高一数学必修一函数的零点
目录第一章集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1 集合的含义与表示
1.1.2 集合间的基本关系
1.1.3 集合的基本运算
1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
1.2.2 函数的表示法
1.3 函数的基本性质
1.3.1 单调性与最大（小）值
1.3.2 奇偶性
章末整合提升
第二章基本初等函数（I）
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
2.1.2 指数函数及其性质
2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算
2.2.2 对数函数及其性质
2.3 幂函数
章末整合提升
第三章函数的应用
3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
3.1.2 用二分法求方程的近似解
3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
3.2.2 函数模型的应用实例
章末整合提升
第三章 函数的应用
3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
【基础知识解读】 知识点一 函数的零点
1.函数零点的概念：对于函数()x f y =，我们把使()0=x f 的实数x 叫做函数()x f y =的零点.
2.函数的零点与方程的根之间的关系：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数
)(x f y =有零点．
由此可知，求方程0)(=x f 的实数根，就是确定函数)(x f y =的零点. 注意：①并不是所有的函数都有零点，如函数()x
x f 1
=
就没有零点. ②方程不同实根的个数⇔函数图象与x 轴交点的个数⇔函数零点的个数.
③函数的零点不是点：我们把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数)(x f y =的零点.因此，函数的零点不是点，是函数()x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标，即零点是一个实数.当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零. 3、函数零点的求法：求函数)(x f y =的零点：
①（代数法）求方程0)(=x f 的实数根；
② （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
例：求下列函数的零点：
()()341-=x x f ； ()()3222+--=x x x f .
知识点二 二次函数的零点
二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y ．
1）△＞0，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点． 2）△＝0，方程02=++c bx ax 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
3）△＜0，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点．
知识点三 函数零点存在性定理 1. 零点存在性定理
如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0<⋅b f a f ，那么函数()x f y =在区间()b a ,内有零点，即存在()b a c ,∈，使得()0=c f ，这个c 也就是方程()0=x f 的根. 2. 零点存在性定理的适用条件
①判断零点是否存在是在闭区间[]b a ,上进行的.
②函数()x f y =在[]b a ,上的图象应是连续无间断的一条曲线. ③()()0<⋅b f a f 是关键条件，即两端点的函数值必须异号.
④若函数()x f 在两端点处的函数值()()b f a f ,异号，则函数()x f y =的图象至少穿过x 轴一次，即方程()0=x f 在区间()b a ,内至少有一个实根c .
3. 零点存在性定理的使用范围
①此判定定理只能判定出零点的存在性，而不能判断出零点的个数.
②此判定定理是不可逆的，因为()()⇒<⋅0b f a f 函数()x f y =在区间()b a ,内存在零点.但是已知函数()x f y =在区间()b a ,内存在零点不一定推出()()0<⋅b f a f .
③若()()0>⋅b f a f ，且函数()x f 在[]b a ,上不单调，则零点是否存在不确定. 例：判断下列函数在给定区间上是否存在零点：
()()()8,1,18312∈--=x x x x f ； ()()()[]3,1,2log 22∈-+=x x x x f .
知识点四 一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 根的分布
设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2
()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2b
x a
=-
③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔
②x 1≤x 2＜k ⇔
③x 1＜k
＜x 2 ⇔ af (k )＜0
④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔
⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔
f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合
⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．
【应用能力提升】
应用点一 求函数的零点 例1.求下列函数的零点：
()()03212>++-=x x x y ； ()()x x f 2log 2=
应用点二 函数零点的存在性问题
例2.试判断方程122
4
=+-x x x 在区间[]2,0上是否有实数根？并说明理由.
应用点三 确定函数零点的个数
例3.求函数()()21lg 2-++=x x f x
的零点个数.（用不同方法解答）
变式1：试求方程()R a a x x ∈=---0122的根的个数
变式2：设函数()⎩⎨⎧>≤++=,0
,2,
0,2x x c bx x x f 若()()04f f =-，()22-=-f ，试判断函数()()x x f x h -=零点的个
数.
应用点四 判断函数零点所在的区间 例4.函数()()()02
1ln >-
+=x x
x x f 的零点所在的大致区间是 （ ） ()1,0.A ()2,1.B ()e C ,2. ()4,3.D
应用点五 由函数零点确定参数的取值（范围） 例5.若函数()12
--=x ax x f 仅有一个零点，求实数a .
例6.已知二次函数()()m x m x x f 212
+--=在区间[]1,0上有且仅有一个零点，求实数m 的取值范围.
3.1.2 用二分法求方程的近似解
【基础知识解读】
知识点一 二分法的概念
对于在区间[]b a ,上连续不断且()()0<⋅b f a f 的函数()x f y =，通过不断地把函数()x f 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
知识点二 二分法的步骤
给定精确度ε，用二分法求函数()x f 零点近似值的步骤如下： （1）确定区间[]b a ,，验证()()0<⋅b f a f ，给定精确度ε； （2）求区间()b a ,的中点c ； （3）计算()c f ；
①若()0=c f ，则c 就是函数的零点；
②若()()0<⋅c f a f ，则令c b =（此时零点()c a x ,0∈）； ③若()()0<⋅b f c f ，则令c a =（此时零点()b c x ,0∈）.
（4）判断是否达到精确度ε，即若ε<-b a ，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复（2）—（4）.
【应用能力提升】
应用点一 用二分法判断根的存在区间
例1.方程06322
3
=-+-x x x 在区间[]4,2-上的根必定在 （ ）
[]1,2.-A 上 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,25.B 上 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡47,1.C 上 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡25,47.D 上
应用点二 用二分法求函数零点的近似值
例2.求函数()1932
3
+--=x x x x f 的一个负零点（精确度0.01）.
应用点三 用二分法求方程的近似解
例3.求方程122
+=x x 的一个近似解（精确度0.1）
变式：求方程01
3=++
x x
x
的近似解（精确度0.1）.
应用点四 二分法求两函数图象的交点问题
例4.用计算器求出函数()()22,2
+==x x g x x f 的图象交点的横坐标（精确度0.1）.。
函数的应用(知识梳理)-高一数学单元复习(人教A版必修1)
专题02函数的应用(知识梳理)第一节 函数与方程1．函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)几个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0图象与x 轴的交点 (x 1,0)，(x 2,0)(x 1,0) 无交点 零点个数 21[小题体验]1．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案：B2．(教材习题改编)函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数是______． 答案：13．函数f (x )＝kx ＋1在[1,2]上有零点，则k 的取值范围是________． 答案：⎣⎡⎦⎤－1，－121．函数f (x )的零点是一个实数，是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．[小题纠偏]1．(2018·诸暨模拟)函数f(x)按照下述方法定义：当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x；当x>2时，f(x)＝12(x－2)2，则方程f(x)＝12的所有实数根之和是()A．2 B．3 C．5 D．8解析：选C画出函数f(x)的图象，如图所示：结合图象x<2时，两根之和是2，x>2时，由12(x－2)2＝12，解得x＝3，故方程f(x)＝12的所有实数根之和是5，故选C.2．给出下列命题：①函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)；②函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0；③二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点；④若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．其中正确的是________(填序号)．答案：③④考点一函数零点所在区间的判定基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知实数a>1,0<b<1，则函数f(x)＝a x＋x－b的零点所在的区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析：选B∵a>1,0<b<1，f(x)＝a x＋x－b，∴f(－1)＝1a－1－b<0，f(0)＝1－b>0，由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点．2．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：选B函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数大致图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.3．函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上______(填“存在”或“不存在”)零点．解析：法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，f(8)＝82－3×8－18＝22>0，∴f(1)·f(8)<0，又f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]的图象是连续的，故f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，∴(x－6)(x＋3)＝0.∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，∴f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．答案：存在[谨记通法]确定函数f(x)的零点所在区间的2种常用方法(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当f(a)·f(b)<0时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点，如“题组练透”第1题．(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点，如“题组练透”第2题．考点二判断函数零点个数重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为()A．0B．1C．2 D．3解析：选C 由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．在同一直角坐标系中画出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象，如图所示：由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A 由f (f (x ))＋1＝0得f (f (x ))＝－1， 由f (－2)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1 得f (x )＝－2或f (x )＝12.若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝ 2.综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1的零点的个数是4，故选A.[由题悟法]判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．[即时应用]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 函数y ＝f (x )＋x －4的零点，即函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的交点的横坐标．如图所示，函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象有两个交点，故函数y ＝f (x )＋x －4的零点有2个．故选B.2．(2018·杭州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，－1<x ≤1，f x －2＋1，1<x ≤3，则函数g (x )＝f (f (x ))－2在区间(－1,3]上的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，－1<x ≤1，f x －2＋1，1<x ≤3，∴当－1＜x ≤1时，12<f (x )≤2，当1<x ≤3时，－1<x －2≤1，f (x )＝f (x －2)＋1＝2x －2＋1∈⎝⎛⎦⎤32，3； 设h (x )＝f (f (x ))，①当－1<x ≤0时，h (x )＝22x ，2<h (x )≤2， ∴g (x )＝h (x )－2有一个零点x ＝0； ②当0<x ≤1时，h (x )＝22x －2＋1，32<h (x )≤2，∴g (x )＝h (x )－2有一个零点x ＝1； ③当1<x ≤3时，h (x )＝22x －2＋1－2＋1， 22＋1<h (x )≤3，g (x )有一个零点； 综上，函数g (x )在区间(－1,3]上有3个零点，故选C. 考点三 函数零点的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝a |x －2|－a ，其中a ＞0，且为常数．若函数y ＝f (f (x ))有10个零点，则a 的取值范围是________．解析：当x ≥0时，令f (x )＝0，得|x －2|＝1， 即x ＝1或x ＝3.因为f (x )是定义在R 上的偶函数， 所以f (x )的零点为x ＝±1或x ＝±3. 令f (f (x ))＝0， 则f (x )＝±1或f (x )＝±3.因为函数y ＝f (f (x ))有10个零点，所以函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝±1和y ＝±3共有10个交点．由图可知1＜a ＜3.答案：(1,3)[由题悟法]已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用3方法 直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围 分离参数法 先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决数形结合法 先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解[即时应用]1．若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点， ∴方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解， 即方程a ＝4x －2x 在[－1,1]上有解． 方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝⎝⎛⎭⎫2x －122－14， ∵x ∈[－1,1]，∴2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2， ∴⎝⎛⎭⎫2x －122－14∈⎣⎡⎦⎤－14，2. ∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，2. 答案：⎣⎡⎦⎤－14，2 2．(2018·浙江名校高考研究联盟联考)方程x 2＋3x －2＝0的解可视为函数y ＝x ＋3的图象与函数y ＝2x的图象交点的横坐标．若方程x 4＋ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点⎝⎛⎭⎫x i ，4x i (i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知，方程x 4＋ax －4＝0的实根是曲线y ＝x 3＋a 与曲线y ＝4x 的交点的横坐标，而曲线y ＝x 3＋a 是由函数y ＝x 3的图象向上或向下平移|a |个单位长度得到的．若方程x 4＋ax －4＝0的各个实数根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点⎝⎛⎭⎫x i ，4x i(i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，如图，结合图象可得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，－23＋a >－2或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，23＋a <2，解得a <－6或a >6，所以实数a 的取值范围是(－∞，－6)∪(6，＋∞)．答案：(－∞，－6)∪(6，＋∞)第二节 函数模型及其应用1．几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 反比例函 数模型 f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数且k ≠0) 二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 指数函数模型f (x )＝ba x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 幂函数模型 f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)函数 性质 y ＝a x (a >1) y ＝log a x (a >1) y ＝x n (n >0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化随x 的增大 逐渐表现为 随x 的增大 逐渐表现为随n 值变化 而各有不同与y轴平行与x轴平行值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x3.解函数应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；(3)解模：求解函数模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题．以上过程用框图表示如下：[小题体验]1．(教材习题改编)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()答案：B2．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．答案：2001．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解题意，选择适当的函数模型．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．[小题纠偏]1．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点答案：D2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是__________．答案：y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)考点一二次函数模型重点保分型考点——师生共研[典例引领]某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段．已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m(h≥1)时达到距水面最大高度4 m，规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．解：由题意，最高点为(2＋h,4)，(h≥1)．设抛物线方程为y＝a[x－(2＋h)]2＋4.(1)当h＝1时，最高点为(3,4)，方程为y＝a(x－3)2＋4.(*)将点A(2,3)代入(*)式得a＝－1.即所求抛物线的方程为y＝－x2＋6x－5.(2)将点A(2,3)代入y＝a[x－(2＋h)]2＋4，得ah2＝－1.由题意，方程a[x－(2＋h)]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解．令f (x )＝a [x －(2＋h )]2＋4＝－1h2[x －(2＋h )]2＋4，则⎩⎨⎧f 5＝－1h 23－h 2＋4≥0，f6＝－1h24－h2＋4≤0.解得1≤h ≤43.故达到比较好的训练效果时的h 的取值范围是⎣⎡⎦⎤1，43. [由题悟法]二次函数模型问题的3个注意点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．[即时应用]A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？ 解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]． (2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152⎝⎛⎭⎫x －10032＋50 0003， 所以当x ＝1003时，y min ＝50 0003. 故核电站建在距A 城1003 km 处，能使供电总费用y 最少．考点二 函数y ＝x ＋ax模型的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．解：(1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40，因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)． (2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥2 6x ＋10·f(8003x ＋5)－10＝70(万元)， 当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5， 即x ＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元．[由题悟法]应用函数y ＝x ＋a x模型的关键点 (1)明确对勾函数是正比例函数f (x )＝ax 与反比例函数f (x )＝b x叠加而成的． (2)解决实际问题时一般可以直接建立f (x )＝ax ＋b x的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f (x )＝ax ＋b x的形式． (3)利用模型f (x )＝ax ＋b x求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件． [即时应用]“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题，近年来，某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C (单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x (单位：平方米)之间的函数关系是C (x )＝k 50x ＋250(x ≥0，k 为常数)．记y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．(1)试解释C (0)的实际意义，并建立y 关于x 的函数关系式并化简；(2)当x 为多少平方米时，y 取得最小值，最小值是多少万元？解：(1)C (0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，∵C (0)＝k 250＝4， ∴k ＝1 000，∴y＝0.2x＋1 00050x＋250×4＝0.2x＋80x＋5(x≥0)．(2)y＝0.2(x＋5)＋80x＋5－1≥20.2×80－1＝7，当x＋5＝20，即x＝15时，y min＝7，∴当x为15平方米时，y取得最小值7万元．考点三指数函数与对数函数模型重点保分型考点——师生共研[典例引领](2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11, lg 2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年解析：选B法一：设2015年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n＞200，得 1.12n＞2013，两边取常用对数，得n＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．法二：根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以a n＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1＞200，两边同时取常用对数，得n－1＞lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.3－0.110.05＝3.8，则n＞4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.[由题悟法]指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．[即时应用]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．解：(1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t >1， 当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝⎛⎭⎫121－a ＝4得a ＝3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t >1. (2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧ t >1，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5. 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．。
函数的零点与方程的解+课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
. . .
8
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6
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4
.
2
.
. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
－2 .
－4
－6
f (2) ln 2 2 0，f (3) ln 3 0，即f (2) f (3) 0
又 f (x)在(0, )连续
由函数零点存在定理知，f (x)在(2,3)内至少有一个零点
易证f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)上是增函数， 所以函数在定义域(0,+∞)内仅有一个零点.
[例2]方程ex－x－2＝0的根所在区间为( AD ). A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D(1,2)
(法1)令f(x)=ex－x－2，
(法2)ex－x－2＝0的根
f(-2)=e-2+2－2=e-2>0，
⇔ex=x－2的根
f(-1)=e-1+1－2=e-1-1<0， ⇔y=ex和y=x－2的交点横坐标
f(0)=e0－0－2=-1<0， f(1)=e1－1－2=e－3<0， f(2)=e2－2－2=e2－4>0.
画图 检验f(-2)·f(-1)<0 及f(1)·f(2)<0
函数零点存在定理的运用2——确定零点个数
[例3]函数f(x)=ex+ln|x|的零点个数为___2___个.
函数零点存在定理的运用3——由零点个数求参数
记载了费拉里的四 次方程 一般解法
1802～1829·挪威 阿贝尔
证明了五次以上一般方程 没有求根公式
ln x 2x 6 0
y ln x 2x 6
超越方程
零点问题
不能用代数运算求解 一种判定函数有零点的方法
数学高中必修知识点必备
数学高中必修知识点必备人教版数学必修一知识点1、函数零点的定义(1)对于函数)(xfy，我们把方程0)(xf的实数根叫做函数)(xfy的零点。
(2)方程0)(xf有实根Û函数()yfx的图像与x轴有交点Û函数()yfx有零点。
因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(xf是否有实数根，有几个实数根。
函数零点的求法：解方程0)(xf，所得实数根就是()fx的零点(3)变号零点与不变号零点①若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()fx的变号零点。
②若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()fx的不变号零点。
③若函数()fx在区间,ab上的图像是一条连续的曲线，则0)()(2、函数零点的判定(1)零点存在性定理：如果函数)(xfy在区间],[ba上的图象是连续不断的曲线，并且有()()0fafb，那么，函数)(xfy在区间,ab内有零点，即存在),(0bax，使得0)(0xf，这个0x也就是方程0)(xf的根。
(2)函数)(xfy零点个数(或方程0)(xf实数根的个数)确定方法①代数法：函数)(xfy的零点Û0)(xf的根;②(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。
(3)零点个数确定0)(xfy有2个零点Û0)(xf有两个不等实根;0)(xfy有1个零点Û0)(xf有两个相等实根;0)(xfy无零点Û0)(xf无实根;对于二次函数在区间,ab上的零点个数，要结合图像进行确定.3、二分法(1)二分法的定义:对于在区间[,]ab上连续不断且()()0fafb的函数()yfx,通过不断地把函数()yfx的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;(2)用二分法求方程的近似解的步骤:①确定区间[,]ab,验证()()0fafb,给定精确度e;②求区间(,)ab的中点c;③计算()fc;(ⅰ)若()0fc,则c就是函数的零点;(ⅱ)若()()0fafc,则令bc(此时零点0(,)xac);(ⅲ)若()()0fcfb,则令ac(此时零点0(,)xcb);④判断是否达到精确度e,即ab,则得到零点近似值为a(或b);否则重复②至④步.高一数学下册必修知识点整理一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
高一数学函数零点的求解
高中数学函数零点问题的求解函数的零点教材中给出了具体的定义：“对于函数)(x f y =,我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数0)(=x f 的零点，这样函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根，也就是函数)(x f y =的图象与X 轴交点的横坐标，所以方程0)(=x f 有实根⇔函数)(x f y =的图象与X 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点” 对于函数零点问题，我们除了可应用根的存在性定理直接求解外，还可利用“方程0)(=x f 有实根⇔函数)(x f y =的图象与X 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点” 题目进行适当转换，得到各种不同的求解策略。
总结如下：一 、函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。
根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如例1、函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。
分析：显然函数xx x f 2)1ln()(-+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B例2.函数2)(x x f =在下列区间是否存在零点？（ ）（A ）（-3，-1）； （B ）（-1，2）； （C ） （2，3）； （D ）（3，4）。
分析：利用函数零点的存在性定理分析，函数2)(x x f =在所给出的四个区间中都不满足条件0)()(<b f a f ，但由函数2)(x x f =的图象可知它一定有零点0=x 。
高一数学人教A版必修1自我小测：3.1.1方程的根与函数的零点
自我小测1.已知函数f(x)=-21x 2-3x-25.（1）求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x 轴的交点坐标；（2）求函数的单调区间、最值和零点；（3）设图象与x 轴相交于(x 1,0)、(x 2,0)，不求出根，求|x 1-x 2|；（4）已知f(-27)=815，不计算函数值，求f(-25); （5）不计算函数值，试比较f(-41)与f(-415)的大小；（6）写出使函数值为负数的自变量x 的集合.思路解析：讨论二次函数的性质一般要明确其图象的开口方向、对称轴、顶点、与x 轴的交点，求顶点可以用配方法，也可以直接用顶点公式(-a b 2,a b ac 442-)，求与x 轴的交点可借助配方法或直接使用求根公式x=aac b b 242-±-(b 2-4ac ≥0).画函数图象时，一般要标注对称轴、顶点、与x 轴的交点.下面我们选用配方法解答本题. 解：y=-21x 2-3x-25 =-21 (x 2+6x+5) =-21(x 2+6x+9-9+5) =-21［(x+3)2-4］ =-21(x+3)2+2. 令y=0，得(x+3)2=4. ∴x 1=-5,x 2=-1.（1）开口向下，对称轴为直线x=-3，顶点坐标为(-3,2)，与x 轴的交点为(-5,0),(-1,0).（2）单调增区间为(-∞,-3)，单调减区间为(-3,+∞)，有最大值为2，无最小值，零点为-5，-1.（3）x 1、x 2是方程-21x 2-3x-25=0，即方程x 2+6x+5=0的两个根，由根与系数的关系得x 1+x 2=-6,x 1x 2=5.∴|x 1-x 2|=.454)6(4)(221221=⨯--=-+x x x x（4）∵对称轴x=-3，∴f(-3+x)=f(-3-x).∴f(-25)=f(-3+21)=f(-3-21)=f(-27)=815. （5）f(-415)=f(-3-43)=f(-3+43)=f(-49)， ∵-41、-49∈(-3,+∞)，而f(x)在(-3,+∞)上是减函数，且-41>-49，∴f(-41)<f(-49)，即f(-41)<f(-415).（6）{x|x<-5或x>-1}.2.利用函数的图象，指出函数f （x ）=2x ·ln （x-2）-3零点所在的大致区间. 思路解析：首先对x 取值来寻找y 值的符号，然后判断零点所在的大致区间.由上表和上图可知，该函数零点的大致区间为[3,4].5．m 的取值范围为________时，方程x 2－(m ＋13)x ＋m 2＋m ＝0的一根大于1，一根小于1.6．函数f (x )＝－x 2－3x ＋5的正零点所在的大致区间为________． 7．判断函数f (x )＝e x －5零点的个数．8．若方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k 的取值范围．9 若关于x 的方程x 2＋mx ＋m －1＝0有一个正根和一个负根，且负根的绝对值较大，求实数m 的取值范围．参考答案1答案：B解析：方程2x 2－3x ＋1＝0的两根分别为x 1＝1，212x =， 所以函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是12，1. 2答案：C解析：函数有二重零点，即方程x 2－bx ＋1＝0有两个相等实根， ∴0∆=，即240b ∆=-=， ∴b 2＝4，b ＝±2. 3答案：A 解析：设1()()10xf x x =-， 则f (0)＝1＞0，12111()()02102f =-=<， 1(1)1010f =-<，21(2)()2010f =-<， 显然只有1(0)()02f f ⋅<，选A.4答案：C 解析：若a ＝0，则f (x )＝bx ＋c 是一次函数， 由f (1)·f (2)＜0得零点只有一个；若a ≠0，则f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，如有两个零点，则必有f (1)·f (2)＞0，与已知矛盾．5答案：m -<解析：用数形结合的方法解题．设f (x )＝x 2－(m ＋13)x ＋m 2＋m ，则它的开口向上，由图象可得，方程x 2－(m ＋13)x ＋m 2＋m ＝0的一根大于1，一根小于221(1)1(13)120f m m m m ⇔=-+++=-<.解得m -<<6答案：(1,2)解析：222929329()35(3)()4424f x x x x x x =--+=-+++=-++. 所以函数在(－∞，32-]上是增函数，在[32-，＋∞)上是减函数．又因为f (1)＝－1－3＋5＝1＞0，f (2)＝－4－6＋5＝－5＜0，即f (1)·f (2)＜0，则f (x )在(1,2)上有零点． 7解：方法一：f (0)＝－4＜0， f (3)＝e 3－5＞0， ∴f (0)·f (3)＜0.又∵f (x )＝e x －5在R 上是增函数，∴函数f (x )＝e x －5的零点仅有一个．方法二：令y 1＝e x ，y 2＝5，画出两函数图象，由图象可知有一个交点，故函数f (x )＝e x－5的零点仅有一个．8解：设f (x )＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1.∵f (x )＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，∴(0)0,(1)0,(2)0,f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩即210,12210,424210,k k k k k ->⎧⎪+-+-<⎨⎪+-+->⎩∴1223k <<. 9解：令f (x )＝x 2＋mx ＋m －1，其图象的对称轴为2mx =-. 因为方程x 2＋mx ＋m －1＝0有一个正根和一个负根，则函数f (x )有两个零点x 1，x 2.由题意不妨设x 1＞0，x 2＜0，且|x 2|＞|x 1|， 画出函数f (x )的图象如图所示， 由题意可得：(0)010002f m m m <⎧-<⎧⎪⇒⎨⎨>-<⎩⎪⎩ 01m ⇒<<.即所求m 的取值范围为(0,1)．。
函数的零点与方程的解课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
且 f(a)·f(b)<0，则 f(x)在(a，b)内只有一个零点．(×)
目录
小结
1．(1)函数的零点是方程的实根，是函数 y＝f(x)图象与 x 轴交点的横坐标，零 点不是一个“点”，是“实数”． (2)利用函数零点存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 否连续，再看是否有 f(a)·f(b)<0.两者缺一不可，这是函数 y＝f(x)在(a，b)存 在零点的充分不必要条件．
目录
定理理解 函数f(x)存在零点定理的一个推论： 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条 曲线，在区间[a，b]上具有单调性，且有
f(a)·f(b)<0， 那么函数y= f(x)在区间(a , b)内有唯一零点.
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巩固与练习 例1求方程lnx+2x-6=0的实数解的个数.
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定理理解
1.若函数 y=f(x)在区间[a , b]上连续，且 f(a) f(b)<0， 则 y=f(x)在区间(a , b)内只有一个零点吗? 2.若函数 y=f(x)在区间[a , b]上连续，且 f(a) f(b)>0， 则 y=f(x)在区间(a , b)内一定没有零点吗？ 3.函数 y=f(x)在区间(a , b)内有零点，一定能得出 f(a) f(b)<0 的结论吗？ 4.函数零点存在定理的条件， 是函数存在零点的充分不必要条件。
9
y -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
O –1
x 1234
由表 4.5-1 和图 4.5-2 可知，f(2)<0，f(3)>0，则 f(2) f(3)<0. 由函数零点存在定理可知，
高中数学高一必修第三章《方程的根与函数的零点》教育教学课件
反思与感悟
判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来 确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数.(2)利用 函数图象交点的个数判定函数零点的个数.
反思与感悟
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的 图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点. 在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.
跟踪训练1 函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是____4____. 解析 f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1) ＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3). 可知零点为±1，－2,3，共4个.
4.下列各图象表示的函数中没有零点的是( D )
函数 ＝ － 的零点个数是 B
个
个
个
无数个
则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4
＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，
∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内.
反思与感悟
在函数图象连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判断在区间(a，b)内有 零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内 无零点.
3.1.1 方程的根与函数的零点
主讲老师：
CONTENTS
1 • PART 01学习目标 2 • PART 02问题导学
3 • PART 03题型探究
高一数学 函数的零点
高一数学 函数的零点【学习目标】1、理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性。
2、会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系。
3、能通过零点画出函数的图象，并研究其性质。
4、在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．【自主学习】1、引入：已知二次函数○1函数26y x x =--，试求当y=0时的x 值，并画出其图象，由图象观察当x 在何区间上使得y>0？y<0？。
2、零点的定义：一般地，如果函数))((D x x f y ∈=在实数α处的值 ，即 ，则α叫做这个函数的 。
在坐标系中表示 。
3、二次函数的零点：（１）△＞０，方程02=++c bx ax 有 ，二次函数的图象与x 轴有 ，二次函数有 ．（２）△＝０，方程02=++c bx ax 有 ，二次函数的图象与x 轴有 ，二次函数有一个 ．（３）△＜０，方程02=++c bx ax 无 ，二次函数的图象与x 轴无 ，二次函数无 ．4、二次函数零点的性质：当函数图象通过零点且穿过x 轴时，函数值 ;两个零点把x 轴分成三个区间，在每个区间上所有函数值 ；如果一个二次函数有一个二重零点，那么它通过这个二重零点时，函数值的符号 。
跟踪1、分别求下列函数的零点：①122+-=x x y ；②223y x x =--+；③322+-=x x y 。
跟踪2、P72练习A1、①②③④⑤⑥跟踪3、P72 练习A2、①②跟踪4、P72练习B1、2、【合作探究】1、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的是否一定有零点，判断依据是什么2、函数的零点与方程的根、函数图象与x 轴交点的关系：函数)(x f y =有零点⇔方程0)(=x f 有 ⇔函数)(x f y =的图象与x 轴 ．3、函数零点的求法：求函数)(x f y =的零点即求 。
4、二次函数零点两侧的函数值有何变化？零点将x 轴分成几个区间，在每个区间上函数值有何特点？分别以下列函数为例说明①122+-=x x y ；②223y x x =--+；③322+-=x x y 。
高一数学重点：零点问题的解题方法
谈函数与方程(零点问题)的解题方法——解题技能篇从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想．(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．(2)零点存在性定理(函数零点的判定)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．也可以说：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[提醒] 此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．(3)几个等价关系函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与函数y＝0(即x轴)有交点．推广：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)－g(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)－g(x)的图象与y ＝0(即x轴)有交点．推广的变形：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)＝g(x)有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)有交点．1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？提示：不一定，如图所示，f(a)·f(b)>0．3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)<0成立，那么y＝f(x)在(a，b)内存在唯一的零点吗？提示：不一定，可能有多个．(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点零点个数210对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点，涉及题目的主要考向有：1．函数零点的求解与所在区间的判断；2．判断函数零点个数；3．利用函数的零点求解参数及取值范围．考向一、函数零点的求解与所在区间的判断1．(2015·温州十校联考)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )A．(0，1) B．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】法一：∵f (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，∴f (1)·f (2)＜0，∵函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，∴函数f (x )的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f (x )的零点所在的区间为(1，2)．【答案】B2．(2015·西安五校联考)函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x的图象交点的横坐标所在区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的图象交点的横坐标，即为函数f (x )＝ln(x ＋1)－1x的零点，∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝ln 2－1＜0，f (2)＝ln 3－12＞0，∴f (x )的零点所在区间为(1，2)．【答案】B3．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________．【解析】求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2，3)内，故n ＝2．【答案】24．(2015·长沙模拟)若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内【解析】本题考查零点的存在性定理．依题意得f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －b )(c －a )＞0，因此由零点的存在性定理知f (x )的零点位于区间(a ，b )和(b ，c )内．【答案】A5．(2014·高考湖北卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}【解析】令x ＜0，则－x ＞0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－3(－x )]＝－x 2－3x ．求函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点等价于求方程f (x )＝－3＋x 的解．当x ≥0时，x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 1＝3，x 2＝1；当x ＜0时，－x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 3＝－2－7．【答案】D确定函数f (x )零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )＜0．若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．1．已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)【解析】因为f (1)＝6－log 21＝6＞0，f (2)＝3－log 22＝2＞0，f (4)＝32－log 24＝－12＜0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2，4)．【答案】C2．方程log 3x ＋x ＝3的根所在的区间为( )。
【优化课堂】高一数学人教A版必修1 学案：第三章 3.1.1 方程的根与函数的零点
专业文档 珍贵文档 3．1函数与方程 3．1.1 方程的根与函数的零点 [学习目标] 1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)2.会求函数的零点．(重点)3.掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)
一、函数的零点 1．定义 对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2．几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点． 二、函数零点存在性定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 三、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 专业文档
珍贵文档 图象 与x轴的交点 (x1，0) (x2，0) (x1，0) 无交点 零点的个数 2 1 0
1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点．( ) (2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1，0)，(x2，0)．( ) (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× 2．函数y＝4x－2的零点是( ) A．2 B．(－2，0)
C.12，0 D.12 【解析】 令y＝4x－2＝0得x＝12，故函数y＝4x－2的零点是12. 【答案】 D 3．若函数f(x)在区间(2，5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)＜0，则函数f(x)在区间(2，5)上零点的个数是________． 【解析】 由函数零点存在性定理和函数的单调性知，f(x)在区间(2，5)上有且只有一个零点． 【答案】 1 4．已知函数y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，若计算得f(1)＜0，f(2)＜0，f(3)＞0，则可以确定零点所在区间为________． 【解析】 ∵y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，且f(2)·f(3)＜0，∴函数零点所在区间为(2，3)． 专业文档 珍贵文档 【答案】 (2，3)