人教版第十七章勾股定理测试题(含答案)
人教版第十七章勾股定理测试题（含答案）
一、选择题
1. 在直角三角形ABC中， ∠C＝90°，BC＝24，CA＝7，AB＝ ．
2.
下列说法中， 不正确的是（ ）
A．三个角的度数之比为1∶3∶4的三角形是直角三角形
B．三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形
C．三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形
D．三边长度之比为9∶40∶41的三角形是直角三角形
3.
如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．64
4.
小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了10分钟，小芳先去家拿钱再去
图书馆，小芳到家用了6分钟，从家到图书馆用了8分钟，小芳从公园到图书馆拐了个（设公园到小芳家及小
芳家到图书馆都是直线）（ ）
A．锐角 B．直角 C．钝角 D．不能确定
5.
如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，则阴影部分的面积是（ ）
A．16 B．18 C．19 D．21
6.
在直角三角形中，斜边与较小直角边的和、差分别为18、8，则较长直角边的长为（ ）
A．20 B．16 C．12 D．8
7.
在△ABC中，若AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长是（ ）
A．42 B．32 C．42或32 D．37或33
8.
如果Rt△两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（ ）
∶13 ∶12 ∶13 ∶169
9.
等腰直角三角形的周长为22，则它的面积为（ ）
A．1 B．12 C．14 D．18
10.
如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x2-10的立方根为（ ）
A．210 B．210 C．2 D．2
11.
分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6、8、10；②13、12、5；③1、2、3；④3．5、4．5、5．5；
⑤8、10、12，其中能够组成直角三角形的有（ ）
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
二、填空题
12. 若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 .
13.
已知两条线段的长分别为11cm和60cm，当第三条线段的长为 cm时，这3条线段能组成一个直角
三角形．
14.
如图，将一根长24厘米的筷子，置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外
面的长度至少为 厘米．
15.
如图，AC⊥CE，AD＝BE＝13，BC＝5，DE＝7，那么AC＝ ．
16.
如图，一个机器人从A点出发，拐了几个直角的弯后到达B点位置，根据图中的数据，点A和点B的直线
距离是 ．
17.
如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端
点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_____________
18.
如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知
AB=8cm，BC=10cm，则EC= ．
20
3
2
A
B
19.
如果直角三角形两条直角边的长分别为5cm和12cm，那么斜边上的高是 cm．
三、计算题
20. 如图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分
别画出一条长度是有理数的线段AB和一条长度是无理数13的线段CD．
21.
如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且CF＝41CD．
求证：△AEF是直角三角形．
四、应用题
22. 如图（1）所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图（2）所示．已知展开图中每个
正方形的边长为1．求在该展开图中可画出最长线段的长度这样的线段可画几条
23.
一架秋千当它静止不动时，踏板离地1尺，将它向前推10尺，秋千的踏板就和人一样高，此人身高5尺，
如果这时秋千的绳索拉得很直，请问绳索有多长
24.
如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距
C点的距离为米，当端点B向右移动米时到达D点，而A到达E点，求滑杆顶端A下滑多少米
五、猜想探究题
25. 已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，设△ABC的面积为S，周长为l．
（1）填表：
三边a、b、c a＋b－c
S
l
3、4、5 2
5、12、13 4
8、15、17 6
（2）如果a＋b－c＝m，观察上表猜想：Sl (用含有m的代数式表示)．
（3）证明（2）中的结论．
答案
一、选择题
1. 25 2. B 3. D 4. B 5. C 6. C 7. C 8. D 9. B 10. D 11. C
二、填空题
12. 120 13. 61或3479 14. 14 15. 12 16. 10 17. 15dm 18. 3cm 19. 6013
三、计算题
20. 画一个直角三角形，使两条直角边分别是3和4，斜边长即为5；画一个直角三角形，使两条直角边分别是
2和3，斜边长即为3．
21.
设正方形ABCD的边长为a则，BE＝CE＝21a， CF＝41a. DF＝43a，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2＝
AB2+BF2＝a2+224521aa，同理Rt△ADF中，AF2＝AD2+DF2＝a2+22162543aa，在Rt△CEF中，
EF2＝CE2+CF2＝2221654121aaa，∴AF2＝AE2+EF2，∴△AEF是直角三角形．
四、应用题
22. 最长的线段长为10．这样的线段可画4条
23.
设绳索长x尺，根据勾股定理，有222[(51)]10xx，解得x＝，答：绳索长尺．
24.
米
五、猜想探究题
25. 解：（1）从上往下依次填12，1，32；
（2）4Sml； （3）证明略．
(精练)人教版八年级下册数学第十七章 勾股定理含答案
人教版八年级下册数学第十七章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、在中，∠C=90°，sinA= ，则tanA=（）A. B. C.1 D.2、如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A.1B.C.D.3、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AD＝CD＝4，AB=1，F为AD的中点，则F到BC的距离是（）．A.1B.2C.4D.84、直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）A.90B.120C.121D.不能确定5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC．若CD=3，BC+AB=16，则△ABC的面积为（）A.16B.18C.24D.326、在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(－6,0),(0,8). 以点A为圆心,以AB长为半径画弧交x轴于点C,则点C的坐标为（）.A.(6,0)B.(4,0)C.(6,0)或(-16,0)D.(4,0)或(-16,0)7、如图，平面直角坐标系中，A点坐标为，点在直线上运动，设的值为，则下面能够大致反映w与m的函数关系的图象是（）A. B. C.D.8、如图，已知由16个边长为1的小正方形拼成的图案中，有五条线段PA、PB、PC、PD、PE，其中长度是有理数的有（）A.1条B.2条C.3条D.4条9、在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB²+BC²+AC²=（）A.2B.4C.6D.810、如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是（）A.2B.C.D.11、一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以到达该建筑物的最大高度是( )A.12米B.13米C.14米D.15米12、小明从一根长6m的钢条上截取一段后，截取的钢条恰好与两根长分别为3m、5m的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A.4mB. mC.4m或mD.6m13、如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，若C （0，9），D（0，﹣1），则线段AB的长度为（）A.3B.4C.6D.814、小明搬来一架 3.5 米长的木梯，准备把拉花挂在 2.8 米高的墙上，则梯脚与墙脚的距离为( )A.2.7 米B.2.5 米C.2.1 米D.1.5 米15、已知下列三角形的各边长：①3、4、5，②5、12、13，③3、4、6，④5、11、12其中直角三角形有（）A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题(共10题，共计30分)16、已知，点O为数轴原点，数轴上的A，B两点分别对应，，以AB 为底边作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为________.17、如图，已知圆柱的底面周长为6，高AB=3，小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到对面的A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程为________．18、如图，扇形中，. 为弧上的一点，过点作，垂足为，与交于点，若，则该扇形的半径长为________19、图中是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若最大的正方形E的边长为3则正方形的面积之和为________.20、如图，一扇卷闸门用一块宽18cm，长80cm的长方形木板撑住，用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起________cm高．21、如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A处观测停放于B、C两处的小船，测得船B在点A北偏东75°方向150米处，船C在点A南偏东15°方向120米处，则船B与船C之间的距离为________米（精确到0.1 ）．22、如图，在等腰中，，，则边上的高是 ________ .23、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=4，分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABEF，ACPQ，BDMC，记四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S 3、S4，则S1+S2+S3+S4=________．24、学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出CD=6m，AD=8m，BC=24m，AB=26m，AD⊥CD，那么需要绿化部分的面积为________.25、勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是把图1放入长方形内得到的，，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，中，于D．求及的长．27、如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．想一想，此时EC有多长．28、证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．29、已知如图，．求四边形的面积．30、如图，在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，D是BC的中点，求AD的长和△ABD的面积．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、C3、B4、A5、C6、D7、A8、B9、A10、D11、A12、C13、C14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、30、。
人教版数学八年级下册第十七章勾股定理测试题及答案
人教版数学八年级下册第十七章考试试题评卷人得分一、单选题1．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为()A．60海里B．45海里C．海里D．2．一直角三角形的三边分别为2,3,x,那么以x为边长的正方形的面积为()A．13B．5C．4D．13或53．在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m，目测点到杆的距离为15m，则目测点到杆顶的距离为(设目高为1m)()．A．20m B．25m C．30m D．35m4．直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是() A．15°B．30°C．45°D．60°5．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（）A．6B．8C．1813D．60136．如图1，一架梯子AB长为5m，斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙3m，若梯子的顶端A下滑了1m（如图2），则梯子的底端在水平方向上滑动的距离BD为（）A．1m B．大于1m C．介于0m和0.5m之间D．介于0.5m和1m之间7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且CD=5，如果Rt△ABC的面积为1，则它的周长为（）A．5+1B．5+1C．5+2D．5+38．如图，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC=23BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（）A、6 (4π+㎝B、5cmC、35㎝9．如果Rt△的两直角边长分别为k2－1，2k（k>1），那么它的斜边长是（）A．2k B．k+1C．k2－1D．k2+110．如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从盒外的D点沿正方体的盒壁爬到盒内的M点（盒壁的厚度不计），蚂蚁爬行的最短距离是（）A．25+B．13C29D．5评卷人得分二、填空题11．若一个三角形的三边长分别为1、a、8(其中a为正整数)，则以a－2、a、a＋2为边的三角形的面积为______.12．若直角三角形两直角边的比为3：4，斜边长为20，则此直角三角形的面积为____．13．如果一个直角三角形的两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高的长度为______．14．若一三角形的三边长分别为5、12、13，则此三角形的内切圆半径为______．15．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，则该三角形的面积为．现已知△ABC 的三边长分别为1，2，则△ABC 的面积为______．16．在△ABC ，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值是_______.评卷人得分三、解答题17．如图，在△ABC 中，∠C=90°，M 是BC 的中点，MD ⊥AB 于D ，求证：222AD AC BD =+.18．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A '，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？19．已知：如图，四边形ABCD 中，∠ACB=90°，AB=15，BC=9，AD=5，DC=13．试判断△ACD 的形状，并说明理由；20．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°，D 为AB 边上一点．求证：（1）△ACE ≌△BCD ；（2）222AD DB DE +=．21．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．22．如图，在等腰直角△ABC的斜边上取异于B，C的两点E，F，使∠EAF=45°，求证：以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形．参考答案1．D【解析】试题分析：根据条件易知△APB是直角三角形，AP=30，∠A=60°，∠B=30°，运用三角函数定义易求BP．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．2．D【解析】【分析】以x为边长的正方形的面积即为x2．此题应考虑两种情况：2和3是直角边，x是斜边或2和x是直角边，3是斜边，运用勾股定理进行计算即可．【详解】当2和3是直角边，x是斜边时，则x2=4+9=13；当2和x是直角边，3是斜边，则x2=9-4=5．故选D．【点睛】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积，此类题在没有明确直角边或斜边的时候，一定要注意分情况考虑，熟练运用勾股定理进行计算．3．B【解析】【分析】首先根据题意画出图形，题目已知条件是：已知旗杆AB高21m，目测点C到杆的距离CD 为15m，目高CE为1m.在Rt△BCD中，利用勾股定理求出BC即可.【详解】如图，已知AB＝21m，CD＝15m，CE＝1m，∵∠A＝∠ADC＝∠AEC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AD＝CE＝1.在Rt△BCD中，∵∠CDB＝90°，CD＝15，BD＝AB－AD＝21－1＝20，∴BC25m，即目测点到杆顶的距离为25m.故选B.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，理解题意正确画出图形是解题的关键.【解析】设直角三角形的两直角边是a、b，斜边是c．根据斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍得到：2ab=c2，根据勾股定理得到：a2+b2=c2，因而a2+b2=2ab，即：a2+b2-2ab=0，（a-b）2=0∴a=b，则这个三角形是等腰直角三角形，因而这个三角形的锐角是45°．故选C．点睛：本题考查了的是勾股定理，解答此题的关键是熟知勾股定理、直角三角形的性质及完全平方公式．5．D【解析】【分析】首先根据勾股定理，得：斜边=13．再根据直角三角形的面积公式，求出斜边上的高．【详解】=13．所以斜边上的高=12×5÷13=60 13．故选D．【点睛本题考查了勾股定理．解题的关键是掌握直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．6．A【解析】解：图（1）中，AB=5m，BC=3m，由勾股定理得AC=4m．∵梯子下滑了1m，∴AE=1m，∴EC=3m，图（2）中，EC=3m，ED=5m，由勾股定理得CD=4m，所以梯子向外端下滑了1m．故选A．点睛：本题考查的是勾股定理的应用，要求熟练掌握．【解析】试题分析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且∴AB=2CD=5．∴AC2+BC2=5又Rt△ABC的面积为1，∴12AC•BC=1，则AC•BC=2．∴（AC+BC）2=AC2+BC2+2AC•BC=9，∴AC+BC=3（舍去负值），∴AC+BC+AB=3+5，即△ABC的周长是5+3．故选D．考点：1.勾股定理2.直角三角形斜边上的中线．D、7cm8．B9．D【解析】试题分析：设斜边长为c，根据勾股定理得：c2＝(k2－1)2＋(2k)2＝k4－2k2＋1＋4k2＝k4＋2k2＋1＝(k2＋1)2，∴c＝k2＋1．故选D．点睛：本题考查了勾股定理，利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．10．D【解析】【分析】利用侧面展开图形成平面图形,再根据两点之间线段最短,勾股定理即可解答.【详解】解:得如图的侧面展开图，由题意得到Rt△NDM，DN=3，NM=4，线段DM的长为最短路径，DM=5=.故选D.【点睛】本题考查的是平面展开-最短路径问题，解答此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．11．24【解析】试题解析：∵8-1＜a＜8+1（其中a为正整数），即7＜a＜9，∴a=8．∴以a-2、a、a+2为边的三角形的三条边长分别为：6、8、10．∵62+82=102，∴以a-2、a、a+2为边的三角形是直角三角形，∴其面积=12×6×8=24．故答案是：24．点睛：在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．12．96【解析】根据题意，设两直角边是3x、4x，则（3x）2+（4x）2=202，解得x=4，所以两直角边为12，16，12×12×16=96，所以它的面积是96，故答案为96.13．60 13【解析】【分析】利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法求出斜边上的高即可．【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，=13，∵三角形的面积=12×5×12=12×13h （h 为斜边上的高），∴h=6013．故答案为：6013．【点睛】考查了勾股定理，以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．14．2．【解析】【详解】∵22251213+=，由勾股定理逆定理可知此三角形为直角三角形，∴它的内切圆半径5121322r +-==，15．1【解析】【分析】把题中的三角形三边长代入公式求解.【详解】∵SABC 的三边长分别为1，2ABC 的面积为：S=1，故答案为1．【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．16．4.8【解析】【分析】根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当BP 垂直于AC 时，BP 的长最小，过A 作等腰三角形底边上的高AD ，利用三线合一得到D 为BC 的中点，在直角三角形ADC 中，利用勾股定理求出AD 的长，进而利用面积法即可求出此时BP 的长．【详解】解：根据垂线段最短，得到BP ⊥AC 时，BP 最短，过A 作AD ⊥BC ，交BC 于点D ，∵AB=AC ，AD ⊥BC ，∴D 为BC 的中点，又BC=6，∴BD=CD=3，在Rt △ADC 中，AC=5，CD=3，根据勾股定理得：，又∵S △ABC =12BC•AD=12BP•AC ，∴BP=•BC AD AC =645⨯=4.8．故答案为4.8．【点睛】此题考查勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．17．见解析【解析】【分析】连接AM 得到三个直角三角形，运用勾股定理分别表示出AD²、AM²、BM²进行代换就可以最后得到所要证明的结果．【详解】证明：连接MA，∵MD⊥AB，∴AD2=AM2-MD2，BM2=BD2+MD2，∵∠C=90°，∴AM2=AC2+CM2∵M为BC中点，∴BM=MC．∴AD2=AC2+BD2【点睛】本题考查了勾股定理，三次运用勾股定理进行代换计算即可求出结果，另外准确作出辅助线也是正确解出的重要因素．18．（1）24米；（2）8．【解析】【分析】（1）利用勾股定理即可求出；（2）梯子的长度不变，再利用勾股定理算出BC'的长，即可求出梯子滑动的长度.【详解】（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，AB（米）．答：这个梯子的顶端距地面有24米；（2）由题意得：BA'=AB－A A'=20米，BC'=（米），则：CC'=15﹣7=8（米）．答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．【点睛】此题考查的是勾股定理的应用，找到两个三角形各边的关系是解决此题的关键19．△ACD是直角三角形．【解析】试题分析：首先利用勾股定理计算出AC 长，再利用勾股定理的逆定理证明90DAC ∠=︒，可得ACD 是直角三角形．试题解析：证明：∵90ACB ∠= ，AB =15,BC =9,∴12AC ，===∵2251213，+=∴222AD AC CD +=，∴90DAC ∠=︒,∴△ACD 是直角三角形.点睛：在三角形中，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形.20．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）本题要判定△ACE ≌△BCD ，已知△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ECD =90°，则DC =EC ，AC =BC ，∠ACB =∠ECD ，又因为两角有一个公共的角∠ACD ，所以∠BCD =∠ACE ，根据SAS 得出△ACE ≌△BCD ．（2）由（1）的论证结果得出∠DAE =90°，AE =DB ，从而求出AD 2+DB 2=DE 2．【详解】（1）∵∠ACB =∠ECD =90°，∴∠ACD +∠BCD =∠ACD +∠ACE ，即∠BCD =∠ACE ．∵BC =AC ，DC =EC ，∴△ACE ≌△BCD ．（2）∵△ACB 是等腰直角三角形，∴∠B =∠BAC =45°．∵△ACE ≌△BCD ，∴∠B =∠CAE =45°，AE =BD ，∴∠DAE =∠CAE +∠BAC =45°+45°=90°，∴AD 2+AE 2=DE 2，∴AD 2+DB 2=DE 2．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，及勾股定理的运用．21．5m【解析】试题分析：由于大门的宽和高与所加固的木板正好构成直角三角形，故可利用勾股定理解答．试题解析：解：设这条木条的长度为x m，由勾股定理得：木条长的平方＝门高长的平方＋门宽长的平方．即x2＝42＋32，解得x＝5m．答：所需木条的长为5m．点睛：本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，属较简单题目，可直接利用勾股定理解答．22．证明见解析.【解析】试题分析：首先把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG，可得△ACF≌△ABG．进而得到AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°，再证明△AEG≌△AEF 可得EF=EG，由∠GBE=90°利用勾股定理可得BE2+CF2=EF2，那么根据勾股定理的逆定理得出以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形．试题解析：证明：把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG．则△ACF≌△ABG，∴AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°．∵∠BAC=90°，∠GAF=90°，∴∠GAE=∠EAF=45°．在△AEG和△AEF中，∵AG AFGAE EAFAE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG=EF．又∵∠GBE=90°，∴BE2+BG2=EG2，即BE2+CF2=EF2，∴以EF，BE，CF为边的三角形是直角三角形．点睛：本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理及其逆定理，旋转的性质，正确作出辅助线后证出△AEG≌△AEF是解答此题的关键．。
最新人教版数学八年级下册第十七章测试卷(含答案解析)
人教版数学八年级下册第十七章测试卷姓名：分数：一、选择题1．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）①a=，b=，c=②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25 ⑤a=2，b=2，c=4．A．2个B．3个C．4个D．5个2．在△ABC中，若a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形3．直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是（）A．15°B．30°C．45° D．60°4．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B 与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm25．分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10 ②13，5，12 ③1，2，3 ④9，40，41 ⑤3，4，5．其中能构成直角三角形的有（）组．A．2 B．3 C．4 D．56．已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，则它的三条边之比为（）A．1：1： B．1：：2 C．1：：D．1：4：17．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）A． B．3 C．+2 D．8．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）A．12米B．13米C．14米D．15米9．如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A．1 B． C． D．210．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长为连续自然数，则周长为（）A．182 B．183 C．184 D．185二、填空题11．如图，等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，则腰长AB的长为．12．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为m．13．小华和小红都从同一点O出发，小华向北走了9米到A点，小红向东走了12米到了B点，则AB为米．14．如果一个三角形的三个内角之比是1：2：3，且最小边的长度是8，最长边的长度是．15．若三角形的三边满足a：b：c=5：12：13，则这个三角形中最大的角为度．16．已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为cm．17．命题：“同角的余角相等”的逆命题是．18．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为25dm、3dm、3dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是．（结果保留根号）19．如图，已知一根长8m的竹竿在离地3m处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，顶部距底部有m．20．一艘小船早晨8：00出发，它以8海里/时的速度向东航行，1小时后，另一艘小船以12海里/时的速度向南航行，则上午10：00，两小船相距海里．三、解答题21．如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米（先画出示意图，然后再求解）．22．三个半圆的面积分别为S1=4.5π，S2=8π，S3=12.5π，把三个半圆拼成如图所示的图形，则△ABC一定是直角三角形吗？说明理由．23．某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？24．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？25．印度数学家什迦逻（1141年﹣1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅”请用学过的数学知识回答这个问题．26．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？(2)若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？27．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm．答案1．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）①a=，b=，c=②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25 ⑤a=2，b=2，c=4．A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．【专题】选择题．【分析】计算出三角形的角利用定义判定或在知道边的情况下利用勾股定理的逆定理判定则可．【解答】解：①，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是；②a=6，∠A=45不是成为直角三角形的必要条件，故不是；③∠A=32°，∠B=58°则第三个角度数是90°，故是；④72+242=252，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故是；⑤22+22≠42，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是．故选A．【点评】本题考查了直角三角形的定义和勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．2．在△ABC中，若a=n2﹣1，b=2n，c=n2+1，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【考点】勾股定理的逆定理；完全平方公式．【专题】选择题．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【解答】解：∵（n2﹣1）2+（2n）2=（n2+1）2，∴三角形为直角三角形，故选D．【点评】本题利用了勾股定理的逆定理判定直角三角形，即已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．3．直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是（）A．15°B．30°C．45° D．60°【考点】勾股定理．【专题】选择题．【分析】根据斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，以及勾股定理可以列出两个关系式，直接解答即可．【解答】解：设直角三角形的两直角边是a、b，斜边是c．根据斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍得到：2ab=c2，根据勾股定理得到：a2+b2=c2，因而a2+b2=2ab，即：a2+b2﹣2ab=0，（a﹣b）2=0∴a=b，则这个三角形是等腰直角三角形，因而这个三角形的锐角是45°．故选C．【点评】已知直角三角形的边长问题，不要忘记三边的长，满足勾股定理．4．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B 与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）．【专题】选择题．【分析】根据折叠的条件可得：BE=DE，在直角△ABE中，利用勾股定理就可以求解．【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE=ED．∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．∴BE=9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2．解得AE=4．∴△ABE的面积为3×4÷2=6．故选C．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．5．分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10 ②13，5，12 ③1，2，3 ④9，40，41 ⑤3，4，5．其中能构成直角三角形的有（）组．A．2 B．3 C．4 D．5【考点】勾股定理的逆定理．【专题】选择题．【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【解答】解：因为①62+82=102，②132=52+122，④92+402=412，符合勾股定理的逆定理，所以能构成直角三角形的有三组．故选B．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．6．已知△ABC中，∠A=∠B=∠C，则它的三条边之比为（）A．1：1： B．1：：2 C．1：：D．1：4：1【考点】勾股定理．【专题】选择题．【分析】根据给出的条件和三角形的内角和定理计算出三角形的角，再计算出它们的边的比．【解答】解：∵∠A=∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，∴c=2a，b=a，∴三条边的比是1：：2．故选B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理，通过知道角的度数计算特殊三角形边的比．7．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）A． B．3 C．+2 D．【考点】勾股定理；含30度角的直角三角形．【专题】选择题．【分析】根据直角三角形的性质及勾股定理即可解答．【解答】解：如图所示，Rt△ABC中，∠B=60°，AB=1，则∠A=90°﹣60°=30°，故BC=AB=×1=，AC===，故此三角形的周长是．故选D．【点评】考查了勾股定理和含30度角的直角三角形，熟悉直角三角形的性质：直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半．熟练运用勾股定理．8．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）A．12米B．13米C．14米D．15米【考点】勾股定理的应用．【专题】选择题．【分析】根据梯子、地面、墙正好构成直角三角形，再根据勾股定理解答即可．【解答】解：如图所示，AB=13米，BC=5米，根据勾股定理AC===12米．故选A．【点评】此题是勾股定理在实际生活中的运用，比较简单．9．如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A．1 B． C． D．2【考点】勾股定理．【专题】选择题．【分析】根据勾股定理进行逐一计算即可．【解答】解：∵AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，∴AC===；AD===；AE===2．故选D．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．10．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长为连续自然数，则周长为（）A．182 B．183 C．184 D．185【考点】勾股定理．【专题】选择题．【分析】设出另一直角边和斜边，根据勾股定理列出方程，再根据边长都是自然数这一特点，写出二元一次方程组，求解即可．【解答】解：设另一直角边长为x，斜边为y，根据勾股定理可得x2+132=y2，即（y+x）（y﹣x）=169×1因为x、y都是连续自然数，可得，∴周长为13+84+85=182；故选A．【点评】本题综合考查了勾股定理与二元一次方程组，解这类题的关键是利用勾股定理来寻求未知系数的等量关系．11．如图，等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，则腰长AB的长为．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【专题】填空题．【分析】根据等腰三角形的三线合一得BD=8，再根据勾股定理即可求出AB的长．【解答】解：∵等腰△ABC的底边BC为16，底边上的高AD为6，∴BD=8，AB===10．【点评】注意等腰三角形的三线合一，熟练运用勾股定理．12．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为m．【考点】勾股定理的应用．【专题】填空题．【分析】从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答．【解答】解：根据图中数据，运用勾股定理求得AB===480米．【点评】考查了勾股定理的应用，是实际问题但比较简单．13．小华和小红都从同一点O出发，小华向北走了9米到A点，小红向东走了12米到了B点，则AB为米．【考点】勾股定理的应用．【专题】填空题．【分析】根据题意画出图形根据勾股定理解答．【解答】解：如图，在Rt△AOB中，∠O=90°，AO=9m，OB=12m，根据勾股定理得AB====15m．【点评】本题很简单，只要根据题意画出图形即可解答，体现了数形结合的思想．14．如果一个三角形的三个内角之比是1：2：3，且最小边的长度是8，最长边的长度是．【考点】勾股定理；三角形内角和定理．【专题】填空题．【分析】根据三角形的三个内角之比是1：2：3，求出各角的度数，再根据直角三角形的性质解答即可．【解答】解：设一份是x，则三个角分别是x，2x，3x．再根据三角形的内角和定理，得：x+2x+3x=180°，解得：x=30°，则2x=60°，3x=90°．故此三角形是有一个30°角的直角三角形．根据30°的角所对的直角边是斜边的一半，得，最长边的长度是16．【点评】此题要首先根据三角形的内角和定理求得三个角的度数，再根据直角三角形的性质求得最长边的长度即可．15．若三角形的三边满足a：b：c=5：12：13，则这个三角形中最大的角为度．【考点】勾股定理的逆定理．【专题】填空题．【分析】一个三角形的三边符合a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，依此可得这个三角形中最大的角的度数．【解答】解：设三角形的三边分别为5x，12x，13x，则（5x）2+（12x）2=（13x）2，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形．则这个三角形中最大的角为90度．故答案为：90．【点评】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．16．已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为cm．【考点】勾股定理．【专题】填空题．【分析】根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．【解答】解：∵直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，∴斜边为=10，设斜边上的高为h，则直角三角形的面积为×6×8=×10h，h=4.8cm，这个直角三角形斜边上的高为4.8cm．【点评】本题考查了勾股定理的运用即直角三角形的面积的求法，属中学阶段常见的题目，需同学们认真掌握．17．命题：“同角的余角相等”的逆命题是．【考点】互逆命题．【专题】填空题．【分析】先把同角的余角相等写成“如果…那么…”的形式，然后交换题设和结论即可得到逆命题．【解答】解：“同角的余角相等”的逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角”．故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角．【点评】本题考查了命题与定理，正确理解原命题与逆命题的关系是解题关键．18．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为25dm、3dm、3dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是．（结果保留根号）【考点】勾股定理的应用．【专题】填空题．【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为25dm，宽为（3+3）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得：x2=252+[（3+3）×3]2=949，解得x=．故答案为dm．【点评】此题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．19．如图，已知一根长8m的竹竿在离地3m处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，顶部距底部有m．【考点】勾股定理的应用．【专题】填空题．【分析】利用勾股定理，用一边表示另一边，代入数据即可得出结果．【解答】解：由图形及题意可知，AB2+BC2=AC2设旗杆顶部距离底部有x米，有32+x2=52，得x=4，故答案为4．【点评】本题主要是考查学生对勾股定理的熟练掌握，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并正确的利用勾股定理．20．一艘小船早晨8：00出发，它以8海里/时的速度向东航行，1小时后，另一艘小船以12海里/时的速度向南航行，则上午10：00，两小船相距海里．【考点】勾股定理的应用．【专题】填空题．【分析】正东方向与正南方向正好构成直角，因而两船所经过的路线，与10：00时，两船之间的连线正好构成直角三角形．根据勾股定理即可求解．【解答】解：在直角△OAB中，OB=2×8=16海里．OA=12海里，根据勾股定理：AB===20海里．故答案为：20．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．21．如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米（先画出示意图，然后再求解）．【考点】勾股定理的应用．【专题】解答题．【分析】根据题意画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．【解答】解：如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E∵AB=13，CD=8又∵BE=CD，DE=BC∴AE=AB﹣BE=AB﹣CD=13﹣8=5∴在Rt△ADE中，DE=BC=12∴AD2=AE2+DE2=122+52=144+25=169∴AD=13（负值舍去）答：小鸟飞行的最短路程为13m．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．22．三个半圆的面积分别为S1=4.5π，S2=8π，S3=12.5π，把三个半圆拼成如图所示的图形，则△ABC一定是直角三角形吗？说明理由．【考点】勾股定理的逆定理．【专题】解答题．【分析】根据S1、S2、S3，可得出AC2，BC2及AB2，根据勾股定理的逆定理可得出三角形是直角三角形．【解答】解：∵S1=π（）2=4.5π，S2=π（）2=8π，S3=π（）2=12.5π，∴AC2=36，BC2=64，AB2=100，又∵AC2+BC2=AB2，∴△ABC一定是直角三角形．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的知识，关键是根据面积表示出AC2，BC2及AB2，要求熟练掌握勾股定理的逆定理．23．某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？【考点】勾股定理的应用；勾股定理的逆定理．【专题】解答题．【分析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接BD，在直角三角形ABD中可求得BD的长，由BD、CD、BC的长度关系可得三角形DBC 为一直角三角形，DC为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABD和Rt△DBC构成，则容易求解．【解答】解：连接BD，在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52，在△CBD中，CD2=132，BC2=122，而122+52=132，即BC2+BD2=CD2，∴∠DBC=90°，S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC=•AD•AB+DB•BC，=×4×3+×12×5=36．所以需费用36×200=7200（元）．【点评】本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．24．如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？【考点】勾股定理的应用．【专题】解答题．【分析】先作A关于MN的对称点，连接A′B，构建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案．【解答】解：如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是最短路线，在Rt△A′DB中，由勾股定理求得A′B=DA==17km，答：他要完成这件事情所走的最短路程是17km．【点评】本题考查的是勾股定理和轴对称在实际生活中的运用，需要同学们联系实际，题目是一道比较典型的题目，难度适中．25．印度数学家什迦逻（1141年﹣1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅”请用学过的数学知识回答这个问题．【考点】勾股定理的应用．【专题】解答题．【分析】红莲在水中的长度，花离原位的长度和花的总长可构成直角三角形，设出湖水的深度为x，根据勾股定理列出方程可求出．【解答】解：设湖水深为x尺，则红莲总长为（x+0.5）尺，根据勾股定理得：在Rt△ABC中，有：x2+s2=（x+0.5）2，在Rt△ADC中，有：0.52+s2=22，由以上两式解得：x=3.5，即湖水深3.5尺．【点评】本题的关键是读懂题意，找出题中各个量之间的关系，建立等式进行求解．26．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？(2)若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？【考点】勾股定理的应用．【专题】解答题．【分析】(1)点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C，若AC＞200则A城不受影响，否则受影响；(2)点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，则C是DG的中点，在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．【解答】解：(1)由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，因为160＜200，所以A城要受台风影响；(2)设BF上点D，DA=200千米，则还有一点G，有AG=200千米．因为DA=AG，所以△ADG是等腰三角形，因为AC⊥BF，所以AC是DG的垂直平分线，CD=GC，在Rt△ADC中，DA=200千米，AC=160千米，由勾股定理得，CD===120千米，则DG=2DC=240千米，遭受台风影响的时间是：t=240÷40=6（小时）．【点评】此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂．27．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm．【考点】勾股定理；平面展开﹣最短路径问题．【专题】解答题．【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解答】解：如图：根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况：(1)沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图(1)AB′2=AB2+BB′2=（2+1）2+42=25；(2)沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图(2)AB′2=AC2+B′C2=22+（4+1）2=4+25=29；(3)沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图(3)AB′2=AD2+B′D2=12+（4+2）2=1+36=37；综上所述，最短路径应为(1)所示，所以AB′2=25，即AB′=5cm．【点评】此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．。
人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》单元测试卷附答案
第十七章《勾股定理》单元测试卷(共23题,满分120分,考试用时90分钟)学校班级姓名学号一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.如图,一根垂直于地面的旗杆在离地面5 m的B处撕裂折断,旗杆顶部落在离旗杆底部12 m的A处,则旗杆折断部分AB的高度是()A.5 mB.12 mC.13 mD.18 m第1题图第3题图第5题图2.下列各组数据中,不能作为直角三角形的三边长的是()A.3,4,6B.7,24,25C.6,8,10D.9,12,153.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.若AB=10,则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为()A.100B.120C.140D.1604.若直角三角形的两条直角边长分别是3和4,则斜边长为()A.2.4B.5C.√7D.75.如图,以数轴的单位长线段为边作一个正方形,数轴的原点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是()A.1B.1.4C.√2D.√36.在Rt△ABC中,a,b,c为三边长,则下列关系中正确的是()A.a2+b2=c2B.a2+c2=b2C.b2+c2=a2D.以上都有可能7.若一个直角三角形中,斜边的长为13,一条直角边长为5,则这个三角形的面积是()A.60B.30C.20D.328.如图,将风筝放至高30 m,牵引线与水平面夹角约为45°的高空中,则牵引线AB的长约是()A.30 mB.45 mC.20√3 mD.30√2 m第8题图第9题图第10题图9.(跨学科融合)如图,在物理实验课上,小明将长为8 cm的橡皮筋放置在水平面上,固定两端A和B,然后把中点C垂直向上拉升3 cm至点D,则橡皮筋被拉长了()A.3 cmB.2 cmC.6 cmD.4 cm10.如图所示的一块地,已知∠ADC=90°,AD=12 m,CD=9 m,AB=25 m,BC=20 m,则这块地的面积为()A.96 m2B.204 m2C.196 m2D.304 m2二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)11.如图,两个正方形的面积分别是100和36,则字母B所代表的正方形的面积是.第11题图第13题图12.若△ABC的三边长满足a2=b2+c2,则△ABC是直角三角形且∠=90°.13.如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅仅少走了步路(假设2步为1米),却踩伤了花草.14.如图,∠C=∠ABD=90°,AC=4,BC=3,BD=12,则AD的长等于.第14题图第15题图15.(数学文化)如图是“赵爽弦图”,△ABH,△BCG,△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形,如果AH=6,EF=2,那么AB的长等于.三、解答题(一)(共3小题,每小题8分,共24分)16.如图,根据所给条件,求BC的长.17.如果三角形的三边长分别为√2,√6,2,那么这个三角形是直角三角形吗?。
人教版八年级数学下册第十七章 勾股定理练习(含答案)
第十七章 勾股定理一、单选题1．若Rt △ABC 中，∠C =90°,c =13,a =5则b =（ ）A ．√194B ．12C ．11D ．102．下列各组数中，是勾股数的是（ ）A ．0.30.40.5,,BC ．6,8,10D ．1.5,2,2.5 3．在△ABC 中，△A ，△B ，△C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列结论中不正确的是（ ） A ．如果△A ﹣△B ＝△C ，那么△ABC 是直角三角形B ．如果a 2＝b 2﹣c 2，那么△ABC 是直角三角形且△C ＝90°C ．如果△A ：△B ：△C ＝1：3：2，那么△ABC 是直角三角形D ．如果a 2：b 2：c 2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形4．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，6AB =，9BC =，将ABC △折叠，使点C 与AB 的中点D 重合，折痕交AC 于点M ，交BC 于点N ，则线段BN 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．65．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）米．A ．5B ．7C ．8D ．126．一根长18cm 的牙刷置于底面直径为5cm 、高为12cm 的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为hcm ，则h 的取值范围是( )A ．5cm ＜h ≤6cmB ．6cm ＜h ≤7cmC ．5cm ≤h ≤6cmD ．5cm ≤h ＜6cm 7．如图，一客轮以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一客轮同时以12海里/时的速度从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）A ．25海里B ．30海里C ．35海里D ．40海里 8．如图，数轴上的点A 表示的数是-1，点B 表示的数是1，CB AB ⊥于点B ，且2BC =，以点A 为圆心，AC 为半径画弧交数轴于点D ，则点D 表示的数为（ ）A ．1B ．C ．2.8D ．19．已知a ，b ，c 是ABC V 的三条边长，且满足22(5)12261690a b c c -+-+-+=，则关于ABC V 的形状判断正确的是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形且△B=90°D ．直角三角形且△C=90°10．如图,等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 与平面直角坐标系的坐标原点O 重合，AC ，BC 分别在坐标轴上，AC =BC =1，△ABC 在x 轴正半轴上沿顺时针方向作无滑动的滚动，在滚动过程中，当点C 第一次落在x 轴正半轴上时，点A 的对应点A 1的横坐标是( )A ．2B ．3C ．D ．二、填空题 11．在Rt ABC V 中，90C ∠=︒，15AB =，:3:4AC BC =，则这个直角三角形的面积是____．12．如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___米.13．如图，在5×5的正方形（每个小正方形的边长为1）网格中，格点上有A 、B 、C 、D 、E 五个点，如果要求连接两个点之后线段的长度大于3且小于4，则可以连接_____. （写出一个答案即可）14．如果一个三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2+c 2+50＝6a+8b+10c ，那么这个三角形一定是______．三、解答题15．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB 在静止位置时，下端B 离地面0.6m ，荡秋千到AB 的位置时，下端B 距静止位置的水平距离EB 等于2.4m ，距地面1.4m ，求秋千AB 的长．16．如图，在三角形纸片ABC 中，90513ACB BC AB ∠=︒==，，在AC 上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，点A 与BC 延长线上的点D 重合． （1）AC 的长=________．（2）求CE 的长17．已知：如图，在△ABC 中，AB=13，AC=20，AD=12，且AD△BC ，垂足为点D ，求BC 的长．18．如图，一块草坪的形状为四边形ABCD ，其中△B ＝90°，AB ＝3m ，BC ＝4m ，CD ＝12m ，AD ＝13m ，求这块草坪的面积．19．阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：22221()21()2a m n b mnc m n ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩其中m ＞n ＞0，m ，n 是互质的奇数． 应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长答案1．B2．C3．B4．B5．B6．C7．D8．A9．D10．D11．5412．1313．答案不唯一，如：AD 14．直角三角形15．4m16．（1）12；（2）103 CE17．2118．这块草坪的面积为36平方厘米．19．12，13或3，4。
八年级数学下册《第十七章-勾股定理》单元测试卷及答案(人教版)
八年级数学下册《第十七章-勾股定理》单元测试卷及答案(人教版)一 选择题(每小题3分 共30分)1. 如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A. √2 √3 √5B. 1.5C. 32 42 52D. 1 22. 点A(−3,−4)到原点的距离为( )A. 3B. 4C. 5D. 73. 有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( )A. 5B. √7C. √5D. 5或√74．如果直角三角形两直角边的比为5∶12， 则斜边上的高与斜边的比为（ ） A 60∶13B 5∶12C 12∶13D 60∶1695. 若一直角三角形两边长分别为12和5 则第三边长为（ ） A ．13 B ．13或C ．13或15D ．156．一个圆桶底面直径为24cm ，高32cm ，则桶内所能容下的最长木棒为（ ）A ．20cmB ．50cmC ．40cmD ．45cm7．如图 小明准备测量一段水渠的深度 他把一根竹竿AB 竖直插到水底 此时竹竿AB 离岸边点C 处的距离米．竹竿高出水面的部分AD 长0.5米 如果把竹竿的顶端A 拉向岸边点C 处 竿顶和岸边的水面刚好相齐 则水渠的深度BD 为（ ）A ．2米B ．2.5米C ．2.25米D ．3米1.5CD8.如图， “赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形 已知大正方形面积为25 (x +y)2=49 用x y 表示直角三角形的两直角边(x >y) 下列选项中正确的是( )A. 小正方形面积为4B. x 2+y 2=5C. x 2−y 2=7D. xy =249.如图，在△ABC 中 ∠C =90° AC =4 BC =2.以AB 为一条边向三角形外部作正方形 则正方形的面积是( )A. 8B. 12C. 18D. 2010.如图 在Rt △ABC 中 ∠ACB =90° AC =3 BC =4 BE 平分∠ABC CD ⊥AB 于D BE 与CD 相交于F 则CF 的长是( )A. 1B. 43C. 53D. 2二 填空题（每题3分 共24分）11．若一个三角形的三边之比为5：12：13 且周长为60cm 则它的面积为_____cm 2． 12．如图所示 所有的四边形都是正方形 所有的三角形都是直角三角形 其中最大的正方形的边长为7cm 正方形A B C 的面积分别是28cm 210cm 214cm 则正方形D 的面积是___________2cm ．13．在ABC中90C∠=︒AB=5 则222AB AC BC++=______．14.如图在△ABC中∠ABC=90° 分别以BC AB AC为边向外作正方形面积分别记为S1S2,S3若S2=4 S3=6则S1=__________.15.方程思想如图在Rt△ABC中∠C=90° BC=6cm AC=8cm 按图中所示方法将△BCD沿BD折叠使点C落在AB边的点C’处那么△ADC’的面积是_____cm2. 16．如图一架秋千静止时踏板离地的垂直高度DE＝0.5m将它往前推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1m秋千的绳索始终拉直则绳索AD的长是m．17．如图小明利用升旗用的绳子测量学校旗杆BC的高度他发现绳子刚好比旗杆长11米若把绳子往外拉直绳子接触地面A点并与地面形成30°角时绳子末端D距A点还有1米那么旗杆BC的高度为米．18．在△ABC中AB＝AC＝5 BC＝6．若点P在边AC上移动则BP的最小值是．三、解答题(满分46分,19题6分20 21 22 23 24题每题8分)19.小明将一副三角板如图所示摆放在一起发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长若已知CD=2求AC的长．20.如图折叠长方形的一边AD使点D落在边BC的点F处已知AB=8cm BC=10cm求(1)FC的长．(2)EF的长．21 (8分)如图已知∠ADC=90°AD=8 CD=6 AB=26 BC=24．（1）证明：△ABC是直角三角形．（2）请求图中阴影部分的面积．22．如图 在长方形中 点在边上 把长方形沿直线折叠 点落在边上的点处。
人教版数学八年级下册第十七章勾股定理测试题含答案
人教版数学八年级下册第十七章考试试题评卷人得分一、单选题1．三角形的三边长分别为6，8，10，它的最短边上的高为（）A ．6B ．4.5C ．2.4D ．82．Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则AB 2＋AC 2＋BC 2的值为()A ．8B ．4C ．6D ．无法计算3．△ABC 的三边分别为下列各组值，其中不是直角三角形三边的是（）A ．a=41，b=40，c=9B ．a=1.2，b=1.6，c=2C ．a=12，b=13，c=14D ．a=35，b=45，c=14．已知三角形的三边长为n 、n ＋1、m(其中m 2＝2n ＋1)，则此三角形()．A ．一定是等边三角形B ．一定是等腰三角形C ．一定是直角三角形D ．形状无法确定5．如图，矩形OABC 的边OA 长为2，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A ．25B ．CD ．6．下列命题的逆命题正确的是（）A ．如果两个角是对顶角，那么它们相等B ．全等三角形的面积相等C ．同位角相等，两直线平行D ．若a ＝b ，则22a b ＝7．以下列数组为三角形的边长：（1）5，12，13；（2）10，12，13；（3）7，24，25；（4）6，8，10，其中能构成直角三角形的有（）A ．4组B ．3组C ．2组D ．1组8．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的()．A ．1∶1∶2B ．1∶3∶4C ．9∶25∶26D ．25∶144∶1699．把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）A ．2倍B ．4倍C ．3倍D ．5倍10．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是40m/min ，甲客轮用30min 到达A 处，乙客轮用40min 到达B 处.若A ，B 两处的直线距离为2000m ，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（）A ．北偏西30°B ．南偏西30°C ．南偏东60°D ．南偏西60°评卷人得分二、填空题11．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现直角边沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为________．12．一个三角形的两边的长分别是3和5，要使这个三角形为直角三角形，则第三条边的长为_____．13．△ABC 的两边a ，b 分别为5，12，另一边c 为奇数，且a ＋b ＋c 是3的倍数，则c 应为______，此三角形为______.14．所谓的勾股数就是使等式222+=a b c 成立的任何三个正整数.我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m ，n(m ＞n)，取a ＝22m n -，b ＝2mn ，c ＝22m n +，则a ，b ，c 就是一组勾股数.请你结合这种方法，写出85(三个数中最大)，84和________组成一组勾股数.15．如图，一架梯子AB 长2.5m ，顶端A 靠墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5m ，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.5m ，则梯子顶端A 下落了_______m.评卷人得分三、解答题16．写出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？（1）两直线平行，同位角相等；＝；（2）如果实数a＝b，那么a b（3）直角都相等.17．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．18．根据所给条件，求下列图形中的未知边的长度.（1）求图1中BC的长；（2）求图2中BC的长.19．能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察下列表格所给出的三个数a，b，c，a<b<c．（1）试找出它们的共同点，并证明你的结论．（2）写出当a=17时，b，c的值．20．如图，在月港有甲、乙两艘渔船，若甲渔船沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，乙渔船沿南偏东30°方向以每小时15海里的速度前进，两小时后，甲船到达M岛，乙船到达P岛.求P岛与M岛之间的距离.21．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？22．如图，为修通铁路凿通隧道AC，量出∠A=40°∠B＝50°，AB＝5公里，BC＝4公里，若每天凿隧道0.3公里，问几天才能把隧道AC凿通？23．写出下列命题的逆命题，并判断真假．(1)如果a=0，那么ab=0；(2)如果x=4，那么x2=16；(3)面积相等的三角形是全等三角形；(4)如果三角形有一个内角是钝角，则其余两个角是锐角；(5)在一个三角形中，等角对等边．参考答案1．D【解析】本题考查了直角三角形的判定即勾股定理的逆定理和直角三角形的性质由勾股定理的逆定理判定该三角形为直角三角形，然后由直角三角形的定义解答出最短边上的高．由题意知，，所以根据勾股定理的逆定理，三角形为直角三角形．长为6的边是最短边，它上的高为另一直角边的长为8．故选D ．2．A【解析】利用勾股定理，由Rt △ABC 中，BC 为斜边，可得AB 2+AC 2=BC 2，代入数据可得AB 2+AC 2+BC 2=2BC 2=2×22=8．故选A ．3．C【解析】试题分析：A 、因为92+402=412，所以是直角三角形；B 、因为1.22+1.62=22，所以是直角三角形；C 、因为（14）2+（13）2=25144≠（12）2，所以不是直角三角形；D 、因为（35）2+（45）2=12，所以是直角三角形．故选C ．考点:勾股定理的逆定理．4．C【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形就是直角三角形，进行判断即可．【详解】∵()2222211m n n n n +=++=+，∴三角形是直角三角形，且(n ＋1)为斜边.故选C.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题，关键是掌握定理的内容.5．D【解析】【分析】本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系（勾股定理）解答即可．【详解】由勾股定理可知，∵，故选D ．【点睛】本题考查了勾股定理的运用和如何在数轴上表示一个无理数的方法，解决本题的关键是根据勾股定理求出OB 的长．6．C【解析】【分析】交换原命题的题设与结论得到四个命题的逆命题,然后分别根据直角的定义、全等三角形的判定、平行线的性质和平方根的定义判定四个逆命题的真假.【详解】A 、逆命题为:如果两个角相等,那么它们都是直角,此逆命题为假命题;B 、逆命题为:面积相等的两三角形全等,此逆命题为假命题;C 、逆命题为:两直线平行,同位角相等,此逆命题为真命题;D 、逆命题为:若22a b ＝,则a ＝b ,此逆命题为假命题.所以C 选项是正确的.【点睛】本题考查了命题与定理:判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果那么”形式.有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理.也考查了逆命题.7．B【解析】【分析】能否构成直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】（1）、52+122=132，能构成直角三角形，故正确；（2）、102+122≠132，不能构成直角三角形，故错误；（3）、72+242=252，能构成直角三角形，故正确；（4）、62+82=102，能构成直角三角形，故正确．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．8．C【解析】试题解析：∵1+1=2，1+3=4，9+25=34≠36，25+144=169．∴其中不是直角三角形的是9：25：36．故选C．9．A【解析】【分析】根据勾股定理，可知：把直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍．【详解】设一直角三角形直角边为a、b，斜边为c．则a2+b2＝c2；另一直角三角形直角边为2a、2b＝2c．即直角三角形两直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的2倍．故选A．【点睛】熟练运用勾股定理对式子进行变形．10．C【解析】【分析】首先根据速度和时间计算出行驶路程,再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系,进而可得答案.根据题意可得甲的路程：40×30＝1200（m ），乙的路程：40×40＝1600（m ）.∵12002＋16002＝20002，∴甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系.∵甲客轮沿着北偏东30°，∴乙客轮的航行方向可能是南偏东60°.故选C.【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理的应用,关键是掌握如果三角形的三边长a ,b ,c 满足222c a b +=,那么这个三角形就是直角三角形.11．3cm【解析】【分析】先根据勾股定理求出AB 的长,设CD ＝x cm ,则()28BD x =-cm,再由图形翻折变换的性质可知AE ＝AC ＝6cm,DE ＝CD ＝x cm,进而可得出BE 的长,在t BDE R ∆中利用勾股定理即可求出x 的值,进而得出CD 的长.【详解】ABC ∆ 是直角三角形,AC ＝6cm,BC ＝8cm,10AB ∴===cm,AED ∆ 是ACD ∆翻折而成,6cm AE AC ∴==,设DE ＝CD ＝x cm,90AED ∠=︒,1064cm BE AB AE ∴=-=-=,在t BDE R ∆中,222BD DE BE =+,即()22284x x -=+,解得x ＝3.故CD 的长为3cm.本题考查的是翻折变换及勾股定理,解答此类题目时常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其它线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案.12．4【解析】【详解】解：①当第三边是斜边时，第三边的长的平方是：32+52=34；②当第三边是直角边时，第三边长的平方是：52-32=25-9=16=42，故答案是：4．13．13直角【解析】【分析】根据三角形的三边关系知，求得第三边c应满足12－5＝7＜c＜5＋12＝17，又因为这个数与a＋b的和又是3的倍数，则可求得此数；然后利用直角三角形的判定方法判定三角形即可完成.【详解】∵12－5＝7＜c＜5＋12＝17，c又为奇数，∴满足从7到17的奇数有9，11，13，15.∵与a＋b的和又是3的倍数，∴a＋b＋c＝30，∴c＝13.∵52＋122＝132，∴△ABC是直角三角形．【点睛】本题是三角形的三边关系、勾股定理类型的题目，解答本题的关键是利用三角形的三边关系进行解答.14．13【解析】【分析】根据勾股数的定义可得要求的数是852－842，再进行计算即可．【详解】∵852－842＝132，∴85(三个数中最大)、84和13组成一组勾股数．故答案为13.【点睛】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握该定义是本题解题的关键.15．0.5【解析】【分析】根据梯子、墙、地面构成直角三角形，利用勾股定理解答即可．【详解】在Rt△ABC中，AB＝2.5m，BC＝1.5m，==，故AC2m在Rt△ECD中，AB＝DE＝2.5m，CD＝(1.5＋0.5)＝2m，==，故EC 1.5m故AE＝AC－CE＝2－1.5＝0.5m，答：梯子顶端A下落了0.5m.故答案为0.5m.【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.＝，那么a 16．（1）逆命题：同位角相等，两直线平行.成立.（2）逆命题：如果实数a b＝b.不成立.（3）逆命题：如果两个角相等，那么这两个角都是直角.不成立.【解析】【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．【详解】(1)逆命题为：同位角相等，两直线平行，是成立，是真命题；(2)逆命题为：如果实数|a|＝|b|，那么a＝b，不成立，是假命题；(3)逆命题为：如果两个角相等，那么它们都为直角，不成立，是假命题.【点睛】本题考查了命题与定理，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.17．等腰直角三角形【解析】【分析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC的形状．【详解】解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，∴a4－b4－a2c2+b2c2=0，∴（a4－b4）－（a2c2－b2c2）=0，∴（a2+b2）（a2－b2）－c2（a2－b2）=0，∴（a2+b2－c2）（a2－b2）=0得：a2+b2=c2或a=b，或者a2+b2=c2且a=b，即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．考点：勾股定理的逆定理．18．（1）15；（2）12.【解析】试题分析：（1）直接根据勾股定理求出BC的长即可；（2）先根据勾股定理求出BD的长，再求出BC的长即可．试题解析：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理可得222+=AC BC AB222BC+=817BC=15（2）在Rt△ABD中，由勾股定理可得222+=AD AB BCBD=5在Rt△BDC中，由勾股定理可得222+=BD BC CDBC=1219．（1）见解析；（2）b=144，c=145．【解析】【分析】（1）根据表格找出规律再证明其成立；（2）把已知数据代入经过证明成立的规律即可.【详解】（1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析：①以上各组数均满足a2＋b2＝c2；②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，如32＝9＝4＋5，52＝25＝12＋13，72＝49＝24＋25，92＝81＝40＋41…由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论：设m为大于1的奇数，将m2拆分为两个连续的整数之和，即m2＝n＋（n＋1），则m，n，n＋1就构成一组简单的勾股数．证明：∵m2＝n＋（n＋1）（m为大于1的奇数），∴m2＋n2＝2n＋1＋n2＝（n＋1）2，∴m，n，（n＋1）是一组勾股数．（2）运用以上结论，当a＝17时，∵172＝289＝144＋145，∴b＝144，c＝145．【点睛】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.20．P岛与M岛之间的距离为34海里．【解析】【分析】由题意知，△BMP为直角三角形，在直角三角形中运用勾股定理求解．【详解】解：由题意可知△BMP为直角三角形，BM＝8×2＝16(海里)，BP＝15×2＝30(海里)，∴MP＝34海里．答：P岛与M岛之间的距离为34海里．【点睛】本题考查勾股定理的应用.21．（1）作图见解析；（2）总费用为150万元.【解析】【详解】试题分析：此题的关键是确定点M的位置，需要首先作点A的对称点A′，连接点B和点A′，交l于点M，M即所求作的点．根据轴对称的性质，知：MA+MB=A′B．根据勾股定理即可求解．解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B与CD，交点CD于M，点M即为所求作的点，则可得：DK=A′C=AC=10千米，∴BK=BD+DK=40千米，∴千米，总费用为50×3=150万元．考点：轴对称-最短路线问题．22．10天才能将隧道凿通【解析】试题分析：由题意知：∠A=50°，∠B=40°则∠C为90°，在直角△ABC中，已知AB，BC 根据勾股定理即可求AC，则需要天数可求．解：∵∠A=50°，∠B=40°，∴∠C=90°，∴AC2=AB2﹣BC2=（3km）2∴AC=3km，∵3÷0.3=10，∴10天才能将隧道凿通．答：10天才能将隧道凿通．23．（1）的逆命题是如果ab=0，那么a=0.不成立.（2）的逆命题是如果x2=16，那么x=4.不成立.（3）的逆命题是全等三角形的面积相等.成立.（4）的逆命题是如果三角形有两个内角是锐角，那么另一个内角是钝角.不成立.（5）的逆命题是在一个三角形中，等边对等角.成立.【解析】试题分析：分别写出各个命题的逆命题，再进行判断即可.试题解析：（1）的逆命题是如果ab=0，那么a=0.不成立.（2）的逆命题是如果x2=16，那么x=4.不成立.（3）的逆命题是全等三角形的面积相等.成立.（4）的逆命题是如果三角形有两个内角是锐角，那么另一个内角是钝角.不成立.（5）的逆命题是在一个三角形中，等边对等角.成立.。
人教版初中八年级数学下册第十七章《勾股定理》习题(含答案解析)
一、选择题1．如图，△ABC≌△ADE，AB＝AD，AC＝AE，∠B＝28︒，∠E＝95︒，∠EAB＝20︒，则∠BAD等于（）A．75︒B．57︒C．55︒D．77︒2．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC边上的中线，AD的取值范围是（）A．1＜AD＜6 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．2＜AD＜43．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠A＝105°，∠D＝25°，则∠ABE等于（）A．65°B．60°C．55°D．50°≅，还需增加的4．如图，ABC和DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F，要使ABC DEF条件是（）A．AB=EF B．AC=DF C．∠B=∠E D．CB=DE5．在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判定射线AD平分∠BAC的是（）A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3 6．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（）A．1.5 B．2 C．22D．107．下列说法不正确的是（）A．三边分别相等的两个三角形全等B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C．有两角及一边对应相等的两个三角形全等D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等8．下列说法正确的是（）A．两个长方形是全等图形B．形状相同的两个三角形全等C．两个全等图形面积一定相等D．所有的等边三角形都是全等三角形9．对于ABC与DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，则下列条件：①AB=DE；②AC=DF；③BC=DF；④AB=EF中，能判定它们全等的有（）A．①②B．①③C．②③D．③④10．如图所示，已知∠A＝∠C，∠AFD＝∠CEB，那么给出的条件不能得到△≌△是（）ADF CBEA．∠B＝∠D B．EB=DF C．AD=BC D．AE=CF11．如图，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC上一点，AD＝AE，BE、CD相交于点M．若∠BAC ＝70°，∠C ＝30°，则∠BMD 的大小为( )A ．50°B ．65°C ．70°D ．80° 12．如图，C 是∠AOB 的平分线上一点，添加下列条件不能判定△AOC ≌△BOC 的是（ ）A ．OA =OB B ．AC =BC C ．∠A =∠BD ．∠1=∠2 13．如图，在下列条件中，不能判断△ABD ≌△BAC 的条件是（ ）A ．∠D=∠C ， ∠BAD=∠ABCB ．BD=AC ， ∠BAD=∠ABC C ．∠BAD=∠ABC ， ∠BAD=∠ABCD ．AD=BC ，BD=AC 14．如图，在Rt ABC 和Rt ADE △中，90,,ACB AED AB AD AC AE ∠=∠===，则下列说法不正确的是（ ）A ．BC DE =B ．BAE DAC ∠=∠ C ．OC OE =D ．EAC ABC ∠=∠ 15．如图，要判定△ABD ≌△ACD ，已知AB ＝AC ，若再增加下列条件中的一个，仍不能说明全等，则这个条件是（ ）A ．CD ⊥AD ，BD ⊥ADB ．CD ＝BDC ．∠1＝∠2D ．∠CAD ＝∠B AD二、填空题16．如图，已知在ABC ∆和ADC ∆中，,ACB ACD ∠=∠请你添加一个条件：_________，使ABC ADC ∆≅∆(只添一个即可）．17．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，12AB =，5BC =，射线AP AB ⊥于点A ，点E 、D 分别在线段AB 和射线AP 上运动，并始终保持DE AC =，要使ABC 和DAE △全等，则AE 的长为______．18．如图，△ABC ≌△DEF ，由图中提供的信息，可得∠D ＝__________°．19．已知在△ABC 中，AB ＝9，中线AD ＝4，那么AC 的取值范围是____20．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，10AC =，5BC =，线段PQ AB =，P ，Q 两点分别在线段AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AD 上运动，当AQ =______时，ABC 和PQA △全等．21．如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与外角∠ACE 的平分线交于点D ，若∠D ＝20°，则∠A ＝_____．22．如图，在ABC 中，C 90∠=，A ∠、B ∠的平分线交于O ，OD AB ⊥于D ．若AC 3=，BC 4=，AB 5=，则AD =________．23．如图，点P 是AOC ∠的角平分线上一点，PD OA ⊥，垂足为点D ，且5PD =，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为__．24．如图，在ABC 中，点D 是BC 上的一点，已知30DAC ∠=︒，75DAB ∠=︒，CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，连接DE ，则DEC ∠=________度．25．如图，AD 为∠CAF 的角平分线，BD=CD ，∠DBC=∠DCB ，∠DCA=∠ABD ，过D 作DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 交BA 的延长线于F ，则下列结论：①△CDE ≌△BDF ；②CE=AB+AE ；③∠DAF=∠CBD ．其中正确的结论有_____．（填序号）26．如图，12∠=∠，要用“SAS ”判定ADC BDC ≌△△，则可加上条件__________．三、解答题27．如图，点A ，E ，F ，B 在直线l 上，AE BF =，//AC BD ，且AC BD =，求证：ACF BDE ≅△△．28．如图，已知在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，别过B 、C 两点向过A 的直线作垂线，垂足分别为E 、F ．求证：EF BE CF =+．29．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 上的一点，过D 作DE ⊥AB 交AC 于点E ，CE=DE ．连接CD 交BE 于点F ．（1）求证：BC=BD ；（2）若点D 为AB 的中点，求∠AED 的度数．30．如图，在△ABD中，∠ABC=45°，AC，BF为△ABD的两条高，CM//AB，交AD于点M；求证：BE=AM+EM．。
人教版数学八年级下第十七章《勾股定理》单元检测题含答案
1 / 6《勾股定理》单元检测题一、选择题（每小题只有一个正确答案）1．设直角三角形的两条直角边分别为a 和b ，斜边长为c ，已知1213b c ==，，则a=( )A. 1B. 5C. 10D. 252．在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（ ）A. 15817a b c ===，，B. 91215a b c ===，，C. 72425a b c ===，，D. 357a b c ===，，3．一个三角形的三边长为15，20，25，则此三角形最大边上的高为（ ）A. 10B. 12C. 24D. 484．如图，有一个由传感器控制的灯A 装在门上方离地高4.5 m 的墙上，任何东西只要移至距该灯5 m 及5 m 以内时，灯就会自动发光，请问一个身高1.5 m 的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（ ）A. 4 mB. 3 mC. 5 mD. 7 m5．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是( )A. B. C. D.6．若直角三角形的三边长分别为a b -、a 、a b +，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为（ ）A. 22B. 32C. 62D. 827．如图，△ABC 中，AC =3，BC = 5，AD ⊥BC 交BC 于点D ，AD =125，延长BC 至E 使得CE =BC ，将△ABC 沿AC 翻折得到△AFC ，连接EF ，则线段EF 的长为（ ）A. 6B. 8C. 325D. 3238．如图,点P 是平面坐标系中一点,则点P 到原点的距离是（ ）A. 3B. 2C. 7D. 59．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm 2 ，则该半圆的半径为（）A. (4+5)cmB. 9cmC. 45cm D. 62cm10．如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm. 如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要， ，A. 11cm 34 C. (8＋10)cm D. (7＋5二、填空题11．一个直角三角形的两条直角边长为6和8，则它的斜边上的高是________．12．如图所示,一段楼梯,高BC是3 m,斜边AC是5 m,如果在楼梯上铺地毯,那么至少需要地毯________.13．如图，在东西走向的铁路上有A，B两站（视为直线上的两点）相距36千米，在A，B 的正北分别有C，D两个蔬菜基地，其中C到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米，现要在铁路AB上建一个蔬菜加工厂E，使蔬菜基地C，D到E的距离相等，则E站应建在距A站_____千米的地方．14．如图，在Rt△ABC中，∠BCA，90°，点D是BC上一点，AD，BD，若AB，8，BD，5，则CD，________，3 / 615．如图，点A 、B 、O 是单位为1的正方形网格上的三个格点，⊙O 的半径为OA ，点P 是优弧AmB 的中点，则△APB 的面积为_______．三、解答题16．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝1，CD 3，DA ＝1，且∠B ＝90°.求：(1)∠BAD 的度数；(2)四边形ABCD 的面积(结果保留根号)，17．如图是“赵爽弦图”，其中ABH 、BCG 、CDF 和DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理.设AD c AE a DE b ===，，，取102c a b =-=，． ()1正方形EFGH 的面积为______，四个直角三角形的面积和为______；()2求2()a b +的值．18．如图，甲、乙两船从港口A 同时出发，甲船以30海里/时的速度向北偏东35°的方向航行，乙船以40海里/时的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛，若C，B 两岛相距100海里，则乙船航行的方向是南偏东多少度？19．如图，一架长2.5m 的梯子AB 斜靠在墙AC 上，，C =90°，此时，梯子的底端B 离墙底C 的距离BC 为0.7m ．（1）求此时梯子的顶端A 距地面的高度AC ；（2）如果梯子的顶端A 下滑了0.9m ，那么梯子的顶端B 在水平方向上向右滑动了多远？1 / 6参考答案1．B2．D3．B4．A5．D6．B7．A8．A9．C10．B11．4.812．7m13．1214．1.415212+16．（1）135°；（2122+解析：（1）∵AB=BC=1，且∠B=90°，∴∠BAC=45°，22=2AB BC +， 而3DA=1，∴CD 2=AD 2+AC 2，∴△ACD 是直角三角形，即∠DAC=90°，∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=135°；（2）∵S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD ，而S △ABC =12AB×BC=12， S △ACD =12AD×22， ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =12+12（）17．4；96解：（1）∵HE =a ﹣b =2，∴S 正方形EFGH =HE 2=4．∵AD =c =10，∴S 正方形ABCD =AD 2=100，∴四个直角三角形的面积和=S 正方形ABCD ﹣S 正方形EFGH =100﹣4=96．故答案为：4；96；（2）由（1）可知四个直角三角形的面积和为96，∴4×12ab =96，解得：2ab =96．∵a 2+b 2=c 2=100，∴（a +b ）2=a 2+b 2+2ab =100+96=196．18．乙船航行的方向为南偏东55°.解析：由题意可知，在△ABC 中，AC ＝30×2=60，AB ＝40×2=80，BC ＝100，∴AC 2=3600，AB 2=6400，BC 2=10000，∴AC 2＋AB 2＝BC 2，∴∠CAB ＝90°，又∵∠EAD=180°，∠EAC=35°，∴∠DAB ＝90°－∠CAE ＝90°－35°＝55°，∴乙船航行的方向为南偏东55°.19．（1）此时梯顶A 距地面的高度AC 是2.4米；（2）梯子的底端B 在水平方向滑动了1.3m ．解析：（1）∵∠C=90°，AB=2.5，BC=0.7∴22AB BC -222.50.7-（米）， 答：此时梯顶A 距地面的高度AC 是2.4米；（2）∵梯子的顶端A 下滑了0.9米至点A′，∴A′C=AC﹣A′A=2.4﹣0.9=1.5（m ），在Rt△A′CB′中，由勾股定理得：A′C 2+B′C 2=A′B′2，即1.52+B′C 2=2.52，∴B′C=2（m ）∴BB′=CB′﹣BC=2﹣0.7=1.3（m ），答：梯子的底端B 在水平方向滑动了1.3m ．。
第十七章 勾股定理单元检测题（含解析）
人教版八年级下册17章勾股定理检测题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共11小题，共33.0分）1.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，BD=2cm，求AB的长（）A. 4cmB. 6cmC. 8cmD. 10cm2.下列各组数能构成勾股数的是（）A.2，，B. 12，16，20B.C. ，， D. ，，3.如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5m处折断，倒下的部分与地面成角，如图所示，这棵树在折断前的高度是（）A. 10mB. 15mC. 5mD. 20m4.如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为( )米A. 4米B. 5米C. 7米D. 8米5.一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A. 25海里B. 30海里C. 40海里D. 50海里6.下列各组数中，不能满足勾股定理的逆定理是（）A. 3，4，5B. 6，8，10C. 5，12，13D. 7，5，107.如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，AD=1，则BD的长为（）A.2B. 2C. 3D. 38.如图，字母B所代表的正方形的面积是（）A.12B. 144C. 13D. 1949.2002年国际数学家大会在北京召开，大会选用了赵爽弦图作为会标的中心图案．如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形．如果大正方形的面积是25，直角三角形较长的直角边长是a，较短的直角边长是b，且（a+b）2的值为49，那么小正方形的面积是（）A.2B.C. 13D. 110.如图，校园内有两棵树，相距8米，一棵树树高13米，另一棵树高7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（）A.8米B. 9米C. 10米D. 11米11.下列说法中，正确的有（）①如果∠A+∠B-∠C=0，那么△ABC是直角三角形；②如果∠A：∠B：∠C=5：12：13，则△ABC是直角三角形；③如果三角形三边之比为，则△ABC为直角三角形；④如果三角形三边长分别是n2-4、4n、n2+4（n＞2），则△ABC是直角三角形；A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）12.如图，△ABC是边长6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为V p=2cm/s，V Q=1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t= ______ s时，△PBQ为直角三角形．13.如图，为安全起见，幼儿园打算加长滑梯AB，将其倾斜角由45°降至30°，已知滑梯AB的长为4m，点D，B，C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是______ m．14.将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=24cm，则阴影部分的面积是______．15.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方两丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个水池是边长为2丈（1丈=10尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面2尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度分别是多少？”答：这个水池的深度和这根芦苇的长度分别是______．16.如果直角三角形的三边长为10、6、x，则最短边上的高为______．17.已知Rt△ABC的三边AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，则AB边上的中线为______ cm，AB边上的高为______ cm．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）18.如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100m 回到家A处．问小明在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．四、解答题（本大题共6小题，共48.0分）19.如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，CE=CD，（1）求证：DB=DE．（2）在图中过D作DF⊥BE交BE于F，若CF=4，求△ABC的周长．20.如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，DE是BC的垂直平分线，DE分别交BC、AB于点D、E．（1）求证：△ABC为直角三角形．（2）求AE的长．21.已知△ABC的三边分别为a，b，c，且a+b=3，ab=1，c=．（1）求a2+b2的值；（2）试判断△ABC的形状，并说明理由．22.如图所示的一块地（图中阴影部分），∠ADC=90°,AD=12, CD=9, AB=25, BC=20.(1) 求∠ACB的度数；(2)求阴影部分的面积。