中考数学核心知识专题练习10〔动点路径(轨迹)问题〕
1
中考数学核心知识点专题练习（十）
〔动点路径（轨迹）问题〕
班级__________ 座号________ 姓名____________
符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的
集合，叫做满足该条件的点的轨迹．
“动点路径”是一个比较抽象的问题，但在高中解析几何中的学习是非常有用的，
也是非常重要的。在研究动点问题时，可以在运动中寻找不变的量，即不变的数量关
系或位置关系．如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直
线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，那么其中不变的量便是该动点
到某个定点的距离始终保持不变．因此，解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找变量
与不变的关系。
六种常用的基本轨迹：
①到已知线段的两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线。
②到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线。
③到已知直线的距离等于定长的点的轨迹是与这条直线平行，且与已知直线的距
离等于定长的两条直线。
④到两条平行线距离相等的点的轨迹是和这两条平行线平行且到这两条平行线
距离相等的一条直线。
⑤到定点的距离等于定长的点轨迹是与定点为圆心，定长为半径的圆。
⑥和已知线段的两个端点的连线的夹角等于已知角的点的轨迹是以已知线段为
弦，所含圆周角等于已知角的两段弧（端点除外）。
一、填空：
1．如图：已知AB=10，点C、D在线段AB上且AC=DB=2；
P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB
的同侧作正方形APEF和正方形PBGH，点O1和O2是
两个正方形的中心，连接O1O2，设O1O2的中点为Q；
当这点P从点C运动到点D时，则点Q移动路径的长
是___________．
2．如图，∠MON=90°，定长线段AB=10，两个端点分别在OM、
ON上滑动，则AB的中点P运动的路径长为___________．
N
O
M
P
A
B
O
2
O
1
PHGFEBAQDC
2
3．在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，3），
过点B作直线∥x轴，点P(,3)a是直线上的
动点，以AP为边在AP右侧作等腰RtAPQ，
∠APQ=90°，直线AQ交y轴于点C．
（1）当a=1时，则点Q的坐标为 __ ___ ；
（2）当点P在直线上运动时，点Q也随之运
动．当a= _______ 时，AQ+BQ的值最小为 _________ ．
4．如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、
PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接
CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，
则点G移动路径的长是______________．
5．如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠ACB=300，
BC=8，D为线段AB上的动点，过点A作AH⊥CD
于点H，连接BH，则
①AB的长为 ；
②BH的最小值为 .
6．若3xt，5yt，则y与x之间的关系是 _________ ．
7．不论m取任何实数，抛物线2221yxmxmm的顶点都在一条直线上，
则这条直线的函数表达式是 ．
8．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，
点A在反比例函数1yx的图象上．设点B的坐标
为(,)mn，则n与m的等量关系是______________．
9．如图，在RtABC中，ABAC，D是AC中点，
动点E、F分别在AB、BC上（点E、F均与点
B
不重合），且90EDF，则AO的最小值是
____________．
A
B
C
D
H
O
F
DC
B
A
E
y
xBAO
y
x
Q
C
B
A
O
P
3
二、解答题：
1．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，
F，连接AF，BE相交于点P．且AE=CF；
（1）求证：AF=BE，并求∠APB的度数；
（2）若AE=2，试求AP•AF的值；
（3）当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．
2．如图，ABC的顶点分别为)0,32(A，)2,0(B，)6,0(C，
点D为边AC上的一个动点，过D作BCDE于E，P
为BD中点，连结PA、PE.
（1）填空：AB ，BC ，AC ；
（2）当点P落在x轴上时，试判断四边形APED的形状，
并说明理由；
（3）请问在运动过程中，APE的大小是否变化？若不变，
求出APE的度数；若变化，请说明理由；
（4）设P的坐标为),(nm，求n与m的函数表达式，并写
出自变量m的取值范围．
y
x
PEDCBAO
4
3．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点为，直线y=kx+2与x轴、y轴分别交于A、
B两点，动点D在射线AO上，将线段DB绕着点D 顺时针旋转90°得到线段DC．设
点D的横坐标为m．
（1）请直接写出B点的坐标；
（2）当k为何值时，四边形ADCB为平行四边形？
（3）当△BOC的周长最小时，求m的值．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0,2），点P是x轴上一动点，以线段AP
为一边，在其一侧作等边三角形APQ. 当点P运动到原点O处时，记Q得位置
为B.
（1）求点B的坐标；
（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，
∠ABQ为定值.
y
x
C
B
A
O
D
5
5．如图，△ABC、△ADE都是等边三角形，点G为射线BD，CE的交点．
（1）求证：BD=CE；
（2）若AB=2，AE=1，将△ADE绕点A旋转．
①当∠EAC= 60°时，求GB 的长；
②点N为CE的中点，在整个旋转过程中，求线段
AN长的范围．
6．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点
P为射线BD，CE的交点．
（1）求证：BD=CE；
（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，
①当∠EAC=90°时，求PB的长；
②直接写出旋转过程中线段PB长的最小值与最大值．
G
E
D
C
B
A
6
7．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为6,6，将正方形
ABCO绕点C逆时针旋转角度900，得到正方形CDEF
，ED交
线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连结CH、CG．
（1）求证：CG平分DCB；
（2）在正方形ABCO绕点C逆时针旋转的过程中，HCG的度数是否为定值？
并直接写出线段HG、OH、BG之间的数量关系；
（3）连接BD、DA、AE、EB，在旋转过程中，四边形AEBD能否成为矩
形？若能，试求出直线DE 的解析式；若不能，请说明理由．
8．在ABC中，ACAB，4BC，25tanABC，将ABC绕点C逆时针
旋转得到CBA11．
（1）如图1，当点B在线段11BA上时，连接1AA．
①求证：四边形CBAA11是平行四边形； ②求四边形CBAA11的面积；
（2）如图2，若点P为线段AB上的动点，在ABC绕点C逆时针旋转过程中，
点P 的对应点是1P，设BC边的中点为E，求线段EP1的取值范围．
A
B
C
G
H
D
E
F
x
y
O
E
P
1
P图2CBAB1A
1
B1
A1
A
1
B
1
A
B
C
图1
初中数学动点问题及练习题带答案
初中数学动点问题及练习题附参考答案所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查。
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．专题一：建立动点问题的函数解析式函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式。
数学动点问题及练习题附答案
初中数学动点问题及练习题附参考答案专题一：建立动点问题的函数解析式函数提醒了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要容.动点问题反映的是一种函数思想,由于*一个点或*图形的有条件地运动变化,引起未知量与量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.则,我们怎样建立这种函数解析式呢"下面结合中考试题举例分析.一、应用勾股定理建立函数解析式。
二、应用比例式建立函数解析式。
三、应用求图形面积的方法建立函数关系式。
专题二：动态几何型压轴题动态几何特点----问题背景是特殊图形，考察问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性〔特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
〕动点问题一直是中考热点，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
一、以动态几何为主线的压轴题。
〔一〕点动问题。
〔二〕线动问题。
〔三〕面动问题。
二、解决动态几何问题的常见方法有:1、特殊探路，一般推证。
2、动手实践，操作确认。
3、建立联系，计算说明。
三、专题二总结，本大类习题的共性：1．代数、几何的高度综合〔数形结合〕；着力于数学本质及核心容的考察;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数．2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值。
专题三：双动点问题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考察学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点，现采撷几例加以分类浅析，供读者欣赏.1 以双动点为载体，探求函数图象问题。
中考数学动点问题专题练习(含答案)
动点专题一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式AEDCB 图2H M NG PO A B 图1 x yC例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题．1．（09年徐汇区）如图，ABC ∆中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长；（2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时，求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE的长．（二）线动问题AB C O 图8HABCDEOlA ′2,在矩形ABCD 中，AB ＝3，点O 在对角线AC 上，直线l 过点O ，且与AC 垂直交AD 于点E.(1)若直线l 过点B ，把△ABE 沿直线l 翻折，点A 与矩形ABCD 的对称中心A ＇重合，求BC 的长； (2)若直线l 与AB 相交于点F ，且AO ＝41AC ，设AD 的长为x ，五边形BCDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围；②探索：是否存在这样的x ，以A 为圆心，以-x 43长为半径的圆与直线l 相切，若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．解决动态几何问题的常见方法有:一、 特殊探路，一般推证例2：（2004年广州市中考题第11题）如图，⊙O1和⊙O2内切于A ，⊙O1的半径为3，⊙O2的半径为2，点P 为⊙O1上的任一点（与点A不重合），直线PA 交⊙O2于点C ，PB 切⊙O2于点B ，则PC BP的值为 （A ）2 （B ）3 （C ）23（D ）26二、 动手实践，操作确认例4（2003年广州市中考试题）在⊙O 中，C 为弧AB 的中点，D 为弧AC 上任一点（与A 、C 不重合），则（A ）AC+CB=AD+DB (B) AC+CB<AD+DB(C) AC+CB>AD+DB (D) AC+CB 与AD+DB 的大小关系不确定例5：如图，过两同心圆的小圆上任一点C 分别作小圆的直径CA 和非直径的弦CD ，延长CA 和CD 与大圆分别交于点B 、E ，则下列结论中正确的是（ * ）（A ）AB DE = （B ）AB DE >AB（C ）AB DE <（D ）AB DE ,的大小不确定三、 建立联系，计算说明例6：如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，且DM=1，N 为对角线AC 上任意一点，则DN+MN 的最小值为 .以圆为载体的动点问题例1. 在Rt ABC ∆中，AC ＝5，BC ＝12，∠ACB ＝90°，P 是AB 边上的动点（与点A 、B 不重合），Q 是BC 边上的动点（与点B 、C 不重合），当PQ 与AC 不平行时，△CPQ 可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ 的长的取值范围；若不可能，请说明理由。
2018年中考动点路径专题.docx
之动点线路的长度问题1. （2015•黄陂区校纟及模拟）如图，扇形AOD中，ZAOD=9L, OA=6,点P为弧AD上任意一点（不与点财口D重合）,PQ丄0D于Q,点I为-OPQ的内心，过0, I和D三点的圆的半径为「则当点P在弧AD上运动时，r的值满足（）A. 0<r<3 B・ r=3 C・3«3忑 D・I=3A/2【解答】解：如图，连01, PI, DI,•.•△OPH的内心为I,J.ZIOP=ZIOD, ZIPOZIPH,/.ZPI01800- ZIPO- ZIOP=180°-(ZHOP+ZOPH),而PH1OD,即ZPHO90%/.ZPIO=180°-- (ZHOP+ZOPH) =180。
一- (180°-90。
)=135%2 2在△OPI和厶。
】中，TO 二10« ZPOI^ZDPI〉.0D二OP.".AOPI^AODI (SAS),/.ZDIOZPIO135%所以点I在以0D为弦，并且所对的圆周角为135。
的一段劣弧上; 过D、I、O三点作OOS如團，连OD, 0 0, 在优弧DO取点F,连PD, PQ,■/ZDIO135%/.ZDP f O180°- 135°=45%/.ZDO r090% 而0D=6,.\OO r=DO f=3V2,・•』的值为3伍.故选：D.2、在平面直角坐标系中，点65昔着某条路径运动，以点励旋转中心，将点/1(0, 4)逆时针旋转90°到点3%, 1)・若_5冬於5,则点犯动的路径长为 __________________________________5>/2 ・【解析】试题分析：如图右在菸由上取gP(0, 1)彳厘游直线列幸地倂皿丄0吒片，^CNllTN,率造RtA Bcr^RtAACM, iWra, is 接虫苑则点C在ZBPO的平分缕E进而鶴出动枣在直逐动；再分啊情列団仑c的路径端点坐标：①当m=-5时，B (-5, 1) , PB二5,轴于皿ftcffi于N,同理可得△氐醛2\血呱.・・CM=CN, BN=AM,可设PN=PM=€N=CM=a, TP (0, 1) , A (0, 4),二AP=3, AM=BN=3+a, /.PB=a+3+a=5, /.a=l, /.C (-1, 0);②当ITF5时，B (5, 1),如图2中的B】,此时的动点、C杲图2中的C],同理可得C] (4, 5),・・・C的运动路径长就是CC1的长，由勾股定理可得，CC]二』4-(-1)丁+5, =5>/2 ・故答案为：5迈・3.如图，扇形如的圆心角的度数为120°,半径长为4,戲弧屈上的动点，P 肚OA, PNVOB,垂足 分别为駅N,堤△加的外心.当点/运动的过程中，点駅A 分别在半径上作相应运动，从点人离开 点印寸起，至U 点厢达点对止，点庞动的路径长为（）当点M 与点。
中考总复习-动点产生的路径长问题
中考总复习——动点运动的路径长问题 姓名_____________学号____________前言：动点运动的路径长一般有两种情况：（1）“直”路径；（2）“弯”路径（到定点的距离相等，或定长定角）解题方法：1、判断路径是“直”还是“弯”（可采用三点法，找出起始位置，中间位置，结束位置）2、找出起点和终点；3、求路径长例题1：如图，等边ABC ∆的边长为4cm ，动点D 从点B 出发，沿射线BC 方向移动，以AD 为边作等边ADE ∆，在点D 从点B 开始移动至点C 的过程中，请判断点E 的运动轨迹，并求其运动路径的长。
解题策略：可通过作图，找三个点确定点E 的运动轨变是直线还是圆弧（初学的时候可通过几何画板来探究一下），然后把图形画出来，并确定路径的起点和终点，最终求出路径的长度。
分析：如图，可判断点E 的轨迹是一条直线，且点C 和'C 分别为起点和终点，易证ABD ∆≌ACE ∆，所以点E 在CE 所在直线上运动。
且BC CC ='，所以点E 的运动路径的长为4cm .例题2：如图，AB 为⊙O 的直径，8=AB ，点C 为圆上任意一点，点D 为AC 的中点，当点C 在⊙O 上从点A 出发，顺时针运动︒180，求点D 运动的路径长。
分析：因为点D 为AC 的中点，由垂径定理可知︒=∠90ADO ，由定长定角可知点D 在以AO 为直径的圆弧上运动.当点C 在点A 处为起点，当点C 在点B 时为终点，如图所示，可知点D 的运动路径为一个半圆。
所以点D 的路径长为：ππ22221=⨯⨯练习1：如图，P 是线段BC 上一动点，BC=10，A 为线段BC 外一定点，连接AP ，取AP 中点Q ，当点P 从点B 运动到点C 时，点Q 的运动路径长为___________练习2：如图，已知10=AB ，P 是线段AB 上的动点，分别以AP 、PB 为边在线段AB 的同侧作等边ACP ∆和等边PDB ∆，连接CD ，设CD 的中点为G ，当点P 从点A 运动到点B 时，则点G 移动路径的长为________练习3：如图，矩形ABCD 中，6=AB ，2=AE ，动点P 从点A 出发，沿AB 运动点到点B 停止。
动点的路径长问题
一、运动路径是圆弧
1.如图，在Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=BC=4， 点P在AC上运动，将纸片沿PB折叠，得到点C的对应点 D（P在C点时，点C的对应点是本身），则折叠过程对 应点D的路径长是 2π ．
2.如图，一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处，此时BC为1米， 当A点下滑至A'处并且A'C=1米时，木棒AB的中点P运动的 路径长为 _________ 米．
3.如图，直线y=﹣x+4与两坐标轴交A、B两点，点P为线段 OA上的动点，连接BP，过点A作AM垂直于直线BP，垂足 为M，当点P从点O运动到点A时，则点M运动路径的长 为 ．
二、运动径是线段
4.如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB 为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD 的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长 是_____．
小结
本节课你的收获是什么？
以上例题刚好反映了初中数学轨迹问题中的 两种典型情况．此类问题的解题策略便是确定 动点的路径形状，关键是从特殊点入手，通过 猜想，转化，数形结合，化动为静等数学思想 方法，运用恰当的数学知识，找到变化过程中 不变的量，从而找到解题的突破口．
课后思考题
如图，已知点A是第一象限内横坐标为2 的一个定点，AC⊥x 轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点， ∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变， B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长 是 ．
此类问题的解题策略便是确定动点的路径形状关键是从特殊点入手通过猜想转化数形结合化动为静等数学思想方法运用恰当的数学知识找到变化过程中不变的量从而找到解题的突破口
初中常见的动点轨迹问题归纳与突破策略
②“定边对定
角”的动点轨迹为在以定边为弦且经过定点的圆弧
上 . 直线型中常见的有四种 ：①动点到定直线的距离
相等 ，那么该动点的轨迹为平行与该直线的直线 ；
②
一、动点的运动轨迹为圆弧型
同弧所对的圆周角相等 ，反之 ，如图 1，如果一个
动点 M ，
以 M 为顶点的角 ∠AMB 始终不变 ，
动点轨迹；圆弧型；直线型；定边对定角；夹角定位法
初中数学动点轨迹问题是一个比较抽象的问题，
动点轨迹问题在初中数学的学习中，
以及以后高中数
学的学习中都是非常重要的 . 动点轨迹问题的解决策
略是化动为静，
寻找运动过程中的不变量 .
初中阶段常见的动点轨迹有圆弧型与直线型 . 圆
弧型中又分为两种 ：①动点到定点的距离等于定长 ，
且这个定角的对边是定边 .
动点到线段两个端点的距离相等，
该动点的轨迹为该
线段的垂直平分线（线段垂直平分线的判定定理）；
③
动点到角两边距离相等，
该动点的轨迹为这个角的角
平分线（角平分线的判定定理）；
④动点与定点的连线
与定直线的夹角为定角，
那么该动点的轨迹为这个夹
角的另一边 .
图1
图2
由于“圆弧型中动点到定点的距离等于定长 ，那
角的动点轨迹）进行分析讲解：题目中如能找到定边对定角，则该动点的运动轨迹为在以定边为弦且经过定点的圆弧上，
这一类型关键的突破口是求出定边对面角的具体度数，为定值 . 而题目中如出现动点与定点的连线与定直线的夹角为定
关键词
角时，则该动点的轨迹为直线型（这个夹角的另一边），解决这一类型的方法为夹角定位法 .
中考数学专题复习-路径长
复习专题：动点运动的路径长问题【学习目标】1、正确判断动点运动路径的“直"和“弯”；2、确定动点运动路径的“起点”和“终点”；3、熟练求动点运动路径的长度【导学指导】一、知识链接1、平行四边形的性质2、三角形的中位线3、圆的定义、性质及判定二、自主探究（一）“直”路径问题1：如图，已知AB=10，P是线段AB上的动点,分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，则点G移动路径的长是问题1图巩固练习1图【巩固练习1】如图,二次函数4212+--=x x y 的图象与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，动直线l 从与直线AC 重合的位置出发，绕点A 顺时针旋转,与直线AB 重合时终止运动，直线l 与BC 交于点D,P 是线段AD 的中点，则点P 所经过的路线长为 （二）“弯"路径问题2:将两块全等的三角板ABC 和DEC 按如图所示的位置放置．∠B=60°，AC=2，若三角板ABC 绕点C 沿逆时针方向旋转，使点E 恰好落在斜边AB 上，则点A 运动路径的长度为方法总结：当判断出点的路径为一段 时，关键在于找出 及 的度数问题2图 问题3图 巩固练习2问题3：如图，在Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=BC=4，点P 在AC 上运动，将纸片沿PB 折叠,得到点C 的对应点D （P 在C 点时，点C 的对应点是本身），则折叠过程对应点D 的路径长是_________【巩固练习2】如图,直线y=—x+4与两坐标轴交A 、B 两点，点P 为线段OA 上的动点,连接BP ,过点A 作AM 垂直于直线BP ，垂足为M ，当点P 从点O 运动到点A 时，则点M运动路径的长为________【巩固练习3】如图，半径为4的⊙O中，CD为直径,弦AB⊥CD且过半径OD的中点,点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F 所经过的路径长为________巩固练习3图三、方法总结1、判断路径是“直”还是“弯"2、找出起点和终点3、求路径长四、拓展提升1、如图,抛物线y=ax2+bx+3过点A（1，0）,B（3,0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E为抛物线对称轴上的一点，请探索抛物线上是否存在点F，使以A，B，E,F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3)若点P为线段OC上的动点，连接BP，过点C作CN垂直于直线BP，垂足为N，当点P从点O运动到点C时，求点N运动路径的长．拓展提升1图拓展提升2图2、如图，形状不变的一条抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于E点，其顶点P在线段CD上移动，线段CD的解析式y=x+（﹣1≤x≤3）,当顶点P从C点移动到D点时，求E点走过的路径长度．3.如图，正方形ABCD和正方形AEFG，边AE在边AB上，AB＝2AE＝2．将正方形AEFG 绕点A逆时针旋转60°，BE的延长线交直线DG于点P ,旋转过程中点P运动的路线长为．。
中考数学总复习《动点问题》专项提升训练(带答案)
中考数学总复习《动点问题》专项提升训练（带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________例题1．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A﹣B﹣C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，△AMN的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（）A B C D解：连接BD，过B作BE⊥AD于E，当0≤x＜2时，点M在AB上在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4∴AB＝AD∴△ABD是等边三角形∴AE＝ED=12AD＝2，BE=√3AE＝2√3∵AM＝2x，AN＝x∴AMAN=ABAE=2∵∠A＝∠A∴△AMN∽△ABE∴∠ANM＝∠AEB＝90°∴MN=√AM2−AN2=√3xx×√3x=√32x2∴y=12当2≤x≤4时，点M在BC上y=12AN⋅BE=12x×2√3=√3x综上所述，当0≤x＜2时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当2≤x≤4时，函数图象是直线的一部分故选：A．2．如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，P A﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC＝．解：由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．利用两点之间线段最短，得到P A﹣PE≤AE．∴y的最大值为AE∴AE＝5．在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25设BE的长度为t则AB＝t+1∴（t+1）2+t2＝25即：t2+t﹣12＝0∴（t+4）（t﹣3）＝0解得t＝﹣4或t＝3由于t＞0∴t＝3∴AB＝t+2＝3+2＝5，AD＝BC＝3×2＝6．故答案为：6．3．如图①，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D（BD＞AD），动点P从B点出发，沿折线BA→AC方向运动，运动到点C停止，设点P的运动路程为x，△BPD的面积为y，y与x的函数图象如图②，则BC的长为．解：由题意得：AB+AC＝2√13，△ABD的面积＝3∵AB＝AC∴AB＝AC=√13∵AD⊥BC∴∠ADB＝90°，BC＝2BD∴AD2+BD2＝AB2∴AD2+BD2＝13∵△ABD的面积＝3∴12AD•BD＝3∴AD•BD＝6∴（AD+BD）2＝AD2+2BD•AD+BD2＝13+2×6＝25∴AD+BD＝5或AD+BD＝﹣5（舍去）∵AD2+BD2＝AB2∴BD2+（5﹣BD）2＝13∴BD＝2或BD＝3当BD＝2时，AD＝5﹣BD＝3（舍去）当BD＝3时，AD＝5﹣BD＝2∴BC＝2BD＝6故答案为：6．4．如图，在平面直角坐标系中，菱形AOCB的边OC在x轴上，∠AOC＝60°，OC的长是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的根，过点C作x轴的垂线，交对角线OB于点D，直线AD分别交x轴和y 轴于点F和点E，动点M从点O以每秒1个单位长度的速度沿OD向终点D运动，动点N从点F 以每秒2个单位长度的速度沿FE向终点E运动．两点同时出发，设运动时间为t秒．（1）求直线AD的解析式；（2）连接MN，求△MDN的面积S与运动时间t的函数关系式；（3）点N在运动的过程中，在坐标平面内是否存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形．若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，说明理由．（1）解：解方程x2﹣4x﹣12＝0得：x1＝6，x2＝﹣2∴OC＝6∵四边形AOCB是菱形，∠AOC＝60°∴OA＝OC＝6，∠BOC=1∠AOC＝30°2∴CD＝OC•tan30°＝6×√3=2√33∴D（6，2√3）过点A作AH⊥OC于H∵∠AOH＝60°OA＝3，AH＝OA•sin60°＝6×√32=3√3∴OH=12∴A（3，3√3）设直线AD的解析式为y＝kx+b（k≠0）代入A（3，3√3），D（6，2√3）得：{3k+b=3√36k+b=2√3解得：{k=−√3 3b=4√3∴直线AD的解析式为y=−√33x+4√3；（2）解：由（1）知在Rt△COD中，CD=2√3，∠DOC＝30°∴OD=2CD=4√3，∠EOD＝90°﹣∠DOC＝90°﹣30°＝60°∵直线y=−√33x+4√3与y轴交于点E∴OE=4√3∴OE＝OD∴△EOD是等边三角形∴∠OED＝∠EDO＝∠BDF＝60°，ED=OD=4√3∴∠OFE＝30°＝∠DOF∴DO=DF=4√3①当点N在DF上，即0≤t≤2√3时由题意得：DM=OD−OM=4√3−t，DN=4√3−2t过点N作NP⊥OB于P则NP＝DN×sin∠PDN＝DN×sin60°＝（4√3−2t）×√32=6−√3t∴S=12DM×NP=12（4√3−t）×（6−√3t）=√32t2﹣9t+12√3；②当点N在DE上，即2√3＜t≤4√3时由题意得：DM＝OD﹣OM=√3−t，DN＝2t﹣4√3过点N作NT⊥OB于T则NT ＝DN •sin ∠NDT ＝DN •sin60°＝（2t ﹣4√3）×√32=√3t −6 ∴S =12DM ⋅NT =12(4√3−t)(√3t −6)=−√32t 2+9t −12√3； 综上，S ={√32t 2−9t +12√3(0≤t ≤2√3)−√32t 2+9t −12√3(2√3＜t ≤4√3)；（3）解：存在，分情况讨论：①如图，当AN 是直角边时，则CN ⊥EF ，过点N 作NK ⊥CF 于K∵∠NFC ＝30° OE =4√3 ∴∠NCK ＝60° OF =√3OE =12 ∴CF ＝12﹣6＝6 ∴CN =12CF =3∴CK ＝CN ×cos60°＝3×12=32 NK ＝CN ×sin60°＝3×√32=3√32 ∴将点N 向左平移32个单位长度，再向下平移3√32个单位长度得到点C ∴将点A 向左平移32个单位长度，再向下平移3√32个单位长度得到点Q∵A(3，3√3) ∴Q （32，3√32）； ②如图，当AN 是对角线时，则∠ACN ＝90°，过点N 作NL ⊥CF 于L∵OA ＝OC ，∠AOC ＝60° ∴△AOC 是等边三角形 ∴∠ACO ＝60°∴∠NCF＝180°﹣60°﹣90°＝30°＝∠NFC∴CL＝FL=12CF＝3∴NL＝CL•tan30°＝3×√33=√3∴将点C向右平移3个单位长度，再向上平移√3个单位长度得到点N ∴将点A向右平移3个单位长度，再向上平移√3个单位长度得到点Q ∵A(3，3√3)∴Q（6，4√3）；∴存在一点Q，使得以A，C，N，Q为顶点的四边形是矩形，点Q的坐标是(32，3√32)或（6，4√3）．练习题1．如图1，在Rt△ABC中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中BP 长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则AC的长为（）A．15√52B．√427C．17D．5√32．如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点．动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（）A．（4，2√3）B．（4，4）C．（4，2√5）D．（4，5）3．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线AB，射线BC 的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM，MN，ND．设点M运动的路程为x（0≤x≤4），△DMN的面积为S，下列图象中能反映S与x之间函数关系的是（）A B C D4．如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A＝60°，点P从点A出发，沿路线A→B→C→D运动．设P点经过的路程为x，以点A，D，P为顶点的三角形的面积为y，则下列图象能反映y与x的函数关系的是（）A B C D5．如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ 的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）A B C D6．如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且BC∥x轴，直线y＝2x+1沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a、b间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形ABCD的面积为．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是平面内一个动点，且AP＝3，Q 为BP的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是．8．如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P、点Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2），已知y与t之间的函数图象如图2所示．＝48cm2；③当14＜t＜22时，y 给出下列结论：①当0＜t≤10时，△BPQ是等腰三角形；②S△ABE＝110﹣5t；④在运动过程中，使得△ABP是等腰三角形的P点一共有3个；⑤△BPQ与△ABE相似时，t＝14.5．其中正确结论的序号是．9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（0，3），以OA，OC为边作矩形OABC．动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动．当移动时间为4秒时，求AC•EF的值．10．在平面直角坐标系中，O为原点，菱形ABCD的顶点A（√3，0），B（0，1），D（2√3，1），矩形EFGH的顶点E（0，12），F(−√3，12)，H（0，32）．（1）填空：如图①，点C的坐标为点G的坐标为；（2）将矩形EFGH沿水平方向向右平移，得到矩形E′FG′H′，点E，F，G，H的对应点分别为E′，F′，G′，H′，设EE′＝t，矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分的面积为S．①如图②，当边E′F′与AB相交于点M、边G′H′与BC相交于点N，且矩形E′F′G′H′与菱形ABCD重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当2√33≤t≤11√34时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．11．已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周．（1）如图①，连接BG、CF，求CFBG的值；（2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别取CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；（3）连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE＝6，请直接写出线段QN扫过的面积．12．已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC 的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．（1）如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连接CF 时，求线段CF的长；①当m=13②在△PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y 与m的关系式．参考答案1．C．2．C．3．A．4．A．5．B．6．8．7．72≤m≤132．8．①③⑤．9．30．10．（1）（√3，2）（−√3，32）；（2）当2√33≤t≤11√34时，则√316≤S≤√3．11．（1）√2；（2）BE＝2MN MN⊥BE （3）9π．12．（1）①√23；②h＝﹣m2+m＝﹣（m−12）2+14，∴m=12时，h最大值是14；（2）y={1−12m−1−m2(1+m)+m2(0≤m≤12) 1+m22m2+2m(m＞12)．。
中考数学几何专项练习：动点运动路径之瓜豆原理(原卷)
中考数学几何专项练习：动点运动路径之瓜豆原理
4．如图，正方形ABCD的边长为
后得到AQ，连接CQ，则点
5．如图，点D是等边ABC
所得的CDE
边DE与BC交于点6．如图，在ACB
△中，
段AD绕点A按逆时针方向旋转
7．如图，点A的坐标为
3 3
到线段AC．若点C的坐标为
13．如图，等边△AOB的边长为4，点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C，点C随点P的运动而运动，连接CP、CA．在点P从O向A运动的过程中，当△PCA为直角三角形时t的值为.
（1）如图1，若C（0，4），求△ABC的面积；
(1)如图1，当∠EBA＝90°时，求S△BCE；
(2)如图2，在旋转过程中，连接CE，取CE中点F，作射线BF交直线AD于点G．
①求线段BF的取值范围；
②当∠EBF＝120°时，求证：BC﹣DG＝2BF；
(3)如图3．当∠EBA＝90°时，点S为线段BE上一动点，过点E作EM⊥射线AS于点
【发现】如图1如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是；
【探究】如图2，如果点P为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不。