平面向量的数量积练习题(含答案)
1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x等于 ( )
A．－1 B．－12 C.12 D．1
2．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于( )
A.5 B.10 C．25 D．10
3． 已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
A.79，73 B.－73，－79 C.73，79 D.－79，－73
4． 在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则AB→·AC→等于 ( )
A．－32 B．－23 C.23 D.32
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.
6．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB→·AC→＝________.
7． 已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．
三、解答题(共22分)
8． (10分)已知a＝(1,2)，b＝(－2，n) (n>1)，a与b的夹角是45°.
(1)求b；
(2)若c与b同向，且a与c－a垂直，求c.
9． (12分)设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
一、选择题(每小题5分，共15分)
1．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AB→·BC→＝1，则BC等于 ( )
A.3
B.7
C．22 D.23
2． 已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是( )
A．－4 B．4 C．－2 D．2
3．在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则|PA|2＋|PB|2|PC|2等于( )
A．2 B．4 C．5 D．10
二、填空题(每小题5分，共15分)
4．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点
F在边CD上，若AB→·AF→＝2，则AE→·BF→的值是________．
6．在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足|BM→||BC→|＝|CN→||CD→|，则AM→·AN→的取值范围是________．
三、解答题
7． (13分)设平面上有两个向量a＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b＝－12，32.(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)当向量3a＋b与a－3b的模相等时，求α的大小．
2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第四章 第二节 平面向量的数量积及应用举例 Word版含解析
课时规范练
A组 基础对点练
1．已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，则a·b为( )
A．12 B．8
C．－8 D．2
解析：∵|a|cos〈a，b〉＝4，|b|＝3，∴a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝3×4＝12.
答案：A
2．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝( )
A．－8 B．－6
C．6 D．8
解析：由向量的坐标运算得a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b，(a＋b)·b＝12－2(m－2)＝0，解得m＝8，故选D.
答案：D
3．已知平面向量a＝(－2，m)，b＝(1，3)，且(a－b)⊥b，则实数m的值为( )
A．－23 B．23
C．43 D．63
解析：因为a＝(－2，m)，b＝(1，3)，所以a－b＝(－2，m)－(1，3)＝(－3，m－3)．由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，即(－3，m－3)·(1，3)＝－3＋3m－3＝3m－6＝0，解得m＝23，故选B.
答案：B
4．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.
答案：C
5．已知非零向量a，b的夹角为π3，且|b|＝1，|b－2a|＝1，则|a|＝( )
A.12 B．1
C.2 D．2
解析：依题意得(b－2a)2＝1，即b2＋4a2－4a·b＝1，1＋4|a|2－2|a|＝1,4|a|2－2|a|＝0(|a|≠0)，因此|a|＝12，选A.
答案：A
6．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)·b，则|c|＝__________.
解析：由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c＝a－(a·b)·b＝a＋6b＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c|＝82＋－82＝82.
平面向量的数量积与垂直判定的应用练习题
平面向量的数量积与垂直判定的应用练习题
数量积和垂直判定是平面向量的重要概念和应用之一。在解决几何问题和计算题中，经常需要用到这两个概念来求解各种向量的性质和关系。本文将通过一系列练习题来帮助读者巩固和应用这些概念，以提高对平面向量的理解和运用能力。
1. 已知向量a = (2,3)和向量b = (1,-2)，求向量a与向量b的数量积。
解析：数量积的计算公式为a·b = |a|·|b|·cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模，θ为向量a和向量b之间的夹角。根据给定的向量a和向量b，可得到其模为|a| = √(2²+3²) = √13，|b| = √(1²+(-2)²) = √5。夹角θ可通过向量的点积公式计算，即θ = arccos((a·b)/( |a|·|b| ))。代入已知数据计算夹角θ可得arccos((2+(-6)) / (√13·√5)) ≈ arccos((-4) / (√65))
≈ arccos(-0.4874) ≈ 120.3°。
将计算结果代入计算公式a·b = |a|·|b|·cosθ，可得a·b =
√13·√5·cos(120.3°) ≈ (√65)·(-0.4874) ≈ -2.99。
因此，向量a与向量b的数量积为-2.99。
2. 已知向量a = (3,-1)和向量b，且a·b = 5。求向量b的坐标。
解析：由于已知a·b = 5，根据数量积的定义可知a·b = 3b₁ + (-1)b₂
= 5，其中b₁和b₂为向量b的坐标。因此可得方程组：
3b₁ - b₂ = 5
解这个方程组，可得b₁ = 2，b₂ = -1。 所以向量b的坐标为(2, -1)。
3. 已知向量a = (1,-2)和向量b = (3,-4)，求向量a与向量b的夹角，并判断这两个向量是否垂直。
解析：夹角θ可通过向量的点积公式计算，即θ =
arccos((a·b)/( |a|·|b| ))。根据给定的向量a和向量b，可得到其模为|a| =
10年高考真题-平面向量的数量积及其应用
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5.2 平面向量的数量积及其应用
考点一 平面向量的数量积
1.(2020课标Ⅲ理,6,5分)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos=( )
A.-3135 B.-1935 C.1735 D.1935
答案 D 由题意得cos=𝑎·(𝑎+𝑏)|𝑎|·|𝑎+𝑏|=𝑎2+𝑎·𝑏|𝑎|·√𝑎2+𝑏2+2𝑎·𝑏=25-65×√25+36-12=1935.故选D.
2.(2020课标Ⅱ,5,5分)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是( )
A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b
答案 D 解法一:要判断A、B、C、D四个选项中的向量哪个与b垂直,只需判断这四个向量哪个与b的数量积为零即可.
A.(a+2b)·b=a·b+2b2=|a||b|cos 60°+2|b|2=1×1×cos 60°+2×12=52≠0.
B.(2a+b)·b=2a·b+b2=2|a||b|cos 60°+|b|2=2×1×1×cos 60°+12=2≠0.
C.(a-2b)·b=a·b-2b2=|a||b|cos 60°-2|b|2=1×1×cos 60°-2×12=-32≠0.
D.(2a-b)·b=2a·b-b2=2|a||b|cos 60°-|b|2=2×1×1×cos 60°-12=0.故选D.
解法二:由于a与b均为单位向量,且夹角为60°,所以可设a=(1,0),b=(12,√32).
对于选项A,a+2b=(2,√3),则b·(a+2b)=12×2+√32×√3=52≠0,所以b与a+2b不垂直;
对于选项B,2a+b=(52,√32),则b·(2a+b)=12×52+√32×√32=2≠0,所以b与2a+b不垂直;
对于选项C,a-2b=(0,-√3),则b·(a-2b)=12×0-√32×√3=-32≠0,所以b与a-2b不垂直;
考点32平面向量的数量积(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型(新高考版)
考点32平面向量的数量积（3种核心题型+基础保分练+综合
提升练+拓展冲刺练）
【考试提醒】
1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.
2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题
【知识点】
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA→
＝a，OB→
＝b，则 ＝
θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量
积，记作 .
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，AB→
＝a，CD→
＝b，
过AB→
的起点A和终点B，分别作CD→
所在直线的垂线，垂足分别为A
1，B
1，得到A
1B
1—→
，我们
称上述变换为向量a向向量b ，A
1B
1—→
叫做向量a在向量b上的 ．记为 .
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝ .
(2)(λa)·b＝ ＝ ．
(3)(a＋b)·c＝ .
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x
1，y
1)，b＝(x
2，y
2)，a与b的夹角为θ
.
几何表示坐标表示
数量积a·b＝|a||b|cos θa·b＝__________
模|a|＝_______|a|＝_________
夹角cos θ＝_____cos θ＝___________
a⊥b的充要条件a·b＝0
|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b|
|x
1x
2＋y
1y
2|≤
x2
1＋y2
1x2
2＋y2
2
常用结论
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2
－b2
；
(2)(a±b)2
＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
高考复习文科数学课时试题(25)平面向量的数量积A及答案.doc
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课时作业(二十五)A [第25讲 平面向量的数量积]
[时间：35分钟 分值：80分]
基础热身
1．a＝(2,3)，b＝(－1，－1)，则a·b＝( )
A．1 B．－1 C．－5 D．5
2． 已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )
A．－12 B．－6 C．6 D．12
3． 已知向量|a|＝10，且|b|＝12，且a·b＝－60，则向量a与b的夹角为( )
A．60° B．120° C．135° D．150°
4．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为( )
A.655 B.65 C.135 D.13
能力提升
5．
平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则a·b＝( )
A.12 B．1 C.32 D.3
6． 半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC的中点，则(PA→＋PB→)·PC→的值是( )
A．－2
B．－1
C．2
D．无法确定，与C点位置有关
7．设a，b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有( )
A．a⊥b B．a∥b
C．|a|＝|b| D．|a|≠|b|
8．已知两不共线向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，则下列说法不正确．．．的是( )
A．(a＋b)⊥(a－b)
B．a与b的夹角等于α－β
C．|a＋b|＋|a－b|>2
D．a与b在a＋b方向上的投影相等
9． 已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a－3b|等于________．
10． 已知a、b、c都是单位向量，且a＋b＝c，则a·c的值为________．
11． △ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足AP→·OA→≤0，BP→·OB→≥0，则OP→·AB→的最小值为________．
平面向量的数量积与向量投影练习题
平面向量的数量积与向量投影练习题
在平面向量的运算中，数量积和向量投影是两个重要的概念。它们在几何和物理学中有着广泛的应用。本文将通过练习题的形式来帮助读者更好地理解和应用平面向量的数量积与向量投影。
1. 练习题一
已知向量a = 3i + 4j和向量b = -2i + 3j，求向量a与向量b的数量积。
解析：
向量a与向量b的数量积可以通过以下公式计算：a·b = |a||b|cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。
首先，我们需要计算|a|和|b|，它们分别表示向量a和b的模。向量a的模为|a| = √(3^2 + 4^2) = 5，向量b的模为|b| = √((-2)^2 + 3^2) = √(4 + 9)
= √13。
接下来，我们需要计算θ的余弦值。根据向量的坐标表示，可以得出cosθ = (a·b)/(|a||b|)。代入已知数据，可以得到cosθ = ((3)(-2) +
(4)(3))/(5√13) = 6/(5√13)。
最后，将cosθ代回数量积公式，可以求得向量a与向量b的数量积：a·b = (5)(√13)(6/(5√13)) = 6。
因此，向量a与向量b的数量积为6。
2. 练习题二 已知向量a = i + 2j和向量b = 2i + 3j，求向量a在向量b上的投影。
解析：
向量a在向量b上的投影可以用以下公式计算：proj_b(a) = (a·b/|b|)
* (b/|b|)，其中proj_b(a)表示向量b上投影的向量。
首先，我们需要计算a·b，它表示向量a与向量b的数量积。根据向量的坐标表示，可以得出a·b = (1)(2) + (2)(3) = 2 + 6 = 8。
接下来，计算|b|，它表示向量b的模。向量b的模为|b| = √(2^2 +
3^2) = √(4 + 9) = √13。
然后，计算投影向量的方向，即b/|b|。根据向量的坐标表示，可以得出b/|b| = (2/√13)i + (3/√13)j。
【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配练习：4.5关于平面向量数量积运算的三类经典题型(含答案解析)
第20练关于平面向量数量积运算的三类经典题型
[题型分析·高考展望]平面向量数量积的运算是平面向量的一种重要运算，应用十分广泛，
对向量本身，通过数量积运算可以解决位置关系的判定、夹角、模等问题，另外还可以解决
平面几何、立体几何中许多有关问题，因此是高考必考内容，题型有填空题，也在解答题中
出现，常与其他知识结合，进行综合考查．
体验高考
1．(2015·山东改编)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD→
·CD→等于________．
答案3
2a2
解析如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°＝a2＋a2－2a·a×－1
2＝3a2，
∴BD＝3a.
∴BD→
·CD→
＝|BD→
||CD→
|cos30°＝3a2×3
2＝3
2a2.
2．(2015·重庆改编)若非零向量a，b满足|a|＝22
3|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角
为________．
答案π
4
解析由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又∵|a|＝22
3|b|，设〈a，
b〉＝θ，
即3|a|2－|a|·|b|·cosθ－2|b|2＝0，
∴8
3|b|2－22
3|b|2·cosθ－2|b|2＝0，
∴cosθ＝2
2.
又∵0≤θ≤π，∴θ＝π
4.
3．(2015·陕西改编)对任意向量a，b，①|a·b|≤｜a||b|；②|a－b|≤||a|－|b||；③(a＋b)2＝|a＋b|2；
④(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.以上关系式中不恒成立的是______．
答案②
解析对于①，由|a·b|＝||a||b|cosa，b|≤｜a||b|恒成立；对于②，当a，b均为非零向量且
方向相反时不成立；对于③、④容易判断恒成立．
专题01 平面向量数量积的最值问题(解析版)
平面向量数量积的最值问题
1.已知AB→⊥AC→，|AB→|＝1t，|AC→|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP→＝AB→|AB→|＋4AC→|AC→|，则PB→·PC→的最大值等于( )
A．13 B．15 C．19 D．21
答案 A
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B1t，0，C(0，t)，AB→＝1t，0，AC→＝(0，t)，
AP→＝AB→|AB→|＋4AC→| AC→|＝t1t，0＋4t(0，t)＝(1,4)，∴P(1,4)，
PB→·PC→＝1t－1，－4·(－1，t－4)
＝17－1t＋4t≤17－21t·4t＝13，
当且仅当t＝12时等号成立．
∴PB→·PC→的最大值等于13.
2.如图，已知P是半径为2，圆心角为π3的一段圆弧AB上的一点，若AB→＝2BC→，则PC→·PA→的最小值为________．
答案 5－213 解析 以圆心为坐标原点，平行于AB的直径所在直线为x轴，AB的垂直平分线所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－1，3)，C(2，3)，
设P(2cos θ，2sin θ)π3≤θ≤2π3，
则PC→·PA→＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)，
其中0
当θ＝π2－φ时，PC→·PA→取得最小值，为5－213
3．在△ABC中，若A＝120°，AB→·AC→＝－1，则|BC→|的最小值是________．
答案 6
解析 由AB→·AC→＝－1，
得|AB→|·|AC→|·cos 120°＝－1，
即|AB→|·|AC→|＝2，
所以|BC→|2＝|AC→－AB→|2＝AC→2－2AB→·AC→＋AB→2
≥2|AB→|·|AC→|－2AB→·AC→＝6，
当且仅当|AB→|＝|AC→|＝2时等号成立，
高三数学一轮复习平面向量数量积坐标运算试卷(有详细答案)
高三数学一轮复习平面向量数量积坐标运算试卷
一、选择题
1、（2007•辽宁）若向量a与b不共线，a•b≠0，且，则向量a与c的夹角为（ D ）
A、0 B、
C、 D、
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
分析：求两个向量的夹角有它本身的公式，条件中表现形式有点繁琐，我们可以试着先求一下要求夹角的向量的数量积，求数量积的过程有点出乎意料，一下就求出结果，数量积为零，两向量垂直，不用再做就得到结果，有些题目同学们看着不敢动手做，实际上，我们试一下，它表现得很有规律．
解答：解：∵
=
=0
∴向量a与c垂直，
故选D．
点评：用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，本题使用两个不共线的向量来表示第三个向量，这样解题时运算有点麻烦，但是我们应该会的．
2、（2007•上海）在直角坐标系xOy中，分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，，，则k的可能值有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
分析：根据给的两个向量写出第三条边所对应的向量，分别检验三个角是直角时根据判断向量垂直的充要条件，若数量积为零，能做出对应的值则是，否则不是．
解答：解：∵
（1）若A为直角，则；
（2）若B为直角，则；
（3）若C为直角，则．
∴k的可能值个数是2，
故选B
点评：能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；会解两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题．
3、已知△ABC中，，则△ABC的面积为（ C ）
A、2 B、
C、 D、
考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角。
专题：计算题。
分析：由=（cos23°，sin23°），=（2cos68°，2sin68°），知和x轴成23°角，和x轴68°角，由此能求出和，再由正弦定理能求出ABC的面积．
平面向量的数量积
平面向量的数量积
【考点梳理】
1．平面向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
2．平面向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a；
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
3．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.
结论 几何表示 坐标表示
模 |a|＝a·a |a|＝x21＋y21
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
夹角 cos θ＝a·b|a||b| cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22
a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤x21＋y21·x22＋y22
【考点突破】
考点一、平面向量数量积的运算
【例1】(1)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF→·BC→的值为( )
A．－58 B．18 C．14 D．118
(2)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，0)，O为原点，则AO→·AP→的最大值为________.
[答案] (1)B (2) 6
[解析] (1)如图所示，AF→＝AD→＋DF→.
又D，E分别为AB，BC的中点，
且DE＝2EF，所以AD→＝12AB→，DF→＝12AC→＋14AC→＝34AC→，
所以AF→＝12AB→＋34AC→.