奇偶性课件PPT
第三讲 函数的奇偶性(教师版)
第三讲 函数的奇偶性
1．奇、偶函数的概念
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．
奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．
2．奇、偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；
②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．
3．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
一条规律
奇、偶函数的定义域关于原点对称．
函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
两个性质
(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：
奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
三种方法
判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．
三条结论
(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以
2(b－a)为周期的周期函数．
(3)若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝1fx或f(x＋a)＝－1fx，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2a；
数学函数的奇偶性与周期性课件
数学知识点：函数的奇偶性与周期性
一、考纲目标
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.运用函数图像，理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数的奇偶性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性；
二、知识梳理
（一）函数的奇偶性
1.定义：
如果对于函数f (x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x)(f(-x)=f(x))，那么这个函数就是偶（奇）函数；
2.性质及一些结论：
（1）定义域关于原点对称；
（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；
（3）为偶函数
（4）若奇函数的定义域包含，则因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；
（5）判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响；
（6）断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：
，
（7）设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇
（8）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反
（二）函数的周期性
1.定义：
若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立，则f(x)
叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期
2.简单理解：
一般所说的周期是指函数的最小正周期，周期函数的定义域一定是无限集，但是我们可能只研究定义域的某个子集
三、考点逐个突破
1．奇偶性辨析
例1.下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是
A．1 B.2 C.3 D.4
分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误
奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确
新人教A必修1数学教学课件：函数的基本性质——奇偶性1
1.3因数的基本性质
奇偶性练习
1. 如果于(0)=°主0，函数广(兀)可以是奇函 数吗？可以是偶函数吗？为什么？
2. 如果函数/(兀)、g (兀)为定义域相同的 偶函数，试问F(x)=f(x)+g (x)是不是
偶函数？是不是奇函数？为什么？练习
1. 如果于(0)=°主0，函数广(兀)可以是奇函 数吗？可以是偶函数吗？为什么？
(不能为奇函数但可以是偶函数)
2. 如果函数/(兀)、g (兀)为定义域相同的 偶函数，试问F(x)=f(x)+g (x)是不是
偶函数？是不是奇函数？为什么？练习
1. 如果f (0)=°主0,函数f (兀)可以是奇函
数吗？可以是偶函数吗？为什么？
(不能为奇函数但可以是偶函数)
2•如果函数广⑴、g(x)为定义域相同的 偶函数，试问F(x)=y(x)+g (x)是不是 偶函数？是不是奇函数？为什么？
(是偶函数) 练习
3•如图⑴，给出了奇函数y=/(x)的局部
图象，求/(-4).
2 __________ 1
i 1 1 1 -2
1 1 1
0 ⑴ 4 x — 3 —1 0 (2)%
4.如图⑵，给出了偶函数y=/(x)的局部 图熟试比较几1)与/⑶的大小. 《习案》P.168第3题
例1已知函数f(x)是偶函数，而且 在(0, +
00)上是减函数，判断/(兀)
在(一00, 0)上是增函数还是减函数,
并证明你的判断.例2⑴设/(x)是偶函数，g(x)是奇函数,
且/U) + g(x) = ^—,求函数/(X)，g(x)
x + 1
的解析式；
⑵设函数/(兀)是定义在(一卩0) u (0,+s)
上的奇函数，又/(兀)在(0, +oo)上是减函
数，
;课堂小结 1 •奇函数、偶函数的定义；
2. 奇函数、偶函数图象的对称性;
3. 判断函数奇偶性的步骤和方法・:课后作业
1 •阅读教材P.33-P.36；
2.《学案》双基训练P.37-P.38.
高考数学(人教)一轮复习配套课件2.3函数的奇偶性与周期性(共66张PPT)
— -H-
弟二-p
函数的奇偶性与周期性知识要求
内容 了解
⑷ 理解
(B) 掌握 (0
奇偶性
V
周期性 V
三年考题 宝干回顾•歩基團源 温*提示
4黑您在视石木貳件的辻
竝中出字他泉・謗吳 同幷右幻灯片・fitII# 可正*恋・
13年（7考）:
12年（4考）:
11年（5考）: 福建T5 湖南T4 湖北T 山东T3 北京T3
天津T7 重庆T9 广东T4 湖南T9 江苏T10 浙江T16 新课标全国卷T12 广东T12 辽宁T6安徽T11 湖南T12
要考点
2•常与函数的求值及其图象、单调性、对称
性、零点等知识交汇命题
3•多以选择题、填空题的形式出现 1.函数的奇偶性、 期性的应用是高考的重
考情 【知识梳理】
1 •奇函数、偶函数的概念及图象特征
奇函数 偶函数
定义 定义域 函数f(X)的定义域关于原点 对称
X 对于定义域内的任意一个X
玖幻与班-
X)的关系 W-f(x) Wf(x)
结论 函数f(x)为奇函 a 函数f(x)为偶函
图象特征 关于 对称 关于 对称 最小的正数 最小的正数
2函数的周期性
⑴周期函数:T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：
① THO;
② ___________ 对定义域内的任意x都成立.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ，那么这个 ____ 就叫做它的最小正周期.
⑶周期不唯一喏T是函数y=f(x)(xeR)的一个周期，则nT (nW
乙且 r#0)也是 f(x)的周期，即 f(x+nT)=f(x).
f(x+T)=f(x)【考点自测】
1・(思考)给出下列命题：
① 若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0;
② 函数f(x)=sinx,xW[0,2TT]为周期函数；
③ 若函数y=f(x+a)是偶函数，则函数y=f(x)关于直线x=a对称；
④ 若函数y=f(x+b)是奇函数，则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称. 其中正确的是()
奇偶性
第3讲 奇偶分析
我们知道，全体自然数按被2除的余数不同可以划分为奇数与偶数两大类。被2除余1的属于一类，被2整除的属于另一类。前一类中的数叫做奇数，后一类中的数叫做偶数。关于奇偶数有一些特殊性质，比如，奇数≠偶数，奇数个奇数之和是奇数等。灵活、巧妙、有意识地利用这些性质，加上正确的分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问题。用奇偶数性质解题的方法称为奇偶分析，善于运用奇偶分析，往往有意想不到的效果。
例1 下表中有15个数，选出5个数，使它们的和等于30，你能做到吗？为什么？
分析与解：如果一个一个去找、去试、去算，那就太费事了。因为无论你选择哪5个数，它们的和总不等于30，而且你还不敢马上断言这是做不到的。最简单的方法是利用奇偶数的性质来解，因为奇数个奇数之和仍是奇数，表中15个数全是奇数，所以要想从中找出5个使它们的和为偶数，是不可能的。
例2 小华买了一本共有96张练习纸的练习本，并依次将它的各面编号（即由第1面一直编到第192面）。小丽从该练习本中撕下其中25张纸，并将写在它们上面的50个编号相加。试问，小丽所加得的和数能否为2000？
解：不能。
由于每一张上的两数之和都为奇数，而25个奇数之和为奇数，故不可能为2000。
说明：“相邻两个自然数的和一定是奇数”，这条性质几乎是显然的，但在解题过程中，能有意识地运用它却不容易做到，这要靠同学们多练习、多总结。
例3 有98个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到98各不相同。试问：能否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和？并说明理由。
解：不能。
如果可以按要求排成，每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和，那么每一排中各号码数之和都是某一个孩子号码数的2倍，是个偶数。所以这98个号码数的总和是个偶数，但是这98个数的总和为
1+2+„+98=99×49，是个奇数，矛盾！所以不能按要求排成。
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范
文
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偶性(人教版)(共28张PPT)
人教版 数学 五年级下册 第2单元 因数与倍数 第6课时 奇偶性 精选考试学习资料，如有需要请下载--
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学习目标 1.掌握两数之和的奇偶性。
2.在探索两数之和的奇偶性的过程中渗透 解决问题的策略。
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情境导入 （按能否被2整除分类） 精选考试学习资料，如有需要请下载--
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情境导入 下列数中，哪些是奇数？哪些是偶数？ 35 78 25 0 1234 81
8789 1000 981 265 378 679 精选考试学习资料，如有需要请下载--
情境导入 35 78 25 8789 1000 981 0 1234 81 265 378 679 奇数有35,25,81,8789,981,265, 679。
偶数有78,0,1234，1000, 378。
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情境导入 奇数与偶数的和是奇数还是偶数？奇数与奇 数的和是奇数还是偶数？偶数与偶数的和是奇数 还是偶数？ 它们的结果是 什么呢？ 精选考试学习资料，如有需要请下载--
探索新知 我们可以把问题表示成这样。
奇数+偶数＝ 奇数？ 偶数？ 奇数+奇数＝ 奇数？ 偶数？
偶数+偶数＝ 奇数？ 偶数？ 精选考试学习资料，如有需要请下载--
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探索新知 我随便找几个奇数和偶数加起来 看一看。
奇数：5，7，9，11，… 偶数：8，12，20，24，… 精选考试学习资料，如有需要请下载--
探索新知 我随便找几个奇数和偶数加起来 看一看。
奇数+偶数 5+8＝13 奇数+奇数 5+9＝14 偶数+偶数 12+8＝20 精选考试学习资料，如有需要请下载--
单调性奇偶性课件
精品教学课件设计 | Excellent teaching plan
学优教育学科教师辅导讲义
教师: 苏培山 学生： 时间： 2013年7月23日
课 题 函数单调性
教学目标 （1）使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法；
（2）从实际生活问题出发，引导学生自主探索函数单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，让学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．
重点、难点 （1）函数单调性的概念；
（2）运用函数单调性的定义判断一些函数的单调性．
（3）函数单调性的知识形成；
（4）利用函数图象、单调性的定义判断和证明函数的单调性．
考点及考试要求
教学内容
考点一、函数单调性
1、单调增函数、单调减函数
(1)设函数)(xfy的定义域为A，区间IA．
如果对于区间I内的任意两个值21,xx，若当1x<2x时，都有)(1xf<)(2xf,那么就说)(xfy在区间I上是单调增函数，I称为)(xfy的单调增区间．
如果对于区间I内的任意两个值21,xx，若当1x<2x时，都有)(1xf>)(2xf,那么就说)(xfy在区间I上是单调减函数，I称为)(xfy的单调减区间．
(2)定义的变式
设2121,,xxbaxx那么
1212()()()0xxfxfxbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；
1212()()()0xxfxfxbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数.
2、单调性、单调区间 精品教学课件设计 | Excellent teaching plan
若函数y = f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数)(xfy在区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间．
06讲数论—奇偶性(1)
第六讲 奇数与偶数及奇偶性的应用
本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分，小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算， 拿到一个题就先去试数，或者是找规律，在性质分析层面几乎为 0，本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力，培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做，再去动手做”的思维模式。无论是小升初还是杯赛会经常遇到，但不会单独出题，而是结合其他知识点来考察学生综合能力。
一、奇数和偶数的定义
整数按照能不能被 2 整除，可以分为两类：
（1）能被 2 整除的整数叫做偶数，例如：0，2，4，6，8，10，… （其末位数为 0、2、4、6、8）
（2）不能被 2 整除的整数叫做奇数，例如：1，3，5，7，9，11，…（其末位数为 1、3、5、7、9）
整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。相邻两个整数大小相差 1，所以肯定是一奇一偶。
整数不是奇数就是偶数。
因为偶数能被 2 整除，所以通常偶数 可以用 2k（k 为整数）表示;
因为奇数不能被 2 整除，所以奇数则可以用 2k+1（k 为整数）表示。
特别注意，虽然 0 能被任意非 0 整数整除，但仍把 0 归为偶数的范畴。每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。
二、奇数与偶数的运算性质
性质 1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数性质 2：偶数±奇数=奇数
性质 3：奇数个奇数的和（或差）是奇数；
性质 4：偶数个奇数的和（或差）是偶数。性质 5：任意多个偶数的和（或差）是偶数。
性质 6：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数性质 7：奇数的平方=4 k +1，偶数的平方=4 k
性质 8：在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得奇数。奇数肯定不能被偶数整除
性质 9：偶数的平方能被 4 整除；奇数的平方除以 4 的余数是 1。性质 10：相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。
第十讲 奇偶性
虽然不允许我们看透自然界本质的秘密，从而认识现象的真实原因，但仍可能发生这样的情形：一定的虚构假设足以解释许多现象。 ——欧拉
第十讲 奇偶性
【目标要求】
1.了解函数奇偶性的含义；
2.理解奇函数、偶函数的定义及图象特征；
3.会判断函数的奇偶性，并能解决函数的奇偶性与单调性的综合问题.
【知识解读】
1.函数奇偶性
偶函数 奇函数
定义 一般地，如果对于函数)(xf的定义域内
任意一个,x都有),()(xfxf那么函数
)(xf就叫做偶函数 一般地，如果对于函数)(xf的定义域内
任意一个,x都有),()(xfxf那么函数)(xf就叫做偶函数
定义域 关于原点对称
图象特征 关于y轴对称 关于原点对称
单调性 在对称区间上，单调性相反 在对称区间上，单调性相同
注意：(1)函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个,x都有)(()(xfxf或)),()(xfxf才能说是奇（或偶）函数；
(2)函数)(xfy是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义域关于原点对称.若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性；
(3)若奇函数在原点处有定义，则必有0)0(f；
(4)若),()(xfxf且),()(xfxf则)(xf既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即DDxxf,,0)(是关于原点对称的非空实数集.
2.奇偶函数的图象特征
(1)奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数；
(2)偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数.
高考数学(文通用)一轮复习课件：第二章第4讲函数的奇偶性及周期性
第二章 基本初等函数、导数及其应用
函数的奇偶性及周期性
教材回顾▼夯实基础
和课梳理
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数f（x）的定义域内任意
一个兀，都有/（一沪沧）,那么 函数/仗）是偶函数 关于 y轴
对称
奇函数 如果对于函数/仗）的定义域内任意 一个兀，都有Li）,
那么函数/匕）是奇函数 关于 原点
对称
课本温故追根求源
2. 周期性
(1)周期函数：对于函数j=/(x),如果存在一个非零常数T,
那么就称函数y=/a)为周期函数，称F为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数/(兀)的所有周期中存在一个
正周期.
要点整會尸
1. 辨明三个易误点 （1）应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内. 使得当兀取定义域内的任何值时，都有 f(x+T)=f(x)
的正数，那么这个最小 正数就叫做沧)的最小
（2）判断函数的奇偶性，易忽视函数定义域是否关于原点对
称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条 件.
（3）判断函数/（兀）是奇函数，必须对定义域内的每一个x,均
有/（一兀）=一/（兀），而不能说存在丸使/（一兀0）=—/（兀0），对 于偶函数的判断以此类推.
2. 活用周期性三个常用结论
(1) ® f(x+a)= —f(x)9 则 T=2a；
i
⑵若 Z(x+a)=y (乂),则 T=2a；
… 1
(3) 若 f(x-\-a)=— 屮(比)“,则 T= 2a.
3. 奇、偶函数的三个性质
(1) 在奇、偶函数的定义中，f(-x)=-f(x)^ 定义域上的恒等式. 对/(*)定义域内任一自变量的值
(2) 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对 称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法.
(3) 设心)，g(x)的定义域分别是Di，6,那么在它们的公共 定义域上：奇+奇=奇，奇＞＜奇=偶，偶+偶=偶，偶X偶 =偶,奇乂偶=奇.