【数学】1.3 函数的单调性
函数的单调性说课稿
课题：函数的单调性一、教材分析1、教材内容本节课是高一§1．3函数基本性质的第一课时，该课时主要学习增函数、减函数的定义，以及应用定义解决一些简单问题．2、教材所处地位、作用函数的性质是研究函数的基石，函数的单调性是首先研究的一个性质．通过对本节课的学习，让学生领会函数单调性的概念、掌握证明函数单调性的步骤，并能运用单调性知识解决一些简单的实际问题．通过上述活动，加深对函数本质的认识．函数的单调性既是学生学过的函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性的基础．此外在比较数的大小、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一．从方法论的角度分析，本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法．3、教学目标（1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法；（2）过程与方法：从实际生活问题出发，引导学生自主探索函数单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，让学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．（3）情感态度价值观：让学生体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养学生直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质．4、重点与难点教学重点（1）函数单调性的概念；（2）运用函数单调性的定义判断一些函数的单调性．教学难点（1）函数单调性的知识形成；（2）利用函数图象、单调性的定义判断和证明函数的单调性．二、教法分析与学法指导本节课是一节较为抽象的数学概念课，因此，教法上要注意：1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发了学生求知欲，调动了学生主体参与的积极性．2、在运用定义解题的过程中，紧扣定义中的关键语句，通过学生的主体参与，逐个完成对各个难点的突破，以获得各类问题的解决．3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用．具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达．4、采用投影仪、多媒体等现代教学手段，增大教学容量和直观性．在学法上：1、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力．2、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的一个飞跃．三、教学过程教学环节教学过程设计意图问题情境引入1（播放中央电视台天气预报的音乐）图示是某市一天24小时内的气温变化图。
人教版高中数学必修1(A版) 函数的单调性 PPT课件
思考：用单调性的定义证明函数单调性的步骤是什 么？需注意哪些问题？
第一步：设区间上任意两点
x1 , x2 ，且 x1 < x2 。
自变量的值x1 , x2 ,当x1 x2时, 都有f ( x1 ) f ( x2 ),
你能类比地给出减函数的定义吗?
一般地, 设函数的定义域为I : 如果对于定义域内的某个区间D上的任意两个 自变量的值x1 , x2 ,当x1 x2时, 都有f ( x1 ) f ( x2 ), 那么就说函数f ( x)在区间D上是
其中y f ( x)在区间[5, 2),[1,3)上是减函数, 在区间[2,1),[3,5]上是增函数. 函数y f ( x)的增区间是[2,1),[3,5]; 减区间是[5, 2),[1,3).
思考：
函数y f ( x)的增区间能写成"[2,1) [3,5]"吗? 增区间能写成"[2,1)或[3,5]"吗?
第二步：作差 f ( x1 ) f ( x2 ) 整理化简。 第三步：判断 f ( x1 ) f ( x2 ) 的符号。 第四步：根据 f ( x1 )与 f ( x2 )的大小关系下结论。Βιβλιοθήκη 判断并证明函数 f ( x)
x 在定义域内的单调性。
小 结
2.利用定义证明函数单调性的步骤.
1.函数的单调性. (局部概念、应首先确定函数的定义域）
第一章 集合与函数概念
1.3.1函数的单调性
问题：下图是某地一天内的气温变化图,观察图形,你能指出该 天的气温是如何变化的吗?
数学人教B必修1第二章213 函数的单调性
2、1、3 函数的单调性1.函数单调性的概念一般地,设函数y＝f（x）的定义域为A，区间M⊆A、如果取区间M中的任意两个值x1,x2,改变量Δx＝x2－x1＞0,则当Δy＝f（x2）－f（x1）＞0时,就称函数y＝f（x）在区间M上是增函数，如下图所示.当Δy＝f(x2)－f(x1)＜0时,就称函数y＝f(x）在区间M上是减函数，如下图所示.如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)。
谈重点对函数单调性的理解1.函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，即单调区间是定义域的子集。
如函数y ＝x2的定义域为R,当x∈[0,＋∞）时是增函数，当x∈（－∞，0）时是减函数。
2.函数单调性定义中的x1,x2有三个特征：一是任意性,即“任意取x1,x2”，“任意”二字决不能丢掉;二是有大小,即x1＜x2（x1＞x2）；三是同属一个单调区间，三者缺一不可。
3.单调性是一个“区间”概念,如果一个函数在定义域的几个区间上都是增（减）函数,但不能说这个函数在其定义域上是增（减)函数.如函数f（x)＝错误!在（－∞，0）上是减函数,在(0,＋∞)上也是减函数,但不能说f(x)＝错误!在（－∞,0)∪（0,＋∞)上是减函数.因为当x1＝－1，x2＝1时有f(x1)＝－1＜f(x2）＝1,不满足减函数的定义。
4.单调区间端点的写法:对于单独的一个点,由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减性变化，所以不存在单调问题，因此在写此单调区间时,包括端点可以,不包括端点也可以，但对于某些无意义的点,单调区间就一定不包括这些点。
【例1－1】下列说法不正确的有（）①函数y＝x2在（－∞，＋∞）上具有单调性,且在(－∞,0)上是减函数；②函数1=yx的定义域为（－∞,0)∪（0,＋∞)，且在其上是减函数；③函数y＝kx＋b(k∈R）在（－∞,＋∞)上一定具有单调性;④若x1，x2是f(x)的定义域A上的两个值,当x1＞x2时,有f(x1)＜f(x2),则y＝f（x）在A上是增函数.A.1个B.2个C.3个D。
初中数学：1.3.1函数的单调性与导数
练习
判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注 入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应 的水的高度h与时间t的函数关系图象.
h
h
h
h
O
t
(A)
O
t
(B)
O
t
(C)
O
t
(D)
一般地, 如果一个函数在某一范围内导数 的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得 快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或 向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些.
可知 在此区
间内单调递减;
y
当 x = 4 , 或 x = 1时,
综上, 函数 图象
O1
4
的大致形状如右图所示.
x
题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
解: (1) 因为
, 所以
因此, 函数 (2) 因为
在
上单调递增.
, 所以
当
, 即 时, 函数
当
, 即 时, 函数
单调递增; 单调递减.
题2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
也能使f（x）在这个区间上单调，
所以对于能否取到等号的问题需要单独验证
增例2：
本题用到一个重要的转化：
例3：方程根的问题 求证：方程
只有一个根。
作业：
已知函数f(x)=ax³+3x²-x+1在R上是减函数， 求a的取值范围。
解:
在
内是减函数.
由 的递减区间是 函数.
, 解得 , 即函数
, 所以函数
在
内是减
一、求参数的取值范围
函数的单调性
思考 在下表
y f(x)=x2
4
中对任(－取一∞些, 0自)上
变量任的意值x，1, x比2
较 函它 数当们 值x1对的<x应大2时的小,
f ( x1) 3 f ( x2 )
2
对(0, +∞)上
任意 x1, x2
当x1<x2时,
都，有你f能(x1发) >现f什(x2),
么结论？
f ( x2 )1 f ( x1)
步骤：
【变式】证明y 1 在（0， ）上是减函数。 x
◆ 3.变形（通常是因式分解和配方）;
情景引入
概念生成
【知识】
概念辨析
例题巩固
归纳小结
【方法】
1.函数单调性的定义 2.证明函数单调性的步骤
主要步骤:
1、图像法判断函数单调性 2、定义法证明函数单调性
a. 任取x1，x2∈I，且x1<x2；
解：
局部性
??? 不可以 函数 f (x) 1 在（-，0）（0，）上为减函数 x
（或者用逗号连接）
总结：（1）单调性是一个局部概念，局部单调，整体未必单调。 （2）同类区间用逗号隔开，不写并集。
情景引入
概念生成
概念辨析
例题巩固
你认为下列说法是否正确，请说明理由.
辨析1：若定义在区间[1,2]上 的函数f (x)满足 f(2) > f (1),则 函数 f (x)在该区间上是增函数.
辨析1：若定义在区间[1,2]上 的函数f (x)满足 f(2) > f (1),则 函数 f (x)在该区间上是增函数.
辨析2：若函数在区间(1,3)和 区间[3,5]上都是增函数，则 在区间(1,5] 上也是增函数.
函数的单调性
概念辨析
1.函数y＝f(x)，x ∈[0，3]的图象如图所示． y
O
1
2
3
x
区间[0，3]是该函数的单调增区间吗？
判断下列说法是否正确
1、如果对于区间（a，b）上存在 x 1 x 2 ，使得 f ( x 1 ) 则函数f(x)在区间（a，b）上是增函数。
函数y＝f(x)的定义域为I，区间DI，如果对于区间D内 的任意两个值x1，x2， 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，
那么就说函数y=f(x)在区间D上是单调增函数，区间D称 y 为函数y=f(x)的单调增区间.
问题：
f(x1) f(x2)
如何定义单调减函数和单调减区间呢？
0
x1
x2
x
函数y＝f(x)的定义域为I，区间D I，如果对于区间D 内的任意两个值x1，x2
当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，
那么就说函数y=f(x)在区间D上是单调减函数， y 区间D称为函数y=f(x)的单调减区间.
f(x1) f(x2) x
2
0 x1
x
如果函数
y f (x )
在区间D上是增函数或减函数，那么
就说函数 y f ( x )
在这一区间具有（严格的）单调性，区
2
在 （ ０ ， ＋ ） 上 函 数 值 随 ｘ 的 增 大
在ｙ轴的右侧是上升的。
而增大。
对于（0，≦）上的任意x1，x2，当x1<x2时， f(x1)<f(x2)
问题：
设函数y＝f(x)的定义域为I，区间DI,在区间D上，y 随x的增大而增大，该如何用数学符号语言来刻画呢？
1.3.1函数的单调性
x
p p p p 单调区间有 [ p , ], [ , ],[ , p] 单调区间有[-2,-1],[-1,0],[0,1],[1,2] 2 2 2 2 p p 其中单调减区间为[-2,-1],[0,1] 单调减区间[ p, ],[ , p] 2 2 单调增区间为[-1,0],[1,2] p p 单调增区间[ , ] 2 2
证明： 任取 x1 , x2 , 且 x1
证明步骤： 例2.证明函数 f x 2 x 1在 , 上是增函数。
x2 ,
①取值
∴ f ( x1 )
∵
f ( x2 ) (2x1 1) (2 x2 1) ②作差
x1 x2 x1 x2 0
还是减函数？
3 变式2：讨论函数f(x)＝ 在定义域上的 x 单调性． 3 结论：函数f(x)＝ 在其定义域上不具有 x
单调性．
如何用x与 f(x)来描述上升的图象？
y
y f (x)
f (x1 )
f (x 2 )
x2
x
在给定区间上任取 x1 , x2 ,
x1 x2 f(x1 ) f(x2 )
函数的基本性质
§1.3.1 函数的单调性
研究一次函数f ( x) x和二次函数f ( x) x2的单调性
y
f ( x) x
y
f ( x) x2
0
x
0
x
观察f ( x) x，f ( x) x2的图象， 当自变量x的值增大时，函数值f ( x)是如何变化的？
如何用x与 f(x)来描述上升的图象？
例3 判断函数 f ( x) x 2x 的单调性,并加以证明.
1.3.1函数单调性(必修一 数学 优秀课件)
函数y=x2 是增函数吗?是减函数吗?
Y=x2
温馨提示：函数的增减性是针对给定 区间来讲的,离开了区间,就不能谈函 数的单调性.
（3）反比例函数的单调性
k y x ( k 0)
结论：k 0时，函数在（ ， 0）和（0， ） 两个区间上都是减函数 k 0时，函数在（ ， 0）和（0， ） 两个区间上都是增函数
1 能否说函数y 在（ ， 0）（ 0， ）上是减函数？ x
（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么 就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 （2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质; （3） x 1, x 2 取值的任意性
x 2 x1 1 1 f ( x1 ) f ( x 2 ) x1 x 2 x1 x 2
作差变形 定号
∵ ∴ ∴ ∴
x1 x2 0 x2 x1 0, x1 x2 0
1 f ( x) 在区间（－∞，0）上是单调减函数． x
f ( x1 ) f ( x2 ) 0, 即 f ( x1 ) f ( x2 ).
返回
结论
证明步骤:
1、设变量：任取定义域内某区间上的
两变量x1，x2，设x1<x2；
2、 作差变形 3、定号：判断f(x1) – f(x2)的正、负情况 4、下结论
小结：这节课你学到了什么？
1：
图象
y2 y1
O
y
增函数
x1 x2
y减函数 y1
y2
x
O
x1
x2
x
图象 特征 数量 特征
《1.3.1函数的单调性》的教学设计
课题：1.3.1函数的单调性教材分析在本节课之前，学生学习了函数的概念和函数的表示，相对于初中阶段所学的三种具体函数，学生对函数的抽象性有了新的认识，对用文字语言和符号语言描述数学概念，有了直观的感受。
本节内容对学生的抽象思维和用符号语言表示数学概念，有新的挑战。
函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据，为后续的函数的性质的学习起到铺垫的作用。
因此，教师上好这一节课，学生学好这一节内容，至关重要。
教学目标（一）、知识目标1、使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念；2、初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法；（二）、能力目标1、通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；2、对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．（三）、情感目标1、由知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；2、让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程，感受数形结合的美．教学重点：函数单调性的概念、判断及证明函数的单调性。
教学难点：归纳抽象函数单调性的定义，用定义证明函数的单调性。
教学用具：多媒体教学平台。
课型：新授课课时：第1课时教学方法：教师启发讲授，学生探究学习。
教学过程：（一）创设情境，引入课题这是某市2015年元旦这一天24小时的温度变化图，观察这个温度变化图，（1） 什么时候温度最低，什么时候温度最高（4点最低，14点的时候最高）（2）从0点到14点，温度是怎样变化的，从4点到14点，温度有事随着时间怎样变化的（0点到4点，逐渐下降，4点到14点逐渐上升的）随着时间的推移，气温先下降，后上升再下降.这里的上升和下降在数学中就反映出函数的一个基本性质-单调性. （二）讲授新课函数，我们在初中的时候都已经学过了，也学过函数的增减性，那对于一个函数的“上升”和“下降”的性质，我们是如何知道的呢？通过观察图像那我们先来看一下几个简单的函数图像，画出 2y x =+，2y x =-+，2y x =函数的图像 大家先观察第一个图像，从左至右上升 第二个图像，从左至右下降那对于第三个图像呢，(,0)-∞下降，(0,)+∞上升，图像这种上升和下降的性质描述的就是单调性，也就是说函数的单调性描述的是函数图像的上升和下降，那思考一下，如何来描述函数的单调性呢？我们先来看一下2y x =这个图像，我们可以再y 轴右边取一些点，通过解析式可以算通过这个表格，我们可以发现，自变量x 增大时，函数值y 也相应的增大，那如果我们在y 轴右边不是取的一些整数点，而是任意的取两点，1x ，2x ，同学们思考一下是不是有2212x x <，函数2()f x x =图象在y 轴左侧从左至右“下降”，函数图象在y 轴右侧从左至右“上升”； 现在以2()f x x =在y 轴右侧为例，函数值()f x 随x 的增大而增大，我们就说2()f x x =在(0,)+∞上为增函数，这是从图象的角度来认识增函数的．如何从解析式的角度用数学语言来描述它呢？从解析式角度用数学语言描述：在区间(0,)+∞上，任意取两个实数1x ，2x ，由解析式可得到221212()()f x f x x x -=-=1212()()x x x x +-，当12x x <时，有12()()f x f x <.所以函数2()f x x =在区间(0,)+∞上为增函数.对于一般的函数()y f x =，我们应当如何给增函数下定义1、增函数的定义设函数()f x 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上为增函数．现在我们看2()f x x =在y 轴左侧，随着自变量x 的增大，函数值()f x 反而减小，就称2()f x x =在(,0)-∞上为减函数．可类似用上述数学语言描述可得到当12x x <时，有12()()f x f x >. 于是类比上述的定义方法归纳出减函数的定义． 2、减函数的定义设函数()f x 的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数．如果函数()y f x =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间．说明： 1)增函数的图象从左至右是上升的，减函数的图象从左至右是下降的；2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是函数的局部性质；（三）例题讲解，深化知识例1 如图所示函数y= f(x )是定义在[-5，5]上的单调函数，说出它的单调区间以及在这些区间上是增函数还是减函数？例2 物理学中的玻意耳定律kP V=（k 为常数），告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强P 将增大，试用函数的单调性证明之。
高中数学《函数的单调性》教学设计
1.3.1函数的单调性教学设计一、教学内容分析:函数的单调性是学生在掌握了函数的概念，函数的表示方法等基础知识后，学习的函数的第一个性质，主要刻画了函数在其定义域内某区间上图像（上升或下降）的变化趋势，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据，如在研究函数的值域、最大值、最小值等性质中有着重要应用，而且在解决比较数的大小、解不等式、证明不等式、数列的性质等数学问题时也有重要的应用。
同时它又是后续研究指数函数、对数函数以及三角函数性质的基础。
所以函数的单调性在高中数学中具有核心知识地位和承上启下的重要作用。
二、教学目标设置:（一）知识与技能：1.用准确的数学语言归纳、抽象概括增函数和减函数的定义，并能正确理解单调性的定义；2.利用图像和定义判断函数的单调性，能正确书写单调区间，并能用单调性定义证明函数在给定区间上的单调性；3.培养学生抽象概括能力、类比化归能力及数形结合思想方法的运用能力。
（二）过程与方法：1. 通过学生熟悉的现实问题创设情境，引出本节课题函数单调性，同时借助多媒体的直观演示，让学生观察图像（上升？下降？）变化趋势，过渡到在区间上用自变量x和相应函数f(x)的变化进行语言表述；2.设置问题引导学生自主探究、尝试、归纳、总结，师生互相讨论交流，最终形成严格的数学概念；3.形成概念后，引导学生自主探究，通过生生互动，师生互动，达到让学生从多种形式认识概念的本质含义，从而加深学生对概念的理解；巩固练习问题（1）为了加深学生对单调性定义中自变量取值“任意”性的理解，是一个很好的问题；问题（2）的变式题体现了“逆向思维”，深化对定义的理解；问题（3）通过教师的引导，针对于数学基础较好、思维较为活跃的一部分学生，对判断方法进行适当的深入和拓展，加深学生对单调性定义的更深层次的理解，同时也为在高三阶段利用导函数研究函数的单调性奠定了良好的知识基础；4.知识应用部分,首先师生合作完成用单调性定义证明一个一次函数单调性，让学生初步体会用符号语言刻画单调性的代数描述过程，然后由教师演示实验（教材中的例题2）让学生直观感知压强和体积的关系,培养了学生数学建模思想和在物理问题中应用数学知识解决问题的能力,最后让学生运用本节课所学知识进行单调性判定和证明,使学生能够学以致用.(三)情感态度与价值观:创设情境引出课题,让学生充分认识到数学源于生活,又能应用于生活,进而激发学生自主学习和主动探究的学习兴趣;在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认知的提升;在概念应用阶段，通过对定义法证明单调性过程的具体分析，以及证明过程的严格板书，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤，培养学生清晰地思维、严谨的数学推理能力；最后先由学生自己独立完成再进行小组合作交流，展示自己用单调性定义证明函数单调性的全过程，培养了学生运用所学知识解决实际问题的能力，增强了学生学好数学的信心.三、学生学情分析:本班学生的数学基础和学习能力存在差异，学生在认知过程中主要存在两个方面的困难：第一，把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来，用数学的符号语言进行描述,比如把定义域内某区间上“随着x 的增大，相应的函数值)(x f 也随着增大”（单调递增）这一特征用该区间上“任意的21x x <，都有)()(21x f x f <”进行刻画，其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的1x ，2x ；第二，利用定义证明函数的单调性过程中，对学生在代数方面严格推理能力的要求较高,教师应该给以适时的点拨和纠正.四、重难点:重点：1. 函数单调性的概念；2.判断和证明函数的单调性.难点：理解函数单调性的概念五、教学策略分析:1. 多媒体演示创设情境，让学生通过观察气温变化曲线图的变化趋势，完成对单调性直观上的一种认识，为概念的引入提供了必要性,并让学生带着问题（什么是函数的单调性？）进入新课;2. 问题串引导学生探究式学习法，小组合作和自主探究相结合，问题作引导，引发积极思考；3.实验器材的恰当使用,提高了课堂的趣味性,丰富了学生的直观感受;4.多媒体展示和学生板演相结合，提高课堂效率的同时兼顾解答的规范性.六、教学过程:（一）创设情境,引入新知第一,先观察一个图形(函数)(通过多媒体给出承德今年8月8日气温变化曲线图)师：同学们和我一起来观察承德今年8月8日的气温曲线图，如果用函数观点来分析，设时间为t,温度为T,这条曲线表达的是关于这两个变量的函数关系吗？为什么？（学生回答，教师结合学生回答追问：如果设时间t 为自变量，能从图中得出自变量的变化范围吗？师追问：这个函数的定义域及它的对应关系）024681012141618202224510152025303540T t(h)【设计意图】回归函数定义，教师总结：该曲线反映了气温T 随时间t 的变化规律，在区间[0,24]内每给一个时间t 的值，根据图象都有唯一确定的温度T 与之对应，是一个函数.师：观察图象，结合已学过的函数观点,你能说出这一天的气温变化规律吗？(学生独立思考5秒后回答)预案:⑴当天的最高气温,最低气温及何时达到;⑵某些时段温度升高,某些时段温度降低（师追问：最高气温和最低气温是在什么范围研究的？结合学生回答给以及时评价；如果在定义域内一部分一部分地研究，你又会发现什么规律？学生补充）师：归纳关键点：研究函数性质要在整个定义域内研究；在定义域内的某个区间上，随着时间t 的增加，对应温度升高、降低的变化规律就是函数的单调性——引出课题，板书课题）师: 除了气温在某一范围的变化规律，你还能举出生活中具有单调性质的实例吗?预案:⑴承德橡胶坝水库一年中水位随时间的变化;⑵某段时间学生身高的变化.师归纳:抛开实际背景,从函数观点看,它们都反映了在定义域内的某区间上，随着自变量的变化,函数值变大或变小的规律（即函数的单调性）；同学们在初中就已学会用文字来描述函数的单调性,这节课我们就来学习一种更为方便的定义形式——用符号语言对单调性进行代数刻画.【设计意图】生活情境引入新课,可以激发学生的学习兴趣,让学生感悟数学来源于生活，运用数学知识可以解决生活中的实际问题，并向学生提出这节课的学习目标.（二）探索归纳,建构定义第二,进一步研究观察下列函数图象，（师：根据我们刚刚对“函数单调性的初步讨论”）说出函数的变化规律.①x x f =)(②1)(+-=x x f ③2)(x x f =(图象见课件)(学生回答图象变化趋势并描述函数的变化规律，参照学案内容)【设计意图】1.由图象认识增函数与减函数,直观且易于学生接受；2. 为单调函数定义中关键词“区间上”作铺垫；3.让学生初步体会数形结合的思想.探究一：问题1:根据上面的描述,对比函数x x f =)(与2)(x x f =在区间),(+∞-∞上的变化规律,说出它们的不同点?(学生独立思考5秒后回答)预案: 函数x x f =)(在整个定义域上都是增函数, 2)(x x f =是在定义域内的区间),0(+∞上是增函数师追问:如果要定义增函数,应该选择在定义域上还是在定义域内的区间上呢?(学生答)师归纳:单调性应与定义域内的区间相对应.问题2:请归纳函数x x f =)(,12)(+=x x f 在其定义域上和函数2)(x x f =在区间),0(+∞上的共同特征,并试着用符号语言表述“函数)(x f 在定义域内某区间D 上是增函数”.(学生独立思考5秒后回答出共同特征后，进入小组合作探究——如何用符号语言表述“函数)(x f 在定义域内某区间D 上是增函数”)预案:增函数的共同特征:在定义域内某区间D 上,函数值随自变量的增大而增大;（此处不同小组进行符号表述，但学生描述可能不准确，如： 在区间D 上,取两个自变量值21,x x ，当21x x <时，有)()(21x f x f <，则称函数)(x f y =在区间D 上是增函数.）【设计意图】由特殊到一般,归纳得到增函数定义.(此时定义还需进一步完善)第三步:产生认知冲突:讨论：“在函数2)(x x f =的定义域），-（∞+∞上，取两个自变量值2,121=-=x x ，由21x x <,计算得到相应的函数值)()(21x f x f <，则称函数2)(x x f =在），-（∞+∞上是增函数”，这种说法对吗？为什么？(学生独立思考5秒后回答)预案:⑴在定义域），-（∞+∞上不是增函数（举反例如31-=x ，22=x ）;⑵在),0(+∞ 上21,x x 取特殊值;⑶21,x x 取特殊值不具有代表性，任意取,才能代表区间上的所有值.师生合作:归纳得到增函数定义（此处增函数定义得到完善，师完善板书)【设计意图】定义中21,x x 取值的“任意性”是关键点，也是学生理解的难点问题，为了帮助学生对21,x x “任意性”的理解，教师应给以适时的点拨：区间上的值有无数多个，是取不完的，因此应该取任意值，不可由特殊值来代替.（三）严格定义，理解概念（多媒体给出定义）增函数：一般地，设函数)(x f 的定义域为Ｉ如果对于定义域Ｉ内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，则称函数)(x f 在区间D 上是增函数（increasing function ）.师：有了增函数的定义,请你具体谈谈你对“2)(x x f =在区间),0(+∞ 上是增函数”是怎样理解的？（幻灯片给出该问题）预案：对定义域: 研究函数性质，首先应该在定义域内研究; 对区间:针对),0(+∞这个区间, 单调性与定义域内区间相对应,是局部概念;两个自变量的取值的任意性,代表了区间上所有值; 自变量变化与相应函数值变化的一致性.【设计意图】深化对定义的理解.师：有了对函数性质的这些认识，对比增函数的定义，你能给出减函数的定义吗？【设计意图】让学生通过类比，归纳概括出减函数定义.(师:用多媒体给出减函数定义：一般地，设函数)(x f 的定义域为Ｉ 如果对于定义域Ｉ内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，则称函数)(x f 在区间D 上是减函数（decreasing function ）)(师用多媒体给出：如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间.)教师应提出：函数x x f =)(在整个定义域内都是单调的，而函数2)(x x f =在其定义域),(+∞-∞ 内不单调，只在区间),0(+∞ 上单调。