人教课标版高中数学选修4-4：《平面直角坐标系》教案-新版
1.1平面直角坐标系 一、教学目标 （一）核心素养 通过这节课学习，能根据问题的几何特征选择建立适当的平面直角坐标系，在数学建模过程中体会坐标法的思想． （二）学习目标 1．根据问题的几何特征建立适当的平面直角坐标系． 2．通过实例概括坐标伸缩变换公式． 3．了解利用坐标伸缩变换公式研究平面图形伸缩变化情况,体会坐标法思想． （三）学习重点 1．根据几何特征选择坐标系． 2．坐标法思想． 3．平面直角坐标系中的伸缩变换． （四）学习难点 1．适当直角坐标系的选择． 2．对伸缩变换中点的对应关系的理解． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 （1）读一读：阅读教材第2页至第7页，填空： 设点),(yxP是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ: 的作用下,点),(yxP对应到点),(yxP,称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2．预习自测 （1）如何由正弦曲线y＝sin x经伸缩变换得到y＝12sin12x的图象( ) A．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标也压缩为原来的12 B．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍 C．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍 D．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的12 【知识点】伸缩变换 【解题过程】将正弦曲线y＝sin x的横坐标伸长为原来的2倍得到xy21sin，再由xy21sin
的图像的横坐标不变，纵坐标压缩为原来的21即可得y＝12sin12x的图像． 【思路点拨】可根据三角函数的知识求解 【答案】D （2）在平面直角坐标系中，BA,两点分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|＝4，则AB中点P的
轨迹方程为________． 【知识点】点轨迹方程 【数学思想】函数与方程的思想 【解题过程】 设),0(,),0,(nBmA，则16222nmAB，再设线段AB中点P的坐标为),(yx，则2,2nymx，ynxm2,2，所以164422yx，即AB得中点的轨迹方程为422yx． 【思路点拨】由两点间距离公式表示出AB，再利用中点坐标公式建立线段AB的中点与其两端点的坐标关系，最后代入整理即可． 【答案】422yx．
（3）在平面直角坐标系中，方程142yx对应的图形经过伸缩变换yyxx42后得到的图形对应的方程是（ ） A．0142yx B．01yx C．014yx D．0116yx 【知识点】伸缩变换
【解题过程】将yyxx42经过变形得yyxx4121代入到方程142yx，整理得01yx
【思路点拨】通过对伸缩变换公式的变形为yyxx11，在代入原图形对应的方程，从而得到变形后的图形对应的方程． 【答案】B （4）将圆122yx上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C对应的
方程为________． 【知识点】伸缩变换 【数学思想】 【解题思路】设),(11yx为圆上任意一点，在已知变换下变为曲线C上对应的点为),(yx，依题
意，得112yyxx，而12121yx，得1)2(22yx，所以曲线C的方程为1422yx． 【思路点拨】将问题转化为伸缩变换问题，再由伸缩变换公式求解 【答案】1422yx (二)课堂设计 1．知识回顾 （1）平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标（有序实数对）、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合． （2）坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究他的性质及其他几何图形的关系． 2．问题探究 探究一 结合实例，感受坐标法思想★ 例1 某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.（假定声音传播的速度为340m/s，各观测点均在同一平面上.） ●活动① 实际问题抽象转化为数学问题 我们将正东、正西、正北的三个观测点分别记为CBA,,，爆炸点记为P.由于CB,同时听到由点P发出的响声，因此PCPB，所以点P在线段BC的垂直平分线l上，由于点A听到的响声比CB,晚s4，所以ABPBPA13603404，说明点P在以点BA,为焦点的双曲线上,所以点P在直线l与双曲线的交点. 【知识点】平面直角坐标系，双曲线定义 【数学思想】数形结合，转化与化归 【解题过程】 解:以信息中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系. 设CBA,,分别是东、西、北观测点,则)1020,0(),0,1020(),0,1020(CBA 于是直线l的方程为 xy
设双曲线的方程是)0,0(12222babyax 由已知得222234056801020,1020,680bca , 于是双曲线的方程是134056802222yx 将xy代入上述方程,解得5680,5680yx,由已知,响声在双曲线的左半支上,所以)5680,5680(P,10680OP 所以巨响发生在接报中心的西偏北45距中心m10680处. 【思路点拨】建立坐标系，把实际问题转化为数学问题. 【答案】巨响发生在接报中心的西偏北45距中心m10680处. 同类训练 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4 km.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号．由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？ 【知识点】平面直角坐标系的应用 【数学思想】坐标法思想 【解题过程】设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示， 以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,23)． ∵|PB|＝|PC|， ∴点P在线段BC的垂直平分线上． kBC＝－3，线段BC的中点D(－4，3)，
∴直线PD的方程为y－3＝13(x＋4)．① 又|PB|－|PA|＝4， ∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，
双曲线方程为x24－y25＝1(x≥2)． ② 联立①②，解得P点坐标为(8,53)， ∴kPA＝538－3＝3. 因此甲舰行进的方位角为北偏东30°. 【思路点拨】本题的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A、B、C表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解． 【答案】甲舰行进的方位角为北偏东30°. 【设计意图】从生活实例到数学问题，体会坐标法的提炼、抽象过程． ●活动② 归纳梳理、理解提升 通过实例,合理建立坐标系是解决此类问题的关键，如果坐标系建立得合理，可以简化我们的计算，并且使问题的结论清晰明了、具体形象，那么利用坐标法解决问题的基本步骤是什么呢? 坐标法解决几何问题的“三部曲”： 第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论. ●活动③ 学以致用,理论实践 例2 已知△ABC的三边 cba,,满足 2225acb , BE,CF分别为边AC,AB上的中线, 建立适当的平面直角坐标系探究BE A B
C O y
x F
E与CF的位置关系. 【知识点】平面直角坐标系，轨迹方程 【数学思想】数形结合 【解题过程】 解: 如图, 以△ABC的顶点A为原点O, 边AB所在的直线为x轴, 建立直角坐标系. 由已知, 点A,B,F的坐标分别为 )0,2()0,(),0,0(cFcBA,设点C的坐标为),(yx,点E的坐标为)2,2(yx.由2225acb可得
2225BCABAC
即 22222)(5ycxcyx,整理得05222222cxcyx 因为 ),2(),2,2(yxcCFycxBE 所以0)5222(41222cxcyxCFBE 由此,BE与CF相互垂直. 【思路点拨】建立坐标系，把实际问题转化为数学问题. 【答案】BE与CF相互垂直. 同类训练 已知正三角形ABC的边长为a,在平面上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求出此最小值. 【知识点】平面直角坐标系 【数学思想】数形结合思想
【解题过程】 如右图,以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则A(0,23 a),B(-2a,0),C(2a,0).
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)
x2 y2 ，即将椭圆 ＋ ＝1 上所有点横坐标变为原来 4 9
x′2 y′2 的 2 倍，纵坐标不变，可得椭圆 ＋ ＝1. 16 9
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6．求 4x －9y ＝1 方程．
2
2
x′＝2x 经过伸缩变换 y′＝3y
后的图形所对应的
1 x′＝2x， x＝2x′， 解：由伸缩变换 得： y′＝3y y＝1y′， 3 将其代入 4x2－9y2＝1， 1 1 2 得 4· x′) －9· y′)2＝1. ( ( 2 3 整理得：x′2－y′2＝1. ∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为 x′2－y′2＝1.
x′＝3x ∴ y′＝2y
，即将圆 x2＋y2＝1 上所有点横坐标变为原
x′2 y′2 来的 3 倍，纵坐标变为原来的 2 倍，可得椭圆 ＋ ＝1. 9 4
返回
坐标伸缩变换
x′＝λx φ： y′＝μy
λ＞0 注意变换中的系 μ＞0
数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变， 即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标 伸缩变换 φ 可以求变换前和变换后的曲线方程． 已知前换 前后曲线方程也可求伸缩变换 φ.
返回
[例 3]
求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线
x′2 y′2 x2＋y2＝1 变成曲线 ＋ ＝1. 9 4 [思路点拨] 得出伸缩变换． 设出变换公式，代入方程，比较系数，
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[解]
x′＝λx，λ>0 设变换为 y′＝μy，μ>0
，
x′2 y′2 代入方程 ＋ ＝1， 9 4 λ2x2 μ2y2 得 ＋ ＝1.与 x2＋y2＝1 比较，将其变形为 9 4 λ2 2 μ2 2 x ＋ y ＝1，比较系数得 λ＝3，μ＝2. 9 4
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)
，即将圆 x2＋y2＝1 上所有点横坐标变为原
x′2 y′2 来的 3 倍，纵坐标变为原来的 2 倍，可得椭圆 ＋ ＝1. 9 4
返回
坐标伸缩变换
x′＝λx φ： y′＝μy
λ＞0 注意变换中的系 μ＞0
数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变， 即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标 伸缩变换 φ 可以求变换前和变换后的曲线方程． 已知前换 前后曲线方程也可求伸缩变换 φ.
则直线AC的方程为 返回
h y＝－ a x＋h， 即：hx＋ay－ah＝0. h 直线 AB 的方程为 y＝a x＋h， 即：hx－ay＋ah＝0. |2ah| 由点到直线的距离公式：得|BD|＝ 2 2， a ＋h |2ah| |CE|＝ 2 2. a ＋h ∴|BD|＝|CE|，即 BD＝CE.
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4．已知△ABC中，BD＝CD，
求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋BD2)．
证明：以 A 为坐标原点 O，AB 所在直线为 x 轴，建立 平面直角坐系 xOy，则 A(0,0)． 设 B(a,0)，C(b，c)， a＋b c 则 D( ， )， 2 2 所以 AD2＋BD2 a＋b2 c2 a－b2 c2 ＝ ＋ ＋ ＋ 4 4 4 4 1 2 ＝ (a ＋b2＋c2)， 2 AB2＋AC2＝a2＋b2＋c2＝2(AD2＋BD2).
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因为 m∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以 当 0<m<1 时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－ 1－m2，0)，( 1－m2，0)； 当 m>1 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－ m2－1)，(0， m2－1)．
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 1.1.1 直角坐标系》
课题：直角坐标系课型：新授课教者：孙明远课题二教学目标1知识目标：了解直线上点的坐标的意义，理解平面直角坐标系的建立，理解空间直角坐标系的建立；2能力目标：能用类比的方法由平面直角坐标系来学习空间直角坐标系及其有关性质和公式；3情感目标：掌握利用直角坐标系研究数学问题的基础方法。
教学重点：想到建立直角坐标系，并应用直角坐标系研究数学问题。
教学难点：与其他章节的综合应用。
教学行为流程：（不同时间段和学习内容怎样教、学的方式）时间环节教学内容师生互动设计意图2分钟引入65数轴上的基本公式；106空间直角坐标系；1直角坐标系教师通过预习案，对高中教材中涉及直角坐标系的部分，让学生课前进行学习，教师通过作业批改，以学定教。
由于在必修二中，学生有一定的学习基础，所以教师将本课部分新授内容交给学生自学。
教师以数学家故事引入，激发学生学习兴趣，初步渗透本课的数学方法。
8分钟探究一：直线上的点的坐标1解不等式：73x-<2解不等式：21x->学生先自主探究，教师巡视，收集问题，适度个别学生指小结规律绝对值的几何意义：a和a b-表示学习直线上的导。
点的坐标的常见用法。
10分钟探究二：平面直角坐标系－2，0，B1，0，如果动点ABC∆090C∠=3CA CB==M2BM AM=CM CA⋅=,河宽BC=3M,另一侧有点A,AB=4m,则点A与塔顶D的距离AD等于________．老师组织小组讨论，展示，老师提问点评并强调组内互对答案，小组讨论解决困惑并展示，强化记忆新方法。
组长负责组织协调合作，提醒记录等；纪律组长负责调控声音、纪律、时间讨论结束立即坐下，整理学案，进行理解记小结规律：用坐标法研究空间数量忆，准备展示、点评5分钟课堂小结10分钟巩固练习长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．建立如图所示的空间直角坐标系1写出点D、N、M的坐标；2求线段MD、MN的长度．教师组织本课小结：即知识小结，小组评价重点突破一、预判的学生问题：1.学生没有建立直角坐标系的意识和方法。
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)
，即将圆 x2＋y2＝1 上所有点横坐标变为原
x′2 y′2 来的 3 倍，纵坐标变为原来的 2 倍，可得椭圆 ＋ ＝1. 9 4
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坐标伸缩变换
x′＝λx φ： y′＝μy
λ＞0 注意变换中的系 μ＞0
数均为正数．在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变， 即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换．利用坐标 伸缩变换 φ 可以求变换前和变换后的曲线方程． 已知前换 前后曲线方程也可求伸缩变换 φ.
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因为 m∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以 当 0<m<1 时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－ 1－m2，0)，( 1－m2，0)； 当 m>1 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－ m2－1)，(0， m2－1)．
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求轨迹的常用方法 (1)直接法′＝y
x2 y2 ，即将椭圆 ＋ ＝1 上所有点横坐标变为原来 4 9
x′2 y′2 的 2 倍，纵坐标不变，可得椭圆 ＋ ＝1. 16 9
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6．求 4x －9y ＝1 方程．
2
2
x′＝2x 经过伸缩变换 y′＝3y
后的图形所对应的
1 x′＝2x， x＝2x′， 解：由伸缩变换 得： y′＝3y y＝1y′， 3 将其代入 4x2－9y2＝1， 1 1 2 得 4· x′) －9· y′)2＝1. ( ( 2 3 整理得：x′2－y′2＝1. ∴经过伸缩变换后图形所对应的方程为 x′2－y′2＝1.
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x2 y2 5．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线 ＋ ＝1 变成 4 9 x′2 y′2 曲线 ＋ ＝1. 16 9 x′＝λx，λ>0， x′2 y′2 解：设变换为 代入方程 ＋ ＝1， 16 9 y′＝μy，μ>0，
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)
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1．平面直角坐标系
(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与 坐标 、
曲线与 方程 建立联系，从而实现 数与形 的结合． (2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适 当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的 几何 元素，将 几何问题转化为 代数 问题；第二步：通过代数运算解决
代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成 几何 结论．
曲线方程即为所求． (4)参数法：动点P(x，y)的横纵坐标用一个或几个参 数来表示，消去参数即得其轨迹方程．
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1．二次方程 x2－ax＋b＝0 的两根为 sin θ，cos θ，求点 P π (a，b)的轨迹方程(其中|θ|≤ )． 4
a＝sin 解：由已知可得 b＝sin
θ＋cos θ θcos θ
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x2 y2 5．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线 ＋ ＝1 变成 4 9 x′2 y′2 曲线 ＋ ＝1. 16 9 x′＝λx，λ>0， x′2 y′2 解：设变换为 代入方程 ＋ ＝1， 16 9 y′＝μy，μ>0，
λ2x2 μ2y2 x2 y2 得 ＋ ＝1，与 ＋ ＝1 比较系数， 16 9 4 9 λ2 1 μ2 1 得 ＝ ， ＝ ，得 λ＝2，μ＝1. 16 4 9 9
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2．平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的 伸缩变换就可归纳为 坐标 伸缩变换，这就是用 代数方法 研 究 几何 变换．
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点 P(x，y)是 平面直角坐标系中任意一点， 在变换
x′＝λxλ＞0 φ： y′＝μyμ＞0
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[例2]
已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)
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x2 y2 5．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线 ＋ ＝1 变成 4 9 x′2 y′2 曲线 ＋ ＝1. 16 9 x′＝λx，λ>0， x′2 y′2 解：设变换为 代入方程 ＋ ＝1， 16 9 y′＝μy，μ>0，
λ2x2 μ2y2 x2 y2 得 ＋ ＝1，与 ＋ ＝1 比较系数， 16 9 4 9 λ2 1 μ2 1 得 ＝ ， ＝ ，得 λ＝2，μ＝1. 16 4 9 9
的轨迹方程．
解：取 B、C 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系，则 D(0,0)，B(－2,0)，C(2,0)． 设 A(x，y)为所求轨迹上任意一点， 则|AD|＝ x2＋y2， 又|AD|＝3， ∴ x2＋y2＝3，即 x2＋y2＝9(y≠0)． ∴A 点的轨迹方程为 x2＋y2＝9(y≠0)
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2．平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的 伸缩变换就可归纳为 坐标 伸缩变换，这就是用 代数方法 研 究 几何 变换．
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点 P(x，y)是 平面直角坐标系中任意一点， 在变换
x′＝λxλ＞0 φ： y′＝μyμ＞0
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4．已知△ABC中，BD＝CD，
求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋BD2)．
证明：以 A 为坐标原点 O，AB 所在直线为 x 轴，建立 平面直角坐系 xOy，则 A(0,0)． 设 B(a,0)，C(b，c)， a＋b c 则 D( ， )， 2 2 所以 AD2＋BD2 a＋b2 c2 a－b2 c2 ＝ ＋ ＋ ＋ 4 4 4 4 1 2 ＝ (a ＋b2＋c2)， 2 AB2＋AC2＝a2＋b2＋c2＝2(AD2＋BD2).
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)
的
作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面 直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
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[例1]
(2012· 湖北高考改编)设A是单位圆x2＋y2＝1上
的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴 的交点，点M在直线l上，且满足|DM|＝m|DA|(m>0，且 m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C. 求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其
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2．平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的 伸缩变换就可归纳为 坐标 伸缩变换，这就是用 代数方法 研 究 几何 变换．
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点 P(x，y)是 平面直角坐标系中任意一点， 在变换
x′＝λxλ＞0 φ： y′＝μyμ＞0
则直线AC的方程为 返回
h y＝－ a x＋h， 即：hx＋ay－ah＝0. h 直线 AB 的方程为 y＝a x＋h， 即：hx－ay＋ah＝0. |2ah| 由点到直线的距离公式：得|BD|＝ 2 2， a ＋h |2ah| |CE|＝ 2 2. a ＋h ∴|BD|＝|CE|，即 BD＝CE.
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建立平面直角坐标系的原则
根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一 些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点， ②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴，③使 图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．
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3．求证等腰梯形对角线相等． 已知：等腰梯形ABCD.求证：AC＝BD.
证明：取 B、C 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴， 建立如图所示的直角坐标系． 设 A(－a，h)，B(－b,0)， 则 D(a，h)，C(b,0)． ∴|AC|＝ b＋a2＋h2， |BD|＝ a＋b2＋h2. ∴|AC|＝|BD|， 即等腰梯形 ABCD 中，AC＝BD.
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)
的轨迹方程．
解：取 B、C 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系，则 D(0,0)，B(－2,0)，C(2,0)． 设 A(x，y)为所求轨迹上任意一点， 则|AD|＝ x2＋y2， 又|AD|＝3， ∴ x2＋y2＝3，即 x2＋y2＝9(y≠0)． ∴A 点的轨迹方程为 x2＋y2＝9(y≠0)
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因为 m∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以 当 0<m<1 时，曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－ 1－m2，0)，( 1－m2，0)； 当 m>1 时，曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－ m2－1)，(0， m2－1)．
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求轨迹的常用方法 (1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者
可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的五个步骤直
接求解． (2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义， 则可依定义写出轨迹方程．
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(3)代入法：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1， y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，
y1，x1的方程组，利用x、y表示x1、y1，把x1、y1代入已知
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2．平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的 伸缩变换就可归纳为 坐标 伸缩变换，这就是用 代数方法 研 究 几何 变换．
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点 P(x，y)是 平面直角坐标系中任意一点， 在变换
x′＝λxλ＞0 φ： y′＝μyμ＞0
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[例2]
已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别为两腰
上的高．求证：BD＝CE.
高中数学 第一讲 坐标系 一 平面直角坐标系互动课堂学
一平面直角坐标系互动课堂重难突破本课时的重点是坐标法思想与坐标伸缩变换,难点是怎样建立适当的坐标系及注意问题,对坐标伸缩变换的理解与应用.一、坐标法思想1.坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法.它是解析几何中最基本的研究方法.例如在平面直角坐标系中，根据确定直线位置的几何要素，我们可以探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系.在空间坐标系中，通过高次方程的计算，使人们对一些星体的轨迹运动和变化规律有所了解和掌握.2.坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系等.对于不同类型的几何图形，选用相应的坐标系可以使建立的方程更加简单.如要确定体育馆内一个位置，建立柱坐标系就比较适合，通过柱坐标我们可以比较精确地找到这个位置的所在地.3.“坐标法”应贯穿解析几何教学的始终，帮助同学们不断地体会“数形结合”的思想方法.在教学中应自始至终强化这一思想方法，这是解析几何的特点.在通过代数方法研究几何对象的位置以后，还可以画出其图形，验证代数结果；同时，通过观察几何图形得到数学结论，对结论进行代数证明，即用解析方法解决某些代数问题，不应割断它们之间的联系.4.平面直角坐标系是解析几何的基础,同学们应在已有知识的基础上做好自我完善,从解决问题中提高学习兴趣,激发学习的积极性和主动性,养成不断探求知识、完善自我的良好个性品质.进一步理解平面直角坐标系在对实际问题的解决中的重要作用,会用平面直角坐标系解决实际问题.二、用数学知识和方法解决实际问题1.教材中从实际问题引入数学方法，逐步把实际问题归结为数学模型，然后运用数学方法加以解决.如：利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，此时还不能确定爆炸点的准确位置.再增设一个观测点C，利用B、C两处测得的爆炸声的时间相同，可以求出一条直线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.2.存在的问题:把实际问题归结为数学模型是需要一定功底的，而我们普遍存在着一些问题：(1)不喜欢应用性问题中烦琐的文字叙述，不愿读下去，勉强读完也弄不清题意;(2)学过的概念、公式、方法到解题时用不上，找不到数学关系式，思路不清，容易混淆;(3)平时学习中对应用性问题接触太少，所以学习感到困难，不知如何下手，也不愿多做，导致心理上不愿学等等.我们应注意运用数学方法、思想、观点去观察和分析各种实际问题，从中抽象出数学知识和数学规律，建立数学模型，并运用数学知识进行正确的运算和推理.3.要善于在普通语言中寻找数量关系，找出哪些是已知量，哪些是未知量，哪些是直接未知量，哪些是间接未知量，用数学语言把这些数量关系表示出来.4.化实际问题为数学模型，一方面要深入分析实际问题中的空间形式和各种数量关系，另一方面在学习数学理论的过程中，要仔细体会和寻求这些理论对解决实际问题的指导作用，努力把它应用于现实世界，以解决人们迫切需要解决的实际问题.三、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换1.设点P(x ,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:⎩⎨⎧>='>='0,,0,μμλλy y x x 的作用下,点P (x ,y )对应到点P ＇(x ＇,y ＇),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.在坐标伸缩变换的作用下,可以实现平面图形的伸缩.因此,平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示.3.坐标伸缩变换与我们前面学的坐标变换之间的关系.两者都是将平面图形进行伸缩平移的变换.实质是一样的.比如正弦曲线经过这两种变换后，所得图形的形状是没有改变的.在一定的变换规律下椭圆能够变成椭圆，也能够变成圆.只是说法上和认识上的一点不同.我们结合函数y =A sin(ωx +φ)的图象的形成过程(与y =A cos(ωx +φ)相类似)，看看在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况吧.函数y =sin ωx ,x ∈R （其中ω>0,ω≠1）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到.平面直角坐标系伸缩变换认为是一个坐标伸缩过程：保持纵坐标不变，将x 轴进行压缩或伸长.函数y =A sin x ,x ∈R （其中A >0,ω≠1）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（当A ＞1时）或缩短（当0＜A ＜1时）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到.平面直角坐标系伸缩变换认为是一个坐标伸缩过程：保持横坐标不变，将y 轴进行压缩或伸长.由此看出，两者只是说法上的不同，本质上是一样的.另外，我们应该注意到：通过一个表达式，平面直角坐标系中坐标伸缩变换将x 与y 的伸缩变换统一成一个式子了,即⎩⎨⎧>='>='.0,,0,μμλλy y x x 我们在使用时，要注意点的对应性，即分清新旧.P ＇(x ＇,y ＇)是变换图形后的点的坐标，P (x ,y )是变换前图形的点的坐标.活学巧用【例1】 究竟以什么样的方法建立平面直角坐标系，才能够使方程最为简单呢？在建立坐标系的过程中我们应该注意什么呢？探究:一般情况下我们有这样一个建立坐标系的规律：（1）当题目中有两条互相垂直的直线,以这两直线为坐标轴;（2）当题目中有对称图形，以对称图形的对称轴为坐标轴;（3）当题目中有已知长度的线段,以线段所在直线为对称轴，以端点或中点为原点.直角坐标系建立完后，需仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住曲线上任意点有关的等量关系、所满足的几何条件，列出方程.在将几何条件转化为代数方程的过程中，要注意圆锥曲线定义和初中平面几何知识的应用，还会用到一些基本公式，如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等.另外，在化简过程中，我们要注意运算和变形的合理性与准确性，避免“失解”和“增解”.这一步内容中学阶段不作要求（从理论上讲则是必要的），多数情况下不会有什么问题，但若遇特殊情况则应该适当予以说明.【例2】 (2005江苏高考) 如图,圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|=4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM=2PN ,试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.解析:本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立适当坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：PM =2PN ，即(PM )2=2(PN )2，结合图形,由勾股定理转化为PO 12-1=2(PO 22-1)，设P (x ，y ),由距离公式写出代数关系式，化简整理可得.解:如图,以直线O 1O 2为x 轴，线段O 1O 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O 1(-2,0),O 2(2,0).设P (x ,y )，则PM 2=PO 12-MO 12=(x +2)2+y 2-1.同理,PN 2=(x -2)2+y 2-1.∵PM =2PN ，即(x +2)2+y 2-1=2［(x -2)2+y 2-1］，即x 2-12x +y 2+3=0，即(x -6)2+y 2=33. 这就是动点P 的轨迹方程.点评:这道高考题是考查解析几何中求点的轨迹方程的方法应用，考查建立坐标系、数形结合思想、勾股定理、两点间距离公式等相关知识点，及分析推理、计算化简技能、技巧等，是一道很综合的题目.【例3】 (1)在同一平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧='='yy x x 4,21后的图形.①y 2=2x ;②y =3sin2x .(2)将曲线C 按伸缩变换公式⎩⎨⎧='='yy x x 3,2变换后的曲线方程为x ＇2+y ＇2=1,则曲线C 的方程为( )A.19422=+y xB.14922=+y xC.4x 2+9y 2=36D.4x 2+9y 2=1 解:(1)由伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧'='=⎪⎩⎪⎨⎧='='.41,2,4,21y y x x y y x x 得 (*) ①将(*)代入y 2=2x ,得(41y ＇)2=2·(2x ＇). ∴y ＇2=64x ＇.∴经过伸缩变换后抛物线y 2=2x 变成了抛物线y ＇2=64x ＇.②将(*)代入y =3sin2x ,得41y ＇=3sin2·(2x ＇), ∴y ＇=12sin4x ＇.∴经过伸缩变换后,曲线y =3sin2x 变成了曲线y ＇=12sin4x ＇.(2)将⎩⎨⎧='='yy x x 3,2代入方程x ＇2+y ＇2=1,得4x 2+9y 2=1.故选D.【例4】 在同一平面直角坐标系中，将直线x -2y =2变成直线2x ＇-y ＇=4，求满足图象变换的伸缩变换.解:设变换为⎩⎨⎧>='>='.0,,0,μμλλy y x x 代入方程2x ＇-y ＇=4,得2λx -μy =4,与x -2y =2比较系数得λ=1,μ=4.∴⎩⎨⎧='=',4,y y x x 即直线x -2y =2上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的4倍可得到直线2x ＇-y ＇=4.点评:(1)求满足图象变换的伸缩变换，实际上是让我们求出其变换公式，我们将新旧坐标分清，代入对应的直线方程，然后比较系数就可得了.(2)原曲线的方程f(x ,y )=0,新曲线的方程g(x ＇,y ＇)=0,以及坐标伸缩变换公式⎩⎨⎧>='>='0,,0,μμλλy y x x 中,“知二可求一”. 【例5】 已知f 1(x )=cos x ,f 2(x )=cos ωx (ω>0),f 2(x )的图象可以看作是把f 1(x )的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的31倍（纵坐标不变）而得到的，则ω为( ) A.21 B.2C.3D.31 解析一:f 1(x )=cos x →f 2(x )=cos3x .解析二:⎩⎨⎧'='=∴⎪⎩⎪⎨⎧='='.,3,,31y y x x y y x x Θ 将其代入y =cos x ,得到y ＇=cos3x ＇,即f 2(x )=cos3x .答案:C点评:本题直接考查变换规律：函数y =cos ωx ,x ∈R （其中ω>0,ω≠1）的图象，可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的ω1倍（纵坐标不变）而得到.应用时谨防出错.。
1.1 平面直角坐标系 课件(人教A选修4-4)
的
作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称 φ 为平面 直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
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[例1]
(2012· 湖北高考改编)设A是单位圆x2＋y2＝1上
的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴 的交点，点M在直线l上，且满足|DM|＝m|DA|(m>0，且 m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C. 求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其
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2．平面直角坐标系中的伸缩变换 (1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的 伸缩变换就可归纳为 坐标 伸缩变换，这就是用 代数方法 研 究 几何 变换．
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点 P(x，y)是 平面直角坐标系中任意一点， 在变换
x′＝λxλ＞0 φ： y′＝μyμ＞0
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① ②
①2－2②；得 a2＝2b＋1. π π ∵|θ|≤ ，由 sin θ＋cos θ＝ 2sin(θ＋ )， 4 4 知 0≤a≤ 2. 1 1 由 sin θ· θ＝ sin 2θ，知|b|≤ . cos 2 2 ∴P(a，b)的轨迹方程是 a2＝2b＋1(0≤a≤ 2)．
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2．△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，求A点
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x2 y2 5．求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线 ＋ ＝1 变成 4 9 x′2 y′2 曲线 ＋ ＝1. 16 9 x′＝λx，λ>0， x′2 y′2 解：设变换为 代入方程 ＋ ＝1， 16 9 y′＝μy，μ>0，
λ2x2 μ2y2 x2 y2 得 ＋ ＝1，与 ＋ ＝1 比较系数， 16 9 4 9 λ2 1 μ2 1 得 ＝ ， ＝ ，得 λ＝2，μ＝1. 16 4 9 9