2020-2021中考数学平行四边形综合题汇编含答案
2020-2021中考数学平行四边形综合题汇编含答案
一、平行四边形
1．如图1，正方形ABCD的一边AB在直尺一边所在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E．
（1）如图1，线段AB与OE之间的数量关系为 ．（请直接填结论）
（2）保证点A始终在直线MN上，正方形ABCD绕点A旋转θ（0＜θ＜90°），过点 B作BF⊥MN于点F．
①如图2，当点O、B两点均在直线MN右侧时，试猜想线段AF、BF与OE之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
②如图3，当点O、B两点分别在直线MN两侧时，此时①中结论是否依然成立呢？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．
③当正方形ABCD绕点A旋转到如图4的位置时，线段AF、BF与OE之间的数量关系为 ．（请直接填结论）
【答案】（1）AB=2OE；（2）①AF+BF=2OE,证明见解析;②AF﹣BF=2OE 证明见解析;③BF﹣AF=2OE，
【解析】
试题分析：（1）利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论；
（2）①过点B作BH⊥OE于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；
②过点B作BH⊥OE交OE的延长线于H，可得四边形BHEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BH，BF=HE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBH，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBH全等，根据全等三角形对应边相等可得OH=AE，OE=BH，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；
③同②的方法可证．
试题解析：（1）∵AC，BD是正方形的对角线，
∴OA=OC=OB，∠BAD=∠ABC=90°，
∵OE⊥AB， ∴OE=12AB，
∴AB=2OE，
（2）①AF+BF=2OE
证明：如图2，过点B作BH⊥OE于点H
∴∠BHE=∠BHO=90°
∵OE⊥MN，BF⊥MN
∴∠BFE=∠OEF=90°
∴四边形EFBH为矩形
∴BF=EH，EF=BH
∵四边形ABCD为正方形
∴OA=OB，∠AOB=90°
∴∠AOE+∠HOB=∠OBH+∠HOB=90°
∴∠AOE=∠OBH
∴△AEO≌△OHB（AAS）
∴AE=OH，OE=BH
∴AF+BF=AE+EF+BF=OH+BH+EH=OE+OE=2OE．
②AF﹣BF=2OE
证明：如图3，延长OE，过点B作BH⊥OE于点H
∴∠EHB=90°
∵OE⊥MN，BF⊥MN ∴∠AEO=∠HEF=∠BFE=90°
∴四边形HBFE为矩形
∴BF=HE，EF=BH
∵四边形ABCD是正方形
∴OA=OB，∠AOB=90°
∴∠AOE+∠BOH=∠OBH+∠BOH
∴∠AOE=∠OBH
∴△AOE≌△OBH（AAS）
∴AE=OH，OE=BH，
∴AF﹣BF
=AE+EF﹣HE=OH﹣HE+OE=OE+OE=2OE
③BF﹣AF=2OE，
如图4，作OG⊥BF于G，则四边形EFGO是矩形，
∴EF=GO，GF=EO，∠GOE=90°，
∴∠AOE+∠AOG=90°．
在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠AOG+∠BOG=90°，
∴∠AOE=∠BOG．
∵OG⊥BF，OE⊥AE，
∴∠AEO=∠BGO=90°．
∴△AOE≌△BOG（AAS），
∴OE=OG，AE=BG，
∵AE﹣EF=AF，EF=OG=OE，AE=BG=AF+EF=OE+AF，
∴BF﹣AF=BG+GF﹣（AE﹣EF）=AE+OE﹣AE+EF=OE+OE=2OE，
∴BF﹣AF=2OE．
2．已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．
（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；
（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2）存在，理由见解析;
（3）不成立．理由如下见解析.
【解析】
试题分析：（1）由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，则可求得∠BMC=90°；
（2）由∠BMC=90°，易证得△ABM∽△DMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2﹣bx+a2=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△＞0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；
（3）由（2），当b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x2﹣bx+a2=0的根的情况，即可求得答案．
试题解析：（1）∵b=2a，点M是AD的中点，
∴AB=AM=MD=DC=a，
又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠AMB=∠DMC=45°，
∴∠BMC=90°．
（2）存在，
理由：若∠BMC=90°，
则∠AMB+∠DMC=90°，
又∵∠AMB+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠DMC，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△ABM∽△DMC，
∴AMABCDDM，
设AM=x，则xaabx，
整理得：x2﹣bx+a2=0，
∵b＞2a，a＞0，b＞0，
∴△=b2﹣4a2＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，
∴当b＞2a时，存在∠BMC=90°，
（3）不成立．
理由：若∠BMC=90°，
由（2）可知x2﹣bx+a2=0，
∵b＜2a，a＞0，b＞0，
∴△=b2﹣4a2＜0，
∴方程没有实数根，
∴当b＜2a时，不存在∠BMC=90°，即（2）中的结论不成立．
考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质
3．在图1中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．
操作示例
当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连结FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．
思考发现
小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG绕点F逆时针旋转90°到△FEH的位置，易知EH与AD在同一直线上．连结CH，由剪拼方法可得DH=BG，故△CHD≌△CGB，从而又可将△CGB绕点C顺时针旋转90°到△CHD的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH（如图1），过点F作FM⊥AE于点M（图略），利用SAS公理可判断△HFM≌△CHD，易得FH=HC=GC=FG，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH是正方形．
实践探究
（1）正方形FGCH的面积是
；（用含a， b的式子表示）
（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．
联想拓展
小明通过探究后发现：当b≤a时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移．当b＞a时（如图5），能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图5中画出剪拼成的正方形的示意图；若不能，简要说明理由．
【答案】（1）a2+b2；（2）见解析；联想拓展：能剪拼成正方形.见解析．
【解析】分析：实践探究：根据正方形FGCH的面积=BG2+BC2进而得出答案；
应采用类比的方法，注意无论等腰直角三角形的大小如何变化，BG永远等于等腰直角三角形斜边的一半．注意当b=a时，也可直接沿正方形的对角线分割．
详解：实践探究：正方形的面积是：BG2+BC2=a2+b2；
剪拼方法如图2-图4；
联想拓展：能，
剪拼方法如图5（图中BG=DH=b）．
．
点睛：本题考查了几何变换综合，培养学生的推理论证能力和动手操作能力；运用类比方法作图时，应根据范例抓住作图的关键：作的线段的长度与某条线段的比值永远相等，旋转的三角形，连接的点都应是相同的．
4．如图（1）在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为G交AD于F
（1）求证：AF＝DE；
（2）连接DG，若DG平分∠EGF，如图（2），求证：点E是CD中点； （3）在（2）的条件下，连接CG，如图（3），求证：CG＝CD．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CG＝CD，见解析．
【解析】
【分析】
（1）证明△BAF≌△ADE（ASA）即可解决问题．
（2）过点D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点M，N．想办法证明AF＝DF，即可解决问题．
（3）延长AE，BC交于点P，由（2）知DE＝CD，利用直角三角形斜边中线的性质，只要证明BC＝CP即可．
【详解】
（1）证明：如图1中，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90o，
∴∠2+∠3＝90°
又∵BF⊥AE，
∴∠AGB＝90°
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3
在△BAF与△ADE中，
∠1=∠3 BA=AD ∠BAF=∠D，
∴△BAF≌△ADE（ASA）
∴AF＝DE．
（2）证明：过点D作DM⊥GF，DN⊥GE，垂足分别为点M，N．
2020中考数学几何压轴题汇编：三角形与平行四边形(含答案)
2020中考数学几何压轴题汇编：三角形与平行四边形(含答案)
1.如图，设E、F分别为正方形 ABCD边BC、CD上的点，且/
EAF= 45° ,过E、F分别作AC的垂线，垂足分别为P、Q.
(1)试找出图中相似三角形(至少3对，全等除外)；
(2)求证：AB2 = APAQ；
(3)设正方形的边长为4,当P、Q重合时，求BE的长.
(1)解：图中相似三角形有：△ABCS£QF,在PC"ZADC,笈PE s/CQF,
8QFsADC, 3BESZAQF, z2APE^ZADF 等(写出任意 3 对，即可得分).
(2)证明：・. /BAE+ /EAP= /EAP+ /QAF = 45 ,
・•.zBAE= /QAF.
在小BE与9QF中，
/BAE= /QAF
/B=/AQF = 90 ,
••ZABES/AQF,
AB AE . AQ —AF'
同理，在^AEP与办FD中，
ZEAP= ZFAD
ZEPA=ZD = 90 ' 第1题图 .•.去 EPs 也 FD.
AP AE , AD-AF?
AB AP
AQ—AD'
•AB = AD,
.AB2 = AP AQ.
(3)解：如解图，当P、Q重合时,
,.zEPC=ZFQC=90 ,
：E、P、F在同一直线上.
• •ZECP=ZFCQ=45 ,
「.EP= FQ,
在小EP和*FP中，
AP = AQ
小 PE=/AQF,
EP= FQ
. • AEP^AFP(SAS),
1 /.ZEAP=-X45 =22.5 ,
• .ZBAE=45 -£AP=22.5 ,
• ••ZAEBSEP(AAS), .EB= EP, AB = AP=4, 丁四边形ABCD为正方形， • .ZACB=45 ,AC = 4 也 X.Ep= PC,
.BE= PC= AC-AP = 4A/2-4. --------- 同
w
B E C第1题解图
2.已知：在^ABC中，/ABC=/ACB= a,点D是AB边上任意 一点，将射线DC绕点D逆时针旋转a与过点A且平行于BC 边的直线交于点E.
2021年中考数学 一轮专题训练：多边形与平行四边形(含答案)
1 / 19 2021中考数学 一轮专题训练：多边形与平行四边形
一、选择题（本大题共10道小题）
1. 正九边形的一个内角的度数是 ( )
A.108° B.120°
C.135° D.140°
2. 如图，▱ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是 (
)
A.EH=HG B.四边形EFGH是平行四边形
C.AC⊥BD D.△ABO的面积是△EFO的面积的2倍
3. 四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是 ( )
A.AD∥BC B.OA=OC，OB=OD
C.AD∥BC，AB=DC D.AC⊥BD
4. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝22，CD＝2，点P在四边形ABCD的边上．若P到BD的距离为32，则点P的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2 / 19
5. 一个正多边形的每个外角不可能等于( )
A．30° B．50° C．40° D．60°
6. 如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为
A．12 B．15 C．18 D．21
7. 把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是( )
A．六边形 B．五边形
C．四边形 D．三角形
8. 若多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了11个三角形，则经过这一点的对角线的条数是( )
A．8 B．9 C．10 D．11 3 / 19
2020-2021学年 人教版八年级数学下册《18.1平行四边形》单元综合培优提升训练
2021年度人教版八年级数学下册《18.1平行四边形》单元综合培优提升训练（附答案）
1．如图，已知平行四边形ABCD中，E，F为对角线BD上两点，且AE⊥AD，CF⊥BC，AC＝BC．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若∠EAC＝60°，求∠BAE的度数．
2．如图，▱ABCD中，F在CD延长线上，DC＝DF，FB交AD于点E．求证：DE＝EA．
3．如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
4．如图▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AO：BO＝2：3．
（1）求AC的长；
（2）求▱ABCD的面积．
5．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，M、N在对角线AC上，且AM＝CN，求BM与DN的位置关系．
6．如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME，已知AM＝4，∠BCE＝30°．
（1）求线段EC的长；
（2）求证：∠EMC＝2∠AEM．
（3）如果EM＝8﹣AE，求△AEM的面积．
7．如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H．
（1）求证：CH＝EH；
（2）若AD＝5，CD＝3，求AE的长．
8．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且∠B＝∠AEB．
（1）求证：AE＝CD；
（2）试判断AC与ED的数量关系，并说明理由．
9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，垂足为点O．求证：BM＝DN．
10．如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF相交于点G．
（1）求证：BE⊥CF；
（2）若AB＝5，CF＝6，求BE的长．
2020-2021学年苏科版数学八年级下册第九章 中心对称图形—平行四边形 综合题练习
第1页（共16页）
苏科版数学八年级下册第九章《中心对称图形—平行四边形》
综合题练习
1．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F两点，垂足是点O．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）问：四边形AFCE是什么特殊的四边形？（直接写出结论，不需要证明）．
2．如图，在正方形ABC1D1中，AB＝1，连接AC1，以AC1为边作第二个正方形AC1C2D2，连接AC2，以AC2为边作第三个正方形AC2C3D3．
（1）求第二个正方形AC1C2D2和第三个正方形AC2C3D3的边长；
（2）请直接写出按此规律所作的第7个正方形的边长．
3．如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点且∠AEF＝90°，EF交正方形
第2页（共16页）
外角平分线CF于点F，取边AB的中点G，连接EG．
（1）求证：EG＝CF；
（2）将△ECF绕点E逆时针旋转90°，请在图中直接画出旋转后的图形，并指出旋转后CF与EG的位置关系．
4．如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连结AE、CD．
（1）求证：AD＝CE；
（2）试判断四边形ADCE的形状，并说明理由．
5．如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△DEC，点E在AC上，再将Rt△ABC沿着AB所在的直线翻转180°得到△ABF．且使C、B、F三点在一条直线上，连接AD．
（1）求证：四边形AFCD是菱形；
第3页（共16页）
（2）连接BE并延长交AD于G，连接CG，请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？
6．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A、D不重合），G、F、H分别是BE、BC、CE的中点．
（1）证明：四边形EGFH是平行四边形；
（2）EF和BC满足什么关系时，平行四边形EGFH是正方形？
2021中考数学 尖子生专项复习：多边形与平行四边形(含答案)
2021中考数学尖子生专项复习：多边形与平行四边形（含答案）
一、选择题（本大题共10道小题）
1.如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，
则∠B为()
A.66°B.104°C.114°D.124°
2.一个正六边形共有n条对角线，则n的值为()
A．6B．7C．8D．9
3.如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连
接BE，若▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为()
A.28B.24
C.21D.14
4.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，
且∠ADC=60°，
AB=BC，连接OE.有下列结论:①∠CAD=30°，②S
▱ABCD=AB·AC，
③OB=AB，④
OE=BC，其中正确的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.将一个n边形变成(n＋2)边形，内角和将()
A．减少180°B．增加180°
C．减少360°D．增加360°
6.若多边形的一个顶点处的所有对角线把多边形分成了11个三角形，则经过这一点的对角线的条数是()
A．8B．9C．10D．11
7.（2020·泰安）如图，四边形ABCD是一张平行四边形纸片，其高AG﹦2cm，
底边BC﹦6cm，∠B﹦45°，沿虚线EF将纸片剪成两个全等的梯形．若∠BEF﹦
30°，则AF的长为（）
A．1cmB．6
3cmC．（2
3—3）cmD．（2—3）cm
8.（2020·海南）如图，在□ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交
BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的
周长为()
A．16B．17C．24D．25
9.如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=7，BD=4，CD=3，E、F、G、H
分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为
A．12B．14C．24D．2110.(2020·潍坊)如图，点E是□ABCD的边
2020—2021学年人教版八年级数学下册 第十八章 平行四边形 强化训练试卷(二)【含答案】
2020—2021学年人教版八年级数学下册 第十八章 平行四边形
强化训练题（二）
1．已知：如图，在△ABC
和△ABE
中，∠ACB
＝∠AEB
＝90°，D
是AB
中点，联结
DC
、DE
、CE
，F
是CE
中点，联结DF
．
（1）求证：DC
＝DE
；
（2）若AB
＝10，CE
＝8，求DF的长．
2．如图，在▱ABCD
中，AC
＝8，BD
＝12，点E
、F
在对角线BD
上，点E
从点B
出发以
1个单位每秒的速度向点D
运动，同时点F
从点D
出发以相同速度向点B
运动，到端
点时运动停止，运动时间为t
秒．
（1）求证：四边形AECF
为平行四边形．
（2）求t
为何值时，四边形AECF
为矩形．
3．如图，正方形ABCD
中，AC
是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B
，
直角顶点P
在射线AC
上移动，另一边交DC
于Q．
（1）如图①，当点Q
在DC
边上时，猜想并写出PB
与PQ
所满足的数量关系，并加以
证明；
（2）如图②，当点Q
落在DC
的延长线上时，猜想并写出PB
与PQ
满足的数量关系，
并证明你的猜想．
4．如图，四边形ABCD
是矩形，点E
在BC
边上，点F
在BC
延长线上，且
∠CDF
＝∠BAE
．
（1）求证：四边形AEFD
是平行四边形；
（2）若DF
＝3，DE
＝4，AD
＝5，求CD
的长度．
5．如图，在△ABC
中，AB
＝AC
，AD
是BC
边的中线，过点A
作BC
的平行线，过点B
作AD
的平行线，两线交于点E
．
（1）求证：四边形ADBE
是矩形；
（2）连接DE
，交AB
与点O
，若BC
＝8，AO
＝，求△ABC的面积．
6．如图，四边形ABCD
是平行四边形，AE
∥BD
，AE
与CB
的延长线交于点E
，DE
交
AB
于F
．
（1）求证：BC
＝BE
；
（2）连接CF
，若∠ADF
＝∠BCF
且AD
＝2AF
，求证：四边形ABCD是正方形．7．如图，BD
是△ABC
的角平分线，它的垂直平分线分别交AB
，BD
，BC
于点
E
，F
，G
，连接ED
，DG
．
（1）△EFD
≌△GFB
．
（2）试判断四边形EBGD
的形状，并说明理由．
备战中考数学一模试题分类汇编——平行四边形综合及详细答案
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到到B′的位置，AB′与CD交于点E.
（1）求证：△AED≌△CEB′
（2）若AB = 8，DE = 3，点P为线段AC上任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥BC于H.求PG +
PH的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由折叠的性质知，，，，则由得到；
（2）由，可得，又由，即可求得的长，然后在中，利用勾股定理即可求得的长，再过点作于，由角平分线的性质，可得，易证得四边形是矩形，继而可求得答案.
【详解】
（1）四边形为矩形，
，，
又 ，
；
（2） ，
，
，
，
在中，，
过点作于，
，，
，
，，
，
、、共线，
， 四边形是矩形，
，
.
【点睛】
此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.
2．阅读下列材料：
我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形就是和谐四边形．结合阅读材料，完成下列问题：
（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形 ．
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
（2）命题：“和谐四边形一定是轴对称图形”是 命题（填“真”或“假”）．
（3）如图，等腰Rt△ABD中，∠BAD＝90°．若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB＝BC，请求出∠ABC的度数．
【答案】（1） C ；（2）∠ABC的度数为60°或90°或150°.
【解析】
试题分析：（1）根据菱形的性质和和谐四边形定义，直接得出结论.
（2）根据和谐四边形定义，分AD=CD，AD=AC，AC=DC讨论即可.
2020-2021中考数学备考之平行四边形压轴突破训练∶培优易错试卷篇附答案解析(1)
2020-2021中考数学备考之平行四边形压轴突破训练∶培优易错试卷篇附答案解析(1)
一、平行四边形
1．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．
（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；
（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由
（3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．
【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为62或233.
【解析】
【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；
（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；
（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.
【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，
∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，
∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，
∵△EFK是直角三角形，∴OF=12EK=OE；
（2）如图2中，延长EO交CF于K，
∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，
∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，
∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，
∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；
（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，
2020-2021年度鲁教版八年级数学下册《第6章特殊的平行四边形》综合培优训练(附答案)
2020-2021年度鲁教版八年级数学下册《第6章特殊的平行四边形》综合培优训练（附答案）
1．如图，在长方形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接ED，若ED＝5，EC＝3，则长方形的周长为（ ）
A．20 B．22 C．24 D．26
2．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且∠AOD＝120°．过点A作AE⊥BD于点E，则BE：ED等于（ ）
A．1：3 B．1：4 C．2：3 D．2：5
3．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列说法能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AC⊥BD B．BA⊥BD C．AB＝CD D．AD＝BC
4．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°，②AE＝5，③CF＝BD＝，④△COF的面积S△COF＝3，其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，菱形ABCD的边AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，连接DF．当∠BAD＝100°时，则∠CDF＝（ ）
A．15° B．30° C．40° D．50° 6．如图，菱形ABCD中，∠D＝135°，BE⊥CD于E，交AC于F，FG⊥BC于G．若△BFG的周长为4，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．16
7．如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为（ ）
A．20° B．22.5° C．25° D．30°
8．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，正方形MBND′的顶点M，N分别在矩形的边AB，BC上，点E为DC上一个动点，当点D与点D′关于AE对称时，DE的长为
．
9．把长方形ABCD沿着直线EF对折，折痕为EF，对折后的图形EB′GF的边FG恰好经过点C，若∠AFE＝55°，则∠CEB'＝ ．
中考数学专题12 平行四边形与特殊的平行四边形-三年(2019-2021)中考真题数学分项汇编
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专题12.平行四边形与特殊的平行四边形
一、单选题
1．（2021·四川南充市·中考真题）如图，在矩形ABCD中，15AB，20BC，把边AB沿对角线BD平移，点'A，'B分别对应点A，B．给出下列结论：①顺次连接点'A，'B，C，D的图形是平行四边形；②点C到它关于直线'AA的对称点的距离为48；③''ACBC的最大值为15；④''ACBC的最小值为917．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，菱形ABCD中，60B，点P从点B出发，沿折线BCCD方向移动，移动到点D停止．在ABP△形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
3．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：①AMCN；②若MDAM，90A，则BMCM；③若2MDAM，则MNCBNESS△△；④若ABMN，则MFN△与DFC△全等．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2 / 21
4．（2021·四川南充市·中考真题）如图，在菱形ABCD中，60A，点E，F分別在边AB，BC上，2AEBF，DEF的周长为36，则AD的长为（ ）
A．6 B．23 C．31 D．231
5．（2021·江苏宿迁市·中考真题）折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB=8，AD=4，则MN的长是（ ）
A．553 B．25 C．753 D．45
6．（2021·河北中考真题）如图1，ABCD中，ADAB，ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）