mjt--空间位置关系与证明(教师版)

1

C D 专题22 空间位置关系与证明

★★★高考在考什么 【考题回放】 1．（浙江）若P 是两条异面直线l m ，外的任意一点，则（B ） A ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直 C ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交

D ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面 2．（06湖南）如图，过平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中

点作直线,其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有( D ) A.4条 B.6条 C.8条 D.12条 3．（湖北）平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是m '和n '，给出下列四个命

题：

①m n m n ''⊥?⊥；

②m n m n ''⊥?⊥；

③m '与n '相交?m 与n 相交或重合； ④m '与n '平行?m 与n 平行或重合． 其中不正确的命题个数是（ Ｄ ）

Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4

4.（湖北）关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：（D ）

①βα//,//n m 且βα//，则n m //； ②βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥； ③βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥； ④βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //. 其中真命题的序号是：

A. ①、②

B. ③、④

C. ①、④

D. ②、③ 5．在正方形''''D C B A ABCD -中，过对角线'

BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，则( ) ① 四边形E BFD '

一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形

③ 四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD '

有可能垂直于平面D BB '

以上结论正确的为 ①③④ 。（写出所有正确结论的编号）

6．（上海）在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知αβ，是两个相交平面，空间两条直线12l l ，在α上的射影是直线12s s ，，12l l ，在β上的射影是直线12t t ，．用1s 与2s ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异

面直线的充分条件： 21//s s ，并且1t 与2t 相交（//1t 2t ，并且1s 与2s 相交）

★ ★★高考要考什么 一．线与线的位置关系:平行、相交、异面；

线与面的位置关系:平行、相交、线在面内； 面与面的位置关系:平行、相交；

二．转化思想：

??⊥?⊥?⊥线线平行线面平行面面平行,线线线面面面 ；

★★★高考将考什么

【范例1】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，

PA AB BC ==，E 是PC 的中点． （Ⅰ）证明CD AE ⊥；

（Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ；

（Ⅲ）求二面角A PD C --的大小．

（Ⅰ）证明：在四棱锥P ABCD -中，

因PA ⊥底面ABCD ，CD ?平面ABCD ，故PA CD ⊥． PAC ． AC CD PA AC A ⊥=I ，∵，CD ⊥∴平面而AE ?平面PAC ，CD AE ⊥∴．

（Ⅱ）证明：由PA AB BC ==，60ABC ∠=°，可得AC PA =． E ∵是PC 的中点，AE PC ⊥∴．

由（Ⅰ）知，AE CD ⊥，且PC CD C =I ，所以AE ⊥平面PCD ． 而PD ?平面PCD ，AE PD ⊥∴．

PA ⊥∵底面ABCD PD ，在底面ABCD 内的射影是AD ，AB AD ⊥，AB PD ⊥∴． 又AB AE A =I ∵，综上得PD ⊥平面ABE ．

（Ⅲ）解法一：过点A 作AM PD ⊥，垂足为M ，连结EM ．则（Ⅱ）知，AE ⊥平面PCD ，AM 在平面PCD 内的射影是EM ，则EM PD ⊥． 因此AME ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知，得30CAD ∠=°．设AC a =，

可得PA a AD PD AE ====，，，． 在ADP Rt △中，AM PD ⊥∵，AM PD PA AD =∴··，

则3

a PA AD AM PD

=

==·

·． 在AEM Rt △

中，sin AE AME AM =

= 解法二：由题设PA ⊥底面ABCD ，PA ?平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ACD ，交线为AD ． 过点C 作CF AD ⊥，垂足为F ，故CF ⊥平面PAD ．过点F 作FM PD ⊥，垂足为M ，连结CM ，故CM PD ⊥．因此CMP ∠是二面角A PD C --的平面角． 由已知，可得30CAD ∠=°，设AC a =，

可得12PA a AD PD CF a FD ==

===，，，，． FMD PAD ∵△∽△，FM FD

PA PD

=∴

． A B

C D

P E A

B

C

D

P

E

M P

E

于是，37621

3

a a

FD PA FM a PD a =

==··． 在CMF Rt △中，12tan 77

a

CF

CMF FM a ===．

所以二面角A PD C --的大小是arctan 7．

所以二面角A PD C --的大小是14arcsin

4

． 变式：如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱

//

1

2

EF BC =． （1）证明FO //平面CDE ；

（2）设3BC CD =，证明EO ⊥平面CDF ． 证明：（Ⅰ）取CD 中点M ，连结OM. 在矩形ABCD 中，1//

2OM BC ，又1

//2

EF BC ，则//OM EF ， 连结EM ，于是四边形EFOM 为平行四边形. //FO EM ∴

又FO ?Q 平面CDE ， EM ?平面CDE ， ∴ FO∥平面CDE

（Ⅱ）证明：连结FM ，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE 中，

,CM DM EM CD =⊥且31

2

EM CD BC EF =

==. 因此平行四边形EFOM 为菱形，从而EO⊥FM 而FM∩CD=M，

∴CD⊥平面EOM ，从而CD⊥EO. 而FM CD M ?=，所以EO⊥平面CDF.

【点晴】本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，注意线面平行和线面垂直判定定理的使用，考查空间想象能力和推理论证能力。

【范例2】如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长为

2的正方形，四边形1111A B C D 是边长为1的正方形，1DD ⊥平面 1111A B C D ，1DD ⊥平面ABCD ，12DD =．

（Ⅰ）求证：11A C 与AC 共面，11B D 与BD 共面． （Ⅱ）求证：平面11A ACC ⊥平面11B BDD ；

（Ⅲ）求二面角1A BB C --的大小（用反三角函数值表示）．

证明：以D 为原点，以1DA

DC DD ，，所在直线分别为x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -如图，

则有

1111(200)(220)(020)(102)(112)(012)(002)

A B C A B C D ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．

（Ⅰ）证明：

A

B

D

1A 1B

1C 1M

1

A 1

B 1

C 1

D z

1111(110)(220)(110)(220)AC AC D B DB =-=-==u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，，，，，，，，，，，∵． 11

1122AC AC DB D B ==u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，∴． AC u u u r ∴与11AC u u u u r 平行，DB u u u r 与11D B u u u u r 平行，

于是11A C 与AC 共面，11B D 与BD 共面．

（Ⅱ）证明：1(0

02)(220)0DD AC =-=u u u u r u u u r ，，，，··， (220)(220)0DB AC =-=u u u r u u u r ，，，，··，

1DD AC ⊥u u u u r u u u r ∴，DB AC ⊥u u u

r u u u r ．

1DD 与DB 是平面11B BDD 内的两条相交直线．

AC ⊥∴平面11B BDD ．

又平面11A ACC 过AC ．

∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ．

（Ⅲ）解：111(10

2)(112)(012)AA BB CC =-=--=-u u u r u u u r u u u u r

，，，，，，，，． 设111()x y z =，，n 为平面11A ABB 的法向量，

11120AA x z =-+=u u u r n ·，111120BB x y z =--+=u u u r n ·．

于是10y =，取11z =，则12x =，(201)=，，n ． 设222()x y z =，，m 为平面11B BCC 的法向量，

122220BB x y z =--+=u u u r m ·，12220CC y z =-+=u u u u r m ·．

于是20x =，取21z =，则22y =，(021)=，，m ．

1

cos 5

=

=，m n m n m n ·． ∴二面角1A BB C --的大小为1

πarccos 5

-．

解法2（综合法）：

（Ⅰ）证明：1D D ⊥∵平面1111A B C D ，1D D ⊥平面ABCD ．

1D D DA ⊥∴，1D D DC ⊥，平面1111A B C D ∥平面ABCD ．

于是11C D CD ∥，11D A DA ∥．

设E F ，分别为DA DC ，的中点，连结11EF A E C F ，，，

有11111

1A E D D C F D D DE DF ==，，，∥∥． 11A E C F ∴∥，

于是11A C EF ∥．

由1DE DF ==，得EF AC ∥， 故11AC AC ∥，11A C 与AC 共面． 过点1B 作1B O ⊥平面ABCD 于点O ，

则1111B O A E B O C F ， ∥∥，连结OE OF ，， 于是11OE B A ∥，11

OF B C ∥，OE OF =∴． 1111B A A D ⊥∵，OE AD ⊥∴．

1111B C C D ⊥∵，OF CD ⊥∴．

所以点O 在BD 上，故11D B 与DB 共面．

（Ⅱ）证明：1D D ⊥∵平面ABCD ，1D D AC ⊥∴， 又BD AC ⊥（正方形的对角线互相垂直），

1D D 与BD 是平面11B BDD 内的两条相交直线，

AC ⊥∴平面11B BDD ．

又平面11A ACC 过AC ，∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ．

（Ⅲ）解：∵直线DB 是直线1B B 在平面ABCD 上的射影，AC DB ⊥， 根据三垂线定理，有1AC B B ⊥．

过点A 在平面11ABB A 内作1AM B B ⊥于M ，连结MC MO ，， 则1B B ⊥平面AMC ，

A

B

C

D

1A

1B

1C 1D M

O

E

F

于是11B B MC B B MO ⊥⊥，，

所以，AMC ∠是二面角1A B B C --的一个平面角．

根据勾股定理，有111A A C C B B ==． 1OM B B ⊥∵

，有11B O OB OM B B =

=·

，BM =

AM =

，CM =． 2221cos 25AM CM AC AMC AM CM +-∠==-·，1

πarccos 5

AMC ∠=-，

二面角1A BB C --的大小为1

πarccos

5

-． 变式（07江苏）如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体， 点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==． （1）求证：1E B F D ，，，四点共面；（4分）

（2）若点G 在BC 上，2

3

BG =，点M 在1BB 上，

GM BF ⊥，垂足为H ，求证：EM ⊥平面11BCC B ；

（4分） （3）用θ表示截面1EBFD 和侧面11BCC B 所成的锐二面角的大小，求tan θ．

证明：（1）建立如图所示的坐标系，则(301)BE =u u u r ，，，(032)BF =u u u r ，，，1(333)BD =u u u u r

，，，

所以1BD BE BF =+u u u u r u u u r u u u r ，故1BD u u u u r ，BE u u u r ，BF u u u r 共面． 又它们有公共点B ，所以1E B F D ，，，四点共面．

（2）如图，设(00)M z ，

，，则203GM z ??

=- ???

u u u u r ，，， 而(032)BF =u u u r ，

，，由题设得2

3203

GM BF z =-+=u u u u r u u u r g g g ， 得1z =．

因为(001)M ，，，(301)E ，，，有(300)ME =u u u r ，，，又1(003)BB =u u u r ，，，(030)BC =u u u r ，

，，所以10ME BB =u u u r u u u r

g ，0ME BC =u u u r u u u r

g ，从而1ME BB ⊥，ME BC ⊥．

故ME ⊥平面11BCC B ．

C

A

G H

M

D

E F

1B

1A

1D

1C

1

A

1

A

（3）设向量(3)BP x y =u u u r ，，

⊥截面1EBFD ，于是BP BE u u u r u u u r ⊥，BP BF u u u r u u u r

⊥． 而(301)BE =u u u r ，

，，(032)BF =u u u r ，，，得330BP BE x =+=u u u r u u u r g ，360BP BF y =+=u u u r u u u r

g ，解得1x =-，2y =-，所以(123)BP =--u u u r

，

，． 又(300)BA =u u u r ，，⊥平面11BCC B ，所以BP u u u r 和BA u u u r 的夹角等于θ或πθ-（θ为锐角）．

于是cos BP BA BP BA

θ==

u u u r u u u r g u u u r u u u r g ． 故tan θ=

【范例3】如图，在长方体AC 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动.

（1）证明：D 1E⊥A 1D ； （2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离；

（3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4

π. 解析：法1

（1）∵AE⊥面AA 1DD 1，A 1D⊥AD 1，∴A 1D⊥D 1E

（2）设点E 到面ACD 1的距离为h ，在△ACD 1中，AC=CD 1=5，AD 1=2，

故.2121,232152211=??==-??=

??BC AE S S ACE C AD 而 11

111131,1,.33223

D AEC

AEC AD C V S DD S h h h -??∴=?=?∴?=?∴= （3）过D 作DH⊥CE 于H ，连D 1H 、DE ，则D 1H⊥CE，

∴∠DHD 1为二面角D 1—EC —D 的平面角.

设AE=x ，则BE=2－x

11,, 1.

4

,,,

Rt D DH DHD DH Rt ADE DE Rt DHE EH x π

?∠=

∴=?=∴?=Q Q 在中在中在中

.

4

,32.

32543.

54,3122π

的大小为二面角时中在中在D EC D AE x x x x x x CE CBE Rt CH DHC Rt ---=∴-=?+-=

+∴+-=?=?

法2：以D 为坐标原点，直线DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，设AE=x ，则A 1(1，0，1)，D 1(0，0，1)，E(1，x ，0)，A(1，0，0), C(0，2，0).

（1）,0)1,,1(),1,0,1(,1111D DA x D DA ⊥=-=所以因为（2）因为E 为AB 的中点，则E （1，1，0）， 从而)0,2,1(),1,1,1(1-=-=D ，)1,0,1(1-=AD ，

设平面ACD 1的法向量为),,(c b a n =，

则?????=?=?,

0,

01AD AC n 也即???=+-=+-002c a b a ，得???==c a b a 2，

从而)2,1,2(=n ，所以点E 到平面AD 1C 的距离为.3

1

32121=-+=

?=h （3）设平面D 1EC 的法向量),,(c b a =， ∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD C D x CE

由???=-+=-??????=?=?.0)2(0

2,

0,01x b a c b C D n 令b =1, ∴c=2, a =2－x ， ∴).2,1,2(x -=依题意.22

5

)2(222||||4cos 211=+-?=?=

x DD n π ∴321+=x （不合，舍去），322-=x . ∴AE=32-时，二面角D 1—EC —D 的大小为

4

π

. 变式：如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.

（Ⅰ）求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）证明PA⊥BD. 解析：（Ⅰ）如图，取AD 的中点E ， 连结PE ，则PE⊥AD.

作PO⊥平面在ABCD ，垂足为O ，连结OE. 根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，

所以∠PEO 为侧面PAD 与底面所成的二面角 的平面角，由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，所以PO=33，

四棱锥P —ABCD 的体积V P —ABCD =.96333483

1=???

（Ⅱ）法1 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P(0，0，33)， A(23，－3，0)，B(23，5，0)，D(－23，－3，0)

所以).0,8,34(),33,3,32(--=--= 因为,002424=++-=? 所以PA⊥BD. 法2：连结AO ，延长AO 交BD 于点F.通过计算 可得EO=3，AE=23，又知AD=43，AB=8， 得

.AB

AD

AE EO =所以Rt△AEO∽Rt△BAD.得∠EAO=∠ABD. 所以∠EAO+∠ADF=90° 所以 AF⊥BD.

因为 直线AF 为直线PA 在平面ABCD 内的身影，所以PA⊥BD.

【点晴】本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力，解题的关键是二面角的使用。使用空间向量能降低对空间想象能力的要求，但坐标系的位置不规则，注意点坐标的表示。