2013-2014学年高中数学 2.1数列(2)导学案苏教版必修5

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【苏教版】高中数学必修五第1课时：2.1《数列》课时讲义(江苏省启东中学)

【苏教版】高中数学必修五第2章数列§2.1 数列的概念及其通项公式课时讲义【三维目标】：一、知识与技能1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数；认识数列是反映自然规律的基本数学模型；2.了解数列的分类，理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式；3. 培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.二、过程与方法1.通过对具体例子的观察分析得出数列的概念，培养学生由特殊到一般的归纳能力；2.通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．3.通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；三、情感、态度与价值观1.体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。

2.在参与问题讨论并获得解决中，培养观察、归纳的思维品质，养成自主探索的学习习惯；并通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

【教学重点与难点】：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用。

难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式。

【学法与教学用具】：1. 学法：学生以阅读与思考的方式了解数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法；以观察的形式发现数列可能的通项公式。

2. 教学方法：启发引导式3. 教学用具：多媒体、实物投影仪、尺等.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1. 观察下列例子中的7列数有什么特点：（1）传说中棋盘上的麦粒数按放置的先后排成一列数：1，2，22，23，…，263（2）某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，…（3）π精确到0.01，0.001，0.0001…的不足近似值排成一列数：3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592…（4）人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，则从出现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，…（5）某剧场有10排座位，第一排有20个座位，后一排都比前一排多2个，则各排的座位数依次为：20，22，24，26，…，38（6）从1984年到今年，我国体育健儿共参加了6次奥运会，获得的金牌数依次排成一列数：15，5，16，16，28，32（7）＂一尺之棰，日取其半，万世不竭＂如果将＂一尺之棰＂视为1份，那么每日剩下的部分依次为1，12，14，18，116，．．．这些数字能否调换顺序？顺序变了之后所表达的意思变化了吗？思考问题，并理解顺序变化后对这列数字的影响．（组织学生观察这7组数据后，启发学生概括其特点，教师总结并给出数列确切定义）注意：由古印度关于国际象棋的传说、生物学中的细胞分裂问题及实际生活中的某些例子导入课题，既激活了课堂气氛，又让学生体会到数列在实际生活中有着广泛的应用，提高学生学习的兴趣。

江苏省灌云高级中学高中数学必修五导学案：2.1 数列的

第一课时数列的定义与通项公式学习要求1．理解数列概念，了解数列的分类；2．理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列；3．理解数列的通项公式的概念，并会用通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出它的一个通项公式；4．提高观察、抽象的能力．【自学评价】1．数列的定义：___________________叫做数列【注意】⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 思考:简述数列与数集的区别.__________________________________________________________________________.2．数列的项：_________________都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….3．数列的分类：按项分类：有穷数列（项数有限）；无穷数列（项数无限）.4．数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41， 1.414，…；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n ； ⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.5. 数列的图像都是一群孤立的点.从映射、函数的观点来看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式，因此，数列也可根据其通项公式画出其对应图象．6．数列的表示形式：________________________________________________________.【精典范例】【例1】已知数列的第ｎ项a n 为２ｎ－１，写出这个数列的首项、第２项和第３项．【例2】根据下面数列{}n a 的通项公式，写出它的前5项，并作出它的图象： (1);(2)(1)1nn n na a n n ==-⋅+.【例3】写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）211⨯，-321⨯， 431⨯，-541⨯；（2）0, 2, 0, 2【追踪训练一】1．下列解析式中不．是数列1，-1，1，-1，1，-1，…的通项公式的是（）A. (1)n n a =-B. 1(1)n n a +=-C. 1(1)n n a -=-D. {11n n a n =-，为奇数，为偶数2，的一个通项公式是（）A. n a =n a =C. n a = n a =3．数列1524354863,,,,,,25101726 的一个通项公式为___________________.【例3】在数列{a n }中，a 1=2,a 17=66，通项公式是项数n 的一次函数.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)88是否是数列{a n }中的项.【追踪训练二】1．已知数列{}n a ，1()(2)n a n N n n +=∈+，那么1120是这个数列的第（）项. A. 9 B. 10 C. 11 D. 122．数列{}n a ，()n a f n =是一个函数，则它的定义域为（） A. 非负整数集B. 正整数集C. 正整数集或其子集D. 正整数集或{}1,2,3,4,,n3．已知数列{}n a ，85,11n a kn a =-=且，则17a = .。

高中数学第2章数列2.1数列课件苏教版必修5

一
二
三
二、由数列的前几项写出数列的通项公式活动与探究例 2 写出下列数列的一个通项公式: (1)3,5,9,17,33,…; 1 2 3 4 (2)1 ,2 ,3 ,4 ,…; 2 3 4 5 (3)7,77,777,…,777…7,….
�� 个 7
思路分析:从前几项中观察出一个项与序号之间的规律,用一个式子表达出来即可.一二三
解: (1)a4=3× 16-28× 4=-64, a6=3× 36-28× 6=-60. 7 (2)设 3n2-28n=-49,解得:n=7 或 n= (舍去). ∴n=7,即-49 是该数列的第 7 项. 设 3n2-28n=68,解得:n= 或 n=-2. ∵ ∉N*,-2∉N*,∴68 不是该数列的项.
一
二
三
2.已知数列的通项公式为 an= 如果是,是第几项?
∴n=5.
4 解: 令 2 �� +3��
4 1 16 , 试问和是不是它的项? ��2 +3�� 10 27
=
1 ,则 n2+3n-40=0,解得:n=5 10
或 n=-8,∵n∈N*,
1 故是数列中的第 5 项. 10 4 16 3 2 令 2 = ,则 4n +12n-27=0,解得:n= 或 �� +3�� 27 2 16 * ∵n∈N ,所以不是此数列中的项. 27
34 3 34 3 3
一
二
三
迁移与应用 1.已知数列{an}的通项公式 an= 项.
1 1 ,那么是这个数列的第 ��(��+2) 120
答案: 10

【高中】高中数学第2章数列2322等比数列的性质学案苏教版必修5

【关键字】高中第2课时等比数列的性质1．掌握等比数列的性质，能应用其性质解题．(重点)2．了解等比数列与指数函数的关系．(重点)[基础·初探]教材整理1 等比数列与指数函数的关系阅读教材P53，完成下列问题．如果数列{an}是等比数列，则an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，故q≠1时点(n，an)均在函数y＝a1qx－1的图象上．若等比数列{an}的通项公式an＝2n＋p，则p＝________.【解析】结合等比数列{an}的图象特点，可知p＝0.【答案】0教材整理2 等比数列的性质阅读教材P54第12题，P55第14题，第16题，完成下列问题．等比数列的性质(1)如果m＋n＝k＋l，则有am·an＝ak·al.(2)如果m＋n＝2k，则有am·an＝a.(3)在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列．(4)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那么数列，{an·bn}，，{|an|}仍是等比数列，且公比分别为，q1q2，，|q1|.(5)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1＝….1．在等比数列{an}中，若a5＝1，则a2·a8＝________.【解析】a2·a8＝a＝1.【答案】 12．在等比数列{an}中，a2＝3，a6＝27，则a4＝________.【解析】∵a1a2，a3a4，a5a6成等比数列，∴(a3a4)2＝(a1a2)·(a5a6)＝3×27＝81，∴a3a4＝±9.【答案】±9[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问4：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]在等比数列(1)若a11＝243，求的值；(2)若an>0，且a6＝32，求log1＋log2＋…＋log8的值．【精彩点拨】利用等比数列的性质，若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a求解．【自主解答】(1)∵a3，a5，a7，a9，a11成等比数列，∴a3a5a7a9a11＝a＝243＝35，∴a7＝3.又＝＝a7，∴＝3.(2)log1＋log2＋…＋log8＝log1·a2·…·a8＝log2(a1·a8)4＝log2(a3a6)4＝log2324＝log2220＝20.等比数列中的项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的计算问题，应充分发挥项的“下标”的“指引”作用，以使运算简便．[再练一题]1．(1)在各项均为正数的等比数列{a n}中，a3·a9＝4，a6·a10＋a3·a5＝41，求a4＋a8的值；(2)在等比数列{a n}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个根，求a7.【解】(1)∵{a n}为等比数列，且3＋9＝4＋8,6＋10＝2×8,3＋5＝2×4，∴a3·a9＝a4·a8＝4，a6·a10＝a28，a3·a5＝a24，∴a 6·a 10＋a 3·a 5＝a 28＋a 24＝41，又a 4·a 8＝4， ∴(a 4＋a 8)2＝41＋2×4＝49，且a n >0， ∴a 4＋a 8＝7.(2)∴a 5，a 9是方程7x 2－18x ＋7＝0的两个根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 9＝187，a 5·a 9＝1，∴a 5>0，a 9>0.又∵a 27＝a 5·a 9＝1，且a 7＝a 5·q 2>0，∴a 7＝1.灵活设项求解等比数列有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．【精彩点拨】解答此类题目主要是利用性质和已知巧设，再构造方程或方程组求解．【自主解答】法一：设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d 2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6.∴当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16；当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设这四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (a ≠0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a q －a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝13，a ＝3.∴当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16；当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.灵活设项求解等比数列的技巧1．三数成等比数列，一般可设为aq，a ，aq .2．四数成等比数列，一般可设为a q 3，a q ，aq ，aq 3或a ，aq ，aq 2，aq 3. 3．五数成等比数列，一般可设为a q2，a q，a ，aq ，aq 2. [再练一题]2．三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数.【导学号：】【解】设三个数依次为a q，a ，aq ， ∵a q·a ·aq ＝512，∴a ＝8.∵⎝⎛⎭⎪⎫aq －2＋(aq －2)＝2a ， ∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12，∴这三个数为4,8,16或16,8,4.[探究共研型]等差数列与等比数列的综合应用探究n 2n 【提示】 {log 2a n }是等差数列，由log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n可知．探究2 若{a n }是等差数列，则{2a n }是什么数列？【提示】 {2a n }是等比数列，由2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n 可知．设{a n }是公差大于0的等差数列，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18， (1)求证：数列{b n }是等比数列； (2)求等差数列{a n }的通项a n . 【精彩点拨】 (1)证明b n ＋1b n为同一常数；(2)先求b n ，由b n 求a n . 【自主解答】 (1)证明：设{a n }的公差为d (d ＞0)， ∵b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d为常数，且b 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1＞0， ∴{b n }为以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1为首项，公比为⎝ ⎛⎭⎪⎫12d的等比数列．(2)∵b 1b 2b 3＝18，∴b 32＝18，∴b 2＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋b 3＝178，b 1b 3＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝18，b 3＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，b 3＝18.∵q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d∈(0,1)，∴b 1＞b 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，b 3＝18，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －3，∴a n ＝2n －3，(n ∈N *)．等差数列与等比数列的转化1．若数列{a n }为等差数列，则数列{ma n }(m >0，m ≠1)为等比数列．2．若数列{a n }为等比数列，且a n >0，则数列{log b a n }(b >0，b ≠1)为等差数列． [再练一题]3．已知{x n }为各项不为1的正项等比数列，{y n }满足y n ·log x n a ＝2(a ＞0且a ≠1)，设y 4＝17，y 7＝11.则数列{y n }的前多少项的和最大？最大值是多少？【解】 y n ＝2log x n a ＝2log a x n ，且{x n }为等比数列，∵y n －1＋y n ＋1＝2log a x n －1＋2log a x n ＋1＝2log a (x n －1·x n ＋1)＝2log a x 2n ＝4log a x n ＝2y n ，n ≥2，n ∈N *， ∴{y n }为等差数列．又y 4＝17，y 7＝11＝y 4＋3d ，∴d ＝－2， ∴y n ＝y 4－2(n －4)＝25－2n (n ∈N *)．由y n ≥0，知n ≤12.故{y n }的前12项和最大，其最大值为12×23＋12＝144.[构建·体系]1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是________．①a 1，a 3，a 9成等比数列；②a 2，a 3，a 6成等比数列；③a 2，a 4，a 8成等比数列；④a 3，a 6，a 9成等比数列．【解析】 ∵3＋9＝2×6，∴a 26＝a 3·a 9，∴a 3，a 6，a 9成等比数列．【答案】 ④2．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝________. 【解析】 ∵{a n }成等比数列，∴a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9也成等比数列， ∴(a 4a 5a 6)2＝(a 1a 2a 3)·(a 7a 8a 9)＝50， ∴a 4a 5a 6＝±52，又a n >0，∴a 4a 5a 6＝5 2. 【答案】 5 23．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝324，a 3＋a 4＝36，则a 5＋a 6＝________.【导学号：】【解析】 ∵{a n }为等比数列，∴a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6成等比数列，∴a 5＋a 6＝362324＝4.【答案】 44．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________.【解析】因为数列{a n }为等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7. 又∵a 5a 6＋a 4a 7＝18，∴a 5a 6＝a 1a 10＝a 4a 7＝a 3a 8＝a 2a 9＝9，∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2a 3…a 10)＝log 395＝log 3310＝10. 【答案】 105．已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数．【解】依题意可设这四个数分别为：4－d24，4－d,4,4＋d ，则由前三个数和为19，可列方程得，4－d 24＋4－d ＋4＝19，整理得，d 2－12d －28＝0，解得d ＝－2或d ＝14.∴这四个数分别为：25，－10,4,18或9,6,4,2. 我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十一) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．若a ，b ，c 既成等差数列，又成等比数列，则公比为________．【解析】由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，b 2＝ac ，∴2b ＝a ＋b 2a，即a 2＋b 2＝2ab ，∴(a －b )2＝0， ∴a ＝b ≠0， ∴q ＝b a＝1. 【答案】 12．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1a 15＝________. 【解析】 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6， ∴a 38＝106⇒a 8＝102＝100.又a 1a 15＝a 28＝10 000. 【答案】 10 0003．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________.【解析】 ∵{a n }为等比数列，∴a 5a 6＝a 4a 7＝－8，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4， ∴q 3＝－12或q 3＝－2，故a 1＋a 10＝a 4q3＋a 7·q 3＝－7.【答案】－74．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝________.【导学号：】【解析】设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6，.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5，解得q ＝26， ∴a 5a 7＝1q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32. 【答案】 325．已知数列{a n }是等比数列，且a 2a 6＝2a 4，则a 3a 5＝________. 【解析】 ∵a 2a 6＝2a 4，由等比数列的性质可知，a 2a 6＝a 3a 5＝a 24， ∴a 24＝2a 4，∴a 4＝2，∴a 3a 5＝4. 【答案】 46．互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝________.【解析】由题意知a ＋c ＝2b ， ∴5b ＝10，b ＝2， ∴a ＋c ＝4.∵a c ＝b a，∴a 2＝bc ，∴a 2＝2c ， ∴a 2＋2a －8＝0，解得a ＝2或a ＝－4. 当a ＝2时，a ＝b ＝2不合题意，∴a ＝－4. 【答案】－47．(2016·南京高二检测)已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q ＝________.【解析】设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0，则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，化简得d 2＝－2a 1d .∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1， ∴q ＝a 3a 2＝3. 【答案】 38．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________. 【解析】设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，又a n －1·a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324，因此q3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14.【答案】 14 二、解答题9．数列{a n }是等比数列，(1)若已知a 3a 4a 5＝8，求a 2a 3a 4a 5a 6的值； (2)若a 2＝2，a 6＝16，求a 10； (3)若a 3＝－2，a 7＝－16，求a 5.【解】 (1)∵a 3a 4a 5＝8，∴a 34＝8，a 4＝2.∴a 2a 3a 4a 5a 6＝(a 2·a 6)·(a 3·a 5)·a 4＝a 24·a 24·a 4＝32. (2)∵a 2·a 10＝a 26，∴a 10＝a 26a 2＝1622＝128.(3)∵a 3·a 7＝a 25，∴a 5＝±a 3a 7＝±4 2. 又∵a 5＝a 3q 2<0， ∴a 5＝－4 2.10．若a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，试判断△ABC 的形状．【解】 ∵角A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，又△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.又∵边a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2＝ac ，由余弦定理∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝cos π3＝12，∴a 2＋c 2－ac ＝ac ， ∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ， ∴△ABC 为等边三角形．[能力提升]1．若正数a ，b ，c 成公比大于1的等比数列，则当x >1时，下列关于log a x ，log b x ，log c x 的说法正确的是________(填序号)．①成等差数列；②成等比数列；③各项倒数成等差数列；④各项倒数成等比数列．【解析】 a ，b ，c 成等比数列，则b a ＝cb，即b 2＝ac,2log x b ＝log x a ＋log x c ，即2log b x ＝1log a x ＋1log c x，即1log a x ，1log b x ，1log c x成等差数列．【答案】 ③2．(2016·启东高二检测)设{a n }是公比为q 的等比数列，其前n 项积为T n ，并满足条件a 1>1，a 99a 100－1>0，a 99－1a 100－1<0，给出下列结论： ①0<q <1；②T 198<1；③a 99a 101<1；④使T n <1成立的最小自然数n 等于199. 其中正确的编号为________．【解析】根据等比数列的性质，如果等比数列的公比是负值，在其连续两项的乘积是负值，根据a 99a 100－1>0，可知该等比数列的公比是正值，再根据a 99－1a 100－1<0，可知a 99，a 100一个大于1，一个小于1，因为a 1>1，所以数列不会是单调递增的，只能单调递减，所以0<q <1，而且a 99>1，a 100<1，又a 99·a 101＝a 2100<1，①③正确；T 198＝a 1a 2…a 99a 100…a 197·a 198＝(a 99a 100)99>1，②不正确；T 199＝a 1a 2…a 100…a 198a 199＝(a 100)199<1，故④正确．【答案】 ①③④3．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)．若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.【解析】 ∵b n ＝a n ＋1， ∴a n ＝b n －1，而{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中， ∴{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中． ∵{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1， ∴{a n }中的连续四项为－24,36，－54,81， ∴q ＝－3624＝－32，∴6q ＝－9. 【答案】－94．若{a n }是公差d ≠0的等差数列，{b n }是公比q ≠1的等比数列，已知a 1＝b 1＝1，且a 2＝b 2，a 6＝b 3.(1)求d 和q ；(2)是否存在常数a ，b ，使对一切n ∈N *都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. 【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋d ＝q ，1＋5d ＝q 2，解得d ＝3，q ＝4.(2)假设存在常数a ，b .由(1)得a n ＝3n －2，b n ＝4n －1，代入a n ＝log a b n ＋b ，得3n －2＝log a 4n －1＋b ，即(3－log a 4)n ＋(log a 4－b －2)＝0对n ∈N *都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－log a 4＝0，log a 4－b －2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝34，b ＝1.所以存在常数a ＝34，b ＝1使等式成立．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

高中数学必修5高中数学必修5《2.1数列的概念与简单表示法(一)》教案

2．1数列的概念与简单表示法（一）一、教学要求：理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式.二、教学重点、教学难点：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式.三、教学过程：导入新课“有人说，大自然是懂数学的”“树木的，。

”，（一）、复习准备：1. 在必修①课本中，我们在讲利用二分法求方程的近似解时，曾跟大家说过这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即如果将初始量看成“1”，取其一半剩“12”，再取一半还剩“14”，、、、、、、，如此下去，即得到1，12，14，18，、、、、、、 2. 生活中的三角形数、正方形数. 阅读教材提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？（二）、讲授新课：1. 教学数列及其有关概念：（1）三角形数：1，3，6，10，···（2）正方形数：1，4，9，16，··· （2）1，2，3，4……的倒数排列成的一列数：（3）-1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：-1，1，-1，1，-1，。

（4）无穷多个1排列成的一列数：1，1，1，1，。

有什么共同特点？ 1. 都是一列数；2. 都有一定的顺序① 数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 辩析数列的概念：（1）“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，5”呢？ ----------数列的有序性（2）数列中的数可以重复吗？（3）数列与集合有什么区别？集合讲究：无序性、互异性、确定性，数列讲究：有序性、可重复性、确定性。

② 数列中每一个数叫数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项（或首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项、、、、、、排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.③ 数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a ，简记为{}n a .④ 数列的分类：(1)按项数分：有穷数列与无穷数列，(2)按项之间的大小关系：递增数列、递减数列、常数列与摆动数列.⑤ 数列中的数与它的序号有怎样的关系？序号可以看作自变量，数列中的数可以看作随着变动的量。

(教师用书)高中数学 2.1 数列配套课件苏教版必修5

2．1
数列
教师用书独具演示
●三维目标 1.知识与技能 (1)通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)，了解数列是一种特殊函数，认识数列是反映自然规律的基本数学模型；
(2)了解数列的分类，理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式； (3)培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力．
【自主解答】 (1)根据题意分析可知：分子为 2 的倍数， 2n 即为 2n，分母比分子的平方小 1，所以 an＝ . 2n2－1 (2)该数列的各项符号是负正交替变化，而各项的绝对值 1 3 5 7 9 为1，2，4，8，16，„. 所以
n2n－1 an＝(－1) n－1 .
2
(3) 该数列的各项都可以写成根式 3， 9， 15， 21， 27，„. 即 3×1， 3×3， 3×5， 3×7， 3×9，„. 所以 an＝ 32n－1 ＝ 6n－3. (4)因为 9＝101－1,99＝102－1,999＝103－1,9 999＝104－ 1，„，所以 an＝10n－1.
4．正确评价学生的数学基础知识和基础技能能否类比函数的性质，正确理解数列的概念，正确使用通项公式、列表、图象等方法表示数列，了解数列是一种特殊的函数，了解递推公式也是数列的一种表示方法．
●教学的表示方法(列表、图象、通项公式)． 2.理解数列的通项公式及简单应用．(重点) 3.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式．(重点、难点)
2.过程与方法 (1)通过对具体例子的观察分析得出数列的概念，培养学生由特殊到一般的归纳能力； (2)通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力； (3)通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法 (列表、图象、通项公式)．

《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学(苏教版)必修5【配套备课资源】第3章 3.4.2

∴x＝4，y＝12 时，x +y 取最小值 16.
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的代数式表示 y，代数式 x＋y 转化为只含 x 的函数，再考虑利用基本不等式求出最值． 1 9 y 解由x＋y＝1，得 x＝，∵x>0，y>0，∴y>9. y－9 y－9＋9 y 9 x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1 y－9 y－9 y－9 9 ＝(y－9)＋＋10. y－9 9 ∵y>9，∴y－9>0，∴y－9＋＋10 y－9
x2－x1 ＝ x x (x1x2－a)，
1 2
当 0<x1<x2≤ a时，x1x2<a. ∴f(x2)－f(x1)<0，f(x2)<f(x1)． a 故 f(x)＝x＋ (a>0)在(0， a]上为减函数； x
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当 x2>x1≥ a时，x1x2>a，
∴f(x2)－f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)．
3.4.熟练掌握基本不等式及变形的应用．
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2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．【学法指导】 1．要善于活用基本不等式，也就是不仅要善于“正用”、“逆用”，更要善于“变形用”． 2．利用基本不等式求函数的最大值或最小值的基本技巧是“拼凑”，即要求和的最小值，必须拼凑两个正数，使它们的积为定值；要求积的最大值，必须拼凑两个正数，使它们的和为定值.
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3.4.2
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[问题情境] 基本不等式是求函数最值的有力工具，使用基本不等式求函数最值时，要注意应用条件“一正、二定、三相等”．不要仅仅关注代数式结构上的定值，而忽略对相等条件的考察． x2＋5 例如，求函数 y＝ 2 的最小值． x ＋4 错误解答 x2＋5 1 2 ∵ 2 ＝ x ＋4＋ 2 . x ＋4 x ＋4 1 2 2 x ＋4>0，∴ x ＋4＋ 2 >2. x ＋4 ∴ymin＝2. 你知道上面解法错在哪里？如何改正？本节就会给你答案．

2022-2021学年高二数学苏教版必修5学案：2.1 数列(二) Word版含答案

明目标、知重点 1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点争辩数列.2.理解递推公式的含义，能依据递推公式求出数列的前几项．1．数列与函数的关系数列可以看作是以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数，当自变量依据从小到大的挨次依次取值时所对应的一列函数值．2．数列的递推公式假如数列{a n}的第1项或前几项已知，并且数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式．3．数列的表示方法数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．[情境导学]某人有一对新生的兔子饲养在围墙中，假如它们每个月生一对兔子，且新生的兔子从第三个月开头也是每个月生一对兔子，问一年后围墙中共有多少对兔子？对此问题的争辩产生了出名斐波那契数列{a n}：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，…，此数列具有a n＋1＝a n＋a n－1的特性，我们称之为数列的递推公式，这正是本节我们要争辩的重点内容．探究点一数列的函数特性思考1数列可看作函数，类比函数的表示方法，你认为数列除了通项公式表示法之外，还可以怎样表示？答数列也可以用图象、列表等方法来表示．思考2以数列：2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？答(1)通项公式法：a n＝2n.(2)列表法：n123…k…a n246…2k…(3)图象法：思考3与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面？谈谈你的生疏．答数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在以下三个方面：①数列的定义域是正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}；②数列中的项是对应序号1,2,3，…的一列函数值；③数列的图象是一些孤立的点，这些点的横坐标按从小到大依次是1,2,3，….例1下图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在下图4个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象．解如题图，这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是a n＝3n－1.在直角坐标系中的图象为一些孤立的点(如图所示)．反思与感悟由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观看、归纳各项与序号之间的联系，擅长利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到解决问题的目的．跟踪训练1传奇古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上争辩数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角外形，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是________．答案55解析三角形数依次为1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋10＝55. 探究点二数列的递推公式思考1 观看：1,3,7,15,31,63这些数有什么规律吗？如何用一个代数式表示出该数列的规律？答首项为1，从第2项起每一项等于它的前一项的2倍再加1.即a n ＝2a n －1＋1(n >1)．思考2 已知数列{a n }的首项a 1＝1，且有a n ＝3a n －1＋2(n >1)，如何求出a 2，a 3，a 4? 答 a 2＝3a 1＋2＝5，a 3＝3a 2＋2＝17，a 4＝3a 3＋2＝53.小结像思考2给出数列的方法叫递推公式法，其中a n ＝3a n －1＋2(n >1)称为递推公式，递推公式也是数列的一种表示方法．例2 设数列{a n }满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1(n >1).写出这个数列的前五项．解由题意可知：a 1＝1，a 2＝1＋1a 1＝2，a 3＝1＋1a 2＝32，a 4＝1＋1a 3＝53，a 5＝1＋1a 4＝1＋35＝85.反思与感悟递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系．对于通项公式，已知n 的值即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可求得其他的项．跟踪训练2 在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ≥1)，写出此数列的前6项．解 a 1＝2，a 2＝3，a 3＝3a 2－2a 1＝3×3－2×2＝5， a 4＝3a 3－2a 2＝3×5－2×3＝9， a 5＝3a 4－2a 3＝3×9－2×5＝17， a 6＝3a 5－2a 4＝3×17－2×9＝33. 探究点三数列的递推公式的应用思考1 对于任意数列{a n }，等式：a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a n 都成立．试依据这一结论，已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2，求通项a n . 答 a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋2＋2＋…＋2＝2(n －1)＋1＝2n －1.n －1)个2思考2 若数列{a n }中各项均不为零，则有a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1＝a n成立．试依据这一结论，已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2)，求通项a n .答 a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n －1a n －2·a n a n －1＝1·12·23·…·n －2n －1·n －1n ＝1n .例3 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，试写出a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，a 8，你发觉数列{a n }具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 014项？解 a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2， a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，…. 发觉：a n ＋6＝a n ，数列{a n }具有周期性，周期T ＝6，证明如下：∵a n ＋2＝a n ＋1－a n ，∴a n ＋3＝a n ＋2－a n ＋1＝(a n ＋1－a n )－a n ＋1＝－a n . ∴a n ＋6＝－a n ＋3＝－(－a n )＝a n . ∴数列{a n }是周期数列，且T ＝6. ∴a 2 014＝a 335×6＋4＝a 4＝－1.反思与感悟已知数列递推公式求数列某一项时，依次将项数n 的值代入即可．跟踪训练3 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝23，1a n －2＋1a n ＝2a n －1(n ∈N *，n ≥3)，求a 3，a 4.解由a 1＝1，a 2＝23且1a n －2＋1a n ＝2a n －1，知当n ＝3时，1a 1＋1a 3＝2a 2，∴1a 3＝2a 2－1a 1＝3－1＝2，∴a 3＝12.当n ＝4时，1a 2＋1a 4＝2a 3，∴1a 4＝2a 3－1a 2＝4－32＝52，∴a 4＝25.1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是________． ①a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N *； ②a n ＝a n －1＋n ，n ∈N *，n ≥2； ③a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N *，n ≥2； ④a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N *，n ≥2. 答案 ②2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N *)，则此数列的通项a n ＝________. 答案 3－n解析 ∵a n ＋1－a n ＝－1.∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)共(n －1)个＝2＋(－1)×(n －1)＝3－n .3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________．答案 a n ＝2n ＋1解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1.4．已知：数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝nn ＋1a n. (1)写出数列的前5项；(2)猜想数列的通项公式．解 (1)a 1＝1，a 2＝11＋1×1＝12，a 3＝21＋2×12＝13，a 4＝31＋3×13＝14，a 5＝41＋4×14＝15.(2)a n ＝1n .[呈重点、现规律]1．{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式．而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系．2．数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．3．通项公式和递推公式的区分：通项公式直接反映a n 和n 之间的关系，即a n 是n 的函数，知道任意一个具体的n 值，就可以求出该项的值a n ；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n 直接得出a n .一、基础过关1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }的单调性为________． ①递增数列； ②递减数列； ③常数列； ④不能确定．答案 ①2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的第4项为________．答案 12解析 a 2＝12a 1＋12＝1，a 3＝12a 2＋14＝34，a 4＝12a 3＋18＝12.3．数列{a n }中，a 1＝1，对全部的n ≥2，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.答案 6116解析 a 1a 2a 3＝32，a 1a 2＝22，a 1a 2a 3a 4a 5＝52，a 1a 2a 3a 4＝42，则a 3＝3222＝94，a 5＝5242＝2516.故a 3＋a 5＝6116.4．由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n －1，则b 5＝________. 答案 17解析 ∵b n ＝1n b a －，∴b 2＝1b a ＝a 2＝3， b 3＝2b a ＝a 3＝5，b 4＝3b a ＝a 5＝9， b 5＝4b a ＝a 9＝17.5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1(n 为正奇数)，4n －1(n 为正偶数).则它的前4项依次为________．答案 4,7,10,156．已知数列{a n }满足：a n ≤a n ＋1，a n ＝n 2＋λn ，n ∈N *，则实数λ的最小值是________．答案－3解析 a n ≤a n ＋1⇔n 2＋λn ≤(n ＋1)2＋λ(n ＋1) ⇔λ≥－(2n ＋1)，n ∈N *⇔λ≥－3.7．依据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜想第n 个图中有多少个点．解图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜想第n 个图中除中间一个点外，有n 个分支，每个分支有(n －1)个点，故第n 个图中点的个数为1＋n (n －1)＝n 2－n ＋1.8．已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式．解 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ，∴1a n －1a n －1＝1.∴1a n ＝1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n －1＝2＋1＋1＋…＋1＝n ＋1.(n －1)个1∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1. 二、力气提升9．若a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，则给出的数列{a n }的第4项是________．答案 110解析 a 2＝a 13a 1＋1＝13＋1＝14，a 3＝a 23a 2＋1＝1434＋1＝17，a 4＝a 33a 3＋1＝1737＋1＝110.10．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列中最大项的值是________．答案 108 解析由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋10818，由于n ∈N *，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n 取得最大值108.∴数列{a n }中的最大值为a 7＝108.11．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n－1⎝⎛⎭⎫12≤a n<1.若a 1＝67，则a 2 014＝________.答案 67解析计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列，又知2 014除以3余1，所以a 2 014＝a 1＝67.12．依据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式． (1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1(n ∈N *)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a nn ＋1(n ∈N *)；(3)a 1＝－1，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)(n ∈N *)．解 (1)a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝9.猜想a n ＝(n －1)2. (2)a 1＝1，a 2＝32，a 3＝42，a 4＝52.猜想a n ＝n ＋12.(3)a 1＝－1，a 2＝－12，a 3＝－13，a 4＝－14.猜想a n ＝－1n .三、探究与拓展13．数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋1n a n，求{a n }的通项公式．解 ∵a n ＋1＝n ＋1n a n ，∴a n ＋1a n ＝n ＋1n.∴a 2a 1＝2，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…，a n a n －1＝n n －1. 把上述等式相乘，得 a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a n a n －1＝2×32×43×…×n n －1，即a na 1＝n ，而a 1＝2，∴a n ＝2n .。

【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.3.3 等比数列的前n项和(第1课时)教案苏教版必修5

2.3.3 等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)掌握用“错位相减”的方法推导等比数列前n项和公式；(2)掌握等比数列的前n项和的公式，并能运用公式解决简单的实际问题；(3)综合运用等比数列的定义、通项公式、性质及前n项和公式解决相关问题．2.过程与方法(1)经历等比数列前n项和的推导与灵活应用，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题；(2)从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力；(3)通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．3．情感、态度与价值观通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美．●重点、难点重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用.难点：等比数列的前n项和公式的推导．等比数列的前n项和公式的推导过程中蕴含了分类讨论、递推、转化等重要思想，是解决一般数列求和问题的关键．虽然在此之前，已经学习了等差数列的前n项和，但是两者相似度低，不能通过类比得到．同时，错位相减法是第一次出现，学生不容易理解，为此，要注意引导学生分析等比数列的性质和通项公式，关注相邻项的变化特点，引出错位相减法．(教师用书独具)●教学建议学生在学习本节内容之前已经学习等差、等比数列的概念和通项公式，等差数列的前n 项和的公式，具备一定的数学思想方法，能够就本节的内容展开思考，而且学生在情感上也具备了学习新知识的渴求．从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导；但也是不利因素，因本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破．另外，对于q＝1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错，应特别提醒学生注意．本节课是公式推导课，建议可采用探究式教学方法．在教学中以学生的分组讨论和自主探究为主，辅之以启发性的问题诱导点拨，充分体现学生是主体，教师服务于学生的思路．●教学流程回顾等比数列有关概念、通项公式，引导学生思考如何求一个等比数列的前n项和.⇒引导学生自主写出一般的等比数列的前n项，探寻相邻项之间的变化特点，引出错位相减法.⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!错误!(对应学生用书第34页)已知等比数列{a n }，公比为q ，S n 是其前n 项和，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －1.1．若q ＝1，则S n 与a n 有何关系？【提示】 S n ＝na 1.2．若q ≠1，你能用a 1，q 直接表示S n 吗？如何表示？【提示】 ∵S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①所以两边同乘以q ，可得qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n .②①－②得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴当q ≠1时，S n ＝a 1 1－q n1－q.S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1 1－q n1－q ＝a 1－a n q 1－q ， q ≠1na 1. q ＝1等比数列{a n }前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n (q ＝－1且n 为偶数时除外)有何关系？【提示】也为等比数列．证明如下：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，当q ＝1时，S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1. 显然S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列．当q ≠1时，S n ＝a 1 1－q n 1－q ，S 2n ＝a 1 1－q 2n 1－q ，S 3n ＝a 1 1－q 3n1－q.则S 2n －S n ＝a 1 q n －q 2n 1－q ＝a 1q n 1－q n1－q ，S 3n －S 2n ＝a 1 q 2n －q 3n 1－q ＝a 1q 2n 1－q n1－q.∴(S 2n －S n )2＝a 21q 2n 1－q n2 1－q2， S n (S 3n －S 2n )＝a 1 1－q n 1－q ·a 1q 2n 1－q n1－q＝a 21q 2n 1－q n 21－q2. ∴S n ·(S 3n －S 2n )＝(S 2n －S n )2， ∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列．已知等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，则(1)若S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 均不为0，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 成等比数列；(2)若{a n }共2n (n ∈N *)项，则S 偶S 奇＝q .(对应学生用书第34页)在等比数列{a n }中：(1)已知a 1＝－1.5，a 7＝－96，求q 和S n ； (2)已知q ＝12，S 5＝－318，求a 1和a n ；(3)已知a 1＝2，S 3＝26，求q 和a n .【思路探究】解决本题可由通项公式或前n 项和公式列出基本量a 1，q 的方程或方程组，先求a 1，q 再求其他量．【自主解答】 (1)∵a 7＝a 1q 6，∴q 6＝a 7a 1＝－96－1.5＝26，∴q ＝±2.当q ＝2时，S n ＝－1.5× 1－2n1－2＝32－3×2n －1；当q ＝－2时，S n ＝－1.5×[1－－2 n]1＋2＝－12＋(－1)n ×2n －1.综上所述，当q ＝2时，S n ＝32－3×2n －1；当q ＝－2时，S n ＝－12＋(－1)n ×2n －1.(2)∵S 5＝a 1× 1－q 5 1－q ＝－318，且q ＝12，∴a 1＝－2，∴a n ＝a 1qn －1＝(－2)×(12)n －1＝－22－n .∴a 1＝－2，a n ＝－22－n.(3)由a 1＝2，S 3＝26，∴q ≠1，∴S 3＝2 1－q 31－q ＝26，∴ 1－q 1＋q ＋q 21－q ＝13，即q 2＋q －12＝0，解得q ＝－4或3. 当q ＝－4时，a n ＝a 1q n －1＝2×(－4)n －1＝(－1)n －1×22n －1.当q ＝3时，a n ＝a 1qn －1＝2×3n －1.综上所述，当q ＝－4时，a n ＝(－1)n －1×22n －1；当q ＝3时，a n ＝2×3n －1.1．在等比数列中，对于a 1，q ，n ，a n ，S n 五个量，若已知其中三个量就可求出其余两个量，常常列方程组来解答问题，有时会涉及高次方程或指数方程，求解可能遇到困难，这时要注意表达式有什么特点，再采取必要的数学处理方法．2．在解决与前n 项和有关的问题时，首先要对公比q ＝1或q ≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论．若本例(2)中的条件不变，如何求数列{a n }的前n 项和S n 呢？【解】 ∵S 5＝a 1× 1－q 5 1－q ＝－318且q ＝12，∴a 1＝－2，∴S n ＝a 1× 1－q n1－q ＝－2×[1－ 12 n]1－12＝－4×[1－(12)n]＝4·(12)n －4＝(12)n －2－4.各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，求S 40.【思路探究】本题可用基本量法先求a 1，q 再求S 40，也可利用等比数列前n 项和的性质求解．【自主解答】法一设{a n }的首项为a 1，公比为q ，且由条件可知q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1 1－q 101－q＝10， ①a 11－q 301－q＝70. ②由①÷②得q 10＝2或q 10＝－3(舍去)，将其代入①，得a 1 1－21－q＝10.∴a 11－q ＝101－2＝－10.∴S 40＝a 11－q(1－q 40)＝－10×(1－24)＝150.法二 ∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30仍成等比数列．又S 10＝10，S 30＝70，∴(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)． ∴(S 20－10)2＝10(70－S 20)，∴S 220－10S 20－600＝0， ∴S 20＝30或S 20＝－20. ∵{a n }各项均为正数，∴S 20＝30，∴10,20,40，S 40－70成等比数列， ∴S 40－70＝80，∴S 40＝150.1．本例中，两种解法相比较，法二的计算量较小，显示出利用等比数列前n 项和性质的优越性．2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(q ＝－1且n 为偶数时除外)，这一性质可直接使用．一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．【解】法一设等比数列的公比为q ，项数为2n (n ∈N *)，由已知a 1＝1，q ≠1，有⎩⎪⎨⎪⎧1－q2n1－q2＝85， ①q 1－q2n1－q2＝170. ②②÷①得q ＝2，将q ＝2代入①得1－4n1－4＝85，∴4n＝256，n ＝4，∴公比q ＝2，项数为8. 法二设公比为q (q ≠1)，项数为2n . 由等比数列前n 项和的性质可知S 偶S 奇＝q . ∴q ＝17085＝2.又S 2n ＝170＋85＝a 1 1－q 2n1－q，∴1－22n1－2＝255.∴n ＝4，项数为8.在一次人才招聘会上，A 、B 两家公司分别开出的工资标准：A 公司允诺第一年月工资为1 500元，以后每一年月工资比上一年月工资增加230元；B 公司允诺第一年月工资为2 000元，以后每年月工资在上一年月工资基础上递增5%.设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：(1)若该人分别在A 公司或B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资收入分别是多少？(2)该人打算在一家公司连续工作10年，仅从工资收入总量作为应聘标准(不计其他因素)，该人应该选择哪家公司？为什么？【思路探究】从题意出发，从条件中提取有用的信息．A 公司第n 年的月工资构成等差数列，B 公司第n 年的月工资构成等比数列，分别计算出前10项和，比较可得结果．【自主解答】 (1)设该人在A 、B 两家公司第n 年的月工资分别为a n 、b n . 由已知，得{a n }构成等差数列，以1 500为首项，230为公差，a n ＝230n ＋1 270. {b n }构成等比数列，以2 000为首项，以(1＋5%)为公比，b n ＝2 000(1＋5%)n －1.(2)若该人在A 公司连续工作10年，则他的工资收入总额为S 10＝12(a 1＋a 2＋…＋a 10)＝12×[10×1 500＋10 10－1 2×230]＝304 200(元)；若该人在B 公司连续工作10年，则他的工资收入总额为S ′10＝12(b 1＋b 2＋…＋b 10)＝12×2 000 1－1.05101－1.05≈301 869(元)．由于在A 公司总收入多，因此该人应选择A 公司．1．本例解题的出发点是构造出两个数列，一个等差另一个等比，通过求两个数列的前n 项和，比较得出结论．2．在解数列应用题时，不要被题目的设计背景所干扰．解答时要注意对数列进行辨析，分清等差数列与等比数列的不同表示语句，从而更好的解决问题．一件家用电器，现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，购买后一个月付款一次，共付12次，一年后还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少元？(精确到0.01元)【解】设每期应付款x 元，则第1期付款后欠款2 000×(1＋0.008)－x ，第2期付款后欠款(2 000×1.008－x )×1.008－x ＝2 000×1.0082－1.008x －x ， ……因为第12期付款后欠款为0，所以2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x ＝0，故x ＝2 000×1.008121.00812－11.008－1≈175.46(元) ，即每期应付款约为175.46元.(对应学生用书第36页)应用等比数列求和公式时，忽略q ＝1的情况致错等比数列{a n }的前n 项的和与积分别为S 和T ，数列{1a n}的前n 项和为S ′，求证T 2＝(S S ′)n . 【错解】由题意可设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则数列{1a n}的首项为1a 1，公比为1q，所以S ＝a 1 1－q n 1－q ，T ＝a n 1q 1＋2＋…＋(n －1)＝a n 1q n n －12，S ′＝a －11 1－q －n1－q －1＝q n －1a 1q n －1 q －1，所以(S S ′)n ＝(a 21q n －1)n ＝[a n1·q n n －1 2]2＝T 2，即T 2＝(S S ′)n. 【错因分析】由题设无法判断q 与1的关系，以上证法，漏掉了公比q ＝1的情形，故导致错误．【防范措施】对于公比为q ，首项为a 1的等比数列，其前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1 1－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.当q ＝1时，此类数列为常数列(各项均不为0)，其前n项和为na 1，故解决此类问题时要细心，一般来说，只要题目中含有字母，就有可能要讨论，否则容易漏解．【正解】由题意可设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则数列{1a n }是首项为1a 1，公比为1q的等比数列．当q ＝1时，S ＝na 1，T ＝a n1，S ′＝n a 1，所以(S S ′)n ＝a 2n 1＝T 2，所以T 2＝(S S ′)n ；当q ≠1时，S ＝a 1 1－q n 1－q ，T ＝a n 1q 1＋2＋…＋(n －1)＝a n 1q n n －1 2，S ′＝a －11 1－q －n1－q －1＝q n －1a 1q n －1 q －1，所以(S S ′)n ＝(a 21q n －1)n ＝[a n 1q n n －1 2]2＝T 2，即T 2＝(S S ′)n. 综上可知T 2＝(S S ′)n.1．基础知识：(1)等比数列前n 项和公式；(2)等比数列前n 项和公式与函数关系； (3)等比数列前n 项和性质． 2．基本技能：(1)等比数列前n 项和公式的应用； (2)等比数列前n 项和性质的应用；(3)运用等比数列前n 项和公式解决实际问题． 3．思想方法： (1)方程思想；(2)函数思想.(对应学生用书第36页)1．等比数列{a n }的公比q ＝2，首项a 1＝1，则S n 等于________．【解析】 q ≠1，直接使用等比数列求和公式，得S n ＝a 1 1－q n 1－q ＝1－2n 1－2＝2n－1.【答案】 2n－12．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝________. 【解析】设等比数列首项为a 1，∵q ＝2， ∴由前n 项和公式得S 4＝a 1 1－241－2＝15a 1.又a 2＝a 1·q ＝2a 1，∴S 4a 2＝15a 12a 1＝152.【答案】1523．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝4，S 4＝40，则S 6＝________. 【解析】由等比数列前n 项和性质：S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也成等比数列， ∴(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4) ∴362＝4(S 6－40)，S 6＝364. 【答案】 3644．设等比数列{a n }的公比q ＜1，前n 项和为S n ，已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．【解】由题设知a 1≠0，S n ＝a 1 1－q n1－q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2， ①a 1 1－q 4 1－q＝5×a 1 1－q 21－q . ②由②得1－q 4＝5(1－q 2)， (q 2－4)(q 2－1)＝0，(q －2)(q ＋2)(q －1)(q ＋1)＝0. 因为q ＜1，所以q ＝－1或q ＝－2. 当q ＝－1时，代入①得a 1＝2，通项公式为a n ＝2×(－1)n －1(n ∈N *)；当q ＝－2时，代入①得a 1＝12，通项公式为a n ＝12×(－2)n －1(n ∈N *).(对应学生用书第90页)一、填空题1．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝22，则a 1的值等于________．【解析】由等比数列前n 项和公式S 5＝a 1[1－－2 5]1－－2＝22，∴33a 1＝3×22，∴a 1＝2.【答案】 22．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则公比q 等于________．【解析】 ∵a 1＝3，S 3＝21，∴q ≠1. 由等比数列前n 项和公式，S 3＝3 1－q 3 1－q ＝3 1－q 1＋q ＋q 21－q ＝3q 2＋3q ＋3＝21，∴q 2＋q －6＝0，∴q ＝2或q ＝－3. 又∵各项都为正数，∴q ＝2. 【答案】 23．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n ＝________. 【解析】 ∵S 3n ≠3S n ，∴q ≠1.由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1 q n －1q －1＝2， ①a 1q 3n－1q －1＝14， ②②÷①整理得(q n ＋3)(q n －2)＝0，则q n＝2(q n＝－3舍去)，∴a 1q －1＝2，S 4n ＝a 1q －1(q 4n－1)＝30.【答案】 304．设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2，且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n 等于________．【解析】设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，则有(2＋2d )2＝2(2＋5d )，即4d 2－2d ＝0.又d ≠0，所以d ＝12，所以S n ＝2n ＋n n －1 2×12＝14n 2＋74n .【答案】 14n 2＋74n5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝a 1 3n －12(n ≥1)，且a 4＝54，则a 1＝________. 【解析】由数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1 3n －1 2(n ≥1)，则a 4＝S 4－S 3＝a 1 81－12－a 1 27－12＝27a 1，且a 4＝54，则a 1＝2.【答案】 26．已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥3时，log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝________.【解析】由等比数列的性质知a 1·a 2n －1＝a 2·a 2n －2＝…＝a n －1·a n ＋1＝a 2n ＝a 5·a 2n －5＝22n，∴log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1 ＝log 2(a 1·a 2·a 3·…·a 2n －1)＝log 2(2n )2n －1＝n (2n －1)．【答案】 n (2n －1)7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________.【解析】设公比为q ，则S 6S 3＝ 1＋q 3 S 3S 3＝1＋q 3＝3，所以q 3＝2，于是S 9S 6＝1＋q 3＋q 61＋q3＝1＋2＋41＋2＝73.【答案】 738．已知等比数列{a n }中a 2＝1，则前3项的和S 3的取值范围是________．【解析】 ∵{a n }是等比数列，∴设数列{a n }的公比为q (q ≠0)．又∵a 2＝1，∴a 1＝1q，a 3＝q ，∴S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1q＋1＋q ，∴q 2＋(1－S 3)q ＋1＝0，∴Δ＝(1－S 3)2－4≥0，∴S 3≤－1或S 3≥3.综上可知S 3的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．【答案】 (－∞，－1]∪[3，＋∞) 二、解答题9．(2013·临沂高二检测)已知等比数列{a n }前n 项之和为S n ，若S 4＝－20，S 8＝－1 640，求a 1和q .【解】 (1)当q ＝1时，S 4＝4a 1＝－20，∴a 1＝－5；S 8＝8a 1＝－1640，∴a 1＝－205，∴无解．(2)当q ≠1时，S 4＝a 1 1－q 4 1－q ＝－20，S 8＝a 1 1－q 8 1－q＝－1640，∴1－q81－q 4＝82，∴q ＝±3 当q ＝3时，由a 1 1－341－3＝－20，∴a 1＝－12；当q ＝－3时，由a 1[1－－3 4]1－3＝－20，∴a 1＝1.综上：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－12，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝－310．(2013·扬州检测)已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝－10，且a 2，a 4，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a ＞0，求数列{aa n ＋12}的前n 项和S n . 【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)．因为a 1＝－10，a 2，a 4，a 5成等比数列，所以(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋4d )，即(－10＋3d )2＝(－10＋d )(－10＋4d )，解得d ＝2或d ＝0(舍)．所以a n ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12. (2)由(1)知，a n ＝2n －12，所以aa n ＋12＝a 2n(a ＞0)．当a ＝1时，数列{aa n ＋12}的前n 项和S n ＝n ；当a ≠1时，令b n ＝aa n ＋12＝a 2n(a ＞0)，则b n ＋1＝a2n ＋2，所以b n ＋1b n ＝a 2n ＋2a2n ＝a 2(n ∈N *)，故{b n }为等比数列，所以{b n }的前n 项和S n ＝a 2 1－a 2n 1－a2. 11．(2013·泗阳检测)已知等差数列{a n }的公差d ＜0，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ； (2)求S n 的最大值．【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，则a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 3b 3＝ 9＋3d q 2＝960，S 2b 2＝ 6＋d q ＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝8(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65，q ＝403，故a n ＝3＋(n －1)×(－65)＝－65n ＋215，b n ＝(403)n －1.(2)S n ＝－35n 2＋185n ＝－35(n －3)2＋275，∴当n ＝3时，S n 有最大值为275.(教师用书独具)已知数列{log 2(a n －1)}(n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＜1. 【思路探究】由数列{log 2(a n －1)}(n ∈N *)为等差数列，求出a n ，从而求出a n ＋1－a n . 【自主解答】 (1)设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d ，由a 1＝3，a 3＝9，得2(log 22＋d )＝log 22＋log 28， ∴d ＝1.∴log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n＋1. (2)证明：∵1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ，∴1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n ＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12－12n ×121－12＝1－12n ＜1.先求出{a n }的通项公式是解题的关键，然后进一步求出a n ＋1－a n ，最后运用等比数列的前n 项和公式证明不等式成立．设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝2－2S n ，数列{a n }为等差数列，且a 5＝14，a 7＝20. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)若c n ＝a n ·b n ，n ＝1,2,3，…，T n 为数列{c n }的前n 项和，求证T n ＜72.【解】 (1)由b n ＝2－2S n ，令n ＝1，则b 1＝2－2S 1，又S 1＝b 1，所以b 1＝23.b 2＝2－2(b 1＋b 2)，则b 2＝29.当n ≥2时，由b n ＝2－2S n ，可得b n －b n －1＝－2(S n －S n －1)＝－2b n ，即b n b n －1＝13，所以{b n }是以b 1＝23为首项，13为公比的等比数列，于是b n ＝2·13n .(2)证明：由数列{a n }为等差数列，a 5＝14，a 7＝20，可得公差d ＝12(a 7－a 5)＝3，可得a n ＝3n －1.从而c n ＝a n ·b n ＝2(3n －1)·13n ，∴T n ＝2[2·13＋5·132＋8·133＋…＋(3n －1)·13n ]＝72－72·13n －n 3n －1＜72. 拓展例说函数思想在数列中的应用数列是一类特殊的函数，即数列是定义在正整数集N *或其子集{1,2，…，n }上的函数．对于等差数列{a n }，其通项公式a n 为关于n 的一次函数，因此其图象是一直线上的离散点；其前n 项和S n 为关于n 的二次函数，且常数项为0(公差不为0)，故其图象是一抛物线上的离散点．对于等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1＝a 1q q n ，前n 项和的公式S n ＝a 1 1－q n 1－q ＝a 11－q－a 11－qq n (q ≠1)，都具有类似于指数函数的结构特点，所以，它们的图象都是指数函数图象上的离散点．已知数列{a n }是等差数列，若S n ＝10，S 2n ＝50，求S 3n .【解】由条件知数列{S nn }是等差数列，故(n ，S n n )，(2n ，S 2n 2n )，(3n ，S 3n3n)三点共线，所以502n －10n 2n －n ＝S 3n 3n －10n 3n －n.解得S 3n ＝120.数列{a n }中，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，a 1＝2，求a n .【解】 ∵a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，∴a n ＋12＝a n 2＋1，∵数列{a n2}为等差数列，且公差为1，由通项公式得a n 2n ＝a 12＋(n －1)×1＝n ，∴a n ＝2nn (n ∈N *)．注：例1说明等比数列S n 是常数项为0的二次函数，S n n是一次函数．例2是经过函数变换，将原问题转化为等比数列和等差数列问题后再来求解的．。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.1 数列》7

§ 数列的概念及简单表示执教：如东中学惠敏敏一教学目标1知识与技能了解数列的概念，理解数列的本质，认识数列是一种特殊的函数，掌握数列几种简单的表示方法〔列表、图像、通项公式〕；能根据通项公式写出数列的项；了解数列的分类。

2过程与方法从实例出发，引导学生自主探究数列的概念，体会数列中项与序号之间的变量依赖关系，提炼出数列是一种特殊的函数；类比函数的表示法引出数列的表示方法，在过程中提高学生的观察、归纳、抽象、概括、类比迁移等能力。

3情感态度与价值观通过实例，使学生发现自然界充满数列，生活中需要数列，感受数列是刻画自然规律的数学模型，激发学生求知欲与学习兴趣；在探究中增强合作意识，在探究的成败中，感受喜悦，磨练意志。

二．教学重难点重点：1数列概念的理解；2数列是特殊的函数；3根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式。

难点：1函数观点下理解数列的定义；2会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式。

三、教学方法与教学手段通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式并借助mart、鼎易等多媒体设备，采用启发引导、合作讨论式相结合的教学方法，在教师的指导下让学生自主发现问题、提出问题、分析问题、解决问题。

四．教学流程：问题情景：1调查学号为1到50的学生的身高，并板书白板上。

2?庄子·天下篇? 一尺之棰，日取其半，万世不竭。

，，，，…3 从1984年到2021年，我国共参加了8次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为：15，5，16，16，28，32，51，38．学生活动：思考：以上问题中的数有什么共同特点？问题：〔1〕①场地上堆放了一批钢管, 从上往下数有4，5，6，7，8，9，10。

①场地上堆放了一批钢管, 从下往上数有10，9，8，7，6，5，4。

这两个数列是不是同一个数列呢？〔2〕顾客采用分期付款的方式购置一件商品，每月付款依次为：思考：与的联系和区别？思考：数列的每一项与其序号之间是怎样的关系？建构数学一．数列的概念：按照一定次序排列的一列数称为数列。

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1
课题: 2.1数列（2）
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
进一步理解数列的通项公式的概念；会根据简单数列的前n项写出数列的通项公式
【课前预习】
1．写出下列数列}{na的前5项：
（1）51a，)2(31naann；（2）21a，)2(21naann．

2．由数列的前n项写出一个通项公式：
关键在于观察、分析数列的前n项的特征、特点，找出数列的一个构成规律，再写
出一个相应的通项公式．

3．数列的递推公式：
数列的第n项na与它前面相邻一项1na（或相邻几项）所满足的关系式的递推公式．

4．注意：（1）并不是所有数列的通项公式都存在；
（2）有的数列的通项公式并不唯一．
【课堂研讨】
例1、写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

（1）211，321，431，541；（2）0，2，0，2．

例2、根据下列各数列的前几项，分别写出一个通项公式：
2

（1）21，41，81，161，…；（2）9，99，999，9999，…；
（3）11，10，9，8，7，…；（4）2，6，12，20，30，…．

例3、数列}{na中，01a，nnnaaa311，写出}{na的一个通项公式．

【学后反思】
3

课题:2.1数列（2）检测案
班级：姓名：学号：第学习小组

【课堂检测】
1．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）1，2，3，4；（2）2，4，6，8；

（3）1，4，9，16；（4）211，3121，4131，5141．

2．写出下列数列的通项公式，并作出图象：
（1）20，22，24，26，28，…；（2）1，2，4，8，16，…．

【课外作业】
1．数列}1)1(1{nnn的第7、第8项分别为．
2．数列1，3，5，7，9，…的一个通项公式为．
数列0，1，3log2，2，5log2，…的一个通项公式
为．
3．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）2，4，8，16；（2）1，8，27，64；

（3）1，21，31，41；（4）1，2，3，2．

4．写出下列数列的通项公式
（1）1，3，1，3，1，3，…；（2）21，21，185，547，…．
4

5．根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式：
（1）7，77，777，7777，…；（2）3，8，15，24，35，…．

6．已知数列}{na的通项公式是582nnan，
（1）写出这个数列的前5项，并作出它的图象；
（2）这个数列所有项中有没有最小的项？

7．已知数列}{na的前四项依次是1，21，2221，322221，
（1）写出该数列的一个通项公式；（2）该数列从第几项起大于2008？

8．数列}{na的通项公式为10102nnan，
（1）数列中有多少项为负数？
（2）n为何值时，na有最小值，并求出最小值．