高中数学教案-轨迹与轨迹方程
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轨迹与轨迹方程
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
轨迹与轨迹方程 B 1.了解轨迹与轨迹方程的对应关系； 2.能用定义法求出一些简单的轨迹方程； 3.了解求轨迹方程的其他方法（如：相关点法、交轨法等）. 少考
知识提要
轨迹与轨迹方程
求轨迹方程常用的方法
（1）定义法（又称待定系数法）：适用于根据题目条件，可以直接判断轨迹是何种曲线，
并且可知其方程的形式．
（2）直接法（又称直译法）：利用解析几何基本公式直接将题目给出的几何条件“翻译”为
方程式．这种方法适用于给出的条件可以直译成代数方程的形式．
（3）相关点法（又称代入法）：如果轨迹点 依赖于另一点 ，而
又在某已知曲线上，则可以先列出关于 ， ， ， 的方程组，利用 ， 表示出 ，
再代入已知曲线方程，即可得到动点 的轨迹方程．
（4）参数法：如果轨迹动点 的坐标 ， 之间的关系不易找到，也没有相互可
用时，可先考虑将 ， 用一个或几个参数来表示，再消去参数得轨迹方程．
精选例题
轨迹与轨迹方程
1. 平面内动点 到点 的距离和到直线 的距离相等，则动点 的轨迹方程
为是 ．
【答案】
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2. 已知点 ， ， 的面积为 ，则动点 的轨迹方程为 ．
【答案】 ，
3. 打开“几何画板”进行如下操作：① 用画图工具在工作区画一个圆 （圆 为圆心）；② 用
取点工具分别在圆 上和圆外各取一点 ， ；③ 用构造菜单下对应命令作出线段 的垂
直平分线；④ 做直线 ；设直线 与 相交于点 ，当 在圆 上运动时，点 的轨
迹是 ．
【答案】 双曲线
【分析】 由题意画出图形，如图，
因为线段 的垂直平分线为 ，
所以 ．
所以 定值 ．
所以由双曲线的定义知，点 的轨迹是双曲线．
4. 已知点 到双曲线
的左、右焦点的距离之比为 ，则点 的轨迹方程
为 ．
【答案】
【分析】 设点 的坐标为 ，由题意得双曲线的左、右焦点分别为 ， ，则
，即 ，化简得
．
所以点 的轨迹方程为
．
5. 已知 的两个顶点为 ， ，第三个顶点 在直线 上，
则 重心 的轨迹方程为 ．
【答案】
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【分析】 设 ， 的中点恰好为 ，由 ，得 ，代入
，得 ．
6. 点 到 的距离比它到直线 的距离大 ，则 的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】 时， ，
时，
．
7. 如图，在边长为 的正方形 中， 为正方形边上的动点，现将 所在平面沿
折起，使点 在平面 上的射影 在直线 上，当 从点 运动到 ，再从 运
动到 ，则点 所形成轨迹的长度为 ．
【答案】
8. 已知过定点 的动圆与直线 相切，则此动圆圆心轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】 设动圆圆心为 ，则有
，化简整理后得 ．
9. 曲线 是平面内到定点 和定直线 的距离之和等于 的点的轨迹，给出下
列三个结论：
① 曲线 关于 轴对称；
② 若点 在曲线 上，则 ；
③ 若点 在曲线 上，则 ．
其中，所有正确结论的序号是 ．
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【答案】 ①②③
【分析】 设曲线 上的动点为 ，则
，整理得
．
对于①：显然 也满足曲线 方程，所以曲线 关于 轴对称；
对于②：当 时，
，所以 ，当 时， ，
所以 ，故 ；
对于③：因为
，且 ，所以 ，
故 ．
综上，①②③均正确．
10. 直线
与 、 轴交点的中点的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】 直线
与 、 轴的交点为 ．
设 的中点为 ，则 消去 ，得 ．
因为 ，所以 ．
11. 设圆
，则圆 的圆心轨迹方程是 ，若直线
截圆 所得的弦长与 无关，则 ．
【答案】 ； ．
12. 到直线 和 的距离相等的动点的轨迹方程是 ．
【答案】 与
【分析】 设 为任意一点，根据题意，得
，
即 ，两边平方后化简，得 ，
故所求的轨迹方程是 与 ．
13. 若 的斜边的两端点 ， 的坐标分别为 和 ，则直角顶点 的轨迹
方程为 ．
【答案】
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【分析】 线段 的中点为 ，因为 为直角三角形， 为直角顶点，所以 到
点 的距离为
，所以点 满足
，即
．
14. 已知两点 ， ，点 为坐标平面内的动点，满足
，
则动点 的轨迹方程为 ．
【答案】
15. 与圆
和圆 都外切的圆的圆心 的轨迹方程
为 ．
【答案】
（ ）
【分析】 设圆 的半径为 ，由圆的几何性质，得
则
所以 点的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线的右支．
由双曲线的定义，得
因此， 点的轨迹方程为
16. 已知动圆 过点 ，且与圆 ：
外切，则动圆 的圆心
的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】 因为动圆 过点 ，
所以 是该圆的半径，
又因为动圆 与圆 外切，
所以 ，即 ．
故点 的轨迹是以 ， 为焦点，实半轴长为 的双曲线的左支．
因为实半轴长 ，半焦距 ．
所以虚半轴长
．
从而动圆 的圆心的轨迹方程为
．
17. 一动点在圆
上移动时，它与定点 连线的中点轨迹方程是 ．
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【答案】
18. 已知圆 方程为 ，圆 的方程为 ，动圆 与 外
切且与 内切，则动圆圆心 的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】 设动圆的圆心为 ，则有 ，得
，所以动圆圆心的轨迹是以 ， 为焦点，以 长为长轴的
椭圆，所以动圆圆心的轨迹方程是
．
19. 平面上有三个点 、 、 ，若 ，则动点 的轨迹方程
为 ．
【答案】
20. 已知椭圆
上一动点 ，与圆 上一动点 ，及圆
上一动点 ，则 的最大值为 ．
【答案】
21. 已知点 ， 都在抛物线
上（ ， 不同于原点）， ，
为垂足．
(1)求 的轨迹 的方程；
【解】 设
，
，
因为 ，
所以
，故 ．
又因为
，
所以 ，
因此 ．
从而 的方程为
的方程为
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得
．
由
代入上式可知
，
即轨迹 的方程为
．
(2)求证：曲线 与抛物线
没有公共点．
【解】 因为 的圆心为 ，抛物线上点 满足
，
所以 ，
当且仅当 时，
最小
．
由（1）圆 不过 点且半径为 ，
故曲线与抛物线没有公共点．
22. 已知点 在以原点为圆心，半径为 的圆上运动，求点 的轨迹方程．
【解】 设 ，则 解得
由 在圆
上，得点 的轨迹方程为 ．
23. 点 ， ， 满足 ，求点 的坐标满足的二元方程．
【解】 因为
， ，
，
由 ，得 ，
即
，
化简，得
．
24. 中， ， ， 在 上，
， 是 垂心，
，求 的轨迹方程．
【解】 设垂心 坐标为 ，且 ，
，
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则
，
．
因为 为垂心，
所以
，即
．
又 ，
因此
，即 ，
从而有
．
25. 一个动点到直线 的距离是它到点 的距离的 倍，求动点的轨迹方程．
【解】 设动点 ，则依题意得 ，
两边平方得
．
这就是动点的轨迹方程．
26. 求平面内到两定点 ， 的距离之比等于 的动点 的轨迹方程．
【解】 设 ，根据题意可得
，化简整理得 ．
27. 已知 ， ，求以 为斜边的直角三角形顶点P的轨迹方程．
【解】 设 点坐标为 ，由已知得点 ，即
，
，整理得
检验： ， ， 三点要构成直角三角形，所以 点不能与 ， 重合，即 ．
综上：点 的轨迹方程为
．
28. 已知直线
， 是直线 上的一个动点，过点 作 轴、 轴的垂线，垂足
分别为 、 ，求把有向线段 分成的比 的动点 的轨迹方程．
【解】 设
， ，则 ， 且 ．
曲线运动轨迹方程
曲线运动轨迹方程1. 引言曲线运动轨迹方程是高中数学中的重要内容之一，也是物理学、工程学等学科中必须掌握的基本知识之一。
曲线运动轨迹方程是描述物体在曲线运动过程中位置随时间的关系公式，能够真实地反映物理规律。
本文将深入探讨曲线运动轨迹方程的相关概念、性质和应用。
2. 曲线运动轨迹方程的定义和概念曲线运动是指物体在其运动过程中沿曲线路径运动。
在物理学中，曲线运动常常表现为物体绕一个固定的中心旋转，或者物体在重力、电场等作用下做曲线运动。
曲线运动轨迹方程是描述物体在曲线运动过程中位置随时间的关系公式，通常使用代数符号表达，可以是一个方程、多个方程组成的一组方程，也可以是一个参数式方程等。
3. 曲线运动轨迹方程的性质曲线运动轨迹方程具有以下性质：3.1 显示物体位置的函数曲线运动轨迹方程是一组显示物体在不同时刻位置的函数。
通过该方程可以得知物体在运动过程中每个时刻的位置坐标，进而获得物体位置随时间的规律。
3.2 显示物体速度和加速度的函数曲线运动轨迹方程除了能够显示物体在不同时刻的位置信息外，还能够显示物体在不同时刻的速度和加速度。
通过对曲线运动轨迹方程求导，可以得到物体在不同时刻的速度和加速度。
3.3 曲线的切线方向与导数曲线运动轨迹方程可以描述曲线在不同点的切线方向。
曲线在某一点处的切线与曲线方程在该点处的导数有关。
曲线在该点处的切线方向与导数在极限意义下相等。
3.4 曲率半径和二阶导数曲线运动轨迹方程也可以描述曲线的曲率半径，它与曲线的二阶导数有关。
因此，通过对曲线运动轨迹方程求两次导，可以得到曲线在不同点上的曲率半径。
3.5 物理规律的体现曲线运动轨迹方程是物理规律在运动中的具体体现。
这一点在工程学、物理学等领域得到了广泛的应用。
4. 应用实例曲线运动轨迹方程在物理学、工程学等领域中具有广泛的应用。
以下是几个实例：4.1 行星轨道分析行星轨道分析是物理学中的一个重要研究领域。
通过对曲线运动轨迹方程的求解，可以得到一个行星绕太阳的椭圆轨道方程。
三、相关点法求轨迹方程(高中数学解题妙法)
三、相关点法求轨迹方程(高中数学解题妙法)2.求出动点C和动点P之间的等量关系式；3.将等量关系式代入已知曲线方程，得到所求动点的轨迹方程。
本文介绍了相关点法求轨迹方程的基本步骤。
当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用相关点法求其轨迹方程：某个动点P在已知方程的曲线上移动；另一个动点M随P的变化而变化；在变化过程中P和M满足一定的规律。
关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系。
举例来说，对于点P(4.-2)与圆x^2+y^2=4上任一点连线的中点轨迹方程，我们可以设点P与圆上任一点N(x,y)连线的中点为M(x,y)，然后求出x=2x-4,y=2y+2的关系式，代入圆的方程可得(x-2)^2+(y+1)^2=1，因此答案为A.(x-2)^2+(y+1)^2=1.另一个例题是：设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且MN=2MP，PM⊥PF，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程。
我们可以设动点P的坐标为(x，y-yA)，动点C为F(1,0)，求出等量关系式后代入y^2=4x，得到点N的轨迹方程为y^2=4x。
综上所述，相关点法求轨迹方程的基本思路是设定两个动点，求出它们之间的等量关系式，再代入已知曲线方程得到所求动点的轨迹方程。
y0)，B(x,y)，P(x1,y1)，则由题意得：点B在抛物线上，即y2=x+1，代入得y=x2+1；点P在线段AB上，且点M的坐标为(2,0)，即线段AB的中点坐标为((x0+x)/2,(y0+x2+1)/2)。
根据上述条件，可以列出以下方程组：y=x2+1y-y0=(x-x0)/2y-(y0+x0^2+1)/2=2(x-2)/3解方程组得到：x1=3x0/2-x/2+2/3y1=3x0^2/4+y0/2+1/3代入抛物线方程y2=x+1得到点P的轨迹方程为：y1^2=(3x1/2-1)^2+1。
高中数学动点轨迹问题专题讲解
动点轨迹问题专题讲解一．专题内容：求动点(, )P x y 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标, x y 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有： （1）等量关系法．．．．．：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉． （2）定义法．．．：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程．（3）转移代入法．．．．．：如果所求轨迹上的点(, )P x y 是随另一个在已知曲线C ：(, )0F x y =上的动点00(, )M x y 的变化而变化，且00, x y 能用, x y 表示，即0(, )x f x y =，0(, )y g x y =，则将00, x y 代入已知曲线(, )0F x y =，化简后即为所求的轨迹方程．（4）参数法．．．：选取适当的参数（如直线斜率k 等），分别求出动点坐标, x y 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可． （5）交轨法．．．：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）． 注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！ 二．相关试题训练（一）选择、填空题1．（ ）已知1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段2．（ ）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程是（A ）22125169x y +=（0x ≠） （B ）221144169x y +=（0x ≠） （C ）22116925x y +=（0y ≠） （D ）221169144x y +=（0y ≠） 3．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ；4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线221169x y -=上运动，则12F F P ∆的重心G 的轨迹方程是 ；5．已知圆C ：22(16x y +=内一点)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平分线交CQ 于P 点，则P 点的轨迹方程为 ．2214x y += 6．△ABC 的顶点为(5, 0)A -、(5, 0)B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是 ；221916x y -=（3x >） 变式：若点P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，则△12PF F 的内切圆圆心的轨迹方程是 ；推广：若点P 为椭圆221259x y +=上任一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，圆M 与线段1F P 的延长线、线段2PF 及x 轴分别相切，则圆心M 的轨迹是 ；7．已知动点M 到定点(3,0)A 的距离比到直线40x +=的距离少1，则点M 的轨迹方程是 ．(212y x =)8．抛物线22y x =的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．(4kx =（28k y >）)9．过抛物线24y x =的焦点F 作直线与抛物线交于P 、Q 两点，当此直线绕焦点F 旋转时， 弦PQ 中点的轨迹方程为 ． 解法分析：解法1 当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 所在直线方程为 (1)y k x =-与抛物线方程联立，2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩ 消去y 得 2222(24)0k x k x k -++=． 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 中点为(,)M x y ，则有21222,22(1).x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩消k 得22(1)y x =-．当直线PQ 的斜率不存在时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)y x =-． 解法2 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由2112224,4.y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得121212()()4()y y y y x x -+=-，设PQ 中点为(,)M x y ， 当12x x ≠时，有121224y y y x x -⋅=-，又1PQ MF yk k x ==-，所以，21yy x ⋅=-，即22(1)y x =-． 当12x x =时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为22(1)y x =-．10．过定点(1, 4)P 作直线交抛物线:C 22y x =于A 、B 两点, 过A 、B 分别作抛物线C 的切线交于点M, 则点M 的轨迹方程为_________．44y x =-（二）解答题1．一动圆过点(0, 3)P ，且与圆22(3)100x y ++=相内切，求该动圆圆心C 的轨迹方程． （定义法）2．过椭圆221369x y +=的左顶点1A 作任意弦1A E 并延长到F ，使1||||EF AE =，2A 为椭圆另一顶点，连结OF 交2A E 于点P ， 求动点P 的轨迹方程．（直接法、定义法；突出转化思想）3．已知1A 、2A 是椭圆22221x y a b+=的长轴端点，P 、Q 是椭圆上关于长轴12A A 对称的两点，求直线1PA 和2QA 的交点M 的轨迹．（交轨法）4．已知点G 是△ABC 的重心，(0,1), (0,1)A B -，在x 轴上有一点M ，满足||||MA MC =， GM AB R λλ=(∈)．（1）求点C 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不同两点P 、Q ，且满足||||AP AQ =，试求k 的取值范围．解：（1）设(,)C x y ，则由重心坐标公式可得(,)33x yG ． ∵ GM AB λ=，点M 在x 轴上，∴ (,0)3x M ．∵ ||||MA MC =，(0,1)A -，∴=，即 2213x y +=． 故点C 的轨迹方程为2213x y +=（1y ≠±）．（直接法） （2）设直线l 的方程为y kx b =+（1b ≠±），11(,)P x y 、22(,)Q x y ，PQ 的中点为N ． 由22,3 3.y kx b x y =+⎧⎨+=⎩消y ，得222(13)63(1)0k x kbx b +++-=．∴ 22223612(13)(1)0k b k b ∆=-+->，即22130k b +->． ①又122613kbx x k +=-+，∴212122262()221313k b b y y k x x b b k k -+=++=+=++， ∴ 223(,)1313kb bN k k-++． ∵ ||||AP AQ =，∴ AN PQ ⊥，∴ 1ANk k =-，即 221113313bk kb k k ++=--+，∴ 2132k b +=，又由①式可得 220b b ->，∴ 02b <<且1b ≠．∴ 20134k <+<且2132k +≠，解得11k -<<且3k ≠±． 故k 的取值范围是11k -<<且3k ≠±． 5．已知平面上两定点(0,2)M -、(0,2)N ，P 为一动点，满足MP MN PN MN ⋅=⋅． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（直接法）（Ⅱ）若A 、B 是轨迹C 上的两动点，且AN NB λ=．过A 、B 两点分别作轨迹C 的切线，设其交点为Q ，证明NQ AB ⋅为定值．解：(Ⅰ)设(,)P x y ．由已知(,2)MP x y =+，(0,4)MN =，(,2)PN x y =--,48MP MN y ⋅=+．4PN MN x ⋅=，……………………………………………3分∵MP MN PN MN ⋅=⋅，∴48y += 整理，得 28x y =．即动点P 的轨迹C 为抛物线，其方程为28x y =．6．已知O 为坐标原点，点(1,0)E -、(1,0)F ，动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =（1m >），0M N A F =⋅，1()2ON OA OF =+，//AM ME ．求点M 的轨迹W 的方程．解：∵0MN AF ⋅=，1()2ON OA OF =+，∴ MN 垂直平分AF ．又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上，∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===，||||MA MF =， ∴ ||||2||ME MF m EF +=>，∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =， ∴ 22221b a c m =-=-．∴ 点M 的轨迹W 的方程为222211x y m m +=-（1m >）．7．设,x y R ∈，,i j 为直角坐标系内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(2)a xi y j =++，(2)b xi y j =+-， 且||||8a b +=．（1）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（定义法）（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，试说明理由．解：（1）2211216x y +=； （2）因为l 过y 轴上的点(0,3)．若直线l 是y 轴，则,A B 两点是椭圆的顶点．0OP OA OB =+=，所以P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾． 故直线l 的斜率存在，设l 方程为3y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ．由223,1,1216y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得22(43)18210,k x kx ++-=此时22(18)4(43)(21)k k ∆=-+-＞0恒成立，且1221843k x x k +=-+，1222143x x k =-+， OP OA OB =+，所以四边形OAPB 是平行四边形．若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=．1122(,),(,)OA x y OB x y ==，∴ 12120OA OB x x y y ⋅=+=．即21212(1)3()90k x x k x x ++++=．2222118(1)()3()4343k k k k k +⋅-+⋅-++ 90+=．2516k =，得k =． 故存在直线l：3y x =±+，使得四边形OAPB 是矩形． 8．如图，平面内的定点F 到定直线l 的距离为2，定点E 满足：||EF =2，且EF l ⊥于G ，点Q 是直线l 上一动点，点M 满足：FM MQ =，点P 满足：//PQ EF ，0PM FQ ⋅=． （I ）建立适当的直角坐标系，求动点P 的轨迹方程；（II ）若经过点E 的直线1l 与点P 的轨迹交于相异两点A 、B ，令AFB θ∠=，当34πθπ≤<时，求直线1l 的斜率k 的取值范围．解：（1）以FG 的中点O 为原点，以EF 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xoy ，设点(,)P x y ，则(0, 1)F ，(0, 3)E ，:1l y =-．∵ FM MQ =，//PQ EF ，∴(,1)Q x -，(, 0)2x M ．∵0PM FQ ⋅=，∴ ()()(2)02xx y -⨯+-⨯-=，即所求点P 的轨迹方程为24x y =． （2）设点))(,(),,(212211x x y x B y x A ≠设AF 的斜率为1k ，BF 的斜率为2k ，直线1l 的方程为3+=kx y由⎩⎨⎧=+=yx kx y 432…………6分 01242=--kx x 得 1242121-==+∴x x k x x …………7分 9)4(44221222121==⋅=∴xx x x y y646)(22121+=++=+k x x k y y …………8分)1)(1()1,(),1,,(21212211--+=⋅∴-=-=y y x x y x y x841649121)(22212121--=+--+-=++-+=k k y y y y x x)1)(1(||||21++=⋅y y FB FA 又16416491)(222121+=+++=+++=k k y y y y4216484||||cos 2222++-=+--=⋅=∴k k k k FB FA θ…………10分 由于πθπ<≤43 2242122cos 122-≤++-<--≤<-∴k k 即θ…………11分 222242222≥∴≥++∴k k k解得4488-≤≥k k 或…………13分∴直线1l 斜率k 的取值范围是}8,8|{44-≥≥k k k 或9．如图所示，已知定点(1, 0)F ，动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=，||||PM PN =． （1）求动点N 的轨迹方程；（2）直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4OA OB ⋅=-，且||AB ≤求直线l 的斜率k 的取值范围．解：（1）设(,)N x y ，由||||PM PN =得(,0)M x -，(0, )2y P ，(,)2y PM x =--，(1,)2y PF =-，又0PM PF ⋅=，∴204y x -+=，即动点N 的轨迹方程为24y x =． （2）10．已知点(0, 1)F ，点M 在x 轴上，点N 在y 轴上，P 为动点，满足0MN MF ⋅=，0MN MP +=．（1）求P 点轨迹E 的方程；（2）将（1）中轨迹E 按向量(0, 1)a =平移后得曲线E '，设Q 是E '上任一点，过Q 作圆22(1)1x y ++=的两条切线，分别交x 轴与A 、B 两点，求||AB 的取值范围．解：（1）设(, 0)M a 、(0, )N b 、(,)P x y ，则(,)MN a b =-、(, 1)MF a =-、(, )MP x a y =-．由题意得(, )(, 1)0,(, )(,)(0, 0).a b a a b x a y -⋅-=⎧⎨-+-=⎩ ∴ 20,, ,2a b xa b y ⎧+=⎪⎨==-⎪⎩ ∴ 214y x =， 故动点P 的轨迹方程为214y x =． （2）11．如图()A m和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12OA OB ⋅=-， O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+．（1）求m n ⋅的值； （2）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线l 过点(2, 0)E 交（2）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =，求l 的方程． 解：（1）由已知得1()(,)22OA OB m n mn ⋅=⋅=-=-，∴ 14mn =． （2）设P 点坐标为(,)x y （0x >），由OP OA OB =+得(,)()(,)x y m n =+())m n m n =+-，∴,)x m n y m n =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 消去m ，n 可得2243y x mn -=，又因14mn =，∴ P 点的轨迹方程为221(0)3y x x -=>．它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线2213y x -=的右支．（3）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得223(2)3ty y +-= 即 22(31)1290t y ty -++=，易知2(31)0t -≠（否则，直线l的斜率为又22214436(31)36(1)0t t t ∆=--=+>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则121222129,3131t y y y y t t -+==--∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧212121212(2)(2)2()4x x t y t y t y y t y y =++=+++ 2222291234240313131t t t t t t t -+=⋅+⋅+=->---， ∴ 2310t -<，即2103t <<，又由120x x +>同理可得 2103t <<，由3ME EN =得 1122(2,)3(2,)x y x y --=-， ∴ 121223(2)3x x y y -=-⎧⎨-=⎩由122222123231t y y y y y t +=-+=-=--得22631t y t =-，由21222229(3)331y y y y y t =-=-=-得222331y t =--，消去2y 得2222363(31)31t t t =---考虑几何求法！！解之得：2115t = ，满足2103t <<．故所求直线l0y --=0y +-=．12．设A ，B分别是直线y x =和y x =上的两个动点，并且||20AB =点P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ． （I ） 求轨迹C 的方程；（II ）若点D 的坐标为（0，16），M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DM DN λ=，求实数λ的取值范围．解：（I ）设(,)P x y ，因为A 、B分别为直线5y x =和5y x =-上的点，故可设11(,)5A x x，22(,)5B x x -． ∵OP OA OB =+，∴1212,()5x x x y x x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩．∴1212,2x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩．又20AB =， ∴2212124()()205x x x x -++=．∴22542045y x +=． 即曲线C 的方程为2212516x y +=． （II ） 设N （s ，t ），M （x ，y ），则由DN DM λ=，可得（x ，y-16）=λ (s ，t-16)． 故x s λ=，16(16)y t λ=+-．∵ M 、N 在曲线C 上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+ 1.16)1616t (25s 1,16t 25s 22222λλλ消去s 得116)1616t (16)t 16(222=+-+-λλλ．由题意知0≠λ，且1≠λ，解得 17152t λλ-=． 又 4t ≤， ∴421517≤-λλ． 解得 3553≤≤λ（1≠λ）．故实数λ的取值范围是3553≤≤λ（1≠λ）． 13．设双曲线22213y x a -=的两个焦点分别为1F 、2F ，离心率为2． （1）求此双曲线的渐近线1l 、2l 的方程；（y x =） （2）若A 、B 分别为1l 、2l 上的动点，且122||5||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明是什么曲线．（22317525x y +=） 提示：||1010AB =⇒=，又11y x =，22y x =，则1221()3y y x x +=-，2112)3y y x x -=+． 又 122x x x =+，122y y y =+代入距离公式即可．（3）过点(1, 0)N 是否存在直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且0OP OQ ⋅=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．（不存在）14．已知点(1, 0)F ，直线:2l x =，设动点P 到直线l的距离为d ，已知||2PF =，且2332d ≤≤． （1）求动点P 的轨迹方程； （2）若13PF OF ⋅=，求向量OP 与OF 的夹角；（3）如图所示，若点G 满足2GF FC =，点M 满足3MP PF =，且线段MG 的垂直平分线经过点P ，求△PGF 的面积．15．如图，直线:1l y kx =+与椭圆22:2C ax y +=（1a >）交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB （O 为坐标原点）． （1）若1k =，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值；（3a =）（2）若2a =，当k 变化时（k R ∈），求点P 的轨迹方程．（22220x y y +-=（0y ≠））16．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，其中(0,)A b -，(, 0)B a ，且22224||||||||3OA OB OA OB +=⋅．（1）求双曲线C 的方程； （2）若双曲线C 上存在关于直线l ：4y kx =+对称的点，求实数k 的取值范围．解：（I ）依题意有：2222222c 2,a 4a b a b ,3a b c .⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得：.2,3,1===c b a所求双曲线的方程为.1322=-y x ………………………………………6分 （Ⅱ）当k=0时，显然不存在．………………………………………7分当k≠0时，设双曲线上两点M 、N 关于直线l 对称．由l ⊥MN ，直线MN 的方程为1y x b k=-+．则M 、N 两点的坐标满足方程组由221y x b,k3x y 3.⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩消去y 得 2222(3k 1)x 2kbx (b 3)k 0-+-+=．…………………………………9分显然23k 10-≠，∴2222(2kb)4(3k 1)(b 3)k 0∆⎡⎤=---+>⎣⎦．即222k b 3k 10+->． ①设线段MN 中点D （00x ,y ）则02202kb x ,3k 13k b y .3k 1-⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∵D （00x ,y ）在直线l 上，∴22223k b k b43k 13k 1-=+--．即22k b=3k 1- ② 把②带入①中得 222k b +b k0>， 解得b 0>或b 1<-．∴223k 10k ->或223k 1<-1k-．即k >或1k 2<，且k≠0．∴k的取值范围是113(,(,0)(0,)(,)22-∞-+∞．…………………14分 17．已知向量OA =(2，0)，OC =AB =(0，1)，动点M 到定直线y =1的距离等于d ，并且满足OM ·AM =K(CM ·BM -d 2)，其中O 为坐标原点，K 为参数. （Ⅰ）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型；（Ⅱ）如果动点M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e 满足33≤e ≤22，求实数K 的取值范围.18．过抛物线24y x =的焦点作两条弦AB 、CD ，若0AB CD ⋅=，1()2OM OA OB =+，1()2ON OC OD =+．（1）求证：直线MN 过定点；（2）记（1）中的定点为Q ，求证AQB ∠为钝角； （3）分别以AB 、CD 为直径作圆，两圆公共弦的中点为H ，求H 的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线．19．（05年江西）如图，M 是抛物线上2y x =上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA MB =．（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值； （2）若M 为动点，且90EMF ∠=，求△EMF 的重心G 的轨迹．思路分析：（1）由直线MF （或ME ）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F 和点E 的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M 点的坐标将E 、F 点的坐标表示出来，进而表示出G 点坐标，消去0y 即得到G 的轨迹方程（参数法）.解：（1）法一：设200(,)M y y ，直线ME 的斜率为k （0k >），则直线MF 的斜率为k -，方程为200()y y k x y -=-．∴由2002()y y k x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消x 得200(1)0ky y y ky -+-=，解得01F ky y k-=，∴ 202(1)F ky x k -=， ∴0022000022211214(1)(1)2E F EFE F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+---====---+--(定值)．所以直线EF 的斜率为定值．法二：设定点00(,)M x y ，11(,)E x y 、22(,)F x y ，由200211,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得 010101()()y y y y x x -+=-，即011ME k y y =+；同理 021MF k y y =+．∵ MA MB =，∴ ME MF k k =-，即010211y y y y =-++，∴ 1202y y y +=-．所以，1212221212120112EF y y y y k x x y y y y y --====---+（定值）． 第一问的变式：过点M 作倾斜角互补的直线ME 、MF ，则直线EF 的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦．（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==当时所以直线ME 的方程为200()y y k x y -=-由2002y y x y y x ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y --同理可得200((1),(1)).F y y +-+设重心G （x , y ），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x y ⎧+-+++++===⎪⎪⎨+--+++⎪===-⎪⎩消去参数0y 得2122()9273y x x =->． 20．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B 都落在边AD 上，记为B '，折痕l 与AB 交于点E ，点M 满足关系式EM EB EB '=+．（1）建立适当的直角坐标系，求点M 的轨迹方程；（2）若曲线C 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，F 是AB 边上的一点，4BA BF =，过点F 的直线交曲线C 于P 、Q 两点，且PF FQ λ=，求实数λ的取值范围．。
高中数学解题方法-----求轨迹方程的常用方法
练习
1.一动圆与圆
外切，同时与圆 x2 + y2 − 6x − 91 = 0内切，求动圆圆心
M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
2. 动圆 M 过定点 P（－4，0），且与圆 ：C x2+ －y2 8x = 0 相切，求动圆圆心 M 的轨迹方程。 1.在∆ABC 中，B，C 坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为 16，则点 A 的轨迹方 程是_______________________________.
高中数学解题方法
---求轨迹方程的常用方法
（一）求轨迹方程的一般方法： 物1线.）定的义定法义：，如则果可动先点设P出的轨运迹动方规程律，合再乎根我据们已已知知条的件某，种待曲定线方（程如中圆的、常椭数圆，即、可双得曲到线轨、迹抛 方程。 P 满2.足直的译等法量：关如系果易动于点建立P 的，运则动可规以律先是表否示合出乎点我P们所熟满知足的的某几些何曲上线的的等定量义关难系以，判再用断点，但P 点的 坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动的某个几何 量y＝tg，（以t）此，量进作而为通参过变消数参，化分为别轨建迹立的普P 点通坐方标程xF，（yx与，该y）参＝数0。t 的函数关系 x＝f（t）， 4. 代入法（相关点法）：如果动点 P 的运动是由另外某一点 P'的运动引发的，而该点的 运出动相规关律点已P'知的，坐（标该，点然坐后标把满P足'的某坐已标知代曲入线已方知程曲），线则方可程以，设即出可得P（到x动，点y），P 的用轨（迹x，方y程）。表示
题目 6：已知点 P 是圆(x +1)2 + y2 =16 上的动点，圆心为 B ，A(1,0) 是圆内的定点；PA 的中垂线交 BP 于点Q ．（1）求点Q 的轨迹C 的方程；
高中数学：求轨迹方程的几种常用方法
高中数学：求轨迹方程的几种常用方法
由已知条件求动点轨迹方程是解析几何的基本问题之一，也是解析几何的重点。
轨迹方程的常用方法可归纳为以下四种。
一、普通法
例1. 求与两定点距离的比为1：2的点的轨迹方程。
分析：设动点为P，由题意，则依照点P在运动中所遵循的条件，可列出等量关系式。
解：设是所求轨迹上一点，依题意得
由两点间距离公式得：
化简得：
二、定义法
例2. 点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，求点M的轨迹方程。
分析：点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，意味着点M到点F（4，0）的距离与它到直线
的距离相等。
由抛物线标准方程可写出点M的轨迹方程。
解：依题意，点M到点F（4，0）的距离与它到直线的距离相等。
则点M的轨迹是以F（4，0）为焦点、为准线的抛物线。
故所求轨迹方程为。
三、坐标代换法
例3. 抛物线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求△ABC重心P的轨迹方程。
分析：抛物线的焦点为。
设△ABC重心P的坐标为，点C的坐标为。
解：因点是重心，则由分点坐标公式得：
即
由点在抛物线上，得：
将代入并化简，得：
四、参数法
例4. 当参数m随意变化时，求抛物线的顶点的轨迹方程。
分析：把所求轨迹上的动点坐标x，y分别用已有的参数m
来表示，然后消去参数m，便可得到动点的轨迹方程。
解：抛物线方程可化为
它的顶点坐标为
消去参数m得：
故所求动点的轨迹方程为。
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点和圆上一点连线的中点的轨迹方程
以下是一篇文章的框架，可以根据需要逐步完善内容和细节：一、概述1. 介绍高中数学中点和圆的相关概念和性质2. 提出本文要讨论的问题：点和圆上一点连线的中点的轨迹方程二、基本概念和性质1. 点的坐标表示及直线方程的一般形式2. 圆的标准方程和一般方程3. 中点的定义和性质4. 中点的坐标表示及性质5. 中点连线的性质三、推导中点轨迹方程1. 假设点P(x, y)在圆上，圆的方程为(x-a)² + (y-b)² = r²2. 假设点P(x, y)到圆心O(a, b)的距离为r3. 推导点P到圆的距离函数4. 将中点的定义和性质结合，找出中点的坐标表达式5. 根据中点的坐标和圆方程，建立中点坐标和圆心坐标之间的关系6. 推导中点坐标的一般表达式，得出中点轨迹方程四、讨论中点轨迹的特殊情况1. 圆心在坐标轴上的情况2. 圆心不在坐标轴上的情况3. 不同圆的情况比较五、应用与拓展1. 举例验证中点轨迹方程的正确性2. 探讨中点轨迹方程的几何意义3. 拓展至三维空间中点和球的情况六、总结与展望1. 总结本文的内容和讨论2. 展望进一步研究点和圆的相关问题3. 结语根据上述框架，逐步展开文章内容，深入讨论中点和圆上一点连线的中点的轨迹方程，形成一篇高质量的文章。
根据上述框架，我们可以继续深入展开关于点和圆上一点连线的中点的轨迹方程的讨论，探讨更多的相关性质和特殊情况，同时进行推导和举例验证，为读者提供更全面的理解。
三、推导中点轨迹方程1. 假设点P(x, y)在圆上，圆的方程为(x-a)² + (y-b)² = r²在平面直角坐标系中，假设点P(x, y)在圆上，圆的方程为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
2. 假设点P(x, y)到圆心O(a, b)的距离为r点P到圆心O的距离可以表示为：d = √((x-a)² + (y-b)²)其中，d为点P到圆心O的距离。
五、几何法求轨迹方程(高中数学解题妙法)
五、几何法求轨迹方程本内容主要研究几何法求轨迹方程.几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.例：一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？整理：借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理等等，这种借助几何的方法是求动点轨迹方程的重要方法，称为几何法.再看一个例题，加深印象例：过圆O：x2 +y2= 4 外一点A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M 的轨迹.注意：自变量的取值范围.总结：1.求轨迹方程时，有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.2.求轨迹方程时，最后要注意它的完备性与纯粹性，多余的点要去掉，遗漏的点要补上．练习：1．已知点)2,3(-A 、)4,1(-B ，过A 、B 作两条互相垂直的直线1l 和2l ，求1l 和2l 的交点M 的轨迹方程.2.一个圆形纸片，圆心为O ，F 为圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于P ，则P 的轨迹是（ ）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆3. 设圆C :(x －1)2+y 2=1,过原点O 作圆的任意弦,求所作弦的中点的轨迹方程.答案：方程为13)1()1(22=+++y x . 故M 的轨迹方程为13)1()1(22=+++y x . 2.解：由对称性可知||PF|=|PM|，则|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=R （R 为圆的半径），则P 的轨迹是椭圆，选A.。
六、点差法求轨迹方程(高中数学解题妙法)
六、点差法求轨迹方程本内容主要研究点差法法求轨迹方程.圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12x x +，12y y +，12x x -，12y y -等关系式，由于弦AB 的中点(,)P x y 的坐标满足122x x x =+，122y y y =+且直线AB 的斜率为2121y y x x --，由此可求得弦AB 中点的轨迹方程.先看例题：例：已知椭圆2212x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ． 由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有()()0221212121=-+++x x y y y y x x将③④代入得022121=--+x x y y yx ．⑤将22121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）已知椭圆2212x y +=，过()2,1A 引椭圆的割线，求截得的弦的重点的轨迹方程.（3）将212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分） 整理：圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12x x +，12y y +，12x x -，12y y -等关系式，由于弦AB 的中点(,)P x y 的坐标满足122x x x =+， 122y y y =+且直线AB 的斜率为2121y y x x --，由此可求得弦AB 中点的轨迹方程.再看一个例题，加深印象例：已知椭圆2212x y +=，过()2,1A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程.解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则221122221212222222x y x y x x x y y y ⎧+=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，①，②，③，④①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．总结：1.圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12x x +，12y y +，12x x -，12y y -等关系式，由于弦AB 的中点(,)P x y 的坐标满足122x x x =+，122y y y =+且直线AB 的斜率为2121y y x x --，由此可求得弦AB 中点的轨迹方程.2.求轨迹方程时，最后要注意它的完备性与纯粹性，多余的点要去掉，遗漏的点要补上． 练习：1．抛物线24x y =的焦点为F ,过点(0,1)-作直线l 交抛物线A 、B 两点,再以AF 、BF 为邻边作平行四边形AFBR ，试求动点R 的轨迹方程.2.抛物线y =2x 2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是3.已知抛物线y 2=2x 的弦AB 所在直线过定点P (-2，0)，则弦AB 中点的轨迹方程是答案：而P 为AB 的中点且直线l 过点(0,1)-，所以1211322,22l y x y x x x k x x ++++=⨯===代入③可得34y x x +=⨯，化简可得22124124x x y y -=+⇒=④由点1(,)22x y P +在抛物线口内，可得221()48(1)22x y x y +<⨯⇒<+⑤将④式代入⑤可得222128(1)16||44x x x x -<+⇒>⇒>故动点R 的轨迹方程为24(3)(||4)x y x =+>.2.解：设弦为AB ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)AB 中点为(x ，y)，则y 1=2x 12，y 2=2x 22，y 1-y 2=2(x 12-x 22)∴)(2212121x x x x y y +=-- ∴2=2·2x ，21=x将21=x 代入y=2x 2得21=y ，轨迹方程是21=x (y>21) 答案：)21(21>=y x又弦中点在已知抛物线内P ，即y 2<2x ，即x+2<2x ，∴x>2 答案：y 2=x+2(x>2)。
人教版高中数学选修2-1《轨迹方程的求法》
∵PM、PN 是圆 O1、圆 O2 的切线， ∴△PO1M 和△PO2N 是直角三角形. ∵|PM|= |PN|，∴|PM|2=2|PN|2. ∵由两圆的半径均为 1， ∴|PO1|2-1=2(|PO2|2-1). 设 P（x，y）.
关键： 找等量关系
∴(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1]，整理，得(x-6)2+y2=33. 故点 P 的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.
代入法
(相关点法)
当所求动点的运动很明显地依赖于一已知曲线上 的动点的运动时,可利用代入法,其关键是找出两 动点的坐标的关系,这要充分利用题中的几何条件. 如果轨迹动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找 到，也没有相关点可用时，可先考虑将x、y用一 个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程.参数 法中常选角、斜率等为参数.
易漏掉x≠－2的情 形！
x2 2 y 1 【2017 课标 II， 理】 设 O 为坐标原点， 动点 M 在椭圆 C：2
上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足 NP 2 NM 。 (1) 求点 P 的轨迹方程；
参数法 ——若动点Ｐ (x,y)的横、纵坐标之间 的关系不易找到，则可借助中间变量（参数） 来表示x,y，然后消去参数就得到动点Ｐ (x,y) 的轨迹方程
参数法
高考要求
求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题 之一 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其 实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化” 将其转化为寻求变量间的关系 。 这类问题除 了考查考生对圆锥曲线的定义，性质等基础知 识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及 一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成 为高考命题的热点！
高中数学选修1-1 北师大版 轨迹方程
跟踪训练 3 已知 M(4,0)，N(1,0)，若动点 P 满足M→N·M→P＝6|P→N|.求动点 P 的轨迹 C 的方程.
变式1.(1)与圆C1 : (x 3)2 y2 1外切，且与圆C2 : (x-3)2 y2 81内切的 动圆的圆心P的轨迹方程为?
(2)已知圆C1 : (x 3)2 y2 1和圆C2 : (x-3)2 y2 9,动圆M同时与圆C1及 圆C2相外切,求动圆的圆心M的轨迹方程为? (3)点M与点F(4,0)的距离比它到直线l : x 5 0的距离小1，求点M的轨迹 方程.
O是坐标的原点，l上的动点P满足OP= 1 (OA OB),当l绕点M旋转 2
时，求动点P的轨迹方程.
当堂训练
1.方程 x－22＋y2＋ x＋22＋y2＝10 化简结果是 答案 解析
A.2x52 ＋1y62 ＝1
√B.2x52 ＋2y12 ＝1
C.2x52 ＋y42＝1
D.2y52 ＋2x12 ＝1
求轨迹方程
类型一 定义法求轨迹方程
例1 如图，P为圆B：(x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A坐标为(2,0)，线段 AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程.
解答
反思与感悟
用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为 到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称 轴是否为坐标轴，最后由定义得出椭圆的基本量a，b，c.
跟踪训练2 如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投