高中数学知识点：轨迹方程
高中数学知识点：轨迹方程
求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y之间的方程．1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．
2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．
3．求轨迹方程的步骤：
（1）建立适当的直角坐标系，用(,)
x y表示轨迹（曲线）上任一点M的坐标；
（2）列出关于,x y的方程；
（3）把方程化为最简形式；
（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；
（5）作答．
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(完整版)高中数学动点轨迹问题专题讲解
动点轨迹问题专题讲解 一．专题内容： 求动点(, )P x y 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标, x y 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有： （1）等量关系法．．．．．：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉． （2）定义法．．．：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程． （3）转移代入法．．．．．：如果所求轨迹上的点(, )P x y 是随另一个在已知曲线C ：(, )0F x y =上的动点00(, )M x y 的变化而变化，且00, x y 能用, x y 表示，即0(, )x f x y =，0(, )y g x y =，则将00, x y 代入已知曲线(, )0F x y =，化简后即为所求的轨迹方程． （4）参数法．．．：选取适当的参数（如直线斜率k 等），分别求出动点坐标, x y 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可． （5）交轨法．．．：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）． 注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！ 二．相关试题训练 （一）选择、填空题 1．（ ）已知1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ?的周长为36，则MNP ?的顶点P 的轨迹方程是 （A ） 22125169x y +=（0x ≠） （B ）22 1144169x y +=（0x ≠） （C ） 22116925x y +=（0y ≠） （D ）22 1169144 x y +=（0y ≠） 3．与圆2 2 40x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ； 4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线 22 1169 x y -=上运动，则12F F P ?的重心G 的轨迹方程是 ； 5．已知圆C ：22 (16x y +=内一点)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平
数学高三理科知识点总结归纳
数学高三理科知识点总结归纳 轨迹方程就是与几何轨迹对应的代数描述。 一、求动点的轨迹方程的基本步骤 ⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标; ⒉写出点M的集合; ⒊列出方程=0; ⒋化简方程为最简形式; ⒌检验。 二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。 ⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。 ⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。 ⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P 的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。 ⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。 ⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。 直译法：求动点轨迹方程的一般步骤 ①建系——建立适当的坐标系; ②设点——设轨迹上的任一点P(x，y); ③列式——列出动点p所满足的关系式; ④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y的方程式，并化简;
⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。 高考数学知识点精华 高考数学知识点总结精华一 一、高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节 主要是考函数和导数，因为这是整个高中阶段中最核心的部分，这部分里还重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析。 二、平面向量和三角函数 对于这部分知识重点考察三个方面：是划减与求值，第一，重点掌握公式和五组基本公式;第二，掌握三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质;第三，正弦定理和余弦定理来解三角形，这方面难度并不大。 高考数学知识点总结精华二 三、数列 数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。 四、空间向量和立体几何 在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。 五、概率和统计 概率和统计主要属于数学应用问题的范畴，需要掌握几个方面：……等可能的概率;……事件;独立事件和独立重复事件发生的概率。 高考数学知识点总结精华三 六、解析几何 这部分内容说起来容易做起来难，需要掌握几类问题，第一类直线和曲线的位置关系，要掌握它的通法;第二类动点问题;第三类是弦长问题;第四类是对称问题;第五类重点问题，这类题往往觉得有思路却没有一个清晰的答案，但需要要掌握比较好的算法，来提高做题的准确度。 七、压轴题
二、定义法求轨迹方程(高中数学解题妙法)
二、定义法求轨迹方程 本内容主要研究定义法求轨迹方程.通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法.运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量． 先看例题： 例：已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.求曲线Γ的方 程. 解：设P (x ,y )为曲线Γ上任意一点，依题意， 点P 到点F (0，1) 的距离与它到直线y =－1的距离相等 , 24=x y 归纳整理： 熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键. 圆：到定点的距离等于定长 椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离） 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） 抛物线：到定点与定直线距离相等. 再看一个例题，加深印象 例：已知(0,7),(0,7),(12,2),-A B C 以C 为一个焦点，作过A ,B 的椭圆，求椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程.
故由双曲线定义知，F 的轨迹是以A ,B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支， 其方程为2 2 1(1)48x y y -=≤-. 总结： 1.用定义法求轨迹方程.熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，例如圆到定点的距离等于定长，椭圆到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离），双曲线到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离），抛物线到定点与定直线距离相等. 2.求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量． 练习： 1.已知点()1,0F ，点A 是直线1:1l x =-上的动点，过A 作直线2l ，12l l ⊥，线段AF 的垂直平分线与2l 交于点P .求点P 的轨迹C 的方程. 2.已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4.动圆M 与圆O 1内切，又 与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线． 3.如图，点A 为圆形纸片内不同于圆心C 的定点，动点M 在圆周上，将纸片折起，使点M 与点A 重合，设折痕m 交线段CM 于点N .现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy 中，设
六、点差法求轨迹方程(高中数学解题妙法)
六、点差法求轨迹方程 本内容主要研究点差法法求轨迹方程.圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12x x +，12y y +，12x x -，12y y -等关系式，由于弦AB 的中点(,)P x y 的坐标满足122x x x =+，122y y y =+且直线AB 的斜率为 2121 y y x x --，由此可求得弦AB 中点的轨迹方程. 先看例题： 例：已知椭圆2 212 x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程 . ①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ． 由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有 ()()022 1212121=-+++x x y y y y x x 将③④代入得022 121=--+x x y y y x ．⑤
将22 121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分） 已知椭圆2 212 x y +=，过()2,1A 引椭圆的割线，求截得的弦的重点的轨迹方程. （3）将 212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分） 整理： 圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12x x +，12y y +，12x x -，12y y -等关系式，由于弦AB 的中点(,)P x y 的坐标满足122x x x =+， 122y y y =+且直线AB 的斜率为 2121 y y x x --，由此可求得弦AB 中点的轨迹方程. 再看一个例题，加深印象 例：已知椭圆2 212 x y +=，过()2,1A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程. 解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则 221122221212222222x y x y x x x y y y ?+=?+=??+=??+=?，①，②， ③，④ ①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．
高中数学 轨迹问题专题
轨迹问题专题 一.综述 (一)求动点的轨迹方程的基本步骤: ⒈依据题目建立适当的坐标系，设出动点M（x,y）的坐标. ⒉写出点M的集合(几何关系）. ⒊将几何关系转化为代数关系,列出方程f(x,y)=0,化简方程为最简形式. 4.检验特殊点,进行必要的文字说明. (二)高考中常见的求轨迹方程的方法有: 1.直译法与定义法, 2.相关点法; 3.参数法; 4.交轨法 (三)求轨迹方程一般以解答题第一问的形式出现,偶尔也会在小题中考查.二.例题精讲破解规律 例1.设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明EA+EB 为定值，并写出点E的轨迹方程. 分析:题目中要求证明EA+EB为定值,容易知道,E的轨迹是椭圆,根据条件求出相关的参数即可.
AM = λ AD , DN = λ DC , λ ∈[0,1], AN 交 BM 于点 Q .若点 Q 的轨迹是曲线 P 的 现学现用 2: 设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C ： x + y 2 = 1 上，过 M 做 x 轴 点评:平面几何相关知识是解决本题的关键,平时学习中要加以重视. 规律总结: (1)直译法求轨迹方程:题目给出的条件可以直接得到一个关于动点坐 标的关系式,化简即可. (2)定义法求轨迹方程 :轨迹方程问题中 ,若能得到与我们所学过的圆锥曲线定义 相符的结论,可以根据相应圆锥曲线的定义求出相关的参数,从而得到方程. (3)定义法求轨迹方程本质上还是直译法,只是我们利用了直译法得到的结论. 现 学 现 用 1: 如 图 ， 矩 形 ABCD 中 ， A (-2,0 ), B (2,0 ), C (2,2 ), D (-2,2 ) 且 uuuuv uuuv uuuv uuuv 一部分，曲线 P 关于 x 轴、 y 轴、原点都对称,求曲线 P 的轨迹方程. 例 2. 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (6,5 )，端点 A 在圆 C : (x - 4)2 + ( y - 3)2 = 4 1 上运动.求线段 AB 的中点 P 的轨迹 C 的方程； 2 规律总结:相关点法求轨迹方程: 题中涉及了两个动点 N 、M ,且点 N 的运动是有 规律的(轨迹方程已知)，而 M 的运动是由 N 的运动而引发的，这样的题目可采 用相关点法求动点 M 的轨迹方程.基本方法是设 M 的坐标,再反解出 N 的坐标, 然后带入 N 所在曲线的轨迹方程,整理即可. 2 2
高中数学—18—轨迹方程
1．已知AB 是圆252 2 =+y x 的动弦，若6=AB ，则线段AB 的中点的轨迹方程为 ． 2．已知5=PQ ，P 到平面内一直线l 的距离为2且Q 到直线l 的距离为4，则满足条件的直线l 有 条． 3．ABC ?的三边长分别为||,||,||BC a BA c A C b ===，且a b c >>成等差数列， (1,0),(1,0)A C -，则顶点B 的轨迹方程为 ． 4．已知圆O 的方程是022 2 =-+y x ，圆O '的方程是01082 2 =+-+x y x ，由动点P 向圆O 和圆O '所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程为 ． 5．()24， P 是圆C ：03628242 2 =---+y x y x 内的一个定点，圆上的动点A 、B 满足ο90=∠APB ，则弦AB 的中点Q 的轨迹方程为 ． 轨迹方程 热身练习
知识梳理 求轨迹是解析几何一个很重要的题型，方法较多，难度较大。在此两讲中，我们将学习最为常见的几种求轨迹的方法（直接法、转移代入法、几何定义法、综合法、点差法、消参法、交轨法等）. 1、直接法 直接法，又称“直译法”，是求轨迹最基本的方法，圆锥曲线的标准方程都是通过直接法得到的. 解题步骤就是“建设现代化镇” （1）建系，目前大部分题目都已经建好坐标系了，一般可以省略； x y； （2）设点，直接设动点坐标为(,) （3）写式，运用一定平面几何知识，写出题目中动点满足的几何关系式； （4）代入，将动点坐标、已知数据全部代入关系式； （5）化简，化简式子，注意等价性； （6）证明，证明轨迹的完备性和纯粹性，由于前几步的等价性，所以现已省略此步. 2、转移代入法 转移代入法，也称“相关点法”.当动点是随着相关的点有规律的运动而运动时，可用此法. 解题步骤： 第一，需找到动点和相关点之间的坐标关系，进行表示和反表示，就是坐标转移； 第二，需找到相关点在运动时满足的那个关键式，代入关键式； 第三，化简即可，注意范围。 目前一般常见的题型有两种：一静一动类，双动类. 3、几何定义法 几何定义法，根据动点满足的几何关系式，发现动点正好满足某个我们已经学过的曲线的定义，那么就可以直接用结论，节省了时间，是对曲线的定义，特别是圆锥曲线的定义的重要考查形式. 我们来复习一下几个常见定义： （1）到定点的距离等于定值的点的轨迹--------圆； （2）到定直线的距离等于定值的点的轨迹------两条平行线； （3）到两定点的距离之和为定值的点的轨迹（该和大于两定点间的距离）------椭圆； （4）到两定点的距离之和为定值的点的轨迹（该和等于两定点间的距离）------线段； （5）到两定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹（差的绝对值小于两定点间的距离）------双曲线；
高中数学求轨迹方程的六种常用技法汇总
高中数学求轨迹方程的六种常用技法汇总．直接法 例1．已知线段6AB，直线BMAM,相交于M，且它们的斜率之积是4 ，求点M AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴建立坐标系，则(3,0),(3,0)AB， M的坐标为(,)xy，则直线AM的斜率(3) AMykxx，直线BM的斜 (3) AMykxx 4(3) 39yyxxx M的轨迹方程为221(3) 4xyx ．平面内动点P到点(10,0)F的距离与到直线4x的距离之比为2，则点P的轨迹方 。 ．设动直线l垂直于x轴，且与椭圆2224xy交于A、B两点，P 是l上满足 PAPB P的轨迹方程。 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线 （） ．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
．定义法 2．若(8,0),(8,0)BC为ABC的两顶点，AC和AB两边上的中线长之和是30， ABC的重心轨迹方程是_______________。 ABC的重心为(,)Gxy，则由AC和AB两边上的中线长之和是30可得 20 BGCG，而点(8,0),(8,0)BC为定点，所以点G的轨迹为以,BC 220,8ac可得2210,6abac ABC的重心轨迹方程是221(0) 36xyy ．方程222(1)(1)|2|xyxy表示的曲线是（） ．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．抛物线 ．点差法 锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点 122(,),(,)AxyBxy的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12xx， 2yy，12xx，12yy等关系式，由于弦AB的中点(,)Pxy的坐标满足122xxx， 22yyy且直线AB的斜率为21 1yyxx，由此可求得弦AB中点的轨迹方程。 3．椭圆221 2xy中,过(1,1)P的弦恰被P点平分,则该弦所在直线方程为 。 (1,1)P的直线交椭圆于 1(,)Axy、22(,)Bxy，则有
(2021年整理)高中数学动点轨迹问题专题讲解
高中数学动点轨迹问题专题讲解 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学动点轨迹问题专题讲解）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学动点轨迹问题专题讲解的全部内容。
动点轨迹问题专题讲解 一．专题内容： 求动点(, )P x y 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标, x y 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有： （1）等量关系法．．．．．:根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时,要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉． （2）定义法．．．：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义,可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程． （3）转移代入法．．．．．：如果所求轨迹上的点(, )P x y 是随另一个在已知曲线C ：(, )0F x y =上的动点00(, )M x y 的变化而变化，且00, x y 能用, x y 表示，即0(, )x f x y =,0(, )y g x y =，则将00, x y 代入已知曲线(, )0F x y =,化简后即为所求的轨迹方程． （4）参数法．．．：选取适当的参数（如直线斜率k 等)，分别求出动点坐标, x y 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程,消去参数即可． (5）交轨法．．．:即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）． 注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！ 二．相关试题训练 （一）选择、填空题 1．（ ）已知1F 、2F 是定点,12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程是
一、直接法求轨迹方程(高中数学解题妙法)
一、直接法求轨迹方程 本内容主要研究直接法求轨迹方程.根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，将关系式坐标化，从而求得轨迹方程。 例：已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1． 求曲线C 的方程． 归纳整理： 当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法. 再看一个例题，加深印象 例：在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15 922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F .设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、22N (x ,y )，其中m >0,0,021<>y y .设动点P 满足22PF PB 4-=,求点P 的轨迹.
总结： 1.用直接法求轨迹方程的步骤：建系，设点，列方程化简，其关键是根据条件建立x ，y 之间的关系F (x ，y )＝0． 2.求轨迹方程时，最后要注意它的完备性与纯粹性，多余的点要去掉，遗漏的点要补上． 练习： 1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ，且它们的斜率之积是 49，求点M 的轨迹方程. 2.已知点)0,2(-A 、).0,3(B 动点),(y x P 满足2x =?，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 3.动点P （x ,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即 |PA |2|PB | =），求动点P 的轨迹方程？
高中数学教案-轨迹与轨迹方程
轨迹与轨迹方程 课程目标 知识提要 轨迹与轨迹方程 求轨迹方程常用的方法 （1）定义法（又称待定系数法）：适用于根据题目条件，可以直接判断轨迹是何种曲线，并且可知其方程的形式． （2）直接法（又称直译法）：利用解析几何基本公式直接将题目给出的几何条件“翻译”为方程式．这种方法适用于给出的条件可以直译成代数方程的形式． （3）相关点法（又称代入法）：如果轨迹点依赖于另一点，而 又在某已知曲线上，则可以先列出关于，，，的方程组，利用，表示出， 再代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程． （4）参数法：如果轨迹动点的坐标，之间的关系不易找到，也没有相互可用时，可先考虑将，用一个或几个参数来表示，再消去参数得轨迹方程． 精选例题 轨迹与轨迹方程 1. 平面内动点到点的距离和到直线的距离相等，则动点的轨迹方程 为是． 【答案】
2. 已知点，，的面积为，则动点的轨迹方程为． 【答案】， 3. 打开“几何画板”进行如下操作：①用画图工具在工作区画一个圆（圆为圆心）；②用取点工具分别在圆上和圆外各取一点，；③用构造菜单下对应命令作出线段的垂直平分线；④做直线；设直线与相交于点，当在圆上运动时，点的轨迹是． 【答案】双曲线 【分析】由题意画出图形，如图， 因为线段的垂直平分线为， 所以． 所以定值． 所以由双曲线的定义知，点的轨迹是双曲线． 4. 已知点到双曲线的左、右焦点的距离之比为，则点的轨迹方程 为． 【答案】 【分析】设点的坐标为，由题意得双曲线的左、右焦点分别为，，则，即，化简得 ． 所以点的轨迹方程为． 5. 已知的两个顶点为，，第三个顶点在直线上，则重心的轨迹方程为． 【答案】
高中数学考前归纳总结求轨迹方程的常用方法
求轨迹方程的常用方法 一、求轨迹方程的一般方法： 1,待定系数法：如果动点P的运动规律符合我们的某种曲线〔如圆、椭圆、双曲线、抛物线〕的定义,那么可先设出轨迹方程,再根据条件, 待定方程中的常数,即可得到轨迹方程,也有人将此方法称为定义法. 2,直译法：如果动点P的运动规律是否符合我们熟知的某些曲线的定义难以判断, 但点P满足的等量关系易于建立,那么可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系, 再用点P的坐标〔x, y〕表示该等量关系式,即可得到轨迹方程. 3 .参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效,那么可寻求引发动点P运动的某 个几何量t ,以此量作为参变数,分别建立P点坐标x, y与该参数t 的函数关系x = f 〔t〕, y = g 〔t〕,进而通过消参化为轨迹的普通方程 F 〔x, y〕 =0. 4 .代入法〔相关点法〕：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的, 而该点的运动规律,〔该点坐标满足某曲线方程〕,那么可以设出P 〔x, y〕,用〔x, y〕表示出相关点P'的坐标,然后把P'的坐标代入曲线方程,即可得到动点P的 轨迹方程. 5 .几何法：假设所求的轨迹满足某些几何性质〔如线段的垂直平分线,角平分线的性质等〕,可以用几何法,列出几何式,再代入点的坐标较简单. 6:交轨法：在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这类问题通常通过解方程组得出交点〔含参数〕的坐标,再消去参数求得所求的轨迹方程〔假设能直接消去两方程的参数,也可直接消去参数得到轨迹方程〕,该法经常与参数 法并用. 二、求轨迹方程的考前须知： 1 . 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中,发现动点P的运动规律, 即P 点满足的等量关系,因此要学会动中求静,变中求不变. 2 .轨迹方程既可用普通方程F〔x,y〕 0表示,又可用参数方程x f〔t〕〔t为参数〕 y g〔t〕 来表示,假设要判断轨迹方程表示何种曲线,那么往往需将参数方程化为普通程的某些解为坐标的点不在轨迹上〕,又要检验是否丢解.〔即轨迹上方程. 3.求出轨迹方程后,应注意检验其是否符合题意,既要检验是否增解, 〔即以该方 的某些点未能用
高中数学求轨迹方法及例题
高中数学求轨迹方法及例题 轨迹方程就是与几何轨迹对应的代数描述。符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹。下面是小编为大家整理的关于高中数学求轨迹方法及例题，希望对您有所帮助。欢迎大家阅读参考学习! 1高中数学求轨迹方法及例题 轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合。求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。 2常用方法 在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程(若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程)，该法经常与参数法并用。将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。 如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。 3解题步骤 建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;写出点M的集合;列出方程=0;化简方程为最简形式;检验。
高中数学求轨迹方程的六种常用技法
求轨迹方程的六种常用技法 轨迹方程的探解析几何中的基本问题之一，也是近几年来高考中的常见题型之一。学生解这类问题时，不善于揭示问题的部规律及知识之间的相互联系，动辄就是罗列一大堆的坐标关系，进行无目的大运动量运算，致使不少学生丧失信心，半途而废，因此，在平时教学中，总结和归纳探求轨迹方程的常用技法，对提高学生的解题能力、优化学生的解题思路很有帮助。本文通过典型例子阐述探求轨迹方程的常用技法。 1．直接法 根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。 例1．已知线段6=AB ，直线BM AM ,相交于M ，且它们的斜率之积是 49，求点M 的轨迹方程。 解：以AB 所在直线为x 轴，AB 垂直平分线为y 轴建立坐标系，则(3,0),(3,0)A B -， 设点M 的坐标为(,)x y ，则直线AM 的斜率(3)3 AM y k x x =≠-+，直线BM 的斜率(3)3 AM y k x x = ≠- 由已知有4(3)339y y x x x •=≠±+- 化简，整理得点M 的轨迹方程为22 1(3)94 x y x -=≠± 练习： 1．平面动点P 到点(10,0)F 的距离与到直线4x =的距离之比为2，则点P 的轨迹方程 是 。 2．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆22 24x y +=交于A 、B 两点，P 是l 上满足1PA PB ⋅=的点，求点P 的轨迹方程。 3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线 的平面的轨迹是 （ ） A ．直线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．双曲线 2．定义法 通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。 例2．若(8,0),(8,0)B C -为ABC ∆的两顶点，AC 和AB 两边上的中线长之和是30，
高中数学2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的轨迹方程教案新选修1-1
甘肃省金昌市第一中学2014年高中数学2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线 的轨迹方程教案新人教A版选修1-1 一、教学目标 (一)知识教学点 使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．(二)能力训练点 通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．(三)学科渗透点 通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍，使学生掌握常用动点的轨迹，为学习物理等学科打下扎实的基础． 二、教材分析 1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法． (解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．)2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法． (解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．) 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．三、教学过程 学生探究过程： (一)复习引入 大家知道，平面解析几何研究的主要问题是： (1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； (2)通过方程，研究平面曲线的性质． 我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析． (二)几种常见求轨迹方程的方法 1．直接法 由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法． 例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程； (2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹． 对(1)分析： 动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0． 即x2+y2=4R2或x2+y2=0． 故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0． 对(2)分析： 题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为： 设弦的中点为M(x，y)，连结OM， 则OM⊥AM．
高中数学轨迹方程求法——相关点法教案设计
轨迹方程求法——相关点法 教学目标：1、学会用相关点法求动点的轨迹方程 2、体会在何种情况可用相关点法求动点的轨迹方程 教学重点：相关点法求动点的轨迹方程书写步骤 教学难点：何种情况可用相关点法求动点的轨迹方程 教学过程： 一、引入课题 求平面上的动点的轨迹方程不仅是教学大纲要求掌握的主要内容之一，也是高考考查的重点内容之一。由于动点运动规律千差万别，因此求动点轨迹方程的方法也多种多样，上节课已介绍了常用的方法——定义法，今天我们来学习相关点法求轨迹方程。 二、相关点法的概念 Q 随着P 的运动而运动，则称P 、Q 为相关点，其中P 叫主动点，Q 叫从动点。 用动点Q 的坐标（x ，y ）表示相关点P 的坐标（x 0、y 0），然后代入点P 的坐标（x 0，y 0）所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q 轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法． 三、例题分析 例1、 已知点A （3，0）为圆922=+y x 外的一点，P 为922=+y x 上的一个动点，M 为线段PA 的中点，求M 的轨迹方程。 分析：在题目中有2个动点P 、M ，其中M 随着P 的运动而运动 ，并且P 在已知圆上的运动，因此可以用相关点法求M 的轨迹方程 解：设P ),(00y x ，M ),(y x ∵M 为AP 的中点，所以230+=x x ， 2 00+=y y ∴320-=x x ， y y 20= 又∵P ),(00y x 为圆92 2=+y x 上一点 ∴22009x y += ∴9)2()32(2 2=+-y x
∴4 9)23 (22=+-y x ∴M 点轨迹方程为4 9)23 (22= +-y x 小结：相关点法的判断和步骤 判断 看题目中是否具有下列条件 （1）有主动点和从动点 （2）主动点在已知曲线上运动 步骤 （1）设坐标 （2）找关系 （3）代方程 . 例2、已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程． 解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ，， 00 323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ② 又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上， 200y x =∴． ③ 将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠， 即所求曲线方程是2434(0)3 y x x y =++≠． 四、课堂练习： 1. P 是椭圆15 92 2=+y x 上的动点，过P 作椭圆长轴的垂线，垂足为M ，求PM 的中点轨迹方程 2. 已知A （2，0），B )2,1(-，点C 在直线032=-+y x 上移动，求∆ABC 重心G 的轨迹方程。 3. 过点(,0)A a 引圆222 x y a +=的弦交圆于P 点，求弦AP 中点M 的轨迹方程； 五、课堂小结 相关点法的判断和步骤
高一数学复习考点知识讲解课件14---轨迹问题
高一数学复习考点知识讲解课件 第3课时轨迹问题 考点知识 1.掌握定义法求圆的方程. 2.掌握直接法求圆的方程. 3理解相关的方法(代入法)求轨迹方程． 一、定义法求轨迹方程 例1已知圆x 2＋y 2＝1，点A (1,0)，△ABC 内接于圆，且∠BAC ＝60°，当B ，C 在圆上运动时，BC 中点D 的轨迹方程是() A ．x 2＋y 2＝12 B ．x 2＋y 2＝1 4 C ．x 2＋y 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫ x <12 D ．x 2 ＋y 2 ＝14⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ x <14 答案D 解析如图所示，因为∠BAC ＝60°， 又因为圆周角等于圆心角的一半，
所以∠BOC＝120°，又D为BC的中点，OB＝OC，所以∠BOD＝60°，在Rt△BOD中， 有OD＝1 2OB＝1 2， 故中点D的轨迹方程是x2＋y2＝1 4 ， 如图，由∠BAC的极限位置可得，x<1 4. 反思感悟(1)当动点满足到定点距离等于定长时，直接求圆心、半径得圆的方程．(2)注意轨迹与轨迹方程不同． 跟踪训练1长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB 的中点M的轨迹方程为__________． 答案x2＋y2＝9 解析设M(x，y)，因为△AOB是直角三角形，所以OM＝1 2AB＝3为定值，故M的轨迹 为以O为圆心，3为半径的圆，故x2＋y2＝9即为所求． 二、直接法求轨迹方程 例2点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．若
∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 解设线段PQ的中点为N(x，y)， 在Rt△PBQ中，PN＝BN. 设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ， ∴OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 反思感悟直接法求轨迹方程的两种常见类型及解题策略 直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标(x，y)，然后根据题目中的等量关系列出x，y 之间的关系并化简．主要有以下两类常见题型． (1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程． (2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．提醒：求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性． 跟踪训练2点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点．求过点B的弦的中点T的轨迹方程． 解设T(x，y)． 因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT. 当斜率存在且不为0时，有k OT·k BT＝－1.