2019-2020学年人教A版高中数学选修2-3课件：第1章 计数原理1.1(1)
• 【变式3】 从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作为对数的 底数和真数，则所有不同对数值的个数为_____.
• 解析 当所取两个数中含有1时，1只能作真数，对数值为0； 当所取两个数不含有1时，可先选底数，再选真数，得到 5×4＝20个对数，但log23＝log49，log32＝log94，log24＝ log39，log42＝log93，综上可知，共有20＋1－4＝17个不同 的对数值．
• 答案 17
课末随堂演练
• 1．(分类加法计数原理)某班有28名男生，22名女生，从中选 一位同学为数学课代表，则不同的选法有( )
• A．50 B．26 • C．24 D．616
• 答案 A
• 解析 被选出来的数学课代表可能是男生也可能是女生，若 是男生，可以有28种不同的选择方法；若是女生，可以有22 种不同的选择方法．由分类加法计数原理得，一共有28＋22 ＝50种不同的选择方法．
• 解析 在由电键组A与B组成的串联电路中，只有先合上A组 中的一个，再合上B组中的一个，才能接通电源，使灯泡发 亮．故要完成这件事，需要分两步，只有两个步骤都完成才 能使灯泡发光．所以接通电源使灯泡发光的方法有2×3＝6 种．
• 答案 6
课后限时作业
• 2．(分步乘法计数原理)已知集合A＝{1,2}，B＝{3,4,5}，分别 从这两个集合中先后取一个元素构成平面直角坐标系中的点 的横、纵坐标，则可确定的不同点的个数为( )
• A．5 B．6
• C．10 D．12
• 答案 B
• 解析 完成这件事可分两步：第一步，从集合A中任选一个 元素，有2种不同的方法；第二步，从集合B中任选一个元素， 有3种不同的方法．由分步乘法计数原理得，一共有2×3＝6 种不同的方法．
• ①明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事 可以有哪些办法，怎样才算完成这件事；
• ②分类计数原理中的“分类”要全面、不能遗漏，但也不能 重复、交叉；
• ③若完成某件事情有n类办法，则类与类的交集为空集，n类 的并集为全集．
• 【例题1】 (1)如图，在由电键组A与B所组成的并联电路中要 接通电源且仅闭合其中一个电键，使电灯发光的方法有 ________种．
• 解析 按出场位置顺序逐一安排．第一位置队员的安排有3 种方法；第二位置队员的安排有7种方法；第三位置队员的 安排有 2种方法；第四位置队员的安排有6种方法；第五位置 队员的安排只有1种方法．由分步乘法计数原理知，不同的 出场安排方法共有3×7×2×6×1＝252种．
考点三 两个原理的区分与应用
• (2)在所有的两位数中，十位数字大于个位数字的两位数共有 ________个．
• 思维导引：(1)将分类加法计数原理与物理电学中的并联电路 知识相结合即可解题．
• (2)可以按个位分类，还可以按十位分类，然后用分类加法计 数原理求解．
• 解析 (1)因为只要闭合上图中的任一电键，电灯即发光．由 于在电键组A中有2个电键，电键组B中有3个电键，且分别并 联，应用分类加法计数原理，所以共有2＋3＝5种接通电源 使电灯发光的方法．
• (1)能用分步乘法计数原理解决的计数问题的特点 • ①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可； • ②完成每一步有若干种方法； • ③把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有
方法数．
• (2)利用分步乘法计数原理解题时应注意的问题
• ①要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；
高考要求 b
d
b a b d d
1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)
课前 教材预案 课堂 深度拓展 课末 随堂演练 课后 限时作业
课前教材预案
要点一 分类加法计数原理
要点二 分步乘法计数原理
要点三 两个计数原理的区别
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
每类方法都____能_独_立____完 成这件事．它是独立的、
• 答案 (1)5 (2)45
• 【变式1】 若x，y∈N*且x＋y≤6，则有序自然数对(x，y)共 有________个.
• 解析 当x＝1,2,3,4,5时，y的取值个数依次为5,4,3,2,1，由 加法原理得不同的数对(x，y)共有5＋4＋3＋2＋1＝15个．
• 答案 15
考点二 分步乘法计数原理
• (2)方法一 根据题意，将十位上的数字按1，2，3，…，9分 成9类，在每一类中满足条件的两位数的个数分别为1，2，3， 4，5，…，9.
• 根据分类加法计数原理，符合条件的两位数共有1＋2＋3 ＋…＋9＝45个．
• 方法二 依题意，将个位数字按0，1，2，3，…，8分为9类， 每类中满足条件的两位数的个数分别为9，8，…，1，根据 分类加法计数原理，符合条件的两位数共有9＋8＋7＋…＋1 ＝45个．
• A．24
• B．18
• C．12
• D．9
• 思维导引：第一步从E到F，第二步从F到G，分别考虑每步 中的最短路径的条数，最后求出最短路径的总条数．
• 答案 B
• 解析 由E到F有6种走法，由F到G有3种走法，由分步乘法 计数原理知，共6×3＝18种走法．
• 【变式2】 乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参 加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名 队员选2名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多 少种？
• ②“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但 也不能重复、交叉；
• ③若完成某件事情需n步，则必须且只需依次完成这n个步骤 后，这件事情才算完成．
• 【例题2】 (2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发， 先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿 者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
任 何 一 步 都 ____不_能_独_立_____
区
完成这件事，缺少任何一
一次的且每次得到的是最
别
步也不可，只有各步骤都
后结果，只需一种方法就
完区分“完成一件事”是分类还是分步的关
键是什么？
• 提示 区分“完成一件事”是分类还是分步，关键是看一步 能否完成这件事，若能完成，则是分类；否则，就是分步．
• 3．(分步乘法计数原理)若x∈{1,2,3}，y∈{5,6,7}，则xy的不 同值有( )
• A．2个 B．6个
• C．9个 D．3个
• 答案 C
• 解析 因为每两个数的积都不同，所以根据分步乘法计数原 理，可得xy的不同值有3×3＝9个．
• 4．(分步乘法计数原理)如图，在由电键组A与B组成的串联 电路(规定只能合上其中两个电键)中，接通电源使灯泡发光 的方法有________种．
• 思维导引：要完成的“一件事”为“找到方程Ax＋By＝0表 示的不同直线的条数”．其中A，B可以从0,1,2,3,5这5个数 字中任取2个不同的数字，需注意特殊数字0对方程的影响．
• 解析 分两步：第1步，确定A的值，有5种不同的方法；第2 步，确定B的值，有4种不同的方法．由分步乘法计数原理知， 可以确定5×4＝20条直线．在这20条直线中，A＝0，B＝ 1,2,3,5表示的是同一条直线，以及B＝0，A＝1,2,3,5表示的 是同一条直线，即有6条直线是重复计数的．因此符合条件 的不同直线共有20－6＝14条．
• (1)应用两个原理的关键在于正确区分“分类”与“分步”， 分类就是能“一步到位”，即任何一类中任何一种方法都能 完成这件事；而分步只能是“局部到位”，即任何一步中任 何一种方法只能完成事件中的某一部分．
• (2)在既有分类又有分步的题型中，一般先分类，然后在每一 类中再分步．
• 【例题3】 若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0,1,2,3,5 这5个数字中任取2个不同的数字，则方程所表示的不同直线 有多少条？
第一章
计数原理
知识结构图解
课程学习要求
考点 1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理 2.用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和 解决一些简单的实际问题 3.理解排列、组合的概念 4.用计数原理推导排列数公式、组合数公式 5.用排列数公式、组合数公式解决简单的实际问题 6.能用计数原理证明二项式定理 7.用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题
课堂深度拓展
考点一 分类加法计数原理
• (1)能用分类加法计数原理解决的计数问题的特点 • ①完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n类； • ②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事； • ③把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法
数．
• (2)利用分类加法计数原理解题时应注意的问题
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人教a版数学【选修2-3】1.1《两个基本原理的应用》ppt课件
计算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分步． 加法 原理时，要注意“类”与“类”之间的独立 应用 _______
性和并列性，各类中的每个方法都能独立的将这件事情完成；
乘法 原理时，要注意“步”与“步”之间是连续的， 应用 _______ 做一件事需分成若干个互相联系的步骤，所有步骤依次相继完 成，这件事才算完成．
第一章
1.1
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
典例探究学案
第一章
1.1
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
数字问题
由 1、2、3、4 可以组成多少个自然数(数字可以 重复，最多只能是四位数)?
[分析]
第一章 1.1 第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
[ 方法规律总结 ] 步”的标准是什么．
1. 在同一题目中涉及到这两个定理时，
必须搞清是先“分类”，还是先“分步”，“分类”和“分 2 ．数字问题要注意是否允许数字重复，各位上的数字是
否受到某些条件限制．
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
1.能根据具体问题特征，选择分类加法计数原理或分步乘 法计数原理解决一些简单的实际问题，从而发展学生的思维能 力，培养学生分析问题和解决问题的能力． 2．能正确区分分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
第一章
1.1
第一章
1.1
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
2 ．分类要做到 __________ 不重不漏 ，分类后再分别对每一类进行 分类加法计数原理 求和，得到总数． 计数，最后用___________________ 步骤完整 ，步与步之间要 __________ 相互独立 ， 3 ．分步要做到 __________ 根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总
性和并列性，各类中的每个方法都能独立的将这件事情完成；
乘法 原理时，要注意“步”与“步”之间是连续的， 应用 _______ 做一件事需分成若干个互相联系的步骤，所有步骤依次相继完 成，这件事才算完成．
第一章
1.1
第2课时
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典例探究学案
第一章
1.1
第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
数字问题
由 1、2、3、4 可以组成多少个自然数(数字可以 重复，最多只能是四位数)?
[分析]
第一章 1.1 第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
[ 方法规律总结 ] 步”的标准是什么．
1. 在同一题目中涉及到这两个定理时，
必须搞清是先“分类”，还是先“分步”，“分类”和“分 2 ．数字问题要注意是否允许数字重复，各位上的数字是
否受到某些条件限制．
第2课时
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1.能根据具体问题特征，选择分类加法计数原理或分步乘 法计数原理解决一些简单的实际问题，从而发展学生的思维能 力，培养学生分析问题和解决问题的能力． 2．能正确区分分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
第一章
1.1
第一章
1.1
第2课时
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2 ．分类要做到 __________ 不重不漏 ，分类后再分别对每一类进行 分类加法计数原理 求和，得到总数． 计数，最后用___________________ 步骤完整 ，步与步之间要 __________ 相互独立 ， 3 ．分步要做到 __________ 根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总
2019-2020学年高二数学人教A版选修2-3课件：第一章 计数原理 本章整合
最后一名相邻)有C
种排法,因此,一共有A
答案:D
4
4 C2 C4 =192 种不同的排法.
第八页，编辑于星期日：点 十九分。
-8-
本章整合
专题一
专题二
知识建构
综合应用
真题放送
专题三
应用27名学生站成一排,若甲、乙相邻,但都不和丙相邻,则有
种不同的排法.
提示:本题既有相邻问题也有不相邻问题,故是捆绑法与插空法的
(2)元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先将相邻的若干元素捆绑为一个大
元素,再与其他元素全排列,最后松绑,将这若干个元素内部全排列.
第七页，编辑于星期日：点 十九分。
-7-
本章整合
专题一
专题二
知识建构
综合应用
真题放送
专题三
应用1学校举行数学模块考试,最后一个考场只有6名学生,其中有4名文
科生和2名理科生,要求把这6名学生排成一列,最后一名必须是理科生,
A.-80
B.-40
真题放送
)
C.40 D.80
解析:(2x-y)5 的展开式的通项公式 Tr+1= C5 (2)5 − (−).
当 r=3 时,x(2x-y)5 的展开式中 x3y3 的系数为C53 × 22 × (−1)3 = −40;
当 r=2 时,y(2x-y)5 的展开式中 x3y3 的系数为C52 × 23 × (−1)2 = 80.
提示:对于(1+ax+by)n,虽然我们没有学过三项展开式,但所谓“不含x
的项”,只需令(1+ax+by)n中a=0即可,“不含y的项”也只需令b=0.这样三
项展开式就变成了二项展开式,又可以用我们所熟悉的二项式的性质来解题
种排法,因此,一共有A
答案:D
4
4 C2 C4 =192 种不同的排法.
第八页，编辑于星期日：点 十九分。
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本章整合
专题一
专题二
知识建构
综合应用
真题放送
专题三
应用27名学生站成一排,若甲、乙相邻,但都不和丙相邻,则有
种不同的排法.
提示:本题既有相邻问题也有不相邻问题,故是捆绑法与插空法的
(2)元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先将相邻的若干元素捆绑为一个大
元素,再与其他元素全排列,最后松绑,将这若干个元素内部全排列.
第七页，编辑于星期日：点 十九分。
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本章整合
专题一
专题二
知识建构
综合应用
真题放送
专题三
应用1学校举行数学模块考试,最后一个考场只有6名学生,其中有4名文
科生和2名理科生,要求把这6名学生排成一列,最后一名必须是理科生,
A.-80
B.-40
真题放送
)
C.40 D.80
解析:(2x-y)5 的展开式的通项公式 Tr+1= C5 (2)5 − (−).
当 r=3 时,x(2x-y)5 的展开式中 x3y3 的系数为C53 × 22 × (−1)3 = −40;
当 r=2 时,y(2x-y)5 的展开式中 x3y3 的系数为C52 × 23 × (−1)2 = 80.
提示:对于(1+ax+by)n,虽然我们没有学过三项展开式,但所谓“不含x
的项”,只需令(1+ax+by)n中a=0即可,“不含y的项”也只需令b=0.这样三
项展开式就变成了二项展开式,又可以用我们所熟悉的二项式的性质来解题
2019-2020学年人教A版数学选修2-3培优教程课件：第一章 计数原理 1.2 1.2.1 第1
答案
第二十一页，编辑于星期六：二十三点 二十九 分。
探究3 与排列数有关的运算 例 3 (1)计算：4AA4888－＋A2A59 58； (2)解方程 3Ax8＝4Ax9－1； (3)解不等式 A9x>6Ax9－2，其中 x≥3，x∈N*； (4)若 n∈N，将(55－n)(56－n)…(68－n)(69－n)用排列数符号表示．
相同．
第三页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
知识点 排列数及排列数公式
1．排列数的定义
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 □01 所有不同排列的个数 ，叫
做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 Amn 表示．
2．排列数公式 (1)乘积形式：Amn ＝
□02 n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．(这里 n，m∈N*且 m≤n)
(2)由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生．设两名学生分别为 A、B，两名老师分别为 M、N，此问题可分两类：
由此可知所有可能的站法为 AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA， BNMA，BAMN，BANM，共 8 种．
答案
第十八页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
拓展提升 用树形图解决简单的排列问题是常见的解题方法．它能很好地确定排列 中各元素的先后顺序，利用树形图可具体地列出各种情况，避免排列的重复 和遗漏．
(3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．从 5 个数中取 3 个数，与 顺序无关；若这 3 个数组成不同的三位数，则与顺序有关．
答案
第十五页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
探究2 简单的排列问题 例 2 写出下列问题的所有排列： (1)北京、广州、南京、天津 4 个城市相互通航，应该有多少种机票？ (2)两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能 的站法，并回答共有多少种？
第二十一页，编辑于星期六：二十三点 二十九 分。
探究3 与排列数有关的运算 例 3 (1)计算：4AA4888－＋A2A59 58； (2)解方程 3Ax8＝4Ax9－1； (3)解不等式 A9x>6Ax9－2，其中 x≥3，x∈N*； (4)若 n∈N，将(55－n)(56－n)…(68－n)(69－n)用排列数符号表示．
相同．
第三页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
知识点 排列数及排列数公式
1．排列数的定义
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的 □01 所有不同排列的个数 ，叫
做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 Amn 表示．
2．排列数公式 (1)乘积形式：Amn ＝
□02 n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．(这里 n，m∈N*且 m≤n)
(2)由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生．设两名学生分别为 A、B，两名老师分别为 M、N，此问题可分两类：
由此可知所有可能的站法为 AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA， BNMA，BAMN，BANM，共 8 种．
答案
第十八页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
拓展提升 用树形图解决简单的排列问题是常见的解题方法．它能很好地确定排列 中各元素的先后顺序，利用树形图可具体地列出各种情况，避免排列的重复 和遗漏．
(3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．从 5 个数中取 3 个数，与 顺序无关；若这 3 个数组成不同的三位数，则与顺序有关．
答案
第十五页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
探究2 简单的排列问题 例 2 写出下列问题的所有排列： (1)北京、广州、南京、天津 4 个城市相互通航，应该有多少种机票？ (2)两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能 的站法，并回答共有多少种？
2019-2020学年人教A版数学选修2-3培优教程课件：第一章 计数原理 1.1 1.1.2 课后
答案
解析
第六页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
4．用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且 同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )
A．36 个 B．18 个 C．9 个 D．6 个 答案 B
答案
第七页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
解析 分 3 步完成，1,2,3 这三个数中必有某一个数字被重复使用 2 次．第 1 步，确定哪一个数字被重复使用 2 次，有 3 种方法；第 2 步，把这 2 个相 同的数字排在四位数不相邻的两个位置上有 3 种方法；第 3 步，将余下的 2 个数字排在四位数余下的两个位置上，有 2 种方法．故有 3×3×2＝18 个不 同的四位数．
答案
第十六页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
B 级：能力提升练 10．某文艺团体有 10 人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中 7 人 会唱歌，5 人会跳舞，从中选出会唱歌与会跳舞的各 1 人，有多少种不同的 选法？
解 首先求得只会唱歌的有 5 人，只会跳舞的有 3 人，既会唱歌又会跳 舞的有 2 人．
第四类方法：将既会唱歌又会跳舞的 2 人全部选出，有 2 种选法． 由分类加法计数原理知，共有 15＋10＋6＋2＝33 种不同的选法．
答案
第十八页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
本课结束
第十九页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
第八页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
5．一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不 同的参观路线种数为( )
A．6 B．8 C．36 D．48 答案 D
答案
第九页，编辑ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ星期六：二十三点 二十九分。
2019-2020学年人教A版数学选修2-3培优教程课件：第一章 计数原理 1.2 1.2.2 第1
知识点 组合与组合数公式
第四页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
组合的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”， 表示与元素的顺序无关，排列与组合的相同点是从 n 个不同元素中任取 m 个 元素，不同点是组合是“不管元素的顺序合成一组”，而排列是要求元素按 照一定的顺序排成一列．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出 的元素有无顺序．
第二十七页，编辑于星期六：二十三点 二十九 分。
[跟踪训练3] 在一次数学竞赛中，某学校有 12 人通过了初试，学校要 从中选出 5 人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？
(1)任意选 5 人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加．
答案
第二十三页，编辑于星期六：二十三点 二十九 分。
(2)①原式＝C38＋C2100×1＝83××72××61＋1020××199 ＝56＋4950＝5006. ②原式＝2(C50＋C15＋C25)＝2(C16＋C25)＝2×6＋52××41＝32. ③原式＝C1n＋1·Cn1＝(n＋1)n＝n2＋n.
第1课时 组合与组合数公式
第一页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
课前自主预习
第二页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
知识点 组合的定义 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素 同元素中取出 m 个元素的一个组合．
□01 合成一组
，叫做从 n 个不
第三页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
第十三页，编辑于星期六：二十三点 二十九分。
[跟踪训练1] 判断下列问题是排列问题，还是组合问题． (1)从集合 A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少 个？ (2)从集合 A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少 个？ (3)从 a，b，c，d 这四名同学中任取两名同学去参加某一活动，共有多 少种不同的选法？ (4)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？
高中数学 第1章《计数原理》课件 新人教A版选修23
r n
(r＝0,1,2，…，n)称为二项
式系数，第r＋1项Crnan－rbr称为通项．
• [说明] ①二项式系数与项的系数是不同的概念，前者只与 项数有关，而后者还与a，b的取值有关．
• ②运用通项求展开式的特定值(或特定项的系数)，通常先由 题意列方程求出r，再求所需的项(或项的系数)．
(2)二项式系数的性质： ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相 等，体现了组合数性质Cnm＝Cnn－m； ②增减性与最大值： 当k＜n＋2 1时，二项式系数Ckn逐渐增大； 当k＞n＋2 1时，二项式系数Ckn逐渐减小；
•
有3封信，4个信简．
• (1)把3封信都寄出，有多少种寄信方法？
• (2)把3封信都寄出，且每个信简中最多一封信，有多少种寄 信方法？
• [思维点击] 本题关键是要搞清楚以“谁”为主研究问 题．解决这类问题，切忌死记公式，应清楚哪类元素必须应 该用完，就以它为主进行分析，再用分步计数原理求解．
(1)分3步完成寄出3封信的任务：第一步，寄 出1封信，有4种方法；第二步，再寄出1封信，有4种方法；第 三步，寄出最后1封信，有4种方法，完成任务．根据分步计数 原理，共有4×4×4＝43＝64种寄信方法．
(2)典型的排列问题，共有A34＝24种寄信方法．
• 1．有7名女同学和9名男同学，组成班级乒乓球混合双打代 表队，共可组成( )
• A．7队 B．8队 • C．15队 D．63队 • 解析： 由分步乘法计数原理，知共可组成7×9＝63队． • 答案： D
• 2.如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开， 若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )
[说明] 公式①主要用于具体的计算，公式②主要用于 化简．
2019秋新版高中数学人教A版选修2-3课件：第一章计数原理1.2.1
1.2
排列与组合
1.2.1
排列
-3-
-4-
-5-
1
2
2.排列数与排列数公式 (1)排列数定义:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有 不同排列的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用 符号A������ ������ 表示. (2)排列数公式:A������ ������ =n(n-1)(n-2)…(n-m+1).
1
2
(3)全排列和阶乘:n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个 元素的一个全排列.即有 A������ ������ =n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1, 就是说,n 个不同元素全部取出的排列数,等于正整数 1 到 n 的连 乘积.正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘,用 n!表示.所以 n 个不同
4+8 4 = . 4 8 5 5 24-9 4×3×2A8 -9A8 A8 -A9 3×8! 4×9! ������ -1 ������ (3)原方程 3A8 =4A9 可化为 = , (8-������)! (10-������)! 3×8! 4×9×8! 即 = , (8-������)! (10-������)(9-������)(8-������)!
题型一
题型二
题型三
题型四
(4)(捆绑法)若 1 和 3 相邻,则把 1 和 3“捆绑”,看成一个整体与 1 3 0,2,4 进行排列.故组成无重复数字的五位数共有A2 2 A3 A3 =36 个. (5)方法一:(间接法)由(2),(4)两问可得,1 和 3 不相邻时,共可组成 无重复数字的五位数有 96-36=60 个. 方法二:(插空法)先将 0,2,4 排好,再将 1 和 3 分别插入产生的 4 2 个空当中有A3 A 3 4 =72 种排法,而当 0 在万位时,1,3 分别插入 2,4 产生 2 的 3 个空当中有A2 2 A3 =12 种排法.故 1 和 3 不相邻的无重复数字的 五位数共有 72-12=60 个.
排列与组合
1.2.1
排列
-3-
-4-
-5-
1
2
2.排列数与排列数公式 (1)排列数定义:从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有 不同排列的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用 符号A������ ������ 表示. (2)排列数公式:A������ ������ =n(n-1)(n-2)…(n-m+1).
1
2
(3)全排列和阶乘:n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个 元素的一个全排列.即有 A������ ������ =n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1, 就是说,n 个不同元素全部取出的排列数,等于正整数 1 到 n 的连 乘积.正整数 1 到 n 的连乘积,叫做 n 的阶乘,用 n!表示.所以 n 个不同
4+8 4 = . 4 8 5 5 24-9 4×3×2A8 -9A8 A8 -A9 3×8! 4×9! ������ -1 ������ (3)原方程 3A8 =4A9 可化为 = , (8-������)! (10-������)! 3×8! 4×9×8! 即 = , (8-������)! (10-������)(9-������)(8-������)!
题型一
题型二
题型三
题型四
(4)(捆绑法)若 1 和 3 相邻,则把 1 和 3“捆绑”,看成一个整体与 1 3 0,2,4 进行排列.故组成无重复数字的五位数共有A2 2 A3 A3 =36 个. (5)方法一:(间接法)由(2),(4)两问可得,1 和 3 不相邻时,共可组成 无重复数字的五位数有 96-36=60 个. 方法二:(插空法)先将 0,2,4 排好,再将 1 和 3 分别插入产生的 4 2 个空当中有A3 A 3 4 =72 种排法,而当 0 在万位时,1,3 分别插入 2,4 产生 2 的 3 个空当中有A2 2 A3 =12 种排法.故 1 和 3 不相邻的无重复数字的 五位数共有 72-12=60 个.
人教a版数学【选修2-3】第1章《计数原理》归纳总结ppt课件
2．(2012·浙江理，6)若从1、2、3、„、9这9个整数中同
时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( A．60种 C．65种 [答案] D B．63种 D．66种 )
[解析] 本题考查了排列与组合的相关知识．取出的 4 个 数和为偶数，可分为三类．
4 2 2 四个奇数 C4 5，四个偶数 C4，二奇二偶，C5C4. 4 2 2 共有 C4 ＋ C ＋ C 5 4 5C4＝66 种不同取法． [点评] 分类讨论思想在排列组合题目中应用广泛．
1 n n ③各二项式系数的和：C0 ＋ C ＋„＋ C ＝ 2 . n n n
第一章
章末归纳总结
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-3
(4)解决二项式定理问题的注意事项
n－k k ①运用二项式定理一定要牢记通项 Tk＋1＝Ck a b ，注意(a n
＋b)n 与(b＋a)n 虽然相同， 但具体到它们展开式的某一项时是不 同的．另外，二项式系数与项的系数是两个不同概念，前者指
第一章
章末归纳总结
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3．在(x2＋x＋1)(x－1)5的展开式中，含x4项的系数是(
)
A．－25
C．5 [答案] B
B．－5
D．25
[解析] (x2＋x＋1)(x－1)5＝(x3－1)(x－1)4，其展开式中 x4
中任何一种方法都不能完成这件事情，只能完成事件的某一部
分，只有当各步全部完成时，这件事情才完成．
第一章 章末归纳总结
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2．排列与组合 (1)排列与组合的定义
数学高中选修2-3第一章 计数原理1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理1.1 分类加法计数原理
制作 冯健璇
问题1 从温州到杭州旅游,可以乘火车，也可以乘汽
车。若一天中火车有3列,汽车有2辆。那么一天中乘坐 这些交通工具从温州到杭州有多少种不同的走法?
变式： 从温州到杭州旅游,可以乘火车，也可以乘汽
车，还可以乘飞机。若一天中火车有3列,汽车有2辆， 飞机有４架。那么一天中乘坐这些交通工具从温州到 杭州有多少种不同的走法?
分类计数原理
(加法原理)
完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1 种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方 法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，
则完成这件事共有 N= m1+m2+… +mn 种 不同的方法．
在1,2,3,…,200中，能够被5整除的数共有 多少个？ 解：能够被5整除的数，末位数字是0或5， 因此，我们把1,2,3,…,200中，能够被5整除的 数分成两类来计数： 第一类：末位数字是0的数，一共有20个． 第二类：末位数字是5的数，一共有20个． 根据加法原理，在1,2,3,…,200中，能够被5整 除的数共有20+20=40个．
一个商店销售某种型号的电视机， 其中本地的产品有4种，外地的产 品有7种，要买1台这种型号的电视 机，有多少种不同的选法？
N= 4 + 7 =11
分类计数原理
针对的是“分类”问题
(加法原理)
各类方法相互独立
完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1 种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方 法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法， 则完成这件事共有 N= m1+m2+… +mn 种 不同的方法．
完成一件工作，有两种方法，有5个人只会 用第一种方法，另外有4个人只会用第二种 方法，从这9个人中选1人完成这件工作， 一共有多少种选法？ 分类计数原理： 针对的是“分类”问题
2019-2020学年人教A版高中数学选修2-3课件：第1章 计数原理1.2.2(2)
第一章
计数原理
1.2 排列与组合 1.2.2 组合(二)
课前 教材预案 课堂 深度拓展 课末 随堂演练 课后 限时作业
课前教材预案
要点 求解组合问题的常用方法
• 常用的方法分直接法与间接法两大类．所谓直接法，就是利 用分类或者分步计数原理，准确地分类或者分步，直接计算 出结果；所谓的间接法，则是采用迂回战术，先求出不受限 制条件下的组合数，再减去不符合题意的组合数的方法．
第一类，这 4 人全部入选，另一组 4 人由余下的 8 人中任选 4 人组成，有 C44C48＝70 种方法；
第二类，这 4 人中恰有 3 人入选日语翻译小组，必 有 1 名“双面手”入选日语翻译小组，有 C34C12C47＝280 种方法；
第三类，这 4 人中恰有 2 人入选日语翻译小组，必 有 2 名“双面手”都入选日语翻译小组，有 C24C22C46＝90 种方法；
• 【例题2】 车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工， 另外2名既能做钳工又能做车工，从中选出4名钳工4名车工， 问有多少种不同方法？
• 思维导引：可以从“既会钳工又会车工”的2名工人考虑分 类求解，也可以从“只会钳工”的5名工人考虑分类求解．
解析 方法一 以“既会钳工又会车工”的 2 人(记 为 A，B)来考虑分类，A，B 都不在内，有选法 C45C44＝5 种；A，B 都在内时又分“都做钳工”“都做车工”“一 个做钳工一个做车工”三类，合计有选法 C22C25C44＋C22C45 C24＋A22C35C34＝120 种；A，B 仅有一人在内，又有“做钳 工”和“做车工”两种选择，此时有选法 C12C35C44＋C12C45 C34＝60 种．由分类加法计数原理，合计共有不同的选法 185 种．
第三类：共线的 4 个点中没有点为三角形的顶点， 共有 C38＝56 个不同的三角形．
计数原理
1.2 排列与组合 1.2.2 组合(二)
课前 教材预案 课堂 深度拓展 课末 随堂演练 课后 限时作业
课前教材预案
要点 求解组合问题的常用方法
• 常用的方法分直接法与间接法两大类．所谓直接法，就是利 用分类或者分步计数原理，准确地分类或者分步，直接计算 出结果；所谓的间接法，则是采用迂回战术，先求出不受限 制条件下的组合数，再减去不符合题意的组合数的方法．
第一类，这 4 人全部入选，另一组 4 人由余下的 8 人中任选 4 人组成，有 C44C48＝70 种方法；
第二类，这 4 人中恰有 3 人入选日语翻译小组，必 有 1 名“双面手”入选日语翻译小组，有 C34C12C47＝280 种方法；
第三类，这 4 人中恰有 2 人入选日语翻译小组，必 有 2 名“双面手”都入选日语翻译小组，有 C24C22C46＝90 种方法；
• 【例题2】 车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工， 另外2名既能做钳工又能做车工，从中选出4名钳工4名车工， 问有多少种不同方法？
• 思维导引：可以从“既会钳工又会车工”的2名工人考虑分 类求解，也可以从“只会钳工”的5名工人考虑分类求解．
解析 方法一 以“既会钳工又会车工”的 2 人(记 为 A，B)来考虑分类，A，B 都不在内，有选法 C45C44＝5 种；A，B 都在内时又分“都做钳工”“都做车工”“一 个做钳工一个做车工”三类，合计有选法 C22C25C44＋C22C45 C24＋A22C35C34＝120 种；A，B 仅有一人在内，又有“做钳 工”和“做车工”两种选择，此时有选法 C12C35C44＋C12C45 C34＝60 种．由分类加法计数原理，合计共有不同的选法 185 种．
第三类：共线的 4 个点中没有点为三角形的顶点， 共有 C38＝56 个不同的三角形．