人教课标版高中数学选修4-4：《平面直角坐标系》教案-新版

1.1平面直角坐标系

一、教学目标 （一）核心素养

通过这节课学习，能根据问题的几何特征选择建立适当的平面直角坐标系，在数学建模过程中体会坐标法的思想． （二）学习目标

1．根据问题的几何特征建立适当的平面直角坐标系． 2．通过实例概括坐标伸缩变换公式．

3．了解利用坐标伸缩变换公式研究平面图形伸缩变化情况,体会坐标法思想． （三）学习重点

1．根据几何特征选择坐标系． 2．坐标法思想．

3．平面直角坐标系中的伸缩变换． （四）学习难点

1．适当直角坐标系的选择．

2．对伸缩变换中点的对应关系的理解． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务

（1）读一读：阅读教材第2页至第7页，填空：

设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ: 的作用下,点

),(y x P 对应到点),(y x P ''',称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

2．预习自测

（1）如何由正弦曲线y ＝sin x 经伸缩变换得到y ＝12sin 1

2x 的图象( ) A ．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标也压缩为原来的1

2 B ．将横坐标压缩为原来的1

2，纵坐标伸长为原来的2倍 C ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍

D ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的1

2 【知识点】伸缩变换

【解题过程】将正弦曲线y ＝sin x 的横坐标伸长为原来的2倍得到x y 21sin =，再由x y 2

1

sin =的图像的横坐标不变，纵坐标压缩为原来的2

1

即可得y ＝12sin 12x 的图像． 【思路点拨】可根据三角函数的知识求解 【答案】D

（2）在平面直角坐标系中，B A ,两点分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB|＝4，则AB 中点P 的轨迹方程为________． 【知识点】点轨迹方程

【数学思想】函数与方程的思想

【解题过程】

422=+y ．

端点的坐标关系，最后代入整理即可． 【答案】422=+y x ．

（3）在平面直角坐标系中，方程142=+y x 对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧='='y y x

x 42后得到的图形对

应的方程是（ ） A ．0142=-'+'y x B ．01=-'+'y x C ．014=-'+'y x

D ．0116=-'+'y x

【知识点】伸缩变换

【解题过程】将⎩⎨⎧='='y y x x 42经过变形得⎪⎩

⎪⎨⎧

'

='=y y x x 4121代入到方程142=+y x ，整理得01=-'+'y x 【思路点拨】通过对伸缩变换公式的变形为⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

'=''=y y x x μλ11，在代入原图形对应的方程，从而得到

变形后的图形对应的方程． 【答案】B

（4）将圆122=+y x 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C 对应的方程为________． 【知识点】伸缩变换 【数学思想】

【解题思路】设),(11y x 为圆上任意一点，在已知变换下变为曲线C 上对应的点为),(y x ，依题

意，得⎩⎨⎧==112y y x x ，而12121=+y x ，得1)2(22

=+y x ，所以曲线C 的方程为1422=+y x ．

【思路点拨】将问题转化为伸缩变换问题，再由伸缩变换公式求解

【答案】14

2

2

=+y x

(二)课堂设计 1．知识回顾

（1）平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标（有序实数对）、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．

（2）坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究他的性质及其他几何图形的关系． 2．问题探究

探究一 结合实例，感受坐标法思想★

例 1 某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.（假定声音传播的速度为340m/s ，各观测点均在同一平面上.）

●活动① 实际问题抽象转化为数学问题

我们将正东、正西、正北的三个观测点分别记为C B A ,,，爆炸点记为P .由于C B ,同时听到由点P 发出的响声，因此PC PB =，所以点P 在线段BC 的垂直平分线l 上，由于点A 听到的响声比C B ,晚s 4，所以AB PB PA <=⨯=-13603404，说明点P 在以点B A ,为焦点的双曲线Γ

上,所以点P 在直线l 与双曲线Γ的交点. 【知识点】平面直角坐标系，双曲线定义 【数学思想】数形结合，转化与化归 【解题过程】

解:以信息中心为原点O ,正东、正北方向为x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系. 设C B A ,,分别是东、西、北观测点,则)1020,0(),0,1020(),0,1020(C B A -

于是直线l 的方程为 x y -=

设双曲线Γ的方程是)0,0(122

22>>=-b a b

y a x

由已知得222234056801020,1020,680⨯=-===b c a ,

于是双曲线Γ的方程是1340

56802

2

22=⨯-y x 将x y -=代入上述方程,解得5680,5680 =±=y x ,由已知,响声在双曲线Γ的左半支上,所以

)5680,5680(-P ,10680=OP

所以巨响发生在接报中心的西偏北 45距中心m 10680处. 【思路点拨】建立坐标系，把实际问题转化为数学问题. 【答案】巨响发生在接报中心的西偏北 45距中心m 10680处.

同类训练 由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东6 km 处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4 km.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号．由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s 后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若

甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？ 【知识点】平面直角坐标系的应用 【数学思想】坐标法思想

【解题过程】设A ，B ，C ，P 分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，

以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐