高中数学教案-轨迹与轨迹方程

轨迹与轨迹方程

课程目标

知识提要

轨迹与轨迹方程

求轨迹方程常用的方法

（1）定义法（又称待定系数法）：适用于根据题目条件，可以直接判断轨迹是何种曲线，并且可知其方程的形式．

（2）直接法（又称直译法）：利用解析几何基本公式直接将题目给出的几何条件“翻译”为方程式．这种方法适用于给出的条件可以直译成代数方程的形式．

（3）相关点法（又称代入法）：如果轨迹点依赖于另一点，而

又在某已知曲线上，则可以先列出关于，，，的方程组，利用，表示出，

再代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程．

（4）参数法：如果轨迹动点的坐标，之间的关系不易找到，也没有相互可用时，可先考虑将，用一个或几个参数来表示，再消去参数得轨迹方程．

精选例题

轨迹与轨迹方程

1. 平面内动点到点的距离和到直线的距离相等，则动点的轨迹方程

为是．

【答案】

2. 已知点，，的面积为，则动点的轨迹方程为．

【答案】，

3. 打开“几何画板”进行如下操作：①用画图工具在工作区画一个圆（圆为圆心）；②用取点工具分别在圆上和圆外各取一点，；③用构造菜单下对应命令作出线段的垂直平分线；④做直线；设直线与相交于点，当在圆上运动时，点的轨迹是．

【答案】双曲线

【分析】由题意画出图形，如图，

因为线段的垂直平分线为，

所以．

所以定值．

所以由双曲线的定义知，点的轨迹是双曲线．

4. 已知点到双曲线的左、右焦点的距离之比为，则点的轨迹方程

为．

【答案】

【分析】设点的坐标为，由题意得双曲线的左、右焦点分别为，，则，即，化简得

．

所以点的轨迹方程为．

5. 已知的两个顶点为，，第三个顶点在直线上，则重心的轨迹方程为．

【答案】

【分析】设，的中点恰好为，由，得，代入

，得．

6. 点到的距离比它到直线的距离大，则的轨迹方程为．【答案】

【分析】时，，

时，．

7. 如图，在边长为的正方形中，为正方形边上的动点，现将所在平面沿

折起，使点在平面上的射影在直线上，当从点运动到，再从运动到，则点所形成轨迹的长度为．

【答案】

8. 已知过定点的动圆与直线相切，则此动圆圆心轨迹方程是．

【答案】

【分析】设动圆圆心为，则有，化简整理后得．

9. 曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于的点的轨迹，给出下

列三个结论：

①曲线关于轴对称；

②若点在曲线上，则；

③若点在曲线上，则．

其中，所有正确结论的序号是．

【答案】①②③

【分析】设曲线上的动点为，则，整理得

．

对于①：显然也满足曲线方程，所以曲线关于轴对称；

对于②：当时，，所以，当时，，所以，故；

对于③：因为，且，所以，故．

综上，①②③均正确．

10. 直线与、轴交点的中点的轨迹方程是．

【答案】

【分析】直线与、轴的交点为．

设的中点为，则消去，得．

因为，所以．

11. 设圆，则圆的圆心轨迹方程是，若直线

截圆所得的弦长与无关，则．

【答案】；．

12. 到直线和的距离相等的动点的轨迹方程是．

【答案】与

【分析】设为任意一点，根据题意，得，

即，两边平方后化简，得，

故所求的轨迹方程是与．

13. 若的斜边的两端点，的坐标分别为和，则直角顶点的轨迹

方程为．

【答案】

【分析】线段的中点为，因为为直角三角形，为直角顶点，所以到

点的距离为，所以点满足，即

．

14. 已知两点，，点为坐标平面内的动点，满足，则动点的轨迹方程为．

【答案】

15. 与圆和圆都外切的圆的圆心的轨迹方程

为．

【答案】（）

【分析】设圆的半径为，由圆的几何性质，得

则

所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支．

由双曲线的定义，得

因此，点的轨迹方程为

16. 已知动圆过点，且与圆：外切，则动圆的圆心

的轨迹方程为．

【答案】

【分析】因为动圆过点，

所以是该圆的半径，

又因为动圆与圆外切，

所以．

故点的轨迹是以，为焦点，实半轴长为的双曲线的左支．

因为实半轴长，半焦距．

所以虚半轴长．

从而动圆的圆心的轨迹方程为．

17. 一动点在圆上移动时，它与定点连线的中点轨迹方程是．

【答案】

18. 已知圆方程为，圆的方程为，动圆与外切且与内切，则动圆圆心的轨迹方程是．

【答案】

【分析】设动圆的圆心为，则有，得

，所以动圆圆心的轨迹是以，为焦点，以长为长轴的椭圆，所以动圆圆心的轨迹方程是．

19. 平面上有三个点、、，若，则动点的轨迹方程为．

【答案】

20. 已知椭圆上一动点，与圆上一动点，及圆

上一动点，则的最大值为．

【答案】

21. 已知点，都在抛物线上（，不同于原点），，

为垂足．

(1)求的轨迹的方程；

【解】设，，

因为，

所以，故．

又因为，

所以，

因此．

从而的方程为

的方程为

得．

由代入上式可知

，

即轨迹的方程为．

(2)求证：曲线与抛物线没有公共点．

【解】因为的圆心为，抛物线上点满足，

所以，

．

当且仅当时，

最小

由（1）圆不过点且半径为，

故曲线与抛物线没有公共点．

22. 已知点在以原点为圆心，半径为的圆上运动，求点的轨迹方程．【解】设，则解得

由在圆上，得点的轨迹方程为．

23. 点，，满足，求点的坐标满足的二元方程．

【解】因为，，，

由，得，

即，

化简，得．

24. 中，，，在上，，是垂心，

，求的轨迹方程．

【解】设垂心坐标为，且，，

则，．

因为为垂心，

所以，即．

又，

因此，即，

从而有．

25. 一个动点到直线的距离是它到点的距离的倍，求动点的轨迹方程．

【解】设动点，则依题意得，

两边平方得．

这就是动点的轨迹方程．

26. 求平面内到两定点，的距离之比等于的动点的轨迹方程．

【解】设，根据题意可得，化简整理得．27. 已知，，求以为斜边的直角三角形顶点P的轨迹方程．

【解】设点坐标为，由已知得点，即，

，整理得

检验：，，三点要构成直角三角形，所以点不能与，重合，即．

综上：点的轨迹方程为．

28. 已知直线，是直线上的一个动点，过点作轴、轴的垂线，垂足分别为、，求把有向线段分成的比的动点的轨迹方程．

【解】设，，则，且．

因为分有向线段所成的比，

所以得

代入得．

即动点的轨迹方程为．

29. 如图所示，圆与圆的半径都是，，过动点分别作圆、圆的切线，（，分别为切点），使得．试建立适当的坐标系，并求动点

的轨迹方程．

【解】如图所示，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直

角坐标系，则两圆心分别为，．

设，则，同理．因为，

所以，

即，即．

这就是动点的轨迹方程．

30. 已知曲线与直线交于两点和，且

．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．

(1)若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；

【解】如图所示，

由题意可得出，，，．

联立与得

设线段的中点坐标为，则

即

又点在曲线上，所以

化简可得

又点是上的任一点，且不与点和点重合，则

即

所以中点的轨迹方程为

(2)若曲线与有公共点，试求的最小值．【解】曲线

即圆

其圆心坐标为，半径．

由图可知，

当时，曲线与点有公共点；

当时，要使曲线与点有公共点，

只需圆心到直线的距离

得

则的最小值为．

31. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段

的中点的轨迹方程．

【解】设点的坐标是，点的坐标是．

因为点的坐标是，且是线段的中点，

所以，，

解得，．

因为点在圆上运动，

所以点的坐标满足方程，

即．

把①代入②，得，

整理，得．

所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．

32. 已知直线与椭圆有且仅有一个交点，且与轴、轴分别交于、，求以线段为对角线的矩形的一个顶点的轨迹方程．

【解】由题意，得直线不过椭圆的四个顶点，则可设直线的方程为

．

由得

．

由直线与椭圆相切，得，即．

在中，分别令，，可得，．

令顶点的坐标为，则

解得代入并整理，得．

因此，顶点的轨迹方程是．

33. 已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，是椭圆上的动点．

(1)若，的坐标分别是，，求的最大值；

【解】由题设条件知焦点在轴上，故可设椭圆方程为

设，由准线方程得

由得

解得

从而

椭圆的方程为

又易知，两点是椭圆的焦点，所以

从而

当且仅当，即点的坐标为时上式取等号，的最大值为． (2)如图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的射影，

点满足条件：，．求线段的中点的轨迹方程．

【解】设，，．因为，

故，，

因为，

所以

记点的坐标为，因为是的中点，所以

又因为，结合①，②得

故动点的轨迹方程为

34. 设（）为定点，，，为动点，且，分别在轴和轴上，若

，，求点的轨迹的方程．

【解】设，，，又（），

则，，

又因为，所以，

又因为，所以是的中点，

所以，

则代入①可得点的轨迹的方程为．

35. 已知，，动圆与内切，同时

与外切，求动圆圆心的轨迹方程．

【解】由已知可得圆与圆的圆心坐标与半径分别为，；，．

设动圆的圆心为，其坐标为，动圆的半径为．

由于圆与圆相内切，依据两圆内切的充要条件可得

由于圆与圆相外切，依据两圆外切的充要条件可得

如图所示，由可得．

即点到两定点与的距离之和为，且，可知动点的轨迹为椭圆，

且以与为焦点．

由题意，，，

．

椭圆的方程为．

动圆圆心的轨迹为焦点在轴上的椭圆，其方程为．

36. 长为的线段在抛物线上滑动，求中点的轨迹方程．

【解】设，为抛物线上两点，那么：

设中点为，那么：有：

已知．所求点的轨迹方程为．

37. 过定点任作互相垂直的两直线与，且与轴交于点，与轴交

于点，求线段中点的轨迹方程．

【解】设，，，则

因为，所以，化简得

代入，得．

即中点的轨迹方程为．

38. 已知：，是轴上的动点，，分别切于，两点， (1)如果，求直线的方程；

【解】

设和相交于点，又由题意可知．

由可得

由射影定理知，求得，在中，

故或．

所以直线方程是或．

(2)求动弦的中点的轨迹方程．

【解】连接，设，，

由点在一直线上，得

由射影定理得，即

由和消去，并注意到，可得

39. 已知点，点是直线上的动点，过作直线，，线段

的垂直平分线与交于点．

(1)求点的轨迹的方程；

【解】依题意，点到点的距离等于它到直线的距离，

所以点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线．

所以曲线的方程为．

(2)若点，是直线上两个不同的点，且的内切圆方程为，直线

的斜率为，求的取值范围．

【解】解法1：设点，点，点，

直线方程为：，

化简得，．

因为的内切圆方程为，

所以圆心到直线的距离为，

即．

故．易知，上式化简得，．

同理，有．

所以，是关于的方程的两根．

所以，．

所以．

因为，，

所以．

直线的斜率，则．

所以．

因为函数在上单调递增，

所以．

所以．

所以．

所以．

所以的取值范围为．

解法2：设点，点，点，

直线的方程为，即，

因为直线与圆相切，

所以．

所以．

所以直线的方程为．

因为点在直线上，

所以．

易知，上式化简得，．

同理，有．

所以，是关于的方程的两根．

所以，．

所以．

因为，，

所以．

直线的斜率，则．

因为函数在上单调递增，

所以．

所以．

所以．

所以．

所以的取值范围为．

解法3：设点，直线的方程为，

即，

令，得，

所以．

因为直线与圆相切，

所以．

化简得，．

同理，设直线的方程为，

则点，且．所以，是关于的方程的两根．所以，．

依题意，，，

所以

．

直线的斜率，则．

所以．

因为函数在上单调递增，

所以．

所以．

所以．

所以．

所以的取值范围为．

解法4：设点，如图，设直线，与圆相切的切点分别为，，

依据平面几何性质，得，

由，

得，

得．

得．

故．

依题意，，．

所以．

直线的斜率，则．

所以．

因为函数在上单调递增，

所以．

所以．

所以．

所以．

所以的取值范围为．

40. 已知向量，，经过原点以为方向向量的直线，与经过

以为方向向量的直线，相交于，其中，求点的轨迹方程．

【解】设，则在上，且，

又因为为上一点，

所以由，得．

又，且为上一点，，

所以由，得．

由消，得，

因此的轨迹方程为．

课后练习

1. 已知圆，点，是圆上的任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，则动点的轨迹方程为．

2. 与圆外切，且与轴相切的动圆圆心的轨迹方程是．

3. 设为圆上一动点，为圆的切线，且，则点的轨迹方程为．

4. 如图，直角坐标系所在的平面为，直角坐标系（其中轴与轴重合）所在的平面为，．

（1）已知平面内有一点，则点在平面内的射影的坐标为．（2）已知平面内的曲线的方程是，则曲线在平面内的射影的方程是．

5. 如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为正方形，且边长均为，

平面平面，为底面内一动点，当时，点在底面内的轨迹长度为．