2019年高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.11.1导数与函数的单调性课件理
「应用提示研一研」 1．在某区间内 f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数 f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不 必要条件． 2 ．可导函数 f(x) 在 (a ， b) 上是增 ( 减 ) 函数的充要条件是对 ∀ x ∈ (a ， b) ，都有 f′(x)≥0(f′(x)≤0)且 f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零． 3． 对于可导函数 f(x)， f′(x0)＝0 是函数 f(x)在 x＝x0 处有极值的必要不充分条件．
必修部分
第二章 函数、导数及其应用
第十一节 导数的应用
第一课时 导数与函数的单调性
栏 目 导 航
考情分析
1 3
考点疑难突破
基础自主梳理
2 4 课时跟踪检测1考 情 分 析考点分布 1.导数与函 数的单调性 2.导数与函 数的极值、 最 值
考纲要求 1.导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性和导数的关系： 能利用导数研究函数的单调性，会 求函数的单调区间( 其中多项式函 数一般不超过三次)． (2) 了解函数在某点取得极值的必 要条件和充分条件：会用导数求函 数的极大值、 极小值(其中多项式函 会求闭区间上 3.导数的综 数一般不超过三次)； 函数的最大值、 最小值(其中多项式 合应用 函数一般不超过三次)． 2．生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题．
数 y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数 y＝f(x)的极大值． 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
3．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值， f(b) 为函数的最大 值；若函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则 f(a) 为函数的最大值， f(b) 为函数的最小值．
答案：③⑤
3
考点疑难突破
第一课时 导数与函数的单调性
判断或证明函数的单调性
[典 例 导 引] 2 已知函数 f(x)＝x－ ＋a(2－ln x)，a＞0.讨论 f(x)的单调性． x
【解】 由题知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，
2 2 a x －ax＋2 f′(x)＝1＋ 2－ ＝ . x x x2
设 g(x)＝x2－ax＋2，二次方程 g(x)＝0 的判别式 Δ＝a2－8.
①当 Δ＜0 即 0＜a＜2 2时，对一切 x＞0 都有 f′(x)＞0. 此时 f(x)是(0，＋∞)上的单调递增函数． ②当 Δ＝0 即 a＝2 2时，仅对 x＝ 2有 f′(x)＝0，对其余的 x＞0 都有 f′(x)＞ 0.此时 f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数． a－ a2－8 ③当 Δ＞0 即 a＞2 2时，方程 g(x)＝0 有两个不同的实根 x1＝ ，x2＝ 2 a＋ a2－8 ，0＜x1＜x2 2
)
解析：由 f(x)＝x3－3x， 求导得 f′(x)＝3x2－3，由 3x2－3＝0，得 x＝± 1，在[－1，2]上有一个极值， 且 f(－1)＝2，f(1)＝－2，f(2)＝2. 则可得最大值和最小值分别为 2 和－2.故选 A.
答案：A
3．函数 f(x)＝3x2＋ln x－2x 的极值点的个数是( A．0 C．2
2
)
B．1 D．无数个
6x －2x＋1 1 解析： f′(x)＝6x＋ －2＝ ， 由 f′(x)＝0 得 6x2－2x＋1＝0， 方程无解， x x 因此函数无极值点．故选 A.
答案：A
4．给出下列命题： ①f′(x)＞0 是 f(x)为增函数的充要条件． ②函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的． ③函数的极大值不一定比极小值大． ④对可导函数 f(x)，f′(x0)＝0 是 x0 点为极值点的充要条件． ⑤函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值． 其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)
解析： ①错误． f′(x)＞0 能推出 f(x)为增函数， 反之不一定． 如函数 f(x)＝x3 在(－ ∞，＋∞)上单调递增， 但 f′(x)≥0. 所以 f′(x)＞0 是 f(x)为增函数的充分条件，但不是必要条件． ②错误．一个函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一个． ③正确．一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系， 极大值可能比极小值 大，也可能比极小值小，还可能与极小值相等． ④错误．对可导函数 f(x)，f′(x0)＝0 只是 x0 点为极值点的必要条件，如 y＝x3 在 x＝0 时 f′(0)＝0，而函数在 R 上为增函数，所以 0 不是极值点． ⑤正确．当函数仅在区间端点处取得最值时，这时的最值不是极值．
「基础小题练一练」 1．函数 f(x)＝x－ln x 的单调递减区间是( A．(－∞，1) C．(1，＋∞) B．(0,1) D．(0，＋∞) )
1 x－1 解析：易知 x>0，f′(x)＝1－ ＝ ，令 f′(x)＜0 得 0＜x＜1.故选 B. x x
答案：B
2．函数 f(x)＝x3－3x 在区间[－1,2]上的最大值和最小值分别为( A．2 和－2 C．0 和－2 B．2 和 0 D．1 和 0
考点频率 5 年 26 考
命题趋势
导数的应用主要 考查利用导数研 究函数的单调性、 5 年 23 考 极值、最值、不等 式、函数的零点问 题以及利用分类 讨论思想求函数 的单调区间，往往 5 年 38 考 与函数、不等式、 三角函数、数列、 解析几何等相关 知识综合考查．
2
基础自主梳理
「基础知识填一填」 1．函数的单调性 在(a，b)内可导函数 f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于 0，f′(x)≥0 ⇔f(x)在(a，b)上为 增函数 2．函数的极值 (1)函数的极小值 函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其他点的函数值都小， f′(a) ＝0；而且在点 x＝a 附近的左侧
f′(x)＜0
．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为 减函数
．
，右侧 f′(x)＞0
，则点 a 叫做函数
y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值 函数 y＝f(x)在点 x＝b 的函数值 f(b)比它在点 x＝b 附近的其他点的函数值都大， f′(b)＝0；而且在点 x＝b 附近的左侧 f′(x)＞0 ，右侧 f′(x)＜0 ，则点 b 叫做函
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2019版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用2.11导数在研究函数中的应用二习题课件理
2
4x 4 恒成立， 转化为 a ＋2a＋2≤ 2 ＋x＝ ＋x＝f(x)的最小 x －x x－1 x＋1x－3 值．f′(x)＝ ，可得 x＝3 时， x－12 函数 f(x)取得极小值即最小值 f(3)＝5. ∴a2＋2a＋2≤5，化为 a2＋2a－3≤0， 即(a＋3)(a－1)≤0，解得－3≤a≤1. 因此 a 的最小值为－3.故选 A.
解析
设 g(x)＝exf(x)－ex，则 g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)
－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]， ∵f(x)＋f′(x)>1，ex>0， ∴g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)－1]>0， ∴g(x)是 R 上的增函数． 又 g(0)＝f(0)－1＝2017， ∴g(x)>2017 的解集为(0，＋∞)， 即不等式 exf(x)>ex＋2017 的解集为(0，＋∞)．故选 B.
a2＋2a＋2 4 4．(2017· 合肥期中)已知 ≤ 2 ＋1 对于任意 x x －x 的 x∈(1，＋∞)恒成立，则( A．a 的最小值为－3 B．a 的最小值为－4 C．a 的最大值为 2 D．a 的最大值为 4 )
解析
a2＋2a＋2 4 ≤ 2 ＋1 对于任意的 x∈(1，＋∞) x x －x
)
1 解析 f(x)＝a(x－2)e ＋ln x＋x，x>0，
x 1 1 1 x ∴f′(x)＝a(x－1)e ＋ x－x2＝(x－1)ae ＋x2 ， x
1 由 f′(x)＝0 得到 x＝1 或 ae ＋x2＝0(*)．
解析 数，
∵f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函
fx fx ∴ 为奇函数， 的图象关于原点对称． gx gx 当 x<0 时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，
4x 4 恒成立， 转化为 a ＋2a＋2≤ 2 ＋x＝ ＋x＝f(x)的最小 x －x x－1 x＋1x－3 值．f′(x)＝ ，可得 x＝3 时， x－12 函数 f(x)取得极小值即最小值 f(3)＝5. ∴a2＋2a＋2≤5，化为 a2＋2a－3≤0， 即(a＋3)(a－1)≤0，解得－3≤a≤1. 因此 a 的最小值为－3.故选 A.
解析
设 g(x)＝exf(x)－ex，则 g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)
－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]， ∵f(x)＋f′(x)>1，ex>0， ∴g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)－1]>0， ∴g(x)是 R 上的增函数． 又 g(0)＝f(0)－1＝2017， ∴g(x)>2017 的解集为(0，＋∞)， 即不等式 exf(x)>ex＋2017 的解集为(0，＋∞)．故选 B.
a2＋2a＋2 4 4．(2017· 合肥期中)已知 ≤ 2 ＋1 对于任意 x x －x 的 x∈(1，＋∞)恒成立，则( A．a 的最小值为－3 B．a 的最小值为－4 C．a 的最大值为 2 D．a 的最大值为 4 )
解析
a2＋2a＋2 4 ≤ 2 ＋1 对于任意的 x∈(1，＋∞) x x －x
)
1 解析 f(x)＝a(x－2)e ＋ln x＋x，x>0，
x 1 1 1 x ∴f′(x)＝a(x－1)e ＋ x－x2＝(x－1)ae ＋x2 ， x
1 由 f′(x)＝0 得到 x＝1 或 ae ＋x2＝0(*)．
解析 数，
∵f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函
fx fx ∴ 为奇函数， 的图象关于原点对称． gx gx 当 x<0 时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，
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第11课时 导数与函数的单调性、极值
聚 焦 考 向 透 析
1．了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调 性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数 求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
聚 焦 考 向 透 析
【基础自测】 1．函数 f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知 f(x)在 x＝－3 时取得极值， 则实数 a 等于( A．2 C．4 答案：D ) B．3 D．5
聚 焦 考 向 透 析
2．(教材改编)函数 f(x)＝1＋x－sin x 在(0,2π)上是( A．增函数 B．减函数 C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减 D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增 解析：f′(x)＝1－cos x≥0. 答案：A
聚 焦 考 向 透 析
【知识梳理】 1．函数的导数与单调性 在某个区间内，若 f′(x)＞0，则函数 y＝f(x)在这个区间内单调 递增；若 f′(x)＜0，则函数 y＝f(x)在这个区间内单调递减． 2．函数的导数与极值 (1)极大值：如果在 x0 附近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，且 f′(x0)＝0，那么 f(x0)是极大值； (2)极小值：如果在 x0 附近的左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞0，且 f′(x0)＝0，那么 f(x0)是极小值．
)
聚 焦 考 向 透 析
3．函数 f(x)＝x2－2lnx 的单调减区间是( A．(0,1) C．(－∞，1) 2 解析：∵f′(x)＝2x－x 2x＋1x－1 ＝ (x＞0)． x ∴当 x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数； B．(1，＋∞) D．(－1,1)
聚 焦 考 向 透 析
1．了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调 性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数 求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
聚 焦 考 向 透 析
【基础自测】 1．函数 f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知 f(x)在 x＝－3 时取得极值， 则实数 a 等于( A．2 C．4 答案：D ) B．3 D．5
聚 焦 考 向 透 析
2．(教材改编)函数 f(x)＝1＋x－sin x 在(0,2π)上是( A．增函数 B．减函数 C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减 D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增 解析：f′(x)＝1－cos x≥0. 答案：A
聚 焦 考 向 透 析
【知识梳理】 1．函数的导数与单调性 在某个区间内，若 f′(x)＞0，则函数 y＝f(x)在这个区间内单调 递增；若 f′(x)＜0，则函数 y＝f(x)在这个区间内单调递减． 2．函数的导数与极值 (1)极大值：如果在 x0 附近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，且 f′(x0)＝0，那么 f(x0)是极大值； (2)极小值：如果在 x0 附近的左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞0，且 f′(x0)＝0，那么 f(x0)是极小值．
)
聚 焦 考 向 透 析
3．函数 f(x)＝x2－2lnx 的单调减区间是( A．(0,1) C．(－∞，1) 2 解析：∵f′(x)＝2x－x 2x＋1x－1 ＝ (x＞0)． x ∴当 x∈(0,1)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数； B．(1，＋∞) D．(－1,1)
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第11节 导数与函数的单调性课件 文
12/11/2021
第二十五页，共四十五页。
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►考法 2 根据函数的单调性求参数 【例 3】 (1)(2017·江苏高考)已知函数 f(x)＝x3－2x＋ex－e1x，其 中 e 是自然对数的底数．若 f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数 a 的取值范 围是________．
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解析答案
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4．(教材改编)函数 f(x)＝cos x－x 在(0，π)上的单调性是( )
A．先增后减
B．先减后增
C．增函数
D．减函数
D [f ′(x)＝－sin x－1，又 x∈(0，π)，所以 f ′(x)＜0，因此 f(x)在(0，π)上是减函数，故选 D.]
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的单调区间．
(1)已知函数 f(x)＝13x3＋x2＋ax＋1(a∈R)，求函数 f(x)
[解] f ′(x)＝x2＋2x＋a 开口向上，Δ＝4－4a＝4(1－a)． ①当 1－a≤0，即 a≥1 时，f ′(x)≥0 恒成立， f(x)在 R 上递增．
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解析答案
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第二十八页，共四十五页。
解析答案
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[解] ①h(x)＝ln x－12ax2－2x，x∈(0，＋∞)，所以 h′(x)＝1x－ ax－2，由于 h(x)在(0，＋∞)上存在递减区间，
所以当 x∈(0，＋∞)时，1x－ax－2＜0 有解，即 a＞x12－2x有解．
设 G(x)＝x12－2x，所以只要 a＞G(x)min 即可．
第十页，共四十五页。
解析答案
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5．已知 f(x)＝x3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则 a 的取值范围 是________．
2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第2讲
A．a＝－2 B．a＝2 C．a≤－2 D．a≥2 解析 二次函数的对称轴方程为 x＝－a－3 1，由题意知 －a－3 1≥1，即 a≤－2.
4．[2018·信阳模拟]已知函数 f(x)是 R 上的增函数，对 实数 a，b，若 a＋b>0，则有( )
A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) B．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b) C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b) D．f(a)－f(b)<f(－a)－f(－b)
)
A．有最小值 B．有最大值
C．是减函数 D．是增函数
解析 ∵f(x)＝x2－2ax＋a 在(0，＋∞)上有最小值，∴ a>0.
∴g(x)＝fxx＝x＋ax－2a 在(0， a)上单调递减，在( a， ＋∞)上单调递增，h(x)>h(1)＝3.
∴g(x)在(0，＋∞)上一定有最小值．
4．[2018·四川模拟]已知函数 f(x)＝a－|1x|. (1)求证：函数 y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (2)若 f(x)<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数 a 的取值范 围．
解析 ∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a. ∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)．∴选 A.
5．若函数 y＝f(x)在 R 上单调递增，且 f(m2＋1)>f(－m
＋1)，则实数 m 的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)
C．(－1,0)
D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
解析 由题意得 m2＋1>－m＋1，故 m2＋m>0，故 m<
为( )
A．(1，＋∞) C.12，＋∞
4．[2018·信阳模拟]已知函数 f(x)是 R 上的增函数，对 实数 a，b，若 a＋b>0，则有( )
A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) B．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b) C．f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b) D．f(a)－f(b)<f(－a)－f(－b)
)
A．有最小值 B．有最大值
C．是减函数 D．是增函数
解析 ∵f(x)＝x2－2ax＋a 在(0，＋∞)上有最小值，∴ a>0.
∴g(x)＝fxx＝x＋ax－2a 在(0， a)上单调递减，在( a， ＋∞)上单调递增，h(x)>h(1)＝3.
∴g(x)在(0，＋∞)上一定有最小值．
4．[2018·四川模拟]已知函数 f(x)＝a－|1x|. (1)求证：函数 y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数； (2)若 f(x)<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数 a 的取值范 围．
解析 ∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a. ∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)．∴选 A.
5．若函数 y＝f(x)在 R 上单调递增，且 f(m2＋1)>f(－m
＋1)，则实数 m 的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(0，＋∞)
C．(－1,0)
D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
解析 由题意得 m2＋1>－m＋1，故 m2＋m>0，故 m<
为( )
A．(1，＋∞) C.12，＋∞
高三数学一轮复习课件之2.11导数与函数的单调性
＜0，a＝12f
π3，b＝0，c＝－
3 2f
76π，则(
)
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．c＜b＜a
D．c＜a＜b
29
A [由 f(x)＝f(2π－x)，得函数 f(x)的图象关于直线 x＝π 对称， 令 g(x)＝f(x)cos x，则 g′(x)＝f′(x)cos x－f(x)·sin x＞0，
13
不含参数的函数的单调性
1．函数 y＝12x2－ln x 的单调递减区间为(
)
A．(－1,1)
B．(0,1)
C．(1，＋∞)
D．(0，＋∞)
14
B [函数 y＝12x2－ln x 的定义域为(0，＋∞)， y′＝x－1x＝x2－x 1＝x－1xx＋1， 令 y′＜0，得 0＜x＜1， 所以单调递减区间为(0,1)，故选 B.]
第2章 函数、导数及其应用
第十一节 导数与函数的单调性
2
[考纲传真] 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究 函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)．
01 课前知识全通关
栏 目
02 课堂题型全突破
导 03 真题自主验效果 航
04 课后限时集训
4
课前 知识全 通 关
5
15
2．已知函数 f(x)＝xln x，则 f(x)( )
A．在(0，＋∞)上递增 B．在(0，＋∞)上递减
C．在0，1e上递增
D．在0，1e上递减
16
D [因为函数 f(x)＝xln x，定义域为(0，＋∞)，所以 f′(x)＝ln x ＋1(x＞0)，
当 f′(x)＞0 时，解得 x＞1e，即函数的单调递增区间为1e，＋∞； 当 f′(x)＜0 时，解得 0＜x＜1e， 即函数的单调递减区间为0，1e，故选 D.]
2019年高考数学复习精选课件 第二节 导数与函数的单调性
上单调递减,在
1 a 2a
,
上单
调递增.
栏目索引
方法技巧 用导数法判断函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤: ①求f '(x). ②确定f '(x)在(a,b)内的符号. ③作出结论:f '(x)>0时为增函数;f '(x)<0时为减函数. [提醒] 研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解 集的影响进行分类讨论.
栏目索引
文数
课标版
2019高考数学（文）复习第一轮精品资料
栏目索引
2-1 已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公共切线,求a,b的 值; (2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间. 解析 (1)f '(x)=2ax,g'(x)=3x2+b. 因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公共切线,所以f(1)= g(1),且f '(1)=g'(1). 即a+1=1+b,且2a=3+b. 解得a=3,b=3. (2)记h(x)=f(x)+g(x).
(2)由题意构造函数F(x)=f(x)- 1 x,
2
则F'(x)=f '(x)- 1 ,
2
∵f '(x)< 1 ,∴F'(x)=f '(x)- 1 <0,
2
2
即函数F(x)在R上单调递减.
∵f(x2)< x2 + 1 ,∴f(x2)- x2 <f(1)- 1 ,