导数与函数极值、最值问题(解析版)
1 / 36 【高考地位】导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大. 【方法点评】类型一利用导数研究函数的极值使用情景：一般函数类型解题模板：第一步计算函数()fx的定义域并求出函数()fx的导函数'()fx；
第二步求方程'()0fx的根；
第三步判断'()fx在方程的根的左、右两侧值的符号；
第四步利用结论写出极值. 例1 已知函数xxxfln1)(，求函数fx的极值.
【答案】极小值为1，无极大值.
【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0fx，可解出其极值点，然后根据导函数
大于0、小于0即可判断函数()fx的增减性，进而求出函数()fx的极大值和极小值．
【变式演练1】已知函数322()fxxaxbxa在1x处有极值10，则(2)f等于（）
A．11或18 B．11 C．18 D．17或18 【答案】C 【解读】
导数与函数的单调性、极值、最值问题专题
导数与函数的单调性、极值、最值问题
高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)导数的运算是导数应用的基础，要求是B级，熟练掌握导数的四则运算法则、常用导数公式，一般不单独设置试题，是解决导数应用的第一步；(2)利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是B级，对应用导数研究函数的单调性与极值要达到相等的高度.
真 题 感 悟
1.(2017·江苏卷)已知函数f (x)＝x3－2x＋ex－1ex，其中e是自然对数的底数，若f (a－1)＋f (2a2)≤0，则实数a的取值范围是________.
解析 f ′(x)＝3x2－2＋ex＋1ex≥3x2－2＋2ex·1ex＝3x2≥0且f ′(x)不恒为0，所以f (x)为单调递增函数.
又f (－x)＝－x3＋2x＋e－x－ex
＝－(x3－2x＋ex－1ex)＝－f (x)，
故f (x)为奇函数，
由f (a－1)＋f (2a2)≤0，得f (2a2)≤f (1－a)，
∴2a2≤1－a，解之得－1≤a≤12，
故实数a的取值范围是－1，12.
答案 －1，12
2.(2017·江苏卷)已知函数f (x)＝x3＋ax2＋bx＋1(a>0，b∈R)有极值，且导函数f ′(x)的极值点是f (x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
(2)证明：b2>3a；
(3)若f (x)，f ′(x)这两个函数的所有极值之和不小于－72，求a的取值范围.
(1)解 由f (x)＝x3＋ax2＋bx＋1，
得f ′(x)＝3x2＋2ax＋b＝3x＋a32＋b－a23.
当x＝－a3时，f ′(x)有极小值b－a23.
因为f ′(x)的极值点是f (x)的零点，
所以f －a3＝－a327＋a39－ab3＋1＝0，
又a>0，故b＝2a29＋3a.
专题04 用导数研究函数的最值(学生版) -2025年高考数学压轴大题必杀技系列导数
专题4 用导数研究函数的最值
函数与导数一直是高考中的热点与难点,函数的最值是函数的一个重要性质,有些复杂的函数的最值,只能借
助导数来求,高考常考题型一是给出确定函数或含有参数的函数求最值,二是求解不等式恒成立问题,常常利
用函数的最值来求解,此类问题一般难度较大,多以压轴题形式出现.
(一) 求函数
yfx在闭区间
,ab上的最值
一般地,如果在区间
,ab上函数
yfx的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值与最小值．
求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a,b)内的极值；
(2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b)；
(3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值．
【例1】（2024届山西省晋中市平遥县高三冲刺调研）已知函数π
lnsinsin
10fxxx++.
(1)求函数
fx
在区间
1,e上的最小值；
(2)判断函数
fx
的零点个数，并证明.
【解析】（1）因为π
lnsinsin
10fxxx++，
所以1
()cosfxx
x¢+，令1
()cosgxfxx
x+¢，
21
singxx
x-¢-，
当
1,eÎx时，
21
sin0gxx
x--<¢，
所以
gx在
1,e上单调递减，且
11cos10g+>，
112π11
ecose
ee3e2g++-<，
所以由零点存在定理可知，在区间[1,e]存在唯一的a
，使
0gfaa¢
又当
1,xaÎ时，
0gxfx¢>；当
,exaÎ时，
0gxfx¢<
；所以
fx在
1,xaÎ上单调递增，在
,exaÎ上单调递减，
又因为ππ
1ln1sin1sinsin1sin
1010f+++，
ππ
elnesinesin1sinesin1
1010ff++++>，
所以函数()fx在区间[1,e]上的最小值为π
2020版高考数学新设计大一轮复习 利用导数研究函数的极值、最值习题理(含解析)新人教A版
1 第2课时 利用导数研究函数的极值、最值
考点一 利用导数解决函数的极值问题 多维探究
角度1 根据函数图象判断函数极值
【例1－1】 已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(
)
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
解析 由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.
答案 D
规律方法 由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
角度2 已知函数求极值
【例1－2】 (2019·哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R).
(1)当a＝12时，求f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
解 (1)当a＝12时，f(x)＝ln x－12x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝1x－12＝2－x2x，
令f′(x)＝0，得x＝2，
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表. 2 x (0，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ln 2－1
故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值.
(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1x－a＝1－axx(x>0).
当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；
第3章 第2节 第2课时 导数与函数的极值、最值-2022届高三数学一轮复习讲义(新高考)
第2课时 导数与函数的极值、最值
一、教材概念·结论·性质重现
1．函数的极值与导数
条件 f ′(x0)＝0
x0附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0 x0附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0
图象
形如山峰
形如山谷
极值 f (x0)为极大值
f (x0)为极小值
极值点 x0为极大值点 x0为极小值点
(1)函数的极大值和极小值都可能有多个，极大值和极小值的大小关系不确定．
(2)对于可导函数f (x)，“f ′(x0)＝0”是“函数f (x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件．
2．函数的最值与导数
(1)函数f (x)在[a，b]上有最值的条件
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤
①求函数y＝f (x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
(1)求函数的最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值．
(2)若函数f (x)在区间[a，b]内是单调函数，则f (x)一定在区间端点处取得最值；若函数f (x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
(3)函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)函数的极大值不一定比极小值大． (√)
(2)对可导函数f (x)，f ′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件． (×)
(3)函数的极大值一定是函数的最大值． (×)
(4)开区间上的单调连续函数无最值． (√)
专题19 利用导数求函数的最值(解析版)
专题19 利用导数求函数的最值
一、单选题
1．若函数y＝x3＋32x2＋m在[-2，1]上的最大值为92，则m等于（ ）
A．0 B．1
C．2 D．52
【答案】C
【分析】
利用导数研究函数的单调性，找出最值，解方程即可得到答案.
【详解】
'2333(1)yxxxx，易知，当10x时，'0y，当21x或01x时，'0y，
所以函数y＝x3＋32x2＋m在(2,1)，(0,1)上单调递增，在(1,0)上单调递减，又当1x时，
12ym，当1x时，52ym，所以最大值为5922m，解得2m.
故选：C
2．已知函数2()fxxa，2()xgxxe，若对于任意的2[1,1]x，存在唯一的112[,]2x，使得12()()fxgx，则实数a的取值范围是（ ）
A．（e，4） B．（e14，4] C．（e14，4） D．（14，4]
【答案】B
【分析】
结合导数和二次函数的性质可求出()fx和()gx的值域，结合已知条件可得[0e4[]a,，1)4a，从而可求出实数a的取值范围.
【详解】
解：g（x）=x2ex的导函数为g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，当0x时，0gx，
由1,0x时，0gx，0,1x时，0gx，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，
在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e，
所以对于任意的2[1,1]x，2()[0,e]gx．因为2yxa开口向下，对称轴为y轴， 又10202，所以当0x时，max()fxa，当2x时，min()4fxa，
则函数2()fxxa在[12，2]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在11[,]22，
专题3.3导数与函数的极值、最值(2021年高考数学一轮复习专题)
专题 导数与函数的极值、最值
一、题型全归纳
题型一 利用导数解决函数的极值问题
【题型要点】利用导数研究函数极值问题的一般流程
命题角度一 由图象判断函数的极值
【题型要点】由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：
(1) 由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；
(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，两者结合可得极值点
【例1】设函数xf在R上可导，其导函数为xf，且函数xfxy1的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A.函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1） B.函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（1）
C.函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（－2）D.函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（2）
【解析】由题图可知，当x＜－2时，xf＞0；当－2＜x＜1时，xf＜0；当1＜x＜2时，xf＜0；当x＞2时，xf＞0.由此可以得到函数f（x）在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值.
【例2】已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图，则下列叙述正确的是( )
A．函数f(x)在(－∞，－4)上单调递减 B．函数f(x)在x＝2处取得极大值
C．函数f(x)在x＝－4处取得极值 D．函数f(x)有两个极值点
【解析】由导函数的图象可得，当x≤2时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增；当x>2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以函数f(x)的单调递减区间为(2，＋∞)，故A错误．当x＝2时函数取得极大值，故B正确．当x＝－4时函数无极值，故C错误．只有当x＝2时函数取得极大值，故D错误．故选B.
命题角度二 求已知函数的极值
高考数学导数与函数的极值、最值
- 1 - 高考数学导数与函数的极值、最值
最新考纲 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).
知 识 梳 理
1.函数的极值与导数
(1)判断f(x0)是极值的方法
一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0，
①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0，那么f(x0)是极小值.
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.
2.函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)设函数f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.( )
(2)函数的极大值不一定比极小值大.( ) - 2 - (3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件.( )
(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( )
解析 (1)函数在某区间上或定义域内的极大值不唯一.(3)x0为f(x)的极值点的充要条件是f′(x0)＝0，且x0两侧导数符号异号.
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
2023届高考数学导数满分通关：含参函数的极值、最值讨论
专题10 含参函数的极值、最值讨论
考点一 含参函数的极值
【例题选讲】
[例1] 设a＞0，函数f(x)＝12x2－(a＋1)x＋a(1＋ln x)．
(1)若曲线y＝f(x)在(2，f(2))处的切线与直线y＝－x＋1垂直，求切线方程．
(2)求函数f(x)的极值．
解析 (1)由已知，得f′(x)＝x－(a＋1)＋ax(x＞0)，又由题意可知y＝f(x)在(2，f(2))处切线的斜率为1，
所以f′(2)＝1，即2－(a＋1)＋a2＝1，解得a＝0，此时f(2)＝2－2＝0，故所求的切线方程为y＝x－2．
(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋ax＝x2－(a＋1)x＋ax＝(x－1)(x－a)x(x＞0)．
①当0＜a＜1时，若x∈(0，a)，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；若x∈(a，1)，则f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；若x∈(1，＋∞)，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．此时x＝a是f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(a)＝－12a2＋aln a，极小值是f(1)＝－12．
②当a＝1时，f′(x)＝(x－1)2x≥0，所以函数f(x)在定义域(0，＋∞)内单调递增，
此时f(x)没有极值点，故无极值．
③当a＞1时，若x∈(0，1)，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
若x∈(1，a)，则f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；若x∈(a，＋∞)，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．
此时x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点，
函数f(x)的极大值是f(1)＝－12，极小值是f(a)＝－12a2＋aln a．
综上，当0＜a＜1时，f(x)的极大值是－12a2＋aln a，极小值是－12；当a＝1时，f(x)没有极值；当a＞1时f(x)的极大值是－12，极小值是－12a2＋aln a．
[例2] 已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．
导数与函数的单调性、极值、最值
1 §3.2 导数与函数的单调性、极值、最值
1．函数的单调性
在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．
2．函数的极值
(1)判断f(x0)是极值的方法
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
3．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( × )
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( √ )
(3)函数的极大值不一定比极小值大．( √ )
(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．( × )
(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( √ ) 2 (6)函数f(x)＝xsin x有无数个极值点．( √ )
高中数学导数与函数极值最值知识讲解+例题练习+课下作业
高二数学导数与极值、最值专题
一、
方法总结
1、 求函数()fx
的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间，求导数()fx
(2)求方程()0fx=
的根
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查()fx
在方程根
左右的值的符号，如果左正右负，那么()fx
在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么()fx
在这个
根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则()fx
在这个根处无极值
2、利用导数求函数的最值步骤:
⑴求)(xf
在(,)ab
内的极值；
⑵将)(xf
的各极值与)(af
、)(bf
比较得出函数)(xf
在
ba,
上的最值
二、例题解析
例1、上图是导函数)(xfy=
的图象，函数y=f(x)的极大值点是_ _,极小值点是 ．
例2.求下列函数的极值
1. f(x)=x2
e−x
2. y=lnx
x
3. f(x)=1
3x3
−x2
−3x+3
4.f(x)=2x
x2
+1−25
例3、已知函数)∈()2+-(=)(2
Rxexxxfx
，求函数f（x）的单调区间和极值。
变式：
1、已知函数1)6()(23
++++=xaaxxxf
有极大值和极小值，求a的取值范围。
2、若223
)(abxaxxxf+++=
在1=x
处有极值10，求a、b的值．
3、求函数4+4-
31
=)(3
xxxf
的极值． 如果[6,)x−+
，则y=)(xf
的极值又是什么呢？
例4、
设函数2132
()x
fxxeaxbx−
=++
，已知2x=−
和1x=
为()fx
的极值点．
（Ⅰ）求()fx
解析式
（Ⅱ）讨论()fx
的单调性； （Ⅲ）设322
()
3gxxx=−
，试比较()fx
与()gx
的大小．
变式：1、求下列函数的最值：
（1）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。
（2）已知，则函数的最大值为______，最小值为______。
2、已知()fx=3211
6
32xxx−−