2020年湖南省岳阳市高考数学二模试卷(一)(有答案解析)
解析：解：抛物线 y2=-4 x 的准线 l：x= ， 可得 c= ，即 a2+b2=5，
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由题意可得 =2，
解得 a=1，b=2，
则双曲线的方程为 x2- =1，
故选：B． 求得抛物线的准线方程可得双曲线的 c，由双曲线的渐近线方程可得 a，b 的关系，解方 程可得 a，b，进而得到所求双曲线方程． 本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
【解答】 解：设等差数列{an}的公差为 d， ∵7a3+a13-2a5=30， ∴7（a1+2d）+（a1+12d）-2（a1+4d）=30， 化为：a1+3d=5． 则 a4=5． 故选：C．
4.答案：A
解析：解：根据题意，g（x）=f（x）+2，则 g（-2）=f（-2）+2=3， 则有 f（-2）=1， 又由 f（x）为奇函数，则 f（2）=-f（-2）=-1； 故选：A． 根据题意，由函数的解析式可得 g（-2）=f（-2）+2=3，变形可得 f（-2）的值，结合函 数的奇偶性分析可得答案． 本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．
A. {-1，0，1，2} B. {-1，1，2}
C. {0，1，2}
D. {1，2}
3. 等差数列{an}满足 7a3+a13-2a5=30，则 a4=（ ）
A. -5
B. 0
C. 5
D. 10
4. 已知 f（x）为 R 上的奇函数，g（x）=f（x）+2，g（-2）=3，则 f（2）=（ ）
A. -1
（2）现从表（2）中成功完成时间在[20，30）和[30，40]这两组内的 6 名男生中任
意抽取 2 人对他们的盲拧情况进行视频记录，求 2 人成功完成时间恰好在同一组内
的概率．
附参考公式及数据：K2=
，其中 n=a+b+c+d．
P（K2≥k0） k0
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
B. 0
C. 1
D. 2
5. 已知抛物线 y2=-4 x 的准线 l 经过双曲线 =1（a＞0，b＞0）的一个焦点 F，且
该双曲线的一条渐近线过点 P（1，-2），则该双曲线的标准方程为（ ）
A.
=1
B. x2 =1
C.
D.
6. 下列命题说法正确的是（ ）
A. 若 p∧q 是真命题，则￢p 可能是真命题
A. c＜b＜a
B. b＜a＜c
C. a＜c＜b
D. b＜c＜a
二、解答题（本大题共 11 小题，共 102.0 分）
13. 函数 f（x）= sinx+cosx 的图象可由函数 g（x）=2sinx 的图象向左至少平移______
个单位长度得到．
14. 岳阳市某高中文学社计划招入女生 x 人，男生 y 人，若 x，y 满足约束条件
，
则该社团今年计划招入学生人数最多为______．
15. 已知数列{an}，若 a1+2a2+…+nan=2n，则数列{anan+1}前 n 项和为______．
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16. 设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 y2=2px（p＞0）上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且|PM|=2|MF|，则直线 OM 的斜率的最大值为______．
1.答案：D
-------- 答案与解析 --------
解析：解：z=（-3-4i）i=4-3i． z 在复平面内对应的点为（4，-3），位于第四象限． 故选：D． 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2.答案：D
6.答案：B
解析：解：当 p 真 q 假时，A 错误； 存在的否定是任意，小于的否定是大于，所以命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0＜1”的否定是 “∀x∈R，sinx+cosx≥1”，B 正确． 故选：B． 当 p 真 q 假时，A 错误；存在的否定是任意，小于的否定是大于． 本题考查了命题的真假判断与应用，属中档题．
解析：【分析】 本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是 基础题． 先分别求出集合 M，N，由此能求出 M∩N． 【解答】 解：∵集合 M={x|log2x＜2}={x|0＜x＜4}， N={-1，0，1，2}， ∴M∩N={1，2}． 故选：D．
3.答案：C
解析：【分析】 本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 利用通项公式即可得出．
EF 与 CD 所成的角为( )
A. 90°
B. 45°
C. 60°
D. 30°
8. 已知向量 =（4，-7）， =（3，-4），则 在 方向上的投影为（ ）
A. 2
B. -2
C. -2
D. 2
9. 阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出 i 的结果为（ ）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
2020 年湖南省岳阳市高考数学二模试卷（一）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 复数 z=（-3-4i）i 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2. 已知集合 M={x|log2x＜2}，N={-1，0，1，2}，则 M∩N=（ ）
7.答案：D
解析：解：设 G 为 AD 的中点，连接 GF，GE， 则 GF，GE 分别为△ABD，△ACD 的中位线．
∴GF∥AB，且 GF= AB=1，GE∥CD，且 GE= CD=2，
则 EF 与 CD 所成角的度数等于 EF 与 GE 所成角的度 数 又 EF⊥AB，GF∥AB， ∴EF⊥GF 则△GEF 为直角三角形，GF=1，GE=2，∠GFE=90°
A.
B.
C.
D.
12. 已知 f（x）是定义在（-π，0）∪（0，π）上的偶函数，f′（x）为 f（x）的导函数，
且 f（ ）=0，当 x∈（0，π）时，不等式 f′（x）•sinx-f（x）•cosx＞0 恒成立，若
a=-2f（- ），b=2f（ ），c= （ ），则 a，b，c 的大小关系是（ ）
再次执行循环体后，S= ，不满足退出循环的条件，i=7；
再次执行循环体后，S= ，不满足退出循环的条件，i=9；
再次执行循环体后，S= ，满足退出循环的条件，
故输出的 i 值为 9， 故选：C． 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 i 的值，模拟 程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方 法解答．
20. 已知椭圆
的右焦点 F 与抛物线 y2=8x 焦点重合，且椭圆的离心
率为 ，过 x 轴正半轴一点（m，0）且斜率为 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点．
（1）求椭圆的标准方程； （2）是否存在实数 m 使以线段 AB 为直径的圆经过点 F，若存在，求出实数 m 的 值；若不存在说明理由．
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B. 命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0＜1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1” C. “a＞5 且 b＞-5”是“a+b＞0”的x+ay+5=0 平行”的必要不充分条件
7. 已知在四面体 ABCD 中，E、F 分别是 AC、BD 的中点，若 CD=2AB=4,EF⊥AB，则
10. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何
体的三视图，其侧视图中的曲线为 圆周，则该几何体的体积
为（ ）
A. 16π B. 64-16π
C. 64-
D. 64-
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11. 四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976 年被美国 数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理其内容是： “任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同 边界的国家涂上不同的颜色”用数学语言表示为 “将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区 域总可以用 1，2，3，4 四个数字之一标记，而不会 使相邻的两个区域得到相同的数字”如图，网格纸 上小正方形的边长为 1，粗实线围成的各区域上分别标有数字 1，2，3，4 的四色 地图符合四色定理，区域 A和区域 B标记的数字丢失若在该四色地图上随机取一点， 则恰好取在标记为 1 的区域的概率所有可能值中，最大的是（ ）
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情况如表（2）所示： 表（1）
喜欢盲拧
不喜欢盲拧
总计
男
23
30
女
11
总计
50
表（2）
成功完成时间（分钟） [0，10） [10，20） [20，30） [30，40]
人数
10
4
4
2
（1）将表（1）补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为
是否喜欢官拧与性别有关？
21. 已知函数
的图象在点
处的切线斜率为 0．
（Ⅰ）讨论函数 f（x）的单调性；
（Ⅱ）若
在区间（1，+∞）上没有零点，求实数 m 的取值范围．
22. 已知曲线 C 的参数方程为
（α 为参数），以直角坐标系原点为极点，
x 轴非负半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系． （1）求曲线 C 的极坐标方程并说明其表示什么轨迹；
【附5套中考模拟试卷】湖南省岳阳市2019-2020学年中考数学二模考试卷含解析
（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；
（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．
23．（8分）先化简，再求值：（x+2y）（x﹣2y）+（20xy3﹣8x2y2）÷4xy，其中x＝2018，y＝1．
湖南省岳阳市2019-2020学年中考数学二模考试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且他们的顶点相距10个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y= +6x+m，则m的值是（）
7．在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（）
A．图2B．图1与图2C．图1与图3D．图2与图3
8．如图是棋盘的一部分，建立适当的平面直角坐标系，已知棋子“车”的坐标为（-2,1），棋子“马”的坐标为（3，-1），则棋子“炮”的坐标为（）
A．（1，1）B．（2，1）C．（2，2）D．（3，1）
A．（2，4）B．（1，5）C．（1，-3）D．（-5，5）
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴，y轴上，点B在第一象限，点D在边BC上，且∠AOD＝30°，四边形OA′B′D与四边形OABD关于直线OD对称（点A′和A，点B′和B分别对应）．若AB＝2，反比例函数y＝ （k≠0）的图象恰好经过A′，B，则k的值为_____．
24．（10分）如图， 的顶点是方格纸中的三个格点，请按要求完成下列作图，①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹.
湖南省高考数学二模试卷(理科)
湖南省高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）复平面内表示复数的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分）(2020·三明模拟) 设全集为，，则等于（）A .B .C .D .3. （2分） (2020高一下·辽宁期中) 已知△ABC的外心是边BC的中点， =(k，1)， =(2，3)，则k的值为（）A . 5B . -5C .D . -4. （2分）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A . y=sin（2x+）B . y=cos（2x+）C . y=sin2x+cos2xD . y=sinx+cosx5. （2分） (2018高二下·重庆期中) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .6. （2分） (2015高二上·抚顺期末) 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A .B .C . 4D .7. （2分） (2019高一上·和平月考) 设a，，若，，则p是q的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分） (2020高一上·桂林期末) 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A . 向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度B . 向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度C . 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度D . 向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度9. （2分） (2019高二下·牡丹江期末) 已知函数，若函数与函数有相同的值域，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高三上·龙泉驿月考) 已知函数，若是周期为的偶函数，则的一个可能值是（）A .B .C .D .11. （2分）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，椭圆长轴的最小值为（）A .B .C . 2D . 212. （2分） (2017·南开模拟) 已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A . 2B . 4C . 6D . 8二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·蕲春期中) 将三项式（x2+x+1）n展开，当n=1，2，3，…时，得到如下所示的展开式，如图所示的广义杨辉三角形：（x2+x+1）0=1（x2+x+1）1=x2+x+1（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1（x2+x+1）3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角形构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法：第0行为1，以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的，缺少的数计为0）之和，第k行共有2k+1个数．若在（a+x）（x2+x+1）4的展开式中，x6项的系数为46，则实数a的值为________．14. （1分） (2019高二下·厦门期末) 已知随机变量，则________15. （1分） (2020高二下·赣县月考) ________．16. （1分） (2017高一下·保定期中) 如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB、DD1的中点，点P是DD1上一点，且PB∥平面CEF，则四棱锥P﹣ABCD外接球的体积为________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （15分） (2016高二上·长沙开学考) 设数列{an}的前n项和为Sn ，n∈N* ，已知a1=1，a2= ，a3= ，且当n≥2时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1 ．（1）求a4的值．（2）证明：{an﹣1﹣ an}为等比数列；（3）求数列{an}的通项公式．18. （10分）(2019·南昌模拟) 市面上有某品牌型和型两种节能灯，假定型节能灯使用寿命都超过5000小时，经销商对型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：某商家因原店面需要重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年.新店面需安装该品牌节能灯5支（同种型号）即可正常营业.经了解，型20瓦和型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装.已知型和型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时，假定该店面正常营业一年的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯更换.（用频率估计概率）（1）若该商家新店面全部安装了型节能灯，求一年内恰好更换了2支灯的概率；（2）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由.19. （10分） (2020高一下·徐州期中) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别为A1C1和BC的中点，M，N分别为A1B和A1C的中点.求证：（1）MN∥平面ABC；（2）EF∥平面AA1B1B．20. （10分） (2018高二上·深圳期中) 已知O为坐标原点，抛物线y2=–x与直线y=k（x+1）相交于A，B 两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当△OAB的面积等于时，求实数k的值．21. （10分） (2017高一上·滑县期末) 已知函数．（1）设函数h（x）=g（x）﹣f（x），求函数h（x）在区间[2，4]上的值域；（2）定义min（p，q）表示p，q中较小者，设函数H（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），①求函数H（x）的单调区间及最值；②若关于x的方程H（x）=k有两个不同的实根，求实数k的取值范围．22. （10分）(2017·抚顺模拟) 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），将曲线C1上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2 ，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为4ρsin（θ+ ）+ =0．（1）求曲线C2的极坐标方程及直线l与曲线C2交点的极坐标；（2）设点P为曲线C1上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．23. （10分） (2020高一上·泉州期中) 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件(x＞0)，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元.设生产每批的总费用为y.（总费用指的是生产准备费用与仓储费用之和）（1）求y关于x的关系式；（2）每批应生产多少件产品时平均费用最小？并求出最小平均费用.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2020年湖南省五岳高考数学模拟试卷(文科)(5月份) (含答案解析)
2020年湖南省五岳高考数学模拟试卷(文科)(5月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.5+i 1−i=( )A. 2+3iB. 3+3iC. 2−3iD. 3−3i2. 已知集合A ={x|y =√−x +2}，B ={x|y =log 2(3−2x)}，则有( )A. A ∩B ={x|x <32} B. A ∩B ={x|x ≤2} C. A ∪B ={x|x <32}D. A ∪B ={x|x <2}3. 某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人．现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为( )A. 9,16,5B. 10,15,5C. 10,17,3D. 9,18,34. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,7)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3)，则−12AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. (−12,5)B. (12,5)C. (−12,−5)D. (12,−5)5. 已知圆的方程为x 2+y 2−2x +4y +2=0，则圆的半径为( )A. 3B. 9C. √3D. ±36. 已知数列{a n }是等差数列，若a 1=2，a 4=2a 3，则公差d =( )A. 0B. 2C. −1D. −27. 设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点，点M(a,b).若∠MF 1F 2=30°，则双曲线C 的离心率为( )A. 32B. √2C. 2D. √38. 函数f(x)=3+2x 1+x(x >0)的值域是( )A. (−∞,3)B. (3,+∞)C. (2,3)D. (0,3)9. 已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为√3，则三棱锥A 1−B 1BC 的体积为( )A. 12B. √32C. 1D. √310. 设f(x)为可导函数，且满足条件limx→0f(x+1)−f(1)2x=3，则曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为( )A. 32B. 3C. 6D. 无法确定11.已知一空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体的外接球的表面积为()A. 27πB. 49πC. 81πD. 100π12.在函数：①y=cos|2x|；②y=|cos x|；③y=cos(2x+π6)中，最小正周期为π的所有函数为()A. ①②③B. ①③C. ①②D. ②③二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x，y是正数，1x +2y=1，则2x+yxy+1的最小值为______．14.已知三个数(12)π,log23,log2π，其中最大的数是__________15.在等比数列{a n}中，若a2=9，a5=243，则数列{a n}的前4项和为________．16.F1、F2分别为椭圆C：x29+y25=1的左、右焦点，P是C上的任意一点．则|PF1|⋅|PF2|的最大值为______，若A(0,4√6)，则|AP|−|PF2|的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知c=acosB+bsinA．(Ⅰ)求A(Ⅱ)若a=2，求△ABC面积的最大值．18.如图所示，正三棱柱A1B1C1−ABC中，A1A=4，D，E分别为A1C1，BC1的中点．(1)求证：DE//平面A1ABB1；(2)若三棱锥E−ACD的体积为2√3，求该三棱柱底面边长．19.设a>0且a≠1，函数f(x)=a x+x2−xlna−a．(1)当a=e时，求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)的最小值;(3)求函数f(x)的零点个数，并说明理由．20.为激发果农对樱桃种植的热情，某商场每年六月会从果农中订购他们所种植的樱桃，假设商场每天进货量相同且每公斤20元，售价为每公斤24元，当天未售完的樱桃降价处理，以每公斤16元的价格当天全部处理完．根据往年情况，每天需求量n(单位：公斤)与当天平均气温ℎ(单位：℃)有关．如果ℎ≥25，n=300；如果ℎ∈[20,25),n=200；ℎ∈[15,20),n=100；ℎ<15，n=50.为了确定今年6月1日到30日的订购数量，统计了前三年6月平均气温数据，得到如下所示的频数分布表：(1)若设该商场某天进货220公斤，以这90天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天该商场不亏损的概率；(2)假设该商场打算在这90天内每天进货200公斤或220公斤，请你以销售樱桃每天为商场带来的利润的期望值作为决策依据，帮该商场作出正确的进货量选择．21.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F，抛物线上一点P点纵坐标为2，|PF|=3．(1)求抛物线的方程；(2)已知抛物线C与直线l：y=kx+1交于M,N两点，y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有k PM+k PN=0？说明理由．22.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2，0≤θ≤π2，曲线C2的参数方程为{x=t+2t−1y=t−2t+1(t为参数)．(1)将曲线C1的极坐标方程、C2的参数方程化为普通方程；(2)设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．23.已知函数f(x)=x2+2|x−1|．(1)求不等式f(x)>|2x|x的解集；(2)若f(x)的最小值为N，且a+b+c=N，(a,b，c∈R).求证：√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：5+i1−i =(5+i)(1+i)(1−i)(1+i)=4+6i2=2+3i．故选：A．2.答案：A解析：解：∵集合A={x|y=√−x+2}={x|x≤2}，B={x|y=log2(3−2x)}={x|x<32}，∴A∩B={x|x<32}，A∪B={x|x≤2}．故选：A．先分别求出集合A，B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义、不等式求解等基础知识，是基础题．3.答案：D解析：根据分层抽样的定义建立比例关系，即可求出各职称分别抽取的人数．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．解：用分层抽样方法抽取容量为30的样本，则样本中的高级职称人数为30×45150=9，中级职称人数为30×90150=18，初级职称人数为30×15150=3．故选D ．4.答案：C解析：因为向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,7)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3)，故AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,10)，则−12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−5). 5.答案：C解析：本题考查了圆的标准方程，属于基础题．把圆的一般方程化为标准方程，即可得出圆的半径． 【详解】解：把圆的方程x 2+y 2–2x +4y +2=0化为标准方程是(x–1)2+(y +2)2=3， ∴圆的半径为√3． 故选C ．6.答案：D解析：本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题． 由题意利用等差数列的通项公式，可得公差d 的值．解：∵数列{a n }是等差数列，若a 1=2，∵a 4=2+3d =2a 3=4+4d ， 则公差d =−2， 故选：D ．7.答案：C解析：解：由题意可得F 1(−c,0)，M(a,b)， 直线MF 1的斜率为tan30°=√33，即有ba+c=√33，即a +c =√3b ，平方可得(a +c)2=3b 2=3(c 2−a 2)=3(c +a)(c −a)， 化简可得a +c =3(c −a)， 即为c =2a ，可得e =ca =2． 故选：C ．求得直线MF 1的斜率为tan30°=√33，即有b a+c=√33，运用a ，b ，c 的关系和离心率公式计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线的斜率公式和a ，b ，c 的关系和离心率公式，考查化简整理的运算能力，属于基础题．8.答案：C解析：本题考查函数的值域，属于基础题．先将解析式变形，因为x >0，可得x +1>1，即1x+1∈(0,1)，即可求出值域． 解：f (x )=3+2x 1+x=2(x+1)+1x+1=2+1x+1，∵x >0，∴x +1>1，∴1x+1∈(0,1)， ∴函数的值域为(2,3)． 故选C ．9.答案：C解析：解：正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为√3， 棱柱的底面面积为：√34×22=√3，棱柱的体积为：SH =√3×√3=3，由三棱锥的体积的推导过程可知：三棱锥A 1−B 1BC 的体积为：13V 三棱柱=13×3=1． 故选：C ．求出棱柱的体积，然后求解棱锥的体积即可．本题考查棱锥的体积的求法，三棱锥与三棱柱的体积关系，基本知识的考查．10.答案：C解析：本题考查数列极限的运算法则的应用，曲线在某处切线斜率的意义，属于基础题．y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f′(1)=limx→0f(x+1)−f(1)x=2limx→0f(x+1)−f(1)2x.解：∵f(x)为可导函数，且满足条件limx→0f(x+1)−f(1)2x=3，∴y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f′(1)=limx→0f(x+1)−f(1)x=2limx→0f(x+1)−f(1)2x=2×3=6，故选：C．11.答案：C解析：解：根据几何体的直观图知，它是一正四棱柱被截去了两个三棱锥得到的，与原正四棱柱有相同的外接球，该正四棱柱的体对角线为球的直径，其长度为√62+62+32=√81=9，所以外接球的直径为9，外接球的表面积为4π×(92)2=81π．故选：C．解：根据几何体的直观图知，它是一正四棱柱被截去了两个三棱锥得到的，与原正四棱柱有相同的外接球，该正四棱柱的体对角线为球的直径，求出对角线的长，得外接球的直径，从而求出外接球的表面积．本题考查了几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图还原出几何图形，是基础题．12.答案：A解析：本题考查三角函数的周期，考查推理能力和计算能力，属于基础题． 利用余弦函数和余弦型函数的的性质即可求解．解：①中函数是一个偶函数，其周期与y =cos2x 相同，所以T =2π2=π即①符合题意;②中函数y =|cosx|的周期是函数y =cosx 周期的一半，所以T =π，即②符合题意; ③中的函数的周期T =2π2=π，即③符合题意;故选A ．13.答案：89解析：本题考查基本不等式在求最值方面的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．首先把关系式进行转换，进一步利用基本不等式的应用求出结果． 解：已知x ，y 是正数，1x +2y =1， 所以2x +y =xy ， 则：2x+yxy+1=1−12x+y+1，因为2x +y =(2x +y)⋅(1x +2y )=2+4x y+y x +2≥4+2√4x y ⋅yx =8，(当且仅当y =2x 时等号成立)．所以(2x +y)min =8，则(12x+y+1)max =19， 所以(1−12x+y+1)min =89，即2x+yxy+1的最小值为89． 故答案为：89．14.答案：解析：由指数函数的性质知0<(12)π<1，1<log23<log2π，所以最大数是log2π，故答案是log2π．15.答案：120解析：本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式．属于基础题．直接应用等比数列的通项公式和求和公式不难求解．解：设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n,则q3=a5a2=27，∴q=3，∴a1=a2q=3，∴S4=a1(1−q4)1−q =3×(1−34)1−3=120，故答案为120．16.答案：9 4解析：解：∵P点在椭圆C：x29+y25=1上，∴|PF1|+|PF2|=2a=6，∵|PF1|>0，|PF2|>0，∴|PF1|⋅|PF2|≤(|PF2|+|PF2|)24=9，∴|PF1|⋅|PF2|有最大值9，如图，连接AF1，AF2，|AP|−|PF2|的最小值在如图所示的位置，此时AP比较小，|PF2|比较大，|AF1|是定值．|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF1|=6−|PF2|，|AF1|=|AP|+|PF1|=√4+16×6=10，|AP|=10−|PF1|=10−6+|PF2|=4+|PF2|则|AP|−|PF2|的最小值为4．故答案为：9；4．利用椭圆定义知|PF1|+|PF2|为定值2a，再利用均值定理求积|PF1|⋅|PF2|的最大值；画出图形利用椭圆的定义转化求解|AP|−|PF2|的最小值．本题考查了椭圆的标准方程的意义，椭圆定义的应用，椭圆的几何性质，利用均值定理和函数求最值的方法．17.答案：解：(Ⅰ)由已知及正弦定理得sinC=sinAcosB+sinBsinA①又A+B+C=π，故有sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB②由①②得sinA=cosA即tanA=1，又A∈(0,π)∴A=π4；(Ⅱ)△ABC的面积为S=12bcsinA=√24bc，又已知及余弦定理可得4=b2+c2−2bccosA≥2bc−2bccosA=(2−√2)bc，∴bc≤42−√2，当且仅当b=c时，等号成立，∴面积S=12⋅bcsinA≤√2+1，即面积最大值为√2+1．解析：本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，同时考查三角函数的恒等变换公式的运用，属于中档题．(Ⅰ)运用正弦定理和诱导公式、两角和的正弦公式，同角的商数关系，计算即可得到所求；(Ⅱ)由三角形的面积公式，余弦定理，结合基本不等式，即可得到所求最大值．18.答案：解析：(1)分别取A1B1，B1B中点M，N，连接DM，MN，EN，则DM//B1C1，EN//B1C1，∴EN//DM，且EN=DM=12B1C1，∴DMNE为平行四边形，∴DE//MN且MN⊂平面A1ABB1，DE⊄平面A1ABB1，所以DE//平面A1ABB1；(2)设该三棱柱底面边长为a，由正三棱柱可知，点B到平面A1ACC1的距离为ℎ=√32a，而S△ACD=12AC·A1A=2a，V E−ACD=12V B−ACD=12×13S△ACD·ℎ=16×2a×√32a=2√3，∴a2=12，a=2√3，所以三棱柱底面边长为2√3．解析：本题考查线面平行的证明，考查正三棱锥底面边长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．(1)连接取A1B1，B1B中点M，N，连接DM，MN，EN，推导出DE//MN，由此能证明DE//平面A1ABB1；.(2)由V E−ACD=12V B−ACD，作AF⊥BC交BC于F，由正三棱柱的性质，得AF⊥平面BCC1B1，设底面正三角形边长为a，点B到平面A1ACC1的距离为ℎ=√32a，而S△ACD=12AC·A1A=2a，由此能求出该正三棱柱的底面边长．19.答案：解：(1)当a=e时，f(x)=e x+x2−x−e，f′(x)=e x+2x−1，设g(x)=e x+2x−1，则g(0)=0，且g′(x)=e x+2>0，所以，g(x)在(−∞,+∞)上单增，且当x>0时，g(x)>g(0)=0；当x<0时，g(x)<g(0)=0，即当x>0时，f′(x)>0；当x<0时，f′(x)<0．综上，函数f(x)的单增区间是(0,+∞)，单减区间是(−∞,0).(2)f′(x)=a x lna+2x−lna=(a x−1)lna+2x，①当a>1，若x>0，则a x>1，lna>0，所以f′(x)>0，若x<0，则a x<1，lna>0，所以f′(x)<0，②当0<a<1，若x>0，则a x<1，lna<0，所以f′(x)>0，若x<0，则a x>1，lna<0，所以f′(x)<0，所以f(x)在(−∞,0)上减，(0,+∞)上增．所以f(x)min=f(0)=1−a，(3)由(2)得：a>0，a≠1，f(x)min=1−a．(ⅰ)若1−a>0即0<a<1时，f(x)min=1−a>0，函数f(x)不存在零点．(ⅰ)若1−a<0即a>1时，f(x)min=1−a<0．f(x)的图象在定义域是不间断的曲线，f(x)在(−∞,0)上单减，在(0,+∞)上单增．f(a)=a a+a2−alna−a>a2−alna−a=a(a−lna−1)．令t(a)=a−lna−1，(a>1)，t′(a)=1−1a>0，所以t(a)在(1,+∞)递增；所以t(a)>t(1)=0.所以f(a)>0.故f(x)在(0,a)有一个零点．又f(−a)>a2−a>0，故f(x)在(−a,0)有一个零点．所以f(x)在(−∞,0)和(0,+∞)各有一个零点，即f(x)有2个零点．综上：①0<a<1时，函数f(x)不存在零点；②a>1时，函数f(x)有2个零点．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查转化思想，是一道综合题．(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)求出函数的导数，通过a的范围，求出函数单调区间，从而求出函数的最小值即可；(3)0<a<1时，函数无零点，a>1时，求出函数f(x)的最小值，根据函数的单调性判断函数的零点即可．20.答案：解：(1)当需求量n=300时，利润为4×220=880元；当需求量n=200时，利润为4×200−20×4=720元；当需求量n=100时，利润为4×100−120×4=−80元；即n=50时，利润为4×50−4×170=−480元．所以当天该商场不亏损的概率P=90−1890=45.(2)设每天的进货量为220公斤，则每天销售樱桃为该商场带来的利润的期望值为：880×3690+720×3690−80×1690−480×290=61519(元)．设每天的进货量为200公斤，当需求量n≥200时，利润为4×200=800元；当需求量n=100时，利润为4×100−4×100=0元；当需求量n=50时，利润为4×50−4×150=−400元；此时利润的期望值为800×7290+0×1690−400×290=63119(元)，因为63119>61519，故从每天销售樱桃给商场带来的利润的期望值考虑，应选择进货量为200公斤．解析：本题考查古典概率及数学期望，考查了学生的运算求解能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(1)根据题意可得当需求量n =300时，利润为4×220=880元；当需求量n =200时，利润为4×200−20×4=720元；当需求量n =100时，利润为4×100−120×4=−80元；即n =50时，利润为4×50−4×170=−480元；进而利用古典概率公式即可得到结果；(2)设每天的进货量为220公斤，可求得每天销售樱桃为该商场带来的利润的期望值，设每天的进货量为200公斤，求得此时利润的期望值，进而即可得到结果．21.答案：解：(1)∵|PF|=y P +p 2，∴3=2+p 2，即p =2，故抛物线的方程为x 2=4y ．(2)设P(0,b)为符合题意的点，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，设直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2．将y =kx +1代入抛物线C 的方程得x 2−4kx −4=0，故x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−4，∴k PM +k PN =y 1−b x 1+y 2−b x 2=kx 1+1−b x 1+kx 2+1−b x 2 =2kx 1x 2+(1−b)(x 1+x 2)x 1x 2=−8k+4k(1−b)−4=k(1+b)，当b =−1时，即p(0,−1)，有k PM +k PN =0．解析：(1)利用抛物线的定义可得出p 的值，进而得出抛物线C 的方程；(2)设点P(0,b)，并设点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，利用两点的斜率公式并将韦达定理代入等式k PM +k PN =0可计算出b 的值．本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义，同时也考查了韦达定理设而不求法在抛物线综合中的应用，考查计算能力，属于中等题．22.答案：解：(1)因为ρsin(θ+π4)=2√2，0≤θ≤π2，所以ρ(√22sinθ+√22cosθ)=2√2即x +y =4(0≤x ≤4)， 所以C 1的普通方程为x +y −4=0(0≤x ≤4)，由C 2得{(x +1)2=t 2+2t 2+4(y −1)2=t 2+2t −4⇒(x +1)2−(y −1)2=8，即为C 2的普通方程．(2)由{x +y =4(x +1)2−(y −1)2=8⇒{x +y =4(x +y)(x −y +2)=8⇒{x =2y =2，即P(2,2)， 设所求圆圆心的直角坐标为(a,0)，其中a >0，则(a −2)2+(0−2)2=a 2，解得a =2， ∴所求圆的半径r =2，∴所求圆的直角坐标方程为：(x −2)2+y 2=22，即x 2+y 2=4x ，∴所求圆的极坐标方程为ρ=4cosθ．解析：本题主要考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系，以及圆的极坐标方程，属于中档题．(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用(1)的结论，先求出C 1，C 2的交点P 坐标，设所求圆圆心的直角坐标为(a,0)，其中a >0，求出a ，即可得圆的半径，进而可求出圆的极坐标方程．23.答案：解：(1)当x <0时，f(x)>|2x|x 等价于x 2+2|x −1|>−2，该不等式显然成立； 当0<x ≤1时，f(x)>|2x|x 等价于{0<x ≤1x 2−2x >0，此时不等组的解集为⌀， 当x >1时，f(x)>|2x|x 等价于{x >1x 2+2x −4>0，∴x >√5−1， 综上，不等式f(x)>|2x|x的解集为(−∞,0)∪(√5−1,+∞)． (2)当x ≥1时，f(x)=x 2+2x −2=(x +1)2−3；当x =1时，f(x)取得最小值为1；当x <1时，f(x)=x 2−2x +2=(x −1)2+1>1，∴f(x)最小值为1，∴a +b +c =N =1，∵a 2+b 2≥a 22+b 22+ab =(a+b)22， ∴√a 2+b 2≥√2|a+b|2≥√2(a+b)2， 同理√b 2+c 2≥√2(b+c)2,√c 2+a 2≥√2(c+a)2， ∴√a 2+b 2+√b 2+c 2+√c 2+a 2≥√2(a +b +c)=√2．解析：(1)根据f(x)>|2x|x ，分x <0，0<x ≤1和x >1三种情况解不等式即可；(2)先求出f(x)的最小值为1，从而得到a +b +c =N =1，然后根据a 2+b 2≥a 22+b 22+ab =(a+b)22，进一步证明2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2成立．本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
岳阳市 2024 届高三教学质量监测(一)数学参考答案
岳阳市2024届高三教学质量监测(一)数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．B 2．C 3．C 4．D 5．A6．A 7．B 8．D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9．ABC 10．BD 11．ACD 12．ABD三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．），（21--(满足0),2,1(>--k k 均可)14．),27()27,(+∞⋃--∞15．42522=+y x 16．2(2分)；⎪⎭⎫⎢⎣⎡-2112，(3分)四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(1)由题意，∵111+--=-n n n S n S n a (n ≥2))1(111111--+--=+--=-=∴---n n S n S n S n S n S S a n n n n n n n .......................................................(2分)）（1111----=--∴--n S n S n S n S n n n n ∴数列}{n S n S nn --为常数列........................................................................................................(4分)(2)111==a S ，11111-=--=--∴S S n S n S n n ........................................................................(5分)0)1)(()1(2=+-=---∴n n n n S n S n S n S 又0>n a ，0>∴n S ，n S n =∴..................................................................................................(7分)nn n n S S n n 111)1(111--=-=- ........................................................................................................(8分)nn S S S S S S S S n n ⨯-++⨯+⨯=++++∴-)1(132121111111433221 1111)1(13121211<-=--++-+-=nn n ....................................................................................(10分)18．(1)由题意，0cos sin cos sin 2cos sin tan tan 2tan =+-=+-AA a A A cB B aA a A cB a ...............................................(1分)0cos cos 2cos 2=+-∴A a A ca B ab 又0≠a ，0cos cos 2cos =+-∴A a A c B b ，0cos sin cos sin 2cos sin =+-∴A A AC B B ..................................(3分)0cos sin cos sin 2cos sin =+-∴B A B C A B ,即0cos sin 2sin =-+B C B A ）（即0cos sin 2sin =-B C C 又0sin ≠C ,21cos =∴B ,B 为三角形内角3π=∠∴B ............................................................................................................................................(5分)(2)343sin 21===∆ac B ac S ABC ，4=∴ac ......................................................................(7分)36sin 1216sin 121=⨯⨯+⨯⨯=+=∆∆∆ππc a S S S CBD ABD ABC ，34=+∴c a .......................(9分)1243422==+∴）（）（ac c a ................................................................................................................(10分)整理得01(10(2=+-a c a c ，解得625±=ac ............................................................................(12分)19．(1)取BC 的中点Q ,连接FQ ,EQ ，则,//1C C FQ 又,//11C C A A ,//1A A FQ ∴⊥A A 1 平面ABC ABC FQ 平面⊥∴........................................................................(2分),BC FQ ⊥∴BC C B //11 ,,11C B EF ⊥EF BC ⊥∴.........................................................................(3分)F EF FQ =⋂ ，EFQ EQ EFQ BC 平面又平面⊂⊥∴ ,EQ BC ⊥∴..............................(4分)EQ 为ABC ∆的中位线，AC EQ //∴，AC BC ⊥∴............................................................(5分)(2)过Q 作M CE QM 于⊥，连接FM ，由(1)知ABCFQ 平面⊥Q QM FQ EC FQ =⋂⊥∴ ,，FMQ EC 平面⊥∴，FMEC ⊥∴∴二面角B EC F --的平面角为FMQ ∠,22tan ==∠∴QM FQ FMQ 又224sin=⋅=πCQ QM ，2=∴FQ ....................................(7分)又1,,CC CB CA 两两垂直，以C 为坐标原点如图建系)2,0,2(),0,0,0(),2,1,0(),0,1,1(1A C F E ，)2,0,1(-=EF )2,0,2(),0,1,1(1==CA CE ...............................................................(8分)设平面EC A 1的法向量为）（z y x n ,,=⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001CA n CE n ,得⎩⎨⎧=+=+00z x y x ，令1=x ，1,1-=-=z y ，）（1,1,1--=∴n ...............................(10分)设直线EF 与平面EC A 1夹角为θ，515cos sin ==n EF θ...............................(11分)∴直线EF 与平面EC A 1夹角的余弦值为510..................................................................................(12分)20．.........................................................................................................(1分)(1)提出零假设0H ：老师与学生的借阅情况不存在差异1.022706.275.340204020)30101010(60x =>=⨯⨯⨯⨯-⨯=χ............................................................................(3分)根据小概率值1.0=α的独立性检验，推断0H 不成立，即认为判断老师与学生的借阅情况是存在差异，此推断犯错误的概率不大于1.0....................................................................................................................(4分)(2)设借阅理工类书籍的概率为p ，则316020==p ............................................................................(5分)设随机抽取m 人中借阅理工类书籍的人数为随机变量X则⎩⎨⎧=≥==≥=)4()5()6()5(X P X P X P X P ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥----444555666555)32(31(32(31()32(31(32(31(m m m m m m m m C C C C .....................................................(8分)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥∴（（（）（323131324565m m m m C C C C ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅-≥⋅-⋅-≥⋅-∴32)!4(!4!31)!5(!5!31)!6(!6!32)!5(!5!m m m m m m m m 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅-≥⋅≥⋅-32411513161325(1m m ）解得1714≤≤m .............................................................................................(11分)又+∈N m m ∴可取17161514，，，.......................................................................................................(12分)21．(1)由题意，其准线为1-=x ，N 点坐标为(01，-)...................................................................(1分)不妨设直线NA 的方程为)1(1+=x k y ，设直线NB 的方程为)1(2+=x k y ，联立⎩⎨⎧+==)1(412x k y x y 得0)42(2121221=+-+k x k x k ，由题知0416164412141=-+-=∆k k k ，得121=k ....................(3分)12242121=-=∴k k x A ，同理1=B x ，故直线AB 的方程为1=x .........................................................(4分)(2)由题可知，若存在实数λ，则0≠λ，AMAE AH λ=+ AM AE AH =+∴λλ11又M E H 、、 在同一条直线上111=+∴λλ，2=∴λ故只需证明M 为H 、E 的中点即可.....................................................................................................(5分)设直线ND 为1-=ty x ，设点C (11,y x )，点D (22,y x )联立⎩⎨⎧-==142ty x x y ，得0442=+-ty y ，4,42121==+y y t y y ...........................................................(6分)教师学生合计文学类103040理工类101020合计204060令1=x 代入直线ND 中得t y E 2=，点E ）（t 2,12414212222222+=--=--=y y y x y k AD ，同理241+=y k AC tx y y l EH 2)1(24:2+-+=①1:+=x y l AN …②2)1(24:1+-+=x y y l AC ③联立①②得22)1(2122-+--=y y t t x H 联立①③得2121)1(41y y t t x M --+=...................(8分)要证明M 为H ,E 的中点，即证明M E H x x x 2=+,即证明)(18222)1(21121222y y t t y y t t --+=-+--+）（即证明)(1422)1(21222y y t t y y t t --=-+--）（即证明21221422y y t y y -+=-+-）（................................................................................................................(10分)等式右边2121212144414y y y y y y t y y t -++=-+=-+）（，421=y y ，214y y =∴224)2(44442222222222222121-+-=-+=-++=-++y y y y y y y y y y y y y y 故M E H x x x 2=+得证........................................................................................................................(12分)22．(1)由题意，)(x f 的定义域为{}0|≠x x .................................(1分)2')1(11)(---=x x e e x x f ）（，设1)1()(--=x e x x t ...............................................................................(2分)x e x x t )()('-=，若0(),,0('<+∞∈）x t x ，)(x t 在)0(∞+，单调递减，0)0()(=<∴t x t ；若0)(),0,('>-∞∈x t x ，)(x t 在），（0∞-单调递增，0)0()(=<∴t x t .),0()0,(,0)('+∞⋃-∞∈∀<∴x x f )(x f ∴的单调减区间为)0,(-∞和)0(∞+，，无单调增区间........................................................(4分)(2)x e x x x f x g x cos 1cos )()(--=-=①⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,2ππx 时，0cos ≤x ，01>-x e x ∴0cos 1)(>--=x e x x g x ，∴)(x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,2ππ无零点............................................................(5分)②⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππ2,23x 时，=)('x g x e e x x x sin )1(112+---）（0sin ≤x ，由(1)可知0)1(112<---x x e e x ）（，0)('<∴x g ∴)(x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ2,23上单调递减，又00123)23(23>--=πππe g ，0112)2(2<--=πππe g ∴)(x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ2,23存在唯一零点..............................................................................................(7分)③⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx 时，求)(x g 的零点即求0cos 1)(=--=x e x x g x 的根的个数，即求0cos 1=--x e x x ）（根的个数，设x e x x h x cos 1)(）（--=，即求)(x h 零点的个数0)0(,sin )cos (sin 1)(''=--+=h x x x e x h x ，设xx x e x m x sin )cos (sin 1)(--+=1)0(,cos sin 2)(''-=-=m x x e x m x ，设xx e x n x cos sin 2)(-=∴0sin )cos (sin 2)('>++=x x x e x n x ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∀2,0πx ..............................................................(9分)∴)(x n 单调递增，又02)2(,01)0(2>=<-=ππe n n ∴)(x n 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π上存在唯一零点1x ..............................................................................................(10分)∴在)(,0)(,01x m x n x <），（单调递减，在)(,0)(,21x m x n x >），（π单调递增0)2(,0)0(2>==ππe m m ∴)(x m 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π上存在唯一零点2x ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,12πx x ..............(11分)∴在)(,0)(,02x h x m x <），（单调递减，在)(,0)(,22x h x m x >），（π单调递增02)2(,0)0(>==ππh h ∴)(x h 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π上存在唯一零点0x .综上，)(x g 在），（π20内存在两个零点.............................................................................................(12分)。
湖南省岳阳市2020届高三教学质量检测(二 ) 文科数学答案
数学（文科）参考答案与评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的，把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效。
1．【答案】A 【解析】因为 z = (1 + i)(3 − i) = 4 + 2i ，所以 z 的虚部为 2.
第 1 次循环： n = 3, i = 2 ；
第 2 次循环： n = 4, i = 3 ；
第 3 次循环： n = 2, i = 4 ，
此时满足判断框的条件，输出 i = 4 .
9.【答案】D
【解析】设
A( x1
，
y1 )
，
B(x2
，
y2
)
，
C ( x3
，
y3
)
抛物线焦点坐标
F
(
1 2
,
0)
，准线方
为 (4 − 2 3)a2 4a2
=1−
3
．∴落在黄色图形内的图钉数大约为 1000(1 −
2
3 ) ≈ 134 ． 2
11.【答案】B 【解析】设切点坐标 P(x0 , x03 − x0 ) ,
由 f ( x) = x3 − x ，得 f ′(x) = 3x2 −1，∴切线斜率 k = 3x02 −1，
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答 错位置，书写不清，模棱两可均不得分。
3 13.【答案】 4
【解析】因为 A = 60o ， a2 = bc ，所以 sin2 A = sin B sin C ,所以 sinBsinC = ( 3 )2 = 3 . 24
2020届高三数学二模考试试题(含解析) 2)
2020届高三数学二模考试试题（含解析）一、填空题1.行列式的值等于____________【答案】【解析】【分析】根据行列式定义直接计算得到答案.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查了行列式的计算，属于简单题.2.设集合，，则 .【答案】【解析】解：因为集合，，则3.已知复数z满足，i为虚数单位，则z=____________【答案】1-2i【分析】化简得到，计算得到答案.【详解】，故.故答案为：.【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.4.已知函数，其反函数为，则____________【答案】1【解析】【分析】取，解得，得到答案.【详解】，取，解得，故.故答案为：.【点睛】本题考查了反函数的性质，意在考查学生对于反函数性质的灵活运用.5.已知某圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积等于____________【答案】【分析】根据体积公式直接计算得到答案.【详解】由于正视图是边长为2的等边三角形，∴圆锥的高为，底面半径为1，∴.故答案为：.【点睛】本题考查了圆锥的体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.6.的展开式中含项的系数是____________（用数字作答）【答案】32【解析】【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】展开式的通项为：，取得到项的系数是.故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.7.若，则____________【答案】【解析】【分析】化简得到，再利用二倍角公式计算得到答案.【详解】，.故答案为：.【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.8.已知数列是无穷等比数列，其前n项和为，若，则____________【答案】8【解析】【分析】计算得到，，故，再计算极限得到答案.【详解】，，解得，，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了等比数列求和，数列极限，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.9.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的任意，的最小值是，则的最小值是____________【答案】【解析】【分析】，不妨取，，，得到答案.【详解】根据题意：，，不妨取，，取，故，即故，最小值为，故当时，的最小值是.故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数平移，三角函数的最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.10.已知样本数据的每个数据都是自然数，该样本的平均数为4，方差为5，且样本数据两两互不相同，则样本数据中的最大值是____________【答案】7【解析】【分析】不妨设，则，依次验证得到答案.【详解】根据题意：，，不妨设，则，当时，，，则必有一个数为，验证知无解，故不成立；当时，，，取，，满足条件.故答案为：.【点睛】本题考查了平均值和方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.11.在中，，则面积的最大值是____________【答案】【解析】【分析】计算，得到答案.【详解】，当时等号成立.此时，即时，满足题意.故答案为：.【点睛】本题考查了三角形面积的最值，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.12.对于函数，其定义域为D，若对任意的，当时都有，则称函数为“不严格单调增函数”，若函数定义域为，值域为，则函数是“不严格单调增函数”的概率是_____________【答案】【解析】【分析】考虑有4个函数值相同，有3个函数值相同，各有2个函数值相同三种情况，计算概率得到答案.【详解】当有4个函数值相同时：共有，满足条件的有种；当有3个函数值相同，另外有2个函数值相同时，共有，满足条件的有种；当各有2个函数值相同时，共有，满足条件的有1种.故.故答案为：.【点睛】本题考查了概率的计算，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.二、选择题13.若矩阵是线性方程组的系数矩阵，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根据系数矩阵的定义得到答案.【详解】矩阵是线性方程组的系数矩阵，则.故选：.【点睛】本题考查了系数矩阵，属于简单题.14.若抛物线焦点F与双曲线的一个焦点重合，则n的值为（）A. B. 1 C. 2 D. 13【答案】B【解析】【分析】计算抛物线焦点为，计算得到答案.【详解】抛物线的焦点，故，.故选：.【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的焦点，属于简单题. 15.设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形的周长，则“数列为等差数列”的充要条件是（）A. 是等差数列B. 或是等差数列C. 和都是等差数列D. 和都是等差数列，且公差相同【答案】D【解析】【分析】根据题意，为等差数列，得到为定值，得到答案.【详解】根据题意：，为等差数列，故为定值，故为定值.则和都是等差数列，且公差相同.反之也成立.故选：.【点睛】本题考查了等差数列的判断，充要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.16.已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，代入集合得到，讨论和两种情况，得到无解，计算得到答案.【详解】都不是空集，设，则；，则.当时：方程的解为此时，满足；当时：的解为或，则或，则无解，综上所述：，故选【点睛】本题考查了集合的关系，函数零点问题，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.三、解答题17.如图所示，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点.（1）求直线BE与平面ABCD所成的角的大小；（2）求点C到平面的距离.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）确定为直线BE与平面ABCD所成的角，计算得到答案.（2）根据平行得到点C到平面的距离等于到平面的距离，根据等体积法计算得到答案.【详解】（1）如图所示：连接，正方体，故平面，故为直线BE与平面ABCD所成的角，，故直线BE与平面ABCD所成的角的大小为.（2），故平面，故点C到平面的距离等于到平面的距离，，中：，，，根据余弦定理：，故，，故，故点C到平面的距离为.【点睛】本题考查了线面夹角，点面距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.18.已知函数（1）判断在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）在其定义域上是增函数，证明见解析（2）当时，函数是奇函数，当时，函数既不是奇函数也不是偶函数，见解析【解析】【分析】（1）设，计算，得到答案.（2）讨论和两种情况，根据函数奇偶性的定义判断得到答案.【详解】（1）函数单调递增，设，则，易知，，故，，函数单调递增.（2），，当时，，函数为奇函数；当时，，函数不是奇函数，，，，函数不是偶函数，故为非奇非偶函数.综上所述：当时，函数是奇函数，当时，函数既不是奇函数也不是偶函数.【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.19.某开发商欲将一块如图所示的四边形空地ABCD沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的施工区域，经测量，边界AB与AD的长都是2千米，∠BAD=60°，∠BCD=120°.（1）如果∠ADC=105°，求BC的长（结果精确到0.001千米）；（2）围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材?（不计损耗，结果精确到0.001千米）【答案】（1）约1.633千米（2）约6.309千米【解析】【分析】（1）如图所示：连接，则为等边三角形，，根据正弦定理计算得到答案.（2）设，根据正弦定理得到，计算得到答案.【详解】（1）如图所示：连接，则为等边三角形，，在中：，故.（2）设，则，故，，，当时，等号成立，故至多需要.【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和应用能力.20.已知椭圆的右焦点为F，直线与该椭圆交于点A、B（点A位于轴上方），轴上一点C（2,0），直线AF与直线BC交于点P.（1）当时，求线段AF的长；（2）求证：点P在椭圆上；（3）求证：.【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）计算，得到距离（2）计算：，：，消去得到，得到证明（3）设点、，设直线的方程为，联立方程得到，，，设，根据函数单调性得到答案.【详解】（1），代入椭圆方程得到，，故.（2）计算得到，，故：，：，消去得到，代入方程得到：，化简得到，故点P在椭圆上.（3）设点、，设直线的方程为，联立，得，由韦达定理得，，，令，则，函数在上单调递减，则.当时，等号成立.【点睛】本题考查了线段长度，点与椭圆的位置关系，面积问题，意在考查学生的计算能力和和综合应用能力.21.在无穷数列中，，且，记的前n项和为.（1）若，求的值；（2）若，求的值；（3）证明：中必有一项为1或3.【答案】（1）37（2）5（3）证明见解析【解析】【分析】（1）计算数列前9项，再计算和得到答案.（2）讨论为偶数，为偶数，为偶数，为奇数，为奇数，为偶数，为奇数，为奇数四种情况，计算得到答案.（2）设中最小的奇数为，则，，讨论为奇数，为偶数两种情况，计算得到答案.【详解】（1），故，故.（2）当为偶数，为偶数时，，无整数解；当为偶数，为奇数时，，解得，验证不成立；当为奇数，为偶数时，，解得，验证成立；当为奇数，为奇数时，，无整数解；综上所述：.（3）设中最小的奇数为，则，，若为奇数，则，解得；若为偶数，则，，为奇数，解得；又，∴中必有一项为1或3.综上所述：，故中必有一项为1或3.【点睛】本题考查了数列求和，证明数列中项，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.2020届高三数学二模考试试题（含解析）一、填空题1.行列式的值等于____________【答案】【解析】【分析】根据行列式定义直接计算得到答案.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查了行列式的计算，属于简单题.2.设集合，，则 .【答案】【解析】解：因为集合，，则3.已知复数z满足，i为虚数单位，则z=____________【答案】1-2i【解析】【分析】化简得到，计算得到答案.【详解】，故.故答案为：.【点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.4.已知函数，其反函数为，则____________【答案】1【解析】【分析】取，解得，得到答案.【详解】，取，解得，故.故答案为：.【点睛】本题考查了反函数的性质，意在考查学生对于反函数性质的灵活运用.5.已知某圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积等于____________【答案】【解析】【分析】根据体积公式直接计算得到答案.【详解】由于正视图是边长为2的等边三角形，∴圆锥的高为，底面半径为1，∴.故答案为：.【点睛】本题考查了圆锥的体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.6.的展开式中含项的系数是____________（用数字作答）【答案】32【解析】【分析】直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】展开式的通项为：，取得到项的系数是.故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.7.若，则____________【答案】【解析】【分析】化简得到，再利用二倍角公式计算得到答案.【详解】，.故答案为：.【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和转化能力.8.已知数列是无穷等比数列，其前n项和为，若，则____________【答案】8【解析】【分析】计算得到，，故，再计算极限得到答案.【详解】，，解得，，故，故.故答案为：.【点睛】本题考查了等比数列求和，数列极限，意在考查学生对于数列公式的灵活运用. 9.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的任意，的最小值是，则的最小值是____________【答案】【解析】【分析】，不妨取，，，得到答案.【详解】根据题意：，，不妨取，，取，故，即故，最小值为，故当时，的最小值是.故答案为：.【点睛】本题考查了三角函数平移，三角函数的最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.10.已知样本数据的每个数据都是自然数，该样本的平均数为4，方差为5，且样本数据两两互不相同，则样本数据中的最大值是____________【答案】7【解析】【分析】不妨设，则，依次验证得到答案.【详解】根据题意：，，不妨设，则，当时，，，则必有一个数为，验证知无解，故不成立；当时，，，取，，满足条件.故答案为：.【点睛】本题考查了平均值和方差，意在考查学生的计算能力和应用能力.11.在中，，则面积的最大值是____________【答案】【解析】【分析】计算，得到答案.【详解】，当时等号成立.此时，即时，满足题意.故答案为：.【点睛】本题考查了三角形面积的最值，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.12.对于函数，其定义域为D，若对任意的，当时都有，则称函数为“不严格单调增函数”，若函数定义域为，值域为，则函数是“不严格单调增函数”的概率是_____________【答案】【解析】【分析】考虑有4个函数值相同，有3个函数值相同，各有2个函数值相同三种情况，计算概率得到答案.【详解】当有4个函数值相同时：共有，满足条件的有种；当有3个函数值相同，另外有2个函数值相同时，共有，满足条件的有种；当各有2个函数值相同时，共有，满足条件的有1种.故.故答案为：.【点睛】本题考查了概率的计算，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.二、选择题13.若矩阵是线性方程组的系数矩阵，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根据系数矩阵的定义得到答案.【详解】矩阵是线性方程组的系数矩阵，则.故选：.【点睛】本题考查了系数矩阵，属于简单题.14.若抛物线焦点F与双曲线的一个焦点重合，则n的值为（）A. B. 1 C. 2 D. 13【答案】B【解析】【分析】计算抛物线焦点为，计算得到答案.【详解】抛物线的焦点，故，.故选：.【点睛】本题考查了抛物线和双曲线的焦点，属于简单题.15.设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形的周长，则“数列为等差数列”的充要条件是（）A. 是等差数列B. 或是等差数列C. 和都是等差数列D. 和都是等差数列，且公差相同【答案】D【解析】【分析】根据题意，为等差数列，得到为定值，得到答案.【详解】根据题意：，为等差数列，故为定值，故为定值.则和都是等差数列，且公差相同.反之也成立.故选：.【点睛】本题考查了等差数列的判断，充要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力. 16.已知函数，记集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，代入集合得到，讨论和两种情况，得到无解，计算得到答案.【详解】都不是空集，设，则；，则.当时：方程的解为此时，满足；当时：的解为或，则或，则无解，综上所述：，故选【点睛】本题考查了集合的关系，函数零点问题，综合性强，意在考查学生的综合应用能力.三、解答题17.如图所示，在棱长为2的正方体中，E是棱的中点.（1）求直线BE与平面ABCD所成的角的大小；（2）求点C到平面的距离.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）确定为直线BE与平面ABCD所成的角，计算得到答案.（2）根据平行得到点C到平面的距离等于到平面的距离，根据等体积法计算得到答案.【详解】（1）如图所示：连接，正方体，故平面，故为直线BE与平面ABCD所成的角，，故直线BE与平面ABCD所成的角的大小为.（2），故平面，故点C到平面的距离等于到平面的距离，，中：，，，根据余弦定理：，故，，故，故点C到平面的距离为.【点睛】本题考查了线面夹角，点面距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.18.已知函数（1）判断在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.【答案】（1）在其定义域上是增函数，证明见解析（2）当时，函数是奇函数，当时，函数既不是奇函数也不是偶函数，见解析【解析】【分析】（1）设，计算，得到答案.（2）讨论和两种情况，根据函数奇偶性的定义判断得到答案.【详解】（1）函数单调递增，设，则，易知，，故，，函数单调递增.（2），，当时，，函数为奇函数；当时，，函数不是奇函数，，，，函数不是偶函数，故为非奇非偶函数.综上所述：当时，函数是奇函数，当时，函数既不是奇函数也不是偶函数.【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.19.某开发商欲将一块如图所示的四边形空地ABCD沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的施工区域，经测量，边界AB与AD的长都是2千米，∠BAD=60°，∠BCD=120°.（1）如果∠ADC=105°，求BC的长（结果精确到0.001千米）；（2）围成该施工区域至多需要多少千米长度的板材?（不计损耗，结果精确到0.001千米）【答案】（1）约1.633千米（2）约6.309千米【解析】【分析】（1）如图所示：连接，则为等边三角形，，根据正弦定理计算得到答案.（2）设，根据正弦定理得到，计算得到答案.【详解】（1）如图所示：连接，则为等边三角形，，在中：，故.（2）设，则，故，，，当时，等号成立，故至多需要.【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和应用能力.20.已知椭圆的右焦点为F，直线与该椭圆交于点A、B（点A位于轴上方），轴上一点C（2,0），直线AF与直线BC交于点P.（1）当时，求线段AF的长；（2）求证：点P在椭圆上；（3）求证：.【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）计算，得到距离（2）计算：，：，消去得到，得到证明（3）设点、，设直线的方程为，联立方程得到，，，设，根据函数单调性得到答案.【详解】（1），代入椭圆方程得到，，故.（2）计算得到，，故：，：，消去得到，代入方程得到：，化简得到，故点P在椭圆上.（3）设点、，设直线的方程为，联立，得，由韦达定理得，，，令，则，函数在上单调递减，则.当时，等号成立.【点睛】本题考查了线段长度，点与椭圆的位置关系，面积问题，意在考查学生的计算能力和和综合应用能力.21.在无穷数列中，，且，记的前n项和为.（1）若，求的值；（2）若，求的值；（3）证明：中必有一项为1或3.【答案】（1）37（2）5（3）证明见解析【解析】【分析】（1）计算数列前9项，再计算和得到答案.（2）讨论为偶数，为偶数，为偶数，为奇数，为奇数，为偶数，为奇数，为奇数四种情况，计算得到答案.（2）设中最小的奇数为，则，，讨论为奇数，为偶数两种情况，计算得到答案.【详解】（1），故，故.（2）当为偶数，为偶数时，，无整数解；当为偶数，为奇数时，，解得，验证不成立；当为奇数，为偶数时，，解得，验证成立；当为奇数，为奇数时，，无整数解；综上所述：.（3）设中最小的奇数为，则，，若为奇数，则，解得；若为偶数，则，，为奇数，解得；又，∴中必有一项为1或3.综上所述：，故中必有一项为1或3.【点睛】本题考查了数列求和，证明数列中项，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.。