北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 单元检测试题含答案
北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 单元检测试题
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、选择题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）
1.在同一时刻，身高 米的小强在阳光下的影长为 米，一棵大树的影长为 米，则树的高度为（ ）
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
2.已知 ，且相似比为 ， ，则
A. B. C. D.
3.如图， 与 是位似图形，其中 ，那么 的长 与 的长 之间函数关系的图象大致是（ ）
A.
B. C.
D.
4.在 中， 、 分别是 、 上的点，下列命题中不正确的是（ ）
A.若 ，则
B.若 ，则
C.若 ，则
D.若 ，则
5.某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）．则小鱼上的点 对应大鱼上的点（ ）
A. B. C.
D.
6.下面四个命题，其中假命题是（ ）
A.全等三角形是相似三角形
B.所有的正方形都相似
C.所有的等边三角形都相似
D.所有的直角三角形都相似
7.如图所示，、分别是、边上的点，在下列条件中：① ；
②；③能独立判断与相似的有（）
A ①
B ①③
C ①②
D ①②③
8.一根米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影长为米；此时一棵水杉树的影长为米，这棵水杉树高为（）
A.米
B.米
C.米
D.米
9.如图，，分别为，的中点，则四边形
A. B. C. D.
10.如图，边长为的正方形中有一个小正方形，其中、、分别在、、上，若，则小正方形的边长为（）
A. B. C. D.
二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
11.已知，若与的相似比为，则与
的面积比为________．
12.如图，小明站在处看甲、乙两楼楼顶的点和，、、三点在同一直线上，甲乙两楼的底部、与也在同一直线上，测得相距米，相距米，乙楼高为米，则甲楼高（小明身高忽略不计）为________米．
13.如图，若________（请补充一个条件），则．
14.如图，和是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，，则的长为________．
15.如图，，，的周长为，则的周长是
________．
16.如图，方格纸中的每一个小方格都是边长为的正方形，我们把以格点间连
线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的是格点三角形，在建立平面
直角坐标系后，点的坐标为，在方格纸中把以点为位似中心
放大，使放大前后对应边的比为，则点的对应点的坐标为________．
17.如图，用两根等长的钢条和交叉于点构成一个卡钳，可以用来测量
工作内槽的宽度、设，且量得，则内槽的宽等于________．
18.线段，，则的值为________．
19.在中，点、分别在边和上，，，，要使，那么必须等于________．
20.如图，中，交于点，，，，
，则的长等于________．
三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）
21.如图，在中，与交于点，点，，，分别是，，，
的中点，这样形成一个，你能证明吗？
22.如图所示，在矩形中，对角线，相交于点．过点作
于点，连接交于点，过点作于点，则与是位
似图形吗？若是，请说出位似中心，并求出相似比；若不是，请说明理由．
23.如图，中，、分别平分、．是的外角
的平分线，
交延长线于，连接．
变化时，设．若用表示和；
若，且与相似，求相应长．
24.如图，是等边三角形，是延长线上一点，是延长线上一点，
且满足．求证：．
25.一块直角三角形木板的一条直角边长为，面积为，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图，乙设计方案如图．你认为哪位同学设计的方案较好？试说
明理由．（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）
26.如图，矩形中，，，动点以每秒个单位的速度从点
出发沿着向移动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发沿向移动．
几秒时，的面积为？
几秒时，由、、三点组成的三角形与相似？
答案
1.C
2.A
3.C
4.D
5.B
6.D
7.B
8.A
9.A
10.C
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.证明：∵点，，，分别是，，，的中点，
∴ ，，
∴，，
∴ ，，∴ ．
22.解：与是位似图形，
∵ ，，
∴ ，又、的连线相交于点，
∴ 与是位似图形，位似中心是点，
∵四边形是矩形，
∴ ，，又，
∴ ，
∴ 是的中位线，
∴，
∵ ，
∴，则，
∴ 与的相似比是．
23.解：，解：∵ 是的平分线，是
的外角平分线，
∴，
分情况讨论：
①当时，，，
所以，
②当时，，，
所以，．
③当时，，，所以，．
24.证明：∵ 是等边三角形，，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
25.解：由，，可得，
由图，若设甲设计的正方形桌面边长为，
由，得，
∴，即，
∴ ，，
由图，过点作斜边上的高，
交于，交于．
由，，
得，
由可得，
，
设乙设计的桌面的边长为，
∵ ，
∴ ，
∴，
即，解得，
∵，
∵ ，
∴甲同学设计的方案较好．
26.秒或秒后，的面积为；要使两个三角形相似，由
∴只要或者
∵ ，
∴只要或者
设时间为
则，
∴或者，
∴当或者时，由、、三点组成的三角形与相似；。
北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 单元测试题(有答案)
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元测试题一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如果2x＝3y，那么下列比例式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为（）A．6B．7C．8D．93．自然界中存在很多自相似现象，如树木的生长，雪花的形成，土地干旱形成的地面裂纹．分形几何就是专门研究像雪花形状这样的自相似图形（即图形的局部与它的整体具有一定程度的相似关系）的一个数学分支．下列自相似图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，点P为AB上一点连接CP．若再添加一个条件使△APC与△ACB相似，则下列选项中不能作为添加条件的是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACBC．AP：AC＝AC：AB D．AP：AB＝PC：BC5．如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的中点，则△ADE与△ABC的面积之比是（）A．1：4B．1：3C．1：2D．2：16．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（）A．①处B．②处C．③处D．④处7．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S 在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，则河的宽度PQ为（）A．40m B．60m C．120m D．180m8．若△ABC∽△DEF且面积比为9：25，则△ABC与△DEF的周长之比为（）A．9：25B．3：25C．3：5D．2：59．如图，△OA1B1与△OAB的形状相同，大小不同，△OA1B1是由△OAB的各顶点变化得到的，则各顶点变化情况是（）A．横坐标和纵坐标都乘以2B．横坐标和纵坐标都加2C．横坐标和纵坐标都除以2D．横坐标和纵坐标都减210．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm 变成了6cm ，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（ ）A ．3倍B ．6倍C ．9倍D ．12倍二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．已知，＝，则＝ ．12．如图，已知l 1∥l 2∥l 3，直线l 4、l 5被这组平行线所截，且直线l 4、l 5相交于点E ，已知AE ＝EF＝1，FB ＝3，则＝ ．13．如图，四边形ABCD ∽四边形EFGH ，∠A ＝∠D ＝100°，∠G ＝65°，则∠F ＝ ．14．如图，已知∠BAC ＝∠DAE ，请你再补充一个条件 ，使得△ABC ∽△ADE ．15．如图，在平行四边形ABCD 中，P 是AD 边上的一个点，连接PB ，PC ，M ，N 分别是PB ，PC 的中点；已知S ▱ABCD ＝16，则S △PMN ＝ ．16．如图是小孔成像原理的示意图，点O 与物体AB 的距离为45厘米，与像CD 的距离是30厘米，AB ∥CD ．若物体AB 的高度为27厘米，那么像CD 的高度是 厘米．17．已知两个相似三角形的相似比为4：3，则这两个三角形的对应高的比为．18．如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A （﹣2，﹣1），B（﹣2，﹣3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，﹣1），B1（1，﹣5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为．三．解答题（共7小题，共66分）19．已知4：x＝1：75%，求x的值．20．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D在直线AB上，过点D作DE∥BC交直线AC与点E．如果BD＝4，求AE的长．21．如图，矩形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，求AD的长．22．（1）解方程x2﹣3x﹣18＝0；（2）如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，求证：△ADP∽△BCP．23．如图，BD、AC相交于点P，连接AB、BC、CD、DA，∠1＝∠2（1）求证：△ADP∽△BCP；（2）若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．24．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝280cm，AB＝140cm，球目前在E点位置，AE＝35cm，如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．25．先阅读下列材料，然后解答问题．材料：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线例如：如图①，AD把△ABC分成△ABD与△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的完美分割线．解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠B＝40°，AD是△ABC的完美分割线，且△ABD是以AD为底边的等腰三角形，则∠CAD＝度．（2）在△ABC中，∠B＝42°，AD是△ABC的完美分割线，且△ABD是等腰三角形，求∠BAC 的度数．参考答案一．选择题1．解：∵2x＝3y，∴＝或＝或＝．故选：C．2．解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，∴AE＝6，∴AC＝AE+EC＝6+2＝8．故选：C．3．解：A、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意．故选：D．4．解：A、当∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，可得△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；B、当∠APC＝∠ACB，∠A＝∠A，可得△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；C、当AP：AC＝AC：AB，∠A＝∠A，可得△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；D、当AP：AB＝PC：BC，∠A＝∠A，无法证明△APC∽△ACB，故该选项符合题意；故选：D．5．解：由题意可知：DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，故选：A．6．解：帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、2、4；“车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为，“车”②之间的距离为2，∵＝＝，∴马应该落在②的位置，故选：B．7．解：∵RQ⊥PS，TS⊥PS，∴RQ∥TS，∴△PQR∽△PST，∴＝，即＝，∴PQ＝120（m）．故选：C．8．解：∵相似三角形△ABC与△DEF面积的比为9：25，∴它们的相似比为3：5，∴△ABC与△DEF的周长比为3：5．故选：C．9．解：由直角平面坐标系得出A（2，1），A1（4，2），B（1，3），B1（2，6），故对应点的横坐标和纵坐标都乘以2．故选：A．10．解：由题意可知，相似多边形的边长之比＝相似比＝2：6＝1：3，所以面积之比＝（1：3）2＝1：9．所以复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的9倍．故选：C．二．填空题11．解：∵＝，∴＝＝﹣5．故答案是：﹣5．12．解：∵l1∥l2，AE＝EF＝1，∴＝＝1，∴FG＝AC；∵l 2∥l 3，∴＝＝，∴＝＝，故答案为．13．解：∵四边形ABCD ∽四边形EFGH ， ∴∠A ＝∠D ＝∠E ＝∠H ＝100°，∴∠F ＝360°﹣∠E ﹣∠H ﹣∠G ＝360°﹣100°﹣100°﹣65°＝95°．故答案为95°．14．解：∵∠BAC ＝∠DAE ，∠B ＝∠D ，∴△ABC ∽△ADE ，故答案为：∠B ＝∠D 等15．解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴S △PBC ＝S ▱ABCD ＝×16＝8，∵M ，N 分别是PB ，PC 的中点，∴MN ∥BC ，MN ＝BC ，∴△PMN ∽△PBC ，∴＝（）2＝，∴S △PMN ＝×8＝2．故答案为2．16．解：∵AB ∥CD∴△ABO ∽△CDO∴＝又∵AB ＝27∴CD ＝18．故答案为：18．17．解：因为两个相似三角形的相似比为4：3，所以则这两个三角形的对应高的比为4：3．故答案为4：3．18．解：如图，P点坐标为（﹣5，﹣1）．故答案为（﹣5，﹣1）．三．解答题19．解：4：x＝1：75%，x＝4×75%，解得：x＝2．20．解：∵DE∥BC，∴＝，∵AB＝10，AC＝8，BD＝4，∴＝，∴AE＝．21．解：∵矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，∴＝＝，∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝4∴＝＝，∴DE ＝8，AE ＝2，∴AD ＝AE +DE ＝2+8＝10．22．解：（1）（x ﹣6）（x +3）＝0， ∴x ＝6或x ＝﹣3；（2）∵∠1＝∠2，∠DPA ＝∠CPB ，∴△ADP ∽△BCP ；23．解：（1）证明：∵∠1＝∠2，∠DPA ＝∠CPB∴△ADP ∽△BCP（2）∵△ADP ∽△BCP ，∴＝，∵∠APB ＝∠DPC∴△APB ∽△DPC∴＝＝，∴AP ＝624．（1）证明：∵∠EFG ＝∠DFG ， ∴∠EFB ＝∠DFC ，又∵∠B ＝∠C ，∴△BEF ∽△CDF ；（2）解：∵△BEF ∽△CDF ，∴＝，设FC ＝xcm ，则＝， 解得：x ＝160，答：CF 的长为160cm ．25．解：（1）∵AD是△ABC的完美分割线，∴△DAC∽△ABC∴∠CAD＝∠B＝40°故答案为：40（2）若BD＝AD，∵AD是△ABC的完美分割线，∴△DAC∽△ABC∴∠CAD＝∠B＝42°∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD＝42°∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝84°若AB＝BD，∴∠BAD＝69°＝∠BDA∵∵AD是△ABC的完美分割线，∴△DAC∽△ABC∴∠CAD＝∠B＝42°∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝42°+69°＝111°若AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝42°∵AD是△ABC的完美分割线，∴△DAC∽△ABC∴∠CAD＝∠B＝42°∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝42°+∠C≠42°∴不存在AB＝AD，综上所述：∠BAC的度数为84°或111°。
北师大九年级数学上《第四章图形的相似》单元检测试题含答案
2017-2018学年度第一学期北师大九年级数学上册 第四章 图形的相似 单元检测试题考试总分： 120 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）1.在同一时刻，身高米的小强在阳光下的影长为米，一棵大树的影长为米，则树的高度为（ ）A.米B.米C.米D.米2.已知，且相似比为，，则A. B. C. D.3.如图，与是位似图形，其中，那么的长与的长之间函数关系的图象大致是（）A. B.C. D.4.在中，、分别是、上的点，下列命题中不正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）．则小鱼上的点对应大鱼上的点（ ）A. B. C. D.6.下面四个命题，其中假命题是（ ）A.全等三角形是相似三角形B.所有的正方形都相似C.所有的等边三角形都相似D.所有的直角三角形都相似7.如图所示，、分别是、边上的点，在下列条件中：①；②；③能独立判断与相似的有（）A.①B.①③C.①②D.①②③8.一根米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影长为米；此时一棵水杉树的影长为米，这棵水杉树高为（）A.米B.米C.米D.米9.如图，，分别为，的中点，则A. B. C. D.10.如图，边长为的正方形中有一个小正方形，其中、、分别在、、上，若，则小正方形的边长为（）A. B. C. D.二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.已知，若与的相似比为，则与的面积比为________．12.如图，小明站在处看甲、乙两楼楼顶的点和，、、三点在同一直线上，甲乙两楼的底部、与也在同一直线上，测得相距米，相距米，乙楼高为米，则甲楼高（小明身高忽略不计）为________米．13.如图，若________（请补充一个条件），则．14.如图，和是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，，则的长为________．15.如图，，，的周长为，则的周长是________．16.如图，方格纸中的每一个小方格都是边长为的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的是格点三角形，在建立平面直角坐标系后，点的坐标为，在方格纸中把以点为位似中心放大，使放大前后对应边的比为，则点的对应点的坐标为________．17.如图，用两根等长的钢条和交叉于点构成一个卡钳，可以用来测量工作内槽的宽度、设，且量得，则内槽的宽等于________．18.线段，，则的值为________．19.在中，点、分别在边和上，，，，要使，那么必须等于________．20.如图，中，交于点，，，，，则的长等于________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.如图，在中，与交于点，点，，，分别是，，，的中点，这样形成一个，你能证明吗？22.如图所示，在矩形中，对角线，相交于点．过点作于点，连接交于点，过点作于点，则与是位似图形吗？若是，请说出位似中心，并求出相似比；若不是，请说明理由．23.如图，中，、分别平分、．是的外角的平分线，交延长线于，连接．变化时，设．若用表示和；若，且与相似，求相应长．24.如图，是等边三角形，是延长线上一点，是延长线上一点，且满足．求证：．25.一块直角三角形木板的一条直角边长为，面积为，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图，乙设计方案如图．你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由．（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）26.如图，矩形中，，，动点以每秒个单位的速度从点出发沿着向移动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发沿向移动．几秒时，的面积为？几秒时，由、、三点组成的三角形与相似？答案1.C2.A3.C4.D5.B6.D7.B8.A9.A10.C11.13.14.15.16.17.18.19.20.21.证明：∵点，，，分别是，，，的中点，∴，，∴，，∴，，∴．22.解：与是位似图形，∵，，∴，又、的连线相交于点，∴与是位似图形，位似中心是点，∵四边形是矩形，∴，，又，∴，∴是的中位线，∴，∵，∴，则，∴与的相似比是．23.解：，解：∵是的平分线，是的外角平分线，∴，分情况讨论：①当时，，，所以，②当时，，，所以，．③当时，，，所以，．24.证明：∵是等边三角形，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，25.解：由，，可得，由图，若设甲设计的正方形桌面边长为，由，得，∴，即，∴，，由图，过点作斜边上的高，交于，交于．由，，得，由可得，，设乙设计的桌面的边长为，∵，∴，∴，即，解得，∵，∵，∴甲同学设计的方案较好．26.秒或秒后，的面积为；要使两个三角形相似，由∴只要或者∵，∴只要或者设时间为则，∴或者，∴当或者时，由、、三点组成的三角形与相似；。
北师大九年级上册数学《第四章图形的相似》检测卷含答案
第四章检测卷时间：120分钟 满分：150分班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________一、选择题(每小题3分，共45分)1．观察下列每组图形，相似图形是（ ）2．如果两个相似三角形对应边中线之比是1∶4，那么它们的对应高之比是（ ） A ．1∶2 B ．1∶4 C ．1∶8 D ．1∶16 3．若x y ＝13，则x ＋y y＝（ ）A ．4∶3B ．1∶4C ．2∶3D ．4∶14．在比例尺为1∶10000的地图上，相距4cm 的A 、B 两地的实际距离是（ ） A ．400m B ．400dm C ．400cm D ．400km5．如图，铁路道口的栏杆短臂长1m ，长臂长16m.当短臂端点下降0.5m 时，长臂端点升高(杆的宽度忽略不计)（ ）A ．4mB ．6mC ．8mD ．12m第5题图第6题图6．如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a 、b 与l 1、l 2、l 3分别交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F .若AB BC＝23，DE ＝4，则EF 的长是（ ） A.83 B.203C ．6D ．10 7．两个相似三角形对应角平分线的比为2∶3，周长的和是20，则两个三角形的周长分别为（ ）A ．8和12B ．9和11C ．7和13D ．6和148．如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于E ，交BD 于F ，DE ∶EA ＝3∶4，EF ＝3，则CD 的长为（ ）A ．4B ．7C ．3D ．12第8题图9. 如图，在直角坐标系中，有两点A (6，3)，B (6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到CD ，则C 的坐标为（ ） A ．(2，1) B ．(2，0) C ．(3，3) D ．(3，1)第9题图第10题图第11题图10．如图，已知矩形ABCD ∽矩形ECDF ，且AB ＝BE ，那么BC 与AB 的比值是（ ） A.1＋22 B.1＋32 C.1＋52 D.1＋6211．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP ∽△ACB ，添加一个条件，不正确的是（ ）A ．∠ABP ＝∠CB ．∠APB ＝∠ABCC.AP AB ＝AB ACD.AB BP ＝AC CB12．如图，在▱ABCD 中，E 是CD 上一点，连接AE 、BD 交于F ，若S △DEF ∶S △ABF ＝1∶9，则DE ∶EC ＝（ ）A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶9D ．2∶1第12题图第13题图第14题图13．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AD AC ＝AE AB ＝12，∠BAC 的平分线分别交DE ，BC 于点N ，M .则ENBM的值为（ ）A.12B.13C.25D.3514．如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF 测量树AB 的高度，测量时，使直角边DF 保持水平状态，其延长线交AB 于点G ，使斜边DE 所在的直线经过点A .测得边DF 离地面的高度为1m ，点D 到AB 的距离等于7.5m.已知DF ＝1.5m ，EF ＝0.6m ，那么树AB 的高度等于（ ）A ．4mB ．4.5mC ．4.6mD ．4.8m15．如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论：①DE BC ＝12；②S △DOE S △COB ＝12；③AD AB ＝OE OB .其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个第15题图第16题图二、填空题(每小题5分，共25分)16．已知图中的两个三角形相似，则x ＝ .17．如图，已知△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，点D 在边AB 上，且∠ACD ＝∠B ，则线段AD 的长为 .第17题图18．相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫作黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20厘米，那么相邻一条边的边长等于 厘米．19．如图，身高为1.7 m 的小明AB 站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD 的高度，CD 在水中的倒影为C ′D ，A 、E 、C ′在一条线上．已知河BD 的宽度为12 m ，BE ＝3 m ，则树CD 的高为 .第19题图第20题图20．如图，在三角形ABC 中，AB ＝24，AC ＝18，D 是AC 上一点，AD ＝12，在AB 上取一点E ，使以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则AE ＝ .三、解答题(共80分)21．(8分)已知a b ＝15，求2b －a 3a 的值．22．(8分)图中的两个多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似(各字母已按对应关系排列)，∠A ＝∠D 1＝135°，∠B ＝∠E 1＝120°，∠C 1＝95°.(1)求∠F 的度数；(2)如果多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1的相似比是1：1.5，且CD ＝15cm ，求C 1D 1的长度．23.(10分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2，1)，B (－1，4)，C (－3，2)．(1)画出△ABC 关于y 轴对称的图形△A 1B 1C 1，并直接写出C 1点坐标；(2)以原点O 为位似中心，相似比为1∶2，在y 轴的左侧，画出△ABC 放大后的图形△A 2B 2C 2，并直接写出C 2点坐标；(3)如果点D (a ，b )在线段AB 上，请直接写出经过(2)的变化后D 的对应点D 2的坐标．24．(12分)如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝280cm，AB＝140cm，球目前在E点位置，AE＝35cm，如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D 点位置．(1)求证：△BEF∽△CDF；(2)求CF的长．25．(12分)如图，已知直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3.(1)若AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长；(2)若DE∶EF＝2∶3，AB＝6，求AC的长．26．(14分)如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD 并延长交CE于点E.(1)求证：△ABD∽△CED；(2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．27．(16分)如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，作BF⊥AE，垂足为H，交CD于F，作CG∥AE，交BF于G.求证：(1)CG＝BH；(2)FC 2＝BF ·GF ； (3)FC 2AB 2＝GF GB.上册第四章检测卷1．D 2.B 3.A 4.A 5.C 6.C 7.A 8.B 9．A 10.C 11.D 12.A 13.A 14.A 15．B 解析：∵BE ，CD 是△ABC 的中线，即D ，E 是AB 和AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ，DE ∥BC ，∴△DOE ∽△COB .∴S △DOE S △COB ＝⎝⎛⎭⎫DE BC 2＝14，OE OB ＝DE BC ＝AD AB ＝12，可知①正确，②错误，③正确．故选B. 16．22 17.9518.(105－10) 19.5.1m20．16或9 解析：∠A 是公共角，△AED 与△ABC 相似分两种情况：①AD 与AC 是对应边时，∵AB ＝24，AC ＝18，AD ＝12，∴AE AB ＝AD AC ，即AE 24＝1218，解得AE ＝16；②AD 与AB 是对应边时，∵AB ＝24，AC ＝18，AD ＝12，∴AE AC ＝AD AB ，即AE 18＝1224，解得AE ＝9，∴AE＝16或9.21．解：∵a b ＝15，∴b ＝5a ，(3分)则2b －a 3a ＝2×5a －a 3a＝3.(8分)22．解：(1)∵多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似，又∠C 和∠C 1，∠D 和∠D 1，∠E和∠E 1是对应角，∴∠C ＝95°，∠D ＝135°，∠E ＝120°.(3分)由多边形内角和定理，知∠F ＝720°－(135°＋120°＋95°＋135°＋120°)＝115°；(5分)(2)∵多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1的相似比是1：1.5，且CD ＝15 cm ，∴C 1D 1＝15×1.5＝22.5(cm)．(8分)23．解：(1)如图所示，C 1(3，2)；(3分)(2)如图所示，C 2(－6，4)；(6分) (3)D 2的坐标是(2a ，2b )．(10分) 24．(1)证明：∵∠EFG ＝∠DFG ，∠BFG ＝∠CFG ＝90°，∴∠EFB ＝∠DFC .(3分)∵∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CDF ；(5分)(2)解：∵△BEF ∽△CDF ，∴BE DC ＝FB FC .(7分)设CF ＝x cm ，则105140＝280－x x，解得x ＝160.(11分)∴CF 的长为160cm.(12分) 25．解：(1)∵l 1∥l 2∥l 3，∴DE EF ＝AB BC ＝48＝12，(3分)∴DE ＝12EF ＝6；(5分) (2)∵l 1∥l 2∥l 3，∴DE EF ＝AB BC ＝23，(8分)∴BC ＝32AB ＝32×6＝9，(10分)∴AC ＝AB ＋BC ＝6＋9＝15.(12分)26．(1)证明：在等边△ABC 中，∠ACB ＝∠A ＝60°，∴∠ACF ＝120°.∵CE 平分∠ACF ，∴∠ACE ＝12∠ACF ＝60°，∴∠A ＝∠ACE .(4分)又∵∠ADB ＝∠CDE ，∴△ABD ∽△CED ；(6分)(2)解：∵△ABD ∽△CED ，AD ＝2CD ，∴AB CE ＝AD CD ＝2，∴CE ＝12AB ＝3.(8分)如图，过E 作EG ⊥BF 交BF 于点G ，在Rt △CEG 中，∠ECG ＝60°，CE ＝3，∴CG ＝32，由勾股定理得EG ＝332.(11分)在Rt △BEG 中，BG ＝BC ＋CG ＝6＋32＝152，∴BE ＝BG 2＋EG 2＝⎝⎛⎭⎫1522＋⎝⎛⎭⎫3232＝63＝37.(14分)27．证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，BF ⊥AE ，∴AB ＝BC ，∠ABH ＋∠BAH ＝∠ABH ＋∠GBC ＝90°，∴∠BAH ＝∠CBG .(3分)∵CG ∥AE ，∴∠AHB ＝∠BGC ＝90°，∴△ABH ≌△BCG ，∴CG ＝BH ；(6分)(2)∵△BCF 是直角三角形，CG ⊥BF ，∠CFG ＝∠BFC ，∴△CFG ∽△BFC ，(8分)∴CFBF ＝FGFC，∴FC 2＝BF ·GF ；(10分) (3)∵∠BGC ＝∠BCF ＝90°，∠CBG ＝∠FBC ，∴△BCG ∽△BFC .(12分)∴BC BF ＝BGBC，即BC 2＝BG ·BF .(14分)由(2)得FC 2＝BF ·GF ，∴FC 2AB 2＝FC 2BC 2＝BF ·GF BG ·BF ＝GFBG.(16分。
北师大版数学九年级上册第四章图形的相似单元综合练习含答案
北师大版数学九年级上册第四章图形的相似单元综合练习含答案1. 以下条件中，不能判定△ABC 与△A′B′C′相似的是( )A ．∠A＝45°，∠C＝26°，∠A′＝45°，∠B′＝109°B ．AB ＝2，AC ＝32，BC ＝2，A′B′＝6，A′C′＝9，B′C′＝12 C ．AB ＝1.5，AC ＝1514，∠A＝36°，A′B′＝2.1，A′C′＝1.5，∠A′＝36° D ．AB ＝2，BC ＝1，∠C＝90°，A′B′＝ 2，B′C′＝ 22，∠C′＝90° 2. a b ＝52，那么以上等式中，不一定正确的选项是( ) A ．2a ＝5b B.a 5＝b 2 C ．a ＋b ＝7 D.a ＋b b ＝723. 如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2AD ，DE ∥BC 交AC 于点E ，假定线段DE ＝5，那么线段BC 的长为( )A ．7.5B ．10C ．15D ．204. 如图，▱ABCD 中，G 是BC 延伸线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，那么图中相似三角形共有( )A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对5. 如图，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F ，AB ＝9，BD ＝3，那么CF 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．46. 如图，在△ABC 中，假设DE 与BC 不平行，那么以下条件中，不能判别△ADE ∽△ABC 的是( )A ．∠ADE ＝∠CB ．∠AED ＝∠B C.AD AB ＝DE BC D.AD AC ＝AE AB7. 小刚在打网球时，为使球恰恰能过网(网高为0.9 m)，且落在对方区域离网5 m 的位置上，他击球的高度是2.25 m ，那么他应站在离网的( )A ．15 m 处B ．10 m 处C ．8 m 处D ．7.5 m 处8. 如图，D ，E 区分是△ABC 的边AB ，AC 上的一点，DE ∥BC ，AF ⊥BC 于点F ，交DE 于点G ，且AD ∶AB ＝5∶12，那么AG AF的值为( ) A.125 B.512 C.712 D.759. 两个相似三角形的相似比是1∶2，其中较小三角形的周长为6 cm ，那么较大的三角形的周长为( )A ．3 cmB ．6 cmC ．9 cmD ．12 cm10. 图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是( )A ．点MB ．点NC ．点OD ．点P11. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，将△ABO 扩展到原来的2倍，失掉△A′B′O.假定点A 的坐标是(1，2)，那么点A′的坐标是( )A ．(2，4)B ．(－1，－2)C ．(－2，－4)D ．(－2，－1)12. 在比例尺为1∶2 000的地图上测得A ，B 两地间的图上距离为5 cm ，那么A ，B 两地间的实践距离为________m.13. 如图，直线AD ∥BE ∥CF ，BC ＝13AC ，DE ＝4，那么EF 的值是________． 14. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边BC 上的黄金联系点，且BE ＞CE ，AE 与BD 相交于点F ，那么BF ∶FD 的值为________．15. 如图，小明用长为3 m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB ＝12 m ，那么旗杆AB 的高为________m.16. △ABC ∽△DEF ，相似比为1∶2，且△ABC 的边AC 上的高为8，那么△DEF 的边DF 上的高为________．17. 如图，在△ABC 中，点D ，E 区分是AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，且AD ＝AB ，△ADE 的周长为6 cm ，那么△ABC 的周长为________cm.18. 小华自制了一个简易的幻灯机，其任务状况如下图，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30 cm ，幻灯片到屏幕的距离是1.5 m ，幻灯片上小树的高度是10 cm ，那么屏幕上小树的高度是________cm.19. 如图，△OAB 与△OA ′B ′是相似比为1∶2的位似图形，点O 为位似中心，假定△OAB 内一点P (x ，y )与△OA ′B ′内一点P ′是一对对应点，那么点P ′的坐标是____________．20. x ∶y ∶z ＝2∶3∶4，求x ＋2y －z x －y ＋3z的值． 21. 如图，是小明设计用手电来测量古城墙高度的表示图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 动身经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，且测得AB ＝1.2 m ，BP ＝1.8 m ，PD ＝12 m ，求古城墙的高度CD.22. 如图，小明拿着一把厘米刻度尺，站在距电线杆约30 m 的中央，把手臂向前伸直，刻度尺竖直，刻度尺上18个刻度恰恰遮住电线杆，手臂长约60 cm ，小明能求出电线杆的高度吗？假定能，请你替小明写出求解进程．参考答案：1---11 BCCDB CDBDD C12. 10013. 214. 5－1215. 916. 1617. 1818. 6019. (－2x ，－2y)20. 解：设x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，∴原式＝2k ＋6k －4k 2k －3k ＋12k ＝4k 11k ＝411. 21. 解：由题意可得△PAB∽△PCD，∴PB PD ＝AB CD ，即1.812＝1.2CD，解得CD ＝8，故古城墙的高度为8 m. 22. 解：可以求出电线杆的高度．过点A 作AN⊥EF 于N ，交BC 于M.∵BC∥EF，∴AM ⊥BC 于M ，∴△ABC ∽△AEF ，∴BC EF ＝AM AN，∵AM ＝0.6，AN ＝30，BC ＝0.18，∴EF ＝BC×AN AM ＝0.18×300.6＝9 (m )．故电线杆的高度为9米．。
(北师大版)重庆市九年级数学上册第四单元《图形相似》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是DC 上的点，:3:2DE EC =，连接AE 交BD 于点F ，则DEF 与DAF △的面积之比为（ ）A ．2:5B ．3:5C ．4:25D ．9:252．如图，在▱ABCD 中，E 是BC 的中点，DE ，AC 相交于点F ，S △CEF ＝1，则S △ADC ＝（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．若:3:2x y =，则x yy-的值为（ ） A ．23B ．12C ．13D ．24．已知小亮的身高为1.8米，同一时刻，小亮在阳光下的影长为2米，与他邻近的旗杆的影长为6米，则旗杆的高为（ ）． A ．3.8米B ．5.4米C ．5.6米D ．6米5．如图，在△ABC 中，EF //BC ，EG //AB ，则下列式子一定正确的是（ ）A ．AE EFEC CD= B ．EF EGCD AB= C ．CG AFBC AD = D ．AF BGDF GC= 6．若34,x y =则xy=（ ） A ．34B ．74C ．43D ．737．如图，ABC 中，3AB AC ==，将ABC 绕点B 顺时针方向旋转得到DEB ，当点D 落在BC 边上时，ED 的延长线恰好B 经过点A ，则AD 的长为（ ）A ．353-B ．3532- C ．92D ．9528．如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形ADE （ABC ∠和AED ∠是直角），连接,BE CD 交于点,P CD 与AE 边交于点M ，对于下列结论：①BAECAD △△，②45BPC ∠=︒，③MP MD MA ME ⋅=⋅，④22CB CP CM =⋅，其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，已知ABC ，DCE ，FEG ，HGI 是四个全等的等腰三角形，底边BC ，CE ，EG ，GI 在同一直线上，且4AB =，2BC =，连接AI 交FG 于点Q ，则QI 的值为（ ）A ．4B ．103C ．3D ．8310．若ad=bc ，则下列不成立的是( ) A ．a cb d= B ．a c ab d b-=- C ．a b c db d++= D ．1 111a cb d ++=++ 11．如图，线段1AB =，点1P 是线段AB 的黄金分割点(且11AP BP <)，点2P 是线段1AP 的黄金分割点（212AP PP <），点3P 是线段3AP 的黄金分割点()323,,AP P P <依此类推，则线段2020AP 的长度是（ ）A ．2020512⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭B ．2021512⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭C ．2020352⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭D ．2021352⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭12．若ABC 的每条边长增加各自的20%得A B C '''，则B '∠的度数与其对应角B 的度数相比（ ） A ．增加了20%B ．减少了20%C ．增加了()120%+D ．没有改变二、填空题13．如图，正方形ABCD 中，BE ＝EF ＝FC ，CG ＝2GD ，BG 分别交AE ，AF 于M ，N ．下列结论：①AF ⊥BG ；②BN ＝32NF ；③38BM MG =；④S 四边形CGNF ＝12S 四边形ANGD ，其中正确的结论的序号是_____．14．如图是一张矩形纸片，E 是AB 的中点，把BCE ∆沿直线CE 对折，使点B 落在BD 上的点F 处，2AB =，则CB =__________．15．如图，直线122y x =-+与坐标轴分别交于点,A B ，与直线12y x =交于点,C Q是线段OA 上的动点，连接CQ ，若OQ CQ =，则点Q 的坐标为___________．16．如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若AB ＝4，AD ＝3，则CF 的长为_____．17．如图所示，D为AB边上一点，AD：DB=3：4，DE//AC交BC于点E，则S△BDE：S△AEC 为_____．18．△ABC，△DEF的条件如图所示，则n的值是_____．19．小明和他的同学在太阳下行走，小明身高1.4米，他的影长为1.75米，他同学的身高为1.6米，则此时他的同学的影长为__________米．20．如图所示，在矩形ABCD中，3AB=，6BC=，点E在对角线BD上，且1.8BE=，连结AE并延长交DC于点F，则CFCD=________．三、解答题21．如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，O是AB的中点，连结OC，点F，E分别在边AB和BC上，过E点作EM⊥AB，垂足为M，满足∠FCO=∠EFM．（1）求证：CF=EF；（2）求证：BC EF CE NE=．22．已知ABC ∆中，90C =∠．你能画一条直线把它分割成两个相似三角形吗？如果可以，请用尺规作出这条分割线，保留作图痕迹，并说明两个三角形相似的理由．23．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC 的顶点A ，B ，C 均在格点上，AB 与网格交于点D ．（1）线段AD 的长为_______________；（2）在如图所示的网格中，P 是AC 边上任意一点，当A APD BC ∽△△时，请用无刻度的直尺，画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）____________________________________．24．如图，已知二次函数y ＝ax 2﹣5ax +2的图象交x 轴于点A （1，0）和点B ，交y 轴于点C ．（1）求该二次函数的解析式；（2）过点A 作y 轴的平行线，点D 在这条直线上且纵坐标为3，求∠CBD 的正切值； （3）在（2）的条件下，点E 在直线x ＝1上，如果∠CBE ＝45°，求点E 的坐标．25．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 、F 为线段AC 上两动点（不与A 、C 点重合），且45EBF ∠=︒．（1）求证：ABF BEF △△．（2）试说明无论点E 、F 在线段AC 上怎样运动，总有2BE CE BF AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （3）如图2，过点E 、F 分别作AB 、BC 的垂线相交于点O ，垂足分别为M 、N ，求OM ON ⋅的值．26．（1）如图1，矩形ABCD 中，点M 在BC 上，连接AM ，作AMN AMB ∠=∠，点N 在直线AD 上，MN 交CD 于点E ．请找出图1中的一个等腰三角形，并证明结论．（2）如图2，矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，点M 为BC 中点，连接AM ，作AME AMB ∠=∠，ME 交于点E ，求CE 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由平行四边形的性质得出CD ∥AB ，进而得出△DEF ∽△BAF ，再利用相似三角形的性质可得35EF DE AF BA ==，然后利用高相同的三角形面积比等于底的比得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴CD ∥AB ，∴∠EDF=∠ABF ，∠DEF=∠BAF ， ∴△DEF ∽△BAF ． ∵DE ：EC=3：2， ∴33325DE BA ==+， ∴35EF DE AF BA ==， 设点D 到AE 的距离为h ，∴D 132152DEF AF EF hS S AF AF E h F ⋅===⋅． 故选择：B ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及平行四边形的性质，解题的关键是掌握同高三角形的面积比等于底的比．2．D解析：D 【分析】根据已知可得△CEF ∽△ADF ，及EF 和DF 的关系，从而根据相似三角形的性质和三角形的面积得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD=BC ，△CEF ∽△ADF ， ∴EC EFAD DF= ∵E 是BC 的中点， ∴EC=1122BC AD =∴12EC EF AD DF == ∴2211()()24CEF ADF S EF S DF ∆∆=== ∵S △CEF ＝1， ∴S △ADF ＝4，∵12EF DF = ∴DF=2EF∴S △D CF ＝2 S △CEF ＝2， ∴S △ADC ＝S △ADF + S △D CF =4+2=6 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答此题的关键．3．B解析：B 【分析】根据比例的性值计算即可； 【详解】 ∵:3:2x y =，∴32122x y y --==； 故答案选B ． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，准确计算是解题的关键．4．B解析：B 【分析】设旗杆的高度约为hm ，再根据同一时刻物高与影长成正比求出h 的值即可． 【详解】解：设旗杆的高度约为hm ， ∵同一时刻物高与影长成正比， ∴1.826h=， 解得：h ＝5.4（米）． 故选：B ． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．5．D解析：D 【分析】根据平行线分线段成比例定理逐一判断即可． 【详解】∵EG //AB ，EF //BC ，∴AE AFAC FD =， ∵AC≠EC ∴AE EFEC CD =不成立， ∴选项A 错误； ∵EG //AB ，EF //BC ，∴EF AE CD AC =，EG ECAB AC =， ∵AE≠EC ，∴EF EGCD AB =不成立， ∴选项B 错误； ∵EG //AB ，EF //BC ，∴CG CE CB CA =DFDA =， ∵DF≠AF ∴CG AFBC AD =不成立， ∴选项C 错误； ∵EG //AB ，EF //BC ，∴AF AE DF EC =，AE BGEC GC=， ∴AF BGDF GC =， ∴选项D 正确； 故选D ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理，特别是比例中对应线段的属性保持一致是解题的关键．6．C解析：C 【分析】根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积进行计算即可求解．【详解】由比例的性质，由34,x y =得43x y =． 故选C ． 【点睛】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键．7．B解析：B 【分析】利用旋转的性质得AB=BD=3，∠C=∠E ，再证明∠C=∠CAD 得到AD=CD ，接着证明△CAD ∽△CBA ，然后利用相似比可计算出CD 的长，从而得到AD 的长． 【详解】解：∵ABC 绕点B 顺时针方向旋转得到DEB ，∴AB=BD=3，∠C=∠E ，∠ABC=∠EBD ∵∠ADC=∠BDE ， ∴∠CAD=∠EBD ， ∴∠CAD=∠ABC ， ∵AB=AC ， ∴∠C=∠ABC ， ∴∠C=∠CAD ， ∴CD=AD ，∵∠CAD=∠ABC ，∠C=∠C ， ∴△CAD ∽△CBA ，∴AC CDBC AC =，即333CD CD =+，整理得CD 2+3CD-9=0，解得CD=32-±（其中负值舍去）∴故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质及相似三角形的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．8．D解析：D 【分析】①由等腰Rt ABC 和等腰Rt ADE △三边份数关系可证；②根据相似三角形的性质即可得到结论；③通过等积式倒推可知，证明PME AMD △△∽即可；④22CB 转化为2AC ，证明ACP ∽△MCA,问题可证；【详解】 由已知得：2,2AC AB AD AE ==AC AD AB AE∴= BAC EAD ∠=∠BAE CAD ∴∠=∠BAE CAD ∴∽ 所以①正确；如图：设BE 与AC 相交于点O则AOB POC ∠=∠BAE CAD ∽45ABE ACD BPC BAC ∴∠=∠∴∠=∠=︒所以②正确；BAE CAD ∽BEA CDA ∴∠=∠PME AMD ∠=∠PME AMD ∴∽MP ME MA MD∴= MP MD MA ME ⋅=⋅∴所以③正确；由③MP MD MA ME ⋅=⋅，PMA DME ∠=∠PMA EMD ∴△∽90APD AED ∴∠=∠=︒18090CAE BAC EAD ∠=︒-∠-∠=︒CAP CMA ∴∽2AC CP CM ∴=⋅2AC =22CB CP CM ∴=⋅所以④正确故选：D.【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判断，在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明,进而得到答案．9．D解析：D【分析】先求出BP ，进而利用勾股定理求出AP 的平方，即可求AI=8，最后判断出QG ∥AC ，即可通过全等得出结论．【详解】解：如图，过点A 作AP ⊥BC 垂足为P ，∵AB=AC ，BC=2，∴BP=12BC ＝1，BC=CE=EG=GI=2， 在Rt △ABP 中，根据勾股定理得，AP 2=AB 2-BP 2= 42-12=15 ，在Rt △API 中，PI=772BC =，根据勾股定理得222=1578AI AP PI ++= ， ∵△ABC ，△DCE ，△FEG ，△HGI 是4个全等的等腰三角形，∴∠ACB=∠QGC ，∴QG ∥AC ，∴△IGQ ∽△ICA ， ∴QI IG AI IC ＝ ， ∴268QI ＝， ∴QI=83， 故选：D ．【点睛】 此题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质，平行线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，求出AI 是解本题的关键．10．D解析：D【分析】根据比例和分式的基本性质，进行各种演变即可得到结论．【详解】A 由a c b d=可以得到ad=bc ，故本选项正确，不符合题意； B 、由a c ab d b -=-可得：（a-c ）b=（b-d ）a ，即ad=bc ，故本选项正确，不符合题意； C 、由a b c d b d ++=可得（a+b ）d=（c+d ）b ，即ad=bc ，故本选项正确，不符合题意； D 、由1?111a cb d ++=++，可得（a+1）（d+1）=（b+1）（c+1），即ad+a+d=bc+c ，不能得到ad=bc ，故本选项错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了比例线段，根据比例的性质能够灵活对一个比例式进行变形．11．C解析：C【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的叫做黄金比进行解答即可． 【详解】解：根据黄金比的比值，112BP =，则11AP == 2323,,AP AP ==⎝⎭⎝⎭…依此类推，则线段2020202032AP ⎛-= ⎝⎭，故选C ．【点睛】本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 12．D解析：D【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．【详解】解：∵△ABC 的每条边长增加各自的20%得△A′B′C′，∴△ABC 与△A′B′C′的三边对应成比例，∴△ABC ∽△A′B′C′，∴∠B ′=∠B ．故选：D ．【点睛】本题考查了相似图形，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．二、填空题13．①②③【分析】由BE ＝EF ＝FCCG ＝2GD 可得BF=CG 易证△ABF ≌△BCG 即可解题；②易证△BNF ∽△BCG 即可求得的值即可解题；③作EH ⊥AF 令AB=3即可求得MNBM 的值即可解题；④连接A解析：①②③【分析】由BE ＝EF ＝FC ，CG ＝2GD 可得BF =CG ，易证△ABF ≌△BCG ，即可解题；②易证△BNF ∽△BCG ，即可求得BN NF的值，即可解题； ③作EH ⊥AF ，令AB =3，即可求得MN ，BM 的值，即可解题；④连接AG ，FG ，根据③中结论即可求得S 四边形CGNF 和S 四边形ANGD ，即可解题．【详解】解：①∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =BC =CD ，∵BE=EF=FC ，CG=2GD ，∴BF=CG ，∵在△ABF 和△BCG 中，90AB BC ABF BCG BF CG ⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△ABF ≌△BCG ，∴∠BAF =∠CBG ，∵∠BAF +∠BFA =90°，∴∠CBG +∠BFA =90°，即AF ⊥BG ；①正确；②∵在△BNF 和△BCG 中，90CBG NBF BCG BNF ∠∠⎧⎨∠∠︒⎩＝＝＝， ∴△BNF ∽△BCG ，∴32BN BC NF CG ==， ∴BN =32NF ；②正确； 作EH ⊥AF ，令AB =3，则BF=2，BE=EF=CF =1，22AF AB BF =+=13， ∵S △ABF =12AF•BN =12AB•BF ， ∴BN =613，NF =23BN =413， ∴AN =AF -NF =913， ∵E 是BF 中点，∴EH 是△BFN 的中位线，∴EH =313，NH =213，BN ∥EH ， ∴AH =111313，AN MN AH EH =，解得：MN =2713143， ∴BM=BN-MN =31311，MG=BG-BM =81311， ∴38BM MG =；③正确； ④连接AG ，FG ，根据③中结论，则NG=BG-BN 713 ∵S 四边形CGNF =S △CFG +S △GNF =12CG•CF +12NF•NG =1+1413=2713，S四边形ANGD=S△ANG+S△ADG=12AN•GN+12AD•DG=6335126213+=，∴S四边形CGNF≠12S四边形ANGD，④错误；故答案为①②③．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了相似三角形的判定和对应边成比例的性质，本题中令AB=3求得AN，BN，NG，NF的值是解题的关键．14．【分析】由折叠的性质得EF=BE=AE=1CE⊥BD设EG=x可得CG=2x再根据∆BEG~∆CBG∆BEG~∆CEB即可求解【详解】解：∵E为AB中点∴AE=EB=1∵把沿直线CE对折使点B落在B解析：2【分析】由折叠的性质得EF=BE=AE=1，CE⊥BD，设EG=x，可得CG=2x，再根据∆BEG~∆CBG，∆BEG~∆CEB，即可求解．【详解】解：∵E为AB中点，2AB=，∴AE=EB=1，∵把BCE∆沿直线CE对折，使点B落在BD上的点F处，∴EF=BE=AE=1，CE⊥BD，设CE与BD交于点G，EG=x，∵CD∥AB，∴CG：EG=CD：EB，∴CG=2x，∵BG⊥EC，EB⊥BC，∴∆BEG~∆CBG，∴BG2=CG∙EG∴BG=2x，同理：∆BEG~∆CEB，∴BG：CB=EG：EB，∴BC=AD=2．故答案是：2．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握“母子相似三角形”模型，是解题的关键．15．【分析】与联立组成方程组求出点C 的坐标为（21）从而可判断点C 是AB 的中点所以OC=AC 从而得到∠AOC=∠OAC 又因为所以∠AOC=∠OCQ 从而可判断△OCQ ∽△OAC 再根据相似三角形的性质可得最 解析：5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】122y x =-+与12y x =联立组成方程组求出点C 的坐标为（2，1）从而可判断点C 是AB 的中点，所以OC=AC ，从而得到∠AOC=∠OAC ，又因为OQ CQ =，所以∠AOC=∠OCQ ，从而可判断△OCQ ∽△OAC ，再根据相似三角形的性质可得OQ OC OC OA =，最后把数值代入求出OQ 的长，从而得到Q 点的坐标．【详解】解：如图所示，依题意得：12212y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得：21x y =⎧⎨=⎩ ∴点C 的坐标为（2，1） 对于直线122y x =-+，令x=0，解得y=2， 令y=0，解得x=4．∴点A ，B 的坐标分别为（4，0），（0，2）．∴点C 是AB 的中点．∵△OAB 为直角三角形，∴OC=AC ，∴∠AOC=∠OAC ， ∵OQ CQ =，∴∠AOC=∠OCQ ，∴∠AOC=∠OCQ=∠OAC ，∴△OCQ ∽△OAC ， ∴OQ OC OC OA= 又∵△OAB 为直角三角形，OA=4，OB=2，∴AB ===∴OC=AC=12AB =5 ∴545OQ =， 解得：OQ=54， ∴点Q 的坐标为（54，0）．故答案为：（54，0）． 【点睛】 本题考查了一次函数与二元一次方程，等腰三角形的性质及相似三角形的判定和性质，掌握相关知识是解题的关键．16．【分析】根据矩形的性质可得出AB ∥CD 进而可得出∠FAE ＝∠FCD 结合∠AFE ＝∠CFD （对顶角相等）可得出△AFE ∽△CFD 利用相似三角形的性质可得出＝＝2利用勾股定理可求出AC 的长度再结合CF ＝解析：103【分析】根据矩形的性质可得出AB ∥CD ，进而可得出∠FAE ＝∠FCD ，结合∠AFE ＝∠CFD （对顶角相等）可得出△AFE ∽△CFD ，利用相似三角形的性质可得出CF AF ＝CD AE ＝2，利用勾股定理可求出AC 的长度，再结合CF ＝CF CF AF +•AC ，即可求出CF 的长． 【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ∥CD， ∴∠FAE ＝∠FCD ，又∵∠AFE ＝∠CFD ，∴△AFE ∽△CFD ，∴CF AF ＝CD AE＝2．∵AC5，∴CF＝CFCF AF+•AC＝221+×5＝103．故答案为：103．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理，利用相似三角形的性质找出CF=2AF是解题的关键．17．16：21【分析】根据平行线分线段成比例得出DE：AC=BD：AB=4：7再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求得S△BDE：S四边形ADEC=16：33然后根据平行线间的距离相等得到S△AD解析：16：21【分析】根据平行线分线段成比例得出DE：AC=BD：AB=4：7，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求得S△BDE：S四边形ADEC=16：33，然后根据平行线间的距离相等得到S△ADE：S△AEC=DE：AC=4：7，进而可求得S△BDE：S△AEC．【详解】解：∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，又AD：DB=3：4，∴DE：AC=BD：AB=4：7，∴S△BDE：S△BAC=16：49，∴S△BDE：S四边形ADEC=16：33，∵DE∥AC，∴△ADE与△AEC的高相等，∴S△ADE：S△AEC=DE：AC=4：7=12：21，∴S△BDE：S△AEC=16：21，故答案为：16：21．【点睛】本题考查平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、比例性质，熟练掌握平行线分线段成比例和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答的关键．18．6【分析】通过证明△ABC∽△EFD可得即可求解【详解】解：∵∠A＝50°∠B＝60°∴∠C＝70°∵∠B＝∠F＝60°∠C＝∠D∴△ABC∽△EFD∴∴∴n＝6故答案为6【点睛】本题考查了相似三角解析：6【分析】通过证明△ABC∽△EFD，可得AB BCEF DF=，即可求解．【详解】解：∵∠A ＝50°，∠B ＝60°，∴∠C ＝70°，∵∠B ＝∠F ＝60°，∠C ＝∠D ，∴△ABC ∽△EFD ， ∴AB BC EF DF =， ∴392m m n=， ∴n ＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键． 19．【分析】在同一时刻物高和影长成比例列比例式求解即可【详解】解：设他的同学的影长为xm ∵同一时刻物高与影长成比例∴解得x=2经检验x=2是原方程的解∴他的同学的影长为2m 故答案为：2【点睛】此题主要考解析：【分析】在同一时刻物高和影长成比例，列比例式求解即可．【详解】解：设他的同学的影长为xm ，∵同一时刻物高与影长成比例， ∴1.4 1.61.75x=， 解得，x=2, 经检验，x=2是原方程的解，∴他的同学的影长为2m ，故答案为：2．【点睛】此题主要考查了同一时刻物高与影长成比例，利用同一时刻物高与影长成比例列出方程，通过解方程求出的影长，体现了方程的思想．20．【分析】根据勾股定理求出BD 的长度得到DE 的长根据相似三角形的性质得到对应线段成比例计算可求出DF 的长求出CF 计算得出CF 与CD 的比值即可【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴∵∴∵∴∵∴∴解得：则∴ 解析：13【分析】根据勾股定理求出BD 的长度，得到DE 的长，根据相似三角形的性质得到对应线段成比例，计算可求出DF 的长，求出CF ，计算得出CF 与CD 的比值即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90BAD ∠=︒， ∵AB ==BC ∴3BD ==．∵ 1.8BE =，∴3 1.8 1.2DE =-=．∵//AB CD ，∴ABE FDE ∽△△ ∴ 1.21.8DF DE AB BE ==，解得：DF =，则3CF CD DF =-=，∴13CF CD ==． 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键． 三、解答题21．（1）证明见解析，（2）证明见解析．【分析】（1）证∠FCE=∠FEC 即可；（2）证△EMF ≌△FOC ，再通过平行列比例式，通过线段相等进行代换即可．【详解】（1）证明：∵∠ACB =90°，AC=BC ，∴∠A=∠B=45°，∵O 是AB 的中点，∴CO ⊥AB ，∠BOC=90°，∴∠BCO=45°，∠FCE=∠BCO+∠FCO =45°+∠FCO ，∠FEC=∠B+∠EFM =45°+∠EFM ，∵∠FCO =∠EFM ，∴∠FCE=∠FEC ，∴CF=EF ；（2）∵EM ⊥AB ，∴∠EMF=∠COF=90°，∵EF=CF ，∠FCO =∠EFM ，∴△EMF ≌△FOC ，∴FM=OC=OB ，∵EM ∥CO ， ∴=BC BO FM CE OM OM=， ∵EM ∥NO ， ∴=EF FM NE OM ， ∴BC EF CE NE= 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练运用相关知识，整合已知条件，进行推理证明．22．图见解析；理由见解析【分析】作AB 的垂线即可；利用两个角对应相等的两个三角形相似即可判定．【详解】解：如图，作AB 的垂线，垂足为P ，直线CP 就是所求直线；证明：∵CP ⊥AB ，∴∠CPA=∠BPC=90°，∵90C =∠，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACP=90°，∴∠ACP =∠B ，∴△CPA ∽△BPC ．【点睛】本题考查了尺规作图和相似三角形的判定，解题关键是熟悉尺规作图的方法，根据相似确定如何作图．23．（135；（2）图见解析，取格点M ，N ，连接MN ，与AC 相交于点P ，则点P 即为所求【分析】（1）根据勾股定理求出AB 的长，在利用平行线分线段成比例进行计算即可． （2）如图，取格点M ，N ，连接MN ，与AC 相交于点P ，则点P 即为所求．【详解】（1）如图：根据勾股定理得AB 22222425AE BE =+=+=//DF AEBF BD BE AB∴= 1425∴= 5BD ∴= AD AB BD =-535522AD ∴== （2）ABC △APD ∽△，A A ∠=∠AD AP AC AB∴= 223535,25AC AD AB ==== 352525∴= 3AP ∴=点P 在AC 上，5AC =35AP AC ∴=32AP PC ∴= 如图，取格点M 、N ，连接MN ，与AC 相交于点P ，则//,3,2AM CN AM CN ==32AM AP CN PC ∴== 故点P 即为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计，涉及勾股定理、相似三角形的性质，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．24．（1）215222y x x =-+；（2）13；（3）点E 坐标为（1，9）或（1，﹣1） 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）先求出点C ，点B ，点D 坐标，由两点距离公式可求CD ，BD ，BC 的长，由勾股定理的逆定理可求∠CDB ＝90°，即可求解；（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．【详解】解：（1）∵二次函数y ＝ax 2﹣5ax +2的图象交x 轴于点A （1，0），∴0＝a ﹣5a +2，∴a ＝12， ∴二次函数的解析式y ＝12x 2﹣52x +2； （2）∵二次函数y ＝12x 2﹣52x +2的图象交x 轴于点A （1，0）和点B ，交y 轴于点C ． ∴点C （0，2），点B （4，0），∵点D （1，3），∴CD 22(10)(32)-+-2，DB 22(41)(30)-+-2BC 164+5∵CD 2+DB 2＝20，BC 2＝20，∴CD 2+DB 2＝BC 2，∴∠CDB＝90°，∴tan∠CBD＝CDDB＝232＝13；（3）如图，当点E在x轴上方时，在AB上截取AH=AF，连接HF∵点C（0，2），点B（4，0），∴直线BC解析式为y=-12x+2，当x=1时，y=32，∴点H（1，32），∴AH=32，∴AH=AF=32，32，∴∠AFH=45°，BF=32，∴∠BFH=135°，∵点A（1，0），点B（4，0），点D（1，3），∴AD=3=AB，2∴∠ADB=∠ABD=45°=∠CBE，∴∠ABC=∠EBD，∠BDE=∠HFB=135°，∴△BFH∽△BDE，∴BD DEBF HF=，∴3232 22DE=，∴DE=6，∴点E （1，9）；当点E'在x 轴下方时，∵∠E'BC=45°=∠EBC ，∴∠EBE'=90°，∴∠BEE'+∠EE'B=90°=∠BEE'+∠ABE=∠BE'E+∠ABE'，∴∠BEE'=∠ABE'，∠EBA=∠AE'B ，∴△ABE ∽△AE'B ， ∴AB AE AE AB'=， ∴9=9×AE'，∴AE'=1，∴点E'（1，-1），综上所述：点E （1，9）或（1，-1）．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法可求解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．25．（1）见解析；（2）见解析；（3）2【分析】（1）根据相似三角形的判定方法：有两角相等的三角形形似，即可证明．（2）利用ABF BEF △∽△，BCE FBE △∽△完成边转换即可．（3）先证明 ABF CEB ∽，可得4AF CE AB CB ⋅=⋅=，在利用平行线分线段成比例可得AF BN AC BC =，CE BM AC AB=，在结合线段的等量关系，即可求解． 【详解】 （1）证明：在正方形ABCD 中，∵45BAC ∠=︒，又45EBF ∠=︒，∴BAC EBF ∠=∠，∵BFE AFB ∠=∠，∴ABF BEF △△．（2）∵ABF BEF △△， ∴AF BF BF EF =， ∴2BF AF EF =⋅，同理可证BCE FBE △△， ∴BE CE EF BE=， ∴2BE CE EF =⋅，∴2BE CE EF CE BF AF EF AF ⋅⎛⎫== ⎪⋅⎝⎭． （3）∵45BAC BCA ∠=∠=︒，又45EBF ∠=︒，∴BAC EBF ∠=∠，又BEC ABE BAC ABE EBF ABF ∠=∠+∠=∠+∠=∠，∴ABF CEB △△， ∴AB AF CE CB=， ∴4AF CE AB CB ⋅=⋅=，∵90ABC BMO BNO ∠=∠=∠=︒，∴四边形BNOM 是矩形，∴//ON AB ，ON MB =，//OM BC ，OM NB =， ∴AF BN AC BC =，CE BM AC AB=，2BN =2BM =，∴2BN =，2BM =，∴422222AF CE OM ON BN BM ⋅⋅=⋅=⋅===． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理，和性质定理是解题关键．26．（1）AMN ，证明见解析；（2）34 【分析】（1）根据矩形的性质和平行线的性质证明即可；（2）作NH AM ⊥于H ，证明NAH AMB ∆∆∽，根据相似三角形的性质得到212AN BM AM =，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：（1）AMN ∆是等腰三角形，证明：四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，NAM BMA ∴∠=∠，又AMN AMB ∠=∠，AMN NAM ∴∠=∠，AN MN ∴=，即AMN ∆是等腰三角形；（2）如图，延长AD 和ME ，交于点N ，作NH AM ⊥于H ，AN MN =，NH AM ⊥， 12AH AM ∴=， 90NHA ABM ∠=∠=︒，AMN AMB ∠=∠，NAH AMB ∴∆∆∽，∴AN AH AM BM=， 212AN BM AH AM AM ∴==， M 为BC 中点，112BM CM BC ∴===， 2223110AM =+=，5AN ，523DN ∴=-=，设DE x =，则3CE x =-，//AN BC ，∴DN DE CM CE =，即313x x=-， 解得，94x =，即94DE =， 34CE ∴=．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用以及等腰三角形的性质和矩形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意方程思想的正确运用．。
北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 达标检测卷 含答案
第四章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．已知5x ＝6y (y ≠0)，那么下列比例式中正确的是( )A.x 5＝y 6B.x 6＝y 5C.x y ＝56D.x 5＝6y2．下列各组图形中有可能不相似的是( )A ．各有一个角是45°的两个等腰三角形B ．各有一个角是60°的两个等腰三角形C ．各有一个角是105°的两个等腰三角形D ．两个等腰直角三角形3．如图，直线a ，b ，c 被直线l 1，l 2所截，交点分别为点A ，C ，E 和点B ，D ，F .已知a ∥b ∥c ，且AC ＝3，CE ＝4，则BDBF 的值是( ) A.34B.43C.37D.47(第3题) (第4题) (第6题) (第7题)4．如图，在平面直角坐标系中，有点A (6，3)，B (6，0)，以原点O 为位似中心，相似比为13，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为( ) A ．(2，1)B ．(2，0)C ．(3，3)D ．(3，1)5．对于平面图形上的任意两点P ，Q ，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P ′，Q ′，保持PQ ＝P ′Q ′，我们把这种变换称为“等距变换”．下列变换中不一定是等距变换的是( ) A ．平移B ．旋转C ．轴对称D ．位似6．如图，为估算河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上，若测得BE ＝20 m ，CE ＝10 m ，CD ＝20 m ，则河的宽度AB等于( ) A ．60 mB ．40 mC ．30 mD ．20 m7．如图，在平面直角坐标系中，已知点O (0，0)，A (6，0)，B (0，8)，以某点为位似中心，作出△CDE ，使它与△AOB 位似，且相似比为k ，则位似中心的坐标和k 的值分别为( ) A ．(0，0)，2 B ．(2，2)，12 C ．(2，2)，2D ．(1，1)，128．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，点E 是AD 的中点，CF ⊥BE 于点F ，则CF 等于( ) A ．2B ．2.4C ．2.5D ．2.259．如图，在▱ABCD 中，E 是CD 上的一点，DE ∶EC ＝2∶3，连接AE ，BE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，则S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF 等于( ) A ．2∶5∶25B ．4∶9∶25C ．2∶3∶5D ．4∶10∶2510．如图，在矩形ABCD 中，点E 为AD 上一点，且AB ＝8，AE ＝3，BC ＝4，点P 为AB 边上一动点，连接PC ，PE ，若△P AE 与△PBC 是相似三角形，则满足条件的点P 的个数为( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(第8题) (第9题) (第10题) (第13题) (第14题) 二、填空题(每题3分，共24分)11．假期，爸爸带小明去A 地旅游，小明想知道A 地与他所居住的城市的距离，他在比例尺为1∶500 000的地图上测得所居住的城市距A 地32 cm ，则小明所居住的城市与A 地的实际距离为________． 12．若a ＋b c ＝b ＋c a ＝c ＋ab ＝k (a ＋b ＋c ≠0)，则k ＝________.13．如图，已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC >AC .若S 1表示以BC 为边的正方形的面积，S 2表示长为AD (AD ＝AB )、宽为AC 的矩形的面积，则S 1与S 2的大小关系为____________．14．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF＝1，则BC＝________，△ADE与△ABC的周长之比为________，△CFG与△BFD的面积之比为________．15．如图，以点A为位似中心，把正方形ABCD的各边缩小为原来的一半，得到正方形A′B′C′D′，则点C的对应点C′的坐标为________．(第15题)(第16题)(第17题)(第18题)16．如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4 m宽的区域DE，已知点E到窗口下的墙脚C的距离为5 m，窗口AB高2 m，那么窗口底端B 距离墙脚C________m.17．如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM的长为________．18．如图，正三角形ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正三角形AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1，再以正三角形AB1C1的边B1C1上的高AB2为边作正三角形AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2，……，以此类推，则S n＝________(用含n的式子表示，n为正整数)．三、解答题(19，20题每题8分，24题14分，其余每题12分，共66分) 19．如图，矩形ABCD为一密封的长方体纸盒的纵切面的示意图，AB边上的点E处有一小孔，光线从点E处射入，经纸盒底面上的平面镜反射，恰好从点D处的小孔射出．已知AD＝26 cm，AB＝13 cm，AE＝6 cm.(1)求证：△BEF∽△CDF；(2)求CF的长．(第19题)20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原点O 为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′.(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′(不要求写画法)；(2)计算△A′B′C′的面积．(第20题)21．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，连接DE，点F为线段DE 上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB＝8，AD＝63，AF＝43，求AE的长．(第21题)22．如图，某水平地面上有一建筑物AB，在点D和点F处分别竖有2米高的标杆CD和EF，两标杆相距52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，点G与建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆EF后退4米到点H处，点H与建筑物顶端A 和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物AB的高度．(第22题)23．如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么：(第23题)(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？(2)对四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论．(3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似？24．如图①，在R t△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE. 将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)当α＝0°和α＝180°时，求AEBD的值．(2)试判断当0°≤α＜360°时，AEBD的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．(3)当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求线段BD的长．(第24题)答案一、1.B 2.A3．C点拨：因为a∥b∥c，所以BDBF＝ACAE＝33＋4＝37.4．A 5.D6．B点拨：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE＝∠DCE＝90°. 又∵∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE.∴ABDC＝BECE，即AB20＝2010.∴AB＝40 m.7．B8．B点拨：由∠A＝90°，CF⊥BE，AD∥BC，易证△ABE∽△FCB.∴ABBE＝CFBC.由AE＝12×3＝1.5，AB＝2，易得BE＝2.5，∴22.5＝CF3.∴CF＝2.4.9．D10．C点拨：设AP＝x，则BP＝8－x，当△P AE∽△PBC时，AE BC＝P A PB，∴AE·PB＝BC·P A，即3(8－x)＝4x，解得x＝24 7.当△P AE∽△CBP时，AEPB＝P ABC，∴AE·BC＝P A·PB，即3×4＝x(8－x)，解得x＝2或6.故满足条件的点P的个数为3个．二、11.160 km点拨：设小明所居住的城市与A地的实际距离为x km，根据题意可列比例式为1500 000＝32x×105，解得x＝160.12．2点拨：∵a＋bc＝b＋ca＝c＋ab＝k，∴2a ＋2b ＋2ca ＋b ＋c＝k ，故k ＝2.易错提醒：在运用等比性质时，注意分母的和不等于0这个条件． 13．S 1＝S 2 点拨：∵点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC >AC ，∴BC 2＝AC ·AB .又∵S 1＝BC 2，S 2＝AC ·AD ＝AC ·AB ，∴S 1＝S 2. 14．2；；15．(2，1)或(0，－1) 点拨：如图，以点A 为位似中心，把正方形ABCD 的各边缩小为原来的一半，得正方形A ′B ′C ′D ′，根据图形可得点C ′的坐标为(2，1)或(0，－1)．(第15题)易错提醒：此类题要注意多种可能：位似图形可能位于位似中心的同侧，也可能位于位似中心的两侧，要分情况进行讨论． 16．2.5 点拨：由题意得CE ＝5 m ，AB ＝2 m ，DE ＝4 m.∵AD ∥BE ， ∴BC AB ＝CE ED ， ∴BC 2＝54，解得BC ＝2.5 m ，即窗口底端B 距离墙脚C 2.5 m.17.163或3 点拨：∵∠ABC ＝∠FBP ＝90°，∴∠ABP ＝∠CBF .当△MBC ∽△ABP时，BM ∶AB ＝BC ∶BP ，得BM ＝4×4÷3＝163；当△CBM ∽△ABP 时，BM ∶BP ＝CB ∶AB ，得BM ＝4×3÷4＝3.18.32×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n点拨：在正三角形ABC 中，AB 1⊥BC ， ∴BB 1＝12BC ＝1.在R t △ABB 1中，AB 1＝AB 2－BB 21＝22－12＝3，根据题意可得△AB 2B 1∽△AB 1B ，记△AB 1B 的面积为S ， ∴S 1S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322.∴S 1＝34S .同理可得S 2＝34S 1，S 3＝34S 2，S 4＝34S 3，…. 又∵S ＝12×1×3＝32， ∴S 1＝34S ＝32×34，S 2＝34S 1＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫342，S 3＝34S 2＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫343，S 4＝34S 3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫344，…，S n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n. 三、19.(1)证明：∵FG ⊥BC ，∠EFG ＝∠DFG ，∴∠BFE ＝∠CFD . 又∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴△BEF ∽△CDF .(2)解：设CF ＝x cm ，则BF ＝(26－x )cm ， ∵AB ＝13 cm ，AE ＝6 cm ， ∴BE ＝7 cm ，由(1)得，△BEF ∽△CDF ， ∴BE CD ＝BF CF ，即713＝26－xx ， 解得x ＝16.9， 即CF ＝16.9 cm.20．解：(1)如图．(2)S △A ′B ′C ′＝4×4－12×2×2－12×2×4－12×2×4＝6.(第20题)21．(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∠B＋∠C＝180°，∴∠ADE＝∠DEC.又∵∠AFE＝∠B，∠AFE＋∠AFD＝180°，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC.(2)解：在▱ABCD中，CD＝AB＝8.∵△ADF∽△DEC，∴AFCD＝ADDE，即438＝63DE，解得DE＝12.∵AE⊥BC，AD∥BC，∴AE⊥AD.在Rt△AED中，由勾股定理，得AE＝122－（63）2＝6. 22．解：由题意得，CD＝DG＝EF＝2，DF＝52，FH＝4.∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴∠ABH＝∠CDG＝∠EFH＝90°.又∵∠CGD＝∠AGB，∠EHF＝∠AHB，∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，∴CDAB＝DGBG，EFAB＝FHBH，即CDAB＝DGDG＋BD，EF AB＝FHFH＋DF＋BD，∴2AB＝22＋BD，2AB＝44＋52＋BD，∴22＋BD＝44＋52＋BD，解得BD＝52，∴2AB＝22＋52，解得AB＝54.答：建筑物AB 的高度为54米．23．解：(1)由题意知AP ＝2t ，DQ ＝t ，QA ＝6－t ，当QA ＝AP 时，△QAP 是等腰直角三角形，所以6－t ＝2t ，解得t ＝2.(2)四边形QAPC 的面积＝S △QAC ＋S △APC ＝12AQ ·CD ＋12AP ·BC ＝(36－6t )＋6t ＝36(cm 2)．在P ，Q 两点移动的过程中，四边形QAPC 的面积始终保持不变．(3)分两种情况：①当AQ AB ＝AP BC 时，△QAP ∽△ABC ，则6－t 12＝2t 6，即t ＝1.2；②当QA BC ＝AP AB 时，△P AQ ∽△ABC ，则6－t 6＝2t 12，即t ＝3.所以当t ＝1.2或3时，以点Q ，A ，P 为顶点的三角形与△ABC 相似．24．解：(1)当α＝0°时，∵BC ＝2AB ＝8，∴AB ＝4.∵点D ，E 分别是边BC ，AC的中点，∴BD ＝4，AE ＝EC ＝12AC .∵∠B ＝90°，∴AC ＝82＋42＝4 5.∴AE ＝CE ＝2 5.∴AE BD ＝254＝52.当α＝180°时，如图①，易得AC ＝45，CE ＝25，CD ＝4，∴AE BD ＝AC ＋CE BC ＋CD ＝45＋258＋4＝52.(第24题)(2)无变化．证明：在题图①中，∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥AB .∴CE CA ＝CD CB ，∠EDC ＝∠B ＝90°.在题图②中，∵△EDC 在旋转过程中形状大小不变，∴CECA＝CDCB仍然成立．又∵∠ACE＝∠BCD＝α，∴△ACE∽△BCD.∴AEBD＝ACBC.由(1)可知AC＝4 5.∴ACBC＝458＝52.∴AEBD＝52.∴AEBD的大小不变．(3)当△EDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，如图②，∴BD＝AC＝45；当△EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，如图③，由勾股定理可得AD＝AC2－CD2＝8.又易知DE＝2，∴AE＝6.∵AEBD＝52，∴BD＝1255.综上，BD的长为45或125 5.。
新北师大版九年级上第四章图形的相似检测题含答案
第四章检测题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列说法正确的是(C)A．对应边都成比例的多边形相似B．对应角都相等的多边形相似C．边数相同的正多边形相似D．矩形都相似2．已知△ABC∽△DEF，相似比为3∶1，且△ABC的周长为18，则△DEF的周长为(C)A．2B．3C．6D．543．如图，已知BC∥DE，则下列说法不正确的是(C)A．两个三角形是位似图形B．点A是两个三角形的位似中心C．AE∶AD是相似比D．点B与点E，点C与点D是对应位似点4．如图，身高为1.6m的吴格霆想测量学校旗杆的高度，当她站在C处时，她头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2.0m，BC＝8.0m，则旗杆的高度是(C) A．6.4mB．7.0mC．8.0mD．9.0m,第3题图),第4题图),第5题图),第6题图)5．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于(B)A．60mB．40mC．30mD．20m6．“标准对数视力表”对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部分，其中最上面较大的“E”与下面四个较小“E”中的哪一个是位似图形(B)A．左上B．左下C．右上D．右下7．如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是(B)A．(6，0) B．(6，3) C．(6，5) D．(4，2),第7题图),第8题图),第9题图),第10题图)8．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA 的面积比为( C )A ．2∶3B ．2∶5C ．4∶9D.2∶ 39．如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，连接BD .下列结论错误的是( C )A ．∠C ＝2∠AB ．BD 平分∠ABCC ．S △BCD ＝S △BOD D ．点D 为线段AC 的黄金分割点10．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝8，AD ＝3，BC ＝4，点P 为AB 边上一动点，若△P AD 与△PBC 是相似三角形，则满足条件的点P 的个数是( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(每小题3分，共18分)11．若x y ＝m n ＝45(y ≠n )，则x －m y －n＝__45__． 12．如图是两个形状相同的红绿灯图案，则根据图中给出的部分数值，得到x 的值是__16__．13．如图，在△ABC 中，点P 是AC 上一点，连接BP .要使△ABP ∽△ACB ，则必须有∠ABP ＝__∠C __或∠APB ＝__∠ABC __或AB AP ＝__AC AB__． ,第12题图),第13题图),第14题图),第15题图)14．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，点E 是AD 的中点，CF ⊥BE 于点F ，则CF ＝__125__． 15．如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为__22.5__米．16．劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米，底边为6厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工出一个边长比是1∶2的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其他顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为__2.4_cm 或2411_cm __． 三、解答题(共72分)17．(10分)如图，点D 是△ABC 的边AC 上的一点，连接BD ，已知∠ABD ＝∠C ，AB ＝6，AD ＝4，求线段CD 的长．解：在△ABD 和△ACB 中，∠ABD ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴△ABD ∽△ACB ，∴AB AC＝AD AB ，∵AB ＝6，AD ＝4，∴AC ＝AB 2AD ＝364＝9，则CD ＝AC －AD ＝9－4＝518．(10分)一个钢筋三角架三边长分别是20厘米、50厘米、60厘米，现在再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30厘米和50厘米的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边，则不同的截法有多少种？写出你的设计方案，并说明理由．解：两种截法：①30厘米与60厘米的两根钢筋为对应边，把50厘米的钢筋按10厘米与25厘米两部分截，则有1020＝2550＝3060＝12，从而两个三角形相似；②30厘米与50厘米长的两根钢筋为对应边，把50厘米分截出12厘米和36厘米两部分，则有2012＝5030＝6036＝53，从而两三角形相似19．(10分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－1，2)，B (－3，4)，C (－2，6)．(1)画出△ABC 绕点A 顺时针旋转90°后得到的△A 1B 1C 1；(2)在网格内以原点O 为位似中心，画出将△A 1B 1C 1三条边放大为原来的2倍后的△A 2B 2C 2.解：20．(10分)如图，矩形ABCD 为台球桌面．AD ＝260cm ，AB ＝130cm.球目前在E 点位置，AE ＝60cm.如果小丁瞄准了BC 边上的点F 将球打进去，经过反弹后，球刚好弹到D 点位置．(1)求证：△BEF ∽△CDF ；(2)求CF 的长．解：(1)证明：∵FG ⊥BC ，∠EFG ＝∠DFG ，∴∠BFE ＝∠CFD ，又∵∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CDF(2)解：设CF ＝x ，则BF ＝260－x ，∵AB ＝130，AE ＝60，BE ＝70，由(1)得：△BEF∽△CDF ，∴BE CD ＝BF CF ，即70130＝260－x x，∴x ＝169cm ，即CF ＝169cm 21．(10分)已知，如图，△ABC 中，AD 是中线，且CD 2＝BE ·BA .求证：ED ·AB ＝AD ·BD .证明：∵AD 是中线，∴BD ＝CD ，又CD 2＝BE ·BA ，∴BD 2＝BE ·BA ，即BE BD ＝BD AB，又∠B ＝∠B ，∴△BED ∽△BDA ，∴ED AD ＝BD AB ，∴ED ·AB ＝AD ·BD22．(10分)如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，连接DE ，点F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B .(1)求证：△ADF ∽△DEC ；(2)若AB ＝8，AD ＝63，AF ＝43，求AE 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC.∴∠C ＋∠B ＝180°，∠ADF ＝∠DEC.∵∠AFD ＋∠AFE ＝180°，∠AFE ＝∠B ，∴∠AFD ＝∠C.∴△ADF ∽△DEC (2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝8.由(1)知△ADF ∽△DEC ，∴AD DE ＝AF CD .∴DE ＝AD ·CD AF ＝63×843＝12.在Rt △ADE 中，由勾股定理得AE ＝DE 2－AD 2＝122－（63）2＝623．(12分)将一副三角尺如图①摆放(在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°；在Rt △DEF 中，∠EDF ＝90°，∠E ＝45°)点D 为AB 的中点，DE 交AC 于点P ，DF 经过点C .(1)求∠ADE 的度数；(2)如图②，将△DEF 绕点D 顺时针方向旋转角α(0°<α<60°)，此时的等腰直角三角尺记为△DE ′F ′，DE ′交AC 于点M ，DF ′交BC 于点N ，试判断PM CN的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出PM CN的值；反之，请说明理由． 解：(1)由题意知：CD 是Rt △ABC 中斜边AB 上的中线，∴AD ＝BD ＝CD ，∵在△BCD 中，BD ＝CD 且∠B ＝60°，∴△BCD 是等边三角形，∴∠BCD ＝∠BDC ＝60°，∴∠ADE ＝180°－∠BDC －∠EDF ＝180°－60°－90°＝30°(2)PM CN的值不会随着α的变化而变化，理由如下：∵△APD 的外角∠MPD ＝∠A ＋∠ADE ＝30°＋30°＝60°，∴∠MPD ＝∠BCD ＝60°，∵在△MPD 和△NCD 中，∠MPD＝∠NCD ＝60°，∠PDM ＝∠CDN ＝α，∴△MPD ∽△NCD ，PM CN ＝PD CD，又∵由(1)知AD ＝CD ，∴∠ACD ＝∠A ＝30°，即∠PCD ＝30°.在Rt △PCD 中，∠PCD ＝30°，∴PD CD＝13＝33，∴PM CN ＝PD CD ＝33。
新版北师大初中数学九年级(上)第四章图形的相似单元测试(带答案)
九（上）第四章图形的相似单元测试一、选择题1、【基础题】在比例尺为1：5000的地图上，量得甲，乙两地的距离为25 cm ，则甲、乙两地的实际距离是 ( ) A.1250千米 B.125千米 C.12.5千米 D. 1.25千米2、【基础题】已知135＝a b ，则ba ba ＋－的值是（）★A. 32B. 23C. 49D. 943、【基础题】如右图，在△ABC 中，看DE ∥BC ，12AD BD =，DE ＝4 cm ，则BC 的长为( ) A ．8 cm B ．12 cm C ．11 cm D ．10 cm 4、【基础题】如右图，DE 是ΔABC 的中位线，则ΔADE 与ΔABC 的面积之比是（） A ．1:1B ．1:2C ．1:3D ．1:45、【基础题】如下图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是( )★★★6、【基础题】下列结论不正确的是( ) ★ A.所有的矩形都相似B.所有的正方形都相似C.所有的等腰直角三角形都相似D.所有的正八边形都相似7、【基础题】下列说法中正确的是( )★A.位似图形可以通过平移而相互得到B.位似图形的对应边平行且相等C.位似图形的位似中心不只有一个D.位似中心到对应点的距离之比都相等 8、【综合题Ⅰ】如左下图，ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP 与△ECP 相似的是（ ）★★★ A. ∠APB ＝∠EPC B. ∠APE ＝90°C. P 是BC 的中点 D. BP ︰BC ＝2︰39、【综合题Ⅱ】（2008山东潍坊）如右上图,Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AB =3，AC =4，P 是BC 边上一点，作PE⊥AB 于E ，PD ⊥AC 于D ，设BP ＝x ，则PD+PE ＝（）A.35x + B.45x -C.72D.21212525x x -10、【综合题Ⅲ】如图，在Rt ABC △内有边长分别为a ，b ，c 的三个正方形．则a 、b 、c 满足的关系式是（）A . b a c =+B . b ac =C . 222b ac =+D . 22b a c ==二、填空题 11、【基础题】在同一时刻，高为1.5m 的标杆的影长为2.5m ，一古塔在地面上AB CA BCDE P影长为50m ，那么古塔的高为． 12、【基础题】两个相似三角形面积比是9∶25，其中一个三角形的周长为36cm ，则另一个三角形的周长是． 13、【综合题Ⅰ】如左下图，在△ABC 中，AB ＝5，D 、E 分别是边AC 和AB 上的点，且∠ADE ＝∠B ，DE ＝2，那么AD ·BC ＝. ★★★ 14、【基础题】如右上图，在△ABC 和△DEF 中，G 、H 分别是边BC 和EF 的中点，已知AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠BAC ＝∠EDF .那么AG ：DH ＝，△ABC 与△DEF 的面积比是.★★★15、【基础题】把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的21倍，边长应缩小到原来的____倍. 16、【综合Ⅱ】如左下图在Rt △ABC 中, ∠ACB ＝90°,CD ⊥AB 于D ，若AD ＝1，BD ＝4，则CD ＝. ★ 17、【基础题】如右上图，一人拿着一支厘米小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上12厘米的长度恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，则电线杆的高为. ★★★ 18、【基础题】已知一本书的宽与长之比为黄金比，且这本书的长是20 cm ，则它的宽为_____cm.（结果保留根号） 19、【综合Ⅲ】顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠A ＝36°，BD 是三角形ABC 的角平分线，那么AD ＝. ★ 20、【提高题】如图，点1234A A A A ，，，在射线OA 上，点123B B B ，，在射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，213243A B A B A B ∥∥．若212A B B △、323A B B △的面积分别为1、4，则图中三个阴影三角形面积之和为． 三、解答题21、【基础题】（2008无锡）如图，已知点E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于点F ，求证△ABF ∽△EAD ．22、【综合Ⅰ】如图27－106所示，已知E 为ABCD 的边CD 延长线上的一点，连接BE 交AC 于O ，交AD 于F ． 求证BO 2＝OF ·OE ．23、如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12 cm ，OB=6 cm ，点P 从O 点开始沿OA 边向点A 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1cm/s 的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t （单位：秒） 表示移动的时间（06t ≤≤），那么：（1）当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似？（2）设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式。
北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 单元检测试题(有答案)
第四章图形的相似单元检测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 若a+bc =b+ca=c+ab=k，则k的值为（）A.2B.−1C.2或−1D.不存在2. 下列各组长度的线段中，不能成比例线段的是（）A.2cm，3cm，4cm，6cmB.1cm，5cm，0.8cm，4cmC.2.4cm，1.5cm，1.2cm，0.75cmD.3cm，4cm，5cm，6cm3. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠ABD=36∘，则图中相似三角形的对数有（）A.0B.1C.2D.34. 如图，已知AM:MD=4:1，BD:DC=2:3，则AE:EC=()A.4:3B.3:2C.7:3D.8:55. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm,EF=30cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m,CD=20m，则树高AB为（）A.12mB.13.5mC.15mD.16.5m6. 下列命题中，正确的是（）A.两个直角三角形一定相似B.两个等边三角形一定相似C.两个菱形一定相似D.两个矩形一定相似7. 已知a，b，c都不为0，且a+bc =b+ca=a+cb=k，则k的值是（）A.2B.−1C.2或−1D.38. 若一个图形的面积为2，那么将与它成中心对称的图形放大为原来的两倍后的图形面积为（）A.8B.6C.4D.29. 已知两个相似三角形的相似比是1:2，则下列判断中，错误的是（）A.对应边的比是1:2B.对应角的比是1:2C.对应周长的比是1:2D.对应面积的比是1:410. 如图直线AB、CD、EF被直线a、b所截，若∠1=100∘，∠2=100∘，∠3=125∘，∠4=55∘，下列结论错误的是（）A.EF // CD // ABB.ACCE =BDDFC.ABCD=ACDFD.ACAE=BDBF二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 在Rt△ABC的直角边AC边上有一动点P（点P与点A，C不重合），过点P作直线截得的三角形与△ABC相似，满足条件的直线最多有________条．12. 在△ABC中，AB=AC=6，点M在边AB上，且AM=2，若在边BC上找一点N，能使△BMN∽△BCA，设边BC长为x，则x的取值范围为________．13. 如图，△ABC中，DE//BC，AD=3，BD=2，若SΔADE=9，则SΔABC=________.14. 如图，同一时刻，小明测得他在太阳光下的影子长为2米，他不远的一棵树的影子长为5米，已知小明的身高为1.6米，则这棵树的高是________米．15. △ABC中，DE // BC交AB于D，交AC于E，若AE:EC=2:3，DE=4，则BC的长为________．16. 在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则这棵树的高度为________米．17. 若a+bb =65，则ab=________，a−bb=________．18. △ABC与△A′B′C′的相似比为3:4，若BC边长高AD=12cm，则B′C边上高A′D′=________．19. 在百度地图（比例尺1:4 000 000）上量得杭州到嘉兴的距离约为2.2厘米，则可估测杭州到嘉兴的实际距离约为________千米．20. 如图，直线l1 // l2 // l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知ABAC =13，则EFDE=________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 如图，已知正方形OABC的边长为4，请写出各个顶点的坐标．如果将它们的坐标同时缩小一半，得到一组新坐标，画出新坐标所对应的点，并把他们连接起来，得到一个新的图形，说出它的名称，你能说明其中的道理吗？22. 将一张矩形纸片ABCD(AB<2AD)，以它的一条宽为边长剪去一个正方形，将剩下的矩形再以一条宽为边长剪去一个正方形，若第二次剪裁后所留下的矩形与原来的矩形ABCD相似，则矩形ABCD的宽与长的比值是多少？23. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，已知AD平分∠BAC，AD=DC.(1)求证：△ABC∼△DBA；(2)S△ABD=6，S△ADC=10，求CD．AC24. 如图所示，已知AB // EF // CD，AC、BD相交于点E，AB=6cm，CD=12cm，求EF．25. 如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根竹杆竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过竹杆的顶端刚好看到塔顶，若小明眼睛离地面1.6m，竹杆顶端离地面2.4m，小明到竹杆的距离DF=2m，竹杆到塔底的距离DB=33m，求这座古塔的高度．26. 在△ABC中，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上.(1)如图1，点D在BC边上，BD:BC=3:4，AD与BE相交于点P，过点A作AF//BC，交BE的值.的延长线于点F，求APPD(2)如图2，点D在BC的延长线上，AD与BE的延长线交于点上P，CD:BC=1:3，求AP的PD 值.(3)如图3，在(2)的条件下，且∠ACB=90∘，若CD=4,AC=12，求BP的值.参考答案与试题解析一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】C【解答】分情况进行：当a+b+c≠0时，根据等比性质，得k=2c+2a+2bc+a+b=2；当a+b+c＝0时，则a+b＝−c，k＝−1，2.【答案】D【解答】解：A、6×2=3×4，能构成比例；B、4×1=5×0.8，能构成比例；C、2.4×0.75=1.5×1.2，能构成比例；D、3×6≠4×5，不能构成比例．故选D．3.【答案】B【解答】解：∵ AB=AC，∠A=36∘，∵ ∠ABC=∠C=12(180∘−36∘)=72∘，∵ BD平分∠ABC，∵ ∠CBD=12∠ABC=12×72∘=36∘，∵ ∠CBD=∠A，∵ △BDC∽△ABC，∵ 相似三角形的对数有1对．故选：B．．4.【答案】D【解答】解：作MN // CD交AC于N，如图，∵ MN // CD，∵ AMAD ANNC=4，AMAD=MNCD=45，∵ BD:DC=2:3，∵ BC=53CD，∵ MNBC =MN53CD=35×45=1225，∵ MN // NB，∵ MNBC =ENEC=1225，设EN=12x，则EC=25x，∵ CN=25x−12x=13x，∵ AN=4CN=52x，∵ AE=AN−EN=52x−12x=40x，∵ AE:EC=40x:25x=8:5．故选D．5.【答案】D【解答】解：∵ ∠DEF=∠BCD=90∘，∠D=∠D，△DEF∼△DCB，∴BCEF =DCDE，∵ DE=40cm,EF=30cm，AC=1.5m,CD=20m，∴BC0.3=200.4，∴ BC=15m，∴ AB=AC+BC=1.5+15=16.5m.6.【答案】B【解答】解：A、两个直角三角形不一定相似，如△ACB与△DEF中，∠C=∠E=90∘，∠A=∠B= 45∘，∠D=30∘，∠F=60∘，则△ACB与△DEF不相似；B、两个等边三角形一定相似，因为等边三角形的每一个角都等于60∘，符合相似三角形的判定；C、两个菱形不一定相似，如菱形ABCD与菱形EFGH中，∠A=∠C=60∘，∠E=∠G=70∘，则菱形ABCD与菱形EFGH不相似；D、两个矩形不一定相似，如矩形ABCD与矩形EFGH中，AB=CD=2，BC=DA=1，EF= GH=3，FG=HA=2，则矩形ABCD与矩形EFGH不相似．故选B．7.【答案】C【解答】解：a+bc =b+ca=a+cb=k，a+b+a+c+b+cc+b+a=k，分两种情况：①a+b+c≠0∵ k=2．②a+b+c=0时，a+b=−c∵ k=−1．故k的值为：2或−1．故选C．8.【答案】A【解答】解：根据题意，面积扩大为原来的4倍，所以图形面积为：2×4=8．故选A．9.B【解答】解：相似三角形的相似比即为对应边的比，对应周长的比，相似比的平方即为面积比，所以B不正确，故选B．10.【答案】C【解答】解：∵ ∠1=100∘，∠2=100∘，∠3=125∘，∠4=55∘，∵ AB // CD // EF，∵ ACCE =BDDF，ACAE=BDBF.故选C.二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】4【解答】解：①过点P作AB的垂线段PD，则△ADP∽△ACB；②过点P作BC的平行线PE，交AB于E，则△APE∽△ACB；③过点P作AB的平行线PF，交BC于F，则△PCF∽△ACB；④作∠PGC=∠A，则△GCP∽△ACB．故答案为：4．12.【答案】2√6≤x<12【解答】解：如图，∵ AB=AC=6，AM=2，∵ 0<x<12，BM=AB−AM=4．∵ ∠MBN=∠CBA，∵ 当BMBC =BNBA时，△BMN∽△BCA，即4x =BN6，∵ BN=24x，∵ NB≤BC，∵ 24x≤x，解得x≥2√6，∵ x的取值范围为2√6≤x<12．故答案为2√6≤x<12．13.【答案】25【解答】解：∵ DE//BC，∵ △ADE∼△ABC，∵ AB=AD+DB=5，∵ △ADE与△ABC的相似比为3:5，则△ADE与△ABC的面积比为9:25，∵ S△ADE=9,∵ S△ABC=25.故答案为：25.14.【答案】4【解答】解：根据题意得：小明身高小明影长=树高树的影长，∵ 小明的影子长为2米，树的影子长为5米，小明的身高为1.6米，∵ 1.62=树高5，∵ 这棵树的高是4米．故答案为：4．15.【答案】10【解答】解：∵ DE // BC，∵ △ADE∽△ABC，∵ DEBC =AEAC，而AE:EC=2:3，DE=4，∵ 4BC =25，∵ BC=10．故答案为10．16.【答案】9.6【解答】解：设树高为x米，∵人的身高人的影长=树的高度树的影长，∴ 1.60.8=x4.8，∴x4.8=2∴ x=4.8×2=9.6．故答案为：9.6.17.【答案】15,−45 【解答】解：∵ a+b b =65， ∵ 5a +5b =6b ，∵ b =5a ，∵ a b=a 5a =15， a−b b =a−5a 5a =−45． 故答案为：15，−45．18.【答案】16cm【解答】解：∵ △ABC ∽△A′B′C′，且相似比为3:4，∵ AD A′D′=BC B′C′=34，∵ AD =12cm ，∵ A′D′=16cm ，故答案为：16cm ．19.【答案】88【解答】解：设杭州到嘉兴的实际距离为x 厘米，根据题意得2.2x =14000000，解得x =8800000(cm)，所以杭州到嘉兴的实际距离约为88千米．故答案为88．20.【答案】2【解答】解：∵ ABAC =13，∵ BCAB=2，∵ l1 // l2 // l3，∵ EFDE =BCAB=2，三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】解：如图所示：O(0, 0)，A(4, 0)，B(4, 4)，C(0, 4)，四边形OA′B′C′是正方形，理由：∵ 正方形OABC的边长为4，将它们的坐标同时缩小一半，∵ O(0, 0)，A′(2, 0)，B′(2, 2)，C′(0, 2)，故四边形OA′B′C′是正方形．【解答】解：如图所示：O(0, 0)，A(4, 0)，B(4, 4)，C(0, 4)，四边形OA′B′C′是正方形，理由：∵ 正方形OABC的边长为4，将它们的坐标同时缩小一半，∵ O(0, 0)，A′(2, 0)，B′(2, 2)，C′(0, 2)，故四边形OA′B′C′是正方形．【答案】解：根据题意画图如下：设BC=x，CD=y，则HF=2y−x，BF=x−y，若矩形ABCD∽矩形GBEH，则：xy =x−y2y−x，解得：yx =√5−12，若矩形ABCD∽矩形BEHG，则x y =2y−xx−y，解得：yx =√22．【解答】解：根据题意画图如下：设BC=x，CD=y，则HF=2y−x，BF=x−y，若矩形ABCD∽矩形GBEH，则：xy =x−y2y−x，解得：yx =√5−12，若矩形ABCD∽矩形BEHG，则x y =2y−xx−y，解得：yx =√22．【答案】(1)证明：∵ AD平分∠BAC，∵ ∠BAD=∠CAD.∵ AD=DC，∵ ∠C=∠CAD，∵ ∠C=∠BAD.∵ ∠B=∠B，∵ △ABC∼△DBA.(2)解：由(1)可知：△ABC∼△DBA，∵ S△DBAS△ABC =(ADAC)2.∵ S△ABD=6，S△ADC=10，∵ S△DBAS△ABC =616，∵ (ADAC )2=616，ADAC=√64.∵ AD=DC，∵ CDAC =√64．【解答】(1)证明：∵ AD平分∠BAC，∵ ∠BAD=∠CAD.∵ AD=DC，∵ ∠C=∠CAD，∵ ∠C=∠BAD.∵ ∠B=∠B，∵ △ABC∼△DBA.(2)解：由(1)可知：△ABC∼△DBA，∵ S△DBAS△ABC =(ADAC)2.∵ S△ABD=6，S△ADC=10，∵ S△DBAS△ABC =616，∵ (ADAC )2=616，ADAC=√64.∵ AD=DC，∵ CDAC =√64．24.【答案】解：∵ AB // CD，∵ CEAE =CDAB=126=2，∵ CEAC =CEAE+CE=21+2=23，∵ AB // EF，∵ EFAB =CEAC，即EF6=23，解得EF=4cm．【解答】解：∵ AB // CD，∵ CEAE =CDAB=126=2，∵ CEAC =CEAE+CE=21+2=23，∵ AB // EF，∵ EFAB =CEAC，即EF6=23，解得EF=4cm．25.【答案】古塔的高度是15.6米．【解答】解：∵ 小明、竹竿、古塔均与地面垂直，EH⊥AB ∵ BH=DG=EF=1.6m，EG=DF，GH=DB，∵ 小明眼睛离地面1.6m，竹杆顶端离地面2.4m，∵ CG=CD−EF=2.4−1.6=0.8m，∵ CD // AB，∵ △EGC∽△EHA，DF=2m，DB=33m，∵ EGEH =CGAH，即22+33=0.8AH，解得AH=14m．∵ AB=AH+BH=14+1.6=15.6m．26.【答案】解：(1)∵ BE是AC边的中线，∴ AE=CE，∵ AF//BC，∵ △AEF∵∵CEB,∴AFBC =AECE=EFBE=1，∵ BD:BC=3:4，∵ BD:AF=3:4，∵ AF//BD，∴ △APF∵∵DPB，∵ APPD =AFBD=43.(2)如图，过点A作AF//BC,交BE的延长线于点F.设DC=k，则BC=3k，∵ AF//BC，∵ △AEF∵∵CEB，∵ BCAF =CEAE=1，即AF=BC=3k.∵ AF//BD，∵ △APF∼△DPB，∴APPD =AFBD=3k4k=34.(3)CE=12AC=6，BC=3CD=12,在Rt△BCE中，BE=√62+122=6√5，∵ BF=2BE=12√5.∵ AF//BD，∵ △APF∵∵DPB,∵ PFBP =APPD=34,∴ BP=47BF=47×12√5=48√57.【解答】解：(1)∵ BE是AC边的中线，∴ AE=CE，∵ AF//BC，∵ △AEF∵∵CEB,∴AFBC =AECE=EFBE=1，∵ BD:BC=3:4，∵ BD:AF=3:4，∵ AF//BD，∴ △APF∵∵DPB，∵ APPD =AFBD=43.(2)如图，过点A作AF//BC,交BE的延长线于点F.设DC=k，则BC=3k，∵ AF//BC，∵ △AEF∵∵CEB，∵ BCAF =CEAE=1，即AF=BC=3k.∵ AF//BD，∵ △APF∼△DPB，∴APPD =AFBD=3k4k=34.(3)CE=12AC=6，BC=3CD=12,在Rt△BCE中，BE=√62+122=6√5，∵ BF=2BE=12√5.∵ AF//BD，∵ △APF∵∵DPB,∵ PFBP =APPD=34,∴ BP=47BF=47×12√5=48√57.。
北师大九年级数学上《第四章图形的相似》单元检测试题含答案
2017-2018学年度第一学期北师大九年级数学上册 第四章 图形的相似 单元检测试题考试总分： 120 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）1.在同一时刻，身高米的小强在阳光下的影长为米，一棵大树的影长为1.60.8米，则树的高度为（ ）4.8A.米4.8 B.米6.4 C.米9.6 D.米10 2.已知，且相似比为，，则 △ABC ∽△DEF 1:2S △DEF =8S △ABC =()A.2B.4C.16D.323.如图，与是位似图形，其中，那么的长与△ABO △A'B'O AB // A'B'A'B'y 的长之间函数关系的图象大致是（ ）AB xA. B.C. D.4.在中，、分别是、上的点，下列命题中不正确的是（ ）△ABC E F AB ACA.若，则B.若，则EF // BC AEEB =AFFC AEEB=AFFCEF // BCC.若，则D.若，则EF // BC AEAB=EFBCAEAB=EFBCEF // BC5.某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）．则小鱼上的点对应大鱼上的点（ ）(a, b)A.(‒2a, 2b)B.(‒2a, ‒2b)C.(‒2b, ‒2a)D.(‒2a, ‒b)6.下面四个命题，其中假命题是（ ）A.全等三角形是相似三角形B.所有的正方形都相似C.所有的等边三角形都相似D.所有的直角三角形都相似 7.如图所示，、分别是、边上的点，在下列条件中：D E AB AC ①；②；③能独立判断与相似的有（∠AED =∠B DEBC=ADACADAC=AEAB△ADE △ACB ）A.①B.①③C.①②D.①②③8.一根米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影长为米；此时一棵1.5 2.1水杉树的影长为米，这棵水杉树高为（ ）10.5A.米7.5 B.米8 C.米14.7 D.米15.75 9.如图，，分别为，的中点，则 D E AB AC S △ADE :S 四边形DBCE =()A.1:3B.1:4C.1:9D.1:1610.如图，边长为的正方形中有一个小正方形，其中、、分别4ABCD EFGH E F G 在、、上，若，则小正方形的边长为（ ）AB BC FD BF =1A.35B.45C.54D.53二、填空题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）11.已知，若与的相似比为，则与△ABC ∽△DEF △ABC △DEF 3:4△ABC 的面积比为________．△DEF 12.如图，小明站在处看甲、乙两楼楼顶的点和，、、三点在同一直线C A E A E C 上，甲乙两楼的底部、与也在同一直线上，测得相距米，相距D B C BC 20DB 米，乙楼高为米，则甲楼高（小明身高忽略不计）为________米．20BE 1513.如图，若________（请补充一个条件），则．∠1=∠2△ABC ∽△ADE14.如图，和是以点为位似中心的位似三角形，若为的△ABC △A 1B 1C 1O C 1OC 中点，，则的长为________．AB =4A 1B 115.如图，，，的周长为，则的周长是________AB // CD ABCD=13△COD 12cm △AOB ．cm16.如图，方格纸中的每一个小方格都是边长为的正方形，我们把以格点间连1线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的是格点三角形，在建立平面△ABC 直角坐标系后，点的坐标为，在方格纸中把以点为位似中B (‒1, ‒1)△ABC A 心放大，使放大前后对应边的比为，则点的对应点的坐标为________．1:2B B'17.如图，用两根等长的钢条和交叉于点构成一个卡钳，可以用来测量AC BD O 工作内槽的宽度、设，且量得，则内槽的宽等于________．OAOC=OBOD =bCD =m AB18.线段，，则的值为________．AB =a 2‒b 2CD =a +b AB:CD 19.在中，点、分别在边和上，，，，要△ABC D E AB BC AD =2DB =3BC =10使，那么必须等于________．DE // AC BE△ABC AE BC D∠C=∠E AD:DE=2:5AE=720.如图，中，交于点，，，，BD=4DC，则的长等于________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）ABCD AC BD O F E M N AO21.如图，在中，与交于点，点，，，分别是，BO CO DO FEMN ABCD∽FEMN ，，的中点，这样形成一个，你能证明吗？ABCD AC BD O O OE⊥BC22.如图所示，在矩形中，对角线，相交于点．过点作于E DE OCF F FG⊥BC G△ABC△FGC点，连接交于点，过点作于点，则与是位似图形吗？若是，请说出位似中心，并求出相似比；若不是，请说明理由．△ABC AI BI∠BAC∠ABC CE△ABC23.如图，中，、分别平分、．是的外角∠ACD的平分线，BI E CI交延长线于，连接．(1)△ABC∠BAC=2αα∠BIC∠E变化时，设．若用表示和；(2)AB=1△ABC△ICE AC若，且与相似，求相应长．△ABC P CB Q BC24.如图，是等边三角形，是延长线上一点，是延长线上一点，∠PAQ=120∘BC2=PB⋅QC且满足．求证：．AB 1.5m 1.5m225.一块直角三角形木板的一条直角边长为，面积为，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，12甲设计方案如图，乙设计方案如图．你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由．（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）ABCD AB=6BC=8P2B 26.如图，矩形中，，，动点以每秒个单位的速度从点BC C Q1C CD D 出发沿着向移动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发沿向移动．(1)△PCQ3几秒时，的面积为？(2)C P Q△ABC几秒时，由、、三点组成的三角形与相似？答案1.C2.A3.C4.D5.B6.D7.B8.A9.A 10.C 11.9:1612.3013.∠B =∠D 14.215.416.(‒5, ‒5)17.mb 18.a ‒b 19.620.5221.证明：∵点，，，分别是，，，的中点，F E M N AO BO CO DO ∴，，FN // EM // AD // BC EF // NM // AB // CD ∴，，EM =FN =12CBEF =NM =12AB∴，，∠EFM =∠FNM =∠ABC =∠ADC ∠BAD =∠EFN =∠BCD =∠EMN ∴．ABCD ∽FEMN 22.解：与是位似图形，△ABC △FGC ∵，，OE ⊥BC FG ⊥BC ∴，又、的连线相交于点，OE // FG OF EG C∴与是位似图形，位似中心是点，△ABC △FGC C ∵四边形是矩形，ABCD ∴，，又，∠BCD =90∘OB =OD OE ⊥BC ∴，OE // CD ∴是的中位线，OE △BCD ∴，OE =12CD∵，OE // CD ∴，则，OF FC=OE CD =12CF CO=23∴与的相似比是．△ABC △FGC 3223.解：，解：∵是的平分线，是(1)∠BIC =90∘+α∠E =α(2)CI ∠BCA CE 的外角平分线，∠ACB ∴，∠ICE =∠ICA +∠ACE =12∠ACB +12∠ACD =90∘分情况讨论：①当时，，，△ABC ∽△ICE ∠ABC =∠ICE =90∘∠ACB =∠IEC =α所以，α=30∘AC =2②当时，，，△ACB ∽△ICE ∠ACB =∠ICE =90∘∠ABC =∠IEC =α所以，．α=30∘AC =12③当时，，，△BAC ∽△ICE ∠BAC =∠ICE =90∘∠IEC =12∠BAC =45∘所以，．∠ABC =∠ACB =45∘AC =AB =124.证明：∵是等边三角形，，△ABC ∠PAQ =120∘∴，∠PAB +∠QAC =60∘∵，∠PAB +∠P =∠ABC =60∘∴，∠QAC =∠P ∵，∠ABP =∠QCA =180∘‒60∘=120∘∴，△APB ∽△QAC ∴，PB:AC =AB:QC ∴，AB ⋅AC =PB ⋅QC ∵，AB =AC =BC ∴．BC 2=PB ⋅QC25.解：由，，可得，AB =1.5m S △ABC =1.5m 2BC =2m 由图，若设甲设计的正方形桌面边长为，1xm 由，得，DE // AB Rt △CDE ∽Rt △CBA ∴，即，x AB=BC ‒x BC x 1.5=2‒x 2∴，，3‒1.5x =2x x =33.5=67由图，过点作斜边上的高，2B Rt △ABC AC 交于，交于．BH DE P AC H由，，AB =1.5m BC =2m 得，AC =AB 2+BC 2= 1.52+22=2.5(m)由可得，AC ⋅BH =AB ⋅BC ，BH =AB ⋅BC AC=1.5×22.5=1.2m设乙设计的桌面的边长为，ym ∵，DE // AC ∴，Rt △BDE ∽Rt △BAC ∴，BP BH=DEAC即，解得，1.2‒y 1.2=y2.5y =3037∵，67=3035>3037∵，x 2>y 2∴甲同学设计的方案较好．26.秒或秒后，的面积为；要使两个三角形相似，由13△PCQ 3(2)∠B =∠PCQ∴只要或者AB PC =BC CQAB QC =BC CP ∵，AB =6BC =8∴只要或者PC CQ =68QC CP =68设时间为则，PC =8‒2t CQ =t∴或者，t =3211t =125∴当或者时，由、、三点组成的三角形与相似；t =3211t =125C P Q △ABC。