人教版八年级下册数学二次根式课件
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人教版数学八年级下册期末复习：二次根式 课件(共58张PPT)
专题二 分类讨论思想
【要点指导】
在解题过程中, 由于没有给定某一字母的值, 从而产生不同的结果, 这 时就需要我们利用分类讨论思想, 把所有可能的情况一一列出来, 要做到不 重不漏.
例 2 若-3＜x≤5,试化简：|x-2|+ (x+3)2 + x2-10x+25.
解：原式=|x-2|+|x+3|+ (x-5)2 =|x-2|+|x+3|+|x-5|. 因为-3＜x≤5, 所以当-3＜x≤2 时, 原式=2-x+x+3+5-x=10-x； 当 2＜x≤5 时, 原式=x-2+x+3+5-x=x+6.
【要点指导】 比较二次根式大小的常用方法有两种：①比较被开方数法：将二次根式系
数的绝对值移入根号内后比较被开方数的大小；②平方法：将二次根式分别平
方, 再比较它们的幂的大小．
例 6 (1)比较-5 5与-8 2的大小.
分析
解：|-5 5|=5 5= 125, |-8 2|=8 2= 128. ∵125<128, ∴ 125< 128,即|-5 5|<|-8 2|, ∴-5 5>-8 2.
在一起考查.
策略：此类有意义的条件问题主要是根据二次根式的被开方数大于或等于零、
分式的分母不为零等列不等式(组), 然后求不等式(组)的解集.
链接 1 [达州中考] 二次根式 2x+4 中的 x 的取值范围是( D ).
A．x＜-2
B．x≤-2
C．x＞-2
D．x≥-2
分析 由题意, 得 2x+4≥0, 解得 x≥-2. 故选 D
人教版八年级数学下册 16.1二次根式第一课时课件(共34张ppt)
解答：
解： 3由-a≥0得a 0 当a 0时 -a 在实数范围内有意义。
4 由5-a≥0得a 5
当a 5时 5-a 在实数范围内有意义。
思考？
1、当x是怎样的实数时 x 在实数范
围内有意义？ x 呢 ? 解：∵x2≥0；∴x取全体实数 x 2 在实数 范围内有意义。 由于x3≥0，x≥0.∴x≥0 x 3 在实数范围 内有意义。
+b
2015
= -1 =0
2015
+1
2015
学完本节课你应该知道
a a 0） 一般地把形如 （ 的式子叫二次根式。 含有二次根号“ ” 。 二次根式的判定：
被开方数是正数或0. 二次根式的非负性： a 0
动笔练一练
1 若 x-2y + y+2求x、y的值？ 2 已知a为实数求 a+9- 16-a + 3 x、y满足y= x-4+ 4-x -3求
1、当a是怎样的实数时，下列各式在实 数范围内有意义？
1 3
a 1 -a
2 4
2a 3 5-a
提示：被开方数≥0
解答：
解： 1由a 1≥0得a≥1 当a≥1时 a-1在实数范围内有意义。 3 2 由2a+3≥0得a≥2 3 当a≥- 时 2a+3在实数范围内有意义。 2
动手做一做
【师】同学们好（学生活动）请同学 们独立完成下列三个问题：
3面 问题1：面积为3的正方形的边长为 __ 积为S的正方形的边长 s ． 问题2：一个长方形的围栏，长是宽的2 65 倍，面积为130则他的宽为 ________ ．
动手做一做
问题3：一个物体从高处自由落下，落 到地面所用的时间t与开始落下时离地 面的高度h满足关系h=5t2用含h的式子表 h 示t，那么t为 ______ ．
16.2二次根式的乘除 课件 人教版数学八年级下册
2
= =
-a（a<0）,
a（a≥0）.
文字表述：一个数的平方的算术平方根等于这个数的
绝对值.
代数式：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、
除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式
子叫做代数式.
当 a, x 取怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义？
（1） + 5+ 1 − ;
=
22 × 32 × 32 × 2
= 2 × 3 × 3 × 2 = 18 2 .
（2）原式 = − 6 × 15= − 3 × 2 × 3 × 5
= − 32 × 2 × 5 = −3 10 .
2.化简 ： 16 2 3
解：原式 = 16 ∙ ∙ 2 ∙ 3
=4 ∙ ∙ ∙ c
边，只要ab≥0即可.
计算：（1）
解:(1)方法一
方法二
3
5
3 6
（2）
.
27
；
3
5
3
=
3
=
5
3×5
=
5×5
3×5
15
15
;
=
52
5
15
=
=
=
.
5
5
5 × 5 （ 5）2
在方法二中，式子变形
3
5
15
=
中的根号（分母有理化）.
3×5
是为了去掉分母
5× 5
计算： （1）
解：（2）
3
5；
3 6
27
=
（2）
简二次根式.
（1）被开方数不含分母；
即被开方数必须是整数（式）
= =
-a（a<0）,
a（a≥0）.
文字表述：一个数的平方的算术平方根等于这个数的
绝对值.
代数式：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、
除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式
子叫做代数式.
当 a, x 取怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义？
（1） + 5+ 1 − ;
=
22 × 32 × 32 × 2
= 2 × 3 × 3 × 2 = 18 2 .
（2）原式 = − 6 × 15= − 3 × 2 × 3 × 5
= − 32 × 2 × 5 = −3 10 .
2.化简 ： 16 2 3
解：原式 = 16 ∙ ∙ 2 ∙ 3
=4 ∙ ∙ ∙ c
边，只要ab≥0即可.
计算：（1）
解:(1)方法一
方法二
3
5
3 6
（2）
.
27
；
3
5
3
=
3
=
5
3×5
=
5×5
3×5
15
15
;
=
52
5
15
=
=
=
.
5
5
5 × 5 （ 5）2
在方法二中，式子变形
3
5
15
=
中的根号（分母有理化）.
3×5
是为了去掉分母
5× 5
计算： （1）
解：（2）
3
5；
3 6
27
=
（2）
简二次根式.
（1）被开方数不含分母；
即被开方数必须是整数（式）
人教版八年级数学下册 16.1 二次根式 课件(共21张ppt)
x-2 想一想： 假如把题目改为： 要使 有意义， x-1 字母 x 的取值必须满足什么条件？ x≥2
想一想：一个正数的算术平方根是 正数 。 零的算术平方根是
0。
没有 负数有没有算术平方根？
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必 须满足什么条件？ 1、 x+3 3、 1 x 2、 2-5x 4、 a2+1 x-1 6、 x-2
原式 b c a a b c b c a 3b a c
这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之间的关系 这个知识点上，特别要应用好。
x y 的值吗？ 1.已知 y x 4 4 x，你能求出 2
2.已 知 x 2 y 9 与 x y 3互为相反数， 求 x 、y 的值.
思考：若 (m 4) 4 m,
2
则m的取值范围是 _________
1.若
(1 x ) 1 x,则x的取值范围为 ( A
2
)
(A) x≤1 (B) x≥1 (C) 0≤x≤1 (D)一切有理数 2.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简
a
2
b
c
2
(a b) (b c) c a
想一想： 10 、 -5 、 8
2
3
5 3 、 (-2)2
a (a＜0﹚、
a +0.1 、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10,04 04,, 0
a a ,,
3
aa ,
2
2
,
8.
叫做二次根式.
a (a 0)
其中a叫做被开方式。
人教版八年级下册数学《二次根式的概念》二次根式PPT教学课件
巩固练习
3. (1) 已知 ＝0，求x，y 的值．
因为 ≥0， ≥0，且其和为0，所以x＋1＝0，x＋y－2＝0，解得x＝－1，y＝3.所以x，y 的值分别为－1，3.
总结：a 2， ≥0(a≥0)．可利用“若几个非负数之和为零，则这几个非负数同时为零”解决问题．
+
+5，求
的值
+
=0，求a2019+b2104的值.
1.已知y=
2.若
2
2.若 ，则x的取值范围是（ ） A.x＞1 B.x≥1 C.x＜1 D.x≤1
3.在函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ） A.x≥﹣2且x≠0 B.x≤2且x≠0 C.x≠0 D.x≤﹣2
（x≥0，y≥0）．
不是二次根式的有： .
、
、
、
（x>0）、
、
、
（x≥0，y≥0）．
、-
2. a可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, ≥0
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
3、被开方数 a >0，且 。（双重非负性）
探究点一、二次根式的概念问题1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
、
、
、
（x>0）、
、
、-
、
、
解：二次根式有：
提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.
1
2
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2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数正的平方根叫做它的算术平方根.
1.我们之前学过哪个知识点与今天的知识有关？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
人教版八年级数学下册第十六章16.2二次根的乘除课件(3课时,共61张PPT)
求证： a b a b a 0,b 0.
证明：根据积的乘方法则，有 ( a b)2 ( a)2 ( b)2 ab.
∴ a b 就是ab算术平方根.
又∵ ab 表示ab算术平方根， ∴ a b ab (a 0,b 0.)
知识归纳
二次根式乘法法则：
例8 设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.
反之： ab = a b （a≥0，b≥0 ）． （a≥0，b≥0 ）．
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
解：(2)∵
，
(1)
___×___=____;
（a≥0，b≥0 ）．
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
2 7= ？
精典例题
例1 计算：
（1） 16 81 ；（2） 12 ；（3） 4a2b3 ． 解：（1） 16 81=36；
（3） 3x 1 xy = 3x 1 xy =x y.
3
3
目标导学三：二次根式的除法
我们知道，两个二次根式可以进行乘法运算，那 么，两个二次根式能否进行除法运算呢？
24 = _____ ； 3 1 = _____ ．
3
2 18
合作探究
问题 计算下列各式，观察计算结果，你能发现 什么规律？
（1） ４ = ９
特殊化，从能开得尽方的 二次根式乘法运算开始思考！
2 7= ？
目标导学一：二次根式的乘法 计算下列各式:
(1) 4 9= __2_×_3__=__6__; 4 9 =___3_6___6__;
(2) 16 25 __4_×_5__=__2_0_; 16 25 =__4_0_0___2_0_; (3) 25 36=__5_×_6__=__3_0_; 25 36 =__9_0_0___3_0_.
证明：根据积的乘方法则，有 ( a b)2 ( a)2 ( b)2 ab.
∴ a b 就是ab算术平方根.
又∵ ab 表示ab算术平方根， ∴ a b ab (a 0,b 0.)
知识归纳
二次根式乘法法则：
例8 设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.
反之： ab = a b （a≥0，b≥0 ）． （a≥0，b≥0 ）．
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
解：(2)∵
，
(1)
___×___=____;
（a≥0，b≥0 ）．
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
2 7= ？
精典例题
例1 计算：
（1） 16 81 ；（2） 12 ；（3） 4a2b3 ． 解：（1） 16 81=36；
（3） 3x 1 xy = 3x 1 xy =x y.
3
3
目标导学三：二次根式的除法
我们知道，两个二次根式可以进行乘法运算，那 么，两个二次根式能否进行除法运算呢？
24 = _____ ； 3 1 = _____ ．
3
2 18
合作探究
问题 计算下列各式，观察计算结果，你能发现 什么规律？
（1） ４ = ９
特殊化，从能开得尽方的 二次根式乘法运算开始思考！
2 7= ？
目标导学一：二次根式的乘法 计算下列各式:
(1) 4 9= __2_×_3__=__6__; 4 9 =___3_6___6__;
(2) 16 25 __4_×_5__=__2_0_; 16 25 =__4_0_0___2_0_; (3) 25 36=__5_×_6__=__3_0_; 25 36 =__9_0_0___3_0_.
人教版八年级(初二)数学下册 16.2 二次根式的乘除 第一课时 PPT教学课件
1
计算:(1) 5×(-2 10)× 2 ;
2
5
解:原式=−2 5×10× = −10 5.
2
探究新知
(2)5 45×
3 2
1
× ;
2 3
5
3
2 1 15 6
解:原式= ×5 45× × =
.
2
3 5
2
1 2 10a
(3) ab ·
.
5
b
解:原式= 2a2b= a 2b .
探究新知
学生活动四 【例题精讲】
例1 计算:(1) 3× 5 ;
解: 3× 5= 15.
(2)
1
× 27.
3
1
1
解: × 27= ×27= 9=3.
3
3
探究新知
例2 化简:(1) 16×81 ;
解: 16×81= 16× 81=4×9=36.
(2) 4ɑ2b3.
解: 4ɑ2b3= 4 · ɑ2 · b3=2·a· b2 · =2a b2 · b=2ab b.
所以这个长方形的面积为4 5.
当堂训练
4.计算:2 6×(−3 6)=
-36
.
5.计算:(1) 75× 20× 12;
解:原式= 25×3×4×5×3×4=60 5.
(2)
(−14) × (−112).
解:原式= 14×112= 2×72×42=28 2.
当堂训练
6.一个底面为30 cm×30 cm的长方体玻璃容器中装满水，现将一
流能力.
学习重难点
学习重点：二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质.
学习难点：能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质
计算:(1) 5×(-2 10)× 2 ;
2
5
解:原式=−2 5×10× = −10 5.
2
探究新知
(2)5 45×
3 2
1
× ;
2 3
5
3
2 1 15 6
解:原式= ×5 45× × =
.
2
3 5
2
1 2 10a
(3) ab ·
.
5
b
解:原式= 2a2b= a 2b .
探究新知
学生活动四 【例题精讲】
例1 计算:(1) 3× 5 ;
解: 3× 5= 15.
(2)
1
× 27.
3
1
1
解: × 27= ×27= 9=3.
3
3
探究新知
例2 化简:(1) 16×81 ;
解: 16×81= 16× 81=4×9=36.
(2) 4ɑ2b3.
解: 4ɑ2b3= 4 · ɑ2 · b3=2·a· b2 · =2a b2 · b=2ab b.
所以这个长方形的面积为4 5.
当堂训练
4.计算:2 6×(−3 6)=
-36
.
5.计算:(1) 75× 20× 12;
解:原式= 25×3×4×5×3×4=60 5.
(2)
(−14) × (−112).
解:原式= 14×112= 2×72×42=28 2.
当堂训练
6.一个底面为30 cm×30 cm的长方体玻璃容器中装满水，现将一
流能力.
学习重难点
学习重点：二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质.
学习难点：能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质
八年级数学下册教学课件《二次根式》(第1课时)
(3)多个二次根式相加如
A B ... N
A≥0；
B≥0；
...
N≥0；
(4)二次根式与分式的和如
A≥0且B≠0.
B
有意义的条件：A＞0；
A
A
有意义的条件：
1
有意义的条件：
B
巩固练习
16.1 二次根式
x取何值时,下列二次根式有意义?
（1）
x 1
（2）
x≥1
（4）
3.若 x 2 在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上
表示正确的是（ D ）
A．
B．
C．
D．
课堂检测
16.1 二次根式
基 础 巩 固 题
1.下面的式子是二次根式的是( A )
A. a 1
2
B. 3
33
C. -1
1
D. a
2
2.二次根式 2 x 4 中的x的取值范围是（ D ）
A．x＜﹣2
(7)
1
x
3x
x≤0
（5）
x3
x>0
x≥0
（3） 4x 2
x为全体实数
（6） 1
x 2 x≠0
x 1
( x 2)0 (8)
x3
x2
（9）
x
x≥-1且x≠2
x>0
x 1
2
x为全体实数
探究新知
16.1 二次根式
知识点 2
【回顾思考】二次根式
二次根式的双重非负性
a 的被开方数a的取值范围是什么？它
人教版 数学 八年级 下册
16.1 二次根式
16.1 二次根式（第1课时）
A B ... N
A≥0；
B≥0；
...
N≥0；
(4)二次根式与分式的和如
A≥0且B≠0.
B
有意义的条件：A＞0；
A
A
有意义的条件：
1
有意义的条件：
B
巩固练习
16.1 二次根式
x取何值时,下列二次根式有意义?
（1）
x 1
（2）
x≥1
（4）
3.若 x 2 在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上
表示正确的是（ D ）
A．
B．
C．
D．
课堂检测
16.1 二次根式
基 础 巩 固 题
1.下面的式子是二次根式的是( A )
A. a 1
2
B. 3
33
C. -1
1
D. a
2
2.二次根式 2 x 4 中的x的取值范围是（ D ）
A．x＜﹣2
(7)
1
x
3x
x≤0
（5）
x3
x>0
x≥0
（3） 4x 2
x为全体实数
（6） 1
x 2 x≠0
x 1
( x 2)0 (8)
x3
x2
（9）
x
x≥-1且x≠2
x>0
x 1
2
x为全体实数
探究新知
16.1 二次根式
知识点 2
【回顾思考】二次根式
二次根式的双重非负性
a 的被开方数a的取值范围是什么？它
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16.1 二次根式
16.1 二次根式（第1课时）
人教版八年级数学下册《二次根式》PPT课件
求此三角形的周长．
3 a≥0，
解：由题意得
2a 6≥0，
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
课堂检测
拓 广 探 索 题
先阅读，后回答问题：
当x为何值时， x x 1 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
解得 m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式
x2 6x m 都有意义，求
m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
课堂检测
能 力 提 升 题
已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足b 3 a 2a 6 4，
双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
a ≥0.
探究新知
考 点 1 利用二次根式的双重非负性求字母的值
若 a 3 b 2 (c 1)2 0 ，求2a -b+3c的值.
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.
初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
人教版 数学 八年级 下册
16.1 二次根式
第1课时
导入新知
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r= Rh ，
其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、
3 a≥0，
解：由题意得
2a 6≥0，
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
课堂检测
拓 广 探 索 题
先阅读，后回答问题：
当x为何值时， x x 1 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
解得 m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式
x2 6x m 都有意义，求
m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
课堂检测
能 力 提 升 题
已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足b 3 a 2a 6 4，
双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
a ≥0.
探究新知
考 点 1 利用二次根式的双重非负性求字母的值
若 a 3 b 2 (c 1)2 0 ，求2a -b+3c的值.
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.
初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
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16.1 二次根式
第1课时
导入新知
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r= Rh ，
其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、
人教版八年级数学下册《二次根式(第1课时)》示范教学课件
二次根式（第1课时）
人教版八年级数学下册
（1）3 的平方根是________． （2）3 的算术平方根是_________． （3） 有意义吗？为什么？ 呢？ （4）一个非负数 a 的算术平方根应表示为_____________．
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
是
二次根式
是
不是二次根式
否
否
思考
当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 呢？
（3） ； （4） ．
例2 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
新知
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
新知
A． B． C． D．
例1 下列式子中一定是二次根式的是（ ）．
A
归纳
如何判断一个式子是否为二次根式？
是否含二次根号
被开方数（或式子）是否为非负
思考
（1）面积为 3 的正方形的边长为_______，面积为 S 的正方形的边长为_______． （2）一个长方形围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130 m2，则它的宽为______m．
思考
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度 h（单位：m）满足关系 h＝5t2．如果用含
例2 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（3） ；
例2 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（4） ．
求使代数式有意义的字母取值范围的条件：
归纳
（1） ； （2） ；
例2 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ； （2） ；
人教版八年级数学下册
（1）3 的平方根是________． （2）3 的算术平方根是_________． （3） 有意义吗？为什么？ 呢？ （4）一个非负数 a 的算术平方根应表示为_____________．
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
是
二次根式
是
不是二次根式
否
否
思考
当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 呢？
（3） ； （4） ．
例2 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
新知
一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
新知
A． B． C． D．
例1 下列式子中一定是二次根式的是（ ）．
A
归纳
如何判断一个式子是否为二次根式？
是否含二次根号
被开方数（或式子）是否为非负
思考
（1）面积为 3 的正方形的边长为_______，面积为 S 的正方形的边长为_______． （2）一个长方形围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130 m2，则它的宽为______m．
思考
（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度 h（单位：m）满足关系 h＝5t2．如果用含
例2 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（3） ；
例2 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（4） ．
求使代数式有意义的字母取值范围的条件：
归纳
（1） ； （2） ；
例2 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） ； （2） ；