金版·高三总复习人教数学(理)2第6章 第4讲基本不等式
优化探究高考数学一轮复习 第六章 第四节 基本不等式
- 1 - 【优化探究】2017届高考数学一轮复习 第六章 第四节 基本不等式课时作业 理 新人教A版
A组 考点能力演练
1．(2016·汉中一模)“a≥0，b≥0”是“a＋b2≥ab”的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由a≥0，b≥0可得a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时取等号．反之，若a＋b2≥ab，则ab≥0，可得a≥0，b≥0，故选C.
答案：C
2．(2016·杭州一模)设a>0，b>0.若a＋b＝1，则1a＋1b的最小值是( )
A．2 B.14
C．4 D．8
解析：由题意1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝2＋ba＋ab≥2＋2ba×ab＝4.当且仅当ba＝ab，即a＝b＝12时取等号，所以最小值为4.
答案：C
3．若a>0，b>0且a＋b＝7，则4a＋1b＋2的最小值为( )
A.89 B．1
C.98 D.10277
解析：本题考查利用基本不等式求最值．因为b＝7－a，所以4a＋1b＋2＝4a＋19－a＝19(a＋9－a)·4a＋19－a＝194＋1＋49－aa＋a9－a≥19(4＋1＋4)＝1，当且仅当49－aa＝a9－a时取得等号，故选B.
答案：B
4．设x，y∈R，a>1，b>1.若ax＝by＝2，a2＋b＝4，则2x＋1y的最大值为( ) - 2 - A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由ax＝by＝2得x＝loga 2＝1log2 a，y＝logb 2＝1log2 b，2x＋1y＝2log2 a＋log2 b＝log2 (a2·b)≤log2a2＋b22＝2(当且仅当a2＝b＝2时取等号)．
答案：B
5．若直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)过曲线y＝1＋sin πx(0
A.2＋1 B．42
C．3＋22 D．6
解析：本题考查三角函数的性质与基本不等式．注意到曲线y＝1＋sin πx(0
高三数学一轮总复习 第七章 不等式 第四节 基本不等式
1 课时跟踪检测（三十九） 基本不等式及应用
一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则ab的最大值为________．
解析：∵a，b∈R＋，∴1＝a＋b≥2ab，∴ab≤14，当且仅当a＝b＝12时等号成立，∴ab的最大值为14.
答案：14
2．(2016·盐城调研)若正数a，b满足1a＋1b＝1，则4a－1＋16b－1的最小值为________．
解析：因为a>0，b>0，1a＋1b＝1，所以a＋b＝ab，则4a－1＋16b－1＝4b－1＋16a－1a－1b－1＝4b＋16a－20ab－a＋b＋1＝4b＋16a－20.
又4b＋16a＝4(b＋4a)1a＋1b＝20＋4×ba＋4ab≥20＋4×2 ba·4ab＝36，当且仅当ba＝4ab且1a＋1b＝1，即a＝32，b＝3时取等号，所以4a－1＋16b－1≥36－20＝16.
答案：16
3．已知a＋b＝t(a＞0，b＞0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t＝________.
解析：因为a>0，b>0时，有ab≤a＋b24＝t24，当且仅当a＝b＝t2时取等号．因为ab的最大值为2，所以t24＝2，t2＝8，所以t＝8＝22.
答案：22
4．(2016·常州一模)已知x>0，则xx2＋4的最大值为________．
解析：因为xx2＋4＝1x＋4x，又x＞0时，x＋4x≥2x×4x＝4，当且仅当x＝4x，即x＝2时取等号，所以0<1x＋4x≤14，即xx2＋4的最大值为14.
答案：14
5．已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________．
解析：依题意得a，b同号，于是有|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥2|a|·|2b|＝22|ab|＝ 2 2100＝20，当且仅当|a|＝|2b|＝10时取等号，因此|a＋2b|的最小值是20.
答案：20
二保高考，全练题型做到高考达标
[创新设计]2014届高考数学人教a版(理)一轮复习[配套word版文档]：第七篇 第4讲 基本不等式
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第4讲 基本不等式
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2013·宁波模拟)若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为 ( )．
A.12 B．1 C．2 D．4
解析 ∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤12.当且仅当a＝1，b＝12时等号成立．
答案 A
2．函数y＝x2＋2x－1(x>1)的最小值是 ( )．
A．23＋2 B．23－2
C．23 D．2
解析 ∵x>1，∴x－1>0，
∴y＝x2＋2x－1＝x2－2x＋1＋2x－1＋3x－1
＝x－12＋2x－1＋3x－1＝(x－1)＋3x－1＋2≥23＋2.
当且仅当x－1＝3x－1，即x＝3＋1时取等号．
答案 A
3．(2012·陕西)小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a
A．a
C.ab
∵a
又v－a＝2aba＋b－a＝ab－a2a＋b>a2－a2a＋b＝0，∴v>a.
答案 A
4．(2013·杭州模拟)设a>b>c>0，则2a2＋1ab＋1aa－b－10ac＋25c2的最小值是
( )．
A．2 B．4 C．25 D．5
解析 2a2＋1ab＋1aa－b－10ac＋25c2
＝2a2＋a－b＋baba－b－10ac＋25c2
＝2a2＋1ba－b－10ac＋25c2
≥2a2＋1b＋a－b22－10ac＋25c2(b＝a－b时取“＝”)
＝2a2＋4a2－10ac＋25c2＝a2＋4a2＋(a－5c)2≥4
当且仅当a＝2，b＝22，c＝25时取“＝”，故选B.
答案 B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2011·浙江)设x，y为实数．若4x2＋y2＋xy＝1，则2x＋y的最大值是________．
【步步高】2015届高考数学总复习 第二讲 不等式的证明及著名不等式配套文档 理 新人教A版选修4-
word 1 / 13 第二讲 不等式的证明及著名不等式
1．基本不等式
(1)定理：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
(2)定理(基本不等式)：如果a，b>0，那么a＋b2____ab，当且仅当______时，等号成立．也可以表述为：两个____的算术平均__________________它们的几何平均．
(3)利用基本不等式求最值：对两个正实数x，y，
①如果它们的和S是定值，则当且仅当______时，它们的积P取得最____值；
②如果它们的积P是定值，则当且仅当______时，它们的和S取得最____值．
2．三个正数的算术—几何平均不等式
(1)定理 如果a，b，c均为正数，那么a＋b＋c3____3abc，当且仅当________时，等号成立．
即三个正数的算术平均________它们的几何平均．
(2)基本不等式的推广
对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均________它们的几何平均，即a1＋a2＋…＋ann____na1a2…an，
当且仅当______________时，等号成立．
3．柯西不等式
(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．
(2)设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．
(3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．
4．证明不等式的方法
(1)比较法
①求差比较法
知道a>b⇔a－b>0，ab，只要证明______即可，这种方法称为求差比较法． word
2014高考数学一轮汇总训练《基本不等式》理新人教A版2
第四节 基本不等式
[备考方向要明了]
考
什 么 怎 么 考
1.了解基本不等式的证明过程．
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 1.以选择题或填空题的形式考查基本不等式的应用，如比较大小、求最值等，如2012年福建T5，湖南T8等．
2.在实际问题中和函数建模综合起来，考查基本不等式在求函数最值中的应用，如2012年江苏T17等.
[归纳·知识整合]
1．基本不等式ab≤a＋b2
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
[探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？
提示：①当a＝b时，a＋b2≥ab取等号，即a＝b⇒a＋b2＝ab
②仅当a＝b时，a＋b2≥ab取等号，即a＋b2＝ab⇒a＝b.
2．几个重要的不等式
a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；ba＋ab≥2(a，b同号)．
ab≤a＋b22(a，b∈R)；a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2P(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值P，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是P42(简记：和定积最大)．
[探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？
提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，y＝x＋1x在x≥2时的最小值，利用单调性，易知x＝2时ymin＝52.
[自测·牛刀小试]
1．已知m>0，n>0，且mn＝81，则m＋n的最小值为( )
A．18 B．36
C．81 D．243
数学一轮复习第六章第2讲基本不等式课时作业含解析
20212
第2讲 基本不等式
组 基础关
1．设非零实数a，b,则“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab,而错误!＋错误!≥2成立的条件是ab＞0,所以“a2＋b2≥2ab”是“错误!＋错误!≥2"成立的必要不充分条件．
2．已知a>0，b〉0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋错误!，n＝a＋错误!，则m＋n的最小值是（ )
A．3 B．4
C．5 D．6
答案 B
解析 由题意知ab＝1，∴m＝b＋1a＝2b,n＝a＋错误!＝2a，∴m＋n＝2（a＋b)≥4错误!＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故m＋n的最小值为4.
3．已知p＝a＋错误!,q＝错误!x2－2,其中a＞2，x∈R，则p，q20212
的大小关系是( ）
A．p≥q B．p＞q
C．p＜q D．p≤q
答案 A
解析 由a＞2，故p＝a＋错误!＝（a－2)＋错误!＋2≥
2＋2＝4，当且仅当a＝3时取等号．因为x2－2≥－2,所以q＝错误!x2－2≤错误!－2＝4，当且仅当x＝0时取等号，所以p≥q.故选A。
4．(2019·郑州外国语学校月考）若a＞b＞1,P＝错误!,Q＝错误!（lg
a＋lg b),R＝lg 错误!，则( )
A．R＜P＜Q B．Q＜P＜R
C．P＜Q＜R D．P＜R＜Q
答案 C
解析 因为a＞b＞1，所以lg a＞0，lg b＞0,且lg a≠lg b，所以错误!＜错误!（lg a＋lg b)，由错误!＜错误!，得lg错误!＜lg 错误!.所以错误!（lg a＋lg b)＜lg 错误!，综上知P＜Q＜R.
5．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30,则xy的最大值是（ ）
A.错误! B．错误!
高三数学复习(理)：第4讲 基本不等式
第4讲 基本不等式
[学生用书P132]
1．基本不等式ab≤a＋b2
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0．
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)ba＋ab≥2(a，b同号)．
(3)ab≤a＋b22(a，b∈R)．
(4)a2＋b22≥a＋b22(a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．算术平均数与几何平均数
设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
常用结论
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是p24.(简记：和定积最大)
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x＋1x的最小值是2.( )
(2)ab≤a＋b22成立的条件是ab>0.( )
(3)“x>0且y>0”是“xy＋yx≥2”的充要条件．( )
(4)若a>0，则a3＋1a2的最小值是2a.( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
二、易错纠偏
常见误区|Ｋ(1)忽视不等式成立的条件a>0且b>0；
(2)忽视等号成立的条件．
1．若x<0，则x＋1x( )
A．有最小值，且最小值为2
B．有最大值，且最大值为2
C．有最小值，且最小值为－2
D．有最大值，且最大值为－2
解析：选D.因为x<0，所以－x>0，
－x＋1－x≥21＝2，
当且仅当x＝－1时，等号成立，
所以x＋1x≤－2.
2．若x≥2，则x＋4x＋2的最小值为________． 解析：设x＋2＝t，则x＋4x＋2＝t＋4t－2.
人教A版高中数学 高三一轮第六章 不等式 6-4 基本不等
6.4 基本不等式 考向归纳
考向1利用基本不等式求最值
1．函数y＝x2＋2x＋2x＋1(x>－1)的图象最低点的坐标是( )
A．(1,2) B．(1，－2)
C．(1,1) D．(0,2)
【解析】 由题意得y＝x＋2＋1x＋1＝(x＋1)＋1x＋1，∵x>－1，∴x＋1>0，
∴y≥2x＋1x＋＝2当且仅当x＋1＝1x＋1，
即(x＋1)2＝1(x>－1)时等号成立，此时x＝0.
即函数图象的最低点的坐标为(0,2)． 【答案】 D
2．已知x>0，则xx2＋4的最大值为________．
【解析】 xx2＋4＝1x＋4x，∵x>0，∴4x>0，∴xx2＋4＝1x＋4x≤12x·4x＝14，
当且仅当x＝4x(x>0)，即x＝2时等号成立，∴xx2＋4的最大值为14.
【答案】 14
3．已知正实数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为________．
【解析】 由x>0，y>0，x＋2y－xy＝0得1y＋2x＝1，
x＋2y＝(x＋2y)1y＋2x＝xy＋2＋2＋4yx＝xy＋4yx＋4≥24yx·xy＋4＝8，当且仅当 1y＋2x＝1，xy＝4yx，
即 1y＋2x＝1，x＝2y，时等号成立，
此时x＝4，y＝2，x＋2y＝4＋2×2＝8.
【答案】 8
利用基本不等式求最值的常用技巧
1．若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．
2．若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构成“1”的代换等．
3．若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致．
考向2基本不等式的综合应用
(1)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，22－1)
C．(－1,22－1) D．(－22－1,22－1)
2025届高考一轮复习资料：第4讲基本不等式(学生版)
第4讲 基本不等式
1.基本不等式：√𝑎𝑏≤𝑎＋𝑏2
（1）基本不等式成立的条件：① a＞0，b＞0 .
（2）等号成立的条件：当且仅当 ② a＝b 时取等号.
（3）其中，③ 𝑎＋𝑏2 叫做a，b的算术平均数，④ √𝑎𝑏 叫做a，b的几何平均数.基本不等式表明：正数a，b的算术平均数不小于它们的几何平均数.
注意 若a＜0，b＜0，应先转化为－a＞0，－b＞0，再运用基本不等式求解.
2.几个重要不等式
（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号）.
（2）a＋b≥2√𝑎𝑏（a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号）.
（3）2𝑎𝑏𝑎＋𝑏≤√𝑎𝑏≤𝑎＋𝑏2≤√𝑎2＋𝑏22（a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号）.
3.利用基本不等式求最值
已知x＞0，y＞0.
（1）如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y取得最小值⑤ 2√𝑃 （简记：积定和最小）；
（2）如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy取得最大值⑥ 𝑆24 （简记：和定积最大）.
注意 应用基本不等式求最值应满足三个条件“一正”“二定”“三相等”.
1.下列说法正确的是（ ）
A.函数y＝x＋1𝑥的最小值是2
B.函数f（x）＝cos x＋4cos𝑥，x∈（0，π2）的最小值为4
C.“x＞0且y＞0”是“𝑥𝑦＋𝑦𝑥≥2”的充分不必要条件
D.不等式a2＋b2≥2ab与𝑎＋𝑏2≥√𝑎𝑏有相同的成立条件 2.矩形两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是（ ）
A.4 B.92 C.3√22 D.2
3.已知a，b为正数，则下列不等式中不成立的是（ ）
A.ab≤𝑎2＋𝑏22 B.ab≤（𝑎＋𝑏2）2 C.√𝑎2＋𝑏22≥𝑎＋𝑏2
D.2𝑎𝑏𝑎＋𝑏≥√𝑎𝑏
4.[教材改编]已知x＞2，则4𝑥－2＋x的最小值是 .
一轮复习配套讲义：第6篇 第4讲 基本不等式(2)
公众号：惟微小筑
第4讲 根本不等式
[最|新考纲]
1．了解根本不等式的证明过程．
2．会用根本不等式解决简单的最|大(小)值问题.
知 识 梳 理
1．根本不等式：ab≤a＋b2
(1)根本不等式成立的条件：a>0 ,b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中a＋b2称为正数a ,b的算术平均数 ,ab称为正数a ,b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)重要不等式：a2＋b2≥2ab(a ,b∈R)．当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤a＋b22(a ,b∈R) ,当且仅当a＝b时取等号．
(3)a2＋b22≥a＋b22(a ,b∈R) ,当且仅当a＝b时取等号．
(4)ba＋ab≥2(a ,b同号) ,当且仅当a＝b时取等号．
3．利用根本不等式求最|值
x＞0 ,y＞0 ,那么
(1)如果积xy是定值p ,那么当且仅当x＝y时 ,x＋y有最|小值是2p(简记：积定和最|小)．
(2)如果和x＋y是定值s ,那么当且仅当x＝y时 ,xy有最|大值是s24(简记：和定积最|大)．
辨 析 感 悟
1．对根本不等式的认识
(1)当a≥0 ,b≥0时 ,a＋b2≥ab.(√)
(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的．(×)
2．对几个重要不等式的认识 公众号：惟微小筑
(3)(a＋b)2≥4ab(a ,b∈R)．(√)
(4)2aba＋b＝21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22.(×)
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a ,b ,c∈R)．(√)
3．利用根本不等式确定最|值
(6)函数y＝sin x＋4sin x ,x∈0
π2的最|小值为4.(×)
(7)(2021·福州模拟改编)假设x＞－3 ,那么x＋4x＋3的最|小值为1.(√)
(8)(2021·四川卷改编)函数f(x)＝4x＋ax(x＞0 ,a＞0)在x＝3时取得最|小值 ,那么a＝36.(√)