 焦点 F ⎛0， ⎫，准线 y ＝－p .设 A(x ，y )，B(x ，y )，得 x 2－4kx －4＝0，Δ＞0，x ＋x ＝4k ，x x ＝－4， 对 y ＝x 求导得 y ′ x ，即 k ＝x 1， ＝AP2 21 12 24k （2k ＋1） 8k 2＋8k1 2 1 24k （2k ＋1）（2k ＋2）×1＋2k 2 ＝ 1 ＋ 2 ＝2k － 8k 2＋8k1＋2k 2(2k ＋1)＝－1，所以 k ＋k ＝－1.1 2942py (p ＞0)上，圆 C 过原点且与抛物线的准线相切．(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A ，B 两点，分别在点 A ，B 处作抛物线的两条切线交于 P 点，求三角形 P AB 面积的最小值及此时直线 l 的方程．3 2p⎝ 2⎭ 2因为圆 C 与抛物线的准线相切，所以 b ＝3－p，且圆 C 过焦点 F ，2 2又因为圆 C 过原点，所以圆心 C 必在线段 OF 的垂直平分线上，即 b ＝p ，4所以 b ＝3－p ＝p，即 p ＝2，故抛物线的方程为 x 2＝4y .2 2 4(2)易得焦点 F(0，1)，直线 l 的斜率必存在，设为 k ，即直线方程为 y ＝kx ＋1.1 12 2⎧⎪y ＝kx ＋1 由⎨⎪⎩x 2＝4y1 2 1 22 4 2 219直线 AP 的方程为 y －y ＝x 1(x －x )，即 y ＝x 1x －1x 2，同理直线 BP 的方程为 y ＝x 2x －1x 2.设 P(x ，y )．⎧ ＝x 1＋x 2＝2k⎨x联立直线 AP 与 BP 的方程，得，⎪⎩y ＝x 1x 2＝－1|AB|＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝4(1＋k 2)，点 P 到直线 AB 的距离 d ＝|2k 2＋2| 1 所以三角形 P AB 的面积 S ＝1×4(1＋k 2)×21＋k 2＝4(1＋k 2)2≥4，当且仅当 k ＝0 时取1 2 2 4 12 4 2 0 00 2 0 4即 P(2k ，－1)，＝2 1＋k 2， 1＋k 223等号．综上，三角形 P AB 面积的最小值为 4，此时直线 l 的方程为 y ＝1.20。
2020年高考数学椭圆二轮复习专项微专题核心考点突破答案解析与点睛(37页)
2020年高考数学椭圆二轮复习专项微专题核心考点突破答案解析与方法点睛考点分析1专题综述椭圆是圆锥曲线的重要组成部分，是解析几何的核心内容之一，椭圆在解析几何中起着承前启后的作用，同时也是历届高考命题的热点和焦点.笔者统揽近三年高考数学全国卷和各省市卷，高考对椭圆部分的考查大都聚焦在以下三个方面:其一，考查椭圆的定义、标准方程和简单的几何性质；其二，考查直线与椭圆的位置关系；其三，考查椭圆相关的综合问题(定点、定值、最值及范围问题).解析几何是以坐标为桥梁，用代数知识来研究几何问题是其本质特征.将椭圆与平面几何、向量、函数、数列、不等式、导数等知识融合命制考题，既广泛而深入地考查了数形结合、转化与化归、分类整合、函数与方程等数学思想以及灵活运用椭圆知识观察、分析和解决问题的能力，同时又对考生的几何直观、逻辑推理和数学运算等素养提出了较高的要求.下面主要以高考试题为例，对椭圆相关的考点举例阐述，以期对今年高考复习有所帮助.典型例题2考点剖析2.1椭圆方程及其几何性质求动点的轨迹或是轨迹方程是圆锥曲线的常见问题，椭圆也不例外，一般设置在第一问.这要求学生能熟练地使用常用的方法:直接法、定义法、相关点法、交轨法和代换法，另外，几何性质的灵活运用也往往起到事半功倍之效.一般求解步骤是:建系一设点一坐标代换一化简一检验.注意求轨迹方程和求轨迹应是两种不同的结果表述，前者是方程，后者是图形.例1设圆的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明为定值，并写出点E的轨迹方程.思路探究:妙用几何性质，因为|AD|=|AC|，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC.所以，故.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16，从而，所以|EA|+|EB|=4.由题设得A(－1，0)，B(1，0)，，由椭圆的定义可得点E的轨迹方程为:.方法点睛:求椭圆方程的常用方法，(1)直接法，直接利用条件建立x，y之间的关系或F(x，y)=0；(2)待定系数法，已知所求曲线的类型，求曲线方程一先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；(3)定义法，先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(4)代入转移法，动点P(x，y)依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示，再代入已知曲线得出要求的轨迹方程.例2已知椭圆的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为( )A．B．C．D．思路探求:以线段为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为a，圆的方程为，直线bx-ay+2ab=0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即a2=，从而，椭圆的离心率，故选A.方法点睛:椭圆的几何性质是高考命题不可或缺的考点，将椭圆的几何性质与其他知识，如切线、斜率等融合、交汇，常常命制出玲珑别致，又不失新颖的客观题，而且时常作为客观题的压轴题.一般求离心率e的方法有:(1)整理出椭圆的标准方程后可直接求出a，c，再利用离心率公式来求解；(2)在焦点三角形中利用椭圆第一定义得求解；(3)根据题设条件，借助a，b，c之间的关系，构造a，c 的等式(特别是齐二次式)，进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e2.2直线与椭圆的位置关系在函数与方程思想的统领下，直线与椭圆的位置关系重点考查以下内容:其一，直线与椭圆的位置关系；其二，直线与椭圆相交，有关中点弦所在直线的方程；其三，直线与椭圆相交，被直线截得的弦长等问题.直线与椭圆的位置关系常用的判断方法有:代数法和坐标变换法.直线与椭圆相交，有关中点弦所在直线方程常用求法有:韦达定理法、点差法、直线参数方程法和对称设点法；直线与椭圆相交，求直线被截得的弦长常用求解方法有:韦达定理法、过焦点弦长公式(利用椭圆第二定义)以及利用过椭圆上一点的切线方程等方法.例3过椭圆内一点M(2，1)引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程.思路探求1:直线和椭圆相交求中点弦所在的直线方程.将直线方程代入椭圆方程，整理后利用韦达定理，求出直线的斜率.解法1:设所求直线的方程为y－1=k(x－2)，将其代入椭圆方程并整理得.又设直线与椭圆的交点为，则是方程的两个根，于是.又M为AB的中点，所以，解得，故所求直线方程为x+2y－4=0.思路探求2:利用点差法，根据椭圆弦中点的性质求出直线的斜率，再用点斜式得出直线方程.解法2:设，则，①－②得，，，即，故所求直线方程为x+2y－4=0.方法点睛:AB(不过原点)是椭圆的不平行于对称轴的弦，为AB的中点，则，即.思路探求3:将直线的参数方程代入椭圆方程整理后利用韦达定理，根据中点所对应参数的几何意义，求出直线的斜率.解法3:设所求直线的参数方程为，代入椭圆方程并整理得.又设直线与椭圆的交点为A，B，则方程的两个根是A，B对应的参数，M为AB的中点，所以t 1+t2=0，，解得，即为直线的斜率，故所求直线方程为x+2y－4=0方法点睛:设所求直线的参数方程为(t为参数)代人椭圆方程并整理得t的一元二次方程，该方程的两个根是A，B对应的参数，M为AB的中点，由，求得直线斜率.思路探求4:利用中心点坐标设弦端点的坐标，代入椭圆方程相减后直接得出直线方程.解法4:整理椭圆方程为，设A(x，y)，B(4－x，2－y)，则有③－④得x+2y－4=0，即是中点弦所在的直线方程.此种方法较为简便.方法点睛:整理椭圆方程为(m>0，n>0，m≠n).设A(x，y)，，，⑤－⑥得就是中点弦所在的直线方程.思路探求5:将弦的两个端点坐标设为对称形式，可以快速得出中点弦所在直线的斜率，解题时若能充分利用这些结论，则可以轻松、准确地解决“中点弦”的有关问题.解法5:整理椭圆方程为.由题意可设A(2+m，1+n)，B(2－m，1－n)，则有，以上两式相减得4m+8n=0所以，.故AB的直线方程为y－1=－(x－2)，整理得x+2y－4=0.方法点睛:点M是线段AB的中点，设，，有两个非常简单有趣的结论:，.例4设椭圆，求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a，k表示).思路探求:椭圆被直线截得的弦长，即直线与椭圆相交的两个交点的距离.直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x得到关于x或y的一元二次方程，利用两点间距离公式得到弦长公式(直线斜率k存在).进一步应结合韦达定理解决问题.解:设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP，由得，故.因此.方法点睛:直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，即得到弦长公式，.2.3与椭圆相关的综合问题在数形结合思想统领下椭圆的综合问题主要考查以下内容:斜率和离心率范围、定点问题、定值问题和最值问题等.定点、定值一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的问题以及与椭圆有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题.椭圆中最值问题大致可分为两类:一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或椭圆中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.椭圆的探索性问题主要体现在以下方面:(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立，涉及这类命题的求解主要是研究直线与椭圆的位置关系问题.例5已知椭圆的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1 (I)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设P在椭圆C上一点，直线P A与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证:为定值.思路探求:本题要证明的当点P在椭圆C上运动变化时|AN|•|BM|为定值，显然，引起运动变化的根源是点P.因此，将点设为参数，将用表示，再利用点P在椭圆上进行减元、消参，进而证明定值与参数的变化无关.解:(I)椭圆的方程为.(Ⅱ)由(I)知，A(2，0)，B(0，1)，设，则.当x≠0时，直线P A的方程为.令x=0，得.从而.直线PB的方程为.令y=0，得.从而.所以.当时，，所以.综上，为定值.当然，由于本题是证明|AN|•|BM|为定值，也可以先通过特殊位置，例如点P为椭圆左顶点时获得定值4，然后进行推理运算，目标更为明确.方法点睛:定值问题的解题步骤如下第一步，引入参数.一般情况下，这些参数包括点的坐标、直线的斜率、截距、夹角等；第二步，根据题意建立包含参数的等量或不等量关系；第三步，通过推理、计算探索出定值.这是定值问题的关键步骤，对运算能力、思维能力、几何直观能力要求较高； 第四步，下结论. 3复习对策与建议(1)立足基础，把控规律，回归教材.从宏观上把握椭圆问题的解题要点，注重通性通法、一题多解和多题化归，优化解题过程，淡化特殊技巧，掌握常用的一些解题策略.(2)发掘几何性质，简化代数运算.高度重视对椭圆的定义与几何性质、解析法的理解与运用，既可提高解题效率，又可以提升学生的信心.重视运算能力与运算速度的提高，特别是字母式的变形运算，在平时的训练中要注重算理、算法，细化运算过程，转化相关条件，注重整体代换等运算技能的培养.重视椭圆与函数、导数、方程、不等式等知识的交汇训练.(3)注重数学思想和能力的训练，不断积累解匙经验.重视数形结合、转化化归、分类整合以及函数与方程思想的训练；培养学生善于透过问题背景扣住问题本质的能力；培养学生善于合理简化和量化，建数学模型的能力，培养学生能用精确和简洁的数学语言表达数学问题的能力.积累多方位、多角度探寻解决问题的经验. 最新模拟题1．已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ,2F ,P是它们的一个公共点,且122F PF π∠=,记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ,2e ,则221211e e +=( )A ．2B ．3C ．4D ．3【答案】A 【解析】设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的实半轴长为2a ,则根据椭圆及双曲线的定义:1212+=PF PF a ,1222-=PF PF a , 则112=+PF a a ,212=-PF a a , 设122F F c =, 因为122F PF π∠=,所以2221212PF PF F F +=,即()()()22212122a a a a c ++-=,化简可得222122a a c +=,因为1ae c=,所以2212112e e +=,故选:A2．已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P 为第二象限内椭圆上的一点，且1230F PF ∠=︒，直线2PF 交y 轴于点M ，若1223F F =，则该椭圆的离心率为（ ） A 3B ．312C 51- D ．104【答案】B 【解析】 如图，由1223F F =，得23OF =， 在2Rt MOF ∆中，可得23tan 3MF O ∠=，即2130PF F ∠=︒， 又1230F PF ∠=︒，∴1122PF F F c ==，由22sin120sin 30PF c=︒︒，得223PF c =. 则212322PF PF c c a +=+=，即31231c e a ===+. 故选：B.3．点P 在椭圆221:143x y C +=上，1C 的右焦点为F ，点Q 在圆222:68210C x y x y ++-+=上，则PQ PF -的最小值为（ ）A ．424B ．442-C ．625-D ．256【答案】D 【解析】设椭圆的左焦点为1F 则||||||(||)||||11PQ PF PQ 2a PF PQ PF 4-=--=+-故要求||||PQ PF -的最小值， 即求||||1PQ PF +的最小值，圆2C 的半径r 为2 所以||||1PQ PF +的最小值等于()2221C F 21342252-=-++-=-，||||1PQ PF +的最小值为256，故选D ．4．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB ∆的面积为232-，点P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为， ，A ．[1,2]B ．2,3]C ．[2,4]D ．[1,4]【答案】D 【解析】由得椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长为22,1b b ==，()11232F AB S a c b ∆-=-=，解得23,2,3a c a c -=∴==1224PF PF a +==，设1PF x =，则24PF x =-，[],x a c a c ∈-+，即23,23x ⎡∈⎣，()[]212111141,4442PF PF x x x ∴+=+=∈---，故选D.5．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线l ：33x =-E 交于两点A 和B ，和y 轴交于点P .若2FP PA =u u u r u u u r，则椭圆E 的离心率e =（ ） A ．23 B ．232- C ．423- D 31【答案】D 【解析】根据直线可知()3,0F ，所以3c =又()0,1P 及2FP PA =u u u r u u u r，得3322A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 代入椭圆方程有2239144a b+=，将223b a =-代入， 解得2633a +=或226333a c -=<=（舍去）， 则)2242331633e ==-=+，故选：D6．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>过点23P ⎝⎭，椭圆E 的离心率为22，则椭圆E 的焦距为（ ） A ．1 B ．2C 2D ．22【答案】B 【解析】因为椭圆E 的离心率为22，所以22c a =， 因为椭圆过点23P ⎝⎭，所以2213124a b +=， 又222a b c =+，解得：1c =， 所以焦距为22c =.故选：B.7．已知椭圆C 的中心为原点O ，(5,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且4PF =，则椭圆C 的方程为， ，A ．221255x y +=B ．2213616x y +=C ．2213010x y +=D ．2214525x y +=【答案】B 【解析】由题意可得c=25F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知， ∠PFF ′=∠FPO ，∠OF ′P=∠OPF ′， 所以∠PFF ′+∠OF ′P=∠FPO+∠OPF ′， 由∠PFF ′+∠OF ′P+∠FPO+∠OPF′=180°知， ∠FPO+∠OPF′=90°，即PF ⊥PF ′．在Rt △PFF′中，由勾股定理，得()2222PF 4548FF -=-='，由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a 2=36， 于是 b 2=a 2﹣c 2=36﹣=16，所以椭圆的方程为2213616x y +=．故选B ．8．椭圆()222210x y C a b a b+=>>：与抛物线2:4E y x =相交于点M ，N ，过点()1,0P -的直线与抛物线E相切于M ，N 点，设椭圆的右顶点为A ，若四边形PMAN 为平行四边形，则椭圆的离心率为 A 3B ．22C ．23D 3 【答案】B 【解析】设过点()1,0P -的直线方程为1x my =-，联立方程组221,4404x my y my y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩，因为直线与抛物线相切，所以2161601m m ∆-=⇒=±， 所以切线方程分别为1x y =-或1x y =--.此时1x =，2y =或1x =，2y =-，即切点()1,2M 或()1,2N -.又椭圆的右顶点(),0A a ，因为四边形PMAN 为平行四边形，所以PM AN k k =，即得()()02203111a a ---=⇒=---.又交点()1,2在椭圆上， 所以22149192b b +=⇒=， 所以2229322c a b c =-=⇒=所以离心率为322232c c a ===.故选B.9．设椭圆E :2222x y a b+=1(a >b >0)的一个焦点为F (c ,0)(c >0),点A (﹣c ,c )为椭圆E 内一点,若椭圆E 上存在一点P ,使得|P A |+|PF |=9c ,则椭圆E 的离心率取值范围为( ) A ．[12,1) B ．[13,12] C ．[12,23] D ．[15,14] 【答案】D 【解析】 如图：设椭圆的另一个焦点为1(,0)F c -， 因为11||||||PF PA AF ≤+，所以112||||||||||910a PF PF PA AF PF c c c =+≤++=+= 由11||||||PF PA AF ≥-，所以112||||||||||98a PF PF PA AF PF c c c =+≥-+=-=，所以8210c a c ≤≤，即45c a c ≤≤， 所以1154e ≤≤. 因为点A 在椭圆内，所以2b c a<，所以22ac a c <-，所以210e e +-<，解得51e -<因为51124>， 所以1154e ≤≤. 故选：D10．已知椭圆E ：22x a＋22y b ＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （3,0），过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB的中点坐标为（1，－1），则E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．223627x y +＝1 C ．222718x y +＝1D ．22189x y +＝1【答案】D 【解析】因为直线AB 过点F （3,0）和点（1，－1），所以直线AB 的方程为y ＝12（x －3），代入椭圆方程22x a＋22y b ＝1消去y ，得224a b ⎛⎫+⎪⎝⎭x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0， 所以AB 的中点的横坐标为2223224a a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，a ＝2，椭圆方程为221189x y +=．故选：D ．11．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，在x 轴上F 的右侧有一点A ，以FA 为直径的圆与椭圆在x 轴上方部分交于M N 、两点，则||||||FM FN FA +的值为（ ）A 22a b- B 22a b+C 222a b- D 222a b+【答案】A 【解析】椭圆：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），圆C ：（x ﹣R+c ）2+y 2＝R 2，联立解得e 2x 2+2（c ﹣R ）x +a 2﹣2RC ＝0， 设 M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则有x 1+x 2222R ce-=， 因为|MF |222221111()2x c y e x cx a =++=++=a +ex 1， 同理|NF |＝a +ex 2，所以|MF |+|NF |＝e （ x 1+x 2）+2a 2Re=，∴ 22||||1=||e FM FN FA a b+-故选：A.12．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点和左焦点分别为A 和F ,||3AF =,直线y kx =交椭圆于,P Q 两点(P 在第一象限),若线段AQ 的中点在直线PF 上,则该椭圆的方程为( ) A ．22195x y +=B ．2211615x y +=C ．22418118x y +=D ．2218145x y +=【答案】C【解析】根据画出椭圆()222210x y a b a b+=>>图像,如图:设点()P m n ,,则(,)Q m n --,AQ 的中点为M , 根据中点坐标公式可得:,22a m n M ---⎛⎫⎪⎝⎭ Q 有题意可知(,0)A a -,又Q ,,A Q M 三点共线,可得:PF PM k k =∴ 可得:220nn n a mm c m +-=+++ 解得:133m c m a=++ ,故3c a =——① Q ||3AF =,可得:3a c -= ——②由①②可得:92a =,32c = 根据椭圆性质:222a b c =+,可得218b =∴ 该椭圆的方程为: 22418118x y +=.故选:C.13．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点P ，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点Q 在线段2PF 的延长线上，且1,QF QP ⊥15sin 13F PQ ∠=，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．26⎫⎪⎪⎝⎭B ．155⎛ ⎝⎭C ．12,52⎛ ⎝⎭D ．2622⎝⎭【答案】D 【解析】 ∵QF 1⊥QP ，∴点Q 在以F 1F 2为直径，原点为圆心的圆上，∵点Q 在椭圆的内部，∴以F 1F 2为直径的圆在椭圆内，∴c ＜b ； ∴c 2＜a 2﹣c 2，∴212e ＜，故0＜e 22∵sin ∠F 1PQ 513=，∴cos ∠F 1PQ 1213=； 设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝n ，而|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|+|PF 2|＝m +n ＝2a ， 在△PF 1F 2中，由余弦定理得 4c 22212213m n mn =+-⋅． ∴4c 2＝（m +n ）2﹣2mn ﹣2mn •1213； 即4c 2＝4a 25013-mn ；∴mn ()222625a c =-； 由基本不等式得：mn 2()2m n +≤=a 2， 当且仅当m ＝n 时取等号；由题意知：QF 1⊥QP ，∴m ≠n ，∴mn 2()2m n +=＜a 2， ∴()222625a c -＜a 2∴a 2＜26c 2； 故2126e ＞，∴e 26综上可得：2626e 22． 故选：D ．14．已知点P 为椭圆221916x y +=上的任意一点，点12,F F 分别为该椭圆的上下焦点，设1221,PF F PF F αβ=∠=∠，则sin sin αβ+的最大值为（ ）A ．377B ．477C ．98D ．32【答案】D 【解析】设|1PF |＝m ，|2 PF |＝n ，|12F F |＝2c ，A ，B 为短轴两个端点， 由正弦定理可得()2m n csin sin sin βααβ==+， 即有()2m n csin sin sin αβαβ+=++，由椭圆定义可得e ()2724sin c a sin sin αβαβ+===+, ∴()sin sin 7sin αβαβ+=+． 在三角形21F PF 中，由m+n=2a,cos222222221242444122224m n c m n mn c b b F PF m n mn mn mn+-+--∠===-≥+⨯（）（）-1=22412b a-，当且仅当m=n 时，即P 为短轴端点时，cos 21F PF ∠最小，21F PF ∠最大， ∴()21sin sin F AF αβ+≤∠=378,∴373sin sin 27αβ+≤=，故选：D ．15．已知1F ，2F 为椭圆2214xy +=的左、右焦点，P 是椭圆上异于顶点的任意一点，点Q 是12F PF ∆内切圆的圆心，过1F 作1F M PQ ⊥于M ，O 为坐标原点，则||OM 的取值范围为（ ） A ．()0,1 B ．(2C ．(3D ．(0,23【答案】C 【解析】延长2PF ，1F M 交于N 点，连接OM ， 因为点Q 是12F PF ∆内切圆的圆心， 所以PQ 平分12F PF ∠.因为1F M PQ ⊥，所以1PN PF =⇒M 为1F N 的中点. 又因为O 为12F F 的中点， 所以2211()22OM F N PN PF ==- 121211()322PF PF F F c =-<==所以OM 的取值范围是：3). 故选：C16．设1F ，2F 是曲线22221(0,0)x ym n m n+=>>的两个焦点，曲线上一点与1F ，2F 构成的三角形的周长是16，曲线上的点到1F 的最小距离为2，则n =________． 【答案】4或5 【解析】由题知曲线22221(0,0)x y m n m n+=>>表示的是椭圆，且曲线上一点与1F ，2F 构成的三角形的周长是16， 所以22168a c a c +=⇒+=， 因为曲线上的点到1F 的最小距离为2， 所以2a c -=，有82a c a c +=⎧⇒⎨-=⎩5a =，3c =， 因为2224a b c b =+⇒=， 由于不能确定椭圆焦点所在轴， 所以4n =或5n =. 故答案为：4或5.17．在ABC V 中,30,2,3ABC A AB S ∠=︒=V 若以,A B 为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率e =__________.【答案】312【解析】因为30,2,3ABC A AB S ∠=︒==V 所以1sin 32AB AC A ⋅⋅=3AC = 由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-33423212=+-⨯=， 所以1BC =，因为以,A B 为焦点的椭圆经过点C ，所以231a AC BC =+=，22c AB ==，所以椭圆的离心率为31231c e a ===+. 故答案为：312. 18．设椭圆221259x y +=的左右焦点分别为12,F F ，过焦点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若2ABF V 的内切圆的面积为4π.设A ，B 的两点坐标分别为()11,,A x y ()22,B x y ，则12y y -值为________. 【答案】5 【解析】因为椭圆221259x y +=中，2594=-=c ，所以焦点为()14,0F -，()14,0F ， 设2ABF V 的内切圆的半径为r ， 所以24S r ππ==，得2r =，根据椭圆的定义()()221212420AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++==， 所以()222112022022ABF S AB AF BF r =++⋅=⨯⨯=V ， 又因为21212ABF AF F BF F S S S =+V V V1122121212111222y F F y F F y y F F =⋅+⋅=-⋅ 124y y =-所以12420y y -=，即125y y -=. 故答案为：5.19．已知点M 的坐标是(1,1)，1F 是椭圆22195x y+=的左焦点，P 是椭圆上的动点，则1||PF PM +的取值范围是_______． 【答案】[62,62]+.【解析】1226PF PF a +==Q那么126PF PF =-，则()12266PF PM PF PM PM PF +=-+-=+根据三角形三边关系可知，当点P 位于1P 时，2PM PF -的差最小， 此时2F 与M 点连线交椭圆于1P ， 易得22MF -=-1PF PM +也得到最小值，其值为62．当点P 位于2P 时，2PM PF -的差最大， 此时2F 与M 点连线交椭圆于2P ，易得22MF ，此时1PF PM +也得到最大值，其值为62 则所求范围是[62,62]-+． 故答案为：[62,62]+．20．点P 是椭圆2212516x y +=上一点，12F F 、是椭圆的两个焦点，且12PF F ∆的内切圆半径为1，当P 在第一象限内时，P 点的纵坐标为________． 【答案】83【解析】根据椭圆的定义可知1212106PF PF F F +==，， 令内切圆圆心为O则()121212121212PF F POF POF OF F S S S S PF r PF r F F r ∆∆∆∆=++=++ ()12121182PF PF F F =++⋅= 又∵12121|3|2PF F P P S F F y y ∆⋅==． 所以38p y =，83p y =． 故答案为：8321．设点(),0M m 在椭圆2211612x y +=的长轴上，点P 是椭圆上任意一点，当MP 最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，则实数m 的取值范围是______．【答案】14m ≤≤．【解析】设(),P x y 为椭圆上的动点，由于椭圆方程为2211612x y +=，故44x -≤≤． ()()()222222211214123164x MP x m y x m x m m ⎛⎫=-+=-+-=-+- ⎪⎝⎭ ∵当MP 最小时，点P 恰好落在椭圆的右顶点，即当4x =时，2MP 取得最小值，而[]4,4x ∈-， 故有44m ≥，解得m 1≥．又点M 在椭圆的长轴上，所以44m -≤≤．故实数m 的取值范围是[]1,4．故答案为：14m ≤≤．22．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，直线l ：3y x =与椭圆C 相交于A ，B 两点，若AF BF ⊥，则椭圆C 的离心率为：______. 31【解析】如图所示，设左焦点为1F ，连接1AF ，1BF ，由椭圆的对称性及AF BF ⊥，可知1AF BF 为矩形，∴||||||OA OF OF c ===. 由直线3y x =得60AOF ∠=︒，∴||AF c =，且130AF F ∠=︒，13AF c =.椭圆的定义可得，1||32AF AF c c a +==，∴3131c e a ==+. 3123．离心率为12的椭圆22221(0)x y a b a b+=>>恰好过抛物线216y x =的焦点F ，A 为椭圆的上顶点，P 为直线AF 上一动点，点A 关于直线OF 的对称点为Q ，则||PQ 的最小值为____________. 【答案】8217【解析】抛物线216y x =的焦点为(4,0)F ，∴4a =， 又12c a =，2c =，22224223b a c =--= 椭圆标准方程为2211612x y +=．即(0,23)A ， 直线AF 的方程为1423x +=32430x y +-=， 点A 关于直线OF 的对称点为Q ，Q 点坐标为(0,23)-，Q 到直线AF 的距离为222(23)43821(3)2d ⨯--==+， ∴PQ 的最小值是8217． 821 24．椭圆2222:1x y M a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1,F 2,F ,32a b P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若12PF PF ⊥，则M的离心率为________. 【答案】6515【解析】 22221x y a b+=Q ()1,0F c ∴-，()2,0F c,32a b P ⎛⎫ ⎪⎝⎭Q ，12PF PF ⊥， 所以22133b ba a c c ⨯=-+-， 则22220,49a c a c -+-=即221345a c = 2221345c e a ∴==， 所以65e = 6525．已知O 为坐标原点，F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点，过点F 的直线在第一象限与椭圆C 交与点P ，且POF ∆为正三角形，则椭圆C 的离心率为________. 31【解析】因为F 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，所以()0F c ，， 又点F 的直线在第一象限与椭圆C 交与点P ，且POF ∆为正三角形，边长为OF c =，所以32c P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，代入22221x y a b +=可得： 22223144c c a b+=，又222a b c =+，所以4224480a a c c -+=，所以42840e e -+=， 解得2423e =±01e <<，所以2423e =-31e =. 3126．已知12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，直线23b y =与C 交于,A B 两点，290AF B ∠=o ，且2209F AB S ∆=． （1）求C 的方程；（2）已知点P 是C 上的任意一点，不经过原点O 的直线l 与C 交于,M N 两点，直线,,,PM PN MN OP 的斜率都存在，且0MN OP k k +=，求PM PN k k ⋅的值．【答案】（1）22154x y +=（2）45 【解析】（1）由题意不妨设52,3A b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，52,3B b ⎫⎪⎪⎝⎭， 则252,33a b F A c ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ，252,33a b F B c ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ．∵290AF B ∠=o ，∴2222254099b F A F B c a ⋅=-+=u u u u r u u u u r ，∴2245a b =． 又21252202339F AB a b S ∆=⨯⋅=，∴25a b ⋅= ∴5a =2b =，故C 的方程为22154x y +=． （2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，则00OP y k x =．∵0OP MN k k +=，∴00MN y k x =-，设直线MN 的方程为()000y y x m m x =-+≠， 联立0022,1,54y y x m x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()()22222000004510540x y x mx y x x m +-+-=． ∵P 在C 上，∴22004520x y +=，∴上式可化为()2220004240x mx y x x m -+-=． ∴00122mx y x x +=，22201204m x x x x =-，()22220044160x m y m ∆=-+>， ∴()()220001212042225m y y mx y y x x m x -+=-++==， ()2200001212121220000y y y my y y x m x m x x x x m x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2222220000145y m x m y y ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭， ∴()()()2222220001*********00255m x mx y y y y y y y y y y y y y --=-++=--+ 22200025m x mx y -= ()()()2222000102012012024m x mx y x x x x x x x x x x ---=-++=． ∴1020102045PM PN y y y y k k x x x x --⋅=⋅=--． 27．已知圆C :()22116x y -+=和定点()1,0F -,M 是圆C 上任意一点,线段MF 的垂直平分线交MC于点N ,设动点N 的轨迹为E .(1)求E 的方程;(2)过点()1,0作直线l 与曲线E 相交于P ,Q 两点(P ,Q 不在x 轴上),试问:在x 轴上是否存在定点T ,总有OTP OTQ ∠=∠?若存在,求出点T 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在,定点()4,0T【解析】（1）由题,圆心C 为()1,0,半径4r =, 由垂直平分线的性质可知MN FN =,所以4FN CN MN CN MC r +=+===,所以由椭圆定义可知轨迹E 是以C 、F 为焦点的椭圆,所以24a =,即2a =,因为1c =,所以2223b a c =-=,所以轨迹方程为:22143x y += （2）存在,设存在点(),0T t 满足题意,当k 不存在时,由椭圆的对称性,x 轴上的点均符合题意；当k 存在时,设直线l 为()1y k x =-,联立()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得()()22224384120k x k x k +-+-=, 设()11,P x y ,()22,Q x y , 则2122843k x x k +=+,212241243k x x k -=+, 因为OTP OTQ ∠=∠,则0TP TQ k k +=, 所以12120y y x t x t+=--,即()1221120x y x y t y y +-+=, 所以()()12122120kx x t k x x tk -+++=, 则()2222412821204343k k k t k tk k k -⋅-+⋅+=++, 所以()24043t k k -=+,即()40t k -=, 所以当4t =时,无论k 为何值,都满足题意,所以存在定点()4,0T ,总有OTP OTQ ∠=∠28．已知椭圆2222:1x y W a b+=(0a b >>)的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 为W 的上顶点，点Q 在W 上，227PF F Q =u u u u r u u u u r ，且1167PF PQ ⋅=-u u u r u u u r . （1）求W 的方程；（2）已知过原点的直线1l 与椭圆W 交于C ，D 两点，垂直于1l 的直线2l 过1F 且与椭圆W 交于M ，N 两点，若26CD MN =，求2F CD S △. 【答案】（1）2214x y +=；（22. 【解析】（1）设椭圆W 的焦距为2c ，∵227PF F Q =u u u u r u u u u r ，∴Q 的坐标为8,77c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭.∵Q 在W 上， 将8,77Q c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭代人22221x y a b +=，得2234c a =. 又∵1167PF PQ ⋅=-u u u r u u u r ，∴()8816,777,c b c b ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭--， ∴222c b -=.又∵222a b c =+，∴24a =，21b =，W 的方程为2214x y +=. （2）当直线2l 的斜率不存在时，||2CD =，||4MN =，不符合题意；当直线2l 的斜率为0时，||4CD =，||1MN =，也不符合题意.∴可设直线2l 的方程为(()30y k x k =+≠, 联立(223,1,4y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得()222241831240k x k x k +++-=， 则21228341k x x k -+=+，212212441k x x k -=+.()()2221212241||1441k MN k x x x x k +=++-=+.由221,1,4y x k x y ⎧=-⋅⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2244x k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩或2244x k y k ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩∴()222161||4k CD k +=+. 又∵26||||MN CD =，∴()()2222241161444k k k k ++=++，∴22k =，∴||2CD =∵2F 到直线CD 的距离2311d k ==+， ∴2112222F CD S =⨯⨯=△. 29．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>2，焦距为2． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线y kx =与椭圆C 交于点E ，F ，过点E 作EM x ⊥轴于点M ，直线FM 交椭圆C 于另一点N ，证明：EF EN ⊥．【答案】（1）2212x y +=（2）见解析 【解析】（1）由题2c a =，22c =，∴2a = 1e =，1b =， 故椭圆方程为2212x y +=； （2）设00(,)E x y ，()00,F x y --，00(),M x ，则000:()2FM y l y x x x =- 与椭圆方程联立得()222222200000002240x y x x y x x y x +-+-=，由2000220022N F N x y x x x x x y +=-=+得230002200322N x y x x x y +=+，()0000000000022N N EN N N N y x x y y y y y x k x x x x x x x ---===---- 00230000022003222y y x y x x x x y =-+-+ 2200000222220000000222224y y y x y x x x x y x y +=-=⋅+-+ 2220000000000022222y x y x x x x y x y y +-=-==-， ∴00001EN EF x y k k y x ⋅=-⋅=-，即EF EN ⊥. 30．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率22e =，且椭圆过点2,1). （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与C 交于M ，N 两点，点D 在C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=u u u u r u u u r u u u r ，判断四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【答案】(1) 22142x y += (2)见解析 【解析】（1）因为椭圆C 的离心率22e =222a b -=，即222a b =. 因为点)2,1在椭圆C 上，所以22211a b +=. 由22222211a b a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩， 解得2242a b ⎧=⎨=⎩. 所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =，此时四边形OMDN 6. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程是y kx m =+， 联立方程组22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222124240k x kmx m +++-=， ()228420k m ∆=+->，122412km x x k -+=+，21222412m x x k-=+， ()121222212m y y k x x m k +=++=+. 22222421k m MN k +-=+ 点O 到直线MN 的距离是21md k =+由OM ON OD +=u u u u v u u u v u u u v ，得2412D km x k -=+，2212D m y k=+. 因为点D 在曲线C 上，所以有2222421212142km m k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得22122k m +=.由题意，四边形OMDN 为平行四边形，所以四边形OMDN 的面积为2222222421121OMDN m k m S MN d k k k +-==+++222242m k m +-=. 由22122k m +=，得6OMDN S ∆=OMDN 6.31．已知椭圆()222210y x a b a b +=>>的离心率为22，以椭圆的上焦点F 为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线40x y +-=截得的弦长为22（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆左顶点做两条互相垂直的直线1l ，2l ，且分别交椭圆于M ，N 两点（M ，N 不是椭圆的顶点），探究直线MN 是否过定点，若过定点则求出定点坐标，否则说明理由.【答案】(1) 22184y x += (2) MN 恒过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，见解析【解析】（1）∵22e =，∴22b c a ==， 设圆F 的方程为()222x y c c +-=，圆心为()0,c ，半径为c ，设d 为圆心到直线40x y +-=的距离， 则42c d -， ∵222222d r ⎛+= ⎝⎭，∴()22422c c -+=，即28200c c +-=，()()2100c c -+=，∵0c >，∴2c =. 所以椭圆的方程为22184y x +=. （2）设1l 的方程为2x ty =-，2l 的方程为12x y t=--， 联立222802y x x ty ⎧+-=⎨=-⎩，可得()222280y ty +--=， 整理()222180t y ty +-=，设()11,Mx y ， ∵M 不是椭圆的顶点， ∴12821t y t =+， 代入2x ty =-，得2124221t x t -=+， 222428,2121t t M t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 联立 2228012y x x y t ⎧+-=⎪⎨=--⎪⎩，设()22,N x y ，∴222882121t t y t t --==+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 带入12x y t =--，得2222214242=2121t t x t t ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 222428,22t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， ①若MN 斜率存在，()()()()()()2222222222228882821212=42424224221212MN t t t t t t t t k t t t t t t t t --+++++=---+--+-++ 34224243=881t t t t t +=--， MN l ：22228342=212t t t y x t t t ⎛⎫---- ⎪+-+⎝⎭ 22222334281122t t t t y x t t t t -=-⋅---++ ()()()()22222342813112t t t t t y x t t t -+-=---+ ()()3222324112t t t y x t t t +=---+ 223211t t y x t t =--- 23213t y x t ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭恒过2,03⎛⎫⎪⎝⎭. ②若MN 斜率不存在，1l 的方程为2x y =-，2l 的方程为2x y =--，28,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，28,33N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时MN l ：23x =，亦过2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭， 综上，直线MN 恒过2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭. 32．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，右焦点为(c,0)F ，左顶点为A ，右顶点B 在直线:2l x =上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上异于A ，B 的点，直线AP 交直线l 于点D ，当点P 运动时，判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．【答案】（Ⅰ）22x y 143+=；（Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切． 【解析】（Ⅰ）依题可知B （a ，0），a=2，因为c 1e a 2==，所以c=1，b 3=故椭圆C 的方程为22x y 143+=． （Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下：设点P （x 0，y 0），则()22000x y 1y 043+=≠ ①当x 0=1时，点P 的坐标为（1，±32），直线PF 的方程为x=1， D 的坐标为（2，±2）． 此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+-=与直线PF 相切．②当0x ≠1时直线AP 的方程为()00y y x 2x 2=++， 点D 的坐标为004y D 2x 2⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，BD 中点E 的坐标为002y 2x 2⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，故002y BE x 2=+ 直线PF 的斜率为0PF 0y k x 1=-，故直线PF 的方程为()00y y x 1x 1=--，即00x 1x y 10y ---=， 所以点E 到直线PF 的距离000000000222000000000x 12y 21y x 24x 4x y y 2y d BE x 2x 2x 2x 1x 2y 2(x 1)1()3(x 1)y 4--⨯-+--====+++-+-+-+-,故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当点P 运动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．33．在平面直角坐标系中，()2,0A -，()2,0B ，设直线AC 、BC 的斜率分别为1k 、2k 且1212k k ⋅=-， （1）求点C 的轨迹E 的方程；（2）过()2,0F -作直线MN 交轨迹E 于M 、N 两点，若MAB △的面积是NAB △面积的2倍，求直线MN 的方程． 【答案】(1) 22142x y +=（0y ≠）(2) 14207x y -=或14207x y += 【解析】（1）由题意，设(),C x y ，则12y k x =+，22y k x =-， 又由2122142y k k x ==--，整理得22142x y +=， 由点,,A B C 不共线，所以0y ≠，所以点C 的轨迹方程为221(0)42x y y +=≠. （2）设()11,M x y ，()22,N x y ，易知直线MN 不与x 轴重合，设直线:2MN x my = 联立方程组222142x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，整理得得()2222220m y my +--=， 易知>0∆，且122222m y y m +=+，122202y y m -=<+ 由2MAB NAB S S =V V ，故122y y =，即122y y =-，从而()2212122122141222y y y y m y y m y y +-==++=-+， 解得227m =，即14m =， 所以直线MN 的方程为14207x y -=或14207x y ++=． 34．已知点A ，B 的坐标分别为()2,0-，()2,0，三角形ABM 的两条边AM ，BM 所在直线的斜率之积是34-。
2019-2020年高考数学大二轮专题复习第二编专题整合突破专题六解析几何第二讲椭圆双曲线抛物线适考素能特训
2019-2020年高考数学大二轮专题复习第二编专题整合突破专题六解析几何第二讲椭圆双曲线抛物线适考素能特训理一、选择题1．[xx·陕西质检(一)]已知直线l ：x －y －m ＝0经过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，l 与C 交于A 、B 两点．若|AB |＝6，则p 的值为( )A.12B.32 C ．1 D ．2答案 B解析 因为直线l 过抛物线的焦点，所以m ＝p2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －p 2＝0y 2＝2px得，x 2－3px ＋p 24＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3p ，故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4p ＝6，p ＝32，故选B.2．[xx·沈阳质检]已知P 是双曲线x 23－y 2＝1上任意一点，过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ，则PA →·PB →的值是( )A ．－38B.316C ．－38D ．不能确定答案 A解析 令点P (x 0，y 0)，因为该双曲线的渐近线分别是x3－y ＝0，x3＋y ＝0，所以可取|PA |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 03－y 013＋1，|PB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 03＋y 013＋1，又cos ∠APB ＝－cos ∠AOB ＝－cos2∠AOx ＝－cos π3＝－12，所以PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|·cos∠APB ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 203－y 2043·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－38，选A. 3．[xx·南昌三模]已知抛物线y 2＝2px (p >0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )A.2＋2B.5＋1C.3＋1D.2＋1答案 D解析 本题考查抛物线的性质、双曲线的离心率．由题意得点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，又因为AF ⊥x 轴，所以点A 的横坐标为p2，因为点A 为抛物线与双曲线的交点，不妨设点A 位于第一象限，则y A ＝2px A ＝p ，即点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，p ，又因为点F 为双曲线与抛物线的相同的焦点，所以c ＝p2，则点A 的坐标为(c,2c )，代入双曲线的方程得c 2a 2－4c 2b2＝1，结合c 2＝a 2＋b 2，化简得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，解得双曲线的离心率e ＝ca＝2＋1，故选D.4．[xx·黄冈质检]在以O 为中心，F 1，F 2为焦点的椭圆上存在一点M ，满足|MF 1→|＝2|MO→|＝2|MF 2→|，则该椭圆的离心率为( )A.22B.33C.63D.24答案 C解析 延长MO 与椭圆交于N ，因为MN 与F 1F 2互相平分，则四边形NMF 1F 2为平行四边形，则|MN |2＋|F 1F 2|2＝|MF 1|2＋|MF 2|2＋|NF 1|2＋|NF 2|2，又|MF 1|＋|MF 2|＝2|MF 2|＋|MF 2|＝3|MF 2|＝2a ，故|NF 1|＝|MF 2|＝23a ，|NF 2|＝|MF 1|＝43a ，|F 1F 2|＝2c ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫43a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43a 2＋(2c )2，即c 2a 2＝23，故e ＝63.5．[xx·重庆测试]若以F 1(－3,0)，F 2(3,0)为焦点的双曲线与直线y ＝x －1有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为( )A.62B.355C.32D. 3答案 B解析 由题意知c ＝3，∴e ＝3a ，∴a 越大e 越小，而双曲线为x 2m －y29－m＝1，把直线y ＝x －1代入化简整理得(9－2m )x 2＋2mx －10m ＋m 2＝0，由Δ＝0得m ＝5，于是a ＝5，e ＝3a＝355，故选B. 6．[xx·金版原创]在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴相交于B ，C 两点，若△ABC 是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫6－22，5－12B.⎝⎛⎭⎪⎫6－22，1C.⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1D.⎝⎛⎭⎪⎫0，5－12 答案 A解析 本题考查椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系．利用直线与圆的位置关系建立椭圆基本量的关系求解离心率．由题意可得，圆心A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，r ＝b 2a ，由三角形ABC 是锐角三角形得∠BAC <90°，则c ＝r ·cos ∠BAC 2>r ·cos45°，即c >22r .又依题意c <b 2a ，即22<cb2a<1，化简得⎩⎨⎧c 2＋2ac －a 2>0，c 2＋ac －a 2<0，两边同时除以a 2，关于离心率e 的不等式组为⎩⎨⎧e 2＋2e －1>0，e 2＋e －1<0，解得6－22<e <5－12，故选A. 二、填空题7．[xx·唐山统考]焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________．答案x 25－y 220＝1 解析 设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ>0)，即x 2λ－y 24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.8．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________．答案 94解析 易知直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，与y 2＝3x 联立并消去x ，得4y 2－123y －9＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝33，y 1y 2＝－94.S △OAB ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×34y 1＋y 22－4y 1y 2＝3827＋9＝94. 9．[xx·山东莱芜一模]已知圆G ：x 2＋y 2－22x －2y ＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点及上顶点．过椭圆外一点M (m,0)(m >a )，倾斜角为2π3的直线l 交椭圆于C ，D 两点，若点N (3,0)在以线段CD 为直径的圆E 的外部，则m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，2303解析 ∵圆G ：x 2＋y 2－22x －2y ＝0与x 轴，y 轴交点为(22，0)和(0,2)， ∴c ＝22，b ＝2，∴a 2＝b 2＋c 2＝12， ∴椭圆方程为x 212＋y 24＝1， 设直线l 的方程为y ＝－3(x －m )(m >23)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x －m ，x 212＋y 24＝1得10x 2－18mx ＋9m 2－12＝0.由Δ＝324m 2－40(9m 2－12)>0， 可得－2303<m <2303，∴23<m <2303. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， x 1＋x 2＝9m 5，x 1·x 2＝9m 2－1210，NC →·ND →＝(x 1－3，y 1)·(x 2－3，y 2)＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝4x 1x 2－(3m ＋3)(x 1＋x 2)＋9＋3m 2>0. 化简得2m 2－9m ＋7>0，解得m >72.∴m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫72，2303.三、解答题10．[xx·贵阳质检]设点F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a >1)的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且PF 1→·PF 2→的最小值为0.(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 有且仅有一个公共点，作F 1M ⊥l ，F 2N ⊥l 分别交直线l 于M ，N 两点，求四边形F 1MNF 2面积S 的最大值．解 (1)设P (x ，y )，则PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，∴PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－c 2＝a 2－1a2x 2＋1－c 2，x ∈[－a ，a ]，由题意得，1－c 2＝0，c ＝1，则a 2＝2， ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)将直线l 的方程l ：y ＝kx ＋m 代入椭圆C 的方程x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx＋2m 2－2＝0，由直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点知Δ＝16k 2m 2－4(2k 2＋1)(2m 2－2)＝0， 化简得m 2＝2k 2＋1.设d 1＝|F 1M |＝|－k ＋m |k 2＋1，d 2＝|F 2N |＝|k ＋m |k 2＋1. ①当k ≠0时，设直线l 的倾斜角为θ， 则|d 1－d 2|＝|MN |·|tan θ|，∴|MN |＝1|k |·|d 1－d 2|，∴S ＝12·1|k |·|d 1－d 2|·(d 1＋d 2)＝2|m |k 2＋1＝4|m |m 2＋1＝4|m |＋1|m |， ∵m 2＝2k 2＋1，∴当k ≠0时，|m |>1，|m |＋1|m |>2，即S <2. ②当k ＝0时，四边形F 1MNF 2是矩形，此时S ＝2. ∴四边形F 1MNF 2面积S 的最大值为2.11．已知过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝92.(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 的准线为l ，焦点为F ，点P 为直线m ：x ＋y －2＝0上的动点，且点P 的横坐标为a ，试讨论当a 取不同的值时，圆心在抛物线C 上，与直线l 相切，且过点P 的圆的个数．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入y 2＝2px ，得4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4，由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9p 4＝92，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程是y 2＝4x .(2)解法一：由题意知l ：x ＝－1，F (1,0)．∵所求圆的圆心在抛物线上，且与直线l 相切，则圆过焦点F ，又圆过点P ，∴圆心在线段PF 的中垂线上，设P (a,2－a )，则线段PF 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12，2－a 2，当a ≠1，a ≠2时，k PF ＝2－a a －1，∴线段PF 的中垂线方程为y ＝a －1a －2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋12＋2－a 2，化简得y ＝a －1a －2x ＋－2a 2＋4a －32a －2① 圆的个数即中垂线与抛物线的交点的个数，将x ＝y 24代入①得a －14a －2y 2－y ＋－2a 2＋4a －32a －2＝0，判别式Δ＝1－4·a －14a －2·－2a 2＋4a －32a －2＝1＋a －12a 2－4a ＋32a －22＝2a －22＋2a 3－6a 2＋7a －32a －22＝2a 3－4a 2－a ＋52a －22＝a ＋12a 2－6a ＋52a －22，∴当a ＝－1时，交点有1个，圆有1个； 当a <－1时，交点有0个，圆有0个；当a >－1且a ≠1，a ≠2时，交点有2个，圆有2个． 而当a ＝2时，易验证有2个交点，圆有2个； 当a ＝1时，易知交点有1个，圆有1个． 综上所述：当a <－1时，圆有0个； 当a ＝±1时，圆有1个； 当a >－1，且a ≠1时，圆有2个．解法二：设圆心Q (x 0，y 0)(y 20＝4x 0)，P (a,2－a )，由于准线l ：x ＝－1，故若存在圆Q 满足条件，则r ＝|PQ |＝x 0－a2＋y 0＋a －22，且r ＝|x 0＋1|，∴(x 0－a )2＋(y 0＋a －2)2＝(x 0＋1)2，即a 2＋y 20＋2(a －2)y 0＋(a －2)2＝(2＋2a )x 0＋1＝(2＋2a )y 204＋1，整理得(1－a )y 20＋(4a －8)y 0＋4a 2－8a ＋6＝0 (*)， 当a ＝1时，(*)式即－4y 0＋2＝0，有1个解． 当a ≠1时，(*)式中Δ＝(4a －8)2－4(1－a )(4a 2－8a ＋6)＝16a 3－32a 2－8a ＋40＝8(a ＋1)(2a 2－6a ＋5)，∵2a 2－6a ＋5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋12>0，∴当a >－1时，Δ>0，(*)式有2个解； 当a ＝－1时，Δ＝0，(*)式有1个解； 当a <－1时，Δ<0，(*)式无解． 综上，当a <－1时，圆有0个； 当a ＝±1时，圆有1个； 当a >－1，且a ≠1时，圆有2个．12．[xx·山西太原二模]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋6＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P (4,0)，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，直线AE 与x 轴相交于点Q ，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM →·ON→的取值范围．解 (1)∵e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，∴ba＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32.据另一个题设条件得：b ＝r ＝612＋－12＝ 3.∴a ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设B (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，据题意A (x 1，－y 1)，且y 1≠0.设直线PB 的方程为x ＝my ＋4，把它代入x 24＋y 23＝1并整理得(3m 2＋4)y 2＋24my ＋36＝0，∴y 1，y 2是该方程的两根，∴y 1＋y 2＝－24m 3m 2＋4，y 1y 2＝363m 2＋4.(*)直线AE 的方程为y ＋y 1＝－y 1－y 2x 1－x 2(x －x 1)，令y ＝0得点Q 的横坐标x Q ＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2.∵x 1＝my 1＋4，x 2＝my 2＋4， ∴x Q ＝my 1＋4y 2＋my 2＋4y 1y 1＋y 2＝2my 1y 2＋4y 1＋y 2y 1＋y 2将(*)式代入得x Q ＝1.①当直线MN 与x 轴不重合时，设直线MN 的方程为x ＝ny ＋1，并设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)． 把x ＝ny ＋1代入3x 2＋4y 2＝12整理得(3n 2＋4)y 2＋6ny －9＝0，y 3，y 4是该方程的两根， ∴y 3＋y 4＝－6n 3n 2＋4，y 3y 4＝－93n 2＋4.(**)OM →·ON →＝x 3x 4＋y 3y 4＝(ny 3＋1)(ny 4＋1)＋y 3y 4＝(1＋n 2)y 3y 4＋n (y 3＋y 4)＋1，把(**)代入并整理得 OM →·ON →＝－12n 2＋53n 2＋4.∵12n 2＋53n 2＋4＝4－113n 2＋4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，4， ∴OM →·ON →∈⎝⎛⎦⎥⎤－4，－54.②当直线MN 与x 轴重合时，OM →·ON →＝2×2×cos180°＝－4. 综上所述，OM →·ON →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，－54.。
2020版高考数学大二轮复习专题五解析几何第二讲圆锥曲线的方程与性质课件理
第二讲 圆锥曲线的方程与性质
C目录 ONTENTS
考点一 考点二 考点三 4 限时规范训练
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[考情分析·明确方向] 1．圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以 选择、填空题的形式考查，常出现在第 4～11 或 15～16 题的位 置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等． 2．通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的 考查，着重考查了数学抽象、数学建模与数学运算三大核心素 养．
1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)； (2)双曲线：|PF1|－|PF2|＝2a(2a<|F1F2|)； (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点 F 不在直线 l 上，PM⊥l 于 M. 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”． 所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计 算”，就是指利用待定系数法求出方程中的 a2，b2，p 的值．
(1)(2019·铁东区校级三模)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)
的焦点为 F，点 M(x0,2 2)是抛物线 C 上一点，圆 M 与线段
MF 相交于点 A，且被直线 x＝p2截得的弦长为 3|MA|，若||MAFA||
＝2，则|AF|＝( )
A．32
B．1
C．2
D．3
解析：如图，圆心 M 到直线 x＝p2的距离 d＝x0－p2，① 圆 M 的半径 r＝|MA|，
1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆 C 的焦点为 F1(－1,0)，F2(1,0)，
过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，
则 C 的方程为( )
2020版高考数学二轮复习第二部分专题五解析几何高考解答题的审题与答题示范(五)(含解析)
高考解答题的审题与答题示范(五)
解析几何类解答题
[思维流程]——圆锥曲线问题重在“设”与“算"
［审题方法]—-审方法
数学思想是问题的主线,方法是解题的手段．审视方法，选择适当的解题方法，往往使问题的解决事半功倍．审题的过程还是一个解题方法的抉择过程，开拓的解题思路能使我们心涌如潮，适宜的解题方法则帮助我们事半功倍．
典例(本题满分14分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：错误!＋y2＝1上，过点M作x轴的垂线，垂足为N,点P满足错误!＝错误!错误!。
（1）求点P的轨迹方程；。
(新高考)2020高考数学复习专题五解析几何第二讲小题考法(二)——圆锥曲线的方程与性质课件
得x＝32， y＝ 23，
所以M32， 23，所以|OM|＝
322＋ 232＝ 3，
所以|MN|＝ 3|OM|＝3，故选B.
答案：B
4．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)的离心率为
3，则其渐近线方程为
()
A．y＝± 2x
第二讲 小题考法(二)——圆锥曲线的方程与性质
一、高考真题集中研究——明规律
题组(一) 椭圆
1．(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆 C 的焦点为 F1(－1,0)，F2(1,0)，
过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|
＝|BF1|，则 C 的方程为
()
A.x22＋y2＝1
பைடு நூலகம்
2．(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C 上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则 |FN|＝________. 解析：依题意，抛物线C：y2＝8x的焦点F(2,0)，因为M是 C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设 M(a，b)(b>0)，所以a＝1，b＝2 2，所以N(0，4 2)，|FN| ＝ 4＋32＝6. 答案：6
＋
y2 b2
＝
1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一
点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴
交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 ( )
A.13
B．12
2 C.3
D．34
解析：如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)． 设E(0，m)，由PF∥OE，得||MOEF||＝||AAOF||， 则|MF|＝maa－c.①
(名师讲坛)2020版高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲圆锥曲线课件
率为
10 10 .
5. (选修 2－1 P57 练习 6)已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的焦点到相应准线的距离等于 －1＋ 5
a，那么椭圆的离心率为_____2_______．
准线方程：x＝±ac2 【解析】设椭圆的右焦点为(c,0)，右准线为 x＝ac2.由题知ac2－c＝a，即 a2－c2＝ac，
两边同时除以 a2，得 1－ac2＝ac，即 e2＋e－1＝0，解得 e＝－1＋2 5或－1－2 5.又 0<e<1，
所以椭圆的离心率为 e＝－1＋2
5 .
举题固法
目标 1 圆锥曲线的定义及标准方程 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：ax22＋by22
＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F 1，F 2，上顶点为 B，直线 BF 2 交椭圆于点 C，△BF 1C 的周长为 4 5.
－5c
2
2bc2 2
代入椭圆方程得2c2－5 5 ＋2c2b－2 5 ＝1，得 c2＝1，
所以 b2＝4，所以椭圆 E 的方程为x52＋y42＝1.
(1) 设 F 的直线交椭圆 E 于 A，B
两1，点F．若2 分A别F 是1＝椭3F圆1BE，：AFx2＋2⊥byx22＝轴1，(则0<椭b<圆1)E的的左方、程右为焦_点_x_2，＋__过32_y_2点_＝__F1_．1
ax22－by22＝1 的渐近线方程为 y＝±bax 【解析】双曲线 x2－my22＝1(m>0)的渐近线方程为 y＝±mx，因为该双曲线的一条渐