不可约矩阵与几乎可约矩阵的一些组合性质.
不可约矩阵与几乎可约矩阵的一些组合性质
摘要 非负矩阵是指元素为非负实数的矩阵，同计算数学，经济数学，概率论，物理，化学等有着密切关系。本论文主要研究非负矩阵的那些仅依赖于矩阵的0元素的位置，而与元素本身数值无关的性质。本论文从非负矩阵的基础理论出发,结合图论的有关性质，利用图论与矩阵的关系，来研究不可约矩阵与几乎可约矩阵的1些性质。 本论文分为3部分，第1章是引言部分，第2章阐述了不可约矩阵，不可约矩阵的谱半径，完全不可分矩阵，几乎可约矩阵，几乎可分矩阵的概念，第3章阐述了不可约矩阵，不可约矩阵的谱半径，完全不可分矩阵，几乎可约矩阵，几乎可分矩阵的重要定理，性质以及其证明。 关键字不可约矩阵；完全不可分矩阵；几乎可约矩阵；几乎可分矩阵；极小强连通图 Abstract Nonnegative Matrices is the
matrices whose elements are nonnegative real numbers, and it has
close relationship with computer science, economic mathematics, the
theorem of probability, physical. This paper mainly research the
matrices’ quality with only depends on zero in matrices, but not its
own values. This paper main research Combinational quality of
Irreducible Matrices and Nearly Reducible Matrices by basic theory
of Nonnegative Matrices , quality of graph theory ,and the
relationship between graph theory and matrices. This paper
includes three parts, the first part is introduction, the second one
expounds the concept of irreducible matrices, spectral radius of
irreducible, fully indecomposable matrices, nearly reducible matrices,
and nearly decomposable matrices. The last one expounds important
theories, qualities and proof of irreducible matrices, spectral
radius of irreducible, fully indecomposable matrices, nearly
reducible matrices, and nearly decomposable matrices.
KeywordIrreducible matrices; Fully indecomposable matrices; Nearly
Reducible matrices; Nearly decomposable matrices; Minimally strong
diagraph.
不可约Z-矩阵最小特征值的迭代算法
第２３卷第１期 ２０１０年３月 聊城大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌｉａｏｅｈｅｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔ．Ｓｅｉ．） Ｖ０１．２３ Ｎｏ．１ Ｍａｒ．２０１０
不可约Ｚ一矩阵最小特征值的迭代算法
孟 静 徐美春２ 王慧敏
（１．聊城大学数学科学学院，山东聊城２５２０５９；２．聊城市第一中学，山东聊城２５２０００）
摘要利用ｚ一矩阵与非负矩阵的关系，给出了求不可约ｚ一矩阵最小特征值的一种有效的迭代算 法，推广了文献［２］的结果．该算法具有计算量小，易在计算机上实现的特点，并且可以达到实
际需要的精度．最后用数值例子表明该算法的可行性和有效性． 关键词非负矩阵，不可约ｚ一矩阵，最小特征值 中图分类号０１５１．２１ 文献标识码 Ａ 文章编号 １６７２－６６３４（２０１０）０１－００１１－０３
Ｏ 引言
在工程研究中，许多问题可归结为特殊矩阵的特征值计算问题．关于特征值的计算方法及其在计算
机上的实现受到学者们的广泛关注，而在实际问题中，有时仅需要计算特殊矩阵的最大或最小特征值，且 要求精度达到实际需要的水平．国内外一些学者对特殊矩阵最大或最小特征值的算法方面的研究，已经取 得了一些很有价值的成果¨ Ｊ，这些理论在计算数学，控制论中等有着重要的应用．本文我们利用ｚ．矩阵
与非负矩阵的关系，给出了求不可约ｚ一最小特征值的一种迭代算法．该算法迭代过程简洁，不用计算逆矩 阵，从而计算量小，占用内存少，便于在计算机上实现，重要的是可达到实际所需要的精度．
１ 预备知识
设Ｔ＝（ｔ ） 是不可约ｚ一矩阵，令Ａ＝ＣＩ—Ｔ＝（ａ。，） ，Ｊ是ｎ阶单位矩阵．下面讨论Ｃ＞ｍａｘｌｔ“ｌ，ｉ∈
Ⅳ，Ｎ＝｛１，２，…，ｎ｝时的情形，可知Ａ是具有非负对角元（ａ ＞０）负不可约矩阵．如果Ｐ是Ａ的最大特征
值，则 ＝Ｃ—Ｐ为 的最小特征值，因此不可约ｚ一矩阵 的最小特征值的算法转化成依赖具有非负对角 元的非负不可约矩阵Ａ的最大特征值的算法．
一类幂p. n. p.矩阵的谱性质
第２５卷第１期 ２００８年２月 吉 林 化 工 学 院 学 报 ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＪＩＬＩＮ ＩＮＳｎＴＵＴＥ ０Ｆ ＣＨＥＭＩＣＡＬ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ Ｖ０１．２５ Ｎｏ．１ Ｆｅｂ． ２Ｏ０８
文章编号：１００７－２８５３（２００８）Ｏ１－００８４－０２
一类幂Ｐ．ｎ．Ｐ．矩阵的谱性质
刘 磊
（北华大学师范分院，吉林吉林１３２０１３）
摘要：在［１］文中的基础上讨论了幂Ｐ．ｎ．ｐ．矩阵最大特征值ｍ（ａ）的谱性质，在Ａ的特征值为实数时给 出了不可约幂Ｐ．ｎ．ｐ．矩阵的判定准则．
关键词：ｐ．，１．Ｐ．矩阵；幂ｐ．，１．Ｐ．矩阵；不可约
中图分类号：Ｏ １５１．２１ 文献标识码：Ａ
定义设ｎ一个阶实方阵Ａ若各阶主子式皆
为非正，则称为部分非正阵（Ｐ．ｎ．Ｐ），记为Ａ∈
ＰＮＰ，若存在一个正奇数Ｉｊ｝使Ａ ∈Ｐ ，假设Ａ
（Ａ）∈Ｒ，ｉ＝１，２，…，ｎ则称Ａ为幂Ｐ．ｎ．Ｐ．矩
阵Ｌ】Ｊ．记矩阵Ａ的最大特征值为ｍ（Ａ），最小特征
值为 （Ａ）．
本文主要讨论某些幂Ｐ．ｎ．Ｐ．矩阵最大特征
值ｍ（Ａ）的性质，从而给出了不可约幂Ｐ．ｎ．Ｐ．矩
阵的判定准则．
引理…设Ａ∈Ｒ 为幂Ｐ．ｎ．Ｐ．矩阵且满足
（１）对任意正整数ｒ，（Ａ一） 为ｚ一阵；（２）Ａ的某
偶次幂为不可约；则（ａ）Ａ的所有特征值为实数；
（ｂ）ｍ（Ａ）非负且为单重的，与其对应的特征向量
是正的；（Ｃ）Ａ的所有负特征值的个数ｚ＝ｎ一１
（计算重数）；（ｄ）Ｓｐｒｃ Ａ＝｛Ｏｔ ｌ ｉ＝１，２，…，ｔ｝，其
中Ｏｔｌ ｔ＞０＞ｏｔ２＞…＞ｏｔＩ＝ｏ／Ｉ＝一ｐ（Ａ），且Ｏｔｌ≤一
２・ 性质１设Ａ∈Ｒ 为幂Ｐ．ｎ．Ｐ．矩阵且满足
引理１的条件（１），（２），则下述条件等价：（ａ）Ａ
不可约且０≤ｍ（Ａ）＜ｏｔ：；（ｂ）Ａ的任意次幂均不
可约；（ｅ）Ａ 不可约．
证明 （ａ） （ｂ）由引理，（ｂ）知，Ｏｔ，＝ｍ（Ａ）
是矩阵Ａ的单重特征值，其相应的左和右特征向
集合I到集合∧上的二元关系半群Pθ(I×∧)的生成集和Green-关系
第３６卷第１期 ＪｏｕｒｎａＩ ｏｆＳｏｕｔｈｗ西ｅｓｔ南Ｕｎ民ｉｖ族ｅｒｓ大ｉｔｙ学ｆｏ学ｒＮ报ａｔｉｏ ｎ自ａｌ然ｉｔｉｅ ｓ Ｎ学ａｔ版ｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ Ｊａｎ．２０１０ Ｉ － ｌ ……。 ‘
文章编号 １００３－２８４３（２０１０）０１—００４４—０６
集合 到集合人上的二元关系半群Ｐｏ ｆ ｘ八）的生成集
和Ｇｒｅｅｎ．关系
林屏峰
（西南民族大学预科教育学院，四川成都６１００４１）
摘 要：设集合 ，人是任意的非空集合．当０＝Ａ‘ｘｌ Ａｘ，时，本文获得了半群 （，×人）的非可解元和不可约生成集，
并且给出了半群 （，×Ａ）的Ｇｒｅｅｎ－关系，最后讨论了半群 （，×人）的一些特殊计数．
关键词：半群；二元关系半群；非可解元；不可约生成集；Ｇｒｅｅｎ－关系 中图分类号：Ｏ１ ５２．７ 文献标识码：Ａ
引言
半群代数是上个世纪中叶发展起来的一门新的代数学方向，其应用非常广泛，尤其在自动机理论、组合数 学、代数表示论、关系代数和组合数学等方面．在半群代数理论中，对二元关系半群的理论研究和应用比较早．上 个世纪７０年代Ｐｌｅｍｍｏｎｓ Ｒ Ｊ在文献『１，２］ｑｂ对一个集合人上的二元关系半群的基本性质及其极大子群和极大幺 子半群作了较为全面的研究；Ｓｃｈｗａｒｚ Ｓ在文献［３］００研究集合人上的二元关系半群的幂等元及其性质．Ｋｏｎｉｅｃｚｎｙ Ｊ于上个世纪末本世纪初，在［４］中系统地研究了一个集合人上的二元关系半群的Ｇｒｅｅｎ．关系及其找出Ｇｒｅｅｎ－关 系的一个算法，在文献［５］中给出了集合八上的二元关系半群的正则元生成子半群的结构．Ｃｈａｓｅ Ｋ在上个世纪 ７０至８０年代间，对集合人上的夹心二元关系半群作了系统的研究，在文献［６，７］引入了一个集合人上的夹心二 元关系半群，并且讨论了它的正则元和Ｇｒｅｅｎ一关系，而在文献［Ｓｌ ｅＯ研究了它的极大子群及其结构．对于二元关 系半群的其它相关文献，可以查询文献［９］书的参考文献部分． 在文献［１０］中，给出了集合，到集合人上的二元关系半群． 定义１【。。１设，，人是两个非空集合，Ｐ（／Ｘ八）是ＩＸ八的全体子集组成的幂集，称Ｐ（Ｉ×人）的每一个元素 为集合，到集合人的一个二元关系．取０∈Ｐ（Ａ Ｘ，），且 ≠ ，利用二元关系的合成运算在Ｐ（Ｉ×人）上定义一 个二元运算：
不可约逆M-矩阵的广义Perron补
第２７卷第４期 ２Ｏ１１年８月 大 学 数 学
ＣｏＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｖｏ１．２７，№．４ Ａｕｇ．２０１１
不可约逆Ｍ一矩阵的广义Ｐｅｒｒｏｎ补
智红燕 ，
（１．中国石油大学理学院，山东青岛２６６５５５； 杨中原
２大连银行风险管理部，辽宁大连１ｔ６００１）
［摘要］１９８９年，Ｍｅｙｏｒ为计算马尔可夫链的平稳分布向量构造了一个算法，提出了非负不可约矩阵 的Ｐｅｒｒｏｎ补矩阵的概念，２００２年Ｌｉｎｚｈａｎｇ Ｌｕ提出了的广义Ｐｅｒｒｏｎ补矩阵．本文推广了Ｎｅｕｍａｎ的结果得到 了关于不可约逆Ｍ一矩阵广义Ｐｅｒｒｏｎ补矩阵的几个性质． ［关键词］逆Ｍ一矩阵；不可约Ｍ一矩阵；Ｓｃｈｕｒ补；Ｐｅｒｒｏｎ补；广义Ｐｅｒｒｏｎ补 ［中图分类号］Ｏ２４１．６ ［文献标识码］Ａ ［文章编号］１６７２—１４５４（２０１１）０４—００６３—０３
１ 引 言
１９８９年，Ｍｅｙｏｒ为计算马尔可夫链的平稳分布向量构造了一个算法，首次提出了非负不可约矩阵 的Ｐｅｒｒｏｎ补矩阵的概念，并给出了Ｐｅｒｒｏｎ补矩阵的许多优美的性质Ⅲ．２００２年Ｎｅｕｍａｎ和Ｌｕ
Ｌｉｎｚｈａｎｇ对不可约逆Ｍ一矩阵的广义Ｐｅｒｒｏｎ补矩阵做了研究 ，同年Ｌｉｎｚｈａｎｇ Ｌｕ对广义的Ｐｅｒｒｏｎ补 矩阵做了进一步的推广嘲．本文在［２，４］的基础上得到了几个关于不可约逆Ｍ一矩阵广义Ｐｅｒｒｏｎ补矩阵
的几个性质．
２定义与记号
集合｛１，２，…， ｝记为＜ ＞；对＜ ）的任意子集４， ，用ＡＥ４， 记Ａ的行属于４和列属于 的子矩阵，
特别的当ａ一卢时Ａ ， 记为ａＥ４］；ｚ∈｛Ａ＝＝：（。 ）ｎＸｎ∈ ”ｌ ａ ≤ｏ，ｉ＝／＝ｊ｝；Ａ≥ｏ（Ａ》ｏ）表示矩阵Ａ中 的元素非负（全部大于零）．ｒ（Ａ）表示矩阵Ａ的直接图．
定义１ 设Ａ∈Ｚ，若Ａ ≥０，则称Ａ为Ｍ＿矩阵，记为Ａ∈Ｍ；设Ａ≥０，若Ａ ∈Ｚ则称Ａ为逆 矩阵 ］，记为Ａ∈Ｍ～． 定义２设矩阵Ａ是 ×ｎ阶矩阵，ａ ＜ ＞ 一＜ ＞＼ａ，矩阵Ａ的主子阵Ａ［ａ］非奇异，则Ａ［４３的补矩
不可约非负矩阵研究
不可约非负矩阵研究
王新奇
【摘 要】This paper introduces the concept of non-negative matrix and
irreducible non-nega-tive matrices, discuss the structure of irreducible
non-negative matrices, and obtained some useful results, these results are
not available in the general matrix.%介绍非负矩阵与不可约非负矩阵的概念，探讨不可约非负矩阵的结构，并得到了一些很有用的结果，这些结果是一般矩阵所不具备的。
【期刊名称】《西安文理学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2016(019)006
【总页数】3页(P4-6)
【关键词】正矩阵;非负矩阵;不可约非负矩阵
【作 者】王新奇
【作者单位】西安文理学院 学报编辑部，西安710065
【正文语种】中 文
【中图分类】O151.21
非负矩阵是在计算机科学、经济数学、概率论以及系统稳定性分析等领域经常会遇到的一类特殊矩阵，这些矩阵的元素都是非负的.关于不可约非负矩阵的结构也有一些很有用的结果，这是一般矩阵所不具备的.
定义1 设A=(aij),B=(bij)∈Rm×n，如果对所有的i,j都有aij≥bij,则记为A≥B.如果对所有的i,j都有aij>bij,则记为A>B.特别的，如果A≥0,则称A为非负矩阵.如果A>0,则称A为正矩阵.
定理1(正矩阵的Perron定理) 设A∈Rn×n为正矩阵，并且ρ(A)为其谱半径，则
(1) ρ(A)为A的正特征值，它对应着一个正的特征向量；
(2)对A的任何一个其他特征值λ，都有≤ρ(A)；
(3) ρ(A)为A的单特征值.
注 正矩阵只是不可约非负矩阵的一种特殊情形，正矩阵的Perron定理不能全部照搬到非负矩阵上.
矩阵形式下的一元多项式的可约性研究
２０１１年１１月 ３０卷第１１ 绵阳师范学院学报 ｏｕｒｍｄ ｏｆ Ｍｉａｎｖａｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓ Ｎｏｖ．，２０１１ Ｖ０１．３０ Ｎｏ．１１
矩阵形式下的一元多项式的可约性研究
唐再良
（绵阳师范学院数学与计算机科学学院，四川绵阳６２１０００）
摘要：将矩阵引入多项式，给出了多项式的矩阵表示，定义了矩阵多项式的运算。在一元多项式的矩阵形 式下，讨论了一元多项式的可约性，得到了一元多项式可约的几个有意义的结果，并通过实例验证了利用计算机研 究一元多项式可约性的可行性。
关键词：一元多项式；多项式矩阵形式；充要条件；导出－－＆型；可约性 中图分类号：０１５１．２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２－６１２ｘ（２０１１）１１－０００１－０７
０ 引言
多项式是最重要的初等函数之一，关于数域Ｆ上的一元多项式的理论已有比较系统的研究，但一些方
法太过繁杂（如辗转相除法），一些结果也不十分理想和完整，如有理数域上不可约多项式的判别。因此， 对有理数域上一元多项式的可约性的进一步讨论，具有十分重要的意义。本文将矩阵引入一元多项式，给
出了一元多项式的矩阵形式，利用矩阵这一工具对多项式的整除性、可约性等进行了深入探讨，得到了一
些有意义的结果，尤其是对利用计算机研究多项式提供了理论上的依据。
１ 定义
定义１形式表达式
ａｏ＋ａ１ ＋ａｘｘ ＋…＋ａｎｘ （１） 这里ａ。，ａ。，ａ ，…，ａ ∈Ｆ，ｎ为非负整数，称为数域Ｆ上文字的多项式，记为 ）。称形式表达式
为 ）的矩阵表达式。即
，（ ）＝（ａ０，ａ１，ａ２，…，ａ ） （２）
（３）
例如
ｒ３、、 ）＝３＋ ＋２ｘ ＝（１， ， ）ｌ １ Ｉ ２Ｊ
若令 ＝（１， ， 。，…， ），Ａ＝（ａ。，ａ 一，ａ ），则（３）可记为
）＝ＸＡ 或 ）＝ＡＸ
其中Ａ 为Ａ的转置矩阵， 为 的转置矩阵。
定义２对两个多项式厂（ ）＝ＸＡ ，ｇ（ｘ）＝ＸＢ ，若Ａ＝Ｂ，则称，（ ）与ｇ（ｘ）是相等的，记作ｆ（ｘ）＝ｇ
随机过程的马尔可夫链与转移矩阵
随机过程的马尔可夫链与转移矩阵
马尔可夫链与转移矩阵是随机过程中重要的概念，它们能够描述系统在不同状态之间转移的概率。本文将详细介绍马尔可夫链的概念和性质，并解释转移矩阵的作用和计算方法。
一、马尔可夫链的概念
马尔可夫链是指一个具有马尔可夫性质的随机过程。马尔可夫性质是指一个系统在给定当前状态下的未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。
例如，假设有一个赌徒每天可以处于三种状态之一：赢钱、亏钱或者保持不变。如果该赌徒在第n天状态改变的概率只与第n-1天的状态有关，而与之前的状态无关，那么该赌徒的行为就可以用马尔可夫链来描述。
二、转移概率与转移矩阵
在马尔可夫链中，转移概率是指系统从一个状态转移到另一个状态的概率。转移概率可以用一个矩阵表示，这个矩阵称为转移矩阵。
转移矩阵的行和列分别对应系统的状态，矩阵中的元素表示系统从某个状态转移到另一个状态的概率。每行的元素之和应等于1，表示在某个状态下，系统一定要转移至另一个状态。
三、转移矩阵的计算 计算转移矩阵需要获取系统在不同状态之间的转移概率。通常通过观察大量的历史数据或者统计样本数据来估计这些概率。
例如，假设有一个天气马尔可夫链，状态可以是晴天、多云或者雨天。通过对过去一年的天气数据进行分析，可以计算出系统在不同天气状态之间转移的概率。
根据这些计算结果，可以构建出转移矩阵。例如：
晴天 多云 雨天
晴天 0.7 0.2 0.1
多云 0.4 0.3 0.3
雨天 0.2 0.4 0.4
四、马尔可夫链的性质
马尔可夫链具有一些特殊的性质，这些性质在实际应用中具有重要意义。
1. 长期稳定性：马尔可夫链经过足够长的时间后，系统的状态分布会趋于一个稳定状态。
2. 遍历性：从任意一个状态出发，最终都能够到达其他所有状态。
3. 不可约性：系统的状态空间中的所有状态都可以互相转换。
非负不可约矩阵Perron根的一种迭代算法
２０１３年５月 第３７卷第３期 安徽大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｍａｌ ｏｆ Ａｎｈｕｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｍａｖ ２０１３ Ｖｏ１．３７ Ｎｏ．３
ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１０００－２１６２．２０１３．０３．００６
非负不可约矩阵Ｐｅｒｒｏｎ根的一种迭代算法
曾 莉，肖 明，杨 军，徐
（西南民族大学计算机科学与技术学院，四川成都 嘉
６１００４１）
摘要：非负矩阵Ｐｅ￣ｏｎ根的理论应用于很多领域，目前对Ｐｅ＝ｏｎ根的估计和计算提出了很多方法，其中较 多使用对角相似变换方法，根据精度的需要求得Ｐｅ＝ｏｎ根的近似值．论文构造了一个新的对角矩阵，同样利
用对角相似变换，得到一个新的迭代算法，并从理论上证明了其收敛性．最后，用数值例子验证了该算法的可
行性． 关键词：非负矩阵；不可约；Ｐｅｒｒｏｎ根；迭代；算法
中图分类号：０１５１．２１ 文献标志码：Ａ 文章编号：１０００—２１６２（２０１３）０３－００３１－０４
Ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ Ｐｅｒｒｏｎ ｒｏｏｔ ｏｆ ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ ｍａｔｒｉｃｅｓ
ＺＥＮＧ Ｌｉ，ＸＩＡＯ Ｍｉｎｇ，ＹＡＮＧ Ｊｕｎ，ＸＵ Ｊｉａ
（Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｓｏｕｔｈｗｅｓｔ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｆｏｒ Ｎａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ，Ｃｈｅｎｇｄｕ ６１００１４，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｔｈｅ Ｐｅｒｒｏｎ ｒｏｏｔ ｏｆ ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｉｓ ａｎ ｉｍｐｏ￣ａｎｔ ｐａｒｔ ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ
ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ ｍａｔｒｉｃｅｓ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｗｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｄｉａｇｏｎａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ｔｈｅ Ｐｅｒｒｏｎ ｒｏｏｔ
群表示论中的表示与不可约表示
群表示论中的表示与不可约表示
在群表示论中，表示和不可约表示是两个重要的概念。本文将介绍群表示和不可约表示的定义、性质以及它们在数学中的应用。
1. 群表示的定义与性质
群表示是指将一个群G中的元素映射到一个线性空间上的一种方法。设V是一个n维线性空间，群表示是一个映射φ:G→GL(V)，其中GL(V)表示所有可逆线性变换构成的群。对于群G中的元素g，对应的线性变换φ(g)称为群元素g在表示φ下的作用。
群表示有以下性质：
- 单位元的表示：表示φ将群的单位元e映射为恒等线性变换I，即φ(e)=I。
- 逆元的表示：对于群G中的任意元素g，对应的线性变换φ(g)的逆变换是φ(g⁻¹)，即φ(g)⁻¹=φ(g⁻¹)。
- 结合律的表示：对于群G中的任意元素g、h，对应的线性变换满足φ(gh)=φ(g)φ(h)。
2. 不可约表示的定义与性质
不可约表示是指在群表示中无法找到真正的子表示的表示。即在表示空间V中不存在不变的子空间。不可约表示在群表示论中具有重要的地位，它们可以通过Schur引理来刻画。 Schur引理指出，如果V和W是两个不可约表示空间，并且存在一个线性映射T:V→W，使得对于任意群元素g，有Tφ(g)=φ(g)T，则T只可能是零映射（表示V和W不等价）或者是可逆映射（表示V和W等价）。利用这一引理，可以判断一个给定表示是否为不可约表示。
3. 不可约表示的应用
不可约表示在数学中有广泛的应用，尤其在群论和量子力学中。以下是一些应用的示例：
- 威尔逊定理：威尔逊定理是群论中的一个重要结果，它表明如果一个正整数p是素数，那么(p-1)! ≡ -1 (mod p)。威尔逊定理可以通过使用循环群的不可约表示来进行证明。
- 分子对称性：不可约表示在分子对称性分析中起着重要的作用。通过对分子群进行分析，可以利用不可约表示来确定分子的对称性和振动模式。
- 量子力学：不可约表示在量子力学中的应用很广泛。量子力学中，物理量的操作符可以被表示为一个线性算符，而这些算符的表示就是不可约表示。例如，自旋算符和角动量算符的表示可以通过使用SU(2)群的不可约表示来进行描述。
不可约表示矩阵的正交原理
不可约表示矩阵的正交原理
不可约表示是线性代数中的一个重要概念。不可约表示矩阵的正交原理是指，在有限维向量空间中，不可约表示矩阵与其转置矩阵之间存在一种特殊的正交关系。
设矩阵 A 是一个 n 阶不可约矩阵，那么存在一个 n 阶酉矩阵
U，使得 A 和其转置矩阵 A^T 之间满足正交关系，即：
A * U = U * A^T
这里，酉矩阵 U 满足以下条件：
1. U 是一个 n 阶方阵，且 U^T = U^-1
2. U 的列向量是 A 的列向量的正交组合，即 U 的每一列都是
A 的某一列的正交线性组合。
正交原理的应用广泛，例如在量子力学中，它可以帮助我们简化希尔伯特空间上的矩阵运算。在信号处理、图像处理等领域，正交原理也起到了重要作用，比如在傅里叶变换和离散余弦变换等算法中。
需要注意的是，只有不可约矩阵才具有正交性质，可约矩阵（如对角矩阵）不存在这种关系。在实际应用中，我们可以通过将可约矩阵分解为不可约矩阵和正规矩阵的组合，从而利用正交原理进行简化。