2020_2021学年新教材高中数学4.2等差数列4.2.1第1课时等差数列的概念及通项公式课件新人教A版选择性必修二
4.2.1 等差数列(1)(人教A高中数学版选择性必修第二册)(解析版)
课时同步练
4.2.1 等差数列 （1）
一、单选题
1．等差数列na中,a3=7,a9=19,则a5= （ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】B
【详细解析】由于a3=7,a9=19则93532,2741193aadaad.
故选B.
2．已知等差数列{}na中,7916aa,则8a的值是 （ ）
A．4 B．16 C．2 D．8
【答案】D
【详细解析】由等差数列的性质可知,a7+a9=2a8=16
∴a8=8
故选D．
3．若数列na的通项公式为25nan,则此数列是 （ ）
A．公差为2的等差数列 B．公差为5的等差数列
C．首项为5的等差数列 D．公差为n的等差数列
【答案】A
【详细解析】25nan是关于n的一次函数,其中n的系数即公差,
故选A．
4．方程x2－8x＋1＝0的两个根的等差中项为 （ ）
A．12 B．4 C．15 D．8
【答案】B
【详细解析】∵在等差数列{an}中,方程x2﹣8x+1=0的两根之和为8,
由等差数列的性质得等差中项为4．
故选B．
5．首项为24的等差数列从第10项起开始为正数,则公差d的取值范围是 （ ）
A．83d B．3d C．833d D．833d
【答案】D
【详细解析】设数列为{an}公差为d,则a1=-24;
a10=a1+9d＞0;
即9d＞24,所以d＞83
而a9=a1+8d≤0;
即d≤3
所以83＜d≤3
故选D
6．设na是公差d为正数的等差数列,若123a+a+a15,123aaa80,则111213a+a+a等于 （ ）
A．120 B．105 C．90 D．75
【答案】B
【详细解析】依题意有111111215280aadadaadad,解得12,3ad,
高中数学选择性必修二 4 2 1 等差数列的概念(精讲)(含答案)
4.2.1 等差数列的概念
思维导图
常见考法
考点一 判断是否为等差数列
【例1】（2020·上海高二课时练习）下列数列中，不是等差数列的是（ ）
A．1，4，7，10 B．lg2,lg4,lg8,lg16
C．54322,2,2,2 D．10，8，6，4，2
【答案】C
【解析】根据等差数列的定义，可得：
A中，满足13nnaa（常数），所以是等差数列；
B中，lg4lg2lg8lg4lg16lg8lg2（常数），所以是等差数列；
C中，因为453423222222，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；
D中，满足12nnaa（常数），所以是等差数列.故选：C.
【一隅三反】
1．（2019·山西应县一中期末（理））若na是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是( )
A．2na B．1na C．3na D．na
【答案】C
【解析】A: 22n+1na-a=（an+an+1）（an+1﹣an）=d[2a1+（2n﹣1）d]，与n有关系，因此不是等差数列． 根据等差数列的定义，只需任意相邻的后一项与前一项的差为定值即可 B:n+1n11-aa=n+1n-daa=11-da+nda+n-1d（）（） 与n有关系，因此不是等差数列.
C:3an+1﹣3an=3（an+1﹣an）=3d为常数，仍然为等差数列；
D: 当数列{an}的首项为正数、公差为负数时，{|an|}不是等差数列；故选：C
2．（2020·全国高一课时练习）已知下列各数列，其中为等差数列的个数为（ ）
① 4，5，6，7，8，… ② 3，0，-3，0，-6，…
③ 0，0，0，0，… ④ 1234,,,,10101010…
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】第一个数列是公差为1的等差数列.第二个数列是摆动数列，不是等差数列.第三个是公差为0的等差数列.第四个是公差为110的等差数列.故有3个等差数列，所以选C.
高中数学选修一第4章4.1~4.2等差,比数列-知识点
1 高中数学选修一第4章4.1~4.2等差/比数列-知识点
1、等差数列：an+1-an=d，公差d是一个常数；等比数列：an+1÷an=q，公比q是一个≠0的常数。
2、熟记等差数列和等比数列的常用公式及性质
等差数列 等比数列
递推公式 an+1-an=d an+1÷an=q，q≠0
通项公式 an=a1+(n-1)d. 可推广：an=am+(n-m)d，d=m-naamn。 an=a1×qn-1. 可推广：
an=am×qn-m，qn-m=an÷am
等差/比中项 2an=an+1+an-1，(n≥2) an2=an+1×an-1，(n≥2)
前n项和公式 Sn= 21n（a1+an）
= na1+21n(n-1)d= na中 1qq1qaaq1q1a1qnan1n11n，）（，S
性质1 若m+n=p+q，则am+an=ap+aq
若m+n=2p，则am+an=2ap 若m+n=s+t，则am×an=as×at
若m+n=2k，则am×an=(ak)2
性质2 任意连续m项的和，即Sm，S2m-Sm，S3m-S2m仍成等差数列. 任意连续m项的和(≠0)，即Sm，S2m-Sm，S3m-S2m仍成等比数列.
性质3 对于任意等差数列：
①当d＞0时，是递增数列；
②当d＝0时，是常数列；
③当d＜0时，是递减数列。 对于首项a1＞0的等比数列：
①当q＞1时，是递增数列；
②当q＝1时，是常数列；
③当0＜q＜1时，是递减数列。
④当q＜0时，是摆动数列。
3、非零常数列既是等差数列（公差d=0），也是等比数列（公比q=1）。
4、若数列{an}和{bn}都是等差数列，则{λan+b}和{λ1an+λ2bn}都是等差数列。
5、若数列{an}和{bn}都是等比数列，则{nak}，{k×an}，{ank}，{k×an×bn}和{nnba}都是等比数列。
6、若数列{an}是等差数列，每隔k（k∈N*）项取出一项（am，am+k，am+2k，am+3k，...）仍为等差数列。
4.2.1 等差数列的概念
4.2 等差数列
4.2.1 等差数列的概念
基础过关练
题组一 等差数列的概念及其应用
1.下列数列不是等差数列的是( )
A.1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16
C.13,23,1,43,53 D.-3,-2,-1,1,2
2.给出下列命题:
①数列6,4,2,0是公差为2的等差数列;
②数列a,a-1,a-2,a-3是公差为-1的等差数列;
③等差数列的通项公式一定能写成an=kn+b的形式(k,b为常数);
④数列{2n+1}(n∈N*)是等差数列.
其中正确命题的序号是( )
A.①② B.①③
C.②③④ D.③④
题组二 等差中项
3.若a=1√3+√2,b=1√3-√2,则a,b的等差中项为( )
A.√3 B.√2 C.√32 D.√22
4.已知在△ABC中,三个内角A,B,C成等差数列,则角B等于( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
5.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是( )
A.2 B.3 C.6D.9
6.若5,x,y,z,21成等差数列,则x+y+z的值为( )
A.26 B.29 C.39 D.52
题组三 等差数列的通项公式及其应用
7.已知{an}为等差数列,若a1=1,公差d=2,an=15,则n的值为( )
A.5 B.6 C.7D.8
8.(2020山东淄博一中高二上期中)在数列{an}中,a1=1,an+1-an=2,n∈N*,则a25的值为( )
A.49 B.50 C.89 D.99
9.(2020天津耀华中学高二上期中)已知数列{an}是等差数列,若a1=2,a4=2a3,则公差d=( )
A.0 B.2 C.-1 D.-2
10.(2020河南郑州高二上期末)设数列{an}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{an}的通项公式为 .
新教材选择性必修第二册4.2.1 等差数列的概念
4.2.1 《等差数列的概念》教学设计
一、教材分析
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，即《等差数列》第一课时。研究等差数列的定义和通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。
等差数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。
二、学情分析
已经有了一年的高中学习经历，学生有一定的理性分析能力和概括能力，并且计算能力严重欠缺。针对以上问题，我将调整上课的节奏，上课时由浅入深，尽量让学生自己发现问题，提出问题，然后解决问题。经过第一节学习，学生已经对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经经历过由观察到抽象的数学活动过程。他们的思维正从经验性的逻辑思维向抽象思维发展。但学生的基础弱，所以我授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发和探究以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。
三、教学目标
1、通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式。初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。并在此过程中培养学生理解等差数列是一种函数模型。
2、等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。培养学生“逻辑推理”的能力，通过练习，提高学生的“数学运算”能力及分析问题和解决问题的能力。
3、在解决问题的过程中培养学生主动探索、勇于发现的求知精神。使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。并通过一定的实例激发同学们的民族自豪感和爱国热情。
新教材高中数学第四章数列：第1课时等差数列的前n项和学案新人教A版选择性必修2(含答案)
1 新教材高中数学学案新人教A版选择性必修2：
等差数列的前n项和公式
新课程标准
学业水平要求
1.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．
2．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题． 1.借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推导过程．(数学运算)
2．借助教材掌握a1，an，d，n，Sn的关系．(数学运算)
3．掌握等差数列的前n项和公式、性质及其应用．(数学运算)
4．能利用等差数列的通项公式、前n项和公式解决实际问题、最值问题等相关问题．(数学运算、数学建模)
第1课时 等差数列的前n项和
必备知识·自主学习
导思 1.什么是等差数列的前n项和公式？
2．怎样推导等差数列的前n项和公式？
1.等差数列的前n项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
求和公式 Sn＝1nn(aa)2 Sn＝1n(n1)nad2＋
在等差数列{an}中，涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，项和前n项和．依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”．
求等差数列的前n项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式？
提示：求等差数列的前n项和时，若已知首项、末项和项数，则选用公式Sn＝n（a1＋an）2 ；若已知首项、公差和项数，则选用公式Sn＝na1＋n（n－1）2 d.
2．等差数列的前n项和公式与二次函数的关系
将等差数列前n项和公式Sn＝na1＋n（n－1）2 d整理成关于n的函数可得Sn＝d2 n2＋ 2 a1－d2 n.
等差数列的前n项和一定是n的二次函数吗？
提示：不一定，当公差d≠0时，前n项和是n的二次函数，当公差d＝0时，前n项和是n的一次函数．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).
(1)公差为零的等差数列不能应用等差数列前n项和公式求和．( × )
高中数学选择性必修二 4 2 1第一课时等差数列的概念及通项公式(作业)(含答案)
4．2.1 第一课时 等差数列的概念及通项公式
[A级 基础巩固]
1．在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝( )
A．12 B．14
C．16 D．18
解析：选D 由题意知，公差d＝4－2＝2，则a1＝0，所以a10＝a1＋9d＝18.故选D.
2．若等差数列{an}中，已知a1＝13，a2＋a5＝4，an＝35，则n＝( )
A．50 B．51
C．52 D．53
解析：选D 依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝13，得d＝23.
所以an＝a1＋(n－1)d＝13＋(n－1)×23＝23n－13，令an＝35，解得n＝53.
3．(多选)设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系正确的是( )
A．a＝－b B．a＝3b
C．a＝b或a＝－3b D．a＝b＝0
解析：选AB 由等差中项的定义知：x＝a＋b2，
x2＝a2－b22，
∴a2－b22＝a＋b22，即a2－2ab－3b2＝0.
故a＝－b或a＝3b.
4．数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a2 021的值是( )
A．1 000 B．1 013 C．1 011 D．1 012
解析：选D 由2an＋1＝2an＋1，得an＋1－an＝12，所以{an}是等差数列，首项a1＝2，公差d＝12，
所以an＝2＋12(n－1)＝n＋32，
所以a2 021＝2 021＋32＝1 012.
5．已知数列3,9,15，…，3(2n－1)，…，那么81是数列的( )
A．第12项 B．第13项
C．第14项 D．第15项
解析：选C an＝3(2n－1)＝6n－3，由6n－3＝81，得n＝14.
6．已知等差数列{an}，an＝2－3n，则数列的公差d＝________.
解析：根据等差数列的概念，d＝an＋1－an＝－3.
2019-2020学年高考数学一轮复习-等差数列教学案2
2019-2020学年高考数学一轮复习 等差数列教学案2
一、考纲要求
内容 要求
等差数列 C
二、学习目标
1．能灵活应用等差数列及等差中项的概念及性质；
2．能灵活使用等差数列的通项公式与前n项和公式；
3．能解决等差数列前n项和的最大值和最小值问题；
4．能利用等差数列的相关知识解决综合性问题.
三、重点难点
利用等差数列的相关知识解决综合性问题.
四、知识导学
nS的最值的求法：若na是等差数列，求前n项和的最值时，
(1)若10,0,ad且满足10,0,nnaa前项n和nS最大；
(2)若10,0,ad且满足10,0,nnaa前项n和nS最大；
(3)除上面方法外，还可将na的前项n和的最值问题看做nS关于n的二次函数问题，利用二次函数的图象求解.
五、课前学习
1.如果等差数列na中，34512aaa，那么127...aaa_____________.
2. 设数列{}na的前n项和2nSn，则8a的值=_____________.
3.已知1120a，则此数列的前21项的和=_____________.
4.已知数列na的前11项和1166S，则6a_____________. 5. 设等差数列na的前n项和为nS,若111a,466aa,则当nS取最小值时,n=____________.
六、合作学习
例1. 等差数列na中，19120,aSS,该数列前多少项的和最小？尝试用多种方法探讨.
例2．已知数列{}na中，前n项和210nsnn. （1）求数列 {||}na的前n项和nT；（2）试问nT能否取得最值？若取得最值，求出最值并求出此时正整数n的值.
例3.设数列12,,...,,...naaa中的每一项都不为0.
证明：na为等差数列的充分必要条件是对任何nN都有1223111111...nnnnaaaaaaaa
2021版新高考数学：等差数列及其前n项和含答案
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2021版新高考数学：等差数列及其前n项和含答案
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2 / 20 第二节 等差数列及其前n项和
[考点要求] 1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．4.了解等差数列与一次函数的关系．
(对应学生用书第103页)
1．等差数列
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表示为an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数．
3 / 20 (2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝a＋b2，其中A叫做a，b的等差中项．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋n（n－1）2d＝n（a1＋an）2.
3．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系
(1)当d≠0时，等差数列{an}的通项公式an＝dn＋(a1－d)是关于d的一次函数．
(2)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝d2n2＋a1－d2n是关于n的二次函数．
4．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
[常用结论]
等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*).
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d．
专题4 第1讲 等差数列与等比数列
第1讲 等差数列与等比数列
「考情研析」 1.从具体内容上，主要考查等差数列、等比数列的基本计算和基本性质及等差、等比数列中项的性质、判定与证明． 2.从高考特点上，难度以中、低档题为主，一般设置一道选择题和一道解答题.
核心知识回顾
1.等差数列
(1)通项公式：01an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.
(2)等差中项公式：022an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2).
(3)前n项和公式：03Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－1d2.
2．等比数列
(1)等比数列的通项公式：01an＝a1qn－1＝amqn－m.
(2)等比中项公式：02a2n＝an－1·an＋1(n∈N*，n≥2).
(3)等比数列的前n项和公式：
03Sn＝ na1q＝1，a1－anq1－q＝a11－qn1－qq≠1.
3．等差数列的性质(n，m，l，k，p均为正整数)
(1)若m＋n＝l＋k，则01am＋an＝al＋ak(反之不一定成立)；特别地，当m＋n＝2p时，有02am＋an＝2ap. (2)若{an}，{bn}是等差数列，则{kan＋tbn}(k，t是非零常数)是03等差数列．
(3)等差数列“依次m项的和”即Sm，04S2m－Sm，05S3m－S2m，…仍是等差数列．
(4)等差数列{an}，当项数为2n时，S偶－S奇＝06nd，S奇S偶＝07anan＋1；项数为2n－1时，S奇－S偶＝08a中＝09an，S奇S偶＝10nn－1.(其中S偶表示所有的偶数项之和，S奇表示所有的奇数项之和)
4．等比数列的性质(n，m，l，k，p均为正整数)
(1)若m＋n＝l＋k，则01am·an＝al·ak(反之不一定成立)；特别地，当m＋n＝2p时，有02am·an＝a2p.
(2)当n为偶数时，S偶S奇＝03q(公比为q)．(其中S偶表示所有的偶数项之和，S奇表示所有的奇数项之和)